三个连续数乘积的连续和
1×2×3×4×5×……×30的结果的末尾有几个连续的零
1×2×3×4×5×……×30的结果的末尾有几个连续的零从1到10，连续10个整数相乘：1×2×3×4×5×6×7×8×9×10。
连乘积的末尾有几个0？答案是两个0。
其中，从因数10得到1个0，从因数2和5相乘又得到1个0，共计两个。
刚好两个0？会不会再多几个呢？如果不相信，可以把乘积计算出来，结果得到原式=3628800。
你看，乘积的末尾刚好两个0，想多1个也没有。
那么，如果扩大规模，拉长队伍呢？譬如说，从1乘到20：1×2×3×4×…×19×20。
这时乘积的末尾共有几个0呢？现在答案变成4个0。
其中，从因数10得到1个0，从20得到1个0，从5和2相乘得到1个0，从15和4相乘又得到1个0，共计4个0。
刚好4个0？会不会再多几个？请放心，多不了。
要想在乘积末尾得到一个0，就要有一个质因数5和一个质因数2配对相乘。
在乘积的质因数里，2多、5少。
有一个质因数5，乘积末尾才有一个0。
从1乘到20，只有5、10、15、20里面各有一个质因数5，乘积末尾只可能有4个0，再也多不出来了。
把规模再扩大一点，从1乘到30：1×2×3×4×…×29×30。
现在乘积的末尾共有几个0？很明显，至少有6个0。
你看，从1到30，这里面的5、10、15、20、25和30都是5的倍数。
从它们每个数可以得到1个0；它们共有6个数，可以得到6个0。
刚好6个0？会不会再多一些呢？能多不能多，全看质因数5的个数。
25是5的平方，含有两个质因数5，这里多出1个5来。
从1乘到30，虽然30个因数中只有6个是5的倍数，但是却含有7个质因数5。
所以乘积的末尾共有7个0。
乘到30的会做了，无论多大范围的也就会做了。
小学五年级数学奥数题100道及答案(完整版)
小学五年级数学奥数题100道及答案(完整版)题目1：计算：1 + 2 + 3 + 4 + 5 + …+ 99 + 100答案：5050解析：这是一个等差数列求和，公式为（首项+ 末项）×项数÷ 2 ，即（1 + 100）×100 ÷2 = 5050题目2：有三个连续自然数，它们的乘积是60，求这三个数。
答案：3、4、5解析：将60 分解质因数60 = 2×2×3×5 = 3×4×5题目3：一个数除以5 余3，除以6 余4，除以7 余5，这个数最小是多少？答案：208解析：这个数加上 2 就能被5、6、7 整除，5、6、7 的最小公倍数是210，所以这个数是210 - 2 = 208题目4：甲、乙两车同时从A、B 两地相向而行，在距A 地60 千米处第一次相遇。
各自到达对方出发地后立即返回，途中又在距A 地40 千米处相遇。
A、B 两地相距多少千米？答案：110 千米解析：第一次相遇时，两车共行了一个全程，甲行了60 千米。
第二次相遇时，两车共行了三个全程，甲行了60×3 = 180 千米。
此时甲距离 A 地40 千米，所以两个全程是180 + 40 = 220 千米，全程为110 千米。
题目5：鸡兔同笼，共有头48 个，脚132 只，鸡和兔各有多少只？答案：鸡30 只，兔18 只解析：假设全是鸡，有脚48×2 = 96 只，少了132 - 96 = 36 只脚。
每把一只鸡换成一只兔，脚多4 - 2 = 2 只，所以兔有36÷2 = 18 只，鸡有48 - 18 = 30 只。
题目6：小明从一楼到三楼用了18 秒，照这样计算，他从一楼到六楼需要多少秒？答案：45 秒解析：一楼到三楼走了 2 层楼梯，每层用时18÷2 = 9 秒。
一楼到六楼走5 层楼梯，用时5×9 = 45 秒。
部编版数学五年级暑假第6讲.质数与合数进阶.优秀A版
也是当今科学探索的热点和难点之一。
第 9 级上 优秀 A 版 教师版 3
例3
甲数比乙数大 5，乙数比丙数大 5，三个数的乘积是 6384，求这三个数？ (学案对应：学案 2) 【分析】将 6384 分解质因数， 6384 2 2 2 23 7 19 ，则其中必有一个数是 19 或 19 的倍数；
第 6讲
第六讲 质数与合数进阶
知识站牌
四年级春季 整除特征进阶
五年级寒假 五年级秋季 因数与倍数进阶 因数与倍数初步 五年级暑假
质数与合数进阶 五年级暑假
质数与合数初步
分解质因数； 因数个数(和)定理．
漫画释义
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课堂引入
一七四二年,哥德巴赫发现,每一个大于 4 的偶数都可以写成两个质数的和．例如 6=3+3,又如 24=11+13 等等．他对许多偶数进行了检验,都说明这是确实的．但是这需要给予证明．因为尚未经 过证明,只能称之为猜想．他自己却不能够证明它,就写信请教赫赫有名的大数学家欧拉,请他来帮忙 作出证明 ．一直到死, 欧拉也不能证明它．
答案：至少 156 天．
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附加题
1. 分解质因数,并写成标准式． (1)8547, (2) 7812 39 【分析】(1)8547 3 7 1137 ；(2) 78 12 39 32 1322 33 13 23 33 132
2. 如图所示，点 B 是线段 AD 的中点，由 A、B，C，D 四个点所构成的所有线段的长度均为整数， 若这些线段的长度之积为 10500，则线段 AB 的长度是____.
五年级下册数学试题 - 第二单元《 因数与倍数》单元测试卷 人教版(含答案)
人教新版五年级下学期《2 因数与倍数》2020年单元测试卷一．2、3、5的倍数特征（共6小题）1．a□b是一个三位数，已知a+b＝13且a□b是3的倍数，方框中可填的数有（）个．A．1B．2C．3D．42．下列各数中，（）同时是3和5的倍数．A．18B．102C．453．用6、7、8、9这四个数可以组成的所有三位数中，有（）个是3的倍数．A．6B．9C．12D．154．利用数字卡片7、5、2组成三位数，其中5的倍数有．5．在5、4、3三个数中任取两个数组成一个两位数．既有因数3又是5的倍数是．6．因为9的倍数一定是3的倍数，所以3的倍数也一定是9的倍数．（判断对错）二．因数和倍数的意义（共6小题）7．a÷b＝7（a、b都是不为0和自然数）7和b都是a的（）A．质因数B．约数C．公约数8．下列说法中正确的是（）A．14是7的因数B．91是一个质数C．2.5与0.4互为倒数D．2和10是互为质数9．下面说法正确的是（）A．一个数的因数总比它的倍数小B．合数加合数，它们的和一定是合数C．偶数加偶数，它们的和一定是偶数10．24的因数共有个，选择其中四个组成比例为．11．4×8＝32，是的因数，是的倍数．12．一个数的因数一定比它的倍数小．．（判断对错）三．找一个数的因数的方法（共6小题）13．一个三位数，个位上的数是0，这个数一定能被（）整除．A．2和3B．2和5C．3和5D．2、3和514．自然数a分解质因数是a＝2×32×5，那么a的约数有（）个．A．3B．6C．12D．1815．一个两位数，由3个不同的质数相乘得到，这个两位数的因数一共有（）个．A．3B．4C．6D．816．从12的因数中，选出4个不同的因数组成一个比例是．17．有一个数，它既是45的因数，又是45的倍数，这个数是，把这个数分解质因数是．18．18的最大因数和最小倍数相等．（判断对错）四．找一个数的倍数的方法（共6小题）19．一个三位数是2、3、5的倍数，这个三位数最小是（）A．100B．105C．120D．99020．在四位数21□0的方框里填入一个数字，使它能同时被2、3、5整除，最多有（）种填法．A．2B．3C．4D．521．17所有的倍数都是（）A．质数B．合数C．质数或合数D．无法确定22．用1，0，8三个数字组成三位数，其中能被2整除的最大数是；能被3整除的最小数是；能被2，3，5整除的数是．23．一个三位数23□，当□中填时，它既能被2整除，又是3的倍数；当□中填时，这个数既是偶数，同时又含有约数5．24．三个连续自然数的乘积一定是6的倍数．．（判断对错）五．公倍数和最小公倍数（共6小题）25．323至少要加上（）才是2和3的公倍数．A．1B．2C．3D．426．下面四句话中，表述正确的语句共有（）（1）周长相等的正方形和圆，圆的面积大．（2）两个数的公倍数一定比这两个数都大．（3）圆锥体的体积是与它等底等高圆柱体体积的三分之一（4）若干个相同的梯形一定能够进行图形密铺．A．1句B．2句C．3句D．4句27．同学们去社区做好事，每组6人或9人，都正好不多也不少．去社区做好事的同学至少有（）人．28．已知m＝n+1（m、n均为不等于0的自然数），m、n的最小公倍数是；如果m 是奇数，那么n一定是数．29．两位数“2□”是3和4的公倍数，□里的数是．这个两位数与16的最大公因数是．30．一个数如果是2和3的公倍数，那么这个数肯定是6的倍数．