乘法公式与因式分解——基础知识
乘法公式与因式分解——基础知识
总结
完全平方公式的变形 a²+b²=(a+b) ²-2ab a²+b²=(a-b) ²+2ab 2ab=(a+b) ²-(a²+b²) 2ab=(a²+b²)-(a-b) ² (a-b) ²=(a+b) ²-4ab
因式分解及其相关概念
• 因式分解：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解。
提公因式法
• 若一个多项式的各项有公因式，则可将公因式提到括号外面，这种把多
项式因式分解的方法叫做提公因式法。
例
因式分解。
(1) a³-a², (2) (1-3a) ²-3(1-3a), (3) (a+2) ²+a+2.
有了这些乘法公式，我们就可以进行因式 分解了。
因式分解
因式分解及其相关概念
公因式：多项式中各项都含有的相同因式叫做这个多项式的公因式 确定公因式的方法： ①对于系数，若各项系数都为整数，则取各项系数的绝对值的最大公因数作为公因式 的系数，若有需要，还可以将负号提出，作为公因式的一部分。 ②对于字母，应取各项中相同的字母，且各项的相同字母的次数取其最低的。
平方差公式的变形 (b+a)(-b+a)=a²-b² (-a-b)(a-b)=b²-a² (a²+b²)(a²-b²)=(a²) ²-(b²) ²
平方差公式：(a+b)(a-b)=a²-b²
完全平方公式： a²±2ab+b²=(a±b) ²
因式分解 ： 把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解。
(完整版)乘法公式和因式分解知识点
乘法公式和因式分解（一）、知识点：1、单项式乘单项式：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
2、单项式乘多项式：单项式与多项式相乘，用单项式乘多项式的的每一项，再把所得的积相加。
m(a+b－c)＝ma+mb－mc3、多项式乘多项式：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd(二)、知识要点 1、乘法公式2、因式分解因式分解：（1）把一个多项式写成几个整式的积的形式叫做多项式的因式分解。
注、公因式：各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。
（2）多项式的乘法与多项式因式分解的区别简单地说：乘法是积化和，因式分解是和化积。
3、因式分解的方法： （1）、提公因式法：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
（2）、运用公式法：运用乘法公式把一个多项式因式分解的方法叫运用公式法。
（3）、分组分解法：把各项适当分组，先使分解因式能分组进行，再使分解因式在各组之间进行． （4）、十字相乘法：有些二次三项式，可以把第一项和第三项的系数分别分解为两个数之积，然后借助画十字交叉线的方法，把二次三项式进行因式分解，这种方法叫十字相乘法。
简单的说十字相乘法就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。
注意：十字相乘法不是适合所有二次三项式，只有在一次项系数和二次项系数以及常数项存在一种特殊关系时才能用，这个特殊关系我们通过例题来说明： 注意：我们在用十字相乘法之前一定要根据第一步判断是否能用十字相乘法。
我们在分解常数项和二次项系数时变化多端，目的是交叉相乘之和要等于一次项系数，如何分配常数项和二次项系数要根据情况而定。
整式的乘法与因式分解
整式的乘法与因式分解基础知识1 同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
注意底数可以是多项式或单项式。
2 幂的乘方，底数不变，指数相乘。
3、积的乘方法则：nn n b a ab =)(（n 是正整数）积的乘方，等于各因数乘方的积。
4、同底数幂的除法法则：nm n m a a a -=÷（n m a ,,0≠都是正整数，且)n m同底数幂相除，底数不变，指数相减。
5、零指数和负指数；10=a ，即任何不等于零的数的零次方等于1。
p p a a 1=-（p a ,0≠是正整数），即一个不等于零的数的p -次方等于这个数的p 次方的倒数。
也可表示为：ppn m m n ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-（m ≠0，n ≠0，p 为正整数）6、单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单 项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
①积的系数等于各因式系数的积，先确定符号，再计算绝对值。
②相同字母相乘，运用同底数幂的乘法法则。
③只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式 ④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。
⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。
7、单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加， 即mc mb ma c b a m ++=++)((c b a m ,,,都是单项式)①积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同。
②运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号。
③在混合运算时，要注意运算顺序，结果有同类项的要合并同类项。
8、多项式与多项式相乘的法则；多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再 把所的的积相加。
9、单项式的除法法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式 里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
10、多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，在把所的 的商相加。
乘法公式与因式分解
乘法公式与因式分解乘法公式和因式分解是数学中常见的概念和工具。
它们在各个数学领域都有广泛的应用，尤其是在代数和方程中。
本文将详细介绍乘法公式和因式分解的概念、原理和应用。
一、乘法公式乘法公式是指将两个或多个数相乘所遵循的规则。
在代数中，乘法公式往往涉及到字母表示的变量和表达式。
以下是常见的乘法公式：1. 两个数的乘积等于它们的因数相乘：a * b = b * a。
2. 两个数相乘再乘以另一个数等于每个因数分别乘以这个数再相乘：(a * b) * c = a * (b * c)。
3. 任何数与1相乘等于它本身：a * 1 = a。
4. 任何数与0相乘等于0：a * 0 = 0。
乘法公式在解决方程、计算等多个数学问题中起着重要作用。
它们能够简化计算过程、发现规律、推导定理等。
二、因式分解因式分解是将一个数或表达式分解成多个因数相乘的过程。
它是乘法公式的逆运算。
因式分解在求解方程、因式的化简和分析函数图像等方面具有重要意义。
1. 将一个数分解成质因数的乘积是因式分解的基本思想。
