青岛科技大学高数C2试题
青岛科技大学高等代数考研真题试题2008——2012、2016、2017年
青岛科技大学2008年研究生入学考试试卷考试科目：高等代数（答案全部写在答题纸上）一、(30分)1设是三阶方阵，具有三个不同的(非零)特征值：、、，依次对应的特征向量为A 1λ2λ3λ、、，令，试证：、、线性无关。
1α2α3α123βααα=++β()A β2()A β2 设是维线性空间，是上的线性变换，是的一个重特征值， 是对n V n σn V 0λσk 0V λ0λ应的特征子空间，试证：。
（这里表示子空间的维数）0dim V k λ≤0dim V λ二、(30分)1 设，求。
001101010A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭100A 2 设，一元多项式，求，102011010B ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭1187543()2283174f x x x x x x x =+-+++-()f B 并求。
1(())f B -三、(30分)试证：1 当、是两个阶方阵时，有 A B n n n E AB E BA λλ-=- 2 当是矩阵，是矩阵()时有： A m n ⨯B n m ⨯n m >n m n m E BA E AB λλλ--=-四、(30分)试证 矩阵方程有解当且仅当 AX B =()()r A r A B =五、(20分)设阶方阵，，，试求的特征值，的最小多项式。
n ()ij A a =1ij a =,1,2,,i j n = A A A 是否与对角阵相似？若相似求出与其相似的对角阵。
六、(10分)给定方程组(1)与向量， 123412342229242312x x x x x x x x -++=⎧⎨-++=⎩(4,2,5,1)α=-青 岛 科 技 大 学二OO 九年硕士研究生入学考试试题考试科目：高等代数注意事项：1．本试卷共 5 道大题（共计 10 个小题），满分150 分；2．本卷属试题卷，答题另有答题卷，答案一律写在答题卷上，写在该试题卷上或草纸上均无效。
要注意试卷清洁，不要在试卷上涂划；3．必须用蓝、黑钢笔或签字笔答题，其它均无效。
高等数学c2期中试题及答案
高等数学c2期中试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列函数中，哪一个是奇函数？A. \( y = x^2 \)B. \( y = x^3 \)C. \( y = \sin(x) \)D. \( y = \cos(x) \)答案：C2. 极限 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \) 的值是多少？A. 0B. 1C. \( \frac{1}{2} \)D. 2答案：B3. 以下哪个选项是微分方程 \( y'' + y = 0 \) 的通解？A. \( y = A\sin(x) + B\cos(x) \)B. \( y = Ax^2 + Bx \)C. \( y = Ae^x + Be^{-x} \)D. \( y = A\log(x) + Bx \)答案：A4. 函数 \( y = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \) 的极值点个数是多少？A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C5. 曲线 \( y = x^2 \) 在点 \( (1, 1) \) 处的切线方程是？A. \( y = 2x - 1 \)B. \( y = 2x + 1 \)C. \( y = x + 1 \)D. \( y = x - 1 \)答案：A6. 积分 \( \int \frac{1}{1+x^2} dx \) 的结果是？A. \( \arctan(x) + C \)B. \( \ln(1+x^2) + C \)C. \( e^x + C \)D. \( \sin(x) + C \)答案：A7. 以下哪个选项是函数 \( y = e^x \) 的不定积分？A. \( e^x + C \)B. \( \frac{1}{e^x} + C \)C. \( \ln(e^x) + C \)D. \( \frac{1}{x} + C \)答案：A8. 函数 \( y = \ln(x) \) 的导数是？A. \( \frac{1}{x} \)B. \( x \)C. \( \frac{1}{x^2} \)D. \( \ln(x^2) \)答案：A9. 以下哪个选项是函数 \( y = x^2 \) 的二阶导数？A. \( 2x \)B. \( 2 \)C. \( 4x \)D. \( 4 \)答案：B10. 函数 \( y = \sin(x) \) 在区间 \( [0, \pi] \) 上的定积分值是？A. \( 2 \)B. \( 0 \)C. \( \frac{2}{\pi} \)D. \( \frac{\pi}{2} \)答案：B二、填空题（每题4分，共20分）1. 函数 \( y = x^3 - 3x \) 的一阶导数是 \( \_\_\_\_\_ \)。
13-14高数C2卷B及答案
2013-2014二 高等数学C2（下） B 卷数理系 王军东高密校区（答案写在答题纸上，写在试题纸上无效）一、 填空题（每空3分，共30分）1.方程20y y xy '''-'+=是 阶微分方程。
2.已知(1,2,1)A 和(2,3,1)B ,则向量AB 的||AB 模=_________________.3. 设3z x y =，则2z x y∂∂∂=_________________.4. 将xOz 面上的抛物线23z x =绕x 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程为 . 5. 交换二次积分的积分次序1(,)xdx f x y dy =⎰⎰______________.6. 二重积分Dxydxdy =⎰⎰____,其中区域D 是由1,y y x ==及2x =所围成的三角形区域。