（判断对错）六．因数、公因数和最大公因数（共5小题）31．下列（）组数的公因数是1、2、7和14．A．1，14B．14，21C．24，56D．28，4232．如果a÷b＝5，且a和b都是非零自然数，那么下面说法正确的是（）A．a和b的最大公因数是5B．a和5的最大公因数是bC．a和b的最小公倍数是a D．b和5的最小公倍数是a33．在3，4，8，9四个数中，能组成互质数的有（）对．A．2B．3C．434．在2、5、12、8中两两组合之后，只有公因数1的数有对．35．合数a的最大约数是，最小约数是，它至少有个约数．七．求几个数的最大公因数的方法（共5小题）36．甲数是乙数的倍数，甲、乙两数的最大公因数是（）A．甲数B．乙数C．1D．甲、乙两数的积37．6是（）的最大公因数．A．2和3B．3和6C．12和13D．18和2438．自然数a除以自然数b，商是10，那么a和b的最大公约数是（）A．a B．b C．10D．无法确定39．如果a÷b＝20（a、b均为非0自然数），那么a和b的最大公因数是，最小公倍数是．40．如果a÷b＝c（a、b、c均为整数，且b≠0）．那么a和b的最大公因数是，最小公倍数是．八．求几个数的最小公倍数的方法（共4小题）41．a和b是相邻的两个非零自然数，他们的最小公倍数是（）42．m是n的（m、n均为非零自然数），m与n两个数的最小公倍数是（）A．n B．1C．m D．mn43．两个数都是合数又是互质数，而且它们的最小公倍数是120，这两个数是（）A．4和30B．8和15C．5和2444．如果A是B的，A和B的最小公倍数是，它们的最大公因数是．九．合数与质数（共3小题）45．丁丁在肯德基订餐，他的订餐号是一个四位数，左起第一位是最小的自然数，第二位是最小的质数，第三位既是奇数又是合数，第四位是自然数的计数单位．他的订餐号是（）A．1920B．1390C．0291D．023146．下列各数中，是质数的是（）A．9B．8C．2D．447．如果a是一个质数，b是一个合数，那么下面（）的结果肯定是合数．A．a+b B．a﹣b C．a×1D．a×b一十．合数分解质因数（共3小题）48．把24分解质因数是（）A．24＝3×8B．24＝2×3×4C．24＝2×2×2×3D．24＝6×4×1 49．一个合数分解质因数为N＝a×b×c，它的约数有（）个．（a、b、c不相等）A．6B．7C．850．将30分解质因数，正确的是（）A．30＝1×2×3×5B．2×3×5＝30C．30＝2×3×5D．30＝6×5人教新版五年级下学期《2 因数与倍数》2020年单元测试卷参考答案与试题解析一．2、3、5的倍数特征（共6小题）1．【解答】解：根据3的倍数特征，a□b是一个三位数，已知a+b＝13，且a□b是3的倍数，□中可能填的数有2、5、8共3个．故选：C．2．【解答】解：同时是3和5的倍数必须满足：末尾是0或5，并且各个数位上的和能被3整除；18个位上是8，不是5的倍数，102个位上是2，不是5的倍数，45是5的倍数，4+5＝9，是3的倍数．故选：C．3．【解答】解：①选6、7、8时，组成的三位数有：678、687、768、786、867、876；②选7、8、9时，组成的三位数有：789、798、879、897、978、987；所以一共有12个是3的倍数．故选：C．4．【解答】解：利用数字卡片7、5、2组成三位数，其中5的倍数有725，275．故答案为：725，275．5．【解答】解：在5、4、3三个数中任取两个数组成一个两位数．既有因数3又是5的倍数是45．故答案为：45．6．【解答】解：由以上分析，9的倍数一定是3的倍数，但3的倍数不一定是9的倍数，如3和6是3的倍数，但是3和6不是9的倍数．所以“因为9的倍数一定是3的倍数，所以3的倍数也一定是9的倍数”的说法是错误的．故答案为：×．二．因数和倍数的意义（共6小题）7．【解答】解：a÷b＝7（a、b都是不为0和自然数），则a是b和7的倍数，7和b都是a故选：B．8．【解答】解：A、14是7的倍数，所以14是7的因数，说法错误；B、91是一个质数，说法错误，91的因数有1、7、13、91，是合数；C、2.5×0.4＝1，所以2.5与0.4互为倒数，说法正确；D、2和10是互为质数，说法错误，因为2和10有公因数1、2；故选：C。
连续进位的笔算乘法教案
连续进位的笔算乘法教案连续进位的笔算乘法教案1设计说明本节课教学的是多位数乘一位数连续进位的笔算乘法，尽管算理和算法与不连续进位的笔算乘法相同，但相对比较复杂，学生计算时也更容易出错，因此，在教学本节课时，不仅要在学生的探究过程中给予适当引导，还要通过对比教学，突破连续进位的难点。
1.自主探究，适时指导。
由于连续进位的笔算乘法与不连续进位的笔算乘法的计算方法和算理相同，因此先让学生尝试独立完成计算，再在小组内交流计算方法。
教师在学生自主探究过程中，针对学生容易出错的地方给予适时指导，并帮助分析原因，加深学生的印象，促进学生对算理的理解和对算法的掌握。
同时，在精确计算前，让学生估一估积的范围，培养学生用估算来检验精确计算结果的习惯。
2.加强对比，突破难点。
教学过程中，通过两个对比来突破难点。
一是把连续进位与不连续进位的笔算乘法的过程加以对比；二是将三位数乘一位数的进位叠加和两位数乘一位数的进位叠加进行对比。
通过对比，让学生再次体会“哪一位相乘满几十就要向前一位进几”的计算方法，同时引导学生牢记两点：一是把进位的数写在竖式相应位置的横线上；二是算前一位的积时不要漏加后面进位进上来的数。
通过对比和练习，提高学生计算的准确性，并培养学生检验的习惯。
课前准备教师准备PPT课件教学过程⊙复习旧知1.计算下列各题。
（课件出示）2.说一说上面两道题的笔算方法。
（从个位乘起，乘到哪一位，积就写在哪一位的下面，哪一位相乘的积满几十，就向前一位进几）设计意图：“温故而知新”，课前进行乘加两步混合计算及多位数乘一位数（不连续进位）的笔算乘法的训练，为学习新知作铺垫。
⊙探究新知1.课件出示教材62页例3。
（1）观察情境图，收集、整理数学信息。
（已知条件：饮料每箱24瓶，共9箱；所求问题：9箱饮料一共有多少瓶）2.学生独立列式。
（24×9）（1）学生估算9箱大约有多少瓶饮料，然后汇报估算方法及结果。
方法一10箱是240瓶，9箱一定比240瓶少。
2020年北师大版数学五年级下册重难点题型训练第三章《分数乘法》章节常考题集锦(解析版)
2020年北师大版数学五年级下册重难点题型同步训练第三章《分数乘法》章节常考题集锦参考答案与试题解析一．选择题1．（2020秋•达州期中）“红花朵数的23等于黄花的朵数”关系式是()A．红花朵数=黄花的朵数23⨯B．黄花的朵数=红花朵数23⨯C．黄花的朵数=红花朵数2 3÷【解答】解：本题的关系式是：黄花的朵数=红花朵数23⨯．故选：B．2．（2020春•高台县校级期末）因为171911917⨯=，所以()A．1719是倒数B．1917是倒数C．1719和1917互为倒数【解答】解：因为17191 1917⨯=所以1719和1917互为倒数．故选：C．3．（2020春•昌宁县期中）()没有倒数．A．0 B．1 C．带分数D．假分数【解答】解：根据倒数的意义可知：0没有倒数．故选：A．4．（2020秋•泰兴市期末）1米的2(5)2米的15．A．>B．<C．=D．无法确定【解答】解：1米的25是215⨯米，2米的15是125⨯米，则1米的25等于2米的15．故选：C．5．（2020秋•南京期末）下面三幅图中表示2354⨯的积是( )A ．B ．C ．【解答】解：2354⨯表示求单位“1”的25的34是多少，2363542010⨯==，如图：故选：B ． 6．(北京市第二实验小学学业考)求59的34是多少？列式为( )A ．5394+ B ．5394⨯ C ．5394÷【解答】解：5359412⨯=．答：59的34是512．故选：B ．7．（2020秋•港南区期末）因为34143⨯=，所以( )A ．34是倒数 B ．43是倒数C ．34和43都是倒数 D ．34和43互为倒数【解答】解：因为34143⨯=，所以，34和43互为倒数．而不能说34或43或它们都是倒数．故选：D ．8．（2020秋•庐阳区期中）一个不为0的数乘以16后，这个数就() A ．扩大6倍 B ．缩小6倍 C ．大小不变。
小学奥数五年级上第3讲《质数与合数》教学课件
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(1)如果两个不同的质数相加等于26，那么这两个质数的乘积可能是多少？请全部写出.
(2)如果两个不同的质数相加等于25，那么这两个质数的乘积可能是多少？请全部写出.
如果我们要判断2011是不是质数，只需要验算45以内的质数，因为45×45=2025比2011大；有了这
个方法，同学们以后判断一个大数是不是质数就非常方便了.
