新北师大版七年级数学下册《二章 相交线与平行线 1 两条直线的位置关系 对顶角、余角和补角》教案_15
北师大版七年级数学下册第二章相交线与平行线2.1两条直线的位置关系课件课件
AB C
Da
垂线的性质（2）
连接直线外一点与直线上各点的 所有线段中，垂线段最短。
简单说成：垂线段最短．
2、
3、在数学课上，同学们在练习过点B、作线段AC 所在直线的垂线段时，有一部分同学画出下 列四种图形，请你数一数，错误的个数为
如图：一辆汽车在直线形的 公路上由A向B行驶， M、N 分别是位于公路AB两侧的两
北京师范大学出版社数学七年级下册
第二章 相交线与平行线
§2.1.2 两条直线的位置关系（二）
找不同
指出下列几组相交的直线中，不同的一组
（1）
（2）
（3）
（4）
探究新知：
垂直：当两条直线相交所成的四个角中，
有一个角是直角时，这两条直线互相垂直， 其中一条直线叫另一条直线的垂线，它们的 交点叫垂足。
D
所学校。汽车行驶时，会对
C
公路两旁的学校造成一定的 噪音 影响。当汽车行驶到何 处时，分别对两个学校影响 最大？在图中标出来。
课堂 小结 记作：AB⊥CD ,垂足为O
画出两条互相垂直的直线吗？ 列四种图形，请你数一数，错误的个数为 第二章 相交线与平行线 平面内，过一点有且只有一条直线于已知直线垂直。
不管数学的任一分支是多么抽象，总有一天会应用在这实际世界上
垂直：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它们的交点 叫垂足。 (1)画出直线m和点A； 记作：AB⊥CD ,垂足为O
直线吗，试试看吧！请说明理由。 公路两旁的学校造成一定的
（2)过点A画直线m的垂线，你能画多 你有几种画法？
▪ 1.你学到了哪些知识？ 公路两旁的学校造成一定的
北师大版数学七年级下册《 第二章 相交线与平行线 2.1 两条直线的位置关系(第1课时)》教学课件
探究新知
2.1 两条直线的位置关系/
知识点 4 余角、补角 在图1中，∠1与∠3有什么数量关系？
如果两个角的和是180° ，那么称这两个角互为补角.
如果两个角的和是90° ，那么称这两个角互为余角.
注意：互余与互补是指两个角 之间的数量关系，与它们的位置无关.
AC 2
43
1
D
B
图1
探究新知
2.1 两条直线的位置关系/
探究新知
2.1 两条直线的位置关系/
量一量：图中是对顶角量角器，你能说出用它测量 角的度数的原理吗？
对顶角相等
探究新知
2.1 两条直线的位置关系/
素养考点 1利用对顶角的性质求角的度数
例 如图,直线a,b相交，∠1=40°,求 ∠2,∠3,∠4的度数.
解：由平角的定义可知， ∠2=180°-∠1
探究新知
2.1 两条直线的位置关系/
知识点 2 对顶角的定义
如图，把两根木条用钉子钉在一起，转动其中一根木条，观 察两根木条所形成的角的位置及大小关系.
你能动手画出两条相交直线吗?
探究新知
2.1 两条直线的位置关系/
两条直线相交，形成的小于平角的角有哪几个？
C
2
B
1 o3
4
A
D
∠1，∠2，∠3，∠4
4
A
D
如图，直线AB与CD相交于点O,∠1与∠3有一个公共顶点 O，并且∠1的两边分别是∠3的两边的反向延长线，具有 这种位置关系的两个角，互为对顶角.
