古典概型 2
古典概型(2)
0.44 251 22 1 在 处波动较大 249 25 0.50 2 21 0.42 256
6
7
2
4
0.54
258
0.516
历史上曾有人作过抛掷硬币的大量重 复试验，结果如下表所示： 抛掷次数 2 048 4 040 12 000 24 000 30 000 72 088 正面向上次数 1 061 2 048 6 019 12 012 14 984 36 124 频率 0.5181 0.5069 0.5016 0.5005 0.4996 0.5011
课堂讨论
1.一年按365天算，2名同学在同一天过生日 的概率为____________ 1/365
2.已知甲、乙、丙3人在3天节日中值班，每 人值班一天，那么甲排在乙前面值班的概 率为____________ 1/2
数学建构
古典概型的概率
如果一次试验的等可能基本事件共有n 1 个，那么每一个基本事件的概率都是 。
n
如果某个事件A包含了其中m个等可能基本 m 事件，那么事件A的概率 P ( A)
n
数学应用
例1 试判断下列事件是随机事件、必然事件 还是不可能事件 :
1我国东南沿海某地明年将 3 次受到热带气旋的侵袭 ; 2若a 为实数, 则 | a | 0 ; 3某人开车通过10 个路口都将遇到绿灯 ; 4抛一石块, 下落 ; 5一个正六面体的六个面分别写有数字1,2,3,4,5,6 ,
1 2 3 4 5
n5
n 50
f
0.4 0.6
nH
2 3
nH
f
n 500 f nH
0.502 0.498 0.512
1
5 1
0.2
§3.2.1古典概型(2)
喜欢电脑游戏
18
不喜欢电脑游戏
8
列总数
26
9
27
15
23
24
50
如果校长随机地问这个班的一名学生, 下面事件发生的概率是 多少?(1) 认为作业多; (2) 喜欢电脑游戏并认为作业不多.
解：（1）从50人中抽1人, 有50个基本事件, 认为作业多的26人, 在这个事件中抽1人, 有26个基本事件.
∴认为作业多的概率是
P(“能取到钱”)＝ “能取到钱”所包含的基本事件的个数 1
10000
10000
例5、某种饮料每箱装6听，如果其中有2听不合格，问质检人 员从中随即抽出2听，检测出不合格产品的概率有多大？
分析:抽出的 2 听中, 只要有不合格产品就算检测出不合格产品了， 即抽到 1 听或 2 听不合格产品都为事件发生.
解：记5本不同的语文书分别为a，b，c，d，e，4本不同的 数学书分别为M，N，P，Q， 从中任意取出2本，有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(a， M)，(a，N)，(a，P)，(a，Q)；
(b，c)，(b，d)，(b，e)，(b，M)，(b，N)，(b，P)，(b，Q)；
(c，d)，(c，e)，(c，M)，(c，N)，(c，P)，(c，Q)；
球 同 1- 1 2 . 33
色
→
甲
取出的两个球同色
球→甲胜
胜
→甲胜
取出的球是白 取出的两个球不同色→ 取出的两个球不同
球→乙胜
乙胜
色→乙胜
P(“红球”) 1
2
P(“同色”) 2（2 1） 1 .
43 3
P(“同色”)
32 1. 43 2
古典概型2
（350种）
4 350 A4 8400 525 P= = = 7 4 16384 1024
小球放置问题
(4）将12个相同的小球放入编号为1，2，3的盒子内，是的盒内小球数 不少于其编号的概率为多少？ 关键词：相同的小球，不同的盒子，（转换为隔板问题） 不少于其编号的情况第二盒子先放1个小球，第三个盒子先放2个小球。 转换为每个盒子至少放一个小球的问题。而总的问题为每个盒子假设 放1个小球，问题同样转化成每个盒子至少放一个小球的问题
C A
4 7
4 4
C C A
3 7 2 5
4 4
总的情况：
47
（16384）
525 P= 1024
小球放置问题
6、将5个不同的小球放入编号为1,2,3,4,5的五个盒子，恰有一个空盒的概率为多 少？ 解析：恰有一个空盒 总情况：
2 1 1 C 1 4 5 C3 C2 C5 A 4 3 A3
（1200） （3125）
3 C6 20 1 P= 3 = = C10 120 6
(4) 将7个不同的小球任意的放入4个不同的盒子中，每个盒子里至少有一个球的 概率是？
小试身手
(2013新课标)从n个正整数1,2，...，n中任意取出两 个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为 1 14 则n=?
