九年级数学上册 二次函数复习教案 苏科版
九年级数学上册22二次函数复习教案
第22章二次函数一、复习目标1.理解二次函数的观点；2.会把二次函数的一般式化为极点式，确立图象的极点坐标、对称轴和张口方向，会用描点法画二次函数的图象；3.会平移二次函数y ＝ax 2(a ≠0)的图象获得二次函数y ＝a(ax ＋m)2＋k 的图象，认识特别与一般互相联系和转变的思想；4.会用待定系数法求二次函数的分析式；5.利用二次函数的图象，认识二次函数的增减性，会求二次函数的图象与x 轴的交点坐标和函数的最大值、最小值，认识二次函数与一元二次方程和不等式之间的联系。
6.二次函数的综合应用 二、课时安排 2三、复习重难点掌握二次函数的性质，利用二次函数的图象，认识二次函数的增减性，会求二次函数的图象与x 轴的交点坐标和函数的最大值、最小值，认识二次函数与一元二次方程和不等式之间的联系，并能和其余知识点进行综合应用。
四、教课过程 （一）知识梳理 二次函数知识点：1. 二次函数的观点：一般地，形如2y ax bx c =++(a b c ，，是常数，0a ≠)的函数，叫做二次函数。
2. 二次函数的基本形式（1）二次函数基本形式：2y ax =的性质：2. 2y ax c =+的性质：3. ()2y a x h =-的性质： 4. ()2y a x h k =-+的性质： 3.二次函数图象的平移 1. 平移步骤：(1) 将抛物线分析式转变成极点式()2y a x h k =-+，确立其极点坐标()h k ，；(2)保持抛物线2y ax =的形状不变，将其极点平移各处()h k ，，详细平移方法以下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位（3） 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．归纳成八个字“左加右减，上加下减”．4.二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为极点式2()y a x h k =-+，确立其张口方向、对称轴及极点坐标，而后在对称轴双侧，左右对称地描点绘图.一般我们选用的五点为：极点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，对于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，(若与x 轴没有交点，则取两组对于对称轴对称的点). 画草图时应抓住以下几点：张口方向，对称轴，极点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 5.二次函数2y ax bx c =++的性质（1） 当0a >时，抛物线张口向上，对称轴为2bx a =-，极点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．（2） 当0a <时，抛物线张口向下，对称轴为2bx a=-，极点坐标为2424b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．6.二次函数分析式的表示方法（1） 一般式：2y ax bx c =++(a ，b ，c 为常数，0a ≠)；（2） 极点式：2()y a x h k =-+(a ，h ，k 为常数，0a ≠)；（3）两根式：12()()y a x x x x =--(0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标). 7.二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与x 轴交点状况)：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特别状况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，此中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-=② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点. 7.二次函数的应用： （二）题型、方法归纳 种类一： 二次函数的平移【主题训练1】(枣庄中考)将抛物线y=3x 2向上平移3个单位,再向左平移2个单位,那么获得的抛物线的分析式为( )A.y=3(x+2)2+3 B.y=3(x-2)2+3 C.y=3(x+2)2-3D.y=3(x-2)2-3【自主解答】选A.由“上加下减”的平移规律可知,将抛物线y=3x 2向上平移3个单位所得抛物线的分析式为:y=3x 2+3;由“左加右减”的平移规律可知,将抛物线y=3x 2+3向左平移2个单位所得抛物线的分析式为:y=3(x+2)2+3.归纳：二次函数平移的两种方法1.确立极点坐标平移:依据两抛物线前后极点坐标的地点确立平移的方向与距离.2.利用规律平移:y=a(x+h)2+k 是由y=ax 2经过适合的平移获得的,其平移规律是“h 左加右减,k 上加下减”.即自变量加减左右移,函数值加减上下移.种类二：二次函数的图象及性质【主题训练2】(十堰中考)如图,二次函数y=ax 2+bx+c (a≠0)的图象的极点在第一象限,且过点(0,1)和(-1,0),以下结论:①ab<0;②b2>4a;③0<a+b+c<2;④0<b<1;⑤当x>-1时,y>0.此中正确结论的个数是( )A.5个B.4个C.3个D.2个【自主解答】选B.①∵对称轴在y轴右边,∴- >0,∴ <0,∴a,b异号,∴ab<0,①正确;②把x=0,y=1代入y=ax2+bx+c得c=1,因此二次函数为y=ax2+bx+1; 又∵图象与x轴有两个交点,∴b2-4ac>0,∴b2>4a,②正确;③∵当x=1时,图象在x轴上方,∴a+b+c>0;把x=-1,y=0代入y=ax2+bx+1,得b=a+1,∵图象的张口向下,∴a<0,∴a+b+c= a+a+1+1=2a+2<2,∴0<a+b+c<2,③正确;④∵b=a+1,∴a=b-1,∵0<a+b+c<2,c=1,∴0<b-1+b+1<2,即0<2b<2,∴0<b<1,④正确;⑤当x>-1时,函数图象有部分在x轴上方,与x轴有交点,有部分在x轴下方,因此y>0,y=0,y<0都有可能.因此正确的共有4个,选B.归纳：种类三：二次函数与方程、不等式【主题训练3】(贺州中考)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象以下图,给出以下结论:①b2>4ac;②abc>0;③2a-b=0;④8a+c<0;⑤9a+3b+c<0,此中结论正确的选项是.(填入正确结论的序号)【自主解答】∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴有两个交点,∴一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根,∴b2-4ac>0,即b2>4ac,①是正确的.∵抛物线的张b－ =1>0,口方向向上,∴a>0;∵抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴,∴c<0;∵对称轴x=2ab－=1,∴b=-2a,∴∴a与b异号,则b<0.∴abc>0,②是正确的.∵抛物线的对称轴x=2a2a+b=0,③是错误的.∵当x=-2时,y=4a-2b+c>0,又∵b=-2a,∴4a-2b+c=4a-2(-2a)+c=8a+c>0,④是错误的.∵抛物线的对称轴为直线x=1,∴在x=-1与x=3时函数值相等,由函数图象可知x=-1的函数值为负数,∴x=3时的函数值y=9a+3b+c<0,⑤是正确的.答案:①②⑤归纳：二次函数与方程、不等式的关系1.二次函数与方程:抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标知足ax2+bx+c=0.2.二次函数与不等式:抛物线y=ax2+bx+c在x轴上方部分的横坐标知足ax2+bx+c>0;抛物线y=ax2+bx+c在x轴下方部分的横坐标知足ax2+bx+c<0.种类四：二次函数的应用【主题训练4】(武汉中考)科幻小说《实验室的故事》中,有这样一个情节:科学家把一种珍异的植物分别放在不一样温度的环境中,经过一天后,测试出这栽种物高度的增加状况(如表).由这些数据,科学家推断出植物每日高度增加量y 是温度x 的函数,且这类函数是一次函数和二次函数中的一种.(1)请你选择一种适合的函数,求出它的函数关系式,并简要说明不选择此外两种函数的原因.(2)温度为多少时,这栽种物每日高度增加量最大?(3)假如实验室温度保持不变,在10天内要使该植物高度增加量的总和超出250mm,那么实验室的温度x 应当在哪个范围内选择?直接写出结果.【自主解答】(1)选择二次函数.设抛物线的分析式为y=ax 2+bx+c, 依据题意,得4a 2b c 49,a 1,4a 2b c 41,b 2,c 49,c 49-+==-⎧⎧⎪⎪++==-⎨⎨⎪⎪==⎩⎩解得， ∴y 对于x 的函数分析式为y=-x 2-2x+49.不选此外两个函数的原因:点(0,49)不行能在任何反比率函数图象上,因此y 不是x 的反比率函数;点(-4,41),(-2,49),(2,41)不在同向来线上,因此y 不是x 的一次函数.(2)由(1)得y=-x 2-2x+49,∴y=-(x+1)2+50. ∵a=-1<0,∴当x=-1时y 的最大值为50.即当温度为-1℃时,这栽种物每日高度增加量最大. (3)-6<x<4.归纳：解决二次函数应用题的两步骤1.建模:依据数目关系列二次函数关系建模或许依据图象的形状建模.2.应用:利用二次函数的性质解决问题.（三）典例精讲例题1：（2016·浙江省绍兴市·10分）课本中有一个例题：有一个窗户形状如图1，上部是一个半圆，下部是一个矩形，假如制作窗框的资料总长为6m，怎样设计这个窗户，使透光面积最大？这个例题的答案是：当窗户半圆的半径约为0.35m时，透光面积最大值约为1.05m2．我们假如改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形构成的矩形，如图2，资料总长仍为6m，利用图3，解答以下问题：（1）若AB为1m，求此时窗户的透光面积？（2）与课本中的例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值有没有变大？请经过计算说明．【剖析】（1）依据矩形和正方形的周进步行解答即可；（2）设AB为xcm，利用二次函数的最值解答即可．【解答】解：（1）由已知可得：AD=，则S=1×m2，（2）设AB=xm，则AD=3﹣m，∵，∴，设窗户面积为S，由已知得：，当x=m时，且x=m在的范围内，，∴与课本中的例题比较，此刻窗户透光面积的最大值变大．【评论】此题考察待定系数法确立二次函数分析式、二次函数性质等知识，解题的重点是求出对称轴与直线BC交点H坐标，学会利用鉴别式确立两个函数图象的交点问题，属于中考常考题型．（四）归纳小结1.指引学生整理掌握本章知识点并娴熟掌握。
