2002全国研究生考研数学二真题及解析

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02数二考研真题

02数二考研真题数学二是考研数学的一部分，作为考生备战考研的关键科目之一，数学二的考试题目对考生的数学知识、逻辑思维和解题能力都有着很高的要求。

为了帮助考生更好地备考数学二，下面将给大家介绍一道数二考研真题，并分析解题思路。

题目：设函数f(x)在区间[a,b]上具有二阶连续导数，且满足f(a)=f(b)=0。

证明：存在ξ∈(a,b)，使得f''(ξ)=0。

解题思路：首先，根据题目的设定条件：f(x)在区间[a,b]上具有二阶连续导数，且满足f(a)=f(b)=0，我们可以考虑使用罗尔定理来解决这道题目。

根据罗尔定理，如果函数f(x)满足以下条件：1. 在闭区间[a,b]上连续2. 在开区间(a,b)上可导3. f(a)=f(b)=0那么必然存在ξ∈(a,b)，使得f'(ξ)=0。

现在我们考虑原命题中的二阶导数f''(x)。

要证明存在ξ∈(a,b)，使得f''(ξ)=0，我们可以将f''(x)表示成f'(x)的导函数。

具体做法如下：由于f(x)在区间[a,b]上具有二阶连续导数，根据导数的定义，我们可以得到：f'(x) = ∫[a,x]f''(t)dt + C其中C为常数。

接下来，我们将f'(x)代入罗尔定理中的条件，即：1. f'(x)在闭区间[a,b]上连续2. f'(x)在开区间(a,b)上可导3. f'(a)=f'(b)=0由于f(a)=f(b)=0，所以f'(a)=f'(b)=0。

而根据上面的等式，我们知道f'(x)的导函数是f''(x)。

因此，我们可以得出结论：必然存在ξ∈(a,b)，使得f''(ξ)=0。

至此，我们完成了对原命题的证明。

结论：根据罗尔定理，我们证明了对于满足一定条件的函数f(x)，存在ξ∈(a,b)，使得f''(ξ)=0。

2002年全国硕士研究生入学考试数学二真题及答案

）．
3．
yy
y2
0 满足初始条件
y(0)
1,
y(0)
1 2
的特解是（
）
4． lim 1 [ 1 cos 1 cos 2 1 cos n ] =（）
n n
n
n
n
0 2 2
5．矩阵 2 2 2 的非零特征值是（
）．
2 2 2
二、单项选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分．)
六、（本题满分７分）求微分方程 xdy (x 2y)dx 0 的一个解 y y(x) ，使得由曲线 y y(x) 与直线 x 1, x 2 以及 x 轴所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周的旋转体的体积
最小．
七、（本题满分 7 分）某闸门的形状与大小如图所示，其中直线 l
为对称轴，闸门的上部为矩形ＡＢＣＤ，下部由二次曲线与线段ＡＢ所围成．当水面与闸门的上断相平时，欲使闸门矩形部分与承受的水压与闸门下部承受的水压之比为５：４，闸门矩形部分
（A）当 lim f (x) 0 时，必有 lim f (x) 0.
x
x
（B）当 lim f (x) 存在时，必有 lim f (x) 0.
x
x
（C）当 lim f (x) 0 时，必有 lim f (x) 0.
x0
x 0
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1
2 cos2 x dx
2 1 cos x dx
1 x 2 cos dx
0
2
0
2
0
2
2 2 sin x 1 2
2
.
20
0 2 2
（5）矩阵

