人教版数学九年级上册课件全套：22-1-4二次函数y=ax2+bx+c的图象
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二次函数的图象和性质(第1课时 )九年级数学上册课件(人教版)
然后描点、连线，得到图象如下图.
y
-4 -2 O 2 4
-2 4 6 8
由图象可知，这个函数 具有如下性质： 当x＜-1时，函数值y随x
x
的增大而增大； 当x＞-1时，函数值y随x 的增大而减小； 当x=-1时，函数取得最 大值，最大值y=3.
练一练 已知二次函数y＝x2﹣6x+5． （1）将y＝x2﹣6x+5化成y＝a(x﹣h)2+k的形式； （2）求该二次函数的图象的对称轴和顶点坐标； （3）当x取何值时，y随x的增大而减小．
( C) A．直线x＝2
B．直线x＝－2
C．直线x＝1
D．直线x＝－1
4．【2020·温州】已知(－3，y1)，(－2，y2)，(1，y3)是抛 物线y＝－3x2－12x＋m上的点，则( B )
A．y3＜y2＜y1 B．y3＜y1＜y2 C．y2＜y3＜y1 D．y1＜y3＜y2
5．【2020·河北】如图，现要在抛物线y＝x(4－x)上找点 P(a，b)，针对b的不同取值，所找点P的个数，三人的 说法如下，
6．【中考·温州】已知二次函数y＝x2－4x＋2，关于该函 数在－1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是( D)
A．有最大值－1，有最小值－2 B．有最大值0，有最小值－1 C．有最大值7，有最小值－1 D．有最大值7，有最小值－2
7．【中考·成都】在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列说法正确的是( B)
(1)求 b、c 的值；
解：把 A(0，3)，B－4，－92的坐标分别代入
y＝－136x2＋bx＋c，得 c－＝1336，×16－4b＋c＝－92，解得bc＝＝398.，
(2)二次函数 y＝－136x2＋bx＋c 的图象与 x 轴是否有公共点？ 若有，求出公共点的坐标；若没有，请说明理由．
新人教版九年级数学上册《二次函数图像与性质》优质课课件(共14张PPT)
y = x2
9
6
3 －3 3
看出： y轴是抛物线y = x 2 的对称轴，抛物线y = x 2 与它的对称轴的交
点（0，0）叫做抛物线y = x2 的顶点，它是抛物线y = x 2 的最低点．
实际上，每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线 的顶点．顶点是抛物线的最低点或最高点．
1 2 y x , y 2 x 2 的图象． 例1 在同一直角坐标系中，画出函数 2 解：分别填表，再画出它们的图象，如图 x · · · －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4
|a|越大,抛物线的开口越小;
1、函数y=2x2的图象的开口 向上 ,对称轴 (0,0) y轴 ,顶点是 ;
2、函数y=－3x2的图象的开口 向下 ,对称 y轴 (0,0) 轴 ,顶点是 ;
巩固训练
|a|越大，抛物线开口越小
.下列二次函数图像开口，按从小 到大的顺序排列为 (4),(2),(3),(1)
6
3 －3 3
二次函数 y = x2的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮球时球在空中 所经过的路线，只是这条曲线开口向上，这条曲线叫做抛物线 y = x2 ， 二次函数的图象都是抛物线， 它们的开口或者向上或者向下． 一般地， 二次函数 y = ax2 + bx + c（a≠0）的图象叫做抛物线y = ax2 + bx + c
1. 列表：在y = x2 中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值： x · · · －3 －2 －1 0 1 2 3 · · ·
y = x2
· · ·
9
4
1
0
1
4
9
y = x2
· · ·
9
6
3 －3 3
看出： y轴是抛物线y = x 2 的对称轴，抛物线y = x 2 与它的对称轴的交
点（0，0）叫做抛物线y = x2 的顶点，它是抛物线y = x 2 的最低点．
实际上，每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线 的顶点．顶点是抛物线的最低点或最高点．
1 2 y x , y 2 x 2 的图象． 例1 在同一直角坐标系中，画出函数 2 解：分别填表，再画出它们的图象，如图 x · · · －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4
|a|越大,抛物线的开口越小;
1、函数y=2x2的图象的开口 向上 ,对称轴 (0,0) y轴 ,顶点是 ;
2、函数y=－3x2的图象的开口 向下 ,对称 y轴 (0,0) 轴 ,顶点是 ;
巩固训练
|a|越大，抛物线开口越小
