多元函数的极限
多元函数求极值
多元函数求极值摘要：本文总结了多元函数求极限的各类方法，以及证明多元函数极限不存在的取各种花式路劲的例题。
一、多元函数极限的定义存在的问题：有两种定义方式分别以聚点/去心领域去定义重极限，不同的定义方式可能导致结果不同例1.1：求极限: \lim_{{x\to0}\atop{y\to0}}\frac{\sqrt{xy+1}-1}{xy} .解：法I(聚点定义).\lim_{{x\to0}\atop{y\to0}}\frac{\sqrt{xy+1}-1}{xy}=\lim_{{x\to0}\atop{y\to0}}\frac{xy}{xy(\sqrt{xy+1}+1)}=\l im_{{x\to0}\atop{y\to0}}\frac{1}{\sqrt{xy+1}+1}=\frac{1}{2}或者利用等价无穷小.\lim_{{x\to0}\atop{y\to0}}\frac{\sqrt{xy+1}-1}{xy}=\lim_{{x\to0}\atop{y\to0}}\frac{\frac{1}{2}xy}{xy}=\frac{ 1}{2}法II(去心领域定义).由于函数 f(x,y)=\frac{\sqrt{xy+1}-1}{xy} 在原点的领域内的坐标轴上处处无定义, 因此\lim_{{x\to0}\atop{y\to0}}\frac{\sqrt{xy+1}-1}{xy}\text{不存在}用 \varepsilon-\delta 定义证明的例题选解例1.2：用 \varepsilon-\delta 定义证明: \lim_{x\to0\atopy\to0}\frac{xy^2}{x^2+y^2}=0解：因为当 (x,y)\neq(0,0) 时\left，\frac{xy^2}{x^2+y^2}\right，=，y，\cdot\frac{，xy，}{x^2+y^2}\leqslant，y，\leqslant\sqrt{x^2+y^2}\\从而，对 \forall \varepsilon>0 , 取 \delta=\varepsilon , 则当 0<\sqrt{x^2+y^2}<\delta 时,\left，\frac{xy^2}{x^2+y^2}-0\right，<\varepsilon \\所以 \lim_{x\to0\atop y\to0}\frac{xy^2}{x^2+y^2}=0 .例1.3：求证:\lim_{{x\to0}\atop{y\to0}}(x^2+y^2)\sin\frac{1}{x^2+y^2}=0证明： \forall \,\varepsilon>0 , 要使得\left，(x^2+y^2)\sin\frac{1}{x^2+y^2}-0\right，\leqslant\varepsilon\\即 \left，(x^2+y^2)\sin\frac{1}{x^2+y^2}-0\right， =\biggl，x^2+y^2\biggl，\cdot\biggl，\sin\frac{1}{x^2+y^2}-0\biggl，\leqslant x^2+y^2\leqslant\varepsilon\\ 只要\sqrt{x^2+y^2}<\sqrt{\varepsilon} , 取\delta=\sqrt{\varepsilon} , 则当0<\sqrt{(x-0)^2+(y-0)^2}=\sqrt{x^2+y^2}<\delta 时, 有\left，(x^2+y^2)\sin\frac{1}{x^2+y^2}-0\right，\leqslant x^2+y^2\leqslant\varepsilon\\原结论成立．二、多元函数求极限的方法直接代入：先代入看看是不是未定式！如果不是那就是答案略有理化：略有界函数x无穷小量=0略两个重要极限：略夹逼准则：多是夹为0。
多元函数的极限
y=kx 3 =
k
1+k2'
其值随k的不同而变化,
故极限不存在.
确定极限不存在的方法:
(1)令 P ( x, y )沿 y = kx 趋向于 R( x 0, y0)， 若 极限值与k有关，则可断言极限不存在；
(2)找两种不同趋近方式，使lim f (x,y)存在,
x T x0 y—yo
但两者不相等，此时也可断言f (x, y)在点 Po( x 0, y 0)处极限不存在・
二元函数的极限
定义1 设函数z = f (X, y)的定义域为 D, P0(x0,y0)是其
聚点，如果对于任意给定的正 数£，总存在正数 5 ,使得对于适合不等式 0 V| PP0|=J(x - Xo)_+(y - y。)2 < 5 的一切 点，都有I f (x,y) - A |V £成立，则称A为
1 y
y—
O
解
(x 2 + y 2)sin
1 x2 + y2
rJ
1
=x + y - sin x2 + y2
< x2 + y2
1
--
lim( x2 + y2 y
6
+
y2
不存在.
证取y = kx3,
X 3 - kx 3
lim
x -0
x 6 + k2 x 6
(2)
定义中P
T
X T xo y—yo
Po的方式是任意的；
(3) 二元函数的极限运算法则与一元函数类似.