2002年考研数学二试题[卷]及的答案解析

2002年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．把答案填在题中横线上．）（1）设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤>-=0,e ,0,2arcsin e 1)(2tan x a x x xf xx在0=x 处连续，则=a ______．【答案】2-【考点】函数的左极限和右极限、函数连续的概念【难易度】★★【详解】本题涉及到的主要知识点：若函数)(x f 在0x x =处连续，则有;)()(lim )(lim 00x f x f x f x x x x ==+-→→解析：tan 0001tan lim ()lim lim 2arcsin22x x x x e xf x x x+++→→→--=-== 20lim ()lim ,(0),xx x f x ae a f a --→→===()f x 在0x =处连续(0)(0)(0),f f f +-⇔==即 2.a =- （2）位于曲线xxe y -=,+∞<≤x 0下方，x 轴上方的无界图形的面积是______．【答案】1【考点】定积分的几何应用—平面图形的面积【难易度】★★【详解】解析：所求面积为1)(00=-=+-=-==+∞-∞+-+∞--∞+∞+-⎰⎰⎰xx xx xedx e xee xd dx xe S ．其中，()01lim lim lim =--=-+∞→+∞→-+∞→xx xx xx e e x xe洛必达.（3）微分方程02='+"y yy 满足初始条件10==x y ，21|0='=x y 的特解是______．【答案】1y x =+【考点】可降阶的高阶微分方程【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：可降阶的高阶微分方程,若缺x ，则令dydp py p y =''=',. 解析：方法1：将20yy y '''+=改写为()0yy ''=，从而得1yy C '=.以初始条件1(0)1,(0)2y y '==代入，有1112C ⨯=，所以得12yy '=.即21yy '=，改写为2()1y '=.解得2,y x C =+2y x C =±+.再以初值代入，21C =±所以应取""+且21C =.于是特解1y x =+.方法2：这是属于缺x 的类型(,)y f y y '''=.命,dp dp dy dpy p y p dx dy dx dy'''====. 原方程20yy y '''+=化为20dp ypp dy +=，得0p =或0dpy p dy+= 0p =即0dy dx =，不满足初始条件1'02y x ==，弃之，由0dp yp dy +=按分离变量法解之，得1.C y 由初始条件11,'002y y x x ====可将1C 先定出来：1111,212C C ==.于是得12dy dx y =,解之，得222,y x C y x C =+=±+.以01x y ==代入，得21C =±，所以应取“+”号且21C =.于是特解是1y x =+.（4）++++∞→nn n n π2cos 1πcos 1[1lim=++]πcos 1n n ______．【答案】22π【考点】定积分的概念【难易度】★★★【详解】解析：记 121cos 1cos ...1cos n n u n n n n πππ⎡⎤=++++++⎢⎥⎣⎦111c o s ,n i i n nπ==+∑ 所以 1011lim lim 1cos 1cos n n n n i i u xdx n n ππ→∞→∞==+=+∑⎰11122cos 2cos2cos222xxxdx dx dx πππ===⎰⎰⎰12222sin2x πππ=⋅=.（5）矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----222222220的非零特征值是______．【答案】4【考点】矩阵的特征值的计算【难易度】★★【详解】解析：22222220222222E A λλλλλλλλ-=--=--200011(4)222λλλλλ==--故4λ=是矩阵的非零特征值.（另一个特征值是0λ=(二重)）二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内．）（1）设函数)(u f 可导，)(2x f y =当自变量x 在1-=x 处取得增量1.0-=∆x 时，相应的函数增量y ∆的线性主部为1.0，则)1(f '＝（）（A ）－1．（B ）0.1．（C ）1．（D ）0.5．【答案】D【考点】导数的概念、复合函数的求导法则【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点： ①dy 为y ∆的线性主部； ②)()]([))]([(x g x g f x g f ''='；解析：在可导条件下，0()x x dyy x o x dx=∆=∆+∆.当00x x dy dx =≠时0x x dyx dx =∆称为y ∆的线性主部，现在2()2dyx f x x x dx'∆=∆，以1,0.1x x =-∆=-代入得(1)0.2dyx f dx'∆=⨯，由题设它等于0.1，于是(1)0.5f '=，应选（D ）. （2）设函数)(x f 连续，则下列函数中必为偶函数的是（）（A ）.d )(20t t f x⎰（B ）.d )(20t t f x⎰（C ）.d )]()([0t t f t f t x--⎰（D ）.d )]()([0t t f t f t x-+⎰【答案】D【考点】函数的奇偶性、积分上限的函数及其导数【难易度】★★【详解】解析：[()()]t f t f t +-为t 的奇函数，[()()]xt f t f t dt +-⎰为x 的偶函数，（D ）正确，（A ）、（C ）是x 的奇函数，（B ）可能非奇非偶.例如()1f t t =+，均不选.（3）设)(x y y =是二阶常系数微分方程xqy py y 3e =+'+"满足初始条件=)0(y0)0(='y 的特解，则当0→x 时，函数)()1ln(2x y x +的极限（）（A ）不存在．（B ）等于1．（C ）等于2．（D ）等于3．【答案】C【考点】洛必达法则、佩亚诺型余项泰勒公式【难易度】★★【详解】解析：方法1：220000ln(1)222limlim lim lim 2()()()()1x x x x x x x y x y x y x y x →→→→+==='''洛洛方法2：由(0)(0)0,(0)1y y y '''===.由佩亚诺余项泰勒公式展开，有22()00()2x y x o x =+++，代入，有222000222ln(1)1lim lim lim 211()()()22x x x x x o x y x x o x x→→→+==++=. （4）设函数)(x f y =在),0(+∞内有界且可导，则（）（A ）当0)(lim =+∞→x f x 时，必有.0)(lim ='+∞→x f x（B ）当)(lim x f x '+∞→存在时，必有.0)(lim ='+∞→x f x（C ）当0)(lim 0=+→x f x 时，必有.0)(lim 0='+→x f x（D ）当)(lim 0x f x '+→存在时，必有.0)(lim 0='+→x f x【答案】B【考点】导数的概念【难易度】★★★★【详解】解析：方法1：排斥法（A ）的反例21()sin ,f x x x =它有界，221()sin 2cos ,lim ()0x f x x x f x x→+∞'=-+=，但l i m ()x f x →+∞'不存在.(C)与(D)的反例同（A ）的反例.0lim ()0x f x →+=,但0lim ()10x f x →+'=≠，（C ）不成立；0lim ()10x f x →+'=≠，（D ）也不成立.（A ）、（C ）、（D ）都不对，故选（B ）．方法2：证明（B ）正确.设lim ()x f x →+∞'存在，记为A ，求证0A =.用反证法，设0A ≠.若0A >，则由保号性知，存在00x >，当0x x >时()2Af x '>,在区间0[,]x x 上对()f x 用拉格朗日中值定理知,有00000()()()()()(),.2Af x f x f x x f x x x x x ξξ'=+->+-<<,x →+∞，从而有()f x →+∞，与()f x 有界矛盾.类似可证若0A <亦矛盾.（5）设向量组321,,ααα线性无关，向量1β可由321,,ααα线性表示，而向量2β不能由321,,ααα线性表示，则对于任意常数k ，必有（）（A ）321,,ααα21,ββ+k 线性无关．（B ）321,,ααα21,ββ+k 线性相关．（C ）321,,ααα21,ββk +线性无关．（D ）321,,ααα21,ββk +线性相关．【答案】A【考点】向量的线性表示【难易度】★★★【详解】解析：方法1：对任意常数k ，向量组123,,ααα，12k ββ+线性无关.用反证法，若123,,ααα，12k ββ+线性相关，因已知123,,ααα线性无关，故12k ββ+可由123,,ααα线性表出.设12112233k ββλαλαλα+=++,因已知1β可由123,,ααα线性表出，设为1112233l l l βααα=++代入上式，得2111222333()()()l l l βλαλαλα=-+-+-这和2β 不能由123,,ααα线性表出矛盾.故向量组123,,ααα，12k ββ+线性无关，应选（A ）.方法2：用排除法取0k =，向量组123,,ααα，12k ββ+即123,,ααα，2β线性相关不成立，排除（B ）.取0k =，向量组123,,ααα，12k ββ+，即123,,ααα，1β线性无关不成立，排除（C ）.0k ≠时，123,,ααα，12k ββ+线性相关不成立（证法与方法1类似，当1k =时，选项（A ）、（D ）向量组是一样的，但结论不同，其中（A ）成立，显然（D ）不成立.）排除（D ）.三、（本题满分6分）已知曲线的极坐标方程是θcos 1-=r ，求该曲线上对应于6π=θ处的切线与法线的直角坐标方程．【考点】平面曲线的切线、平面曲线的法线【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：①切线方程：)(000x x y y y -'=- ②法线方程：)(1000x x y y y -'-=- 解析：极坐标曲线1cos r θ=-化成直角坐标的参数方程为(1cos )cos (1cos )sin x y θθθθ=-⎧⎨=-⎩ 即2cos cos sin cos sin x y θθθθθ⎧=-⎨=-⎩ 曲线上6πθ=的点对应的直角坐标为3313(,,,)2424-- 22666cos sin cos 1.sin 2cos sin dy dyd dx dxd ππθθπθθθθθθθθθ===+-===-+于是得切线的直角坐标方程为1333()()2424y x --=--，即353044x y --+=法线方程为13133()(()),24124y x --=---即31044x y +-+=. 四、（本题满分7分）设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤+<≤-+=,10,)1e (e ,01,232)(22x x x x x x f x x求函数t t f x F x d )()(1⎰-=的表达式．【考点】定积分的分部积分法、积分上限的函数及其导数【难易度】★★★ 【详解】解析：当10x -≤<时2233213111()(2)().12222xx F x t t dt t t x x -=+=+=+--⎰ 当01x ≤<时，011()()()()xxF x f t dt f t dt f t dt --==+⎰⎰⎰23200000111()12(1)2(1)11021121111ln(1)ln(1)ln 202121t x x t t tx x t t x tt x x x te t t dt tde e x t dt xe dt e e e e x x x e e e e ----=++=---++=--+=--+++++=---+=---++++⎰⎰⎰⎰所以3211,1022()1ln ln 2,01112xx x x x x F x e x x e e ⎧+--≤<⎪⎪=⎨⎪-+-≤<⎪++⎩当当五、（本题满分7分）已知函数)(x f 在),0(+∞内可导，1)(lim ,0)(=>+∞→x f x f x ，且满足,e ))()((lim 110x hh x f hx x f =+→ 求)(x f ．【考点】导数的概念、一阶线性微分方程【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：e =∆+∆→∆10)1(lim ；∆-∆+='→∆)()(lim)(0x f x f x f ，其中∆可以代表任何形式；解析：11()ln h ()()()f x hx hf x f x hx ef x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎛⎫+= ⎪⎝⎭，001()1()()lim ln lim ln(1)()()h h f x hx f x hx f x h f x h f x →→⎛⎫++-=+ ⎪⎝⎭001()()()()lim ln()lim ()()()()(),0.()h h f x hx f x x f x hx f x h f x f x f x x f x x f x →→+-+-=='=≠从而得到 1()1()0()lim ()xf x hf x x h f x hx e ef x '→⎛⎫+= ⎪⎝⎭由题设于是推得()1()xf x f x x '=，即 2()1()f x f x x'= 解此微分方程，得 11ln ()f x C x=-+ 改写成 1()xf x Ce-=再由条件lim ()1x f x →+∞=，推得1C =，于是得1().xf x e -=六、（本题满分7分）求微分方程0)2(=-+dx y x xdy 的一个解)(x y y =，使得由曲线)(x y y =与直线2,1==x x 以及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周的旋转体体积最小．【考点】旋转体的体积、一阶线性微分方程、函数的最大值与最小值【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：dx x fV bax ⎰=)(2π解析：一阶线性微分方程21y y x'-=-，由通解公式有 22[]dx dx x x y eedx C ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰=-+⎰221[]x dx C x =-+⎰221(),12x C x Cx x x=+=+≤≤ 由曲线2y x Cx =+与1,2x x ==及x 轴围成的图形绕x 轴旋转一周所成的旋转体的体积为2222131157()()523V x Cx dx C C ππ=+=++⎰,令6215()052dV C dC π=+=,得75.124C =- 又()0V C ''>，故75124C =-为V 的惟一极小值点，也是最小值点，于是所求曲线为275.124y x x =-七、（本题满分7分）某闸门的形状与大小如图所示，其中直线l 为对称轴，闸门的上部为矩形ABCD ，下部由二次抛物线与线段AB 所围成．当水面与闸门的上端相平时，欲使闸门矩形部分承受的水压力与闸门下部承受的水压力之比为4:5，闸门矩形部分的高h 应为多少m （米）？【考点】定积分的物理应用—压力【难易度】★★★★【详解】解析：建立坐标系，细横条为面积微元，面积微元2dA xdy =，因此压力微元 2(1)dp gx h y dy ρ=+- 平板ABCD 上所受的总压力为 1102(1)hP gx h y dy ρ+=+-⎰其中以1x =代入，计算得 21P gh ρ=.抛物板AOB 上所受的总压力为 1202(1),P gx h y dy ρ=+-⎰其中由抛物线方程知x y =，代入，计算得 2124()315P g h ρ=+，由题意12:5:4P P =，即，251244()315h h =+ 解之得2h =（米）（13h =-舍去），即闸门矩形部分的高应为2m . 八、（本题满分8分）设),2,1()3(,3011 =-=<<+n x x x x n n n ，证明数列}{n x 的极限存在，并求此极限．【考点】数列的极限【难易度】★★★【详解】解析：方法1：考虑（1） 19(3)334(3)322(3)2n n n n n n n x x x x x x x ----=--=-+ 222933()42033(3)(3)22n n n n n n n x x x x x x x -+---==≤-+-+所以132n x +≤（当1,2,n =），即32n x ≤（当2,3,n =），数列{}2,3,n x n =有上界32. 再考虑（2）21(3)(3)(3)n n n n n n n n n n nx x x x x x x x x x x ----=--=-+(32)0.(3)n n n n nx x x x x -=≥-+ 2,3,n =.所以{}n x 单调增加.单调增加数列{}n x 有上界，所以lim n n x →∞存在，记为.a(3)由1(3)n n n x x x +=-两边取极限，于是得 (3),a a a =-2230,a a -=得32a =或0a =，但因0n x >且单调增，故0a ≠，所以3lim 2n n x →∞=.方法2：由103x <<知1x 及13x -（）均为正数，故()21111130(3)(3).22x x x x x *<-≤+-== 设302k x <≤，则 113(3)(3).22k k k k k x x x x x +-≤+-== 由数学归纳法知，对任意正整数2n ≥有302n x <≤.21(3)(32)(3)0.(3)(3)n n n n n n n n n n n n nn n nx x x x x x x x x x x x x x x x +-----≤=≥-+-+-=所以{}n x 单调增，单调增加数列{}n x 有上界，所以lim n n x →∞存在，记为a . 再由1(3)n n n x x x +=-两边命n →∞取极限，得(3)a a a =-,32a =或0a =，但因0n x >且单调增加，故0a ≠，所以32a =. 九、（本题满分8分）设b a <<0，证明不等式⋅<--<+ab a b a b b a a 1ln ln 222【考点】函数单调性的判别【难易度】★★★【详解】解析：左、右两个不等式分别考虑先证左边不等式，方法1：由所证的形式想到试用拉格朗日中值定理.ln ln 1(ln ),0.x b a x a b b a ξξξ=-'==<<<-而22112a b a b ξ>>+. 其中第二个不等式来自不等式222a b ab +>（当0a b <<时），这样就证明了要证明的左边.方法2：用单调性证，将b 改写为x 并移项，命222()()ln ln a x a x x a a x ϕ-=--+，有()0a ϕ=. 22222124()()()a ax x a x x a x a x ϕ-'=-+++222222()4()0()()x a ax x a x a x a x --=+>++（当0a x <<），而推知当0x a >>时()0x ϕ>，以xb =代入即得证明.再证右边不等式，用单调性证，将b 改写为x 并移项，命1()ln ln (),x x a x a axφ=--- 有()0a φ=，及2111()()()0,222a x a x x a x x x x axφ-'=-+=-< 所以当0x a >>时，()0x φ<，再以x b =代入，便得1ln ln (),b a b a ab-<-即ln ln 1b a b a ab -<-. 右边证毕. 十、（本题满分8分）设函数)(x f 在0=x 的某邻域内具有二阶连续导数，且0)0(,0)0(,0)0(≠''≠'≠f f f .证明：存在惟一的一组实数321,,λλλ，使得当0→h 时，)0()3()2()(321f h f h f h f -++λλλ是比2h 高阶的无穷小．【考点】无穷小的比较，洛必达法则【难易度】★★★【详解】解析：方法1：由题目，去证存在唯一的一组123,,λλλ,12320()(2)(3)(0)lim 0h f h f h f h f L h λλλ→++-==由此知，分子极限应为0，由()f x 在0x =连续，于是推知，应有123 1.λλλ++=（1）由洛必达法则，12320()(2)(3)(0)lim h f h f h f h f L h λλλ→++-=1230()2(2)3(3)lim 2h f h f h f h h λλλ→'''++= （2）分子的极限为1231230lim(()2(2)3(3))(23)(0)h f h f h f h f λλλλλλ→''''++=++，若不为0，则式（1）应为∞，与原设为0矛盾，故分子的极限应是0，即123230λλλ++= （3）对（2）再用洛必达法则，1231230()4(2)9(3)1lim (49)(0)22h f h f h f h L f λλλλλλ→''''''++''==++ 由(0)0f ''≠，故应有 123490λλλ++= （4）将（1）、（3）、（4）联立解之，由于系数行列式11112320,149=≠由克莱姆法则知，存在唯一的一组解满足题设要求，证毕.方法2：由佩亚诺余项泰勒公式2211()(0)(0)(0)(),2f h f f h f h o h '''=+++ 222(2)(0)2(0)2(0)(),f h f f h f h o h '''=+++2239(3)(0)3(0)(0)(),2f h f f h f h o h '''=+++ 代入 12320()(2)(3)(0)0lim h f h f h f h f h λλλ→++-=2123123123201(1)(0)(23)(0)(49)(0)2lim h f f h f h h λλλλλλλλλ→⎡'''++-++++++⎢=⎢⎢⎣ 2221122332()()()o h o h o h h λλλ⎤+++⎥⎦，上面[]中第二项极限为0，所以第一项中应有1231231231230490λλλλλλλλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 由于系数行列式11112320,149=≠由克莱姆法则知，存在唯一的一组解满足题设要求，证毕.十一、（本题满分6分）已知B A ,为3阶矩阵，且满足E B B A 421-=-，其中E 是3阶单位矩阵．（1）证明：矩阵E A 2-可逆；（2）若⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=200021021B ，求矩阵A ．【考点】逆矩阵的概念、矩阵的计算【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：若有E AB =则称B A ,互逆.解析：（1）由题设条件124A B B E -=-两边左乘A ，得 24B AB A =-即 24AB B A -= (2)4884(2)8A E B A E E A E E -=-+=-+(2)(4)8A E B E E --=1(2)(4)8A EB E E --= 得证2A E -可逆（且11(2)(4)8A EB E --=-）. (2) 方法1：由（1）结果知111(2)(4)8(4)8A E B E B E --⎡⎤-=-=-⎢⎥⎣⎦18(4)2A B E E -=-+ 1204003204120040120002004002B E ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦[]3201001200104120010320100002001002001B E E ⎡--⎤⎡-⎤⎢⎥⎢⎥-=-→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦0101200101201308013001008800110011000022⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥→-→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎣⎦ 11044100130100880011002⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦故 11104413(4)0881002B E -⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦10208(4)2110002A B E E -⎡⎤⎢⎥=-+=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦. 方法2：由题设条件 124A B B E -=-等式两边左乘A ，得 2(4)B A B E =-则12(4)A B B E -=-（求1(4)B E --过程见方法1）11044120120220131212001201308840020020041002⎡⎤-⎢⎥---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥-⎢⎥⎣⎦ 08002014401104008002⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦. 十二、（本题满分6分）已知4阶方阵43214321,,,),,,,(αααααααα=A 均为4维列向量，其中432,,ααα线性无关，,2321ααα-=如果4321ααααβ+++=，求线性方程组β=Ax 的通解．【考点】线性方程组解的性质和解的结构、非齐次线性方程组的基础解系和通解【难易度】★★★★【详解】解析：方法1：由234,,ααα线性无关，及123420,αααα=-+即1234,,,αααα线性相关，及1234βαααα=+++知[][][]12341234,,,()3,,,,r r A r Ar ααααβααααβ==== 故Ax β=有解，且其通解为k ξη*+，其中k ξ是对应齐次方程0Ax =的通解，η*是Ax β=的一个特解,因 123420,αααα=-+故 []123412341220,,,010αααααααα⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=-+==⎢⎥⎢⎥⎣⎦故[]1,2,1,0Tξ=-是0Ax =的基础解系. 又[]1234123411,,,11βαααααααα⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+++=⎢⎥⎢⎥⎣⎦故[]1,1,1,1T η*=是Ax β=的一个特解，故方程组的通解为[][]1,2,1,01,1,1,1T Tk -+.（其中k 是任意常数）方法2：令[]1234,,,Tx x x x x =则线性非齐次方程为 []112233441234,,,x x x x x ααααααααβ+++== 已知1234βαααα=+++，故11223344x x x x αααα+++=1234αααα+++ 将1232ααα=-代入上式，得12213344(23)()(1)0x x x x x ααα+-+-++-= 由已知234,,ααα线性无关，上式成立当且仅当 1213423010x x x x x +=⎧⎪-+=⎨⎪-=⎩取自由未知量3x k =，则方程组有解 431321,,,23x x k x x k x k =====-+ 即方程组Ax β=有通解123410232310101x k x k k x k x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦.（其中k 是任意常数）。

