江苏名校优质高考数学模拟试题附详解(6)
2020届江苏省高三高考全真模拟(六)数学试题(解析版)
【详解】
因为任何时刻军舰A，B，C均不得在同一条直线上，所以构成 ，记角A，B，C的对边分别为a，b，c.
（1）在 中， ， ，
12．在 中角A，B，C的对边分別为a，b，c，且 ，则 的值为______.
【答案】
【解析】设比值为 ，这样可表示出 ，从而用余弦定理后可求得 ，再由余弦定理可求得 ．
【详解】
设 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
不妨取 ，则
所以 .
故答案为： ．
【点睛】
本题考查余弦定理，解题关键是对连比问题引入参数，即设 ，然后用参数 表示出 ．
10．已知 是定义在R上的偶函数，且在 上单调递减，则满足不等式 的实数a的取值集合为______.
【答案】
【解析】利用偶函数把不等式化为 ，然后再由单调性去掉函数符号“ ”，从而可求解．
【详解】
因为 是定义在R上的偶函数，所以 .
又因为 ， 在 上单调递减，
所以不等式 化为
即 ，从而 ，所以 .
故答案为： ．
故 .
答：C与D间的最大距离为 .
【点睛】
本题考查正弦定理解三角形的应用，考查直线与圆的实际应用．直线与圆的应用中关键是建立平面直角坐标系，求出动点 的轨迹方程，问题转化为求圆外一点到圆上点的距离的最大值．
18．在平面直角坐标系xOy中已知椭圆 ，焦点在x轴上的椭圆 与 的离心率相同，且椭圆 的外切矩形ABCD（两组对边分别平行于x轴、y轴）的顶点在椭圆 上.
【答案】36
【解析】三种态度层次分明，采取分层抽样可得结论．
(全优试卷)江苏省普通高等学校高三招生考试20套模拟测试附加题数学试题Word版含答案
江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(一) 数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修41：几何证明选讲)如图，AB 为圆O 的一条弦，C 为圆O 外一点．CA ，CB 分别交圆O 于D ，E 两点．若AB ＝AC ，EF ⊥AC ，垂足为F ，求证：F 为线段DC 的中点．B. (选修42：矩阵与变换)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －21 －3，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1，设M ＝AB .(1) 求矩阵M ；(2) 求矩阵M 的特征值．C. (选修44：坐标系与参数方程)已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝m.若直线l 与曲线C 有且只有一个公共点，求实数m 的值．D. (选修45：不等式选讲) 解不等式：|x －1|＋2|x|≤4x.【必做题】 第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，在底面为正方形的四棱锥PABCD 中，侧棱PD⊥底面ABCD ，PD ＝DC ，点E 是线段PC 的中点．(1) 求异面直线AP 与BE 所成角的大小；(2) 若点F 在线段PB 上，使得二面角FDEB 的正弦值为33，求PFPB的值．23. 甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一次篮，先投中者获胜．投篮进行到有人获胜或每人都已投球3次时结束．设甲每次投篮命中的概率为25，乙每次投篮命中的概率为23，且各次投篮互不影响．现由甲先投．(1) 求甲获胜的概率；(2) 求投篮结束时甲的投篮次数X 的分布列与期望．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(二) 数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修41：几何证明选讲)如图，△ABC 是圆O 的内接三角形，PA 是圆O 的切线，A 为切点，PB 交AC 于点E ，交圆O 于点D.若PE ＝PA ，∠ABC ＝60°，且PD ＝1，PB ＝9，求EC 的长．B. (选修42：矩阵与变换)已知α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21为矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a －14属于λ的一个特征向量，求实数a ，λ的值及A 2.C. (选修44：坐标系与参数方程)自极点O任意作一条射线与直线ρcosθ＝3相交于点M，在射线OM上取点P，使得OM·OP＝12，求动点P的极坐标方程，并把它化为直角坐标方程．D. (选修45：不等式选讲)已知a≥2，x∈R.求证：|x－1＋a|＋|x－a|≥3.【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 在公园游园活动中有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球和2个黑球，乙箱子里装有1个白球和2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏都从这两个箱子里各随机地摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．(每次游戏结束后将球放回原箱)(1) 求在一次游戏中摸出3个白球的概率；(2) 在两次游戏中，记获奖次数为X，求X的数学期望．已知抛物线C的方程为y2＝2px(p＞0)，点R(1，2)在抛物线C上．(1) 求抛物线C的方程；(2) 过点Q(1，1)作直线交抛物线C于不同于R的两点A，B.若直线AR，BR分别交直线l：y＝2x＋2于M，N两点，求线段MN最小时直线AB的方程．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(三) 数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修41：几何证明选讲)如图，AB 是圆O 的直径，弦BD ，CA 的延长线相交于点E ，EF 垂直BA 的延长线于点F.求证：AB 2＝BE·BD－AE·AC.B. (选修42：矩阵与变换)已知二阶矩阵M 有特征值λ＝8及对应的一个特征向量e 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，并且矩阵M 将点(－1，3)变换为(0，8)．(1) 求矩阵M ；(2) 求曲线x ＋3y －2＝0在M 的作用下的新曲线方程．C. (选修44：坐标系与参数方程)已知平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝rcos θ＋2，y ＝rsin θ＋2(θ为参数，r ＞0)．以直角坐标系原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＋1＝0.(1) 求圆C 的圆心的极坐标；(2) 当圆C 与直线l 有公共点时，求r 的取值范围．D. (选修45：不等式选讲)已知a ，b ，c ，d 都是正实数，且a ＋b ＋c ＋d ＝1，求证：a 21＋a ＋b 21＋b ＋c 21＋c ＋d 21＋d ≥15.【必做题】 第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 某公司对新招聘的员工张某进行综合能力测试，共设置了A ，B ，C 三个测试项目．假定张某通过项目A 的概率为12，通过项目B ，C 的概率均为a(0＜a ＜1)，且这三个测试项目能否通过相互独立．(1) 用随机变量X 表示张某在测试中通过的项目个数，求X 的概率分布和数学期望E(X)(用a 表示)；(2) 若张某通过一个项目的概率最大，求实数a 的取值范围．在如图所示的四棱锥SABCD 中，SA ⊥底面ABCD ，∠DAB ＝∠ABC＝90°，SA ＝AB ＝BC ＝a ，AD ＝3a(a ＞0)，E 为线段BS 上的一个动点．(1) 求证：DE 和SC 不可能垂直；(2) 当点E 为线段BS 的三等分点(靠近B)时，求二面角SCDE 的余弦值．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(四) 数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修41：几何证明选讲)如图，AB 是圆O 的直径，D 为圆O 上一点，过D 作圆O 的切线交AB 的延长线于点C.若DA ＝DC ，求证：AB ＝2BC.B. (选修42：矩阵与变换)求椭圆C ：x 29＋y 24＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13 00 12对应的变换作用下所得的曲线的方程．C. (选修44：坐标系与参数方程)已知曲线C 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝3，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，求曲线C 的直角坐标方程．D. (选修45：不等式选讲)设c ＞0，|x －1|＜c 3，|y －1|＜c3，求证：|2x ＋y －3|＜c.【必做题】 第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，在四棱锥PABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，∠ABC ＝∠BA D ＝90°，AD ＝AP ＝4，AB ＝BC ＝2，M 为PC 的中点．(1) 求异面直线AP ，BM 所成角的余弦值；(2) 点N 在线段AD 上，且AN ＝λ，若直线MN 与平面PBC 所成角的正弦值为45，求λ的值．设n∈N *，f(n)＝3n＋7n－2. (1) 求f(1)，f(2)，f(3)的值；(2) 求证：对任意正整数n，f(n)是8的倍数．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(五) 数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修41：几何证明选讲)如图，AB 是半圆O 的直径，点P 为半圆O 外一点，PA ，PB 分别交半圆O 于点D ，C.若AD ＝2，PD ＝4，PC ＝3，求BD 的长．B. (选修42：矩阵与变换)设矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m 22－3的一个特征值λ对应的特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2，求实数m 与λ的值．C. (选修44：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝35t ，y ＝45t (t 为参数)．现以坐标原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系．设圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，直线l 与圆C 交于A ，B 两点，求弦AB 的长．D. (选修45：不等式选讲)若实数x ，y ，z 满足x ＋2y ＋z ＝1，求x 2＋y 2＋z 2的最小值．【必做题】 第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 某年级星期一至星期五每天下午每班排3节课，且每天下午每班随机选择1节作为综合实践课(上午不排该课程)．(1) 求甲班和乙班“在星期一不同时上综合实践课”的概率；(2) 记甲班和乙班“在一周(星期一至星期五)中同时上综合实践课的节数”为X ，求X 的概率分布与数学期望E(X)．设n∈N *，n ≥3，k ∈N *. (1) 求值： ① kC kn －nC k －1n －1；② k 2C kn －n(n －1)C k －2n －2－nC k －1n －1(k≥2)；(2) 化简：12C 0n ＋22C 1n ＋32C 2n ＋…＋(k ＋1)2C kn ＋…＋(n ＋1)2C nn .江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(六) 数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修41：几何证明选讲)如图，E 是圆O 内两条弦AB 和CD 的交点，过AD 延长线上一点F 作圆O 的切线FG ，G 为切点，已知EF ＝FG.求证：EF∥CB.B. (选修42：矩阵与变换)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2113，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10 －1.求矩阵C ，使得AC ＝B.C. (选修44：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ－4cos θ＝0，已知直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．D. (选修45：不等式选讲)已知a ，b ，x ，y 都是正数，且a ＋b ＝1.求证：(ax ＋by)(bx ＋ay)≥xy.【必做题】 第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 口袋里装有大小相同的卡片八张，其中三张标有数字1，三张标有数字2，两张标有数字3.第一次从口袋里任意抽取一张，放回口袋后第二次再任意抽取一张，记第一次与第二次取到卡片上数字之和为ξ.(1) ξ为何值时，其发生的概率最大？说明理由； (2) 求随机变量ξ的期望E(ξ)．在平面直角坐标系xOy 中，已知两点M(1，－3)，N(5，1)．若点C 的坐标满足OC →＝tOM →＋(1－t)ON →(t∈R )，且点C 的轨迹与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点．(1) 求证：OA⊥OB；(2) 在x 轴上是否存在一点P(m ， 0)，使得过点P 任作一条抛物线的弦，并以该弦为直径的圆都过原点？若存在，求出m 的值及圆心的轨迹方程；若不存在，请说明理由．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(七) 数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修41：几何证明选讲)已知圆O 的直径AB ＝4，C 为AO 的中点，弦DE 过点C 且满足CE ＝2CD ，求△OCE 的面积．B. (选修42：矩阵与变换)已知向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1是矩阵A 的属于特征值－1的一个特征向量．在平面直角坐标系xOy 中，点P(1，1)在矩阵A 对应的变换作用下变为P′(3，3)，求矩阵A .C. (选修44：坐标系与参数方程) 在极坐标系中，求直线θ＝π4(ρ∈R )被曲线ρ＝4sin θ所截得的弦长．D. (选修45：不等式选讲)求函数y ＝3sin x ＋22＋2cos 2x 的最大值．【必做题】 第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，在棱长为2的正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，P 为棱C 1D 1的中点，Q 为棱BB 1上的点，且BQ ＝λBB 1(λ≠0)．(1) 若λ＝12，求AP 与AQ 所成角的余弦值；(2) 若直线AA 1与平面APQ 所成的角为45°，求实数λ的值．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线x 2＝2py(p ＞0)上的点M(m ，1)到焦点F 的距离为2.(1) 求抛物线的方程；(2) 如图，点E 是抛物线上异于原点的点，抛物线在点E 处的切线与x 轴相交于点P ，直线PF 与抛物线相交于A ，B 两点，求△EAB 面积的最小值．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(八) 数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修41：几何证明选讲)如图，AB 是圆O 的直径，CB 与圆O 相切于点B ，E 为线段CB 上一点，连结AC ，AE ，分别交圆O 于D ，G 两点，连结DG 并延长交CB 于点F.若EB ＝3EF ，EG ＝1，GA ＝3，求线段CE 的长．B. (选修42：矩阵与变换)已知变换T 将平面上的点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，(0，1)分别变换成点⎝ ⎛⎭⎪⎫94，－2，⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，4.设变换T 对应的矩阵为M .(1) 求矩阵M ；(2) 为矩阵M 的特征值．C. (选修44：坐标系与参数方程)设极坐标系的极点为直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴．已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝8sin θ.(1) 求曲线C 的直角坐标方程；(2) 设直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t ＋2(t 为参数)与曲线C 交于A ，B 两点，求AB 的长．D. (选修45：不等式选讲)已知函数f(x)＝|x －1|.若|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，求证：f(ab)＞|a|f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a .【必做题】 第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 某小区停车场的收费标准如下：每车每次停车时间不超过2小时免费，超过2小时的部分每小时收费1元(不足1小时的部分按1小时计算)．现有甲、乙两人独立来该停车场停车(各停车一次)，且两人停车时间均不超过5小时．设甲、乙两人停车时间(小时)与取车概率如下表所示．(1) 求甲、乙两人所付停车费相同的概率；(2) 设甲、乙两人所付的停车费之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望E(ξ)．23. 如图，在四棱锥PABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，∠BAD ＝∠CBA＝90°，PA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝2.E ，F ，G 分别为BC ，PD ，PC 的中点．(1) 求EF与DG所成角的余弦值；(2) 若M为EF上一点，N为DG上一点，是否存在MN，使得MN⊥平面PBC？若存在，求出点M，N的坐标；若不存在，说明理由．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(九) 数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修41：几何证明选讲)如图所示，△ABC 是圆O 的内接三角形，且AB ＝AC ，AP ∥BC ，弦CE 的延长线交AP 于点D.求证：AD 2＝DE·DC.B. (选修42：矩阵与变换)已知a ，b ∈R ，若点M(1，－2)在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 1b4对应的变换作用下得到点N(2，－7)，求矩阵A 的特征值．C.(选修44：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin 2α(α为参数)，以直角坐标系原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为θ＝π4，试求直线l 与曲线C 的交点的直角坐标．D. (选修45：不等式选讲)已知|x|＜2，|y|＜2，求证：|4－xy|＞2|x－y|.【必做题】第22、23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 为了提高学生学习数学的兴趣，某校决定在每周的同一时间开设《数学史》《生活中的数学》《数学与哲学》《数学建模》四门校本选修课程，甲、乙、丙三位同学每人均在四门校本课程中随机选一门进行学习，假设三人选择课程时互不影响，且每人选择每一课程都是等可能的．(1) 求甲、乙、丙三人选择的课程互不相同的概率；(2) 设X为甲、乙、丙三人中选修《数学史》的人数，求X的分布列和数学期望E(X)．23.已知F n(x)＝(－1)0C0n f0(x)＋(－1)1C1n f1(x)＋…＋(－1)n C n n f n(x)(n∈N*)(x＞0)，其中f i(x)(i∈{0，1，2，…，n})是关于x的函数．(1) 若f i(x)＝x i(i∈N)，求F2(1)，F2 017(2)的值；(2) 若f i (x)＝x x ＋i (i∈N )，求证：F n (x)＝n ！（x ＋1）（x ＋2）…（x ＋n ）(n∈N *)．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十) 数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修41：几何证明选讲)如图，过圆O 外一点P 作圆O 的切线PA ，切点为A ，连结OP 与圆O 交于点C ，过点C 作AP 的垂线，垂足为D.若PA ＝25，PC∶PO＝1∶3，求CD 的长．B. (选修42：矩阵与变换)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2132，列向量X ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤47.若AX ＝B ，直接写出A －1，并求出X .C. (选修44：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知圆ρ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6被射线θ＝θ0⎣⎢⎡⎦⎥⎤ρ≥0，θ0为常数，且θ0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2所截得的弦长为23，求θ0的值．D. (选修45：不等式选讲)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝6，求4x 2＋y 2的最小值．【必做题】 第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，以正四棱锥VABCD 的底面中心O 为坐标原点建立空间直角坐标系Oxyz ，其中Ox∥BC，Oy ∥AB ，E 为VC 中点．正四棱锥的底面边长为2a ，高为h ，且有cos 〈BE →，DE →〉＝－1549.(1) 求ha的值；(2) 求二面角BVCD 的余弦值．23.对一个量用两种方法分别算一次，由结果相同构造等式，这种方法称为“算两次”的思想方法．利用这种方法，结合二项式定理，可以得到很多有趣的组合恒等式．例如，考察恒等式(1＋x)2n＝(1＋x)n(1＋x)n(n∈N *)，左边x n的系数为C n2n ， 而右边(1＋x)n(1＋x)n＝(C 0n ＋C 1n x ＋…＋C n n x n)(C 0n ＋C 1n x ＋…＋C n n x n)， x n的系数为C 0n C nn ＋C 1n C n －1n ＋…＋C n n C 0n ＝(C 0n )2＋(C 1n )2＋…＋(C n n )2， 因此，可得到组合恒等式C n2n ＝(C 0n )2＋(C 1n )2＋…＋(C n n )2. (1) 根据恒等式(1＋x)m ＋n＝(1＋x)m (1＋x)n (m ，n ∈N *)两边x k(其中k∈N ，k ≤m ，k ≤n)的系数相同，直接写出一个恒等式；(2) 利用算两次的思想方法或其他方法证明：∑⎣⎢⎡⎦⎥⎤n 2,k ＝0C 2k n ·2n －2k ·C k 2k ＝C n2n ，其中⎣⎢⎡⎦⎥⎤n 2是n 2的最大整数．