质因数是指只能被1和自身整除的数，如2、3、5、7等。
例如，将12分解成质因数的乘积等于2 * 2 * 3。
2. 除法和因式分解之间有密切的关系。
将一个数分解成两个因数相乘，可以使用除法的思想。
例如，用因式分解的方法将24分解成2 * 12，相当于24除以2得到12。
3. 多项式的因式分解需要应用乘法公式的原理。
对于多项式，我们可以先找出公因式，然后使用乘法公式将多项式分解为多个因式相乘的形式。
例如，将x^2 - 4分解成(x - 2)(x + 2)。
因式分解不仅在代数中有重要应用，也在数论、几何等数学分支中有广泛的运用。
它能够帮助我们更好地理解数学问题，简化运算，并发现问题的规律和性质。
三、乘法公式与因式分解的应用乘法公式和因式分解在数学中有广泛的应用。
以下列举其中几个常见的应用：1. 方程的求解：通过应用乘法公式和因式分解，我们可以将方程进行变形和化简，从而更容易求得方程的解。
乘法公式与因式分解
乘法公式与因式分解乘法公式和因式分解是数学中重要的概念和方法。
乘法公式是指计算两个或多个数的乘积的规则，而因式分解是将一个多项式分解为其因子的过程。
在本文中，我将详细介绍乘法公式和因式分解的概念、应用和相关的数学知识。
一、乘法公式乘法公式是数学中常用的计算乘积的方法。
常见的乘法公式包括加法乘法公式、减法乘法公式、平方差公式和立方差公式等。
1. 加法乘法公式加法乘法公式是指将一个数的乘积转化为一系列加法运算的规则。
例如，对于两个数a和b，它们的乘积可以表示为(a+b)(a-b)=a^2-b^2。
这个公式可以通过展开括号和合并同类项来证明。
2. 减法乘法公式减法乘法公式是指将一个带有减法的乘积转化为一系列加法运算的规则。
例如，对于两个数a和b，它们的乘积可以表示为(a-b)(a+b)=a^2-b^2。
这个公式可以通过展开括号和合并同类项来证明。
3. 平方差公式平方差公式是指将一个数的平方差转化为一个差的平方的规则。
例如，对于两个数a和b，它们的平方差可以表示为(a-b)(a+b)=a^2-b^2。
这个公式可以通过展开括号和合并同类项来证明。
4. 立方差公式立方差公式是指将一个数的立方差转化为一个差的立方的规则。
例如，对于两个数a和b，它们的立方差可以表示为(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3。
这个公式也可以通过展开括号和合并同类项来证明。
二、因式分解因式分解是将一个多项式分解为其因子的过程。
在因式分解中，我们要找到多项式中的公因式，然后将多项式分解为公因式和余项的乘积。
因式分解在解方程、求极值和简化计算等方面具有重要的应用。
常见的因式分解方法包括公因式提取法、配方法和因式定理等。
1. 公因式提取法公因式提取法是指将多项式中的公因式提取出来，然后将多项式分解为公因式和余项的乘积。
例如，对于多项式4x+8，我们可以提取公因式4，然后将这个多项式分解为4(x+2)。
2. 配方法配方法是指将一个多项式分解为两个因子的乘积的规则。
初升高衔接乘法公式与因式分解
一、公式法(立方和、立方差公式)
a3 b3 (a b)(a2 ab b2 ) a3 b3 (a b)(a2 ab b2 )
2．一般二次三项式 ax2 bx c 型的因式分解
大家知道， (a1x c1)(a2 x c2 ) a1a2 x2 (a1c2 a2c1 )x c1c2 ．
反过来，就得到： a1a2 x2 (a1c2 a2c1)x c1c2 (a1x c1)(a2 x c2 )
两个数的立方和(差)，等于这两个数的和(差)乘 以它们的平方和与它们积的差(和)．
【例1】因式分解：
(1) 8 x3
(2) 0.125 27b3
解 : (1) 8 x3 23 x3 (2 x)(4 2x x2 ).
(2) 0.125 27b3 0.53 (3b)3 (0.5 3b)[0.52 0.5 3b (3b)2] (0.5 3b)(0.25 1.5b 9b2 ).
分解因式：x3 9x 8
解法3：原式=9x3 8x3-9x 8 =9x3-9x 8x3 8 =9x(x 1)(x 1) 8(x 1)(x2 x 1) =(x 1)(x2 x 8)
解法4：原式=x3 x2 x2 9x 8 =x（2 x-1)+(x-8)(x-1) =（x-1)(x2 x 8)
(x 1)(x 6)
练习应用： （1）x2 3x 2 （2） x2 2x 15 （3） x 2 + x 20
【全】初中数学整式的乘法与因式分解知识点总结
整式的乘法与因式分解第一节：整式的乘法1．同底数幂的乘法一般地，对于任意底数a与任意正整数m，有(m、n都是正整数)。
即同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
该乘法法则是幂的运算中最基本的法则。
在应用法则运算时，要注意以下几点:①法则使用的前提条件是：幂的底数相同而且是相乘时，底数a可以是一个具体的数字式字母，也可以是一个单项或多项式；②指数是1时，不要误以为没有指数；③不要将同底数幂的乘法与整式的加法相混淆，对乘法，只要底数相同指数就可以相加；而对于加法，不仅底数相同，还要求指数相同才能相加；④当三个或三个以上同底数幂相乘时，法则可推广为（其中m、n、p均为正整数）；⑤公式还可以逆用：（m、n均为正整数）。
2．幂的乘方一般地，对任意底数a与任意正整数m、n，有(m、n都是正整数)。
即幂的乘方，底数不变，指数相乘。
该法则是幂的乘法法则为基础推导出来的，但两者不能混淆。
另有：（m、n都是正整数）。
当底数有负号时,运算时要注意,底数是a与(-a)时不是同底，但可以利用乘方法则化成同底，如将(-a)3化成-a3。
底数有时形式不同，但可以化成相同。
要注意区别(ab)n与(a+b)n意义是不同的，不要误以为(a+b)n=a n+b n（a、b均不为零）。
3.积的乘方法则一般地，对于任意底数a、b与任意正整数n，有（n为正整数）。
即积的乘方，等于把积每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
幂的乘方与积乘方法则均可逆向运用。
4.整式的乘法1）单项式乘法法则:单项式相乘,把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式。
单项式乘法法则在运用时要注意以下几点：①积的系数等于各因式系数积，先确定符号，再计算绝对值。
这时容易出现的错误的是，将系数相乘与指数相加混淆；②相同字母相乘，运用同底数的乘法法则；③只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数作为积的一个因式；④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用；⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。
多项式的乘法公式与因式分解知识点
多项式的乘法公式与因式分解知识点多项式是数学中一种常见且重要的表达式形式，它包含一个或多个项，每个项又由变量的幂次和系数组成。
在代数学中，多项式的乘法公式和因式分解是两个关键的知识点，它们在数学运算和问题求解中具有重要作用。
本文将分别介绍多项式的乘法公式和因式分解的相关知识点。
一、多项式的乘法公式多项式的乘法公式用于展开多项式之间的乘法运算，其基本形式如下所示：(A + B) * (C + D) = AC + AD + BC + BD这个公式可以推广到更多项的情况，例如：(A + B + C) * (D + E + F) = AD + AE + AF + BD + BE + BF + CD +CE + CF通过乘法公式，我们可以将多项式之间的乘法运算转化为求和的形式，简化了计算过程。