例题讲解
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例题1：下面是主试委员会为第六届“华杯赛”写的一首诗： 美少年华朋会友，幼长相亲同切磋 杯赛联谊欢声响，念一笑慰来者多 九天九霄志凌云，九七共庆手相握 聚起华夏中兴力，同唱移山壮丽歌
练习3：请把下面的数分解质因数： (1)373；(2)12660. 答案： 373是质数； 126=22×3×5×211
例题讲解
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例题讲解
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例题4：算式1×2×3×…×100计算结果的末尾有多少个连续的0? 分析：乘积的末尾要出现一个0，只需要乘数中凑出一个10，那么能凑出来几个10，末尾
当的组合，凑出题目中的三个连续自然数，由于连续自然数相互之间比较接近，所以凑 的时候也必须尽量接近. 答案：102
极限挑战
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例题6：360与一个三位数的乘积是完全平方数,这个三位数最小是多少? 分析完全平方数是两个相同数的乘积,那么分解后它的每个质因数的指数都是偶数,而 360=23×32×5,它不是一个平方数.它最小再乘上多少,结果就是平方数了? 答案：160
五年级上册秋季数学思维拓展-质数与合数(教师版)
第3讲 质数与合数内容概述掌握质数与合数的概念；熟悉常用的质数，并掌握质数的判定方法；能够利用分解质因数的方法解决相关的整数问题；学会计算乘积末尾零的个数．典型问题兴趣篇1．(1)如果两个质数相加等于16，这两个质数有可能等于多少？(2)如果两个质数相加等于25，这两个质数有可能等于多少？(3)如果两个质数相加等于29，这样的两个质数存在吗？答案：（1）3,13或5,11。
（2）2,23 （3）不存在详解：利用奇偶性。
奇数+奇数=偶数，奇数+偶数=奇数。
两个质数和为奇数，必有质数22．有人说：“任何7个连续整数中一定有质数．”请你举一个例子，说明这句话是错的． 答案：90,91,92,93,94,95,963．请写出5个质数，使得它们正好构成一个公差为12的等差数列．答案：5,17,29,41,534．请把下面的数分解质因数：(1) 160；(2) 598；(3) 211.答案：（1）160=525×（2）21323××（3）211是质数5．三个自然数的乘积为84，其中两个数的和正好等于第三个数，请求出这三个数． 答案：3,4,7详解：分解质因数84=2237××，两个数的和等于第三个数，因此三个数分别为3,4,76．用一个两位数除330，结果正好能整除，请写出所有可能的两位数．答案：11,22,33,55,66,10,15,30详解：分解质因数330=23511×××，结果是两位数，枚举即可7．三个连续自然数的乘积等于39270.这三个连续自然数的和等于多少？答案：102详解：分解质因数39270=23571117×××××=333435××，三个数和为1028．请将2、5、14、24、27、55、56、99这8个数分成两组，使得这两组数的乘积相等． 答案：5,14，24和99为一组；2,27,55和56为一组详解：分别分解质因数，讲质因子平均分到两组即可9．请问：算式l x2 x3×…×15的计算结果的末尾有几个连续的0?答案：3个详解：连乘结果末尾0的个数取决于有几个10相乘，10=25×，2的个数明显要多于5的个数，因此只要算出有几个5即可。
五年级数学质数和合数练习题及答案
③18=（）＋（）＋（）
④24=（）＋（）=（）＋（）=（）＋（）
二、判断。
1．奇数都比偶数小。(ห้องสมุดไป่ตู้)
2．质数与质数的乘积还是质数。( )
3．两个质数的和一定是偶数。( )
4．质数不一定是奇数，合数不一定是偶数。（）
5．偶数+偶数＝偶数，奇数+奇数＝奇数。（）
答案：
一、
1．7、11、132.27、29、313.2、3；8、9、10和20、21、22等等
4.①5、3②2、3、7③2、5、11④11、13；19、5；7、17
二、×××√×
质数和合数练习题及答案
一、填空。
1、有三个质数，它们的乘积是1001，这三个质数各是（）、（）、（）。
2、三个连续奇数的和是87，这三个连续的奇数分别是（）、（）、（）。
3、两个都是质数的连续自然数有（ ）和（ ）；三个数都是合数的连续自然数有（ ）和（ ）。
4、在括号里填上适当的质数。
①8=（）＋（）②12=（）＋（）＋（）
连续自然数及其乘积的位数分析
连续自然数及其乘积的位数分析曹振民（中国路桥工程有限责任公司，北京100011）摘要：分析了任意一组连续自然数及其乘积中各种数字位数的分布规律，推导出了4条相关定律和计算公式并给予证明，列举了几个计算的实例.关键词：连续自然数；乘积；位数中图分类号：O156.1文献标志码：A文章编号：2096-2134（2020）06-0013-040引言本福特定律给出了一堆按照一定方法选取的数字中首位数字的一些分布规律，并在实际工作中得到了应用.而在数论研究中，我们有时也经常需要了解一堆有一定规律（如连续自然数）的数字中末位数字[1]或者各种数字位数的分布规律情况，如连续自然数及其乘积在数论分析、计算机浮点计算等方面就得到了一定的应用.一些学者对此进行了相关研究[2-3]，但都是针对一些特例进行，不具备全局性.总的来说，目前对连续自然数及其乘积专门研究的还不多.今设集合X ，Y 分别为：X ={x |x =[x 1，x 2]}（x 1，x 2∈N ，x 2≥x 1），Y ={y |y =[y 1，y 2]}（y 1，y 2∈N ，y 2≥y 1），其中，[x 1，x 2]表示从x 1到x 2的连续自然数，[y 1，y 2]同理.在X 和Y 之间建立一个的二元关系———一般意义上的相乘关系，设它们的乘积为S ={（x ，y ）|x ∈X ，y ∈Y ，x *y }，显然X ，Y 和S 均为有限集.本文将在对集合X ，Y 及其乘积S 中的各种数字的奇偶性分析的基础上[4]，再对其位数进行分析.所谓位数，指的是对于任意自然数x 有几位数，本文用符号Len （x ）（x ∈Z ）表示.例如Len（345）=3（位），Len （988667）=6（位），Len （0）=1（位）.1一组连续自然数的位数分析先分析一组连续自然数中位数个数的计算公式.定律1对于给定的集合X =[x 1，x 2]（x 1，x 2∈N ，x 2≥x 1），其中位数为n 的个数为：S x （n ）=10n -x 1，n=n 1；9·10n-1，n 1<n<n 2；x 2+1-10n -1，n=n 2.⎧⎩⏐⏐⏐⏐⏐⎨⏐⏐⏐⏐⏐（1）式（1）中，S x （n ）为X 中位数为n 的个数，n =[n 1，n 2]，n ∈N ；n 1，n 2分别为x 1和x 2的位数，n 1=len （x 1），n 2=len （x 2）.证明对于任意n 位数来说，当n =1时，最小的n 位数为10n -1-1=0；当n >1时，最小的n 位数为10n -1，而最大的n 位数为10n -1.给定x 1的位数n 1=len （x 1），当n=n 1时位数的个数需从最大的n 1位减去x 1加1，即10n -1-x 1+1=10n -x 1（同样适合于n =1的情况）；同理，当n=n 2=len （x 2）时位数的个数需要从x 2减去最小位数，即x 2-（10n-1+1）=x 2-10n -1-1；当n 1<n<n 2时，n 位数的个数为最大n 位数减去最小n 位数，即（10n -1）-（10n -1）+1=9×10n -1.定律1证毕！收稿日期：2020-09-02作者简介：曹振民（1963-），男，陕西蒲城人，教授级高级工程师，硕士研究生，主要研究方向为数论及概率论.DOI ：10.13933/ki.2096-2134.2020.06.004喀什大学学报Vol.41No.6第41卷第6期显然有n 2n =n 1∑S x （n ）=|X |=x 2-x 1+1，即各种位数个数之和等于X 的基数.证明从略.例1求（23~287655798）之间各种位数的个数.解设X =[22，2798]，x 1=23，x 2=287655798，则n 1=len （x 1）=2，n 2=len （x 2）=9，即在X 中包含了n =[2，9]位数的数字.根据公式（1）得：S x （n ）=10n -x 1=102-23=77，n=2；9·10n-1，2<n<9（n ∈N ）；x 2+1-10n -1=187655799，n=9；⎧⎩⏐⏐⏐⏐⏐⎨⏐⏐⏐⏐⏐9n =2∑S x（n ）=77+9×（103+104+105+106+107+108）+187655799=|X |=x 2-x 1+1=287655776.2两组连续自然数乘积的位数分析设两组连续自然数集合为X =[1，x ]（x ∈N ，x ≥1），Y =[1，y ]（y ∈N ，y ≥1），其乘积S ={（x ，y ）|x ∈X ，y ∈Y ，x *y }.我们下面分析S 中的各种数字位数的个数.可分为如下三种情况.2.1第一种情况：x ，y 充分大由于x <∞，y <∞都充分大，所以S 中包含了任意多的位数，对此有如下定律.定律2对于给定的连续自然数集合X =[1，x ]，Y =[1，y ]（x ，y ∈Z +），其乘积S ={（x ，y ）|x ∈X ，y ∈Y ，x *y }中位数为n 的数字的个数为S （n ）=k （n ）x i =1∑⌊k （n ）x i∑」-k （n-1）x i =1∑⌊k （n -1）x i∑」，（2.1）且有ni =1∑S（i ）=k （n ）x i =1∑⌊k （n ）x i∑」，（2.2）式（2.1）中，S （n ）为S 中位数为n （n ∈N +）的个数，⌊x 」为对实数x 向下取整的值；k （n ）为参数，k （n ）=10n -1，n 为所求的数字位数的编号.证明为了形象理解集合S ={x *y }中各种数字位数的分布情况，现引入一组如图1所示的双曲函数族xy=k （n ），其中k （n ）=10n -1（n ，x ，y ∈N +）.可以看出，S 中n 位数的个数，实际上可以转化为求不等式xy ≤k （n ）整数解的问题.对于充分大的x 和y ，S 中的1位数为区间{x >0，y >0，xy ≤9}内的整数点集合，2位数为9<xy ≤99内整数点集合，…，n 位数则分布于10n -1<xy ≤10n +1-1区间内.图2给出了所有1位数的个数，即y ≤9/x 的整数解的点阵分布；其余位数点阵分布同理.从而得出1位数的个数为：S （1）=⌊9/1」+⌊9/2」+⌊9/3」+...