探究新知
2.1 两条直线的位置关系/
素养考点 1 对顶角的判断
例 下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是（ D ）
1 2
七年级数学下册第二章相交线与平行线2.1.1两条直线的位置关系教案北师大版(2021年整理)
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两条直线的位置关系课题两条直线的位置关系1课型教学目标1．知识与技能目标：在具体情境中了解对顶角、补角和余角的概念;通过观察、推理得到对顶角、余角和补角的性质。
2．数学思考目标：经历观察、操作、推理、交流等过程，进一步发展空间观念，推理能力和有条理表达的能力。
3．问题解决目标：学会在具体情境中从数学的角度发现和提出问题。
4．情感态度目标：敢于发表自己的想法，培养合作交流的意识。
重点对顶角、补角和余角的概念与性质。
难点对顶角、补角和余角的概念与性质.教学用具直尺、量角器教学环节说明二次备课复习新课导入平面内直线有哪几种位置关系？课程讲授一、复习引入两直线相交可形成几个角？量一量，它们的大小有何关系，看一看，相等的两个角的位置有什么特点。
二、对顶角的和性质1．概念：如图，直线AB和CD相交于点O，∠1与∠2有公共顶点O,它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角。
2．想一想：两条直线相交可形成几对对顶角?它们分别相等吗？如果没有量角器，你可以判定对顶角相等吗？理由是什么？给出学生充分的思考和交流的时间，并尝试将语言表达成文字.∵∠1+∠3=180°（平角的定义)∴∠1=180°-∠3又∵∠2+∠3=180°（平角的定义）∴∠2=180°—∠3∴∠1=∠2（等量代换）3．对顶角的性质：对顶角相等。
北师大数学七年级下册第二章-两条直线的位置关系
第01讲_两条直线的位置关系知识图谱两条直线的位置关系（北师版）知识精讲位置关系相交若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线平行在同一平面内，不相交的两条直线为平行线概念如果两个角有公共顶点，并且它们的两边互为反向延长线，则这两个角叫做对顶角．两条直线相交成四个角，其中不相邻的两个角叫对顶角．特征两个角有公共顶点，其两边互为反向延长线．性质对顶角相等．余角如果两个角的和等于90 ，就说这两个角互为余角．同角或等角的余角相等．补角如果两个角的和等于180°，就说这两个角互为补角．同角或等角的补角相等．四．易错点1．只有两条直线相交时才能产生对顶角，对顶角是成对出现的．2．余角和补角的概念区分．3．注意导角运算常用的两个基本思路：同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等．三点剖析一．考点：1．对顶角；2．余角和补角．二．重难点：角度综合计算；余角和补角的性质应用．三．易错点：1．只有两条直线相交时才能产生对顶角，对顶角是成对出现的．2．余角和补角的概念区分．对顶角例题1、.如图，∠1和∠2是对顶角的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】A、不是对顶角，故本选项错误；B、是对顶角，故本选项正确；C、不是对顶角，故本选项错误；D、不是对顶角，故本选项错误．例题2、下列图形中，∠1与∠2是对顶角的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∠1与∠2是对顶角的是C。
例题3、如图，下列各组角中，互为对顶角的是（）A.∠1和∠2B.∠1和∠3C.∠2和∠4D.∠2和∠5【答案】A【解析】互为对顶角的是：∠1和∠2．例题4、如图，直线AB、CD、EF相交于点O，已知20∠，求EOG∠的∠=︒，OG平分COFDOB∠=︒，52AOE度数．【答案】126︒【解析】利用对顶角和角平分线的性质可以求得12052541262EOG AOE AOC COF∠=∠+∠+∠=︒+︒+︒=︒随练1、(2013初一下期末西城区)下图是一种测量角的仪器，它依据的原理是___________________【答案】对顶角相等【解析】该题考察的是对顶角相等．测量角的仪器依据的原理是：对顶角相等．随练2、如图，3条直线a、b、c相交于一点O，图中对顶角共有（）对？A.3B.4C.5D.6【答案】D【解析】暂无解析随练3、如图所示，直线AB、CD相交于点O，且∠AOD＋∠BOC＝100°，则∠AOC是（）A.150°B.130°C.100°D.90°【答案】B【解析】∵∠AOD与∠BOC是对顶角，∴∠AOD＝∠BOC，又已知∠AOD＋∠BOC＝100°，∴∠AOD＝50°．∵∠AOD与∠AOC互为邻补角，GOFEDCBA∴∠AOC ＝180°－∠AOD ＝180°－50°＝130°．余角和补角例题1、 如果一个角的补角是120°则这个角的余角的度数是（ ） A.30° B.60° C.90° D.120° 【答案】 A【解析】 ∵该角的补角为120°， ∴该角的度数＝180°－120°＝60°， ∴该角余角的度数＝90°－60°＝30°．例题2、 将一副三角板按如图所示位置摆放，其中∠α与∠β一定互余的是（ ） A.B.C.D.