答案n=8
小试身手
（2011陕西）甲乙两人一起去游“2011西安世园会 ”他们约定，各自独自地4个进行从1号到6号景 点中任取4个进去游览，每个景点参观1小时，则 最后一小时他们同在一个景点的概率是（） 1 A B 1 C 5 D 1 9 6 31 36 答案：甲、乙参观每个景点是随机且独立的，在最 后一个小时参观那个景点是等可能的，甲有6种可 能，乙有6中可能基本事件的总空间总数=36，两 个人在同一个景点的基本事件数6， 。 1 P 6
古典概型2
古典概型(2)一、知识点剖析1、古典概型的定义与特点 掌握要点：古典概型的两个特征:(1)一次试验中，可能出现的结果只有有限个，即有限性；(2)试验中每个基本事件发生的可能性是均等的，即等可能性.在古典概型中，P (A )=试验的基本事件数包含的基本事件数事件A易混易错：要套用古典概型的概率计算公式，首先要确定好基本事件总数。
强调在用古典概型计算概率时，必须要验证所构造的基本事件是否满足古典概型的第二个条件（每个结果出现是等可能的），否则计算出的概率将是错误的.另外如果计算中有重复现象，应注意除掉重复部分.在求事件A 包含的基本事件个数时如果情况不同应注意分类讨论. 2、用排列和组合解决古典概型问题 掌握要点：从n 个不同的元素中取出m(m ≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同的元素中取出m 个元素的排列。
一般地，从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合。
易混易错：共同点: 都要“从n 个不同元素中任取m 个元素” 不同点: 排列与元素的顺序有关， 而组合则与元素的顺序无关.构造排列分成两步完成，先取后排；而构造组合就是其中一个步骤. 3、有些抽样问题存在放回和不放回的区别 掌握要点： 分类计数原理完成一件事，有n 类办法. 在第1类办法中有m 1种不同的方法，在第2类方法中有m 2种不同的方法，……，在第n 类方法中有m n 种不同的方法，则完成这件事共有n m m m N ++=21分步计数原理完成一件事，需要分成n 个步骤。
做第1步有m 1种不同的方法，做第2步有m 2种不同的方法， ……，做第n 步有m n 种不同的方法，则完成这件事共有n m m m N ∙∙∙= 21 易混易错：有放回抽样与无放回抽样都属等可能事件. 对于具体问题，不知用分步还是分类二、典型题型剖析1、古典概型的定义与特点 方法归纳：在古典概型中，P (A )=试验的基本事件总数包含的基本事件数事件A例题：例1、将骰子先后抛掷2次，计算： （1）一共有多少种不同的结果？（2）其中向上的数之和是5的结果有多少种？ （3）向上的数之和是5的概率是多少？主要过程：有些等可能事件的概率问题中，有时在求m 时，不采取分析的方法，而是结合图形采取枚举的方法，即数出事件A 发生的结果数，当n 较小时，这种求事件概率的方法是常用的.将抛掷2次的所有结果数一一列举出来，如下表所示由上表可知，将骰子先后抛掷2次，一共有36种不同的结果，其中向上的数之和是5的结果有（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）共4种，由于骰子是均匀的，将它抛掷2次的所有36种结果是等可能出现的，故向上的数之和是5的概率是.例2、甲、乙两个均匀的正方体玩具，各个面上分别刻有1，2，3，4，5，6六个数字，将这两个玩具同时掷一次.（1）若甲上的数字为十位数，乙上的数字为个位数，问可以组成多少个不同的数，其中个位数字与十位数字均相同的数字的概率是多少? （2）两个玩具的数字之和共有多少种不同结果?其中数字之和为12的有多少种情况?数字之和为6的共有多少种情况?分别计算这两种情况的概率. 主要过程：（1）甲有6种不同的结果，乙也有6种不同的结果，故基本事件总数为6×6=36其中十位数字共有6种不同的结果，若十位数字与个位数字相同，十位数字确定后，个位数字也即确定.故共有6×1=6种不同的结果，即概率为61366 .10，11，12共11种不同结果.从中可以看出，出现2的只有一种情况，而出现12的也只有一种情况，它们的概率均为361，因为只有甲、乙均为1或均为6时才有此结果. 出现数字之和为6的共有（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1）五种情况，所以其概率为365. 