+⌊9/9」=9x i =1∑⌊9x i∑」；同样，1位数和2位数的总个数为y ≤99/x 中整数解的集合，即S （1）+S （2）=⌊99/1」+⌊99/2」+⌊99/3」+...+⌊98/99」+⌊99/99」=9x i =1∑⌊9x i∑」；图1双曲函数及数字位数区域示意图图2一位数整数点阵示意图所以S （2）=99x i =1∑⌊99x i∑」-S （1）=99x i =1∑⌊99x i∑」-9x i =1∑⌊9x i∑」.（1）设k （n ）=10n-1，同理得出：ni=1∑S（i ）=S （n ）+S （n -1）+S （n-2）+…+S （1）=10n -1x i =1∑=⌊10n-1x i=k （n ）x i =1∑⌊k （n ）x i∑」，S （n ）=10n-1x i =1∑⌊（10n -1）/x i 」-10n -1-1x i =1∑⌊（10n -1-1）/x i 」=k （n ）x i =1∑⌊k （n ）x i∑」-k （n -1）x i =1∑⌊k （n -1）x i∑」.定律2证毕！根据“向下取整”的定义，在公式（2.2）中，当x i >10n -1-1时有⌊（10n -1-1）/x i 」=0，所以，公式（2.2）也可表达成∞i =1∑S （i ）=k （n ）x i =1∑⌊k （n ）x i∑」的形式，它是常数k （n ）与调和级数∞n =1∑1n各项喀什大学学报第41卷14··2.2第二种情况：y=y 0，x 充分大这可看成y ≤y 0，x <∞与双曲函数族的相交范围内各种位数的情况（见图3）.图3y=y 0与双曲族相交示意图定律3设X =[1，x ]，Y =[1，y 0]（x ，y 0∈N ），其乘积S={（x ，y ）|x ∈X ，y ∈Y ，x *y ，y ≤y 0}中位数为n 的数字的个数为：S （n ）=y 0（x 0i -x 0（i-1））+k （n ）x i =1+x 0i∑⌊k （n ）x i∑」-k （n -1）x i =1+x 0（i -1）∑⌊k （n-1）x i，（2.3）且有n i =1∑S （i ）=y 0x 0n +k （n ）x i =1+x 0n∑⌊k （n ）x i，（2.4）式（2.3）中，S （n ）为S 中位数为n （n ∈N +）的个数；⌊x 」为对x 向下取整；k （n ）为参数，k （n ）=10n -1，n 为所求的数字位数的编号；x 0i 为y =y 0与xy=k （n ）的交点坐标向下取整，x 0i =⌊k （n ）/y 0」（i =1，2，3，…，n ）.证明引入双曲函数族xy =k （n ），设y =y 0与xy=k （n ）交点向下取整分别为x 01，x 02，…，x 0i ，…，x 0n ，其中x 0i =⌊k （n ）/y 0」（i =1，2，3，…，n ），如图3所示.对于i 位数来说，显然y=y 0把它分成了两部分，即区域1的0<x<x 0i 和区域2的x 0i <x .在区域1中，小于i 位数的个数为y 0*x 0i ;在区域2中，由于x 0i 为整数，x 0i <x 即为x 0i +1≤x ，根据公式（2.1），n 位数的个数为10i -1x i =1+x 0i∑⌊（10i-1）/x i」.据此分析，可分别求出各种位数个数为S （1）=y 0·x 0i +9x i =1+x 01∑⌊9/x i 」，S （1）+S （2）=y 0·x 02+99x i =1+x 02∑⌊99/x i 」；S （2）=y 0·（x 02-x 01）+99x i =1+x 02∑⌊99/x i 」-9x i =1+x 01∑⌊99/x i 」；同理S （3）=y 0·（x 03-x 02）+999x i =1+x 03∑⌊999/x i」-99x i =1+x 02∑⌊99/x i」；从而得出n i =1∑S （i ）=S （n ）+S （n -1）+S （n -2）+…+S （1）=y 0·x 0n +10n -1x i=1∑⌊10n-1x i .设k （n ）=10n-1，则有S （n ）=y 0·（x 0n -x 0（n-1））+k （n ）x i =1+x 02∑⌊k （n ）x i∑」-k （n -1）x i =1+x 0（n -1）∑k （n-1）x i∑.定律3证毕！当给定x ≤x 0，y<∞时，原理相同.有兴趣者可以试着给出计算公式.2.3第三种情况：x=x 0，y=y 0定律4设X =[1，x 0]，Y =[1，y 0]（x 0，y 0∈N ），其乘积S ={（x ，y ）|x ∈X ，y ∈Y ，x *y ，x ≤x 0，y ≤y 0}中位数的种类和位数的个数为：S （n ）=y 0（x 0i -x 0（i-1））+k （n ）x i =1+x 0i∑⌊10n-1x i」曹振民：连续自然数及其乘积的位数分析第6期乘积的取整之和，它也是调和级数的一种特殊形式“取整调和级数”.其性质我们将在另文中讨论.例2当x 和y 充分大时，求S=（1~x ）*（1~y ）中各种位数的个数.解把n =1，2，3…代入（1）式，求得k 1=9，k 2=99，k 3=999，…，再分别求得S （1），S （2），…，如下：S （1）=9x i =1∑⌊9/x i 」-100-1x i =1∑⌊（100-1/x i ）」=9x i =1∑⌊9/x i 」=9+4+3+2+1+1+1+1+1=23，S （2）=99x i =1∑⌊99/x i 」-9x i =1∑⌊9/x i 」=⌊99/1」+⌊99/2」+…+⌊99/99」-23=450，同理可求出其他各种位数的个数，计算结果见表1.位数n 1234567个数S （n ）234506580865901073071280327114875531表1S 中各种位数计算结果15··-k （n -1）x i =1+x 0（i -1）∑⌊10n-1-1x i」，（2.5）且有m i =1∑S（i ）=y 0·x 0，（2.6）式（2.5）中，S （n ）为S 中位数为n 的个数，n ∈N +，⌊x 」为对x 向下取整；m 为S 中最大位数，m =len （x 0*y 0），它同时也表示着S 中位数的种类；k（n ）为参数，k （n ）=10n-1，当k （n ）>x 0取k （n ）=x 0；x 0i 为y=y 0与xy=k （n ）的交点坐标向下取整的值，x 0i =⌊k （n ）/y 0」（i =1，2，3，…，m ），当x 0i >x 0时，取x i 0=x 0.证明引入双曲函数族xy =k （n ），设y =y 0与xy=k （n ）交点向下取整分别为x 01，x 02，…，x 0i ，…，x 0n ，其中x 0i =⌊k （n ）/y 0」（i =1，2，3，…，n ），最大的位数为m =len （x 0*y 0），如图4所示.显然，当位数n<m 时，各种位数的个数计算公式与（2.3）基本相同，不同点只在于计算范围的变化，即当x 0i >x 0或k （n ）>x 0时，取x 0i =k （n ）=x 0，从而证得（2.5）式；当n=m 时，所有数字的个数等于集合S 的基数，即S （1）+S （2）+…+S （m ）=|S |=x 0*y 0，证得（2.6）式.定律4证毕！图4x=x 0，y=y 0与双曲族相交示意图例3求S=（1~398）*（1~252）乘积中位数为5和6的数字的个数.解设x 0=398，y 0=252，其乘积S 的基数|S |=x 0*y 0=100296，最大位数m =len （|S |）=6位，即S 中共有6种位数的数字.由k （n ）=10n -1得，k 4=104-1>x 0，k 5=105-1>x 0，故取k 4=k 5=x 0=398，而y 0=252与xy=k （n ）的交点集合为：x 0i =⌊k （n ）/y 0」={⌊9/252」，⌊99/252」，⌊999/252」，…，⌊999999/252」={0，0，3，39，396，398}（注意x 06>x 0，取x 06=x 0=398），由公式（2.5）得：S （5）=y 0（x 05-x 04）+x 0x i =1+x 05∑⌊105-1x i 」-x 0x i=1+x04∑⌊104-1x i 」=252（396-39）+398x i=397∑⌊99999x i 」-398x i=40∑⌊9999x i 」=89964+502-22935=67531，S （6）=y 0（x 06-x 05）+398x i=399∑⌊106-1x i 」-398x i=397∑⌊105-1x i 」=252（398-396）+0-502=2.需要指出，对于X =[x 1，x 2]与Y =[y 1，y 2]（x 1，y 1，x 2，y 2∈N ，x 2≥x 1≥1，y 2≥y 1≥1）的乘积S 的位数计算，可先按照公式（2.5）求出S （i ）={（x ，y ）|x ∈X ，y ∈Y ，x *y ，x ≤x i ，y ≤y i }（i =1，2）中各种位数的个数，再由公式S （n ）=S （2）-S （1）求出S 中各种数字的位数，这里不再赘述.致谢：本文英文部分的翻译工作得到了陈钟同志的帮助，在此表示感谢！参考文献：[1]华罗庚，数论导引[M].北京：科学出版社，1979：1-15，458-470.[2]潘登斌.关于Z~m 的尾数问题[J].广西科学院学报，2003，19（2）：60-63.[3]杨继明.关于自然数方幂的末几位数[J].玉溪师专学报（综合版），1986，（4）：116-122.[4]曹振民.连续自然数及乘积的一些性质的分析[J].延安职业技术学院学报，2020，（10）.Analysis of the Digits of Continuous Natural Numbers and ProductsCAO Zhen-min（China Road and Bridge Corpoaation，Beijing 100011，China ）Abstract：This paper analyzes the distribution law of various numbers of digits in any set of continuous naturalnumbers and their products ，derives and proves four related laws and calculation formulas ，and lists several calculation examples.Key words：natural number；productp；number of digits；law喀什大学学报第41卷16··。
最难小学奥数题100道及答案(完整版)
最难小学奥数题100道及答案(完整版)题目1：有三个连续的自然数，它们的乘积是60。
