2002全国研究生考研数学二真题及解析

2 ( 1) 2
22
2
(其中
指数中的 1 和 1 分别是 所在的行数和列数)
( 1)1 1
2(
2 2)
2(
4)
令 E A 0 ，解得 1 2 0, 3 4 ，故
征值是
0 (二重))
是矩阵的非零特征值．(另一个特
4
二、选择题
(1)【答案】(D)
dy
【详解】在可导条件下，
dy
dy
，当
时
称为
y
xox
0
x
x
有界，
)
()
fx
1
x
2
，
sin 2 2 cos 2
x
x
lim f (x)
x
0
f
lim
，但
x
x ()
不存在，故(A)不成立；
lim f (x)
0
x0
，但 lim f (x) 1 0 ，(C)和(D)不成立，故选
(B)．
x0
lim
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0 方法 2：证明(B)正确． 设 lim f (x) 存在，记
明
．
x
已知 A, B 为 3 阶矩阵，且满足 2 A 1B B 4E ,其中 E 是 3 阶单位矩阵.
(1) 证明：矩阵 A 2E 可逆； 1 2 0 A.
(2) 若
B
,求矩阵
120
002
十二、(本题满 6 分)
已知 4 阶方阵
A
(, ,
41 2 3
, ), 1, 2 , 3,
4
均为 4 维列向量，其中 2 , 3, 4 线性
( yy )
．
0
1
1
yy
，所以得
．
C
1
2
yy
即
以初始条件
C
2 yy 1
，改写为
(y ) 1
y xC
2
． 解得
2, y
xC
．再以初值代入，
2
1
C
所以应取
2
" " C2 1
y
且
． 于是特解
x1
．
22
(4)【答案】 【详解】利用定积分的概念将被积函数化为定积分求极限．
因为
1 n lim 1 cos cos
y
xx
dx
0
()
xx
dx
0
xx
dx
0
的线性主部．
dy
x f x xx dx
x 1, x 0.1 dx
dy x f (1) 0.2
它等于 0．1，于是 f (1) 0.5 ，应选(D)．
(2)【答案】(D)
x
x
Fx 【详解】对与(D)，令 ( ) ( t)]dt ，令
0
t u dt du
，则
，所以
t f t f t dt [ ( ) ( )] ，则 F ( x)
2002 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、填空题(本题共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分，把答案填在题中横线上)
tan x
1e ,x 0
x
(1) 设函数 f (x)
arcsin
在 x 0 处连续，则 a
.
2
ae ,
2x
x0
(2) 位于曲线 y xe x (0 x
) 下方， x 轴上方的无界图形的面积是_______.
2.
(2)【答案】 1 【详解】面积
S xe dx
xde
x
x
0
0
xe e dx
x
x
0
b
xe e
xe e
x
x
x
x
lim
0
b
0b
b
1
其中
．
lim be b lim
lim 0
洛
b
b
b
e
e
b
b
lim be b e b
11
(3)【答案】 y
x1
【详解】方法 1：这是属于缺 x 的 y
f ( y, y ) 类型．
0
cos dx
2
0
(5)【答案】4
【详解】记
A
0 22
，则
22 2
2 22 0 22
(对应元素相减)
22
EA 2
22 2
2
2
2 22
22
2
两边取行列式，
E A
2
2 2
22 2
2
2
2 2
把第 2行的公 因子提出来
22
01 1 22
2
1行行 2
11
2 30 行行
00
22 2
2 01 1
按第 1行展开
11
1
1C
1
由初始条件
，可将 先定出来：
． 于是得
y
1, y '
C
1 ,C
x0
x0 2
21
2
1
1
dy 1
dx 2 y
2
解之得，
y
x C2 , y
号
且
． 于是特解是
C2 1
y
y0
．以
x C2
x
1
1
代入，得
C
，所以应取“+”
2
．
x1
方法 2：将
yy
y
y
(0) 1, (0)
改写为
y2 0
1
2
1
代入，有
1
2
，从而得
3
线性表出矛盾．故向量组
，
线性无关，选
1, 2, 3
2
(A) 方法 2：用排除法
B 选项：取 k
0 ，向量组
，k
1, 2, 3
1
1, 2, 3 k
1
2
即 1, 2 , 3 ，
2
2
线性相关不成
立，否则因为
， 线性相关，又
1, 2, 3
线性无关，故 可由
1, 2 , 3
线性表出．即存在常数
2
，使得
1, 2 , 3
(0) 1．
将函数 y(x) 按麦克劳林公式展开
x
2
y(x) 0 0 o(x )
2
ln(1 x )
2
，代入
，有
y(x)
2
ln(1 )
1
x
x
2
2
lim
lim
=lim
2
．
1
1 o(x )
2
x 0 y(x)
x 0 x2 o( x2 ) x 0
2
2x
2
(4) 【详解】方法 1：排斥法．
令 f (x) 1 sin x2 ，则 在 f (x) (0,
0
t[ f (t) f
x
x
F ( x) t[ f (t) f ( t)]dt ( u)[ f ( u) f (u)] du
0
0
x
Fu( x[ )f,
(
0
u)
f (u)]du
所以(D)为偶函数．同理证得(A)、(C)为奇函数，而(B)不确定，如 f (t) 1 t ．故应选
(D)．
(3)【答案】(C)
ba
十、(本题满分 8 分)
设函数 f (x) 在 x 0 的某邻域内具有二阶连续导数，且 f (0) 0, f (0) 0, f
(0) 0.
