高中数学第一讲不等式和绝对值不等式1.2绝对值不等式第1课时课后训练新人教A版选修4_5
高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 1.1.2 基本不等式课时提升作业(含解析)新人教A版选修4
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基本不等式课时提升作业一、选择题（每小题6分,共18分)1.(2016·泰安高二检测)若关于x的方程9x+(4+a)·3x+4=0有解，则实数a的取值范围是（）A.(—∞,—8］∪［0，+∞）B。
（-∞，-4）C。
[—8，4）D.(-∞，-8］【解析】选D.由方程9x+（4+a）·3x+4=0有解,即a+4=—≤—4，所以a≤—8。
2.下列不等式的证明过程正确的是( )A。
若a,b∈R,则+≥2=2B。
若x〉0,则cosx+≥2=2C.若x〈0，则x+≤2=4D。
若a,b∈R，且ab<0,则+=-[+］≤-2=—2【解析】选D。
A,B,C中在应用基本不等式时忽视了前提“正数”，故均错误。
3。
(2015·福建高考)若直线+=1(a>0,b〉0）过点（1，1）,则a+b的最小值等于（）A.2B.3C.4 D。
5【解题指南】利用基本不等式及“1”的代换求解.【解析】选C。
因为直线过点(1，1）,所以+=1,所以a+b=(a+b）=1+1++=2++,因为a>0,b>0，所以2++≥2+2=4，当且仅当“a=b=2”时等号成立。
高中数学第一讲不等式和绝对值不等式1.2绝对值不等式1.2.2绝对值不等式的解法课堂导学案新人教A版
1.2.2 绝对值不等式的解法课堂导学三点剖析一、绝对值不等式的典型类型和方法(一) 【例1】 解下列不等式: (1)1<|x+2|<5; (2)|3-x|+|x+4|>8.解析：(1)法一:原不等式⇔⎩⎨⎧<<--<->⇔⎩⎨⎧<+<->+⇔⎩⎨⎧<+>+.37,31525125|2|1|2|x x x x x x x 或 故原不等式的解集为{x|-1<x<3或-7<x<-3}. 法二:原不等式⎩⎨⎧<--<<+⎩⎨⎧<+<≥+⇔521,02521,02x x x x 或, ⇔⎩⎨⎧-<<--<⎩⎨⎧<<--≥⇔37,231,2x x x x 或-1<x<3或-7<x<-3.∴原不等式的解集为{x|-1<x<3或-7<x<3}. (2)法一:原不等式⎩⎨⎧>++-<<-⎩⎨⎧>---≤⇔,843,34843,4x x x x x x或 ⎩⎨⎧>≥⎩⎨⎧><<-⎩⎨⎧>---≤⇔⎩⎨⎧>++-≥.72,387,34821,4843,3x x x x x x x x 或或或 ∴x>27或x<29-. ∴原不等式的解集为{x|x<29-或x>27}.法二:将原不等式转化为|x-3|+|x+4|-8>0,构造函数y=|x-3|+|x+4|-8,即y=⎪⎩⎪⎨⎧≥-<<---≤--.3,72,34,1,492x x x x作出函数的图象如图.从图象可知当x>27或x<29-时,y>0,故原不等式的解集为{x|x>27或x<29-}. 温馨提示在本例中主要利用了绝对值的概念,|x|<a(或|x|>a)的解集以及数形结合的方法,这些方法都是解绝对值不等式的典型方法. 各个击破 类题演练1 解下列不等式:(1)|432-x x|≤1; (2)|x+3|-|2x-1|>2x+1.解析:(1)原不等式⎩⎨⎧≥+-±≠⇔⎪⎩⎪⎨⎧-≤≠-⇔016172)4(904242222x x x x x x ⇔⎩⎨⎧≥≤±≠⇔161222x x x 或-1≤x≤1或x≤-4或x≥4. 故原不等式的解集为{x|-1≤x≤1或x≤-4或x≥4}. (2)由x+3=0,得x 1=-3, 由2x-1=0,得x 2=21. ①当x<-3时,不等式化为x-4>2x+1,解得x>10,而x<-3,故此时无解; ②当-3≤x<21时,不等式化为3x+2>2x +1,解得x>52-,这时不等式的解为52-<x<21;③当x≥21时,不等式化为-x+4>2x +1,即x<2,这时不等式的解为21≤x<2.综合上述,原不等式的解集为{x|52-<x<2}.变式提升1(1)解不等式|x 2-5x+5|<1.解析:不等式可化为-1<x 2-5x+5<1,即⎪⎩⎪⎨⎧->+-<+-.155,15522x x x x 解之,得1<x<2或3<x<4.所以原不等式的解集为{x|1<x<2或3<x<4}.(2)求使不等式|x-4|+|x-3|<a 有解的a 的取值范围. 解法一:将数轴分为(-∞,3),［3,4］,(4,+∞)三个区间. 当x<3时,得(4-x)+(3-x)<a,x>27a -有解条件为27a-<3,即a>1; 当3≤x≤4,得(4-x)+(x-3)<a,即a>1; 当x>4时,得(x-4)+(x-3)<a,则x<27+a有解条件为27+a >4.∴a>1. 以上三种情况中任何一个均可满足题目要求,故是它们的并集,即仍为a>1.解法二:设数x 、3、4在数轴上对应的点分别为P 、A 、B,由绝对值的几何意义,原不等式即求|PA|+|PB|<a 成立.因为|AB|=1,故数轴上任一点到A 、B 距离之和大于(等于)1,即|x-4|+|x-3|≥1,故当a>1时,|x-4|+|x-3|<a 有解.另外,本题还可利用绝对值不等式性质求函数的最值方法处理: ∵|x -4|+|x-3|=|x-4|+|3-x| ≥|x -4+3-x|=1,∴a 的取值范围是a>1.二、绝对值不等式的典型类型和方法(二)【例2】 解不等式|x 2-9|≤x+3.解析：方法一:原不等式⎪⎩⎪⎨⎧+≤-≥-⇔39,0922x x x ⎪⎩⎪⎨⎧+≤-≥-39,0922x x x 或 由①得x=-3或3≤x≤4,由②得2≤x<3,∴原不等式解集是{x|2≤x≤4或x=-3}.方法二:原不等式⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--≤-≥⇔⎩⎨⎧+≤-≤+-≥+⇔433339)3(032x x x x x x x x ⇔或2≤x≤4. ∴原不等式的解集为{x|x=-3或2≤x≤4}. 温馨提示对于|f(x)|≤g(x)型的不等式,通常有两种思路,一种是利用绝对值的意义,将其转化为f(x)≥0,⎩⎨⎧≤-<⎩⎨⎧≤≥).()(,0)()()(,0)(x g x f x f x g x f x f 或 另一种则是转化为⎩⎨⎧≤≤-≥)()()(,0)(x g x f x g x g 来求.当然也可直接转化为-g(x)≤f(x)≤g(x)来解(为什么?请同学们思考).类题演练2解不等式|2x-1|>3x.解析:①当x<0时,原不等式显然成立;②当x≥0时,两端平方,得(2x-1)2>9x 2,即5x 2+4x-1<0,解之,得-1<x<51, ∴0≤x<51. 由①②知原不等式的解集为{x|x<51}. 变式提升2(1)解不等式|x 2-3x+2|>x 2-3|x|+2.解析:在同一坐标系内分别画出函数y=|x 2-3x+2|和y=x 2-3|x|+2=|x|2-3|x|+2的图象(如图所示).由图可知,原不等式的解集为{x|x<0或1<x<2}. (2)解不等式|x+1|(x-1)≥0. 解析:1° x+1=0,适合不等式;2° x+1≠0,则|x+1|>0,故原不等式等价于x-1≥0,∴x≥1,显然x+1≠0. ∴原不等式的解集为{x|x≥1或x=-1}. 三、绝对值不等式的证明【例3】 设f(x)=ax 2+bx+c,当|x|≤1时,总有|f(x)|≤1,求证:当|x|≤2时,|f(x)|≤7. 证明:由于f(x)是二次函数,|f(x)|在［-2,2］上的最大值只能是|f(2)|,|f(-2)|或|f(ab2-)|,故只要证明|f(2)|≤7,|f(-2)|≤7;当|a b 2-|≤2时,有|f(ab 2-)|≤7. 由题意有|f(0)|≤1,|f(-1)|≤1,|f(1)|≤1.由⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=--=--+=⎪⎩⎪⎨⎧+-=-++==).0()],1()1([21)],0(2)1()1([21,)1(,)1(,)0(f c f f b f f f a c b a f c b a f c f 得∴|f(2)|=|4a+2b+c|=|3f(1)+f(-1)-3f(0)|≤3|f(1)|+|f(-1)|+3|f(0)|≤3+1+3=7, |f(-2)|=|4a-2b+c|=|f(1)+3f(-1)-3f(0)|≤|f(1)|+3|f(-1)|+3|f(0)|≤1+3+3=7. ∵|b|=21|f(1)-f(-1)|≤21(|f(1)|+|f(-1)|)≤21(1+1)=1, ∴当|ab2-|≤2时,|f(a b 2-)|=|a b ac 442-|=|c ab 42-|=|c a b 2-·2b |≤|c|+|a b 2|·2||b ≤1+2×21=2<7.因此当|x|≤2时,|f(x)|≤7.类题演练3已知f(x)=x 2+ax+b(x 、a 、b∈R ,a 、b 是常数),求证:|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于21. 证明:假设|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|全都小于21,即有|f(1)|<21,|f(2)|<21,|f(3)|<21.于是|f(1)+f(3)-2f(2)|≤|f(1)|+|f(3)|+2|f(2)|<21+21+2×21=2. 又f(1)+f(3)-2f(2)=2,二者产生矛盾,故|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于21. 变式提升3已知函数f(x)=ax+b,满足|x|≤1,a 2+b 2=1,求证:|f(x)|≤2.证法一:|f(x)|≤2⇔2-≤f(x)≤2⇔f(x)min ≥2-且f(x)max ≤2.若a>0,则f(x)max =f(1)=a+b≤2)(222=+b a ,f(x)min =f(-1)=-a+b≥2])[(222-=+--b a .若a=0,则f(x)=b 且b 2=1, ∴|f(x)|≤2.若a<0,则f(x)max =f(-1)=-a+b≤2)(222=+b a ,f(x)min =f(1)=a+b≥2)(222-=+-b a .综上,知不等式成立. 证法二:|f(x)|2-(2)2=(ax+b)2-2(a 2+b 2)=a 2x 2+b 2+2abx-2(a 2+b 2)≤a 2+b 2+2abx-2(a 2+b 2)=2abx-a 2-b 2≤2abx -a 2x 2-b 2=-(ax-b)2≤0, ∴|f(x)|≤2.。