苏科版九年级 期末复习教案期末复习2二次函数.doc
初中数学一对一教学辅导教案知识归纳一、待定系数法确定二次函数的解析式考点：注：交点式不能作为最终结果。
二、二次函数的图像与性质考点：(1)二次函数y=ax2+bx+c (a/0)图像的画法。
(五个点)(2)比较函数值的大小。
(3)求最值。
例: 1、若二次函数y=ax』bx+c (a<0)的图象经过点(2, 0),且其对称轴为x=-l,则使函数值y>0成立的x的取值范围是( )•A. x< - 4 B K X>2B. -4W X W2C. X W - 4 或X N2D. - 4<x<22、如图，在梯形ABCD中，AB = 4cm, CD=16cm, 60 = 6^3 cm, ZC = 30° ,动点P从点C出发沿CD方向以Icm/s的速度向点D运动，动点Q同时以相同速度从点D出发沿DA方向向终点A运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动.⑴求AD的长：⑵当ZXPDQ的面积为12A/3 cm，时,求运动时间t；(3)当运动时间t为何值时，APDQ的面积S达到最大, 并求出S的最大值.三、二次函数的平移考点：平移法则：上加下减，左加右减例：把抛物线y=-x2-l先向左平移3个单位，再向上平移2个单位所得的抛物线与y轴的交点坐标为四、二次函数y=ax2+bx+c （a, b, c是常数，且a=0）的对称性考点：（1）关于X轴对称（2）关于y轴对称（3）关于原点对称（4）关于顶点对称五、二次函数中a、b、c的意义考点：a：开口方向；b：左同右异；c：与y轴的交点例：1、在同一坐标系内，一次函数y = ax+b与二次函数y = ax'+8x+b的图象可能是2、二次函数y=ax2+bx+c (aNO)的图象如图，给出下列四个结论：%14ac - b=<0；②4a+c<2b；③3b+2c<0；④m (am+b) +b<a (m夭-1), 其中正确结论的是 (只填序号).3、如果函数¥= (a- 1) X J3X+M&的图象经过平面直角坐标系的四个象限，那么a的取值范围是a- 14、对于二次函数y=x2-2mx-3,有下列说法：%1它的图象与x轴有两个公共点；%1如果当xWl时y随x的增大而减小，则m=l；%1如果将它的图象向左平移3个单位后过原点，则m= - 1；%1如果当x=4时的函数值与x=2008时的函数值相等，则当x=2012时的函数值为-3.其中正确的个数是()A. 1B. 2C. 3D. 4六、二次函数与一元二次方程的关系考点：二次函数与X轴的交点个数与一元二次方程的根的关系1、抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标x” X2是一元二次方程ax2 +bx+c=O (aNO)的根。
九年级数学上册《二次函数》复习教学设计
《二次函数复习》教学设计文案教学过程一、导入新课函数知识是初中数学的重要内容这一，函数的思想方法更是贯穿于初、高中数学课的始终，尤其是二次函数可以说是连接初、高中数学的桥梁，这一节课我们就来复习一下二次函数，为以后的高中学习打好基础。
二、出示教学目标三、知识回顾1.知识回顾一：利用多媒体辅助让学生回忆二次函数的定义、二次函数的三种表达形式，并明白三者是可以互化的。
2.知识回顾二：⑴.抛物线的平移规律 。
⑵如何求抛物线与两坐标轴的交点？⑶若抛物线与X 轴相交于A 、B 两点，则AB= 。
⑷如何求一般式情况下的二次函数的最值？ （通过小组提问的方式，回顾概念。
）四、小题大做部分1.（2009年泸州）在平面直角坐标系中，将二次函数22x y =的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为( )A ．222-=x yB ．222+=x yC ．2)2(2-=x yD ．2)2(2+=x y 2.（2009年百色市）二次函数2(1)2y x =++的最小值是（ ）． A ．2 B ．1 C ．－3 D ．233.（2009威海）二次函数2365y x x =--+的图象的顶点坐标是（ ） A ．(18)-， B ．(18)，C ．(12)-，D ．(14)-，4.（2009年南宁市）已知二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象如图所示，有下列四个结论：④0a b c -+<，其中正确的个数有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个20040b c b ac <>->①②③ 一般式：y=ax 2+bx+c顶点式：y=a(x-h)2+k 交点式：y=a(x-x 1)(x-x 2)5.抛物线)0(2≠++=a c bx ax y ，对称轴为直线x ＝2，且经过点P （3，0），则c b a ++的值为（ ）A 、－1B 、0C 、1D 、36.在同一平面直角坐标系中，一次函数y ax b =+和二次函数2y ax bx =+的图象可能为（ ）7.若二次函数2223m m x mx y -+-=的图象经过原点，则m ＝___ _； 8.抛物线1662--=x x y 与x 轴交点的坐标为_________；9.已知函数2)(22+-+=x m m mx y 的图象关于y 轴对称，则m ＝______； 10.(2009年本溪)如图所示，抛物线2y ax bx c =++（0a ≠）与x 轴的两个交点分别为(10)A -，和(20)B ，，当0y <时，x 的取值范围是 ．（对难度较小的题目进行组内交流、对难度较大的题目进行组间交流。
2023苏教版九年级数学上册《二次函数》教案
2023苏教版九年级数学上册《二次函数》教案一、教学目标1. 理解二次函数的定义和基本性质。
2. 掌握二次函数图像的特点和变化规律。
3. 学会用变量表示二次函数，解决实际问题。
4. 培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
二、教学内容1. 二次函数的定义和基本性质。
2. 二次函数图像的特点。
3. 二次函数图像的变化规律。
4. 用变量表示二次函数。
5. 二次函数在实际问题中的应用。
三、教学安排第一课时1. 导入：通过一组图像和实例引出二次函数的概念。
2. 讲解：介绍二次函数的定义和基本性质。
3. 练：设计一些简单的计算题，让学生掌握二次函数的基本计算方法。
第二课时1. 导入：复上节课内容，帮助学生巩固二次函数的基本概念和性质。
2. 讲解：详细介绍二次函数图像的特点和变化规律。
3. 练：设计一些图像分析和题目求解的综合练题。
第三课时1. 导入：通过一些实际问题引出用变量表示二次函数的概念。
2. 讲解：教授用变量表示二次函数的方法和技巧。
3. 练：设计一些实际问题，让学生用二次函数解决实际问题。
第四课时1. 导入：复上节课内容，帮助学生巩固用变量表示二次函数的方法和技巧。
2. 讲解：介绍二次函数在实际问题中的应用。
3. 练：设计一些实际问题的综合应用题，让学生通过解决实际问题来深化对二次函数的理解。
四、教学方法1. 讲授与练相结合的方法，既注重理论的传授又注重实际问题的解决能力培养。
2. 图像分析与计算题相结合，加深学生对二次函数特点的理解。
3. 鼓励学生积极参与讨论，培养合作研究能力和独立思考能力。
五、教学评价1. 课堂练：通过课堂练检查学生对所学内容的掌握情况。
2. 作业和小测验：布置相关作业和小测验，评价学生对知识的理解和应用能力。
3. 课堂表现：观察学生在课堂上的表现，包括思维活跃度、合作参与度等。
以上为2023苏教版九年级数学上册《二次函数》教案的内容概要，具体的教案内容和教学资源可根据需要进一步完善和调整。
九年级数学《二次函数图象和性质复习》教案苏科版
《二次函数图象和性质复习》教案教材的地位和作用：二次函数是在学生学过数、式、方程和函数的基本知识，一次函数的基础上展开的。
二次函数与一元二次方程、不等式等知识的联系，使学生能更好地将所学知识融会贯通，二次函数的图象和性质体现了数形结合的数学思想，对学生基本数学思想和素养的形成起推动作用。
它是前面所学知识的应用和提高，又是高中进一步学习数学的基础，另外教学中所渗透的数形结合，从特殊到一般的思想方法对学生今后观察问题，研究问题和解决问题是十分有益的。
学情分析：在上本节课前，学生已经通过列表，描点，连线得到具体的二次函数的图象，也分析了已知函数图象的有关性质（如：开口方向，对称轴，顶点坐标，增减性，最值，与坐标轴的交点等）。
但对二次函数的一般形式c bx ax y ++=2中系数a ，b ，c ，的符号与图象关系并没有形成共识。
而二次函数系数与图象的联系在近几年的中考中屡见不鲜。
它能考察学生对函数图象意义的理解程度，也能进一步渗透的数形结合，从特殊到一般的思想方法。
教学目标：（一） 掌握的知识与技能：1、.通过复习，进一步掌握二次函数的有关性质。
2、能用二次函数解决简单的实际问题 （二）经历的教学思考：1、通过对函数知识的学习，能学会用数学的思想、方法去观察、研究和解决日常生活中所遇到问题等。
2、进一步渗透数形结合，从特殊到一般的思想方法。
教学重难点：：函数知识的综合运用教学方法：自主探究，合作交流 教学过程：一、知识点整理：1．小组交流：把二次函数知识点的整理结果在小组内交流，叙述自己的整理思路，从同学的叙述中了解自己的不足。
2．推荐两名学生在班内交流。
3．展示教师的整理思路。
<1>、二次函数的概念：形如)0(2≠++=a c bx ax y 的函数.<2>、抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 的顶点坐标是 （ab ac a b 44,22--）；对称轴是直线abx 2-=. <3>、当a ＞0时抛物线的开口向上；当a ＜0时抛物线的开口向下.a 越大，抛物线的开口越小；a 越小，抛物线的开口越大.a 相同的抛物线，通过平移（或旋转、轴对称）一定能够重合. <4>、a 、b 同号时抛物线的对称轴在y 轴的左侧；a 、b 异号时抛物线的对称轴在y 轴的右侧.抛物线与y 轴的交点坐标是（0，C ）. <5>、二次函数解析式的三种形式： （1）一般式：)0(2≠++=a c bx ax y （2）顶点式：k h x a y +-=2)(（3）交点式：))((21x x x x a y --=，抛物线与x 轴的交点坐标是（0,1x ）和（0,2x ）. <6>、抛物线的平移规律：从2ax y =到k h x a y +-=2)(，抓住顶点从（0，0）到（h ，k ）.<7>、（1）当ac b 42-＞0时，一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 有两个实数根21,x x ，抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 与x 轴的交点坐标是A （0,1x ）和B （0,2x ）。
