极坐标 练习 01 教师版
极坐标方程大题练习题
极坐标方程大题练习题一、基本概念与性质1. 将直角坐标系下的点 (3, 4) 转换为极坐标系下的坐标。
2. 已知极坐标方程ρ = 4sinθ，求对应的直角坐标方程。
3. 判断下列极坐标方程是否表示圆：(1) ρ = 6cosθ(2) ρ = 3 + 2sinθ4. 已知极坐标方程ρ = 2cosθ，求极点与极轴之间的夹角。
二、极坐标方程的求解5. 求极坐标方程ρ = 4cosθ 与ρ = 2sinθ 的交点坐标。
6. 已知极坐标方程ρ = 3sinθ，求当θ =π/3 时的点坐标。
7. 解极坐标方程ρ = 5 3cosθ，求出所有可能的ρ 值。
8. 已知极坐标方程ρ = 4 2sinθ，求该曲线与极轴的交点坐标。
三、极坐标方程的应用9. 在极坐标系中，求直线ρcosθ = 3 与圆ρ = 4sinθ 的交点坐标。
10. 已知点 A 在极坐标方程ρ = 6sinθ 上，点 B 在极坐标方程ρ = 4cosθ 上，求线段 AB 的长度。
11. 在极坐标系中，求曲线ρ = 2 + 3sinθ 与极轴围成的面积。
12. 已知极坐标方程ρ = 5cosθ，求该曲线所围成的图形的面积。
四、综合题13. 在极坐标系中，求曲线ρ = 4sinθ 与直线θ = π/4 所围成的图形的面积。
14. 已知极坐标方程ρ = 2cosθ，求该曲线关于极轴的对称曲线方程。
15. 在极坐标系中，求曲线ρ = 3 + 2sinθ 与极轴之间的夹角。
16. 已知极坐标方程ρ = 4cosθ，求该曲线关于原点的对称曲线方程。
17. 在极坐标系中，求曲线ρ = 6sinθ 与直线ρcosθ = 3的交点坐标，并判断这些交点是否在第一象限。
18. 已知极坐标方程ρ = 5 4sinθ，求该曲线与极轴的交点坐标，并计算这些交点与极点之间的距离。
五、极坐标方程的变换与简化19. 将极坐标方程ρ = 8cosθ 转换为直角坐标系下的方程，并简化。
极坐标参数方程经典练习题带详细解答
1．极坐标系与直角坐标系xoy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴.已知直线l的参数方程为1222x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为2sin 8cos ρθθ=.（Ⅰ）求C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求弦长||AB .2．已知直线l 经过点1(,1)2P ，倾斜角α＝6π，圆C的极坐标方程为)4πρθ=-.(1)写出直线l 的参数方程，并把圆C 的方程化为直角坐标方程；(2)设l 与圆C 相交于两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积． 3．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程是)(242222是参数t t y t x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==，圆C 的极坐标方程为)4cos(2πθρ+=．（I ）求圆心C 的直角坐标；(Ⅱ)由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值． 4．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系中x 轴的正半轴重合，且两坐标系有相同的长度单位，圆C 的参数方程为12cos 12sin x y αα=+⎧⎨=-+⎩（α为参数），点Q的极坐标为7)4π。
（1）化圆C 的参数方程为极坐标方程；（2）直线l 过点Q 且与圆C 交于M ，N 两点，求当弦MN 的长度为最小时，直线l 的直角坐标方程。
5．在极坐标系中，点M 坐标是)2,3(π，曲线C 的方程为)4sin(22πθρ+=；以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率是1-的直线l 经过点M ． （1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）求证直线l 和曲线C 相交于两点A 、B ，并求||||MB MA ⋅的值． 6．（本小题满分10分） 选修4-4坐标系与参数方程 在直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧+==ααsin 22cos 2y x ，(α为参数)M 是曲线1C 上的动点，点P 满足OM OP 2=，（1）求点P 的轨迹方程2C ；（2）在以D 为极点，X 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3πθ=与曲线1C ，2C 交于不同于原点的点A,B 求AB7．在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐V 标方程为πcos =13ρθ⎛⎫-⎪⎝⎭，M ，N 分别为曲线C 与x 轴、y 轴的交点． （1）写出曲线C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标；（2）求直线OM 的极坐标方程．8．在直角坐标系中，曲线C 1的参数方程为：2cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并取与直角坐标系相同的长度单位，建立极坐标系，曲线C 2是极坐标方程为：cos ρθ=， (1)求曲线C 2的直角坐标方程；(2)若P ，Q 分别是曲线C 1和C 2上的任意一点，求PQ 的最小值.9．已知圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，直线l的参数方程为1221122x t x t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ （t 为参数），点A的极坐标为24π⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，设直线l 与圆C 交于点P 、Q .（1）写出圆C 的直角坐标方程；（2）求AP AQ ⋅的值.10．已知动点P ，Q 都在曲线C ：2cos 2sin x ty t=⎧⎨=⎩（β为参数）上，对应参数分别为t α=与2t α=（0＜α＜2π），M 为PQ 的中点。
高中数学第一章极坐标系的概念点的极坐标与直角坐标的互化练习北师大版选修4-4
极坐标系的概念、点的极坐标与直角坐标的互化练习1点P的直角坐标为（.2, ,2），那么它的极坐标可表示为（）.冗 3 nA.2,—B.2,445 n7 nC.2,——D.2,——442在极坐标系中，与点n8,-关于极点对称的点的一个坐标是（6冗5A.8,— B . 8, - n665冗C.8,—n D . 8,663在极坐标系中，若等边厶ABC的两个顶点是A 2,n , B 2,5n，那么可能是顶点C 4 4的坐标的是（）.3 nA. 4,——B.2「3,士44 C.(2. 3, n D.(3 , n)4在极坐标系中，极坐标.2, 5n化为直:角坐标为（）.4A. (1,1)B.(- 1,1)C.(1 , —1) D . ( —1,—1)5直线l过点A7, n B 7n则直线l与极轴所在直线的夹角等于366 点A 5, n在条件：3(1) P> 0, e€(—2n,0）下的极坐标是⑵P< 0, e€(2 n,4n ）下的极标是ir •7将下列极坐标化成直角坐标.⑴、.2,n；4⑵ 6, n；3⑶（5，冗）.8已知极点在点（2 , - 2）处，极轴方向与x轴正方向相同的极坐标系中，点M的极坐标n 为4,，求点M在直角坐标系中的坐标.6参考答案1答案：B p = ， 2■■■；2 = 2, tan 9 = ------- =— 1,V2•••点P 在第二象限，.••最小正角 =’. 42答案：A 点（p ,9）关于极点对称的点为 故 8, n关于极点对称的点的一个坐标为6又|AB = 4,A ABC 为正三角形，•••|0C = 2.3，/ A0= n ，点 C 的极角2即点C 的极坐标为 2 3,3 n或2.3, 7n4 4 4 答案：D x = p cos 9 = ■-, 2sin 总 n= . 24y = p sin 9 = \ 2sin —24故所求直角坐标为（—1,— 1）.n5答案：n如图所示，先在图形中找到直线I 与极轴夹角（要注意夹角是个锐角），然4后根据点A B 的位置分析夹角大小.（p ，n+9）,7冗3答案：B 如图，由题设，可知 A , B 两点关于极点 0对称，即0是AB 的中点.3因为 |AQ =| BQ = 7,/ AO B=n_ n6 = 6，OAB= n 6. _ 5n212n 5 n nACO =n3 124 :(1)5, 5 n ⑵37t所以 所以 6答案 105, n (1 )当 p 3> 0时，点 A 的极坐标形式为n5,2k n — (k € Z),39 € ( — 2 n, 0).令 k = — 1 ,点A 的极坐标为5, 符合题意.(2)当 p v 0 时,n5,-的极坐标的一般形式是 35, 2kT 9 € (2 n, 4 n），当k = 1时，点A 的极坐标为7C，符合题意.7答案：解：（1）x^2 cos 上=1 ,4 所以点.2, n的直角坐标为（1,1）.4⑵ X = 6 •COSn =3，y = 6 •sin7C所以点6, n的直角坐标为(3 , 3 3).3(3) x = 5 • cos n=—5, y = 5 • sin n= 0, 所以点(5 , n )的直角坐标为(一5,0).8 答案：解：设M(x, y)，则x—2 = p cos 9 = 4co&n=2/3 ,6二x= 2+ 2、、3 , y —(—2) = p sin 9 = 4sin n = 2.6••• y= 2—2= 0.•••点M的直角坐标为(2 + 2、、3 , 0).。