例i.求 iim/xy+I -1 2. XTO XV
yrO
解原式=lim勺+ 1T
8.2 多元函数的极限与连续
13
8.2
多元函数的极限与连续
x2 x+ y
3− x + y +9 （3） lim x→0 x2 + y2
2 2 y→0
1 （4） lim(1 + ) x →∞ x y →a
1 =− . 解： 3）原式 = lim 2 （ x→0 2 2 2 6 ( x + y )(3 + x + y + 9) y→0
9
8.2
多元函数的极限与连续
若在开区域（或闭区域） D 内某些孤立点，或者沿 D 内 若在开区域（或闭区域） 内某些孤立点， 某些曲线，函数没有定义，但在 D 内其余部分， f ( x , y ) 都 某些曲线，函数没有定义， 内其余部分， 部分 有定义， 有定义，则这些孤立点或这些曲线上的点都是函数 f ( x , y ) 的间断点。 的间断点。
证
y = kx 3 , 取
x3 y x 3 ⋅ kx 3 k lim 6 = lim 6 , = 2 x →0 x + y 2 x →0 x + k 2 x 6 1+ k y→ 0 y = kx 3
的不同而变化， 其值随 k 的不同而变化， 故极限不存在． 故极限不存在．
关于二元函数的极限概念， 关于二元函数的极限概念，可相应地推广到 n 元函数
2．函数 f ( x, y) 在区域 D 上的连续性
如果函数 上任意一点都连续， 如果函数 z = f ( x , y ) 在区域 D 上任意一点都连续，则称
f ( x , y ) 在区域 D 上连续。 上连续。
二元连续函数的图形是一个没有任何孔隙和裂缝的曲面。 二元连续函数的图形是一个没有任何孔隙和裂缝的曲面。 连续函数的图形是一个没有任何孔隙和裂缝的曲面
2-1多元函数的概念、极限与连续
极限不存在．
类似地可以定义 n 元 函 数 的 极 限
定义 2 设n元函数 f (P)的定义域为点集
D, P0是其聚点，如果对于任意给定的正数 ，
总存在正数 ，使得对于适合不等式 0 | PP0 | 的 一 切 点 P D ， 都 有 | f (P) A | 成立，则称 A 为n元函数 f (P) 当 P P0时的极限，记为
则 1(x2y2)2l n x2(y2) lim e e e1, 4
1l i(m x2y2)2l n x2(y2) 4x 0
y 0
0
x 0
y 0
所 以 lim (x2y2)x2y2 1. x 0 y 0
例９.讨论连续性: 初等函数
边界上的点都是聚点也都属于集合．
（4）n维空间
设 n为取定的一个自然数，我们称 n元数组 ( x1 , x2 ,, xn )的全体为 n维空间，而每个 n元 数组( x1 , x2 ,, xn )称为n维空间中的一个点， 数 xi称为该点的第i 个坐标.
说明：
n维空间的记号为 R n ;
n维空间中两点间距离公式
设两点为 P (x1,x2, ,xn),Q (y1,y2, ,yn),
|P | ( y Q 1 x 1 ) 2 ( y 2 x 2 ) 2 ( y n x n ) 2 .
特殊地当 n1,2,3时，便为数轴、平面、
空间两点间的距离．
n维空间中邻域、区域等概念
x x0 y y0
（或 f (x, y) A (( x, y) (x0, y0)）.
说明：
（1）定义中 PP0的方式是任意的；
多元函数的极限与连续性判定
多元函数的极限与连续性判定在数学分析中，多元函数的极限与连续性是重要的概念，在研究函数的性质和求解问题时起着关键作用。
本文将介绍多元函数的极限和连续性的概念、判定条件以及相关性质。
一、多元函数的极限1. 极限的定义对于二元函数$f(x,y)$，当自变量$(x,y)$无限接近于某一点$(a,b)$时，函数值$f(x,y)$是否趋近于某一确定的值$L$，即$\lim_{(x,y) \to(a,b)}f(x,y)=L$。
2. 多元函数的极限存在判定条件(1) 二元函数的极限存在：若对于给定的$\epsilon > 0$，存在一个$\delta > 0$，使得当$0 < \sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2} < \delta$时，有$|f(x,y)−L| < \epsilon$成立，则称函数$f(x,y)$在点$(a,b)$处的二重极限存在，记作$\lim_{(x,y) \to (a,b)}f(x,y)=L$。
(2) 多元函数的极限存在：若对于给定的$\epsilon > 0$，存在一个$\delta > 0$，使得当$0 < \sqrt{(x_1−a_1)^2+...+(x_n−a_n)^2} < \delta$时，有$|f(x_1,...,x_n)−L| < \epsilon$成立，则称函数$f(x_1,...,x_n)$在点$(a_1,...,a_n)$处的$n$重极限存在，记作$\lim_{(x_1,...,x_n) \to(a_1,...,a_n)}f(x_1,...,x_n)=L$。
二、多元函数的连续性判定1. 连续性的定义对于二元函数$f(x,y)$，若在点$(a,b)$的某个邻域内，函数$f(x,y)$在该点处的极限存在且等于函数在该点处的函数值，即$\lim_{(x,y) \to (a,b)}f(x,y)=f(a,b)$，则称函数$f(x,y)$在点$(a,b)$处连续。
多元函数求极限例题
多元函数求极限例题多元函数求极限是微积分学中一个重要的概念，也是应用数学和科学工程中经常遇到的问题。
在本文中，我们将讲解多元函数求极限的概念和例题。
一、概念解析多元函数可以看做是具有多个自变量的函数，例如f(x,y)。
多元函数的求极限可以看做是在自变量逐渐逼近一个确定值的情况下，函数值的趋势。
即当(x,y)趋近于点(x0,y0)时，f(x,y)可能无限逼近某个值，这个值就是(x0,y0)点的极限。
二、例题解析1. 例题一：求f(x, y) = x ^ 2 + y ^ 2 + x * y在点(1, -1)处的极限。
解：对于多元函数f(x, y)，我们可以采用依次逼近法来求解极限。
即将自变量沿着曲线或直线从不同方向逐渐逼近给定的点。
首先，我们可以以(1, -1)为中心，沿着x轴方向逼近，此时f(x, y) = (x - 1) ^ 2 + y ^ 2 - 2，当x趋近于1时，f(x, y)趋近于-2。
然后，我们以(1, -1)为中心，沿着y轴方向逼近，此时f(x, y) = x ^ 2 + (y + 1) ^ 2 - 1，当y趋近于-1时，f(x, y)趋近于1。
