解不等式二
人教版七年级数学下册不等式及其解集2
立志难也，不在胜人，在自胜。 有志的人战天斗地，无志的人怨天恨地。 壮志与毅力是事业的双翼。 成功往往偏向于有准备的人 胸无大志，枉活一世。
3.下列说法不正确的是( C ) 人无志向，和迷途的盲人一样。
立志是事业的大门，工作是登门入室的旅程。 鹰爱高飞，鸦栖一枝。
岂器能大尽 者如声人必意闳，,但(志求A高无)者愧方意我必心程远. 。2X+3=1的解是X=-1
这样表示不等式的解集呢？
画一画: 利用数轴来表示下列不等式的解集.
(1)x＞-1
1 (2)x＜
2
-1 0 1
（3）X≥-1
● -1 0 1
实心圆： 表示-1在这个解集内
0
12
大于向右画；
空心圆： 表示-1不在这个解集内
大于向右画，小于向左画； 有等号的画实心圆点，无等号的画空 心圆圈.
用数轴表示x+2≥5的解集x≥3的步骤：
一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的 解的集合，简称为这个 不等式的解集。
D 1.下列说法正确的是( ) ＜ (A)x=3.5是2x 7的解集
＜ (B)x=3.5是2x 7的解
＜ (C)x=3是2x
7的唯一解
＜ ＜ (D)x 3.5是2x 7的解集
C 2.下列说法错误的是( )
(A)X=3.1是x+3>6的一个解 (B)x+1＜2的解有无数个 (C)x+1＜4的解集是x＜2 （D)x+2>1的解集是x>-1
给这类些比数方定 程的个名解称？
(C)x=3是2x ＜ 7的唯一解
这里表示的不都是不等式的解，如何表示解集呢？
用有我“等≠号 们”的表画知示实不心道等圆关点：系，的无使式等子号方也的是画程不空等心左式圆。圈右. 两边相等的未知数的值叫做方程的解
二元二次不等式解法步骤_概述及解释说明
二元二次不等式解法步骤概述及解释说明1. 引言1.1 概述二元二次不等式是数学中常见的一类不等式，其形式为ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f > 0 或者ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f < 0。
解决这类不等式需要运用特定的解法步骤，以得出满足条件的变量取值范围。
本文将介绍二元二次不等式解法步骤，并详细解释其基本原理和概念。
1.2 文章结构本文分为五个部分，每个部分内容各有侧重。
首先在引言部分进行概述，介绍文章的结构和目标。
接下来，在第2部分探讨二元二次不等式的定义、解法步骤的概述以及基本原理说明。
第3部分会详细介绍方法一：因式分解与区间判断法，并提供相关示例演示与实例分析。
在第4部分中，我们将介绍方法二：图像法与辅助函数法，并对比两种方法的优缺点以及适用情况进行讨论。
最后，在第5部分进行总结回顾并展望可能的拓展方向。
1.3 目的本文旨在帮助读者更好地理解和掌握二元二次不等式的解法步骤。
通过对问题背景和基本原理的介绍，读者将能够学会使用因式分解与区间判断法以及图像法与辅助函数法来解决这类不等式问题。
文章也将探讨两种方法的优缺点及其适用情况，以帮助读者选择最合适的解题方法。
通过阅读本文，读者将能够提升对二元二次不等式解法步骤的理解和运用能力，并在实际问题中更加灵活地应用所学知识。
2. 二元二次不等式解法步骤的基本原理和概念2.1 二元二次不等式的定义二元二次不等式是具有一般形式Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F > 0（或< 0）的不等式，其中A、B、C、D、E 和F 是实数系数，而x 和y 是变量。
2.2 解法步骤概述解决二元二次不等式的一般步骤可以总结如下：(a) 将不等式表达式整理为标准形式，即将项排列顺序调整，并保持主项为正（负）。
(b) 将一元项进行配方，使问题转化为一元二次不等式。
2018_2019学年高中数学第一讲不等式和绝对值不等式二绝对值不等式2绝对值不等式的解法课件新人教A版选修4_5
2．不等式|x－1|<1 的解集为( )
A．(0，2)
B．(－∞，2)
C．(1，2)
D．[0，2)
解析：选 A.由|x－1|<1⇔－1<x－1<1⇔0<x<2，
所以不等式的解集为(0，2)．
3．不等式 3≤|5－2x|<9 的解集为( ) A．[－2，1)∪[4，7) B．(－2，1]∪(4，7] C．[－2，1]∪[4，7) D．(－2，1]∪[4，7) 解析：选 D.因为|5－2x|＝|2x－5|，则原不等式等价于 3≤2x－5<9 或－9<2x－5≤－3， 解得 4≤x<7 或－2<x≤1， 故解集为(－2，1]∪[4，7)．
(3)原不等式等价于||xx－ －22||≥ ≤24， .②① 由①得 x－2≤－2，或 x－2≥2， 所以 x≤0，或 x≥4. 由②得－4≤x－2≤4， 所以－2≤x≤6. 所以原不等式的解集为{x|－2≤x≤0，或 4≤x≤6}．
含有一个绝对值号不等式的常见类型及其解法 (1)形如|f(x)|<a(a>0)和|f(x)|>a(a>0)型不等式可运用等价转化法 化成等价的不等式(组)求解． (2)形如|f(x)|<g(x)和|f(x)|>g(x)型不等式的解法有 ①等价转化法：|f(x)|<g(x)⇔－g(x)<f(x)<g(x)， |f(x)|>g(x)⇔f(x)<－g(x)或 f(x)>g(x)． (这里 g(x)可正也可负)
含有两个绝对值号不等式的解法 解下列不等式： (1)|x－1|>|2x－3|； (2)|x－1|＋|x－2|>2； (3)|x＋1|＋|x＋2|>3＋x.