高中数学第一讲不等式和绝对值不等式1.1.2基本不等式练习(含解析)新人教A版选修4_5
2.基本不等式一、选择题1.若a,b,c都是正数,且a(a+b+c)+bc=4-2,则2a+b+c的最小值为( )A.-1B.+1C.2+2D.2-2解析:∵a(a+b+c)+bc=4-2,∴(a+b)(a+c)=4-2,∵a,b,c>0,∴(a+c)(a+b)≤,当且仅当a+c=a+b,即b=c时,等号成立.∴2a+b+c≥2=2(-1)=2-2.答案:D2.下列结论中不正确的是( )A.a>0时,a+≥2B.≥2C.a2+b2≥2abD.a2+b2≥解析:选项A、C显然正确;选项D中,2(a2+b2)-(a+b)2=a2+b2-2ab≥0,∴a2+b2≥成立;而选项B中,≥2不成立,因为若ab<0,则不满足基本不等式成立的条件.答案:B3.函数y=3x2+的最小值是( )A.3-3B.-3C.6D.6-3解析:y=3x2+=3x2+3+-3,∵3x2+3>0,>0,∴y≥2-3=6-3,当且仅当3x2+3=时,y取得最小值6-3.答案:D4.设x,y∈R,且x+y=5,则3x+3y的最小值是( )A.10B.6C.4D.18解析:3x+3y≥2=2=2=18.答案:D5.若x,y>0,且x+2y=3,则的最小值是( )A.2B.C.1+D.3+2解析:=1+,当且仅当时,等号成立,取得最小值1+.答案:C二、非选择题6.若a>3,则+a的最小值为.解析:由基本不等式,得+a=+a-3+3≥2+3=2+3=7,当且仅当=a-3,即a=5(a=1舍去)时,等号成立.答案:77.若正数a,b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围是.解析:令=t(t>0),由ab=a+b+3≥2+3,得t2≥2t+3,∴t≥3或t≤-1(舍去).∴≥3.∴ab≥9,当a=b=3时,等号成立.答案:[9,+∞)8.函数y=log a(x+3)-1(a>0,a≠1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny+1=0上,其中mn>0,则的最小值为.解析:函数y=log a(x+3)-1的图象恒过定点A(-2,-1),∵点A在直线mx+ny+1=0上,∴-2m-n+1=0,即2m+n=1,则×(2m+n)==2++4·+2≥4+2=4+4=8,当且仅当m=,n=时取等号.答案:89.求函数y=(x≥0)的最小值.解:原式变形,得y==x+2++1.因为x≥0,所以x+2>0.所以x+2+≥6,所以y≥7,当且仅当x=1时,等号成立.所以函数y=(x≥0)的最小值为7.10. 若a>0,b>0,且.(1)求a3+b3的最小值;(2)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并说明理由.解:(1)由,得ab≥2,且当a=b=时等号成立.故a3+b3≥2≥4,且当a=b=时等号成立.所以a3+b3的最小值为4.(2)由(1)知,2a+3b≥2≥4.由于4>6,从而不存在a,b,使得2a+3b=6.11.如图,为处理含有某种杂质的污水,要制造一个底宽为2 m的无盖长方体沉淀箱,污水从A 孔流入,经沉淀后从B孔流出,设箱体的长度为a m,高度为b m,已知流出的水中该杂质的质量分数与a,b的乘积ab成反比,现有制箱材料60 m2,问当a,b各为多少时,沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小?(A,B孔的面积忽略不计)解:设y为流出的水中该杂质的质量分数,则y=,k>0,k为比例系数,依题意,即求a,b的值,使y最小.依题设,有4b+2ab+2a=60(a>0,b>0),所以b=(0<a<30).①于是y====≥=.当a+2=时,等号成立,y取最小值.这时a=6,a=-10(舍去),将a=6代入①,得b=3.故当a为6,b为3时,沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小.三、备选习题1.已知a>2,试判断log a(a-1)·log a(a+1)与1的大小关系.解:∵a>2,∴log a(a-1)>0,log a(a+1)>0,且log a(a-1)≠log a(a+1),∴log a(a-1)·log a(a+1)<==1,∴当a>2时,log a(a-1)·log a(a+1)<1.2.一艘船由甲地逆水匀速行驶到乙地,甲乙两地相距s(千米),水速为常量p(千米/时),船在静水中的最大速度为q(千米/时),且p<q.已知船每小时的燃料费用(元)与船在静水中速度v(千米/时)的平方成正比,比例系数为k.(1)把全程燃料费用y(元)表示为静水中的速度v(千米/时)的函数,并指出其定义域;(2)为了使全程燃料费用最小,船的实际前进速度应为多少?解:(1)由于船每小时航行的燃料费用是kv2,全程航行时间为,于是全程燃料费用y=kv2·,故所求函数是y=ks·(p<v≤q),定义域是(p,q].(2)y=ks·=ks=ks·≥ks=4ksp.其中取“=”的充要条件是v-p=,即v=2p.①当v=2p∈(p,q],即2p≤q时y min=f(2p)=4ksp.②当v=2p∉(p,q],即2p>q.任取v1,v2∈(p,q],且v1<v2,则y1-y2=ks=·[p2-(v1-p)(v2-p)],而p2-(v1-p)(v2-p)>p2-(q-p)(q-p)=q(2p-q)>0,∴y1-y2>0.故函数y在区间(p,q]内单调递减,此时y(v)≥y(q),即y min=y(q)=ks.此时,船的前进速度等于q-p.故为使全程燃料费用最小,当2p≤q时,船的实际前进速度应为2p-p=p(千米/时);当2p>q 时,船的实际前进速度为q-p(千米/时).。
高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 1.2.1 绝对值三角不等式练习(含解析)新人教A版选修4-
1.绝对值三角不等式基础巩固1已知|a-b|=1,b=(3,4),则|a|的取值范围是()A.[3,4]B.[4,5]C.[4,6]D.[3,6]||a-b|-|b||≤|a|=|a-b+b|≤|a-b|+|b|,∴4≤|a|≤6.2已知ab>0,有如下四个不等式:①|a+b|>|a|;②|a+b|<|b|;③|a+b|<|a-b|;④|a+b|>|a|-|b|.其中正确的是()A.①和②B.①和③C.①和④D.②和④ab>0,∴a,b同号.∴|a+b|=|a|+|b|.∴①④正确.3已知实数a,b满足ab<0,则下列不等式成立的是() A.|a+b|>|a-b| B.|a+b|<|a-b|C.|a-b|<||a|-|b||D.|a-b|<|a|+|b|4已知|x-m|<ξ2,|ξ−ξ|<ξ2,则|4ξ+2ξ−4ξ−2ξ|小于()A.ξB.2ξC.3ξD.ξ25若不等式|x-2|+|x+3|<a的解集为⌀,则a的取值范围为() A.(5,+∞) B.[5,+∞)C.(-∞,5)D.(-∞,5]6已知|ξξ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=8,|ξξ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=5,则|ξξ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的取值范围是.ξξ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =ξξ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −ξξ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,又|ξξ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |−|ξξ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |≤|ξξ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −ξξ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |≤|ξξ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+|ξξ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,所以3≤|ξξ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |≤13.7x,y∈R,若|x|+|y|+|x-1|+|y-1|≤2,则x+y的取值范围为.8不等式|ξ+ξ||ξ|-|ξ|≥1成立的充要条件是.⇔|ξ+ξ|-(|ξ|-|ξ|)|ξ|-|ξ|≥0.∵|a+b|≥|a|-|b|,∴|a+b|-(|a|-|b|)≥0.∴|a|-|b|>0,即|a|>|b|.9设|a|≤1,函数f(x)=ax2+x-a(-1≤x≤1),证明：|f(x)|≤54.(x)|=|a(x2-1)+x|≤|a(x2-1)|+|x|≤|x2-1|+|x|=1-x2+|x|=−(|ξ|-12)2+54≤54,即|f(x)|≤54.10已知f(x)=ax2+bx+c,且当|x|≤1时,|f(x)|≤1,求证:(1)|c|≤1;(2)|b|≤1.由|f(0)|≤1,得|c|≤1.(2)由|f(1)|≤1,得|a+b+c|≤1,由|f(-1)|≤1,得|a-b+c|≤1,故|b|=|ξ+ξ+ξ+(-ξ+ξ-ξ)|2≤12(|ξ+ξ+ξ|+|ξ−ξ+ξ|)≤1.能力提升1已知x 为实数,且|x-5|+|x-3|<m 有解,则m 的取值范围是( )A.m>1B.m ≥1C.m>2D.m ≥2|x-5|+|x-3|≥|x-5+3-x|=2, ∴|x-5|+|x-3|的最小值为2. ∴要使|x-5|+|x-3|<m 有解,则m>2.2已知h>0,a ,b ∈R ,命题甲:|a-b|<2h ;命题乙:|a-1|<h ,且|b-1|<h ,则甲是乙的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件a 与b 的距离可以很近,满足|a-b|<2h ,但此时a ,b 与1的距离可以很大,因此甲不能推出乙;若|a-1|<h ,|b-1|<h ,则|a-b|=|a-1+1-b|≤|a-1|+|b-1|<2h ,故乙可以推出甲.