指不超过江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十一)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修41：几何证明选讲)如图，AB 为半圆O 的直径，D 为弧BC 的中点，E 为BC 的中点．求证：AB·BC＝2AD·BD.B. (选修42：矩阵与变换)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 a －1 b 的一个特征值为2，其对应的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21.求实数a ，b 的值．C. (选修44：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．直线l ：2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝m(m∈R )，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3cos t ，y ＝－2＋3sin t (t 为参数)．当圆心C 到直线l 的距离为2时，求m 的值．D. (选修45：不等式选讲)已知a ，b ，c 为正实数，1a 3＋1b 3＋1c 3＋27abc 的最小值为m ，解关于x 的不等式：|x ＋1|－2x ＜m.【必做题】 第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 甲、乙、丙分别从A ，B ，C ，D 四道题中独立地选做两道题，其中甲必选B 题． (1) 求甲选做D 题，且乙、丙都不选做D 题的概率；(2) 设随机变量X 表示D 题被甲、乙、丙选做的次数．求X 的概率分布和数学期望E(X)．23.已知等式(1＋x)2n －1＝(1＋x)n －1(1＋x)n.(1) 求(1＋x)2n －1的展开式中含x n的项的系数，并化简：C 0n －1C nn ＋C 1n －1C n －1n ＋…＋C n －1n －1C 1n ；(2) 求证：(C 1n )2＋2(C 2n )2＋…＋n(C n n )2＝nC n2n －1.江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十二)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修41：几何证明选讲)如图，已知AB 是圆O 的直径，P 是上半圆上的任意一点，PC 是∠APB 的平分线，E 是AB ︵的中点．求证：直线PC 经过点E.B. (选修42：矩阵与变换)已知实数a ，b ，矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1a b3对应的变换将直线x －y －1＝0变换为自身，求a ，b的值．C. (选修44：坐标系与参数方程)在极坐标系中，求圆ρ＝2cos θ的圆心到直线2ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝1的距离．D. (选修45：不等式选讲)已知a＞0，b＞0，求证：(a2＋b2＋ab)(ab2＋a2b＋1)≥9a2b2.【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，E 是棱PC的中点．(1) 求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；(2) 若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角FABP的正弦值．23. 已知函数f1(x)＝x2＋48，对任意正整数n，有f n＋1(x)＝x2＋6f n（x），求方程f n(x)＝2x的所有解．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十三)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修41：几何证明选讲)如图，△ABC 的顶点A ，C 在圆O 上，B 在圆外，线段AB 与圆O 交于点M. (1) 如图①，若BC 是圆O 的切线，且AB ＝8，BC ＝4，求线段AM 的长； (2) 如图②，若线段BC 与圆O 交于另一点N ，且AB ＝2AC ，求证：BN ＝2MN.B. (选修42：矩阵与变换)设a ，b ∈R ，已知直线l ：ax ＋y －7＝0在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 30－1b 对应的变换作用下，得到的直线为l′：9x ＋y －91＝0.求实数a ，b 的值．C. (选修44：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋35t ，y ＝45t (t 为参数)与曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4k 2，y ＝4k (k 为参数)交于A ，B 两点，求线段AB 的长．D. (选修45：不等式选讲)设a≠b，求证：a 4＋6a 2b 2＋b 4＞4ab(a 2＋b 2)．【必做题】 第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，在直四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1中，底面四边形ABCD 为菱形，A 1A ＝AB ＝2，∠ABC ＝π3，E ，F 分别是BC ，A 1C 的中点． (1) 求异面直线EF ，AD 所成角的余弦值；(2) 点M 在线段A 1D 上，A 1MA 1D＝λ.若CM∥平面AEF ，求实数λ的值．23. 现有n （n ＋1）2(n≥2，n ∈N *)个给定的不同的数随机排成一个下图所示的三角形数阵：** ** * *…………………………* * …… * * (1)..................第2行 (3)………………第n行设M k是第k行中的最大数，其中1≤k≤n，k∈N*.记M1＜M2＜…＜M n的概率为p n.(1) 求p2的值；(2) 求证：p n＞C2n＋1（n＋1）！.江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十四)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修41：几何证明选讲)如图，圆O 的直径AB ＝6，C 为圆周上一点，BC ＝3，过C 作圆的切线l ，过A 作l 的垂线AD ，AD 分别与直线l ，圆O 交于点D ，E.求∠DAC 的大小和线段AE 的长．B. (选修42：矩阵与变换)已知二阶矩阵M 有特征值λ＝8及对应的一个特征向量e 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，并且矩阵M 对应的变换将点(－1，2)变换成(－2，4)．(1) 求矩阵M ；(2) 求矩阵M 的另一个特征值．C. (选修44：坐标系与参数方程)已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2.(1) 把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2) 求经过两圆交点的直线的极坐标方程．D. (选修45：不等式选讲)已知a ，b ，c 为正数，且a ＋b ＋c ＝3，求3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1的最大值．【必做题】 第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，已知正四棱锥PABCD 中，PA ＝AB ＝2，点M ，N 分别在PA ，BD 上，且PM PA ＝BNBD ＝13. (1) 求异面直线MN 与PC 所成角的大小； (2) 求二面角NPCB 的余弦值．23. 设|θ|＜π2，n 为正整数，数列{a n }的通项公式a n ＝sin n π2tan nθ，其前n 项和为S n .求证：(1) 当n 为偶数时，a n ＝0；当n 为奇数时，a n ＝(－1)n －12tan nθ； (2) 对任何正整数n ，S 2n ＝12sin 2θ·．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十五)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修41：几何证明选讲)如图，已知△ABC 内接于圆O ，连结AO 并延长交圆O 于点D ，∠ACB ＝∠ADC.求证：AD·BC ＝2AC·CD.B. (选修42：矩阵与变换)设矩阵A 满足：A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 206＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 －2 0 3，求矩阵A 的逆矩阵A －1.C. (选修44：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－32＋22l ，y ＝22l (l 为参数)与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝18t 2，y ＝t (t为参数)相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．D. (选修45：不等式选讲)设x ，y ，z 均为正实数，且xyz ＝1，求证：1x 3y ＋1y 3z ＋1z 3x ≥xy ＋yz ＋zx.【必做题】 第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 某乐队参加一户外音乐节，准备从3首原创新曲和5首经典歌曲中随机选择4首进行演唱．(1) 求该乐队至少演唱1首原创新曲的概率；(2) 假定演唱一首原创新曲观众与乐队的互动指数为a(a 为常数)，演唱一首经典歌曲观众与乐队的互动指数为2a.求观众与乐队的互动指数之和X 的概率分布及数学期望．23.设n≥2，n ∈N *.有序数组(a 1，a 2，…，a n )经m 次变换后得到数组(b m ，1，b m ，2，…，b m ，n )，其中b 1，i ＝a i ＋a i ＋1，b m ，i ＝b m －1，i ＋b m －1，i ＋1(i ＝1，2，…，n)，a n ＋1＝a 1，b m －1，n ＋1＝b m－1，1(m≥2)．例如：有序数组(1，2，3)经1次变换后得到数组(1＋2，2＋3，3＋1)，即(3，5，4)；经第2次变换后得到数组(8，9，7)．(1) 若a i ＝i(i ＝1，2，…，n)，求b 3，5的值；(2) 求证：b m，i＝i＋j C j m，其中i＝1，2，…，n.(注：当i＋j＝kn＋t时，k∈N*，t＝1，2，…，n，则a i＋j＝a t)江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十六)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修41：几何证明选讲)如图，AD 是△ABC 的高，AE 是△ABC 的外接圆的直径，点B 和点C 在直线AE 的两侧．求证：AB·AC＝AD·AE.B. (选修42：矩阵与变换) 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x y2，X ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1，且AX ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，其中x ，y ∈R . (1) 求x ，y 的值；(2) 若B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －10 2，求(AB )－1.C. (选修44：坐标系与参数方程)已知曲线C 的极坐标方程是ρ2－8ρcos θ＋15＝0，直线l 的极坐标方程是θ＝π4(ρ∈R)．若P，Q分别为曲线C与直线l上的动点，求PQ的最小值．D. (选修45：不等式选讲)已知x ＞0，求证：x 3＋y 2＋3≥3x＋2y.【必做题】 第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：x ＝－1，点T(3，0)．动点P 满足PS⊥l，垂足为S ，且OP →·ST →＝0.设动点P 的轨迹为曲线C.(1) 求曲线C 的方程；(2) 设Q 是曲线C 上异于点P 的另一点且直线PQ 过点(1，0)，线段PQ 的中点为M ，直线l 与x 轴的交点为N.求证：向量SM →与NQ →共线．23. 已知数列{a n }共有3n(n∈N *)项，记f(n)＝a 1＋a 2＋…＋a 3n .对任意的k∈N *，1≤k ≤3n ，都有a k ∈{0，1}，且对于给定的正整数p(p≥2)，f(n)是p 的整数倍．把满足上述条件的数列{a n }的个数记为T n .(1) 当p ＝2时，求T 2的值；1 3．(2) 当p＝3时，求证：T n＝江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十七)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修41：几何证明选讲)如图，直线DE 切圆O 于点D ，直线EO 交圆O 于A ，B 两点，DC ⊥OB 于点C ，且DE ＝2BE ，求证：2OC ＝3BC.B. (选修42：矩阵与变换) 已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a 3 b 的一个特征值λ1＝－1及对应的特征向量e ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1.求矩阵M 的逆矩阵．C. (选修44：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度，建立极坐标系．已知曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋2cos α，y ＝3＋2sin α(α∈，α为参数)，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝a(a∈R )．若曲线C 1与曲线C 2有且仅有一个公共点，求实数a 的值．D. (选修45：不等式选讲)已知a ，b ，c 为正实数，求证：b 2a ＋c 2b ＋a2c ≥a ＋b ＋c.【必做题】 第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 已知袋中装有大小相同的2个白球、2个红球和1个黄球．一项游戏规定：每个白球、红球和黄球的分值分别是0分、1分和2分，每一局从袋中一次性取出三个球，将3个球对应的分值相加后称为该局的得分，计算完得分后将球放回袋中．当出现第n 局得n 分(n∈N *)的情况就算游戏过关，同时游戏结束，若四局过后仍未过关，游戏也结束．(1) 求在一局游戏中得3分的概率；(2) 求游戏结束时局数X 的分布列和数学期望E(X)．23. 已知f n (x)＝C 0n x n－C 1n (x －1)n＋…＋(－1)k C kn (x －k)n＋…＋(－1)n C nn (x －n)n，其中x∈R ，n ∈N *，k ∈N ，k ≤n.(1) 试求f 1(x)，f 2(x)，f 3(x)的值；。
江苏高三高中数学高考模拟带答案解析
江苏高三高中数学高考模拟班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.若集合，则等于2.若为实数，＝，则等于3.称一个函数是“好函数”当且仅当其满足：（1）定义在上；（2）存在，使其在、上单调递增，在上单调递减．则以下函数中不是好函数的是84.若将函数的图像按向量,平移得到的图像,则的解析式为5.等比数列的前项和为，若成等差数列，则的公比等于6.设随机变量～,对非负数常数,则的值是只与有关只与有关只与有关只与和有关7.设是函数的反函数，则成立的的取值范围是8.若则于9.已知.设则大小关系是10.在直三棱柱中，已知分别为,的中点，,分别为线段,上的动点（不包括端点）.若,则线段的长度的取值范围是11.已知.则函数的最大值为12.抛物线的准线与轴交于点.过点作直线交抛物线于两点，.点在抛物线对称轴上,且.则的取值范围是二、填空题1.已知，则.2.在矩形中，已知，，将该矩形沿对角线折成直二面角，则四面体的外接球的体积为 .3.已知数列为等差数列，且，，则____________.4.给出下列命题：①不等式成立的充要条件是；②已知函数在处连续，则；③当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是；④将函数的图象按向量平移后，与函数的图象重合，则的最小值为.你认为正确的命题是．（写出所有正确命题的序号）三、解答题1.（本小题满分12分）已知中，，，设，并记.(1)求函数的解析式及其定义域；(2)设函数，若函数的值域为，试求正实数的值.2.（本小题满分12分）某学校要用鲜花布置花圃中五个不同区域，要求同一区域上用同一种颜色的鲜花，相邻区域使用不同颜色的鲜花.现有红、黄、蓝、白、紫五种不同颜色的鲜花可供任意选择．(1)当区域同时用红色鲜花时，求布置花圃的不同方法的种数；(2)求恰有两个区域用红色鲜花的概率；(3)记为花圃中用红色鲜花布置的区域的个数，求随机变量的分布列及其数学期望.3.（本小题满分12分）定义在上的函数，其中是自然对数的底数，.(1) 若函数在点处连续，求的值；(2) 若函数为上的单调函数，求实数的取值范围，并判断此时函数在上是否为单调函数.4.（本小题满分12分）在斜三棱柱中，，，又顶点在底面上的射影落在上，侧棱与底面成角，为的中点.（1）求证：；（2）如果二面角为直二面角，试求侧棱与侧面的距离.5.本小题满分12分的内切圆与三边的切点分别为，已知，内切圆圆心，设点的轨迹为.（1）求的方程；（2）过点的动直线交曲线于不同的两点（点在轴的上方），问在轴上是否存在一定点（不与重合），使恒成立，若存在，试求出点的坐标；若不存在，说明理由.6.本小题满分14分已知：数列，中，,，且当时，，，成等差数列，，，成等比数列. （1）求数列，的通项公式；（2）求最小自然数，使得当时，对任意实数，不等式≥恒成立；（3）设（），求证：当都有.江苏高三高中数学高考模拟答案及解析一、选择题1.若集合，则等于【答案】A【解析】略2.若为实数，＝，则等于【答案】B【解析】略3.称一个函数是“好函数”当且仅当其满足：（1）定义在上；（2）存在，使其在、上单调递增，在上单调递减．则以下函数中不是好函数的是8【答案】D【解析】略4.若将函数的图像按向量,平移得到的图像,则的解析式为【答案】C【解析】略5.等比数列的前项和为，若成等差数列，则的公比等于【答案】C【解析】略6.设随机变量～,对非负数常数,则的值是只与有关只与有关只与有关只与和有关【答案】A【解析】略7.设是函数的反函数，则成立的的取值范围是【答案】A【解析】略8.若则于【答案】D【解析】略9.已知.设则大小关系是【答案】B【解析】略10.在直三棱柱中，已知分别为,的中点，,分别为线段,上的动点（不包括端点）.若,则线段的长度的取值范围是【答案】A【解析】略11.已知.则函数的最大值为【答案】B【解析】略12.抛物线的准线与轴交于点.过点作直线交抛物线于两点，.点在抛物线对称轴上,且.则的取值范围是【答案】D【解析】略二、填空题1.已知，则.【答案】【解析】略2.在矩形中，已知，，将该矩形沿对角线折成直二面角，则四面体的外接球的体积为 .【答案】【解析】略3.已知数列为等差数列，且，，则____________.【答案】1【解析】略4.给出下列命题：①不等式成立的充要条件是；②已知函数在处连续，则；③当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是；④将函数的图象按向量平移后，与函数的图象重合，则的最小值为.你认为正确的命题是．（写出所有正确命题的序号）【答案】.①②【解析】略三、解答题1.（本小题满分12分）已知中，，，设，并记.(1)求函数的解析式及其定义域；(2)设函数，若函数的值域为，试求正实数的值.【答案】【解】（1）. …………………6分(2)，假设存在正实数符合题意，，故，又，从而函数的值域为，令.…………………12分【解析】略2.（本小题满分12分）某学校要用鲜花布置花圃中五个不同区域，要求同一区域上用同一种颜色的鲜花，相邻区域使用不同颜色的鲜花.现有红、黄、蓝、白、紫五种不同颜色的鲜花可供任意选择．(1)当区域同时用红色鲜花时，求布置花圃的不同方法的种数；(2)求恰有两个区域用红色鲜花的概率；(3)记为花圃中用红色鲜花布置的区域的个数，求随机变量的分布列及其数学期望.【答案】【解析】略3.（本小题满分12分）定义在上的函数，其中是自然对数的底数，.(1) 若函数在点处连续，求的值；(2) 若函数为上的单调函数，求实数的取值范围，并判断此时函数在上是否为单调函数.【答案】不可能在上恒小于0，故在上必为增函数，在上恒成立.在上恒成立.…………………………8分设，在上是增函数，在上的最大值为，且在上连续，故有. ………………………10分当时，在上是增函数；当时，，故此时在上不是增函数. ……12分【解析】略4.（本小题满分12分）在斜三棱柱中，，，又顶点在底面上的射影落在上，侧棱与底面成角，为的中点.（1）求证：；（2）如果二面角为直二面角，试求侧棱与侧面的距离.【答案】【解】⑴……4分(2)为二面角的平面角，故，又为与底面所成的角，从而，设侧棱长为，由于，则，类似地.在中，，即. 8分这样为等边三角形，取的中点，以为原点，如图建立空间直角坐标系.易知，故，设面的法向量为，则，可取，又，，故点到侧面的距离为，而侧面，故与侧面的距离为.…………………12分【解析】略5.本小题满分12分的内切圆与三边的切点分别为，已知，内切圆圆心，设点的轨迹为.（1）求的方程；（2）过点的动直线交曲线于不同的两点（点在轴的上方），问在轴上是否存在一定点（不与重合），使恒成立，若存在，试求出点的坐标；若不存在，说明理由.【答案】【解】（1）设点，由题知，根据双曲线定义知，点的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线的右支（除去点），故的方程为. …4分（2）设点.，……………………… 6分①当直线轴时，点在轴上任何一点处都能使得成立. …………7分②当直线不与轴垂直时，设直线，由得…………… 9分，使，只需成立，即，即，，即，故，故所求的点的坐标为时，恒成立. ………………………12分【解析】略6.本小题满分14分已知：数列，中，,，且当时，，，成等差数列，，，成等比数列. （1）求数列，的通项公式；（2）求最小自然数，使得当时，对任意实数，不等式≥恒成立；（3）设（），求证：当都有.【答案】【解】（1）依题意2=+,=.又∵，，∴≥0，≥0 ,且,∴（≥2）,∴数列是等差数列，又,∴,也适合.∴，. ………………4分(2) 将，代入不等式≥（）整理得：≥0………………………6分令，则是关于的一次函数，由题意可得，∴，解得≤1或≥3.∴存在最小自然数，使得当≥时，不等式（）恒成立.…………8分【解析】略。
2023年江苏省苏州市高考数学模拟试卷及答案解析
2023年江苏省苏州市高考数学模拟试卷本试卷满分150分。
共22道题。
考试用时120分钟。
注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考场号、座位号和考生号填写在答题卡上。