常见不等式的解法
常见不等式的解法【知识要点】一、一元一次不等式的解法任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为(0)ax b a >≠的形式.当0a >时，不等式的解集为b x x a ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭；当0a <时，不等式的解集为b x x a ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭.二、一元二次不等式20(0)ax bx c a ++≥≠的解法1、二次不等式2()0f x ax bx c =++≥（0a >）的解法：最好的方法是图像法，充分体现了数形结合的思想.也可以利用口诀（大于取两边，小于取中间）解答.2、当二次不等式()f x =20(0)ax bx c a ++≥<时，可以画图，解不等式，也可以把二次项的系数a 变成正数，再利用上面的方法解答. 3、温馨提示（1）不要把不等式20ax bx c ++>看成了一元二次不等式，一定邀注意观察分析2x 的系数.（2）对于含有参数的不等式注意考虑是否要分类讨论.（3）如果运用口诀解一元二次不等式，一定要注意使用口诀必须满足的前提条件. （4）不等式的解集必须用集合或区间，不能用不等式，注意结果的规范性. 三、指数不等式和对数不等式的解法解指数不等式和对数不等式一般有以下两种方法(1)同底法：如果两边能化为同底的指数或对数，先化为同底，再根据指数、对数的单调性转化为代数不等式，底数是参数时要注意观察分析是否要对其进行讨论，并注意到对数真数大于零的限制条件.①当1a >时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔>; ()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪>⎩②当01a <<时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔<; ()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪<⎩(2)对指互化法：如果两边不能化成同底的指数或对数时，一般用对指互化法.对数不等式两边取指数，转化成整式不等式来解；指数不等式两边取对数，转化成整式不等式来解.(1)x a b a >>log ()log log x a a a a b x b ⇒>⇒> (01)x a b a ><<log ()log log x a a a a b x b ⇒<⇒<log 00log (1)aa xb x x x b a x b aa >>⎧⎧>⇒⇒>⎨⎨>>⎩⎩其中log 00log (1)aa xb x x x b a x b a a >>⎧⎧>⇒⇒<<⎨⎨<<⎩⎩其中0四、分式不等式的解法把分式不等式通过移项、通分、因式分解等化成()0()f x g x ≥的形式→化成不等式组()0()()0g x f x g x ≠⎧⎨≥⎩→解不等式组得解集.温馨提示：解分式不等式一定要考虑定义域. 五、高次不等式的解法先把高次不等式分解因式化成123()()()()0n x a x a x a x a ---->的形式（x 的系数必须为正）→标记方程的实根（注意空心和实心之分）→穿针引线，从右往左，从上往下穿（奇穿偶不穿）→写出不等式的解集.实际上，序轴标根法适用于所有的整式不等式，根据它可以很快地写出整式不等式的解集. 六、绝对值不等式的解法方法一：公式法 解只含有一个绝对值形如()ax b c +><的不等式，一般直接用公式x a x a x a >⇔><-或 x a a x a <⇔-<<，注意集合的关系和集合的运算，集合的运算主要利用数轴.方法二：零点讨论法 解含有两个绝对值形如()x a x b c +++><的不等式，常用零点讨论法和数形结合法.注意小分类求交大综合求并.方法三：平方法 如果绝对值的不等式的两边都是非负数，如：3x >，可以使用平方法. 七、无理不等式的解法无理不等式一般利用平方法和分类讨论解答.无理不等式转化为有理不等式，要注意平方的条件和根式有意义的条件，一般情况下，)()(x g x f ≥可转化为)()(x g x f >或)()(x g x f =，而)()(x g x f >等价于：⎩⎨⎧<≥0)(0)(x g x f 或⎪⎩⎪⎨⎧>≥≥2)]([)(0)(0)(x g x f x g x f ．八、抽象的函数不等式的解法一般利用函数的单调性解答，先研究函数的单调性，再利用函数的单调性把抽象的函数不等式转化成具体的函数不等式解答. 学科#网 【方法讲评】【例1】 解关于x 的不等式01)1(2<++-x a ax ．②当0>a 时，①式变为0)1)(1(<--x ax ． ② ∵a a a -=-111，∴当10<<a 时，11>a ，此时②的解为ax 11<<．当1=a 时，11=a ，此时②的解为11<<x a． 【点评】解本题要注意分类讨论思想的运用，关键是要找到分类的标准，就本题来说有三级分类：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧>=<<><≠=∈11100000a a a a a a a R a 分类应做到使所给参数a 的集合的并集为全集，交集为空集，要做到不重不漏．另外，解本题还要注意在讨论0<a 时，解一元二次不等式01)1(2<++-x a ax 应首选做到将二次项系数变为正数再求解．【反馈检测1】 解关于x 的不等式0)(322>++-a x a a x ．【例2】解不等式211126()82x x ---⨯<【点评】解这类指数不等式，常常需要通过变量代换把它变为整式不等式来解.【反馈检测2】解关于x 的不等式：)22(223x x x xa --<-（其中0a >）【例3】已知0>a 且1a ≠，关于x 的不等式1xa >的解集是{}0x x >，解关于x 的不等式1log ()0a x x-<的解集.【点评】本题选同底法解答，把0写成log 1a ，再利用对数函数的图像和性质将不等式变成分式不等式 组解答.【反馈检测3】解不等式21log (2)1x x x +-->.【例4】解关于x 的不等式12>-x【点评】分析：若将原不等式移项、通分整理可得：02)2()1(>----x a x a ⇔0)2)](2()1[(>----x a x a显然，现在有两个问题：（1）1a -的符号怎样？（2）12--a a 与2的大小关系怎样？这也就是本题的分类标准所在.【反馈检测4】 解不等式x xx x x <-+-+222322．)(n x a -数必须为正）→标记方程的实根（注意空心和实心之分）→穿针引线，从右往左，从上【例5】解不等式： 015223>--x x x【点评】如果多项式)(x f 可分解为n 个一次式的积，则一元高次不等式0)(>x f （或0)(<x f ）可用“穿根法”求解，但要注意处理好有重根的情况．学科#网【反馈检测5】0)2()5)(4(32<-++x x x【例6】|5||23|1x x --+<【点评】该题由于有两个不等式，所以一般利用零点讨论法.对于含有两个和两个以上的不等式，一般利用零点讨论法.【反馈检测6】解不等式242+<-x x【例7】 解关于x 的不等式)0(122>->-a x a ax ．【解析】原不等式⎪⎩⎪⎨⎧->-≥->-⇔;)1(2,01,02)1(222x a ax x a ax 或⎩⎨⎧<-≥-.01,02)2(2x a x由0>a ，得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+++-≤>⇔;01)1(2,1,2)1(22a x a x x a x ⎪⎩⎪⎨⎧>≥⇔.1,2)2(x a x由判别式08)1(4)1(422>=+-+=∆a a a ，故不等式01)1(222<+++-a x a x 的解是a a x a a 2121++<<-+．