强调内容：（1）判断一个试验是否是古典概型，要把握两个特征:(1)一次试验中，可能出现的结果只有有限个，即有限性；(2)试验中每个基本事件发生的可能性是均等的，即等可能性.“等可能性”指的是结果，而不是事件. （2）“等可能性”指的是结果，而不是事件.（3）使用计算公式时，关键是准确写出试验的基本事件数. 2、利用排列组合解决古典概型问题 方法归纳：判断排列还是组合：有序用排列，无序用组合 例 题：例2、今有强弱不同的十支球队，若把它们分两组进行比赛，分别计算： （1）两个最强的队被分在不同组内的概率. （2）两个最强的队恰在同一组的概率. 解：将十支球队平均分成两组，因每支球队分到哪一组的可能性完全相同，所以是等可能性事件．所有基本事件个数为5510522C C A . （1）两个最强的队被分在不同组记为事件A ，则A 中含有基本事件数为44284222C C A A ，故两支最强的队被分在不同组内的概率为：.C；故两个最强的队（2）两个最强的队恰在同一组记为事件B，则B中含有基本事件数为38恰在同一组内的概率为：强调内容：（1）什么时候用排列什么时候用组合：事件结果有顺序时用排列，无顺序时用组合（2）公式的运用3、放回与不放回求概率问题方法归纳：求概率时放回的用分步计数原理，不放回的采用排列组合来解决。
古典概型(2)
概 率 初 步
（1）古典概型的适用条件： ①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个； ②每个基本事件出现的可能性相等. （2）古典概型的解题步骤： ①求出总的基本事件数； ②求出事件A所包含的基本事件数，然后利用 公式P(A)=
不重不漏
A包含的基本事件的个数 基本事件的总数
答（1）试验的基本事件的总数为16个
13 （2）出现点数之和大于3的概率为 16 1 （3）出现点数相同的概率为 4
9 探究（1）点数之和为质数的概率为多少？ 16
（2）点数之和为多少时，概率最大且概率是多少？ 5; 1 4
例2 用3种不同颜色给图3-2-3中三个矩形随机涂色，每个 矩形只涂一种颜色，求（1）三个矩形颜色都相同的概率； （2）三个矩形颜色都不同的概率．
9 布），则该试验的基本事件数是______，平局的
1 1 概率是__________，甲赢乙的概率是________， 3 3 1
乙赢甲的概率是___________． 3
例 题 分 析
【例4】同时掷两个骰子,计算： （1）一共有多少种不同的结果？ （2）其中向上的点数之和是5的结果有多少种？ （3）向上的点数之和是5的概率是多少？ （4）两数之和是3的倍数的概率是多少？
出树形图观察基本事件的总数．
图3
1
1
1
1
2
2
2
3
2
3
3
3
变式：一次摸一只球，摸两次，求“出现一只白 球、一只黑球”的概率是多少？
例3与例3的变式有何区别？ 例3是取后再放回，属于有序可重复类型；而变式 是取后不放回，属于有序不重复类型。
在古典概型的实际问题中，我们一定要注意审题， 从而准确的写出实际问题中的基本事件。
3.2.1 古典概型(2)
8．某班数学兴趣小组有男生 3 名和女生 2 名，现从中任选 3 名学生去参加学校的数
学竞赛，求
（1）恰有一名参赛学生是女生的概率 3/5 （2）至少有一名参赛学生是女生的概率 9/10 （3）至多有一名参赛学生是女生的概率 7/10
古典概型（2）
1.了解基本事件的特点，能写出一次试验所出现的基本事件．(易错易混 点) 2.理解古典概型及其概率计算公式，会判断古典概型．(难点) 3.会用列举法求古典概型的概率．(重点)
复习回顾
1、什么是基本事件？基本事件有何特点？ 一次试验中可能出现的每一个结果都称为一个基本事件
基本事件有两个特征：（1）任何两个基本事件是互斥的；
64
8
5．甲、乙两人玩出拳游戏一次（石头、剪刀、布），则该试验的基本事件数是___9___， 平 6．局从的编概号率为是1_1到 _/_3_1，00甲的赢卡乙片的中概,任率取是一_1_张/_3_,_所，得乙编赢号甲是的4概的率倍是数__的_1_概_/_率 3__为_． __0_._2_5___.
7．现有 5 根竹竿,它们的长度(单位:m)分别为 2.5,2.6,2.7,2.8,2.9,若从中一次随机抽取
变式 用红、黄、蓝三种不同颜色给下图中3个矩形随机涂色，每个矩形
只涂一种颜色，求：
1
(1)3个矩形颜色都相同的概率；9
(2)3个矩形颜色都不同的概率；92
A
BC
达标检测
1．4 张卡片上分别写有数字 1,2,3,4,从这 4 张卡片中随机抽取 2 张,则取出的卡片上