【答案】 C【解析】 A 、∠α与∠β不互余，故本选项错误； B 、∠α与∠β不互余，故本选项错误； C 、∠α与∠β互余，故本选项正确；D 、∠α与∠β不互余，∠α和∠β互补，故本选项错误；例题3、 如图，90AOD ∠=︒，90COE ∠=︒，图中与∠AOC 互补的角有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】 B【解析】 根据题意可得：①∵180AOC BOC ∠+∠=︒，∴∠BOC 与∠AOC 互补．②90EOD DOC BOC DOC ∠+∠=∠+∠=︒，∴EOD BOC ∠=∠，∴180AOC EOD ∠+∠=︒，∴EOD ∠与AOC ∠互补．故图中与AOC ∠互补的角有2个．例题4、 如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OE ⊥AB 于点O ，OF 平分∠AOE ，∠1＝15°30′，则下列结论中不正确的是（ ）A.∠AOD 与∠1互为补角B.∠1的余角等于74°30′C.∠2＝45°D.∠DOF ＝135° 【答案】 D【解析】 A 、∠AOD 与∠1互为补角，说法正确； B 、∠1的余角：90°－15°30′＝74°30′，说法正确； C 、∵OE ⊥AB ， ∴∠AOE ＝90°， ∵OF 平分∠AOE ，∴∠2＝45°，说法正确；D 、∠DOF ＝180°－45°－15°30′＝119°30′，原题说法错误；OE DCB A随练1、 一个角的余角是这个角的补角的13，则这个角的度数是（ ）A.30°B.45°C.60°D.70° 【答案】 B【解析】 设这个角的度数为x ，则它的余角为90°－x ，补角为180°－x ，依题意得：(190180)3x x ︒-=︒-，解得x ＝45°．随练2、 ∠AOB 的大小可由量角器测得（如图所示），则180°－∠AOB 的大小为（ ）A.60°B.120°C.40°D.140° 【答案】 B【解析】 暂无解析随练3、 若一个角比它的补角大36°48'，则这个角为________°________'． 【答案】 1．108 2．24【解析】 暂无解析随练4、 已知：如图，AB ⊥CD ，垂足为O ，EF 为过点O 的一条直线，则∠1与∠2的关系一定成立的是（ ）A.相等B.互余C.互补D.互为对顶角【答案】 B【解析】 图中，∠2=∠COE （对顶角相等）， 又∵AB ⊥CD ，∴∠1+∠COE=90°， ∴∠1+∠2=90°， ∴两角互余．垂线知识精讲一．垂线相关定义垂直与垂线定义 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足． 垂线的性质1．同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；2．连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短．简称：垂线段最短． 垂线的画法 1．过直线上一点A 画已知直线l 的垂线2．过直线外一点B 画已知直线l 的垂线．点到直线的距离直线外一点A 到这条直线l 的垂线段的长度，线段AB 的长叫做点A 到直线l 的距离.二．易错点：1．垂线与垂线段的区别：垂线是一条直线，不可度量长度；垂线段是一条线段，可以度量长度； 2．画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线；3．过一点作线段的垂线，垂足可在线段上，也可以在线段的延长线上；4．必须强调在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，空间里经过一点与已知直线垂直的直线有无数条.三点剖析一．考点：垂直，垂线段，角度的计算． 二．重难点：角度的计算． 三．易错点：1．垂线与垂线段的区别：垂线是一条直线，不可度量长度；垂线段是一条线段，可以度量长度； 2．画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线；3．过一点作线段的垂线，垂足可在线段上，也可以在线段的延长线上．垂直例题1、 过点P 向线段AB 所在直线引垂线，正确的是（ ）．A.B.C.D.【答案】 C【解析】 根据垂直的定义可知C 是正确的．例题2、 如图，已知点O 在直线AB 上，CO ⊥DO 于点O ，若∠1=145°，则∠3的度数为（ ）lAlBl BAPPPA B PA.35°B.45°C.55°D.65°【答案】 C【解析】 先根据邻补角关系求出∠2=35°，再由垂线得出∠COD=90°，最后由互余关系求出∠3=90°﹣∠2． 解：∵∠1=145°，∴∠2=180°﹣145°=35°， ∵CO ⊥DO ， ∴∠COD=90°，∴∠3=90°﹣∠2=90°﹣35°=55°；例题3、 如图，已知AC ⊥BC ，CD ⊥AB ，AC=3，BC=4，则点B 到直线AC 的距离等于 ；点C 到直线AB 的垂线段是线段 ．【答案】 4，CD ．【解析】 根据垂线段、点到直线距离的定义可知，点B 到直线AC 的距离等于BC 的长度，即为4． 点C 到直线AB 的垂线段是线段CD ． 故填4，CD ．