配套K12高中数学第4章定积分4.3.1平面图形的面积4.3.2简单几何体的体积学案北师大版选修2_

§3 定积分的简单应用1.会用定积分求平面图形的面积.(重点)2.会用定积分求简单几何体的体积.(重点)3.理解建立实际问题的积分模型的基本过程和方法.(难点)[基础·初探]教材整理1 平面图形的面积阅读教材P 87～P 88“例3”以上部分，完成下列问题.1.当x ∈[a ，b ]时，若f (x )>0，由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积S ＝⎠⎛ab f (x )dx .2.当x ∈[a ，b ]时，若f (x )<0，由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )围成的曲边梯形的面积S ＝－⎠⎛ab f (x )dx.图4­3­13.当x ∈[a ，b ]时，若f (x )>g (x )>0，由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )和曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )围成的平面图形的面积S ＝⎠⎛ab [f (x )－g (x )]dx .(如图4­3­1)判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)曲线y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2与x 轴围成的图形的面积为⎠⎜⎜⎛π23π2sin xdx .( )(2)曲线y ＝x 3与直线x ＋y ＝2，y ＝0围成的图形的面积为⎠⎛01x 3dx ＋⎠⎛12(2－x )dx .( )(3)曲线y ＝3－x 2与直线y ＝－1围成的图形的面积为⎠⎛－22(4－x 2)dx .( )【答案】 (1)× (2)√ (3)√ 教材整理2 简单旋转几何体的体积阅读教材P 89～P 90“练习”以上部分，完成下列问题.旋转体可看作由连续曲线y ＝f (x )，直线x ＝a ，x ＝b 及x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周而成的几何体，该几何体的体积为V ＝⎠⎛ab π[f (x )]2dx .由y ＝x 2，x ＝1和y ＝0所围成的平面图形绕x 轴旋转所得的旋转体的体积为( ) A.π6 B.π4 C.π5D.4π5【解析】 V ＝π⎠⎛01y 2dx ＝π⎠⎛01(x 2)2dx ＝π5x 5⎪⎪⎪10＝π5.【答案】 C[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：[小组合作型](2)求由曲线y ＝x 2，直线y ＝2x 和y ＝x 围成的图形的面积.【精彩点拨】 (1)作出两函数的图像，并求其交点坐标.确定积分区间，利用定积分求面积S .(2)求出三条曲线的不同的交点横坐标，将积分区间细化，分别求出相应区间曲边梯形的面积再求和，注意在每个区间上被积函数均是由上减下.【自主解答】 (1)作出直线y ＝x ＋3，曲线y ＝x 2－6x ＋13的草图，所求面积为图中阴影部分的面积.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2－6x ＋13，y ＝x ＋3，得交点坐标为(2，5)和(5，8).因此，所求图形的面积S ＝⎠⎛25(x ＋3)dx －⎠⎛25(x 2－6x ＋13)dx＝⎠⎛25(－x 2＋7x －10)dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 3＋72x 2－10x ⎪⎪⎪52＝92.(2)法一：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝x 和⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝2x 解出O ，A ，B 三点的横坐标分别是0，1，2.故所求的面积S ＝⎠⎛01(2x －x )dx ＋⎠⎛12(2x －x 2)dx＝x 22⎪⎪⎪10＋⎝⎛⎭⎪⎫x 2－x 33⎪⎪⎪21 ＝12－0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4－83－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝76. 法二：由于点D 的横坐标也是2， 故S ＝⎠⎛02(2x －x )dx －⎠⎛12(x 2－x )dx＝x 22⎪⎪⎪20－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 33－x 22⎪⎪⎪21＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫83－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－12＝76. 