【中考复习】中考数学二次函数的应用复习教案1苏科版
二次函数的应用课题二次函数的应用复习(1）上课时间课时第课时教学目标知识与能力能用二次函数的最值解决有关面积问题过程与方法使学生经历将实际问题数学化的过程．渗透函数、数形结合、建模、转化等数学思想方法；体验合作与交流的学习方法．情感态度与价值观在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用,会利用二次函数的性质求实际问题中的实际问题教学重点能用二次函数的最值解决有关面积问题教学难点如何将实际情形中的”问题”转化为数学问题.教学方法合作讨论法、自主练习法教具多媒体教学内容及教学过程一、解函数应用题的步骤：❖设未知数（确定自变量和函数);❖找等量关系,列出函数关系式；❖化简，整理成标准形式（一次函数、二次函数等)；❖求自变量取值范围;❖利用函数知识，求解（通常是最值问题）；❖写出结论。
二、互动探究转化建模1,（1) 请用长20米的篱笆设计一个矩形的菜园.(2)怎样设计才能使矩形菜园的面积最大？练一练某工厂为了存放材料，需要围一个周长160米的矩形场地,问矩形的长=__________米,宽=__________米,才能使存放场地的面积最大，最大面积=_________平方米2.如图,用长20米的篱笆围成一个一面靠墙的长方形的菜园,设菜园的宽为x米，面积为y平方米.(1）求y与x的函数关系式及自变量的取值范围；(2）怎样围才能使菜园的面积最大？最大面积是多少？例1.如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆,围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米,面积为S平方米。
(1）求S与x的函数关系式及自变量的取值范围；(2）当x取何值时所围成的花圃面积最大,最大值是多少？（3）若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积。
学以致用1。
（05年台州）如图，用长为18cm的篱笆（虚线部分），两面靠墙围成矩形的苗圃。
(1）设矩形的一边为x(m)，面积为y(m2），求y与x的函数关系，并写出x的取值范围；（2).当x为何值时,所围苗圃面积最大，最大面积是多少m2？2.（安徽）用总长为32m的篱笆墙围成一个扇形的花园．⑴若扇形的半径设为x(m）,试用x表示弧长你能写出扇形花园的面积y(㎡）与半径x (m）之间的函数关系式和自变量x的取值范围吗？（2）当扇形花园半径为多少时，花园面积最大？最大面积是多少？（3）如果同样用32m的篱笆围成一个面积最大的矩形花园,这个花园的面积是多少？对比上面的结论，你有什么发现？例2。
九年级数学《二次函数》总复习教案
九年级《二次函数》总复习 一、教学目标1．能用表格、关系式、图象表示变量之间的二次函数关系，并能根据具体问题，选取适当的方法表示变量之间的二次函数关系；2．能作二次函数的图象，并能根据图象对二次函数的性质进行分析，能根据二次函数的表达式，确定二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标。
二、教学重点和难点重点：根据图象对二次函数的性质进行分析 难点：根据图象对二次函数的性质进行分析 三、教学过程知识梳理:1、二次函数的定义2、二次函数的图像及性质 3、求解析式的三种方法4、a ，b ，c 及相关符号的确定 5、抛物线的平移 （一）、二次函数的定义定义： y=ax ² ＋ bx ＋ c （ a 、 b 、 c 是常数， a ≠ 0 ） 定义要点：①a ≠ 0②最高次数为2 ③代数式一定是整式 练习：1、y=-x ²，y=2x ²-2ab2/x ，y=100-5 x ²， y=3 x ²-2x ³+5,其中是二次函数的有____个。
2.当m_______时,函数y=(m+1)χm2-m- 2χ+1是二次函数？(二)、二次函数的图像及性质例1：已知二次函数:y=23x 212-+x（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M 的坐标。
（2）设抛物线与y 轴交于C 点，与x 轴交于A 、B 两点，求C ，A ，B 的坐标。
（3）x 为何值时，y 有最小值，这个最小值是多少？（4）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0（分小组讨论交流，分小组展示。
教师讲解第（4）问，提示同学们要画草图由图象可知：当-3 < x < 1时，y < 0当x< -3或x>1时，y > 0（三）、求抛物线解析式的三种方法1、一般式：已知抛物线上的三点，通常设解析式为________________ 2,顶点式：已知抛物线顶点坐标（h, k），通常设抛物线解析式为_______________求出表达式后化为一般形式.3,交点式:已知抛物线与x 轴的两个交点(x1,0)、 (x2,0),通常设解析式为_____________求出表达式后化为一般形式.（组织学生分组交流讨论，展示师生共评.）练习：根据下列条件，求二次函数的解析式。
中考数学 二次函数的应用复习教案2 苏科版
x(元)
15
20
பைடு நூலகம்30
…
y(件)
25
20
10
…
若日销售量y是销售价x的一次函数。
（1）求出日销售量y（件）与销售价x（元）的函数关系式；
（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？
二次函数的应用
课题
二次函数的应用复习(2)
上课时间
课时
第课时
教学
目标
知识与能力
二次函数的有关知识在经济生活中的应用
过程与方法
使学生经历将实际问题数学化的过程．体验合作与交流的学习方法
情感态度与价值观
在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质求实际问题中的实际问题
教学重点
在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质求实际问题中的最大或最小值
2如果放养x天将活蟹一次性出售，并记1000千克蟹的销售总额为Q元，写出Q关于x的函数关系式。
⑶该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润，（利润=销售总额-收购成本-费用）？最大利润是多少？
旅行社何时营业额最大
例5.某旅行社组团去外地旅游,30人起组团,每人单价800元.旅行社对超过30人的团给予优惠,即旅行团每增加一人,每人的单价就降低10元.你能帮助分析一下,当旅行团的人数是多少时,旅行社可以获得最大营业额？
练习.某商场以每件42元的价钱购进一种服装，根据试销得知这种服装每天的销售量t（件）与每件的销售价x（元/件）可看成是一次函数关系：t＝－3x＋204。
九年级数学上册《二次函数》教案、教学设计
2.培养学生运用二次函数解决实际问题的能力，如最优化问题、几何图形问题等，并通过实际问题进一步理解二次函数的性质。
讨论过程中，我会巡回指导，关注学生的讨论进展，适时给予提示和引导，确保每个学生都能积极参与讨论。
（四）课堂练习
课堂练习环节，我会设计以下几类题目：
1.基础题目：主要考察学生对二次函数定义、图像、性质的掌握，以及基本的求解方法。
2.提高题目：涉及二次函数在实际问题中的应用，如最值问题、几何图形问题等，提高学生的应用能力。
5.写作任务：要求学生撰写一篇关于二次函数在实际问题中应用的小论文，字数在500字左右。论文可以围绕二次函数在生活中的应用、二次函数与其他数学知识的联系等方面展开，旨在培养学生的数学表达能力和逻辑思维。
1.完成教材课后练习题：第1题、第3题、第5题，巩固二次函数的基础知识。
2.解决实际问题：根据课堂所学，选择一个实际问题，建立二次函数模型并求解，将解题过程和结果写在作业本上。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.重点：二次函数的定义、图像特征、性质以及在实际问题中的应用。
2.难点：
（1）理解并掌握二次函数的图像与性质之间的关系，如开口方向、顶点、对称轴等。
（2）灵活运用二次函数求解最值问题，特别是顶点公式的运用。
（3）将二次函数的知识应用于解决实际问题，提高学生的数学建模能力。
3.学生在讨论、练习过程中遇到的困难和问题，以及如何克服这些困难。
五、作业布置
为了巩固学生对二次函数知识的掌握，提高他们的应用能力，我将在课后布置以下几类作业：
九年级数学二次函数教案(优秀9篇)
九年级数学二次函数教案(优秀9篇)二次函数教学教案参考篇一教学目标(一)教学知识点1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系。
2.理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根。
3.理解一元二次方程的根就是二次函数与y=h(h是实数)交点的横坐标。
(二)能力训练要求1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，培养学生的探索能力和创新精神。
2.通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步培养学生的数形结合思想。
3.通过学生共同观察和讨论，培养大家的合作交流意识。
(三)情感与价值观要求1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性。
2.具有初步的创新精神和实践能力。
教学重点1.体会方程与函数之间的联系。
2.理解何时方程有两个不等的实根，两个相等的实数和没有实根。
3.理解一元二次方程的根就是二次函数与y=h(h是实数)交点的横坐标。
教学难点1.探索方程与函数之间的联系的过程。
2.理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系。
教学方法讨论探索法。
教具准备投影片二张第一张：(记作§2.8.1A)第二张：(记作§2.8.1B)教学过程Ⅰ.创设问题情境，引入新课[师]我们学习了一元一次方程kx+b=0(k≠0)和一次函数y=kx+b(k≠0)后，讨论了它们之间的关系。
当一次函数中的函数值y=0时，一次函数y=kx+b就转化成了一元一次方程kx+b=0，且一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与x轴交点的横坐标即为一元一次方程kx+b=0的解。