2002年考研数学二试题及答案

2002年全国硕士研究生入学统一测试数学二试题分析一、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．把答案填在题中横线上．）（1）设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤>-=0,e ,0,2arcsin e 1)(2tan x a x x xf xx在0=x 处连续，则=a ______．【答案】2-【考点】函数的左极限和右极限、函数连续的概念【难易度】★★【详解】本题涉及到的主要知识点：若函数)(x f 在0x x =处连续，则有;)()(lim )(lim 00x f x f x f x x x x ==+-→→分析：tan 0001tan lim ()lim lim 2arcsin22x x x x e xf x x x+++→→→--=-== 20lim ()lim ,(0),xx x f x ae a f a --→→===()f x 在0x =处连续(0)(0)(0),f f f +-⇔==即 2.a =- （2）位于曲线xxe y -=,+∞<≤x 0下方，x 轴上方的无界图形的面积是______．【答案】1【考点】定积分的几何使用—平面图形的面积【难易度】★★【详解】分析：所求面积为1)(00=-=+-=-==+∞-∞+-+∞--∞+∞+-⎰⎰⎰xx xx xedx e xee xd dx xe S ．其中，()01lim lim lim =--=-+∞→+∞→-+∞→xx xx xx e e x xe洛必达.（3）微分方程02='+"y yy 满足初始条件10==x y，21|0='=x y 的特解是______．【答案】1y x =+【考点】可降阶的高阶微分方程【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：可降阶的高阶微分方程,若缺x ，则令dydp py p y =''=',. 分析：方法1：将20yy y '''+=改写为()0yy ''=，从而得1yy C '=.以初始条件1(0)1,(0)2y y '==代入，有1112C ⨯=，所以得12yy '=.即21yy '=，改写为2()1y '=.解得2,y x C =+2y x C =±+再以初值代入，21C =±""+且21C =.于是特解1y x =+方法2：这是属于缺x 的类型(,)y f y y '''=.命,dp dp dy dpy p y p dx dy dx dy'''====. 原方程20yy y '''+=化为20dp ypp dy +=，得0p =或0dp y p dy+= 0p =即0dy dx =，不满足初始条件1'02y x ==，弃之，由0dp yp dy +=按分离变量法解之，得1.C y 由初始条件11,'002y y x x ====可将1C 先定出来：1111,212C C ==.于是得12dy dx y =,解之，得222,y x C y x C =+=±+以01x y ==代入，得21C =±，所以应取“+”号且21C =.于是特解是1y x =+（4）++++∞→nn n n π2cos 1πcos 1[1lim=++]πcos 1n n ______． 22【考点】定积分的概念【难易度】★★★【详解】分析：记 121cos 1cos ...1cos n n u n n n n πππ=+++++111cos ,n i i n nπ==+所以 11lim lim 1cos 1cos n n n n i i u xdx n n ππ→∞→∞==+=+⎰11202cos 2cos2cos222xxxdx dx dx πππ===⎰12222sin2x πππ==.（5）矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----222222220的非零特征值是______．【答案】4【考点】矩阵的特征值的计算【难易度】★★【详解】分析：22222220222222E A λλλλλλλλ-=--=--200011(4)222λλλλλ==--故4λ=是矩阵的非零特征值.（另一个特征值是0λ=(二重)）二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内．）（1）设函数)(u f 可导，)(2x f y =当自变量x 在1-=x 处取得增量1.0-=∆x 时，相应的函数增量y ∆的线性主部为1.0，则)1(f '＝（）（A ）－1．（B ）0.1．（C ）1．（D ）0.5．【答案】D【考点】导数的概念、复合函数的求导法则【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点： ①dy 为y ∆的线性主部； ②)()]([))]([(x g x g f x g f ''='；分析：在可导条件下，0()x x dyy x o x dx=∆=∆+∆.当00x x dy dx =≠时0x x dyx dx =∆称为y ∆的线性主部，现在2()2dy x f x x x dx '∆=∆，以1,0.1x x =-∆=-代入得(1)0.2dy x f dx'∆=⨯，由题设它等于0.1，于是(1)0.5f '=，应选（D ）.（2）设函数)(x f 连续，则下列函数中必为偶函数的是（）（A ）.d )(20t t f x⎰（B ）.d )(20t t f x⎰（C ）.d )]()([0t t f t f t x--⎰（D ）.d )]()([0t t f t f t x-+⎰【答案】D【考点】函数的奇偶性、积分上限的函数及其导数【难易度】★★【详解】分析：[()()]t f t f t +-为t 的奇函数，[()()]xt f t f t dt +-⎰为x 的偶函数，（D ）正确，（A ）、（C ）是x 的奇函数，（B ）可能非奇非偶.例如()1f t t =+，均不选.（3）设)(x y y =是二阶常系数微分方程xqy py y 3e =+'+"满足初始条件=)0(y0)0(='y 的特解，则当0→x 时，函数)()1ln(2x y x +的极限（）（A ）不存在．（B ）等于1．（C ）等于2．（D ）等于3．【答案】C【考点】洛必达法则、佩亚诺型余项泰勒公式【难易度】★★【详解】分析：方法1：220000ln(1)222limlim lim lim 2()()()()1x x x x x x x y x y x y x y x →→→→+==='''洛洛方法2：由(0)(0)0,(0)1y y y '''===.由佩亚诺余项泰勒公式展开，有22()00()2x y x o x =+++，代入，有222000222ln(1)1lim lim lim 211()()()22x x x x x o x y x x o x x→→→+==++=. （4）设函数)(x f y =在),0(+∞内有界且可导，则（）（A ）当0)(lim =+∞→x f x 时，必有.0)(lim ='+∞→x f x（B ）当)(lim x f x '+∞→存在时，必有.0)(lim ='+∞→x f x（C ）当0)(lim 0=+→x f x 时，必有.0)(lim 0='+→x f x（D ）当)(lim 0x f x '+→存在时，必有.0)(lim 0='+→x f x【答案】B【考点】导数的概念【难易度】★★★★【详解】分析：方法1：排斥法（A ）的反例21()sin ,f x x x =它有界，221()sin 2cos ,lim ()0x f x x x f x x→+∞'=-+=，但lim ()x f x →+∞'不存在.(C)和(D)的反例同（A ）的反例.0lim ()0x f x →+=,但0lim ()10x f x →+'=≠，（C ）不成立；0lim ()10x f x →+'=≠，（D ）也不成立.（A ）、（C ）、（D ）都不对，故选（B ）．方法2：证明（B ）正确.设lim ()x f x →+∞'存在，记为A ，求证0A =.用反证法，设0A ≠.若0A >，则由保号性知，存在00x >，当0x x >时()2Af x '>,在区间0[,]x x 上对()f x 用拉格朗日中值定理知,有00000()()()()()(),.2Af x f x f x x f x x x x x ξξ'=+->+-<<,x →+∞，从而有()f x →+∞，和()f x 有界矛盾.类似可证若0A <亦矛盾.（5）设向量组321,,ααα线性无关，向量1β可由321,,ααα线性表示，而向量2β不能由321,,ααα线性表示，则对于任意常数k ，必有（）（A ）321,,ααα21,ββ+k 线性无关．（B ）321,,ααα21,ββ+k 线性相关．（C ）321,,ααα21,ββk +线性无关．（D ）321,,ααα21,ββk +线性相关．【答案】A【考点】向量的线性表示【难易度】★★★【详解】分析：方法1：对任意常数k ，向量组123,,ααα，12k ββ+线性无关.用反证法，若123,,ααα，12k ββ+线性相关，因已知123,,ααα线性无关，故12k ββ+可由123,,ααα线性表出.设12112233k ββλαλαλα+=++,因已知1β可由123,,ααα线性表出，设为1112233l l l βααα=++代入上式，得2111222333()()()l l l βλαλαλα=-+-+-这和2β 不能由123,,ααα线性表出矛盾.故向量组123,,ααα，12k ββ+线性无关，应选（A ）.方法2：用排除法取0k =，向量组123,,ααα，12k ββ+即123,,ααα，2β线性相关不成立，排除（B ）.取0k =，向量组123,,ααα，12k ββ+，即123,,ααα，1β线性无关不成立，排除（C ）.0k ≠时，123,,ααα，12k ββ+线性相关不成立（证法和方法1类似，当1k =时，选项（A ）、（D ）向量组是一样的，但结论不同，其中（A ）成立，显然（D ）不成立.）排除（D ）.三、（本题满分6分）已知曲线的极坐标方程是θcos 1-=r ，求该曲线上对应于6π=θ处的切线和法线的直角坐标方程．【考点】平面曲线的切线、平面曲线的法线【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：①切线方程：)(000x x y y y -'=- ②法线方程：)(1000x x y y y -'-=- 分析：极坐标曲线1cos r θ=-化成直角坐标的参数方程为(1cos )cos (1cos )sin x y θθθθ=-⎧⎨=-⎩ 即2cos cos sin cos sin x y θθθθθ⎧=-⎨=-⎩ 曲线上6πθ=的点对应的直角坐标为3313,,)2424-- 22666cos sin cos 1.sin 2cos sin dy dyd dx dxd ππθθπθθθθθθθθθ===+-===-+于是得切线的直角坐标方程为1333(()2424y x --=--，即353044x y -= 法线方程为13133()(()),24124y x --=---即31044x y +-+=. 四、（本题满分7分）设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤+<≤-+=,10,)1e (e ,01,232)(22x x x x x x f x x 求函数t t f x F x d )()(1⎰-=的表达式．【考点】定积分的分部积分法、积分上限的函数及其导数【难易度】★★★ 【详解】分析：当10x -≤<时2233213111()(2)().12222xx F x t t dt t t x x -=+=+=+--⎰ 当01x ≤<时，011()()()()xxF x f t dt f t dt f t dt --==+⎰⎰⎰23200000111()12(1)2(1)11021121111ln(1)ln(1)ln 202121t x x t t tx x t t x tt x x x te t t dt tde e x t dt xe dt e e e e x x x e e e e ----=++=---++=--+=--+++++=---+=---++++⎰⎰⎰⎰所以3211,1022()1ln ln 2,01112xx x x x x F x e x x e e ⎧+--≤<⎪⎪=⎨⎪-+-≤<⎪++⎩当当五、（本题满分7分）已知函数)(x f 在),0(+∞内可导，1)(lim ,0)(=>+∞→x f x f x ，且满足,e ))()((lim 110x hh x f hx x f =+→ 求)(x f ．【考点】导数的概念、一阶线性微分方程【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：e =∆+∆→∆10)1(lim ；∆-∆+='→∆)()(lim)(0x f x f x f ，其中∆可以代表任何形式；分析：11()ln h ()()()f x hx hf x f x hx ef x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎛⎫+= ⎪⎝⎭，001()1()()lim ln lim ln(1)()()h h f x hx f x hx f x h f x h f x →→⎛⎫++-=+ ⎪⎝⎭001()()()()lim ln()lim ()()()()(),0.()h h f x hx f x x f x hx f x h f x f x f x x f x x f x →→+-+-=='=≠从而得到 1()1()()lim ()xf x hf x x h f x hx e ef x '→⎛⎫+= ⎪⎝⎭由题设于是推得()1()xf x f x x '=，即 2()1()f x f x x'= 解此微分方程，得 11ln ()f x C x=-+ 改写成 1()xf x Ce-=再由条件lim ()1x f x →+∞=，推得1C =，于是得1().xf x e -=六、（本题满分7分）求微分方程0)2(=-+dx y x xdy 的一个解)(x y y =，使得由曲线)(x y y =和直线2,1==x x 以及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周的旋转体体积最小．【考点】旋转体的体积、一阶线性微分方程、函数的最大值和最小值【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：dx x f V bax ⎰=)(2π分析：一阶线性微分方程21y y x'-=-，由通解公式有 22[]dx dx x x y eedx C ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰=-+⎰221[]x dx C x =-+⎰221(),12x C x Cx x x=+=+≤≤由曲线2y x Cx =+和1,2x x ==及x 轴围成的图形绕x 轴旋转一周所成的旋转体的体积为2222131157()()523V x Cx dx C C ππ=+=++⎰,令6215()052dV C dC π=+=,得75.124C =- 又()0V C ''>，故75124C =-为V 的惟一极小值点，也是最小值点，于是所求曲线为275.124y x x =-七、（本题满分7分）某闸门的形状和大小如图所示，其中直线l 为对称轴，闸门的上部为矩形ABCD ，下部由二次抛物线和线段AB 所围成．当水面和闸门的上端相平时，欲使闸门矩形部分承受的水压力和闸门下部承受的水压力之比为4:5，闸门矩形部分的高h 应为多少m （米）？【考点】定积分的物理使用—压力【难易度】★★★★【详解】分析：建立坐标系，细横条为面积微元，面积微元2dA xdy =，因此压力微元 2(1)dp gx h y dy ρ=+- 平板ABCD 上所受的总压力为 1102(1)hP gx h y dy ρ+=+-⎰其中以1x =代入，计算得 21P gh ρ=.抛物板AOB 上所受的总压力为 1202(1),P gx h y dy ρ=+-⎰其中由抛物线方程知x y =2124()315P g h ρ=+，由题意12:5:4P P =，即，251244()315h h =+解之得2h =（米）（13h =-舍去），即闸门矩形部分的高应为2m . 八、（本题满分8分）设),2,1()3(,3011 =-=<<+n x x x x n n n ，证明数列}{n x 的极限存在，并求此极限．【考点】数列的极限【难易度】★★★【详解】分析：方法1：考虑（1） 19(3)334(3)322(3)2n n n n n n n x x x x x x x ----=-=- 222933()42033(3)(3)22n n n n n n n x x x x x x x -+---==≤-- 所以132n x +≤（当1,2,n =），即32n x ≤（当2,3,n =），数列{}2,3,n x n =有上界32.再考虑（2）21(3)(3)n n n n n n n n n n nx x x x x x x x --=-=-+0.(3)n n n n nx x x =≥-+ 2,3,n =.所以{}n x 单调增加.单调增加数列{}n x 有上界，所以lim n n x →∞存在，记为.a(3)由1(3)n n n x x x +- (3),a a a -2230,a a -=得32a =或0a =，但因0n x >且单调增，故0a ≠，所以3lim 2n n x →∞=.方法2：由103x <<知1x 及13x -（）均为正数，故)21111130(3)(3).22x x x x x *<-≤+-== 设302k x <≤，则 113(3)(3).22k k k k k x x x x x +-≤+-== 由数学归纳法知，对任意正整数2n ≥有302n x <≤.21(3)0.(3)(3)n n n n n n n n n n n n nn n nx x x x x x x x x x x +-≤=≥-+-+-=所以{}n x 单调增，单调增加数列{}n x 有上界，所以lim n n x →∞存在，记为a .再由1(3)n n n x x x +=-两边命n →∞取极限，得(3)a a a =-32a =或0a =，但因0n x >且单调增加，故0a ≠，所以32a =. 九、（本题满分8分）设b a <<0，证明不等式⋅<--<+ab a b a b b a a 1ln ln 222【考点】函数单调性的判别【难易度】★★★【详解】分析：左、右两个不等式分别考虑先证左边不等式，方法1：由所证的形式想到试用拉格朗日中值定理.ln ln 1(ln ),0.x b ax a b b aξξξ=-'==<<<-而22112a b a b ξ>>+. 其中第二个不等式来自不等式222a b ab +>（当0a b <<时），这样就证明了要证明的左边. 方法2：用单调性证，将b 改写为x 并移项，命222()()ln ln a x a x x a a x ϕ-=--+，有()0a ϕ=.22222124()()()a ax x a x x a x a x ϕ-'=-+++222222()4()0()()x a ax x a x a x a x --=+>++（当0a x <<），而推知当0x a >>时()0x ϕ>，以x b =代入即得证明.再证右边不等式，用单调性证，将b 改写为x 并移项，命()ln ln ),x x a x a axφ=-- 有()0a φ=，及21()()()0,222x a x x a x x x x axφ'==<所以当0x a >>时，()0x φ<，再以x b =代入，便得ln ln ),b a b a ab-<-即ln ln b a b a ab -<-右边证毕.十、（本题满分8分）设函数)(x f 在0=x 的某邻域内具有二阶连续导数，且0)0(,0)0(,0)0(≠''≠'≠f f f .证明：存在惟一的一组实数321,,λλλ，使得当0→h 时，)0()3()2()(321f h f h f h f -++λλλ是比2h 高阶的无穷小．【考点】无穷小的比较，洛必达法则【难易度】★★★【详解】分析：方法1：由题目，去证存在唯一的一组123,,λλλ,1232()(2)(3)(0)lim0h f h f h f h f L hλλλ→++-==由此知，分子极限应为0，由()f x 在0x =连续，于是推知，应有123 1.λλλ++= （1）由洛必达法则，1232()(2)(3)(0)limh f h f h f h f L hλλλ→++-=1230()2(2)3(3)lim 2h f h f h f h hλλλ→'''++= （2）分子的极限为1231230lim(()2(2)3(3))(23)(0)h f h f h f h f λλλλλλ→''''++=++，若不为0，则式（1）应为∞，和原设为0矛盾，故分子的极限应是0，即 123230λλλ++= （3）对（2）再用洛必达法则，1231230()4(2)9(3)1lim(49)(0)22h f h f h f h L f λλλλλλ→''''''++''==++ 由(0)0f ''≠，故应有 123490λλλ++= （4）将（1）、（3）、（4）联立解之，由于系数行列式11112320,149=≠由克莱姆法则知，存在唯一的一组解满足题设要求，证毕. 方法2：由佩亚诺余项泰勒公式2211()(0)(0)(0)(),2f h f f h f h o h '''=+++ 222(2)(0)2(0)2(0)(),f h f f h f h o h '''=+++2239(3)(0)3(0)(0)(),2f h f f h f h o h '''=+++ 代入1232()(2)(3)(0)0limh f h f h f h f h λλλ→++-=2123123123201(1)(0)(23)(0)(49)(0)2lim h f f h f h h λλλλλλλλλ→⎡'''++-++++++⎢=⎢⎢⎣2221122332()()()o h o h o h h λλλ⎤+++⎥⎦，上面[]中第二项极限为0，所以第一项中应有1231231231230490λλλλλλλλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 由于系数行列式11112320,149=≠ 由克莱姆法则知，存在唯一的一组解满足题设要求，证毕. 十一、（本题满分6分）已知B A ,为3阶矩阵，且满足E B B A 421-=-，其中E 是3阶单位矩阵．（1）证明：矩阵E A 2-可逆；（2）若⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=200021021B ，求矩阵A ．【考点】逆矩阵的概念、矩阵的计算【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：若有E AB =则称B A ,互逆.分析：（1）由题设条件124A B B E -=-两边左乘A ，得 24B AB A =- 即 24AB B A -=(2)4884(2)8A E B A E E A E E -=-+=-+ (2)(4)8A E B E E --=1(2)(4)8A EB E E --=得证2A E -可逆（且11(2)(4)8A EB E --=-）. (2) 方法1：由（1）结果知111(2)(4)8(4)8A E B E B E --⎡⎤-=-=-⎢⎥⎣⎦18(4)2A B E E -=-+1204003204120040120002004002B E ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦[]3201001200104120010320100002001002001B E E ⎡--⎤⎡-⎤⎢⎥⎢⎥-=-→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦0101200101201308013001008800110011000022⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥→-→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎣⎦11044100130100880011002⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦故 11104413(4)0881002B E -⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦10208(4)2110002A B E E -⎡⎤⎢⎥=-+=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦.方法2：由题设条件 124A B B E -=-等式两边左乘A ，得 2(4)B A B E =-则12(4)A B B E -=-（求1(4)B E --过程见方法1）11044120120220131212001201308840020020041002⎡⎤-⎢⎥---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥-⎢⎥⎣⎦08002014401104008002⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦. 十二、（本题满分6分）已知4阶方阵43214321,,,),,,,(αααααααα=A 均为4维列向量，其中432,,ααα线性无关，,2321ααα-=如果4321ααααβ+++=，求线性方程组β=Ax 的通解．【考点】线性方程组解的性质和解的结构、非齐次线性方程组的基础解系和通解【难易度】★★★★【详解】分析：方法1：由234,,ααα线性无关，及123420,αααα=-+即1234,,,αααα线性相关，及1234βαααα=+++知[][][]12341234,,,()3,,,,r r A r Ar ααααβααααβ====故Ax β=有解，且其通解为k ξη*+，其中k ξ是对应齐次方程0Ax =的通解，η*是Ax β=的一个特解,因 123420,αααα=-+故 []123412341220,,,010αααααααα⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=-+==⎢⎥⎢⎥⎣⎦故[]1,2,1,0Tξ=-是0Ax =的基础解系.又[]1234123411,,,11βαααααααα⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+++=⎢⎥⎢⎥⎣⎦故[]1,1,1,1Tη*=是Ax β=的一个特解，故方程组的通解为[][]1,2,1,01,1,1,1TTk -+.（其中k 是任意常数）方法2：令[]1234,,,Tx x x x x =则线性非齐次方程为[]112233441234,,,x x x x x ααααααααβ+++==已知1234βαααα=+++，故11223344x x x x αααα+++=1234αααα+++将1232ααα=-代入上式，得12213344(23)()(1)0x x x x x ααα+-+-++-=由已知234,,ααα线性无关，上式成立当且仅当1213423010x x x x x +=⎧⎪-+=⎨⎪-=⎩ 取自由未知量3x k =，则方程组有解431321,,,23x x k x x k x k =====-+即方程组Ax β=有通解123410232310101x k x k k x k x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦.（其中k 是任意常数）。