.下列二次函数图像开口，按从小 到大的顺序排列为 (4),(2),(3),(1)
6
3 －3 3
二次函数 y = x2的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮球时球在空中 所经过的路线，只是这条曲线开口向上，这条曲线叫做抛物线 y = x2 ， 二次函数的图象都是抛物线， 它们的开口或者向上或者向下． 一般地， 二次函数 y = ax2 + bx + c（a≠0）的图象叫做抛物线y = ax2 + bx + c
1. 列表：在y = x2 中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值： x · · · －3 －2 －1 0 1 2 3 · · ·
y = x2
· · ·
9
4
1
0
1
4
9
y = x2
· · ·
人教版数学九年级上册说课稿22.1.4《二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质》
人教版数学九年级上册说课稿22.1.4《二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质》一. 教材分析人教版数学九年级上册第22章是关于二次函数的学习，而22.1.4《二次函数y=ax^2+bx+c的图象和性质》是这一章的重要内容。
这部分教材主要通过分析二次函数的图象和性质，使学生能够理解和掌握二次函数的基本特征，以及如何运用这些特征解决实际问题。
教材通过详细的理论推导和丰富的例题，引导学生掌握二次函数的顶点坐标、开口方向、对称轴等关键性质，并能够运用这些性质对二次函数进行分析和判断。
二. 学情分析在九年级的学生已经具备了一定的函数基础，他们已经学习了线性函数和一些非线性函数的知识，对函数的概念和性质有一定的理解。
但是，对于二次函数的图象和性质，他们可能还存在一些困惑和误解。
因此，在教学过程中，我需要关注学生的认知基础，通过复习和引导，帮助他们巩固已有的知识，并建立起二次函数图象和性质的知识体系。
三. 说教学目标1.知识与技能：学生能够理解二次函数的图象和性质，并能够运用这些性质解决实际问题。
2.过程与方法：学生通过观察、分析、归纳等方法，探索二次函数的图象和性质，培养他们的抽象思维和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：学生通过学习二次函数的图象和性质，增强对数学的兴趣和自信心，培养他们的探索精神和合作意识。
四. 说教学重难点1.教学重点：学生能够理解和掌握二次函数的图象和性质，并能够运用这些性质解决实际问题。
2.教学难点：学生对于二次函数的顶点坐标、开口方向、对称轴等性质的理解和运用。
五. 说教学方法与手段在教学过程中，我将采用问题驱动的教学方法，通过引导学生观察、分析、归纳等方法，探索二次函数的图象和性质。
同时，我将利用多媒体教学手段，展示二次函数的图象和性质，帮助学生更好地理解和掌握知识。
六. 说教学过程1.导入：通过复习一次函数和二次函数的知识，引导学生进入对二次函数图象和性质的学习。
2.探究：学生分组讨论，观察和分析二次函数的图象，归纳出二次函数的顶点坐标、开口方向、对称轴等性质。
22-1-4二次函数图像与性质课件人教版九年级数学上册
对称轴：x=-2
2 最值：x=-2时，y最小值=3 当x＜-2时，函数值y随x的增大而增小；
10
5
当x＞-2时，函数5 值y随x的增大而1减0 大；
15
当x=-2时，函数取得最小值，最小值y=3.
2
4
练习：
. 求二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴和顶点坐标.
解： y 2x2 8x 7
2(x2 4x) 7
顾 y=-x²
开口方向 对称轴 顶点坐标
最值
向下 y轴或
x=0
(0,0)
x=0时，y 的最大值
是0
y=-(x+1)² 向下 x=-1
x=-1时， (-1,0) y的最大
值是0
y=-(x-1)² 向下 x=1
x=1时，y (1,0) 的最大值
是0
增减性
当x＞0时，y随x的 增大而减小；当x ＜0时，y随x的增
左右平移规律：
x的值进行变化：左加右减
新课导入 画出y=x²的图像并进行上下平移3个单位
y=8 x²+3
6
y=x²
4
2
15
10
5
5
10
15
2
y=x²-3
4
6
新课导入 画出y=2x²的图像并进行左右平移2个单位
8
yx²
6
y=（x+2）²
4
2
15
10
5 2 4 6
y=（x-2）²
5
10
15
新课导入
大而增大
当x＞-1时，y随x 的增大而减小；当 x＜-1时，y随x的
增大而增大 当x＞1时，y随x的 增大而减小；当x ＜1时，y随x的增
人教版版九年级上册数学 22-1-4 二次函数y=ax2 +bx+c 的图象和性质 教学课件
x=h时,y最大值=k
抛物线y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象可由y=ax2的图象通过上下和左右平移得到.