7. 幂级数11(1)nn n x n∞-=-∑的收敛域为_________ 8.函数(,,)f x y z xyz =在点(1,1,1)的方向导数____ _,其中方向角分别60度，45度,60度. 9.微分方程21dy ydx x =+满足初始条件(0)1y =的特解是y =_____ __. 10．函数xyz e =的全微分dz =______ _二、选择题：（每小题3分，共15分）1．函数24(,)x y f x y -=的定义域是（ ） 课程考试试题学期 学年 拟题人:校对人: 拟题学院（系）: 适 用 专 业:)A 2221,4x y y x +≤≤)B 22201,4x y y x <+<≤)C 2221,4x y y x +<< )D 2221,4x y y x +≠≤2．下列曲面中，母线平行于y 轴的柱面为（ ）)A 22z x = )B 23z y =+ )C 222z x y =+)D 231x y z ++=3．过点（1，-1，2）和点（2，1，-1）的直线方程为（ ）A.211123x y z ++-==-- B. 112103x y z -+-==- C.211123x y z --+==- D.112103x y z +-+==- 4. 设函数(,)f x y xy =，则(,)f x y 在点(0,0)处（ ）)A 取得极大值为0 )B 取得极小值为0 )C 连续)D 间断5. 设积分区域D: 223x y +≤,则二重积分(3)Ddxdy -=⎰⎰（ ）)A 9π-. )B 3π- )C 3π )D .9π三． 计算题（共55分）1 （8分）求微分方程xy y e-'+=的通解。
高数文C2B卷(15级)参考答案
，积分得通解为 …2分
将 代入通解，得
故所求曲线方程为 …2分
18、解：特征方程为 …2分
设特解为 ，代入原微分方程有：
，故特解为 …3分
综上所述，通解为 …1分
19、解： ，
即： ，…5分
故 …1分
20、解： ……3分，
…3分
21、解： ， ……3分
……3分
由正项级数的比较判别法 收敛……2分
故 绝对收敛……1分
高等数学C2期末B卷参考答案及评分标准
2015~2016第二学期
一、单项选择（共10小题，每小题2分，共20分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案CDD源自ABCA
C
A
B
二、填空题（共5题，每题3分，共15分）
11、 。12、 。13、 。14、 。15、 。
三、解答题（共9小题，每小题6分，共54分）
16、解：原式
22、解：
令： 解得： …3分
而 ，
，
故在 处函数取得极小值，极小值为 …3分
23、解： …2分，
…2分
……2分
24、（1） ……3分
（2） ……3分
四、证明题（本大题2小题，25题6分，26题5分，共11分。）
25、证：对右边令 ，则有 ，……2分
，即 ……4分
26、证： 收敛， ……2分
故 ，而 收敛，
高数C2-复习题-答案
；第 2 步（常数变易法）令： 并代入原 （ 为常数） ；因此原方程
(2) 本题超出考纲范围，期末不考这种类型的习题。 (3) 解：本题为齐次微分方程，对等式右侧分子分母同除以 后得到
令 得到： 4.
, 有 , . ，
,
，整理
(1) 解：令
，可证：
，由比较判别法的极限形式可知：
敛散性相同，由
高等数学 C2 – 期末练习 – （答案）
一、选择题 1. D 2. 二、填空题 1． 5e 三、计算题 1.
C
3.
D
4.
C
5.
A
2. 0
3.（题目有错）
4.
5.
2.
, 收敛域
.
3.
(1) 解 ： 先 计 算 齐 次 部 分 的 通 解 ， 即 求 解 ，调整后得到：
式求解 的解为：
，得到： 。
Байду номын сангаас
可知其发散，因此
发散。
(2) 解： 绝对收敛。 5. 6. 解：先计算 ， 。
，而
可用比值判别法证明其收敛，因此原级数
的稳定点，即使 。令
的点，再从这些点中利用判别法找出极值点。 ， ，可知在点 可知为极小值 （ 处， ） 。
前者的计算得到唯一的稳定点 ， 因此 7. 解：总利润函数
， 说明该点为极值点， 且由
计算 关于 8. 解：由题意
的稳定点，得到唯一的稳定点
，并判明该点为 的极大值点
.
高等数学 C2 – 期末练习 – （答案）
9.
解：见书 P273 – 例 7.46
10. 解：
收敛域：
。
1002高等数学C2试卷A及答案
绍兴文理学院2010学年02学期经管类 专业10级《高等数学C2》期末试卷(答题卷)(试卷A)一、单选题（共15分，每小题3分）1. 函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=000),(222222y x y x yx xyy x f 在点)0,0(处 （ ）A.连续；B.可微；C.偏导存在；D.偏导连续． 2. 交换积分次序=⎰⎰dx y x f dy yy),(1（ ）A.dy y x f dx xx ),(10⎰⎰； B.dy y x f dx xx),(1⎰⎰ ；C.dy y x f dx x x),(12⎰⎰ ； D.dy y x f dx xx),(12⎰⎰．3．幂级数nn nx n ∑∞=-1)2(的收敛半径为 （ ） A.2； B.21 ； C.21- ； D.2-． 4．下列级数中，发散的是 （ ）A.∑∞=131n n ； B.∑∞=--113)1(n nn ； C.∑∞=-+-11)1ln()1(n n n ； D.∑∞=-113n n n ． 5． 微分方程"7'64y y y -+=的通解为 （ ）A. 612xx c ec e +； B. 61223x x c ec e ++； C. 61213x x c e c e ++； D. 61232x xc e c e ++．二、填空题（共12分，每小题3分）1．函数22(,)ln(1)f x y x y =+-的定义域是（ ）；2．函数)sin(2x z y x u -+=的全微分是（ ）；3．设,arctan x y z =则=∂∂∂yx z2 （ ）； 4．设{}222(,)D x y x y a=+≤，18Dπ=，则=a （ ）． 三、计算题（共57分，其中5、7、8小题分别为10分、8分、9分，其余每小题6分）1. 计算dxdy x y D||⎰⎰-,其中{}11,11|),(≤≤-≤≤-=y x y x D2．求函数x y x y x y x f 933),(2233-++-=的极值.3．将函数x x f 2cos )(=展开成x 的幂级数，并写出收敛域.4．设cos sin(23),z x e x y z =+-求xz ∂∂.5．判断下列级数的敛散性（1）∑∞=13sin2n nnπ；（2）∑∞=--131)1(n n n.6．计算，dxdy y x D⎰⎰+22其中{}y y x x y y x D 2,0),(22≤+≥≥=.7．求微分方程12+=-'x xyy 的通解.8．求幂级数1115)1(1+∞=+∑+n n n x n 的收敛域与和函数．四、综合题（共16分，每小题8分）1．设),(v u F 可微，),(y x z z =由方程0),(=++xzy y z x F 所确定，求证xy z yz y x z x-=∂∂+∂∂．2．设销售收入R(单位：万元)与花费在两种广告宣传上的费用y x 、 (单位：万元)之间的关系为yyx x R +++=101005200，利润为y x R L --=51，已知广告费用总预算金是25万元，试问如何分配两种广告费用使利润最大？(必须用拉格朗日乘数法)。
