精品九年级数学上册圆切线的性质与判定同步讲义+同步练习题

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2022年人教版数学九上《切线的判定与性质》同步练习(附答案)

第2课时切线的判定与性质1．过圆上一点可以作圆的______条切线；过圆外一点可以作圆的_____条切线；•过圆内一点的圆的切线______．2．以三角形一边为直径的圆恰好与另一边相切，那么此三角形是_______．3．以下直线是圆的切线的是〔〕A．与圆有公共点的直线 B．到圆心的距离等于半径的直线C．垂直于圆的半径的直线 D．过圆直径外端点的直线4．OA平分∠BOC，P是OA上任意一点〔O除外〕，假设以P为圆心的⊙P与OC相切，那么⊙P与OB的位置位置是〔〕A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切5．△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=12，以B为圆心，5为半径的圆与直线AC的位置关系是〔〕A．相切 B．相交 C．相离 D．不能确定6．如图，AB是半径⊙O的直径，弦AC与AB成30°角，且AC=CD．〔1〕求证：CD是⊙O的切线；〔2〕假设OA=2，求AC的长．7．如图，AB是半圆O的直径，AD为弦，∠DBC=∠A．〔1〕求证：BC是半圆O的切线；〔2〕假设OC∥AD，OC交BD于E，BD=6，CE=4，求AD的长．8．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点M，过点B作BE∥CD，交AC•的延长线于点E，连结BC．〔1〕求证：BE为⊙O的切线；〔2〕如果CD=6，tan∠BCD=12，求⊙O的直径．9．在直角坐标系中，⊙M的圆心坐标为M〔a，0〕，半径为2，如果⊙M与y轴相离，那么a 的取值范围是______．10．菱形的对角线相交于O，以O为圆心，以点O到菱形一边的距离为半径的⊙O•与菱形其它三边的位置关系是〔〕A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定11．平面直角坐标系中，点A〔3，4〕，以点A为圆心，5为半径的圆与直线y=－x的位置关系是〔〕A．相离 B．相切 C．相交 D．以上都有可能12．如图，：△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，sin=12，∠D=30°．〔1〕求证：AD是⊙O的切线；〔2〕假设AC=6，求AD的长．13．：如图，A是⊙O上一点，半径OC的延长线与过点A的直线交于B•点，OC=BC，AC=12 OB．〔1〕求证：AB是⊙O的切线；〔2〕假设∠ACD=45°，OC=2，求弦CD的长．14．如图，P为⊙O外一点，PO交⊙O于C，过⊙O上一点A作弦AB⊥PO于E，假设∠EAC=∠CAP，求证：PA是⊙O的切线．15．如图，A是以BC为直径的⊙O上一点，AD⊥BC于点D，过点B作⊙O的切线，与CA的延长线相交于点E，G是AD的中点，连结OG并延长与BE相交于点F，延长AF•与CB 的延长线相交于点P．〔1〕求证：BF=EF；〔2〕求证：PA是⊙O的切线；〔3〕假设FG=BF，且⊙O的半径长为32，求BD和FG的长度．答案:1．1，2，不存在 2．直角三角形 3．B 4．B 5．A 6．〔1〕略〔2〕37．〔1〕略〔2〕928．〔1〕略〔2〕1529．a>2或a<－210．C 11．C 12．〔1〕略〔2〕3 13．〔1〕略〔26214．提示：连结OA，证OA⊥AP15．〔1〕略〔2〕略〔3〕2，FG=3《正多边形与圆》同步练习一、填空题，各角的多边形叫正多边形.对称图形.数的正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形.和，这两个圆是 .5.边数相同的两个正n边形的周长之比是∶，那么它们的面积比是 .二、选择题1.以下说法中正确的选项是( )A.各边相等的圆外切多边形是正多边形；B.任何正n边形都既是中心对称图形又是轴对称图形；360 n，都与原来的正多边形重合；D.任何正n边形都相似.°，这个正多边形是( )3.把正五边形绕着它的中心旋转，下面给出的四个角度，得到的正五边形能与原来重合的是( )°°°°三、解答题将正三角形ABC各边三等分，设分点为D、E、F、G、H、I，求证：DEFGHI是正六边形.四、1.如图7-41，正六边形ABCDEF的对角线BF，与对角线AC，AE交于G、H，求证：BG＝GH＝HF.图7-412.正方形ABCD的边长为1，截去四个角后成正八边形，求这正八边形的面积.参考答案一、1.相等；相等 4.外接圆；内切圆；同心圆∶2三、提示用正多边形定义证四、1.提示：作正六边形ABCDEF的外接圆O，那么＝＝＝＝，∴∠BAG＝∠ABG＝∠HAF＝∠HFA，∴AG＝BG，HF＝AH，又∠AGH＝∠AHG＝∠GAH，∴AG＝AH＝GH，∴BG＝GH＝HF.2-1。