这三个数分别是多少？解题方法：将60 分解质因数，60 = 2×2×3×5 = 3×4×5答案：3、4、5题目2：在一个减法算式里，被减数、减数与差的和是180，减数比差大10。
差是多少？解题方法：因为被减数= 减数+ 差，所以被减数+ 减数+ 差= 2×被减数= 180，被减数= 90。
又因为减数-差= 10，减数+ 差= 90，所以差= （90 - 10）÷2 = 40答案：40题目3：甲乙两人同时从A、B 两地相向而行，第一次在离A 地75 千米处相遇，相遇后继续前进，到达目的地后又立即返回，第二次相遇在离 B 地55 千米处。
A、B 两地相距多少千米？解题方法：第一次相遇时，甲走了75 千米，两人共走了一个全程。
从开始到第二次相遇，两人共走了三个全程，所以甲走了75×3 = 225 千米。
此时甲走了一个全程多55 千米，所以全程为225 - 55 = 170 千米答案：170 千米题目4：一个数除以5 余3，除以6 余4，除以7 余5。
这个数最小是多少？解题方法：这个数加上 2 就能被5、6、7 整除，5、6、7 的最小公倍数是210，所以这个数是210 - 2 = 208答案：208题目5：有一堆苹果，平均分给5 个人多4 个，平均分给6 个人多5 个，平均分给7 个人多6 个。
这堆苹果最少有多少个？解题方法：如果这堆苹果再多1 个，就能正好平均分给5 个人、6 个人、7 个人。
5、6、7 的最小公倍数是210，所以这堆苹果最少有210 - 1 = 209 个答案：209 个题目6：一个长方体，如果高增加2 厘米，就变成一个正方体。
这时表面积比原来增加56 平方厘米。
原来长方体的体积是多少立方厘米？解题方法：增加的表面积是 4 个相同的长方形的面积，长方形的宽是2 厘米，长就是正方体的棱长，正方体棱长= 56÷4÷2 = 7 厘米，原长方体高= 7 - 2 = 5 厘米，体积= 7×7×5 = 245 立方厘米答案：245 立方厘米题目7：甲、乙、丙、丁四人拿出同样多的钱，合伙订购同样规格的若干件货物。
三年级数学思维周周练
三年级数学思维周周练每道题的答题时间不应超过15分钟。
1.求三个连续奇数乘积的个位数字最小是多少?2.100×100×……×100-12所得结果的各位数字之和是__________。
10个100相乘3.三年级（1）班和（2）班共有少先队员66人，已知（1）班的少先队员人数是（2）班少先队员人数的一半，则（1）班有少先队员多少人？4.甲、乙两个图书馆共有图书11万册，如果甲馆的图书增加1万册，乙馆的图书减少2万册，则两馆的图书就相等了，那么，甲馆实际上有多少万册图书？5.按着下面规律，在空白处填上合适的图形。
6.200到600之间有________个奇数具有三个各不相同的数字。
7.下列竖式中A,B,C,D,E分别代表1~9中不同的数字，求使竖式成立的值，——————————ABCDE=______。
参考答案1.【解答】要求乘积的个位数字，只要求各个因数的个位数字的乘积即可。
三个连续奇数的个位数只能是1、3、5，乘积为15，个位数是5；或3、5、7，乘积为105，个位数是5；或5、7、9，乘积是315，个位数是5；或7、9、1，乘积是63，个位数是3；或9、1、3，乘积是27，个位数是7。
因此个位数最小为3。
2.【解答】原式=100……00-12=99……988，因此，各位数字之和为：20个018个918×9+2×8=178.3.【解答】66÷（2+1）=22（人）4.【解答】实际上甲馆比乙馆少3万册图书，因此甲馆有图书：（11-3）÷2=4（万册）5.【解答】图形的排列规律是：每一个图形都是由它前面的一个图形顺时针旋转90°而得到的。
因此答案为：6.【解答】若个位数字为1，则百位数字可从2、3、4、5,中任选一个，共四种选法，对应于百位数字的每种选法，十位数字只要不同于个位数字和百位数字即可.因此有8种选法，这样的三位数有4×8=32个;若个位数字为9或7时，同上，考虑可知满足条件的三位数也都是4×8=32个;若个位数字为3时，百位数字只有3种选法;2、4，或5，对应于百位数字的每种选法，十位数字都有8种选法，则这种情况下满足条件的三位数有3X8=24个;若个位数字为5时，同样也有满足条件的三位数共24个.因此，所有满足题目条件的三位数的个数为32×3+24×2=144个。
第23讲 最值问题-完整版
第23讲最值问题一内容概述求最大值与最小值的问题，解题时宜首先考虑起主要作用的量，有时还需要局部调整或者枚举各种可能情形。
和为定值的两数的乘积随着两数之差的增大而减少。
典型例题兴趣篇1． 3个连续奇数相乘，所得乘积的个位数字最小可能是多少？答案：3解析：3个连续奇数相乘，乘积的个位数字只有5种可能：①这3个奇数的个位数字分别为1、3、5时，乘积的个位数字为5．②这一3个奇数的个位数字分别为3、5、7时，乘积的个位数字为5．③这3个奇数的个位数字分别为5、7、9时，乘积的个位数字为5．④这3个奇数的个位数字分别为7、9、l时，乘积的个位数字为3．⑤这3个奇数的个位数字分别为9、1、3时，乘积的个位数字为7．因此，乘积的个位数字最小等于3．2．用1、2、4可以组成6个没有重复数字的三位数，这些三位数中相差最小的两个数之差是多少？答案：9解析：将这6个数按从大到小的顺序写出：421、412、241、214、11 2、1 2计算所有相邻两数的差：421-412=9,412-241=l7l, 241-214=27.214-142=72. 142-124=18.其中差最小的两个数是421与412，它们相差9．3．阿呆和阿瓜两人手里各拿着一张扑克牌，两人牌的点数之和刚好是10．请问两人牌的点数的乘积最大可能是多少？答案：25解析：两人牌的点数之和为10，那么两人牌的点数只能是1和9，2和8，3和7，4和6，5和5．它们乘积分别为9，1 6，21，24，25．所以两人牌的点教的乘积最大可能是25．4． 3个自然数的和是19，它们的乘积最大可能是多少？答案：252解析：3个数的乘积最大时．应该是它们每2个数的差都最小的时候．所以3个数的乘积最大寸，每2个数的差都等于O或1．它们的和等于19，19÷3=6……l，则这3个数是6、6、7时其乘积最大．所以乘积最大等于6×6×7=252．5． (1)请将1～4这4个数分别填人算式“口口×口口”的口中，要使得算式结果最大，应该怎么填？(2)请将1～6这6个数分别填入算式“口口口×口口口”的[中，要求5、6分别填在百位，4、3分别填在十位，1、2分别填在个位，并使得算式结果最大．应该怎么填？答案：(1) 41×32 (2) 631×542解析：(1)要使乘积最大，首位应当尽可能大，4、3填在十位上，这样1、2就填在个位上，此时这两个数的和固定，要使乘积最大，只要差最小即可．因此，乘积最大时应该是41×32．(2)因百位的两个数固定了，那么百位之和就固定了．同样个位、十位的和也固定了，所以这两个三位数的和一定，此时要使它们的乘积最大，只需使它们的差最小，因此6的后两位数应该尽量小，5的后两位数应该尽量大．那么这两个数就应该是631和042，即乘积最大时是631×542．6．在图23-1的中间O内填一个数，计算每一条线段两端的数之差（大减小），然后把这3个差数相加．那么所得的和最小是多少？答案：7解析：方法一：在中间的○内填上0，则3个差数分别是3、7、10，因此差数之和等于3+7+10=20．将0换成1，则3个差数都减1，则差数之和减3，等于20-3=17.同理，将1换成2后，差数之和等于17-3=14．将2换成3．差数之和等于l4-3=ll.将3换成4时．此时其中2个仍然是减1．有一个差数却由0变成了l，是加1，因此差数之和减1，等于11—1=10.同理，从4到7之间变化时，中间填的数每次加1，差数之和就减1，因此中间填7时，差数之和比填1到6都要小．将7换成8时，2个差数都加1，一个差数减1，因比差数之和加1．同样，将8换成9，9换成10，差数之和都加l.将10换成11， 11换成12，我们可以发现，以后中间的数每次加1，差数之和都会增加3.综上所述，中间填的数由1变到7时，差数之和选来越小；中间填的数由7变大时，差数之和越来越大．因此中问填7时，差数之和取到最小值，等于(7-3)+(7-7)+(10-7)=7方法二：①如果中间填的数是1～3，则每一线段两端的两数作差，都是用给出的数减去这个填的数，因此填的数越大，这3个差越小．所以这种情况下填3差数之和最小．②如果中间填的数是4～7，则这3个差中，一个己用这个数减去3．一个是用1O减去这个数，这2个差加起来就是10-3=7．还剩下一个差是7减去这个数，显然这个数等于7时，剩下的差数取到最小值．因此差数之和最小等于l．③如果中间填的数是7～10，则这3个差中，仍然一个是用这个数减去3，一个是用10减去这个数，这2个差加起来还是7．还剩下一个差是7减去汶个数，因此仍然是这个数等于7时，差数之和最小．④如果中间填的数大于等于10，则这3个差分别是用填的数减去3、7、10．显然这个数越小越好，因此当填10时，差数之和最小．综上所述，中间填1～3时，填3差数之和最小；填3～10时，填7差数之和最小；填10或比它大的势时，填10差数之和最小．因此当O内填7时，差数之和取到最小值7．7．在所有包含3个相同数码的四位数中，与1389之差（大减小）最小的一个是多少？答案：1411解析：①首位显然取1或2，又1000与1389更接近所以首位等于1．②百位数字应该等于3或4．如果百位是3，由于有3个数字相同，则这个四位数只能是1311或1333，其中1333与1389更接近，刖时它们的差等于1389 -1333=56．如果百位是4，则这个四位数只能是1411或1444，其中1411与1389更接近，此时它们的差等余1411-1389=22．因此有3个数字相同的四位数中，与1389最拒近的四位数为1411.8．把1～6这6个数分别填入算式“口口口一口口口”的口中，要求前一个三位数比后一个三位数大. (l)这个减法算式的结果最大可能是多少？(2)最小可能是多少？答案：(1)最大531 (2)最小47解析：(1)要使算式的结果最大，只要让被减数最大，德数最小就行，所以算式的结果最大为654-123=531.(2)要使算式的结果最小，就要使被减数尽量小减数尽量大，但是被减数要大于减数，因此应该使在减数比减教的首位大1，还应该使被减数的十位和个位组成的两位数尽量小，使减数的十位和个位组成的两位数尽量大．由1、2、3、4、5、6组成的两位数最小是12，最大是65，我们希望被减数为12，减数为65，这样还剩下3、4，取4为被减数的首位，3为减数的首位，刚好使被减数比减数的首位大1，满足我们的要求．因此原来算式的结果最小是412-365=47.9．一个自然数是由数字8、9组成的，它的任意相邻两位都可以看成一个两位数，并且这些相邻数字组成的两位数都不相等．