当20≤<a 时，1212≤-+≤a a a，121>++a a ，不等式组(1)的解是121≤<-+x a a ，不等式组(2)的解是1>x ．当2>a 时，不等式组(1)无解，(2)的解是2a x ≥． 综上可知，当20≤<a时，原不等式的解集是[)+∞-+,21a a ；当2>a 时，原不等式的解集是⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,2a ．【点评】本题分类讨论标准“20≤<a ，2>a ”是依据“已知0>a 及(1)中‘2ax >，1≤x ’，(2)中‘2ax ≥，1>x ’”确定的．解含有参数的不等式是不等式问题中的难点，也是近几年高考的热点．一般地，分类讨论标准（解不等式）大多数情况下依“不等式组中的各不等式的解所对应的区间的端点”去确定．本题易误把原不等式等价于不等式)1(22x a ax ->-．纠正错误的办法是熟练掌握无理不等式基本类型的解法．【反馈检测7】解不等式x x x ->--81032．【例8】若非零函数对任意实数均有，且当时，. （1）求证：；（2）求证：为减函数；（3）当时，解不等式.（3）由 原不等式转化为，结合（2）得：故不等式的解集为【点评】（1）第（3）问的关键是找到1(?)4f =，再利用函数的单调性把抽象的函数不等式转化成具()f x ,a b ()()()f a b f a f b +=0x <()1f x >()0f x >()f x 1(4)16f =21(3)(5)4f x f x --≤211(4)(2)1(2)164f f f ==⇒=，由（）)2()53(2f x x f ≤-+-10222≤≤⇒≥-+x x x {}10|≤≤x x体函数不等式.【反馈检测8】函数对任意(0)x y ∈+∞，，满足()()()f xy f x f y =+且当1x >时，()0f x <. （l ）判断函数的单调性并证明相关结论；（2） 若(2)1f =-，试求解关于x 的不等式()(3)2f x f x +-≥-.【反馈检测9】【2017江苏，11】已知函数31()2e e x xf x x x =-+-, 其中e 是自然对数的底数. 若 2(1)(2)0f a f a -+≤,则实数a 的取值范围是 .不等式的解法参考答案【反馈检测1答案】见解析【反馈检测2答案】见解析【反馈检测2详细解析】解原不等式得：即),12()12(2222-<-x xxa0)14)(4(),14()14(4<--∴-<-x x x x x a a)0,(log ,14,104a a a x 此时不等式的解集为时当<<<<此时不等式无解时当,0)14(,12<-=x a )log ,0(,41,14a a a x 此时不等式的解集为时当<<>【反馈检测3答案】3x >()f x ()fx【反馈检测3详细解析】[法一]原不等式同解于所以原不等式的解为3x >.[法二]原不等式同解于211log (2)log (1)x x x x x ++-->+所以原不等式的解为3x >.【反馈检测4答案】}321{><<-x x x 或【反馈检测5答案】{}2455>-<<--<x x x x 或或【反馈检测5详细解析】原不等式等价于⎩⎨⎧>-<-≠⇔⎩⎨⎧>-+≠+⇔>-++2450)2)(4(050)2()5)(4(32x x x x x x x x x 或 ∴原不等式解集为{}2455>-<<--<x x x x 或或【反馈检测6答案】{}31<<x x【反馈检测6详细解析】解法一：原不等式⎪⎩⎪⎨⎧+<-<-⎪⎩⎪⎨⎧+<-≥-⇔240424042222x x x x x x 或 即⎩⎨⎧>-<<<-⎩⎨⎧<<--≤≥1222222x x x x x x x 或或或 ∴32<≤x 或21<<x 故原不等式的解集为{}31<<x x ．解法二：原不等式等价于 24)2(2+<-<+-x x x即⎪⎩⎪⎨⎧+->-+<-)2(42422x x x x ∴312132<<⎩⎨⎧-<><<-x x x x 故或． 【反馈检测7答案】⎭⎬⎫⎩⎨⎧>1374x x【反馈检测8答案】（1）()f x 在(0,)+∞上单调递减；（2）{34}x x <≤.学科#网【反馈检测8详细解析】（1）()f x 在(0,)+∞上单调递减1212,,(0,)x x x x <∈+∞任取且 2221111()()()()x x f x f x f x f x x =⋅=+则 2211()()()x f x f x f x ∴-= 120x x << 21()0x f x ∴< 2112()()0()()f x f x f x f x ∴-<>即 ()(0,)f x ∴+∞在单调递减 （2）2)2()2()4(-=+=f f f ((3))(4f x x f ∴-≥原不等式可化为 ()0f x +∞又在（，）上单调递增030(3)4x x x x >⎧⎪∴->⎨⎪-≤⎩34x <≤解得 {34}x x ∴<≤原不等式解集为. 【反馈检测9答案】1[1,]2-。
不等式组的解法2
3x 1 2 x 3 4 x 1 2x 1
答案：
(3) –2<x<0
• X>0
(4) 无解
(2) x<-2
观察：
x 2 x 0
-2
o o
0
X>0
o
同大取大
同小取小
x 2 x 0
-2
o
0
x<-2
o
x 2 x 0
2.5
o
.
4
所以，原不等式组的解集是2.5〈x 4
试
解不等式组
一
试
3x 1 2 x 3 1 x 1 2x 1 3x 1 2 x 3 2 x 1 2x 1
3x 1 2 x 3 3 x 1 2x 1
类似地，几个一元一次不等式合在一 起就构成了一元一次不等式组
不等式组的解集
从数轴上看前面两个不等式组解集的情况
x 3 x 5
3 1
o o
x5 x3 3 2 x 3 6
5
o
· 3
（请观察解集在数轴上的反映：线段与射线）
你能得出什么结论呢？
结
论
几个不等式解集的公 共部分就是不等式组 的解集
一元一次不等式组的解法
二○○五年一月二日
不等式组
x a, x b.(a b) x a, x b.(a b) x a, x b.(a b) x a, x b.(a b)
数轴表示
解 集
引例：一个小朋友的年龄大于3且小
于5，即他 的年龄x同时满足x>3与x<5,把x>3与 x3 x<5合在一起就是
不等式的解集2
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
x ≥ -2 能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解.
x<4
3.不等式-3x+6≥0的解有多少个？ • 它的解集是什么？ • 你能把解集表示在数轴上吗？ • 借助数轴观察正整数解有多少个？ • 非负整数解有多少个?
-3x+6≥0 -3x≥-6 x≤2
导火线燃烧的时间为___0_.0_2_x__1_0_0_秒__
解:设导火线的长度应为xcm,根据题意得. x 10
0.02100 4
即 x>5
(1) x=5,6,8 能使不等式x>5成立吗? (2) 你还能找出一些使不等式x>5成立的x的值吗?
x
5
6
8
x>5 不成立 成立 成立
请随机填空
能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解. 例如,6是不等式x>5的一个解,7,8,9,……也是不等式 x>5的解.
如:x<5是2x-3<7的解 集
联系 某个解定是解集中的一员 解集一定包括了某个解
(4)什么是解不等式? 求不等式解集的过程叫做解不等式.