在实际应用中，多项式的乘法公式可以用于展开和处理复杂的代数表达式。
例如，多项式的乘法公式可以应用于计算两个多项式的乘积，求解方程组，展开指数表达式等等。
在求解数学题目和实际问题时，熟练掌握乘法公式是必不可少的。
二、多项式的因式分解因式分解是将一个多项式表示为若干个乘积的形式，每个乘积称为因式。
因式分解是多项式的逆运算，它可以将一个复杂的多项式拆解成简单的因子，从而便于我们进行进一步的计算和分析。
在因式分解中，常见的因式分解方法包括提公因式法、分组公式法、配方法等。
这些方法在实际应用中根据具体的多项式形式和问题需求选择使用。
例如，我们可以通过提公因式法将多项式x^2 + 2x + 1进行因式分解：x^2 + 2x + 1 = (x + 1) * (x + 1) = (x + 1)^2通过因式分解，我们将原本复杂的多项式转化为一个简单的乘积形式，便于进一步的计算和分析。
因式分解在代数学中非常重要，它与多项式的根、因数关系密切相关。
通过因式分解，我们可以确定多项式的根，进而求解方程。
同时，因式分解还有助于简化代数式，简化计算过程，提高求解效率。
乘法公式与因式分解
乘法公式与因式分解乘法公式和因式分解是数学中重要的概念和操作，它们在代数运算、方程求解、多项式的化简等方面具有广泛的应用。
本文将介绍乘法公式和因式分解的概念、性质以及应用。
一、乘法公式乘法公式是指在对两个或多个数进行乘法运算时，有一些特定的规律可以简化运算过程。
其中，常见的乘法公式包括：1. 乘法交换律：a × b = b × a乘法交换律指出，两个数的乘积与它们的顺序无关。
2. 乘法结合律：(a × b) × c = a × (b × c)乘法结合律指出，三个数相乘时，可以按照不同的顺序进行运算，最终结果相同。
3. 乘法分配律：a × (b + c) = a × b + a × c乘法分配律指出，一个数与括号中的和相乘，等于这个数分别与和中的每个数相乘之后再相加。
以上三个乘法公式是数学运算中常用的基本规律，能够简化计算过程，提高效率。
二、因式分解因式分解是将一个数或者多项式表示为两个或多个因子的乘积的过程。
因式分解有助于化简复杂的表达式、解方程和求极限。
1. 常见因式分解公式(1) 完全平方差公式：a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)该公式表示一个完全平方式减去另一个完全平方式的结果可以被分解为两个因子的乘积。
(2) 三项平方差公式：a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)该公式表示一个立方形式减去另一个立方形式的结果可以被分解为两个因子的乘积。
2. 因式分解的应用(1) 化简表达式：通过因式分解，可以将复杂的代数表达式转化为简单的因式乘积形式，便于计算和理解。
(2) 解方程：因式分解是求解一元高次方程的重要方法之一。
通过将方程进行因式分解，可以将原方程化简为多个一次方程的乘积形式，从而找到方程的解。
(3) 求极限：在一些复杂的极限求解问题中，通过因式分解可以将被极限运算影响的部分拆分为若干个因子，从而简化运算过程。
整式的乘法和因式分解知识点汇总
整式的乘法和因式分解知识点汇总整式乘除与因式分解一、知识点1.幂的运算性质：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
即，am·an＝am＋n（m、n为正整数）。
例如：(－2a)2(－3a2)3 = 4a2·-27a6 = -108a8.2.幂的乘方性质：幂的乘方，底数不变，指数相乘。
即，a(mn)＝(am)n（m、n为正整数）。
例如：(－a5)5 = (-1)5·a25 = a25.3.积的乘方性质：积的乘方等于各因式乘方的积。
即，(ab)n = an·bn（n为正整数）。
例如：(－a2b)3 = (-1)3·a6·b3 = -a6b3.4.幂的除法性质：同底数幂相除，底数不变，指数相减。
即，a/m ÷ a/n = a(m-n)（a≠0，m、n都是正整数，且m＞n）。
例如：(1) x8÷x2 = x6；(2) a4÷a = a3；(3) (ab)5÷(ab)2 = a3b3.5.零指数幂的概念：a0 = 1（a≠0）。
任何一个不等于零的数的零指数幂都等于1.例如：若(2a-3b)0=1成立，则a,b满足任何条件。
6.负指数幂的概念：a-p = 1/ap（a≠0，p是正整数）。
任何一个不等于零的数的-p（p是正整数）指数幂，等于这个数的p指数幂的倒数。
例如：(m/n)-2 = n2/m2.7.单项式的乘法法则：单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
例如：(1) 3a2b·2abc·abc2 = 6a4b2c3；(2) (-m3n)3·(-2m2n)4 = -8m14n7.8.单项式与多项式的乘法法则：单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加。
例如：(1) 2ab(5ab+3ab) = 16a2b2；(2) (ab2-2ab)·ab = a2b3-ab2.9.多项式与多项式的乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加。
乘法公式与因式分解
乘法公式与因式分解乘法公式、多项式与因式分解1.乘法公式1.$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$（和的平方）2.$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$（差的平方）3.$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$（平方差）4.$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$（乘法分配律）5.$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac$（三项和的平方）6.$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$（和的立方）7.$(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$（差的立方）8.$(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3$（立方和）9.$(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3$（立方差）10.$(a+ab+b)(a-ab+b)=a^3+b^3$（立方和）2.求值公式：1.$a+b=(a+b)^2-2ab=(a-b)^2+2ab$若已知$a+b$和$ab$，欲求$a-b$时，需先算出$(a-b)^2$，再用平方根来求）2.$x+\frac{1}{2}x^2=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2-\frac{1}{4}$3.$a+b+c+ab+bc+ca=\left(a+b\right)^2+\left(b+c\right)^2+\le ft(c+a\right)^2$4.$a+b=(a-b)+4ab$5.$a-b=(a+b)-4ab$3.乘法公式的应用与式子的展开：1.$(ax+b)(cx+d)=acx^2+(ad+bc)x+bd$2.$(ax+b)^2=a^2x^2+2abx+b^2$3.$(ax-b)^2=a^2x^2-2abx+b^2$4.$(ax+b)(ax-b)=a^2x^2-b^2$5.$(-ax+b)^2=(ax-b)^2$；$(-ax-b)^2=(ax+b)^2$主题二：多项式1.多项式的定义：由数和文字符号$x$进行加法和乘法运算所构成的式子。