随练1、 过点P 作线段或射线所在直线的垂线【答案】 见解析【解析】随练2、 如图，点C 到直线AB 的距离是指哪条线段长（ ）A.CBB.CDC.CAD.DE【答案】 BABPPABPA BPA B【解析】由图可得，CD⊥AB，所以，点C到直线AB的距离是线段CD的长垂线段例题1、若A、B、C是直线l上的三点，P是直线l外一点，且PA=6cm，PB=5cm，PC=4cm，则点P到直线l的距离（）A.等于4cmB.大于4cm而小于5cmC.不大于4cmD.小于4cm【答案】C【解析】∵直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，∴点P到直线l的距离≤PC，即点P到直线l的距离不大于4．故选C．例题2、如图，AB⊥AC，AD⊥BC，垂足分别为A，D，则图中能表示点到直线距离的线段共有（）A.2条B.3条C.4条D.5条【答案】D【解析】如图所示：线段AB是点B到AC的距离，线段CA是点C到AB的距离，线段AD是点A到BC的距离，线段BD是点B到AD的距离，线段CD是点C到AD的距离，故图中能表示点到直线距离的线段共有5条．例题3、如图，△ABC的面积为6，AC＝3，现将△ABC沿AB所在直线翻折，使点C落在直线AD上的C′处，P为直线AD上的一点，则线段BP的长不可能是（）A.3B.4C.5.5D.10【答案】A【解析】如图：过B作BN⊥AC于N，BM⊥AD于M，∵将△ABC沿AB所在直线翻折，使点C落在直线AD上的C′处，∴∠C′AB＝∠CAB，∴BN＝BM，∵△ABC的面积等于6，边AC＝3，∴162AC BN⨯⨯=，∴BN＝4，∴BM＝4，即点B到AD的最短距离是4，∴BP的长不小于4，即只有选项A的3不正确，随练1、 点P 为直线l 外一点，点A 、B 、C 在直线l 上，若6cm PA =；7cm PB =；8cm PC =，则点P 到直线l 的距离是（ ） A.6cm B.小于6cmC.不大于6cmD.8cm【答案】 C【解析】 该题考查的是点到直线的距离．直线外一点到直线的距离是该点与直线上任一点间的长度的最小值．故点P 到直线l 的距离不大于6cm ．故选C ． 随练2、 如图所示，点P 到直线l 的距离是（ ）A.线段PA 的长度B.线段PB 的长度C.线段PC 的长度D.线段PD 的长度 【答案】 B【解析】 由题意，得点P 到直线l 的距离是线段PB 的长度，随练3、 已知△ABC 中，BC ＝6，AC ＝3，CP ⊥AB ，垂足为P ，则CP 的长可能是（ ） A.2 B.4 C.5 D.7 【答案】 A【解析】 如图，根据垂线段最短可知：PC≤3， ∴CP 的长可能是2．角度计算例题1、 如图，OA OB ⊥于点O ，若52BOC ∠=︒，则__________AOC ∠=．【答案】 38︒【解析】 该题考查的是角度的计算． ∵OA OB ⊥， ∴90AOB ∠=︒， ∵52BOC ∠=︒，∴905238AOC AOB BOC ∠=∠-∠=︒-︒=︒．CBO A例题2、如图直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB垂足为O，（1）与∠1互为补角的角是________；（2）若∠AOC：∠2＝3：2，求∠1的度数．【答案】（1）∠EOD（2）18°【解析】（1）与∠1互为补角的角是：∠EOD；（2）∵∠AOC︰∠2＝3︰2，∴设∠AOC＝3x，则∠2＝2x，故3x＋2x＝180°，解得：x＝36°，则∠2＝72°，∵EO⊥AB垂足为O，∴∠AOE＝90°，∴∠1的度数为：18°．例题3、如图1，直线SN与直线WE相交于点O，射线ON表示正北方向，射线OE表示正东方向，已知射线OB的方向是南偏东m°，射线OC的方向为北偏东n°，且m°的角与n°的角互余．（1）①若m=60，则射线OC的方向是__．（直接填空）①请直接写出图中所有与①BOE互余的角及与①BOE互补的角．（2）如图2，若射线OA是①BON的平分线，①若m=70，则①AOC=__．（直接填空）①若m为任意角度，求①AOC的度数．（结果用含m的式子表示）【答案】（1）①北偏东30°①与①BOE互余的角有①BOS，①COE，与①BOE互补的角有①BOW，①COS（2）①35°①①AOC=12 m°【解析】（1）①n=90°﹣60°=30°，则射线OC的方向是：北偏东30°，故答案是：北偏东30°；①与①BOE互余的角有①BOS，①COE，与①BOE互补的角有①BOW，①COS．（2）①①BON=180°﹣70°=110°，①OA是①BON的平分线，①①AON=12①BON=55°，又①①CON=90°﹣70°=20°，①①AOC=①AON﹣①CON=55°﹣20°=35°．故答案是：35°；①①①BOS+①BON=180°，①①BOS=180°﹣①BON=180°﹣m°．①OA 是①BON 的平分线， ①①AON=12①BON=12（180°﹣m°）=90°﹣12m°． ①①BOS+①CON=m°+n°=90°，①①CON=90°﹣m°，①①AOC=①AON ﹣①CON=90°﹣12m°﹣（90°﹣m°）=90°﹣12m°﹣90°+m°=12m°． 随练1、 如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OE ⊥AB ，O 为垂足，如果35EOD ∠=︒，则COB ∠=__________．【答案】 125°【解析】 该题考查的是垂直性质．