的数字之和为奇数的概率为( C )
1 n
P( A)
古典概型(2)
古典概型（2）一、课前练习：1、从1~20中任取一个数，它恰好是3的倍数的概率是。
2、从长度为1、3、5、7、9的5条线段中，任取三条，能构成三角形的概率是。
3、将一枚均匀的硬币先后抛三次，恰好出现一次正面的概率为。
【问题1】你是用什么方法解决以上3个问题的？【问题2】以上3个问题的共同特征是什么？二、数学应用例1、将一颗骰子先后抛掷两次，观察向上的点数（1）共有多少种不同的结果？（2）两数的和是3的倍数的结果有多少种？（3）两数和是3的倍数的概率是多少？【问题3】你能直观地表示出两次抛掷同骰子向上的点数吗？【问题4】用古典概型解题的一般步骤怎样？例2、用4种不同的颜色给右图中的3个矩形随机的涂色，每个矩形只涂一种颜色，求(1)3个矩形颜色都相同的概率；(2)3个矩形颜色都不同的概率．【问题5】若4种不同的颜色记分别为A、B、C、D，能直观地表示出给图中的3个矩形随机地涂色情况吗？例3、一个各面都涂有色彩的正方体，被锯成1000个同样大小的小正方体，将这些正方体混合后，从中任取一个小正方体，求：⑴有一面涂有色彩的概率；⑵有两面涂有色彩的概率；⑶有三面涂有色彩的概率.【问题6】若被锯成9个同样大小的小正方体，则这9个小正方体中，只有一面涂有色彩的有几个？两面涂有色彩的有几个？三面涂有色彩的有几个？【问题7】1000个同样大小的小正方体中，只有一面涂有色彩的有几个？两面涂有色彩的有几个？三面涂有色彩的有几个？例4、有甲、乙、丙三名同学分别写了一张新年贺卡然后放在一起，现在三人均从中抽取一张，（1）求这三位同学恰好都抽到别人贺卡的概率；（2）求这三位同学恰好都抽到自己写的贺卡的概率；【问题8】若条件改为四个人呢？三、课堂小结1、有哪些方法列举古典概型中的基本事件？2、古典概型解题的一般步骤怎样？【课时作业】1、将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为 .（结果用最简分数表示）2、先后抛掷两枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有1，2，3，4，5，6）， 骰子朝上的面的点数分别为y x ,，则使1log 2=y x 的概率为3、现有5根竹竿，它们的长度（单位：m ）分别为9.28.27.26.25.2，，，，，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差m 3.0的概率为4、同时抛掷两个骰子，①向上的点数相同的概率为 ；②向上的点数之积为偶数的概率为 。
3.2.2古典概型2
3.2.2古典概型2一、学习目标1、知识与技能：（1）正确理解古典概型的两大特点：（2）掌握古典概型的概率计算公式：2、过程与方法：通过对现实生活中具体的概率问题的探究，感知应用数学解决问题的方法，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力.3、情感态度与价值观：体会理论来源于实践并应用于实践的辩证唯物主义观点.二、学习重难点重点:正确理解掌握古典概型及其概率公式.难点：会解决实际问题三、学法指导1．认真阅读教材128—130页。
会判断是否满足古典概型。
2．小班完成任务100%，重点班完成90%，平行班完成75%。
四、知识链接1、古典概型的两个基本特征是和。
2、古典概型的计算公式：。
3、基本事件的特点：五、学习过程【A】例1假设储蓄卡的密码由4个数字组成，每个数字可以是0，1，2，…，9十个数字中的任意一个，假设一个人完全忘记了自己的储蓄卡密码，问他到自动取款机上随机试一次密码就能取到钱的概率是多少？【A】例2某种饮料每箱装6听，如果其中有2听不合格，质检人员依次不放回从某箱中随机抽出2听，求检测出不合格产品的概率.【A 】例3天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率为40﹪,求这三天中恰有两天下雨的概率大概是多少？解：①你认为这道题能用古典概型的概率计算公式来求么？②用计算机和计算器产生随机数（看书上130～131页）③对于上述实验，如果亲手做大量重复实验的话，花费的时间太多，因此利用计算机或计算器做随机模拟实验可以大大节省时间。
请通过设计随机模拟实验的方法来解决问题。
B 例4 从含有两件正品a 1，a 2和一件次品b 1的三件产品中，每次任取一件，①每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率。
