公式法(平方差公式分解因式)
利用完全平方差公式进行因式分解
因式分解的几种方法把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。
因式分解的方法多种多样，现总结如下：1、提公因法如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。
例1、分解因式x3 -2x 2-xx3 -2x2 -x=x(x2 -2x-1)2、应用公式法由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。
例2、分解因式a2 +4ab+4b2解：a2 +4ab+4b2 =（a+2b）23、分组分解法要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n)例3、分解因式m2 +5n-mn-5m解：m2 +5n-mn-5m= m 2-5m -mn+5n= (m2 -5m )+(-mn+5n)=m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n)4、十字相乘法对于mx2 +px+q形式的多项式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)例4、分解因式7x2 -19x-6分析： 1 ×7=7, 2×(-3)=-61×2+7×(-3)=-19解：7x2 -19x-6=（7x+2）(x-3)5、配方法对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。
例5、分解因式x2 +6x-40解x2 +6x-40=x2 +6x+( 9) -(9 ) -40=(x+ 3)2 -(7 ) 2=[(x+3)+7]*[(x+3) – 7]=(x+10)(x-4)6、拆、添项法可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。
人教版八年级数学上册课件：14.3.2因式分解(公式法-平方差公式)
你学了什么方法进行分解因式？
把下列各式因式分解：
(1) ax - ay = a( x – y ) (2) 9a2 - 6ab+3a =3a(a-2b+1) (3) 3a(a+b)-5(a+b) =(a+b)(3a - 5) (4) ax2 - a3 =a(x2-a2) =a(x+a)(x-a) (5) 2xy2 - 50x =2x(y2-25) =2x(y+5)(y - 5)
个整体，加括号
熟记公式 a2 b2 (a b)(a b)
把下列式子分解因式
(x p)2 (x q)2
a² - b²= ( a + b)( a - b )
(1)a2－1
=( a )2－( 1 )2
(2)x4y2－4
=( x2y )2－( 2 )2
(3) 9 x2－0.01y2
49
=( 3
=(x+2)(x-2) =(3+y)(3-y)
(3) 1-a2
(4) 4x2-y2
=(1+a)(1-a) =(2x+y)(2x-y)
把下列各式分解因式
（1） 1－25x2
解： 1－25x2
＝12－(5x)2
把两项写成平方的形式，
＝(1+5x)(1-5x) 找出a和b。底数既有数
字还有字母，需要看成一
7
x )2－( 0.1y )2
(4)0.0001－121x2源自=( 0.01 )2－( 11x )2
因式分解：
１、 – a4 + 16 2、 4(a+2)2 - 9(a - 1)2 3、 (x+y+z)2 - (x-y-z)2
§ 4.3(1)运用公式法-平方差
15:18
13
例2 .把下列各式分解因式
(1)9(m + n)2 - (m - n)2
(2)2x3 - 8x
(3)a4-b4
15:18
14
（1）9(m+n)2－(m-n)2
解：9(m+n)2－(m-n)2
＝[3(m+n)]2－(m-n)2 ＝[3(m+n)+(m-n)][3(m+n)-(m-n)]
15:18
有公因式先 提公因式， 然后再进一 步分解因式
16
(3)解:a4-b4 =(a2-b2)(a2+b2) =(a+b)(a-b)(a2+b2)
通过做第(3)小题你总结出什么吗? 分解因式一直到不能分解为止.所以分解 后一定检查括号内是否能继续分解.
