高考数学一轮复习(讲+练+测)： 专题2.4 函数奇偶性与周期性(讲)

第04节函数奇偶性与周期性【考纲解读】【知识清单】1.函数的奇偶性对点练习下列函数为奇函数的是() A.y ＝x B.y ＝e xC.y ＝cos xD.y ＝e x－e －x【答案】D【解析】A ，B 中显然为非奇非偶函数；C 中cos y x =为偶函数. D 中函数定义域为R ，又()()()x x x xf x e e e e f x －－－＝－＝－－＝－，∴x xy e e －＝－为奇函数. 2.函数的周期性(1)周期函数：对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期. (2)最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期. 对点练习 设()fx 是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1，1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2，－1≤x <0，x ，0≤x <1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝________. 【答案】1【考点深度剖析】函数的奇偶性、周期性，通常与抽象函数以及函数的单调性结合考查，往往以选择题或填空题的形式出现.其中函数的周期性，浙江卷常通过三角函数加以考查．【重点难点突破】考点1函数奇偶性的判断【1-1】下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是() A.y ＝x ＋sin2x B.y ＝x 2－cos x C.y ＝2x＋12xD.y ＝x 2＋sin x【答案】D【解析】对于A ，定义域为R ，()()() ) 2(2f x x sin x x sin x f x －＝－＋－＝－＋＝－，为奇函数；对于B ，定义域为R ，()22()()()f x x cos x x cosx f x －＝－－－＝－＝，为偶函数；对于C ，定义域为R ，()2(12)122x x x x f x f x -－－＝＋＝＋＝，为偶函数；2y x sinx ＝＋既不是偶函数也不是奇函数，故选D.【1-2】已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1，2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是() A.－13B.13C.12D.－12【答案】B【解析】依题意0b ＝，且(2)1a a ＝－－，∴13a ＝，则13a b +＝. 【领悟技法】判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2)判断()f x 与()f x -是否具有相等关系或者相反关系.在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式()0()f x f x ＋－＝(奇函数)或()0()f x f x -－＝(偶函数)是否成立.【触类旁通】【变式一】已知函数()f x 对一切,x y R ∈，都有()()()f x y f x f y +=+，则()f x 为()A ．偶函数B ．奇函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数 【答案】B【变式二】已知函数1()3()3x xf x =-，则()f x （A ）是奇函数，且在R 上是增函数 （B ）是偶函数，且在R 上是增函数（C ）是奇函数，且在R 上是减函数 （D ）是偶函数，且在R 上是减函数【答案】A【解析】()()113333xxxx f x f x --⎛⎫⎛⎫-=-=-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数是奇函数，并且3x 是增函数，13x⎛⎫ ⎪⎝⎭是减函数，根据增函数-减函数=增函数，所以函数是增函数，故选A. 考点2函数奇偶性的性质及应用【2-1】函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的的取值范围是 A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3]【答案】D 【解析】【2-2】若函数(),()f x g x 分别是R 上的奇函数、偶函数，且满足()()xf xg x e -=，则有()A ．()()()230f f g <<B ．()()()032g f f <<C ．()()()203f g f <<D ．()()()023g f f << 【答案】D【解析】由题意，得()()()()xxf xg x ef xg x e-⎧-=⎪⎨--=⎪⎩解得()()22x xx xe ef x e eg x --⎧-=⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩ 故(0)1g =-，()f x 为R 上的增函数，()()023f f <<，故()()()023g f f <<． 【2-3】偶函数()y f x =在区间[0,4]上单调递减，则有（） A.(1)()()3f f f ππ->>-B.()(1)()3f f f ππ>->-C.()(1)()3f f f ππ->->D.(1)()()3f f f ππ->->【答案】A.【解析】由题意得，014(1)(1)()()()33f f f f f πππππ<<<<⇒-=>>=-，故选A.【领悟技法】1．已知函数的奇偶性求函数的解析式．抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性产生关于()f x 的方程，从而可得()f x 的解析式．2．