证明:存在惟一的一组实数
，使得当
1, 2, 3
时，
h0
是比 高阶的无穷小.
h
2
1 f (h) 2 f (2h) 3 f (3h) f (0)
十一、(本题满分 6 分)
(1) 设函数 f (u) 可导， y f (x2 ) 当自变量 x 在 x
1 处取得增量 x
0.1 时，相应的
函数增量 y 的线性主部为 0.1，则 f (1) =( )
(A)－1
(B)0.1
(C)1
(D)0.5
(2) 设函数 f (x) 连续，则下列函数中，必为偶函数的是( )
x
(A) ( ) f t dt
2
0
f (t)dt
2
x
(B)
0
x
(C)
t[ f (t)
0
f ( t)]dt
x
(D) t[ f (t) f ( t)]dt
0
(3) 设 y (x) 是二阶常系数微分方程 y
py qy e3x 满足初始条 y(0) y (0) 0 的
ln(1 x )
2
特解，则当 x 0 ，函数
的极限( )
y(x)
(A)不存在
2
与已知矛盾，排除
(B)．
C 选项：取 k
1, 2, 3
2
11
22
33
0 ，向量组
，
1, 2, 3
，即
1 k2
， 线性无关不
1, 2 , 3
1
成立，因为 可由
线性表出，
1, 2, 3
， 线性相关，排除(C)．
1, 2 , 3
1
1
D 选项： k
0 时， 1, 2 , 3 ，
1
线性相关不成立．若
，
k2
1, 2, 3
1, 2 , 3
1 k2
1 k2
1, 2 , 3
线性相关，因已知
线性无关，故
可由
线性表
出．即存在常数 1, 2 , 3 ，使得
1 k2
11
. 又已知 可由
无关， 1 2 2 3 .如果
，求线性方程组
1
2
3
4
的通解.
Ax
2002 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析
一、填空题 (1)【答案】 -2
【详解】如果分段函数 f (x) 连续，则 f (x) 在 0 点处的左右极限相等，从而确定 a 的值．
tan
当 x 0 时，
1 e x:
xx
；
: ，所以有
2
xX
从而 lim f (x)
x
，与题设 f (x) 有界矛盾．类似可证当 A 0 时亦有矛盾． 故
A0
．
(5)【答案】A
【详解】方法 1：对任意常数 k ，向量组 1, 2 , 3 ， k
1
2
线性无关． 用反证法，若
1, 2 , 3 k
，
1
线性相关，因已知
线性无关，故
1
2
2
1, 2, 3 k
可由
比为 5：4，闸门矩形部分的高 h 应为多少 m (米)？
D 1m C
l
A
八、(本题满分 8 分)
1m
h B 1m
设
0 x 3, x
，证明数列
x (3 x )(n 1,2, )
的极限存在，并求此极
x
1
n1
n
n
n
限.
九、(本题满分 8 分)
设0 a
等式
b ，证明不
2a 1
lnb ln a
.
ab
ab
2
2
1
,
x
2
(e 1)
0 x1
五、(本题满分 7 分)
已知函数 f (x) 在 (0,
f (x hx)
1
lim(
)
h
h0
()
fx
1
e
x
,求
) 内可导 f (x) f (x)
.