02年数二考研真题

02年数二考研真题2002年数学二考研真题是众多考生备考过程中的重要参考资料。

这份真题涵盖了数学二科目的各个方面，包括概率论、数理统计、高等代数、线性代数、数学分析等。

通过分析这份真题，我们可以了解考研数学二科目的难度和出题思路，为备考提供指导。

首先，我们来看一下概率论和数理统计部分的题目。

这部分题目主要考察考生对概率论和统计学的基本概念和应用能力。

例如，有一道题目要求计算一个随机变量的期望值和方差，考生需要熟悉随机变量的定义和性质，掌握计算期望值和方差的方法。

另外，还有一道题目要求计算两个随机变量的相关系数，考生需要了解相关系数的定义和计算公式，并能够灵活运用。

通过这些题目，考生可以加深对概率论和数理统计的理解，提高解题能力。

接下来，我们来看一下高等代数和线性代数部分的题目。

这部分题目主要考察考生对矩阵、向量空间和线性变换等概念的理解和应用能力。

例如，有一道题目要求计算一个矩阵的特征值和特征向量，考生需要掌握计算特征值和特征向量的方法，理解它们的几何意义。

另外，还有一道题目要求判断一个线性变换是否是正交变换，考生需要了解正交变换的定义和判定条件，并能够应用到具体问题中。

通过这些题目，考生可以加深对高等代数和线性代数的理解，提高解题能力。

最后，我们来看一下数学分析部分的题目。

这部分题目主要考察考生对极限、连续性和微分等概念的理解和应用能力。

例如，有一道题目要求证明一个函数在某个区间上连续，考生需要掌握连续函数的定义和判定条件，运用极限的性质进行证明。

另外，还有一道题目要求计算一个函数的导数，考生需要熟悉导数的定义和计算法则，并能够灵活运用。

通过这些题目，考生可以加深对数学分析的理解，提高解题能力。

综上所述，2002年数学二考研真题是一份重要的备考资料，通过分析这份真题，我们可以了解考研数学二科目的难度和出题思路，为备考提供指导。

在备考过程中，考生应该注重对概率论、数理统计、高等代数、线性代数和数学分析等基础知识的掌握和理解，加强解题能力的训练。

数学考研真题2002答案

数学考研真题2002答案数学考研真题2002答案数学考研是考验学生数学能力的重要考试之一。

每年都有大量的学生参加数学考研，希望能够通过这个考试进入自己理想的研究生院校。

而2002年的数学考研真题则是这个考试的一部分，下面我们来看看这些题目的答案。

第一题：设函数f(x)在区间[a,b]上连续，且在(a,b)内可导，试证明：对于任意的x1，x2∈(a,b)，存在ξ∈(x1,x2)，使得f(x2)-f(x1)=f'(ξ)(x2-x1)解答：根据题目给出的条件，我们可以知道函数f(x)在区间[a,b]上连续，且在(a,b)内可导。