综上所述，极限不存在。
2. 例题二: 求f(x, y) = sin(xy) / xy 的极限。
解：对于这道例题，我们可以将其转化为一元函数，令u = xy，则函数变为f(x, y) = sin u / u。
然后，我们可以以(0, 0)为中心，沿着某个代码逼近。
比如，以x = 0的直线为例，此时f(x, y) = sin y / y，当y趋近于0时，f(x, y)趋近于1。
根据夹逼定理，当x^2+y^2趋近于0时，f(x,y)也趋近于1。
因此，原函数在(0,0)点极限为1。
三、总结在求解多元函数极限时，可以采用依次逼近法，将自变量沿着曲线或直线从不同方向逐渐逼近给定的点。
同时，我们要掌握夹逼定理的应用，通过夹逼来判断函数的极限是否存在。
多元函数的极限和连续性
多元函数的极限和连续性在高等数学中，多元函数的极限和连续性是比较基础的概念，对于学习后续的微积分、偏微分方程等内容都有重要的意义，因此本文将从多元函数极限和连续性的定义、求解及其应用等方面进行探讨和阐述。
一、多元函数的极限和连续性的定义在一元函数中，极限的概念是比较容易理解和推广的，而在多元函数中，由于独立变量的个数增加，问题变得更加复杂。
因此，我们需要重新定义多元函数的极限。
1. 多元函数的极限定义设$f(\boldsymbol{x})$是定义在某点$\boldsymbol{x_0}=(x_0,y_0, z_0, ...)$的某一邻域内的多元函数，$\boldsymbol{\alpha}=(\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n)$是任一常数向量，那么当对于任意$\epsilon>0$，都存在$\delta>0$，使得当$0<\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{x_0}\Vert<\delta$时，都有$\vert f(\boldsymbol{x})-f(\boldsymbol{x_0}+\boldsymbol{\alpha})\vert<\epsilon$成立，则称$\boldsymbol{x_0}$是$f(\boldsymbol{x})$的一个极限点，记作$\lim\limits_{\boldsymbol{x}\rightarrow\boldsymbol{x_0}}f(\boldsymbol{x})=f(\boldsymbol{x_0}+\boldsym bol{\alpha})$。
可以看出，多元函数的极限与一元函数的极限相似，但是需要考虑的变量更多。
在多元函数中，只有当$\boldsymbol{x}$从任意方向趋近于$\boldsymbol{x_0}$时，$\lim\limits_{\boldsymbol{x}\rightarrow\boldsymbol{x_0}}f(\boldsymbol{x})$才存在。
多元函数的极限与连续性
多元函数的极限与连续性在数学中，多元函数的极限与连续性是重要的概念。
本文将介绍多元函数的极限和连续性的定义，并探讨它们的性质和应用。
一、多元函数的极限多元函数的极限可以类比于一元函数的极限，但其定义稍有不同。
对于一个二元函数，我们将自变量表示为(x,y)，则当自变量趋近于某个点(a,b)时，函数值f(x,y)的极限记为：lim (x,y)→(a,b) f(x,y) = L其中，L为实数。
我们称函数f(x,y)在点(a,b)处具有极限L，如果对于任意给定的ε>0，存在δ>0，使得当(x,y)满足0< √((x-a)^2+(y-b)^2) < δ时，都有 |f(x,y)-L|<ε 成立。
类似地，对于一个三元函数，自变量表示为(x,y,z)，其极限定义与二元函数类似。
多元函数的极限有以下性质：1. 极限存在且唯一：如果一个多元函数在某点具有极限，那么它的极限是唯一的。
2. 有界性：如果一个多元函数在某点具有极限，则它在该点附近是有界的。
但需要注意，多元函数在整个定义域内有界不一定代表在每个点处都具有极限。
3. 加法性、乘法性：如果两个多元函数在某点都具有极限，则它们的和、差、积仍在该点处具有极限。
4. 复合函数的极限性质：多元函数的复合函数在某点处具有极限的条件是，内部函数在该点处具有极限，且外部函数在内部函数极限处连续。
二、多元函数的连续性多元函数的连续性是指函数在整个定义域内的连续性。
对于一个二元函数，如果对于任意给定的ε>0，存在δ>0，使得当(x,y)满足0<√((x-a)^2+(y-b)^2) < δ时，都有 |f(x,y)-f(a,b)|<ε 成立，那么我们称函数f(x,y)在点(a,b)处连续。
类似地，对于一个三元函数，连续性的定义也类似。
多元函数的连续性具有以下性质：1. 极限与连续性的关系：如果一个多元函数在某点处具有极限L，则它在该点处连续。
多元函数微积分知识点
多元函数微积分知识点
1.多元函数的极限：多元函数的极限是在多个自变量趋于一些点时函
数的极限。
多元函数的极限可以通过分量法、夹逼法等方法计算。
2.多元函数的连续性：多元函数的连续性是指函数在定义域内的任意
一点上都存在极限并与函数值相等。
可以利用多元函数的分量函数连续来
判断多元函数的连续性。
3.多元函数的偏导数：多元函数的偏导数是指多元函数对自变量的偏
导数。
求多元函数的偏导数时，只对一个自变量求导，把其他自变量视为
常数。
4.多元函数的全微分：多元函数的全微分是指函数在特定点的微分。
全微分可以理解为函数在该点的线性逼近。
5.多元函数的方向导数：方向导数是指多元函数在其中一点沿着给定
方向的变化速率。
方向导数的计算可以通过梯度来进行。
6.多元函数的梯度：梯度是多元函数在其中一点的导数，其方向与函
数在该点取得最大值的方向相同，数值上等于方向导数的最大值。
7.多元函数的积分：多元函数的积分是指对多元函数进行求和或求定
积分。
与一元函数积分类似，多元函数积分需要确定积分区域和积分方法。
8.曲线积分：曲线积分是指沿着曲线进行的积分，曲线积分可以对向
量场和标量场进行。
9.曲面积分：曲面积分是指对曲面上的函数进行积分。
曲面积分可以
对向量场和标量场进行。
10.格林定理：格林定理是指曲线与曲面积分之间的关系，即把曲面积分转化为曲线积分的定理。
11.斯托克斯定理：斯托克斯定理是格林定理的推广，是把曲线积分转化为曲面积分的定理。
3chapter1(1)多元函数的概念、极限与连续
数，且 P0 是 f (P ) 的定义域的内点，则 f (P ) 在
点
P0
处连续，于是
lim
P P0
f (P)
f (P0 ).