②每次取出后放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率。
六、达标训练【A 】1、先后抛掷3枚均匀硬币，事件A=“出现两枚正面，一枚反面”，B=“至少出现一枚正面”，则事件A,B 的概率为( )A 83 , 81B 32 87C 83,87D 31,97【A 】2、从分别写有A 、B 、C 、D 、E 的5张卡片中，任取2张，这2张卡片上的字母恰好是按字母顺序相邻的概率为（ ） A.51 B.52 C.103 D.107【A 】3、某国际科研合作项目由两个美国人，一个法国人和一个中国人共同开发完成，现随机选出两个人作为成果发布人，现选出的两人中有中国人的概率为（ ） A 41 B.21 C.31 D.1【A 】4、四位顾客将各自的帽子随意放在衣帽架上，然后，每人随意取走一顶帽子，则四人拿走的都是自己的帽子的概率为【A 】5、从含有两件正品a,b 和一件次品c 的三件产品中任取2件，求取出的两件中恰好有一件次品的概率。
古典概型 (2)
一个袋中装有红、黄、蓝、绿四个大小 形状完全相同的球，从中一次性摸出
三个球，其中有多少个基本事件？
基本概念
方法探究
典型例题
课堂训练
课堂小结
1点
2点
3点
4点
5点
6点
问题1： 在一次试验中，会同时出现 “1点” （ 1）
与 “2点”
这两个基本事件吗？ 不会 任何两个基本事件是互斥的 （ 2） 事件“出现偶数点”包含哪几个基本事件？ “2点” “4点” “6点” 事件“出现的点数不大于4”包含哪几个基本事件？ “1点” “2点” “3点” “4点”
P （A）＝
A所包含的基本事件的个数 2 ＝ 基本事件的总数 21
因此，在投掷两个骰子的 过程中，我们必须对两个 骰子加以标号区分
巩 固 练 习
3、同时抛掷1角与1元的两枚硬币，计算： 0.25 (1)两枚硬币都出现正面的概率是 (2)一枚出现正面，一枚出现反面的概率是 0.5 4、在一次问题抢答的游戏，要求答题者在问题所列出的 4个答案中找出唯一正确答案。某抢答者不知道正确答案 便随意说出其中的一个答案，则这个答案恰好是正确答 案的概率是 0.25
思考：在古典概型下，基本事件出 现的概率是多少？随机事件出现的 概率如何计算？
①在抛掷一枚质地均匀的硬币试验中，“正面 朝上” 的概率是多少？ 1
2
②在抛掷一枚质地均匀的骰子试验中，“出现 点数为1”的概率是多少？ 1
6
③在抛掷一枚质地均匀的骰子试验中，“出现 奇数点”的概率是多少？
3 1 6 2
m P ( A) n
在使用古典概型的概率公式时，应该注意： 要判断所用概率模型是不是古典概型（前提）
从集合角度看古典概型的概率：
古典概型2
解：掷一颗均匀的骰子，它的样本空 间是Ω ={1, 2， 3, 4，5，6} ∴n=6
而掷得偶数点事件A={2, 4，6} ∴m=3 3 1 ∴P(A) =
6
2
变式：掷两颗均匀的骰子，求掷得 点数之和大于5的概率。
例 2 ：假设储蓄卡的密码由 4 个数字组成， 每个数字可以是 0 ， 1 ， 2… ， 9 十个数字 中的任意一个。假设一个人完全忘记了 自己的储蓄卡密码，问他到自动提款机 上随机试一次密码就能取到钱的概 率是多少？
解：这个人随机试一个密码，相当做1次随机试验， 试验的基本事件（所有可能的结果）共有10 000种， 它们分别是 0000 ， 0001 ， 0002 ， … ， 9998 ， 9999. 由 于是随机地试密码，相当于试验的每一个结果试等 可能的．所以 P(“试一次密码就能取到钱”)
＝
“试一次密码就能取到钱”所包含的基本事件的个数 10000 ＝1/10000 ＝0.0001
分析：因为有放回地随机摸取3次球的基本事件总数是有限的， 而且每个基本事件发生的可能性相等，故是古典概型.因此，只 要把所有的事件列举出来，就可以用古典概型的计算公式进行 求解.
Байду номын сангаас
1.先后抛掷两枚质地均匀的骰子，骰子朝上的面的点数分别
为x,y，则log2xy＝1的概率为( （A）
1 5
)
1 12
（B）
答：随机试一次密码就能取到钱概率是0.0001．
例3：某种饮料每箱装 6听，如果其中有 2 听不合格，问质检人员从中随机抽取 2听， 检测出不合格产品的概率有多大 ？
解：我们把每听饮料标上号码，合格的 4听分别记作： 1， 2， 3， 4，不合格的 2听分别记为 a， b，只要检测 的2听中有1听不合格，就表示查出了不合格产品.