（1）青岛科技大学高数试卷10-11高数A2A卷
（1）青岛科技⼤学⾼数试卷10-11⾼数A2A卷2010/20112 ⾼等数学A2（ A 卷）数理学院机电，信息，应物等专业（答案写在答题纸上，写在试题纸上⽆效）⼀、填空题（每⼩题3分，共15分）1．设arctany z x =，则zx= 。
2．⼀阶线性微分⽅程23x dyy e dx+=的通解为。
3．设L 是椭圆周221x y +=，则曲线积分2(21) Lx x ds ++? 。
4．函数()sin f x x x =展开为x 的幂级数是。
5．已知向量(2,1,1),(1,1,3)a b ==-，则a b ?= 。
⼆、选择题（每⼩题3分，共15分）1．函数(,)f x y =0，0）处（）。
()A 偏导数存在 ()B 连续但偏导数不存在 ()C 可微 ()D 连续且偏导数存在2．⼆重积分31(,)xxdx f x y dy ?交换积分次序可化是（）。
()A 1(,)y dy f x y dx ? ()B 10(,)ydy f x y dx ?()C 10(,)ydy f x y dx ? ()D 1(,)ydy f x y dx ?3．曲⾯21z x y =+在点（1,1,2）处的切平⾯⽅程是（）。
()A 210x y z +--= ()B 210x y z +--= ()C 10x y z +--= ()D 10x y z ++-= 4．若级数1nn a∞=∑收敛，则级数20()nn n aa ∞+=+∑（）。
()A 绝对收敛 ()B 发散 ()C 收敛 ()D 敛散性不能确定5．以4为周期的函数在[2,2)-上的表达式为24,20()2,02x x f x x x +-≤的和函数为(),s x 则(2)s =（）。
课程考试试题学期学年拟题学院（系）: 适⽤专业:()A 1 ()B 2 ()C 0 ()D 3.三、（共21分）1、（7分）设(2,2)z f x y x y =-+，其中f 具有⼆阶连续偏导数，求2,z zx x y。
大学高等数学(C2)试题答案
《高等数学》试卷（C ）(2)参考答案及评分标准一、单项选择题（每题3分，共15分）1、B2、C3、C4、D5、 B 二、填空题（每空3分，共15分）1、922、1-3、44200(,)ydy f x y dx -⎰⎰ 4、12a a - 5、24cos xy x三、计算题（共63分） 1．解：21ln ex xdx ⎰311ln 3e xdx =⎰33111(ln )13e e x x x dx x =-⎰ （+4分） 32331111()((1))333e e x dx e e =-=--⎰32199e =+ (+3分)2．解：设2ln(1)z v u =+ ，,u xy v x y ==+，求2zx y∂∂∂z z u z v x u x v x∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂222222()ln(1)1xy x y x y x y =++++ (+4分) 2z x y ∂=∂∂222222(()ln(1))1xy x y x y y x y∂+++∂+ 222222222222224(1)222()1(1)1xy xy x y xy x y x y x y x y x y x y +-=++++++ 22222(3)2()(1)x y xy x y x y +=++ （+3分）3．解：因 112()dxdx xx y ex e dx c ---⎰⎰=+⎰ ln 2ln ()x x e x e dx c -=+⎰21()2x x c =+ (+4分)11|1,2x y C ===由得 ， 故方程的特解为21(1)2y x x =+ （+3分）4. 解：21122221x Dx y dxdy x dx y dy -=⎰⎰⎰⎰12811()3x x dx -=-⎰ （+4分）39111114()33927x x -=-=(+3分)5. 解：方程的特征方程为：2420r r -+=，其特征根为1,22r = （+4分）故方程的通解为：(2(212xxy c e c e =+ (+3分)6．解：曲线()x f y =绕y 轴旋转所得体积为 2dcV x dy π=⎰，且曲线214x y y =-与y 轴上的交点为120,4y y == （+4分） 所以44222345400111132()()43816515V x dy y y dy y y y ππππ==-=-+=⨯⎰⎰ (+3分) 7．解：20x x →=34241sin 2limx x x x x +→ （+3分） 242021sin lim xx x x +=→21121sin lim 4220=+=→x x x x (+4分) 8．解：设长方体的长、宽、高分别为,x y ,z ，则长方体的体积为 V xyz =，而有条件 2()4xy yz zx ++=，即设(,,,)(2()4)F x y z xyz xy yz zx λλ=-++-， (+3分)则2()02()02()02()40x y z F yz y z F yz x z F xy x y F xy yz zx λλλλ=-+=⎧⎪=-+=⎪⎨=-+=⎪⎪=++-=⎩，求解以上方程组得x y z ===V = (+4分)9、设 =)(x s 21121n n x n -∞=-∑，则 ∑∑∞=∞=-=='02122)()(n nn n x x x s 2211lim x x n n --=∞→ (+3分)当1x <时级数 ++++753753x x x x 收敛， 故=')(x s 211x- 所以两边积分得 ()s x =xx-+11ln 21 (+4分) 四、证明题（共7分） 证明：21()nn n ab ∞=+∑221112n n n n n n n a b a b ∞∞∞====++∑∑∑2222111()n n n n n n n a b a b ∞∞∞===≤+++∑∑∑22112()n n n n a b ∞∞===+∑∑， .