2019年数学人教A必修三新一线应用案巩固提升：3.3.2 均匀随机数的产生 Word版含解析

[A 基础达标]1．用随机模拟方法求得某几何概型的概率为m ，其实际概率的大小为n ，则( )A ．m >nB ．m <nC ．m ＝nD ．m 是n 的近似值解析：选D.随机模拟法求其概率，只是对概率的估计．2．欧阳修《卖油翁》中写到：(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为1.5cm 的圆，中间有边长为0.5cm 的正方形孔，若你随机向铜钱上滴一滴油，则油(油滴的大小忽略不计)正好落入孔中的概率为()A.49πB.94πC.4π9D.9π4解析：选A.由题意知所求的概率为P ＝0.5×0.5π×⎝⎛⎭⎫1.522＝49π.3．设一直角三角形两直角边的长均是区间[0，1]上的随机数，则斜边的长小于1的概率为( )A.12B.34 C.π4D.3π16解析：选C.设两直角边分别为x ，y ，则x ，y 满足x ∈[0，1]，y ∈[0，1]，则P (x 2＋y 2＜1)＝π4.4．将一个长与宽不等的长方形，沿对角线分成四个区域，如图所示涂上四种颜色，中间装个指针，使其可以自由转动，对指针停留的可能性下列说法正确的是( )A ．一样大B ．蓝白区域大C ．红黄区域大D ．由指针转动圈数决定解析：选B.指针停留在哪个区域的可能性大，即表明该区域的张角大，显然，蓝白区域大．5．为了测算如图所示的阴影部分的面积，作一个边长为6的正方形将其包含在内，并向正方形内随机投掷800个点．已知恰有200个点落在阴影部分内，据此可估计阴影部分的面积是 ( )A ．12B ．9C ．8D ．6解析：选B.易得正方形的面积为6×6＝36，设阴影部分的面积为S ，则200800≈S 36，即S ≈200800×36＝9.6.在如图所示的正方形中随机掷一粒豆子，豆子落在正方形内切圆的上半圆(图中阴影部分)中的概率是________．解析：设正方形的边长为2，则豆子落在正方形内切圆的上半圆中的概率为12π×124＝π8.答案：π87．将[0，1]上的均匀随机数a 1转化为[－2，6]上的均匀随机数a ，需要实施的变换为a ＝________．解析：设实施的变换为a ＝ka 1＋b ，则有⎩⎪⎨⎪⎧－2＝0·k ＋b ，6＝1·k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝8，b ＝－2，故实施的变换为a ＝8a 1－2.答案：8a 1－28.已知米粒等可能地落入如图所示的四边形ABCD 内，如果通过大量的试验发现米粒落入△BCD 内的频率稳定在49附近，那么点A 和点C 到直线BD 的距离之比约为________．解析：设米粒落入△BCD 内的频率为P 1，米粒落入△BAD 内的频率为P 2，点C 和点A 到直线BD 的距离分别为d 1，d 2. 根据题意：P 2＝1－P 1＝1－49＝59.又因为P 1＝S △BCDS 四边形ABCD ＝12×BD×d1S 四边形ABCD，P 2＝S △BADS 四边形ABCD ＝12×BD×d2S 四边形ABCD，所以P2P1＝d2d1＝54.答案：549．如图所示，在墙上挂着一块边长为16cm 的正方形木板，上面画了小、中、大三个同心圆(圆心为正方形木板的中心)，半径分别为2cm 、4cm 、6cm ，某人站在离木板3m 处向此板投镖．设投镖击中边界线或没有投中木板时都不算，可重投，请用随机模拟的方法计算：(1)镖落在大圆内的概率；(2)镖落在小圆与中圆围成的圆环内的概率；(3)镖落在大圆之外的概率．解：记事件A ＝{镖落在大圆内}，事件B ＝{镖落在小圆与中圆围成的圆环内}，事件C ＝{镖落在大圆之外}．①用计算机产生两组[0，1]上的均匀随机数a 1＝RAND ，b 1＝RAND ；②进行伸缩和平移变换，a ＝[8－(－8)]a 1－8，b ＝[8－(－8)]b 1－8得到两组[－8，8]上的均匀随机数；③统计镖落在大圆内的次数N 1(即满足a 2＋b 2<36的点(a ，b )的个数)，镖落在小圆与中圆围成的圆环内的次数N 2(即满足4<a 2＋b 2<16的点(a ，b )的个数)，投中木板的总次数N (即满足－8<a <8，－8<b <8的点(a ，b )的个数)．④计算频率f n (A )＝N1N ，f n (B )＝N2N ，f n (C )＝N －N1N，即概率P (A )，P (B )，P (C )的近似值．10．设点M (x ，y )在区域{(x ，y )||x |≤1，|y |≤1}上均匀分布出现，求：(1)x ＋y ≥0的概率； (2)x ＋y <1的概率； (3)x 2＋y 2≥1的概率．解：如图，满足|x |≤1，|y |≤1的点(x ，y )组成一个边长为2的正方形(ABCD )区域(含边界)，S 正方形ABCD＝4.