古典概型(2)
3 (1) 4 11 (2) 12
小知识
概率统计的第一篇论文是1657年惠更斯的《论赌博的计算》 概率统计的第一篇论文是1657年惠更斯的《论赌博的计算》，从 1657年惠更斯的 那时起直到十九世纪初， 那时起直到十九世纪初，人们运用当时发展起来的排列组合理论和变量数学为 工具，发展了古典概率和几何概率范围的概念、计算及其分析性质的成果， 工具，发展了古典概率和几何概率范围的概念、计算及其分析性质的成果，如 大数定律，贝叶斯定理，高斯分布，最小二乘法等。拉普拉斯以《分析概率论》 大数定律，贝叶斯定理，高斯分布，最小二乘法等。拉普拉斯以《分析概率论》 作了总结，形成了古典的描述性统计学。 作了总结，形成了古典的描述性统计学。十九世纪是统计学相对停滞和酝酿时 二十世纪初至第二次世界大战前， 期，二十世纪初至第二次世界大战前，由于法俄概率论和英美统计科学的发展 以及它们的结合，使概率统计学得以正式列入数学之林， 以及它们的结合，使概率统计学得以正式列入数学之林，诸分支在实践中迅速 产生，如在生物学研究中提出的回归分析；出自农业实验的方差分析、 产生，如在生物学研究中提出的回归分析；出自农业实验的方差分析、实验设 计理论；大规模工业生产所要求的抽样检查；从道奇── ──洛密克抽样表到序贯 计理论；大规模工业生产所要求的抽样检查；从道奇──洛密克抽样表到序贯 分析以至质量控制。等等。形成现代统计学的大部分内容。二次世界大战后， 分析以至质量控制。等等。形成现代统计学的大部分内容。二次世界大战后， 概率统计学主要在纯理论研究上取得进展。 概率统计学主要在纯理论研究上取得进展。 概率统计学的形成，标志着人类的认识和实践领域， 概率统计学的形成，标志着人类的认识和实践领域，从必然现象扩展到偶 然现象（随机事件），这是与从精确数学到模糊数学类似的变革， ），这是与从精确数学到模糊数学类似的变革 然现象（随机事件），这是与从精确数学到模糊数学类似的变革，它使科学与 数学结合的历史进程前进了一大步，因此，它的应用十分广泛，除自然科学外， 数学结合的历史进程前进了一大步，因此，它的应用十分广泛，除自然科学外， 社会经济统计已成独立分支；它与其它学科结合形成了生物统计、统计预报、 社会经济统计已成独立分支；它与其它学科结合形成了生物统计、统计预报、 统计物理、计量史学等边缘学科； 统计物理、计量史学等边缘学科；它向其它的数学分支渗透而产生了随机微分 方程、随机几何等理论。 方程、随机几何等理论。
3.2.1古典概型(第二课时)
用B表示“恰有一件次品〞这一事件，那么
B={ (a,c), (b,c), (c,a), (c,b) }
∴m=4 ∴P(B) = 4
9
列表法
例 同时掷两个均匀的骰子，计算：
〔1〕一共有多少种不同的结果？ 〔2〕其中向上的点数之和是9的结果有多少种？ 〔3〕向上的点数之和是9的概率是多少？
一般适 用于分 两步完 成的结 果的列
6
（6，1） （6，2） （（66，，33）） （6，4） （6，5） （6，6）
〔2〕在上面的结果中，向上的点数之和为9的结果有4种， 分别为： 〔3，6〕,〔4，5〕,〔5，4〕,〔6，3〕
〔3〕由于所有36种结果是等可能的，其中向上点数之 和为9的结果〔记为事件A〕有4种，因此，
P （ A ） ＝ A 所 包 基 含 本 的 事 基 件 本 的 事 总 件 数 的 个 数 ＝ 3 4 6 ＝ 1 9
1、从含有两件正品a,b和一件次品c的三件产品中 每次任取1件，每次取出后不放回，连续取两次， 求取出的两件中恰好有一件次品的概率。
2、从含有两件正品a,b和一件次品c的三件产品中 每次任取1件，每次取出后放回，连续取两次，求 取出的两件中恰好有一件次品的概率.
1、从含有两件正品a,b和一件次品c的三件产品中 每次任取1件，每次取出后不放回，连续取两次， 求取出的两件中恰好有一件次品的概率。
6、 有A、B、C、D四位贵宾，应分别坐在a、b、c、d四个 席位上，现在这四人均未留意，在四个席位上随便就坐 时， (1)求这四人恰好都坐在自己的席位上的概率； (2)求这四人恰好都没坐在自己的席位上的概率； (3)求这四人恰好有1位坐在自己的席位上的概率． 审题指导 利用树状图法将A、B、C、D的就座情况一一 列出，再利用古典概型概率公式求概率．
古典概型2
(2)如果 标签是 有放回 的，按抽 取顺序 记录结 果 ( x, y)， 则x有5种可 能，y有5种可 能，共有 可能 结 果5 5＝25种.因此 ，事件A的概 率是 8 .
25
练习1、某人有4把钥匙，其中2把能打开门。 现随机地取1把钥匙试着开门，不能开门的就 扔掉，问第二次才能打开门的概率是多少？
812 932 569 683 271 989 730 537 925 834
907 113 966 191 432 256 393 027 556 755 这就相当于做了20次试验，在这组数中，如果3个数均在 1,2,3,4,5,6中，则表示三次都投中，它们分别是： 113,432,256,556，即共有4个数，我们得到了三次投篮都 投中的概率近似为 240＝20%.
