土力学1-第三章

22
§3.3 附加应力
矩形面积水平均布荷载
角点下的垂直附加应力：C氏解的应用 B ph L
z K hph
z
L z K h F( B, L, z ) F( , ) F( m, n) B B
Z
z
矩形面积作用水平均布荷载时角 点下的应力分布系数：表3-4
矩形分布荷载的附加应力
yx yz 0
y
x ij 0 1 2 xz 0 0 0
1 2
xz 0 z
应力条件
x z 0 E E y x z y
x ij 0 zx
z
B 0
dP pdxdy

L
0
d z z (p t , m, n)
y
pt
o
B
L
z K tpt
L z K t F( B, L, z ) F( , ) F( m, n) B B
x
z
M
z
矩形面积竖直三角分布荷载角点下的 应力分布系数：表3-3
矩形分布荷载的附加应力
x
z
zx
yz
y
xz yz z
x ij 1 xy 2 1 xz 2
1 2
xy
x
xy y 1 2 yz
1 2 1 2
xz yz z
地基中的应力状态（1）
4
§3.1 应力状态及应力应变关系
三维应力状态（三轴应力状态）
x y 应变条件 xy yz zx 0
应力条件
轴向力F
z
试 样
x y c xy yz zx 0
y
水压 力c
x
x y c ; z 独立变量 x y ; z
24
§3.3 附加应力
条形面积竖直均布荷载
任意点的附加应力：F氏解的应用 p
B
z K s p z x K p
s x
x y
xz K s p xz
Ks , Ks , Ks z x xz F( B , x , z ) x z F( , ) F( m, n ) B B
z
土体的自重应力
11
§3.2 自重应力
竖直向自重应力：土体中无剪应力存在，故地基中Z深 度处的竖直向自重应力等于单位面积上的土柱重量
• 均质地基：
• 成层地基：
sz z
sz
地面

i Hi
1 H1 2 H2 3 H3 sy
地下水
水平向自重应力： sx sy K 0sz K0 1
土力学
第三章 土体中的应力计算
贵州大学土木建筑工程学院 岩土工程教研室
第三章：土体中的应力计算
§3.1 §3.2 §3.3 §3.4 §3.5 §3.6 应力状态及应力应变关系 自重应力 附加应力 基底压力计算 有效应力原理 常规三轴压缩试验
§3.1 应力状态及应力应变关系
zx z +
材料力学
o y z
y x 0 xy yz zx 0

x
应变条件
地基中的应力状态（3）
8
§3.1 应力状态及应力应变关系
侧限应力状态：侧向应变为零的一种应力状态 应变条件
y x 0 xy yz zx 0
xy yz zx 0 x x y z 0 E E x y z K 0 z 1
z
矩形竖直向均布荷载角点下的应力分布系数Ks：表3-2
矩形分布荷载的附加应力
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§3.3 附加应力
矩形面积竖直均布荷载

任意点的垂直附加应力—角点法 叠加原理
B C a
A D b
荷载与应 力间满足 线性关系
角点计算公式
任意点的计算公式
A B D • 矩形内： z ( K s K s K C K s )p s
正应力
剪应力
顺时针为正 逆时针为负
zx
土力学
z +
x
xz
-
拉为正 压为负
-
xz
x
压为正 拉为负
逆时针为正 顺时针为负
土力学中应力符号的规定
3
§3.1 应力状态及应力应变关系
三维应力状态（一般应力状态）
o
y z
x ij yx zx xy y zy
x y c
0 c 0 0 x 0 ij 0 0 z
0 x 0 0 0 z
5
c ij 0 0
地基中的应力状态（1）
§3.1 应力状态及应力应变关系
二维应力状态（平面应变状态）
z
x
zx
z
o
y z
集中力作用下的 应力分布系数 查表3－1
集中荷载的附加应力
16
§3.3 附加应力
竖直集中力－布辛内斯克课题
z 3 1 P P K 2 2 [1 (r / z ) 2 ]5 / 2 z 2 Z
P
σz与α无关，呈轴 对称分布 P作用线上
在某一水平面上 在r﹥0的竖直线上 z等值线-应力泡
在土层分界面处和地下水位处发生转折或突变（水平应力）
土体的自重应力
13
§3.3
附加应力
附加应力是由于修建建筑物之后再地基内新增加 的应力，它是使地基发生变形从而引起建筑物沉 降的主要原因
• 集中荷载作用下的附加应力 基本解
• 矩形分布荷载作用下的附加应力
• 条形分布荷载作用下的附加应力 • 圆形分布荷载作用下的附加应力 • 影响应力分布的因素
z
sz sx

容重： 地下水位以上用天然容重 地下水位以下用浮容重
土体的自重应力
12
§3.2 自重应力
分布规律
地面
1 H1 2 H2
地下水
1H1
sz
2H2 2H3
z
来自百度文库
2 H3
sy
sz sx z