将条形码横贴在每张答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先画掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4.考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若非空且互不相等的集合A、B、C，满足：A∪B＝A，B∩C＝C，则A∩C＝（）A．A B．B C．C D．∅2．已知复数z满足（z﹣1）i＝1+i（其中i是虚数单位），则|z|＝（）A．1B．C．2D．3．在△ABC中，满足A＞2B，则下列说法正确的是（）A．cos A＜2cos B B．sin A＞2sin B C．sin A＞sin2B D．tan A＞2tan B 4．已知直线m，n是平面α的两条斜线，若m，n为不垂直的异面直线，则m，n在平面α内的射影m'，n'（）A．不可能平行，也不可能垂直B．可能平行，但不可能垂直C．可能垂直，但不可能平行D．可能平行，也可能垂直5．已知，则正确的大小顺序是（）A．b＜a＜c B．a＜c＜b C．a＜b＜c D．c＜a＜b6．已知数列{a n}满足a n＝n，在a n，a n+1之间插入n个1，构成数列{b n}：a1，1，a2，1，1，a3，1，1，1，a4，⋯，则数列{b n}的前100项的和为（）A．178B．191C．206D．2167．我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，若，，则实数λ＝（）A．2B．3C．4D．58．已知随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），若函数f（x）＝P（x≤ξ≤x+2）是偶函数，则实数μ＝（）A．0B．C．1D．2二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．（多选）9．已知二项式，则下列说法中正确的有（）A．二项展开式中有常数项B．二项展开式的系数和为0C．二项展开式的第2项系数为2022D．二项展开式的第1012项的系数最大（多选）10．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P是底面ABCD内的动点，若，则（）A．B1P⊥BD1B．B1P∥平面A1DC1C．四面体PA1DC1的体积为定值D．B1P与底面ABCD所成的角最大为45°（多选）11．已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣2）2＝1，点A（2，0），过点A的直线与圆C交于两点P，Q，且AP＜AQ．则（）A．直线PQ的斜率k≥1B．AQ的最小值为2C．AP的最小值为D．•＝4（多选）12．已知函数f（x）＝|sin x|cos x，x∈R，则（）A．函数f（x）的值域为B．函数f（x）是一个偶函数，也是一个周期函数C．直线是函数f（x）的一条对称轴D．方程f（x）＝log4x有且仅有一个实数根三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．命题“∀x∈R，x2﹣1＜0”的否定是“”．14．已知θ为第二象限角，若，则sinθ+cosθ的值为．15．在三棱锥A﹣BCD中，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，若AB＝2，BC＝CD＝4，则AC 与BD所成角的余弦值为．16．设随机变量ξ的分布列如下：ξ12345678910P a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10且数列{a n}满足P（ξ≤k）＝ka k（k＝1，2，3，⋯，10），则E（ξ）＝．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且．（1）若，求证：数列{b n}是等差数列；（2）求出数列{a n}的通项公式a n和前n项和S n．18．（12分）在△ABC中，AB•tan C＝AC•tan B，点D是边BC上一点，且满足2+•＝0．（1）证明：△ABC为等腰三角形；（2）若BD＝3CD，求∠BAC的余弦值．19．（12分）如图，以C为直角顶点的等腰直角三角形ABC所在的平面与以O为圆心的半圆弧所在的平面垂直，P为上异于A，B的动点，已知圆O的半径为1．（1）求证：CO⊥PB；（2）若二面角P﹣BC﹣A的余弦值为，求点P到平面ABC的距离．20．（12分）某校举行青年教师视导活动，对48位青年教师的备课本进行了检查，相关数据如表：性别等级合计良好优秀男教师a1018女教师1020合计3048附：（其中n＝a+b+c+d）．临界值表：0.150.100.050.0250.0100.0050.001P（χ2≥x0）x0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828（1）是否有90%的把握认为备课本是否优秀与性别有关？（2）从48本备课本中不放回的抽取两次，每次抽取一本，求第一次取到女教师备课本的条件下，第二次取到优秀备课本的概率．21．（12分）已知函数．（1）求函数f（x）的极值；（2）对任意实数x＞0，f（x）≤（x﹣a）lnx+1恒成立，求正实数a的取值范围．22．（12分）离心率为e的椭圆经过抛物线y2＝8x的焦点，且直线y＝ex是双曲线的一条渐近线．椭圆C的左、右顶点分别为A，B，点P，Q为椭圆上异于A，B的两动点，记直线AP的斜率为k1，直线QB的斜率为k2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线PQ过x轴上一定点（m，0），求（用含m的式子表示）．2023年江苏省苏州市高考数学模拟试卷本试卷满分150分。
江苏高三高中数学高考模拟带答案解析
江苏高三高中数学高考模拟班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.已知集合，，则= ．2.若复数为纯虚数，是虚数单位，则实数的值是．3.若采用系统抽样方法从420人中抽取21人做问卷调查，为此将他们随机编号为，，，，则抽取的人中，编号在区间内的人数是．4.在如图所示的算法中，输出的的值是．5.已知是等差数列，若，则的值是．6.若将甲、乙两个球随机放入编号为，，的三个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则在，号盒子中各有一个球的概率是．7.在平面直角坐标系中，若双曲线的渐近线方程是，且经过点，则该双曲线的方程是8.若，则的值是．9.若，，是实数，则的最大值是．10.如图，在正三棱柱中，若各条棱长均为2，且M为的中点，则三棱锥的体积是．11.设函数是定义在上的奇函数，当时，，则关于的不等式的解集是．12.已知光线通过点，被直线：反射，反射光线通过点，则反射光线所在直线的方程是．13.如图，已知中，，，是的中点，若向量，且的终点在的内部（不含边界），则的取值范围是．14.已知函数，若关于x的不等式的解集为空集，则实数a的取值范围是．二、解答题1.已知的内角的对边分别为，．（1）若，，求的值；（2）若，求的值．2.如图，在四棱锥中，底面是菱形，且．（1）求证：；（2）若平面与平面的交线为，求证：．3.如图是一个半圆形湖面景点的平面示意图．已知为直径，且km,为圆心，为圆周上靠近的一点，为圆周上靠近的一点，且∥．现在准备从经过到建造一条观光路线，其中到是圆弧，到是线段.设，观光路线总长为.（1）求关于的函数解析式，并指出该函数的定义域；（2）求观光路线总长的最大值.4.已知函数（其中是自然对数的底数），，．（1）记函数，且，求的单调增区间；（2）若对任意，，均有成立，求实数的取值范围．5.如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆:,设是椭圆上的任一点，从原点向圆：作两条切线，分别交椭圆于点，.（1）若直线，互相垂直，求圆的方程；（2）若直线，的斜率存在，并记为，，求证：；（3）试问是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．6.已知数列是等差数列，其前n项和为S，若，．n（1）求；（2）若数列{M}满足条件：，当时，－，其中数列单调递增，且，．n①试找出一组，，使得；②证明：对于数列，一定存在数列，使得数列中的各数均为一个整数的平方．7.如图，已知A,B,C是圆O上的三点，BE切圆O于点B,D是CE与圆O的交点，若求线段CD的长.8.已知二阶矩阵A有特征值及对应的一个特征向量和特征值及对应的一个特征向量，试求矩阵A．9.在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程是（是参数），若以为极点，轴的正半轴为极轴，取与直角坐标系中相同的单位长度，建立极坐标系，求曲线的极坐标方程．10.已知关于的不等式的解集为R，求实数的取值范围11.如图，在直三棱柱中，已知，，，点，分别在棱，上，且，，．（1）当时，求异面直线与所成角的大小；（2）当直线与平面所成角的正弦值为时，求的值．12.已知数列的各项均为正整数，对于任意n∈N*，都有成立，且．（1）求，的值；（2）猜想数列的通项公式，并给出证明．江苏高三高中数学高考模拟答案及解析一、填空题1.已知集合，，则= ．【答案】【解析】由题意得：，【考点】集合运算2.若复数为纯虚数，是虚数单位，则实数的值是．【答案】1【解析】因为，所以【考点】纯虚数3.若采用系统抽样方法从420人中抽取21人做问卷调查，为此将他们随机编号为，，，，则抽取的人中，编号在区间内的人数是．【答案】6【解析】因为区间内的人数共有每20人抽取一人，因此共抽人，即编号在区间内的人数是6人【考点】系统抽样4.在如图所示的算法中，输出的的值是．【答案】7【解析】第一次循环：第二次循环：第三次循环：结束循环，输出【考点】循环结构流程图5.已知是等差数列，若，则的值是．【答案】3【解析】因为，所以【考点】等差数列性质6.若将甲、乙两个球随机放入编号为，，的三个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则在，号盒子中各有一个球的概率是．【答案】【解析】将甲、乙两个球随机放入编号为，，的三个盒子中，共有种方法，其中在，号盒子中各有一个球有种方法，因此所求概率是【考点】古典概型概率7.在平面直角坐标系中，若双曲线的渐近线方程是，且经过点，则该双曲线的方程是【答案】【解析】由题意设双曲线的方程是，因为经过点，所以，从而双曲线的方程是【考点】双曲线渐近线8.若，则的值是．【答案】【解析】【考点】给值求值9.若，，是实数，则的最大值是．【答案】2【解析】因为，所以，的最大值是2【考点】基本不等式求最值10.如图，在正三棱柱中，若各条棱长均为2，且M为的中点，则三棱锥的体积是．【答案】【解析】【考点】等体积法求体积11.设函数是定义在上的奇函数，当时，，则关于的不等式的解集是．【答案】【解析】当时，，当时，【考点】解不等式12.已知光线通过点，被直线：反射，反射光线通过点，则反射光线所在直线的方程是．【答案】【解析】关于直线：的对称点为，所以反射光线所在直线的方程是直线的方程:【考点】反射直线13.如图，已知中，，，是的中点，若向量，且的终点在的内部（不含边界），则的取值范围是．【答案】【解析】以A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，则且，【考点】向量数量积14.已知函数，若关于x的不等式的解集为空集，则实数a的取值范围是．【答案】【解析】因为，所以当且仅当时等式的解集为空集，因此实数a的取值范围是【考点】解不等式二、解答题1.已知的内角的对边分别为，．（1）若，，求的值；（2）若，求的值．【答案】（1）（2）【解析】（1）已知两边及一角求第三边，一般利用余弦定理求解：由余弦定理得，因为，，，所以，即解之得，（舍去）．（2）已知两角求第三角，根据三角形三角和为，利用两角和正切公式求解：因为，所以试题解析：（1）由余弦定理得，， 3分因为，，，所以，即 5分解之得，（舍去）．所以. 7分（2）因为，，所以 9分11分．所以． 14分【考点】余弦定理，两角和正切公式2.如图，在四棱锥中，底面是菱形，且．（1）求证：；（2）若平面与平面的交线为，求证：．【答案】（1）详见解析（2）详见解析【解析】（1）证明线线垂直，一般利用线面垂直性质定理求证：因为四边形ABCD为菱形，所以，又因为，O为BD的中点，所以而所以，又因为所以（2）证明线线平行。
江苏高三高中数学高考模拟带答案解析
江苏高三高中数学高考模拟班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.已知集合,若,则实数= ▲ .2.若,为虚数单位),则= ▲ .3.若向量,且,则实数= ▲ .4.袋中装有大小相同且形状一样的四个球,四个球上分别标有“2”、“3”、“4”、“6”这四个数.现从中随机选取三个球,则所选的三个球上的数恰好能构成一个等差数列的概率是▲5.某校共有400名学生参加了一次数学竞赛,竞赛成绩的频率分布直方图如图所示(成绩分组为).则在本次竞赛中,得分不低于80分以上的人数为▲ .6.在中,已知,则▲ .7.根据如图所示的伪代码,当输入的值为3时,最后输出的S的值为▲ .8.已知四边形为梯形, ,为空间一直线,则“垂直于两腰”是“垂直于两底”的▲条件(填写“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”中的一个).9..函数的单调减区间为▲ .10.已知是定义在上的奇函数, 则的值域为 .11..记等比数列的前项积为,已知,且,则▲ .12.若关于的方程有解,则实数的取值范围是▲ .13.设椭圆恒过定点,则椭圆的中心到准线的距离的最小值▲ .14.设,若对任意的正实数,都存在以为三边长的三角形,则实数的取值范围是▲ .二、解答题1.(本小题满分14分)已知函数.(1)求函数的最小正周期；(2)求函数在区间上的函数值的取值范围.2.．(本小题满分14分)如图,在四棱锥中,四边形是菱形,,为的中点.(1)求证:面；(2)求证:平面平面.3.(本小题满分14分)在综合实践活动中,因制作一个工艺品的需要,某小组设计了如图所示的一个门(该图为轴对称图形),其中矩形的三边、、由长6分米的材料弯折而成,边的长为分米()；曲线拟从以下两种曲线中选择一种:曲线是一段余弦曲线(在如图所示的平面直角坐标系中,其解析式为),此时记门的最高点到边的距离为；曲线是一段抛物线,其焦点到准线的距离为,此时记门的最高点到边的距离为.(1)试分别求出函数、的表达式；(2)要使得点到边的距离最大,应选用哪一种曲线?此时,最大值是多少?4.(本小题满分16分) 如图,在平面直角坐标系中,已知点为椭圆的右顶点, 点,点在椭圆上, .(1)求直线的方程； (2)求直线被过三点的圆截得的弦长；(3)是否存在分别以为弦的两个相外切的等圆?若存在,求出这两个圆的方程；若不存在,请说明理由5.(本小题满分16分)对于函数,若存在实数对(),使得等式对定义域中的每一个都成立,则称函数是“()型函数”.(1)判断函数是否为“()型函数”，并说明理由；(2)已知函数是“(1,4)型函数”, 当时,都有成立,且当时,,若,试求的取值范围.6.(本小题满分16分) [已知数列满足,.(1)求数列的通项公式；(2)若对每一个正整数,若将按从小到大的顺序排列后,此三项均能构成等差数列, 且公差为.①求的值及对应的数列．②记为数列的前项和，问是否存在,使得对任意正整数恒成立?若存在,求出的最大值；若不存在,请说明理由．7. A.（选修4—1：几何证明选讲）如图，的半径垂直于直径，为上一点，的延长线交于点，过点的圆的切线交的延长线于.求证：.8.B．（选修4—2：矩阵与变换）已知矩阵，若矩阵对应的变换把直线：变为直线，求直线的方程.9.C．（选修4—4：坐标系与参数方程）在极坐标系中，圆的方程为，以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数），求直线被截得的弦的长度.10.D.（选修4—5：不等式选讲）已知均为正数，求证：.11.（本小题满分10分）如图所示,在棱长为2的正方体中,点分别在棱上,满足, 且.(1)试确定、两点的位置.(2)求二面角大小的余弦值.12.（本小题满分10分）已知整数≥4,集合的所有3个元素的子集记为.(1)当时,求集合中所有元素之和.(2)设为中的最小元素,设=,试求.江苏高三高中数学高考模拟答案及解析一、填空题1.已知集合,若,则实数= ▲ .【答案】3【解析】因，所以，即。
江苏高三高中数学高考模拟带答案解析
江苏高三高中数学高考模拟班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.设全集U ＝｛x|x≥2，x ∈N ｝，集合A ＝｛x|x 2≥5，x ∈N ｝，则 ．2.复数，其中i 为虚数单位，＝，则a 的值为 ．3.双曲线的离心率为 ．4.若一组样本数据9，8，x ，10，11的平均数为10，则该组样本数据的方差为 ．5.已知向量a=（1，2），b=（x ，-2），且a ⊥（a-b ），则实数x= ．6.阅读算法流程图，运行相应的程序，输出的结果为 ．7.函数的值域为 ．8.连续2次抛掷一枚骰子（六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6），则事件“两次向上的数字之和等于7”发生的概率为 ．9.将半径为5的圆分割成面积之比为的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥的底面半径依次为，则＝ ． 10.已知是第三象限角，且，则＝ ．11.已知是等差数列，a 5＝15，a 10＝－10，记数列的第n 项到第n+5项的和为T n ，则取得最小值时的n 的值为 ． 12.若直线和直线将圆分成长度相等的四段弧，则＝ ． 13.已知函数f （x ）＝－kx （x≥0，k ∈R ）有且只有三个零点，设此三个零点中的最大值为，则＝ ．14.已知，，则的最小值为 ．二、解答题1.在中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足．（1）求角C 的大小； （2）若的面积为，，求边的长．2.如图，在直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中， E ，F 分别是AB ，BC 的中点，A 1C 1与B 1D 1交于点O ．（1）求证：A 1，C 1，F ，E 四点共面； （2）若底面ABCD 是菱形，且A 1E ，求证：平面A 1C 1FE ．3.图1是一段半圆柱形水渠的直观图，其横断面如图2所示，其中C 为半圆弧的中点，渠宽AB 为2米．（1）当渠中水深CD 为0．4米时，求水面的宽度；（2）若把这条水渠改挖（不准填土）成横断面为等腰梯形的水渠，且使渠的底面与地面平行，则当改挖后的水渠底宽为多少时，所挖出的土量最少？4.如图，已知椭圆O ：＋y 2＝1的右焦点为F ，点B ，C 分别是椭圆O 的上、下顶点，点P 是直线l ：y ＝－2上的一个动点（与y 轴交点除外），直线PC 交椭圆于另一点M ．（1）当直线PM 过椭圆的右焦点F 时，求△FBM 的面积； （2）①记直线BM ，BP 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1·k 2为定值； ②求的取值范围．5.已知数列满足：，，,．（1）若，且数列为等比数列，求的值；（2）若，且为数列的最小项，求的取值范围．6.已知函数（a ∈R ），为自然对数的底数． （1）当a ＝1时，求函数的单调区间； （2）①若存在实数，满足，求实数的取值范围； ②若有且只有唯一整数，满足，求实数的取值范围．7.如图，四边形 ABDC内接于圆，BD=CD，过C点的圆的切线与AB的延长线交于E点．（1）求证：；（2）若BD⊥AB，BC=BE，AE=2，求AB的长．8.已知二阶矩阵M有特征值=3及对应的一个特征向量，并且矩阵M对应的变换将点（-1,2）变换成（9,15），求矩阵M．9.在直角坐标系xOy中，已知曲线的参数方程是，在以坐标原点O为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程是，求曲线与的交点在直角坐标系中的直角坐标．10.设函数f（x）＝＋|x－a|（a＞0）．（1）证明：f（x）≥2；（2）若f（3）＜5，求实数a的取值范围．11.一位网民在网上光顾某网店，经过一番浏览后，对该店铺中的三种商品有购买意向．已知该网民购买种商品的概率为，购买种商品的概率为，购买种商品的概率为．假设该网民是否购买这三种商品相互独立．（1）求该网民至少购买2种商品的概率；（2）用随机变量表示该网民购买商品的种数，求的概率分布和数学期望．12.如图，由若干个小正方形组成的k层三角形图阵，第一层有1个小正方形，第二层有2个小正方形，依此类推，第k层有k个小正方形．除去最底下的一层，每个小正方形都放置在它下一层的两个小正方形之上．现对第k层的每个小正方形用数字进行标注，从左到右依次记为，其中（），其它小正方形标注的数字是它下面两个小正方形标注的数字之和，依此规律，记第一层的小正方形标注的数字为．（1）当k=4时，若要求为2的倍数，则有多少种不同的标注方法？（2）当k=11时，若要求为3的倍数，则有多少种不同的标注方法？江苏高三高中数学高考模拟答案及解析一、填空题1.设全集U＝｛x|x≥2，x∈N｝，集合A＝｛x|x2≥5，x∈N｝，则．【答案】【解析】由题意得【考点】集合的补集2.复数，其中i为虚数单位，＝，则a的值为．【答案】－5【解析】【考点】复数的模3.双曲线的离心率为．【答案】【解析】由题意得【考点】双曲线离心率4.若一组样本数据9，8，x，10，11的平均数为10，则该组样本数据的方差为．【答案】2【解析】由题意得，因此方差为【考点】方差5.已知向量a=（1，2），b=（x，-2），且a⊥（a-b），则实数x= ．【答案】9【解析】由题意得【考点】向量数量积6.阅读算法流程图，运行相应的程序，输出的结果为．【答案】【解析】第一次循环：；第二次循环：；第三次循环：；第四次循环：；结束循环，输出【考点】循环结构流程图 7.函数的值域为 ．【答案】 【解析】，因此值域为 【考点】分段函数值域8.连续2次抛掷一枚骰子（六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6），则事件“两次向上的数字之和等于7”发生的概率为 ． 【答案】【解析】连续2次抛掷一枚骰子共有36种基本事件，其中“两次向上的数字之和等于7”包含这6种基本事件，故所求概率为【考点】古典概型概率9.将半径为5的圆分割成面积之比为的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥的底面半径依次为，则＝ ． 【答案】5【解析】由题意得，扇形弧长为对应圆锥底面周长，因此 【考点】圆锥展开图10.已知是第三象限角，且，则＝ ．【答案】【解析】由及得：，因为是第三象限角，所以，从而，【考点】同角三角函数关系11.已知是等差数列，a 5＝15，a 10＝－10，记数列的第n 项到第n+5项的和为T n ，则取得最小值时的n 的值为 ． 【答案】5或6 【解析】由题意得，因此，而数列的第n 项到第n+5项的和为连续6项的和，因此取得最小值时的n 的值为第8项前3项或前2项，即n 的值为5或6 【考点】等差数列性质12.若直线和直线将圆分成长度相等的四段弧，则＝ ． 【答案】18【解析】由题意得直线和直线截得圆的弦所对圆周角相等，皆为直角，因此圆心到两直线距离皆为，即【考点】直线与圆位置关系13.已知函数f （x ）＝－kx （x≥0，k ∈R ）有且只有三个零点，设此三个零点中的最大值为，则＝ ．【答案】 【解析】由题意得与相切，切点为，由导数几何意义得，因此，即【考点】导数几何意义，同角三角函数关系 14.已知，，则的最小值为 ．【答案】【解析】，当且仅当时取等号【考点】基本不等式求最值二、解答题1.在中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足．（1）求角C 的大小； （2）若的面积为，，求边的长．【答案】（1）；（2）【解析】（1）因为求角，所以利用正弦定理将边化角得，也可利用余弦定理将角化边，有一定的运算量，最后根据三角形内角范围确定所求角的值（2）因为已知C 角，所以三角形面积公式选用，从而得到，这样已知两边一角求第三边，利用余弦定理得试题解析：（1）由余弦定理知，…3分，， 又，．（2），，又，，．【考点】正余弦定理2.如图，在直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中， E ，F 分别是AB ，BC 的中点，A 1C 1与B 1D 1交于点O ．（1）求证：A 1，C 1，F ，E 四点共面；（2）若底面ABCD 是菱形，且A 1E ，求证：平面A 1C 1FE ． 【答案】（1）详见解析（2）详见解析【解析】（1）证明四点共面，实质就是证明线线平行，由题意确定证明目标：EF ∥A1C1，因为E ，F 分别是AB ，BC 的中点，所以EF ∥AC ．