用随机模拟估计概率
例3：种植某种树苗成活率为0.9，若种植 这种树苗5棵，求恰好成活4棵的概率．设 计一个试验，随机模拟估计上述概率．
审题指导 由于每个结果出现的可能性不相等，
故不能应用古典概型概率公式．主要考查随机模
拟的方法．
[规范解答] 利用计算器或计算机产生0到9之 间取整数值的随机数，我们用0代表不成活， 1至9的数字代表成活，这样可以体现成活 率是0.9，因为是种植5棵，所以每5个随机 数作为一组可产生30组随机数：
69801 29747 37445 61017 94976
66097 24945 44344 45241 56173
77124 57558 33315 44134 34783
22961 65258 27120 92201 16624
74235 74130 21782 70362 30344
31516 23224 58555 83005 01117
【数学】3.2《古典概型(2)》课件(北师大版必修3)
P(A)=12/24=0.5
模型2 模型 利用试验结果的对称性,因为是计算 因为是计算“ 利用试验结果的对称性 因为是计算“第二个人 摸到红球”的概率，我们可以只考虑前两个人 摸到红球”的概率，我们可以只考虑前两个人 摸球的情况, 摸球的情况
2 1 1 2 2 1 1 2 1 1 2 2 2 2 1 1
1 2 1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 1 1
1 1 2 2
2 2 1 2 2 1 1 2
2 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 2
1 2 2 1
1 1 2 1
总共有 24种结 种结 果，而 第二个 摸到红 球的结 果共有 12种。 种
3.抛掷两枚均匀的骰子 出现数字之积为 抛掷两枚均匀的骰子,出现数字之积为 抛掷两枚均匀的骰子 偶数与出现数字之积为奇数的概率分别 27/36 、______. 是_____、9/36
1 2 3 4 5 6 1 1 2 3 4 5 6 2 2 4 6 8 10 12 3 3 6 9 12 15 18 4 4 8 12 16 20 24 5 5 10 15 20 25 30 6 6 12 18 24 30 36
§3.2 古典概型
温故知新 1.古典概型的概念 古典概型的概念 1)试验的所有可能结果 试验的所有可能结果( 基本事件)只有 1)试验的所有可能结果(即基本事件 只有 只出现其中的一个结果 有限个,每次试验只出现其中的一个结果; 有限个,每次试验只出现其中的一个结果; 2)每一个结果出现的可能性相同。 每一个结果出现的可能性相同 2)每一个结果出现的可能性相同。 2.古典概型的概率公式 古典概型的概率公式 m( A包含的基本事件数 ) P( A ) = n( 基本事件总数 ) 3.列表法和树状图 列表法和树状图
古典概型(2课时)
例4.甲乙两个人做出拳游戏（锤子、剪刀、布），求 (1)平局的概率； (2)甲赢的概率； (3)乙赢的概率
设平局为事件A，甲赢为事件B，乙赢为事件C，由图容易得 到 (1)平局含3个基本事件(图中△) (2)甲赢含3个基本事件(图中⊙) (3)乙赢含3个基本事件(图中※)
答：掷得奇数点的概率为0.5
2019年6月26日星期三10时47分55秒
规范格式
【例2】单选题是标准化考试中常用的题型，一般是 从A、B、C、D四个选项中选择一个准确答案．如果 考生掌握了考查的内容，他可以选择惟一正确的答 案．假设考生不会做，他随机地选择一个答案，问 他答对的概率是多少？
〖解〗是一个古典概型，基本事件共有4个：选择A、选择B、 选择C、选择D．“答对”的基本事件个数是1个．
高的基因记为D,决定矮的基因记为d,则杂交所得第
概 一子代的一对基因为Dd,若第二子代的D,d基因的遗 传是等可能的，求第二子代为高茎的概率。（只要
有基因D则为高茎，只有两个基因全为d时为矮茎）
率
解：如左图Dd与Dd的
Dd
Dd
搭配方式有4种：
初
DD，Dd，dD，dd
D
d
D
d
其中第四种表现为矮
茎，所以第二代为高
点”)P= (“出现偶数点”)=P(“2点”)+P(“4点”)+P(“6
P(“6
1 6
点1”)1 1 1
666 2
=
P（“出现偶数点”）＝
3 6
=“出现偶数点”所包含的基本事件的个数 基本事件的总数
古典概型的概率计算公式为：
P（A）＝
A所包含的基本事件的个数 基本事件的总数
古典概型(2)
思
考
1、在10支铅笔中，有8支正品和2支次品。从中任
古 典 概 型
取2支，恰好都取到正品的概率是 2、从分别写上数字1, 2，3，…，9的9张卡片中， 任取2张，则取出的两张卡片上的“两数之和为 偶数”的概率是 答案：(1)
28 45
4 9
(2)
例 题 分 析
古 典 概 型
例6、从含有两件正品a,b和一件次品c的三件产品中 每次任取1件，每次取出后不放回，连续取两次，求 取出的两件中恰好有一件次品的概率。 解：每次取一个，取后不放回连续取两次，其样本 空间是 Ω={ (a,b), (a,c), (b,a),(b,c), (c,a), (c,b) } ∴n = 6 用A表示“取出的两件中恰好有一件次品”这一 事件，则 ∴m=4 A={ (a,c), (b,c), (c,a), (c,b) } ∴P(A) =