现在我们学习了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)和二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，它们之间是否也存在一定的关系呢？本节课我们将探索有关问题。
中考数学 二次函数复习教案1 苏科版-苏科版初中九年级全册数学教案
二次函数2、抛物线y=(x －2)2+3的对称轴是( )A 、直线x=－3B 、直线x=3C 、直线x=－2D 、直线x=2 3.抛物线y=5(x-7)2-2的顶点坐标是( )A.(-7,-2)B.(7,2)C.(-7,2)D.(7,-2) 4、抛物线y=x 2－4x －4的顶点坐标为；5.若抛物线y=ax 2+bx+c 经过(-3,5),(7,5),则此抛物线的对称轴是.6.抛物线 的顶点坐标是( ).(A)(-1,-3) (B)(1,3) (C)(-1,8) (D)(1,-8) 7.对于函数y=-x 2,下列结论中不正确的是( ) A.图象开口方向向下;B.整个函数图象在x 轴下方; C.当x=0时,函数有最大值y=0;D.图象关于y 轴对称. 请你找出下列抛物线的有关结论:1、请你写出函数y=(x+1)2与y=x 2+1具有的一个共同性质。
2.二次函数y=2x 2-8x+c 的最小值是0,那么c 的值等于 . 3.抛物线y=ax 2+bx+c 的图象如图,当x 时,y 随着x 的增大而减小.4、如图，抛物线顶点坐标是P （1，3），则函数y 随自变量x 的增大而减小的x 的取值X 围是（） A 、x ＞3 B 、x ＜3 C 、x ＞1 D 、x ＜1()()312-+=x x y ()235y x =-++()()314y x x =-+-223y x x=-+5.分别在下列各X围上求函数 y=x2+2x－3的最值(1) x为全体实数(2) 1≤x≤2(3) －2≤x≤26.二次函数y=2(x+1)2+1, -2≤x≤1,那么函数y的值( )A.最小是1,最大是5;B.最小是1,无最大值;C.最小是3,最大是9;D.最小是1,最大是9.三、议一议:1、已知抛物线y=ax2+bx+c与X轴交点的横坐标为－1，则a+c＝；2、若代数式2x m+4y与x2y n-2是同类项，则抛物线y=x2+mx+n的顶点坐标为。
九年级数学教案二次函数复习
九年级数学科教案备课序号：第 7 节主备教师备课组长执行教学上课时间2022年月日教学内容第二十二章二次函数复习课型复习课教学目标知识与技能知道第二十二章二次函数的知识结构图.过程与方法1.通过基本训练，巩固第二十二章所学的基本内容.2.通过典型例题的学习和综合运用，加深理解第二十二章所学的基本内容，发展能力.情感态度价值观从学习过程中体会学习数学知识的价值，从而提高学习数学知识的兴趣德育渗透从学习过程中体会学习数学知识的价值，从而提高学习数学知识的兴趣教法与学法类比法、引导发现法、分组讨论法、练习法教学重点知识结构图和基本训练教学难点典型例题和综合运用教学准备多媒体、课件教学过程个性思考一、归纳总结，完善认知1.总结本章的知识网.2.你认为本章的重点知识点和概念分别是什么?3．本章框图二．基本训练，掌握双基1.填空（以下内容是本章的基础知识，是需要你理解和记住的，看有两个不等的实数根；有两个相等的实数根；个交点(3)把抛物线y=0.3x2向 平移 个单位，再向 平移 个单位，可以得到抛物线y=0.3(x-1)2+4，抛物线y=0.3(x-1)2+4开口向 ，对称轴是直线x= ，顶点坐标是( ， ). (4)抛物线y=-4x2开口向 ，对称轴是直线x= ，顶点坐标是( ， )，二次函数y=-4x2，当x= 时，y 有最 值 .(5)抛物线y=x2+2x 开口向 ，对称轴是直线x= ，顶点坐标是( ， )，二次函数y=x2+2x ，当x= 时，y 有最 值 . (6)抛物线y=-4+x-14x2开口向 ，对称轴是直线x= ，顶点坐标( ， ),二次函数y=-4+x-14x2，当x= 时,y 有最 值 .(7)抛物线y=-x2+6x+7与x 轴的交点坐标是( ， )，( ， ).(8)抛物线y=ax2+3x-1与x 轴只有一个交点，则a= . (9)抛物线y=x2+2x+c 与x 轴一个交点的横坐标是1，则另一个交点的横坐标是 ，抛物线的顶点坐标是( ， ). (10)一个圆柱的高等于底面半径，则圆柱的表面积S 与半径r 之间的关系式是S= .(11)一辆汽车的行驶距离s （单位：米）行驶时间t （单位：秒）的函数关系式是s=9t+12t2，经过10秒汽车行驶了 米，行驶20米需要 秒时间.(12)某商场第1年销售计算机5000台，如果每年的销售量比上一年增加相同的百分率x ，则第3年的销售量y 与x 之间的函数关系式是y= .(13) 已知函数x )1m (y +=是二次函数，其图象开口方向向下，则m ＝_____，顶点为_____，当x_____0时，y 随x 的增大而增大，当x_____0时，y 随x 的增大而减小。
【中考复习】中考数学二次函数的应用复习教案2苏科版
二次函数的应用课题二次函数的应用复习(2）上课时间课时第课时教学目标知识与能力二次函数的有关知识在经济生活中的应用过程与方法使学生经历将实际问题数学化的过程．体验合作与交流的学习方法情感态度与价值观在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质求实际问题中的实际问题教学重点在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质求实际问题中的最大或最小值教学难点将实际问题数学化教学方法合作讨论法、自主练习法教具多媒体教学内容及教学过程一、创设情境走进生活1。
(连云港）丁丁推铅球的出手高度为 1，6m所示的直角坐标系中,铅球的运行路线近似为抛物线求k的值②求铅球的落点与丁丁的距离③一个1.5m的小朋友跑到离原点6米的地方（如图),他会受到伤害吗？2。
在某建筑物中从10m高的窗口用水管向外喷水，喷出的水呈抛物线形状，以地面为x轴,墙面为y轴建立平面直角坐标系，如果水柱的最高处M离墙1m,离地面 3/4 m，则水流落地点B离墙多远？20.1() 2.5y x k=--+二、互动探究转化建模例1 某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售,增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施。
经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。
(1）若商场平均每天要盈利1200元,每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降价多少元时,商场平均每天盈利最多？一般步骤运用二次函数的性质求实际问题的最大值和最小值的一般步骤：➢求出函数解析式和自变量的取值范围➢配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值。
➢检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内。
例2 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映:每涨价1元,每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出18件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？元先来看涨价的情况：⑴设每件涨价x元,则每星期售出商品的利润y也随之变化,我们先来确定y与x的函数关系式。
九年级数学二次函数复习教案
一、教学目标：1.知识与能力目标：1.复习二次函数的基本概念、性质及图像；2.复习二次函数的平移、伸缩变换；3.复习解二次函数的相关问题；4.复习利用二次函数解决实际问题。
2.过程与方法目标：1.通过提问、讲解和练习等方式，引导学生复习二次函数的主要知识点；2.引导学生灵活运用所学知识解决实际问题。
3.情感态度价值观目标：1.培养学生对数学的兴趣；2.提高学生的数学思维和解决问题的能力；3.培养学生的合作意识和实际应用能力。
二、教学重点与难点：1.教学重点：1.复习二次函数的基本概念、性质及图像；2.复习二次函数的平移、伸缩变换；3.复习解二次函数的相关问题；4.复习利用二次函数解决实际问题。
2.教学难点：1.通过实际问题解决中运用二次函数；2.灵活运用二次函数的平移、伸缩变换。
三、教学过程设计：1.导入新课进行一个小组讨论，让学生回顾一下二次函数的知识点，并提出自己的问题和疑惑。
然后学生将自己的问题汇报给全班。
2.概念复习与演练1.复习二次函数的基本概念和性质，例如函数的定义域、值域、最值等。
2.复习二次函数的图像和特征，例如开口方向、对称轴、顶点坐标等。
3.利用教材上的例题和习题进行讲解和练习。
3.平移、伸缩变换的复习与演练1.复习并讲解二次函数平移和伸缩的概念和方法。
2.复习并讲解平移后的二次函数的图像和特征。
3.利用教材上的例题和习题进行讲解和练习。
4.解二次函数的复习与演练1.复习二次函数的解的方法，例如配方法、求解方程组等。
2.复习并讲解二次函数解相关问题的方法，例如求最值、求交点等。
3.利用教材上的例题和习题进行讲解和练习。
5.实际问题的解决1.提供一些与实际生活相关的问题，让学生结合所学知识解决问题。
2.分组讨论和汇报，互相学习和交流。
6.小结与反馈对本节课的重点和难点进行小结，并进行学生的反馈和问答环节。
四、教学资源准备：1.教材和课件；2.相关练习题和习题；3.与实际生活相关的问题。
数学九年级上《二次函数》复习教学案