根据拉格朗日中值定理，我们可以知道对于任意的x1，x2∈(a,b)，存在ξ∈(x1,x2)，使得f(x2)-f(x1)=f'(ξ)(x2-x1)所以，这个题目的答案是：存在ξ∈(x1,x2)，使得f(x2)-f(x1)=f'(ξ)(x2-x1)。

第二题：设函数f(x)在区间[a,b]上连续，且在(a,b)内可导，且存在常数M>0，使得|f'(x)|≤M (a<x<b)，试证明：对于任意的x1，x2∈(a,b)，有|f(x2)-f(x1)|≤M|x2-x1|解答：根据题目给出的条件，我们可以知道函数f(x)在区间[a,b]上连续，且在(a,b)内可导，且存在常数M>0，使得|f'(x)|≤M (a<x<b)。

根据拉格朗日中值定理，我们可以知道对于任意的x1，x2∈(a,b)，存在ξ∈(x1,x2)，使得f(x2)-f(x1)=f'(ξ)(x2-x1)由于|f'(x)|≤M (a<x<b)，所以|f'(ξ)|≤M。

将上式两边绝对值取得，我们可以得到|f(x2)-f(x1)|=|f'(ξ)(x2-x1)|≤M|x2-x1|所以，这个题目的答案是：对于任意的x1，x2∈(a,b)，有|f(x2)-f(x1)|≤M|x2-x1|。

2002考研数学真题+答案

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c a c a f (t )dt f (t )dt f (t )dt ， d b ab d b ab bc
2002 年 • 第 3 页
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郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·2002 年数学试题参考解答及评分标准
cd
当 ab cd 时，
ab
f (t )dt 0 ，由此得 I d b .
(1) 证明曲线积分 I 与路径 L 无关； (2) 当 ab cd 时，求 I 的值.
1 1 x 2 2 [1 y f ( xy)] f ( xy) 2 xyf ( xy) 2 [ y f ( xy) 1] 在 y y y x y 上半平面内处处成立，所以在上半平面内曲线积分 I 与路径无关.
D ( x, y) x 2 y 2 xy 75 ，小山的高度函数为 h( x, y) 75 x2 y2 xy ，
(1) 设 M ( x0 , y0 ) 为区域 D 上一点，问 h( x, y ) 在该点沿平面上什么方向导数最大？若记此方向导数的最大值为 g ( x0 , y0 ) ，试写出 g ( x0 , y0 ) 的表达式. (2) 现欲利用此小山开展攀岩活动，为此需要在山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起点，也就是说，要在 D 的边界线 x2 y2 xy 75 上找出使（1）中的 g ( x, y ) 达到最大值的点.试确定攀登起点的位置. 解：(1) 由梯度的几何意义知， h( x, y ) 在点 M ( x0 , y0 ) 处沿梯度
x 0
1 ，故所求切线方程为 y x .
e
D
max{ x 2 , y 2 }