因此甲是乙的必要不充分条件.3已知|a|≠|b|,m =|ξ|-|ξ||ξ-ξ|,ξ=|ξ|+|ξ||ξ+ξ|,则ξ,ξ之间的大小关系是( )A.m>nB.m<nC.m=nD.m ≤n,知|a|-|b|≤|a ±b|≤|a|+|b|,则|ξ|-|ξ||ξ-ξ|≤1≤|ξ|+|ξ||ξ+ξ|.4设|a|<1,|b|<1,则|a+b|+|a-b|与2的大小关系是( ) A.|a+b|+|a-b|>2 B.|a+b|+|a-b|<2 C.|a+b|+|a-b|=2 D.不能比较大小(a+b )(a-b )≥0时,|a+b|+|a-b|=|(a+b )+(a-b )|=2|a|<2, 当(a+b )(a-b )<0时,|a+b|+|a-b|=|(a+b )-(a-b )|=2|b|<2.综上可知,|a+b|+|a-b|<2.5下列不等式恒成立的个数是()①x+1ξ≥2(x≠0);②ξξ<ξξ(ξ>ξ>ξ>0);③ξ+ξξ+ξ>ξξ(ξ,ξ,ξ>0,ξ<ξ);④|a+b|+|b-a|≥2a.A.4B.3C.2D.1,当x<0时不等式不成立;②成立,a>b>c>0⇒ξξξ>ξξξ即1ξ>1ξ,又由于c>0,故有ξξ>ξξ;③成立,因为ξ+ξξ+ξ−ξξ=(ξ-ξ)ξξ(ξ+ξ)>0(ξ,ξ,ξ>0,ξ<ξ),所以ξ+ξξ+ξ>ξξ;④成立,由绝对值不等式的性质可知|a+b|+|b-a|≥|(a+b)-(b-a)|=|2a|≥2a,故选B.6已知函数f(x)=|x-3|-|x-a|.若存在实数x,使得不等式f(x)≥a成立,则实数a的取值范围为.-∞,32]7函数y=|x-4|+|x-6|的最小值为.4|+|x-6|≥|x-4+6-x|=2,当且仅当4≤x≤6时,等号成立.★8下列四个不等式:①log x10+lg x≥2(x>1);②|a-b|<|a|+|b|;③|ξξ+ξξ|≥2(ab≠0);④|x-1|+|x-2|≥1.其中恒成立的是(只填序号).x>1,∴log x10+lg x=1lgξ+lg x≥2,①正确;当ab ≤0时,|a-b|=|a|+|b|,②不正确; ∵ab ≠0,ξξ与ξξ同号,∴|ξξ+ξξ|=|ξξ|+|ξξ|≥2,③正确; 由|x-1|+|x-2|的几何意义知|x-1|+|x-2|≥1恒成立,④也正确;综上可知,①③④正确.★9对定义在区间[-1,1]上的函数f (x ),若存在常数A>0,使得对任意x 1,x 2∈[-1,1],都有|f (x 1)-f (x 2)|≤A|x 1-x 2|,则称f (x )具有性质L .问函数f (x )=x 2+3x+5与g (x )=√|ξ|是否具有性质L ?试证明.f (x )具有性质L,函数g (x )不具有性质L . 证明如下:(1)对于函数f (x )=x 2+3x+5,任取x 1,x 2∈[-1,1],|f (x 1)-f (x 2)|=|ξ12−ξ22+3(ξ1−ξ2)|=|(x 1-x 2)(x 1+x 2+3)| =|x 1-x 2||x 1+x 2+3|≤|x 1-x 2|(|x 1|+|x 2|+3)≤5|x 1-x 2|. 故存在A=5,使f (x )具有性质L . (2)对于函数g (x )=√|ξ|,设它具有性质L,任取x 1,x 2∈[-1,1],当x 1,x 2不同时为0时, 则|g (x 1)-g (x 2)|=|√|ξ1|−√|ξ2||=√|ξ12≤√|ξ12≤A|x 1-x 2|,得A ≥√|ξ121ξ≤√|ξ1|+√|ξ2|≤2.得1ξ∈(0,2]. 取x 1=14ξ2≤1,x 2=116ξ2≤14,有√|ξ1|+√|ξ2|=12ξ+14ξ=34ξ<1ξ, 与√|ξ1|+√|ξ2|≥1ξ矛盾, 故函数g (x )=√|ξ|不具有性质L .。
高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 1.2.2 绝对值不等式的解法练习(含解析)新人教A版选修4
2.绝对值不等式的解法基础巩固1不等式|4-x|≥1的解集为() A.{x|3≤x ≤5} B.{x|x ≤3或x ≥5} C.{x|-4≤x ≤4} D.R2不等式|x +1x -1|<1的解集为( ) A.{x|0<x<1}∪{x|x>1} B.{x|0<x<1} C.{x|-1<x<0} D.{x|x<0}|x +1x -1|<1⇔-1<x +1x -1<1 ⇔{x +1x -1>-1,x +1x -1<1⇔{x +1+x -1x -1>0,x +1-x +1x -1<0⇔{2x (x -1)>0,x -1<0⇔x<0.3不等式|2x -1|-2|x +3|>0的解集为( )A .{x |x >32或x <-12} B .{x |-12<x <32}C .{x |x >32或x <-12,且x ≠-3}D.{x|x ∈R ,且x ≠-3}>0⇔{|2x -1|>2,x +3≠0⇔{2x -1>2或2x -1<-2,x ≠-3⇔{x >32或x <-12,x ≠-3.4若关于x 的不等式x+|x-1|≤a 有解,则实数a 的取值X 围是() A.[1,+∞)B.[2,+∞)C.(3,+∞)D.[4,5]f (x )=x+|x-1|,则f (x )={2x -1,x ≥1,1,x <1,所以f (x )的最小值为1.所以当a ≥1时,f (x )≤a有解,即实数a 的取值X 围为[1,+∞).5不等式|x+3|-|x-3|>3的解集是() A .{x |x >32}B .{x |32<x ≤3} C.{x|x ≥3}D.{x|-3<x ≤0}x ≤-3时,有-(x+3)+(x-3)>3,即-6>3,无解. 当-3<x<3时,有x+3+x-3>3,则x >32,∴32<x <3. 当x ≥3时,有x+3-(x-3)>3,即6>3, ∴x ≥3.综上可知,原不等式的解集为{x |x >32}.6不等式4<|3x-2|<8的解集为.4<|3x-2|<8,得{|3x -2|>4,|3x -2|<8⇒{3x -2<-4或3x -2>4,-8<3x -2<8 ⇒{x <-23或x >2,-2<x <103.因此-2<x<−23或2<x <103.故原不等式的解集为{x |-2<x <-23或2<x <103}.x |2<x <103或-2<x <-23}7不等式|x-1|+|x+2|≥5的解集为.{x ≤-2,-(x -1)-(x +2)≥5,得x ≤-3;由{-2<x <1,-(x -1)+(x +2)≥5,无解;由{x ≥1,(x -1)+(x +2)≥5,得x ≥2.故所求的解集为{x|x ≤-3或x ≥2}.x|x ≤-3或x ≥2}8若关于x 的不等式|kx-4|≤2的解集为{x|1≤x ≤3},则实数k=.|kx-4|≤2,得-2≤kx-4≤2, 即2≤kx ≤6.∵解集为{x|1≤x ≤3},∴k=2.9已知a+b=1,对任意的a ,b ∈(0,+∞),1x +4x ≥|2x-1|-|x+1|恒成立,求x 的取值X 围.a>0,b>0,且a+b=1, 所以1x +4x =(x +x )(1x +4x )=5+x x +4xx≥9,当且仅当a =13,x =23时,等号成立. 故1x +4x 的最小值为9.因为对任意的a ,b ∈(0,+∞),1x +4x ≥|2x-1|-|x+1|恒成立, 所以|2x-1|-|x+1|≤9.当x ≤-1时,2-x ≤9,所以-7≤x ≤-1; 当-1<x <12时,-3x ≤9,所以-1<x <12; 当x ≥12时,x-2≤9,所以12≤x ≤11. 综上所述,x 的取值X 围是[-7,11].10已知关于x 的不等式|2x+1|-|x-1|≤log 2a (其中a>0). (1)当a=4时,求不等式的解集;(2)若不等式有解,某某数a 的取值X 围.令f (x )=|2x+1|-|x-1|,当a=4时,f (x )≤2. 当x<−12时,-x-2≤2,得-4≤x<−12;当−12≤x ≤1时,3x ≤2,得−12≤x ≤23;当x>1时,x ≤0,此时x 不存在.所以原不等式的解集为{x |-4≤x ≤23}.(2)设f (x )=|2x+1|-|x-1|={-x -2, x <-12,3x ,-12≤x ≤1,x +2,x >1,则f (x )∈[-32,+∞), 即f (x )的最小值为−32,所以f (x )≤log 2a 有解,则log 2a ≥−32, 解得a ≥√24,即a 的取值X 围是[√24,+∞).能力提升1“a<4”是“对任意实数x ,|2x-1|+|2x+3|≥a 成立”的() A.必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件|2x-1|+|2x+3|≥|2x-1-(2x+3)|=4,∴当a<4时⇒|2x-1|+|2x+3|≥a 成立,即充分条件成立;对任意实数x ,|2x-1|+|2x+3|≥a ⇒a ≤4,不能推出a<4,即必要条件不成立. 2若关于x 的不等式|x+3|-|x-1|≤a 2-3a 对任意实数x 恒成立,则实数a 的取值X 围为() A.(-∞,-1]∪[4,+∞) B.(-∞,-2]∪[5,+∞) C.[1,2]D.(-∞,1]∪[2,+∞),得|x+3|-|x-1|的最大值为4.因此a2-3a≥4恒成立,即a≥4或a≤-1.3已知y=log a(2-ax)在区间[0,1]上是增函数,则不等式log a|x+1|>log a|x-3|的解集为()A.{x|x<-1}B.{x|x<1}C.{x|x<1,且x≠-1}D.{x|x>1}a>0,且a≠1,所以函数f(x)=2-ax为减函数.又因为y=log a(2-ax)在区间[0,1]上是增函数,所以0<a<1,则y=log a x为减函数.所以|x+1|<|x-3|,且x+1≠0,x-3≠0.由|x+1|<|x-3|,得(x+1)2<(x-3)2,即x2+2x+1<x2-6x+9,解得x<1.又x≠-1,且x≠3,所以原不等式的解集为{x|x<1,且x≠-1}.4若不等式|2a-1|≤|x+1x|对一切非零实数x恒成立,则实数x的取值X围是.x+1x |=|x|+1|x|≥2,所以由已知得|2a-1|≤2,即2a-1≤2或2a-1≥-2,解得−12≤a≤32.-1 2,3 2 ]5不等式|1+x+x22|<1的解集为.:|1+x+x22|<1⇔-1<1+x+x22<1⇔{x2+2x+4>0x x∈R,x2+2x<0x-2<x<0.故原不等式的解集为(-2,0).方法二:∵1+x+x22=12(x2+2x)+1=12(x+1)2+12>0,∴原不等式可化为1+x +x 22<1,即x 2+2x<0.∴-2<x<0.