(+3分)因级数正项级数1nn a∞=∑与1nn b∞=∑都收敛，故存在N ，当n N >时有1,1n n a b <<，即当n N>时有22,n n n n a a b b <<，21()nn n ab ∞=+∑22221111112()2()2()NNn n n n n nn n n n n N n N a b a b a b ∞∞∞∞=====+=+≤+≤+++∑∑∑∑∑∑112()n n n n M a b ∞∞==≤++∑∑，其中112()NNn n n n M a b ===+∑∑可得级数21()nn n ab ∞=+∑也收敛 .(+4分)证法2：因级数正项级数1nn a∞=∑与1nn b∞=∑都收敛，故有lim 0,lim 0n n n n a b →∞→∞==，且1()nn n ab ∞=+∑也收敛。
高数C2(A)参考答案及评分标准(1)
8 ………………………..5 分 3
3、求通过 z 轴和点 (2, 1,3) 的平面方程. 解；因为平面过 z 轴，所以设其方程为
A x B y 0 ……….2 分
1 4 ln 2 x 4 ……………4 分 16 1 15 ……………5 分 4ln 2 16 2 z 4、设 z x ln( x y) ，求 . xy z 1 解： ln( x y ) x …2 分 x x y
63 ， y 14 (唯一驻点) 2 由问题的实际意义， L 必有最大值， 63 故当商品 A ， B 分别价格为 x ， y 14 时利润最大。 2
….3分 …….5分 …….7分 …….9 分 …….10 分
解得 x
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1、 一定（ C ）. C 、有定义 A 、可微 B 、连续 D 、有极限 5、微分方程 y 'cos x y ln y sin x 0 是（ A ）. A 、可分离变量方程 B 、齐次方程 C 、一阶线性方程 D 、伯努利方程 二、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 得分 评卷人
1、积分
0 y
1
1
1
0
dx f x, y dy .
0
x
5、微分方程 y e x y e2 x y 1 的阶数为
4
3.
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得分 评卷人
三、计算题（要求写出主要计算步骤及结果，每小题 5 分，共 50 分）
1、计算
2
0
x 4 x 2 dx .
湖北文理学院 2016-2017 学年度下学期高等数学 C2 试题 （A）
青岛科技大学 11-12高数C2卷A及答案
2011-2012二 高等数学C2（下） A 卷数理系 李夕广高密校区（答案写在答题纸上，写在试题纸上无效）一、 填空题（每空3分，共30分）1.方程02)(/2/=+-x yy y x 是 阶微分方程。
2.已知1(2,2,2)M 和2(1,3,0)M ,则向量12M M u u u u u u r的模=_________________.3. 设22z x y yx =+，则2zx y∂∂∂=_________________.4. u xyz =在点（5，1，2）处的梯度为__ ___.5. 交换二次积分的次序1(,)xdx f x y dy =⎰⎰______________.6. 二重积分Dxydxdy =⎰⎰____,其中区域D 是由0,y y x ==及1x =所围成的三角形区域。
7. 级数11(1)n n n n x∞-=+∑的收敛半径R=_________.8.函数(,,)f x y z x y z =++在点(1,1,1)的方向导数____ _,其中方向角分别60度，45度,60度.9. 二阶微分方程20y y y '''+-=的通解y =_____ __. 10．函数z xxy y=+的全微分dz =______ _ 二、选择题：（每小题3分，共15分）1．对于函数),(y x f z =，下列命题正确的是：（ ）)A y z x z ∂∂∂∂,都存在，则),(y x f 连续； )B yzx z ∂∂∂∂,都连续，则),(y x f 必可微； 课程考试试题学期学年拟题人:校对人: 拟题学院（系）: 适 用 专 业:)C y z x z ∂∂∂∂,都存在，则),(y x f 的极限存在；)D yz x z ∂∂∂∂,都存在，则),(y x f 可微。
2．下列曲面中，母线平行于y 轴的柱面为（ ）)A 2z x =)B 2z y = )C 22z x y =+)D 1x y z ++=3．下列级数中属于条件收敛的是：（ ）)A ∑∞=+-1)1()1(n n n n ； )B ∑∞=--113)1(n n n ； )C ∑∞=-12)1(n nn ； )D ∑∞=-121sin)1(n n n . 4. 设函数(,)f x y x y =+，则(,)f x y 在点(0,0)处（ ）)A 取得极大值为0 )B 取得极小值为0 )C 连续)D 间断5. 若级数nn a∞=∑收敛且(1,2,)n n a b n ≥=L ，则级数nn b∞=∑（ ）)A 发散； )B 绝对收敛； )C 条件收敛； )D 敛散性不定三． 计算题（共55分）1 （8分）求微分方程xy y e-'+=的通解。
青岛科技大学860高等代数2007-2012、2016-2018年考研专业课真题试卷
0 0 ... 0 0
1
0
...
0
0
（2）存在V 的一组基，使得 在该组基下的矩阵为 0 1 ... 0 0
... ... ... ... ...
0
0
...
1
0
kk
。
八、（25 分）设V 是复数域上的 n 维线性空间， 和 是V 上的线性变换。
（1） 求 A 的所有不变因子； （2） 写出 A 的 Jordan 标准形。
七、（25 分）设 是数域 P 上线性空间V 0 ，这里 k dimV 。证明：
（1） , ( ),..., k1( ) 线性无关；
A2B
AB
E ，其中 E 是
3 阶单位矩阵，若
A
0
2
0
，则
B
0 0 3
。
5. t 满足
时，二次型 x12 2tx1x2 4x22 (t 1)x32 是正定的。
6.
