概率论试卷

《概率论与数理统计》考试试卷（A 卷）

班级 姓名 学号 一、填空题（每题5分，共15分） 1、设()()()

0.3,0.4,0.5P A P B P AB ===，则()P B A B = .

2、设()()()1

230,6,0,4,3,X U X N X π且123,,X X X 相互独立，则

()12334D X X X +-= .

3、随机变量X ，有()1E X =，()1D X =，则有{}13P X -<<≥ . 二、选择题（每题5分，共15分）

1、设()()01,01P A P B <<<<，()

()

1P A B P A B +=,则A 与B ( ).

)(A 互斥 )(B 对立 )(C 不独立 )(D 独立

2、样本()1,,,21>n X X X n 来自标准正态总体(0,1)N ，X 与2

S 是样本均值与样本方差，

则有( ).

)(A ~(0,1)X N )

(B ~(0,1)N )(C 222

~()n

i i X n χ=∑ )(D ~(1)X t n S

-

3、设22(,),X

N μσσ已知，若样本容量n 和置信水平1α-均不变，选择对称的分位点，

则对于不同的样本观测值，参数μ的置信区间的长度将会( ). )(A 变长； )(B 变短；)(C 保持不变； )(D 不能确定. 三、计算题（每题10分，共40分）

1、设在某次世界女排比赛中，中、日、美、古巴四队取得半决赛权，形势如下： 中国队已经战胜古巴队，但日本队和美国队还未赛，根据以往战绩，中国队战胜日本队、美国队的概率分别为0.9,0.4，而日本队战胜美国队的概率为0.5，试问（1）中国队取得冠军的概率？（2）已知结果中国队已夺冠，问日本战胜美国队的概率？

2、设连续型随机变量X 的概率密度为3,01

()0,kx x f x ⎧<<=⎨⎩其它

，求：

（1）常数k ；（2）随机变量X 的分布函数()F x ；（3）{}10.5P X -<<.

3、设随机变量X 的概率密度为,0()0,x X e x f x -⎧≥=⎨⎩其它

,求X Y e =的概率密度()Y f y .

4、设总体X 在区间[],a b 上服从均匀分布，其中,a b 为未知参数，n X X X ,,,21 是来自总体X 的一组样本，求未知参数,a b 的矩估计量和最大似然估计量. 四、解答题（共22分）

1、（12分）设随机变量()Y X ,的联合概率密度为2, 01,01,

(,)0, x y x y f x y --<<<<⎧=⎨⎩

其它，

试求：（1）()(),E X D X ；（2）(),Cov X Y ；（3）.XY ρ

2、（10分）设考生的某次考试成绩服从正态分布，现从中任取了9名考生的成绩，如下

72，76，85，84，79，86，88，92，94，

设成绩总体服从正态分布,问在显著性水平0.05α=下,能否认全体考生这次的平均成绩为80分?

五、证明题（本题8分） 设总体2(,)X

N μσ121,,,n X X X +是来自总体X 的一个样本，令

2

2*1111,()n n i i i i X X S X X n n ====-∑∑

的分布. 试卷(A)答案及评分标准

一、填空题（每题5分，共15分）

1、0.25；

2、87；

3、34

二、选择题（每题5分，共15分）

1、D ；

2、B ；

3、C 三、计算题（每题10分，共40分）

1、解：设B =“中国队取得冠军”，A =“日本队战胜美国队”，由题设知 ()()0.5P A P A ==

(|)P B A =“日本队战胜美国队的条件下中国队取得冠军” (|)P B A =“美国队战胜日本队的条件下中国队取得冠军”

由全概率公式可知，()()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A =+ 0.50.90.50.40.65=⨯+⨯= 由贝叶斯公式可知

()(|)0.50.9

(|)0.692()0.65

P A P B A P A B P B ⨯=

=≈

2、解：(1)

1

330

1kx dx kx dx +∞

-∞

==⎰

⎰，解得4k =

（2）()4

4

000,401,11.

x x F x t dt x x x <⎧⎪⎪==≤<⎨⎪

≤⎪⎩

⎰ （3）{}0.5

0.5

0.5334

1

010.5440.0625P X x dx x dx x -⎡⎤-<<=

===⎣⎦

⎰

⎰

3、解：设Y 的分布函数为()Y F y .当1y <时，()()()

0X Y F y P Y y P e y =≤=≤= 当1y ≥时，()()()

()ln 1

ln 1y

X

x Y F y P Y y P e y P X y e dx y

--∞

=≤=≤=≤=

=-

⎰

所以()20,1,1

1.

y y f y y y <⎧⎪

=⎨≥⎪⎩

4、解：（1）矩估计：()12

a b

E X μ+==

， ()()()()()2

2

2

2212

b a E X D X E X E X μ-==+=

+⎡⎤⎡⎤⎣⎦

⎣⎦

令__

111n i i A X X n ===∑，2

221

1n i i A X n μ===∑

解得a 的矩估计量

1ˆa A X ==-

1ˆb A X =+=+（2）最大似然估计：似然函数()

11

(,),,,n n

L a b a X X b b a =≤≤-，

由于方程组