极坐标练习试题(含详细答案)
1．在同一平面直角坐标系中,经过伸缩变换错误!后，曲线C变为曲线x′2＋y′2＝1，则曲线C的方程为( ）A．25x2＋9y2＝1 B．9x2＋25y2＝1 C．25x＋9y＝1 D。
错误!＋错误!＝12．极坐标方程ρ＝cosθ化为直角坐标方程为( )A．（x＋错误!)2＋y2＝错误!B．x2＋（y＋错误!）2＝错误!C．x2＋(y－错误!)2＝错误!D．（x－错误!)2＋y2＝错误!答案 D解析由ρ＝cosθ，得ρ2＝ρcosθ，∴x2＋y2＝x.选D。
3．极坐标方程ρcosθ＝2sin2θ表示的曲线为( ）A．一条射线和一个圆B．两条直线C．一条直线和一个圆D．一个圆答案 C4．在极坐标系中,圆ρ＝－2sinθ的圆心的极坐标是（）A．（1，错误!）B．(1，－错误!）C．(1,0) D．（1，π）答案 B解析由ρ＝－2sinθ，得ρ2＝－2ρsinθ，化为普通方程x2＋（y＋1）2＝1,其圆心坐标为(0，－1）,所以其极坐标为(1，－错误!），故应选B。
5．设点M的直角坐标为(－1，－错误!，3)，则它的柱坐标为( ）A．（2，错误!,3）B．（2,错误!，3）C．(2，错误!,3) D．（2，错误!，3)答案 C6．(2013·安徽）在极坐标系中，圆ρ＝2cosθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为（)A．θ＝0(ρ∈R）和ρcosθ＝2B．θ＝错误!(ρ∈R)和ρcosθ＝2C．θ＝π2(ρ∈R）和ρcosθ＝1D．θ＝0（ρ∈R）和ρcosθ＝1答案 B解析由题意可知，圆ρ＝2cosθ可化为普通方程为(x－1）2＋y2＝1。
所以圆的垂直于x轴的两条切线方程分别为x＝0和x＝2,再将两条切线方程化为极坐标方程分别为θ＝错误!（ρ∈R）和ρcosθ＝2,故选B.7．在极坐标系中，过点(1,0）并且与极轴垂直的直线方程是（)A．ρ＝cosθB．ρ＝sinθC．ρcosθ＝1 D．ρsinθ＝1答案 C解析过点（1，0)且与极轴垂直的直线，在直角坐标系中的方程为x＝1,所以其极坐标方程为ρcosθ＝1，故选C。
极坐标方程基础习题(附答案),DOC
1.已知点P 的极坐标为，则点P 的直角坐标为（ ） A ．（1，） B ． （1，﹣） C ． （，1） D ． （，﹣1） 2.极坐标系中,B A ,分别是直线05sin 4cos 3=+-θρθρ和圆θρcos 2=上的动点,则B A ,两点之间距离的最小值是.3.已知曲线C 的极坐标方程为2ρ=（0,02ρθπ>≤<），曲线C 在点（2，4π）处的切线为l ，以极点为坐标原点，以极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，则l 的直角坐标方程为▲.4.在极坐标系中，已知直线把曲线所围成的区域分成面积相等的两部分，则常数a 的值是．5.在极坐标系中，圆2cos ρθ=的圆心到直线cos 2ρθ=的距离是____________．6.在极坐标系中，圆4s i n ρθ=的圆心到直线()6R πθρ=∈的距离是______________．7.在极坐标系(),ρθ（0,02πρθ>≤<）中，曲线2sin ρθ=与2cos ρθ=的交点的极坐标为_____8.（坐标系与参数方程选做题）曲线2cos 4πρθθ==关于直线对称的曲线的极坐标方程为。
试卷答案1.A 考点：点的极坐标和直角坐标的互化．专题：计算题． 分析： 利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcos θ=x ，ρsin θ=y ，可求出点的直角坐标．解答：解：x=ρcos θ=2×cos =1， y=ρsin θ=2×sin =∴将极坐标（2，）化为直角坐标是（1，）． 故选A ．点评： 本题主要考查了点的极坐标和直角坐标的互化，同时考查了三角函数求值，属于基础题．2.略3. 4.1a =-略5.曲线θρcos 2=即()2211x y -+=，表示圆心在（1，0），半径等于1的圆，直线cos 2ρθ=即直线2=x ，故圆心到直线的距离为1。
6.3略7.2,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭两式相除得tan 12sin 244ππθθρ=⇒=⇒==，交点的极坐标为2,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭ 8.2sin ρθ=略。
高考极坐标专项训练及答案 (1)
1.已知曲线的极坐标方程为,曲线的参数方程为(为参数)．(Ⅰ) 将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；(Ⅱ) 曲线和曲线交于、两点,求长.答案：(Ⅰ)(Ⅱ)解析：（Ⅰ）曲线的直角方程为---------------------------------------4分（Ⅱ）曲线的直角方程为①曲线的直角方程为②则直线的方程为①－②,即,则.--------------------------------------------10分2.已知直线的极坐标方程为，曲线C的参数方程为，设点是曲线C上的任意一点，求到直线的距离的最大值．答案：5解析：……………………3分由得……………………6分∴圆心到直线的距离……………………8分所以，到直线的距离的最大值为……………………10分3.在极坐标系中，定点，点B在直线上运动，当线段AB最短时，点B的极坐标为__________。
答案：4.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，若圆的极坐标方程为，若以极点为原点，以极轴为轴的正半轴建立相应的平面直角坐标系中，则在直角坐标系中，圆心的直角坐标是．答案：．5. （坐标系与参数方程选做题）曲线对称的曲线的极坐标方程为。
答案：一般:1.（本题10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为 (α为参数)M是C1上的动点，P点满足＝2，P点的轨迹为曲线C2.(1)求C2的参数方程；(2)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|.答案：（1）；（2）.解析：第一问中设P(x，y)，则由条件知M，由于M点在C1上，所以第二问曲线C1的极坐标方程为ρ＝4sinθ，曲线C2的极坐标方程为ρ＝8sinθ.射线θ＝与C1的交点A的极径为ρ1＝4sin，射线θ＝与C2的交点B的极径为ρ2＝8sin.所以|AB|＝|ρ1－ρ2|＝.解： (1)设P(x，y)，则由条件知M，由于M点在C1上，所以从而C2的参数方程为(α为参数)(2)曲线C1的极坐标方程为ρ＝4sinθ，曲线C2的极坐标方程为ρ＝8sinθ.射线θ＝与C1的交点A的极径为ρ1＝4sin，射线θ＝与C2的交点B的极径为ρ2＝8sin.所以|AB|＝|ρ1－ρ2|＝.2.已知曲线的极坐标方程是ρ=2，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系(1) 写出曲线的直角坐标方程；(2)若把上各点的坐标经过伸缩变换后得到曲线，求曲线上任意一点到两坐标轴距离之积的最大值．答案：⑴的普通方程为 x2+y2=4 ；⑵最大值为12.解析：(1)根据进行转化即可。
专题12 极坐标与参数方程(分层训练)教师版