-2,0)6不等式|2x-1|+x>1的解集是.:把|2x-1|+x>1移项,得|2x-1|>1-x ,把此不等式看作|f (x )|>g (x )的形式得2x-1>1-x 或2x-1<-(1-x ),解得x >23或x<0. 故原不等式的解集为{x |x >23或x <0}.方法二:用分类讨论的方法去掉绝对值符号. 当x >12时,2x-1+x>1,解得x >23;当x ≤12时,1-2x+x>1,解得x<0.综上,得原不等式的解集为{x |x >23或x <0}.x |x >23或x <0} ★7不等式1<|2x+1|≤3的解集为.{|2x +1|≤3, ①|2x +1|>1.②解不等式①,得-3≤2x+1≤3, ∴-2≤x ≤1.解不等式②,得2x+1>1或2x+1<-1, ∴x>0或x<-1.∴原不等式的解集为{x|-2≤x ≤1}∩{x|x>0或x<-1}={x|0<x ≤1或-2≤x<-1}.x|0<x ≤1或-2≤x<-1} 8设函数f (x )=|2x+1|-|x-4|. (1)解不等式f (x )>2; (2)求函数y=f (x )的最小值.由f (x )=|2x+1|-|x-4|,得f (x )={-x -5, x ≤-12,3x -3,-12<x <4,x +5,x ≥4.作出函数f (x )=|2x+1|-|x-4|的图象(图象略),它与直线y=2的交点为(-7,2)和(53,2), 所以|2x+1|-|x-4|>2的解集为(-∞,-7)∪(53,+∞).(2)由y=|2x+1|-|x-4|的图象(图略)可知,当x=−12时,y=|2x+1|-|x-4|取得最小值−92. ★9已知实数a ,b 满足:关于x 的不等式|x 2+ax+b|≤|2x 2-4x-16|对一切x ∈R 均成立.(1)请验证a=-2,b=-8满足题意;(2)求出所有满足题意的实数a ,b ,并说明理由;(3)若对一切x>2,均有关于x 的不等式x 2+ax+b ≥(m+2)x-m-15成立,某某数m 的取值X 围.当a=-2,b=-8时,有|x 2+ax+b|=|x 2-2x-8|≤2|x 2-2x-8|=|2x 2-4x-16|. (2)在|x 2+ax+b|≤|2x 2-4x-16|中,分别取x=4,x=-2,得{|16+4x +x |≤0,|4-2x +x |≤0,∴{16+4x +x =0,4-2x +x =0.∴x =−2,x =−8,因此满足题意的实数a ,b 只能是a=-2,b=-8. (3)由x 2+ax+b ≥(m+2)x-m-15(x>2), 得x 2-2x-8≥(m+2)x-m-15, 即x 2-4x+7≥m (x-1). 因此对一切x>2,均有不等式x 2-4x +7x -1≥m 成立.∵x 2-4x +7x -1=(x −1)+4x -1−2≥2√(x -1)·4x -1−2=2(当且仅当x=3时,等号成立),∴实数m 的取值X 围是(-∞,2].。
高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 1.2.2 绝对不等式的解法练习(含解析)新人教A版选修4-
1.2.2 绝对不等式的解法A 级 基础巩固一、选择题1．不等式|x －2|>x －2的解集是()A ．(－∞，2)B ．(－∞，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，2)∪(2，＋∞)解析：原不等式同解于x －2<0，即x <2.答案：A2．不等式|x |·(1－2x )>0的解集是()A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12B ．(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 解析：原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≠0，1－2x >0，解得x <12且x ≠0， 即x ∈(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. 答案：B3．(2017·某某卷)设θ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12”是“sin θ＜12”的() A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：因为⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12，所以－π12＜θ－π12＜π12， 即0＜θ＜π6. 显然0＜θ＜π6时，sin θ＜12成立． 但sin θ＜12时，由周期函数的性质知0＜θ＜π6不一定成立．故⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12是sin θ＜12的充分而不必要条件． 故选A.答案：A4．若不等式|ax ＋2|＜6的解集为(－1，2)，则实数a 的取值为( )A ．8B ．2C ．－4D ．－8解析：原不等式化为－6＜ax ＋2＜6，即－8＜ax ＜4.又因为－1＜x ＜2，所以验证选项易知a ＝－4适合．答案：C5．当|x －2|＜a 时，不等式|x 2－4|＜1成立，则正数a 的取值X 围是()A ．a ＞5－2B ．0＜a ≤5－2C ．a ≥5－2D ．以上都不正确解析：由|x －2|＜a ，得－a ＋2＜x ＜a ＋2，由|x 2－4|＜1，得3＜x ＜5或－5＜x ＜－ 3. 所以⎩⎨⎧a ＋2≤5，－a ＋2≥3，即0＜a ≤5－2， 或⎩⎨⎧a ＋2≤－3，－a ＋2≥－5，无解． 答案：B二、填空题6．若关于x 的不等式|x ＋2|＋|x －1|<a 的解集是∅，则a 的取值X 围是________________．解析：|x ＋2|＋|x －1|≥|(x ＋2)－(x －1)|＝3，所以a ≤3.答案：(－∞，3]7．若不等式|x ＋1|＋|x －3|≥a ＋4a对任意的实数x 恒成立，则实数a 的取值X 围是________．解析：当a ＜0时，显然成立；因为|x ＋1|＋|x －3|的最小值为4，所以a ＋4a≤4.所以a ＝2， 综上可知a ∈(－∞，0)∪{2}．答案：(－∞，0)∪{2}8．设函数f (x )＝|2x －1|＋x ＋3，若f (x )≤5，则x 的取值X 围是________________．解析：f (x )≤5⇔|2x －1|＋x －2≤0，①⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0，2x －1＋x －2≤0，解得12≤x ≤1. ②⎩⎪⎨⎪⎧2x －1<0，－2x ＋1＋x －2≤0，解得－1≤x <12. 综上可得－1≤x ≤1.答案：[－1，1]三、解答题9．已知函数f (x )＝|x －a |.(1)若不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，某某数a 的值；(2)在(1)的条件下，若f (x )＋f (x ＋5)≥m 对一切实数x 恒成立，某某数m 的取值X 围． 解：(1)由f (x )≤3，得|x －a |≤3，解得a －3≤x ≤a ＋3.又已知不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －3＝－1，a ＋3＝5，，解得a ＝2. (2)由(1)知a ＝2，此时f (x )＝|x －2|，设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)＝|x －2|＋|x ＋3|，于是g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －1，x <－3，5，－3≤x ≤2，2x ＋1，x >2.利用g (x )的单调性，易知g (x )的最小值为5.因此，若g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)≥m 对x ∈R 恒成立，则m ≤g (x )min .即实数m 的取值X 围是(－∞，5]．10．(2016·全国Ⅲ卷)已知函数f (x )＝|2x －a |＋a .(1)当a ＝2时，求不等式f (x )≤6的解集；(2)设g (x )＝|2x －1|，当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3，某某数a 的取值X 围．解：(1)当a ＝2时，f (x )＝|2x －2|＋2.解不等式|2x －2|＋2≤6得－1≤x ≤3.因此f (x )≤6的解集为{x |－1≤x ≤3}．(2)当x ∈R 时，f (x )＋g (x )＝|2x －a |＋a ＋|2x －1|≥|2x －a ＋1－2x |＋a ＝|1－a |＋a .所以f (x )＋g (x )≥3等价于|1－a |＋a ≥3.①当a ≤1时，①等价于1－a ＋a ≥3，无解；当a ＞1时，①等价于a －1＋a ≥3，解得a ≥2.所以a 的取值X 围是[2，＋∞)．B 级 能力提升1．不等式|x＋3|－|x－1|≤a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值X围为( ) A．(－∞，－1]∪[4，＋∞)B．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C．[1，2]D．(－∞，1]∪[2，＋∞)解析：由绝对值的几何意义得|x＋3|－|x－1|的最大值为4，所以a2－3a≥4恒成立，即a≥4或a≤－1.答案：A2．若关于x的不等式|x＋1|≥kx恒成立，则实数k的取值X围是________．解析：作出y＝|x＋1|与y＝kx的图象，如图，当k＜0时，直线一定经过第二、第四象限，从图看出明显不恒成立；当k＝0时，直线为x轴，符合题意；当k＞0时，要使|x＋1|≥kx 恒成立，只需k≤1.综上可知，实数k的取值X围为[0，1]．答案：[0，1]3．已知不等式|x＋2|－|x＋3|>m，分别求出满足以下条件的m的取值X围．(1)若不等式有解；(2)若不等式解集为R；(3)若不等式解集为∅.解：法一因为|x＋2|－|x＋3|的几何意义为数轴上任意一点P(x)与两定点A(－2)，B(－3)距离的差．即|x＋2|－|x＋3|＝|PA|－|PB|.由图象知(|PA|－|PB|)max＝1，(|PA|－|PB|)min＝－1.即－1≤|x＋2|－|x＋3|≤1.(1)若不等式有解，m只要比|x＋2|－|x＋3|的最大值小即可，即m<1，m的取值X围为(－∞，1)．(2)若不等式的解集为R，即不等式恒成立，m要比|x＋2|－|x＋3|的最小值还小，即m<－1，m的取值X围为(－∞，－1)．(3)若不等式的解集为∅，m只要不小于|x＋2|－|x＋3|的最大值即可，即m≥1，m的取值X围为[1，＋∞)．法二由|x＋2|－|x＋3|≤|(x＋2)－(x＋3)|＝1，|x＋3|－|x＋2|≤|(x＋3)－(x＋2)|＝1，可得－1≤|x＋2|－|x＋3|≤1.(1)若不等式有解，则m∈(－∞，1)．(2)若不等式解集为R，则m∈(－∞，－1)．(3)若不等式解集为∅，则m∈[1，＋∞)．。