ex10. 求 lim xy 1 1. x0 xy
y0
Solution. 原式 lim xy 1 1 x0 xy( xy 1 1)
Chapter 1(1)
多元函数的概念、 极限与连续
教学要求：
1. 理解多元函数的概念; 2. 了解二元函数的极限与连续性的概念以及有界闭
区域上连续函数的性质.
一. 预备知识 二. 多元函数的概念 三. 多元函数的极限 四. 多元函数的连续性
一. 预备知识
1. 邻域
设P0 ( x0 , y0 )是xoy 平面上的一个点， 是某 一正数，与点P0 ( x0 , y0 )距离小于 的点P( x, y) 的全体，称为点P0 的 邻域，记为U (P0 , ) ，
xy 0 . 原结论成立．
x2 y2
ex7. 计算 lim ( x sin 1 y cos 1 ).
x0
y
x
y0
Solution. 0 x sin 1 y cos 1
y
x
x sin 1 y cos 1
y
x
x y 0 ( x 0, y 0)
由夹逼准则得，lim ( x sin 1 y cos 1 ) 0.
Solution. z ln[ x( x y)]的定义域为 x( x y) 0,
z
ln
x
ln( x
y)的定义域为
x x
0 y
, 0
z ln[ x( x y)]与z ln x ln( x y)不是同一函数
1多元函数的概念及极限
x0 x
x0 xy
x0 xy x0
y2y2y2y2令u xy , u 0
lim sin xy lim sin u 1 x0 xy u0 u
y2
例8
求极限
sin( x2 y)
lim
x0
x2
y2
.
y0
解
lim
x0
sin( x x2
2 y) y2
y0
lim
x0
sin( x2 x2 y
y)
x2 y x2 y2
四、小结
多元函数的定义 多元函数极限的概念
（注意趋近方式的任意性）
多元函数连续的概念 闭区域上连续函数的性质
思考题
若点( x, y)沿着无数多条平面曲线趋向于 点( x0 , y0 )时，函数 f ( x, y)都趋向于 A，能否 断定 lim f ( x, y) A？
( x, y )( x0 , y0 )
7、函数z arcsin y 的定义域是_______________. x
8、函数z
y2 y2
2x 的间断点是________________. 2x
二、求下列各极限:
1、lim 2 xy 4 ；
x0
xy
y0
2、lim sin xy ； x0 x
y0
3、lim x0
1 (x
cos( x 2 y2
z f ( x, y)当 x x0， y y0时的极限， 记为 lim f ( x, y) A
x x0 y y0
（或 f ( x, y) A ( 0)这里 | PP0 |）.
说明：
•P0
（1）定义中 P P0 的方式是任意的；
多元函数微分学
2 2
问在(0,0)处，f(x, y)的偏导数是否存在？偏 Biblioteka 数是否连续？f(x, y)是否可微？
5.方向导数 , 定义5 设 z f ( x , y )在 点M 0 ( x0, y0 )的 某 邻 域 内 有 定 义
xy si n x y ) （ 证 明l i m 0. 2 2 x 0 x y y 0
si n ( ) xy 求lim x 0 y y 0
例2
例3
xy 2 lim 2 是否存在? 4 x 0 x y y0
xy l n (x 2 y 2 ) x 2 y 2 0, 研 究 函 数 ( x, y) f 0 x2 y2 0 在( 0,0)处 的 连 续 性 。
(2) z x 4 y 3 2 x
在1, 2处
( 34dx 12dy)
xy x2 y2 0 2 例9 设f ( x , y ) x y 2 x2 y2 0 0 求f x (0,0), f y (0,0), 并 讨 论 f ( x , y ) 在 (0,0) 处 的 可 微 性 .