专题12 极坐标与参数方程1．（2020·福建省厦门市高三质检（理）在直角坐标系xOy 下，曲线C 1的参数方程为cos ,sin x y αα=⎧⎨=⎩（α 为参数），曲线C 1在变换T ：2x xy y=''⎧⎨=⎩的作用下变成曲线C 2．（1）求曲线C 2的普通方程；（2）若m >1，求曲线C 2与曲线C 3：y =m |x |-m 的公共点的个数．【答案】（1）2214x y +=．（2）4 【解析】（1）因为曲线C 1的参数方程为cos ,sin ,x y αα=⎧⎨=⎩ 所以曲线C 1的普通方程为221x y +=，将变换T ：'2,',x x y y =⎧⎨=⎩即1',2',x x y y ⎧=⎪⎨⎪=⎩代入221x y +=，得22''14x y +=，所以曲线C 2的普通方程为2214x y +=．（2）因为m >1，所以3C 上的点()0,A m -在在椭圆E ：2214xy +=外，当x >0时，曲线3C 的方程化为y mx m =-，代入2214x y +=，得2222(41)84(1)0m x m x m +-+-=，（*） 因为422644(41)4(1)m m m ∆=-+⋅-216(31)0m =+>，所以方程（*）有两个不相等的实根x 1，x 2，又21228041m x x m +=>+，21224(1)041m x x m -=>+，所以x 1>0，x 2>0， 所以当x >0时，曲线C 2与曲线C 3有且只有两个不同的公共点， 又因为曲线C 2与曲线C 3都关于y 轴对称，所以当x <0时，曲线C 2与曲线C 3有且只有两个不同的公共点，综上，曲线C 2与曲线C 3：y =m |x |-m 的公共点的个数为4．2．（2020·广西师大附属外国语学校高三一模（理））曲线C 的参数方程为1m x mt ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数，0m >），以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线θα=与直线sin 2ρθ=交于点P ，动点Q 在射线OP 上，且满足|OQ ||OP |=8.（1）求曲线C 的普通方程及动点Q 的轨迹E 的极坐标方程；（2）曲线E 与曲线C 的一条渐近线交于P 1，P 2两点，且|P 1P 2|=2，求m 的值.【答案】（1）C ：222144x y m -=，E ：4sin ,0ρθρ=>；（2） 【解析】（1）由题：1m x mt t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以11xt m ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,两式平方得2224x y m -= 曲线C 的普通方程为222144x y m -= 设()Qρθ，，则()1P ρθ，因为|OQ ||OP |=8，所以18ρρ⋅=又因为P 点是直线θα=和2sin ρθ=的交点，所以12sin ρθ= 所以28sin ρθ⋅=，即4sin ρθ= 所以动点Q 的轨迹E 的极坐标方程为4sin ,0ρθρ=>（2）双曲线C 的渐近线过极点，所以渐近线的极坐标方程为θα=； 它与曲线E 的两个交点P 1.P 2，其中一个为极点， 所以|P 1P 2|12242sin sin tan ααα=⇒=⇒=⇒=所以1m m ±=⇒=3．（2020·河南省安阳市高三一模（理）以直角坐标系xOy 的原点为极坐标系的极点，x 轴的正半轴为极轴.已知曲线1C 的极坐标方程为4cos 8sin ρθθ=+，P 是1C 上一动点，2OP OQ =，Q 的轨迹为2C .（1）求曲线2C 的极坐标方程，并化为直角坐标方程， （2）若点(0,1)M ，直线l 的参数方程为cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩（t 为参数），直线l 与曲线2C 的交点为A ，B ，当||||MA MB +取最小值时，求直线l 的普通方程.【答案】（1）2cos 4sin ρθθ=+，22(1)(2)5x y -+-=（2）–10x y +=【解析】（1）设点P ，Q 的极坐标分别为()0,ρθ，(,)ρθ)，因为012cos 4sin 2ρρθθ==+，所以曲线2C 的极坐标方程为2cos 4sin ρθθ=+，两边同乘以ρ，得224cos sin ρρθρθ=+，所以2C 的直角坐标方程为2224x y x y +=+，即22(1)(2)5x y -+-=.（2）设点A ，B 对应的参数分别为1t ，2t ，则12||,||MA t MB t ==，将直线l 的参数方程cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩，（t 为参数），代入2C 的直角坐标方程()()22–125x y +-=中，整理得22(cos sin )30t t αα-+-=.由根与系数的关系得12122(cos sin ),3t t t t αα+=+=-.∴1212||||MA MB t t t t +=+=-===≥( 当且仅当sin 21α=-时，等号成立)∴当||||MA MB +取得最小值时，直线l 的普通方程为–10x y +=.4．（2020·福建省泉州市高三质检（理））在同一平面直角坐标系xOy 中，经过伸缩变换2,x x y y ''=⎧⎨=⎩后，曲线221:1C x y +=变为曲线2C .（1）求2C 的参数方程； （2）设()2,1A，点P 是2C 上的动点，求OAP △面积的最大值，及此时P 的坐标．【答案】（1）2cos ,sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）；（2）2-或(2【解析】（1）由伸缩变换2,x x y y ''=⎧⎨=⎩得到1,2.x x y y ⎧=⎪⎨⎪='⎩'……①将①代入221xy+=，得到221+=12x y ''（），整理得222:+=14xC y ''. 所以2C 的参数方程为2cos ,sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）．（2）设()()2cos ,sin 02πPααα<≤，直线:20OA x y -=，则P 到直线OA的距离为d ==所以111222OAP S OA d d =⋅==△≤当3π=4α或7π=4α时，OAP △， 此时P的坐标为2-或.5．（2020·黑龙江哈尔滨师大附中高三模拟（理））在直角坐标系xOy 中，参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（其中θ为参数）的曲线经过伸缩变换ϕ：2,x x y y''=⎧⎨=⎩得到曲线C.以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线D的极坐标方程为sin 42πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.（Ⅰ）求曲线C 的普通方程及曲线D 的直角坐标方程；（Ⅱ）设M 、N 分别为曲线C 和曲线D 上的动点，求||MN 的最小值.【答案】（Ⅰ）曲线C 的普通方程为2214x y +=；曲线D的极坐标方程为(sin cos )22ρθρθ+=；【解析】（Ⅰ）曲线C 的参数方程为2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（其中θ为参数），因此，曲线C 的普通方程为2214x y +=，曲线D的极坐标方程为(sin cos )2ρθρθ+=D的直角坐标方程为0x y +-=.（Ⅱ）设(2cos ,sin )M θθ，则||MN 的最小值为M到直线0x y +-=的距离为d ，d ==，当sin()1θϕ+=时，||MN. 6．（2020·吉林省高三二模（理））过点()1,0P -作倾斜角为α的直线与曲线:x C y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）相交于M 、N 两点． （1）写出曲线C 的一般方程； （2）求PM PN⋅的最小值．【答案】（1）22132x y +=；（2）43． 【解析】（1）由曲线C的参数方程x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ是参数），可得2222cos sin 132x y θθ+=+=，即曲线C 的一般方程为22132x y +=．（2）直线MN 的参数方程为1x t cos y t sin αα=-+⋅⎧⎨=⋅⎩（t 为参数），将直线MN 的参数方程代入曲线22132x y +=， 得()()2221cos 3sin 6t t αα-++=，整理得()223cos 4cos 40t t αα-⋅-⋅-=，设M ，N 对应的对数分别为1t ，2t ，则12243cos PM PN t t α⋅=⋅=-，当cos 0α=时，PM PN⋅取得最小值为43． 7．（2020·陕西省高三教学质量检测一（理））在平面直角坐标系xOy 中，l 的参数方程为1,11t x tt y t -+⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩（t为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22123sin ρθ=+.（1）求l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）求曲线C 上的点到l 距离的最大值及该点坐标.【答案】（1）l 的普通方程为210(1)x y x -+=≠；曲线C 的直角坐标方程为22143x y+=（2）曲线C上的点到直线l距离的最大值为，该点坐标为31,2⎛⎫-⎪⎝⎭【解析】（1）由1(1)221,111(1)111111t t x t t tt t y t t t -++-⎧===-⎪⎪+++⎨+-⎪===-⎪+++⎩（t 为参数），得1x ≠.消去参数t ，得l 的普通方程为210(1)x y x -+=≠； 将22123sin ρθ=+去分母得2223sin 12ρρθ+=，将222sin ,y x y ρθρ==+代入，得22143x y +=，所以曲线C 的直角坐标方程为22143x y +=.（2）由（1）可设曲线C的参数方程为2cos ,x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），则曲线C 上的点到l 的距离d==，当cos13πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，即2,3k kπαπ=-+∈Z时，maxd==此时，2cos21,3()3232x kky kππππ⎧⎛⎫=-+=⎪⎪⎪⎝⎭∈⎨⎛⎫⎪=-+=-⎪⎪⎝⎭⎩Z，所以曲线C上的点到直线l31,2⎛⎫-⎪⎝⎭.8．