高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 1.2 绝对值不等式(第1课时)预习导航学案 新人教A版选修4-5
1.2 绝对值不等式 1预习导航1．理解绝对值的几何意义．2．掌握绝对值三角不等式及其几何意义．3．三个实数的绝对值不等式及应用．1．绝对值的几何意义(1)实数a 的绝对值|a |表示数轴上坐标为a 的点A 到原点的距离．(2)对于任意两个实数a ，b ，设它们在数轴上的对应点分别为A ，B ，那么|a －b |的几何意义是数轴上A ，B 两点之间的距离，即线段AB 的长度．归纳总结 (1)|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧ a ，当a >0时，0，当a ＝0时，－a ，当a <0时.(2)对任意实数a ，都有|a |＝a 2.(3)实数积和商的绝对值运算法则： |ab |＝|a |×|b |，|a b |＝|a ||b |(b ≠0)． 2．绝对值三角不等式(1)定理1：如果a ，b 是实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≥0时，等号成立．(2)如果把上面的绝对值三角不等式中的实数a ，b 换成向量a ，b ，当向量a ，b 不共线时，由向量加法的三角形法则，向量a ＋b ，a ，b 构成三角形，因此有向量形式的不等式|a ＋b |＜|a |＋|b |，它的几何意义是三角形两边之和大于第三边．【做一做】若|x －a |＜h ，|y －a |＜k ，则下列不等式一定成立的是( )A ．|x －y |＜2hB ．|x －y |＜2kC ．|x －y |＜h ＋kD ．|x －y |＜|h －k |解析：|x －y |＝|(x －a )＋(a －y )|≤|x －a |＋|a －y |＜h ＋k .答案：C3．三个实数的绝对值不等式定理2：如果a ，b ，c 是实数，那么|a －c |≤|a －b |＋|b －c |，当且仅当(a －b )(b －c )≥0时，等号成立．百度文库是百度发布的供网友在线分享文档的平台。
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2020版高中数学第一讲不等式和绝对值不等式1.2.1绝对值三角不等式练习(含解析)新人教A版选修4_5
1.绝对值三角不等式基础巩固1已知|a-b|=1,b=(3,4),则|a|的取值范围是()A.[3,4]B.[4,5]C.[4,6]D.[3,6]||a-b|-|b||≤|a|=|a-b+b|≤|a-b|+|b|,∴4≤|a|≤6.2已知ab>0,有如下四个不等式:①|a+b|>|a|;②|a+b|<|b|;③|a+b|<|a-b|;④|a+b|>|a|-|b|.其中正确的是()A.①和②B.①和③C.①和④D.②和④ab>0,∴a,b同号.∴|a+b|=|a|+|b|.∴①④正确.3已知实数a,b满足ab<0,则下列不等式成立的是()A.|a+b|>|a-b|B.|a+b|<|a-b|C.|a-b|<||a|-|b||D.|a-b|<|a|+|b|4已知|x-m|则44小于A.ξB.2ξC.3ξD5若不等式|x-2|+|x+3|<a的解集为⌀,则a的取值范围为() A.(5,+∞) B.[5,+∞)C.(-∞,5)D.(-∞,5]6已知则的取值范围是又所以3≤≤13.7x,y∈R,若|x|+|y|+|x-1|+|y-1|≤ ,则x+y的取值范围为.8不等式-≥1成立的充要条件是.⇔---≥0.∵|a+b|≥|a|-|b|,∴|a+b|-(|a|-|b| ≥0.∴|a|-|b|>0,即|a|>|b|.9设|a|≤1,函数f(x)=ax2+x-a(-1≤x≤1 ,证明：|f(x)|≤4(x)|=|a(x2-1)+x|≤|a(x2-1)|+|x|≤|x2-1|+|x|=1-x2+|x|=-144即|f(x)|≤410已知f(x)=ax2+bx+c,且当|x|≤1时,|f(x)|≤1,求证:(1)|c|≤1;(2)|b|≤1.由|f(0)|≤1,得|c|≤1.(2)由|f(1)|≤1,得|a+b+c|≤1,由|f(-1)|≤1,得|a-b+c|≤1,故|b|--≤1≤1.能力提升1已知x为实数,且|x-5|+|x-3|<m有解,则m的取值范围是()A.m>1B.m≥1C.m>2D.m≥|x-5|+|x-3|≥|x-5+3-x|=2,∴|x-5|+|x-3|的最小值为2.∴要使|x-5|+|x-3|<m有解,则m>2.2已知h>0,a,b∈R,命题甲:|a-b|<2h;命题乙:|a-1|<h,且|b-1|<h,则甲是乙的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件a与b的距离可以很近,满足|a-b|<2h,但此时a,b与1的距离可以很大,因此甲不能推出乙;若|a-1|<h,|b-1|<h,则|a-b|=|a-1+1-b|≤|a-1|+|b-1|<2h,故乙可以推出甲.因此甲是乙的必要不充分条件.则之间的大小关系是3已知|a|≠|b|,m--A.m>nB.m<nC.m=nD.m≤n≤1≤,知|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|,则--4设|a|<1,|b|<1,则|a+b|+|a-b|与2的大小关系是()A.|a+b|+|a-b|>2B.|a+b|+|a-b|<2C.|a+b|+|a-b|=2D.不能比较大小(a+b)(a-b ≥0时,|a+b|+|a-b|=|(a+b)+(a-b)|=2|a|<2,当(a+b)(a-b)<0时,|a+b|+|a-b|=|(a+b)-(a-b)|=2|b|<2.综上可知,|a+b|+|a-b|<2.5下列不等式恒成立的个数是()①x1≥ x≠0);②0③0④|a+b|+|b-a|≥ a.A.4B.3C.2D.1,当x<0时不等式不成立;②成立,a>b>c>0⇒即11又由于c>0,故有③成立,因为-00所以④成立,由绝对值不等式的性质可知|a+b|+|b-a|≥|(a+b)-(b-a)|=|2a|≥ a,故选B.6已知函数f(x)=|x-3|-|x-a|.若存在实数x,使得不等式f(x ≥a成立,则实数a的取值范围为.-∞,37函数y=|x-4|+|x-6|的最小值为.4|+|x-6|≥|x-4+6-x|=2,当且仅当4≤x≤6时,等号成立.★8下列四个不等式:①log x10+lg x≥ x>1);②|a-b|<|a|+|b|;③≥ ab≠0);④|x-1|+|x-2|≥1.其中恒成立的是(只填序号).x>1,∴log x10+lg x1x≥ ,①正确;当ab≤0时,|a-b|=|a|+|b|,②不正确;∵ab≠0与同号,≥ ,③正确;由|x-1|+|x-2|的几何意义知|x-1|+|x-2|≥1恒成立,④也正确;综上可知,①③④正确.★9对定义在区间[-1,1]上的函数f(x),若存在常数A>0,使得对任意x1,x2∈[-1,1],都有|f(x1)-f(x2)|≤A|x1-x2|,则称f(x)具有性质L.问函数f(x)=x2+3x+5与g(x)是否具有性质试证明f(x)具有性质L,函数g(x)不具有性质L.证明如下:(1)对于函数f(x)=x2+3x+5,任取x1,x2∈[-1,1],|f(x1)-f(x2)|=131=|(x1-x2)(x1+x2+3)|=|x1-x2||x1+x2+3|≤|x1-x2|(|x1|+|x2|+3 ≤ |x1-x2|.故存在A=5,使f(x)具有性质L.(2)对于函数g(x)设它具有性质L,任取x1,x2∈[-1,1],当x1,x2不同时为0时,则|g(x1)-g(x2)|=111≤A|x1-x2|,得A≥111≤ .得1∈(0,2].取x114≤1,x211614有1114341与11矛盾,故函数g(x)不具有性质L.。
高中数学 第1讲 不等式和绝对值不等式 一、不等式 第一课时 不等式的基本性质练习 新人教A版选修4
第一课时 不等式的基本性质[基础达标]1.若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有 A.a d ＞b c B.a d ＜b cC.a c ＞b dD.a c ＜b d解析 解法一 令a ＝3，b ＝2，c ＝－3，d ＝－2， 则a c ＝－1，b d＝－1，排除选项C ，D ；又a d ＝－32，b c ＝－23，所以a d ＜bc，所以选项A 错误，选项B 正确.故选B. 解法二 因为c ＜d ＜0，所以－c ＞－d ＞0，所以1－d ＞1－c ＞0.又a ＞b ＞0，所以a －d ＞b －c ，所以a d ＜bc .故选B.答案B2.如果a ，b ，c 满足c <b <a ，且ac <0，那么下列选项中不一定成立的是 A.ab >ac B.c (b －a )>0 C.cb 2<ab 2D.ac (a －c )<0解析 由条件c <b <a ，ac <0，得a >0，c <0，但b 的正负情况不确定.解法一 取a ＝1，b ＝0，c ＝－1分别代入选项A ，B ，C ，D 中验证可知选项C 不成立. 解法二 由题意，知c <0，a >0，则选项A 一定正确；因为c <0，b －a <0，所以c (b －a )>0，所以选项B 一定正确；因为ac <0，a －c >0，所以ac (a －c )<0，所以选项D 一定正确，故选C(当b ＝0时，不成立).答案C3.已知a >b ，则下列不等式： ①a 2>b 2；②lg(a －b )>0；③1a －b >1a. 其中不一定成立的个数为 A.0 B.1 C.2 D.3解析 对于①，a 2－b 2＝(a －b )(a ＋b )，且a －b >0，但a ＋b 的正负无法确定；对于②，a －b >0，但a －b 与1的关系无法确定；对于③，1a －b －1a ＝b （a －b ）a ，且a －b >0，但ba 的正负无法确定，所以这三个不等式都无法确定是否成立.答案D4.当a ＞0时且a ≠1时，log a (1＋a )与log a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a 的大小关系为________.