多项式的因式分解与乘法公式
多项式的因式分解与乘法公式多项式在代数学中扮演着至关重要的角色。
本文将介绍多项式的因式分解与乘法公式，并探讨它们在解决实际问题中的应用。
一、因子与因式分解多项式的因子是能够整除该多项式以得到一个整数结果的多项式。
例如，2是4的因子，而x-x^2是x^3-x^2的因子。
因式分解是将一个多项式表示成若干个不可再分解的因式相乘的形式。
这种表示有助于我们理解多项式的结构，并在求解方程、简化计算等方面发挥重要作用。
例如，多项式x^2-4可以因式分解为(x+2)(x-2)，其中(x+2)和(x-2)是其因子。
我们可以通过使用因式分解，将一个复杂的多项式转化为简单的乘法运算，从而更容易进行求解和运算。
在进行因式分解时，我们需要了解一些常见的因式分解形式，如下所示：1. 按因式的形式分解- 相加减法公式：a^2-b^2=(a+b)(a-b)。
例如，x^2-4=(x+2)(x-2)。
- 完全平方公式：a^2+2ab+b^2=(a+b)^2。
例如，x^2+4x+4=(x+2)^2。
- 完全立方公式：a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=(a+b)^3。
例如，x^3+6x^2+12x+8=(x+2)^3。
2. 按因式的类型分解- 因式分解为一次因式的乘积。
例如，x^2-4x=x(x-4)。
- 因式分解为二次因式的乘积。
例如，x^2-4=(x+2)(x-2)。
- 因式分解为三次因式的乘积。
例如，x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)。
当然，以上仅仅是因式分解的一部分常见形式。
实际问题中，往往需要根据具体情况进行因式分解，并利用分解结果进行后续的计算。
二、乘法公式乘法公式是多项式扩展运算的基础。
通过运用乘法公式，我们可以将多项式相乘的计算简化为更小规模的计算。
下面是常见的乘法公式：1. 二次乘法公式：(a+b)^2=a^2+2ab+b^2。
例如，(x+2)^2=x^2+4x+4。
2. 三次乘法公式：(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3。
乘法公式与因式分解
乘法公式与因式分解乘法公式和因式分解是数学中常见且重要的概念。
它们在代数运算和解决各种数学问题时起着关键作用。
本文将详细介绍乘法公式和因式分解的概念、应用以及解题方法。
一、乘法公式乘法公式是指一些常见的数学公式，用于求解乘法式子的结果。
常见的乘法公式包括：1. 两个整数相乘：a × b = c2. 平方的乘法公式：(a + b) × (a - b) = a^2 - b^23. 两个二次根式相乘：(a + b) × (c + d) = ac + ad + bc + bd4. 两个多项式相乘：(a + b)(c + d + e) = ac + ad + ae + bc + bd + be这些乘法公式在解决数学问题和代数运算时非常有用。
通过熟练掌握这些公式，可以简化计算过程，提高解题效率。
二、因式分解因式分解指将一个多项式分解成若干个乘法因子的过程。
因式分解的目的是简化多项式的形式，方便问题的求解。
因式分解可以根据多项式的不同形式采用不同的方法。
1. 提公因式法：对于一个多项式，如果各项之间存在公因子，可以将公因子提到括号外，并将其余部分化简为一个新的多项式。
例如，对于表达式4x + 8y，可以提取出2作为公因子，得到2(2x + 4y)。
2. 二次因式分解法：对于一个二次多项式，可以通过因式分解的方法将其分解为两个一次因式的乘积。
例如，对于多项式x^2 + 5x + 6，可以进行二次因式分解，得到(x + 2)(x + 3)。
3. 公式法：对于一些特定的多项式，可以利用一些常见的因式分解公式进行分解。
例如，对于多项式x^2 - 4，可以使用平方差公式进行因式分解，得到(x + 2)(x - 2)。
因式分解在解决代数方程、求解方程根和简化运算等方面具有广泛的应用。
熟练掌握因式分解的方法和技巧，可以帮助我们更好地解决各种数学问题。
三、应用举例下面通过几个具体的数学问题来展示乘法公式与因式分解的应用。
整式的乘法和因式分解知识点汇总
整式的乘法和因式分解知识点汇总1.一元整式的乘法：一元整式是只含有一个变量的整式，例如3x^2+2x+1、一元整式的乘法就是将两个一元整式相乘，可以使用分配律和合并同类项的方法。
例如：(3x+2)(2x-5)=3x*2x+3x*(-5)+2*2x+2*(-5)=6x^2-15x+4x-10=6x^2-11x-102.多项式的乘法：多项式是含有多个项的整式，例如(3x+2)(2x-5)。
多项式的乘法可以通过将每个项相乘，并使用分配律和合并同类项的方法进行简化。
例如：(3x+2)(2x-5)=3x*2x+3x*(-5)+2*2x+2*(-5)=6x^2-15x+4x-10=6x^2-11x-103.完全平方公式：完全平方公式是一种特殊的乘法形式，将一个一元二次多项式乘积进行简化。
完全平方公式为(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2例如：(x+3)(x+3)=x^2+2*x*3+3^2=x^2+6x+9因式分解知识点汇总：1.因式分解的基本思想：因式分解是将一个多项式表示为若干个乘积的形式，其中每个乘积称为一个因式。
通过因式分解，可以简化计算和解决问题。
2.因式分解的基本方法：2.1提取公因式：将多项式中的公因式提取出来，得到一个公因式和一个因式为公因式的多项式。
例如：2x^2+4x=2x(x+2)2.2公式法：使用已知的公式，例如完全平方公式、差平方公式等，将多项式进行因式分解。
例如：x^2-9=(x+3)(x-3)2.3分组分解法：将多项式中的各项进行分组，并找出可以进行因式分解的共同因式。
例如：ax + bx + ay + by = (a + b)(x + y)2.4平方差公式：将一个二次多项式表示为两个平方的差。
例如：x^2-4=(x+2)(x-2)2.5公因式平方差公式：将一个二次多项式表示为公因式的平方减去另一个平方。
例如：x^2-y^2=(x+y)(x-y)2.6公式的逆运算：将一个多项式进行展开，得到可以进行因式分解的形式。
整式的乘法和因式分解知识点汇总
整式的乘法和因式分解知识点汇总整式乘除与因式分解在研究代数的过程中，整式乘除与因式分解是非常重要的知识点。
下面将对这些知识点进行详细讲解。
一．幂的运算性质幂的运算性质是代数中最基本的知识之一。
其中，同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘。
例如，对于表达式(－2a)2(－3a2)3，可以先计算幂的乘方，然后再将同底数幂相乘。
二．乘方的运算乘方的运算也是代数中的基本知识。
根据乘方的运算法则，积的乘方等于各因式乘方的积。
例如，对于表达式(－a5)5，可以将其分解为a的5次方的积，然后再进行乘方运算。