在
线
性
空
间
P3
中
，
已
知
两
向
量
组
21((11, 2,1,,11,,01), )
1 a1 1
1 ... 1 1
1 1 a2 1 ... 1 1
D 1
1 1 a3 ... 1 1
... ... ... ... ... ...
1
1
1 ... 1 1 an
三、（15
分）给定线性方程组
ax1 x2 x3 x1 ax2 x3
1 1
，讨论当 a 取何值时，方程组有唯一解、无解、
青岛科技大学860高等代数10-12年真题
青 岛 科 技 大 学
二○一二年硕士研究生入学考试试题
考试科目：高等代数
注意事项：1．本试卷共七道大题，满分150分；
2．本卷属试题卷，答题另有答题卷，答案一律写在答题卷上，写在该试题卷上或草纸上均无效。要注意试卷清洁，不要在试卷上涂划；
3．必须用蓝、黑钢笔或签字笔答题，其它均无效。
一（20分）
证明两个数字矩阵 , 相似的必要条件是它们有相同的特征多项式和相同的最小多项式.
二（20分）
设 , , 为任意三个矩阵,乘积 有意义,求证：
三（20分）
, 分别是 和 矩阵,证明 .
四（20分）
设 为 元实二次型,如果有两个向量 , ,使
证明存在两个线性无关的向量 ,使
五（20分）
设 是复数域上的 维线性空间，A,B是 的线性变换，且AB=BA，证明：
一．（30分）试证：设向量组①: 线性无关，并且可由向量组②： 线性表出，则
1). ；
2).并且可适当地排列向量组②中向量的次序，使得①替换②中前 个向量后得到的向量组③: 与向量组②等价。
二．（30分）
1.设 都是 阶方阵，且 ， ,试证 。
2.试证如果两个 阶矩阵 与 的行向量组分别构成同一个齐次线性方程组的基础解系，则必定存在一个 阶满秩阵 ,使得 。
如果 是A的一个特征值，那么 （特征子空间）是B的不变子空间；
A,B至少有一个公共的特征向量。六（20分）第1页（源自2页）求矩阵 的不变因子。
七（30分）
设 是复数域上的 维线性空间，而线性变换A在基 下的矩阵是一若尔当块。证明：
中包含 的A不变子空间只有 自身；
中任一非零A不变子空间都包含 ；
不能分解成两个非平凡的A不变子空间的直和。
青岛科技大学高数C2试题参考答案
高数C2试题参考答案一、 填空题：（每小题3分，共15分）1、； 2 、12； 3、4c o s322d r d rπθπθ-⎰⎰； 4、 0 ； 5、2, 0, 1- ；二、选择题：（每小题3分，共15分）1)、B 2)、D 3)、C 4)、C 5)、A三、计算题：（每小题7分，共21分）1．解： 1) 1212(sin )1sin zf x f f x f x∂''''=⋅-+⋅=-⋅+∂ …………………………………………3分2)212222sin 2z f x f x y∂''''=-+∂∂………………………………………………………7分2.解：令cos ,sin ,02,x r y r r θθθπ==≤≤≤≤22220sin()Dx y dxdy d r rdr πθ+=⋅⎰⎰⎰ (3)分2(cos )r π=⋅- …………………………………………5分[11]2ππ=--=- …………………………………………7分3. 解：由题意知: 2,,P x Q y R z ===,显然满足高斯公式条件,则由Gauss 公式知: ……………………1分2()2(1)P Q Rxdydz ydzdx z dxdy dv z dv x y z ∑ΩΩ∂∂∂++=-++=-+∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ …………4分∴原式12022212zD dv zdv R zdz dxdy πΩΩ=--=-⋅⋅-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 23R π=-………7分四、计算题（每小题7分，共21分）1、取1:0,:22L x y =-→,221,2P y xy Q x x y =+=++ ------------------------------------------------------2分且满足Green 公式条件，记L 与1L 所围成区域为D ,则由Green 公式知:1221()()()2L L DQ P y xy dx x x y dy d x y σ+∂∂++++=-∂∂⎰⎰⎰ (1)2DDx x d d σσπ=+-==⎰⎰⎰⎰- --------------------5分∴ 1221162()()223L y xy dx x x y dy ππ=-++++=--⎰原式 ---------------7分2、（1）求对应的齐次方程20y y y '''--=的通解Y ：特征方程为220r r --=，则其特征根为122,1r r ==- ------2分∴通解为212x x Y C e C e -=+（1C 与2C 为任意常数）-------------------------------3分（2）求原方程的特解*y ：由于1λ=不是特征根，则令*()x y ax b e =+，由根的定义知：(2)()2()4x x x x ax a b e ax a b e ax b e xe ++-++-+=即224ax a b x -+-=，从而有2420a a b -=⎧⎨-=⎩，即21a b =-⎧⎨=-⎩ ∴*(1)x y x e =-+ --------6分∴原方程的一个通解为：212(1)x x x y C e C e x e -=+-+（1C 与2C 为任意常数）--------7分3、令32(,)2f x y x xy =+，则（1）22(1,1)(1,1)((1,1),(1,1))(32,4)|(5,4)x y gradf f f x y xy ==+= ---------3分（2）令(1,1)l =，则其方向余弦为cos 22αβ==，从而有：(1,1)|(1,1)cos (1,1)cos x y f f f l αβ∂=⋅+⋅=∂ --------------------------7分五、计算题（每小题8分，共16分）1、解：由题意知:该曲面的面积为：xyD A =⎰⎰ ----------------2分xyD =⎰⎰----------------4分121222(14)(14)4d d d ππθρρρρ==++⎰⎰⎰ ----------------6分1)6π=-。