请问：满足条件的自然数最大是多少？答案：99 889解析：如果这个自然数超过5位，则至少有5个相邻数字组成的两位数，而8、9最多兵能组成4个不同的两位数88、89、98、99．由简单抽屉原理，一定有两个相邻数字组成的两位数相同，这与题目条件矛盾，因此，这个自然数最多是五位数．从首位开始取，万位取9，千位取9，百位取8. -定要出现88，所以十位取8．个位取9．因此满足条件的最大自然数是99 889.10.如果3个互不相同的自然数之和为20，那么其中最小的数最大可能是多少？最大的数最小可能是多少？答案：5 8解析：要使最小的数最大，最大的数最小，则3个数尽可能接近，20÷3=6……2，又3个数互不相同，发现最接近的是5、7、8和0、6、9，所以最小的数最大是5，最大的数最小是8．拓展篇1．3个连续自然数相乘，所得乘积的个位数字最大可能是多少？答案：6解析：如果3个连续自然数的个位数字中有一个是O，则其乘积个位等于O；如果3个连续自然数的个位数字中有一个是5，其中必然还有一个是4或6，这时，它们乘积的个位也等于0．除此之外，3个连续自然数的个位数字还有可能是1、2、3，2、3、4，6、7、8，7、8、9这四种情况．因为1×2×3=6,2×3×4=24,6×7×8=336,7×8×9= 504，所以，3个连续自然数的乘积个位数字最大是6．2． (1)在五位数12435的某一位数字后面再插入一个同样的数字（例如：可以在2的后面插入2得到122435），这样得到的六位数最大可能是多少？(2)在七位数9876789的某一位数字后面再插入一个同样的数字，这样得到的八位数最小是多少？答案：(1) 124435 (2) 98766789解析：(1) 12435按要求插入数字，可以分别插在1、2、4、3、5后面，得到5个数：112435, 122435. 124435, 124335. 124355.比较可知，124435是其中最大的数．(2) 9876789按要求插入数字，可以分别插在9、8、7、6、7、8、9后面，得到7个数：99876789, 98876789, 98776789. 98766789,98767789, 98767889, 98707899.此较可知，98766789是其中最小的数．3．用24根长1厘米的火柴棒围成一个矩形，(1)这个矩形的面积最大是多少？(2)如果用22根火柴棒呢？答案：(1) 36平方厘米(2) 30平方厘米解析：(1) 24根火柴棒围成的矩形周长为24厘米，则长与宽的和为24÷2=12厘米．将这些矩形全列举出来：由表可得，当矩形的长与宽都是6厘米时，矩形面积最大是36平方厘米． (2) 22根火柴棒围成的矩形周长为22厘米，则长与宽的和为22÷2=ll厘米，同样列举：由表可得，当矩形的长等于6厘米、宽等于5厘米时，矩形面积最大是30平方厘米．4．有9个同学要进行象棋比赛，他们准备分成两组，不同组的人相互之间只比赛一场，同组的人之间不比赛．他们一共最多能比赛多少场？答案：20场解析：根据乘法原理，两组同学之间的比赛场数等于这两组人数的乘积．把9个人分成两组：两组人数可能分别是1和8、2和7、3和6、4和5四种情况．分别计算：1×8=8，2×7=14．3×6=18，4×5=20.因此当两组分成4个人和5个人时，比赛场数最多，一共比赛20场．5．3个互不相同的自然数之和是17，它们的乘积最大可能是多少？答案：168解析：3个数的和一定，3个数越接近积就越大．17÷3=5……2，因此在4、5、6左右尝试．17=4+5+8=4+6+7，比较这两组的乘积，可发现，当这3个数为4、6、7时，它们取得的最大乘积为4×6×7=168．6．请将2、3、4、5、6、8这6个数分别填人算式“口口口×口口口”的口中，要使得算式结果最大，应该怎么填？答案：842×653解析：要使积最大，首位应该最大，因此两个数的首位应该分别为8和6，那么十位就应该为5和4，个位为3和2．则一共有4种情况：853×642, 852×643, 843×652, 842×653.发现每组的两个数的百位都是8和6，百位之和相等；同理，十位之和，个位之和也相等．因此每组的两个数之和全都相等，和相等的两个数，差越小，积越大．这只需要看哪组数中8后面的数最小，6后面的数最大，容易找出是842和653.所以使得两个3位数乘积最大的填法是842×653.7．A请将6～9这4个数分别填入算式“口×口十口口”的口中，要使得算式结果最大，应该怎么填？答案：7×8+96解析：要使计算结果最大，两位数的十位应当尽量大，填9．前面的乘数比两位数的个位对结果的贡献更大，应填次大的8和7．因此两位数的个位取最小的数字6．所以计算结果最大的填法是7×8+968．在图23-2的中间○内填一个数，计算每一条线段两端的数之差（大减小），然后把这5个差数相加．问：所得的和最小是多少？答案：19解析：方法一：已经填出的5个○内的数最大是15，如果中间o内的数大于15，则计算每蔓谈筐诸端的两数之差时，中间O内的数都是被减数，求出的5个差之和肯定比中间填15时得到的和大，所以我们只需要考虑中间O内填1到15的情况：①中间O内的数填1～5时，它在1个差中是被减数，4个是减数，因此中间的数每多1，差数之和就少4-1=3．②中间O内的数填5～7时，它在2个差中是被减数，3个是减数．因此中间的数每多i，差数之和就少3-2=1．③中间O内的数填7～10时，它在3个差中是被减数，2个是减数，因此中间的数每多1，差数之和就多3-2=1．④中间O内的数填10～15时，它在4个差中是被减数，1个是减数，因此中间的数每多1，差数之和就多4-1=3．综上所述，当中间O内的数填7时．差数之和取到最小值，最小值等于(7 -1)+(7-5)一(7-7)+(10-7)+(15-7)=19．方法二：首先发现中间数应该是在l～15之间的数，那么这个数与1的差加上它与15的差之和为14，是个确定的值．则只需考虑这个中间的数与5、7、10 三个数的差之和最小即可．同样可以得到它一定在5～10之间，那么这个数与5的差加上它与10的差之和为5，也是个确定的值，所以足需考虑这个中间的数与7的差之和最小即可．显然，这个数等于7的时候，这5个差之和最小是14+5=19.9．如果7个互不相同的自然数之和为100，那么：(1)其中最小的数最大可能是多少？(2)最大的数最小可能是多少？答案：(1) 11 (2) 18解析：(1)为了使最小的数能最大，其他的数应最靠近最小的数，即其他数最好是把最小的数分别加上1、2、3、4、5、6得到的．先取最小的数为1，其他数取2、3、4、5、6、7，此时总和为1+2+3+4+5+6+7=28.离100还差72．如果把最小的数增加1，则其他每个数至少增加1，总和就要加7.72÷7=10……2，如果最小的数增加10，总和就会增加7×10=70;如果最小的数增加11，总和就会增加7×11=77，超过72，那么总和也会超过100．所以取11、12、13、14、15、16、19 1这7个数满己题目要求，因此最小的数最大是11．(2)同理，为了使最大的数能最小，其他的数应最靠近最大的数，即其他数最好是把最大的数分别减去1、2、3、4、5、6得到的，先取7作为最大的数，此时其他数为6、5.4、3、2、1，总和等于28.把最大的数增加10时，总和最多；增加7×10=70，即总和最多是98，因此最大的数至少要增加11.尝试后得，取18、17、16、10、14、13、7这7个数满足题目要求，因此最大的数最小是18．10．一个乡位数的各位数字互不相同，而且各位数字之和为23．(1)这样的多位数最小可能是多少？(2)最大可能是多少？答案：(1)最小689 (2)最大8 43210解析：(1) 9+8+6=23，至少要3个数字柜加才能等于23，所以满足条件的多位数至少是3位数．在各位数字互不相同的三位数中，个位与十位的和最大能是9+8=17，从而它的百位最小为23-17=6时，3位数最小为689.(2)由于0+1+2+3+4+5+6+7=28>23,8个最小的数字之和大亍23，因此满足条件的多位数至多是7位数，各位数字互不相同的7位数中，后6位数的和最小是0+1+2+3+4+5=15，从而它的百位最大为23-15=8，此时，7位数最大为8 543 210.11．有7个盘子排成一排，依次编号为1～7.每个盘子中都放有若干玻璃球，一共放了80个，其中1号盘子中放了18个玻璃球，并且任意编号相邻的3个盘子中放的玻璃球数之和都相等．请问：第6个盘子中最多可能放了多少个玻璃球？答案：12个解析：已知2号盘子中放了18个玻璃球，那么2、3、4、5、6、7号盘子中球的总个数就是80-18=62个．把它们分成两组：2、3、4-组，5、6、7一组，则两组的球数之和相等．因此每组有球62÷2=31个．则每相邻3个盘子中的球数之和等于31．1号盘子中放了18个球，那么 2.3号盘子中加起来就放了31-18=13个球．从而4号盘子中放了31-13=18个球．类似地，可知4、5、6号加起来的球数和5、6、7号加起来的球数一样，所以4号和7号盘子中的球数相等，于是1号、4号、5号盘子里均放有18个球，还余80 -18×3=26个，而2、3号盘子中的球数等于5、6号盘子中的球数，为26÷2=13个，如果5号盘子中最少放有1个球，那么6号盘子中最多放有13-1=12个球．12.黑板上写着1～10这10个数字，小明每次擦去2个奇偶性相同的数，再写上它们的平均数．最后当黑板上只剩下一个自然数时，这个数最大可能是多少？答案：9解析：擦去1、3，换成l；擦去2、2，换成2；擦去2、4，换成3；擦去3、5，换成4；擦去4、6，换成5；擦去5、7，换成6；擦去6、8，换成7；擦去7、9，换成8；擦去8、10，换成9．擦1到9不可能得到10，擦去10的时候，最多能和8一起擦去，因此不管怎么擦，能剩下的最大数一定是小于10，所以剩下的数最大为9．13．如图23-3，这是一个正方体的展开图．将它折成一个正方体后，相交于同一顶点的3个面上的数之和最大是多少？答案：13解析：观察图形可以看出，6和5是相对的两个面上的数，所以它们不可能相交于同一顶点．同理．得1和4是相对的两个面上的数，3和2是相对的两个面上的数．相交于同一顶点的3个面中不可能有相对的两个面，所以这3个数只能从(1，4)、(3，2)、(5，6)中各取1个数，使得和最大，当然应该取4、3、6．因此所求的和最大为4+3+6=13.14.如图23-4，在一个正方体方块的左下角A点处有一只蚂蚁，它要沿着正方体的表面爬行至右上角的B点，去搬运一块食物．为了使这只蚂蚁所走的路线长度最短，它应该怎么爬行？它可以选择的最短路线一共有几条？答案：最短路线：6条解析：两点之间线段最短，沿表面从A走到B，最少要经过两个面，一共有6种走法：①如图1所示．从A走到DE上，再从DE上走到B．