三．同底数幂的除法同底数幂的除法也是代数中的基本知识之一。
根据同底数幂的除法法则，同底数幂相除，底数不变，指数相减。
例如，对于表达式x÷x，可以将其化简为x的0次方，即1.四．零指数幂和负指数幂在代数中，零指数幂和负指数幂也是非常重要的概念。
任何一个不等于零的数的零指数幂都等于1；任何一个不等于零的数的负指数幂，等于这个数的指数幂的倒数。
例如，对于表达式(2a3b)1，可以通过代数式的运算，求出a和b的取值范围。
五．单项式和多项式的乘法单项式和多项式的乘法也是代数中的基本知识之一。
对于单项式相乘，需要将系数和同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
对于单项式与多项式相乘，需要用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加。
对于多项式与多项式相乘，需要先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加。
通过对整式乘除与因式分解的研究，可以更好地理解代数的基本概念和运算法则，为后续的研究打下坚实的基础。
1.计算 (3×10^8)×(-4×10^4) = -1.2×10^132.计算 2x·(-2xy)·(-3) = 12x^2y3.若n为正整数，且x^(2n)=3，则(3x^(3n))^2的值为 274.如果 (anb·abm)^3 = a^9b^15，那么 mn 的值是 55.-[-a^2(2a^3-a)] = 2a^5 - a^36.(-4x^2+6x-8)·(-1/2x) = 2x^3-3x^2+4x7.2n(-1+3mn^2) = -6mn^2+2n8.若 k(2k-5)+2k(1-k) = 32，则 k = 49.(-3x^2)+(2x-3y)(2x-5y)-3y(4x-5y) = -10x^2+31xy-15y^210.在 (ax^2+bx-3)(x^2-x+8) 的结果中不含 x^3 和 x 项，则a = 1/2，b = -311.一个长方体的长为 (a+4)cm，宽为 (a-3)cm，高为(a+5)cm，则它的表面积为 2a^2+22a+32，体积为 (a+4)(a-3)(a+5) = a^3+6a^2-7a-60.若将长方形的长和都扩大了2cm，则面积增大了 8cm^2.12.一个长方形的长是 10cm，宽比长少6cm，则它的面积是 40cm^2.当长和都扩大了2cm时，面积增大了 44cm^2.13.单项式的除法法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式。
第5章 乘法公式与因式分解
第五章乘法公式与因式分解一、笔记区1、平方差公式: (a+b)(a-b)=a2-b2两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差，这个公式就叫做乘法公式的平方差公式.2、完全平方公式:(a+b)²=a2+2ab+b2(a-b)²=a2-2ab+b2两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.3、分解因式的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．4、常规因式分解步骤总结：（1）首先提公因式（2）选公式：两项--平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)三项--①完全平方公式a2±2ab+b2=(a±b)2②十字相乘法四项及以上--分组分解法一看有无公因式，二看能否套公式，十字相乘试一试，分组分解要合适.第一关乘法公式1-1 平方差公式例题1.（1）(2)(2)-+--（3）2m n m n+-（2）(23)(23)b a a b-+++a a a(1)(1)(1)练习1.1-2 完全平方公式 例题1. 计算： （1）21(3)2x a -+（2）()2123a b +-（3）2299199+练习1. 计算：（1）21(3)6t x -- （2）()221x y +-（3）22101201+例题2. 已知2()60a b -=，2()80a b +=，求22a b +及ab 的值．练习2. 已知2()7a b +=，2()4a b -=，求223a ab b ++的值.例题3. 已知2246130x y x y ++-+=，x y 、都是有理数，求y x 的值.练习3. 已知x 、y 满足x 2+y 2+54=2x+y ，求代数式xy x y +的值.第二关 因式分解2-1 提公因式法 例题1. 分解因式： （1）2x xy xz -+-（2）223241228x y xy y --+练习1. 分解因式： （1）323612ma ma ma -+-（2）32222561421x yz x y z xy z +-（3）3222315520x y x y x y +-（4）432163256x x x --+例题2. 分解因式：232()2()()x x y y x y x -----练习2. 分解因式：32()()()()x a x b a x b x --+--2-2 公式法 例题1. 分解因式： （1）2244x y xy --+ （2）2()4()4m n m n +-++（3）543351881a b a b a b ++练习1. 分解因式： （1）421681x x -+（2）4236121a a -+（3）2222(1)4(1)4x x x x +-++例题2. 分解因式： （1）22364x y -（2）22(8)(2)m n +--（3）2225()4()a b a b +--练习2. 分解因式： （1）2416a -（2）22(2)(2)a b a b +-+（3）220.25()0.81()x y x y -++-2-3 十字相乘法 例题1. 分解因式： （1）232x x ++ （2）21817x x -+ （3）2278a x ax -- （4）22616x xy y --练习1. 分解因式： （1）265x x ++ （2）22310m n mn +- （3）221336y yb b -+ （4）22914a ab b -+例题2. 分解因式：（1）26136x x ++ （2）2156x x --练习2. 分解因式：（1）231110x x -+ （2）261110x x --例题3. 分解因式：（1）2()2()80x y y x ---- （2）222(4)7(4)12x x x x ++++练习3. 分解因式：（1）(a +b )2-4(a +b )+3（2）(x +2y )2+3(x +2y )-102-4 分组分解法 例题1. 分解因式： （1）22244x xy y z -+- （2）22944x y y ---（3）3222a a b a b -+- （4）222223x xy y x y -++--练习1. 分解因式： （1）2221m n mn --++（2）2293m n m n -+-（3）2244a b a b --+（4）224426x xy y x y -+-+-。
初升高数学知识点衔接乘法公式与因式分解
初升高数学知识点衔接乘法公式
与因式分解
1．乘法公式
我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：
（1）平方差公式
（2）完全平方公式
2．因式分解
因式分解是代数的一种重要的恒等式变形。