法三：因为⎝ ⎛⎭⎪⎫14y 2′＝y 2， ⎝ ⎛⎭⎪⎫23y 32－y 24′＝y －y2. 故所求的面积为S ＝⎠⎛01⎝⎛⎭⎪⎫y －y 2dy ＋⎠⎛14⎝⎛⎭⎪⎫y －y 2dy＝14y 2⎪⎪⎪10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23y 32－y 24⎪⎪⎪41＝14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23×8－14×16－⎝ ⎛⎭⎪⎫23－14＝76.求由两条曲线围成的平面图形的面积的解题步骤： (1)画出图形；(2)确定图形范围，通过解方程组求出交点的坐标，定出积分上、下限； (3)确定被积函数，特别要注意分清被积函数图像上、下位置； (4)写出平面图形面积的定积分表达式；(5)运用微积分基本公式计算定积分，求出平面图形的面积.[再练一题]1.由抛物线y ＝x 2－x ，直线x ＝－1及x 轴围成的图形的面积为( )【导学号：94210075】A.53B.1C.52D.23【解析】 由图可知，所求面积S ＝⎠⎛－10(x 2－x )dx ＋⎠⎛01(x －x 2)dx ＝⎝⎛⎭⎪⎫x 33－x 22⎪⎪⎪－1＋⎝⎛⎭⎪⎫x 22－x 33⎪⎪⎪1＝56＋16＝1. 【答案】 B求由曲线y ＝2x 2与y ＝2x 所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.【精彩点拨】 所求旋转体的体积可由两个不同的旋转体的体积作差得到，再利用定积分求解即可.【自主解答】 曲线y ＝12x 2与y ＝2x 所围成的平面图形如图阴影部分所示.设所求旋转体的体积为V ，根据图像可以看出V 等于曲线y ＝2x ，直线x ＝2与x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积(设为V 1)减去曲线y ＝12x 2，直线x ＝2与x轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积(设为V 2).V 1＝⎠⎛02π(2x )2dx ＝2π⎠⎛02xdx ＝2π·12x 2|20＝4π，V 2＝⎠⎛02π⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 22dx ＝π4⎠⎛02x 4dx ＝π4×15x 5|20＝8π5，所以V ＝V 1－V 2＝4π－8π5＝12π5.,1.两个曲线围成的图形的面积旋转而成的图形的体积是两个体积的差，即V ＝π⎠⎛abf 2(x )dx －π⎠⎛a bg 2(x )dx ，而不能写成V ＝π⎠⎛ab [f (x )－g (x )]2dx .2.求简单旋转体的体积时，首先要画出平面图形，分析旋转体的形状，再利用体积的定积分表达式V ＝π⎠⎛ab f 2(x )dx 求解.[再练一题]2.设平面图形由⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的曲线y ＝sin x 及直线y ＝12，x ＝π2围成，求此图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.【解】 先画草图.设f (x )＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，g (x )＝12.则f (x )与g (x )的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12.V ＝⎠⎜⎜⎛π6π2π⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin 2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫122dx ＝⎠⎜⎜⎛π6π2π⎝ ⎛⎭⎪⎫1－cos 2x 2－14dx ＝⎠⎜⎜⎛π6π2π⎝ ⎛⎭⎪⎫14－12cos 2x dx ＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －14sin 2x ⎪⎪⎪⎪π2π6＝π212＋38π.[探究共研型]探究1 a 2，试求a 的值.【提示】 由已知得S ＝⎠⎛0axdx ＝23x 32⎪⎪⎪a 0＝23a 32＝a 2，所以a 12＝23，所以a ＝49.探究2 若两曲线y ＝x 2与y ＝cx 3(c >0)围成图形的面积是23，试求c 的值.【提示】 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝cx 3，得x ＝0或x ＝1c . ∵0<x <1c时，x 2>cx 3，∴S ＝⎠⎜⎛01c (x 2－cx 3)dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－14cx 4⎪⎪⎪⎪1c 0＝13c 3－14c 3＝112c 3＝23.