二次函数复习课【知识结构框架】两变量间的关系二次函数的概念二次函数的解析式二次函数的图象二次函数的性质描点画图平移变换图象特征图象形状函数的最值函数的增减性二次函数的应用【复习目标】目标类别知识点及目标层次相关技能知识性目标过程性目标了解理解掌握灵运活用经感历受体体验会探索二次函数的概念二次函数概念的形成过程√√二次函数的概念√√√二次函数的解析式√√√待定系数法√√√二次函数的定义域和函数值√√√二次函数图象描点法画二次函数图象√√√二次函数图象的特点√√√√二次函数图象的变换√√√√二次函数图象的性质√√√√二次函数性质二次函数的最大值、最小值√√√二次函数的增减性√√√√二次函数的对称性√√√二次函数应用 建立二次函数模型 √ √ √ √ 二次函数性质的应用 √ √ √ 二次函数与二次方程的关系 √√√√【基础知识】1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数2ax y =的性质（1）抛物线2ax y =的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴. （2）函数2ax y =的图像与a 的符号关系.①当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；②当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点.（3）顶点是坐标原点，对称轴是y 轴的抛物线的解析式形式为2ax y =）（0≠a . 3.二次函数 cbx ax y ++=2的图像是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线. 4.二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()kh x a y +-=2的形式，其中ab ac k a b h 4422-=-=，.5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2ax y =；②k ax y +=2；③()2h x a y -=；④()kh x a y +-=2；⑤c bx ax y ++=2. 6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.①a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.②平行于y 轴（或重合）的直线记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x .7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. 8.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫⎝⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线abx 2-=. （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()kh x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =.（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点. 用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. 9.抛物线cbx ax y ++=2中，c b a ,,的作用 （1）a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样.（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线cbx ax y ++=2的对称轴是直线 a b x 2-=，故：①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>ab（即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③0<a b（即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧.（3）c 的大小决定抛物线cbx ax y ++=2与y 轴交点的位置. 当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点（0，c ）： ①0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴；③0<c ,与y 轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则0<ab. 10.几种特殊的二次函数的图像特征如下： 函数解析式开口方向 对称轴 顶点坐标2ax y =当0>a 时0=x （y 轴） （0,0） k ax y +=20=x （y 轴）(0, k ) ()2hx a y -= h x =(h ,0)()kh x a y +-=2开口向上 当0<a 时 开口向下h x = (h ,k )cbx ax y ++=2abx 2-= (ab ac a b 4422--，)11.用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. （2）顶点式：()kh x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. （3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=. 12.直线与抛物线的交点（1）y 轴与抛物线cbx ax y ++=2得交点为(0, c ). （2）与y 轴平行的直线h x =与抛物线cbx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah ++2). （3）抛物线与x 轴的交点二次函数cbx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交； ②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离. （4）平行于x 轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.（5）一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程组cbx ax y nkx y ++=+=2的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点; ②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点；③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.（6）抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线cbx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故 acx x a b x x =⋅-=+2121,()()aa acb ac a b x x x x x x x x AB ∆=-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=-=-=444222122122121【典型例题】1.已知直线()02≠+-=b b x y 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ；一抛物线的解析式为()cx b x y ++-=102. （1）若该抛物线过点B ，且它的顶点P 在直线b x y +-=2上，试确定这条抛物线的解析式；（2）过点B 作直线BC ⊥AB 交x 轴交于点C ，若抛物线的对称轴恰好过C 点，试确定直线bx y +-=2的解析式. 解析：（1）102-=x y 或642--=x x y 将0)b （，代入，得c b =.顶点坐标为21016100(,)24b b b +++-，由题意得21016100224b b b b +++-⨯+=-，解得1210,6b b =-=-. （2）22--=x y 2.有一个运算装置，当输入值为x 时，其输出值为y ，且y 是x 的二次函数，已知输入值为2-,0,1时, 相应的输出值分别为5,3-,4-．（1）求此二次函数的解析式；（2）在所给的坐标系中画出这个二次函数的图象,并根据图象写出当输出值y 为正数时输入值x 的取值范围.解析：（1）设所求二次函数的解析式为c bx ax y ++=2,第9题则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=++-=+⋅+⋅=+-+-43005)2()2(22c b a c b a c b a ,即⎪⎩⎪⎨⎧-=+=--=1423b a b a c ,解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-==321c b a 故所求的解析式为:322--=x x y . （2)函数图象如图所示.由图象可得，当输出值y 为正数时， 输入值x 的取值范围是1-<x 或3>x ． 3.某生物兴趣小组在四天的实验研究中发现：骆驼的体温会随外部环境温度的变化而变化，而且在这四天中每昼夜的体温变化情况相同．他们将一头骆驼前两昼夜的体温变化情况绘制成下图．请根据图象回答： ⑴第一天中，在什么时间范围内这头骆驼的体温是上升的?它的体温从最低上升到最高需要多少时间?⑵第三天12时这头骆驼的体温是多少? ⑶兴趣小组又在研究中发现，图中10时到 22时的曲线是抛物线，求该抛物线的解 析式．解析：⑴第一天中，从4时到16时这头骆驼的体温是上升的.它的体温从最低上升到最高需要12小时⑵第三天12时这头骆驼的体温是39℃⑶()22102421612≤≤++-=x x x y 4.已知抛物线4)334(2+++=x a ax y 与x 轴交于A 、 B 两点，与y 轴交于点C ．是否存在实数a ，使得 △ABC 为直角三角形．若存在，请求出a 的值；若不 存在，请说明理由．解析：依题意，得点C 的坐标为（0，4）．设点A 、B 的坐标分别为（1x ，0），（2x ，0），yO x由04)334(2=+++x a ax ，解得 31-=x ，ax 342-=． ∴ 点A 、B 的坐标分别为（-3，0），（a34-，0）． ∴ |334|+-=aAB ，522=+=OC AO AC， =+=22OC BO BC 224|34|+-a．∴ 9891693432916|334|2222+-=+⨯⨯-=+-=aa a a a AB ， 252=AC ，1691622+=aBC ． 〈ⅰ〉当222BC AC AB +=时，∠ACB ＝90°． 由222BCAC AB +=， 得)16916(259891622++=+-aa a ． 解得 41-=a ．∴ 当41-=a 时，点B 的坐标为（316，0），96252=AB ，252=AC ，94002=BC ． 于是222BC AC AB +=．∴ 当41-=a 时，△ABC 为直角三角形． 〈ⅱ〉当222BC AB AC +=时，∠ABC ＝90°．由222BCAB AC +=，得)16916()98916(2522+++-=aa a ． 解得 94=a ． 当94=a 时，3943434-=⨯=-a ，点B （-3，0）与点A 重合，不合题意． 〈ⅲ〉当222AB AC BC +=时，∠BAC ＝90°．由222AB AC BC +=，得)98916(251691622+-+=+a aa ． 