人教版九年级上《24.2.3切线的判定和性质》同步练习（含答案）

2022-2023人教版数学九年级上册同步练习24.2.3 切线的判定和性质一．选择题（共15小题）1．如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切，切点为C，若大圆的半径是13，AB=24，则小圆的半径是（）A．4B．5C．6D．72．如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，切点分别为P、C、D，若AB=5，AC=3，则BD的长是（）A．1.5B．2C．2.5D．33．如图，⊙O中，CD是切线，切点是D，直线CO交⊙O于B、A，∠A=20°，则∠C的度数是（）A．25°B．65°C．50°D．75°4．如图，直线AB与⊙O相切于点A，⊙O的半径为1，若∠OBA=30°，则OB长为（）A．1B．2C．D．25．如图，∠NAM=30°，O为边AN上一点，以点O为圆心，2为半径作⊙O，交AN边于D、E两点，则当⊙O与AM相切时，AD等于（）A．4B．3C．2D．16．如图，矩形ABCD中，G是BC的中点，过A、D、G三点的圆O与边AB、CD 分别交于点E、点F，给出下列说法：（1）AC与BD的交点是圆O的圆心；（2）AF与DE的交点是圆O的圆心；（3）BC与圆O相切，其中正确说法的个数是（）A．0B．1C．2D．37．已知⊙O的半径为5，直线EF经过⊙O上一点P（点E，F在点P的两旁），下列条件能判定直线EF与⊙O相切的是（）A．OP=5B．OE=OFC．O到直线EF的距离是4D．OP⊥EF8．如图，网格中的每个小正方形的边长是1，点M，N，O均为格点，点N在⊙O上，若过点M作⊙O的一条切线MK，切点为K，则MK=（）A．3B．2C．5D．9．如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O外一点，PO交⊙O于点C，连接BC，PA．若∠P=40°，当∠B等于（）时，PA与⊙O相切．A．20°B．25°C．30°D．40°10．如图，在平面直角坐标系中，半径为2的圆P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将圆P沿x轴的正方向平移，使得圆P与y轴相切，则平移的距离为（）A．1B．3C．5D．1或511．如图，⊙O的半径为3，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠A=60°，∠D=110°，的度数是70°，直线l与⊙O相切于点A．在没有滑动的情况下，将⊙O沿l向右滚动，使O点向右移动70π，则此时⊙O与直线l相切的切点所在的劣弧是（）A．B．C．D．12．如图，在等边△ABC中，点O在边AB上，⊙O过点B且分别与边AB、BC 相交于点D、E、F是AC上的点，判断下列说法错误的是（）A．若EF⊥AC，则EF是⊙O的切线B．若EF是⊙O的切线，则EF⊥ACC．若BE=EC，则AC是⊙O的切线D．若BE=EC，则AC是⊙O的切线13．如图，P为⊙O的直径BA延长线上的一点，PC与⊙O相切，切点为C，点D 是⊙O上一点，连接PD．已知PC=PD=BC．下列结论：（1）PD与⊙O相切；（2）四边形PCBD是菱形；（3）PO=CD；（4）弧AC=弧AD．其中正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个14．如图，直线l1∥l2，⊙O与l1和l2分别相切于点A和点B．直线MN与l1相交于M；与l2相交于N，⊙O的半径为1，∠1=60°，直线MN从如图位置向右平移，下列结论①l1和l2的距离为2 ②MN=③当直线MN与⊙O相切时，∠MON=90°④当AM+BN=时，直线MN与⊙O相切．正确的个数是（）A．1B．2C．3D．415．如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOD=30°，半径为1cm的⊙P的圆心在射线OA上，且与点O的距离为6cm．如果⊙P以1cm/s的速度沿由A向B 的方向移动，那么（）秒钟后⊙P与直线CD相切．A．4B．8C．4或6D．4或8二．填空题（共6小题）16．在平面直角坐标系中，点P的坐标为（﹣4，0），半径为1的动圆⊙P沿x 轴正方向运动，若运动后⊙P与y轴相切，则点P的运动距离为．17．如图，直线PA是⊙O的切线，AB是过切点A的直径，连接PO交⊙O于点C，连接BC，若∠ABC=25°，则∠P的度数为．18．如图，已知PA、PB是⊙O的切线，A、B分别为切点，∠OAB=30°．（1）∠APB=；（2）当OA=2时，AP=．19．如图所示，直线y=x﹣2与x轴、y轴分别交于M，N两点，⊙O的半径为1，将⊙O以每秒1个单位的速度向右作平移运动，当移动s时，直线MN 恰好与圆O相切．20．如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将⊙P沿x轴正方向以0.5个单位/秒的速度平移，使⊙P与y轴相切，则平移的时间为秒．21．已知，如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，弦CD交AB于E，连接OD、PC、BC，∠AOD=2∠ABC，∠P=∠D，过E作弦GF⊥BC交圆于G、F两点，连接CF、BG．则下列结论：①CD⊥AB；②PC是⊙O的切线；③OD∥GF；④弦CF的弦心距等于BG．则其中正确的是（只需填序号）三．解答题（共9小题）22．如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上的一点，CF切半圆O于点C，BD ⊥CF于为点D，BD与半圆O交于点E．（1）求证：BC平分∠ABD．（2）若DC=8，BE=4，求圆的直径．23．如图，一圆与平面直角坐标系中的x轴切于点A（8，0），与y轴交于点B （0，4），C（0，16），求该圆的直径．24．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，连结DE，过点B作BP平行于DE，交⊙O于点P，连结EP、CP、OP．（1）BD=DC吗？说明理由；（2）求∠BOP的度数；（3）求证：CP是⊙O的切线．25．如图，▱ABCD中，⊙O过点A、C、D，交BC于E，连接AE，∠BAE=∠ACE．（1）求证：AE=CD；（2）求证：直线AB是⊙O的切线．26．已知AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C．（1）如图①，若∠P=35°，求∠ABP的度数；（2）如图②，若D为AP的中点，求证：直线CD是⊙O的切线．27．如图（1），在△ABC中，∠ACB=90°，以AB为直径作⊙O；过点C作直线CD交AB的延长线于点D，且BD=OB，CD=CA．（1）求证：CD是⊙O的切线．（2）如图（2），过点C作CE⊥AB于点E，若⊙O的半径为8，∠A=30°，求线段BE．28．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BE交AC于点E，过点E作直线BE的垂线交AB于点F，⊙O是△BEF的外接圆．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）过点E作EH⊥AB于点H，求证：EF平分∠AEH；（3）求证：CD=HF．29．如图，已知A是⊙O上一点，半径OC的延长线与过点A的直线交于点B，OC=BC，AC=OB．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若∠ACD=45°，OC=2，求弦CD的长．30．如图，AB是半径为2的⊙O的直径，直线m与AB所在直线垂直，垂足为C，OC=3，点P是⊙O上异于A、B的动点，直线AP、BP分别交m于M、N两点．（1）当点C为MN中点时，连接OP，PC，判断直线PC与⊙O是否相切并说明理由．（2）点P是⊙O上异于A、B的动点，以MN为直径的动圆是否经过一个定点，若是，请确定该定点的位置；若不是，请说明理由．参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．【解答】解：∵AB=24，OB=OA=13，∴BC=12；在Rt△OCB中，∴OC==5．故选：B．2．【解答】解：∵AC、AP为⊙O的切线，∴AC=AP，∵BP、BD为⊙O的切线，∴BP=BD，∴BD=PB=AB﹣AP=5﹣3=2．故选：B．3．【解答】解：连接OD，∵CD是⊙O的切线，∴∠ODC=90°，∠COD=2∠A=40°，∴∠C=90°﹣40°=50°，故选：C．4．【解答】解：∵直线AB与⊙O相切于点A，连接OA则∠OAB=90°．∵OA=1，∴OB=．故选：B．5．【解答】解：设直线AM与⊙O相切于点K，连接OK．∵AM是⊙O的切线，∴OK⊥AK，∴∠AKO=90°∵∠A=30°，∴AO=2OK=4，∵OD=2，∴AD=OA﹣OD=2，故选：C．6．【解答】解：连接DG、AG，作GH⊥AD于H，连接OD，如图，∵G是BC的中点，∴AG=DG，∴GH垂直平分AD，∴点O在HG上，∵AD∥BC，∴HG⊥BC，∴BC与圆O相切；∵OG=OD，∴点O不是HG的中点，∴圆心O不是AC与BD的交点；而四边形AEFD为⊙O的内接矩形，∴AF与DE的交点是圆O的圆心；∴（1）错误，（2）（3）正确．故选：C．7．【解答】解：∵点P在⊙O上，∴只需要OP⊥EF即可，故选：D．8．【解答】解：如图所示：MK=，故选：B．9．【解答】解：∵PA是⊙O的切线，∴∠PAO=90°，∴∠AOP=90°﹣∠P=50°，∵OB=OC，∴∠AOP=2∠B，∴∠B=∠AOP=25°，故选：B．10．【解答】解：当圆P在y轴的左侧与y轴相切时，平移的距离为3﹣2=1，当圆P在y轴的右侧与y轴相切时，平移的距离为3+2=5，故选：D．11．【解答】解：连结OC、OD、OA，如图，∵∠D=110°，∴∠B=180°﹣∠D=70°，∴∠AOC=2∠B=140°，∵∠A=60°，∴∠BOD=120°，∵的度数是70°，∴∠COD=70°，∴∠AOD=70°，∠BOC=50°，∴AD弧的长度==π，∴BC弧的长度==π，∵70π=6π•12﹣2π，而2π＞π，∴向右移动了70π，此时与直线l相切的弧为．故选：C．12．【解答】解：A、如图1，连接OE，则OB=OE，∵∠B=60°∴∠BOE=60°，∵∠BAC=60°，∴∠BOE=∠BAC，∴OE∥AC，∵EF⊥AC，∴OE⊥EF，∴EF是⊙O的切线∴A选项正确；B、∵EF是⊙O的切线，∴OE⊥EF，由A知：OE∥AC，∴AC⊥EF，∴B选项正确；C、∵∠B=60°，OB=OE，∴BE=OB，∵BE=CE，∴BC=AB=2BO，∴AO=OB，如图2，过O作OH⊥AC于H，∵∠BAC=60°，∴OH=AO≠OB，∴C选项错误；D、如图2，∵BE=EC，∴CE=BE，∵AB=BC，BO=BE，∴AO=CE=OB，∴OH=AO=OB，∴AC是⊙O的切线，∴D选项正确．故选：C．13．【解答】解：（1）连接CO，DO，∵PC与⊙O相切，切点为C，∴∠PCO=90°，在△PCO和△PDO中，，∴△PCO≌△PDO（SSS），∴∠PCO=∠PDO=90°，∴PD与⊙O相切，故（1）正确；（2）由（1）得：∠CPB=∠BPD，在△CPB和△DPB中，，∴△CPB≌△DPB（SAS），∴BC=BD，∴PC=PD=BC=BD，∴四边形PCBD是菱形，故（2）正确；（3）连接AC，∵PC=CB，∴∠CPB=∠CBP，∵AB是⊙O直径，∴∠ACB=90°，在△PCO和△BCA中，，∴△PCO≌△BCA（ASA），∴AC=CO，∴AC=CO=AO，∴∠COA=60°，∴∠CPO=30°，∴CO=PO=AB，∴PO=AB，∵AB是⊙O的直径，CD不是直径，∴AB≠CD，∴PO≠DC，故（3）错误；（4）由（2）证得四边形PCBD是菱形，∴∠ABC=∠ABD，∴弧AC=弧AD，故（4）正确；故选：C．14．【解答】解：如图1，∵⊙O与l1和l2分别相切于点A和点B，∴OA⊥l1，OB⊥l2，∵l1∥l2，∴点A、B、O共线，∴l1和l2的距离=AB=2，所以①正确；作NH⊥AM，如图1，则四边形ABNH为矩形，∴NH=AB=2，在Rt△MNH中，∵∠1=60°，∴MH=NH=，∴MN=2MH=，所以②正确；当直线MN与⊙O相切时，如图2，∠1=∠2，∠3=∠4，∵l1∥l2，∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°，∴∠1+∠3=90°，∴∠MON=90°，所以③正确；过点O作OC⊥MN于C，如图2，=S△OAM+S△OMN+S△OBN，∵S四边形ABNM∴•1•AM+•1•BN+MN•OC=（BN+AM）•2，即（AM+BN）+MN•OC=AM+BN，∵AM+BN=，MN=，∴OC=1，而OC⊥MN，∴直线MN与⊙O相切，所以④正确．故选：D．15．【解答】解：由题意CD与圆P1相切于点E，点P1只能在直线CD的左侧，∴P1E⊥CD又∵∠AOD=30°，r=1cm∴在△OEP1中OP1=2cm又∵OP=6cm∴P1P=4cm∴圆P到达圆P1需要时间为：4÷1=4（秒），或P1P=8cm∴圆P到达圆P1需要时间为：8÷1=8（秒），∴⊙P与直线CD相切时，时间为4或8秒．故选：D．二．填空题（共6小题）16．【解答】解：若运动后⊙P与y轴相切，则点P到y轴的距离为1，此时P点坐标为（﹣1，0）或（1，0），而﹣1﹣（﹣4）=3，1﹣（﹣4）=5，所以点P的运动距离为3或5．故答案为3或5．17．【解答】解：由圆周角定理得，∠AOP=2∠ABC=50°，∵PA是⊙O的切线，AB是过切点A的直径，∴∠PAO=90°，∴∠P=90°﹣∠AOP=40°，故答案为：40°．18．【解答】解：（1）∵在△ABO中，OA=OB，∠OAB=30°，∴∠AOB=180°﹣2×30°=120°，∵PA、PB是⊙O的切线，∴OA⊥PA，OB⊥PB，即∠OAP=∠OBP=90°，∴在四边形OAPB中，∠APB=360°﹣120°﹣90°﹣90°=60°，故答案为：60°．（2）如图，连接OP；∵PA、PB是⊙O的切线，∴PO平分∠APB，即∠APO=∠APB=30°，又∵在Rt△OAP中，OA=3，∠APO=30°，∴AP===2，故答案为：2．19．【解答】解：作EF平行于MN，且与⊙O切，交x轴于点E，交y轴于点F，如图所示．设直线EF的解析式为y=x+b，即x﹣y+b=0，∵EF与⊙O相切，且⊙O的半径为1，∴b2=×1×|b|，解得：b=或b=﹣，∴直线EF的解析式为y=x+或y=x﹣，∴点E的坐标为（，0）或（﹣，0）．令y=x﹣2中y=0，则x=2，∴点M（2，0）．∵根据运动的相对性，且⊙O以每秒1个单位的速度向右作平移运动，∴移动的时间为2﹣秒或2+秒．故答案为：2﹣或2+．20．【解答】解：当⊙P位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为1；当⊙P位于y轴的右侧且与y轴相切时，平移的距离为5．故答案为2或1021．【解答】解：连接BD、OC、AG，过O作OQ⊥CF于Q，OZ⊥BG于Z，∵OD=OB，∴∠ABD=∠ODB，∵∠AOD=∠OBD+∠ODB=2∠OBD，∵∠AOD=2∠ABC，∴∠ABC=∠ABD，∴弧AC=弧AD，∵AB是直径，∴CD⊥AB，∴①正确；∵CD⊥AB，∴∠P+∠PCD=90°，∵OD=OC，∴∠OCD=∠ODC=∠P，∴∠PCD+∠OCD=90°，∴∠PCO=90°，∴PC是切线，∴②正确；假设OD∥GF，则∠AOD=∠FEB=2∠ABC，∴3∠ABC=90°，∴∠ABC=30°，已知没有给出∠B=30°，∴③错误；∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∵EF⊥BC，∴AC∥EF，∴弧CF=弧AG，∴AG=CF，∵OQ⊥CF，OZ⊥BG，∴CQ=AG，OZ=AG，BZ=BG，∴OZ=CQ，∵OC=OB，∠OQC=∠OZB=90°，∴△OCQ≌△BOZ，∴OQ=BZ=BG，∴④正确．故答案为：①②④．三．解答题（共9小题）22．【解答】（1）证明：连结OC，如图，∵CD为切线，∴OC⊥CD，∵BD⊥DF，∴OC∥BD，∴∠1=∠3，∵OB=OC，∴∠1=∠2，∴∠2=∠3，∴BC平分∠ABD；（2）解：连结AE交OC于G，如图，∵AB为直径，∴∠AEB=90°，∵OC∥BD，∴OC⊥CD，∴AG=EG，易得四边形CDEG为矩形，∴GE=CD=8，∴AE=2EG=16，在Rt△ABE中，AB==4，即圆的直径为4．23．【解答】解：过圆心O′作y轴的垂线，垂足为D，连接O′A，∵O′D⊥BC，∴D为BC中点，∴BC=16﹣4=12，OD=6+4=10，∵⊙O′与x轴相切，∴O′A⊥x轴，∴四边形OAO′D为矩形，半径O′A=OD=10，24．【解答】解：（1）BD=DC．理由如下：连接AD，∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∴AD⊥BC，∵AB=AC，∴BD=DC；（2）∵AD是等腰△ABC底边上的中线，∴∠BAD=∠CAD，∴，∴BD=DE．∴BD=DE=DC，∴∠DEC=∠DCE，△ABC中，AB=AC，∠A=30°，∴∠DCE=∠ABC=（180°﹣30°）=75°，∴∠DEC=75°，∴∠EDC=180°﹣75°﹣75°=30°，∵BP∥DE，∴∠PBC=∠EDC=30°，∴∠ABP=∠ABC﹣∠PBC=75°﹣30°=45°，∵OB=OP，∴∠OBP=∠OPB=45°，∴∠BOP=90°；（3）设OP交AC于点G，如图，则∠AOG=∠BOP=90°，在Rt△AOG中，∠OAG=30°，∴=，又∵==，∴=，∴=，又∵∠AGO=∠CGP，∴△AOG∽△CPG，∴∠GPC=∠AOG=90°，∴OP⊥PC，∴CP是⊙O的切线；25．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形∴AB=CD，∠B=∠ADC∵四边形ADCE是⊙O内接四边形∴∠ADC+∠AEC=180°∵∠AEC+∠AEB=180°∴∠ADC=∠AEB∴∠B=∠AEB∴AE=CD（2）如图：连接AO，并延长AO交⊙O交于点F，连接EF．∵AF是直径∴∠AEF=90°∴∠AFE+∠EAF=90°∵∠BAE=∠ECA，∠AFE=∠ACE∴∠AFE=∠BAE∴∠BAE+∠EAF=90°∴∠BAF=90°且AO是半径∴直线AB是⊙O的切线26．【解答】（1）解：∵AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，∴AB⊥AP，∴∠BAP=90°；又∵∠P=35°，∴∠AB=90°﹣35°=55°．（2）证明：如图，连接OC，OD、AC．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角），∴∠ACP=90°；又∵D为AP的中点，∴AD=CD（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）；在△OAD和△OCD中，，∴△OAD≌△OCD（SSS），∴∠OAD=∠OCD（全等三角形的对应角相等）；又∵AP是⊙O的切线，A是切点，∴AB⊥AP，∴∠OAD=90°，∴∠OCD=90°，即直线CD是⊙O的切线．27．【解答】（1）证明：如图1，连结OC，∵点O为直角三角形斜边AB的中点，∴OC=OA=OB．∴点C在⊙O上，∵BD=OB，∴AB=DO，∵CD=CA，∴∠A=∠D，∴△ACB≌△DCO，∴∠DCO=∠ACB=90°，∴CD是⊙O的切线；（2）解：如图2，在Rt△ABC中，BC=ABsin∠A=2×8×sin30°=8，∵∠ABC=90°﹣∠A=90°﹣30°=60°，∴BE=BCcos60°=8×=4．28．【解答】（1）证明：（1）如图，连接OE．∵BE⊥EF，∴∠BEF=90°，∴BF是圆O的直径，∴OB=OE，∴∠OBE=∠OEB，∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠OBE，∴∠OEB=∠CBE，∴OE∥BC，∴∠AEO=∠C=90°，∴AC是⊙O的切线；（2）证明：∵∠C=∠BHE=90°，∠EBC=∠EBA，∴BEC=∠BEH，∵BF是⊙O是直径，∴∠BEF=90°，∴∠FEH+∠BEH=90°，∠AEF+∠BEC=90°，∴∠FEH=∠FEA，∴FE平分∠AEH．（3）证明：如图，连结DE．∵BE是∠ABC的平分线，EC⊥BC于C，EH⊥AB于H，∴EC=EH．∵∠CDE+∠BDE=180°，∠HFE+∠BDE=180°，∴∠CDE=∠HFE，∵∠C=∠EHF=90°，∴△CDE≌△HFE（AAS），∴CD=HF，29．【解答】解：（1）如图，连接OA；∵OC=BC，AC=OB，∴OC=BC=AC=OA．∴△ACO是等边三角形．∴∠O=∠OCA=60°，∵AC=BC，∴∠CAB=∠B，又∠OCA为△ACB的外角，∴∠OCA=∠CAB+∠B=2∠B，∴∠B=30°，又∠OAC=60°，∴∠OAB=90°，∴AB是⊙O的切线；（2）解：作AE⊥CD于点E，∵∠O=60°，∴∠D=30°．∵∠ACD=45°，AC=OC=2，∴在Rt△ACE中，CE=AE=；∵∠D=30°，∴AD=2，∴DE=AE=，∴CD=DE+CE=+．30．【解答】解：（1）直线PC与⊙O相切，理由是：如图1，∵AC⊥MN，∴∠ACM=90°，∴∠A+∠AMC=90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠APB=∠NPM=90°，∴∠PNM+∠AMC=90°=∠A+∠ABP，∴∠ABP=∠AMC，∵OP=OB，∴∠ABP=∠OPB，Rt△PMN中，C为MN的中点，∴PC=CN，∴∠PNM=∠NPC，∴∠OPC=∠OPB+∠NPC=∠ABP+∠PNM=∠AMC+∠PNM=90°，即OP⊥PC，∴直线PC与⊙O相切；（2）如图2，设该圆与AC的交点为D，连接DM、DN，∵MN为直径，∴∠MDN=90°，则∠MDC+∠NDC=90°，∵∠DCM=∠DCN=90°，∴∠MDC+∠DMC=90°，∴∠NDC=∠DMC，则△MDC∽△DNC，∴，即DC2=MC•NC∵∠ACM=∠NCB=90°，∠A=∠BNC，∴△ACM∽△NCB，∴，即MC•NC=AC•BC；即AC•BC=DC2，∵AC=AO+OC=2+3=5，BC=3﹣2=1，∴DC2=5，∴DC=，∵MN⊥DD'，∴D'C=DC=，∴以MN为直径的一系列圆经过两个定点D和D'，此定点在C的距离都是．。

【同步练习】人教版2018年九年级数学上册切线的性质与判断同步练习卷(含答案)