青岛科技大学试题数学分析
考生答题须知1.所有题目（包括填空、选择、图表等类型题目）答题答案必须做在考点发给的答题纸上，做在本试题册上无效。
请考生务必在答题纸上写清题号。
2.评卷时不评阅本试题册，答题如有做在本试题册上而影响成绩的，后果由考生自己负责。
3.答题时一律使用蓝、黑色墨水笔或圆珠笔作答（画图可用铅笔），用其它笔答题不给分。
4.答题时不准使用涂改液等具有明显标记的涂改用品。
一（每小题10分，共20分）求极限（1）1lim ...n n →∞; （2）sin 2030sin lim x x t dt x →⎰ .二（每小题10分，共20分）求积分（1）⎰; （2）2ππ⎰.三 （20分）设222y z y a x =-,证明： 22222z z a x y ∂∂=∂∂. 四（20分）计算积分ln(1Ddxdy ⎰⎰, 其中D 为221x y +≤的上半部分.五（20分）求级数242111...1234(21)2n x x x n n+++⋅⋅-⋅的收敛区间及和函数.六（20分）计算曲线积分ln(L y x dy ++，其中L 是点(1,0)A 到点(3,0)B 的上半圆周：22(2)1(0).x y y -+=≥七（20分）计算曲面积分xdydz ydzdx zdxdy ∑++⎰⎰，其中Σ为界于0z =和3z =之间的圆柱体229x y +≤整个表面的内侧.八 （10分）设()f x 在[,]a b 连续，且()0,[,]f x x a b ≥∈,证明不等式()()()222()cos ()sin ().b b b a a a f x xdx f x xdx f x dx +≤⎰⎰⎰。
C2习题解答
习题一 定积分的概念与性质，微积分的基本公式一、单项选择题1、D2、B3、C4、C *5、D二、填空题1． 02．2xedx -<<⎰3． 04．12-6．()()f b f a -7．04π=⎰8．比较大小123xdx ---⎰>103xdx⎰三、求解题1．求下列函数的导数（1）解：()sin 2x x ϕ'= （2）解：2324262()cos 2cos 3x x x e x x e x x ϕ'=⋅-⋅ 2．求下列极限： *(1)3xx xdtt 22⎰→arcsin lim*(2) )2(1lim22n n n nn +++∞→解：230arcsin limx x x→+⎰解：21limn n→∞+202arcsin 2lim3x x xx→+=1l i m)n n→∞=++ 02arcsin 24lim33x xx→+==11l i m nn i n→∞==∑230arcsin limx x x→-⎰x =⎰20arcsin 22lim3x x xx→-⋅= 23=02arcsin 24lim33x xx→--==-故极限不存在。
3． 证明：)(x φ=dt t f t x x a2)()(⎰-=22(2)()xax xt t f t dt -+⎰=22()2()()x xx aaaxf t dt x tf t dt t f t dt -+⎰⎰⎰222()2()()2()2()()xxaax x f t dt x f x tf t dt x f x x f x ϕ'=+--+⎰⎰=2⎰-xadt t f t x )()(4． 解：(1)x y e x '=-，令0y '=，得1x =， 当1x <时，0y '<；当1x >时，0y '>，所以，函数y 在(,1)-∞内单调递减，在(1,)+∞单调递增，在1x =点处取得极小值1(1)(1)ty e t dt =-⎰=e -.习题二 定积分的换元积分法，分部积分法一、计算题1．计算下列定积分 (1)⎰--323)1(dx x (2)⎰-10212dt tet解：原式=332(1)(1)x d x ---⎰ 解：原式=211221()2t ed t ---⎰=4321(1)4x --=654-2112t e-=-121e-=-(3)⎰-π3)sin1(dx x (4)41⎰解：原式3sin dx xdx ππ=-⎰⎰ 解：原式41=⎰2(1cos )cos x d x ππ=+-⎰412=⎰301(cos cos )3x x ππ=+- 412l 1)= 43π=-32l n 2= (5)⎰+312211dx xx(6)⎰20xdx 2x πsin解：令tan x t = 解：原式201cos 22xd x π=-⎰原式234ππ=⎰ 221(c o s 2c o s 2)2x xx d x ππ=--⎰ 324sec tan t dt t ππ=⎰324cos sin t dt tππ=⎰ 211(sin 2)222xππ=---3241sin sin d t tππ=⎰341sin tππ=-4π==(7)⎰23arccos xdx (8)⎰exdx 1ln sin解：原式0arccos x x=-解：原式111sin ln cos ln ee x xx x dx x=-⋅⎰1262π=- 111s i n 1c o s l n s i n l n eee x x xx d xx=--⋅⎰1122=-⋅ 1s i n 1c o s 11s i n l nee e x d x =-+-⎰1122=+故11sin ln (1sin 1cos1)2exdx e e =+-⎰2． 解：令1x t -=，则⎰-20)1(dx x f 11()f t dt -=⎰0111111tdt dt et-=+++⎰⎰令te u =，则1011111(1)tedt du eu u--=++⎰⎰1111()1edu uu-=-+⎰11ln1eu u-=+ln 2ln(1)e =-++11001ln(1)ln 21dt t t=+=+⎰⎰-2)1(dx x f ln(1)e =+二、证明题1．证明：令1x t =-，则()111(1)nm m nx x dx t t dt -=--⎰⎰10(1)m nt t dt =-⎰1(1)m nx x dx =-⎰2．证明：令x t =-，则()()b bbbf x dx f t dt --=--⎰⎰()b bf x dx -=-⎰3．证明：令1x t=，则111222111()11xx dx dt xtt-=-++⎰⎰12111xdt t=+⎰12111xdx x=+⎰4．