（2020·四川省成都市树德中学高三二诊（理））在平面直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为22cos2sinxyθθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为2224cos4sinραα=+.（1）求曲线1C的极坐标方程以及曲线2C的直角坐标方程；（2）若直线:l y kx=与曲线1C、曲线2C在第一象限交于,P Q两点，且||2||OP OQ=，点M的坐标为(2,0)，求ΔMPQ的面积.【答案】（1）1C的极坐标方程为4cosρθ=，2C的直角坐标方程为2214xy+=（2）3【解析】（1）依题意，曲线221:(x2)4C y-+=，即2240x y x+-=，故24cos0ρρθ-=，即4cosρθ=.因为2224cos4sinραα=+，故2222cos4sin4ραρα+=，即2244x y+=，即2214xy+=.（2）将0θθ=代入2224cos 4sin ραα=+，得2Q20413sin ρθ=+， 将0θθ=代入4cos p θ=，得04cos P ρθ=，由||2||OP OQ =，得2P Q ρρ=，得()2020164cos 13sin θθ=+，解得202sin 3θ=，则201cos 3θ=. 又002πθ<<，故04cos Q P ρρθ====， 故MPQ ∆的面积()01||sin 23MPQ OMP OMQ P Q S S S OM ρρθ∆∆∆=-=⋅⋅-⋅=.。
2021极坐标参数方程150题教师版(1)
ၸ =2 tπ 럠ၸ = tsin α （ ၸ = ρႹ볠Ⴙθ 2021 高考数学押题卷一、解答题1. 在直角坐标系 x ၸၸ 中，抛物线 C 的方程为ၸ2 = 럠x .（1） 以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 C 的极坐标方程；（2） 直线 l 的参数方程是 x = 2 ʹtcosαt 为参数），l 与 C 交于 A ，B 两点，A B= 럠 6，求 l 的倾斜角.【来源】【市级联考】河南省六市 2019 届高三第二次联考数学（文)试题【答案】（1）ρsin 2θ − 럠cos θ = O ；（2）π或α = 3π럠럠【解析】【分析】(1)由题意利用直角坐标与极坐标的转化公式可将直角坐标方程转化为极坐标方程； (2)联立直线参数方程与抛物线方程，结合参数的几何意义求得 sinα的值即可确定直线的倾斜角. 【详解】（1） ∵x = ρc 볠Ⴙθ ，代入ၸ2= 럠x ，∴ρႹ볠Ⴙ2θ − 럠c 볠Ⴙθ = O .（2） 不妨设点 A ，B 对应的参数分别是t 1，t 2，把直线 l 的参数方程代入抛物线方程得：t 2Ⴙ볠Ⴙ2α − 럠c 볠Ⴙα · t − 8 = O ，t 1 ʹ t 2 ∴ =럠c 볠Ⴙα Ⴙ볠Ⴙ2α，则 A B = t − t= 16ʹ16Ⴙ볠Ⴙ2α = 럠 6， t 1t 2 −8 Ⴙ볠Ⴙ2α1 2 Ⴙ볠Ⴙ2α∴Ⴙ볠Ⴙα = 2，∴α = π或α = 3π.2 럠 럠【点睛】本题主要考查直角坐标方程转化为极坐标方程的方法，直线参数方程的几何意义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2. 在直角坐标系 x ၸၸ 中，已知曲线C 1的参数方程：x = 1 − 2 t t 为参数22，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ = 2Ⴙsin θ ʹ Ⴙ변 O ．=2ၸ = 2 t2（1） 若曲线C 1与曲线C 2相切，求 Ⴙ 的值；（2） 若曲线C 1与曲线C 2交于 A ，B 两点，且|A B |= 6，求 a 的值．【来源】江西省吉安市 2019 届高三下学期第一次模拟考试数学（文)试题【答案】（1）Ⴙ = 2；（2） 럠【解析】【分析】（1） 先把曲线C 1和曲线C 2化成普通方程，再根据点到直线距离等于半径列等式可解得； （2） 联立直线与曲线C 2的参数方程，利用参数的几何意义可得答案【详解】（1） 直线C 1的直角坐标方程为 x ʹ ၸ − 1 = O ．C x − 2 Ⴙ 2 ʹ ၸ − 2 Ⴙ 2= Ⴙ2 圆 2的普通方程为 2．22Ⴙʹ 2Ⴙ−1因为直线 l 与圆C 相切，所以 2 2= Ⴙ ⇒ Ⴙ =．2럠x = 1 − 2 t（2） 把C 1的参数方程：2 （t 为参数）代入曲线C 2的普通方程： 2得t 2 − 2t − 2Ⴙ ʹ 1 = O ，故t 1 ʹ t 2 = 2,t 1t 2 =− 2Ⴙ ʹ 1，AB == t 1 − t 2 = ⇒ Ⴙ = 2．【点睛】本题考查了简单曲线的极坐标方程与普通方程之间的转化，较为简单3. 选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 x ၸၸ 中，过点 P − 2, − 럠 的直线 l 的参数方程为x = 2 ʹ 2 t2ၸ =− 럠 ʹ2 t2（t 为参数），以坐标原点 ၸ 为极点，以 x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线 C 的极坐标方程为ρsin 2θ = 2cosθ，记直线 l 与曲线 C 分别交于 M,Ⴙ 两点.（1） 求曲线 C 和 l 的直角坐标方程； （2） 证明： PM , M Ⴙ , P Ⴙ 成等比数列.【来源】【全国市级联考】河北省定州市 2018-2019 学年高二下学期期中考试数学（理) 试题【答案】(1)ၸ2 = 2x , ၸ = x − 2.（2）见解析. 【解析】【分析】（1） 曲线 C 的极坐标方程左右两边同乘ρ ，再利用 x = ρcos θ,ၸ = ρsin θ 可求其直角26 t 1 ʹ t 2 2 − 럠t 1t 2π럠2坐标方程；消参可求直线的普通方程；（2）把直线l 的参数方程和曲线 C 的直角坐标方程联立，利用韦达定理分别表示PM , MႹ , PႹ，利用等比中项法即可证明。
高中数学第一章极坐标系概念点极坐标及直角坐标互化练习北师大版选修44
极坐标系的概念、点的极坐标与直角坐标的互化练习1点P的直角坐标为(2,2)，那么它的极坐标可表示为()．A ．πB．2,3π2,44 C．2,5πD．2,7π442在极坐标系中，与点8,π关于极点对称的点的一个坐标是()．6A ．πB．8,5π8,66C．8,5πD．π8,63在极坐标系中，假设等边△ABC的两个顶点是A2,π，B2,5π，那么可能是顶点C44的坐标的是()．A．4,3πB．23,3π44C ．(23,π)D．(3，π)4在极坐标系中，极坐标2,5π化为直角坐标为()．A．(1,1)B．(－1,1)C．(1，－1)D．(－1，－1)5直线l过点A7,π，B7,π，那么直线l与极轴所在直线的夹角等于________．66点A5,π在条件：3( 1)ρ＞0，θ∈(－2π，0)下的极坐标是__________；( 2)ρ＜0，θ∈(2π，4π)下的极坐标是__________．7将以下极坐标化成直角坐标．(1)2,π；4(2)6,π；3(3)(5，π)．8极点在点(2，－2)处，极轴方向与x轴正方向相同的极坐标系中，点M的极坐标为4,π，求点M在直角坐标系中的坐标．6参考答案1答案：Bρ＝2222＝2，tanθ＝2＝－1，23π∵点P在第二象限，∴最小正角= .42答案：A点(ρ，θ)关于极点对称的点为(ρ，π＋θ)，故8,π关于极点对称的点的一个坐标为8,7π，即8,π.6663答案：B如图，由题设，可知两点关于极点对称，即O是的中点．A AB又|AB|＝4，△ABC为正三角形，πC的极角ππ3π5ππ7π∴|OC|＝23，∠AOC ＝，点==或4=，2424即点C的极坐标为23,3π或23,7π.444答案：Dx＝ρcosθ＝2sin5π=22=1，42y＝ρsinθ＝2sin5π=22=1，42故所求直角坐标为(－1，－1)．5答案：π如下列图，先在图形中找到直线与极轴夹角(要注意夹角是个锐角)，然4后根据点A，B的位置分析夹角大小．因为||＝||＝7，∠＝πππAOBOAOB3=，π66π5π所以OAB=6=.21 2所以ACO=ππ5π=π.31246答案：(1)5,5π(2)5,10π(1)当ρ＞0时，点A的极坐标形式为35,2kπ+π(k∈Z)，∵θ∈(－2π，0)．令k＝－1，点A的极坐标为,5π，符合题意．3(2)当ρ＜0时，5,π的极坐标的一般形式是,2k1π+π(k∈Z)．33∵θ∈(2π，4π)，当k＝1时，点A的极坐标为5,10π，符合题意．7答案：解：(1)x=2cosππ=1，y=2sin=1，4所以点2,π的直角坐标为(1,1)．4(2)x＝6·cosπ＝3，3y＝6·sin π33. =3所以点 6, π的直角坐标为(3，33)．(3) 3x＝5·cosπ＝－5，y＝5·sinπ＝0，所以点(5，π)的直角坐标为(－5,0)．8答案：解：设M(x，y)，那么x－2＝ρcosθ＝4cosπ=236∴x＝2＋23，y－(－2)＝ρsinθ＝4sinπ＝2.∴y＝2－2＝0.6∴点M的直角坐标为(2＋23，0)．。
极坐标参数方程高考练习含答案(非常好的练习题)(K12教育文档)
3．在极坐标系中,点 M 坐标是 (3, ) ，曲线 C 的方程为 2 2 sin( ) ;以极点为坐标原点，极