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17
当多项式的各项含有公因式 时,通常先提出这个公因式,然后
(3)x2 - (a + b - c)2;
（4）-16x2 + 81y2
15:18
23
解:(4) -16x2 + 81y2 = 81y 2-16x2 = (9y)2-(4x)2 = (9y+4x)(9y-4x)
北师大版八年级数学下册
§4.3 运用公式法(1) ——平方差公式
15:18
1
1.平方差公式
(1)整式乘法 (a+b)(a-b)=a2-b2 如:(x+5)(x-5) = x2-52=x2-25
(2)因式分解. a2-b2=(a+b)(a-b) 如x2-25 = x2-52=(x+5)(x-5) 9x2-y2 = (3x)2-y2=(3x+y)(3x-y)
用公式法进行因式分解
用公式法进行因式分解因式分解是数学中的重要概念之一，它可以将一个多项式分解成若干个乘积的形式，方便我们进行进一步的运算和简化。
下面我们将通过公式法来学习因式分解的方法，帮助大家更好地掌握这一知识点。
一、什么是因式分解因式分解是指将一个多项式化为由若干个因子相乘的形式。
这些因子可以是一次式、二次式、甚至高次式。
因式分解是解决方程、求导、求极值等问题的基础之一，是数学中必不可少的知识点。
二、如何用公式法进行因式分解通过观察多项式中各项的项数、次数以及系数的情况，我们可以尝试使用公式法进行因式分解。
以下是一些常见的公式：1、平方差公式：$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$2、配方法公式：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$3、三次方差公式：$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$，$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$4、四次方差公式：$a^4-b^4=(a^2+b^2)(a^2-b^2)=(a^2+b^2)(a+b)(a-b)$5、完全平方公式：$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$使用这些公式可以大大简化因式分解的过程，但是不同的多项式使用的公式可能不同，需要根据具体情况进行分析。
三、实例演示下面我们通过一个实例来演示如何用公式法进行因式分解。
将多项式$x^3-4x^2+3x+18$分解因式。
首先我们观察多项式中各项的项数、次数以及系数的情况，可以发现它们之间并没有特别明显的关系。
因此我们可以尝试使用配方法公式进行因式分解。
将$x^3-4x^2+3x+18$按照$x^3$和$-4x^2$为一组，$3x$和$18$为一组，得到：$x^3-4x^2+3x+18=(x^3-4x^2)+(3x+18)=x^2(x-4)+3(x+6)$这里使用了$x^2$作为公因式，然后将剩余部分分别提取，得到最终的因式分解形式。
4.3.1公式法(平方差公式)
A．(x＋8)(x＋1) B．(x＋2)(x－4) C．(x－2)(x＋4) D．(x－10)(x＋8)
4．对a²b－b³因式分解，结果正确的是( A )
A．b(a＋b)(a－b)
B．b(a－b) ² C．b(a ²－b ²)
D．b(a＋b) ²
课后作业
5. 把下列各式因式分解： (1)9m²－4n²； 解：原式＝(3m＋2n)(3m－2n)． (2)a ³b－16ab； 解：原式＝ab(a ²－16) ＝ab(a＋4)(a－4)． (3)－9x ²＋(x－y) ²； 解：原式＝(x－y＋3x)(x－y－3x) ＝－(4x－y)(2x＋y)．
5.若将(2x)n-81分解成(4x2+9)(2x+3)(2x-3)，则n的值 是_____4________.
当堂练习
6.已知4m+n=40，2m-3n=5．求(m+2n)2-(3m-n)2的值． 解：原式=(m+2n+3m-n)(m+2n-3m+n) =(4m+n)(3n-2m) =-(4m+n)（2m-3n)， 当4m+n=40，2m-3n=5时， 原式=-40×5=-200．
例4 计算下列各题： (1)1012－992； (2)53.52×4-46.52×4.
解：(1)原式＝(101＋99)(101－99)＝400； (2)原式＝4(53.52－46.52) =4(53.5＋46.5)(53.5－46.5) ＝4×100×7=2800.
方法总结：较为复杂的有理数运算，可以运用 因式分解对其进行变形，使运算得以简化.
4.3.1公式法
(平方差公式)
学习目标 1 掌握用平方差公式分解因式的方法. 2 能综合运用提取公因式法、平方差公式法分解因式.
2.3运用公式法
任何一个正奇 你发现了什么规 数都可以表示 律？能用因式分 解来说明你发现 成两个相邻自 的规律吗？ 然数的平方差。 对于正奇数 2n+1(n为自然 2 2 数)，有 n 1 n
1 3 5 7 …
1 12 02
3 22 12
5 32 22
7 42 32
…
ห้องสมุดไป่ตู้
n 1 n n 1 n 2n 1
1.把下列各式分解因式
(1)(a 2 b 2 ) 2 4 a 2 b 2
（1）x -12xy+36y (1)18a2-50 4 2 2 4 (2)16a +24a b +9b (2)-3ax2+3ay4 2 2 (3)-2xy-x -y (3)(a+b)2-4a2 2 (4)4-12(x-y)+9(x-y) (4)-25x2y2+100 2+2a2x+a3; (5) ax 2 2 (5)4(a-b) -9(2a+3b) 2+6xy－3y2. (6) － 3 x 2 2 2 (6)(x +3x) -(x+1)
已知3a+b=10000，3a-b=0.0001， 求 b2-9a2 的值.