在 点M 0沿 任 一 方 向的 方 向 导 数 都 存 在 ， 且 l
M0 M0
当 l 与grad f ( M 0 )同方向时，z在M 0的方向 导数取最大值，且最大 grad f ( M 0 )， 值 当 l 与grad f ( M 0 )反方向时，z在M 0的方向 导数取最小值，且最小 grad f ( M 0 ) 值
多元函数微分法
1. 多元函数的极限:
证明多元函数极限不存在
证明多元函数极限不存在在数学中，极限是一种非常重要的概念，它用于描述函数在某一点或某一区间内的变化趋势，是解决许多数学问题的基础。
多元函数极限则是指在多元函数中，当自变量趋近某一点或某一区间内时，函数值的变化趋势。
在本文中，我们将探讨多元函数极限不存在的情况。
首先，我们需要了解多元函数的定义。
多元函数是指有多个自变量的函数，它的一般形式为f(x1,x2,...,xn)，其中x1,x2, (x)是自变量，f是因变量。
在多元函数中，我们通常会遇到一些特殊的点，如极限点、奇异点和间断点等。
这些点对于多元函数的极限有着重要的影响。
在证明多元函数极限不存在时，我们需要先了解什么是单侧极限。
单侧极限是指函数在某一点的左侧或右侧的极限，它可以用来判断函数在该点是否存在极限。
若函数在该点的左侧和右侧的极限相等，则函数在该点存在极限；若函数在该点的左侧和右侧的极限不相等，则函数在该点不存在极限。
接下来，我们来看一个例子，证明多元函数极限不存在。
考虑函数f(x,y)=sin(xy)/(x^2+y^2)，我们需要证明当(x,y)趋近于(0,0)时，函数f(x,y)不存在极限。
首先，我们考虑当x=0时，f(x,y)的值为0。
当y=0时，f(x,y)的值不存在，因为分母为0。
因此，我们只需要考虑当x和y同时趋近于0时，函数f(x,y)的极限是否存在。
我们可以通过极坐标系来分析函数f(x,y)在(0,0)附近的变化趋势。
设x=r*cosθ，y=r*sinθ，则有：f(x,y)=sin(xy)/(x^2+y^2)=sin(r^2*cosθ*sinθ)/(r^2)=sin θ*cosθ当r趋近于0时，sinθ和cosθ的值均趋近于0或1，因此f(x,y)的值在(0,0)附近不收敛，不存在极限。
我们还可以通过单侧极限来证明多元函数极限不存在。
我们先考虑当y=mx时，即函数f(x,mx)=sin(mx^2)/(x^2+m^2*x^2)。
多元函数极限
例如
x y2 x3y3 1 cos(x2 y3 )
,
e x2 y2 z2 sin( x y z)
都是初等函数。
利用初等函数的连续性，可以来求极限。
求极限 lim f ( x, y)时，
( x, y)( x0 , y0 )
只要 ( x 0)2 ( y 0)2 2
即 ( x 0)2 ( y 0)2
取 , 则当 0 ( x 0)2 ( y 0)2 时，
就有
f (x, y) 0
按定义得： lim f ( x, y) 0
( x, y)(0,0)
注意：在二元函数的极限定义中
( x, y) ( x0, y0 ) 时 , f ( x, y)的极限是A
为函数 f(x,y) 的间断点.
例如函数
xy
f
(
x,
y)
x2
y2
0
x2 y2 0
，
x2 y2 0
其定义域 D R2 ，O(0,0)是D的聚点.
因为f(x,y)当(x, y) (0,0) 时的极限不存在， 所以点O(0,0)是该函数的一个间断点。
又如函数
f
(
x,
y)
sin
x2
1 y2
意味着：
沿任意路径
在D中当( x, y)
( x0, y0 ) 时，
都有 f ( x, y)
A
如果 在D中 当 ( x, y) 沿路径1 ( x0, y0)
f (x, y)
A1
当 ( x, y) 沿路径2 (x0, y0) A1 A2
f (x, y)
多元函数极限
多元函数极限多元函数极限是一种数学概念，它用来描述一个多元函数在一定极限点上的表现特征。
一个多元函数的极限是根据它的分量函数的极限来求得的，即当其自变量接近某一值时，函数值接近某一值。
换句话说，当自变量x趋近至某一值时，多元函数f(x)的极限存在。
多元函数极限的计算主要分为直接计算和迭代计算两种方法。
直接计算的方法是求多元函数极限的一般形式，即求多元函数的极限时，将多元函数的极限分解为原来的分量函数的极限，再将这些极限组合在一起，最终得出多元函数的极限值。
迭代计算的方法通过重复求分量函数的极限，最终得出多元函数的极限值。
多元函数极限的种类有很多，这些多元函数极限可以分为基本极限、指数极限、对数极限以及幂函数极限4类。
基本极限是指当函数中所有变量都趋近无穷时，函数值也趋近无穷。
指数极限是指当函数中某一变量值接近无穷时，函数值也趋近无穷。
对数极限是指当函数中一个变量值等于另一个变量的函数值的极限。
幂函数极限是指当函数中一个变量值接近另一个变量的函数值的极限，即当一个变量值很接近另一个变量值时，函数的极限存在。
多元函数极限的计算是一种复杂的任务，但只要掌握了正确的计算方法，就可以轻松计算出多元函数极限，而且这些极限技术也可以用来解决一些复杂的问题。
多元函数极限的应用涉及到信号处理、控制系统、函数反演等领域，也是多个科学领域的重要数学建模工具。
它的应用不仅有助于理解和研究一些复杂的系统，而且还有助于控制系统的设计。
它为科学家提供了一种理解自然界表现形式的强有力工具。
总之，多元函数极限为人们提供了一种理解自然界作用规律的理论和方法，并且在科学技术领域中有着广泛的应用前景。
求多元函数极限的方法
求多元函数极限的方法多元函数的极限是指当自变量趋于其中一点时，函数的取值趋近于其中一值或趋近于无穷大的特性。