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轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率是 1的直线 l 经过点 M ．
（1)写出直线 l 的参数方程和曲线 C 的直角坐标方程；
（2）求证直线 l 和曲线 C 相交于两点 A、 B ，并求 | MA | | MB |的值．
极坐标参数方程高考练习含答案(非常好的练习题)(word 版可编辑修改)
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(I)求圆心 C 的直角坐标；(Ⅱ)由直线 l 上的点向圆 C 引切线，求切线长的最小值．
25．在直角坐标系中，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线 l 的
极坐标方程为 cos( ) 4
2
,曲线
C
的参数方程为
x
y
2 cos （ sin
为对数)，求曲线
28．已知圆的方程为 y2 6 y sin x2 8x cos 7 cos2 8 0 求圆心轨迹 C 的参数方程;点 P(x, y) 是(1)中曲线 C 上的动点，求 2x y 的取值范围。
极坐标训练题-教师用卷 (1)
极坐标训练题一、解答题（本大题共18小题，共216.0分）1.选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C1（φ为参数，0≤φ≤π）．以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝4sinθ（ρ≠0）．（1）求曲线C1的普通方程及曲线C2的直角坐标方程；（2）设直线C1，C2分别交于A，B两点，求|AB|．【答案】解：（1）将C1φ为参数，0≤φ≤π），曲线C2的极坐标方程ρ＝4sinθ（ρ≠0），化为ρ2＝4ρsinθ，x2＋y2＝4y，即x2＋y2－4y＝0（（0，0）点除外）．（2ρ∈R），曲线C10≤θ≤π）．设A（ρ1C1设B（ρ2C2【解析】本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，极径的应用．（1）直接利用转换关系把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化，（2）利用极坐标方程和直角坐标方程求出结果．2.【选修4-4:坐标系与参数方程】（1的极坐标方程和（2）的极坐标方程为，【答案】解：（1）因为直线l t为参数），所以直线l的普通l由曲线C1所以曲线C1（2【解析】本题主要考查参数方程、极坐标方程以及普通方程之间的互化，极坐标方程的应用，属于中档题.（1l的极坐标方程，则可得曲线C1（2.3.a>0)标变为原来的（1（2）若直线.【答案】解：(1)设(x,y)为M上任意一点，其在曲线C上对应的坐标为(x1,y1)由题得x =x1，y=ay1将参数方程化为普通方程(x-2)+y2=a2⇒x2+y2-4x+4=a2所以曲线M又因为a=2，所以曲线M(2)P，Q两点此时连立方程：解得a>1或a<-1(舍去），设p(m，Q(m+n m·n=4-a2又P是OQ的中点，所以n=2m所以4-a2a>0)⇒a|PQ|=n-m故【解析】(1)利用曲线位置关系进行点代换，从而得到新的曲线方程，利用参数方程化为普通方程在化为极坐标方程.(2)通过点位置关系进行连立方程，通过一元二次方程求解，该题PQ存在位置关系，通过设点用韦达定理求得a和PQ的距离4.在直角坐标系xOy中，直线l t为参数），曲线C的.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求直线l和曲线C的极坐标方程；（2）已知直线l上一点M射线OM与曲线C交于不同于极点的点N.【答案】解：（1（2）∵∴【解析】本题考查了直线的参数方程和圆的极坐标方程，属于中档题.（1）本题考查参数方程，极坐标方程和直角坐标方程的互化，（2）通过解极坐标方程，求出N点极坐标,利用M,N极角相等可得MN,属中档题.5.已知曲线C（θ为参数）．以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）若直线l：θ＝α（α∈[0，π），ρ∈R）与曲线C相交于A，B两点，设线段AB 的中点为M，求|OM|的最大值．【答案】解：（1）曲线C的普通方程为（x+1）2+（y-1）2=4，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，得ρ2+2ρcosθ-2ρsinθ-2=0．（2）联立θ=α和ρ2+2ρcosθ-2ρsinθ-2=0，得ρ2+2ρ（cosα-sinα）-2=0，设A（ρ1，α），B（ρ2，α），则ρ1+ρ2=2（sinα-cosα）由|OM|OM当时，|OM|【解析】本题考查了极坐标方程的应用、参数方程化为普通方程、直线与圆相交弦长问题、中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．（1）利用平方关系可得曲线C的普通方程，把x=ρcosθ，y=ρsinθ，代入即可得出．（2）联立θ=α和ρ2+2ρcosθ-2ρsinθ-2=0，得ρ2+2ρ（cosα-sinα）-2=0，设A（ρ1，α），B（ρ2，α），可得ρ1+ρ2=2（sinα-cosα）6.已知在极坐标系中，直线l的方程为ρ（cosθ-sinθ）=1，圆C的方程为ρ2-4ρcosθ+3=0（1）试判断直线l与圆C的位置关系；（2）若直线l与圆ρ2-4ρcosθ+a=0a的值．【答案】解：（1）由ρ（cosθ-sinθ）=1得x-y-1=0由ρ2-4ρcosθ+3=0得x2+y2-4x+3=0，即（x-2）2+y2=1（2）由ρ2-4ρcosθ+a=0得x2+y2-4x+a=0即（x-2）2+y2=4-a∵直线l与圆ρ2-4ρcosθ+a=0∴a=3【解析】（1）利用极坐标与普通方程的互化，然后通过圆心到直线的距离与半径的关系，判断直线与圆的位置关系．（2）求出圆的普通方程，然后利用圆的半径以及弦心距与半弦长的关系，求解a的值．本题考查极坐标与普通方程的互化，考查计算能力以及直线与圆的位置关系．7.在直角坐标系xOy中，曲线C1（t为参数，a＞0）．以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C1上一点A的极坐标为（1C2的极坐标方程为ρ＝cosθ．（Ⅰ）求曲线C1的极坐标方程；（Ⅱ）设点M，N在C1上，点P在C2上（异于极点），若O，M，P，N四点依次在同一条直线l上，且|MP|，|OP|，|PN|成等比数列，求l的极坐标方程．【答案】解：（Ⅰ）曲线C1t为参数，a＞0）．转换为直角坐标方程为：（x-a）2+y2=3，化简为：x2+y2-2ax+a2-3=0，转换为极坐标方程为：ρ2-2aρcosθ+a2-3=0，把曲线C1上一点A的极坐标（1a2-a-2=0，解得：a=2或a=-1（舍去）．所以曲线的极坐标方程为：ρ2-4ρcosθ+1=0．（Ⅱ）由题意知：设直线l的极坐标方程为θ=α（ρ∈R），设点M（ρ1，α），N（ρ2，α），P（ρ3，α），则：ρ1＜ρ2．得到：ρ2-4ρcosα+1=0，所以：ρ1+ρ2=4cosα，ρ1•ρ2=1．得到：ρ3=cosα．由于|MP|，|OP|，|PN|成等比数列，则：2cos2α=4cos2α-1，解得：所以直线l的极坐标方程为ρ∈R）．【解析】（Ⅰ）直接利用转化关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，建立方程组，进一步利用一元二次方程根和系数的关系，利用等比中项求出结果．本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，一元二次方程根与系数的关系的应用，等比中项的应用．8.[选修4—4：坐标系与参数方程]（，以坐标（l（2）分别交于，，的最大值．【答案】解：（1）曲线C（2∵∴∵∴，∴【解析】本题考查参数方程与极坐标的应用，属于基础题.(1)将直线的参数方程转化成直角坐标系，然后化成极坐标方程；值.，曲线（1（2【答案】解：（1）∵曲线C1的极坐标方程为：∴根据题意，曲线C1的直角坐标方程为：y=4.由曲线C2的参数方程消参即得C2的普通方程为：(x-1)2+(y-2)2=4.（2）∵曲线C3，∴曲线C3的普通方程为：y=x.联立C1与C2得x2-2x+1=0，解得x=1.∴点P坐标为(1，4).∴点P到C3的距离为：d设A，B C2的极坐标方程得，+=，·∴|AB|=|-|=|AB|·d·×【解析】本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程之间的转换，参数方程与普通方程之间的转换，熟练掌握极坐标方程与参数方程的相关知识即可解答此题.（1）本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程之间的转换，参数方程与普通方程之C1的直角坐标方程，消参数即得曲线C2的普通方程；（2）本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，点到直线的距离公式，解答本题的关键是联立C1与C2得关于点P横坐标的一元二次方程，解出即得点P坐标，由点到直线的距离公式可得点P到C3的距离，再设出A、B坐标，联立C2与C3得关于A、B 横坐标的一元二次方程，由一元二次方程根与系数的关系可轻松得到AB的长度，由此的面积.