证明：0()()x x f t dt ϕ--=⎰，令t u =-，则00()()()xxx f t dt f u du ϕ--==--⎰⎰ 又()f u 是奇函数()x f u du =⎰)x ϕ=（即⎰=xdt t f x 0)()(ϕ是偶函数.习题三 广义积分，定积分的几何应用一、选择题1. B2. C3. D二、填空题1．定积分⎰∞+11dx xα在α1≤时发散，α >1 时收敛，收敛于11α-；定积分⎰11dx xα在α1≥时发散，α <1 时收敛，收敛于11α-2.Γ函数中，1()2Γ=(4)6Γ=，()(1)(1)r r r Γ=-Γ-.三、计算题1．判断下列反常积分是否收敛，若收敛计算其值(1)dx xx 1e2⎰+∞ln(2)()dx x 1x11002⎰∞++解：原式21ln ln ed x x+∞=⎰解：原式()21001(1)2(1)11x x dx x +∞+-++=+⎰ln ex+∞=-=-∞发散 ()()()98991001121()(1)111d x x x x +∞=-+++++⎰242979899=-+(3)⎰-111dx x(4)⎰1ln xdx解：原式10(1)x =--⎰解：原式10(ln 1)x x =-1122(1)x =--2= 1=-2．解：⎰∞+2)(ln 1dx x x k21ln (ln )k d x x +∞=⎰212ln ln 11(ln ) 11k x k x k k+∞-+∞⎧=⎪=⎨≠⎪-⎩ 11ln 211k k k k -≤⎧⎪=⎨>⎪-⎩发散 令1(ln 2)()1xf x x -=-，则112(ln 2)ln ln 2(1)(ln 2)()(1)xxx f x x ---⋅--'=-11ln ln 2x =-为驻点，且111ln ln 2x <<-时，()0f x '<；11ln ln 2x >-时，()0f x '>，所以11ln ln 2k =-时，⎰∞+2)(ln 1dx x x k1(ln 2)1kk -=-取得最小值。
青岛市青大附中高中数学选修2-2第四章《定积分》测试题(包含答案解析)
一、选择题1．12201x dx -=⎰（ ）A ．12πB ．3128π+C ．368π+D ．364π+ 2．如图所示的阴影部分是由x 轴，直线1x =及曲线1x y e =-围成，现向矩形区域OABC 内随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率是（ ）A ．1eB ．11e - C ．11e-D ．21e e -- 3．若函数()32nxf x x x =++在点()1,6M 处切线的斜率为33ln3+，则n 的值是（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．34．设函数()f x 是R 上的奇函数， ()()f x f x π+=-，当02x π≤≤时，()cos 1f x x =-，则22x ππ-≤≤时， ()f x 的图象与x 轴所围成图形的面积为（ ）A ．48π-B ．24π-C ．2π-D ．36π-5．如图，设D 是途中边长分别为1和2的矩形区域，E 是D 内位于函数1(0)y x x=>图象下方的阴影部分区域，则阴影部分E 的面积为（ ）A ．ln 2B ．1ln 2-C ．2ln 2-D ．1ln 2+6．曲线22y x x =-与直线11x x =-=，以及x 轴所围图形的面积为（ ） A ．2 B ．83 C ．43 D ．237．等比数列{}n a 中，39a =，前3项和为3230S x dx =⎰，则公比q 的值是（ ）A ．1B ．12-C ．1或12-D ．1-或12- 8．若在R 上可导,,则( )A ．B ．C ．D ．9．已知二次函数()y f x =的图像如图所示 ，则它与x 轴所围图形的面积为（ ）A ．25π B ．43C ．32D ．2π 10．已知幂函数a y x =图像的一部分如下图，且过点(2,4)P ，则图中阴影部分的面积等于（ ）A ．163B ．83C ．43D ．2311．已知125113,log ,log 3,a a x dx m a n p a-====⎰，则 （ ） A ．m n p << B ．m p n <<C ．p m n <<D ．p n m <<12．曲线2y x 与直线y x =所围成的封闭图形的面积为（ ）A ．16B ．13C ．12D ．56二、填空题13．2322(4)x x dx --=⎰___________14．曲线y x =21y x =-及x 轴所围成的封闭图形的面积为 ____．15．两个函数12y x =与2y x =-，它们的图象及y 轴围成的封闭图形的面积为______ 16．曲线()sin 0πy x x =≤≤与x 轴围成的封闭区域的面积为__________．17．1201x dx -=⎰__________．18．设函数()f x 的图象与直线,x a x b ==及x 轴所围成图形的面积称为函数()f x 在[],a b 上的面积，已知函数()sin f x nx =在0,2n π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的面积为1n ()*n N ∈，则函数()()sin 32f x x π=-+在4,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的面积为__________．19．若()()4112ax x -+的展开式中2x 项的系数为4，则21ae dx x=⎰________________ 20．若，则的值是__________．三、解答题21．如图，四边形ABCD 为菱形，60DAB ∠=︒，ED ⊥面ABCD ，EF AB ∥，22ED AD EF ===，M 为BC 的中点．（1）求证：FM ∥平面BDE ；（2）若G 为线段BE 上一点，当三棱锥B GCD -的体积为239时，求BG BE 的值．22．如图计算由直线y ＝6－x ，曲线8y x =以及x 轴所围图形的面积．23．已知()xkx bf x e +=． （Ⅰ）若()f x 在0x =处的切线方程为1y x =+，求k 与b 的值；（Ⅱ）求1x xdx e ⎰． 24．（1）求曲线2y x 和曲线y x =围成图形的面积；（2）化简求值：cos20cos351sin 20︒︒︒-．25．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -中，E 为AB 的中点.