议一议
• 1）x=9是不是x>5的解，x=10,13呢?你能用 自己的方式将x>5的解集表示在数轴上吗？
不等式x>5的解集可以用数轴上表示5的点的右 边部分来表示。在数轴上表示5的点的位置上画空 心圆圈，表示5不在这个解集内。
• （4） x=3是不等式3x≥9的解。（ √ ）
• （5） x-1＞0有无数个解。（ √ ）
• （6）不等式2x-3≤0的解集为x≥
2 3
。（ ×）
人转移到安全区域需要的时间最少______ ①整数解有 个。
64不等式解法(二)2
江苏省郑梁梅高级中学高三数学教学案主备人：郝娟 做题人：彭广雷 审核人：徐龙宝课题：不等式解法（二）考纲要求：了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系，会解一元二次不等式和简单的绝对值不等式。
课前预习：1、当k 在_________范围内取值时，方程222(1)3110x k x k +-+-=有两个不等的实数根。
2、（2011年陕西）若不等式|1||2|x x a ++-…对任意x ∈R 恒成立，则a 的取值范围为3、若函数()2()lg 1f x ax ax =++的定义域为R ，则实数a 的取值范围是_____________。
4、已知关于x 的不等式2122x x mx -+>的解集是{|02}x x <<，则实数m 的值是_____ 例题精析： 1、()14321x x ->+； ()2 |2||1|x x -<+。
2、若31x -<<时，不等式2(1)460a x x --+>恒成立，求a 的取值范围。
3、已知关于x 的不等式250ax x a-<-的解集为M ，（1）当4a =，求集合M ；（2）当3M ∈，且5M ∉，求实数a 的取值范围。
4、已知a 是实数，函数2()223f x ax x a =+--，如果函数()y f x =在区间[]1,1-上有零点，求a 的取值范围。
4、若不等式）（1122->-x m x 对满足2|m |≤的所有m 都成立，求x 的取值范围。
随堂练习：1、不等式20ax bx c ++>的解集是{|13},::x x x a b c <>或求。
2、若不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<对x R ∈恒成立，则实数a 的取值范围是_________________。
3、已知命题:p “[]21,20x x a ∀∈-≥,”，命题:q “x R ∃∈，使得2220x ax a ++-=”，若命题“p q 且”是真命题，则实数a 的取值范围是_________________。
二次不等式、分式不等式的解法
二次不等式、分式不等式的解法（二）示标——知识归纳1、不等式的结构()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧--⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧指数、对数不等式等超越不等式绝对值不等式无理不等式分式不等式高次一次、二次、整式不等式有理不等式代数不等式不等式 2、这些不等式解法的化归思路主要是：⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫化去绝对值超越化为代数无理化为有理分式化为整式高次化为低次)5()4()3()2()1(最后化为⎩⎨⎧二次不等式一次不等式组 施标——应用举例例1 解关于x 的不等式：（1）).(03222R a a ax x ∈>--（2）).0(0)1(22≠<++-a a x a ax解（1）.,30322122a x a x a ax x -===--有二根当0=a 时，021==x x ，解集为);,0()0,(+∞-∞当0<a 时，,21x x < 解集为);,()3,(+∞--∞a a当0>a 时，,21x x > 解集为).,3(),(+∞--∞a a（2）0)1(22=++-a x a ax 有二根 .1,21a x a x == 当0>a 时，原不等式化为,0)1)((<--ax a x 当1=a 时，解集为φ； 当10<<a 时，解集为)1,(a a ；当1>a 时，解集为).,1(a a当0<a 时，原不等式化为,0)1)((>--ax a x 当1-=a 时，解集为);,1()1,(+∞---∞当1-<a 时，解集为);,1(),(+∞-∞aa 当01<<-a 时，解集为).,()1,(+∞-∞a a固标：1．解含字母系数的不等式，要分类讨论。
这里要注意：分类的标准是比较两根的大小，当然还要注意分类不重不漏。
本例是分类思想的范例。
2．本题之(2)是难题，其难点是对“0>a 与0<a ”的分类，它化归为两类不等式：)0(0)1)((><--a a x a x ， )0(0)1)((<>--a ax a x 。
二次函数专题---解二次不等式问题
22.3（5）专题---解二次不等式问题
一．【知识要点】
1.解二次不等式问题
二．【经典例题】
1.结合绵阳市创建文明城市要求，某小区业主委员会决定把一块长80m，宽60m的矩形空地建成花园小广场，设计方案如图所示，阴影区域为绿化区（四块绿化区为全等的直角三角形），空白区域为活动区，且四周出口宽度一样，其宽度不小于36m，不大于44m，预计活
m，绿化区造价50元/2m，设绿化区域较长直角边为xm
动区造价60元/2
（1）用含x的代数式表示出口的宽度；
（2）求工程总造价y与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；
（3）如果业主委员会投资28.4万元，能否完成全部工程？若能，请写出x为整数的所有工程方案；若不能，请说明理由；
（4）业主委员会决定在（3）设计的方案中，按最省钱的一种方案，先对四个绿化区域进
m，结果提前4天完成四个区域的绿化任务，行绿化，在实际施工中，每天比计划多绿化112
m
问原计划每天绿化多少2
三．【题库】
【A】
【B】
【C】
【D】
1.九(13)班数学兴趣小组经过市场调查,整理出某种商品在第x(1≤x≤90)天的售价与销量的相关信息如下表:
已知该商品的进价为每件30元,设销售商品的每天利润为y元.
(1)求出y与x的函数关系式;
(2)问该商品第几天时,当天销售利润最大,最大利润是多少?
(3)该商品在销售过程中,共有多少天每天销售利润不低于4 800元?请直接写出结果.。
高三数学不等式的解法2
(a 1) (a 1) | x | 2、关于实数x的不等式： 2 2
2
2
与x 3(a 1) x 2(3a 1) 0(a R)
2
的解集分别为A、B，求使 A B
时实数a的取值范围
3、已知a、b是不相等的实数，且
a b a b
3 3 2
2
4 求证 : 0 a b 3
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神山壹带强者如林,比之咱们奇幻之地不会少多少,咱们行事壹切低调,先到了长生神山再说吧丶""好丶"叶问情也早就不想呆在这里了,要不是怕艾姐姐小瞧了她,她壹个人の话,早就赶紧闪人了丶二人不在这里继续呆了,艾丽立即带着叶问情前往长生神山主山丶而在她们离开后不久,这片血 湖林子旁边,刚刚那个黑衣女人又出现了丶女人抬头看了看二女离开の方向,喃喃自语道："这个女人の身上,竟然有那个家伙の气息,看来那家伙有可能就在前面,跟上她们丶"叶问情和艾丽哪里知道,她们此时已经被人给盯上了,二女却全然没有察觉,连艾丽也没有任何发现丶此地距离长生神 山只有八千多万里了,壹路上二人也着急赶路,就算是遇到了壹些麻烦,艾丽会直接带着叶问情绕道而过丶路上这里也有不少の强者,最近不知道为何,这壹带の争斗,长生神山外围の地带の厮杀越来越激烈了丶有许多の强者,出现了许多在这外面,埋伏,设陷阱,劫杀の事件发生丶因为这里不在 长生神山の范围,所以神山也不会管这里の事情,他们只管那神山忠の情况,外面の事情与他们无关丶龙亭并没有精力,去管这些事情,不过因为这里の劫杀事件日益增多,还是令这许多人对长生神山望而生畏了丶猫补忠文叁677魔界变故(猫补忠文)叁677有许多の强者,出现了许多在这外面,埋 伏,设陷阱,劫杀の事件发生丶因为这里不在长生神山の范围,所以神山也不会管这
不等式的解法(二)
＞0
两相异实根 x1、2= b b 4ac
2
=0
2a
两相等实根 b x1=x2= 2a
＜0
无实根
ax2+bx+c＞0 （a＞0）
ax2+bx+c＜0 （a＞0）
{x｜x＜x1或x {x｜x∈R且 ＞x2 } x≠x1} {X｜X1＜X＜ X2}
R
注意：
1、以后解不等式最后的结果都要写成集合或区间。
a
logb （x 3）
1
三、练习
ax 1、 不等式 ＜1的解集{x｜x＜1或x＞2}， x 1
则a=
2 x2
2、M={x｜ 2
＜
2
3x
则 M N=
}，N={x｜log 1 （x-1）＞0}
2
3、若函数y=lg(ax2+ax+1)的值域为R，求a的取值范围
； /2016/jn/qlzy050910/zpgw.html 齐鲁制药
不等式的解法（二）
1、一元一次不等式的解法
ax＞b 或 ax＜b
2、绝对值不等式 ｜x｜＞a （a＞0） x＜-a或x＞a ｜x｜＜a （a＞0） -a＜x＜a
3、一元二次不等式的解法 ax2+bx+c＞0 （a＞0） 或 ax2+bx+c＜0 （a＞0）
判别式 一元二次方程 ax2+bx+c=0的根 二次函数 y=ax2+bx+c的图 象 （a＞0）
应用举例：
1、不等式ax2+bx+2＞0的解集为 ax2-bx+2＞0 2、若函数f(x)=mx2+(m-1)x+m-1的值恒为负，求m的范围 3、关于x的不等式mx2-(2m+1)x+m-1≥0的解集为
不等式解法举例
例3 解不等式︱x-2 ︱+ ︱x+3 ︱>7
解法一：（1）x<3时，不等式转化为： -（x+3)+2-x>7. ∴x<-4. (2)-3≤x<2时，不等式化为：2-x+x+3>7. 即：5＞7，不成立。故-3≤x<2时，不等式无解。 （3）x≥2时，不等式化为：x-2+x+3>7. ∴x>3. 综合可得原不等式的解集为{x︱x<-4或x>3}.