，，O的两条直线，M于A，B M于C，D两点，且(1)和M的极坐标方程；(2)O到A，B，C，D四点的距离之和的最大值．【答案】解：（1）l1的极坐标方程为θ=α，曲线M化为普通方程为（x-1）2+（y-1）2=1，即x2+y2-2x-2y+1=0，则曲线M的极坐标方程为：ρ2-2ρcosθ-2ρsinθ+1=0．（2）由题可知l2ρA+ρB=2cosα+2sinα，所以|OA|+|OB|+|OC|+|OD|=ρA+ρB+ρC+ρD因为α∈（0，所以所求距离和的最大值为【解析】本题主要考查极径的几何意义，把所求问题通过极径转化为求三角函数的最值问题，难度适中．把曲线M和直线l1，l2都化为极坐标方程，把点O到A，B，C，D四点的距离之和用四点的极径表示，从而把距离之和表示成α的函数，求函数的最大值即可．11.[选修4-4：坐标系与参数方程]已知曲线C t为参数），以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，过极点的两射线、与曲线C分别相交于A、B两点（不同于点O的倾斜角为锐角（1）求曲线C的极坐标方程；（2）求△OAB的面积的最小值，并求此时【答案】解：（1）由曲线C的参数方程，得普通方程为4y=x2,所以曲线Cl2(2)则由(1)的面积的最小值为16【解析】本题主要考查了参数方程与普通方程，直角坐标方程与极坐标方程的互化，以及极坐标方程的应用问题，属于中档题型.（1）由曲线C的参数方程，得普通方程为4y=x2,(2),得12.在直角坐标系xOy中，圆C（φ为参数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，点T的极坐标为（2（1）判断点T和圆C的位置关系，并求圆C的极坐标方程；（2）直线θ＝αρ∈R）和圆C相交于两个不同的点A、B，若△ABCcosα的值．【答案】解：（1）由圆Cφ为参数），得圆C的普通方程为（x－2）2＋y2＝1，则圆心为C（2，0），半径r＝1，∵点T的极坐标为（2∴点T1），∴点T在圆C外，∵圆C的一般方程为x2＋y2－4x＋3＝0，∴C的极坐标方程为ρ2－4ρcosθ＋3＝0．（2）∵△ABC∴sin∠ACB＝1，ρ2－4ρcosα＋3＝0，∵直线θ＝αρ∈R）和圆C相交于两个不同的点A、B，∴16cos2α－12＞0，即设A、B的极坐标分别为（ρA，α），B（ρB，α），【解析】本题考查简单曲线的极坐标方程，极坐标方程的应用，圆的参数方程.（1）将圆C的参数方程化为普通方程，将点T可判断点T和圆C C的一般方程可得圆C的极坐标方程；（2）根据△ABC的面积可求出∠ACB，得到|AB|ρ2－4ρcosα＋3＝0，结合根与系数的关系可得|AB|，从而可得关于cosα的方程，从而求出cosα的值.13.选修4-4：坐标系与参数方程．以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线（1）求曲线（2）的取值范围．【答案】解：（1（2的取值范围是【解析】本题考查了简单曲线的极坐标方程和参数方程的应用，属于基础题.（1可求出直角坐标方程；（2.14.在平面直角坐标系xOy中，直线l1t为参数），直线l2过点O C（l1与l2交于点M，l2与C交于点N（异于原点），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C和直线l1的极坐标方程．（2【答案】解：（1）由直线l1的参数方程得直线l1∴直线l1由曲线C的参数方程得曲线C的普通方程为x2＋（y－1）2＝1，∴曲线C（2∴1．的最大值为【解析】本题主要考查坐标系与参数方程，以及极坐标的几何意义的应用.（1）消去参数t可得直线l1的普通方程，再求极坐标方程；消去参数α可得曲线C的普通方程，再求极坐标方程即可.（2数知识求解即可.15.[选修4—4：坐标系与参数方程]（Ⅰ（Ⅱ【答案】↵解：（I∴曲线C的普通方程为（x-a）2+y2=a2．可得圆心为C（a，0），半径r=a．∵把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入，得直线MN的普通方程为：x-y+6=0．∵圆心C到直线MN，即整理得a2-12a-64=0,解得a=-4或a=16，又∵a>0，∴a=16；（Ⅱ）由（I）得，圆C的普通方程为（x-a）2+y2=a2．把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入得（ρcosθ-a）2+（ρsinθ）2=a2，化简得曲线C的极坐标方程为ρ=2a cosθ．∴|OM|+|ON|的最大值为【解析】本题考查参数方程化为直角坐标方程、直线与圆相交弦长问题、两角和差的三角函数公式、曲线的直角坐标方程与极坐标方程的互化，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．（I）利用直角坐标方程求解：由C的参数方程，利用cos2θ+sin2θ=1消参得普通方程．由MN坐标方程，把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入，得直线l的直角坐标，进而利用弦长公式求解．（Ⅱ）利用极坐标方程求解：由（I）得，圆C的直角坐标方程，根据极值互化公式x=ρcosθ，y=ρsinθθ的表达式，利用两角和差的三角函数公式化简，根据三角函数的性质得到最大值．16.[选修4-4；坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy中，已知曲线M（，过原点O l交M于A，B两点.以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求l和M的极坐标方程；（2.【答案】解：（1）由题意可得，直线l曲线M所以M（2代入所以分别是点A，B的极径.的取值范围是【解析】本题主要考查求曲线极坐标方程以及极坐标方程的应用，正余弦函数的性质，属于中档题.（1）由题意可得，直线l.（2的式子表示，结合正余弦函数的性质求解.17.，，0的直线.（1（2）（异于点，.【答案】【解答】.解：（1（2【解析】【分析】本题考查极坐标参数方程，关键是弄懂极坐标的几何意义，属中档题.（1）直接用公式代入并化简即得；（2转化为三角函数问题得解.18.（1的极坐标方程；（2【答案】解：（1（2）知,··【解析】本题考查极坐标与直角坐标间的互化，考查极坐标方程的应用，属中档题，（1）利用极坐标与直角坐标的互化公式可得极坐标方程．（21求得结果．。
极坐标练习题(含详细答案)
1．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎨⎧ x ′＝5x ，y ′＝3y后，曲线C 变为曲线x ′2＋y ′2＝1，则曲线C 的方程为( ) A ．25x 2＋9y 2＝1 B ．9x 2＋25y 2＝1 C ．25x ＋9y ＝1 D.x 225＋y 29＝12．极坐标方程ρ＝cos θ化为直角坐标方程为( )A ．(x ＋12)2＋y 2＝14B ．x 2＋(y ＋12)2＝14C ．x 2＋(y －12)2＝14D ．(x －12)2＋y 2＝14答案 D解析 由ρ＝cos θ，得ρ2＝ρcos θ，∴x 2＋y 2＝x .选D.3．极坐标方程ρcos θ＝2sin2θ表示的曲线为( )A ．一条射线和一个圆B ．两条直线C ．一条直线和一个圆D ．一个圆 答案 C4．在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是( )A ．(1，π2)B ．(1，－π2)C ．(1,0)D ．(1，π) 答案 B解析 由ρ＝－2sin θ，得ρ2＝－2ρsin θ，化为普通方程x 2＋(y ＋1)2＝1，其圆心坐标为(0，－1)，所以其极坐标为(1，－π2)，故应选B.5．设点M 的直角坐标为(－1，－3，3)，则它的柱坐标为( )A ．(2，π3，3)B ．(2，2π3，3)C ．(2，4π3，3)D ．(2，5π3，3) 答案 C6．(2013·安徽)在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( )A ．θ＝0(ρ∈R )和ρcos θ＝2B ．θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝2C ．θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝1D ．θ＝0(ρ∈R )和ρcos θ＝1答案 B解析 由题意可知，圆ρ＝2cos θ可化为普通方程为(x －1)2＋y 2＝1.所以圆的垂直于x 轴的两条切线方程分别为x ＝0和x ＝2，再将两条切线方程化为极坐标方程分别为θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝2，故选B.7．在极坐标系中，过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是( )A ．ρ＝cos θB ．ρ＝sin θC ．ρcos θ＝1D ．ρsin θ＝1答案 C解析 过点(1,0)且与极轴垂直的直线，在直角坐标系中的方程为x ＝1，所以其极坐标方程为ρcos θ＝1，故选C.8．