我们来画 y 1x2 6x21
2
的图象，
并讨论一般地怎样画 yax2bxca0
二次函数的图象．
我们知道，像 yaxh2k
这样的函数，容易确
定相应抛物线的顶点为（h,k)，二次函数 y1x2 6x21
+
4ac-b2 4a2
｝
=a(x+
b 2a
)2
+
4ac-b2 4a
一般地，我们可以用配方求抛物线 y = ax2 + bx + c (a≠0)的顶点与对称轴
yax2bxc
ax
b
2
4acb2
2a 4a
因此，抛物线 yax2bxc
坐标是
b 2a
,
4ac 4a
b2
的对称轴是 x b 顶点 2a
因此，当 l
b 2a
30
2 1
15
时，
S有最大
值，
4ac b2 4a
302
4 1
225
也就是说， 当l是15m时，场地的面积S最大（S＝225m2）
一般地，因为抛物线 y ax2 bx c
的顶点是最低（高）点，
所以当
x
b 2a
有最小（大）值
时，二次函数 y ax2 bx c
4ac b2 4a
y顶
4 2
0
顶点坐标为2, 0
对称轴x 2
当x 2时，y最大值＝0
（4）
y1x2 4x3 2
解: a = 0.5 > 0抛物线开口向上
抛物线y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象可由y=ax2的图象通过上下和左右平移得到.
我们来画 y 1x2 6x21
2
的图象，
并讨论一般地怎样画 yax2bxca0
二次函数的图象．
我们知道，像 yaxh2k
这样的函数，容易确
定相应抛物线的顶点为（h,k)，二次函数 y1x2 6x21
+
4ac-b2 4a2
｝
=a(x+
b 2a
)2
+
4ac-b2 4a
一般地，我们可以用配方求抛物线 y = ax2 + bx + c (a≠0)的顶点与对称轴
yax2bxc
ax
b
2
4acb2
2a 4a
因此，抛物线 yax2bxc
坐标是
b 2a
,
4ac 4a
b2
的对称轴是 x b 顶点 2a
因此，当 l
b 2a
30
2 1
15
时，
S有最大
值，
4ac b2 4a
302
4 1
225
也就是说， 当l是15m时，场地的面积S最大（S＝225m2）
一般地，因为抛物线 y ax2 bx c
的顶点是最低（高）点，
所以当
x
b 2a
有最小（大）值
时，二次函数 y ax2 bx c
4ac b2 4a
y顶
4 2
0
顶点坐标为2, 0
对称轴x 2
当x 2时，y最大值＝0
（4）
y1x2 4x3 2
解: a = 0.5 > 0抛物线开口向上
人教版数学九年级上册22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象课件
• 8、普通的教师告诉学生做什么，称职的教师向学生解释怎么做，出色的教师示范给学生，最优秀的教师激励学生。下午8时2分 55秒下午8时2分20:02:5521.11.7
开口向上，顶点为（6，3)，对称轴为直线x=6.
3.利用图象的对称性列表（请填表）：
x
…3 4 5 6 7 8 9 …
… 7.5 5 3.5 3 3.5 5 7.5 …
大，当x＜1 时，y随着x的增大而减小，则k的值应取（ C ）
A.12
B.11 C.10
D. 9
5．若b＜0 ，则二次函数
的图象的顶点在( D )
A．第一象限； B．第二象限；
C．第三象限； D．第四象限
6.已知反比例函数
的图象如左下图所示，
则二次函数
y
y
的图象大致为（ D ）
y
y
y
O
xO
xO
x
O
x
指出它的开口方向、对称轴和顶点.
顶点式
容易确定抛物线的顶点为
（h，k)，对称轴为直线x=h ，也容易画出函数图象.
2.运用配方法解决问题：
提a 配 配、合 乘 与一元二次方程的配方法对比异同点
• 1、“手和脑在一块干是创造教育的开始，手脑双全是创造教育的目的。” • 2、一切真理要由学生自己获得，或由他们重新发现，至少由他们重建。 • 3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。 • 4、好的教师是让学生发现真理，而不只是传授知识。 • 5、数学教学要“淡化形式，注重实质.
当x＝
时，y有最 值
y 随x的增大而___________ y随x的增大而____________
3. 求二次函数y= -3(x+2)2+20中a、b、c的
开口向上，顶点为（6，3)，对称轴为直线x=6.