2002年全国硕士研究生入学统一考试数学二真题及详解

2002年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及详解试题部分一、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．把答案填在题中横线上．）（1）设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤>-=0,e ,0,2arcsine 1)(2tan x a x xx f xx在0=x 处连续，则=a ______．（2）位于曲线xxey -=,+∞<≤x 0下方，x 轴上方的无界图形的面积是______．（3）微分方程02='+"y yy 满足初始条件10==x y，21|0='=x y 的特解是______．（4）++++∞→n n n n π2cos 1πcos 1[1lim=++]πcos 1nn Λ______．（5）矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----222222220的非零特征值是______．二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内．）（1）设函数)(u f 可导，)(2x f y =当自变量x 在1-=x 处取得增量1.0-=∆x 时，相应的函数增量y ∆的线性主部为1.0，则)1(f '＝（）（A ）－1．（B ）0.1．（C ）1．（D ）0.5．（2）设函数)(x f 连续，则下列函数中必为偶函数的是（）（A ）.d )(20t t f x⎰（B ）.d )(20t t f x⎰（C ）.d )]()([0t t f t f t x--⎰（D ）.d )]()([0t t f t f t x-+⎰（3）设)(x y y =是二阶常系数微分方程xqy py y 3e =+'+"满足初始条件=)0(y0)0(='y 的特解，则当0→x 时，函数)()1ln(2x y x +的极限（）（A ）不存在．（B ）等于1．（C ）等于2．（D ）等于3．（4）设函数)(x f y =在),0(+∞内有界且可导，则（）（A ）当0)(lim =+∞→x f x 时，必有.0)(lim ='+∞→x f x（B ）当)(lim x f x '+∞→存在时，必有.0)(lim ='+∞→x f x（C ）当0)(lim 0=+→x f x 时，必有.0)(lim 0='+→x f x（D ）当)(lim 0x f x '+→存在时，必有.0)(lim 0='+→x f x（5）设向量组321,,ααα线性无关，向量1β可由321,,ααα线性表示，而向量2β不能由321,,ααα线性表示，则对于任意常数k ，必有（）（A ）321,,ααα21,ββ+k 线性无关．（B ）321,,ααα21,ββ+k 线性相关．（C ）321,,ααα21,ββk +线性无关．（D ）321,,ααα21,ββk +线性相关．三、（本题满分6分）已知曲线的极坐标方程是θcos 1-=r ，求该曲线上对应于6π=θ处的切线与法线的直角坐标方程．四、（本题满分7分）设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤+<≤-+=,10,)1e (e,01,232)(22x x x x x x f x x求函数t t f x F x d )()(1⎰-=的表达式．五、（本题满分7分）已知函数)(x f 在),0(+∞内可导，1)(lim ,0)(=>+∞→x f x f x ，且满足,e ))()((lim 110x hh x f hx x f =+→ 求)(x f ．六、（本题满分7分）求微分方程0)2(=-+dx y x xdy 的一个解)(x y y =，使得由曲线)(x y y =与直线2,1==x x 以及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周的旋转体体积最小．七、（本题满分7分）某闸门的形状与大小如图所示，其中直线l 为对称轴，闸门的上部为矩形ABCD ，下部由二次抛物线与线段AB 所围成．当水面与闸门的上端相平时，欲使闸门矩形部分承受的水压力与闸门下部承受的水压力之比为4:5，闸门矩形部分的高h 应为多少m （米）？八、（本题满分8分）设),2,1()3(,3011Λ=-=<<+n x x x x n n n ，证明数列}{n x 的极限存在，并求此极限．九、（本题满分8分）设b a <<0，证明不等式⋅<--<+ab a b a b b a a 1ln ln 222十、（本题满分8分）设函数)(x f 在0=x 的某邻域内具有二阶连续导数，且0)0(,0)0(,0)0(≠''≠'≠f f f .证明：存在惟一的一组实数321,,λλλ，使得当0→h 时，)0()3()2()(321f h f h f h f -++λλλ是比2h 高阶的无穷小．十一、（本题满分6分）已知B A ,为3阶矩阵，且满足E B B A 421-=-，其中E 是3阶单位矩阵．（1）证明：矩阵E A 2-可逆；（2）若⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=200021021B ，求矩阵A ．十二、（本题满分6分）已知4阶方阵43214321,,,),,,,(αααααααα=A 均为4维列向量，其中432,,ααα线性无关，,2321ααα-=如果4321ααααβ+++=，求线性方程组β=Ax 的通解．详解部分一、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．把答案填在题中横线上．）（1）设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤>-=0,e ,0,2arcsine 1)(2tan x a x xx f xx在0=x 处连续，则=a ______．【答案】2-【考点】函数的左极限和右极限、函数连续的概念【难易度】★★【详解】本题涉及到的主要知识点：若函数)(x f 在0x x =处连续，有)()(lim )(lim 00x f x f x f x x x x ==+-→→解析：tan 0001tan lim ()lim lim 2arcsin22x x x x e xf x x x+++→→→--=-== 20lim ()lim ,(0),xx x f x ae a f a --→→===()f x 在0x =处连续(0)(0)(0),f f f +-⇔==即 2.a =- （2）位于曲线xxe y -=,+∞<≤x 0下方，x 轴上方的无界图形的面积是______．【答案】1【考点】定积分的几何应用—平面图形的面积【难易度】★★【详解】解析：所求面积为1)(00=-=+-=-==+∞-∞+-+∞--∞+∞+-⎰⎰⎰xx xx xedx e xee xd dx xe S ．其中，()01lim lim lim =--=-+∞→+∞→-+∞→xx xx xx e e x xe洛必达.（3）微分方程02='+"y yy 满足初始条件10==x y，21|0='=x y 的特解是______．【答案】y =【考点】可降阶的高阶微分方程【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：可降阶的高阶微分方程,若缺x ，则令dydp py p y =''=',. 解析：方法1：将20yy y '''+=改写为()0yy ''=，从而得1yy C '=.以初始条件1(0)1,(0)2y y '==代入，有1112C ⨯=，所以得12yy '=.即21yy '=，改写为2()1y '=.解得2,y x C =+y =再以初值代入，1=""+且21C =.于是特解y =方法2：这是属于缺x 的类型(,)y f y y '''=.命,dp dp dy dpy p y p dx dy dx dy'''====. 原方程20yy y '''+=化为20dp ypp dy +=，得0p =或0dpy p dy+= 0p =即0dy dx =，不满足初始条件1'02y x ==，弃之，由0dp yp dy +=按分离变量法解之，得1.C y 由初始条件11,'002y y x x ====可将1C 先定出来：1111,212C C ==.于是得12dy dx y =,解之，得22,y x C y =+=以01x y ==代入，得1=，所以应取“+”号且21C =.于是特解是y =（4）++++∞→n n n n π2cos 1πcos 1[1lim=++]πcos 1nn Λ______．【考点】定积分的概念【难易度】★★★【详解】解析：记1n u n =11n i n == 所以011lim lim n n n n i u n →∞→∞===⎰11coscos22xxdx dx ππ===⎰12sin2x πππ==.（5）矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----222222220的非零特征值是______．【答案】4【考点】矩阵的特征值的计算【难易度】★★【详解】解析：22222220222222E A λλλλλλλλ-=--=--200011(4)222λλλλλ==--故4λ=是矩阵的非零特征值.（另一个特征值是0λ=(二重)）二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内．）（1）设函数)(u f 可导，)(2x f y =当自变量x 在1-=x 处取得增量1.0-=∆x 时，相应的函数增量y ∆的线性主部为1.0，则)1(f '＝（）（A ）－1．（B ）0.1．（C ）1．（D ）0.5．【答案】D【考点】导数的概念、复合函数的求导法则【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点： ①dy 为y ∆的线性主部； ②)()]([))]([(x g x g f x g f ''='；解析：在可导条件下，0()x x dyy x o x dx=∆=∆+∆.当00x x dy dx =≠时0x x dyx dx =∆称为y ∆的线性主部，现在2()2dyx f x x x dx'∆=∆，以1,0.1x x =-∆=-代入得(1)0.2dyx f dx'∆=⨯，由题设它等于0.1，于是(1)0.5f '=，应选（D ）. （2）设函数)(x f 连续，则下列函数中必为偶函数的是（）（A ）.d )(20t t f x⎰（B ）.d )(20t t f x⎰（C ）.d )]()([0t t f t f t x--⎰（D ）.d )]()([0t t f t f t x-+⎰【答案】D【考点】函数的奇偶性、积分上限的函数及其导数【难易度】★★【详解】解析：[()()]t f t f t +-为t 的奇函数，[()()]xt f t f t dt +-⎰为x 的偶函数，（D ）正确，（A ）、（C ）是x 的奇函数，（B ）可能非奇非偶.例如()1f t t =+，均不选.（3）设)(x y y =是二阶常系数微分方程xqy py y 3e =+'+"满足初始条件=)0(y0)0(='y 的特解，则当0→x 时，函数)()1ln(2x y x +的极限（）（A ）不存在．（B ）等于1．（C ）等于2．（D ）等于3．【答案】C【考点】洛必达法则、佩亚诺型余项泰勒公式【难易度】★★【详解】解析：方法1：220000ln(1)222limlim lim lim 2()()()()1x x x x x x x y x y x y x y x →→→→+==='''洛洛方法2：由(0)(0)0,(0)1y y y '''===.由佩亚诺余项泰勒公式展开，有22()00()2x y x o x =+++，代入，有222000222ln(1)1lim lim lim 211()()()22x x x x x o x y x x o x x→→→+==++=. （4）设函数)(x f y =在),0(+∞内有界且可导，则（）（A ）当0)(lim =+∞→x f x 时，必有.0)(lim ='+∞→x f x（B ）当)(lim x f x '+∞→存在时，必有.0)(lim ='+∞→x f x（C ）当0)(lim 0=+→x f x 时，必有.0)(lim 0='+→x f x（D ）当)(lim 0x f x '+→存在时，必有.0)(lim 0='+→x f x【答案】B【考点】导数的概念【难易度】★★★★【详解】解析：方法1：排斥法（A ）的反例21()sin ,f x x x =它有界，221()sin 2cos ,lim ()0x f x x x f x x→+∞'=-+=，但lim ()x f x →+∞'不存在.(C)与(D)的反例同（A ）的反例.0lim ()0x f x →+=,但0lim ()10x f x →+'=≠，（C ）不成立；0lim ()10x f x →+'=≠，（D ）也不成立.（A ）、（C ）、（D ）都不对，故选（B ）．方法2：证明（B ）正确.设lim ()x f x →+∞'存在，记为A ，求证0A =.用反证法，设0A ≠.若0A >，则由保号性知，存在00x >，当0x x >时()2Af x '>,在区间0[,]x x 上对()f x 用拉格朗日中值定理知,有00000()()()()()(),.2Af x f x f x x f x x x x x ξξ'=+->+-<<,x →+∞，从而有()f x →+∞，与()f x 有界矛盾.类似可证若0A <亦矛盾.（5）设向量组321,,ααα线性无关，向量1β可由321,,ααα线性表示，而向量2β不能由321,,ααα线性表示，则对于任意常数k ，必有（）（A ）321,,ααα21,ββ+k 线性无关．（B ）321,,ααα21,ββ+k 线性相关．（C ）321,,ααα21,ββk +线性无关．（D ）321,,ααα21,ββk +线性相关．【答案】A【考点】向量的线性表示【难易度】★★★【详解】解析：方法1：对任意常数k ，向量组123,,ααα，12k ββ+线性无关.用反证法，若123,,ααα，12k ββ+线性相关，因已知123,,ααα线性无关，故12k ββ+可由123,,ααα线性表出.设12112233k ββλαλαλα+=++,因已知1β可由123,,ααα线性表出，设为1112233l l l βααα=++代入上式，得2111222333()()()l l l βλαλαλα=-+-+-这和2β 不能由123,,ααα线性表出矛盾.故向量组123,,ααα，12k ββ+线性无关，应选（A ）.方法2：用排除法取0k =，向量组123,,ααα，12k ββ+即123,,ααα，2β线性相关不成立，排除（B ）.取0k =，向量组123,,ααα，12k ββ+，即123,,ααα，1β线性无关不成立，排除（C ）.0k ≠时，123,,ααα，12k ββ+线性相关不成立（证法与方法1类似，当1k =时，选项（A ）、（D ）向量组是一样的，但结论不同，其中（A ）成立，显然（D ）不成立.）排除（D ）.三、（本题满分6分）已知曲线的极坐标方程是θcos 1-=r ，求该曲线上对应于6π=θ处的切线与法线的直角坐标方程．【考点】平面曲线的切线、平面曲线的法线【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：①切线方程：)(000x x y y y -'=- ②法线方程：)(1000x x y y y -'-=- 解析：极坐标曲线1cos r θ=-化成直角坐标的参数方程为(1cos )cos (1cos )sin x y θθθθ=-⎧⎨=-⎩ 即2cos cos sin cos sin x y θθθθθ⎧=-⎨=-⎩ 曲线上6πθ=的点对应的直角坐标为31,,42- 22666cos sin cos 1.sin 2cos sin dy dyd dx dxd ππθθπθθθθθθθθθ===+-===-+于是得切线的直角坐标方程为13()24y x -=-，即504x y -=法线方程为113()(()),24124y x --=---即104x y +-=. 四、（本题满分7分）设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤+<≤-+=,10,)1e (e ,01,232)(22x x x x x x f x x求函数t t f x F x d )()(1⎰-=的表达式．【考点】定积分的分部积分法、积分上限的函数及其导数【难易度】★★★ 【详解】解析：当10x -≤<时2233213111()(2)().12222xx F x t t dt t t x x -=+=+=+--⎰ 当01x ≤<时，011()()()()xxF x f t dt f t dt f t dt --==+⎰⎰⎰23200000111()12(1)2(1)11021121111ln(1)ln(1)ln 202121t x x t t tx x t t x tt x x x te t t dt tde e x t dt xe dt e e e e x x x e e e e ----=++=---++=--+=--+++++=---+=---++++⎰⎰⎰⎰所以3211,1022()1ln ln 2,01112xx x x x x F x e x x e e ⎧+--≤<⎪⎪=⎨⎪-+-≤<⎪++⎩当当五、（本题满分7分）已知函数)(x f 在),0(+∞内可导，1)(lim ,0)(=>+∞→x f x f x ，且满足,e ))()((lim 110x hh x f hx x f =+→ 求)(x f ．【考点】导数的概念、一阶线性微分方程【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：e =∆+∆→∆10)1(lim ；∆-∆+='→∆)()(lim)(0x f x f x f ，其中∆可以代表任何形式；解析：11()ln h ()()()f x hx hf x f x hx ef x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎛⎫+= ⎪⎝⎭，001()1()()lim ln lim ln(1)()()h h f x hx f x hx f x h f x h f x →→⎛⎫++-=+ ⎪⎝⎭001()()()()lim ln()lim ()()()()(),0.()h h f x hx f x x f x hx f x h f x f x f x x f x x f x →→+-+-=='=≠从而得到 1()1()0()lim ()xf x hf x x h f x hx e ef x '→⎛⎫+= ⎪⎝⎭由题设于是推得()1()xf x f x x '=，即 2()1()f x f x x '= 解此微分方程，得 11ln ()f x C x=-+ 改写成 1()xf x Ce-=再由条件lim ()1x f x →+∞=，推得1C =，于是得1().xf x e -=六、（本题满分7分）求微分方程0)2(=-+dx y x xdy 的一个解)(x y y =，使得由曲线)(x y y =与直线2,1==x x 以及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周的旋转体体积最小．【考点】旋转体的体积、一阶线性微分方程、函数的最大值与最小值【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：dx x fV bax ⎰=)(2π解析：一阶线性微分方程21y y x'-=-，由通解公式有 22[]dx dx x x y eedx C ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰=-+⎰221[]x dx C x =-+⎰221(),12x C x Cx x x=+=+≤≤ 由曲线2y x Cx =+与1,2x x ==及x 轴围成的图形绕x 轴旋转一周所成的旋转体的体积为2222131157()()523V x Cx dx C C ππ=+=++⎰,令6215()052dV C dC π=+=,得75.124C =- 又()0V C ''>，故75124C =-为V 的惟一极小值点，也是最小值点，于是所求曲线为275.124y x x =-七、（本题满分7分）某闸门的形状与大小如图所示，其中直线l 为对称轴，闸门的上部为矩形ABCD ，下部由二次抛物线与线段AB 所围成．当水面与闸门的上端相平时，欲使闸门矩形部分承受的水压力与闸门下部承受的水压力之比为4:5，闸门矩形部分的高h 应为多少m （米）？【考点】定积分的物理应用—压力【难易度】★★★★【详解】解析：建立坐标系，细横条为面积微元，面积微元2dA xdy =，因此压力微元 2(1)dp gx h y dy ρ=+- 平板ABCD 上所受的总压力为 1102(1)hP gx h y dy ρ+=+-⎰其中以1x =代入，计算得 21P gh ρ=.抛物板AOB 上所受的总压力为 1202(1),P gx h y dy ρ=+-⎰其中由抛物线方程知x y =2124()315P g h ρ=+，由题意12:5:4P P =，即，251244()315h h =+ 解之得2h =（米）（13h =-舍去），即闸门矩形部分的高应为2m . 八、（本题满分8分）设),2,1()3(,3011Λ=-=<<+n x x x x n n n ，证明数列}{n x 的极限存在，并求此极限．【考点】数列的极限【难易度】★★★【详解】解析：方法1：考虑（1）19(3)3343222n n n x x x ----==222933()4203322n n n x x x -+---==≤+ 所以132n x +≤（当1,2,n =L ），即32n x ≤（当2,3,n =L ），数列{}2,3,n x n =L 有上界32.再考虑（2）21n n n x x x --==0.=≥ 2,3,n =L .所以{}n x 单调增加.单调增加数列{}n x 有上界，所以lim n n x →∞存在，记为.a(3)由1n x +a 2230,a a -=得32a =或0a =，但因0n x >且单调增，故0a ≠，所以3lim 2n n x →∞=.方法2：由103x <<知1x 及13x -（）均为正数，故)211130(3).22x x x *<≤+-= 设302k x <≤，则113(3).22k k k x x x +≤+-= 由数学归纳法知，对任意正整数2n ≥有302n x <≤.210.n n n x x x +≤=≥-所以{}n x 单调增，单调增加数列{}n x 有上界，所以lim n n x →∞存在，记为a .再由1n x +=两边命n →∞取极限，得a =32a =或0a =，但因0n x >且单调增加，故0a ≠，所以32a =. 九、（本题满分8分）设b a <<0，证明不等式⋅<--<+ab a b a b b a a 1ln ln 222【考点】函数单调性的判别【难易度】★★★【详解】解析：左、右两个不等式分别考虑先证左边不等式，方法1：由所证的形式想到试用拉格朗日中值定理.ln ln 1(ln ),0.x b ax a b b aξξξ=-'==<<<-而22112a b a bξ>>+. 其中第二个不等式来自不等式222a b ab +>（当0a b <<时），这样就证明了要证明的左边. 方法2：用单调性证，将b 改写为x 并移项，命222()()ln ln a x a x x a a x ϕ-=--+，有()0a ϕ=.22222124()()()a ax x a x x a x a x ϕ-'=-+++222222()4()0()()x a ax x a x a x a x --=+>++（当0a x <<），而推知当0x a >>时()0x ϕ>，以x b =代入即得证明.再证右边不等式，用单调性证，将b 改写为x 并移项，命()ln ln ),x x a x aφ=---有()0a φ=，及21()0,x x φ'==<所以当0x a >>时，()0x φ<，再以x b =代入，便得ln ln ),b a b a-<-即ln ln b a b a -<-右边证毕.十、（本题满分8分）设函数)(x f 在0=x 的某邻域内具有二阶连续导数，且0)0(,0)0(,0)0(≠''≠'≠f f f .证明：存在惟一的一组实数321,,λλλ，使得当0→h 时，)0()3()2()(321f h f h f h f -++λλλ是比2h 高阶的无穷小．【考点】无穷小的比较，洛必达法则【难易度】★★★【详解】解析：方法1：由题目，去证存在唯一的一组123,,λλλ,1232()(2)(3)(0)lim0h f h f h f h f L h λλλ→++-==由此知，分子极限应为0，由()f x 在0x =连续，于是推知，应有123 1.λλλ++= （1）由洛必达法则，1232()(2)(3)(0)limh f h f h f h f L h λλλ→++-=1230()2(2)3(3)lim 2h f h f h f h hλλλ→'''++= （2）分子的极限为1231230lim(()2(2)3(3))(23)(0)h f h f h f h f λλλλλλ→''''++=++，若不为0，则式（1）应为∞，与原设为0矛盾，故分子的极限应是0，即 123230λλλ++= （3）对（2）再用洛必达法则，1231230()4(2)9(3)1lim(49)(0)22h f h f h f h L f λλλλλλ→''''''++''==++ 由(0)0f ''≠，故应有 123490λλλ++= （4）将（1）、（3）、（4）联立解之，由于系数行列式11112320,149=≠由克莱姆法则知，存在唯一的一组解满足题设要求，证毕. 方法2：由佩亚诺余项泰勒公式2211()(0)(0)(0)(),2f h f f h f h o h '''=+++ 222(2)(0)2(0)2(0)(),f h f f h f h o h '''=+++2239(3)(0)3(0)(0)(),2f h f f h f h o h '''=+++ 代入1232()(2)(3)(0)0limh f h f h f h f hλλλ→++-=2123123123201(1)(0)(23)(0)(49)(0)2lim h f f h f h h λλλλλλλλλ→⎡'''++-++++++⎢=⎢⎢⎣2221122332()()()o h o h o h h λλλ⎤+++⎥⎦，上面[]中第二项极限为0，所以第一项中应有1231231231230490λλλλλλλλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 由于系数行列式11112320,149=≠ 由克莱姆法则知，存在唯一的一组解满足题设要求，证毕. 十一、（本题满分6分）已知B A ,为3阶矩阵，且满足E B B A 421-=-，其中E 是3阶单位矩阵．（1）证明：矩阵E A 2-可逆；（2）若⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=200021021B ，求矩阵A ．【考点】逆矩阵的概念、矩阵的计算【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：若有E AB =则称B A ,互逆.解析：（1）由题设条件124A B B E -=-两边左乘A ，得 24B AB A =- 即 24AB B A -=(2)4884(2)8A E B A E E A E E -=-+=-+ (2)(4)8A E B E E --=1(2)(4)8A EB E E --=得证2A E -可逆（且11(2)(4)8A EB E --=-）.(2) 方法1：由（1）结果知111(2)(4)8(4)8A E B E B E --⎡⎤-=-=-⎢⎥⎣⎦18(4)2A B E E -=-+1204003204120040120002004002B E ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦[]3201001200104120010320100002001002001B E E ⎡--⎤⎡-⎤⎢⎥⎢⎥-=-→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦M0101200101201308013001008800110011000022⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥→-→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎣⎦11044100130100880011002⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦故 11104413(4)0881002B E -⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦10208(4)2110002A B E E -⎡⎤⎢⎥=-+=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦.方法2：由题设条件 124A B B E -=- 等式两边左乘A ，得 2(4)B A B E =-则12(4)A B B E -=-（求1(4)B E --过程见方法1）11044120120220131212001201308840020020041002⎡⎤-⎢⎥---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥-⎢⎥⎣⎦08002014401104008002⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦. 十二、（本题满分6分）已知4阶方阵43214321,,,),,,,(αααααααα=A 均为4维列向量，其中432,,ααα线性无关，,2321ααα-=如果4321ααααβ+++=，求线性方程组β=Ax 的通解．【考点】线性方程组解的性质和解的结构、非齐次线性方程组的基础解系和通解【难易度】★★★★【详解】解析：方法1：由234,,ααα线性无关，及123420,αααα=-+即1234,,,αααα线性相关，及1234βαααα=+++知[][][]12341234,,,()3,,,,r r A r A r ααααβααααβ====M故Ax β=有解，且其通解为k ξη*+，其中k ξ是对应齐次方程0Ax =的通解，η*是Ax β=的一个特解,因 123420,αααα=-+故 []123412341220,,,010αααααααα⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=-+==⎢⎥⎢⎥⎣⎦故[]1,2,1,0Tξ=-是0Ax =的基础解系.又[]1234123411,,,11βαααααααα⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+++=⎢⎥⎢⎥⎣⎦故[]1,1,1,1Tη*=是Ax β=的一个特解，故方程组的通解为[][]1,2,1,01,1,1,1TTk -+.（其中k是任意常数）方法2：令[]1234,,,Tx x x x x =则线性非齐次方程为[]112233441234,,,x x x x x ααααααααβ+++==已知1234βαααα=+++，故11223344x x x x αααα+++=1234αααα+++将1232ααα=-代入上式，得12213344(23)()(1)0x x x x x ααα+-+-++-=由已知234,,ααα线性无关，上式成立当且仅当1213423010x x x x x +=⎧⎪-+=⎨⎪-=⎩ 取自由未知量3x k =，则方程组有解431321,,,23x x k x x k x k =====-+即方程组Ax β=有通解123410232310101x k x k k x k x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦.（其中k 是任意常数）。