下面将介绍几种求多元函数极限的方法。
1.代数方法：代数方法是通过对多元函数进行代数运算，得到与之等价但更容易求解极限的函数形式。
常见的代数方法有因式分解、有理化、换元等。
例如若要求多元函数lim(x,y)→(0,0) [(x^2 - y^2)/(x - y)]，其中(x,y)表示二维平面上的点，则可以进行因式分解，得到lim(x,y)→(0,0) [(x+y)(x-y)/(x-y)] = lim(x,y)→(0,0) (x+y) = lim(x,y)→(0,0) x + lim(x,y)→(0,0) y = 0+0=0，从而求得极限为0。
2.几何方法：几何方法是通过将多元函数表示为几何图形，通过观察几何图形的特征来求解极限。
常见的几何方法有夹逼定理、极坐标系等。
例如若要求多元函数lim(x,y)→(0,0) (x^2+y^2)/(x^2+y^2+1)，可以将多元函数表示为平面上的点(x,y)到点(0,0)的距离与x^2+y^2的比值。
由于距离必大于或等于0，而距离为0时，函数的取值为0，因此当x^2+y^2趋近于0时，函数取值必趋近于0。
3.极限运算法则：极限运算法则是多元函数的极限性质与一元函数极限性质之间的对应关系。
常见的极限运算法则有加法法则、乘法法则、除法法则、复合函数法则、反函数法则等。
通过应用极限运算法则，可以将复杂的多元函数极限化简为简单的一元函数极限。
例如若要求多元函数lim(x,y)→(a,b) [f(x,y)g(x,y)/h(x,y)]，其中f(x,y)，g(x,y)，h(x,y)为多元函数，可以将其化简为lim(x,y)→(a,b) f(x,y) * lim(x,y)→(a,b) g(x,y) /lim(x,y)→(a,b) h(x,y)，再根据一元函数的极限性质求解。
多元函数的极限
多元函数的极限是：
在某个点附近（就是邻域啦，一维是一维邻域，n维是n维邻域）的函数值无限逼近该点的函数值，一维和多维比价大一点的区别在于，1维趋于某点的方式只有两个（左和右），但多维可以以任何方式，趋于某点。
多元函数的性质：
在一元函数中，导数和微分是等价的，但是在多元函数中却不是这样。
为了更好的理解多元函数微分学，建议复习一下解析几何有关直线和平面的方程，通过数形结合的方式理解多元函数微分学。
推荐知乎马同学的系列文章，直观的理解多元函数微分学中的重要概念。
多元函数求极限
多元函数求极限多元函数求极限的方法直接代入：先代入看看是不是未定式！如果不是那就是答案略有理化：略有界函数x无穷小量=0略两个重要极限：略夹逼准则：多是夹为0。
有界函数放缩为固定值/常用不等式？去分母？例2.1：求极限: limx→0y→0sin(x2y+y4)x2+y2 .解：因为|sinx|⩽|x| ,因而有0≤|sin(x2y+y4)x2+y2|≤|x2y+y4x2+y2|≤x2x2+y2×|y|+y2x2+y2×y2≤|y|+y2→0例2.2：求极限limx→+∞y→+∞(xyx2+y2)x2解：注意到：0≤xyx2+y2≤12(x2+y2)x2+y2=12所以：0≤(xyx2+y2)x2≤(12)x2→0由夹逼准则知极限为0例2.3：（中科院，2016）求极限limx→∞y→∞x+yx2−xy+y2解：法I. 由于|x+yx2−xy+y2|≤|1y+1x||xy−1+yx|≤|1y+1x||xy+yx|−1≤|1y+1x|→0故由夹逼准则知极限为0法II. 由于|x+yx2−xy+y2|≤2|x+y|x2+y2≤2|x|+|y|x2+y2≤2(1|x|+1|y|)→0故由夹逼准则知极限为0法III. 注意到x2+y2−xy≥2xy−xy=xy由于|x+yx2−xy+y2|≤|x+yxy|≤(1|y|+1|x|)→0极坐标：，，x2+y2，x3+y3，x4+y4...都可以考虑极坐标例2.4：求极限lim(x,y)→(0,0)x3+y3x2+y2解：令x=ρcosθ , y=ρsinθ , 则极坐标有界无穷小量lim(x,y)→(0,0)x3+y3x2+y2=极坐标limρ→0ρ3(cos3θ+sin3θ)ρ2=limρ→0ρ(cos3θ+sin3θ)⏟有界×无穷小量=0=0整体替换化为一元函数：可以分拆，可以整体代换的重极限可以尝试。
当变成一元函数那方法就多了，如：等价，洛必达，泰勒...... 例2.5：求极限: limx→+∞y→+∞(x2+y2)e−(x+y) .解：由于0<(x2+y2)ex+y=x2ex+y+y2ex+y≤x2ex+y2ey而洛必达洛必达limx→+∞x2ex=洛必达limx→+∞2xex=洛必达limx→+∞2ex=0洛必达洛必达limy→+∞y2ey=洛必达limy→+∞2yey=洛必达limy→+∞2ey=0故由夹逼准则知limx→+∞y→+∞(x2+y2)e−(x+y)=0注意：多元函数洛必达教材没有，不可用！例2.6：求极限lim(x,y)→(0,0)x2ln(x2+y2)=0解：因为lim(x,y)→(0,0)x2ln(x2+y2)=lim(x,y)→(0,0)x2x2+y2(x2+y2)ln(x2+y2)令x2+y2=t则t→0+那么lim(x,y)→(0,0)(x2+y2)ln(x2+y2)=limt→0+tlnt=limt→0+lnt1/t=limt →0+1/t−1/t2=0所以lim(x,y)→(0,0)x2ln(x2+y2)=0例2.7：求极限lim(x,y)→(0,0)xln(x2+y2)解：因为limx→0y→0xln(x2+y2)=2limx→0y→0xx2+y2x2+y2lnx2+y2令x2+y2=t则t→0+那么lim(x,y)→(0,0)x2+y2lnx2+y2=limt→0+tlnt=limt→0+lnt1/t=limt→0+1/t−1/t2=0所以lim(x,y)→(0,0)xln(x2+y2)=0例2.8：求极限lim(x,y)→(0,0)x2+y2−sinx2+y2(x2+y2)3/2解：lim(x,y)→(0,0)x2+y2−sinx2+y2(x2+y2)3/2=x2+y2=ρlimρ→0ρ−sinρρ3=limρ→0ρ−(ρ−16ρ3+o(ρ3))ρ3=16。