人教版2018年九年级数学上册切线的性质与判断同步练习卷一、选择题：1、如图，为⊙的直径，点在⊙上.若，则等于（）A.75°B.95°C.100°D.105°2、如图，已知AB是⊙O的直径，⊙O的切线CD与AB的延长线交于点D，点C为切点，联接AC，若∠A=26°，则∠D的度数是（）A.26°B.38°C.42°D.64°3、如图，已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角为35°，过C点的切线PC与AB的延长线交于点P，则∠P等于（）A.15°B.20°C.25°D.30°4、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，下列结论中，错误的是（）A.CE=DEB.AC=ADC.OE=BED.弧BC=弧BD5、下列说法：①弧分为优弧和劣弧；②半径相等的圆是等圆；③过圆心的线段是直径；④长度相等的弧是等弧；⑤半径是弦，其中错误的个数为（）A.2B.3C.4D.56、如图，在⊙O中，AD，CD是弦，连接OC并延长，交过点A的切线于点B，若∠ADC=25°，则∠ABO的度数为（）A.50°B.40°C.30°D.20°7、如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上一点，∠CDB=20°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E等于（）A.40°B.50°C.60°D.70°8、如图，过⊙O上一点C作⊙O切线，交直径AB的延长线于点D，若∠D=40°，则∠A度数为（）A.20°B.25°C.30°D.40°9、有下列四个命题：①经过三个点一定可以作圆；②等弧所对的圆周角相等；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④直径是弦.其中正确的有（）A.4个B.3个C.2个D.1个10、如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与图中4×7方格中的格点的连线中，能够与该圆弧相切的格点个数有（）A.1个B.2个C.3个D.4个11、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，以C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，连接CD，则∠ACD=（）A.10°B.15°C.20°D.25°12、如图，在⊙O中，∠AOB=120°，P为弧AB上的一点，则∠APB的度数是（）A.100°B.110°C.120°D.130°13、如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA=15，则△PCD的周长为（）A.15B.30C.18D.2514、如图，AB是圆O的直径，BD、CD分别是过圆O上点B、C的切线，且∠BDC=100°，连接AC，则∠A的度数为（）A.15°B.30°C.40°D.45°15、如图，⊙O截△ABC的三条边所得的弦长相等，则下列说法正确的是（）A.点O是△ABC的内心B.点O是△ABC的外心C.△ABC是正三角形D.△ABC是等腰三角形16、如图，P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于A，B，CD切⊙O于点E，分别交PA，PB于点C，D，若PA=5，则△PCD的周长为（）A.5B.7C.8D.1017、如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠DAB=60°，以点D为圆心，菱形的高DF为半径画弧，交AD于点E，交CD于点G，则图中阴影部分的面积是（）A. B. C. D.18、如图，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE=OB, ∠AOC=84°,则∠E等于（）A.42 °B.28°C.21°D.20°19、如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AC经过点O，与⊙O分别相交于点D，C.若∠ACB=30°，AB=，则阴影部分的面积是（）A. B. C.﹣ D.﹣20、如图，∠ABC=80°，O为射线BC上一点，以点O为圆心，OB长为半径作⊙O，要使射线BA与⊙O相切，应将射线BA绕点B按顺时针方向旋转（）A.40°或80°B.50°或100°C.50°或110°D.60°或120°二、填空题:21、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，以C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，连接CD，则∠ACD=___________22、如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，过点D作⊙O的切线，切点为C，若∠A=25°，则∠D= 度.23、如图，PA，PB分别切⊙O于A，B，并与⊙O的切线，分别相交于C，D，已知△PCD的周长等于10cm，则PA=__________cm.24、如图同心圆，大⊙O的弦AB切小⊙O于P，且AB=6，则圆环的面积为____________.25、如图所示是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面AB宽为8cm，水的最大深度为2cm，则该输水管的直径为___________.26、如图，P是⊙O的直径BA延长线上一点，PD交⊙O于点C，且PC=OD，如果∠P=24°，则∠DOB=________.27、如图，Rt△ABC中，∠C=90°，若AC=4，BC=3，则△ABC的内切圆半径r= .28、如图，CD是⊙O的直径，∠EOD=84°，AE交⊙O于点B，且AB=OC，则∠A的度数是 .29、如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BAC=80°，则∠BOC= （填度数）.30、如图，已知P是⊙O外一点，Q是⊙O上的动点，线段PQ的中点为M，连接OP，OM，若⊙O的半径为2，OP=4，则线段OM的最小值是三、解答题:31、如图①,在△ABC中,点D在边BC上,∠ABC:∠ACB:∠ADB=1:2:3,⊙O是△ABD的外接圆.(Ⅰ)求证:AC是⊙O的切线;(Ⅱ)当BD是⊙O的直径时(如图②),求∠CAD的度数.32、如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC=∠D=60°.（1）求∠ABC的度数；（2）求证：AE是⊙O的切线；（3）当BC=4时，求劣弧AC的长.33、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC于点E. （1）求证：∠A=∠ADE；（2）若AD=16，DE=10，求BC的长.34、如图，⊙O的直径AB为10cm，弦BC为5cm，D、E分别是∠ACB的平分线与⊙O，AB的交点，P 为AB延长线上一点，且PC=PE.（1）求AC、AD的长；（2）试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由.参考答案1、D2、B3、B4、C5、C6、B7、B8、B；9、B10、C11、A12、C13、B14、C15、A16、D17、A18、B19、C20、C21、答案为：10°；22、答案为：40°；23、答案为：5；24、答案为：9π；25、答案为：10cm；26、答案为：72°；27、答案为：1.28、答案为：28°.29、答案为：130°.30、答案为：131、(1)证明:如解图,连接OA、OD,设∠ABD=x,∵∠ABC:∠ACB:∠ADB=1:2:3,∴∠ADB=3x,∠ACB=2x,∴∠DAC=∠ADB－∠ACB=x,∠AOD=2∠ABC=2x,∴∠OAD=90°－x,∴∠OAC=90°－x＋x=90°,∴OA⊥AC,∴AC是⊙O的切线;(Ⅱ)解:∵BD是⊙O的直径,∴∠BAD=90°,∴∠ABC＋∠ADB=90°,∵∠ABC:∠ACB:∠ADB=1:2:3,∴4∠ABC=90°,∴∠ABC=22.5°,∴∠ADB=67.5°, ∠ACB=45°,∴∠CAD=∠ADB－∠ACB=22.5°.32、解：（1）∵∠ABC与∠D都是弧AC所对的圆周角，∴∠B=∠D=60°.（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°.又∠B=60°∴∠BAC=30°.∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=30°+60°=90°，即BA⊥AE.∴AE是⊙O的切线.（3）如图，连接OC，∵∠ABC=60°，∴∠AOC=120°.∴劣弧AC的长为π.33、（1）证明：连接OD，∵DE是切线，∴∠ODE=90°，∴∠ADE+∠BDO=90°，∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∵OD=OB，∴∠B=∠BDO，∴∠ADE=∠A.（2）连接CD.∵∠ADE=∠A，∴AE=DE，∵BC是⊙O的直径，∠ACB=90°，∴EC是⊙O的切线，∴ED=EC，∴AE=EC，∵DE=10，∴AC=2DE=20，在Rt△ADC中，DC=12，设BD=x，在Rt△BDC中，BC2=x2+122，在Rt△ABC中，BC2=（x+16）2﹣202，∴x2+122=（x+16）2﹣202，解得x=9，∴BC=15.34、解：（1）如图，连接BD，∵AB是直径，∴∠ACB=∠ADB=90°，在Rt△ABC中，AC=（cm），②∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD，∴AD=BD，∴Rt△ABD是直角等腰三角形，∴AD=5cm；（2）直线PC与⊙O相切理由：连接OC，∵OC=OA，∴∠CAO=∠OCA，∵PC=PE，∴∠PCE=∠PEC，∵∠PEC=∠CAE+∠ACE，∵CD平分∠ACB，∴∠ACE=∠ECB，∴∠PCB=∠CAO=∠ACO，∵∠ACB=90°，∴∠OCP=∠OCB+∠PCB=∠ACO+∠OCB=∠ACB=90°，即OC⊥PC，∴直线PC与⊙O相切.。

九年级数学： 24.2切线的性质与判定练习(含答案)

2020 九级数学上册切线的性质与判定同步练习卷一、选择题：1、如图,△ABC中，AB=5,BC=3,AC=4,以点C为圆心的圆与AB相切，则⊙C的半径为（）A.2.3B.2.4C.2.5D.2.62、如图，四边形PAOB是扇形OMN的内接矩形，顶点P在上，且不与M，N重合，当P点在上移动时，矩形PAOB的形状、大小随之变化，则AB的长度( )A.变大B.变小C.不变D.不能确定3、如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB是直径，∠BCD=120°，过D点的切线PD与直线AB交于点P，则∠ADP的度数为( )A.40°B.35°C.30°D.45°4、如图，OA，OB分别为⊙O的半径，若CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，∠P=70°，则∠DCE 的度数为（）A.70°B.60°C.50°D.40°5、如图A，B，C是⊙O上的三个点，若∠AOC=100°，则∠ABC等于（）A.50°B.80°C.100°D.130°6、如图，⊙O的半径为1，AB是⊙O的一条弦，且，则弦AB所对圆周角的度数为( )A.30°B.60°C.30°或150°D.60°或120°7、如图，AB是⊙O的直径，C、D、E是⊙O上的点，则∠1+∠2等于( )A.90°B.45°C.180°D.60°8、如图,将⊙O沿弦AB折叠,圆弧恰好经过圆心O,P是优弧上一点,则∠APB度数为（）A.30°B.45°C.60°D.75°9、如图,PA,PB是⊙O的切线,A,B是切点,点C是劣弧AB上的一个点,若∠P=40°，则∠ACB度数是( )A.80°B.110°C.120°D.140°10、如图，在平面直角坐标系中，⊙A与y轴相切于原点O，平行于x轴的直线交⊙A于M、M两点，若点M的坐标是（-4,-2），则点N的坐标为（）A.（-1,-2）B.（1,2）C.（-1.5,-2）D.（1.5,-2）11、如图，AB为⊙O的直径，作弦CD⊥AB，∠OCD的平分线交⊙O于点P，当点C在下半圆上移动时，（不与点A、B重合），下列关于点P描述正确的是( )A.到CD的距离保持不变B.到D点距离保持不变C.等分D.位置不变12、如图所示，在直角坐标系中，A点坐标为（-3，-2），⊙A的半径为1，P为x•轴上一动点，PQ 切⊙A于点Q，则当PQ最小时，P点的坐标为（）A.（-4，0）B.（-2，0）C.（-3，0）D.（-4，0）或（-2，0）二、填空题:13、如图，以点P为圆心的圆弧与x轴交于A，B两点，点P的坐标为(4，2)，点A的坐标为(2，0)，则点B的坐标为________.14、如图，矩形ABCD与圆心在AB上的⊙O交于点G，B，F，E，BG=8 cm，AG=1 cm，DE=2 cm，则EF=________.15、如图,直线AB与⊙O相切于点A,AC,CD是⊙O两条弦,且CD∥AB,半径为2.5,CD=4,则弦AC长为 .16、如图，PA、PB、DE分别切⊙O于点A、B、C，DE交PA、PB于点D、E，已知PA长8cm.则△PDE 的周长为；若∠P=40°，则∠DOE= .17、如图，Rt△ABC中，∠C=90°，若AC=4，BC=3，则△ABC的内切圆半径r= .18、如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=12，过点A、D两点的⊙O与BC边相切于点E，则⊙O的半径为.三、解答题:19、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是角平分线，点O在AB上，以点O为圆心，OB为半径的圆经过点D，交BC于点E.(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)若OB=10，CD=8，求BE的长.20、如图，以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，点F为BC的中点，连接EF和AD.（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，∠EAC=60°，求AD的长.21、如图，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，OC与⊙O相交于点D，连接AD并延长，与BC 相交于点E.（1）若BC=，CD=1，求⊙O的半径.（2）取BE的中点F，连接DF.求证：DF是⊙O的切线.22、如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A的平分线交BC于D，E为AB上一点，DE=DC，以D为圆心，以DB的长为半径画圆.求证：（1）AC是⊙D的切线；（2）AB+EB=AC.23、如图，在平面直角坐标系中，已知A（8,0），B（0，6），圆M经过原点O及点A、B.⑴求圆M的半径及圆心M的坐标；⑵过点B作圆M的切线，求直线的解析式；⑶∠BOA的平分线交AB于点N，交圆M于点E，求点N的坐标和线段OE的长.参考答案1、B2、C3、C4、D5、D6、D7、A8、C9、B10、A11、D12、D13、答案为：（6， 0）14、答案为：6cm15、答案为：2.16、答案为：16cm，70°.17、答案为：1.18、答案为：.19、(1)证明：如图，连接OD，∵BD为∠ABC平分线，∴∠1=∠2，∵OB=OD，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴OD∥BC，∵∠C=90°，∴∠ODA=90°，则AC为⊙O的切线；(2)解：如图，过O作OG⊥BC，垂足为G，连接OE，由(1)可知四边形ODCG为矩形，∴GC=OD=OB=10，OG=CD=8，在Rt△OBG中，由勾股定理得：BG=6，∵OG⊥BE，OB=OE，∴BE=2BG=12.解得BE=1220、（1）证明：连接CE，如图所示：∵AC为⊙O的直径，∴∠AEC=90°.∴∠BEC=90°.∵点F为BC的中点，∴EF=BF=CF.∴∠FEC=∠FCE.∵OE=OC，∴∠OEC=∠OCE.∵∠FCE+∠OCE=∠ACB=90°，∴∠FEC+∠OEC=∠OEF=90°.∴EF是⊙O的切线.（2）解：∵OA=OE，∠EAC=60°，∴△AOE是等边三角形.∴∠AOE=60°.∴∠COD=∠AOE=60°. ∵⊙O的半径为2，∴OA=OC=2在Rt△OCD中，∵∠OCD=90°，∠COD=60°，∴∠ODC=30°.∴OD=2OC=4，∴CD=. 在Rt△ACD中，∵∠ACD=90°，AC=4，CD=.∴AD==.21、（1）解：设⊙O的半径为r ∵AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线∴AB⊥BC 在Rt△OBC中，根据勾股定理得∴解得∴⊙O的半径为1（2）证明：连接OF∵OA=OB，BF=EF∴OF是△BAE的中位∴OF∥AE∴∠A=∠2，∠1=∠ADO∵OA=OD ∴∠A=∠ADO ∴∠1=∠2在△OBF和△ODF中∴△OBF≌△ODF（SAS）∴∠ODF=∠OBF=90°∴OD⊥DF又∵OD是⊙O的半径∴FD是⊙O的切线.22、证明：（1）过点D作DF⊥AC于F；∵AB为⊙D的切线，AD平分∠BAC，∴BD=DF，∴AC为⊙D的切线.（2）∵AC为⊙D的切线，∴∠DFC=∠B=90°，在Rt△BDE和Rt△FCD中；∵BD=DF，DE=DC，∴Rt△BDE≌Rt△FCD（HL），∴EB=FC.∵AB=AF，∴AB+EB=AF+FC，即AB+EB=AC.23、⑴., ⑵.可证；(3).。

24.2.2 第2课时切线的判定和性质人教版数学九年级上册同步练习(含答案)