∵OE AB ⊥，∴90EOB ∠=︒，又∵35EOD ∠=︒，∴903555DOB ∠=︒-︒=︒，∵COB ∠与DOB ∠互补，∴18055125COB ∠=︒-︒=︒．随练2、 如图，已知直线AB 与CD 相交于点O ，OA 平分∠COE ，若∠DOE ＝70°，则∠BOD ＝________．【答案】 55°【解析】 由邻补角的定义，得∠COE ＝180－∠DOE ＝110°∠∠COE ＝110°且OA 平分∠COE ，∠∠COA ＝∠AOE ＝55°，又∠∠COA 与∠BOD 是对顶角，∠∠BOD ＝∠COA ＝55°．随练3、 如图，直线l 1∥l 2，∠α＝∠β，∠1＝35º，则∠2＝________º．【答案】 145【解析】 暂无解析拓展D OEBAC1、 如图，直线AB 与CD 相交于点O ，若∠1+∠2=80°，则∠3等于（ ）A.100°B.120°C.140°D.160°【答案】 C【解析】 由对顶角相等，得∠1=∠2，又∠1+∠2=80°，得∠1=40°．由邻补角的定义，得∠3=180°﹣∠1=180°﹣40°=140°，故选：C ．2、 一副透明的三角板，如图叠放，直角三角板的斜边AB 、CE 相交于点D ，则∠BDC ＝________．【答案】 75°【解析】 ∵∠CEA ＝60°，∠BAE ＝45°，∴∠ADE ＝180°－∠CEA －∠BAE ＝75°，∴∠BDC ＝∠ADE ＝75°．3、 一个角的补角是它的余角的4倍，则这个角等于________度．【答案】 60【解析】 设这个角为x ，则它的余角为90°－x ，补角为180°－x ，根据题意得，180°－x ＝4（90°－x ），解得x ＝60°．4、 如图，已知90BOC ∠=︒，90DOE ∠=︒，则图中互余的角共有__________对．【答案】 4【解析】 因为OC AB ⊥，OE OD ⊥，所以90COA COB DOE ∠=∠=∠=︒，即90EOA EOC COD DOB DOC COE ∠+∠=∠+∠=∠+∠=︒，所以EOA COD ∠=∠，所以90EOA BOD ∠+∠=︒，所以共有4对互余的角．5、 如图，点A ，O ，B 在同一直线上，射线OD 和射线OE 分别平分∠AOC 和∠BOC ．（1）求∠DOE 的度数；（2）写出图中所有互为余角的角．【答案】 （1）90°（2）∠COD 和∠COE ；∠AOD 和∠BOE ；∠AOD 和∠COE ；∠COD 和∠BOE【解析】 （1）∵点A ，O ，B 在同一条直线上，∴∠AOC ＋∠BOC ＝180°，A OB CDE∵射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC，∴12COD AOC∠=∠，12COE BOC∠=∠∴1()902COD COE AOC BOC∠+∠=∠+∠=︒，∴∠DOE＝90°；（2）互为余角的角有：∠COD和∠COE，∠AOD和∠BOE，∠AOD和∠COE，∠COD和∠BOE．6、如图，下列语句中，描述错误的是（）A.直线AB与直线OP相交于点OB.点P在直线AB上C.∠AOP与∠BOP互为补角D.点O在直线AB上【答案】B【解析】直线AB与直线OP相交于点O，描述正确，A错误；点P不在直线AB上，描述错误，B正确；∠AOP与∠BOP互为补角描述正确，C错误；点O在直线AB上，描述正确，D错误．7、如图，将一副三角尺按不同的位置摆放，下列方式中∠α与∠β互余的是（）A.图①B.图②C.图③D.图④【答案】A【解析】图①，∠α＋∠β＝180°﹣90°，互余；图②，根据同角的余角相等，∠α＝∠β；图③，根据等角的补角相等∠α＝∠β；图④，∠α＋∠β＝180°，互补．8、按要求作图：（1）作A到BC所在直线的垂线段AH，垂足为H．（2）过点A画直线MN，使MN∥BC．【答案】（1）（2）【解析】暂无解析9、如图，从位置P到直线公路MN共有四条小道，若用相同的速度行走，能最快到达公路MN的小道是（）A.PAB.PBC.PCD.PD【答案】B【解析】根据垂线段最短得，能最快到达公路MN的小道是PB，故选B．10、如图，直线AB，CD分别与直线AC相交于点A，C，与直线BD相交于点B，D．若∠1＝∠2，∠3＝75°，求∠4的度数．【答案】75°【解析】暂无解析11、如图，将三角形ABC沿DE折叠，使点A落在BC上的点F处，且DE∥BC，若∠B＝70º，则∠BDF＝________º．【答案】40º【解析】暂无解析12、如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝65°，则∠2的度数为（）A.10°B.15°C.20°D.25°【答案】D【解析】暂无解析。
新北师大版七年级数学下册《二章 相交线与平行线 1 两条直线的位置关系 对顶角、余角和补角》课件_15
巩固反馈
1.下列各图中，∠1和∠2是对顶角的是（D ）
1 2
A
12
B
1
C2
2.如图所示，有一个破损的扇形零
件，利用图中的量角器可以量出这
个扇形零件的圆心角的度数吗？你
能说出所量角的度数是多少吗？为
什么？
400
1 2
D
2 1
数学活动三
动手实践 探究新知
1
13
900
2
定义： 如果两个角的和等于180°，如果两个角的和等于90°， 那么称这两个角互为补角. 那么称这两个角互为余角.
注意：互为补角和互为余角指两个角之间 的数量关系，与它们的位置无关.