多元函数求极限
上次有同学问我多元函数要怎么求极限。
因为每天太忙了，每及时回答。
今天抽出时间来说一下吧。
不扯那么多虚的。
就一个原则：除了洛必达法则，基本上一元函数能用的求极限的方法几乎都能在多元函数上使用。
所以把握住这个原则，多元函数的极限也没有想象的那么神秘。
我们以二元函数的极限为例，举一些例子作为说明吧。
=========例1 使用了无穷小替换()222222220000sin lim lim 1x x y y x y x y x y x y →→→→++==++ ========= 例2 二元初等函数在定义域连续，所以极限同样可以直接代入()221022lim ln2ln 3x y x y x y →→+=-- =========例3 同样也可以分子分母有理化(00000002lim lim24x x y y x x y y xy xy xy →→→→→→→→=+==+=- =========例4 同样也可以使用两个重要极限2lim 11lim 1lim 1x y a x x x x y x y x x y a y a x x y x x e e→∞→++→∞→∞→→+⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦===========例5 同样也能够使用夹逼准则讨论函数()22222220,00x y x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩在（0,0）处的连续性解：先求极限()2220,00,0lim ,lim x y x y x y f x y x y→→→→=+ 因为()222220001x y y y y x x y y≤=≤→→++ 所以由夹逼准则知道()()2220,00,0lim ,lim 00,0x y x y x y f x y f x y →→→→===+ 因此连续=========所以我们看到多元函数的极限其实没有那么神秘，本质跟一元函数求极限一样。
所以求极限最核心的还是要对一元函数求极限的方法掌握好，这样子才能举一反三套用到多元函数中。
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由定义，对 ∀ε > 0, ∃δ1 > 0, 当 P( x, y) ∈U 0 (P0 , δ1 ) 时，有
| f ( x, y) − A |< ε .
(*)
取 δ * = min( δ , δ 1 ), 由条件，对 ∀x∈U 0 ( x0 , δ * ), 存在极限
ϕ ( x ) = lim f ( x , y ) .
6
解
当(x,y)沿抛物线x=ky2趋于点(0,0)时,
k 4 y 12 f(x,y)=f(ky2,y) = (k 2 y 4 + y 4 ) 3 k4 k4 = 2 3 → ( k + 1) ( k 2 + 1) 3
( x , y ) → ( 0 ,0 )
1 16 , 当 k=1和k=2时，上式的值分别是 和 8 125
21
x2 − y2 f ( x , y ) = xy 2 x + y2
22
y
y=x2 f=1
O x
f=0
23
x 4y4 f ( x , y) = 2 的等值图. 4 3 (x + y )
24
而且进一步存在极限
L = lim ϕ ( y ),
y→ y0 y∈ E y
则称此极限L为二元函数 f 先对x(→x0)后对 先对 后对y(→ y0)的累次 后对 极限，并记作
L = lim lim f ( x , y )
y→ y0 x→ x0 y∈ E y x ∈ E x
9
重极限存在与累次极限存在之间有什么关系？
( x , y )→ (0,0 )
图像
证明：
证
lim
f ( x, y ) = 0
作极坐标变换 x= rcosθ , y= rsinθ . 由于
x2 − y2 | f ( x , y ) − 0 | = xy 2 x + y2 1 2 = r | sin 4 θ | ≤ 1 r 2 4 4
因此，对 ∀ε > 0, 取 δ ＝ 2 ε , 当 0 < r < δ 时 , 不论θ 取 什么值都有| f(x,y)-0|< ε,
多元函数的极限与连续
重极限与累次极限
浙江师范大学数学系
1
二元函数极限的定义
P → P0 P∈D
lim f ( P) = A ⇔ ∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀P ∈U 0 ( P0 , δ ) ∩ D 有 | f ( P) − A |< ε .
2
例1 讨论函数
1, 当 0 < y < x 2 , −∞ < x < +∞ 时， f (x, y) = 0，其余部分 . 等值图 当 ( x, y ) → (0,0) 时的极限.
y→ y0
0 * 在(*)式中令y→y0, 则当 x∈U ( x0 , δ ), 时,
| ϕ( x) − A |< ε .