3.利用图象的对称性列表（请填表）：
x
…3 4 5 6 7 8 9 …
… 7.5 5 3.5 3 3.5 5 7.5 …
大，当x＜1 时，y随着x的增大而减小，则k的值应取（ C ）
A.12
B.11 C.10
D. 9
5．若b＜0 ，则二次函数
的图象的顶点在( D )
A．第一象限； B．第二象限；
C．第三象限； D．第四象限
6.已知反比例函数
的图象如左下图所示，
则二次函数
y
y
的图象大致为（ D ）
y
y
y
O
xO
xO
x
O
x
指出它的开口方向、对称轴和顶点.
顶点式
容易确定抛物线的顶点为
（h，k)，对称轴为直线x=h ，也容易画出函数图象.
2.运用配方法解决问题：
提a 配 配、合 乘 与一元二次方程的配方法对比异同点
• 1、“手和脑在一块干是创造教育的开始，手脑双全是创造教育的目的。” • 2、一切真理要由学生自己获得，或由他们重新发现，至少由他们重建。 • 3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。 • 4、好的教师是让学生发现真理，而不只是传授知识。 • 5、数学教学要“淡化形式，注重实质.
当x＝
时，y有最 值
y 随x的增大而___________ y随x的增大而____________
3. 求二次函数y= -3(x+2)2+20中a、b、c的
人教版九年级数学上册第22章第1节二次函数的图像和性质(共46张PPT)共48页PPT
❖ 知识就是财富 ❖ 丰富你的人生
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、第1节 二次函数的图像和性质(共46张PPT)
11、不为五斗米折腰。 12、芳菊开林耀，青松冠岩列。怀此 贞秀姿 ，卓为 霜下杰 。
13、归去来兮，田蜀将芜胡不归。 14、酒能祛百虑，菊为制颓龄。 15、春蚕收长丝，秋熟靡王税。
谢谢你的阅读
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、第1节 二次函数的图像和性质(共46张PPT)
11、不为五斗米折腰。 12、芳菊开林耀，青松冠岩列。怀此 贞秀姿 ，卓为 霜下杰 。
13、归去来兮，田蜀将芜胡不归。 14、酒能祛百虑，菊为制颓龄。 15、春蚕收长丝，秋熟靡王税。
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人教版初中数学课标版九年级上册第二十二章 22.1.4函数的图像与系数的关系(共22张PPT)
→ b1=b2
y
y
y=k1x+b1
y=k1x+b1
y=k2x+b2
（0 ，b)
x
O
x
O
y=k2x+b2
根据你所总结的规律，判断下列一次函数 中字母系数的取值或取值范围：
y
k＞2
y=(k-2)x-b
O
x
y
y 1 x 1 2
k 1 2
x
b＜0
b 1
反比例函数
y
定义：y k x
(k≠0)
图象： 双曲线
函数的图像与系数的关系
复习旧知，总结规律：
回忆我们学过的函数并且叙述它们的解析式
• 一次函数 y kx b （k 0）
当 b 0 时为正比例函数 y kx(k 0)
• 反比例函数
k1 2
y x
（k 0）
• 二次函数 y ax2 bx c （a 0）
当 a 0 b 0 时为一次函数
•
12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。22:39:0122:39:0122:39Tuesday, August 24, 2021
13、He who seize the right mom.2421.8.2422:39:0122:39:01August 24, 2021
y=kx+b
o
x
(0,b)
o
y
(0,b) x
快速判断图形中k、b的取值范围
y
y=kx+b
y
y=kx+b
O
x
k>0 (1) b>0
y
y=kx+b
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画出y＝ 1 x2－6x＋21的图象.
2
配方得： y= 1 x2－6x＋21
2
＝ 1 (x－6)2＋3
2
由此可知，抛物线 y＝1 x2－6x＋21 的顶点
2
是点（6，3），对称轴是直线x＝6.
y
· （0，21）
y＝
1 2
x2－6x＋21
20
怎样画二次函数 15 y＝ax2ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
抛物线 y=ax2+bx+c(a>0)
y=ax2+bx+c(a<0)
顶点坐标 对称轴 开口方向
(−
b
4ac − b2
,
)
2a 4a
直线x = − b 2a
向上
(− b , 4ac − b2 ) 2a 4a
直线x = − b 2a
向下
增减性
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
最值
当x = − b 时,最小值为 4ac − b2 当x = − b 时,最大值为 4ac − b2
2a
4a
2a
4a
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与y=ax²的关系
1.相同点: (1)形状相同(图象都是抛物线,开口方向相同). (2)都是轴对称图形. (3)都有最大(或小)值. (4)a>0时，开口向上，在对称轴左侧，y都随x的增大而减 小,在对称轴右侧，y都随 x的增大而增大. a<0时，开口 向下，在对称轴左侧，y都随x的增大而增大，在对称轴右 侧，y都随 x的增大而减小 .