初中教材中涉及到的常用方法主要有:提取公因子法和公式法(平方差公式和完全平方公式)。
因式分解和代数表达式乘法是对立变形，在分式运算、解方程和各种恒等式变形中有重要作用，是一项重要的基本功。
————高中知识链接————
我们知道乘法公式可以使多项式的运算简便，进入高中后，我们会用到更多的乘法公式：
（3）立方和公式
（4）立方差公式
（5）三数和平方公式
（6）两数和立方公式
（7）两数差立方公式
我们用多项式展开证明式子（3），其余请自行证明：
证明：
因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法（平方差公式和完全平方公式）外，还有公式法（立方和、立方差公式）、十字相乘法和分组分解法等等．。
整式的乘法与因式分解知识点
整式的乘法与因式分解知识点整式的乘法和因式分解是初中数学中的重要知识点，也是后续学习代数、方程和不等式的基础。
本文将详细介绍整式的乘法和因式分解的定义、性质和方法。
一、整式的乘法整式是由常数和单项式相加（减）得到的代数式，其中单项式是指只包含一个变量的项。
整式的乘法是指将两个或多个整式相乘的运算。
1.单项式的乘法：单项式的乘法遵循以下运算法则：-同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
例如，a^m*a^n=a^(m+n)。
-不同底数幂相乘，指数相乘。
例如，a^m*b^n=a^m*b^n。
- 系数相乘。
例如，k * t = kt。
2.多项式的乘法：多项式的乘法通过将每一项都与另一个多项式的每一项相乘，并将结果相加得到。
例如，(a+b+c)(x+y+z) = ax+ay+az+bx+by+bz+cx+cy+cz。
这个过程通常称为“分配律”。
二、整式的因式分解整式的因式分解是指将一个整式表示成几个单项式的乘积的运算。
因式分解的基本思路是找到整式的公因式，然后使用“提公因式法”将整式表示为公因式与其余部分的乘积。
1.提公因式法：假设整式ax+bx有一个公因式x，则可以将其改写为x(a+b)。
这个过程是因式分解中最基本的方法。
根据此原理，我们可以使用提公因式法因式分解更复杂的整式。
2.完全平方公式的因式分解：完全平方公式是指一个二次三项式（即一元二次多项式）的平方可以被因式分解成两个平方的和或差。
例如，a^2+2ab+b^2可以因式分解为(a+b)^2，而a^2-2ab+b^2可以因式分解为(a-b)^23.完全立方公式的因式分解：完全立方公式是指一个三次三项式（即一元三次多项式）的立方可以被因式分解成两个立方的和或差。
例如，a^3+3a^2b+3ab^2+b^3可以因式分解为(a+b)^3，而a^3-3a^2b+3ab^2-b^3可以因式分解为(a-b)^34.分组分解法：分组分解法是指根据整式中各项之间的关系将整式进行分组，以便使用提公因式法进行因式分解。
第3讲 乘法公式和因式分解
第3讲 乘法公式和因式分解一、考点知识梳理【考点1 平方差公式】两数和与这两数差的积，等于它们的平方差(a ＋b)(a －b)＝a 2－b 2【考点2 完全平方公式】两数的平方和，加上（或者减去）它们的积的两倍等于它们和（或差）的平方(a±b)2＝a 2±2ab ＋b 2【考点3 因式分解】要点一、因式分解把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算. 要点二、提公因式法把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是，即，而正好是除以所得的商，提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律.要点三、公式法1.平方差公式两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：2.完全平方公式两个数的平方和加上这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方．即，. 形如，的式子叫做完全平方式.要点诠释：（1）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积.（2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方.（3）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式.要点四、十字相乘法和分组分解法十字相乘法利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. m m ()()22a b a b a b -=+-()2222a ab b a b ++=+()2222a ab b a b -+=-222a ab b ++222a ab b -+a b a b对于二次三项式，若存在 ，则 分组分解法 对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.要点五、因式分解的一般步骤因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等.因式分解步骤（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式；（2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解．（4）结果要彻底，即分解到不能再分解为止．二、考点分析【考点1 平方差公式】【解题技巧】能够运用平方差公式进行多项式乘法运算的必须是两个二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．反之能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式且符号相反．【例1】(2019河北沧州中考模拟)若（a ﹣b ﹣2）2+|a +b +3|＝0，则a 2﹣b 2的值是（ ）A ．﹣1B ．1C ．6D ．﹣6【一领三通1-1】(2019 山东青岛模拟)若k 为任意整数，且993﹣99能被k 整除，则k 不可能是（ ）A ．50B ．100C ．98D ．97【一领三通1-2】(2019辽宁大连模拟)先化简，再求值：(a ＋b)(a －b)＋b(a ＋2b)－b 2，其中a ＝1，b ＝－2.【一领三通1-3】(2019河北石家庄中考模拟)计算并观察、探究下列式子①（x ﹣1）（x +1）＝ x 2﹣1②（x ﹣1）（x 2+x +1）＝ x 3﹣1③（x ﹣1）（x 3+x 2+x +1）＝x 4﹣1④（x ﹣1）（x 4+x 3+x 2+x +1）＝x 5﹣1⑤（x ﹣1）（x 5+x 4+x 3+x 2+x +1）＝x 6﹣1…由以上规律（1）填空：（x ﹣1）（x n +x n ﹣1+…+x +1）＝ ． 2x bx c ++pq c p q b=⎧⎨+=⎩()()2x bx c x p x q ++=++（2）求：22019+22018+22017+…+22+2+1 的值．【分析】（1）利用多项式乘以多项式法则计算得到结果，规律总结得到一般性结论，写出即可；（2）原式变形后，利用得出的规律计算即可得到结果．【考点2 完全平方公式】【解题技巧】能运用完全平方公式进行多项式乘法运算的，必须是两个数（或差）的平方和的形式，反之能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍．【例2】(2019辽宁锦州中考模拟)如果二次三项次x 2﹣16x +m 2是一个完全平方式，那么m 的值是（ ）A ．±8B ．4C ．﹣2D ．±2【一领三通2-1】(2019山东聊城中考模拟)已知a ，b 是△ABC 的两边，且a 2＋b 2＝2ab ，则△ABC 的形状是( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．锐角三角形D ．不确定【一领三通2-2】(2019沧州九中模拟)当s ＝t ＋12时，代数式s 2－2st ＋t 2的值为 ． 【分析】运用完全平方公式分解因式【一领三通2-3】（2019•吉林长春中考）先化简，再求值：（2a +1）2﹣4a （a ﹣1），其中a ＝．【分析】直接利用完全平方公式以及单项式乘以多项式分别化简得出答案．【一领三通2-4】（2018，江苏南京模拟）先化简，再求值：2(21)2(21)3a a +-++，其中a =【分析】直接运用(a+b)2=a 2+2ab+b 2进行计算、化简.【考点3 因式分解】【解题技巧】因式分解的一般步骤：(1)如果多项式各项有公因式，应先提取公因式；(2)如果各项没有公因式，可以尝试使用公式法来分解因式，看是否符合平方差公式还是完全平方公式，有时需考虑用十字交乘法；(3)检查因式分解是否彻底，必须分解到每一个因式不能再分解为止．类型一、提公因式法分解因式1、 分解因式：(1)；(2)．【总结升华】在提取公因式时要注意提取后各项字母，指数的变化，另外分解要彻底，特别是因式中含有多项式的一定要检验是否能再分，分解因式后可逆过来用整式乘法验证其正确与否．2、利用分解因式证明：能被120整除．【思路点拨】25＝，进而把整理成底数为5的幂的形式，然后提取公因式并整理为含有120的因数即可．【总结升华】解决本题的关键是用因式分解法把所给式子整理为含有120的因数相乘的形式． 类型二、公式法分解因式3、放学时，王老师布置了一道分解因式题：，小明思考了半天，没有答案，就打电话给小华，小华在电话里讲了一句，小明就恍然大悟了，你知道小华说了句什么话吗？小明是怎样分解因式的．【思路点拨】把分别看做一个整体，再运用完全平方公式解答．222284a bc ac abc +-32()()()()m m n m m n m m n m n +++-+-712255-25725()()()222244x y x y x y ++---()()x y x y +-、【总结升华】本题主要考查利用完全平方公式分解因式，注意把看作完全平方式里的是解题的关键．4、若多项式5x 2+17x ﹣12可因式分解成（x +a ）（bx +c ），其中a 、b 、c 均为整数，则a +c 之值为何？（ ）A ．1B ．7C ．11D ．13故选：A ．5、）把下列各式进行因式分解（1）4（x ﹣2）2﹣1；（2）（x+y ）2+4（x+y+1）.【思路点拨】（1）直接利用平方差公式分解因式即可；（2）经过变形，利用完全平方公式分解因式即可.【总结升华】此题主要考查了公式法分解因式，熟练掌握乘法公式是解题关键．举一反三： 类型三、十字相乘法和分组分解法分解因式6、分解因式：（1）（2）【总结升华】做题之前要仔细观察，注意从整体的角度看待问题.()()x y x y +-、,a b ()()222222x x ----()2224420x xx x +---7、（x ﹣y ）2+5（x ﹣y ）﹣50．课堂测1．（2019·安徽中考模拟）下列分解因式正确的是（ ）A ．24(4)x x x x -+=-+B ．2()x xy x x x y ++=+C ．2()()()x x y y y x x y -+-=-D ．244(2)(2)x x x x -+=+-2．（2018·江苏中考模拟）把多项式x 2+ax+b 分解因式，得(x+1)(x -3)，则a 、b 的值分别是（） A ．a=2，b=3 B ．a=-2，b=-3C ．a=-2，b=3D ．a=2，b=-33．（2018·广西中考真题）下列各式分解因式正确的是（ ）A ．x 2+6xy+9y 2=（x+3y ）2B ．2x 2﹣4xy+9y 2=（2x ﹣3y ）2C ．2x 2﹣8y 2=2（x+4y ）（x ﹣4y ）D ．x （x ﹣y ）+y （y ﹣x ）=（x ﹣y ）（x+y ）4．（2019·山东中考模拟）多项式4a ﹣a 3分解因式的结果是（ ）A ．a （4﹣a 2）B ．a （2﹣a ）（2+a ）C ．a （a ﹣2）（a+2）D ．a （2﹣a ）25．（2018·安徽中考模拟）将下列多项式因式分解,结果中不含有因式(a+1)的是( )A ．a 2-1B ．a 2+aC ．a 2+a -2D ．(a+2)2-2(a+2)+1利用公式法解决代数式求值问题的方法1．（2018·河南中考模拟）已知a ﹣b=1，则a 3﹣a 2b+b 2﹣2ab 的值为（ ）A ．﹣2B ．﹣1C ．1D ．22．（2017·陕西中考模拟）已知实数x 满足22110x x x x +++=，那么1x x +的值是（ ）A ．1或﹣2B ．﹣1或2C ．1D ．﹣23．（2019·江苏中考模拟）若x 2+mx -15=(x+3)(x+n)，则m 的值为( )A ．-5B ．5C ．-2D ．2课后习题一、选择题1.（2019，湖南湘潭中考模拟）下列式子，正确的是（ ）A. 3+=B. 1)1=C. 122-=-D. 2222()x xy y x y +-=-（2019，安徽蚌埠中考模拟） 下列多项式中，能用公式法分解因式的是（ ）A.x 2－xyB. x 2＋xyC. x 2－y 2D. x 2＋y 23.（2019•河北石家庄中考模拟）若要使4x 2+mx +成为一个两数差的完全平方式，则m 的值应为（ ） A ． B ． C ． D ．4.（2019•山东青岛中考模拟）如果自然数a 是一个完全平方数，那么与a 之差最小且比a 大的一个完全平方数是（ ）5.（2019•辽宁本溪中考模拟）有一个长方形内部剪掉了一个小长方形，它们的尺寸如图所示，则余下的部分（阴影部分）的面积（ ）A ．4a 2B ．4a 2﹣abC ．4a 2+abD ．4a 2﹣ab ﹣2b 2 二、填空题1.（2019•呼和浩特中考）因式分解：x 2y ﹣4y 3＝ ．2.（2019•辽宁沈阳中考）因式分解：﹣x 2﹣4y 2+4xy ＝ ．3.（2019•甘肃兰州中考）因式分解：a 3+2a 2+a ＝ ．4.（2019•山东威海中考）分解因式：2x 2﹣2x +＝ ．5.（2019，江苏省连云港中考模拟）当12s t =+时，代数式222s st t -+的值为 ． 6. (2019,山西省太原中考模拟)分解因式(4)4x x ++的结果是 ．7.（2019，山东潍坊中考模拟）分解因式：32627x x x +-= ．8. （2019，河北沧州中考模拟）有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示，如图①，它表示了（2m +n ）（m+n）＝2m2+3mn+n2（1）图②是将一个长2m、宽2n的长方形，沿图中虚线平均分为四块小长方形，然后再拼成一个正方形（图③），则图③中的阴影部分的正方形的边长等于（用含m、n的代数式表示）（2）请用两种不同的方法列代数式表示图③中阴影部分的面积．方法①方法②（3）请你观察图形③，写出三个代数式（m+n）2、（m﹣n）2、mn关系的等式：；（4）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若已知x+y＝7，xy＝10，则（x﹣y）2＝；（5）小明用8个一样大的长方形（长acm，宽bcm）拼图，拼出了如图甲、乙的两种图案，图案甲是一个正方形，图案乙是一个大的长方形，图案甲的中间留下了边长是2cm的正方形小洞．