解得 94=a ．不合题意． 综合〈ⅰ〉、〈ⅱ〉、〈ⅲ〉，当41-=a 时，△ABC 为直角三角形．5.已知抛物线y ＝－x 2＋mx －m ＋2.（1）若抛物线与x 轴的两个交点A 、B 分别在原点的两侧，并且AB ＝5，试求m 的值； （2）设C 为抛物线与y 轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点M 、N ，并且 △MNC 的面积等于27，试求m 的值.解析: (1)Ａ（x 1，0）,B(x 2，0) . 则x 1 ，x 2是方程 x 2－mx ＋m －2＝0的两根. ∵x 1 ＋ x 2 ＝m , x 1·x 2 =m －2 ＜0 即m ＜2 ;又AB ＝∣x 1 — x 2∣＝121245xx x x -=2（+） , ∴m 2－4m ＋3=0 .解得：m=1或m=3(舍去) , ∴m 的值为1 . （2）M(a ，b)，则N(－a ，－b) . ∵M 、N 是抛物线上的两点,∴222,2.a m a m b a m a m b ⎧-+-+=⎪⎨---+=-⎪⎩①②①＋②得：－2a 2－2m ＋4＝0 . ∴a 2＝－m ＋2 . ∴当m ＜2时，才存在满足条件中的两点M 、N.∴2a m =±- .这时M 、N 到y 轴的距离均为2m -, 又点C 坐标为（0，2－m ）,而S △M N C = 27 , ∴2××（2－m ）×2m -=27 . ∴解得m=－7 .6.已知：抛物线t ax ax y ＋＋＝42与x 轴的一个交点为A （－1，0）． （1）求抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标；（2）D 是抛物线与y 轴的交点，C 是抛物线上的一点，且以AB 为一底的梯形ABCD 的面积为9，求此抛物线的解析式；（3）E 是第二象限内到x 轴、y 轴的距离的比为5∶2的点，如果点E 在（2）中的抛物线上，且它与点A 在此抛物线对称轴的同侧，问：在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△APE 的周长最小?若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．NMCxyO解法一：（1）依题意，抛物线的对称轴为x ＝－2． ∵ 抛物线与x 轴的一个交点为A （－1，0），∴ 由抛物线的对称性，可得抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标为（－3，0）．（2）∵ 抛物线t ax ax y ＋＋＝42与x 轴的一个交点为A （－1， 0）， ∴ 0)1(4)1(2＝＋－＋－t a a ．∴ t ＝3a ．∴ aax ax y 342＋＋＝． ∴ D （0，3a ）．∴ 梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且点C 在抛物线a ax ax y 342＋＋＝ 上， ∵ C （－4，3a ）．∴ AB ＝2，CD ＝4． ∵ 梯形ABCD 的面积为9，∴ 9)(21＝OD CD AB ⋅+．∴ 93)42(21＝＋a ． ∴ a ±1．∴ 所求抛物线的解析式为342＋＋＝x x y 或342---ax x y ＝． （3）设点E 坐标为（0x ，0y ）.依题意，00＜x ，00＜y ， 且2500＝x y ．∴ 0025x y ＝－．①设点E 在抛物线342＋＋＝x x y 上， ∴340200＋＋＝x x y ． 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧34,25020000＋＋＝＝－x x y x y 得⎩⎨⎧-；＝，＝15600y x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'-'．＝，＝452100y x ∵ 点E 与点A 在对称轴x ＝－2的同侧，∴ 点E 坐标为（21-，45）． 设在抛物线的对称轴x ＝－2上存在一点P ，使△APE 的周长最小． ∵ AE 长为定值，∴ 要使△APE 的周长最小，只须PA ＋PE 最小． ∴ 点A 关于对称轴x ＝－2的对称点是B （－3，0）， ∴ 由几何知识可知，P 是直线BE 与对称轴x ＝－2的交点．设过点E 、B 的直线的解析式为n mx y ＋＝，∴ ⎪⎩⎪⎨⎧-.03,4521＝＋－＝＋n m n m 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧.23,21＝＝n m ∴ 直线BE 的解析式为2321＋＝x y ．∴ 把x ＝－2代入上式，得21＝y ． ∴ 点P 坐标为（－2，21）． ②设点E 在抛物线342---x x y ＝上，∴ 340200---x x y ＝． 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧---.34,25020000x x y x y ＝＝－ 消去0y ，得03x 23x 020＝＋+． ∴ △＜0 . ∴ 此方程无实数根． 综上，在抛物线的对称轴上存在点P （－2，21），使△APE 的周长最小． 解法二：（1）∵ 抛物线t ax ax y ＋＋＝42与x 轴的一个交点为A （－1，0）， ∴ 0)1(4)1(2＝＋－＋－t a a ．∴ t ＝3a ．∴ aax ax y 342＋＋＝． 令 y ＝0，即0342＝＋＋a ax ax ．解得 11＝－x ，32＝－x ．∴ 抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标为（－3，0）．（2）由a ax ax y 342＋＋＝，得D （0，3a ）． ∵ 梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且点C 在抛物线aax ax y 342＋＋＝上， ∴ C （－4，3a ）．∴ AB ＝2，CD ＝4． ∵ 梯形ABCD 的面积为9，∴ 9)(21＝＋OD CD AB ⋅．解得OD ＝3． ∴ 33＝a ．∴ a ±1．∴ 所求抛物线的解析式为342＋＋＝x x y 或342－－＝－x x y ．（3）同解法一得，P 是直线BE 与对称轴x ＝－2的交点．∴ 如图，过点E 作EQ ⊥x 轴于点Q ．设对称轴与x 轴的交点为F ．由PF ∥EQ ，可得EQPFBQ BF ＝．∴ 45251PF ＝．∴ 21＝PF ． ∴ 点P 坐标为（－2，21）．以下同解法一．7.已知二次函数的图象如图所示．（1）求二次函数的解析式及抛物线顶点M 的坐标．（2）若点N 为线段BM 上的一点，过点N 作x 轴的垂线，垂足为点Q ．当点N 在线段BM 上运动时（点N 不与点B ，点M 重合），设NQ 的长为l ，四边形NQAC 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式及自变量t 的取值范围；（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P ，使△PAC 为直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（4）将△OAC 补成矩形，使△OAC 的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，试直接写出矩形的未知的顶点坐标（不需要计算过程）．解析：（1）设抛物线的解析式)2)(1(-+=x x a y ， ∴ )2(12-⨯⨯=-a ．∴ 1=a ．∴ 22--=x x y ． 其顶点M 的坐标是⎪⎭⎫ ⎝⎛-4921，． （2）设线段BM 所在的直线的解析式为bkx y +=，点N 的坐标为N （t ，h ）， ∴ ⎪⎩⎪⎨⎧+=-+=.214920b k b k ，．解得23=k ，3-=b ． ∴ 线段BM 所在的直线的解析式为323-=x y ． ∴ 323-=t h ，其中221<<t ．∴ t t s )3322(212121-++⨯⨯=121432+-=t t ．∴ s 与t 间的函数关系式是121432+-=t t S ，自变量t 的取值范围是221<<t ．（3）存在符合条件的点P ，且坐标是1P ⎪⎭⎫⎝⎛4725，，⎪⎭⎫ ⎝⎛-45232，P ． 设点P 的坐标为P )(n m ，，则22--=m m n． 222)1(n m PA ++=，5)2(2222=++=AC n m PC ，． 分以下几种情况讨论：i ）若∠PAC ＝90°，则222ACPA PC +=． ∴ ⎪⎩⎪⎨⎧+++=++--=.5)1()2(222222n m n m m m n ，解得：251=m ，12-=m （舍去）． ∴ 点⎪⎭⎫⎝⎛47251，P ． ii ）若∠PCA ＝90°，则222AC PC PA +=．∴ ⎪⎩⎪⎨⎧+++=++--=.5)2()1(222222n m n m m m n ，解得：02343==m m ，（舍去）．∴ 点⎪⎭⎫ ⎝⎛45232，－P ．iii ）由图象观察得，当点P 在对称轴右侧时，ACPA >，所以边AC 的对角∠APC 不可能是直角．（4）以点O ，点A （或点O ，点C ）为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这边OA （或边OC ）的对边上，如图a ，此时未知顶点坐标是点D （－1，－2），以点A ，点C 为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边AC 的对边上，如图b ，此时未知顶点坐标是E ⎪⎭⎫ ⎝⎛-5251，，F ⎪⎭⎫ ⎝⎛-5854，．图a 图b8.已知二次函数22－＝ax y 的图象经过点（1，－1）．求这个二次函数的解析式，并判断该函数图象与x 轴的交点的个数． 解析：根据题意，得a －2＝－1.∴ a ＝1． ∴ 这个二次函数解析式是22-x y ＝．因为这个二次函数图象的开口向上，顶点坐标是（0，－2），所以该函数图象与x 轴有两个交点．9.卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分．在大桥截面1∶11000的比例图上，跨度AB ＝5 cm ，拱高OC ＝0.9 cm ，线段DE 表示大桥拱内桥长，DE ∥AB ，如图（1）．在比例图上，以直线AB 为x 轴，抛物线的对称轴为y 轴，以1 cm 作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图（2）．（1）求出图（2）上以这一部分抛物线为图象的函数解析式，写出函数定义域；（2）如果DE 与AB 的距离OM ＝0.45 cm ，求卢浦大桥拱内实际桥长（备用数据：4.12≈，计算结果精确到1米）．