求：（1）异面直线1BD 与CE 所成角的余弦值； （2）点A 到平面1A EC 的距离.26．根据《山东省全民健身实施计划（2016-2020年）》，到2020年乡镇（街道）普遍建有“两个一”工程，即一个全民健身活动中心或灯光篮球场、一个多功能运动场.某市把甲、乙、丙、丁四个多功能运动场全部免费为市民开放.（1）在一次全民健身活动中，四个多功能运动场的使用场数如图，用分层抽样的方法从甲、乙、丙、丁四场馆的使用场数中依次抽取a ，b ，c ，d 共25场，在a ，b ，c ，d 中随机取两数，求这两数和ξ的分布列和数学期望；（2）设四个多功能运动场一个月内各场使用次数之和为x ，其相应维修费用为y 元，根据统计，得到如下表的y 与x 数据：x10 15 20 25 30 35 40 y23022708 2996 3219 3401 3555 3689 10013102yz e =+ 2.49 2.993.554.004.494.995.49（i ）用最小二乘法求z 与x 之间的回归直线方程；（ii ）40yx +叫做运动场月惠值，根据（i ）的结论，试估计这四个多功能运动场月惠值最大时x 的值.参考数据和公式：4z =，()721700ii x x =-=∑，()()7170i i i x x z z =--=∑，320e =，()()()71721ˆiii ii x x z z bx x ==--=-∑∑，a y bx =-.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】令21y x =-，则()2210x y y +=≥，点(),x y 的轨迹表示半圆，则该积分表示该半圆与y 轴，12x =，x 轴围成的曲边梯形的面积，求出面积即可. 【详解】解：令21y x =-，则()2210x y y +=≥，点(),x y 的轨迹表示半圆，12201x dx -⎰表示以原点为圆心，2为半径的圆的上半圆与y 轴，12x =，x 轴围成的曲边梯形的面积，如图：故12201131311222612OABBOC x dx SS ππ-=+=⨯⨯⨯=+扇形.故选：B. 【点睛】本题考查定积分的几何意义，属基础题.2．D解析：D 【解析】试题分析：由几何概型可知，所求概率为.考点：几何概型、定积分．3．A解析：A【解析】由题意，得()13ln32n x f x nx-=++'， ()13ln3233ln3f n =++=+'，所以1n =；故选A.4．A解析：A【解析】由题设()()()()2f x f x f x f x ππ+=-⇒+=，则函数()y f x =是周期为2π的奇函数，画出函数()[],0,2y f x x π=∈的图像，结合函数的图像可知：只要求出该函数(),0,2y f x x π⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦的图像与x 轴所围成的面积即可。
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高数C2试题
一、填空题（每小题3分，共15分）
1．已知(1,2,5), (3,1,2)a b == ，则b
Prj a = 。
2．设函数3(2)arctan y y z x e x x
=+-，则(2,0)x z '=________. 3．若积分区域为22D :4x y x +≤，则二重积分
22()D x y d σ+⎰⎰化为极坐标下的二次积
分为 。
4．设L 是从(1,1)O -到(1,1)A 的曲线2y x =，则曲线积分3L x ds =⎰ 。
5．已知幂级数∑∞=1n n x
的收敛半径为3，则下列x 值4, 3, 2, 0, 1, 3--中必为收敛点
的
是 。
二、选择题（每小题3分，共15分）
1．微分方程2234()()0xy y x y y y ''''+-=的阶数为（ ）
()A 1 ()B 2 ()C 3 ()D 4
2．已知(2)(64)x ay dx x y dy +++为某一函数的全微分，则a =（ ）
()A 0 ()B 1； ()C 2； ()D 3
3．若L 是圆周224x y +=的顺时针方向，则曲线积分
L xdy ydx -=⎰ （ ）。
()A 4π ()B
4π- ()C 8π- ()D 8π 4．若级数1n n u
∞=∑条件收敛，则级数1n n u ∞=∑（ ）。
()A 可能收敛 ()B 可能发散 ()C 必发散 ()D 敛散性不能确定
5．以2π为周期的函数在[,)ππ-上的表达式为2, 0(),0x x f x x x ππ
⎧-≤<⎪=⎨≤<⎪⎩，其傅里叶级
数的和函数为(),s x 则()s π=（ ）。
第1页，共2页
()A 22ππ
- ()B 2π ()C π- ()D 2ππ-.
三、计算题（每小题7分，共21分）
1、设(cos ,2)z f x x y =+，其中f 具有二阶连续偏导数，求2,z z x x y
∂∂∂∂∂。
2、利用极坐标计算二重积分22sin()D x
y dxdy +⎰⎰，其中22:4D x y ππ≤+≤。
3、利用高斯公式计算曲面积分2xdydz ydzdx z dxdy ∑++⎰⎰ ，其中∑为由柱面
222x y R +=，平面0,1z z ==所围柱体的整个边界曲面，取内侧。
四、计算题（每小题7分，共21分）
1、利用格林公式计算22
1()()2L y xy dx x x y dy ++++⎰，其中L 是从点(0,2)A 沿右半
圆
周x =(0,2)B -的弧段。
2、求微分方程24x y y y xe '''--=的通解。
3、求函数322z x xy =+在点A （1，1）的梯度及在该点处沿着从点A （1，1）到点 B （2，2）的方向的方向导数。
五、计算题（每小题8分，共16分）
1、求曲面221z x y =--（0z ≥）的面积。
2、求幂级数11(23)n n n x
∞
-=+∑的收敛半径、收敛域及和函数。
六、证明题（每小题6分，共12分）
1、证明级数1
1(1)ln n n n n -∞
=--∑是条件收敛的。
2、设函数(,)z f x y =是由方程2222(,)0z x z y ϕ--=确定的函数，其中函数(,)u v ϕ一阶偏导数存在且连续，求证：
111z
z z x x y y ∂∂+=∂∂。