则（a+2b）2﹣8ab 的值为．三、解答题1.(2019湖南怀化中考模拟)先化简，再求值：(2a－1)2－2(a＋1)(a－1)－a(a－2)，其中a＝2＋1.2.(2019浙江宁波中考模拟)化简：(a＋b)2＋(a－b)(a＋b)－2ab.3、(2019浙江金华中考模拟)先化简，再求值：(x＋5)(x－1)＋(x－2)2，其中x＝－2.4.（2019江苏省淮安中考模拟）先化简，再求值：[]21y 1,))(()(2=-=÷+-+-，其中x x y x y x y x5. 已知a +b ＝3，ab ＝﹣10．求：（1）a 2+b 2的值；（2）（a ﹣b ）2的值．6.下面是某同学对多项式（x 2﹣4x +2）（x 2﹣4x +6）+4进行因式分解的过程．解：设x 2﹣4x ＝y ，原式＝（y +2）（y +6）+4 （第一步）＝y 2+8y +16 （第二步）＝（y +4）2（第三步）＝（x 2﹣4x +4）2（第四步）（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的 ．A ．提取公因式B ．平方差公式C ．两数和的完全平方公式D ．两数差的完全平方公式 （2）该同学因式分解的结果是否彻底？ ．（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 ．（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x 2﹣2x ）（x 2﹣2x +2）+1进行因式分解．7.正方形Ⅰ的周长比正方形Ⅱ的周长长96cm，它们的面积相差960cm2，求这两个正方形的边长．8.如图，在长方形ACDF中，AC＝DF，点B在CD上，点E在DF上，BC＝DE＝a，AC＝BD＝b，AB＝BE＝c，且AB⊥BE．（1）用两种不同的方法表示长方形ACDF的面积S．方法一：S＝．方法二：S＝．（2）求a，b，c之间的等量关系（需要化简）．（3）请直接运用（2）中的结论，求当c＝10，a＝6，S的值．。
乘法公式与因式分解
乘法公式与因式分解乘法公式是数学中的重要概念之一，它与因式分解密切相关。
本文将探讨乘法公式与因式分解的概念、应用以及计算方法。
一、乘法公式的概念乘法公式是指将两个或多个数相互乘积的规则。
常见的乘法公式有两类：整式的乘法公式和分式的乘法公式。
整式的乘法公式指的是多项式之间的乘法规则，如(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd；分式的乘法公式则是指两个分式相乘的规则，如ab/cd=(a/c)(b/d)。
二、乘法公式的应用乘法公式在代数运算中有广泛的应用。
在多项式的乘法运算中，乘法公式可以简化计算步骤，提高计算效率。
例如，将一个多项式与另一个多项式相乘时，可以利用乘法公式将其分解为多个互相独立的项，并将各项的系数相乘得到最终结果。
同样，在分式运算中，乘法公式可以将两个分式相乘，得到一个新的分式，从而简化计算。
三、因式分解的概念因式分解是指将一个复杂的表达式拆解成多个简单因式的过程。
在数学中，因式分解是一种常用的求解问题的方法。
例如，对于一个多项式表达式，通过因式分解可以将其分解为两个或多个乘积形式的简单因式相乘，从而更好地理解和处理该表达式。
四、乘法公式与因式分解的关系乘法公式与因式分解密切相关。
在因式分解过程中，使用乘法公式可以将一个多项式进行拆解，形成由简单因式相乘的形式。
同时，通过乘法公式的合理运用，也可以进行因式分解的计算过程，进一步理解和推导出较为复杂的因式。
五、乘法公式的计算方法乘法公式的计算方法根据具体情况而定。
对于整式的乘法公式，可以根据分配律和结合律，按照一定的顺序进行计算。
需要注意的是，在乘法过程中要对指数和系数进行合理的运算和组合。
而对于分式的乘法公式，可以利用分数的乘法法则，将分子相乘得到新的分子，分母相乘得到新的分母，从而得到新的分式。
六、因式分解的计算方法因式分解的计算方法具体取决于所要分解的表达式的特点。
一般来说，可以使用因式分解的常见方法，如公因式提取法、配方法、换元法等。
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公式法
将乘法公式变形，得
a² -b² =(a+b)(a-b) a² +2ab+b² = (a+b) ² a² -2ab+b² = (a-b) ²
可利用 这三种公式 进行因式分解。
十字相乘法
分解因式： x²+5x+6.
x
2
x
3
2x+3x=5x
∴原式=(x+2)(x+3)
因式分解解题步骤总结
▪ First， 提公因式 ▪ And then，看项数：
乘法公式与因式分解
主讲人 ： 安丘市东埠中学七年级26班王钧泽
乘法公式
名称 平方差公式 完全平方公式
公式 (a+b)(a-b)=a² -b² (a+b) ² =a² +2ab+b² (a-b) ² =a² -2ab+b²
乘法公式
除此之外，还有以上两种公式的变形，如下表：
平方差公式的变形
完全平方公式的变形
因式分解及其相关概念
• 因式分解：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解。
提公因式法
• 若一个多项式的各项有公因式，则可将公因式提到括号外面，这种把多
项式因式分解的方法叫做提公因式法。
例
因式分解。
(1) a³-a², (2) (1-3a) ²-3(1-3a), (3) (a+2) ²+a+2.
确定公因式的方法： ①对于系数，若各项系数都为整数，则取各项系数的绝对值的最大公因数作为公因式的系数， 若有需要，还可以将负号提出，作为公因式的一部分。 ②对于字母，应取各项中相同的字母，且各项的相同字母的次数取其最低的。
要看进阶解法？ 请看下回分解！
(b+a)(-b+a)=a² -b²
a² +b² =(a+b) ² -2ab
(-a-b)(a-b)=b² -a²
a² +b² =(a-b) ² +2ab
(a² +b² )(a² -b² )=(a² ) ² -(b² ) ² 2ab=(a+b) ² -(a² +b² )
2ab=(a² +b² )-(a-b) ²
(a-b) ² =(a+b) ² -4ab
有了这些乘法公式，我们就可以进行因式 分解了。
因式分解
因式分解及其相关概念
公因式：多项式中各项都含有的相同因式叫做这个多项式的公因式 确定公因式的方法： ①对于系数，若各项系数都为整数，则取各项系数的绝对值的最大公因数作为公因式 的系数，若有需要，还可以将负号提出，作为公因式的一部分。 ②对于字母，应取各项中相同的字母，且各项的相同字母的次数取其最低的。
平方差公式的变形 (b+a)(-b+a)=a²-b² (-a-b)(a-b)=b²-a² (a²+b²)(a²-b²)=(a²) ²-(b²) ²
平方差公式：(a+b)(a-b)=a²-b²
完全平方公式： a²±2ab+b²=(a±b) ²
因式分解 ： 把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解。
若有两项，则对应平方差公式， 若有三项，则对应完全平方公式或十字相乘y，检查能否继续分解。
总结
完全平方公式的变形 a²+b²=(a+b) ²-2ab a²+b²=(a-b) ²+2ab 2ab=(a+b) ²-(a²+b²) 2ab=(a²+b²)-(a-b) ² (a-b) ²=(a+b) ²-4ab