(2013·天津)已知圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，圆心为C ，点P 的极坐标为(4，π3)，则|CP |＝________.答案 2 3解析 由圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，得圆心C 的直角坐标为(2,0)，点P 的直角坐标为(2,23)，所以|CP |＝2 3.9．(2014·唐山一中)在极坐标系中，点P (2，－π6)到直线l ：ρsin(θ－π6)＝1的距离是________．答案 3＋1 解析 依题意知，点P (3，－1)，直线l 为x －3y ＋2＝0，则点P 到直线l 的距离为3＋1.10．若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________．答案 x 2＋y 2－4x －2y ＝0解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ⇒cos θ＝x ρ，sin θ＝y ρ，ρ2＝x 2＋y 2，代入ρ＝2sin θ＋4cos θ，得ρ＝2y ρ＋4x ρ⇒ρ2＝2y ＋4x ⇒x 2＋y 2－4x －2y ＝0.11．在极坐标系中，直线ρsin(θ＋π4)＝2被圆ρ＝4截得的弦长为________．答案 4 3解析 直线ρsin(θ＋π4)＝2可化为x ＋y －22＝0，圆ρ＝4可化为x 2＋y 2＝16，由圆中的弦长公式，得 2r 2－d 2＝242－(222)2＝4 3. 12．在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的圆心的极坐标是________，它与方程θ＝π4(ρ>0)所表示的图形的交点的极坐标是________．答案 (1,0) (2，π4)解析 ρ＝2cos θ表示以点(1,0)为圆心，1为半径的圆，故圆心的极坐标为(1,0)．当θ＝π4时，ρ＝2，故交点的极坐标为(2，π4)．13．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，曲线ρ＝2sin θ与ρcos θ＝－1的交点的极坐标为________．答案 (2，3π4)解析 ρ＝2sin θ的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，ρcos θ＝－1的直角坐标方程为x ＝－1.联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－2y ＝0，x ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1，即两曲线的交点为(－1,1)．又0≤θ<2π，因此这两条曲线的交点的极坐标为(2，3π4)．14．在极坐标系中，直线ρ(cos θ－sin θ)＋2＝0被曲线C ：ρ＝2所截得弦的中点的极坐标为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4 解析 直线ρ(cos θ－sin θ)＋2＝0化为直角坐标方程为x －y ＋2＝0，曲线C ：ρ＝2化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝4.如图，直线被圆截得弦AB ，AB 中点为M ，则|OA |＝2，|OB |＝2，从而|OM |＝2，∠MOx ＝3π4. ∴点M 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4. 15．已知点M 的极坐标为(6，11π6)，则点M 关于y 轴对称的点的直角坐标为________．答案 (－33，－3)解析 ∵点M 的极坐标为(6，11π6)，∴x ＝6cos 11π6＝6cos π6＝6×32＝33，y ＝6sin 11π6＝6sin(－π6)＝－6×12＝－3.∴点M 的直角坐标为(33，－3)．∴点M 关于y 轴对称的点的直角坐标为(－33，－3)． 16．在极坐标系中，点P (2，3π2)到直线l ：3ρcos θ－4ρsin θ＝3的距离为________．答案 1解析 在相应直角坐标系中，P (0，－2)，直线l 方程为3x －4y －3＝0，所以P 到l 的距离d ＝|3×0－4×(－2)－3|32＋42＝1. 17．从极点O 作直线与另一直线l ：ρcos θ＝4相交于点M ，在OM 上取一点P ，使|OM |·|OP |＝12.(1)求点P 的轨迹方程；(2)设R 为l 上的任意一点，试求|RP |的最小值．答案 (1)ρ＝3cos θ (2)1解析 (1)设动点P 的坐标为(ρ，θ)，M 的坐标为(ρ0，θ)，则ρρ0＝12.∵ρ0cos θ＝4，∴ρ＝3cos θ即为所求的轨迹方程．(2)由(1)知P 的轨迹是以(32，0)为圆心，半径为32的圆，易得|RP |的最小值为1.18．在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin(θ－π4)＝22.(1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 公共点的极坐标．答案 (1)x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0 (2)(1，π2)解析 (1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，圆O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝x ＋y ，即x 2＋y 2－x －y ＝0.直线l ：ρsin(θ－π4)＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝1，则直线l 的直角坐标方程为y －x ＝1，即x －y＋1＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1. 故直线l 与圆O 公共点的极坐标为(1，π2)．。
极坐标练习题(含详细答案)
极坐标练习题(含详细答案)1．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎨⎧ x ′＝5x ，y ′＝3y后，曲线C 变为曲线x ′2＋y ′2＝1，则曲线C 的方程为( )A ．25x 2＋9y 2＝1 B ．9x 2＋25y 2＝1 C ．25x ＋9y ＝1 D.x 225＋y 29＝12．极坐标方程ρ＝cos θ化为直角坐标方程为( ) A ．(x ＋12)2＋y 2＝14B ．x 2＋(y ＋12)2＝14C ．x 2＋(y －12)2＝14D ．(x －12)2＋y 2＝14答案 D解析 由ρ＝cos θ，得ρ2＝ρcos θ，∴x 2＋y 2＝x .选D. 3．极坐标方程ρcos θ＝2sin2θ表示的曲线为( ) A ．一条射线和一个圆 B ．两条直线 C ．一条直线和一个圆 D ．一个圆 答案 C4．在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是( ) A ．(1，π2)B ．(1，－π2)C ．(1,0)D ．(1，π) 答案 B解析 由ρ＝－2sin θ，得ρ2＝－2ρsin θ，化为普通方程x 2＋(y ＋1)2＝1，其圆心坐标为(0，－1)，所以其极坐标为(1，－π2)，故应选B.5．设点M 的直角坐标为(－1，－3，3)，则它的柱坐标为( ) A ．(2，π3，3)B ．(2，2π3，3) C ．(2，4π3，3) D ．(2，5π3，3) 答案 C6．(2013·安徽)在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为()A．θ＝0(ρ∈R)和ρcosθ＝2B．θ＝π2(ρ∈R)和ρcosθ＝2C．θ＝π2(ρ∈R)和ρcosθ＝1D．θ＝0(ρ∈R)和ρcosθ＝1答案 B解析由题意可知，圆ρ＝2cosθ可化为普通方程为(x－1)2＋y2＝1.所以圆的垂直于x轴的两条切线方程分别为x＝0和x＝2，再将两条切线方程化为极坐标方程分别为θ＝π2(ρ∈R)和ρcosθ＝2，故选B.7．在极坐标系中，过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是()A．ρ＝cosθB．ρ＝sinθC．ρcosθ＝1 D．ρsinθ＝1答案 C解析过点(1,0)且与极轴垂直的直线，在直角坐标系中的方程为x＝1，所以其极坐标方程为ρcosθ＝1，故选C.8．(2013·天津)已知圆的极坐标方程为ρ＝4cosθ，圆心为C，点P的极坐标为(4，π3)，则|CP|＝________.答案2 3解析由圆的极坐标方程为ρ＝4cosθ，得圆心C的直角坐标为(2,0)，点P 的直角坐标为(2,23)，所以|CP|＝2 3.9．(2014·唐山一中)在极坐标系中，点P(2，－π6)到直线l：ρsin(θ－π6)＝1的距离是________．答案3＋1解析依题意知，点P(3，－1)，直线l为x－3y＋2＝0，则点P到直线l 的距离为3＋1.10．若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________．