分布线的斜率是容重 在等容重地基中随深度呈直线分布
自重应力在成层地基中呈折线分布
0 y 0
xz 0 z
独立变量
x , z , xz ; x , z , xz ; x , z
地基中的应力状态（2）
7
§3.1 应力状态及应力应变关系
侧限应力状态：指侧向应变为零的一种应力状态
• 水平地基半无限空间体 • 半无限弹性地基内的自重 应力只与Z有关 • 土质点或土单元不可能有 侧向位移侧限应变条件 • 任何竖直面都是对称面
法国数学家布辛内斯克（J. Boussinesq）1885年
推出了该问题的理论解，包括六个应力分量和三 个方向位移的表达式 教材P70~71页 其中，竖向应力z：
3P z 3 3 1 P P z K 2 5 2 5/ 2 2 2 R 2 [1 (r / z ) ] z Z
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§3.3 附加应力
竖直线布荷载 - 弗拉曼解
- B氏解的应用
2 pz 3 z ( x 2 z 2 ) 2 2 px 2 z x ( x 2 z 2 ) 2 zx 2pxz ( x 2 z 2 ) 2
2
p
x
z
y
x
z
M
y x z
条形分布荷载的附加应力
应力泡
0.1P 0.05P 0.02P 0.01P
集中荷载的附加应力
17
§3.3 附加应力
水平集中力－西罗提课题
o
P
x
α
x
r
M β z M y
z zx
R
yz
y
xy x
y
z
3Ph xz 2 z 2 R 5
集中荷载的附加应力
18
§3.3 附加应力
矩形面积竖直均布荷载
dP pdxdy
BD D • 矩形外： z ( K abcd K s K CD K s )p s s
C
A c
D
B d
矩形分布荷载的附加应力
20
例题:已知均布受荷基底面积如图 所示， 求基底下8m处M点的附加应力。 p0=100kPa。基底面积为3m×2m
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§3.3 附加应力
矩形面积竖直三角形分布荷载
连续介质 （宏观平均） 线弹性体 （应力较小时） 均质各向同性体 （土层性质变化不大） E、与位置和方向无关

加载
线弹性
成层土 各向异性
卸载
εp
εe

理论：弹性力学解求解“弹性”土体中的应力 方法：解析方法优点：简单，易于绘成图表等
应力计算时的基本假定
10
§3.2
自重应力
定义：在修建建筑物以前，地基中由土体本身 的有效重量而产生的应力 目的：确定土体的初始应力状态 假定：水平地基 半无限空间体 半无限弹性体 有侧限应变条件 一维问题 计算： 地下水位以上用天然容重 地下水位以下用浮容重
基底压力计算
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§3.4 基底压力计算
基底压力是地基和 基础在上部荷载作 用下相互作用的结 果，受荷载条件、 基础条件和地基条 件的影响
暂不考虑上部结构的影 响，用荷载代替上部结 构，使问题得以简化
•大小 荷载条件： •方向 •分布 • • • • 刚度 形状 大小 埋深
基础条件:
• 土类 地基条件： • 密度 • 土层结构等
影响土中应力分布的因素
28
§3.4 基底压力计算
上部 结构 建筑物 设计
基础结构 的外荷载
基底反力
基础
地基
基底压力
附加应力 地基沉降变形
基底压力：基础底面传递给地基表面的压
力，也称基底接触压力。
基底压力既是计算地基中附加应力的外荷
载，也是计算基础结构内力的外荷载，上 部结构自重及荷载通过基础传到地基之中

角点下的垂直附加应力：B氏解的应用
p
L B
y
3dP z 3 3p z 3 d z dxdy 5 5 2 R 2 R
x
z K sp
z

0
B
L
0
d z z ( p, m, n)
z
M
m=L/B, n=z/B
P74页（3－11）
L z K s F(B, L, z ) F( , ) F(m, n) B B
非均匀性-成层地基
B
成层 均匀 E1

上层软弱，下层坚硬
H
• 轴线附近应力集中，σz增大 • 应力集中程度与土层刚度比有 关 • 随H/B增大，应力集中减弱
硬层 E2>E1
B
H 硬层E1
上层坚硬，下层软弱
• 轴线附近应力扩散，σz减小 • 应力扩散程度与土层刚度比有关 • 随H/B的增大，应力扩散增强
x
z
M
条形面积竖直均布荷载作用时 的应力分布系数：表3-5
条形分布荷载的附加应力
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§3.3 附加应力
条形面积其它分布荷载 P85页：表3－6 圆形面积均布荷载作用
• 圆心下的附加应力计算
z F(r / z )p K 0p
P88页：表3－9
其它荷载的附加应力
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§3.3 附加应力
0 0 0 ij 0 0 0 0 0 z
x ij 0 0 0 y 0 0 0 z
应力条件
独立变量
z ; z F( z )
侧压力系数
地基中的应力状态（3）
9
§3.1 应力状态及应力应变关系
碎散体 非线性 弹塑性
y
yz
xy
x
zx xz x
垂直于y轴断面的几何形状与应力状态相同 沿y方向有足够长度，L/B≧10 在x, z平面内可以变形，但在y方向没有变形
y 0 yx yz 0
地基中的应力状态（2）
6
§3.1 应力状态及应力应变关系
二维应力状态（平面应变状态） 应变条件 y 0
叠加原理
地基中的附加应力
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§3.3 附加应力
竖直集中力－布辛内斯克课题
P

α

o
x
x
r y M β z M
2 2 2
z zx yz y xy
R
y
x
z
2 2 2
R r z x y z
（P；x,y,z；R, α, β)
集中荷载的附加应力
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§3.3 附加应力
竖直集中力－布辛内斯克课题
成层 均匀 E2<E1
影响土中应力分布的因素
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§3.3 附加应力
非线性和弹塑性
• 对竖直应力计算值的影响不大 • 对水平应力有显著影响
变形模量随深度增大的地基
• 是一种连续非均质现象，在砂土地基中尤为常见 • 使应力向力的作用线附近集中
各向异性地基
• Ex/Ez<1 时，Ex相对较小，不利于应力扩散 应力集中 • Ex/Ez>1 时，Ex相对较大，有利于应力扩散 应力扩散