这就说明了
x→ x0 y→ y0
lim lim f ( x , y ) = lim ϕ ( x ) =A.
x→ x0
16
定理16.6 定理16.6
若 f(x,y)在点(x0,y0)存在重极限
x →0 y →0
y →0 x →0
此时，两个累次极限存在且相等，但重极限不存在.
12
例5 讨论函数
1 1 f ( x , y ) = x sin + y sin , y x
在点(0,0)的重极限和累次极限. 解
函数图像
1 1 + y sin ) 不存在 , 当y≠0时， lim0 ( x sin x→ y x
即
( x , y )→ ( 0,0 )
lim
f ( x, y ) = 0.
4
例3 讨论函数
x y f (x, y) = (x 2 + y 4 )3
当 ( x, y) → (0,0) 时的极限.
4
4
函数图像 等值图
分析： 作极坐标变换 x = rcosθ ,y = rsinθ ( 0 < θ < 2π ), 则有
y→ y0
lim f ( x , y ),
f (x, y)
y→ y0 x→ x
lim
lim f ( x , y )
0
和重极限
( x ,y )→ ( x 0 ,y 0 )
lim
都存在，则三者相等. 推论2 推论2 若累次极限
x→ x
lim
0
y→ y0
lim f ( x , y ) 与 lim
( x , y )→ ( x 0 ,y 0 )
因此，
( x ,y )→ (0 ,0 )
lim
f ( x , y ) 不存在 .
7
注： (ⅰ) 求二元函数极限的一般思路是转化为 一元函数的极限来处理. (ⅱ) 极坐标变换是转化为一元函数极限的常用方法之一， 但要注意的是：极限 lim+ f ( r cos θ , r sin θ ) = A
r→0
5
下面我们对例2和例3中的过程作一个比较. 对例2，用 “ε − δ ” 语言表示为：
对∀ε > 0, ∃δ > 0,当0 < r < δ时,
|f(rcosθ,rsinθ)|<ε
∀θ ∈[0,2π ), 恒有
对例3，用 “ε − δ ” 语言可表示为： 对∀θ ∈[0,2π ), 对∀ε > 0, ∃δ > 0, 当0 < r < δ时, |f(rcosθ,rsinθ)|<ε
1 1 + y sin ) 也不存在 . 同样，当x≠0时 lim0 ( x sin y→ y x
但由于
1 1 x sin + y sin ≤ | x | + | y |, y x
1 1 + y sin ) = 0 . 因此， lim ( x sin ( x ,y )→ (0,0 ) y x
13
重极限与累次极限的关系分析图
y0 (x0,y0)
0
0
x0
10
例4 求函数
sin xy , xy ≠ 0 f ( x , y ) = xy 1, xy = 0
在点(0,0)的重极限和累次极限. O
y
x
( x , y )→( 0, 0 )
lim
f ( x, y ) = lim lim f ( x, y ) = lim lim f ( x, y ) = 1.
必须关于θ 一致成立 关于θ 一致成立. 关于
8
二、累次极限
定义3 定义3 设Ex, Ey ⊆ R, x0是Ex的聚点, y0是Ey的聚点,
二元函数 f 在集合D＝Ex× Ey 上有定义. 若对 y ∈ E y , y ≠ y0 , 存在极限
ϕ ( y ) = lim f ( x , y ),
x→ x0 x∈E x
与
x − y + x2 + y2 y2 − y lim lim = lim = -1 y→ 0 x→ 0 y→ 0 x + y y
因此，根据上面的推论2，重极限
( x ,y )→ ( 0 ,0 )
lim
x − y + x2 + y2 x+ y
20
不存在.
作业：
P129 2(2)(3)(5)(7),6,8
sin 4 θ cos 4 θ f(x,y)=f(rcosθ,rsinθ) = r 2 θ θ (cos 2 θ + r 2 sin 4 θ ) 3
当 θ =0, π/2, π,3π/2 时，上式的值为0；
当 θ 取任一给定的且不等于kπ/2(k=0,1,2,3)的值时， 总有： sin 4 θ cos 4 θ lim+ r 2 =0 2 2 4 3 r→ 0 (cos θ + r sin θ )
y0
0
x0
14
定y)在点(x0,y0)存在重极限
( x ,y )→ ( x 0 ,y 0 )
lim
f (x, y)
且存在δ>0, 对任意 x ∈U0(x0; δ),存在极限
ϕ ( x ) = lim f ( x , y ) .
y→ y0
则累次极限
x→ x0 y→ y0
x →0 y →0
y →0 x →0
11
若将函数定义修改为
sin xy , xy ≠ 0 f ( x , y ) = xy 0, xy = 0
则有:
( x , y )→( 0, 0 )
y
O
x
lim
f ( x, y )不存在，
但仍然有
lim lim f ( x, y ) = lim lim f ( x, y ) = 1.
解 当点(x,y)沿任何直线趋于原点时， 总有 f ( x, y) → 0,
但是，当点(x,y)沿抛物线 y=k x2(0<k<1)趋于点(0,0)时， 有 f ( x, y) →1. 所以
( x ,y )→ (0,0 )
lim
f ( x , y ) 不存在 .
3
例2 设
x2 − y2 , ( x , y ) ≠ ( 0 ,0 ) xy 2 2 f ( x, y ) = x + y 0, ( x , y ) = ( 0 ,0 )
lim lim f ( x , y )
也存在，且
x → x0 y → y0
lim lim f ( x , y ) =
( x , y )→ ( x0 , y0 )
lim
f ( x, y )