24.2.2第二课时切线的判定和性质1．下列命题中，真命题是（）A．平分弦的直径垂直于弦B．垂直平分弦的直线平分这条弦所对的弧C．在同圆中，相等的弦所对的弧也相等D．经过半径一端且垂直于这条半径的直线是圆的切线2．如图，点B在⊙A上，点C在⊙A外，以下条件不能判定BC是⊙A切线的是（）A．∠A＝50°，∠C＝40°B．∠B﹣∠C＝∠AC．AB2+BC2＝AC2D．⊙A与AC的交点是AC中点3．如图，«Skip Record If...»是⊙O的直径，«Skip Record If...»交⊙O于点«Skip Record If...»，«Skip Record If...»于点«Skip Record If...»，下列说法不正确的是（）A．若«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»是⊙O的切线B．若«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»是⊙O的切线C．若«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»是⊙O的切线D．若«Skip Record If...»是⊙O的切线，则«Skip Record If...»4．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，BC与⊙O交于点D，连接OD．若∠C＝46°，则∠AOD的度数为（）A．44°B．88°C．46°D．92°5．如图，菱形ABCD的两边与⊙O分别相切于点A.C，点D在⊙O上，则∠B的度数是（）A．45°B．50°C．60°D．65°6．如图，«Skip Record If...»为⊙O的直径，弦«Skip Record If...»于点E，直线l切⊙O 于点C，延长«Skip Record If...»交l于点F，若«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»的长度为（）A．2B．«Skip Record If...»C．«Skip Record If...»D．47．下面是小石设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图的过程．已知：如图1，⊙«Skip Record If...»及⊙«Skip Record If...»上一点«Skip Record If...»．求作：直线PN，使得PN与⊙«Skip Record If...»相切．作法：如图2，①作射线OP；②在⊙«Skip Record If...»外取一点Q（点Q不在射线OP上），以Q为圆心，QP为半径作圆，⊙Q与射线OP交于另一点M；③连接MQ并延长交⊙Q于点N；④作直线PN．所以直线PN即为所求作直线．根据小石设计的尺规作图的过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：∵«Skip Record If...»是⊙«Skip Record If...»的直径，∴«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»（）（填推理的依据）．∴«Skip Record If...»．又∵«Skip Record If...»是⊙«Skip Record If...»的半径，∴«Skip Record If...»是⊙«Skip Record If...»的切线（）（填推理的依据）．8．已知：△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF．（1）如图甲，AB为直径，要使EF为⊙O的切线，还需添加的条件是（写出两种情况，不需要证明）：① 或② ；（2）如图乙，AB是非直径的弦，若∠CAF=∠B，求证：EF是⊙O的切线．（3）如图乙，若EF是⊙O的切线，CA平分∠BAF，求证：OC⊥AB．9．如图，AC是⊙O的直径，OD与⊙O相交于点B，∠DAB＝∠ACB．（1）求证：AD是⊙O的切线．（2）若∠ADB＝30°，DB＝2，求直径AC的长度．10．如图，以等边三角形ABC的BC边为直径画圆，交AC于点D，«Skip Record If...»于点F，连接OF，且«Skip Record If...»．（1）求证：DF是«Skip Record If...»的切线；（2）求线段OF的长度．11．如图，AB为«Skip Record If...»的直径，E为«Skip Record If...»上一点，点C为«Skip Record If...»的中点，过点C作直线CD垂直直线AE，垂足为D．（1）求证：DC为«Skip Record If...»的切线；（2）若AB=4，∠CAD=30°，求AC．12．如图，以△ABC的边AB为直径的⊙O交AC边于点D，⊙O的切线DE交BC于E，且点E是BC的中点．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）①当∠BAC＝ °时，四边形OBED为正方形；②若AB＝4，当BC＝时，四边形ODCE是平行四边形．参考答案1．B【分析】根据圆的有关概念和性质、垂径定理进行判断解答．【详解】解：A.平分弦（非直径）的直径垂直于弦，原命题是假命题；B.垂直平分弦的直线平分这条弦所对的弧，是真命题；C.在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧也相等，原命题是假命题；D.经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，原命题是假命题；故选：B．【点拨】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解圆的有关概念和性质、垂径定理等知识．2．D【分析】根据切线的判定分别对各个选项进行判断，即可得出结论．【详解】解：A.∵∠A＝50°，∠C＝40°，∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝90°，∴BC⊥AB，∵点B在⊙A上，∴AB是⊙A的半径，∴BC是⊙A切线；B.∵∠B﹣∠C＝∠A，∴∠B＝∠A+∠C，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠B＝90°，∴BC⊥AB，∵点B在⊙A上，∴AB是⊙A的半径，∴BC是⊙A切线；C.∵AB2+BC2＝AC2，∴△ABC是直角三角形，∠B＝90°，∴BC⊥AB，∵点B在⊙A上，∴AB是⊙A的半径，∴BC是⊙A切线；D.∵⊙A与AC的交点是AC中点，∴AB＝«Skip Record If...»AC，但不能证出∠B＝90°，∴不能判定BC是⊙A切线；故选：D．【点拨】本题考查了切线的判定、勾股定理的逆定理、三角形内角和定理等知识；熟练掌握切线的判定是解题的关键．3．A【分析】根据AB=AC，连接AD，利用圆周角定理以及等腰三角形的性质可以得到点D是BC的中点，OD是△ABC的中位线，OD∥AC，然后由DE⊥AC，得到∠ODE=90°，可以证明DE是⊙O 的切线，可判断B选项正确；若DE是⊙O的切线，同上法倒推可证明AB=AC，可判断D选项正确；根据CD=BD，AO=BO，得到OD是△ABC的中位线，同上可以证明DE是⊙O的切线，可判断C选项正确；若«Skip Record If...»，没有理由可证明DE是⊙O的切线．【详解】解：当AB=AC时，如图：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC，∴CD=BD，∵AO=BO，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线，所以B选项正确；当DE是⊙O的切线时，如图：连接AD，∵DE是⊙O的切线，∴DE⊥OD，∵DE⊥AC，∴OD∥AC，∴OD是△ABC的中位线，∴CD∥BD，∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC，∴AD是线段BC的垂直平分线，∴AB=AC，所以D选项正确；当CD=BD时，又AO=BO，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线，所以C选项正确．若«Skip Record If...»，没有理由证明DE是⊙O的切线，所以A选项错误．故选：A．【点拨】本题考查了切线的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．4．B【分析】根据切线的性质得到∠CAB＝90°，根据直角三角形的性质求出∠B，根据圆周角定理解答即可．【详解】解：∵AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，∴∠CAB＝90°，∵∠C＝46°，∴∠B＝90°﹣46°＝44°，由圆周角定理得，∠AOD＝2∠B＝88°，故选B．【点拨】本题主要考查了圆的切线的性质，圆周角定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.5．C【分析】连接OA.OC，由AB，BC与⊙O相切，可得∠BAO=∠BCO=90°，可求∠B+∠AOC=80°，由四边形ABCD为菱形，可得∠B=∠D，，由点D在⊙O上，根据同弧所对圆心角与圆周角∠AOC=2∠D，可得∠B+2∠B =180°求解即可．【详解】解：连接OA.OC，∵AB，BC与⊙O相切，∴OA⊥AB，OC⊥BC，∴∠BAO=∠BCO=90°，∴∠B+∠AOC=360°-∠BAO-∠BCO=180°∵四边形ABCD为菱形，∴∠B=∠D，又∵点D在⊙O上，∴∠AOC=2∠D，∴∠B+2∠B =180°∴∠B＝60°．故选：C．【点拨】本题考查圆的切线性质，圆周角定理，菱形的性质，掌握圆的切线性质，圆周角定理，菱形的性质是解题关键．6．B【分析】根据垂径定理求得«Skip Record If...»，AE=DE=2，即可得到∠COD=2∠ABC=45°，则△OED 是等腰直角三角形，得出«Skip Record If...»，根据切线的性质得到BC⊥CF，得到△OCF是等腰直角三角形，进而即可求得CF=OC=OD=«Skip Record If...»．【详解】解：∵BC为⊙O的直径，弦AD⊥BC于点E，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，∴«Skip Record If...» AE=DE=2，∴∠COD=2∠ABC=45°，∴△OED是等腰直角三角形，∴OE=ED=2，∴«Skip Record If...»，∵直线l切⊙O于点C，∴BC⊥CF，∴△OCF是等腰直角三角形，∴CF=OC，∵«Skip Record If...»，∴«Skip Record If...»，故选：B．【点拨】本题考查了垂径定理，等弧所对的圆心角和圆周角的关系，切线的性质，勾股定理的应用，求得CF=OC=OD是解题的关键．7．（1）作图见解析；（2）«Skip Record If...»，直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线【分析】（1）根据题意作出图形即可；（2）根据圆周角定理可得∠MPN=90°，根据切线的判定定理即可得结论.【详解】（1）（1）补全图形如下图；（2）证明：∵«Skip Record If...»是⊙«Skip Record If...»的直径，∴«Skip Record If...»＝90 «Skip Record If...»（直径所对的圆周角是直角）（填推理的依据）．∴«Skip Record If...»．又∵«Skip Record If...»是⊙«Skip Record If...»的半径，∴«Skip Record If...»是⊙«Skip Record If...»的切线（经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）（填推理的依据）．故答案为：90，直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．【点拨】本题考查了切线的判定及圆周角定理，正确作出图形是解题关键.8．（1）①OA⊥EF；②∠FAC=∠B；（2）见解析；（3）见解析．【分析】(1) 添加条件是:①OA⊥EF或∠FAC=∠B根据切线的判定和圆周角定理推出即可．(2) 作直径AM，连接CM，推出∠M=∠B=∠EAC，求出∠FAC+∠CAM=90°，根据切线的判定推出即可．(3)由同圆的半径相等得到OA=OB，所以点O在AB的垂直平分线上，根据∠FAC=∠B，∠BAC=∠FAC，等量代换得到∠BAC=∠B，所以点C在AB的垂直平分线上，得到OC垂直平分AB．【详解】（1）①OA⊥EF②∠FAC=∠B，理由是：①∵OA⊥EF，OA是半径，∴EF是⊙O切线，②∵AB是⊙0直径，∴∠C=90°，∴∠B+∠BAC=90°，∵∠FAC=∠B，∴∠BAC+∠FAC=90°，∴OA⊥EF，∵OA是半径，∴EF是⊙O切线，故答案为：OA⊥EF或∠FAC=∠B，（2）作直径AM，连接CM，即∠B=∠M（在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等），∵∠FAC=∠B，∴∠FAC=∠M，∵AM是⊙O的直径，∴∠ACM=90°，∴∠CAM+∠M=90°，∴∠FAC+∠CAM=90°，∴EF⊥AM，∵OA是半径，∴EF是⊙O的切线．（3）∵OA=OB，∴点O在AB的垂直平分线上，∵∠FAC=∠B，∠BAC=∠FAC，∴∠BAC=∠B，∴点C在AB的垂直平分线上，∴OC垂直平分AB，∴OC⊥AB．【点拨】本题考查了切线的判定，圆周角定理，三角形的内角和定理等知识点，注意:经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线，直径所对的圆周角是直角．9．（1）见解析；（2）AC＝4．【分析】（1）根据«Skip Record If...»和«Skip Record If...»证明«Skip Record If...»，再根据经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线来判定；（2）根据（1）中的结论和∠ADB＝30°来说明在«Skip Record If...»中，直角边OA等于斜边OD的一半，又因为OA=OB，所以OA=OB=DB=2，所以AC=2OA=4．【详解】（1）证明：∵AC是⊙O的直径，∴«Skip Record If...»，∴«Skip Record If...»，又∵«Skip Record If...»，∴«Skip Record If...»，即«Skip Record If...»，∵OA是⊙O的半径，∴AD是⊙O的切线；（2）解：由（1）可知«Skip Record If...»，∵«Skip Record If...»，∴«Skip Record If...»，∵«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，∴«Skip Record If...»，∴«Skip Record If...»．【点拨】这道题考察的是切线的判定和30°所对直角边是斜边一半的概念．对圆相关概念、性质，以及特殊直角三角形性质熟练掌握是解题的关键．10．（1）见解析；（2）«Skip Record If...»．【分析】（1）连接OD，先说明«Skip Record If...»是等边三角形得到«Skip Record If...»，说明«Skip Record If...»，进而得到«Skip Record If...»即可证明；（2）根据三角形中位线的判定与性质、直角三角形的性质得到«Skip Record If...»，最后运用勾股定理解答即可．【详解】（1）证明：连接OD∵«Skip Record If...»是等边三角形∴«Skip Record If...»∵«Skip Record If...»∴«Skip Record If...»是等边三角形∴«Skip Record If...»∴OD//AB∵«Skip Record If...»∴«Skip Record If...»∴«Skip Record If...»∴DF是«Skip Record If...»的切线；（2）∵OD//AB，«Skip Record If...»∴OD为«Skip Record If...»的中位线∴«Skip Record If...»∵«Skip Record If...»，«Skip Record If...»∴«Skip Record If...»∴«Skip Record If...»由勾股定理，得：«Skip Record If...»∴在«Skip Record If...»中，«Skip Record If...»．【点拨】本题主要考查了圆的切线的证明、三角形中位线的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键．11．（1）见解析；（2）«Skip Record If...»．【分析】（1）利用在同一个圆中等弧对等角得出∠BAC=∠CAD，根据等腰三角形的性质、等量代换以及平行线的判定得到AD∥OC，再根据垂线的性质可以证明出OC⊥DC，根据切线的判定即可得出结论；（2）求«Skip Record If...»可以放在«Skip Record If...»中，结合（1）的结论以及利用勾股定理求解即可．【详解】（1）连接OC，则：∵点C为«Skip Record If...»的中点∴«Skip Record If...»∴∠BAC=∠CAD∴OA=OC∴∠BAC=∠OCA∴∠CAD=∠OCA∴AD∥OC∵AD⊥DC∴∠ADC=90°∴∠OCD=90°∴OC⊥DC又OC是«Skip Record If...»的半径∴DC为«Skip Record If...»的切线；（2）过点«Skip Record If...»作«Skip Record If...»的垂线交于点«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»为等腰三角形，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»AB=4，∠CAD=30°，«Skip Record If...»，由（1）知«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，在«Skip Record If...»中，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»«Skip Record If...»【点拨】本题考查了圆的切线、等弧对等角、平行线的判定及性质、勾股定理、等腰三角形的判定及性质，解题的关键是掌握相关知识点、添加适当辅助线进行解答．12．（1）见解析；（2）①45；②4．【分析】（1）连接OD.OE，如图1所示，然后证明△ODE≌△OBE，从而得到OB⊥BC即可；（2）①连接BD.OD，当∠BAC＝45°，△ABC是等腰直角三角形，然后得到DE为△ABC的中位线，证得∠DOB＝∠OBE＝∠ODE＝90°，根据OD＝OB即可求证；②连接OE，当BC＝4，E是BC的中点，则有CE=OD，只需证明CE∥OD即可【详解】解：（1）证明：连接OD.OE，如图1所示：∵点O为AB的中点，点E为BC的中点，∴OE为△ABC的中位线，∴OE∥AC，∴∠DOE＝∠ODA，∠BOE＝∠A，∵OA＝OD，∴∠A＝∠ODA，∴∠DOE＝∠BOE，在△ODE和△OBE中，«Skip Record If...»∴△ODE≌△OBE（SAS），∴∠ODE＝∠OBE，∵DE是⊙O的切线，∴∠ODE＝∠OBE＝90°，∴OB⊥BC，∴BC是⊙O的切线；（2）解：①当∠BAC＝45°时，四边形OBED是正方形，理由如下：如图2，连接BD.OD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴BD⊥AC，由（1）得：OB⊥BC，∴∠ABC＝90°，∵∠BAC＝45°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝BC，∵BD⊥AC，∴AD＝CD，∵E为BC的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴DE∥AB，∵DE为⊙O的切线，∴OD⊥DE，∴OD⊥AB，∴∠DOB＝∠OBE＝∠ODE＝90°，∴四边形OBED是矩形，∵OD＝OB，∴四边形OBED为正方形，故答案为：45；②当BC＝4时，四边形ODCE是平行四边形，理由如下：如图3，∵AB＝4，BC＝4，∴OD＝OA＝2，AB＝BC，∴∠A＝∠ODA，∠A＝∠C，∴∠ODA＝∠C，∴OD∥CE，∵点E是BC的中点，∴CE＝2，∴OD＝CE，∴四边形ODCE是平行四边形，故答案为：4．【点拨】本题主要考查了圆的性质，圆切线的性质与判定，等腰直角三角形的性质，三角形中位线定理，平行四边形的判定，正方形的判定等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.。