3.下列各式中，不能用完全平方公式分解的是（ ） A、x4+6x2y2+9y4 B、x2n-2xnyn+y2n C、x6-4x3y3+4y6 D、x4+x2y2+y4
4.如果100x2+kxy+y2可以分解为（10x-y)2,那么k的值是（ A、20 B、-20 C、10 D、-10 5.如果x2+mxy+9y2是一个完全平方式，那么m的值为（ A 、6 B、±6 C、3 D、±3 ） ）
湘教版七年级下册数学《公式法—平方差公式因式分解》PPT课件
25x2 -4y2 =(5x)2 -(2y)2 =(5x+2y)(5x-2y)
a2-b2=(a+b)(a-b)
因为25x2 可以写成(5x)2 , 4y2 可以写成(2y)2,
所以能用平方差公式分解。
巩固练习
1.填空：
（1）9y2=(±3y )2（2）36 x2 =（ 6 x ）2
25
5
（3）9 t 2 （ 3 t ）2
4
2
例2 把(x+y)2-(x-z)2因式分解.
a=x+y，b=x-z
(x+y)2-(x-z)2 =[(x+y+x-z)][(x+y-x+z)]
a2-b2=(a+b)(a-b)
=(2x+y-z)(y+z)
例3 把x4-y4因式分解.
x4-y4
a=x2，b=y2
=(x2)2-(y2)2 =(x2+y2)(x2-y2) =(x2+y2) (x+y)(x-y)
3.3 公 式 法
第一课时 用平方差公式因式分解
复习导入
想一想：多项式a2-b2有什么特点？你能将 它分解因式吗？
1.平方差公式 (a+b)(a-b)=a2-b2
从左边到右边的这个过程叫_整__式___乘__法___.
2、反过来，a2-b2=__(_a_+__b_)_(_a_-.b) 从右边到左边的这个过程叫_因__式___分__解___.
在因式分解 时，必须进行到 每一个因式都不 能分解为止.
例4 把x3y2-x5因式分解.
x3y2-x5 =x3(y2-x2) ……提取公因式x3 =x3(y+x)(y-x) ……因式分解
公式法分解因式-平方差公式
②两个平方项异号(一正一负)；
练习
1、下列多项式是否可以用平方差公 式分解因式？
(1) 4x2+y2； (2) a2-4 ； 2-y2； 2+y2； (3) -4x (4) -4x 2-(-y)2 ； (5) 4x
把下列各式分解因式:
(1) 2 解：36-25x =62-(5x)2
2 36-25x
平方差平方差，两数和乘以两数差
a2-b2=(a+b)(a-b)
△22=（△+
）（△-
）
2-尾2=（首+尾）（首-尾） 首
1 2 16 2 1 4 a b ( a ) ( b) 4 25 2 5
2
2
1 4 1 4 ( a b)( a b) 2 5 2 5
口答下列各题： (a+1)(a-1) a 1 (1) a2-1=__2-__2=_________ (x2y) (x2y+2)(x2y-2) 2 (2) x4y2-4= ____2-___2=_______________ (3) 0.49x2-0.01y2= (4) 0.0001-121x2= 3、能用平方差公式因式分解的多项式有何特征？ ①有且只有两个平方项；
(2) 解： 16a2-9b2
=(4a)2-(3b)2 =(4a+3b)(4a-3b) (4)x4 y² －4
2-9b2 16a
=(6+5x)(6-5x) 练习：(3)a² －1
将多项式分解因式.
解：9(a+b)2-4(a-b)2 =[3(a+b) ]2-[2(a-b) ]2 =[3(a+b) +2(a-b) ] [3(a+b)-2(a-b) ] =(3a+3b+2a-2b) (3a+3b-2a+2b) =(5a+b)(a+5b)
因式分解(平方差公式)
课堂小结
1 多项式各项有公因式时， 应先提取公 多项式各项有公因式时， 因式， 因式，然后考虑运用公式法 2 注意变号 3 提取某一项后，“1”不能省略 提取某一项后， 不能省略 4 负号提前
(1) a2 - 0.25x2 (2) 36 - m2 (3) 4x2 - 9y2 (5) 36n2 - 1 (4) 0.81a2 - 16b2 (6) 25p2 - 49q2
（1） x2 - 16 ）
利用平方差公式： 利用平方差公式：
x2 - 16 = x2 - 42 =( x + 4 ) ( x – 4 )
a2 - b2 =( a + b ) ( a - b )
(2) 9m2 - 4n2
化成平方差公式： 化成平方差公式： 9m2 - 4n2 =（3m )2 - ( 2n )2 =( 3m + 2n)(3m - 2n) （
a2
-
b2 = ( a + b ) ( a - b )
注意：
平方差公式中的字母a， 不仅可以代 平方差公式中的字母 ，b不仅可以代 表数，而且可以代表代数式。例如， 表数，而且可以代表代数式。例如， 第（2）题中，利用 2 - b2 =( a + b ) ）题中，利用a ( a - b )分解因式时，其中 表示 分解因式时， 表示3m,b 分解因式时 其中a表示 表示2n 表示