古 典 概 型
(1，2) , (1，3), (1，4) ,(1，5) ,(2，3), (2，4), (2，5), (3， 4) ,(3，5) ,(4，5) ∴n=10
用A来表示“两数都是奇数”这一事件， 则 A={(1，3)，(1，5)，(3，5)} ∴m=3
3 ∴P(A)= 10
练 习 巩 固
3、 在掷一颗均匀骰子的实验中，则事 1 件Q={4，6}的概率是 3
解：随机试一个密码，相当于作一次随机试验。所有的四 位密码（基本事件）共有10000种。 而每一种密码都是等可能的 ∴n = 10000
例 题 分 析
古 典 概 型
例5、某种饮料每箱装6听， 如果其中有2听不合格，问 质检人员从中(依次)随机 抽出2听，检测出不合格产 品的概率有多大？
练 习 巩 固
1 从含有两件正品a,b和一件次品c的三件产品中任取2 件，求取出的两件中恰好有一件次品的概率。 解：所有基本事件 ab,ac,bc
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小结
基本事件
古典概型的定义 古典概型的计算公式
作业：课后练习
古典概型理论构造
基本事件：
定义：在试验中，发生的每一个最简单的随
机事件称为基本事件。
特点：
（1）在试验中，任何两个基本事件都是互斥的。
（2）在试验中，每一个基本事件必须都是等可能发生的。
牛刀小试
（1）在本节课的数学实验中有多少
个基本事件？分别是那些？
（2）如果改成抛一枚骰子呢？
思考：如果改成抛两枚硬币会有多少种结果？
n
例2（掷骰子问题）：将一个骰子先后抛掷2次，观察向上的点数。 问: （1）共有多少种不同的结果? （2）两数之和是3的倍数的结果有多少种？ （3）两数之和是3的倍数的概率是多少？
解：（1）将骰子抛掷1次， 第 它出现的点数有1，2，3，4，5， 二 6这6种结果，对于每一种结果， 次 第二次抛时又都有6种可能的结 抛 果，于是共有6×6=36种不同的 掷 后 结果。 向 上 的 由表可知，等可能基 点 本事件总数为36种。 数
正解:(1)分别记白球1,2,3号，红球为4,5号,从中摸出2只球, 有如下基本事件（摸到1，2号球用（1，2）表示）：
（1，2）（1，3）（1，4）（1，5） （2，3）（2，4）（2，5） （3，4）（3，5） （4，5）
因此，共有10个基本事件 (2)记摸到2只白球的事件为事件A， 即（1，2）（1，3）（2，3）故P（A）= 3/10
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
6 5 4 3 2 1
7 6 5 4 3 2 1
8 7 6 5 4 3 2
9 8 7 6 5 4 3
10 9 8 7 6 5 4
11 10 9 8 7 6 5
12 11 10 9 8 7 6
第一次抛掷后向上的点数
2
一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球， 2只红球，从中一次摸出两只球(1)共有多少基本事 件(2)摸出的两只球都是白球的概率是多少？
求古典概型的步骤：
（1）判断是否为等可能性事件；
（2）计算所有基本事件的总结果数n． （3）计算事件A所包含的结果数m． （4）计算
高考全接触
（2013年，文，4）集合A=｛2，3｝，B=
｛1，2，3｝，从A,B中各任意取一个数，则 这两数之和为4的概率为
17．（本小题满分13分） 在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75 分．用表示编号为的同学所得成绩，且前5位同学 的成绩如下： 编号 1 2 3 4 5 成绩 70 76 72 70 72 （1）求第6位同学的成绩，及这6位同学成绩的 标准差； （2）从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰 有1位同学成绩在区间（68，75）中的概率．
古典概型的特点
在试验中所有出现的基本事件个数必须是有
限可数的。（有限性）
在试验中的每一个基本事件都是等可能发生
的。（等可能性）
3．古典概型的概率
如果一次试验的等可能基本事件共有n 个，那么每一个基本事件的概率都是（
1 n
）
如果某个事件A包含了其中m个等可能基本 m 事件，那么事件A的概率为 P ( A)
古典概型
小故事
公元1053年，北宋大将军狄青奉命去 南方平定叛乱，他在誓师时，当着 全体将士的面拿出100枚铜钱，说： “我把这100枚铜钱洒向空中，如果 这100枚铜钱落地都是正面朝上的话， 那神明就会保佑我们势如破竹，战 胜叛军。”
问题导入：对于一个随机事件，我们 如何去寻求其概率呢？
根据概率的统计定义：一般地，如果随机事
件A在n次试验中发生了m次，当试验的次数 n很大时，我们可以将事件A发生的频率 作为事件A发生的概率的近似值， 即
m P ( A) ,(其中P(A)为事件A发生的概率) n
数学实验
问题：对于随机事件，是否只能通过大 量重复的实验才能求其概率呢？
大量重复试验的工作量大，且试 验数据不稳定，且有些时候试验 带有破坏性。