0 ， lim f (x) 1 , 且满足
x
六、(本题满分 8 分)
求微分方程 xdy (x 2 y)dx
0 的一个解 y
y(x) ,使得由曲线 y
2 1 cos
... 1
nn
n
n
n
1
1
i
n
n
:
lim
1
n
n i1
cos i n
lim f ( ) x
i
n
n i1
其中 f (x)
1 cos x, x
i
n
,( i 1, 2, , n) ，所以根据定积分的定义，有
n lim
1 1 cos
nn
n
2
1 cos ... 1 cos
n
n
1
2
x 22
1 cos xdx
y(x) ， 与直线
x 1, x 2 以及 x 轴所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周的旋转体体积最小.
七、(本题满分 7 分)
某闸门的性状与大小如图所示，其中直线 l 为对
称轴，闸门的上部为矩形 ABCD ，下部由二次抛物线 与线段 AB 所围成，当水面与闸门的上端相平时，欲使
闸门矩形部分承受的水压力与闸门下部承受的水压力之
tan x : x arcsin
22
lim f (x) 2； x 0
1 ex
tan x
x
tan
lim x0
= lim
= lim
x0
x0
x
x
x
arcsin
2
2
2
lim ( ) lim 2x
(0)
fx
f
0
x
ae a
x0
如果 f (x) 在 x 0 处连续，必有 f (0 ) f (0 ) f (0), 即 a
x
()
A
f x A ，证
用反证法，若 A
A 0 ，则对于
2
0 ，存在 X 0 ，使当 x
fx ()
A AA 22
，即
A
A 2
()
3
f
x
A 2
A
A 2
X 时，
A 由此可知， f (x) 有界且大于
2
fx fX f ( ) ( ) ( )(
．在区间
上应用拉格朗日中值定理，有
[x, X ]
A
x X fX ) () ( )
【详解】由 y
py qy e3x ，且 y(0) y (0) 0 ，可知 y (0) 1
方法 1：因为当
时，
，所以
x2 0 ln(1 x2 ) : x2
lim ln(1
x0
) x
x
2
lim
2x
2
lim =lim
2
2
2
，
y(x)
x0
x0
x0
y(x)
y (x)
y (x) 1
故选(C)．
方法 2：由于 y(0) y (0) 0, y
(B)等于 1
(C)等于 2
(4) 设函数 y f (x) 在 (0, ) 内有界且可导，则( )
(D)等于 3
(A)当 lim f (x) 0 时，必有
.
lim f (x) 0
x
x
lim ( )
0 (B)当 lim f (x) 存在时，必有 f
x.
x
x
(C)当 lim f (x) 0 时，必有 lim f (x) 0 .
1, 2 , 3
线性表出． 即存在常数
1, 2, 3 k
，使得
1
2
11
22
3
3
又已知 可由
线性表出，即存在常数
，使得
l1, l2 ,l3
1, 2,
31
1 l1 1 l2 2 l3 3
代入上式，得
k
kl
l
l
1
2
( 1 1 2 2 3 3)
2
11
22
33
与 不能由
2 ( 1 kl1) 1 ( 2 kl2 ) 2 ( 3 kl3 )
1
线性相关；
k
2
(D)
,
线性相关
1, 2 , 3 1 k2
1, 2 , 3 1 k2
三、(本题满分 6 分)
已知曲线的极坐标方程是 r 1 cos
直角坐标方程.
，求该曲线上对应于
6
四、(本题满分 7 分)
3 2x x ,
2
2
1x0
处的切线与法线的
设 f (x)
xe
x
x
求函数 F (x) f (t)dt 的表达式.
(3) 微分方程
yy
满足初始条件
y2 0
y
x0
1,
y
x0
1
的特解是_________.
2
1
n
(4)
lim 1 cos
n
n
n
2
1 cos n
_____ .
... 1 cos
n
0 22 (5) 矩阵 2 2 2 的非零特征值是_________.
2 22
二、选择题(本题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)
x0
x0
(D)当 lim f (x) 存在时，必有 lim f
(x) 0 .
x0
x0
(5) 设向量组
线性无关，向量 可由
线性表示，而向量 不能由
1, 2, 3
1, 2 , 3
1 2
1, 2 , 3
k
线性表示，则对于任意常数 ，必有( )
(A) 1, 2 , 3 ,
线性无关；
k
1
2
(C)
,
线性无关；
(B) 1, 2 , 3 ,
命
dp dp dy ． dp
y p, y
p
dx dy dx
dy
原方程 yy
y 2 0 化为 yp dp p2 0 ，得
dy
p
y dp p 0
0
或
dy
p
dy 0
'
0
y
，即
，不满足初始条件
x0
dx
1
p
0
，弃之；所以
2
所以， y dp p 0 ，分离变量得 dy
dp
，解之得
dy
yp
p 即 C1 . dy C1 . y dx y