(1)x ＋y ＝0的图象是直线AC ，满足x ＋y ≥0的点在AC 的右上方(含AC )，即在△ACD 内(含边界)，而S △ACD ＝12·S 正方形ABCD ＝2，所以P (x ＋y ≥0)＝24＝12.(2)设E (0，1)、F (1，0)，则x ＋y ＝1的图象是EF 所在的直线，满足x ＋y <1的点在直线EF 的左下方，即在五边形ABCFE 内(不含边界EF )，而S 五边形ABCFE ＝S 正方形ABCD －S △EDF ＝4－12＝72，所以P (x ＋y <1)＝S 五边形ABCFE S 正方形ABCD ＝724＝78.(3)满足x 2＋y 2＝1的点是以原点为圆心的单位圆O ，S ⊙O ＝π，所以P (x 2＋y 2≥1)＝S 正方形ABCD －S ⊙OS 正方形ABCD＝4－π4.[B 能力提升]11．(2019·湖北省华中师范大学第一附属中学期末考试)把[0，1]内的均匀随机数x 分别转化为[0，2]和[－2，1]内的均匀随机数y 1，y 2，需实施的变换分别为()A ．y 1＝－2x ，y 2＝－3x ＋2B ．y 1＝－4x ，y 2＝－6x ＋4C ．y 1＝2x ，y 2＝3x －2D ．y 1＝4x ，y 2＝6x －2解析：选C.将[0，1]内的均匀随机数x 转化为[0，2]内的均匀随机数，区间长度变为原来的2倍，因此设y 1＝2x ＋b 1(b 1是常数)，再用两个区间中点的对应值，得当x ＝12时，y 1＝1，所以1＝2×12＋b 1，可得b 1＝0.因此x 与y 1的关系为y 1＝2x ；将[0，1]内的均匀随机数x 转化为[－2，1]内的均匀随机数，区间长度变为原来的3倍， 因此设y 2＝3x ＋b 2(b 2是常数)，再用两个区间中点的对应值，得当x ＝12时，y 2＝－12，所以－12＝3×12＋b 2，可得b 2＝－2，因此x 与y 2的关系为y 2＝3x －2.故选C.12．某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为________．(用数字作答)解析：设小王到校时间为x ，小张到校时间为y ，则小张比小王至少早到5分钟时满足x －y ≥5.如图，原点O 表示7：30，在平面直角坐标系中画出小王和小张到校的时间构成的平面区域(图中正方形区域)，该正方形区域的面积为400，小张比小王至少早到5分钟对应的图形(图中阴影部分)的面积为12×15×15＝2252，故所求概率为P ＝2252400＝932.答案：93213．甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的．(1)如果甲船和乙船的停泊时间都是4h ，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率； (2)如果甲船的停泊时间为4h ，乙船的停泊时间为2h ，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率．解：(1)设甲、乙两船到达时间分别为x ，y ， 则0≤x ≤24，0≤y ≤24，|y －x |≥4， 分别作出区域D 1，D 2，其中D 1：⎩⎪⎨⎪⎧0≤x≤24，0≤y≤24，D 2：⎩⎪⎨⎪⎧0≤x≤24，0≤y≤24，|y －x|≥4.D 1为正方形区域，D 2为图(1)中的阴影部分，设“两船不需要等待码头空出”为事件A ， 则P (A )＝2×12×20×2024×24＝2536.(2)设“两船不需等待码头空出”为事件B ，则区域D 3：y －x >4或x －y >2为如图(2)所示的阴影部分，则P (B )＝S 阴影部分S 正方形＝221288.14．(选做题)在正方形中随机撒一把豆子，通过观察落在其内切圆内豆子的数目，用随机模拟的方法可计算圆周率π的近似值(如图)．(1)用两个均匀随机数x ，y 构成的一个点的坐标(x ，y )代替一颗豆子，请写出随机模拟法的方案；(2)以下程序框图用以实现该模拟过程，请将它补充完整．(注：rand( )是计算机在Excel 中产生[0，1]区间上的均匀随机数的函数)解：(1)具体方案如下：①利用计算器产生两组[0，1]区间上的均匀随机数，x 1＝RAND ，y 1＝RAND ；②经过平移和伸缩变换，x ＝2(x 1－0.5)，y ＝2(y 1－0.5)；③统计试验总次数N 和落在内切圆内的点数N 1(满足条件x 2＋y 2≤1的点(x ，y )的个数)；④计算频率N1N，即为点落在圆内的概率的近似值；⑤设圆的面积为S ，由几何概型概率公式得点落在圆内部分的概率为P ＝S4.所以S 4≈N1N ，所以S ≈4N1N，即为圆的面积的近似值．又S ＝πr 2＝π，所以π＝S ≈4N1N，即为圆周率的近似值．(2)由题意，第一个判断框中应填x 2＋y 2≤1？，其下的处理框中应填m ＝m ＋1，跳出循环体后的处理框中应填P ＝mn.。