从而转化证明AC ∥A1C1，这可利用棱柱中侧棱相互平行且相等性质得：四边形AA1C1C 为平行四边形，因此得证AC ∥A1C1．（2）证明线面垂直，一般利用线面垂直性质与判定定理，经多次转化得证：先由直棱柱证得侧棱，再由菱形得从而可推得平面，即OD．最后结合已知条件A1E ，推证平面A1C1FE ．试题解析：（1）连接AC ，因为E ，F 分别是AB ，BC 的中点，所以EF 是△ABC 的中位线，所以EF ∥AC ．由直棱柱知AA 1CC 1，所以四边形AA 1C 1C 为平行四边形，所以AC ∥A 1C 1． 所以EF ∥A 1C 1，故A 1，C 1，F ，E 四点共面． （2）连接BD ，因为直棱柱中平面，平面， 所以．因为底面A 1B 1C 1D 1是菱形，所以． 又，所以平面． 因为平面，所以OD ． 又A1E ，，平面A1C1FE ，平面A1C1FE ， 所以平面A1C1FE ．【考点】线线平行公理，线面垂直性质与判定定理3.图1是一段半圆柱形水渠的直观图，其横断面如图2所示，其中C 为半圆弧的中点，渠宽AB 为2米．（1）当渠中水深CD 为0．4米时，求水面的宽度；（2）若把这条水渠改挖（不准填土）成横断面为等腰梯形的水渠，且使渠的底面与地面平行，则当改挖后的水渠底宽为多少时，所挖出的土量最少？ 【答案】（1）宽为1．6米．（2）渠底宽为米【解析】（1）本题实际上为求对应半圆上点的坐标：先建立直角坐标系，求出半圆弧所在曲线方程：．再根据水深CD 确定对应点纵坐标，代入圆方程求得横坐标，从而确定水面的宽度；（2）为使挖掉的土最少，等腰梯形的两腰必须与半圆相切，因此问题转化为求圆的切线：设切点，则切线EF 的方程为．从而可根据切线方程与两直线y ＝-1和y ＝0得交点坐标，求出对应等腰梯形的面积，再根据导数求其最小值试题解析：（1）以AB 所在的直线为x 轴，AB 的中垂线为y 轴，建立如图所示的直角坐标系xOy ，因为AB ＝2米，所以半圆的半径为1米， 则半圆的方程为． 因为水深CD ＝0．4米，所以OD ＝0．6米， 在Rt △ODM 中，（米）．所以MN ＝2DM ＝1．6米，故沟中水面宽为1．6米．（2）为使挖掉的土最少，等腰梯形的两腰必须与半圆相切，设切点为是圆弧BC 上的一点，过P 作半圆的切线得如图所示的直角梯形OCFE ，得切线EF 的方程为．令y ＝0，得，令y ＝-1，得．设直角梯形OCFE 的面积为S ，则（）．，令，解得，当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增．所以时，面积S 取得最小值，最小值为．此时，即当渠底宽为米时，所挖的土最少．【考点】圆方程，圆的切线，利用导数求最值4.如图，已知椭圆O ：＋y 2＝1的右焦点为F ，点B ，C 分别是椭圆O 的上、下顶点，点P 是直线l ：y ＝－2上的一个动点（与y 轴交点除外），直线PC 交椭圆于另一点M ．（1）当直线PM 过椭圆的右焦点F 时，求△FBM 的面积； （2）①记直线BM ，BP 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1·k 2为定值； ②求的取值范围． 【答案】（1）（2）①详见解析，②【解析】（1）直线PM 过椭圆的右焦点F ，就是直线CM 过椭圆的右焦点F,点M 就是直线CF 与椭圆的交点，列直线CF 方程与椭圆方程联立的方程组，解得，最后根据点到直线距离公式求高，根据两点间距离公式求底边长，算出三角形面积（2）①本题思路简单，就是利用点P 的坐标分别表示k1，k2，再计算k1·k2的值即可，但有一定运算量：先设，立得，再利用直线PC与椭圆联立方程组求出交点M坐标，求出②先利用点P的坐标表示，再令，化简函数式：，最后结合函数单调性求值域试题解析：（1）由题意，焦点，当直线PM过椭圆的右焦点F时，则直线PM的方程为，即，联立，解得或（舍），即．连BF，则直线BF：，即，而，．故．（2）解法一：①设，且，则直线PM的斜率为，则直线PM的方程为，联立化简得，解得，所以，，所以为定值．②由①知，，，所以，令，故，因为在上单调递增，所以，即的取值范围为．解法二：①设点，则直线PM的方程为，令，得．所以，，所以（定值）．②由①知，，，所以=．令，则，因为在上单调递减，所以，即的取值范围为．【考点】直线与椭圆位置关系5.已知数列满足：，，,．（1）若，且数列为等比数列，求的值；（2）若，且为数列的最小项，求的取值范围．【答案】（1）或．（2）【解析】（1），而数列为等比数列，则可由求出或．再分别验证当时，符合题意；当时，，利用累加法得符合题意．（2），，利用累加法得，由题意转化为恒成立问题：对，有恒成立，即对恒成立．变量分离时需分类讨论：当时，，恒成立，当时，，恒成立，当时，有，分析数列得为递增数列，因此当时，，当时，数列得为递增数列，因此当时，试题解析：（1），，∴，，由数列为等比数列，得，解得或．当时，，∴符合题意；当时，，∴=，∴符合题意．（2）法一：若，，∴==．∵数列的最小项为，∴对，有恒成立，即对恒成立．当时，有，∴；当时，有，∴；当时，有，∴；当时，有，∴；当时，，所以有恒成立，令，则，即数列为递增数列，∴．综上所述，．法二：因为，，又为数列的最小项，所以即所以．此时，，所以．当时，令，，所以，所以，即．综上所述，当时，为数列的最小项，即所求q的取值范围为．【考点】累加法求数列通项，数列单调性6.已知函数（a∈R），为自然对数的底数．（1）当a＝1时，求函数的单调区间；（2）①若存在实数，满足，求实数的取值范围；②若有且只有唯一整数，满足，求实数的取值范围．【答案】（1）在区间上单调递减，在区间上单调递增．（2）①②【解析】（1）当a＝1时，，先明确定义区间R，再求导，求出导函数零点0，列表分析得单调区间：在区间上单调递减，在区间上单调递增．（2）①不等式存在性问题，一般利用变量分离，转化为对应函数最值求解：由得，分离变量时需分类讨论：当时，不等式显然不成立；当时，；当时，．以下问题转化为求=最值，利用导数求得在区间和上为增函数，和上为减函数．从而可得当时，，当时，．即当时，，当时，．②由①知需分类讨论：时，，当时，，再由，得或解得a的取值范围为．试题解析：（1）当a＝1时，，，由于，当时，，∴，当时，，∴，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增．（2）①由得．当时，不等式显然不成立；当时，；当时，．记=，，∴在区间和上为增函数，和上为减函数．∴当时，，当时，．综上所述，所有a的取值范围为．②由①知时，，由，得，又在区间上单调递增，在上单调递减，且，∴，即，∴．当时，，由，得，又在区间上单调递减，在上单调递增，且，∴，解得．综上所述，所有a的取值范围为．【考点】利用导数求单调区间，利用导数求函数最值7.如图，四边形 ABDC内接于圆，BD=CD，过C点的圆的切线与AB的延长线交于E点．（1）求证：；（2）若BD⊥AB，BC=BE，AE=2，求AB的长．【答案】（1）详见解析（2）【解析】（1）等弦对等角，所以由BD=CD，得∠CAD=∠BAD．即∠CAE=2∠CAD．因为CE是圆的切线，所以由弦切角定理得∠CAD=∠DCE．从而；（2）因为BC=BE，所以∠BEC=∠BCE=∠EAC，所以AC=EC．由切割线定理得EC2=AE BE，即AB2=AE（AE－AB），即AB2+2 AB-4=0，解得AB=．试题解析：（1）证明：因为BD=CD，所以∠BCD=∠CBD．因为CE是圆的切线，所以∠ECD=∠CBD．所以∠ECD=∠BCD，所以∠BCE=2∠ECD．因为∠EAC=∠BCE，所以∠EAC=2∠ECD．（2）解：因为BD⊥AB，所以AC⊥CD，AC=AB．因为BC=BE，所以∠BEC=∠BCE=∠EAC，所以AC=EC．由切割线定理得EC2=AE BE，即AB2=AE（AE－AB），即AB2+2 AB-4=0，解得AB=．【考点】弦切角定理，切割线定理8.已知二阶矩阵M有特征值=3及对应的一个特征向量，并且矩阵M对应的变换将点（-1,2）变换成（9,15），求矩阵M．【答案】【解析】列方程组，解得试题解析：解：设,则,故,故联立以上两方程组解得,故=．【考点】矩阵特征值及特征向量9.在直角坐标系xOy中，已知曲线的参数方程是，在以坐标原点O为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程是，求曲线与的交点在直角坐标系中的直角坐标．【答案】【解析】由代入消元得曲线C1的普通方程y＝x，注意消参数后x,y的取值范围x≥0；由得曲线C2的直角坐标方程是x2＋y2＝4．解射线方程与圆方程联立的方程组得交点坐标试题解析：解：由消去t得曲线C1的普通方程y＝x（x≥0）；由ρ＝2，得ρ2＝4，得曲线C2的直角坐标方程是x2＋y2＝4．联立解得故曲线C1与C2的交点坐标为．【考点】参数方程化普通方程，极坐标方程化直角坐标方程10.设函数f（x）＝＋|x－a|（a＞0）．（1）证明：f（x）≥2；（2）若f（3）＜5，求实数a的取值范围．【答案】（1）详见解析；（2）【解析】（1）由绝对值不等式性质得＋|x－a|≥＝＋a，又由基本不等式得＋a≥2，因此f（x）≥2；（2）解含绝对值不等式，一般利用绝对值定义分类求解：当a>3时，f（3）＝＋a，由f（3）<5得3<a<；当0<a≤3时，f（3）＝6－a＋，由f（3）<5得<a≤3．最后求并集．试题解析：（1）证明：由a>0，有f（x）＝＋|x－a|≥＝＋a≥2，所以f（x）≥2．（2）解：f（3）＝＋|3－a|．当a>3时，f（3）＝＋a，由f（3）<5得3<a<当0<a≤3时，f（3）＝6－a＋，由f（3）<5得<a≤3．综上，a的取值范围是．【考点】绝对值不等式性质, 绝对值定义11.一位网民在网上光顾某网店，经过一番浏览后，对该店铺中的三种商品有购买意向．已知该网民购买种商品的概率为，购买种商品的概率为，购买种商品的概率为．假设该网民是否购买这三种商品相互独立．（1）求该网民至少购买2种商品的概率；（2）用随机变量表示该网民购买商品的种数，求的概率分布和数学期望．【答案】（1）（2）【解析】（1）至少购买2种商品包括恰好购买2种商品及恰好购买3种商品，其中恰好购买3种商品包含一种情形，而恰好购买2种商品包含3中情形，所求概率为这四种情形概率的和：（2）先确定随机变量可能取值为,再分别求对应概率，（1）中已求出，，只需再求，，注意概率和为1，最后利用数学期望公式求数学期望试题解析：解：（1）记“该网民购买i种商品”为事件，则：,,所以该网民至少购买2种商品的概率为．答：该网民至少购买2种商品的概率为．（2）随机变量的可能取值为,,又, , 所以．所以随机变量的概率分布为：故数学期望．【考点】数学期望，概率分布12.如图，由若干个小正方形组成的k层三角形图阵，第一层有1个小正方形，第二层有2个小正方形，依此类推，第k层有k个小正方形．除去最底下的一层，每个小正方形都放置在它下一层的两个小正方形之上．现对第k层的每个小正方形用数字进行标注，从左到右依次记为，其中（），其它小正方形标注的数字是它下面两个小正方形标注的数字之和，依此规律，记第一层的小正方形标注的数字为．（1）当k=4时，若要求为2的倍数，则有多少种不同的标注方法？（2）当k=11时，若要求为3的倍数，则有多少种不同的标注方法？【答案】（1）8（2）640【解析】（1）本题方法为逆推：设第4层标注数字依次为，则第3层标注数字依次为，第2层标注数字依次为，所以第1层标注数字=为2的倍数，即是2的倍数，共有1++1=8种标注方法．（2）同样设第11层标注数字依次为，则第10层标注数字依次为，第9层标注数字依次为，以此类推，可得=是3的倍数，即只要是3的倍数．共有（1+）=640种标注方法．试题解析：解：（1）当k=4时，第4层标注数字依次为，第3层标注数字依次为，第2层标注数字依次为，所以=因为为2的倍数，所以是2的倍数，则四个都取0或两个取0两个取1或四个都取1，所以共有1++1=8种标注方法．（2）当k=11时，第11层标注数字依次为，第10层标注数字依次为，第9层标注数字依次为，以此类推，可得=．因为均为3的倍数，所以只要是3的倍数，即只要是3的倍数．所以四个都取0或三个取1一个取0，而其余七个可以取0或1，这样共有（1+）=640种标注方法．【考点】归纳，组合数性质。
江苏高三高中数学高考模拟带答案解析
江苏高三高中数学高考模拟班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.设，，其中是虚数单位，则．2.已知集合，．若，则实数的取值范围是．3.为了了解一片经济林的生长情况，随机测量了其中株树木的底部周长（单位：)，所得数据如图．则在这株树木中，底部周长不小于的有株．4.设向量，，且，若，则实数．5.如图所示的流程图的运行结果是．6.将边长为的正方形沿对角线折起，使，则三棱锥的体积为．7.设等差数列的前项和为，若，．当取最大值时，．8.已知，且，则．9.若在区间内任取实数，在区间内任取实数，则直线与圆相交的概率为．10.设函数的值域是，则实数的取值范围为．11.已知函数满足：当时，，当时，．若在区间内，函数恰有一个零点，则实数的取值范围是．12.设椭圆和圆，若椭圆上存在点，使得过点引圆的两条切线，切点分别为、，满足，则椭圆的离心率的取值范围是．13.设数列的通项公式为，则满足不等式的正整数的集合为．14.设函数，则满足的的取值范围是．二、解答题1.（本小题满分14分）在中，的对边分别为，且．（1）求角的大小；（2）设，为垂足，若，，求的值．2.（本小题满分14分）如图，四棱锥中，底面为矩形，，为上一点．（1）求证：平面平面；（2）若∥平面，求证：为的中点．3.（本小题满分14分）如图，某城市有一条公路从正西方通过市中心后转向东偏北角方向的．位于该市的某大学与市中心的距离，且．现要修筑一条铁路L，L在OA上设一站，在OB上设一站B，铁路在部分为直线段，且经过大学．其中，，．（1）求大学与站的距离；（2）求铁路段的长．4.（本小题满分16分）设椭圆的离心率为，直线与以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆相切．（1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆交于不同的两点，以线段为直径作圆．若圆与轴相交于不同的两点，求的面积；（3）如图，、、、是椭圆的顶点，是椭圆上除顶点外的任意点，直线交轴于点，直线交于点．设的斜率为，的斜率为，求证：为定值．5.（本小题满分16分）已知函数，，其中函数的图象在点处的切线平行于轴．（1）确定与的关系；（2）若，试讨论函数的单调性；（3）设斜率为的直线与函数的图象交于两点，求证：．6.（本小题满分16分）设数列的前项和为，满足．（1）当时，①设，若，．求实数的值，并判定数列是否为等比数列；②若数列是等差数列，求的值；（2）当时，若数列是等差数列，，且，，求实数的取值范围．7.（选修4-1：几何证明选讲）如图，设、是圆的两条弦，直线是线段的垂直平分线．已知，求线段的长度．8.（选修4-2：矩阵与变换）若点在矩阵对应变换的作用下得到点，求矩阵的逆矩阵．9.（选修4-4：坐标系与参数方程）在极坐标系中，设圆经过点，圆心是直线与极轴的交点，求圆的极坐标方程．10.（选修4-5：不等式选讲）设均为正数，．求证：．11.（本小题满分10分）已知数列满足，．（1）求证：数列是等比数列；（2）设，求证：当，时，．12.（本小题满分10分）如图，已知点，直线，为平面内的动点，过作的垂线，垂足为，且．（1）求动点的轨迹的方程；（2）设是上的任意一点，过作轨迹的切线，切点为、．①求证：、、三点的横坐标成等差数列；②若，，求的值．江苏高三高中数学高考模拟答案及解析一、填空题1.设，，其中是虚数单位，则．【答案】【解析】【考点】复数相等2.已知集合，．若，则实数的取值范围是．【答案】【解析】恒成立，因此【考点】集合包含关系，不等式恒成立3.为了了解一片经济林的生长情况，随机测量了其中株树木的底部周长（单位：)，所得数据如图．则在这株树木中，底部周长不小于的有株．【答案】【解析】底部周长不小于的概率为，所以底部周长不小于的有株【考点】频率分布直方图4.设向量，，且，若，则实数．【答案】【解析】，又，所以【考点】向量垂直，向量数量积5.如图所示的流程图的运行结果是．【答案】【解析】第一次循环：，第二次循环：，结束循环，输出【考点】循环结构流程图6.将边长为的正方形沿对角线折起，使，则三棱锥的体积为．【答案】【解析】取中点，则，，即,因为,所以,三棱锥的体积为【考点】三棱锥体积7.设等差数列的前项和为，若，．当取最大值时，．【答案】【解析】设公差为则，因此，所以当时，取最大值【考点】等差数列前项和公式，二次函数最值8.已知，且，则．【答案】【解析】因为，而，又，因此【考点】二倍角公式9.若在区间内任取实数，在区间内任取实数，则直线与圆相交的概率为．【答案】【解析】由直线与圆相交得，又，所以，其区域为梯形OABC,其中,而在区间内任取实数，在区间内任取实数构成一个矩形,其中因此所求概率为梯形OABC面积与矩形面积的比值，即【考点】几何概型概率10.设函数的值域是，则实数的取值范围为．【答案】【解析】因为，所以【考点】三角函数性质11.已知函数满足：当时，，当时，．若在区间内，函数恰有一个零点，则实数的取值范围是．【答案】【解析】当时，，由条件得，，函数恰有一个零点方程有唯一解，在直角坐标系内分别作出与的图象，当直线经过点时，，当直线和曲线相切时，切点为，此时，由图象可知，当时，函数与的图象恰有唯一的交点．【考点】函数零点12.设椭圆和圆，若椭圆上存在点，使得过点引圆的两条切线，切点分别为、，满足，则椭圆的离心率的取值范围是．【答案】【解析】在四边形中，，，，，由题意得，，即，化解得，又在椭圆中，．【考点】圆的切线，椭圆离心率13.设数列的通项公式为，则满足不等式的正整数的集合为．【答案】{1，2，3}【解析】由于数列的通项公式为，所以数列为等比数列，首项为，公比；数列也是等比数列，首项为，公比．不等式等价于，即，解之得，，只能取．【考点】等比数列求和14.设函数，则满足的的取值范围是．【答案】【解析】，函数在上单调递增，且，或，解得或．【考点】利用导数解不等式二、解答题1.（本小题满分14分）在中，的对边分别为，且．（1）求角的大小；（2）设，为垂足，若，，求的值．【答案】（1）（2）【解析】（1）由正弦定理，将边角关系统一化为角：，再利用两角差正弦公式及诱导公式进行化简：解得（2）先利用化简得：,因此关键求，这可利用余弦定理解出，再根据面积公式求出高：试题解析：（1），由正弦定理，得,又在中，，，即，又，，又，；（2）由余弦定理，，，，，，，即，，.【考点】正余弦定理，向量数量积2.（本小题满分14分）如图，四棱锥中，底面为矩形，，为上一点．（1）求证：平面平面；（2）若∥平面，求证：为的中点．【答案】（1）详见解析（2）详见解析【解析】（1）证面面垂直，关键证线面垂直，由于，又底面为矩形，因此平面，进而平面平面；（2）先根据线面平行性质定理，将转化为线线平行：连接，交于，连接，平面，再根据中位线性质得为的中点.试题解析：（1）底面为矩形，，又，，，平面，又，平面平面；（2）连接，交于，连接，平面，平面平面，，，底面为矩形，是的中点，即，，为的中点.【考点】面面垂直判定定理，线面平行性质定理3.（本小题满分14分）如图，某城市有一条公路从正西方通过市中心后转向东偏北角方向的．位于该市的某大学与市中心的距离，且．现要修筑一条铁路L，L在OA上设一站，在OB上设一站B，铁路在部分为直线段，且经过大学．其中，，．（1）求大学与站的距离；（2）求铁路段的长．【答案】（1）（2）【解析】（1）在中，已知两边一角，利用余弦定理求第三边：（2）在中，可利用正弦定理求出角，这样在中，已知两角及一边，可利用正弦定理求其余两边：试题解析：（1）在中，，且，，由余弦定理得，，即大学与站的距离为；（2），且为锐角，，在中，由正弦定理得，,即，，，，，，，，又，，在中，，由正弦定理得，，即，，即铁路段的长为．【考点】三角函数应用，正余弦定理4.（本小题满分16分）设椭圆的离心率为，直线与以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆相切．（1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆交于不同的两点，以线段为直径作圆．若圆与轴相交于不同的两点，求的面积；（3）如图，、、、是椭圆的顶点，是椭圆上除顶点外的任意点，直线交轴于点，直线交于点．设的斜率为，的斜率为，求证：为定值．【答案】（1）（2）（3）详见解析【解析】（1）两个独立条件可求出椭圆标准方程，一个根据直线与圆相切得，再利用解得（2）本题实质求圆中弦长，先求出，确定圆心及半径，再根据垂径定理得，从而可得面积（3）本题实质研究的斜率与的斜率的关系：解题思路可为利用的斜率表示的斜率，先用的斜率分别表示出，及，再表示的斜率，这里有一定运算量试题解析：（1）圆的方程为，直线与圆O相切，，即，又，，，椭圆的方程为；（2）由题意，可得，圆的半径，，的面积为；（3）由题意可知，的斜率为，直线的方程为，由，得，其中，，，则直线的方程为，令，则，即，直线的方程为，由，解得，，的斜率，（定值）．【考点】直线与圆位置关系，直线与椭圆位置关系5.（本小题满分16分）已知函数，，其中函数的图象在点处的切线平行于轴．（1）确定与的关系；（2）若，试讨论函数的单调性；（3）设斜率为的直线与函数的图象交于两点，求证：．【答案】（1）（2）①当时，在单调减函数，在单调增；②当时，在上单调减；在和单调增；③当时，在单调增；④当时．在和单调增；在单调减（3）详见解析【解析】（1）利用导数几何意义，确定与的关系：（2）根据导函数零点分布情况依次讨论：由知需分，，，四种情况讨论（3）先分析所证不等式结构，设，，再构造函数进行论证：，试题解析：（1），，由题意得，；（2），①当时，，当时，，函数在单调减；当时，，函数在单调增；②当时，即，，函数在上单调减；函数在和单调增；③当时，即，，函数在单调增；④当时．即，，函数在单调减区间；函数在和单调增；（3）由题设，①令，则，时，，函数在是减函数，而，时，，，，即，②令，则，时，，在是增函数，时，，，即③由①②③得．【考点】导数几何意义，利用导数求函数单调性，利用导数证不等式6.（本小题满分16分）设数列的前项和为，满足．（1）当时，①设，若，．求实数的值，并判定数列是否为等比数列；②若数列是等差数列，求的值；（2）当时，若数列是等差数列，，且，，求实数的取值范围．【答案】（1）①，数列是等比数列；②3；（2）【解析】（1）①由，列出关于两个独立条件，解出，利用解出递推关系式，再根据，构造，从而得证数列是等比数列；②从数列是等差数列出发，将条件转化为关于恒等式：，消去，得出关系，即可求出的值；（2）本题实质求和，难点为配方：，以下就简单了，一是裂项相消求和，二是恒成立转化为最值求解试题解析：（1），，①令，可得，即，令，可得，即，,，①当时，，②①-②，得，，即，又，，，数列是等比数列；②数列是等差数列，设，，，，；（2）当时，数列是等差数列，，，，，，，，，即，，，令，，当时，，在上是增函数，而，，．【考点】等比数列定义，裂项相消求和，数列最值7.（选修4-1：几何证明选讲）如图，设、是圆的两条弦，直线是线段的垂直平分线．已知，求线段的长度．【答案】【解析】因为AB是线段CD的垂直平分线，所以AB是圆的直径，在直角三角形ABC中由射影定理得的长度．试题解析：连接BC，相交于点．因为AB是线段CD的垂直平分线，所以AB是圆的直径，∠ACB＝90°．设，则，由射影定理得＝AE·EB，又，即有，解得（舍）或所以，＝AE·AB＝5×6＝30，．【考点】射影定理8.（选修4-2：矩阵与变换）若点在矩阵对应变换的作用下得到点，求矩阵的逆矩阵．【答案】【解析】先由矩阵对应关系求出，再根据逆矩阵公式求逆矩阵试题解析：，即，解得，，解法一：，.解法二:设，由，得解得．【考点】逆矩阵9.（选修4-4：坐标系与参数方程）在极坐标系中，设圆经过点，圆心是直线与极轴的交点，求圆的极坐标方程．【答案】【解析】先求出圆心坐标，再利用余弦定理求半径，最后写出圆的极坐标方程是．试题解析：因为圆心为直线与极轴的交点，所以令，得，即圆心是，又圆经过点，圆的半径，圆过原点，圆的极坐标方程是．（说明：化为普通方程去完成给相应的分数）【考点】圆极坐标方程10.（选修4-5：不等式选讲）设均为正数，．求证：．【答案】详见解析【解析】根据均值不等式，得，，，三式相加即得试题解析：由为正数，根据平均值不等式，得，，．将此三式相加，得，即．由，则有．所以，．【考点】均值不等式11.（本小题满分10分）已知数列满足，．（1）求证：数列是等比数列；（2）设，求证：当，时，．【答案】（1）详见解析（2）详见解析【解析】（1）由等比数列定义知即证比值为非零常数，代入化简即可（2）由（1）得，，，即证，这可利用数学归纳法进行论证试题解析：（1）令，则，，，，数列，即是等比数列；（2）由（1）得，，，下面用数学归纳法证明当，时，．①当时，不等式的左边，右边，而，时，不等式成立；②假设当时，不等式成立，即；当时，当时，不等式也成立．由①②可得，当，时，．【考点】等比数列定义，数学归纳法12.（本小题满分10分）如图，已知点，直线，为平面内的动点，过作的垂线，垂足为，且．（1）求动点的轨迹的方程；（2）设是上的任意一点，过作轨迹的切线，切点为、．①求证：、、三点的横坐标成等差数列；②若，，求的值．【答案】（1）（2）①详见解析②或.【解析】（1）直接法求轨迹：设点坐标，将条件用坐标表示并化简即可得（2）①用点横坐标分别表示、横坐标，及，所以是方程的两根，得出关系是解题目标②，再由或.试题解析：（1）设，则，，，，，，，，即动点的轨迹的方程为；另解：设，则，，，以为邻边的平行四边形是菱形，，，，即动点的轨迹的方程为；（2）①设，，，则切线的方程，，，①同理，②方法1:①②得，，，即、、三点的横坐标成等差数列.方法2：由①②得是方程的两根，，即、、三点的横坐标成等差数列.②由①②得是方程的两根，，，，，，，，，或.【考点】直接法求曲线轨迹，直线与抛物线位置关系。