最新2019-2020年度人教版九年级数学上册同步练习：24.2.2.2切线的判定和性质-精品试题

第2课时切线的判定和性质知能演练提升能力提升1.如图,AB是☉O的直径,点D在AB的延长线上,DC与☉O相切于点C,若∠A=25°,则∠D的度数为( )A.40°B.50°C.60°D.70°2.如图,AD,DC,BC都与☉O相切,且AD∥BC,则∠DOC的度数为( )A.100°B.90°C.60°D.45°(第1题图)(第2题图)3.如图,☉O与△ABC各边分别相切于点D,E,F,△ABC的周长为20 cm.若AF=5 cm,CF=3 cm,则BE= cm.4.如图,PA,PB是☉O的切线,切点分别为A,B,点C在☉O上,如果∠C=70°,那么∠P 的度数为.(第3题图)(第4题图)5.如图①,将一个量角器与一张等腰直角三角形(△ABC)纸片放置成轴对称图形,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,半圆(量角器)的圆心与点D重合,测得CE=5 cm,将量角器沿DC方向平移2 cm,半圆(量角器)恰与△ABC的边AC,BC相切,如图②,则AB= cm.6.如图,∠ACB=60°,半径为1 cm的☉O切BC于点C,若将☉O在CB上向右滚动,则当滚动到☉O与CA也相切时,圆心O移动的水平距离是 cm.7.如图,AB是☉O的直径,∠A=30°,延长OB到点D,使BD=OB.求证:(1)△OCB是等边三角形;(2)DC是☉O的切线.8.如图,AB为☉O的直径,PQ与☉O相切于点T,AC⊥PQ,且垂足为C,交☉O于点D.(1)求证:AT平分∠BAC;(2)若AD=2,TC=,求☉O的半径.★9.如图,△ABC是边长为4的等边三角形,点O在边AB上,☉O过点B且分别与边AB,BC相交于点D,E,EF⊥AC,垂足为F.(1)求证:直线EF是☉O的切线;(2)当直线DF与☉O相切时,求☉O的半径.创新应用★10.如图,AB是☉O的直径,AM,BN分别与☉O相切于点A,B,CD交AM,BN于点D,C,DO 平分∠ADC.(1)求证:CD是☉O的切线;(2)若AD=4,BC=9,求☉O的半径R.答案：能力提升1.A 连接OC,则∠DCO=90°,∠DOC=50°.故∠D=40°.2.B 根据切线长定理,得∠ADO=∠CDO,∠DCO=∠BCO.∵AD∥BC,∴∠ADC+∠BCD=180°.∴∠ODC+∠OCD=90°.∴∠DOC=90°.3.24.40°连接OA,OB,则∠AOB=2∠C=140°,由四边形内角和为360°可求得∠P=40°.5.(6+16) 设量角器的半径为x cm,则由题图②知,△GCH为等腰直角三角形,且GH=GC=x cm,CH=(3+x)cm,根据勾股定理,得x=3(+1),从而CD=(3(+1)+5)cm,AB=2CD=(6+16)cm.6.7.证明:(1)(方法1)∵∠A=30°,∴∠COB=60°.又OC=OB,∴△OCB是等边三角形.(方法2)∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°.又∠A=30°,∴∠ABC=60°.又OC=OB,∴△OCB是等边三角形.(2)由(1)知,BC=OB,∠OCB=∠OBC=60°.又BD=OB,∴BC=BD.∴∠BCD=∠BDC=∠OBC=30°.∴∠OCD=∠OCB+∠BCD=90°,故DC是☉O的切线.8.(1)证明:如图,连接OT.∵PQ与☉O相切于点T,∴OT⊥PQ.又AC⊥PQ,∴OT∥AC,∠TAC=∠ATO.又OT=OA,∴∠ATO=∠OAT,∠OAT=∠TAC,即AT平分∠BAC. (2)解:过点O作OM⊥AC,垂足为M,∴AM=MD==1.又∠OTC=∠ACT=∠OMC=90°,∴四边形OTCM为矩形,OM=TC=.在Rt△AOM中,AO===2,即☉O的半径为2.9.(1)证明:连接OE,则OB=OE.∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=∠C=60°.∴△OBE是等边三角形.∴∠OEB=∠C=60°.∴OE∥AC.∵EF⊥AC,∴∠EFC=90°.∴∠OEF=∠EFC=90°.∴EF是☉O的切线.(2)解:∵DF是☉O的切线,∴∠ADF=90°.设☉O的半径为r,则BE=r,EC=4-r,AD=4-2r.在Rt△ADF中,∵∠A=60°,∴AF=2AD=8-4r.∴FC=4-(8-4r)=4r-4.在Rt△CEF中,∵∠C=60°,∴EC=2FC,∴4-r=2(4r-4).解得r=.∴☉O的半径是.创新应用10.(1)证明:过点O作OE⊥CD,垂足为E.∵AM与☉O相切于点A,∴OA⊥AD.又DO平分∠ADC,∴OE=OA.又OA是☉O的半径,∴OE为☉O的半径.∴CD是☉O的切线.(2)解:过点D作DF⊥BC,垂足为F.∵AM,BN分别与☉O相切于点A,B,∴AB⊥AD,AB⊥BC.∴四边形ABFD是矩形.∴AD=BF,AB=DF.又AD=4,BC=9,∴FC=9-4=5.又AM,BN,DC分别与☉O相切于点A,B,E, ∴DA=DE,CB=CE.∴DC=AD+BC=4+9=13.在Rt△DFC中,DC2=DF2+FC2,∴DF===12.∴AB=12.∴☉O的半径R是6.。

人教版九年级数学上册同步练习：24.2.2第2课时切线的判定和性质

24.2.2第2课时切线的判定和性质1.下列说法中正确的是()A.与圆有公共点的直线是圆的切线B.到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线C.垂直于圆的半径的直线是圆的切线D.过圆的半径的外端的直线是圆的切线2 如图,AB是☉O的直径,AC是☉O的切线,A为切点,BC与☉O交于点D,连接OD.若∠C=50°,则∠AOD的度数为()A.40°B.50°C.80°D.100°3 如图,P为☉O外一点,PA为☉O的切线,A为切点,PO交☉O于点B,∠P=30°,OB=3,则线段BP的长为()A.3B.3√3C.6D.94 如图,已知☉O上三点A,B,C,半径OC=1,∠ABC=30°,切线PA交OC的延长线于点P,则PA 的长为()A.2B.√3C.√2D.125.如图,AB是☉O的直径,CD是☉O的切线,切点为D,CD与AB的延长线交于点C,∠A=30°,给出下面三个结论:①AD=CD;②BD=BC;③AB=2BC.其中正确结论的个数是()A.3B.2C.1D.06.如图所示,△ABC的一边AB是☉O的直径,请你添加一个条件,使BC是☉O的切线,你所添加的条件为.7.如图,A,B是☉O上的两点,AC是过点A的一条直线,如果∠AOB=120°,那么当∠CAB= °时,AC才能成为☉O的切线.8.如图,线段AB与☉O相切于点B,线段AO与☉O相交于点C,AB=12,AC=8,则☉O的半径为.9.如图,在☉O中,AB为直径,AD为弦,过点B的切线与AD的延长线交于点C,AD=DC,则∠C= 度.10 如图,两圆圆心相同,大圆的弦AB与小圆相切,AB=8,则图中阴影部分的面积是.(结果保留π)11.如图所示,AB是☉O的直径,C为☉O上一点,过点B作BD⊥CD,垂足为D,连接BC,BC平分∠ABD.求证:CD为☉O的切线.12.如图,AB是☉O的直径,PA与☉O相切于点A,OP与☉O相交于点C,连接CB,若∠OPA=40°,求∠ABC的度数.13.如图,AB是☉O的直径,C是☉O上一点,点D在AB的延长线上,且∠BCD=∠A.(1)求证:CD是☉O的切线;(2)若☉O的半径为3,CD=4,求BD的长.14.如图,AB是☉O的直径,ED切☉O于点C,AD交☉O于点F,AC平分∠BAD,连接BF.(1)求证:AD⊥ED;(2)若CD=4,AF=2,求☉O的半径.15.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边AB上的中线,以CD为直径的☉O分别交AC,BC 于点M,N,过点N作NE⊥AB,垂足为E.(1)若☉O的半径为5,AC=6,求BN的长;2(2)求证:NE与☉O相切.答案1-5.BCABA6.答案不唯一,如∠ABC=90°7.608.5 .9.45 . 10.16π11.证明:∵BC 平分∠ABD ,∴∠OBC=∠DBC.∵OB=OC ,∴∠OBC=∠OCB , ∴∠OCB=∠DBC ,∴OC ∥BD.∵BD ⊥CD ,∴OC ⊥CD ,∴CD 为☉O 的切线.12.解:∵AB 是☉O 的直径,PA 与☉O 相切于点A ,∴∠BAP=90°.∵∠OPA=40°,∴∠AOP=180°-90°-40°=50°, ∴∠ABC=12∠AOP=12×50°=25°.13.解:(1)证明:如图,连接OC.∵AB 是☉O 的直径,C 是☉O 上一点,∴∠ACB=90°,即∠ACO+∠OCB=90°.∵OA=OC ,∠BCD=∠A ,∴∠ACO=∠A=∠BCD,∴∠BCD+∠OCB=90°,即∠OCD=90°,∴OC⊥CD.又∵OC是☉O的半径,∴CD是☉O的切线.(2)由(1)及已知得∠OCD=90°,OB=OC=3,CD=4.在Rt△OCD中,根据勾股定理,得OD=5,∴BD=OD-OB=5-3=2.14.解:(1)证明:连接OC,如图.∵AC平分∠BAD,∴∠1=∠2.∵OA=OC,∴∠1=∠3,∴∠2=∠3,∴OC∥AD.∵ED切☉O于点C,∴OC⊥ED,∴AD⊥ED.(2)设OC交BF于点H,如图.∵AB为☉O的直径,∴∠AFB=90°,易得四边形CDFH为矩形,∴FH=CD=4,∠CHF=90°,∴OH⊥BF,∴BH=FH=4,∴BF=8.在Rt△ABF中,AB=√AF2+BF2=√22+82=2√17,∴☉O的半径为√17.15.解:(1)如图,连接DN,ON.∵☉O的半径为5,∴CD=5.2∵∠ACB=90°,CD是斜边AB上的中线,∴BD=CD=AD=5,∴AB=10,∴BC=√AB2-AC2=8.∵CD为直径,∴∠CND=90°.又∵BD=CD,∴BN=NC=4.(2)证明:∵∠ACB=90°,CD为斜边AB上的中线,AB,∴CD=AD=BD=12∴∠BCD=∠B.∵OC=ON,∴∠BCD=∠ONC,∴∠ONC=∠B,∴ON∥AB.∵NE⊥AB,∴ON⊥NE,∴NE与☉O相切.。