2002年考研数学二真题及答案解析

2002年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析
一、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．把答案填在题中横线上．）
1 etan x
（1）设函数
f
(
x)

arcsin
x
,

2
ae2x ,
x 0, x0
在 x 0 处连续，则 a ______．
【答案】 2
n n
n
n
n
【答案】 2 2
【考点】定积分的概念
【难易度】★★★
【详解】解析：记
un

1 n

1 cos n
1 cos 2 ... n
1
cos
n

1
n
n n i1
1 cos i , n
所以
lim
n
un

1 lim n n
n i 1
（A）－1．【答案】D
（B）0.1．
（C）1．
【考点】导数的概念、复合函数的求导法则
（D）0.5．
【难易度】★★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
① dy 为 y 的线性主部；
② ( f [g(x)]) f [g(x)]g(x) ；
解析：在可导条件下， y dy dx
xx0 x o(x) .
y(0)
1,
y(0)

1 2
代入，有1
1 2

C1
，所以得
yy

1 2
.即
2 yy
1，改写为
( y2 )

1.解得
y x C2 , y x C2 .再以初值代入，1 C2 所以应取" " 且 C2 1.于是特解

2002-数二真题、标准答案及解析

1 et
−
et
1 +
1
⎞⎟⎠dt
=
−
1 2
−
x+ ex +1
ln
et et +1
x
=
−
1 2
−
x ex +1
+
ln
ex + ex +1
ln
2.
0
所以
F
(
x
)
=
⎧1 ⎪⎪ 2 ⎨ ⎪⎪⎩ −
x3 + x2 − 1 , 2
1 2
−
e
x
x +
1
+
ln
e
ex x+
1
+
ln
2,
−1 ≤ x < 0 0≤ x≤1
⎡ λ −2 −2 ⎤ λ 2 2
λE − A = ⎢⎢−2 λ − 2
−2
⎥ ⎥
=
0
λ
λ
⎢⎣−2 −2 λ − 2⎥⎦ 2 2 λ − 2
λ2 2
= λ 0 1 1 = λ2 (λ − 4),
2 2 λ−2
-2-
所以非零特征值为 λ ＝4.
二、选择题
（1）设函数 f (u )可导，y = f (x2 )当自变量x在x = −1处取得增量 ∆x = −0.01时，相
β1＝k1α1 + k2α2 + k3α3,
于是通过列初等变换有
(α1，α2，α3, k β1 + β2 )＝(α1，α2，α3, kk1α1 + kk2α2 + kk3α3 + β2 ) → (α1，α2，α3, β2 )