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x2 5x 6 0 解集是{x x 2或x 3}
(3) x 2 5x 5 1
解 由原不等式得-1＜x2-5x+5＜1
｛ 即 x2-5x+4＜0 (1) x2-5x+6＞0 (2) 不等式(1)的解集是1＜x＜4 不等式(2)的解集是x＜2或x＞3
∴原不等式的解集是｛x︱1＜x＜2 或3＜x＜4｝
不等式解法举例(1)
含绝对值的一元一次、 一元二次不等式（组） 的解法
基本绝对值不等式的解集
不等式︱x︱<a(a>0)的解集是{x︱-a<x<a}.
不等式︱x︱>a(a>0)的解集是{x︱x>a或x<-a}.
尝试:（1）︱x︱<1
解集是{x 1 x 1}
(2)x2 5x 4 0 解集是{x1 x 4}
解法二：当x 0时，原不等式化为： x2 2x 15 0,即：（x 5)(x 3) 0. x 5. 当x 0时，原不等式化为x2 2x 15 0. 即：(x 5)(x 3) 0. x 5. 原不等式的解集为{x x 5或x 5}.
解二次不等式的步骤
解二次不等式的步骤
要解二次不等式的步骤如下：
1. 将不等式移项，使其等于零：将所有项移至同一边，得到一个二次不等式的标准形式，即 ax^2 + bx + c > 0 或 ax^2 + bx + c < 0。
2. 因式分解或使用配方法将二次不等式化简为一次不等式：尝试将二次不等式进行因式分解或使用配方法，将其化简为一个一次不等式的乘积形式。
若不能因式分解，则可使用配方法。
3. 求解一次不等式：根据一次不等式的性质，解出一次不等式的解集。
4. 根据二次不等式的符号确定解集：根据解出的一次不等式的解集以及二次不等式的符号(大于0或小于0)，确定最终二次不等式的解集。
需要注意的是，在每一步求解的过程中，都需要注意对x的取值范围进行讨论，如是否为实数集、是否排除某些特殊值等。
解二元二次不等式100题精选
解二元二次不等式100题精选
本文档提供了一系列精选的二元二次不等式题目，旨在帮助读
者更好地理解和解决这类问题。
以下为部分例题和解答示例：
1. 题目：解不等式组：{x^2 + y^2 > 1, 3x - 2y < 4}。
解答：首先将第一个不等式转化为等式形式：{x^2 + y^2 = 1}，这是一个圆的方程。
可见，圆上方的区域满足第一个不等式。
再看第二个不等式，
将其转化为等式形式：{3x - 2y = 4}，这是一条直线方程。
我们可以画出这条直线，可见直线上方的区域满足第二个不等式。
因此，题目所求的解集是圆上方直线下方的区域。
2. 题目：解不等式：{(x + 1)(y + 2) < 0}。
解答：这个不等式需要求解函数{(x + 1)(y + 2)}的正负号。
根
据乘法的性质，当两个因子的符号相反时，积为负数。
因此，我们可以得到两个条件：{x + 1 < 0}和{y + 2 > 0}，即{x < -1}和{y > -2}。
最后，将这两个条件交集的解集即为题目所求答案。
3. ...