新苏科版数学九年级上册：圆的切线的性质与判定同步练习

第2章对称图形一一圆2.5 第2课时切线的性质与判定2. ［2017 •吉林］如图2— 5— 8,直线I 是OO 的切线，A 为切点，B 为直线I 上一点，连接OB 交OO 于点C.若AB = 12, OA= 5，贝U BC 的长为()A. 15B. 6C. 7D. 8 3 .如图2— 5 — 9，四边形ABCD 内接于O O, AB 是直径，过点 C 的切线与AB 的延长线交 4. ［教材习题2.5第5题变式］如图2 — 5— 10，已知AB 是OO 的直径，点 C 在OO 上, 过点C 的切线与AB 的延长线交于点 P ,连接AC.若/ A = 30°, PC= 3,则BP 的长为 _____________ . 5. ［2016 •盐都区一模］如图2— 5 — 11, AB 为OO 的直径，PD 切OO 于点C ,交AB 的延长线于点D,且/ » 2/CAD.(1) 求/D 的度数；(2) 若CD= .2,求AD 的长.知识点1 切线的性质 1 .如图2 — 5 — 7所示， A . 40° B . 50° C . PA 切半圆 60 ° D . 0于点A 如果/ P = 40°,那么/ AOP 的度数为(于点P.若/ P = 40知识点2 切线的判定6. 如图2- 5 — 12, P 是/ BAC 的平分线上一点，PD 丄AC 垂足为DAB 与以点P 为圆心, PD长为半径的圆相切吗？请说明理由. 且PC = BC.求证：BC 是OO 的切线.(1)求/ ADC 的度数；⑵求证：AE 是OO 的切线. 7.［教材习题2.5第7题变式］如图2 — 5— 13 , AB 是OO 的弦, OCL OA 交AB 于点P,8. 如图2 — 5— 14,已知AB 是OO 的直径, =60° .点C, D 在OO 上，点E 在OO 夕卜，/ EAO ZB图 2— 5— 13图2—5—149. 如图2-5- 15,在OO的内接四边形ABCD 中, AB是直径，/ BCD= 120°,过点D的切线PD与直线AB交于点P,则/ ADP的度数为()A. 40°B. 35°C. 30 °D. 45°图2-5- 15图2-5- 1610. [2016 •无锡锡北片一模]如图2 —5 —16, AB是OO的直径，C, D是OO上的点,/ CDB= 20°,过点C作OO的切线交AB的延长线于点E,则/ E= ____________ ° .图2-5- 1711 . [2016 •宜兴三模]如图2-5- 17,在Rt△ OAB中，/ AOB= 90°, OA= 8, AB= 10,O O的半径为4.P是AB上的一动点，过点P作OO的一条切线PQ Q为切点.设AP= x(0 <x w 10), P Q= y,则y与x之间的函数关系式为 __________________ .12. [2017・济宁]如图2-5 —18,已知OO的直径AB= 12, AC= 10, D是BC勺中点.过点D作DEI AC交AC的延长线于点 E.(1) 求证：DE是OO的切线；(2) 求AE的长.图2-5- 1813. 如图2-5 —19,在厶ABC中，/ A=Z B= 30°,过点C作CDLAC,交AB于点D.(1) 作O0,使00经过A, C, D三点(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法);(2) 判断直线BC与OO的位置关系，并说明理由.14. 如图2 —5 —20,在厶ABC中，AC= BC AB是OC的切线，切点为D,直线AC交OC 于点E, F,且CM2AC.(1) 求/ ACB的度数；(2) 若AC= 8,求厶ABF的面积.图2—5—201. B ［解析］T PA为半圆详解详析O 的切线，•/ PAO= 90° .T Z P= 40°, •/ AO D 90 °40° = 50 °2 . D 3.115° 4. 35 .解:(1)TPD BOO于点C,••• OCL CD •••/ OCD= 90° .•/ OA= OC•••/ CAD=Z OCA•••/ COD 2/CAD.•••/ D D 2/CAD•••/ D DZ CO D 45 °.(2)由(1)可知/ D=Z COD•- CD= OC= OA= *..：2•••/ OCD= 90°,•OD= 0C+ CD = 2+ 2= 2,•AD= O阳OD= 2+ 2.6.解：AB与以点P为圆心，PD长为半径的圆相切.理由：如图，过点P作PEL AB于点E.•/ P 是/ BAC 的平分线上一点，PD L AC PE L AB • PE= PD,•AB与以点P为圆心，PD长为半径的圆相切.7 .证明：T PC= BC CPB=Z CBP而/ APO=Z CPB CBP=Z APO.•/ OC L OA A+Z APO= 90° ,而OA= OB •••/ A=Z ABO•Z CBP^Z ABO= 90° ,•OB丄BC,•BC是OO的切线.8. ⑴T ZB与Z ADC都是廉所对的圆周角，•Z ADC=Z B= 60 °.(2)证明：T AB是OO的直径，•Z ACB= 90°, •/ BAC= 30° ,•Z BAE=Z BA(+Z EAC= 30°+ 60°= 90° ,即BA L AE.T OA是OO的半径，• AE是OO的切线.9. C ［解析］如图，连接OD•在OO的内接四边形ABCD中, Z BCD^Z BAD= 180°, Z BCD= 120° ,•••/ BAD= 60° .又••• OA= OD• △ AOD是等边三角形，•••/ ADO= 60° .•••过点D的切线PD与直线AB交于点P,•••/ PDO= 90°,:丄AD& 30° .故选C10. 502 6411. y= x —x+ 485［解析］连接OQ OP过点O作OM L AB于点M,由勾股定理求出OB再用面积法求得OM 然后，用勾股定理求得AM则可求PM利用O P=P Q+O Q=P M+O M,列出等式即可解决问题.12. 解：⑴证明：如图，连接OD.TD是BC勺中点,• BD= DC,•••/ BOD=Z BAE• OD// AE.•/ DE L AC, • DEI OD• DE 是OO的切线.⑵如图，过点O作OF L AC于点F.•/ AC= 10 ,1 1•• AF= CF= 2AC= 2 X 10= 5.• •/ OFE=Z DEF=Z OD= 90° ,••四边形OFED是矩形，1•• FE= OD= 2AB.• • AB= 12 , • FE= 6 ,•• AE= AF+ FE= 5 + 6= 11.13. (1)如图所示:⑵直线BC与OO相切.理由如下：连接0C.•/ 04 OC•••/ AC0=Z A= 30 ° ,•••/ C0B=Z A+Z AC0= 2/A= 60°,•••/ CO+Z B= 60° + 30°= 90°,•Z OC= 90°,即OCL BC.又••• BC经过半径OC的外端点C,•直线BC与OO相切.14. ［全品导学号：54602100］解：⑴连接CD. •/ AB是OC的切线，切点为D,•CD丄AB.1•/ CF= 2AC, CF= CE•AE= CE1•ED= 2人0= EC,•ED= EC= CD•Z ECD- 60°, •/ A= 30°.•/ AC= BC, •/ ACB= 120 °.⑵过点F作FM丄AB于点M.•/ AC= BC, CD丄AB, • AB= 2AD.•/ AC= 8, Z A= 30 ° , CD丄AB•CD^ 4 , AD= 4 ■ ; 3 ,•AB= 8 3 , CF= CD= 4 ,•AF= AC+ CF= 12.1在Rt△ AFM中 ,由Z A= 30 ° ,可得MF= ?AF= 6 , •S A ABF= ^AB • MF= 2^X 8 ^3X 6= 24 ^3.。

人教版九年级上册同步训练：切线的性质与判定

人教版九年级上册同步训练：切线的性质与判定一．选择题1．下列四个选项中的表述，正确的是（）A．经过半径上一点且垂直于这条半径的直线是圆的切线B．经过半径的端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线C．经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线D．经过一条弦的外端且垂直于这条弦的直线是圆的切线2．如图，P A是⊙O的切线，点A为切点，PO交⊙O于点B，∠P＝30°，点C在⊙O上，连接AC，BC，则∠ACB的度数为（）A．25°B．28°C．30°D．35°3．如图，点B在⊙A上，点C在⊙A外，以下条件不能判定BC是⊙A切线的是（）A．∠A＝50°，∠C＝40°B．∠B﹣∠C＝∠AC．AB2+BC2＝AC2D．⊙A与AC的交点是AC中点4．如图P A、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，点C在上，过C作⊙O的切线分别交P A、PB于点D、E，连接OD、OE，若∠P＝50°，则∠DOE的度数为（）A．130°B．50°C．60°D．65°5．一个边长为4cm的等边三角形ABC与⊙O等高，如图放置，⊙O与BC相切于点C，⊙O 与AC相交于点E，则AE的长为（）A．1B．2﹣C．D．6．如图，直线a⊥b，垂足为H，点P在直线b上，PH＝4cm，O为直线b上一动点，以O 为圆心，1cm为半径作圆，当O从点P出发以2cm/s速度向右作匀速运动，经过ts与直线a相切，则t为（）A．2s B．s或2s C．2s或s D．s或s7．如图，点D是△ABC中BC边的中点，DE⊥AC于E，以AB为直径的⊙O经过D，连接AD，有下列结论：①AD⊥BC；②∠EDA＝∠B；③OA＝AC；④DE是⊙O的切线．其中正确的结论是（）A．①②B．①②③C．②③D．①②③④8．如图，抛物线y＝（x+2）（x﹣8）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为M，以AB为直径作⊙D．下列结论：①抛物线的最小值是﹣8；②抛物线的对称轴是直线x ＝3；③⊙D的半径为4；④抛物线上存在点E，使四边形ACED为平行四边形；⑤直线CM与⊙D相切．其中正确结论的个数是（）A．5B．4C．3D．2二．填空题（共6小题）9．如图，已知∠AOB＝30°，M为OB边上任意一点，以M为圆心、3cm为半径作⊙M．当OM＝cm时，⊙M与OA相切．10．如图，⊙O的半径为6cm，B为⊙O外一点，OB交⊙O于点A，AB＝OA，动点P从点A出发，以πcm/s的速度在⊙O上按逆时针方向运动一周回到点A立即停止．当点P运动的时间为时，BP与⊙O相切．11．如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于点E，要使DE是⊙O的切线，需添加的条件是．（不添加其他字母和线条）12．如图，菱形OABC的顶点A，B，C在⊙O上，过点B作⊙O的切线，与OA的延长线交于点D．若⊙O的半径为2，则BD的长为．13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C作△ABC外接圆⊙O的切线交AB的垂直平分线于点D，AB的垂直平分线交AC于点E．若OE＝2，AB＝8，则CD＝．14．如图，以△ABC的边AB为直径的⊙O恰好过BC的中点D，过点D作DE⊥AC于E，连结OD，则下列结论中：①OD∥AC；②∠B＝∠C；③2OA＝AC；④DE是⊙O的切线；⑤∠EDA＝∠B，正确的序号是．三．解答题（共6小题）15．如图，⊙O是△ABC的外接圆，点D在弦AC的延长线上，连接BD，恰有∠DBC＝∠DAB．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）若点E是弧AC的中点，且∠EAB＝75°，求∠D的度数．16．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AD⊥DC于点D，AC平分∠DAB．（1）求证：直线CD是⊙O的切线；（2）若AB＝4，∠DAB＝60°，求AD的长．17．如图，AB为⊙O的直径，点D在⊙O外，∠BAD的平分线与⊙O交于点C，连接BC、CD，且∠D＝90°．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若∠DCA＝60°，BC＝3，求的长．18．如图，AB是⊙O的直径，直线CD与AB的延长线交于点E，AD⊥CD，点C是的中点．（1）求证：直线CD与⊙O相切于点C；（2）若∠CAD＝30°，⊙O的半径为3，一只蚂蚁从B点出发，沿着BE﹣EC﹣爬回至点B，求蚂蚁爬过的路程（π≈3.14，，结果保留一位小数）．19．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC，交AC于点E，AC的反向延长线交⊙O于点F．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若DE+EA＝8，AF＝16，求⊙O的半径．20．如图，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，连接AC与⊙O交于点D．取BC的中点E，连接DE，并连接OE交⊙O于点F．连接AF交BC于点G，连接BD交AG于点H．（1）若EF＝1，BE＝，求∠EOB的度数；（2）求证：DE为⊙O的切线；（3）求证：点F为线段HG的中点．参考答案一．选择题1．解：由切线的判定定理可知：经过半径外端点且与这条半径垂直的直线是圆的切线，故A，B，D选项不正确，C选项正确，故选：C．2．解：连接OA，∵P A为⊙O的切线，∴∠OAP＝90°，∵∠P＝30°，∴∠AOP＝90°﹣∠P＝90°﹣30°＝60°，∴∠ACB＝∠AOP＝30°，故选：C．3．解：A、∵∠A＝50°，∠C＝40°，∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝90°，∴BC⊥AB，∵点B在⊙A上，∴AB是⊙A的半径，∴BC是⊙A切线；B、∵∠B﹣∠C＝∠A，∴∠B＝∠A+∠C，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠B＝90°，∴BC⊥AB，∵点B在⊙A上，∴AB是⊙A的半径，∴BC是⊙A切线；C、∵AB2+BC2＝AC2，∴△ABC是直角三角形，∠B＝90°，∴BC⊥AB，∵点B在⊙A上，∴AB是⊙A的半径，∴BC是⊙A切线；D、∵⊙A与AC的交点是AC中点，∴AB＝AC，但不能证出∠B＝90°，∴不能判定BC是⊙A切线；故选：D．4．解：如图，连接OA、OB、OC，∵P A、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∴OA⊥P A，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∵∠P＝50°，∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°，∵DE切⊙O于C，∴OC⊥DE，∴∠DCO＝∠ECO＝90°，∵P A、PB、DE是⊙O的切线，切点是A、B、C，∴∠AEO＝∠CEO，∠CDO＝∠BDO，∵∠AOE＝180°﹣∠OAE﹣∠AEO，∠COE＝180°﹣∠OCE﹣∠CEO，∴∠AOE＝∠COE，同理可证：∠COD＝∠BOD，∴∠DOE＝∠DOC+∠EOC＝∠AOB＝×130°＝65°．故选：D．5．解：连接OC，并过点O作OF⊥CE于F，∵△ABC为等边三角形，边长为4，∴∠ACB＝60°，高为2，∵等边三角形ABC与⊙O等高，∴OC＝，∵⊙O与BC相切于点C，∴∠OCB＝90°，∴∠OCF＝30°，在Rt△OFC中，可得FC＝，∵OF过圆心，且OF⊥CE，根据垂径定理易知CE＝2FC＝3，∴AE＝AC﹣CE＝4﹣3＝1，故选：A．6．解：∵直线a⊥b，∴⊙O与直线a相切时，切点为H，∴OH＝1cm，当点O在点H的左侧，⊙O与直线a相切时，如图1所示：OP＝PH﹣OH＝4﹣1＝3（cm）；∴t＝s；当点O在点H的右侧，⊙O与直线a相切时，如图2所示：OP＝PH+OH＝4+1＝5（cm）；∴t＝s∴⊙O与直线a相切，t为s或s，故选：D．7．解：∵AB是⊙O直径，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BC，选项①正确；连接OD，如图，∵D为BC中点，O为AB中点，∴DO为△ABC的中位线，∴OD∥AC，又DE⊥AC，∴∠DEA＝90°，∴∠ODE＝90°，∴DE为圆O的切线，选项④正确；又OB＝OD，∴∠ODB＝∠B，∵AB为圆O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠EDA+∠ADO＝90°，∠BDO+∠ADO＝90°，∴∠EDA＝∠BDO，∴∠EDA＝∠B，选项②正确；由D为BC中点，且AD⊥BC，∴AD垂直平分BC，∴AC＝AB，又OA＝AB，∴OA＝AC，选项③正确；则正确的结论为①②③④．故选：D．8．解：∵在y＝（x+2）（x﹣8），当y＝0时，x＝﹣2或x＝8，∴点A（﹣2，0）、B（8，0），∴抛物线的对称轴为x＝＝3，故②正确；当x＝3时，y最小＝（3+2）（3﹣8）＝﹣，故①错误；∵⊙D的直径为8﹣（﹣2）＝10，即半径为5，故③错误；在y＝（x+2）（x﹣8）＝x2﹣x﹣4中，当x＝0时，y＝﹣4，∴点C（0，﹣4），当y＝﹣4时，x2﹣x﹣4＝﹣4，解得：x1＝0、x2＝6，所以点E（6，﹣4），则CE＝6，∵AD＝3﹣（﹣2）＝5，∴AD≠CE，∴四边形ACED不是平行四边形，故④错误；∵y＝x2﹣x﹣4＝（x﹣3）2﹣，∴点M（3，﹣），设直线CM解析式为y＝kx+b，将点C（0，﹣4）、M（3，﹣）代入，得：，解得：，所以直线CM解析式为y＝﹣x﹣4；设直线CD解析式为y＝mx+n，将点C（0，﹣4）、D（3，0）代入，得：，解得：，所以直线CD解析式为y＝x﹣4，由﹣×＝﹣1知CM⊥CD于点C，∴直线CM与⊙D相切，故⑤正确；故选：D．二．填空题（共6小题）9．解：设⊙M与OA相切于N，连接MN，∵MN⊥AO，∠AOB＝30°，3cm为半径，∴OM＝2MN＝2×3＝6cm．故当OM＝6cm时，⊙M与OA相切，故答案为：6．10．解：连接OP∵当OP⊥PB时，BP与⊙O相切，∵AB＝OA，OA＝OP，∴OB＝2OP，∠OPB＝90°；∴∠B＝30°；∴∠O＝60°；∵OA＝6cm，弧AP＝＝2π，∵圆的周长为：12π，∴点P运动的距离为2π或12π﹣2π＝10π；∴当t＝2秒或10秒时，有BP与⊙O相切．故答案为：2秒或10秒．11．解：连接OD，当DE与圆相切时，ED⊥OD，∵DE⊥AC，∴OD∥AC，∵AO＝BO，∴D是BC的中点．故答案为：D是BC的中点．12．解：连接OB，∵四边形OABC是菱形，∴OA＝AB，∵OA＝OB，∴OA＝AB＝OB，∴∠AOB＝60°，∵BD是⊙O的切线，∴∠DBO＝90°，∵OB＝2，∴BD＝OB＝2．故答案为：2．13．解：连接OC，∵CD是⊙O的切线，∴∠OCD＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠DCE＝∠COB，∵OD⊥AB，∴∠AOE＝90°，∴∠A+∠B＝∠A+∠AEO＝90°，∴∠AEO＝∠B，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠B，∵∠DEC＝∠AEO，∴∠DEC＝∠DCE，∴DE＝DC，设DE＝DC＝x，∴OD＝2+x，∵OD2＝OC2+CD2，∴（2+x）2＝42+x2，解得：x＝3，∴CD＝3，故答案为：3．14．解：连接AD，∵D为BC中点，点O为AB的中点，∴OD为△ABC的中位线，∴OD∥AC，①正确；∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°＝∠ADC，即AD⊥BC，又BD＝CD，∴△ABC为等腰三角形，∴∠B＝∠C，②正确；∵DE⊥AC，且DO∥AC，∴OD⊥DE，∵OD是半径，∴DE是⊙O的切线，∴④正确；∴∠ODA+∠EDA＝90°，∵∠ADB＝∠ADO+∠ODB＝90°，∴∠EDA＝∠ODB，∵OD＝OB，∴∠B＝∠ODB，∴∠EDA＝∠B，∴⑤正确；∵D为BC中点，AD⊥BC，∴AC＝AB，∵OA＝OB＝AB，∴OA＝AC，∴③正确，故答案为：①②③④⑤．三．解答题（共6小题）15．（1）证明：连接BO，∵BM是⊙O的直径，∴∠BCM＝90°，∴∠CBM+∠M＝90°，∵∠DAB＝∠M，∠DBC＝∠DAB，∴∠DBC＝∠M，∴∠CBM+∠DBC＝90°，∴∠OBD＝90°，∴BD是⊙O的切线；（2）解：连接OE交AC于F，∵点E是弧AC的中点，∴OE⊥AC，∴∠EFD＝90°，∵BD是⊙O的切线，∴∠OBD＝90°，∵∠BOE＝2∠BAE＝150°，∴∠ADB＝360°﹣∠OBD﹣∠BOE﹣∠EFD＝30°．16．（1）证明：连接OC，如图1所示：∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠OAC，∴∠OCA＝∠DAC，∴OC∥AD，∵AD⊥DC，∴CD⊥OC，又∵OC是⊙O的半径，∴直线CD是⊙O的切线；（2）解：连接BC，如图2所示：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵AC平分∠DAB，∠DAB＝60°，∴∠DAC＝∠BAC＝30°，∴BC＝AB＝2，AC＝BC＝2，∵AD⊥DC，∴∠ADC＝90°，∴CD＝AC＝，AD＝CD＝3．17．解：（1）证明：连接OC，∵AC是∠BAD的平分线，∴∠CAD＝∠BAC，又∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠OCA＝∠CAD，∴OC∥AD，∴∠OCD＝∠D＝90°，∴CD是⊙O的切线；（2）解：∵∠ACD＝60°，∴∠OCA＝30°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠OCB＝60°，∵OC＝OB，∴△OCB是等边三角形，∴OB＝OC＝BC＝3，∠COB＝60°，∴的长：＝π．18．（1）证明：连接OC，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵∠OAC＝∠DAC，∴∠OCA＝∠DAC，∴OC∥AD，∵AD⊥CD，∴CD⊥OC，∴CD为⊙O的切线，∴直线CD与⊙O相切于点C；（2）解：∵∠CAD＝30°，∴∠CAE＝∠CAD＝30°，由圆周角定理得，∠COE＝60°，∴OE＝2OC＝6，EC＝OC＝3，的长为：＝π，∴蚂蚁爬过的路程＝3+3+π≈11.3．19．（1）证明：∵OB＝OD，∴∠ABC＝∠ODB，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ODB＝∠ACB，∴OD∥AC．∵DE⊥AC，OD是半径，∴DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线；（2）解：如图，过点O作OH⊥AF于点H，则∠ODE＝∠DEH＝∠OHE＝90°，∴四边形ODEH是矩形，∴OD＝EH，OH＝DE．∴AH＝AF＝8，设AE＝x．∵DE+AE＝8，∴OH＝DE＝8﹣x，OA＝OD＝HE＝AH+AE＝8+x，在Rt△AOH中，由勾股定理知：AH2+OH2＝OA2，即82+（8﹣x）2＝（8+x）2，解得：x＝2，∴OA＝8+2＝10．∴⊙O的半径为10．20．解：（1）∵AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，∴∠ABC＝90°，在直角三角形OBE中，设圆O半径为r，∵EF＝1，BE＝，则，r2+（）2＝（r+1）2，解得r＝1，∴OB＝1，OE＝2，∴∠EOB＝60°；（2）连结OD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝∠BDC＝90°，∵E为直角三角形BCD斜边的中点，∴DE＝EC，∴∠CDE＝∠C，∵OD＝OA，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠ODA+∠CDE＝∠OAD+∠C＝90°，∴∠ODE＝180°﹣90°＝90°，∴DE是⊙O的切线；（3）∵O、E分别为AB、BC的中点，∴OE∥AC，∵BD⊥AC，∴OE⊥BD，∴＝，∴∠FBD＝∠F AB，∵∠GBF＝∠F AB，∴∠FBD＝∠GBF，∴BF⊥HG，∴BF平分HG，即：点F为线段HG的中点．。