将从A走到B经过的两个表面ACDE和DEFB剪下来铺成一个长方形，如图2所示．则蚂蚁所走的最短路径是线段AB.此时线段AB与DE交于点G，那么在正方体上，蚂蚁为了使得它所走的路径最短，应该从A走到G，再从G走到B．②从A走到CD上，再从CD上走到B．③从A走到EF上，再从EF上走到B．④从A走到MF上，再从MF上走到B．⑤从A走到CN上，再从CN上走到B．⑥从A走到MN上，再从MN上走到B．上面的每一种都可以像①一样找到一条最短路线，所以可以选择的最短路径一共有6条，超越篇1．一个两位数除以它的各位数字之和，余数最大是多少？答案：15解析：两位数除以它的各位数字之和，两位数的每一位都最多是9，两位数字之和最多是18 1因此余数肯定不超过17.①数字和是18的两位数只有99，99除以18余9，这样17不能达到；②数字和是17的两位数只有89和98两个，其中89除以1 7的余数是4，98除以17的余数是13，所以这个余数不能达到16；⑧由于79÷（7十9）=79÷16=4……15，即两位数79除以它的数字和余数是l0.所以这个最大的余数是15.2． 4个小朋友，每人的体重都是整数千克，而且其中任意3人体重之和都大于99千克，这4个小朋友体重之和最小是多少千克？答案：134千克解析：方法一：把4个小朋友中每3人体重之和都记下来，一共有4个和，每个和都不小于100千克．把这4个和加起来，这个总和不小于400千克．把4个“3人体重和”加起来，相当于把每个人的体重计算了3次，所以最后的总和相当于4人体重之和的3倍．这样，4人体重之和的3倍不少于400千克．那么，4人体重之和必须不小于400÷3—133{，由于体重之和一定是整数，所以最小是134．134是可能的，让4个小朋友的体重分别是33、33、34、34千克，他们中的任意3人体重之和都大于99千克．所以4个小朋友体重之和最小是33+33+34+34=134(千克)．方法二：不妨设4人中体重最大的是小明，如果小明体重不超过33千克，那么另外3人也都不超过33千克，这样他们3人的体重就不会大于99千克了，历以小明至少有34千克，另外3人体重之和至少为100千克，所以4人体重之和至少为34+lOO=134千克．让4个小朋友的体重分别是33、33、34、34千克，这时，他们中的任意3人体重之和都大于99千克，所以4个小朋友体重之和最小是33+33十34+34=134(千克)．3．将1～30依次写成一排：12345---282930，形成一个多位数，从这个多位数中划掉45个数字．(l)剩下的数最大是多少？(2)如果要求剩下的数首位不为O，这个数最小是多少？答案：(1)最大998930 (2)最小100120解析：从51位数“123…2930”中划掉45个数字，剩下一个6位数，相当于在51位数“123-2930”中从左到右的选出6个数字，让它们构成6位数．（1）为了使这个6位数最大，让它的前几位应该取尽量多的9，这个51位数中一共就有3个9，如果全都取出，则后面只剩3和o，不能得到6位数，所以这个6位数最大能是998abc.要求6位数最大，就先得让a最大，a最大能是9，这时6位数是998930.(2)为了使这个6位数最小，让它的第一位取得最小值1，然后要求前几位应该取尽量多的0，这个51位数中一共就有3个O，如果把3个O全都取出，则只能是4位数1000，不能是6位数．膨i以这个6位数最小能是1001zy．其中第一个1就是原来51位数的首位，中间的两个O来自10和20的O，后面的1来自21中的1．x、y是从222324252627282930中按顺序选出的两个数字，它们最小能是2、0，所以这个6位数最小能是100120.4．用1、2、3、4、6、7、8、9这8个数字分别组成2个四位数，使这2个数的差最小（大减小），这个差最小是多少？答案：139解析：假设较大的四位数是abcd．较小的四位数是efgh.显然，它们的首位a必须比e大，如果a比e大2．那么其差至少为1000多，如果只大1，那么只需让6小于f，它们的差就会小于1000，所以a比e大1．这时e、a的取值可能是1、2、3，3、4或6、7，7、8，8、9．又2个数的差要尽量小：①e、a的取值是1、2，bcd最小为346，fgh最大为987，两个四位数差为2346-1987=359；②e、a的取值是2、3，bcd最小为146，fgh最大为987，两个四位数之差为3146-2987=159；③e、a的取值是3、4，bcd最小为126，fgh最大为987，两个四位数之差为4126 -3987=139;④e、a的取值是6、7，bcd最小为123，fgh最大为984，两个四位数之差为7123-6984=139；⑤e、a的取值是7、8，bcd最小为123，fgh最大为964，两个四位数之差为8123-7964=159；⑥e、a的取值是8、9，bcd最小为123，fgh最大为764，两个四位数之差为9123-8764=359．综上所述．这两个四位数之差最小为4126-3087=139或7123-6984=139.5．将2～8这7个自然数填人算式“口口×口口一口口÷口”的口中，如果算式的计算结果为整数，那么这个结果：(1)最大是多少？(2)最小是多少？答案：(1)最大6452 (2)最小827解析：(l)这个算式，减号前面是两个两位数相乘，减号后面是一个除法算式，要使算式的计算结果达到最大，被减数应该是越大越好，减数应该是越小越好．①对于口口×口口，要使它最大．首位应该填8和7，十位应该填6和5，而且根据“两数和一定，越靠近则积越大”的性质，使得口口×口口取最大值的填法为85×76．对于口口÷口，要使它最小，被除数要越小越好，除数要越大越好．此时剩下数字2、3、4，那么口口÷口能取到的最小值为24÷3=8或32÷4=8．所以如果前面填85×76，整个算式的最大值就等于85×76 - 24÷3=6452．②如果前面乘积的4个数字不是5、6、7、8，那么乘积最多为84×76=6384，那么整个算式值小亍6384，当然小于6402.因此算式的最大值为6452.(2)①要使它最小，前面填数字2、3、4、5，后面填6、7、8最好，这样可以使乘积达到最小，从而整个算式也最小．同理，得24×35-78÷6=827.②如果前面乘积的4个数字不是2、3、4、5，分两种情况讨论：如果4个数字中没有2，那么乘积最少为35×46=1610，商最大为86÷2=43，那么整个算式值至少是1610-43=1567，远大于827．如果4个数字中有2，那么乘积最少为24×36=864，商最大为87÷3=29，那么整个算式值至少是864-29=835，大于827．因此算式的最小值为827.6．如图23-5，一只木箱的长、宽、高分别为5厘米、3厘米、4厘米．有一只甲虫从A点出发，沿棱爬行，每条棱只允许爬一次．(1)甲虫最多能爬行多少厘米？(2)如果要求甲虫最后回到A点，那么它最多能爬行多少厘米？答案：(1)39厘米(2)34厘米解析：(1)要使得爬行的距离最长，可以先看看甲虫能否爬行所有的边，这就是一个一笔画问题．又知一个图若能一笔画，那它除了起点与结束外，别的点都应该连出偶数条线．由于长方体的8个顶点都刚好连出3条线，为了能一笔画出这条路线，至少要将其中的6个顶点变为与偶数条线段相连，也就是歪少需要去掉3条线．所以为了使得甲虫爬行距离最长，最后甲虫应该不爬其中3条最短的边．甲虫可以按如下方式爬行：A-B-F-E-A-D-C-G-H-D，这时它爬行的距离是5×4+3+4×4=39厘米．(2)如果要求甲虫回到A点，它最多走8条边，要去掉4条边．①不能去掉4个3，因为这样甲虫所走的8条边就被分成了2个不连通的长方形．②考虑甲虫走的、3个方向：左右，前后，上下，如果它往左走了一步，必须得往右走一步才能回来，所以甲虫在3个方向走的路程一样，也就是4个3中得去掉偶数个，不能去掉4个，最多去掉2个，这样它最小要去掉两个长为3的边和两个长为4的边．它可以按如下方式爬行：A-B-F-E-H-G-C-D-A，这时它爬了5×4+4×2+3×2=34厘米。
第三章代数式+讲义+++2024—2025学年人教版数学七年级上册
第三章代数式任务一代数式1.定义用运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子称为代数式，例如，3a,t5,x+3y,a2,10+ba ,140 v.2.书写规范(1)在含有字母的式子中如果出现乘号，通常将数放在字母前，乘号写作“·”或省略不写.例如，100×t可以写成100·t或100t,m×n可以写成m·n或 mn.(2)当数字因数为“1”或“-1”时,常省略“1”.如1×xy写成 xy,-1×mn写成- mn.(3)带分数与字母相乘时，应把带分数化成假分数，如“12与a 的乘积”应写成“32a”.(4)字母与字母相除时，应写成分数的形式，如“m除以n”应写成‘4mn”(n ≠0).(5)式子后面有单位且式子是和或差的形式时，应把式子用括号括起来，如(2a+3b)元.[注意](1)同一问题中，相同的字母必须表示相同的量，不同的量必须要用不同的字母表示；(2)用字母表示实际问题中的某个量时，字母取值必须使式子有意义且符合实际情况.例1 填空：(1)一本字典的售价是56元，购买n本这样的字典需要元；(2)一台电视机的标价为a 元，则打八折后的售价为元；(3)温度由30℃下降t ℃后是℃.[答案](1)56n (2)0.8 a (3)(30-t)练 1.1 填空:(1)每包书有m册，13包书共有册；(2)若某地水稻每公顷的产量为n kg，则增产30%后每公顷的产量为 kg；(3)某水库的水位高度为 h m，上升2m后的水位高度为 m；(4)某班a 名学生参加植树节活动，其中男生有b名(b<a)，若只由男生完成任务，则每人需植树15棵，若只由女生完成任务，则每人需植树棵.例2a 的平方的2倍减去3的差，应写成 ( )A.2a²−3B.2(a²−3)C.(2a)²−3D. a²(2-3)[答案] A练2.1下列用代数式2x表示的含义中，错误的是 ( )A.如果用x表示买一本书的价格，那么2x可以表示买2本这种书的价格B.若某公园的成人票价是儿童票价的2倍，儿童票价为x，则2x可以表示成人票价C.一辆汽车每分钟行驶x米，行驶两分钟共行驶了 2x米D.如果用x 表示正方形的边长，那么2x 可以表示正方形的面积任务二正比例和反比例1.正比例：两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个量相对应的比值(商)一定，这两个量就叫作成正比例的量，它们之间的关系=k或y= kx来表示，其中k是一个确定的叫作正比例关系，可以用关系式yx值，且k≠0.2.