答案 x 2＋y 2－4x －2y ＝0解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ⇒cos θ＝x ρ，sin θ＝yρ，ρ2＝x 2＋y 2，代入ρ＝2sin θ＋4cos θ，得ρ＝2y ρ＋4xρ⇒ρ2＝2y ＋4x ⇒x 2＋y 2－4x －2y ＝0.11．在极坐标系中，直线ρsin(θ＋π4)＝2被圆ρ＝4截得的弦长为________．答案 4 3解析 直线ρsin(θ＋π4)＝2可化为x ＋y －22＝0，圆ρ＝4可化为x 2＋y 2＝16，由圆中的弦长公式，得2r 2－d 2＝242－(222)2＝4 3.12．在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的圆心的极坐标是________，它与方程θ＝π4(ρ>0)所表示的图形的交点的极坐标是________． 答案 (1,0) (2，π4)解析 ρ＝2cos θ表示以点(1,0)为圆心，1为半径的圆，故圆心的极坐标为(1,0)．当θ＝π4时，ρ＝2，故交点的极坐标为(2，π4)．13．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，曲线ρ＝2sin θ与ρcos θ＝－1的交点的极坐标为________．答案 (2，3π4) 解析 ρ＝2sin θ的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，ρcos θ＝－1的直角坐标方程为x ＝－1.联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－2y ＝0，x ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1，即两曲线的交点为(－1,1)．又0≤θ<2π，因此这两条曲线的交点的极坐标为(2，3π4)． 14．在极坐标系中，直线ρ(cos θ－sin θ)＋2＝0被曲线C ：ρ＝2所截得弦的中点的极坐标为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4解析 直线ρ(cos θ－sin θ)＋2＝0化为直角坐标方程为x －y ＋2＝0，曲线C ：ρ＝2化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝4.如图，直线被圆截得弦AB ，AB 中点为M ，则|OA |＝2，|OB |＝2，从而|OM |＝2，∠MOx ＝3π4. ∴点M 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4.15．已知点M 的极坐标为(6，11π6)，则点M 关于y 轴对称的点的直角坐标为________．答案 (－33，－3) 解析 ∵点M 的极坐标为(6，11π6)， ∴x ＝6cos11π6＝6cos π6＝6×32＝33， y ＝6sin 11π6＝6sin(－π6)＝－6×12＝－3.∴点M 的直角坐标为(33，－3)．∴点M 关于y 轴对称的点的直角坐标为(－33，－3)．16．在极坐标系中，点P (2，3π2)到直线l ：3ρcos θ－4ρsin θ＝3的距离为________．答案 1解析 在相应直角坐标系中，P (0，－2)，直线l 方程为3x －4y －3＝0，所以P 到l 的距离d ＝|3×0－4×(－2)－3|32＋42＝1.17．从极点O 作直线与另一直线l ：ρcos θ＝4相交于点M ，在OM 上取一点P ，使|OM |·|OP |＝12.(1)求点P 的轨迹方程；(2)设R 为l 上的任意一点，试求|RP |的最小值． 答案 (1)ρ＝3cos θ (2)1解析 (1)设动点P 的坐标为(ρ，θ)， M 的坐标为(ρ0，θ)，则ρρ0＝12.∵ρ0cos θ＝4，∴ρ＝3cos θ即为所求的轨迹方程．(2)由(1)知P 的轨迹是以(32，0)为圆心，半径为32的圆，易得|RP |的最小值为1.18．在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin(θ－π4)＝22.(1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 公共点的极坐标． 答案 (1)x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0 (2)(1，π2)解析 (1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，圆O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝x ＋y ，即x 2＋y 2－x －y ＝0.直线l ：ρsin(θ－π4)＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝1，则直线l 的直角坐标方程为y －x ＝1，即x －y ＋1＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1.故直线l 与圆O 公共点的极坐标为(1，π2)．。
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极坐标 练习 01
一：选择题
1．下列在曲线sin 2()cos sin x y θθθθ
=⎧⎨=+⎩为参数上的点是（ ）
A
．1(,2 B ．31(,)42
- C
． D
． 2．将参数方程222sin ()sin x y θθθ
⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数化为普通方程为（ ） A ．2y x =- B ．2y x =+ C ．2(23)y x x =-≤≤ D ．2(01)y x y =+≤≤
3．化极坐标方程2cos 0ρθρ-=为直角坐标方程为（ ）
A ．201y y +==2x 或
B ．1x =
C ．201y +==2x 或x
D ．1y =
4．点M
的直角坐标是(1-，则点M 的极坐标为（ ）
A ．(2,)3
π B ．(2,)3π- C ．2(2,)3π D ．(2,2),()3k k Z ππ+∈ 二：填空
1．已知直线113:()24x t l t y t
=+⎧⎨=-⎩为参数与直线2:245l x y -=相交于点B ，又点(1,2)A ， 则AB =_______________。
2．直线122()112
x t t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数被圆224x y +=截得的弦长为______________。
3、点()22-，的极坐标为 。
4、若A 33，π⎛⎝ ⎫⎭⎪，B ⎪⎭⎫ ⎝
⎛-64π，，则|AB|=___________，S AOB ∆=___________。
（其中O 是极点） 5、极点到直线(
)cos sin ρθθ+=________ _____。
6、极坐标方程2sin 2cos 0ρθθ-⋅=表示的曲线是_______ _____。
7、直线l 过点()5,10M ，倾斜角是3
π，且与直线032=--y x 交于M ，则0MM 的长为 。
8.已知点P 的极坐标是（1，π），则过点P 且垂直极轴的直线极坐标方程是 .
9.在极坐标系中，曲线)3sin(4π
θρ-=一条对称轴的极坐标方程 .
10.在极坐标中，若过点(3，0)且与极轴垂直的直线交曲线θρcos 4=于A 、B 两点. 则|AB|= .
11.已知三点A(5，
2π)，B(-8，π611)，C(3，π6
7)，则ΔABC 形状为 . 三、解答题。
1、求圆心为C 36，π⎛⎝ ⎫⎭⎪，半径为3的圆的极坐标方程。
1．B 转化为普通方程：21y x =+，当34x =-时，12
y = 2．C 转化为普通方程：2y x =-，但是[2,3],[0,1]x y ∈∈
3．C (cos 1)0,0,cos 1x ρρθρρθ-=====或
4．C 2(2,2),()3k k Z ππ+
∈都是极坐标 5．C 2cos 4sin cos ,cos 0,4sin ,4sin ρθθθθρθρρθ====或即
则,2k π
θπ=+
或224x y y += 1．52 将1324x t y t
=+⎧⎨=-⎩代入245x y -=得12t =，则5(,0)2B ，而(1,2)A ，得52AB =
2 直线为10x y +-=，圆心到直线的距离
d ==2=，
3．2π
θα=+ c o s c o s s i n s i n 0,c o s (ρθαρθαθα+=-=，取2π
θα-=
4、⎪⎭⎫ ⎝⎛-422π，或写成⎪⎭⎫ ⎝
⎛4722π，。
5、5，6。
6、d ==3262。
7、()22sin 2cos 02y x ρθρθ-==，即，它表示抛物线。
8、3610+。
9.ρcos θ= -1；10.56
πθ=；11.12.等边三角形；13.(x-2)2+(y-2)2=2;
三、解答题
1、1、如下图，设圆上任一点为P （ρθ，），则((((2366OP POA OA π
ρθ=∠=-=⨯=，，
((((cos Rt OAP OP OA POA ∆=⋅∠中， 6c o s 6πρθ⎛⎫
∴=- ⎪⎝⎭而点O )
32
,0(π A )6,0(π符合 P。