江苏高三高中数学高考模拟带答案解析
江苏高三高中数学高考模拟班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.集合A={﹣1，0，1}，B={x|x=m 2+1，m ∈R}，则A∩B= ．2.设i 是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a 的值为3.已知样本7，8，9，x ，y 的平均数是8，且xy=60，则此样本的标准差是4.在集合中任取一个元素，所取元素恰好满足方程的概率是_________．5.设中心在原点的双曲线与椭圆+y 2=1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程是 ．6.已知某算法的伪代码如图，根据伪代码，若函数g （x ）=f （x ）﹣m 在R 上有且只有两个零点，则实数m 的取值范围是 ．7.已知，则cos2α= ．8.有一个正四面体，它的棱长为a ，现用一张圆型的包装纸将其完全包住（不能裁剪纸，但可以折叠），那么包装纸的最小半径为 ．9.过点P （1，1）的直线将圆x 2+y 2=4分成两段圆弧，要使这两段弧长之差最大，则该直线的方程为 ． 10.已知数列{a n }的前n 项和，且S n 的最大值为8，则a 2= ．11.已知中心为O 的正方形ABCD 的边长为2，点M ，N 分别为线段BC ，CD 上的两个不同点，且||=1，则的取值范围是 ．12.在数列{a n }中，已知a 1=2，a 2=3，当n≥2时，a n+1是a n •a n ﹣1的个位数，则a 2010=13.已知f （x ）=log 2（x ﹣1），若实数m ，n 满足f （m ）+f （n ）=2，则mn 的最小值是 ．14.设曲线y=（ax ﹣1）e x 在点A （x 0，y 1）处的切线为l 1，曲线y=（1﹣x ）e ﹣x 在点B （x 0，y 2）处的切线为l 2．若存在，使得l 1⊥l 2，则实数a 的取值范围为 ．二、解答题1.设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知a=1，b=2，．（1）求边c 的长；（2）求cos （A ﹣C ）的值．2.如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是平行四边形，且AC ⊥CD ，PA=AD ，M ，Q分别是PD ，BC 的中点．（1）求证：MQ ∥平面PAB ；（2）若AN ⊥PC ，垂足为N ，求证：MN ⊥PD ．3.某人2002年底花100万元买了一套住房，其中首付30万元，70万元采用商业贷款．贷款的月利率为5‰，按复利计算，每月等额还贷一次，10年还清，并从贷款后的次月开始还贷． （1）这个人每月应还贷多少元？（2）为了抑制高房价，国家出台“国五条”，要求卖房时按照差额的20%缴税．如果这个人现在将住房150万元卖出，并且差额税由卖房人承担，问：卖房人将获利约多少元？（参考数据：（1+0.005）120≈1.8）4.已知椭圆E ：的离心率为，右焦点为F ，且椭圆E 上的点到点F 距离的最小值为2．（1）求椭圆E 的方程；（2）设椭圆E 的左、右顶点分别为A ，B ，过点A 的直线l 与椭圆E 及直线x=8分别相交于点M ，N ． （ⅰ）当过A ，F ，N 三点的圆半径最小时，求这个圆的方程； （ⅱ）若，求△ABM 的面积．5.已知数列{a n }，其前n 项和为S n ．（1）若对任意的n ∈N ，a 2n ﹣1，a 2n+1，a 2n 组成公差为4的等差数列，且，求n 的值；（2）若数列{}是公比为q （q≠﹣1）的等比数列，a 为常数，求证：数列{a n }为等比数列的充要条件为6.已知函数，g （x ）=，a ，b ∈R ．（1）求函数f （x ）的单调区间；（2）记函数h （x ）=f （x ）+g （x ），当a=0时，h （x ）在（0，1）上有且只有一个极值点，求实数b 的取值范围；（3）记函数F （x ）=|f （x ）|，证明：存在一条过原点的直线l 与y=F （x ）的图象有两个切点．7.如图，⊙O 的半径OB 垂直于直径AC ，M 为AO 上一点，BM 的延长线交⊙O 于N ，过N 点的切线交CA 的延长线于P ．（1）求证：PM 2=PA•PC ；（2）若⊙O 的半径为2，OA=OM ，求MN 的长．8.设 M=，N=，试求曲线y=sinx 在矩阵MN 变换下的曲线方程．9.在极坐标系中，已知点P 为圆ρ2+2ρsinθ﹣7=0上任一点．求点P 到直线ρcosθ+ρsinθ﹣7=0的距离的最小值与最大值．10.已知a ，b ，c 为正数，且满足acos 2θ+bsin 2θ＜c ，求证：11.过直线y=﹣1上的动点A （a ，﹣1）作抛物线y=x 2的两切线AP ，AQ ，P ，Q 为切点． （1）若切线AP ，AQ 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1•k 2为定值． （2）求证：直线PQ 过定点．12.已知（x+1）n =a 0+a 1（x ﹣1）+a 2（x ﹣1）+a 3（x ﹣1）3+…+a n （x ﹣1）n ，（其中n ∈N *） （1）求a 0及；（2）试比较S n 与（n ﹣2）2n +2n 2的大小，并说明理由．江苏高三高中数学高考模拟答案及解析一、填空题1.集合A={﹣1，0，1}，B={x|x=m 2+1，m ∈R}，则A∩B= ． 【答案】{1}【解析】根据题意，集合B={x|x=m 2+1，m ∈R}={x|x≥1}， 又由集合A={﹣1，0，1}，则A∩B={1}，故答案为{1}．【考点】交集及其运算点评：本题考查集合的交集运算，关键是正确求出集合B2.设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a的值为【答案】3【解析】∵复数===为纯虚数，∴，解得a=3【考点】复数的基本概念点评：熟练掌握复数的运算法则和纯虚数的定义是解题的关键3.已知样本7，8，9，x，y的平均数是8，且xy=60，则此样本的标准差是【答案】【解析】∵平均数是8，∴（7+8+9+x+y）÷5=8 ①xy=60 ②由两式可得：x=6，y=10，或x=10，y=6．则此样本的标准差ρ==【考点】极差、方差与标准差点评：本题考查的是平均数和标准差的概念，属于基础题．4.在集合中任取一个元素，所取元素恰好满足方程的概率是_________．【答案】【解析】∵集合中共有10个元素，而当和时，，故满足条件的基本事件个数为2，故所取元素恰好满足方程的概率.【考点】1.等可能事件的概率；2.空集的定义、性质及运算．点评：古典概型要求所有结果出现的可能性都相等，强调所有结果中每一结果出现的概率都相同．弄清一次试验的意义以及每个基本事件的含义是解决问题的前提，正确把握各个事件的相互关系是解决问题的关键．解决问题的步骤是：计算满足条件的基本事件个数，及基本事件的总个数，然后代入古典概型计算公式进行求解．5.设中心在原点的双曲线与椭圆+y2=1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程是．【答案】2x2﹣2y2=1【解析】椭圆+y2=1中c=1∵中心在原点的双曲线与椭圆+y2=1有公共的焦点∴双曲线中c=1，∵椭圆+y2=1的离心率为=，椭圆与双曲线的离心率互为倒数．∴双曲线的离心率为，∴双曲线中a=，b2=c2﹣a2=，b=∴双曲线的方程为2x2﹣2y2=1故答案为2x2﹣2y2=1．【考点】双曲线的标准方程；椭圆的简单性质；双曲线的简单性质点评：本题主要考查了双曲线的性质和椭圆的标准方程．要记住双曲线和椭圆的定义和性质，解答直线AB的斜率的关键是利用方程组思想．6.已知某算法的伪代码如图，根据伪代码，若函数g（x）=f（x）﹣m在R上有且只有两个零点，则实数m的取值范围是．【答案】（﹣∞，0）∪{1}【解析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数f（x）=的函数值；其函数图象如图所示：又∵函数g（x）=f（x）﹣m在R上有且只有两个零点，则由图可得m＜0或m=1，故答案为：（﹣∞，0）∪{1}．【考点】伪代码点评：本题考查程序框图以及函数的零点，通过对程序框图的理解，转化为函数图象，然后把函数零点转化为交点个数问题，属于基础题．7.已知，则cos2α=．【答案】﹣【解析】∵cos（）=cos[2π﹣（﹣）]=cos（）=sin=﹣∴cosα=1﹣2sin2=1﹣2×（﹣）2=cos2α=2cos2α﹣1=2×（）2﹣1=﹣故答案为：﹣【考点】二倍角的余弦；诱导公式的作用点评：此题考查了二倍角公式和诱导公式，熟记公式是解题的关键，属于中档题．8.有一个正四面体，它的棱长为a，现用一张圆型的包装纸将其完全包住（不能裁剪纸，但可以折叠），那么包装纸的最小半径为．【答案】【解析】本题转化为四面体的侧面展开问题．在解答时，首先要将四面体的三个侧面沿底面展开，观察展开的图形易知包装纸的对角线处在什么位置时，包装纸面积最小，进而获得问题的解答．由题意，将正四面体沿底面将侧面都展开，如图所示：设底面正三角形的中心为O，不难得到当以SO为圆的半径时，所需包装纸的半径最小，此时SO==，故答案为：．【考点】球内接多面体；棱锥的结构特征；球的体积和表面积点评：本题考查的是棱锥的结构特征、四面体的侧面展开问题．在解答的过程当中充分体现了侧面展开的处理问题方法、图形的观察和分析能力以及问题转化的思想．值得同学们体会反思．9.过点P （1，1）的直线将圆x 2+y 2=4分成两段圆弧，要使这两段弧长之差最大，则该直线的方程为 ． 【答案】x+y ﹣2=0【解析】如图所示，当过点P 的直线与直径OP 垂直时满足直线分成两段圆弧的弧长之差最大，利用相互垂直的直线斜率之间的关系即可得到斜率．如图所示，当过点P 的直线与直径OP 垂直时满足直线分成两段圆弧的弧长之差最大， ∵，∴要求的直线的斜率k=﹣1．故所求的直线方程为：y ﹣1=﹣（x ﹣1），化为x+y ﹣2=0．故答案为x+y ﹣2=0．【考点】直线与圆的位置关系；直线的一般式方程点评：正确得出“当过点P 的直线与直径OP 垂直时满足直线分成两段圆弧的弧长之差最大”是解题的关键10.已知数列{a n }的前n 项和，且S n 的最大值为8，则a 2= ．【答案】2.5 【解析】由是关于n 的二次函数，可得n=k 时取得最大值，从而可求k ，然后代入a 2=s 2﹣s 1可求∵是关于n 的二次函数当n=k 时取得最大值=8 ∴k=4，即∴a 2=s 2﹣s 1=6﹣3.5=2.5 故答案为：2.5【考点】等差数列的前n 项和点评：本题主要考查了数列的和取得最值条件的应用及由数列的和求解项，属于基础试题11.已知中心为O 的正方形ABCD 的边长为2，点M ，N 分别为线段BC ，CD 上的两个不同点，且||=1，则的取值范围是 ．【答案】【解析】设M （2，b ），N （a ，2）．由，可得，即（a ﹣2）2+（b ﹣2）2=1．且1≤a≤2，1≤b≤2．如图所示，建立平面直角坐标系． 又=（1，b ﹣1）•（a ﹣1，1）=a+b ﹣2．作出可行域，即可得出答案． 如图所示，建立平面直角坐标系． 设M （2，b ），N （a ，2）．∵，∴，即（a ﹣2）2+（b ﹣2）2=1．且1≤a≤2，1≤b≤2．又O （1，1），∴=（1，b ﹣1）•（a ﹣1，1）=a+b ﹣2． 令a+b ﹣2=t ，则目标函数b=﹣a+2+t ， 作出可行域，如图2，其可行域是圆弧．①当目标函数与圆弧相切与点P 时，，解得t=2﹣取得最小值；②当目标函数经过点EF 时，t=2+1﹣2=1取得最大值． ∴．即为的取值范围．故答案为．【考点】平面向量数量积的运算点评：本题综合考查了向量的模的计算公式、线性规划等基础知识，及数形结合思想方法．熟练掌握是解题的关键．12.在数列{a n }中，已知a 1=2，a 2=3，当n≥2时，a n+1是a n •a n ﹣1的个位数，则a 2010= 【答案】4【解析】由题意得，a 3=a 1•a 2=6，a 4=8，a 5=8，a 6=4，a 7=2，a 8=8，a 9=6，a 10=8，到此为止，看出一个周期，a 9=a 3，a 10=a 4，周期为6，利用这个周期能求出a 2010． 由题意得，a 3=a 1•a 2=6，定义f （x ）=x 的个位数 则a 4=f （a 3•a 2）=8，依此类推，a 5=8，a 6=4，a 7=2，a 8=8，a 9=6，a 10=8， 到此为止，看出一个周期，a 9=a 3，a 10=a 4，周期为6，因为前2项不符合周期，所以2010﹣2=2008，2008=6×334+4， 所以a 2010=a 6=4． 故答案为：4．【考点】数列递推式点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要注意数列递推式的合理运用和周期性的灵活运用．13.已知f （x ）=log 2（x ﹣1），若实数m ，n 满足f （m ）+f （n ）=2，则mn 的最小值是 ． 【答案】9【解析】由题目给出的函数解析式可以得到m 和n 均大于1，然后由f （m ）+f （n ）=2，得到mn ﹣（m+n ）=3．利用基本不等式转化为含mn 的不等式，通过解不等式可以求得mn 的最小值． 由f （x ）=log 2（x ﹣1），且实数m ，n 满足f （m ）+f （n ）=2， 所以log 2（m ﹣1）+log 2（n ﹣1）=2． 则，由①得（m ﹣1）（n ﹣1）=4，即mn ﹣（m+n ）=3． 所以3=mn ﹣（m+n ）． 即．解得，或． 因为m ＞1，n ＞1．所以，mn≥9． 【考点】基本不等式点评：本题考查了基本不等式，考查了利用基本不等式求最值，考查了对数函数的性质，利用了数学转化思想方法，是中档题．14.设曲线y=（ax ﹣1）e x 在点A （x 0，y 1）处的切线为l 1，曲线y=（1﹣x ）e ﹣x 在点B （x 0，y 2）处的切线为l 2．若存在，使得l 1⊥l 2，则实数a 的取值范围为 ． 【答案】【解析】根据曲线方程分别求出导函数，把A 和B 的横坐标x 0分别代入到相应的导函数中求出切线l 1和切线为l 2的斜率，然后根据两条切线互相垂直得到斜率乘积为﹣1，列出关于等式由解出，然后根据为减函数求出其值域即可得到a 的取值范围．函数y=（ax ﹣1）e x 的导数为y′=（ax+a ﹣1）e x ， ∴l 1的斜率为，函数y=（1﹣x ）e ﹣x的导数为y′=（x ﹣2）e ﹣x ∴l 2的斜率为，由题设有k 1•k 2=﹣1从而有∴a （x 02﹣x 0﹣2）=x 0﹣3 ∵得到x 02﹣x 0﹣2≠0，所以，又a′=，另导数大于0得1＜x 0＜5，故在（0，1）是减函数，在（1，）上是增函数，x 0=0时取得最大值为=；x 0=1时取得最小值为1． ∴【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的值域；两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系．点评：此题是一道综合题，考查学生会利用导数求切线的斜率，会求函数的值域，掌握两直线垂直时斜率的关系二、解答题1.设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知a=1，b=2，．（1）求边c 的长；（2）求cos （A ﹣C ）的值． 【答案】（1）2 （2）【解析】（1）由，结合已知条件及向量的数量积的定义可求cosC ，然后利用c 2=a 2+b 2﹣2abcosC 可求c（2）由（1）中所求cosC ，利用同角平方关系可求sinC ，然后结合正弦定理及三角形的大边对大角可判断A 为锐角，进而可求cosA=，最后代入cos （A ﹣C ）=cosAcosC+sinAsinC 可求（1）由，得abcosC=．…（2分）因为a=1，b=2，所以，…（4分）所以c 2=a 2+b 2﹣2abcosC=4， 所以c=2．…（7分） （2）因为，C ∈（0，π），所以sinC==，…（9分） 所以=，…（11分）因为a ＜c ，所以A ＜C ，故A 为锐角，所以cosA==所以cos （A ﹣C ）=cosAcosC+sinAsinC =…（14分）【考点】平面向量数量积的运算；两角和与差的余弦函数；余弦定理点评：本题主要考查了同角平方关系、正弦定理及余弦定理、和差角公式的综合应用，解题的关键是公式的熟练掌握2.如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是平行四边形，且AC ⊥CD ，PA=AD ，M ，Q分别是PD，BC的中点．（1）求证：MQ∥平面PAB；（2）若AN⊥PC，垂足为N，求证：MN⊥PD．【答案】（1）取PA的中点E，连结EM、BE，根据三角形的中位线定理证出ME∥AD且ME=AD，平行四边形中Q是BC的中点，可得BQ∥AD且BQ=AD，因此四边形MQBE是平行四边形，可得MQ∥BE，再结合线面平行的判定定理可得MQ∥平面PAB；（2）由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥CD，结合AC⊥CD可得CD⊥平面PAC，从而有AN⊥CD．又因为AN⊥PC，结合PC、CD是平面PCD内的相交直线，可得AN⊥平面PCD，从而得到AN⊥PD．等腰△PAD中利用“三线合一”，证出AM⊥PD，结合AM、AN是平面AMN内的相交直线，得到PD⊥平面AMN，从而得到MN⊥PD．【解析】（1）取PA的中点E，连结EM、BE，∵M是PD的中点，∴ME∥AD且ME=AD，又∵Q是BC中点，∴BQ=BC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD且BC=AD，可得BQ∥ME且BQ=ME，∴四边形MQBE是平行四边形，可得MQ∥BE，…（4分）∵BE⊂平面PAB，MQ⊄平面PAB，∴MQ∥平面PAB；…（6分）（2）∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD，又∵AC⊥CD，PA、AC是平面PAC内的相交直线，∴CD⊥平面PAC，结合AN⊂平面PAC，得AN⊥CD．…（9分）又∵AN⊥PC，PC、CD是平面PCD内的相交直线，∴AN⊥平面PCD，结合PD⊂平面PCD，可得AN⊥PD，…（12分）∵PA=AD，M是PD的中点，∴AM⊥PD，…（13分）又∵AM、AN是平面AMN内的相交直线，∴PD⊥平面AMN，∵MN⊂平面AMN，∴MN⊥PD．…（14分）【考点】本题在四棱锥中证明线面平行、线线垂直．着重考查了三角形中位线定理、空间直线与平面平行的判定定理、直线与平面垂直的判定与性质等知识，属于中档题．3.某人2002年底花100万元买了一套住房，其中首付30万元，70万元采用商业贷款．贷款的月利率为5‰，按复利计算，每月等额还贷一次，10年还清，并从贷款后的次月开始还贷．（1）这个人每月应还贷多少元？（2）为了抑制高房价，国家出台“国五条”，要求卖房时按照差额的20%缴税．如果这个人现在将住房150万元卖出，并且差额税由卖房人承担，问：卖房人将获利约多少元？（参考数据：（1+0.005）120≈1.8）【答案】（1）每月应还贷7875元（2）卖房人将获利约155000元．【解析】（1）设出每月应还钱数x元，算出贷款人120次支付给银行的钱数（含利息），算出70万元经过10年本利和，有两数相等即可得到x的值；（2）由每月还的贷款数乘以120得到卖房人支付给银行的总钱数，求出共支付的利息及差额税，获利等于差额减去利息再减去差额税．（1）设每月应还贷x元，共付款12×10=120次，则有x[1+（1+0.005）+（1+0.005）2+…+（1+0.005）119]=700000（1+0.005）120，所以则（元）．答：每月应还贷7875元．（2）卖房人共付给银行7875×120=945000元，利息945000﹣700000=245000（元），缴纳差额税（1500000﹣1000000）×0.2=100000（元），获利500000﹣（245000+100000）=155000（元）．【考点】根据实际问题选择函数类型点评：本题考查了根据实际问题选择函数模型，解答的关键是读懂题目意思，明确贷款人还的钱等同于存钱，也有利息，此题属中档题．4.已知椭圆E：的离心率为，右焦点为F，且椭圆E上的点到点F距离的最小值为2．（1）求椭圆E的方程；（2）设椭圆E的左、右顶点分别为A，B，过点A的直线l与椭圆E及直线x=8分别相交于点M，N．（ⅰ）当过A，F，N三点的圆半径最小时，求这个圆的方程；（ⅱ）若，求△ABM的面积．【答案】（1）（2） 12【解析】（1）由离心率为，椭圆E上的点到点F距离的最小值为2，即a﹣c=2联立方程组求a，c的值，然后利用b2=a2﹣c2求出b2，则椭圆方程可求；（2）（ⅰ）设出圆的一般方程，设N（8，t），把三点A（﹣4，0），F（2，0），N（8，t）代入圆的方程整理成标准式后利用基本不等式求出半径的最小值，同时求得半径最小时的圆的方程；（ⅱ）设出直线l的方程，和椭圆方程联立后利用根与系数关系求出M点的坐标，由，借助于向量数量积求出直线的斜率，进一步得到M点的纵坐标，则△ABM的面积可求．（1）由已知，，且a﹣c=2，所以a=4，c=2，所以b2=a2﹣c2=12，所以椭圆E的方程为．（2）（ⅰ）由（1），A（﹣4，0），F（2，0），设N（8，t）．设圆的方程为x2+y2+dx+ey+f=0，将点A，F，N的坐标代入，得，解得．所以圆的方程为，即，因为，当且仅当时，圆的半径最小，故所求圆的方程为．（ⅱ）由对称性不妨设直线l的方程为y=k（x+4）（k＞0）．由，得（3+4k2）x2+32k2x+64k2﹣48=0=，得，所以，由﹣4+xM所以，， 所以==，化简，得16k 4﹣40k 2﹣9=0， 解得，或，即，或，此时总有y M =3，所以△ABM 的面积为．【考点】本题考查了圆与椭圆的标准方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题、面积问题等．突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法．属难题．5.已知数列{a n }，其前n 项和为S n ．（1）若对任意的n ∈N ，a 2n ﹣1，a 2n+1，a 2n 组成公差为4的等差数列，且，求n 的值；（2）若数列{}是公比为q （q≠﹣1）的等比数列，a 为常数，求证：数列{a n }为等比数列的充要条件为【答案】（1）1005 （2）由+a=（a+1）q n ﹣1，可求得S n =（a+1）q n ﹣1a n ﹣aa n ，S n+1=（a+1）q n a n+1﹣aa n+1，两式相减得（a+1）（1﹣q n ）a n+1=[a ﹣（a+1）q n ﹣1]a n ，若q=1+，可证得数列{a n }为等比数列，（充分性）；若数列{a n }为等比数列，可证得q=1+，（必要性）．【解析】（1）因为a 2n ﹣1，a 2n+1，a 2n 组成公差为4的等差数列， 所以a 2n+1﹣a 2n ﹣1=4，a 2n =a 2n ﹣1+8（n ∈N *），…（2分）所以a 1，a 3，a 5，…a 2n ﹣1，a 2n+1是公差为4的等差数列，且a 2+a 4+a 6+…+a 2n =a 1+a 3+…+a 2n ﹣1+8n ，…（4分） 又因为a 1=1，所以S 2n =2（a 1+a 3+…+a 2n ﹣1）+8n =2[n+×4]+8n=4n 2+6n=2n （2n+3），所以=2n+3=2013，所以n=1005．