解析log a (1＋a )－log a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a＝log a 1＋a1＋1a＝log a a ＝1，因此log a (1＋a )＞log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a .答案log a (1＋a )＞log a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a5.已知x ，y 均为正数，设m ＝1x ＋1y ，n ＝4x ＋y ，试比较m 和n 的大小.解析m －n ＝1x ＋1y －4x ＋y＝x ＋y xy －4x ＋y ＝（x ＋y ）2－4xy xy （x ＋y ）＝（x －y ）2xy （x ＋y ）， ∵x ，y 均为正数，∴x ＞0，y ＞0，xy ＞0，x ＋y ＞0，(x －y )2≥0， ∴m －n ≥0即m ≥n .[能力提升]1.若a ，b 为实数，则“0＜ab ＜1”是“a ＜1b 或b ＞1a”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析 当0＜ab ＜1时，若b ＞0，则有a ＜1b ；若b ＜0，则a ＜0，从而有b ＞1a.“0＜ab＜1”是“a ＜1b 或b ＞1a”的充分条件.反之，取b ＝1，a ＝－2，则有a ＜1b 或b ＞1a，但ab ＜0.故选A.答案A2.已知函数f (x )＝x ＋x 3，x 1，x 2，x 3∈R ，x 1＋x 2＜0，x 2＋x 3＜0，x 3＋x 1＜0，那么f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)的值A.一定大于0B.一定小于0C.等于0D.正负都有可能解析x 1＋x 2＜0⇒x 1＜－x 2，又∵f (x )＝x 3＋x 为奇函数，且在R 上递增， ∴f (x 1)＜f (－x 2)＝－f (x 2)， 即f (x 1)＋f (x 2)＜0. 同理：f (x 2)＋f (x 3)＜0，f (x 1)＋f (x 3)＜0.以上三式相加得2[f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)]＜0. 即f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)＜0. 答案B3.若1a ＜1b ＜0，则下列不等式：①a ＋b ＜ab ；②|a |＞|b |；③a ＜b ；④b a ＋ab＞2中，正确的不等式有A.1个B.2个C.3个D.4个解析1a ＜1b ＜0⇔b ＜a ＜0，∴a ＋b ＜0＜ab ，|a |＜|b |，b a ＋a b＞2b a ·ab＝2(∵b ＜a ＜0，故等号取不到)，即①④正确，②③错误，故选B.(注：本题亦可用特值法，如取a ＝－1，b ＝－2验证得)答案B4.若0<x <y <1，则下列不等式正确的是 A.4y<4xB.x 3>y 3C.log 4x <log 4yD.⎝ ⎛⎭⎪⎫14x <⎝ ⎛⎭⎪⎫14y解析由0<x <y <1，则4y>4x，x 3<y 3，log 4x <log 4y ，⎝ ⎛⎭⎪⎫14x>⎝ ⎛⎭⎪⎫14y.故选C. 答案C5.已知三个不等式：ab ＞0，bc －ad ＞0，c a －db＞0(其中a ，b ，c ，d 均为实数)，用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是A.0B.1C.2D.3答案D6.已知a ，b ，c 满足c ＜b ＜a 且ac ＜0，则下列选项中不恒成立的是 A.b a ＞c a B.b －ac＞0C.b 2c ＞a 2cD.a －cac＜0 解析 ∵c ＜b ＜a 且ac ＜0， ∴a ＞0，c ＜0.由b ＞c ，a ＞0，即1a ＞0，可得b a ＞ca，故A 恒成立.∵b ＜a ，∴b －a ＜0. 又c ＜0，∴b －ac＞0，故B 恒成立. ∵c ＜a ，∴a －c ＞0. 又ac ＜0，∴a －cac＜0，故D 恒成立. 当b ＝－2，a ＝1时，b 2＞a 2，而c ＜0，∴b 2c ＜a 2c，故C 不恒成立. 答案C7.以下四个不等式：①a <0<b ；②b <a <0；③b <0<a ；④0<b <a .其中使1a <1b成立的充分条件是________.解析1a <1b ⇔b －a ab<0⇔b －a 与ab 异号，依题设①②④能使b －a 与ab 异号.答案 ①②④8.设a ＞b ，(1)ac 2＞bc 2；(2)2a ＞2b ；(3)1a ＜1b；(4)a 3＞b 3；(5)a 2＞b 2中正确的结论有________.解析 若c ＝0，(1)错；若a ，b 异号或a ，b 中有一个为0，(3)(5)错. 答案 (2)(4)9.实数a ，b ，c ，d 满足下列三个条件：①d >c ；②a ＋b ＝c ＋d ；③a ＋d <b ＋c .则将a ，b ，c ，d 按照从小到大的次序排列为________.解析 本题条件较多，若两两比较，需6次，很麻烦.但如果能找到一个合理的程序，则可以减少解题步骤.⎭⎪⎬⎪⎫③⇒d －b <c －a ②⇒c －a ＝b －d ⇒⎩⎪⎨⎪⎧d －b <b －d ，a －c <c －a ⇒⎩⎪⎨⎪⎧d <b ，a <c ，又由①，得a <c <d <b . 答案a <c <d <b10.若a >0，b >0，求证：b 2a ＋a 2b≥a ＋b .证明b 2a ＋a 2b －(a ＋b )＝（a ＋b ）（a 2－ab ＋b 2）ab－(a ＋b )＝（a ＋b ）（a －b ）2ab.∵a >0，b >0，∴a ＋b >0，ab >0，(a －b )2≥0.∴b 2a ＋a 2b≥a ＋b . 11.已知f (x )＝ax 2＋c ，且－4≤f (1)≤－1，－1≤f (2)≤5，求f (3)的取值X 围. 解析 由－4≤f (1)≤－1，－1≤f (2)≤5， 得－4≤a ＋c ≤－1，－1≤4a ＋c ≤5. 设u ＝a ＋c ，v ＝4a ＋c ，则有a ＝v －u 3，c ＝4u －v 3.∴f (3)＝9a ＋c ＝－53u ＋83v .又⎩⎪⎨⎪⎧－4≤u ≤－1，－1≤v ≤5，∴⎩⎪⎨⎪⎧53≤－53u ≤203，－83≤83v ≤403. ∴－1≤－53u ＋83v ≤20.∴f (3)∈[－1，20]. 12.已知a ＞0，a ≠1. (1)比较下列各组大小①a 2＋1与a ＋a ；②a 3＋1与a 2＋a ；③a 5＋1与a 3＋a 2. (2)探讨在m ，n ∈N ＋条件下，am ＋n＋1与a m ＋a n的大小关系，并加以证明.解析 (1)①a 2＋1＞a ＋a ；②a 3＋1＞a 2＋a ；③a 5＋1＞a 3＋a 2. (2)根据(1)可探讨，得am ＋n＋1＞a m ＋a n.(证明如下)a m ＋n ＋1－(a m ＋a n )＝a m (a n －1)＋(1－a n )＝(a m－1)(a n－1). 当a ＞1时，a m＞1，a n＞1，∴(a m－1)(a n－1)＞0；当0＜a＜1时，0＜a m＜1，0＜a n＜1，∴(a m－1)(a n－1)＞0；总之(a m－1)(a n－1)＞0，即a m＋n＋1＞a m＋a n.。
高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 1.1 不等式 1.1.3 基本不等式(一)课后导练 新人教A版选修45
1.1.3 基本不等式（一）课后导练基础达标1若a>b>1,P=b a lg lg ∙,Q=21(lga+lgb),R=lg 2b a +,则( )A.R<P<QB.P<Q<RC.Q<P<RD.P<R<Q解析:∵a>b>1,∴lga>lgb>0.从而Q>b a lg lg ∙=P,R>ab lg =21(lga+lgb)=Q,故R>Q>P.选B. 答案:B2若b>a>0,a+b=1,则（ ）A.b>a 2+b 2>2ab>21>a B.b>a 2+b 2>21>2ab>a C.a 2+b 2>b>21>a>2ab D.a 2+b 2>2ab>b>21>a解析:∵b>a>0,a+b=1, ∴0<a<21<b<1, a 2+b 2>2)(2b a +=21,2ab<2(2b a +)2=21, 2ab=(2b)5a>a. ∴a 2+b 2-b=(1-b)2+b 2-b=(1-b)2+b(1-b)=(1-b)(1-2b)<0. ∴a 2+b 2<b.故选B. 答案:B3a,b,c 是不全相等的正数,且abc=1,若t=c b a ++,S=a 1+b 1+c1,则S 与t 的大小关系是( )A.S>tB.S=tC.S<tD.不能确定解析:由abc=1,得S=ab+bc+ac,可用特值法判断选A. 答案:A 4已知f(x)=(21)x ,a,b∈R +,A=f(2b a +),G=f(ab ),H=f(b a ab +2),则A,G,H 的大小关系是…( )A.A≤G≤HB.A≤H≤GC.G≤H≤AD.H≤G≤A 解析:因为f(x)=(21)x,所以f(x)是单调递减函数.因为a,b∈R +,所以2ba +≥ab . 所以ab b a 211≤+.所以ba ab+2≤ab . 所以b a ab +2≤ab ≤2ba +. 所以f(2b a +)≤f(ab )≤f(ba ab+2).所以A≤G≤H.答案:A5已知a,b∈R +，则下列不等式中不成立的是（ ） A.a+b+ab1≥22 B.(a+b)(a 1+b1)≥4 C.abb a 22+≥a+b D.ab b a ab ≥+2解析:∵a+b+ab1≥2ab +ab1≥22,(a+b)(a 1+b1)≥ab 2·ab 12=4,a 2+b 2≥2)(2b a +=2ba +(a+b)≥ab (a+b),∴abb a 22+≥a+b.故选D.答案:D综合运用6在下列不等式中，恒成立的个数有（ ） ①a 2+b 2+c 2≥ab+bc+ca ②a(1-a)≤41③a b +ba ≥2 ④(a 2+b 2)(c 2+d 2)≥(ac+bd)2A.1个B.2个C.3个D.4个解析:①∵a 2+b 2≥2ab,b 2+c 2≥2bc,c 2+a 2≥2ac, ∴a 2+b 2+c 2≥ab+bc+ca; ②a(1-a)=-a 2+a=-(a-21)2+41≤41; ③当ab<0时，不成立；④(a 2+b 2)(c 2+d 2)=a 2c 2+b 2d 2+a 2d 2+b 2c 2≥a 2c 2+b 2d 2+2abcd=(ac+bd)2. 