2020九年级数学上册第2章2.5直线与圆的位置关系第2课时圆的切线的性质与判定同步练习

第2章对称图形——圆2.5 第2课时切线的性质与判定知识点 1 切线的性质1．如图2－5－7所示，PA切半圆O于点A，如果∠P＝40°，那么∠AOP的度数为( ) A．40° B．50° C．60° D．140°图2－5－7图2－5－82．[2017·吉林] 如图2－5－8，直线l是⊙O的切线，A为切点，B为直线l上一点，连接OB交⊙O于点C.若AB＝12，OA＝5，则BC的长为( )A．15 B．6 C．7 D．83．如图2－5－9，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，过点C的切线与AB的延长线交于点P.若∠P＝40°，则∠D的度数为________．图2－5－9图2－5－104．[教材习题2.5第5题变式] 如图2－5－10，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的切线与AB的延长线交于点P，连接AC.若∠A＝30°，PC＝3，则BP的长为________．5．[2016·盐都区一模] 如图2－5－11，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，且∠D＝2∠CAD.(1)求∠D的度数；(2)若CD＝2，求AD的长．图2－5－11知识点 2 切线的判定6．如图2－5－12，P是∠BAC的平分线上一点，PD⊥AC，垂足为D.AB与以点P为圆心，PD长为半径的圆相切吗？请说明理由．图2－5－127．[教材习题2.5第7题变式] 如图2－5－13，AB是⊙O的弦，OC⊥OA，交AB于点P，且PC＝BC.求证：BC是⊙O的切线．图2－5－138．如图2－5－14，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC＝∠B ＝60°.(1)求∠ADC的度数；(2)求证：AE是⊙O的切线．图2－5－149．如图2－5－15，在⊙O 的内接四边形ABCD 中，AB 是直径，∠BCD ＝120°，过点D 的切线PD 与直线AB 交于点P ，则∠ADP 的度数为( )A ．40°B ．35°C ．30°D ．45°图2－5－15图2－5－1610．[2016·无锡锡北片一模] 如图2－5－16，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的点，∠CDB ＝20°，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点E ，则∠E＝_________°.图2－5－1711．[2016·宜兴三模] 如图2－5－17，在Rt △OAB 中，∠AOB ＝90°，OA ＝8，AB ＝10，⊙O 的半径为4.P 是AB 上的一动点，过点P 作⊙O 的一条切线PQ ，Q 为切点．设AP ＝x(0≤x≤10)，PQ 2＝y ，则y 与x 之间的函数关系式为____________．12．[2017·济宁] 如图2－5－18，已知⊙O 的直径AB ＝12，AC ＝10，D 是BC ︵的中点．过点D 作DE ⊥AC ，交AC 的延长线于点E.(1)求证：DE 是⊙O 的切线； (2)求AE 的长．图2－5－1813．如图2－5－19，在△ABC 中，∠A ＝∠B＝30°，过点C 作CD⊥AC，交AB 于点D. (1)作⊙O，使⊙O 经过A ，C ，D 三点(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)； (2)判断直线BC 与⊙O 的位置关系，并说明理由．图2－5－1914．如图2－5－20，在△A BC 中，AC ＝BC ，AB 是⊙C 的切线，切点为D ，直线AC 交⊙C 于点E ，F ，且CF ＝12AC.(1)求∠ACB 的度数；(2)若AC ＝8，求△ABF 的面积．图2－5－20详解详析1．B [解析] ∵PA 为半圆O 的切线，∴∠PAO ＝90°.∵∠P ＝40°，∴∠AOP ＝90°－40°＝50°.2．D 3.115° 4. 35．解：(1)∵PD 切⊙O 于点C ， ∴OC ⊥CD ， ∴∠OCD ＝90°. ∵OA ＝OC ，∴∠CAD ＝∠OCA， ∴∠COD ＝2∠CAD. ∵∠D ＝2∠CAD， ∴∠D ＝∠COD＝45°.(2)由(1)可知∠D＝∠COD， ∴CD ＝OC ＝OA ＝ 2. ∵∠OCD ＝90°，∴OD ＝OC 2＋CD 2＝2＋2＝2， ∴AD ＝OA ＋OD ＝2＋2.6．解：AB 与以点P 为圆心，PD P 作PE⊥AB 于点E.∵P 是∠BAC 的平分线上一点，PD ⊥AC ，PE ⊥AB ，∴PE ＝PD ， ∴AB 与以点P 为圆心，PD 长为半径的圆相切． 7．证明：∵PC＝BC ，∴∠CPB ＝∠CBP，而∠APO＝∠CPB，∴∠CBP ＝∠APO. ∵OC ⊥OA ，∴∠A ＋∠APO＝90°，而OA ＝OB ，∴∠A ＝∠ABO， ∴∠CBP ＋∠ABO＝90°， ∴OB ⊥BC ，∴BC 是⊙O 的切线．8． (1)∵∠B 与∠ADC 都是AC ︵所对的圆周角，∴∠ADC ＝∠B＝60°.(2)证明：∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°，∴∠BAC ＝30°，∴∠BAE ＝∠BAC＋∠EAC＝30°＋60°＝90°，即BA⊥AE.∵OA 是⊙O 的半径，∴AE 是⊙O 的切线．9．C [解析] 如图，连接OD.在⊙O 的内接四边形ABCD 中，∠BCD ＋∠BAD＝180°，∠BCD ＝120°，∴∠BAD ＝60°. 又∵OA＝OD ，∴△AOD 是等边三角形， ∴∠ADO ＝60°.∵过点D 的切线PD 与直线AB 交于点P ， ∴∠PDO ＝90°，∴∠ADP ＝30°.故选C . 10．5011．y ＝x 2－645x ＋48[解析] 连接OQ ，OP ，过点O 作OM⊥AB 于点M ，由勾股定理求出OB ，再用面积法求得OM ，然后，用勾股定理求得AM ，则可求PM ，利用OP 2＝PQ 2＋OQ 2＝PM 2＋OM 2，列出等式即可解决问题．12．解：(1)证明：如图，连接OD.∵D 是BC ︵的中点， ∴BD ︵＝DC ︵，∴∠BOD ＝∠BAE， ∴OD ∥AE.∵DE ⊥AC ，∴DE ⊥OD ， ∴DE 是⊙O 的切线．(2)如图，过点O 作OF⊥AC 于点F. ∵AC ＝10，∴AF ＝CF ＝12AC ＝12×10＝5.∵∠OFE ＝∠DEF＝∠ODE＝90°，∴四边形OFED 是矩形， ∴FE ＝OD ＝12AB.∵AB ＝12，∴FE ＝6， ∴AE ＝AF ＋FE ＝5＋6＝11.13． (1)如图所示：(2)直线BC 与⊙O 相切．理由如下：连接OC. ∵OA ＝OC ，∴∠ACO ＝∠A＝30°，∴∠COB ＝∠A＋∠ACO＝2∠A＝60°， ∴∠COB ＋∠B＝60°＋30°＝90°， ∴∠OCB ＝90°，即OC⊥BC.又∵BC 经过半径OC 的外端点C ， ∴直线BC 与⊙O 相切．14．[全品导学号：54602100]解：(1)连接CD. ∵AB 是⊙C 的切线，切点为D ， ∴CD ⊥AB.∵CF ＝12AC ，CF ＝CE ，∴AE ＝CE ， ∴ED ＝12AC ＝EC ，∴ED ＝EC ＝CD ，∴∠ECD ＝60°，∴∠A ＝30°. ∵AC ＝BC ，∴∠ACB ＝120°. (2)过点F 作FM⊥AB 于点M. ∵AC ＝BC ，CD ⊥AB ，∴AB ＝2AD. ∵AC ＝8，∠A ＝30°，CD ⊥AB ， ∴CD ＝4，AD ＝4 3， ∴AB ＝8 3，CF ＝CD ＝4， ∴AF ＝AC ＋CF ＝12.在Rt △AFM 中，由∠A ＝30°，可得MF ＝12AF ＝6，∴S △ABF ＝12AB·MF＝12×8 3×6＝24 3.。