解析：（1）由于顶点C 在y 轴上，所以设以这部分抛物线为图象的函数解析式为 1092＋＝ax y ． 因为点A （25-，0）（或B （25，0））在抛物线上， 所以109)25(02＋＝-⋅a ，得12518＝－a ． 因此所求函数解析式为)2525(109125182≤≤-x x y ＋＝－． （2）因为点D 、E 的纵坐标为209， 所以109125182092＋－x =，得245±＝x ．所以点D 的坐标为（245－，209），点E 的坐标为（245，209）．所以225)245(245＝－＝-DE． 因此卢浦大桥拱内实际桥长为385227501.011000225≈⨯⨯＝（米）．10.已知在平面直角坐标系内，O 为坐标原点，A 、B 是x 轴正半轴上的两点，点A 在点B 的左侧，如图．二次函数cbx ax y ＋＋＝2（a ≠0）的图象经过点A 、B ，与y 轴相交于点C ．（1）a 、c 的符号之间有何关系?（2）如果线段OC 的长度是线段OA 、OB 长度的比例中项，试证a 、c 互为倒数；（3）在（2）的条件下，如果b ＝－4，34＝AB，求a 、c 的值． 解析:（1）a 、c 同号． 或当a ＞0时，c ＞0；当a ＜0时，c ＜0．（2）证明：设点A 的坐标为（1x ，0），点B 的坐标为（2x ，0），则210x x ＜＜．∴ 1x OA =，2x OB =，c OC=． 据题意，1x 、2x 是方程)0(02≠=a c bx ax ＋＋的两个根． ∴ acx x =⋅21． 由题意，得2OCOB OA ＝⋅，即22c c ac＝＝． 所以当线段OC 长是线段OA 、OB 长的比例中项时，a 、c 互为倒数． （3）当4-=b 时，由（2）知，0421＞＝＝－＋aa b x x ，∴ a ＞0． 解法一：AB ＝OB －OA ＝21221124)(x x x x x x -＋＝－， ∴ aa ac a c a AB32416)(4)4(22=-==－． ∵ 34=AB， ∴ 3432＝a．得21=a ．∴ c ＝2.解法二：由求根公式，aa a ac x322416424164±-±-±＝＝＝，∴ a x 321-＝，ax 322+＝． ∴ aa a x x OA OB AB 32323212＝－－＝－＝－＝+．∵ 34＝AB ，∴3432＝a ，得21＝a ．∴ c ＝2． 11.如图，直线333+-=x y 分别与x 轴、y 轴交于点A 、B ，⊙E 经过原点O 及A 、B 两点．（1）C 是⊙E 上一点，连结BC 交OA 于点D ，若∠COD＝∠CBO，求点A 、B 、C 的坐标； （2）求经过O 、C 、A 三点的抛物线的解析式：（3）若延长BC 到P ，使DP ＝2，连结AP ，试判断直线PA 与⊙E 的位置关系，并说明理由．解析：（1）连结EC 交x 轴于点N （如图）． ∵ A、B 是直线333+-=x y 分别与x 轴、y 轴的交点．∴ A（3，0），B )3,0(． 又∠COD＝∠CBO． ∴ ∠CBO＝∠ABC．∴ C 是的中点． ∴ EC⊥OA．∴ 232,2321====OB EN OA ON ．连结OE ．∴ 3==OE EC ． ∴ 23=-=EN EC NC ．∴ C 点的坐标为（23,23-）． （2）设经过O 、C 、A 三点的抛物线的解析式为()3-=x ax y ． ∵ C（23,23-）． ∴)323(2323-⋅=-a ．∴ 392=a ．∴ x x y 8329322-=为所求．（3）∵ 33tan =∠BAO ， ∴ ∠BAO＝30°，∠ABO＝50°． 由（1）知∠OBD＝∠ABD．∴ ︒=︒⨯-∠=∠30602121ABO OBD ． ∴ OD＝OB·tan30°－1．∴ DA＝2． ∵ ∠ADC＝∠BDO＝60°，PD ＝AD ＝2． ∴ △ADP 是等边三角形．∴ ∠DAP＝60°．∴ ∠BAP＝∠BAO＋∠DAP＝30°＋60°＝90°．即 PA⊥AB． 即直线PA 是⊙ E 的切线． 【历年考点例析】考点1、确定a 、b 、c 的值．二次函数：y=ax 2+bx+c （a,b,c 是常数，且a ≠0） a ＞0开口向上，a ＜0开口向下．抛物线的对称轴为x=2b a -，由图像确定2b a-的正负，由a 的符号确定出b 的符号．由x=0时,y=c ，知c 的符号取决于图像与y 轴的交点纵坐标，与y轴交点在y 轴的正半轴时，c ＞0，与y 轴交点在y 轴的负半轴时，c ＜0．确定了a 、b 、c 的符号，易确定abc 的符号．考点 2、确定a+b+c 的符号．x=1时，y=a+b+c ，由图像y 的值确定a+b+c 的符号．与之类似的还经常出现判断4a+2b+c 的符号（易知x=2时，y=4a+2b+c ），由图像y 的值确定4a+2b+c 的符号．还有判断a －b+c 的符号（x=－1时，y=a －b+c ）等等．考点3、与抛物线的对称轴有关的一些值的符号．抛物线的对称轴为x=2ba -，根据对称性知：取到对称轴距离相等的两个不同的x 值时，y 值相等，即当x=2b a -+m 或x=2ba-－m 时，y 值相等．中考考查时，通常知道x=2b a -+m 时y 值的符号，让确定出x=2ba-－m 时y 值的符号．考点4、由对称轴x=2b a -的确定值判断a 与b 的关系．如：2b a-=1能判断出a =－0.5 b ．考点5、顶点与最值．若x 可以取全体实数，开口向下时，y 在顶点处取得最大值，开口向上时，y 在顶点处取得最小值．例1、已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示，有下列5个结论：① 0>abc ；② c a b +<；③ 024>++c b a ；④ b c 32<；⑤ )(b am m b a +>+，（1≠m 的实数）其中正确的结论有（ ）．A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个解析：此题考查了考点1、2、3、4、5． ①错误．因为：开口向下a ＜0;对称轴x=2ba-=1，可以得出b ＞0; x=0时,y=c ＞0，故abc ＜0．②错误．因为：由图知x=－1时，y=a －b+c ＜0，即b ＞a+c ．③正确．因为：由对称轴x=1知,x=0时和x=2时y 值相等，由x=0时，y ＞0，知x=2时，y=4a+2b+c ＞0．④正确．因为：由对称轴x=2ba-=1，可以得出a =－0.5 b ，代入前面已经证出b ＞a+c ，得出1.5b ＞c,即3b ＞2c ．⑤正确．因为：抛物线开口向下，故顶点处y 值最大，即x =1，y= a+b+c 最大，此时a+b+c ＞am 2+bm+c （1≠m ），即)(b am m b a +>+，（1≠m ）．答案：B ．考点6、图象与x 轴交点．∵b 2-4ac ＞0，ax 2+bx+c=0有两个不相等的实根；b 2-4ac ＜0，ax 2+bx+c=0无实根；b 2-4ac=0，ax 2+bx+c=0有两个相等的实根．∴b 2-4ac ＞0，抛物线与x轴有两个交点；b 2-4ac ＜0，抛物线与x 轴没有交点；b 2-4ac=0，抛物线与x 轴只有一个交点． 例2、二次函数221y x x =-+与x 轴的交点个数是（ ）． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析：求图象与x 轴的交点应令y=0，即x 2－2x+1=0,∵b 2-4ac ＝4－4=0,∴二次函数图象与x 轴只有一个交点．答案：B ．考点7、判断在同一坐标系中两种不同的图形的正误．如：在同一种坐标系中正确画出一次函数y ax b =+和二次函数)0(2≠++=a c bx ax y ，关键是两个式子中的a 、b 值应相同．例3、在同一坐标系中一次函数y ax b =+和二次函数2y ax bx =+的图象可能为（ ）．解析：二次函数2y ax bx =+过点（0，0），故排除答案B 与C ．若a ＞0，抛物线开口向上，一次函数y ax b =+的y 值随着x 值的增大而增大；若a ＜0，抛物线开口向下，一次函数y ax b =+的y 值随着x 值的增大而减小．答案：A.考点8、能分别判断出在对称轴的左右两侧二次函数y 值随x 值的变化而变化情况．抛物线当开口向上时，在对称轴的左侧二次函数y 值随x 值的增大而减小，在对称轴的右侧二次函数y 值随x 值的增大而增大．抛物线开口向下时，在对称轴的左侧二次函数y 值随x 值的增大而增大，在对称轴的右侧二次函数y 值随x 值的增大而减小．例4、已知二次函数2y ax bx c =++(a ≠0)的图象经过点(-1，2)，(1，0) . 下列结论正确的是( )．A. 当x >0时，函数值y 随x 的增大而增大B. 当x >0时，函数值y 随x 的增大而减小C. 存在一个负数x 0，使得当x <x 0时，函数值y 随x 的增大而减小；当x > x 0时，函数值y 随x 的增大而增大D. 存在一个正数x 0，使得当x <x 0时，函数值y 随x 的增大而减小；当x >x 0时，函数值y 随x 的增大而增大解析：二次函数2y ax bx c =++(a ≠0)的图象没说明开口方向，故过点(-1，2)，(1，0)的抛物线有可能开口向上或向下，见图再结合选项，抛物线当开口向上时，在对称轴x =x 0（x 0>0）的左侧二次函数y 值随x 值的增大而减小，在对称轴的右侧二次函数y 值随x 值的增大而增大．抛物线开口向下时，在对称轴x =x 0（x 0<0）的左侧二次函数y 值随x 值的增大而增大，在对称轴的右侧二次函数y 值随x 值的增大而减小．答案：D ．考点9、二次函数解析式的几种形式． (1)一般式：y ＝ax 2+bx+c (a,b,c 为常数，a ≠0).(2)顶点式：y ＝a(x-h)2+k(a,h,k 为常数，a ≠0). 抛物线的顶点坐标是(h,k)，h ＝0时，抛物线y ＝ax 2+k 的顶点在y 轴上；当k ＝0时，抛物线y ＝a(x-h)2的顶点在x 轴上；当h ＝0且k ＝0时，抛物线y ＝ax 2的顶点在原点. (3)两根式：y ＝a(x-x 1)(x-x 2)，其中x 1,x 2是抛物线与x 轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax 2+bx+c ＝0（a ≠0）的两个根. 求解析式时若Oxy O x y Oxy OxyA B C D已知抛物线过三点坐标一般设成一般式，已知抛物线过的顶点坐标时设成顶点式，已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标时设成两根式．例5、在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为(14)A -，，且过点(30)B ，．求该二次函数的解析式为 ．解析：（1）设二次函数解析式为2(1)4y a x =--，二次函数图象过点(30)B ，，044a ∴=-，得1a =． ∴二次函数解析式为2(1)4y x =--，即223y x x =--．。