…（6分）（2）因为+a=（a+1）q n ﹣1，所以S n =（a+1）q n ﹣1a n ﹣aa n ，①所以S n+1=（a+1）q n a n+1﹣aa n+1，②②﹣①，得（a+1）（1﹣q n ）a n+1=[a ﹣（a+1）q n ﹣1]a n ，③…（8分） （ⅰ）充分性：因为q=1+，所以a≠0，q≠1，a+1≠aq ，代入③式，得 q （1﹣q n ）a n+1=（1﹣q n ）a n ，因为q≠﹣1，q≠1， 所以=，n ∈N *，所以{a n }为等比数列，…（12分）（ⅱ）必要性：设{a n }的公比为q 0，则由③得（a+1）（1﹣q n ）q 0=a ﹣（a+1）q n ﹣1， 整理得（a+1）q 0﹣a=（a+1）（q 0﹣）q n ，…（14分） 此式为关于n 的恒等式，若q=1，则左边=0，右边=﹣1，矛盾； 若q≠±1，当且仅当时成立，所以q=1+．由（ⅰ）、（ⅱ）可知，数列{a n }为等比数列的充要条件为q=1+．…（16分）【考点】等差数列与等比数列的综合点评：本题考查等差数列与等比数列的综合，考查等差数列的求和与等比数列的分析确定，考查充分必要条件的推理论证，属于难题．6.已知函数，g （x ）=，a ，b ∈R ．（1）求函数f （x ）的单调区间；（2）记函数h （x ）=f （x ）+g （x ），当a=0时，h （x ）在（0，1）上有且只有一个极值点，求实数b 的取值范围；（3）记函数F （x ）=|f （x ）|，证明：存在一条过原点的直线l 与y=F （x ）的图象有两个切点． 【答案】（1）当时，为单调增区间， 当时，为单调减区间， 为单调增区间． （2）b ＜1（3）首先根据（1）的结论，讨论可得只有0＜a ＜时直线l 与y=F （x ）的图象有两个切点．设切点的横坐标分别为s 、t 且s ＜t ，可得l 与y=F （x ）的图象有两个切点分别为直线l 与曲线在x ∈（s ，t ）的切点和曲线在x ∈（t ，+∞）的切点．由此结合直线的斜率公式和导数的几何意义列出关于a 、x 1、y 1、x 2、y 2的关系式，化简整理可得，再令=k （0＜k ＜1），转化为（k 2+1）lnk=2k 2﹣2．令G（k ）=（k 2+1）lnk ﹣2k 2+2，（0＜k ＜1），由根的存在性定理证出：存在k 0∈（0，1），使得G （k 0）=0．由此即可得到原命题成立． 【解析】（1）因为f'（x ）=﹣+=，①若a≤0，则f'（x ）＞0，f （x ）在（0，+∞）上为增函数，…（2分） ②若a ＞0，令f'（x ）=0，得x=a ，当0＜x ＜a 时，f'（x ）＜0；当x ＞a 时，f'（x ）＞0． 所以（0，a ）为单调减区间，（a ，+∞）为单调增区间．综上可得，当a≤0时，函数f （x ）在（0，+∞）上为增函数，当a ＞0时，函数f （x ）的单调减区间为（0，a ），单调增区间为（a ，+∞）． …（4分） （2）a=0时，h （x ）=f （x ）+g （x ）=，∴h'（x ）=bx ﹣2+=，…（5分）h （x ）在（0，1）上有且只有一个极值点，即h'（x ）=0在（0，1）上有且只有一个根且不为重根， 由h'（x ）=0得bx 2﹣2x+1=0，…（6分） （ i ）b=0，x=，满足题意；…（7分）（ ii ）b ＞0时，b•12﹣2•1+1＜0，即0＜b ＜1；…（8分） （ iii ）b ＜0时，b•12﹣2•1+1＜0，得b ＜1，故b ＜0；综上所述，得：h （x ）在（0，1）上有且只有一个极值点时，b ＜1． …（9分） （3）证明：由（1）可知：（ i ）若a≤0，则f'（x ）≥0，f （x ）在（0，+∞）上为单调增函数，所以直线l 与y=F （x ）的图象不可能有两个切点，不合题意．…（10分） （ⅱ）若a ＞0，f （x ）在x=a 处取得极值f （a ）=1+lna ． 若1+lna≥0，a≥时，由图象知不可能有两个切点．…（11分）故0＜a ＜，设f （x ）图象与x 轴的两个切点的横坐标为s ，t （不妨设s ＜t ）， 则直线l 与y=F （x ）的图象有两个切点即为直线l 与和的切点． y 1'=﹣=，y 2'=﹣+=，设切点分别为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则0＜x 1＜x 2，且 ==﹣﹣，==+，=，即=1﹣lnx 1…①；=1﹣lnx 2…②；a=，③①﹣②得：﹣=﹣lnx 1+lnx 2=﹣ln， 由③中的a 代入上式可得：（﹣）•，即，…（14分）令=k （0＜k ＜1），则（k 2+1）lnk=2k 2﹣2，令G （k ）=（k 2+1）lnk ﹣2k 2+2，（0＜k ＜1），因为=1﹣＞0，=﹣＜0，故存在k 0∈（0，1），使得G （k 0）=0，即存在一条过原点的直线l 与y=F （x ）的图象有两个切点．…（16分）【考点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究曲线上某点切线方程点评：本题给出含有分式和对数的基本初等函数，求函数f （x ）的单调区间、讨论函数f （x ）+g （x ）的极值点并证明了函数|f （x ）|图象与过原点的直线相切的问题．着重考查了基本初等函数的性质、利用导数研究函数的单调性、直线的斜率公式和用导数求函数图象的切线等知识，属于难题．7.如图，⊙O 的半径OB 垂直于直径AC ，M 为AO 上一点，BM 的延长线交⊙O 于N ，过N 点的切线交CA 的延长线于P ．（1）求证：PM 2=PA•PC ；（2）若⊙O 的半径为2，OA=OM ，求MN 的长．【答案】（1）（1）做出辅助线连接ON ，根据切线得到直角，根据垂直得到直角，即∠ONB+∠BNP=90°且∠OBN+∠BMO=90°，根据同角的余角相等，得到角的相等关系，得到结论． （2）MN=2【解析】证明：连接ON ，因为PN 切⊙O 于N ， ∴∠ONP=90°，∴∠ONB+∠BNP=90° ∵OB=ON ，∴∠OBN=∠ONB 因为OB ⊥AC 于O ， ∴∠OBN+∠BMO=90°，故∠BNP=∠BMO=∠PMN ，PM=PN ∴PM 2=PN 2=PA•PC（2）∵OM=2，BO=2，BM=4 ∵BM•MN=CM•MA=（（2）=8，∴MN=2【考点】与圆有关的比例线段点评：本题要求证明一个PM 2=PA•PC 结论，实际上这是一个名叫切割线定理的结论，可以根据三角形相似对应边成比例来证明，这是一个基础题． 8.设 M=，N=，试求曲线y=sinx 在矩阵MN 变换下的曲线方程．【答案】y=2sin2x【解析】根据矩阵的乘法法则求出MN ，设p （x ，y ）是所求曲线上的任意一点，它是曲线y=sinx 上点p 0（x 0，y 0）在矩阵MN 变换下的对应点，然后根据变换的性质求出曲线方程． ∵M=，N=，MN==，（2分）设p （x ，y ）是所求曲线C 上的任意一点，它是曲线y=sinx 上点p 0（x 0，y 0）在矩阵MN 变换下的对应点，则 =，∴，即，（4分）又点p 0（x 0，y 0）在曲线y="sinx" 上，故 y 0=sinx 0，从而y=sin2x ，所求曲线的方程为y=2sin2x ．…（7分） 【考点】二阶矩阵；矩阵的应用点评：本小题主要考查矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力，考查学生掌握二阶矩阵的乘法法则，以及求出直线方程利用矩阵的变换所对应的方程．9.在极坐标系中，已知点P 为圆ρ2+2ρsinθ﹣7=0上任一点．求点P 到直线ρcosθ+ρsinθ﹣7=0的距离的最小值与最大值． 【答案】d min =，d max =【解析】由题意圆的普通方程为 x 2+y 2+2y ﹣7=0，参数方程为（α为参数），直线的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ﹣7=0．将圆和直线先化为一般方程坐标，然后再计算椭圆上点到直线距离的最大值和最小值即可．圆ρ2+2ρsinθ﹣7=0的普通方程为 x 2+y 2+2y ﹣7=0，…（2分） 直线ρcosθ+ρsinθ﹣7=0的普通方程为x+y ﹣7=0，…（4分） 设点P （2cosα，2sinα﹣1）， 则点P 到直线x+y ﹣7=0的距离 d==…（8分）所以d min =， d max =．…（10分）【考点】点的极坐标和直角坐标的互化；直线与圆的位置关系点评：此题考查参数方程、极坐标方程与普通方程的区别和联系，两者要会互相转化，根据实际情况选择不同的方程进行求解，这也是每年高考必考的热点问题．10.已知a ，b ，c 为正数，且满足acos 2θ+bsin 2θ＜c ，求证： 【答案】由柯西不等式定理构造不等式≤[（cosθ）2+（sinθ）2]（cos 2θ+sin 2θ）直接证明即可．【解析】证明：由柯西不等式，得≤[（cosθ）2+（sinθ）2]（cos 2θ+sin 2θ）=（acos 2θ+bsin 2θ）＜．…（10分）【考点】柯西不等式在函数极值中的应用；柯西不等式的几何意义 点评：本题考查了柯西不等式证明不等式的方法，属于基础题．11.过直线y=﹣1上的动点A （a ，﹣1）作抛物线y=x 2的两切线AP ，AQ ，P ，Q 为切点． （1）若切线AP ，AQ 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1•k 2为定值． （2）求证：直线PQ 过定点．【答案】（1）设过A 作抛物线y=x 2的切线的斜率为k ，用选定系数法给出切线的方程，与抛物线方程联立消元得到关于x 的一元二次方程，此一元二次方程仅有一根，故其判别式为0，得到关于k 的一元二次方程，k 1，k 2必为其二根，由根系关系可求得两根之积为定值，即k 1•k 2为定值（2）设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），用其坐标表示出两个切线的方程，因为A 点是两切线的交点将其坐标代入两切线方程，观察发现P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）的坐标都适合方程2ax ﹣y+1=0上，因为两点确定一条直线，故可得过这两点的直线方程必为2ax ﹣y+1=0，该线过定点（0，1）故证得． 【解析】（1）设过A 作抛物线y=x 2的切线的斜率为k ， 则切线的方程为y+1=k （x ﹣a ），与方程y=x 2联立，消去y ，得x 2﹣kx+ak+1=0．因为直线与抛物线相切，所以△=k 2﹣4（ak+1）=0， 即k 2﹣4ak ﹣4=0．由题意知，此方程两根为k 1，k 2， ∴k 1k 2=﹣4（定值）．（5分）（2）设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），由y=x 2，得y′=2x ． 所以在P 点处的切线斜率为：，因此，切线方程为：y ﹣y 1=2x 1（x ﹣x 1）． 由y 1=x 12，化简可得，2x 1x ﹣y ﹣y 1=0．同理，得在点Q 处的切线方程为2x 2x ﹣y ﹣y 2=0．因为两切线的交点为A （a ，﹣1），故2x 1a ﹣y 1+1=0，2x 2a ﹣y 2+1=0． ∴P ，Q 两点在直线2ax ﹣y+1=0上，即直线PQ 的方程为：2ax ﹣y+1=0． 当x=0时，y=1，所以直线PQ 经过定点（0，1）．（10分） 【考点】直线的斜率；恒过定点的直线点评：本题考查转化的技巧，（I ）将两斜率之积为定值的问题转化 成了两根之积来求，（II ）中将求两动点的连线过定点的问题 转化成了求直线系过定点的问题，转化巧妙，有艺术性．12.已知（x+1）n =a 0+a 1（x ﹣1）+a 2（x ﹣1）+a 3（x ﹣1）3+…+a n （x ﹣1）n ，（其中n ∈N *） （1）求a 0及；（2）试比较S n 与（n ﹣2）2n +2n 2的大小，并说明理由． 【答案】（1）S n =3n ﹣2n（2）当n=1时，3n ＞（n ﹣1）2n +2n 2； 当n=2，3时，3n ＜（n ﹣1）2n +2n 2； 当n≥4，n ∈N *时，3n ＞（n ﹣1）2n +2n 2 【解析】（1）令x=1，则a 0=2n ，令x=2， 则，∴S n =3n ﹣2n ； （3分）（2）要比较S n 与（n ﹣2）2n +2n 2的大小，即比较：3n 与（n ﹣1）2n +2n 2的大小， 当n=1时，3n ＞（n ﹣1）2n +2n 2；当n=2，3时，3n ＜（n ﹣1）2n +2n 2； 当n=4，5时，3n ＞（n ﹣1）2n +2n 2； （5分）猜想：当n≥4时n≥4时，3n ＞（n ﹣1）2n +2n 2，下面用数学归纳法证明： 由上述过程可知，n=4n=4时结论成立，假设当n=k （k≥4）n=k ，（k≥4）时结论成立，即3n ＞（n ﹣1）2n +2n 2，两边同乘以3 得：3k+1＞3[（k ﹣1）2k +2k 2]=k2k+1+2（k+1）2+[（k ﹣3）2k +4k 2﹣4k ﹣2]而（k ﹣3）2k +4k 2﹣4k ﹣2=（k ﹣3）2k +4（k 2﹣k ﹣2）+6=（k ﹣2）2k +4（k ﹣2）（k+1）+6＞0∴3k+1＞[（k+1）﹣1]2k+1+2（k+1）2即n=k+1时结论也成立，∴当n≥4时，3n ＞（n ﹣1）2n +2n 2成立． 综上得，当n=1时，3n ＞（n ﹣1）2n +2n 2；当n=2，3时，3n ＜（n ﹣1）2n +2n 2；当n≥4，n ∈N *时，3n ＞（n ﹣1）2n +2n 2﹣﹣（10分） 【考点】用数学归纳法证明不等式；数列的求和；二项式定理的应用点评：本题是中档题，考查与n 有关的命题，通过赋值法解答固定项，前n 项和，以及数学归纳法的应用，考查逻辑推理能力，计算能力，常考题型。
江苏高三高中数学高考模拟带答案解析
江苏高三高中数学高考模拟班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.设集合U＝，A=，B＝，则＝。
2.若复数满足（是虚数单位），则复数的虚部是 .3.4张卡片上分别写有数字0，1，2，3，从这4张卡片中一次随机抽取不同的2张，则取出的两张卡片上的数字之差的绝对值等于2的概率为．4.已知，且，则．5.已知向量，且向量与垂直，则实数的值是 .6.函数单调递减区间是。
7.设函数是定义在R上的奇函数，且对任意都有，当时，，则＝。
8.若数列中，，其前n项的和是，则在平面直角坐标系中，直线在y轴上的截距为。
9.下列四个命题中，真命题的序号是。
①是幂函数；②“若，则”的逆命题为真；③函数有零点；④命题“”的否定是“”10.已知为双曲线的左准线与x轴的交点，点，若满足的点在双曲线上，则该双曲线的离心率为 .11.已知存在实数，满足对任意的实数，直线都不是曲线的切线，则实数的取值范围是．12.当且仅当时，在圆上恰好有两点到直线2x+y+5=0的距离为1，则的值为。
13.设实数，若仅有一个常数c使得对于任意的，都有满足方程，这时，实数的取值的集合为。
14.已知关于的实系数一元二次不等式的解集为，则的最小值是．二、解答题1.设函数.(1). 求函数f(x)的最大值和最小正周期.(2). 设A,B,C为ABC的三个内角，若cosB=，，求sinA.2.如图，四边形ABCD是正方形，PB^平面ABCD，MA^平面ABCD，PB＝AB＝2MA.求证：（1）平面AMD∥平面BPC；（2）平面PMD^平面PBD．3.己知某公司生产某品牌服装的年固定成木为10万元，每生产一千件需另投入2.7万元，设该公司年内共生产该品牌服装x千件并全部销售完，每销售一千件的收入为R(x)万元，且（注：年利润＝年销售收入一年总成本）（1）写出年利润W（万元）关于年产品x（千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大？4.设数列的前n项和为，且满足，n=1,2,3,…….（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，且，求数列的通项公式；（3）设，求数列的前n项和.5.已知圆：交轴于两点，曲线是以为长轴，直线：为准线的椭圆．（1）求椭圆的标准方程；（2）若是直线上的任意一点，以为直径的圆与圆相交于两点，求证：直线必过定点，并求出点的坐标；（3）如图所示，若直线与椭圆交于两点，且，试求此时弦的长．6.已知函数.（1）若函数在区间上有极值，求实数的取值范围；（2）若关于的方程有实数解，求实数的取值范围；（3）当，时，求证：.7.已知矩阵，向量．求向量，使得．8.在极坐标系中，求曲线与的交点的极坐标．9.已知展开式的各项依次记为．设．（1）若的系数依次成等差数列，求的值；（2）求证：对任意，恒有.江苏高三高中数学高考模拟答案及解析一、填空题1.设集合U＝，A=，B＝，则＝。
江苏高三高中数学高考模拟带答案解析
江苏高三高中数学高考模拟班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.设集合U＝{1，2，3，4}，A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则∁(A∩B)＝______．U2.函数的定义域为___________3.已知平面向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，则|2a－b|的值为____．4.若指数函数的图象过点，则不等式的解集是_________.5.已知函数，则________.6.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则cos A＝____．7.已知函数的零点在区间内，则正整数的值为________．8.已知函数在区间上是单调增函数，则实数的取值范围是___________.9.已知函数的周期为4，将函数f(x)的图象向右平移个单位后，所得图象关于原点轴对称，则函数y＝f(x)在上的值域为________．10.已知函数，其中为自然对数的底数，则不等式的解集为________．11.如图，在四边形ABCD中，＝5，BD＝4，O为BD的中点，且＝，则＝__________．12.已知函数在区间上存在最值，则实数a的取值范围是________．13.已知函数若有三个零点，则实数m的取值范围是________．14.在△ABC中，若，，成等差数列，则cos C的最小值为________．二、解答题1.已知，设向量，．（1）若∥，求x的值；（2）若，求的值．2.已知函数，其中（1）当时，求函数在上的值域；（2）若函数在上的最小值为3，求实数的取值范围.3.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c－b＝2b cos A．（1）求证：A＝2B；（2）若cos B＝，c＝5，求△ABC的面积．4.如图，矩形ABCD是某小区户外活动空地的平面示意图，其中AB＝50米，AD＝100米，现拟在直角三角形OMN内栽植草坪供儿童踢球娱乐（其中，点O为AD的中点，OM⊥ON，点M在AB上，点N在CD 上），将破旧的道路AM重新铺设．已知草坪成本为每平方米20元，新道路AM成本为每米500元，设∠OMA＝θ，记草坪栽植与新道路铺设所需的总费用为f(θ)．（1）求f(θ)关于θ函数关系式，并写出定义域；（2）为节约投入成本，当tanθ为何值时，总费用f(θ)最小？5.已知二次函数为偶函数且图象经过原点，其导函数的图象过点．（1）求函数的解析式；（2）设函数，其中m为常数，求函数的最小值．6.设函数．（1）当时，求函数在点处的切线方程；（2）讨论函数的单调性；（3）当时，求证：对任意，都有．江苏高三高中数学高考模拟答案及解析一、填空题(A∩B)＝______．1.设集合U＝{1，2，3，4}，A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则∁U【答案】【解析】由，，则，故，故答案为.2.函数的定义域为___________【答案】【解析】由已知可得，故答案为.3.已知平面向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，则|2a－b|的值为____．【答案】2【解析】因为，，与的夹角为，所以，故，故答案为2.点睛：本题主要考查了数量积的应用之求向量的模长，属于基础题；求向量模长常用的方法：利用公式，将模的运算转化为向量数量积的运算，同时须注意展开以后是含有，而不是.4.若指数函数的图象过点，则不等式的解集是_________.【答案】【解析】设解集为.5.已知函数，则________.【答案】【解析】 .6.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则cos A＝____．【答案】【解析】∵，∴由正弦定理，可得，∴，即，∴，故答案为.点睛：正弦定理和余弦定理是解三角形的重要工具，其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系，一般的利用公式（为三角形外接圆半径）可将边转化为角的三角函数关系，然后利用三角函数知识进行化简，往往用到三角形内角和定理和两角和与差的正、余弦公式等.7.已知函数的零点在区间内，则正整数的值为________．【答案】2【解析】由函数的解析式可得函数在上是增函数，且，，故有，根据函数零点的判定定理可得函数在区间上存在零点，结合所给的条件可得，故，故答案为2.8.已知函数在区间上是单调增函数，则实数的取值范围是___________.【答案】【解析】求导在上恒成立，即 .9.已知函数的周期为4，将函数f(x)的图象向右平移个单位后，所得图象关于原点轴对称，则函数y＝f(x)在上的值域为________．【答案】【解析】∵函数的周期为4，∴，即，将函数f(x)的图象向右平移个单位后得：，由其为图象关于原点轴对称，故，∵，∴，故，∵，∴，，即值域为，故答案为.10.已知函数，其中为自然对数的底数，则不等式的解集为________．【答案】【解析】∵，∴，即函数为奇函数，又∵恒成立，故函数在上单调递增，不等式可转化为，即，解得：，即不等式的解集为，故答案为.11.如图，在四边形ABCD中，＝5，BD＝4，O为BD的中点，且＝，则＝__________．【答案】【解析】在中，由余弦定理可得：，由题意可得：，，故，故答案为.12.已知函数在区间上存在最值，则实数a的取值范围是________．【答案】【解析】∵，故可将题意等价的转化为，即，解得，故答案为.13.已知函数若有三个零点，则实数m的取值范围是________．【答案】【解析】有三个零点，根据题意可得时，函数有一个零点；时，函数有两个零点.当时，，恒成立，故；当时，，要使得有两个零点，需满足，解得，综上可得，故答案为.14.在△ABC中，若，，成等差数列，则cos C的最小值为________．【答案】【解析】∵，，成等差数列，∴，即，可得，，由正弦定理和余弦定理可得：，化简得，，故答案为.点睛：本题主要考查了正弦、余弦定理，基本不等式的应用以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键，属于中档题；根据等差数列定义利用同角三角函数间基本关系切化弦后，再利用正弦、余弦定理化简，整理得到，代入表示出的cos C中，利用基本不等式即可求出cos C的最小值.二、解答题1.已知，设向量，．（1）若∥，求x的值；（2）若，求的值．【答案】（1）；（2）【解析】（1）通过∥，得到关于的方程，结合，得到的值；（2）利用数量积的定义可得，令，则，故可根据诱导公式及两角差的正弦公式得最后结果.试题解析：（1）因为，，且∥，所以，即，又，所以．（2）因为，，且，所以，即，令，则，且，因为，故，所以，所以．2.已知函数，其中（1）当时，求函数在上的值域；（2）若函数在上的最小值为3，求实数的取值范围.【答案】(1);(2).【解析】（1）求导，再利用导数工具即可求得正解；（2）求导得，再分和两种情况进行讨论；试题解析：（1）解：时，则令得列表由上表知函数的值域为（2）方法一：①当时，，函数在区间单调递增所以即（舍）②当时，，函数在区间单调递减所以符合题意③当时,当时，区间在单调递减当时，区间在单调递增所以化简得：即所以或（舍）注：也可令则对在单调递减所以不符合题意综上所述：实数取值范围为方法二：①当时，，函数在区间单调递减所以符合题意…………8分②当时，，函数在区间单调递增所以不符合题意③当时,当时，区间在单调递减当时，区间在单调递增所以不符合题意综上所述：实数取值范围为3.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c－b＝2b cos A．（1）求证：A＝2B；（2）若cos B＝，c＝5，求△ABC的面积．【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）利用正弦定理将边化为角可得，结合以及两角和与差的正弦可得，由角的范围可得；（2）先求出，由二倍角公式求出，，由正弦定理求出，进而求得△ABC的面积.试题解析：（1）由c－b＝2b cos A及正弦定理可得，，（*），即，所以，整理得，即，又A，B是△ABC的内角，所以，，所以或（舍去），即A＝2B．（2）由cos B＝及可知，，由A＝2B可知，，由（*）可得，，在△ABC中，由正弦定理可得，，解得，所以△ABC的面积.点睛：本题主要考查了正、余定理在解三角形中的应用以及三角形面积的求法，较基础；与三角形面积有关的问题主要有以下策略：1、求三角形面积，对于公式等，一般是知道某个角就选含该角的公式；2、已知三角形的面积解三角形一般要用正、余弦定理进行转化；3、求面积最值问题一般要用到基本不等式.4.如图，矩形ABCD是某小区户外活动空地的平面示意图，其中AB＝50米，AD＝100米，现拟在直角三角形OMN内栽植草坪供儿童踢球娱乐（其中，点O为AD的中点，OM⊥ON，点M在AB上，点N在CD 上），将破旧的道路AM重新铺设．已知草坪成本为每平方米20元，新道路AM成本为每米500元，设∠OMA＝θ，记草坪栽植与新道路铺设所需的总费用为f(θ)．（1）求f(θ)关于θ函数关系式，并写出定义域；（2）为节约投入成本，当tanθ为何值时，总费用f(θ)最小？【答案】（1）f(θ)＝，其定义域为；（2）【解析】（1）在Rt∆OAM中，解出，在Rt∆ODN中求出ON＝，故可得，由题意当点M与点B重合时，θ取最小值；当点N与点C重合时，θ取最大值，即，故可得最后结果；（2）由（1）可得，对其求导，利用导数判断其单调性得其最值.试题解析：（1）据题意，在Rt∆OAM中，OA＝50，∠OMA＝θ，所以AM＝，OM＝，据平面几何知识可知∠DON＝θ，在Rt∆ODN中，OD＝50，∠DON＝θ，所以ON＝，所以f(θ)＝＝＝，据题意，当点M与点B重合时，θ取最小值；当点N与点C重合时，θ取最大值，所以，所以f(θ)＝，其定义域为．（2）由（1）可知，f(θ)＝，，＝＝＝，令＝0，得，其中，列表：极小值所以当时，总费用f(θ)取最小值，可节约投入成本．5.已知二次函数为偶函数且图象经过原点，其导函数的图象过点．（1）求函数的解析式；（2）设函数，其中m为常数，求函数的最小值．【答案】（1）；（2）【解析】（1）利用待定系数法依题意可设，根据该函数为偶函数可得，根据导函数的图象过点，可得；（2）由（1）可得：根据二次函数的性质分为，和三种情形判断其单调性得其最值.试题解析：（1）因为二次函数经过原点，可设，又因为为偶函数，所以对任意实数，都有，即，所以对任意实数都成立，故．所以，，又因为导函数的图象过点，所以，解得．所以．（2）据题意，，即①若，即，当时，，故在上单调递减；当时，，故在上单调递减，在上单调递增，故的最小值为．②若，即，当时，，故在上单调递减；当时，，故在上单调递增，故的最小值为．③若，即，当时，，故在上单调递减，在上单调递增；当时，，故在上单调递增，故的最小值为．综上所述，当时，的最小值为；当时，的最小值为；当时，的最小值为．6.设函数．（1）当时，求函数在点处的切线方程；（2）讨论函数的单调性；（3）当时，求证：对任意，都有．【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析.【解析】（1）当时，求出导数易得，即，利用点斜式可得其切线方程；（2）求得可得，分为和两种情形判断其单调性；（3）当时，根据（2）可得函数在上单调递减，故，即，化简可得所证结论.试题解析：（1）当时，，，，，所以函数在点处的切线方程为，即．（2），定义域为，．①当时，，故函数在上单调递减；②当时，令，得综上所述，当时，在上单调递减；当时，函数在上单调递减，在上单调递增．（3）当时，由（2）可知，函数在上单调递减，显然，，故，所以函数在上单调递减，对任意，都有，所以．所以，即，所以，即，所以，即，所以．。