反比例：两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个量的乘积一定，这两个量就叫作成反比例的量，它们之间的关系叫作反比例来表示，其中k是一个确定的值，且k≠关系，可以用关系式xy=k或y=kx0，k叫作比例系数.例3把相同体积的水倒入底面积不同的圆柱形容器中，容器的底面积与水的高度的变化情况如下表所示.(1)水的高度是怎样随着容器的底面积的大小变化而变化的?(2)相对应的容器的底面积与水的高度的乘积分别是多少?(3)用s 表示容器的底面积，h表示水的高度，用式子表示 s 与h 的关系，s与h成什么比例关系?解：(1)根据表格可以看出，相同体积的水倒入底面积不同的圆柱形容器中，水的高度是随着容器的底面积的变大而变低.(2)10×30=300,15×20=300,20×15=300,30×10=300,60×5=300,…,相对应的容器的底面积与水的高度的乘积都是300.,S与h成反比例关系.(3) sh=300或ℎ=300s练3.1下列各题中的两种量是否有比例关系? 如果有，成什么比例关系?(1)平行四边形的面积一定，它的底与高.( )(2)每公顷土地玉米的产量一定，玉米的总产量与土地公顷数.( ) (3)一根彩带的长度一定，已用的长度与未用的长度.( ) 任务三 代数式的值定义：一般地，用数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫作代数式的值.当字母取不同的数值时，代数式的值一般也不同.例4当a=2,b=-1,c=-3时,求代数式b-4ac 的值.解:当a=2,b=-1,c=-3时,b-4ac=-1-4×2×(-3)=-1+24=23. 练4.1 当a=3,b=2时,代数式a²+2ab +b²的值是 ( )A.5B.13C.21D.25任务四 闯关演练 1.下列代数式符合书写要求的是 ( ) A.−52a B.413mC.x÷yD. ab42.“比a 的2倍大1的数”用代数式表示是( ) A.2(a+1) B.2(a-1) C.2a+1 D.2a-13.某人去年收入m 万元，今年比去年减少5%．，则今年的收入为 万元. 4.请你为代数式6x+3y 赋予一个实际意义：5.(1)如果一个三角形的面积一定，那么它的一条边长a 与这条边上的高h 成 比例关系；如果一个三角形的高一定，那么它的面积和对应的底成 比例关系.(2)200名同学参加队列操表演，如果按每排人数相等的规定排列，那么每排的人数与排数成 比例关系.6.根据下列x ，y 的值，分别求出代数式 x²− 2xy +y²的值：,y=−4.(1)x=2,y=-3; (2)x=127.已知x-2y=-3,则5(x−2y)²−3(x−2y)+40的值为 ( )A.5B.94C.45D.-48.练思维：抽象能力填空：(1)若m为整数,则2m 为数,2m—1为数(填“奇”或“偶”);(2)三个连续偶数，若中间一个数为 2n，则其余两个数为、；(3)三个连续奇数，最大的一个数为2k—1，则另两个数为、；(4)若一个两位数，其个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数为；(5)一个三位数，其个位数字为c，十位数字为b，百位数字为a，则这个三位数为 .9.若a，b互为相反数，c，d互为倒数，m 的绝对值为2.(1)填空:a+b= ; cd= ;m= .的值.(2)求m+cd+a+bm。
全国版五年级数学思维课程(秋季)自我巩固
第一讲质数与合数1.30到80之间的质数有___个.2.一个质数是两位数，它的个位数字与十位数字之差是7，则这个质数是___.3.自然数N是一个两位数，它是一个质数，而且个位数字与十位数字交换之后还是质数、，这样的自然数N有___个.4.自然数N是一个两位质数，个位和十位也是质数，而且个位数字与十位数字交换之后还是质数，这样的自然数N有________个.5.在100以内，第二小的质数和第二大的质数之和是________.6.如果两个不同的质数相加等于12，那么这两个质数的乘积是________.7.如果两个不同的质数相加等于39，那么这两个质数的乘积是________.8.三个互不相同的质数相加，和为30，这三个质数的乘积最大是________.9.两个质数之和是30，那么这两个质数的差最大是________.10.两个不同的质数之和是34、那么这两个质数的差最小是________.第二讲分解质因数1.分解质因数：180=__________.A.2²×3²×5B.23×3×52.分解质因数：1080=_____________.A.24×3×5B.23×33×53.分解质因数：2500=____________.A.2²×54B.2²×3²×54.三个连续自然数的乘积为336，则这三个数的和是___________.5.三个自然数的乘积为3900，其中两个数的和刚好等于第三个数，那么这三个数中最大的是_________.6.三个自然数的乘积为1680，这三个数刚好构成一组等差数列，那么这个等差数列的公差是_________.7.算式1×2×3×…21的计算结果的末尾有个连续的0。
8．算式1×2×3×…×35的计算结果的末尾有个连续的0。
这四个连续自然数的和是多少
这四个连续自然数的和是多少
羽佳
【期刊名称】《课堂内外（小学版）》
【年(卷),期】2005(000)003
【摘要】@@ 问题:四个连续自然数的积是1680,这四个连续自然数的和是多少?(四川大学数学夏令营综合竞赛题)rn这是一道合数分解质因数的计算题.特点是已知四个连续自然数的积,要求它们的和是多少.
【总页数】1页(P40)
【作者】羽佳
【作者单位】无
【正文语种】中文
【相关文献】
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【小升初专项训练】2 整数的裂项与拆分
第5讲整数的裂项与拆分第一关【知识点】整数的列项与分拆：就是把一个自然数表示成为若干个自然数的和的形式，每一种表示方法，就是自然数的一个分拆．整数的分拆是古老而又有趣的问题，其中最著名的是哥德巴赫猜想．在国内外数学竞赛中，整数分拆的问题常常以各种形式出现，如，存在性问题、计数问题、最优化问题等．【例1】电视台要播放一部30集电视连续剧，若要求每天安排播出的集数互不相等，则该电视连续剧最多可以播几天？【答案】7天【例2】把135个苹果分成若干份且任意两份的苹果数都不相同，最多可以分多少份？【答案】15【例3】一次数学考试的满分是100分，6位同学在这次考试中平均得分是91分，这6位同学的得分互不相同，其中有一位同学仅得65分．则得分排在第三名的同学至少得多少分？【答案】95分【例4】五名选手在一次数学竞赛中共得404分，每人得分互不相同，并且其中得分最高为90分，那么得分最低的选手至少得多少分？【答案】50【例5】七个小队共种树100棵，各小队种的棵数都不同，其中种树最多的小队种了18棵，种树最少的小队至少种了多少棵？【答案】7【例6】将11个球分别放在三个盒子里，使盒子里球的个数彼此不同，那么，放球最多的盒子里最多可放多少个球，至少要放多少个球？【答案】8；5【例7】甲、乙、丙、丁四个朋友，共分苹果18个，每人依次少一个．甲、乙、丙、丁各有几个苹果？【答案】甲有6个苹果，乙有5个苹果，丙有4个苹果，丁有3个苹果【例8】7名选手在一次数学竞赛中共得170分，每人得分互不相等，并且其中得分最高的选手得30分，那么得分最少的选手至少得多少分，至多得多少分？【答案】5；20【例9】7个工人共生产100个零件，每个工人的生产零件数不同，其中最多的生产了18个，最少多少个？【答案】7【例10】把44块糖分给9个小朋友，每人都分到了，并且任何两人都不相同，这_______做到．（填“能”或“不能”）【答案】不能【例11】某学校有80名小学生参加夏令营，其中男生50人，女生30人，他们住的宾馆有11人间、7人间、5人间三种房间，要求男、女生住不同的房间，并且不能有空床位，他们至少要住多少间？【答案】12【例12】将66个乒乓球放入10个盒子中，要求每只盒子都要有乒乓球，有且只有两个盒子中的乒乓球的个数相同，能办到吗？若能办到，请说明一种具体方法．若办不到，请说明理由.【答案】能将66个乒乓球放入10个盒子中；10个盒子里面的数目为：1，2，3，5，5，6，7，8，9，20。
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小学数学《周期性问题》练习题（含答案）基本概念：周期现象：事物在运动变化过程中，某些特征有规律循环出现；周期：我们把连续两次出现所经过的时间叫周期；解决有关周期性问题的关键是确定循环周期.阳历中有闰日的年份叫闰年，相反就是平年，平年为365天，闰年为366天. 在公历纪年中，平年的二月为28天，闰年的二月为29天. 闰年的2月29日为闰日.一般的,能被4整除的年份是闰年,不能被4整除的年份是平年.如:1988年2008年是闰年;2005年2006年2007年是平年.但是如果是世纪年(也就是整百年),就只有能被400整除才是闰年,否则就是平年.如:2000年就是闰年,1900年就是平年.【复习1】（华罗庚学校五年级入学考试试题）从算式1998÷8991的除数和被除数中各划去两个数字,使得新算式的结果尽可能小,那么该结果小数点后第1998位数字是多少?分析:除数划去两个数字最小是18, 被除数划去两个数字最大是99 , 18÷99=0.1818……,1998÷2正好整除,所以小数点后面1998位是8.【复习2】（05福建迎春杯）有一串数列，第一个数是8，以后每个数的规律为：如果前一个数是奇数，就将它减去1以后再乘以3；如果前一个数是偶数，就将它除以2以后再加上2，那么这串数列的第102个数是多少？分析：写出这串数的若干项：8、6、5、12、8、6、5、12、……，每四个数一循环：102÷4=25…2，所以第102个数是6 .【复习3】有一列数：2、1000、998、2、996、994、…从第三个数起，每一个数都是它前面两个数中大数减小数的差，那么在这列数中第188个数是几？分析：我们把这个数列延伸一下：2、1000、998、2、996、994、2、992、990、2、988、986、…，3间隔两项出现，大数（非3的数）以2为公差减小，如上下划线所示，每三个一组，每组第二个数字差为4，188÷3=62……2 ，所以第188个数是第63组的第2个数，为：1000-（63-1）×4=752.数字大排队【例1】除0外的全体自然数如右表排列，请问（1）数43在哪个字母下面?（2）数47在哪个字母下面?（3）数56在哪个字母下面?分析：（1）43÷8=5…3，所以它在3的下面，也就是说在C的下面；（2）47÷8=5…7，所以它在7的下面，也就是说在E的下面；（3）56=7×8，所以它在8的下面，也就是说在D 的下面。