九年级数学上册《二次函数图象与性质复习》教学设计
九年级数学上册《二次函数图象与性质复习》教学设计教材分析函数是一种重要的数学思想，是实际生活中数学建模的重要工具。
二次函数的教学在初中数学教学中有着重要的地位，在内容上起着承上启下的作用，既与前面学习的整式乘法与因式分解、一元二次方程有着密切联系，又为今后高中阶段函数的学习打下基础，积累经验，提供可以借鉴的方法。
作为中考的必考内容和重点内容之一，二次函数的综合运用是培养学生数学思想的重要素材，是每年必考的压轴题。
本部分包括了初中代数的所有的数学思想和方法，复习时必须高度重视。
课标要求：通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，体会二次函数的意义；能用描点画二函数图象并能根据图象认识二函数性质，确定二次函数图象的顶点坐标、开口方向、对称轴，理解和运用图象分析实际问题中的函数关系；结合对函数关系的分析，尝试对具体问题中的数量关系和变化规律进行探索和预测，并能解决简单实际问题。
利用二函数图象求一元二程的近似解，体会二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的联系。
策略分析：基于本节课的特点是对旧知识的复习与总结，为了更有效地突出重点、突破难点，应着重采用任务驱动进行复习归纳。
所以，本节课采用以题代纲，梳理知识；查漏补缺，讲练结合；归纳总结，提升能力的方法，让学生在“自主梳理---讨论交流---展示归纳---巩固提升---回顾反思”的教学活动中再次回顾和理解二次函数的图像及性质。
教学目标1、理解二次函数的定义、图象，会求二次函数的解析式。
2、掌握二次函数图象平移的规律，理解二次函数的性质。
教学重点结合二次函数的图象，准确理解二次函数的性质。
教学难点二次函数图像及性质的灵活运用。
教学过程一、导入新课二次函数作为历年中考的必考内容之一，既是初中数学数与代数部分的重点，也是难点。
今天这节课我们就一起来复习二次函数的图像与性质。
二、自主梳理自学《面对面》37-38页内容，思考：1、一般的，我们把形如______________的函数叫做二次函数，它的一般式是______________，顶点式是______________，交点式是________________。
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江苏省昆山市兵希中学九年级数学上册 二次函数复习教案 苏科版
一.【教学目标】
⑴体会二次函数的意义，了解二次函数的有关概念；
⑵会运用配方法确定二次函数的图象的顶点、开口方向和对称轴，并能确定其最值； ⑶会运用待定系数法求二次函数的解析式；
⑷利用二次函数的知识解决实际问题，并对解决问题的策略进行反思. 二.【知识梳理】
1. 二次函数的概念及图象特征
二次函数：如果：y ＝ax 2
＋bx ＋c (a ≠0)，那么y 叫做x 的二次函数．
通过配方：y ＝ax 2
＋bx ＋c (a ≠0)可写成2
2424b ac b y a x a a -⎛
⎫=++ ⎪⎝⎭
，它的图象是以直线
2b x a =-为对称轴，以(2b a -
，2
44ac b a
-)为顶点的一条抛物线． ＞0
时， ＜0
的增大 抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)可由抛物线y ＝ax 2
(a ≠0)平移得到. 由于平移时，抛物线
上所有的点的移动规律都相同，所以只需研究其顶点移动的情况. 因此有关抛物线的
平移问题，需要利用二次函数的顶点式y ＝a (x －h )2
＋k (a ≠0)来讨论．
4. 、、及的符号与图象的关系
⑴a →决定抛物线的开口方向；a ＞0. 开口向上；a ＜0，开口向下． ⑵a 、b →决定抛物线的对称轴的位置：
①a 、b 同号，对称轴在y 轴的左侧（2b
x a =-＜0）
②a 、b 异号，对称轴在y 轴的右侧（2b
x a
=-＞0）
⑶c →决定抛物线与y 轴的交点（此时点的横坐标x ＝0）的位置： ①c ＞0，与y 轴的交点在y 轴的正半轴上； ②c ＝0，抛物线经过原点；
③c ＜0，与y 轴的交点在y 轴的负半轴上．
⑷b 2
－4ac →决定抛物线与x 轴交点的个数：
①当b 2
－4ac ＞0时，抛物线与x 轴有两个交点；
②当b 2
－4ac ＝0时，抛物线与x 轴有一个交点；
③当b 2
－4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点． 5. 二次函数解析式的确定
用待定系数法可求出二次函数的解析式，确定二次函数一般需要三个独立的条件，根
据不同的条件选择不同的设法：⑴设一般形式：y ＝ax 2
＋bx ＋c (a ≠0)；⑵设顶点形式：
y ＝a (x －h )2＋k (a ≠0)；⑶设交点式：y ＝a (x －x 1) (x －x 2) (a ≠0). 6. 二次函数的应用问题
解决实际应用问题的关键是选准变量，建立好二次函数模型，同时还要注意符合实际 情景.
三、【基础训练】
1、已知二次函数342-+-=x x y ，通过配方可化为 ，其图像的开口 ，顶点坐标 ，对称轴 ，当x 时，y 随x 的y 随x 的增大而减小，当x= 时，y 有最 值= ；抛物线342-+-=x x y 与x 轴交点为 、 ，与y 轴交点为 ；抛物线342-+-=x x y 可由2y x =-向 平移 个单位，再向____平移 个单位可得到.
2、将抛物y=2x 2
+16x －1绕顶点旋转180°后所得抛物线为 .
3、根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式： （1）已知抛物线的顶点坐标是（-1，-2），且过点（1，10）； （2）已知抛物线过点（0，-2），（1，0），（2，3）
四、【典型例题】
例1. 已知二次函数y=ax 2
+bx+c 的图象如下图所示，则下列5个代数式：
ab ，ac ，a －b+c ，b 2
－4ac ，2a+b 中，值大于0的个数有（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
例2. 二次函数c bx ax y ++=2
(a ≠0)的图象如图所示，根据图象解答下列问题： (1)写出方程02
=++c bx ax 的两个根．
(2)写出不等式02
>++c bx ax 的解集．
(3)写出y 随x 的增大而减小的自变量x (4)若方程k c bx ax =++2有两个不相等的实数根，
P C B A Q
求k 的取值范围．
.
例3. 已知二次函数y=mx 2
+（m －1）x+m －1有最小值为0，求m 的值.
例4. 已知关于x 的二次函数y=（m+6）x 2
+2（m －1）x+（m+1）的图象与x 轴总有交点，求m 的取值范围.
例5.如图，在△ABC 中∠B=90º，AB=12cm ，BC=24cm ，动点P 从A 开始沿AB 边以2cm/s 的速度向B 运动，动点Q 从B 开始沿BC 边以4cm/s 的速度向C 运动，如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发。
（1）写出△PBQ 的面积S 与运动时间t 之间的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围； （2）当t 为何值时，△PBQ 的面积S 最大，最大值是多少？
例6. 如图所示，有一条双向公路隧道，其横断面由抛物线和矩形ABCO 的三边组成，隧道的最大高度为4. 9m ，AB=10m ，BC=2. 4m. 现把隧道的横断面放在平面直角坐标系中，若有一辆高为4m ，宽为2m 的装有集装箱的汽车要通过隧道.
问：如果不考虑其他因素，汽车的右侧离开隧道右壁多少米才不至于碰隧道顶部？（抛物线部分为隧道顶部，AO 、BC 为壁）
例7.已知：如图，二次函数y ＝x 2
＋(2k –1)x ＋k ＋1的图象与x 轴相交于O 、A 两点. (1)求这个二次函数的解析式；
(2)在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B ，使锐角△AOB 的面积等于3.求点B 的坐标；
(3)对于(2)中的点B ，在抛物线上是否存在点P ，使∠POB ＝90°？若存在，
求出点P的坐标，并求出△POB的面积；若不存在，请说明理由.
五、【课堂练习】
1.二次函数y=ax2＋bx＋c与一次函数y=ax＋c在同一坐标系中的图象大致是图中的（）
2. 已知二次函数y=kx2－7x－7的图象与x轴没有交点，则k的取值范围为 .
3. 二次函数图象y=2x2向上平移1个单位，再向右平移3个单位，所得抛物线的关系式
为 .
4. 抛物线y=ax2+2x+c的顶点坐标为（2，3），则a= ，c= ．
5. 有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点：
甲：对称轴是直线x=4；
乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数；
丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个点为顶点的三角形面积为3.
请你写出满足上述全部特点的一个二次函数关系式 .
6. 如图所示，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B，与y轴交于点C，
且∠ACB=90°，AC=12，BC=16，求这个二次函数的关系式.
7.某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为40只，且每日生产的产品全部售
出．已知生产x只玩具熊猫的成本为R（元），每只售价为P（元），且R，P与x的表达式分别为R=500＋30x，P=170－2x．
（1）当日产量为多少时，每日获利为1750元？
（2）当日产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少？
7.今年夏季我国部分地区遭受水灾，空军某部奉命赶赴灾区空投物资。
已知在空投物资离开飞机后在空中沿抛物线降落，抛物线的顶点在机舱口A处，如图.
⑴如果空投物资离开A处后下落的垂直高度AB=160米时，它到A处的水平距离为BC=200米，那么要使飞机在垂直高度AO=1000米的高空进行空投，物资恰好准确落在P处，飞机距P处的水平距离OP为多少米？
⑵如果根据空投时的实际风力和风向测算，当空投物资离开A处的垂直距离为160米时，它到A处的水平距离为400米，要使飞机仍在⑴中O点的正上方空投，且使空投物资准确地落在P处，那么飞机空投的高度应调整为多少米？。