江苏高三高中数学高考模拟带答案解析
江苏高三高中数学高考模拟班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.己知集合，则中元素的个数为_______．2.设复数z满足（i是虚数单位），则z的虚部为_______．3.如图，茎叶图记录了甲、乙两组各3名同学在期末考试中的数学成绩，则方差较小的那组同学成绩的方差为_______．4.某用人单位从甲、乙、丙、丁4名应聘者中招聘2人，若每名应聘者被录用的机会均等，则甲、乙2人中至少有1入被录用的概率为 _______．5.如图是一个算法的流程图，若输入x的值为2，则输出y的值为_____．6.已知圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则该圆锥的体积为 ______.7.已知是定义在R上的奇函数，当时，则的值为_____.8.在等差数列中，已知，则的值为______.9.若实数满足，则的最小值为_______.10.已知椭圆，点依次为其左顶点、下顶点、上顶点和右焦点，若直线与直线的交点恰在椭圆的右准线上，则椭圆的离心率为______.11.将函数的图象分别向左、向右各平移个单位长度后，所得的两个图象对称轴重合，则的最小值为______．12.己知a，b为正数，且直线与直线互相平行，则2a+3b的最小值为________.13.已知函数，则不等式的解集为______.14.在△ABC中，己知，点D满足，且，则BC的长为_______ ．二、解答题1.（本小题满分14分）己知向量，．（1）若，求的值：（2）若，且，求的值．2.（本小题满分14分）如图，在三棱锥P- ABC中，已知平面PBC 平面ABC．（1）若AB BC，CP PB，求证：CP PA：（2）若过点A作直线⊥平面ABC，求证：//平面PBC．3.（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy中，己知点，C， D分别为线段OA， OB上的动点，且满足AC=BD.（1）若AC=4，求直线CD的方程;（2）证明： OCD的外接圆恒过定点（异于原点O）.4.（本小题满分16分）如图，有一个长方形地块ABCD，边AB为2km， AD为4 km.，地块的一角是湿地（图中阴影部分），其边缘线AC是以直线AD为对称轴，以A为顶点的抛物线的一部分.现要铺设一条过边缘线AC上一点P的直线型隔离带EF，E，F分别在边AB，BC上（隔离带不能穿越湿地，且占地面积忽略不计）.设点P到边AD的距离为t（单位:km），△BEF的面积为S（单位: ）.（1）求S关于t的函数解析式，并指出该函数的定义域;（2）是否存在点P，使隔离出的△BEF面积S超过3 ?并说明理由.5.（本小题满分16分）在数列中，已知，为常数.（1）证明: 成等差数列;（2）设，求数列的前n项和；（3）当时，数列中是否存在三项成等比数列，且也成等比数列?若存在，求出的值；若不存在，说明理由.6.（本小题满分16分）己知函数（1）若，求函数的单调递减区间;（2）若关于x的不等式恒成立，求整数 a的最小值:（3）若，正实数满足，证明:江苏高三高中数学高考模拟答案及解析一、填空题1.己知集合，则中元素的个数为_______．【答案】6【解析】,共6个元素。
江苏省普通高等学校高三招生考试20套模拟测试数学试题(六) Word版含解析
江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(六)数学(满分160分，考试时间120分钟)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1.若全集为U ＝R ，A ＝{x|x 2－x ＞0}，则∁U A ＝____________． 2.i 为虚数单位，计算1－i2－i＝____________．3.箱子中有形状、大小都相同的3只红球和2只白球，一次摸出2只球，则摸到的2球颜色不同的概率为____________．(第5题)4.已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤2，x ＋y ≤8，x ≥1，则z ＝2x ＋y 的最小值是________．5.阅读如图所示的程序框，若输入的n 是30，则输出的变量S 的值是____________．6.已知向量a ＝(－2，1)，b ＝(1，0)，则|2a ＋b|＝______________．7.已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f(x)＝1－log 2x ，则不等式f(x)＜0的解集是____________．8.设b ，c 表示两条直线，α，β表示两个平面，现给出下列命题： ①若b ⊂α，c ∥α，则b ∥c ；②若b ⊂α，b ∥c ，则c ∥α； ③若c ∥α，α⊥β，则c ⊥β；④若c ∥α，c ⊥β，则α⊥β. 其中正确的命题是__________．(填序号)9.以抛物线y 2＝4x 的焦点为焦点，以直线y ＝±x 为渐近线的双曲线标准方程为____________．10.一个圆锥的侧面积等于底面面积的2倍，若圆锥底面半径为3cm ，则圆锥的体积是____________cm 3.11.函数y ＝asin(ax ＋θ)(a ＞0，θ≠0)图象上的一个最高点和其相邻最低点的距离的最小值为____________．12.S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S n S 2n ＝n ＋14n ＋2，则a 3a 5＝____________．13.函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ，x ＞0，12－|12＋x|，x ≤0，若关于x 的方程f(x)＝kx －k 至少有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围为____________．14.由sin36°＝cos54°，可求得cos2016°的值为____________．二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15.(本小题满分14分)如图，四棱锥PABCD 中，PD ＝PC ，底面ABCD 是直角梯形，AB ⊥BC ，AB ∥CD ，CD ＝2AB ，点M 是CD 的中点．求证：(1) AM ∥平面PBC ； (2) CD ⊥PA.16.(本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别是a ，b ，c ，向量m ＝(a －c ，b ＋c)，n ＝(b －c ，a)，且m ∥n .(1) 求B ；(2) 若b ＝13，cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π6＝33926，求a.如图，某工业园区是半径为10km的圆形区域，离园区中心O点5km处有一中转站P，现准备在园区内修建一条笔直公路AB经过中转站，公路AB把园区分成两个区域．(1) 设中心O对公路AB的视角为α，求α的最小值，并求较小区域面积的最小值；(2) 为方便交通，准备过中转站P在园区内再修建一条与AB垂直的笔直公路CD，求两条公路长度和的最小值．18.(本小题满分16分)已知在平面直角坐标系xOy中，椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为32，左顶点为A(－3，0)，圆心在原点的圆O与椭圆的内接△AEF的三条边都相切．(1) 求椭圆方程；(2) 求圆O方程；(3) B为椭圆的上顶点，过B作圆O的两条切线，分别交椭圆于M，N两点，试判断并证明直线MN与圆O的位置关系．已知数列{a n }的各项都为自然数，前n 项和为S n ，且存在整数λ，使得对任意正整数n 都有S n ＝(1＋λ)a n －λ恒成立．(1) 求λ值，使得数列{a n }为等差数列，并求数列{a n }的通项公式；(2) 若数列{a n }为等比数列，此时存在正整数k ，当1≤k ＜j 时，有 i ＝k ja i ＝2016，求k.20.(本小题满分16分)已知函数f(x)＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2a ＋1]e x . (1) 求函数f(x)的单调区间； (2) 设x ＞0，2a ∈[3，m ＋1]，f(x)≥b2a －1e 1a恒成立，求正数b 的范围．(六)1. [0，1] 解析：∁U A ＝{x|x 2－x ≤0}＝[0，1]．本题考查集合补集的概念及一元二次不等式的解法，属于容易题．2.35－15i 解析：1－i 2－i ＝（1－i ）（2＋i ）（2－i ）（2＋i ）＝35－15i.本题主要考查复数的概念及四则运算等基础知识，属于容易题．3.35解析：由5只球中一次摸出2只球，共有10种摸法，摸到的2只球颜色不同的摸法共有6种，则所求的概率为35.本题考查用列举法解决古典概型问题，属于容易题．4.1解析：作出可行域发现最优解为(1，－1)，则目标函数z ＝2x ＋y 的最小值为1.本题考查线性规划解决最值问题，属于容易题．5.240解析：n ＝30时，S ＝30；n ＝28时，S ＝30＋28；n ＝26时，S ＝30＋28＋26；以此类推，n ＝2时，S ＝30＋28＋26＋……＋2＝240.本题考查流程图基础知识，关键是把握好每一次循环体的执行情况．本题属于容易题．6.13解析：2a ＋b ＝(－3，2)，则|2a ＋b|＝13.本题考查向量的坐标运算，以及利用平方法求模.本题属于容易题．7. (－2，0)∪(2，＋∞) 解析：由x ＞0时，f(x)＝1－log 2x ，则作出图象，再由f(x)是定义在R 上的奇函数，利用对称性作出x ＜0的图象，由图象可得不等式f(x)＜0的解集是(－2，0)∪(2，＋∞) .本题考查函数的奇偶性，对数函数的图象变换．本题属于容易题．8.④解析：①中b 与c 可以异面；②中c 可以在平面α内；③中c 可以与平面β平行.本题考查线面平行、垂直的性质与判定，属于容易题．9.x 212－y 212＝1解析：抛物线y 2＝4x 的焦点为(1，0)，即c ＝1；以直线y ＝±x 为渐近线的双曲线标准方程设为x 2λ－y 2λ＝1，则λ＋λ＝c 2＝1，得λ＝12.双曲线标准方程为x 212－y 212＝1.本题考查双曲线标准方程、焦点、渐近线等内容，属于容易题．10.3π解析：由侧面积等于底面面积的2倍，得2×3π＝12R ×2π×3，得R ＝23，由勾股定理得圆锥的高为3，则圆锥的体积是13×3×3π＝3πcm 3.本题考查圆锥的高、底面面积、侧面积等内容，以及圆锥的体积公式．本题属于容易题．11.2π解析：函数的周期T 为2πa ，则T 4＝π2a，最高点和其相邻最低点的距离为2a 2＋π24a 2＝4a 2＋π2a2≥4π＝2π.本题考查三角函数的周期、基本不等式求最值等内容．本题属于中等题．12.35解析：设S n ＝kn(n ＋1)，S 2n ＝2kn(2n ＋1)＝4kn 2＋2kn 符合题意，则a 3＝S 3－S 2＝12k －6k ＝6k ，a 5＝S 5－S 4＝30k －20k ＝10k ，则a 3a 5＝35.本题考查等差数列求和公式特征，以及S n与a n 之间的关系．本题属于中等题．13.⎣⎡⎭⎫－13，1∪(1，＋∞) 解析：画图，y 2＝kx －k 过定点(1，0)，找到临界(－0.5，0.5)和(1，0)连线斜率－13与临界f ′(1)＝1.由图象知实数k 的取值范围为⎣⎡⎭⎫－13，1∪(1，＋∞)．本题考查了分段函数、函数的零点问题以及导数问题，利用数形结合思想求参数范围．本题属于难题．14.－1＋54解析：cos2016°＝－cos36°，又sin36°＝cos54°，2sin18°cos18°＝cos18°－4sin 218°cos18°，4sin 218°＋2sin18°－1＝0，sin18°＝－1＋54，则cos2016°＝－cos36°＝2sin 218°－1＝－1＋54.本题考查了三角函数的诱导公式、二倍角公式、以及利用二倍角公式推导三倍角公式：cos3α＝cos(2α＋α)＝cos2αcos α－sin2αsin α＝(2cos 2α－1)cos α－2cos αsin 2α＝2cos 3α－cos α－(2cos α－2cos 3α)＝4cos 3α－3cos α＝cos α－4sin 2αcos α.本题属于难题．15.证明：(1) 在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，CD ＝2AB ，点M 是CD 的中点，所以AB ∥CM ，且AB ＝CM ，所以四边形ABCM 是平行四边形，且是矩形．(3分)所以AM ∥BC.(4分)又BC ⊂平面PBC ，AM 是平面PBC 外一条直线，(6分) 故AM ∥平面PBC.(7分)(2) 连结PM ，因为PD ＝PC ，点M 是CD 的中点， 所以CD ⊥PM.(8分)因为四边形ABCM 是矩形，所以CD ⊥AM.(9分)又PM ⊂平面PAM ，AM ⊂平面PAM ，PM ∩MA ＝M ，(11分) 所以CD ⊥平面PAM.(12分)又AP ⊂平面PAM ，所以CD ⊥PA.(14分)16.解：(1) 因为m ∥n ，所以a 2＋c 2－b 2＝ac.(2分)因为cosB ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝ac 2ac ＝12，B ∈(0，π)，(5分)故B ＝π3.(6分)(2) 因为A ＋π6∈⎝⎛⎭⎫π6，5π6，cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π6＝33926，(8分)所以sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6＝51326，(9分)所以sinA ＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫A ＋π6－π6＝3926.(11分)在△ABC 中，由正弦定理可得a sinA ＝bsinB，解得a ＝1.(14分)17.解：(1) 如图1，作OH ⊥AB ，设垂足为H ，记OH ＝d ，α＝2∠AOH ，(1分)图1因为cos ∠AOH ＝d10，要使α有最小值，只需要d 有最大值，结合图象可得d ≤OP ＝5km ，(3分)当且仅当AB ⊥OP 时，d max ＝5km.此时αmin ＝2∠AOH ＝2×π3＝2π3.(4分)设AB 把园区分成两个区域，其中较小区域面积记为S ， 根据题意可得S ＝f(α)＝S 扇形－S △AOB ＝50(α－sin α)，(6分) f ′(α)＝50(1－cos α)≥0恒成立，f(α)为增函数，(7分)所以S min ＝f ⎝⎛⎭⎫2π3＝50⎝⎛⎭⎫2π3－32km 2.(8分)答：视角的最小值是2π3，较小区域面积的最小值是50⎝⎛⎭⎫2π3－32km 2.(9分)图2(2) 如图2，过O 分别作OH ⊥AB ，OH 1⊥CD ，垂足分别是H ，H 1， 记OH ＝d 1，OH 1＝d 2，由(1)可知 d 1∈[0，5]，所以d 21＋d 22＝OP 2＝25，且d 22＝25－d 21.(10分)因为AB ＝2100－d 21，CD ＝2100－d 22，所以AB ＋CD ＝2(100－d 21＋100－d 22)＝2(100－d 21＋75＋d 21)，(11分)记L(d 1)＝AB ＋CD ＝2(100－d 21＋75＋d 21)，可得L 2(d 1)＝4[175＋2（100－d 21）（75＋d 21）]，(12分)由d 21∈[0，25]，可得d 21＝0，或d 21＝25时，L 2(d 1)的最小值是100(7＋43)， 从而AB ＋CD 的最小值是20＋103km.(13分)答：两条公路长度和的最小值是20＋103km.(14分)18.解：(1) 由题意可知c a ＝32，a ＝3，得c ＝332，(2分)因为a 2＝b 2＋c 2，所以b 2＝94，故椭圆的标准方程是x 29＋y 294＝1.(4分)(2) 设直线AE 的方程：y ＝k(x ＋3)，点E(x 1，y 1)，由⎩⎨⎧x 29＋y 294＝1，y ＝k （x ＋3），可得(4k 2＋1)x 2＋24k 2x ＋36k 2－9＝0.(5分)因为－3＋x 1＝－24k 24k 2＋1，得x 1＝3－12k 24k 2＋1，代入直线y ＝k(x ＋3)，得y 1＝6k4k 2＋1，所以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－12k 24k 2＋1，6k 4k 2＋1.(7分) 同理可得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－12k 24k 2＋1，－6k 4k 2＋1.(8分) 根据条件可知圆心O 到直线AE 的距离等于圆心O 到直线EF 的距离．可得|3k|k 2＋1＝|3－12k 24k 2＋1|＝r ，解之得k 2＝18，(9分)从而r 2＝1，所以圆O 的方程为x 2＋y 2＝1.(10分)(3) 设直线BM 的方程为y ＝kx ＋32，因为直线BM 与圆O 相切，所以d ＝r ，解得k ＝±52.(11分) 当k ＝52，l BM ：y ＝52x ＋32，由⎩⎪⎨⎪⎧x 29＋y294＝1，y ＝52x ＋32，可得x 2＋5x ＝0，所以M(－5，－1)．(13分)同理可得N(5，－1)，(14分)可得直线MN 方程是y ＝－1，(15分)直线MN 与圆O 的位置关系是相切．(16分) 19.解：(1) (解法1)因为S n ＝(1＋λ)a n －λ，① 所以S n ＋1＝(1＋λ)a n ＋1－λ.②②－①得λa n ＋1＝(1＋λ)a n ，③(2分)当λ＝0时，a n ＝0，数列{a n }是等差数列．(4分)当λ≠0时，a 1＝(1＋λ)a 1－λ，a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝1λa n ，④要使数列{a n }是等差数列，则④式右边1λa n 为常数，即a n ＋1＝a n 为常数，④式左边a n ＋1－a n ＝0，a n ＝0，又a 1＝1，矛盾！(6分) 综上可得：λ＝0时，数列{a n }为等差数列，且a n ＝0.(7分) (解法2)若数列{a n }是等差数列，必有2a 2＝a 1＋a 3， 当λ＝0时，a 1＝a 2＝a 3＝0，满足2a 2＝a 1＋a 3，(1分) 此时S n ＝a n ，从而S n ＋1＝a n ＋1，(3分) 故a n ＝0.(4分)当λ≠0时，a 1＝1，a 2＝1＋1λ，a 3＝⎝⎛⎭⎫1＋1λ2，(5分)由2a 2＝a 1＋a 3，得2⎝⎛⎭⎫1＋1λ＝1＋⎝⎛⎭⎫1＋1λ2，该方程无解．(6分)综上可得：λ＝0时，数列{a n }为等差数列，其中a n ＝0.(7分) (2) 由(1)可得：当λ＝0时，不是等比数列，(8分) 当λ＝－1时，由①得S n ＝1，则a 1＝S 1＝1， a n ＝S n －S n －1＝0(n ≥2)，不是等比数列．(9分)当λ≠0，且λ≠－1时，得a n ＋1a n ＝1＋1λ，{a n }为公比是q ＝1＋1λ的等比数列．(10分)又对任意n ，a n ∈N ，则q ＝1＋1λ∈N ，故仅有λ＝1，q ＝2时，满足题意．又由(1)得a 1＝1，故a n ＝2n －1.(11分)因为∑i ＝kja i ＝2k －1（2j －k ＋1－1）2－1＝2016，所以2k －1(2j －k ＋1－1)＝2016＝25×32×7，(13分) j －k ＋1≥2，2j －k ＋1－1为大于1的奇数，2k －1＝25，k ＝6，(15分)则2j －5－1＝32×7，2j －5＝64，j ＝11，故仅存在k ＝6时，j ＝11，∑i ＝kja i ＝2016.(16分)20.解：(1) f′(x)＝(ax 2－x)e x ＝x(ax －1)e x .若a ＝0，则f′(x)＝－xe x ，令f′(x)＞0，则x ＜0；令f′(x)＜0，则x ＞0；若a ＜0，由f′(x)＞0，得1a ＜x ＜0；由f′(x)＜0，得1a＞x 或0＜x ；若a ＞0，由f′(x)＜0，得0＜x ＜1a ；由f′(x)＞0，得x ＞1a或x ＜0.综上可得：当a ＝0时，函数f(x)的增区间是(－∞，0)，减区间是(0，＋∞)；(3分)当a ＜0时，函数f(x)的增区间是⎝⎛⎭⎫1a ，0，减区间是(0，＋∞)，⎝⎛⎭⎫－∞，1a ；(5分) 当a ＞0时，函数f(x)的增区间是(－∞，0)，⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞，减区间是⎝⎛⎭⎫0，1a .(7分) (2) 因为2a ∈[3，m ＋1]，由(1)x ∈(0，＋∞)上函数f(x)的最小值是f ⎝⎛⎭⎫1a .因为f(x)≥b 2a －1e 1a 恒成立，所以f ⎝⎛⎭⎫1a ≥b 2a －1e 1a 恒成立，(8分) 所以e 1a(2a －1)≥b2a －1e 1a恒成立，即2a －1≥b 2a－1恒成立．(9分)由2a ∈[3，m ＋1]，令2a －1＝t ∈[2，m]，则t ≥b t ，所以lnb ≤lntt＝g(t)．(10分)由g′(t)＝1－lntt 2，可知函数g(t)在(0，e)上递增；(e ，＋∞)上递减，且g(2)＝g(4)．(11分)当2＜m ≤4时，g(t)min ＝g(2)＝ln22，从而lnb ≤ln22，解得0＜b ≤2；(13分)当m ＞4时，g(t)min ＝g(m)＝lnm m ，从而lnb ≤lnm m ，解得0＜b ≤m 1m.(15分)故：当2＜m ≤4时，0＜b ≤2；当m ＞4时，0＜b ≤m 1m.(16分)。