故选C. 答案:C 7已知m=a+21-a (a>2),n=22)21(-x (x<0),则m,n 之间的大小关系是( )A.m>nB.m<nC.m=nD.m≤n 解析:m=(a-2)+21-a +2≥21)2(2--a a +2=4,即m≥4.n=222+-x ,而f(x)=-x 2+2,在x<0时为单调增函数,又2t在t∈(-∞,+∞)上是单调增函数, 根据复合函数的单调性得n=222+-x 在x∈(-∞,0)上单调递增.∴0<n<4.∴m≥4>n,即m>n. 答案:A8求证:log 565log 54<1.一般地，试探索log n (n+1)5log n (n-1)(n≥2,n∈N *)与1的大小关系. 证明:log 565log 54<(24log 6log 55+)2=(224log 5)2<(225log 5)2=1.由类似方法，可得出一般性结果:log n (n+1)5log n (n-1)<1.9若x>0,y>0,且x+y≤4,则下列不等式中恒成立的是( ) A.y x +1≤41 B.x 1+y1≥1 C.xy ≥2 D.xy1≥1 解析:∵x+y≤4y x +⇒1≥41.故A 错. 又4≥x+y≥xy 2,∴xy ≤2. 故C 错.4≥x+y≥⇒xy 2xy≤4xy 1⇒≥41,故D 错. 又x 1+y 1≥y x y x xy xy +=+≥=422212≥44=1,故B 正确. 答案:B 拓展探究10在某两个正数x,y 之间，若插入一个正数a,使x 、a 、y 成等比数列，若另插入两个正数b 、c,使x 、b 、c 、y 成等差数列.求证:(a+1)2≤(b+1)(c+1).证明:由题设⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+==⎪⎩⎪⎨⎧+=+==.32,32,.2,2,2y x c y x b xy a y b c c x b xy a 解得 ∴(b+1)(c+1)=bc+b +c+1=91(2x+y)(x+2y)+x+y+1 =91［2(x 2+y 2)+5xy ］+(x+y)+1 ≥91(4xy+5xy)+xy 2+1 =(xy +1)2=(a+1)2.∴(a+1)2≤(b+1)(c+1). 备选习题11已知a>b>c ，则))((c b b a --与2ca -的大小关系是____________. 解析:))((2)()(2c b b a c b b a c a --≥-+-=-. 答案:))((c b b a --≤2ca -12a,b 是正数,则ba abab b a ++2,,2三个数的大小顺序是( ) A.ba ab ab b a +≤≤+22 B.ba abb a ab +≤+≤22 C.22b a ab b a ab +≤≤+ D.22ba b a ab ab +≤+≤ 解析:设⇔+≥+b a abb a 22(a+b)2≥4ab ⇔a 2+b 2≥2ab 成立. ∴ba abb a +≥+22. 设⇔+≥b a abab 2a+b≥ab 2成立, ∴ba abab +≥2.又ab ba ≥+2, ∴ba ab ab b a +≥≥+22. 答案:C13已知a,b,c∈R ,且a 2+b 2+c 2=1,求证:21-≤ab+bc+ca≤1. 证明:1=a 2+b 2+c 2≥ab+bc+ca,又(a+b+c)2=a 2+b 2+c 2+2(ab+bc+ca)≥0, 即1+2(ab+bc+ca)≥0, 有ab+bc+ca≥21-, 故原不等式成立. 14设a,b>0,求证:a+b+221≥ab.证明:∵a+b+22121≥+≥abab ab ,∴原不等式成立. 15已知a,b,c>0,求证:ba ca cbc b a +++++>2. 证明:acb ac b a c b 2)12(211++=++≤∙+, 即c b a a c b a ++≥∙+21, 同理,cb a bc a b ++≥∙+21, cb ac b a c ++≥∙+21, 三式相加得ba cc a b c b a +++++≥2. 等号成立的条件:1,1,1=+=+=+ba c c abc b a 三式同时成立, 即b=a+c,c=a+b,a=b+c,于是a+b+c=0,与题设矛盾. 故ba ca cbc b a +++++>2.16设a,b,c 是三角形的三边长.求证:cb ac b a c b a c b a -++-++-+222≥a+b+c.证明:∵b+c -a>0,∴a c b a -+2+(b+c-a)≥2a, 即有ac b a -+2≥3a -b-c.同理,b a c b -+2≥3b -c-a,cb ac -+2≥3c -a-b.三式相加得证.。
高中数学第一讲不等式和绝对值不等式1.2绝对值不等式1.2.2绝对值不等式的解法知识导航学案新人教A
1.2.2.绝对值不等式的解法知识梳理含有绝对值的不等式的解法（同解性）（1）|x|<a 0),___________,(a____________,(a0).(2)|x|>a__________a0),_,(____________,(a0),____________,(a0)..2.|ax+b|<c,|ax+b|>c(c>0)型不等式的解法（1）|ax+b|<c(c>0)型不等式的解法是：先化为不等式组_________，再利用不等式的性质求出原不等式的解集.(2)|ax+b|>c(c>0)的解法是：先化为________或________，再进一步利用不等式性质求出原不等式的解集.3.|x-a|+|x-b|≥c和|x-a|+|x-b|≤c型不等式的解法有三种不同的解法：解法一可以利用绝对值不等式的________.解法二利用分类讨论的思想，以绝对值的________为分界点，将数轴分成几个区间，然后确定各个绝对值中的多项式的________，进而去掉________.解法三可以通过________，利用________，得到不等式的解集.知识导学解含有绝对值的不等式的总体思路是：将含有绝对值的不等式转化为不含绝对值的不等式去求解，依据是同解性，对同解性应理解为：“|x|”中的x可以是任何有意义的数学式子f(x)，“a”可以是实数，也可以是任何有意义的数学式子g(x),因此从结论上来说，|f(x)|<g(x)与-g(x)<f(x)<g(x)同解；|f(x)|>g(x)与f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)同解，掌握去掉绝对值符号的方法和途径是关键.数形结合法解不等式是另一个重要的解题途径，为此，要熟练掌握函数|f(x)|和f(|x|)的图象的画法.分类讨论法在解含绝对值符号的不等式时经常用到，应注意“分界点”的讨论，做到“不重不漏”，讨论时，可以把过程细化，不要“跨步”讨论，这样更能确保最后的结果准确.解不等式时的每一步“转化”是否等价，始终是应当关注的问题，它是正确求解的基本保证.疑难突破1.分段讨论法解含绝对值的不等式分段讨论法解含绝对值的不等式时，是先求出使每一个绝对值符号内的数学式子等于零的未知数的值（称为零点），将这些值依次在数轴上标注出来，它们把数轴分成若干个区间，讨论每一个绝对值符号内的式子在每一个区间上的符号，去掉绝对值符号，使之转化为不含绝对值的不等式去解，求解过程中不要丢掉对区间端点的讨论，以免漏解.在上面的分段讨论过程中，每一段的讨论都有一个“x”的范围（或值）作为本段讨论的前提，这与解含参数的不等式有些类似，但本质上又不同，每一段的讨论结果，都是“x”的前提范围与本段含绝对值不等式去掉绝对值号的不等式解集的交集，而最后的不等式的解集应是每一段结果的并集，解含参数的不等式讨论时，每一步的前提条件是参数所取的范围（或值），1每一步间的结果各自独立，不存在“交、并”集的说法，因此最后的结果也必须在参数的不同限制范围下叙述结论.所以解含绝对值不等式与解含参数不等式，虽然都用的分段讨论法，但实质上是不同的.这就要求准确理解和把握各自不同的解题思路及解题过程，以免出错.2.几个特殊的含绝对值的不等式的区别（1）|x-4|-|x-3|>a有解，则a的取值范围是________; (2)|x-4|-|x-3|>a的解集为R，则a的取值范围是________；（3）|x-4|+|x-3|<a的解集为，则a的取值范围是________；（4）|x-4|+|x-3|>a的解集为R，则a的取值范围是________.处理以上这种问题，我们可以与函数y=|x-4|-|x-3|,y=|x-4|+|x-3|的最值（值域）等联系起来，第一个函数的值域为［-1,1］,而第二个函数只有最小值，即|x-4|+|x-3|≥1,所以(1)|x-4|-|x-3|>a要有解，只需a<1；|x-4|-|x-3|>a的解集要是R，则说明是恒成立问题，所以a<［|x-4|-|x-3|］min=-1,即a<-1;|x-4|+|x-3|<a的解集为说明a<［|x-4|+|x-3|］=1,所以a<1;|x-4|+|x-3|>a的解集为R，也说明a<［|x-4|+|x-3|］min=1,以上这几种不等min式问题，实质是与两种函数的值域或最值相联系的问题，当然也可以借助函数的图象，用数形结合来解得a的范围.而理解这几种表述方式对掌握本节知识有很好的帮助.2。
高中数学第一讲不等式和绝对值不等式1.2绝对值不等式1.2.1绝对值三角不等式课后导练新人教A版选修4_5