(1)、 − 25b 1 2 2 2 (2)、x y − z 2 2 (3)、.25m − 0.01n 0
2
(1) x5 - x3 (2) x4 - y4
（1）如果多项式各项有公 ） 因式,那么先提公因式 那么先提公因式， 因式 那么先提公因式，再 进一步分解 。 （2）因式分解,必须进行 ）因式分解 必须进行 到每个多项式因式不能分 解为止. 解为止
因式分解公式法
因式分解公式法因式分解是一种数学运算方法，它可以将一个多项式表达式分解成两个或多个较简单的因式相乘的形式。
其中，平方差公式是因式分解的一种特殊方法，它特别适用于分解二次多项式。
平方差公式是指任何两个数的平方差可以通过将这两个数相加再相减的方式进行分解，即(a+b)(a-b)=a^2-b^2、根据这个公式，我们可以将二次多项式因式分解为两个一次多项式的乘积。
首先，我们来看一个简单的例子。
假设要对一个二次多项式x^2-9进行因式分解。
根据平方差公式，我们可以得到(x+3)(x-3)。
通过乘法分配律，可以验证(x+3)(x-3)的展开式为x^2-9，所以(x+3)(x-3)是x^2-9的一个因式分解。
接下来，我们来看一下平方差公式的证明。
假设有两个数a和b，要证明(a+b)(a-b)=a^2-b^2、我们可以通过展开等式的左边来证明。
展开(a+b)(a-b)，根据乘法分配律，得到a^2-ab+ba-b^2，因为ab 和ba是对称的，所以可以合并为2ab。
所以(a+b)(a-b)=a^2-2ab-b^2、我们可以发现，展开等式的右边是(a^2-b^2)，所以(a+b)(a-b)=a^2-b^2，证毕。
让我们回到因式分解的应用中。
平方差公式适用于二次多项式的因式分解。
一个一般的二次多项式可以表示为ax^2+bx+c，其中a、b和c都是实数，并且a不等于0。
首先，我们要找到二次多项式的两个因子。
根据平方差公式，这两个因子的平方后相减等于二次多项式。
对于ax^2+bx+c，两个因子可以表示为(x+p)(x+q)。
接下来，我们需要找到p和q的值。
我们可以将(x+p)(x+q)展开，然后将展开式与原二次多项式ax^2+bx+c相比较。
展开(x+p)(x+q)，得到x^2+px+qx+pq，合并同类项，得到x^2+(p+q)x+pq。
将这个展开式与原二次多项式ax^2+bx+c比较，我们可以得到一个方程组。
系数相等的项的系数应该相等，所以我们有以下方程组：a=1b=p+qc=pq。
因式分解——平方差公式法
(1) a 4b
(2) 4a b
(3) a ( b)
(3)看符号，两项的符号相反
探究点二
分解因式(直接用平方差公式)
(1) x 1;
2
(2) x 16;
4
1 2 (3) a b ; 4
2
(4) (a b) (b c) .
2 2
探究点三
分解因式（先提出公因式，再套公式）
因式分解
-----平方差公式法
预习回馈
1. 找公因式和提公因式法分解因式的步骤 2. 运用乘法公式填空：
(1)(2 x 3 y)(2 x 3 y) (2)(ab 5)(ab 5)
上述等式左右两边互换位置，又是什么形式呢？
探究点一
公式法：将乘法公式反过来，对多项式进 行因式分解的方法 称为公式法。 平方差公式: a 2 b2 (a b)(a b) 。
(1) x x ;
5 3
(2) 8 x 2 y ;
2 2
(3) x 9 x ;
4 2
(4) (a b) 4(a b) .
3
探究点四 知识应用
计算： 999 1000
2 2
探究点五 能力提升
1 1 1 1 (1 计算： 2 )(1 2 )(1 2 ) L L (1 2 ) 2 3 4 10
(5)0.25 a 2 n ( ) 2
2 . 下列多项式可以用平方差公式Байду номын сангаас解 因式吗？ 判断的依据： 2 2 2 2 2 2
(1)看项数， 是一个二项式（或可看成 1 2 2 2 (4) 4 a (5) 4 a (6) x 一个二项式） 4
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15.4.2公式法
---运用平方差公式分解因式
教学目标
（1）在掌握了解因式分解意义的基础上，会运用平方差公式对多项式进行因式分解．
（2）在运用公式法进行因式分解的同时培养学生的观察、比较和判断能力以及运算能力，用不同的方法分解因式可以提高综合运用知识的能力．
（3）进一步体验“整体”的思想，培养“换元”的意识．
教学重点与难点
重点：运用平方差公式法进行因式分解．
难点：观察多项式的特点，判断是否符合公式的特征和综合运用分解的方法，并完整地进行分解．
教学设计
一、新课引入：
问题：复习平方差公式(a+b)(a-b) = a2-b2
运用平方差公式计算：
（1）(x+4) (x-4)=
（2）(m+2n)(m-2n)=
以上式子的左边和右边都有什么特征？
左边是两个数的和与差的乘积，右边是这两个数的平方差。
二、新课讲授：
你能将多项式x 2－16 与多项式m 2－4n 2分解因式吗?