巩固反馈
∠α 5° 32° 145° x°( x<90)
∠α的余角 85° 58°
不存在 90° x°
∠α的补角 175° 148° 35°
180° x°
通过上述计算，你发现了什么？
180° x°（ 90 x°）=90° 一个锐角的补角比它的余角大90°.
E D
A
B
O
C
作业布置
必做题：1．课本P40习题2.1: 1,2,3,4,5题 选做题：2.下图由两块相同的直角三角板拼 成，其中
∠FDE=∠AOB=900，点O在FD上，DE在直线AB上， 请找出相等的角、互余的角、互补的角.
F
注意事项：
O
1.独立、高效完成.
2.整理错题.
3.反思解惑.
A
D BE
数学活动四
动手实践 探究新知
跟着老师的视频一起折一折，画一画。
数学活动四
动手实践 探究新知
C
七年级数学下册第二章相交线与平行线1两条直线的位置关系教案新版北师大版56
1 两条直线的位置关系教学目标：1、在具体的现实情境中，了解同一平面内两条直线的位置关系是平行和相交，理解对顶角、余角、补角等概念。
2、探索并掌握对顶角相等、同角或等角的余角相等、同角或等角的补角相等的性质。
3、进一步提高学生的抽象概括能力，发展空间观念和知识运用能力，学会简单的逻辑推理，并能对问题的结论进行合理的猜想。
4、体会观察、归纳、推理对数学知识中获取数学猜想和论证的重要作用，初步数学中推理的严谨性和结论的确定性，能在独立思考和小组交流中获益。
教学重难点重点：余角、补角、对顶角的性质及其应用。
难点：通过简单的推理，归纳出余角、补角的性质，并能用规范的语言描述性质。
教学准备实物图片、ppt课件。
我的思考本节内容首先介绍平行线、相交线，在初中数学中起到承上启下的作用。
在小学，学生已对平行、相交有了初步的了解，已经在形象上知晓了，本节内容在学生已有的基础上让学生自行探索平行、相交的概念，为即将要学习的“探索直线平行的条件”、“探索平行线的性质”等打基础。
本课又是继“角”及“角的大小比较”之后的内容，是进一步认识角，并认识两角之间的关系，并为寻找角之间的数量关系打下基础.同时也为以后的学习做好铺垫.从知识的准备上，学生已认识了角，有了这个基础，对于本课认识做好了铺垫；从难度上，难度不大，学生也能学会；从知识呈现体系，也是很恰当地；从应用上，学生经常找角的数量关系，应用价值很大.教学设计教学过程一、创设情境，引入新课教师活动：向同学们展示一些生活中的图片：双杠、铁轨、比萨斜塔等，让学生观察生活中的两条直线之间的位置关系。
【设计意图：让学生观察图片，不但可以体会到几何来源于生活，激发学生学习的兴趣，还可以为下面的分类提供依据，为了解平行线、相交线的概念打下基础。
】二、建立模型，探索新知互动探究一、平行线、相交线的概念：师生活动：1、请各组同学每人拿出两支笔，用它们代表两条直线，随意移动笔，观察笔与笔有几种位置关系？各种位置关系，分别叫做什么？（选取一个小组的代表上黑板上演示给大家看）(板书：①平行、②相交、③重合，并给出相交线的定义) 若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线。
北师大版七年级下册数学：第二章 相交线与平行线 1 两条直线的位置关系 对顶角、余角和
解： ∵
∠1 =40°
b
∠1 +∠2=180°(补角定义) 1 2
∴ 2=180 1
a
43
O
180 40
140； ∴ 3=1 40， (对顶角相等)
4=2 140．
动脑思考，变式训练
变式1: 若∠1+∠3= 8，0º 求∠2 ，∠3 ，∠4 的度数．
变式2 若 1: 2 = 2: 7 ，
平分线的定义）
六、课外探究 作业：
学案P51-52：习题2.1.1 A、B 、C
12
若∠1= ∠2 ,∠AOC与∠BOD有
什么关系？为什么？
如图：已知∠1=∠2 A
∠ AOC+ ∠1=1800
B
∠ AOC =∠_B_OD__
（ 等角的补角相等）
∠ BOD+ ∠2=1800
ห้องสมุดไป่ตู้同角或等角的补角相等
勇往直前！
DO
C
12
34
图2.1—2
AN B 图2.1—3
打台球时，选择适当的方向，用白球击打红球， 反弹后的红球会直接入袋，此时∠1=∠2，将图 2.1—2抽象成成图2.1—3，ON与DC交于点O， ∠DON=∠CON=900，∠1=∠2
D
*注意：当两条直线相交时才能形成对顶角
三、知识应用，巩固提升
练习2：①.因为∠1+∠2=90º，∠2+∠3=90º，所
以∠1= ∠3 ，理由是 同角的余角相等 .
② 因为∠1+∠3=180º，∠2+∠4=180º， ∠1=∠2
所以∠3= ∠4 ，理由是 等角的补角相等
.