江苏高三高中数学高考模拟带答案解析
江苏高三高中数学高考模拟班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.若复数满足（是虚数单位），则．2.已知全集，集合，，则中最大的元素是．3.直线与直线平行的充要条件是．4.设等比数列的前项和为，若，则数列的公比是．5.如图，沿田字型的路线从往走，且只能向右或向下走，随机地选一种走法，则经过点的概率是．6.实数满足，则的值为．7.与抛物线有且仅有一个公共点，并且过点的直线方程为．8.空间三条直线中，任何两条不共面，且两两互相垂直，另一条直线与这三条直线所成的角均为，则．9.将函数的图象向左平移至少个单位，可得一个偶函数的图象．10.将一个长和宽分别为的长方形的四个角切去四个相同的正方形，然后折成一个无盖的长方体形的盒子，若这个长方体的外接球的体积存在最小值，则的取值范围是．11.在中，角所对边分别是，若，则．12.已知函数是定义在上的增函数，函数的图象关于对称．若对任意的，不等式恒成立，则当时，的取值范围是．13.已知中，，为的外心，若点在所在的平面上，，且，则边上的高的最大值为．14.各项为正数的数列，其前项的和为，且，若，且数列的前项的和为，则．二、解答题1.设函数，其中，若，且图象的一条对称轴离一个对称中心的最近距离是．（1）求函数的解析式；（2）若是的三个内角，且，求的取值范围2.在所有棱长都相等的斜三棱柱中，已知，，且，连接．（1）求证：平面；（2）求证：四边形为正方形．3.如图1，、是某地一个湖泊的两条互相垂直的湖堤，线段和曲线段分别是湖泊中的一座栈桥和一条防波堤．为观光旅游的需要，拟过栈桥上某点分别修建与、平行的栈桥、，且以、为边建一个跨越水面的三角形观光平台．建立如图2所示的直角坐标系，测得线段的方程是，曲线段的方程是，设点的坐标为，记（题中所涉及的长度单位均为米，栈桥和防波堤都不计宽度）．（1）求的取值范围；（2）试写出三角形观光平台面积关于的函数解析式，并求出该面积的最小值．4.已知椭圆的右焦点为，点在圆上任意一点（点第一象限内），过点作圆的切线交椭圆于两点、．（1）证明：；（2）若椭圆离心率为，求线段长度的最大值．5.已知函数（）．（1）若，在上是单调增函数，求的取值范围；（2）若，求方程在上解的个数．6.已知数列单调递增，且各项非负，对于正整数，若任意的，（≤≤≤），仍是中的项，则称数列为“项可减数列”．（1）已知数列是首项为2，公比为2的等比数列，且数列是“项可减数列”，试确定的最大值；（2）求证：若数列是“项可减数列”，则其前项的和；（3）已知是各项非负的递增数列，写出（2）的逆命题，判断该逆命题的真假，并说明理由．7.已知矩阵，向量．求向量，使得．8.在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），若以直角坐标系的点为极点，为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系，得曲线的极坐标方程为．（1）求直线的倾斜角；（2）若直线与曲线交于两点，求9.学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有2人，会跳舞的有5人，现从中选2人．设为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且．（1）求文娱队的队员人数；（2）写出的概率分布列并计算10.在数列和中，，，，其中且，．设，，试问在区间上是否存在实数使得．若存在，求出的一切可能的取值及相应的集合；若不存在，试说明理由．江苏高三高中数学高考模拟答案及解析一、填空题1.若复数满足（是虚数单位），则．【答案】.【解析】.2.已知全集，集合，，则中最大的元素是．【答案】3【解析】,,,.所以最大元素为3.3.直线与直线平行的充要条件是．【答案】-2.【解析】,当a=2时，两直线重合；当a=-2时，两直线平行4.设等比数列的前项和为，若，则数列的公比是．【答案】.【解析】当q=1时，.当时，，所以.5.如图，沿田字型的路线从往走，且只能向右或向下走，随机地选一种走法，则经过点的概率是．【答案】.【解析】从A到N共需要走四步，两横步，两纵步.共有,其中经过点C的走法有横竖横竖，横竖竖横，竖横横竖，竖横竖横共4种方法.所以所求事件的概率为.6.实数满足，则的值为．【答案】8.【解析】,7.与抛物线有且仅有一个公共点，并且过点的直线方程为．【答案】或y="1."【解析】设此直线方程为,它与抛物线方程联立消经得，,k=0时，符合要求，此时直线方程为y=1.当时，.所以直线方程为,即.所以所求直线方程为或y=1.8.空间三条直线中，任何两条不共面，且两两互相垂直，另一条直线与这三条直线所成的角均为，则．【答案】.【解析】在空间取一点分别作三条直线的平行线，然后构造一个正方体如右图所示，则直线OD所OA、OB、OC所成的角相等均为,则.9.将函数的图象向左平移至少个单位，可得一个偶函数的图象．【答案】.【解析】,设向左至少平移m(m>0)个单位，得到一个偶函数的图像，则平移后的函数解析式为,的最小值为10.将一个长和宽分别为的长方形的四个角切去四个相同的正方形，然后折成一个无盖的长方体形的盒子，若这个长方体的外接球的体积存在最小值，则的取值范围是．【答案】.【解析】设正方形的边长为x,则,则此长方体的外接球直径最小时，其外接球的体积存在最小值.由于当时，2R才存在最小值，因为0<a<b,所以,所以11.在中，角所对边分别是，若，则．【答案】.【解析】,.12.已知函数是定义在上的增函数，函数的图象关于对称．若对任意的，不等式恒成立，则当时，的取值范围是．【答案】.【解析】的图象关于对称,所以的图像关于原点对称，所以y=f(x)是奇函数，并且是R上的增函数，所以所以,即,则当x>3时，由于点(3,2)到原点的距离为,半圆上的点到原点的最大距离为圆心（3，4）到原点的距离加上半径,即5+2=7,所以13.已知中，，为的外心，若点在所在的平面上，，且，则边上的高的最大值为．【答案】.【解析】取AC的中点为D，设的外接圆半径为R，则,设的夹角为，则.又因为所以所以R的最小值为,所以h的最大值为.14.各项为正数的数列，其前项的和为，且，若，且数列的前项的和为，则．【答案】.【解析】,数列是首项为,公差为的等差数列，所以,所以,.所以,所以二、解答题1.设函数，其中，若，且图象的一条对称轴离一个对称中心的最近距离是．（1）求函数的解析式；（2）若是的三个内角，且，求的取值范围【答案】（1）．（2）．【解析】(1)根据,可得,进而可确定.由题意知,进而可确定,所以解析式确定.(2) 根据,可确定，然后,再利用三角函数的性质求值域即可.（1）由条件，，……………………3分又图象的一条对称轴离一个对称中心的最近距离是，所以周期为，，．（2）由，知，是的内角，，，，从而．……………………………9分由，…………12分，，即．2.在所有棱长都相等的斜三棱柱中，已知，，且，连接．（1）求证：平面；（2）求证：四边形为正方形．【答案】（1）略（2）略【解析】(1)证明本小题的关键是证明,,再证,问题得证.(2)证明本小题的关键是证明：，进而关键是证明,从而说明其是矩形，又因为此四边形本身是菱形，所以所证四边形是正方形.问题得证（1）证明：因为是菱形，所以又，，所以因为，所以…………………4分因为，所以由，所以………………………8分（2）证明：因为，所以，……………………………10分又因为，所以，所以所以四边形为正方形3.如图1，、是某地一个湖泊的两条互相垂直的湖堤，线段和曲线段分别是湖泊中的一座栈桥和一条防波堤．为观光旅游的需要，拟过栈桥上某点分别修建与、平行的栈桥、，且以、为边建一个跨越水面的三角形观光平台．建立如图2所示的直角坐标系，测得线段的方程是，曲线段的方程是，设点的坐标为，记（题中所涉及的长度单位均为米，栈桥和防波堤都不计宽度）．（1）求的取值范围；（2）试写出三角形观光平台面积关于的函数解析式，并求出该面积的最小值．【答案】（1）（2）225【解析】(1)先确定z关于x的函数关系式，因而要求y与x的等式关系消y.，然后要注意x 的取值范围.(2) ,,利用导数研究单调性再求其最值.（1），………………………2分由题知，在曲线段上，∴且，∴，………………………4分……………………7分（2）……10分时，，∴在上单调递减，∴4.已知椭圆的右焦点为，点在圆上任意一点（点第一象限内），过点作圆的切线交椭圆于两点、．（1）证明：；（2）若椭圆离心率为，求线段长度的最大值．【答案】（1）略（2）2表示出来.相加即【解析】(1) 设，先利用焦半径公式表示,然后再想法求出|PQ|，也用x1可.(2)根据离心率可求出a值，进而椭圆方程确定，然后设直线的方程为,由直线QR与圆O相切，进而得到,然后直线与椭圆方程联立，消y之后，表示出,则,，,因而确定当且仅当时，取最大值2.（1）设，得，…………………3分由是圆的切线，，注意到，，……………6分所以．……………7分（2）由题意，，．…………………………9分方法一：设直线的方程为，点在第一象限，．由直线与圆相切，．…………………………11分由，消得，设，则．由（1）知，，…14分，．当且仅当时，取最大值2，此时直线的方程为，过焦点．方法二：设，则直线的方程为．……11分由，消得，则，，，由（1）知，，……14分，，当且仅当时，取最大值2，此时，直线过焦点．方法三：由（1）同理可求，则，………11分，当且仅当直线过焦点时等号成立，从而．5.已知函数（）．（1）若，在上是单调增函数，求的取值范围；（2）若，求方程在上解的个数．【答案】（1）．（2）当a≥3时，≥0，∴g(x)＝0在上有惟一解．当时，<0，∴g(x)＝0在上无解．【解析】（1）然后分别研究时,恒成立且时,恒成立时b的取值范围即可.(2) 构造函数，即分别研究和上的单调性,极值和最值.做出草图，数形结合解决即可（1）…………………2分①当时，，．由条件，得恒成立，即恒成立，∴．……………………4分②当时，，．由条件，得恒成立，即恒成立，∴b≥－2．综合①，②得b的取值范围是．……………6分（2）令，即………………8分当时，，．∵，∴．则．即，∴在（0，）上是递增函数．………………………10分当时，，．∴在（，＋∞）上是递增函数．又因为函数在有意义，∴在（0，＋∞）上是递增函数．………12分∵，而，∴，则．∵a≥2，∴，……14分当a≥3时，≥0，∴g(x)＝0在上有惟一解．当时，<0，∴g(x)＝0在上无解6.已知数列单调递增，且各项非负，对于正整数，若任意的，（≤≤≤），仍是中的项，则称数列为“项可减数列”．（1）已知数列是首项为2，公比为2的等比数列，且数列是“项可减数列”，试确定的最大值；（2）求证：若数列是“项可减数列”，则其前项的和；（3）已知是各项非负的递增数列，写出（2）的逆命题，判断该逆命题的真假，并说明理由．【答案】（1）2 （2）．（3）（2）的逆命题为：已知数列为各项非负的递增数列，若其前项的和满足，则该数列一定是“项可减数列”，该逆命题为真命题．【解析】(1)根据题意可知，易得，即数列一定是“2项可减数列”.（2）因为数列是“项可减数列”，所以必定是数列中的项.而是递增数列，故，所以必有，，是解决本小题的关键.(3) 的逆命题为：已知数列为各项非负的递增数列，若其前项的和满足，则该数列一定是“项可减数列”，该逆命题为真命题．证明要注意利用≤≤,求出的通项公式.（1）设，则，易得，即数列一定是“2项可减数列”，但因为，所以的最大值为2．………………5分（2）因为数列是“项可减数列”，所以必定是数列中的项，………………………7分而是递增数列，故，所以必有，，则，所以，即．又由定义知，数列也是“项可减数列”，所以．……………………………10分（3）（2）的逆命题为：已知数列为各项非负的递增数列，若其前项的和满足，则该数列一定是“项可减数列”，该逆命题为真命题．……………………12分理由如下：因为≤≤，所以当≥时，，两式相减，得，即（）则当时，有（）由（）－（），得，又，所以，故数列是首项为0的递增等差数列．设公差为，则，对于任意的≤≤≤，，因为≤，所以仍是中的项，故数列是“项可减数列”．7.已知矩阵，向量．求向量，使得．【答案】【解析】设出,根据=,得到方程组求解即可.，………………………4分设，则=……………8分，.8.在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），若以直角坐标系的点为极点，为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系，得曲线的极坐标方程为．（1）求直线的倾斜角；（2）若直线与曲线交于两点，求【答案】（1）（2）【解析】（1）可以先求出直线l的普通方程，即,所以斜率为,倾斜角为.（2）先求出曲线C的普通方程为,再求出圆心到直线l的距离d，进而利用即可求值.（1）设直线的倾斜角为，则且，，即直线的倾斜角为…………………………5分（2）的直角坐标方程为，的直角坐标方程为，所以圆心到直线的距离，9.学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有2人，会跳舞的有5人，现从中选2人．设为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且．（1）求文娱队的队员人数；（2）写出的概率分布列并计算【答案】(1)2(2) 的概率分布列为：∴．【解析】(1)设既会唱歌又会跳舞的有人，则文娱队中共有（）人，只会一项的人数是（）人,再利用，∴，即,可解出x的值.(2)分别求出对应的概率，列出分布列，根据期望公式求期望即可.设既会唱歌又会跳舞的有人，则文娱队中共有（）人，只会一项的人数是（）人．………………2分（1）∵，∴，即．∴，解得．故文娱队共有5人．………………………5分（2），，………………………7分的概率分布列为：∴．10.在数列和中，，，，其中且，．设，，试问在区间上是否存在实数使得．若存在，求出的一切可能的取值及相应的集合；若不存在，试说明理由．【答案】在区间上存在实数，使成立，当时，；当时，【解析】设存在实数，使，设，则，且，设，，则，所以，因为，且，所以能被整除.然后分三种情况讨论(1) ;(2) ;(3) 进行研究.设存在实数，使，设，则，且，设，，则，所以，因为，且，所以能被整除…………………………4分（1）当时，因为，，所以；…………………………5分（2）当时，，由于，所以，，所以，当且仅当时，能被整除. …………………………7分（3）当时，，由于，所以，所以，当且仅当，即时，能被整除．………………9分综上，在区间上存在实数，使成立，当时，；当时，．。
江苏数学模拟真题答案解析
江苏数学模拟真题答案解析近年来，数学模拟考试在江苏省的中小学教育中扮演着重要的角色。
这种考试形式要求学生在一定时间内解答一系列的数学问题，以测试他们的思维能力和解题技巧。
本文将针对江苏数学模拟真题的答案进行解析，帮助读者更好地理解题目意思和解题方法。
首先，我们来看一道典型的江苏数学模拟真题：1. 设集合A = {x | 4x - 3 > 5, x ∈ Z}，集合B = {3, 4, 5, 6}，则A ∩ B = __________。
这道题目要求我们求出集合A和集合B的交集。
在解题之前，我们先看一下题目中的一些关键信息。
首先，集合A是一个由整数x组成的集合，且满足4x - 3 > 5的条件。
其次，集合B是一个包含了4个元素的集合，分别是3, 4, 5, 6。
为了求集合A和集合B的交集，我们需要找出满足条件4x - 3 > 5的整数x，并且这个整数必须同时存在于集合B中。
我们可以先解得4x > 8，然后得到x > 2。
所以满足条件的整数x是大于2的整数。
然后我们再来观察集合B，发现集合B中有一个元素大于2，即元素5。
因此，唯一满足条件的整数x是5，所以集合A ∩ B = {5}。
接下来，让我们看一道稍微复杂一些的题目：2. 已知函数f(x) = 2x^2 + 3x + 1，g(x) = 3x - 2，则f(g(1)) = __________。
这道题目需要我们对函数进行复合运算。
我们先来分析一下题目中提到的两个函数。
函数f(x)是一个二次函数，形式为2x^2 + 3x + 1；函数g(x)是一个一次函数，形式为3x - 2。
要计算f(g(1))，我们需要先计算出g(1)的值，然后再将这个值带入函数f(x)中进行计算。
将x = 1代入函数g(x)中，我们可以得到g(1) = 3(1) - 2 = 1。
现在我们已经得到了g(1)的值为1，接下来将这个值代入函数f(x)中：f(g(1)) = f(1) = 2(1)^2 + 3(1) + 1 = 2 + 3 + 1 = 6。
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开始
结束
输出S n ←1, S ←0
S < 100
n ←n + 1 S ←S + 2n
N
Y
(第5题)
江苏名校优质高考数学模拟试题附详解(6)
第Ⅰ卷（必做题，共160分）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 ．
1. 设集合A = {1，x }，B = {2，3，4}，若A ∩B ={4}，则
x = ▲ .
2. 若复数z 1＝2+i ，z 1·－z 2＝5，则z 2＝ ▲ .
3. 从数6，7，8，9，10，11六个数中，任取两个不同的数， 则两个数互质的概率是 ▲ . 4．已知一组数据x 1，x 2，…，x 100的方差是2，则数据 3x 1，3x 2，…，3x 100 的标准差为 ▲ .
5．执行右边的程序框图，则输出的S 的值为 ▲ .
6．设正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是单位正方形，其表面积14，则AA 1＝ ▲ .
7．不等式组⎩
⎨⎧y ≤x +2y ≥x
0≤y ≤4x ≥0
表示的平面区域的面积为S ，则S 的值为 ▲ ．
8．函数y ＝sin(ωx ＋π
4)(ω＞0)的图象在［0,1］上恰有三个最高点，则ω
的取值范围是 ▲ .
9．若两个非零向量a ，b 的夹角为60°，且(a ＋2b )⊥(a －2b )，则向量a ＋b 与a －b 的夹角的余弦值是 ▲ .
10．已知函数f (x )＝e x -1－tx ，∃x 0∈R ，f (x 0)≤0，则实数t 的取值范围 ▲ ．
11．已知数列{a n }是一个等差数列，首项a 1＞0，公差d ≠0，且a 2、a 5、a 9依次成比数列，则
使a 1＋a 2＋…＋a n ＞100a 1的最小正整数k 的值是 ▲ .
12．抛物线y 2＝2px (p ＞0)和双曲线x 2a 2－y
2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)有一个相同的
焦点F 2(2，0)，而双曲线的另一个焦点F 1，抛物线和双曲线交于点
A
A 1
B 1 C
D 1 B C 1
D M
O 1
B 、
C ，若△BCF 1是直角三角形，则双曲线的离心率是 ▲ ．
13．△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 2cos A ＝b
3cos B
＝c
6cos C ，则cos A cos B cos C
＝ ▲ ．
14．已知函数f (x )＝2x 3+7x 2+6x
x 2+4x ＋3，x ∈［0,4］，则f (x )最大值是 ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共90分.
15．（本小题满分14分）已知α∈(0，π)，且sin(α＋π
3)＝6－24．
(1)求sin(α－π4)的值；(2)求cos(2α－π
3)的值．
16．（本小题满分14分）如图，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是菱形，M 是AB
的中点，O 1是A 1C 1与B 1D 1的交点． (1)求证：O 1M ∥平面BB 1C 1C ；
(2)若平面AA 1C 1C ⊥平面ABCD ，求证：四边形BB 1D 1D 是矩形．
17.（本小题满分14分）如图所示，一根绳穿过两个定滑轮，且两端分别挂有3(N)、2(N)的
重物．现在两个滑轮之间的绳上挂一个重量
为m (N)的重物，恰好使系统处于平衡状态．
(1)若∠AOB ＝120°，求m 的值； (2)求m 的取值范围．
18. 椭圆C ：x 24＋y 2
3＝1的左、右顶点分别为A 、B ，F 为椭圆C 的右焦
点，在椭圆C 上任取异于A 、B 的点P ，直线P A 、PB 分别与直线x =3交于点M ，N ，直线MB 与椭圆C 交于点Q ． (1)求FM →·FN →的值；
(2)证明：A 、Q 、N 三点共线．
A
B
O 3N
m (N)
2N
19.（本小题满分16分）已知数列{}n a 满足123n n a a n ++=-，n *∈N ．
（1）若数列{}n a 为等差数列，求1a ；
（2）设1(0)a a a =>，2n n *
∀∈N ≥，，不等式
221
1
3n n n n a a a a ++++≥成立，求实数a
的最小值．
20.（本小题满分16分）已知二次函数f (x )=ax 2+bx +1，g (x )=a 2x 2+bx +1． (1)若f (x )≥g (x )对任意实数x 恒成立，求实数a 的取值范围； (2)若函数f (x )有两个不同零点x 1，x 2；函数g (x )有两个不同零点x 3，x 4．
(i)若x 3＜x 1＜x 4，试比较x 2，x 3，x 4的大小关系； (ii)若x 1=x 3＜x 2，m 、n 、p ∈1(,)x -∞，()()()
()()()
f
m f n f p g n g p g m '''==，求证m =n =p ．
第Ⅱ卷（附加题，共40分）
21．[选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题，每小题10分；请选定其中两．．．．．．题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．
． A ．（选修４－１：几何证明选讲）如图，AB 是半圆的直径，C 是半圆
上一点，D 是弧AC 的
中点，DE ⊥AB 于E ，AC 与DE 交于M ，求证：AM ＝DM ． C
D
B ．（选修４－２：矩阵与变换）已知二阶矩阵M 属于特征值3的一个
特征向量为a ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
11，并
且矩阵M 对应的变换将点（－1，2）变成点（9，15），求出矩阵M.． C ．（选修４－４：坐标系与参数方程）已知圆C 的极坐标方程是4cos ρθ=，以极点为平面
直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，
直线l 的参数方程是2
222
x t m y t ⎧=
+⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
（t 是参数）.若直线l 与圆C 相切，求实数m 的值.
D ．（选修４－５：不等式选讲）设函数()|1||1|f x x x =-++，
若不等式|||2|||()a b a b a f x +--≤⋅对任意,a b R ∈且0a ≠恒成立，求实数x 的范围．
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指．．．．定区域内作答．．．．．．
，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．(本小题满分10分) 如图，在四棱锥O －ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的菱形，
∠ABC＝45°，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点．
（1）求异面直线AB与MD所成角的大小；
（2）求平面OAB与平面OCD所成锐二面角的余弦值．
23．设a0＜a1＜a2＜…＜a n(i∈N*，i＝1，2，…，n)，以[b，c]表示正整数b，c的最小公倍数．
求证：1
[a0，a1]＋
1
[a1，a2]
＋…＋
1
[a n－1，a n]
≤1－
1
2n．
M
D
O
A
B C。