通过这份精选题目的练，读者可以提高解决二元二次不等式的能力，并掌握常见的解题思路和技巧。
希望本文档能对读者有所帮助。
二元一次不等式解法步骤
二元一次不等式解法步骤
二元一次不等式是形如ax + by ≥ c的不等式，其中a、b、c
为已知实数且a、b不同时为0。
解一元不等式步骤如下：
1. 将不等式化为标准形式：将不等式的两边移项，使得不等号
的一边为0，得到ax + by - c ≥ 0。
2. 计算直线斜率：求出不等式左侧直线的斜率，通过将不等式
转换为等式，得到y = -(a/b)x + c/b的形式。
斜率为-(a/b)。
若
a/b > 0，则直线下降；若a/b < 0，则直线上升。
3. 确定直线方向：根据斜率的正负确定不等式的区域方向，例
如当a/b > 0时，直线下降，则该直线以下的区域满足不等式。
4. 绘制直线：找到y截距，绘制直线。
可以取两个点，计算x
和y的值，然后在坐标系中连接这两个点。
5. 判断解集：根据不等式的符号关系确定解集。
若不等式为≥或>，则解集为直线以下（或不包括直线）的区域，并包括直线上的点；若不等式为≤或<，则解集为直线以上（或不包括直线）的区域，并包
括直线上的点。
6. 检验解集：将解集中的某个点代入原不等式进行检验，若不
等式成立，则该点是解集的一部分；若不等式不成立，则该点不是解
集的一部分。
注：解二元一次不等式与解一元不等式的步骤类似，但需要特别
注意解集的表示形式，通常为平面中的区域表示。
不等式 2
不等式2知识梳理： 绝对值不等式：含绝对值的不等式性质（双向不等式） a b a b a b -≤±≤+ 左边在)0(0≥≤ab 时取得等号，右边在)0(0≤≥ab 时取得等号解指对不等式：(1) 当a ＞1时，a f(x)＞a g(x)与f(x)＞g(x)同解，当0＜a ＜1时，a f(x)＞a g(x)与f(x)＜g(x)同解．(2) 0)a 1log f(x)log g(x)f(x)g(x)f(x)0a a 当＞时，＞与＞＞同解．⎧⎨⎩当＜＜时，＞与＜＞＞同解．0a 1log f(x)log g(x)f(x)g(x) f(x)0g(x)0a a ⎧⎨⎪⎩⎪1. 若关于x 的不等式23x ax a --≤-的解集不是空集，则实数a 的取值范围 ．2. (1) 已知f (x )＝32x －(k ＋1)3x ＋2，当x ∈R 时，f (x )恒为正值，则k 的取值范围是_______.(2)已知函数22(),[1,),()0x x af x x f x x++=∈+∞≥对于任意恒成立，试求a 的取值范围________.3. (1) 如果方程02)1(22=-+-+m x m x 的两个实根一个小于‒1，另一个大于1，那么实数m 的取值范围是__________.(2) 若)3,0(内的每一个数都是不等式0122<-+mx x 的解，求m 的取值范围_______. 4. 设函数f (x )＝mx 2－mx －1，若对于m ∈[－2,2]，f (x )<－m ＋5恒成立，求x 的取值范围．5. 当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则m 的取值范围是________.6．若关于x 的不等式x 2＋12x －(12)n ≥0对任意n ∈N *在x ∈(－∞，λ]上恒成立，则实常数λ的取值范围是________．7. 三个同学对问题“关于x 的不等式2x ＋25＋|3x －52x |≥ax 在[1，12]上恒成立，求实数a 的取值范围”提出各自的解题思路． 甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”． 乙说：“把不等式变形为左边含变量x 的函数，右边仅含常数，求函数的最值”． 丙说：“把不等式两边看成关于x 的函数，作出函数图像”．参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即a 的取值范围是 ．8. 已知抛物线C:y=-x²+mx-1,点A(3,0),B(0,3),求C 与线段AB 有两个不同焦点时m 的取值范围___________.9. 关于x 的不等式|x －2|＋|x －a |≥2a 在R 上恒成立，则实数a 的最大值是________．10. 已知函数f (x )＝|x －1|＋|x －2|.若不等式|a ＋b |＋|a －b |≥|a |f (x )(a ≠0，a 、b ∈R)恒成立，求实数x 的取值范围_________．11. 设函数f (x )＝|x －a |＋3x ，其中a >0,若不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤－1}，求a 的值____．12.(1)解不等式log x+1(x2-x-2)＞1?(2)?13.___________?14.设a＞0且a≠1，解不等式?15.a ＞０且a ≠1，解关于x 的不等式： 1log a x >-?16. 已知函数.1)1(log )(),49(log )21()(21221---=+x x g x x f x f 函数满足（Ⅰ）求函数f (x )的表达式；（Ⅱ）若f (x )>g (x )，求x 的取值范围？不等式2知识梳理： 绝对值不等式：含绝对值的不等式性质（双向不等式） a b a b a b -≤±≤+ 左边在)0(0≥≤ab 时取得等号，右边在)0(0≤≥ab 时取得等号解指对不等式：(3) 当a ＞1时，a f(x)＞a g(x)与f(x)＞g(x)同解，当0＜a ＜1时，a f(x)＞a g(x)与f(x)＜g(x)同解．(4) 0)a 1log f(x)log g(x)f(x)g(x)f(x)0a a 当＞时，＞与＞＞同解．⎧⎨⎩当＜＜时，＞与＜＞＞同解．0a 1log f(x)log g(x)f(x)g(x) f(x)0g(x)0a a ⎧⎨⎪⎩⎪1. 若关于x 的不等式23x ax a --≤-的解集不是空集，则实数a 的取值范围 ． 解：设()2f x x ax a =--，则关于x 的不等式23x ax a --≤-的解集不是空集()3f x ⇔≤-在(),-∞+∞上能成立()min 3f x ⇔≤-．2. (1) 已知f (x )＝32x －(k ＋1)3x ＋2，当x ∈R 时，f (x )恒为正值，则k 的取值范围是_______.解: 由f (x )>0得32x －(k ＋1)·3x ＋2>0，解得k ＋1<3x ＋23x ，而3x ＋23x ≥22，∴k ＋1<22，k <22－1.(2)已知函数22(),[1,),()0x x af x x f x x++=∈+∞≥对于任意恒成立，试求a 的取值范围________.解：()22()20,[1,)23f x x x a x a x x a =++≥∈+∞⇒≥-+⇒≥-对于任意3. (1) 如果方程02)1(22=-+-+m x m x 的两个实根一个小于‒1，另一个大于1，那么实数m 的取值范围是__________. 解：（－2，1）(2) 若)3,0(内的每一个数都是不等式0122<-+mx x 的解，求m 的取值范围_______.解：()3,0),(3,02121≥≤⇒⊆x x x x 017(0)03(3)0f m f ∆>⎧⎪⇒≤⇒≤-⎨⎪≤⎩4. 设函数f (x )＝mx 2－mx －1，若对于m ∈[－2,2]，f (x )<－m ＋5恒成立，求x 的取值范围．解:将f (x )<－m ＋5变换成关于m 的不等式m (x 2－x ＋1)－6<0，则命题等价于m ∈[]－2，2时，g ()m ＝m ()x 2－x ＋1－6<0恒成立．∵x 2－x ＋1>0，∴g (m )在[－2,2]上单调递增，∴只要g (2)＝2(x 2－x ＋1)－6<0， 即x 2－x －2<0，∴－1<x <2.5. 当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则m 的取值范围是________.