北师大版数学七年级下册第二章1两条直线的位置关系(共76张PPT)
图2-1-5 注意 (1)垂线是直线,垂线段特指一条线段,点到直线的距离是指垂线段 的长度. (2)求点到直线的距离时,要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段,然后 计算或度量垂线段的长度,在实际问题中要应用其“最近性”解决问题.
1 两条直线的位置关系
例4 在图2-1-6所示的各图中,分别过点P作AB的垂线.
点拨 除了互补的两个角和为180°外,由平角的定义也可以得到和为180°.
1 两条直线的位置关系
栏目索引
题型二 垂线性质在生活中的应用
例2 如图2-1-9所示,平原上有A,B,C,D四个村庄,为解决当地缺水问题,政 府准备投资修建一个蓄水池.
图2-1-9 (1)不考虑其他因素,请你画图确定蓄水池H的位置,使它到四个村庄距离之 和最小; (2)计划把河水引入蓄水池H中,怎样开渠使水渠最短?并说明理由.
1 两条直线的位置关系
栏目索引
知识点三 余角和补角 1.如果两个角的和是90°,那么称这两个角互为余角. 2.如果两个角的和是180°,那么称这两个角互为补角. 3.余角、补角的性质:同角或等角的余角相等,同角或等角的补角相等. 注意 (1)互余、互补都是指两个角之间的关系.当∠1+∠2+∠3=90°时,不 能说∠1、∠2、∠3互余;当∠1+∠2+∠3=180°时,也不能说∠1、∠2、 ∠3互补.(2)互余的两个角都是锐角,而互补的两个角可能是一个锐角一个 钝角,也可能都是直角.(3)互余和互补都是反映两个角的数量关系,而不是 位置关系.
栏目索引
②必须强调“平面内”,否则,在空间里,经过一点与已知直线垂直的直线 有无数条. (2)直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短,简称:垂线段 最短.
新北师大版七年级数学下册第2章 相交线与平行线《两条直线的位置关系》优质课件
第二环节 动手实践、探究新知
问题1：小组合作，每人编一道有关余角或者补 角的题目，其余同学抢答，练习2分钟。
问题2：展示优秀成果，投影仪展示，全班抢答。 问题3：下列说法正确的有 ①②④。⑥（填序号） ①已知∠A=40º，则∠A的余角等于500 ②若1+∠2=180º，则∠1和∠2互为补角。 ③若∠1+∠2+∠3=180º，则∠1、∠2、∠3互补 ④若∠A=40º26′，则∠A的补角=139º34′ ⑤一个角的补角必为钝角。 ⑥一个锐角的补角比这个角的余角大900
E
D
C
E
D C
AO
BA O
B
2.1--8
2.1--9
第六环节
布置作业，能力延伸
基础题：1．书P45页习题2.2 第 1,2,3题 提高题：2.请学有余力的同学采取合理的方式， 搜集整理与本节课有关的“好题”，被选中的同 学下节课为全班展示。
注意事项： 1.独立、高效完成。 2.整理错题。 3.备好选中的题，做 好展示的准备。
巩固练习
问题：
1.观察下面三个图形，你能快速找出特殊位 置关系的线段吗？怎样表示？
2.你还能提出哪些问题？.
a
b c
第二环节
动手实践、探究新知
动手画一画1：
你能画出两条互相垂直的直线吗？ 你有哪些方法？小组交流，相互点评 用自己的语言描述你的画法。
第二环节
动手实践、探究新知
动手画一画1： 工具1:你能借助三角尺或者量角器，在一
小组合作交流，解决下列问题：在图2.1—8中
问题1：哪些角互为补角？哪些角互为余角？
问题2：∠3与∠4有什么关系？为什么？
问题3：∠AOC与∠BOD有什么关系？为什么？
北师大版七年级数学下册说课稿(含解析)：第二章相交线与平行线1两条直线的位置关系
北师大版七年级数学下册说课稿（含解析）：第二章相交线与平行线1两条直线的位置关系一. 教材分析《北师大版七年级数学下册》第二章“相交线与平行线”主要介绍了两条直线的位置关系。
这一章节是学生继小学阶段对直线的基本认识之后，进一步深入研究直线性质的重要内容。
通过本章的学习，学生能够理解并掌握相交线与平行线的概念，以及它们之间的相互关系。
本章的内容主要包括以下几个方面：1.两条直线相交的概念及其性质2.两条直线平行的概念及其性质3.相交线与平行线的判定方法4.实际问题中的应用二. 学情分析学生在进入七年级之前，已经对直线、射线、线段等基本概念有了初步的认识。
但是，对于两条直线相交与平行的性质及其应用，还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要引导学生从直观的角度去感受和理解这些概念，逐步建立起正确的数学思维。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握两条直线相交与平行的概念，理解它们的性质，并能运用所学知识解决一些实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、操作、交流等活动，培养学生的空间想象能力、逻辑思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学学习的兴趣，培养他们勇于探究、合作交流的良好学习态度。