这两个多项式有什么共同的特点?
使学生感知到运用平方差公式可以把多项式进行因式分解． 注：要求学生先进行思考，教师可视情况作适当的提示，在此基础上讨论这两个多项式有什么共同的特点．
特点：这两个多项式都可以写成两个数的平方差的形式，对于这种形式的多项式，可以利用平方差公式来分解因式．
即：(a+b )(a-b )=a 2-b 2反过来就是：a 2-b 2=(a+b )(a-b )
注：要求学生具体说说这个公式的意义．教师用语句清楚地进行表述．两个数的平方差,等于这两个数的和与这两个数的差的积.
能运用平方差公式分解因式的多项式的特点：
⑴ 多项式是一个二项式；
⑵ 两项能写成两个数（或两个整式）平方的形式；
⑶ 两项是异号。
符合上述特点的式子，可以用平方差公式分解因式。
引例：对照平方差公式，怎样将下面的多项式分解因式？
（1）m ² - 16 （2）4x ² - 9y²
例题讲解：
例1、 分解因式:
(1) 4x 2
– 9 (3) –9x 2+ 4m 2
分析：注意引导学生观察这3个多项式的项数，每个项可以看成是什么的平方，使之与平方差公式进行对照，确认公式中的字母在每22161259)2(y x
个题目中对应的数或式后，再用平方差公式进行因式分解．例2、分解因式
(1)x4-y4 (2)4a3-4a
分析：(1)先把它写成平方差的形式，再分解因式，注意它的第2次分解．
(2)现在不具备平方差的特征，引导继续观察特点，发现有公因式4a，应先提公因式，再进一步分解．
（3）(x+p)2– (x+q) 2
(4) 4( a+b)² - 25(a- c)²
注：能否用平方差公式进行因式分解，取决于这个多项式是否符合平方差公式的特征，即两个数的平方差，所以要强调多项式是否可化为( )2-( )2的形式．括号里的“项”是一个整体，它可以是具体的数或单项式或多项式，
平方差公式能否正确应用直接关系到下面的完全平方公式的学习，所以在分析时一定要到位，要抓住形式的特点，要让学生说说他们是怎样应用公式的．
因式分解要进行到不能分解为止和分解方法的综合性，这是教学的难点，例题不要太难，重要的是使学生取得共识．
学生交流体会：因式分解要进行到不能再分解为止，提公因式法和应用公式法的综合应用．
课堂练习：
运用平方差公式分解因式:
(1)-9x2+4y2 (2) 32x4-2y4(3) (x+y)2-4(x-y)2
注：练习题要培养学生的观察能力和审题习惯．
第2题是用提公因式法和应用平方差公式法进行因式分解的综合应用，要求学生养成先观察多项式的特点的习惯．
注：注意要将因式分解进行到不能再分解为止．
例3、用平方差公式分解因式简便运算
38²-37²练习229²-171²
通过例3让学生体会到平方差公式分解因式的实际应用。
例4、（1）1993-199能被200整除吗?
（2）若n是整数,证明(2n+1)2-(2n-1)2是8的倍数.
让学生了解整除与否的问题应该先分解因式，化成整数倍。
三、课堂小结：
1.具有两数(或者整式)平方差形式的多项式，可运用平方差公式分解因式。
公式a² - b² = (a+b)(a-b)中的字母a，b可以是数，也可以是单项式或多项式，要注意“整体”“换元”思想方法的运用。
2.运用平方差公式分解因式的关键是要把分解的多项式看成两个数的平方差，尤其当系数是分数或小数时，要正确化为两数的平方差。
3.在因式分解时，若多项式中有公因式，应先提取公因式，再运用平方差公式分解因式。
4.当要分解的多项式的两项是多项式的平方时，分解成的两个因式要进行去括号化简，若有同类项，要进行合并，直至分解到不能再分解为止。