解：设f (x )＝x 2＋mx ＋4，则由二次函数的图象及一元二次方程x 2＋mx ＋4＝0的根的分布知，⎩⎪⎨⎪⎧ f （1）≤0，f （2）≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＋5≤0，2m ＋8≤0.解得m ≤－5. 解法二：当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立⇔m <－x 2－4x，当x ∈(1,2)时恒成立⇔m <－⎝⎛⎭⎫x ＋4x ，当x ∈(1,2)时恒成立．令g (x )＝－⎝⎛⎭⎫x ＋4x ，x ∈(1,2),则g (x )min ＝g (1)＝－5，∴m ≤－5.6．若关于x 的不等式x 2＋12x －(12)n ≥0对任意n ∈N *在x ∈(－∞，λ]上恒成立，则实常数λ的取值范围是________．解: 由题意得x 2＋12x ≥(12)n max ＝12，∴x ≥12或x ≤－1.又x ∈(－∞，λ]，∴λ∈(－∞，－1]．7. 三个同学对问题“关于x 的不等式2x ＋25＋|3x －52x |≥ax 在[1，12]上恒成立，求实数a 的取值范围”提出各自的解题思路． 甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”． 乙说：“把不等式变形为左边含变量x 的函数，右边仅含常数，求函数的最值”． 丙说：“把不等式两边看成关于x 的函数，作出函数图像”．参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即a 的取值范围是 ．解：由2x ＋25＋|3x －52x |≥225,112|5|ax x a x x x x≤≤⇒≤++-，而2510x x +≥，等号当且仅当5[1,12]x =∈时成立；且2|5|0x x -≥，等号当且仅当5[1,12]x =∈时成立；所以，2min 25[|5|]10a x x x x≤++-=，等号当且仅当5[1,12]x =∈时成立；故(,10]a ∈-∞．8. 已知抛物线C:y=-x²+mx-1,点A(3,0),B(0,3),求C 与线段AB 有两个不同焦点时m 的取值范围___________.解：线段AB 的方程：y=3-x(0≤x ≤3)，与抛物线方程联立： --->3-x= -x²+mx-1-->f(x)= x²-(m+1)x+4=0 两个交点--->f(x)=0在[0,3]上有两个根---> (1)f(x)的对称轴x=(m+1)/2∈[0,3]--->m ∈[-1,5](2)判别式=(m+1)^-16＞0--->(m+5)(m-3)＞0--->m ∈(-∞,-5)∪(3,+∞) (3)f(0)=4＞0, 显然成立；(4)f(3)=9-3(m+1)+4≥0--->3m-10≤0--->m ∈(-∞,10/3] (1)(2)(3)(4)求交集--->m ∈(3,10/3]9. 关于x 的不等式|x －2|＋|x －a |≥2a 在R 上恒成立，则实数a 的最大值是________．解：本小题考查了绝对值的定义，令f (x )＝|x －2|＋|x －a |，当a >2时，易知f (x )的值域为[a －2，＋∞)，使f (x )≥2a 恒成立，需a －2≥2a 成立，即a ≤－2(舍去)．当a <2时，f (x )的值域为[2－a ，＋∞)，使f (x )≥2a 恒成立，需2－a ≥2a 成立，即a ≤23.当a ＝2时，需|x －2|≥a 恒成立，即a ≤0(舍去)．综上a 的最大值为23.10. 已知函数f (x )＝|x －1|＋|x －2|.若不等式|a ＋b |＋|a －b |≥|a |f (x )(a ≠0，a 、b ∈R)恒成立，求实数x 的取值范围_________．解：由|a ＋b |＋|a －b |≥|a |f (x )且a ≠0得|a ＋b |＋|a －b ||a |≥f (x )．又因为|a ＋b |＋|a －b ||a |≥|a ＋b ＋a －b ||a |＝2，则有2≥f (x )．解不等式|x －1|＋|x －2|≤2得12≤x ≤52.11. 设函数f (x )＝|x －a |＋3x ，其中a >0,若不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤－1}，求a 的值____． 解：由f (x )≤0得,|x －a |＋3x ≤0.此不等式化为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥a ，x －a ＋3x ≤0，或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤a ，a －x ＋3x ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥a ，x ≤a 4，或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤a ，x ≤－a 2.因为a >0，所以不等式组的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－a 2,由题设可得－a2＝－1，故a ＝2.12. (1)解不等式log x+1(x 2-x-2)＞1?解:原不等式同解于log x+1(x 2-x-2)＞log x+1(x+1)所以原不等式的解为x ＞3。
解二次不等式专项练习题
解二次不等式专项练习题以下是一些关于解二次不等式的专项练题。
练题 1解以下二次不等式：$2x^2 - 3x - 2 > 0$解答：首先，我们需要找到该二次函数的零点，即方程 $2x^2 - 3x - 2 = 0$ 的解。
可以使用因式分解法或配方法求解该方程。
通过计算得出，在 $x = -1$ 和 $x = \frac{2}{3}$ 处，二次函数取得零值。
然后，我们将这些零点作为分界点，将数轴分成三个区间：$(-\infty, -1)$，$(-1, \frac{2}{3})$，$(\frac{2}{3}, +\infty)$。
接下来，我们在每个区间内选取一个测试点，并代入原始不等式进行判断：- 当 $x = -2$ 时，$2x^2 - 3x - 2 = 10 > 0$，不满足不等式；- 当 $x = 0$ 时，$2x^2 - 3x - 2 = -2 < 0$，满足不等式；- 当 $x = 1$ 时，$2x^2 - 3x - 2 = -3 < 0$，满足不等式。
由于在区间 $(-1, \frac{2}{3})$ 内测试点均满足不等式，因此原始不等式的解集为 $(-1, \frac{2}{3})$。
练题 2解以下二次不等式：$x^2 + 4x - 5 \leq 0$解答：首先，我们需要找到该二次函数的零点，即方程 $x^2 + 4x - 5 = 0$ 的解。
可以使用因式分解法或配方法求解该方程。
通过计算得出，在 $x = 1$ 和 $x = -5$ 处，二次函数取得零值。
然后，我们将这些零点作为分界点，将数轴分成三个区间：$(-\infty, -5)$，$(-5, 1)$，$(1, +\infty)$。
接下来，我们在每个区间内选取一个测试点，并代入原始不等式进行判断：- 当 $x = -6$ 时，$x^2 + 4x - 5 = 35 > 0$，不满足不等式；- 当 $x = 0$ 时，$x^2 + 4x - 5 = -5 \leq 0$，满足不等式；- 当 $x = 2$ 时，$x^2 + 4x - 5 = 7 > 0$，不满足不等式。
二元一次不等式组解法例题
二元一次不等式组解法例题一、什么是二元一次不等式组？在数学中，二元一次不等式组是由两个二元一次不等式组成的一组方程。
它的一般形式可以表示为：ax + by ≤ cdx + ey ≥ f其中，a、b、c、d、e、f为已知数，x和y为未知数。
二、二元一次不等式组的解法为了解决二元一次不等式组，我们可以使用图形法和代数法两种方法。
图形法通过将不等式绘制在坐标平面上，利用图形的相交关系来求解问题。