四. 说教学重难点1.教学重点：两条直线相交与平行的概念及其性质。
2.教学难点：相交线与平行线的判定方法，以及它们在实际问题中的应用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用启发式教学法、情境教学法、小组合作学习法等，引导学生主动探究、积极思考。
2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型、几何画板等辅助教学，提高教学效果。
六. 说教学过程1.导入新课：通过展示一些生活中的实例，引导学生观察和思考两条直线的位置关系，从而引出本节课的内容。
2.探究新知：（1）引导学生通过观察、操作，发现并描述两条直线相交的现象，总结相交线的性质。
（2）让学生通过画图、讨论，探索两条直线平行的条件，归纳平行线的性质。
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4.3.3 余角和补角
（38号）
教学目标
【知识与技能】
1．了解余角和补角概念，掌握余角和补角的性质．
【过程与方法】
1．进一步提高学生的抽象概括能力，发展空间观念和知识运用能力．
2．学会简单的逻辑推理，并能对问题的结论进行合理的猜想．
【情感态度与价值观】
1．体会观察、归纳、推理对获取数学猜想和论证的重要性．
2．初步体会数学中推理的严谨性和结论的确定性．
【教学重点】
1．角的互余、互补的关系及其性质．
【教学难点】
通过简单的推理，解决有关余角和补角的问题．
教学设计
环节1、动手操作，新课引入
全体同学一起动手折纸，并且思考老师提出的问题
（1）. ∠1 与∠2 有什么数量关系？
（2）. ∠3 与∠4 有什么数量关系？
【2min反馈】
环节2、新课讲解，合作探究
1．余角：
(1)定义：如果两个角的和等于90°(直角)，那么这两个角互为余角.
强调：互为的意思；余角不是一个角，不能说某个角是余角。
(2)表示：如果∠α、∠β互为余角，那么∠α＋∠β＝90°.
【2min反馈】
指出给出的角哪些互为余角？
15度与75度，24度与66度，46.2度与43.4度（图见幻灯）
2．补角：
(1)定义：如果两个角的和等于180°(平角)，那么这两个角互为补角.
强调：互为的意思；补角不是一个角，不能说某个角是补角。
(2)表示：如果∠α、∠β互为补角，那么∠α＋∠β＝180°.
【2min反馈】
指出给出的角哪些互为补角？
10度与170度，30度与150度，60度与120度，80度与100度（图见幻灯）
例、若一个角的补角等于它的余角的 4 倍，求这个角的度数.
解：设这个角为 x°，则它的补角是 ( 180－x )°，
余角是 ( 90－x )° .
根据题意，得
180－x = 4 ( 90－x ) .
解得 x = 60.
答：这个角的度数是 60 °.
环节3、合作探究，发现新知
1、余角和补角的性质（先自己观察思考，然后小组交流合作）
（1）∠1 与∠2，∠3都互为补角，
推理思考∠2 与∠3 的大小有什么关系？（）
∠2=180°－∠1=∠3=180°－∠1
（2）∠1 =∠2，∠3是∠1的补角，∠4是∠2的补角，∠3 与∠4 的大小有什么关系？
∠3=180°－∠1
∠4=180°－∠2
∠1=∠2
∠3=∠4
【3min反馈】
（3）你能用一句话总结上面你发现的结论吗？
性质：同角 (等角) 的补角相等；同角 (等角) 的余角相等.
小组交流并反馈，之后教师板书结论。
（4）例3、如图，点A，O，B在同一直线上，射线 OD 和射线 OE 分别平分∠AOC 和∠BOC，图中哪些角互为余角？
变式练习（独立完成）
如图,已知∠AOB=90°，∠AOC= ∠BOD，则与∠AOC互余的角有__________________.
环节4 合作探究，解决问题
1、一个角的余角是它的2倍，这个角的度数是（）
A．30° B．45° C．60° D．75°
2.下列说法正确的是（）
A．一个角的补角一定大于它本身
B．一个角的余角一定小于它本身
C．一个钝角减去一个锐角的差一定是一个锐角
D．一个角的余角一定小于其补角
3.已知∠A与∠B互余，∠B与∠C互补，若∠A=60°，则∠C的度数是_______.
4. ∠1 与∠2 互余，∠1 = (6x + 8)°，∠2 = (4x－8)°，
则∠1= ，∠2= .
5.如图，已知∠ACB=∠CDB=90°.(1) 图中有哪几对互余的角？
(2) 图中哪几对角是相等的角(直角除外)？为什么？
环节5 课堂小结，巩固提升
互余互补两角之间的数量关系∠1+∠2=90°∠3+∠4=180°
对应图形
性质同角(等角) 的余角相等.同角(等角) 的补角相等；
环节6、练习布置
数学书P148 第7、8题。
板书设计。