新人教版数学九上同步练习：切线的判定和性质

第2课时切线的判定和性质1.(2017闵行模拟)下列关于圆的切线的说法正确的是( D )(A)垂直于圆的半径的直线是圆的切线(B)与圆只有一个公共点的射线是圆的切线(C)经过半径的一端且垂直于半径的直线是圆的切线(D)如果圆心到一条直线的距离等于半径长,那么这条直线是圆的切线2.如图,AB是☉O的直径,AC是☉O的切线,BC与☉O相交于D,连接AD,OD(AC≠AB),则图中∠B的余角(不再添加任何辅助线)有( C )(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个3.如图,过☉O上一点C作☉O的切线,交☉O直径AB的延长线于点D.若∠D=40°,则∠A的度数为( B )(A)20°(B)25°(C)30°(D)40°4.(2017泰安)如图,圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O,过点C的切线与边AD所在直线垂直于点M,若∠ABC=55°,则∠ACD等于( A )(A)20°(B)35°(C)40°(D)55°5.如图,在△ABC中,∠BAC=28°,以AB为直径的☉O交AC于点D, DE∥CB,连接BD,若添加一个条件,使BC是☉O的切线,则下列四个条件中不符合的是( D )(A)DE⊥AB (B)∠EDB=28°(C)∠ADE=∠ABD (D)OB=BC6.如图,若以平行四边形一边AB为直径的圆恰好与对边CD相切于点D,则∠C= 45 度.7.如图,已知AB是☉O的直径,点C在☉O上,过点C的切线与AB的延长线交于点P,连接AC,若∠A=30°,PC=3,则BP的长为.8.(2017河南)如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的☉O交AC边于点D,过点C作CF∥AB,与过点B的切线交于点F,连接BD.(1)求证:BD=BF;(2)若AB=10,CD=4,求BC的长.(1)证明:因为AB是☉O的直径,所以∠BDA=90°.所以BD⊥AC.因为BF是☉O的切线,所以AB⊥BF.因为CF∥AB,所以CF⊥BF,∠FCB=∠ABC.因为AB=AC,所以∠ACB=∠ABC,所以∠ACB=∠FCB.又因为BD⊥AC,BF⊥CF,所以BD=BF.(2)解:因为AB=10,CD=4,所以AC=AB=10,AD=AC-CD=10-4=6.在Rt△ADB中,由勾股定理,得BD===8, 在Rt△BDC中,由勾股定理,得BC===4.9.(核心素养——逻辑推理)如图,△ABC内接于☉O,OD⊥AB,与AC交于点E,与过点C的☉O的切线交于点D.试判断∠CDE与∠A的数量关系,并说明理由.解:∠CDE=2∠A.理由如下:连接OC,如图所示,因为OA=OC,所以∠1=∠A.因为CD是☉O的切线,所以OC⊥CD.所以∠OCD=90°.所以∠2+∠CDE=90°.因为OD⊥AB,所以∠2+∠3=90°.所以∠3=∠CDE.因为∠3=∠A+∠1=2∠A,所以∠CDE=2∠A.。

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切线的性质与判定知识点：三角形内切圆画法：三角形的外接圆与三角形的内切圆三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆叫三角形的外接圆三角形外接圆的圆心叫三角形的外心三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等三角形的外心是三角形三边中垂线的交点三角形的内切圆：与三角形三边都相切的圆叫三角形的内切圆三角形内切圆的圆心叫三角形的内心三角形的内心到三角形三边的距离相等三角形的内心是三角形三角平分线的交点切线长定理：从圆外一点可以引圆的____条切线，它们的________相等．这一点和______平分_______．直角三角形内切圆半径与三边关系公式：任意三角形面积、周长与内切圆半径关系公式：例1.如图,已知C为⊙O上一点,DA交⊙O于B,∠DCB=∠CAB.求证：DC为⊙O的切线.CA B DO例2.如图,已知在Rt△ABC中,∠C=900，点C在AC上,CD为⊙O直径,⊙O切AB于E,若BC=5,AC=12，求⊙O的半径.BEA COD例3.如图,已知⊙O内切于△ABC,∠BOC=1050，∠ACB=900，AB=20cm.求BC、AC的长．例4.如图,∠PAQ 是直角,半径为5的⊙O 与AP 相切于点T,与AQ 相交于两点B 、C. (1)BT 是否平分∠OBA?证明你的结论; (2)若已知AT=4,试求AB 的长.例5.如图,P 为⊙O 外一点,PO 交⊙O 于C,过⊙O 上一点A 作弦AB ⊥PO 于E,若∠EAC=∠CAP ，求证:PA 是⊙O 的切线．课堂同步：1.在Rt △ABC 中，∠A=900，点O 在BC 上，以O 为圆心的⊙O 分别与AB 、AC 相切于E 、F ，若AB=a ，AC=b ，则⊙O 的半径为（）A.abB.ab b a + C.b a ab + D.2ba + 2.正方形ABCD 中，AE 切以BC 为直径的半圆于E ，交CD 于F ，则CF:FD=（） A.1:2 B.1:3 C.1:4 D.2:53.如图,过⊙O 外一点P 作⊙O 的两条切线PA 、PB,切点分别为A 、B,连结AB,在AB 、PB 、PA 上分别取一点D 、E 、F,使AD=BE,BD=AF,连结DE 、DF 、EF,则∠EDF=（） A.900－∠P B.900－21∠P C.1800－∠P D.450－21∠P 4.如图,直线AB 与⊙O 相切于点B ，BC 是⊙O 的直径,AC 交⊙O 于点D ，连结BD ，则图中直角三角形有______个．第4题图第5题图第6题图第7题图 5.如图，已知PA 、PB 是⊙O 的切线,A 、B 是切点,∠APB=780，点C 是⊙O 上异于A 、B 的任一点, 则∠ACB=6.如图,以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 与小圆相切于点C,若大圆半径为10cm,小圆半径为6cm,则弦AB 的长为_______cm ．7.如图,⊙O 内切于Rt △ABC,∠C=900，D 、E 、F 是切点,若∠BOC=1050，AB=4cm,则∠OBC=________， ∠BAC=_____，BC=______，AC=______，内切圆半径r=_____。

8.如图，⊙I 切△ABC 于D 、E 、F,∠C=600,∠EIF=1000，则∠B=第8题图第9题图第10题图 9.如图，在ΔABC 中，AB=6，BC=8，AC=12，⊙O 与ΔABC 三边AB ，BC ，CA 分别切于D 、E 、，F ，则AD= ，BE= ，CF=10.如图,已知⊙O 内切于ΔABC,BC 切⊙O 于D ，BD=3,DC=2,ΔABC 周长为18,则AB 长为11.若正△ABC 外接圆的半径为R ，则△ABC 的面积为___________．第11题图第12题图第13题图 12.若正△ABC 的边长为a ，则它的外接圆的面积为___________．13.若△ABC 中,∠C=900，AC=10cm ，BC=24cm,则它的外接圆的半径为___________． 14.若△ABC 内接于⊙O ，BC=12cm ，O 点到BC 的距离为8cm ，则⊙O 的周长为___________第14题图第15题图第16题图 15.如图,从⊙O 外一点P 引⊙O 的两条切线PA,PB ，切点分别是A,B ，若PA=8cm ，C 是弧AB 上的一个动点（点C 与A,B 两点不重合），过点C 作⊙O 的切线，分别交PA,PB 于点D,E ，则△PDE 的周长是 16.如图,已知∠AOB=300，OM=4cm,以M 为圆心画圆.当⊙M 的半径r 满足时,⊙M 与射线OA 只有一个公共点.17.如图,AB 是⊙O 的直径,MN 切⊙O 于点C ，且∠BCM=380，求∠ABC 的度数.18.如图,已知AB 为O ⊙的直径,PA,PC 是O ⊙的切线，A,C 为切点,∠BAC=300. （1）求∠P 的大小；（2）若AB=2，求PA 的长（结果保留根号）．19.如图所示,在△ABC 中,AB=AC=10,BC=12,试求△ABC 的内切圆的半径.20.如图已知AB是⊙O的直径,P是⊙O外一点,PA⊥AB,弦BC∥OP,请判断PC是否为⊙O的切线,说明理由．21.如图,AB是⊙O的弦,OC⊥OA交AB于点C,过B的直线交OC的延长线于点E,当CE=BE时，直线BE与⊙O有怎样的位置关系？请说明理由．22.如图,直线AB与⊙O相交于B、C两点,D为⊙O上一点,E为BC的中点,OE交BC于F,DE交AC于G，∠ADG=∠AGD.求证：AD是⊙O的切线.23.如图,AB是半圆（圆心为O）的直径,OD是半径,BM切半圆于B,OC与弦AD平行且交BM于C.求证：CD是半圆的切线.24.如图,直线AB切⊙O于点A，点C、D在⊙O上．试探求：（1）当AD为⊙O的直径时，如图①，∠D与∠CAB的大小关系如何？•并说明理由．（2）当AD 不为⊙O 的直径时，如图②，∠D 与∠CAB 的大小关系同②一样吗？•为什么？25.如图,ΔABC 中,AB=AC,以AB 为直径作⊙O 交BC 于D,DE ⊥AC 于E.求证：DE 是⊙O 的切线.26.如图,在Rt △ABC 中,∠C=900，AC=5,BC=12,⊙O 的半径为3．(1)当圆心O 与C 重合时,⊙O 与AB 的位置关系怎样? (2)若点O 沿CA 移动时,当OC 为多少时?⊙C 与AB 相切?27.已知：如图，以△ABC 的一边BC 为直径作半圆，交AB 于E ，过E 点作半圆O 的切线恰与AC 垂直，试确定边BC 与AC 的大小关系，并证明你的结论．28.如图,Rt ΔABC 中,∠ABC=900，以AB 为直径作⊙O 交AC 边于点D,E 是边BC 中点,连接DE.求证：直线DE 是⊙O 的切线.29.如图,在Rt △ABC 中,∠BAC 的平分线交BC 于点D,E 为AB 上一点,DE=DC,以D 为圆心,DB 为半径作⊙D.求证:（1）AC 是⊙O 的切线；（2）AB ＋BE=AC.30.如图，在以O为圆心的两个同心圆中，AB经过圆心O，且与小圆相交于点A，与大圆相交于点B。

小圆的切线AC与大圆相交于D，且CO平分∠ACB。

（1）判断直线BC与小圆的位置关系，并说明理由;（2）判断AC、BC、AD之间的数量关系，并说明理由;（3）若AB=8cm, BC=10cm,求小圆与大圆围成的圆环面积.切线的性质与判定测试题满分：100分时间：25分钟姓名：得分：1.“圆的切线垂直于经过切点的半径”的逆命题是（）A.经过半径外端点的直线是圆的切线；B.垂直于经过切点的半径的直线是圆的切线；C.垂直于半径的直线是圆的切线；D.经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

2.三角形的外心是（）A.三条中线的交点B.三条中垂线的交点C.三条高的交点D.三条角平分线的交点3.已知圆的半径为6.5cm，如果直线到圆心的距离为5.5cm，则这条直线和这个圆的位置关系是（）A.相交B.相切C.相离D.相交或相离4.已知圆的半径r和圆心到直线的距离d满足等式r d dr222+=，则圆与直线的位置关系为（）A.相交B.相切C.相离D.相交式相离5.如图,AB是⊙O的直径,C,D是⊙O上一点,∠CDB=200，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E等于（） A.40° B.50° C.60° D.70°AB CI第5题图第6题图第7题图第8题图6.如图,AB与⊙O切于点B,AO=6cm，AB=4cm,则⊙O的半径为（）A.45cmB.25cmC.213cmD.13m7.如图，AB是⊙O的直径，C,D是⊙O上一点，∠CDB=200，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E等于（）A.40°B.50°C.60°D.70°8.如图,I是△ABC内心,则∠BIC与∠A的关系是（）A.∠BIC=2∠AB.∠BIC=1800－∠AC.∠BIC=901 2︒-∠A D.∠BIC=901 2︒+∠A9.如图,AB、AC切⊙O于B、C,∠A=500，点P是⊙O上异于B、C的一个动点,∠BPC=第9题图第10题图第11题图10.如图，AB是⊙O直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，∠C=200。

则∠CDA的度数为。

11.如图,⊙O切ΔABC三边于D、E、F，∠A=400，则∠FDE=12.如图,⊙O为Rt△ABC的内切圆,点D、E、F为切点,若AD=6,BD=4,则△ABC的面积为。

第12题图第13题图第14题图13.如图,已知∠AOB=300，M为OB边上任意一点，以M为圆心,2cm为半径作⊙M,当OM=______cm时,⊙M与OA相切．14.如图,已知⊙O的直径为AB，BD=OB,∠CAB=300，请根据已知条件和所给图形写出4个正确的结论（除OA=OB=BD外）：①；②；③；④。

15.已知AB是⊙O的直径,直线BC与⊙O相切于点B,∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，AD的延长线交BC于点C．（1）求∠BAC的度数；（2）求证:AD=CD．16.如图,AB是⊙O直径,CA与⊙O相切于点A,连接CO交⊙O 于D,CO的延长线交⊙O于E.连接BE、BD，∠ABD=300.求∠EBO 和∠C的度数.17.已知,如图,直线MN交⊙O于A，B两点,AC是直径,AD平分∠CAM交⊙O于D,过D作DE⊥MN于E. 求证:DE是⊙O的切线.18.如图,AB是⊙O的切线,B为切点,圆心在AC上,∠A=300,D为弧BC的中点. （1）求证：AB=BC;（2）求证：四边形BOC D是菱形.。