2001-2002考研数学二历年真题

2002年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分)1．设函数)(2arcsin 12tan ≤<⎪⎩⎪⎨⎧=-x x aex f xe xx在0=x 处连续，则=a （）． 2．位于曲线xxe y -=（+∞<≤x 0）下方，x 轴上方的无界图形的面积为（）．3．02='+''y y y 满足初始条件21)0(,1)0(='=y y 的特解是（）．4．1lim n n→∞=（）． 5．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----222222220的非零特征值是（）．二、单项选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分．)１．函数)(u f 可导，)(2x f y =当自变量x 在1-=x 处取得增量1.0-=∆x 时，相应的函数增量y ∆的线性主部为０．１，则)1(f '＝（Ａ）－１；（Ｂ）０．１；（Ｃ）１；（Ｄ）０．５．２．函数)(x f 连续，则下列函数中，必为偶函数的是 (A)⎰x dt t f 02)(； (B)⎰x dt t f 02)(；(C)⎰--xdt t f t f t 0)]()([； (D) ⎰-+x dt t f t f t 0)]()([．３．设)(x f y =是二阶常系数微分方程xe qy y p y 3=+'+''满足初始条件0)0()0(='=y y 的特解，则极限)()1ln(lim 20x y x x +→(A)不存在；（Ｂ）等于１； (C)等于２； (D) 等于３．４．设函数)(x f 在+R 上有界且可导，则(A)当0)(lim =+∞→x f x 时，必有0)(lim ='+∞→x f x ；（Ｂ）当)(lim x f x '+∞→存在时，必有0)(lim ='+∞→x f x ；(C) 当0)(lim 0=+→x f x 时，必有0)(lim 0='+→x f x ；(D) 当)(lim 0x f x '+→存在时，必有0)(lim 0='+→x f x ．5．设向量组321,,ααα线性无关，向量1β可由321,,ααα线性表示，而向量2β不能由321,,ααα线性表示，则对于任意常数k 必有（Ａ）21321,,,ββααα+k 线性无关；(B) 21321,,,ββααα+k 线性相关；（Ｃ）21321,,,ββαααk +线性无关； (D) 21321,,,ββαααk +线性相关．三、（本题满分6分）已知曲线的极坐标方程为θcos 1-=r ，求该曲线对应于6πθ=处的切线与法线的直角坐标方程．四、（本题满分７分）设函数10012)(2)1(223≤≤<≤-⎪⎩⎪⎨⎧+==+x x xx x f y x x e xe ，求函数⎰-=x dt t f x F 1)()(的表达式．五、（本题满分７分）已知函数)(x f 在+R 上可导，0)(>x f ，1)(lim =+∞→x f x ，且满足x he xf hx x f h 11))()((lim 0=+→，求)(x f ．六、（本题满分７分）求微分方程0)2(=-+dx y x xdy 的一个解)(x y y =，使得由曲线)(x y y =与直线2,1==x x 以及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周的旋转体的体积最小．七、（本题满分7分）某闸门的形状与大小如图所示，其中直线l 为对称轴，闸门的上部为矩形ＡＢＣＤ，下部由二次曲线与线段ＡＢ所围成．当水面与闸门的上断相平时，欲使闸门矩形部分与承受的水压与闸门下部承受的水压之比为５：４，闸门矩形部分的高h 应为多少？八、（本题满分８分）设30<<n x ，)3(1n n n x x x -=+（n ＝１，２，３，…）．证明：数列｛n x ｝的极限存在，并求此极限．九、（本题满分８分）设0>>a b ，证明不等式aba b a b b a a 1ln ln 222<--<+．十、（本题满分8分）设函数)(x f 在x ＝０的某邻域具有二阶连续导数，且0)0()0()0(≠'''f f f ．证明：存在惟一的一组实数c b a ,,，使得当0→h 时， )()0()3()2()(2h o f h cf h bf h af =-++．十一、（本题满分６分）已知Ａ，Ｂ为三阶方阵，且满足E B B A 421-=-．⑴证明：矩阵E A 2-可逆；⑵若⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=200021021B ，求矩阵Ａ．十二、（本题满分６分）已知四阶方阵),,,(4321αααα=A ， 4321,,,αααα均为四维列向量，其中432,,ααα线性无关，3212ααα-=．若4321ααααβ+++=，求线性方程组β=Ax 的通解．2001年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分) 1、213lim21-++--→x x xx x =（）． 2、曲线1)cos(2-=-+e xy e yx 在点（0，1）处的切线方程为：（）．3、xdx x x 223cos )sin (22⎰-+ππ=（）． 4、微分方程11arcsin 2=-+'x y x y 满足)(21y =0的特解为：（）． 5、方程组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛211111111321x x x a a a 有无穷多解，则a =（）．二、单项选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分．) 1、1101)(>≤⎩⎨⎧=x x x f 则)]}([{x f f f =（ A ） 0；（B ）1；（C ）1101>≤⎩⎨⎧x x ；（D ）111>≤⎩⎨⎧x x ．2、0→x 时，)1ln()cos 1(2x x +-是比n x x sin 高阶的无穷小，而nx x sin 是比12-x e 高阶的无穷小，则正整数n 等于（ A ）1；（B ）2；（C ）3；（D ）4． 3、曲线22)3()1(--=x x y 的拐点的个数为（ A ）０；（B ）１；（C ）２；（D ）３．4、函数)(x f 在区间（1-δ，1+δ）内二阶可导，)(x f ' 严格单调减小，且 )1(f =)1(f '=1，则（A ）在（1-δ，1）和（1，1+δ）内均有)(x f x <；（B ）在（1-δ，1）和（1，1+δ）内均有)(x f x >；（C ）在（1-δ，1）内有)(x f x <，在（1，1+δ）内有)(x f x >；（D ）在（1-δ，1）内有)(x f x >，在（1，1+δ）内有)(x f x <． 5、（同数学一的二1）三、（本题满分6分）求⎰++221)12(xxdx．四、（本题满分7分）求函数)(x f =sin sin sin lim()sin xt x t x t x-→的表达式，并指出函数)(x f 的间断点及其类型．五、（本题满分7分）设)(x ρρ=是抛物线x y =上任意一点M （y x ,）（1≥x ）处的曲率半径，)(x s s =是该抛物线上介于点A （1，1）与M 之间的弧长，计算222)(3ds d ds d ρρρ-的值（曲率K ＝23)1(2y y '+''）．六、（本题满分7分）)(x f 在[0，+∞）可导，)0(f =0，且其反函数为)(x g ．若x x f e x dt t g 2)(0)(=⎰，求)(x f ．七、（本题满分7分）设函数)(x f ，)(x g 满足)(x f '=)(x g ， )(x g '=2xe －)(x f且)0(f =0，(0)g =2，求dx x x f x x g ⎰+-+π2])1()(1)([八、（本题满分9分）设L 为一平面曲线，其上任意点P （y x ,）（0>x ）到原点的距离，恒等于该点处的切线在y 轴上的截距，且L 过点（0.5，0）． 1、求L 的方程2、求L 的位于第一象限部分的一条切线，使该切线与L 以及两坐标轴所围成的图形的面积最小．九、（本题满分7分）一个半球型的雪堆，其体积的融化的速率与半球面积S 成正比比例系数K>0．假设在融化过程中雪堆始终保持半球形状，已知半径为 r 0 的雪堆在开始融化的3小时内，融化了其体积的7/8，问雪堆全部融化需要多少时间？十、（本题满分8分）)(x f 在[-a ，a]上具有二阶连续导数，且)0(f =01、写出)(x f 的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式；2、证明在[-a ，a]上至少存在一点η，使⎰-=''a adx x f f a )(3)(3η十一、（本题满分6分）已知⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=011101110,111011001B A 且满足AXA+BXB=AXB+BXA+E ，求X ．十二、（本题满分6分）设4321,,,αααα为线性方程组AX=O 的一个基础解系， 144433322211,,,ααβααβααβααβt t t t +=+=+=+=，其中t 为实常数试问t 满足什么条件时4321,,,ββββ也为AX=O 的一个基础解系．（资料素材和资料部分来自网络，供参考。

1997-2002考研数学二历年真题

量，其中 2 , 3 , 4 线性无关， 1 2 2
3 ．若
1
2
3
4 ，求线性方程组
Ax 的通解．
2001 年全国硕士研究生入学统一考试数学 ( 二 ) 试题
一、填空题 (本题共 5 小题 ,每小题 3 分 ,满分 15 分 )
3x 1x
1、 lim x1
x2 x 2
=（
）．
2、曲线 e2x y cos(xy) e 1 在点（ 0， 1）处的切线方程为：（
）．
3 ． yy
（
y2
0满足初始条件
y(0) 1, y (0)
1 2
的特解是
）．
4
．
lim 1 [ 1 cos
1 cos2
1 cos n ]
=
nn
n
n
n
（
）．
0 22
5．矩阵 2 2
2 的非零特征值是（
）．
2 22
二、单项选择题 (本题共 5 小题 ,每小题 3 分,满分 15 分． )
１．函数 f (u) 可导， y f ( x 2 ) 当自变量 x 在 x 1处取得增量 x 0.1时，相应的函
率半径， s
s(x) 是该抛物线上介于点
A（1，1）与 M 之间的弧长，计算
3
d2 ds 2
d (
)2
ds
y
的值（曲率 K＝
3 ）．
(1 y 2) 2
六、（本题满分 7 分） f ( x) 在 [0， + ）可导， f (0) =0，且其反函数为 g (x) ．
f ( x)
若
g (t )dt x2ex ，求 f ( x) ．

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3
线性表出矛盾．故向量组
，
线性无关，选
1, 2, 3
2
(A) 方法 2：用排除法
B 选项：取 k
0 ，向量组
，k
1, 2, 3
1
1, 2, 3 k
1
2
即 1, 2 , 3 ，
2
2
线性相关不成
立，否则因为
，线性相关，又
1, 2, 3
线性无关，故可由
1, 2 , 3
线性表出．即存在常数
2
，使得
1, 2 , 3
2.
(2)【答案】 1 【详解】面积
S xe dx
xde
x
x
0
0
xe e dx
x
x
0
b
xe e
xe e
x
x
x
x
lim
0
b
0b
b
1
其中
．
lim be b lim
lim 0
洛
b
b
b
e
e
b
b
lim be b e b
11
(3)【答案】 y
x1
【详解】方法 1：这是属于缺 x 的 y
f ( y, y ) 类型．
命
dp dp dy ． dp
y p, y
p
dx dy dx
dy
原方程 yy
y 2 0 化为 yp dp p2 0 ，得
dy
p
y dp p 0
0
或
dy
p
dy 0
'
0
y
，即
，不满足初始条件
x0
dx
1
p
0
，弃之；所以
2
所以， y dp p 0 ，分离变量得 dy
dp
，解之得
dy
yp
p 即 C1 . dy C1 . y dx y
1
1C
1
由初始条件
，可将先定出来：
．于是得
y
1, y '
C
1 ,C
x0
x0 2
21
2
1
1
dy 1
dx 2 y
2
解之得，
y
x C2 , y
号
且
．于是特解是
C2 1
y
y0
．以
x C2
x
1
1
代入，得
C
，所以应取“+”
2
．
x1
方法 2：将
yy
y
y
(0) 1, (0)
改写为
y2 0
1
2
1
代入，有
1
2
，从而得
(3) 微分方程
yy
满足初始条件
y2 0
y
x0
1,
y
x0
1
的特解是_________.
2
1
n
(4)
lim 1 cos
n
n
n
2
1 cos n
_____ .
... 1 cos
n
0 22 (5) 矩阵 2 2 2 的非零特征值是_________.
2 22
二、选择题(本题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)
无关， 1 2 2 3 .如果
，求线性方程组
1
2
3
4
的通解.
Ax
2002 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析
一、填空题 (1)【答案】 -2
【详解】如果分段函数 f (x) 连续，则 f (x) 在 0 点处的左右极限相等，从而确定 a 的值．
tan
当 x 0 时，
1 e x:
xx
；
: ，所以有
2002 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、填空题(本题共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分，把答案填在题中横线上)
tan x
1e ,x 0
x
(1) 设函数 f (x)
arcsin
在 x 0 处连续，则 a
.
2
ae ,
2x
x0
(2) 位于曲线 y xe x (0 x
) 下方， x 轴上方的无界图形的面积是_______.
【详解】由 y
py qy e3x ，且 y(0) y (0) 0 ，可知 y (0) 1
方法 1：因为当
时，
，所以
x2 0 ln(1 x2 ) : x2
lim ln(1
x0
) x
x
2
lim
2x
2
lim =lim
2
2
2
，
y(x)
x0
x0
x0
y(x)
y (x)
y (x) 1
故选(C)．
方法 2：由于 y(0) y (0) 0, y
y
xx
dx
0
()
xx
dx
0
xx
dx
0
的线性主部．
dy
x f x xx dx
x 1, x 0.1 dx
dy x f (1) 0.2
它等于 0．1，于是 f (1) 0.5 ，应选(D)．
(2)【答案】(D)
x
x
Fx 【详解】对与(D)，令 ( ) ( t)]dt ，令
0
t u dt du
，则
，所以
t f t f t dt [ ( ) ( )] ，则 F ( x)
(0) 1．
将函数 y(x) 按麦克劳林公式展开
x
2
y(x) 0 0 o(x )
2
ln(1 x )
2
，代入
，有
y(x)
2
ln(1 )
1
x
x
2
2
lim
lim
=lim
2
．
1
1 o(x )
2
x 0 y(x)
x 0 x2 o( x2 ) x 0
2
2x
2
(4) 【详解】方法 1：排斥法．
令 f (x) 1 sin x2 ，则在 f (x) (0,
(1) 设函数 f (u) 可导， y f (x2 ) 当自变量 x 在 x
1 处取得增量 x
0.1 时，相应的
函数增量 y 的线性主部为 0.1，则 f (1) =( )
(A)－1
(B)0.1
(C)1
(D)0.5
(2) 设函数 f (x) 连续，则下列函数中，必为偶函数的是( )
x
(A) ( ) f t dt
2
与已知矛盾，排除
(B)．
C 选项：取 k
1, 2, 3
2
11
22
33
0 ，向量组
，
1, 2, 3
，即
1 k2
，线性无关不
1, 2 , 3
1
成立，因为可由
线性表出，
1, 2, 3
，线性相关，排除(C)．
1, 2 , 3
1
1
D 选项： k
0 时， 1, 2 , 3 ，
1
线性相关不成立．若
，
k2
2
0
f (t)dt
2
x
(B)
0
x
(C)
t[ f (t)
0
f ( t)]dt
x
(D) t[ f (t) f ( t)]dt
0
(3) 设 y (x) 是二阶常系数微分方程 y
py qy e3x 满足初始条 y(0) y (0) 0 的
ln(1 x )
2
特解，则当 x 0 ，函数
的极限( )
y(x)
(A)不存在
x
()
A
f x A ，证
用反证法，若 A
A 0 ，则对于
2
0 ，存在 X 0 ，使当 x
fx ()
A AA 22
，即
A
A 2
()
3
f
x
A 2
A
A 2
X 时，
A 由此可知， f (x) 有界且大于
2
fx f应用拉格朗日中值定理，有
[x, X ]
A
x X fX ) () ( )
1, 2 , 3
线性表出．即存在常数
1, 2, 3 k
，使得
1
2
11
22
3
3
又已知可由
线性表出，即存在常数
，使得
l1, l2 ,l3
1, 2,
31
1 l1 1 l2 2 l3 3
代入上式，得
k
kl
l
l
1
2
( 1 1 2 2 3 3)
2
11
22
33
与不能由
2 ( 1 kl1) 1 ( 2 kl2 ) 2 ( 3 kl3 )
tan x : x arcsin
22
lim f (x) 2； x 0
1 ex
tan x
x
tan
lim x0
= lim
= lim
x0
x0
x
x
x
arcsin
2
2
2
lim ( ) lim 2x
(0)
fx
f
0
x
ae a
x0
如果 f (x) 在 x 0 处连续，必有 f (0 ) f (0 ) f (0), 即 a