人教版数学九年级上册 课件全套
22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象
1.会画y=ax2+bx+c的图象； 2.理解y=ax2+bx+c的性质； 3.掌握y=ax2+bx+c与y=a(x-h)2+k的图象及性质的联 系与区别.
说出二次函数 y = −4(x − 2)2 +1 图象的开口方向，对称 轴，顶点坐标.它是由y=-4x2怎样平移得到的？
= a(x + b )2 + 4ac − b2 .
2a
4a
整理:前三项化为平方形 式,后两项合并同类项 化简
抛物线的顶点式 y = a(x + b )2 + 4ac − b2 .
2a
4a
二次函数y=ax²+bx+c的图象是一条抛物线.
它的对称轴是直线 : x = − b . 2a
它的顶点是( − b , 4ac − b2 ). 2a 4a
= 3( x −1)2 − 3 + 5
整理:前三项化为完全平 方式,后两项合并同类项
= 3(x −1)2 + 2.
化简
再根据顶点式确定开口方向,对称轴,顶点坐标. ∵a=3>0,∴开口向上;对称轴:直线x=1;顶点坐标:(1,2). 列表:根据对称性,选取适当值列表计算.
x
… -2 -1 0 1 2
我们知道,作出二次函数y=3x2的图象,通过平移抛物线 y=3x2可以得到二次函数y=3x2-6x+5的图象. 怎样直接作出函数y=3x2-6x+5的图象?
配方化成顶点式
y = 3x2 − 6x + 5
= 3(x2 − 2x) + 5
提取二次项系数
= 3(x2 − 2x+1−1) + 5
配方:加上再减去一次项 系数绝对值一半的平方
根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：
(1) y = 2x2 −12x +13;
对称轴是x=3，顶点坐标是（3，-5）
(2) y = −5x2 +80x −319;
对称轴是x=8，顶点坐标是（8,1）
(3) y = 3(x + 2)(2 − x).
对称轴是x=0，顶点坐标是（0，12）
请你总结函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质 想一想，函数y=ax2+bx+c和y=ax2的图象之间的关系是什 么？
2.不同点:
(− b , 4ac−b2)
(1)位置不同(2)顶点不同:分别是___2a___4_a___和(0,0). (3)对称轴不同:分别是__直__线_x_=__−_2b_a_和y轴.
4ac − b2
(4)最值不同:分别是____4_a __和0.
3.联系: y=a(x-h)²+k(a≠0) 的图象可以看成y=ax²的图象先沿
象？
10
·（12，21）
y＝
1 2
(x－6)2＋3
怎样平移抛物线
y＝
1 2
x2得到抛物线
y＝1 (x－6)2＋3
2
当_x_>_6__时y随 x的增大而增 大
· · · 5 （4，5）
（8，5） (6，3)
O
5 x＝6 10
当_x_<_6__时y随x 的增大而减小
x
你能把函数y=ax²+bx+c通过配方法化成顶点式吗？
所示，那么下列判断不正确的是（ B ）
A．ac<0
y x=2
B．a-b+c>0 C．b=-4a
-1 O 2 5
x
D．关于x的方程ax2+bx+c=0的根是x1=-1,x2=5
2．（昭通中考）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图
所示，则下列结论正确的是（ D ）
一般地,对于二次函数y=ax²+bx+c,我们可以利用配方
法推导出它的对称轴和顶点坐标.
y = ax2 + bx + c
= a(x2 + b x) + c a
提取二次项系数
= a[x2 + b x+( b )2 − ( b )2 ] + c 配方:加上再减去一次项
a 2a 2a
系数绝对值一半的平方
= a(x + b )2 − b2 + c 2a 4a
x轴整体左(右)平移|_−_2b_a _|个单位(当_−_2ba_>0时,向右平移;当_−_2b_a
4ac − b2
<0时,向左平移),再沿对称轴整体上(下)平移|__4_a__|个单位
4ac − b2
4ac − b2
(当___4_a__>0时向上平移;当___4a__<0时,向下平移)得到的.
1.（梧州中考）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图
3
4…
y=3(x−1)2 +2 … 29 14 5 2 5 14 29 …
通过图象你能看出 当x取何值时y随x 的增大而减小，当 x取何值时，y随x 的增大而增大吗？
y = 3x2 − 6x + 5
当x<1时y随x的增大而 减小;当x>1时，y随x ● (1，2) 的增大而增大. x=1
在对称轴的左边图象从左到右斜向下，在对称轴的右边图象 从左到右斜向上，同学们，你想到了什么？