举例来说，假设有以下二元一次不等式组：2x + y ≤ 4x + 3y ≥ 1我们可以按照以下步骤进行图形法求解：步骤1：将每个不等式转换为等式，得到以下两个方程：2x + y = 4x + 3y = 1步骤2：画出两个方程的图形。
可以通过几个点或者找到直线的截距和斜率来完成。
步骤3：找出两个图形的交点，即为二元一次不等式组的解。
代数法使用代数运算和求解方程的方法来求解二元一次不等式组。
继续以以下二元一次不等式组为例：2x + y ≤ 4x + 3y ≥ 1步骤1：将不等式化为等式，得到以下两个方程：2x + y = 4x + 3y = 1步骤2：选择一种合适的代数运算方法，例如消元法或代入法，将方程组简化为一个只含有一个未知数的方程。
步骤3：解出未知数的值。
步骤4：将求得的未知数的值代入另一个方程，验证解是否符合。
现在我们来解决一个具体的例题：解二元一次不等式组：3x - y ≤ 8-x + 2y ≥ -6解法1：图形法步骤1：将不等式转换为等式得到以下两个方程：3x - y = 8-x + 2y = -6步骤2：画出两个方程的图形，并找到它们的交点。
步骤3：由图形可知，两个图形在交点处相交于一个点，因此该点即为二元一次不等式组的解。
解法2：代数法步骤1：将不等式化为等式，得到以下两个方程：3x - y = 8-x + 2y = -6步骤2：通过代数运算简化方程组：从第一个方程中解出x：x = (8 + y) / 3将x代入第二个方程：(-8 - y) / 3 + 2y = -6步骤3：解出y的值，然后将其代入第一个方程，验证解是否符合。
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解不等式二
一. 教学内容：
解不等式二
二. 重点、难点：
1. 含绝对值不等式
（1）)0(|)(|>>a a x f a x f >⇔)(或a x f -<)(
（2）)
0(|)(|><a a x f ⎩⎨⎧-><⇔a x f a x f )()( （3）⇔>⇔>)()(|)(||)(|22x g x f x g x f 0)]()([)]()([>+⋅-x g x f x g x f
2. 指数不等式
)()(x g x f a a >
（1）)()(1x g x f a >⇔>
（2）)()(10x g x f a <⇔<<
3. 对数不等式
)(log )(log x g x f a a >
（1）0)()(1>>⇔>x g x f a
（2）0)()(10>>⇔<<x f x g a
4. 含参讨论
解含参不等式，经常需要面对讨论，对于参数重要的是讨论的分界点，这个分界点应按实际需要进行分类。
【典型例题】
[例1] 解不等式：
（1）|4||3|2
-≤x x
解：222)4()3(-≤x x
0)34)(34(22≥--+-x x x x
0)4)(1)(4)(1(≥-++-x x x x
),4[]1,1[]4,(∞+---∞∈ x
（2）1|1|2<+-x x
解：1112
<+-<-x x
⎩⎨⎧<<⇒⎪⎩⎪⎨⎧<+-->+-10111122x R x x x x ∴)1,0(∈x （3）x x x <-+|2|2
解：⎪⎩⎪⎨⎧<-+≥-+x x x x x 20
222或⎪⎩⎪⎨⎧<-+-<-+x x x x x )2(0222 ⎩⎨⎧<≥-+20)1)(2(2x x x 或⎩⎨⎧>-+<-+0220
)1)(2(2x x x x
)2,1[ )1,13(-
∴)2,13(-∈x
（4）12)12()
12(2--+>-x x x 解：12)12()
12(2-+-+>+x x x 122->+-x x x 012<-+x x
)251,2
51(+--
-∈x （5）032
1622<+-+x x 解：令t x =4
原式为0342
<+-t t
0)3)(1(<--t t
∴31<<t 3440<<x
∴)3log ,0(4∈x
（6）x x x 3842326
⋅<++ 解：x x x x 384422323232⋅<⋅⋅⋅+
442332⋅<⋅x x 4)32()3
2(<x ∵↓=x y )32( ∴),4(∞+∈x
（7）)102(log )43(log 2.022.0+<--x x x
解：↓=x y 2.0log
⎩⎨
⎧>++>--010*******x x x x
),7()2,5(∞+--∈ x
（8）
02log 5log 221
2
2≤++x x 解：令
t x =21
log 02522≤++t t
212-≤≤-t
2
l o g l o g 4l o g 212121≤≤x ∴]4,2[∈x （9）0)43(log 2
)3(<---x x x 解：⎩⎨⎧>--<-<1431302x x x 或⎩⎨⎧>-<--<0314302x x x
φ 或
22934+
<<x ∴)2293,4(+
∈x
[例2] 解不等式)(322a ax x a x
-+> 解：0)(322>++-a x a a x
0))((2>--a x a x
（1）a a >2即),1()0,(∞+-∞∈ a ),(),(2
∞+-∞∈a a x （2）a a =2即}1,0{∈a ),(),(∞+-∞∈a a x
（3）a a <2即)1,0(∈a ),(),(2
∞+-∞∈a a x 综上所述
),1()0,(∞+-∞∈ a 时 ),(),(2
∞+-∞∈a a x
}1,0{∈a 时 ),(),(∞+-∞∈a a x
)1,0(∈a 时 ),(),(2∞+-∞∈a a x
[例3] ),1()1,0(∞+∈ a ，解不等式：2221-++<+x x x a a a 。
解：令t a x =
01)1
(222<+⋅+-t a a t 0)1
)((22<--a t a t
（1）)1,0(∈a 22-<<a t a ∴)2,2(-∈x
（2）),1(∞+∈a 22a t a <<- ∴)2,2(-∈x
综上所述)2,2(-∈x
[例4] ),1()1,0(∞+∈ a ，2log log
)1(log 2a a a x x >-+ 解：)1(log +x a 2
2log x a > )1,0(∈a ⎩⎨⎧>+<+01212
x x x ),1()21,1(∞+--∈⇒ x
),1(∞+∈a )1,0()0,21
( -∈x
),1()1,0(∞+∈ a
)4(log )1(log 142x
x a a -≤-+ ⇒⎪⎩⎪⎨⎧-≤->->-x x x x a a a a 4)1(40
40
12
)1,0(∈a )
0,47[l o g a x ∈ ),1(∞+∈a
]47l o g ,0(a x ∈ [例5] 1)2
(log )2(log 2+->--a x x x a a （0>a 且1≠a ）
解：
1>a
⎪⎪
⎩⎪⎪⎨⎧->-->->--22020
222ax x x a x x x a x +>⇒1
)1,0(∈a
⎪⎪
⎩⎪⎪⎨⎧-<-->->--22020
222ax x x a x x x φ
[例6] 关于 x 的不等式a a a x 2)
1(2>+-的解为A ，且满足),1(∞+⊆A ，求a 取值范围。
解： （1）112>+-a a ),1()0,(∞+-∞∈ a
① )0,(-∞∈a R A =不合题意
② ),1(∞+∈a a x a a 2l o g )1(2+->
),1(∞+⊆A
∴)1(log 12log 2)1()1(22+-=≥+-+-a a a a a a a
∴]253,1(+
∈a
（2）112=+-a a 0=a 或1=a ① 0=a R A = 舍
② 1=a φ=A 合题意
（3）1102<+-<a a )1,0(∈a
a
x a a 2log )1(2+-<（舍） ∴
]253,1[+∈a
【模拟试题】
一. 解不等式：
1. |2523
|4|106|++≤+x x
2. 1|4
4
5|22≤-+-x x x 3. 032232
22<+⋅-+x x 4.
0)5(log 2)12(>+--x x x
【试题答案】 1. ]979
23
[-≤≤-x 2. ),25
[]58
,0[∞+
3. )3,2(
4. ),3(∞+。