已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数．常常采用待定系数法：利用()()0f x f x ±－＝产生关于字母的恒等式，由系数的对等性可得知字母的值．3．奇偶性与单调性综合时要注意奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反． 【触类旁通】【变式一】已知函数()()2,0{,0x x f x g x x >=<是偶函数，则()2f -=（）【答案】C【变式二】若函数f (x )=ln(x x 为偶函数，则a = 【答案】1【解析】由题知ln(y x =是奇函数，所以ln(ln(x x +-=22ln()ln 0a x x a +-==，解得a =1.考点3函数周期性及综合应用【3-1】设定义在R 上的函数()f x 满足()()22012f x f x ⋅+=，若()12f =，则()99________f =． 【答案】1006【解析】∵()()22012f x f x ⋅+=，∴()()242012f x f x +⋅+=，∴()()4f x f x =+，∴()f x 是一个周期为4的周期函数，∴()99(4251)(1)f f f =⨯-=-．∵(1)(12)2012f f --+=，∴()99f ＝2012(1)f ＝1006． 【3-2】已知()f x 是R 上的奇函数，对x R ∈都有(4)()(2)f x f x f +=+成立，若(1)2f -=-，则(2013)f 等于（）A ．2B ．﹣2C ．﹣1D ．2019 【答案】A【3-3】已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋2)＝－1f （x ），当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则()105.5f ＝______. 【答案】2.5【解析】()[(2)]42f x f x ＋＝＋＋＝－()()12f x f x =＋.故函数的周期为4.∴()()105.5427 2.()(5 2.5 2.5)f f f f ⨯＝－＝－＝.∵2 2.53≤≤，由题意，得()2.5 2.5f ＝.∴()105.5 2.5f ＝. 【领悟技法】1．求函数周期的方法求一般函数周期常用递推法和换元法，形如y ＝Asin(ωx ＋φ)，用公式T ＝2π|ω|计算．递推法：若f(x ＋a)＝－f(x)，则f(x ＋2a)＝f[(x ＋a)＋a]＝－f(x ＋a)＝f(x)，所以周期T ＝2a.换元法：若f(x ＋a)＝f(x －a)，令x －a ＝t ，x ＝t ＋a ，则f(t)＝f(t ＋2a)，所以周期T ＝2a ．2．判断函数的周期只需证明f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T ，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．3．根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T 是函数的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是函数的周期．4.关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题，体现了转化思想． 【触类旁通】【变式一】已知定义域为R 的奇函数()f x 满足()()30f x f x -+=，且当()()2log 27f x x =+，则()2017f =（）A.-2B.2log 3C.3D.2log 5- 【答案】D【变式二】已知f (x )是定义在R 上的偶函数，g (x )是定义在R 上的奇函数，且g (x )＝f (x －1)，则f (2017)＋f (2019)的值为() A.－1 B.1C.0D.2【答案】C【解析】由题意，得(()1)g x f x －＝－－，又∵()f x 是定义在R 上的偶函数，()g x 是定义在R 上的奇函数，∴()()g x g x －＝－，()()f x f x －＝，∴()11()f x f x －＝－＋，即1((10))f x f x －＋＋＝. ∴()()2 017 2 019 2 0()()181 2 01810f f f f ＋＝－＋＋＝.【易错试题常警惕】易错典例1：若函数f (x )＝k －2x 1＋k ·2x 在定义域上为奇函数，则实数k ＝________.易错分析：解题中忽视函数f(x)的定义域，直接通过计算f(0)＝0得k ＝1.正确解析：∵221()122x x x x k k f x k k---⋅--==+⋅+，∴(2)(2)(21)(12)()()(12)(2)x x x x x x k k k k f x f x k k -++⋅-+⋅-+=+⋅+22(1)(21)(12)(2)x x xk k k -+=+⋅+，由()()0f x f x -+=可得21k =，∴1k =±． 温馨提醒：已知函数的奇偶性，利用特殊值确定参数，要注意函数的定义域．易错典例2：定义在R 上的函数f(x)既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个正周期．若将方程f(x)＝0在闭区间[－T ，T]上的根的个数记为n ，则n 可能为 ()A ．0B ．1C ．3D ．5易错分析：没有经过严密的逻辑分析，直接根据()()()00f T f T f ＝－＝＝，就想当然地认为方程的根的个数就只有3个．温馨提醒：对于抽象函数要善于找具体的“函数模型”，联想其性质去推证欲证的函数性质，但不能用具体函数代替去解决问题；解决“抽象函数”问题一般采用赋值法，本题可联系y=sinx的图象和性质类比解题．【学科素养提升之思想方法篇】数形结合百般好，隔裂分家万事休——数形结合思想我国著名数学家华罗庚曾说过:"数形结合百般好，隔裂分家万事休。