1.2.1 绝对值三角不等式课后导练基础达标1已知|a+b|=|a|+|b|,a、b∈R,则一定有…( )A.ab<0B.ab>0C.ab≥0D.ab=0解析:由|a+b|=|a|+|b|,得(a+b)2=(|a|+|b|)2.∴a2+b2+2ab=a2+b2+2|ab|,即|ab|=ab.∴ab≥0.答案:C2若|a-c|<|b|,且a、b、c均为不等于零的实数,则下列不等式成立的是( )A.a<b+cB.a>c-bC.|a|<|b|+|c|D.|a|>|b|>|c|解析:∵|a-c|≥|a|-|c|,∴|b|>|a-c|≥|a|-|c|.∴|a|<|b|+|c|.答案:C3已知函数f(x)=-2x+1,对任意实数ε,使得|f(x1)-f(x2)|<ε的一个充分但不必要的条件是( )A.|x1-x2|<εB.|x1-x2|<C.|x1-x2|<D.|x1-x2|>解析:∵|f(x1)-f(x2)|=|-2x1+2x2|=2|x1-x2|,若|x1-x2|<,则|f(x1)-f(x2)|<<ε.而|f(x1)-f(x2)|<ε|x1-x2|<,∴应选C.答案:C4不等式≤1成立的充要条件为( )A.ab≠0B.a2+b2≠0C.ab>0D.ab<0解析:≤1故a≠0且b≠0,∴a2+b2≠0.∴应选B.答案:B5|a|<1,|b|<1,a、b∈R,那么|a+b|+|a-b|与2的大小关系是______________-.解析:不妨设|a|≥|b|,则(|a+b|+|a-b|)2=2(a2+b2)+2|a2-b2|=2(a2+b2)+2a2-2b2=4a2<4.∴|a+b|+|a-b|<2.答案:|a+b|+|a-b|<2综合应用6不等式|2x-log2x|<2x+|log2x|成立,则x的取值范围为_____________. 解析:∵|a+b|≤|a|+|b|取不等号“<”的条件是ab<0,又∵x>0,∴原不等式等价于2x·(-log2x)<0,即log2x>0.∴x>1.∴x的取值范围为{x|x>1}.答案:{x|x>1}7已知函数f(x)=ax2+bx+c(a、b、c∈R),当x∈［-1,1］时,|f(x)|≤1.(1)证明|b|≤1;(2)若f(0)=-1,f(1)=1,求实数a的值.(1)证明:∵x∈［-1,1］时,|f(x)|≤1,∴|f(-1)|≤1,|f(1)|≤1.而b=［(a+b+c)-(a-b+c)］=［f(1)-f(-1)］,∴|b|=|f(1)-f(-1)|≤［|f(1)|+|f(-1)|］=1.(2)解析:∵f(0)=c=-1,f(1)=a+b-1=1,∴b=2-a.∴f(x)=ax2+(2-a)x-1.∵x∈［-1,1］时,|f(x)|≤1,∴|f(-1)|≤1,即|2a-3|≤1.∴1≤a≤2.f(x)的对称轴x==-∈［-,0］［-1,1］.∴|f()|≤1,整理得|+1|≤1.注意到a>0,∴≥0.∴+1≥1.∴=0.∴a=2.8(1)设p、q、x∈R,pq≥0,x≠0,求证:|px+|≥.(2)设m是|a|、|b|和1中最大的一个,当|x|>m时,求证:||<2. 证明:(1)pq≥0,那么(px)·()≥0,∴|px+|=|px|+||≥(2)m是|a|、|b|和1中最大的一个,则有m≥|a|,m≥|b|,m≥1.∵|x|>m≥|a|,|x|>m≥|b|,|x|>m≥1,就有|x|2>|b|,。
高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 1.1 不等式(第
1.1 不等式1．不等式的基本性质练习1．若a ＞b ，则下列不等式中一定成立的是( )A ．a ＞2bB ．b a -＞－1C ．2a ＞2bD ．lg(a －b)＞1 2．如果a ＞b ，那么下列结论中错误的是( )A ．a －3＞b －3B ．3a ＞3b C.3a ＞3b D ．－a ＞－b3．已知a ，b ，c 均为实数，下面四个命题中正确命题的个数是( )①a＜b ＜0a 2＜b 2；②a b ＜c a ＜bc ；③ac 2＞bc 2a ＞b ；④a＜b ＜0b a ＜1. A ．0 B ．1C ．2D ．3 4．已知m ，n ∈R ，则11m n>成立的一个充要条件是( ) A ．m ＞0＞n B ．n ＞m ＞0 C ．m ＜n ＜0 D ．mn (m －n )＜05．已知函数f (x )＝x ＋x 3，x 1，x 2，x 3∈R ，x 1＋x 2＜0，x 2＋x 3＜0，x 3＋x 1＜0，那么f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)的值( )A ．一定大于0B ．一定小于0C ．等于0D ．正负都有可能6．已知0＜a ＜1b ，且M ＝1111a b +++，N ＝11a b a b+++，则M ，N 的大小关系是________． 7．若a ＞b ＞0，m ＞0，n ＞0，则a b ，b a ，b m a m ++，a n b n ++按由小到大的顺序排列为________． 8．若－1＜a ＜2，－2＜b ＜1，则a －|b |的取值范围是________．9．(1)研究函数f (x )1x x +(2)已知a ≥1，试用(1)的结论比较M 1a a +和N 1a a -10．若已知二次函数y ＝f (x )的图象过原点，且1≤f (－1)≤2,3≤f (1)≤4.求f (－2)的范围．参考答案1.答案：C ∵y＝2x(x∈R)是增函数，又a＞b，∴2a＞2b.2. 答案：D ∵a＞b，∴－a＜－b.故D项错误．3．答案：C ①不正确．∵a＜b＜0，∴－a＞－b＞0，∴(－a)2＞(－b)2，即a2＞b2.②不正确．∵ab＜c，若b＜0，则a＞bc.③正确．∵ac2＞bc2，∴c≠0，∴a＞b.④正确．∵a＜b＜0，∴－a＞－b＞0.∴1＞ba＞0.4.答案：D ∵1m＞1n11m n-＞0n mmn-＞0mn(n－m)＞0mn(m－n)＜0.5. 答案：B x 1＋x2＜0x1＜－x2，又∵f(x)＝x＋x3为奇函数，且在R上递增，∴f(x1)＜f(－x2)＝－f(x2)，即f(x1)＋f(x2)＜0.同理：f(x2)＋f(x3)＜0，f(x1)＋f(x3)＜0.以上三式相加，整理得f(x1)＋f(x2)＋f(x3)＜0.6.答案：M＞N方法一：M－N＝111111a ba b a b+--++++＝1111a ba b--+++＝2(1)(1)(1)aba b-++，由已知可得a＞0，b＞0且ab＜1，∴1－ab＞0，∴M－N＞0，即M＞N.方法二：MN＝22a ba b ab++++，∵0＜a＜1b，∴0＜ab＜1，∴2ab＜2，∴a＋b＋2ab＜a＋b＋2.∴22a ba b ab++++＞1.又M＞0，N＞0，∴M＞N.7.答案：ba＜b ma m++＜a nb n++＜ab由a＞b＞0，m＞0，n＞0，知ba＜b ma m++＜1，且b a ＜b na n++＜1，所以ab＞a nb n++＞1，即1＜a nb n++＜ab.8.答案：(－3,2) ∵－2＜b＜1，∴0≤|b|＜2. ∴－2＜－|b|≤0.而－1＜a＜2，∴－3＜a－|b|＜2.9.分析：(1)用定义法证明函数f(x)(2)在单调区间内，利用函数的单调性比较大小．解：(1)f(x)在其定义域上是减函数．证明：函数f(x)[0，＋∞)，设x1，x2∈[0，＋∞)且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝-＝(x1－x2．0，0，0.∴00.又∵x1＜x2，∴x1－x2＜0，∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，∴f(x)在[0，＋∞)上是减函数．(2)构造函数f(x)由(1)知，当x≥0时f(x)为减函数．M＝f(a)N＝f(a－1)且a＞a－1≥0，则f(a)＜f(a－1)，∴M＜N.10．解：∵二次函数y＝f(x)的图象过原点，∴可设f(x)＝ax2＋bx(a≠0)．∴(1),(1).f a bf a b=+⎧⎨-=+⎩∴1[(1)(1)],21[(1)(1)].2a f fb f f⎧=+-⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩∴f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)．∵1≤f(－1)≤2,3≤f(1)≤4，∴6≤f(－2)≤10，即f(－2)的范围是[6,10]．。
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1.2 绝对值不等式
1．绝对值三角不等式
练习
1．x为实数，且|x－5|＋|x－3|＜m有解，则m的取值范围是( )
A．m＞1 B．m≥1C．m＞2 D．m≥2
2．已知h＞0，a，b∈R，命题甲：|a－b|＜2h；命题乙：|a－1|＜h且|b－1|＜h，则甲是乙的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
3．已知|a|≠|b|，m＝，n＝，则m，n之间的大小关系是( )
A．m＞n B．m＜n C．m＝n D．m≤n
4．设|a|＜1，|b|＜1，则|a＋b|＋|a－b|与2的大小关系是( )
A．|a＋b|＋|a－b|＞2B．|a＋b|＋|a－b|＜2
C．|a＋b|＋|a－b|＝2D．不能比较大小
5．下列不等式中恒成立的个数是( )
①x＋≥2(x≠0)；
②＜ (a＞b＞c＞0)；
③＞ (a，b，m＞0，a＜b)；
④|a＋b|＋|b－a|≥2a.
A．4 B．3 C．2 D．1
6．若不等式|x＋1|＋|x－2|＜a无实数解，则a的取值范围是________．
7．函数y＝|x－4|＋|x－6|的最小值为________．
8．下列四个不等式：①log x10＋lg x≥2(x＞1)；
②|a－b|＜|a|＋|b|；
③≥2(ab≠0)；
④|x－1|＋|x－2|≥1，
其中恒成立的是________(把你认为正确的序号都填上)．
9．已知函数f(x)＝log2(|x－1|＋|x－5|－a)．
(1)当a＝2时，求函数f(x)的最小值；
(2)当函数f(x)的定义域为R时，求实数a的取值范围．
10．如果结论“≥”成立，请问不等式≤＋
成立吗？≤成立吗？说明理由．
参考答案
1.答案：C ∵|x－5|＋|x－3|≥|x－5＋3－x|＝2，
∴|x－5|＋|x－3|的最小值为2.
∴要使|x－5|＋|x－3|＜m有解，则m＞2.
2.答案：B 显然a与b的距离可以很近，满足|a－b|＜2h，但此时a，b与1的距离可以很大，因此甲不能推出乙；另一方面，若|a－1|＜h，|b－1|＜h，则|a－b|＝|a－1＋1－b|≤|a－1|＋|b－1|＜2h，即乙可以推出甲．因此甲是乙的必要不充分条件．3．答案：D 由绝对值不等式的性质，知|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|.
∴≤1≤.
4.答案：B 当(a＋b)(a－b)≥0时，|a＋b|＋|a－b|＝|(a＋b)＋(a－b)|
＝2|a|＜2，
当(a＋b)(a－b)＜0时，
|a＋b|＋|a－b|＝|(a＋b)－(a－b)|＝2|b|＜2.
5.答案：B ①不成立，当x＜0时不等式不成立；
②成立，
a＞b＞c＞0＞即＞，
又由于c＞0，
故有＞；
③成立，因为＝＞0(a，b，m＞0，a＜b)，故＞；
④成立，由绝对值不等式的性质可知：|a＋b|＋|b－a|≥|(a＋b)－(b－a)|＝|2a|≥2a，故选B.
6.答案：a≤3
7.答案：2 y＝|x－4|＋|x－6|≥|x－4＋6－x|＝2，当且仅当4≤x≤6时，等号成立．
8.答案：①③④∵x＞1，∴log x10＋lg x＝＋lg x≥2，①正确；
ab≤0时，|a－b|＝|a|＋|b|，②不正确；
∵ab≠0，与同号，
∴＝≥2，③正确；
由|x－1|＋|x－2|的几何意义知
|x－1|＋|x－2|≥1恒成立，④也正确；
综上①③④正确．。