∴c 3＝18，∴c ＝12.在曲线y ＝x 2(x ≥0)上某一点A 处作一切线使之与曲线以及x 轴所围成图形的面积为112，试求切点A 的坐标及过切点A 的切线方程.【精彩点拨】 设出切点坐标，写出切线方程，利用定积分可列方程，解方程求得切点坐标，进一步求出切线方程.【自主解答】 设切点A (x 0，x 20)，切线斜率为k ＝2x 0， ∴切线方程为y －x 20＝2x 0(x －x 0). 令y ＝0，得x ＝x 02，如图，∴S ＝⎠⎜⎛0x 02x 2dx ＋⎠⎜⎛x 02x 0 [x 2－(2x 0x －x 20)]dx ＝112x 30.∴112x 30＝112，x 0＝1.∴切点A 的坐标为(1，1)，切线方程为y ＝2x －1.1.本题中求面积S 时，易错误地写成S ＝⎠⎛0x 0[x 2－(2x 0x －x 20)]dx .错误原因是没能分割好图形.2.关于导数与积分的综合题，要充分利用导数的几何意义，求切线的斜率或方程，利用定积分的几何意义求面积，进而解决问题.[再练一题]3.(2016·济南高二检测)如图4­3­2，设点P 在曲线y ＝x 2上，从原点向A (2，4)移动，如果直线OP ，曲线y ＝x 2及直线x ＝2所围成的面积分别记为S 1，S 2.图4­3­2(1)当S 1＝S 2时，求点P 的坐标；(2)当S 1＋S 2有最小值时，求点P 的坐标和最小值.【解】 (1)设点P 的横坐标为t (0<t <2)，则P 点的坐标为(t ，t 2)， 直线OP 的方程为y ＝tx .S 1＝⎠⎛0t (tx －x 2)dx ＝16t 3，S 2＝⎠⎛t2(x 2－tx )dx ＝83－2t ＋16t 3.因为S 1＝S 2，所以t ＝43，点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43，169. (2)S ＝S 1＋S 2＝16t 3＋83－2t ＋16t 3＝13t 3－2t ＋83，S ′＝t 2－2， 令S ′＝0得t 2－2＝0.因为0<t <2，所以t ＝2，当0<t <2时，S ′<0；2<t <2时，S ′>0. 所以，当t ＝2时，S 1＋S 2有最小值83－423，此时点P 的坐标为(2，2).[构建·体系]1.用S 表示图4­3­3中阴影部分的面积，则S 的值是( )图4­3­3A.⎠⎛ac f (x )dxB.⎪⎪⎪⎪⎠⎛a cf （x ）dxC.⎠⎛a b f (x )dx ＋⎠⎛b c f (x )dxD.⎠⎛bc f (x )dx －⎠⎛ab f (x )dx【解析】 ∵x ∈[a ，b ]时，f (x )<0，x ∈[b ，c ]时，f (x )>0， ∴阴影部分的面积S ＝⎠⎛b c f (x )dx －⎠⎛ab f (x )dx .【答案】 D2.直线y ＝x ，x ＝1及x 轴围成的图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积是( ) A.π B.π3C.13D.1【解析】 V ＝⎠⎛01πx 2dx ＝π3x 3|10＝π3.【答案】 B3.由y ＝x 2，y ＝14x 2及x ＝1围成的图形的面积S ＝________.【解析】 图形如图所示，S ＝⎠⎛01x 2dx －⎠⎛0114x 2dx ＝⎠⎛0134x 2dx＝14x 3⎪⎪⎪10＝14. 【答案】 144.由y ＝x 2，y ＝x 所围成的图形绕y 轴旋转所得到的旋转体的体积V ＝________.【导学号：94210076】【解析】 V ＝π⎠⎛01(y －y 2)dy ＝π6.【答案】π65.计算由曲线y 2＝x ，y ＝x 2所围图形的面积S .【解】 由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，y ＝x 2得交点的横坐标为x ＝0及x ＝1.因此，所求图形的面积为S ＝S 曲边梯形OABC －S 曲边梯形OABD＝⎠⎛01xdx －⎠⎛01x 2dx ＝23x 32⎪⎪⎪10－13x 3⎪⎪⎪10＝23－13＝13.我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2)学业分层测评(十七) (建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.若y ＝f (x )与y ＝g (x )是[a ，b ]上的两条光滑曲线的方程，则这两条曲线及直线x ＝a ，x ＝b 所围成的平面区域的面积为( )A.⎠⎛a b [f (x )－g (x )]d xB.⎠⎛a b [g (x )－f (x )]d xC.⎠⎛ab |f (x )－g (x )|d x D.⎪⎪⎪⎪⎠⎛a b[f （x ）－g （x ）]dx 【解析】 当f (x )>g (x )时，所求面积为⎠⎛ab [f (x )－g (x )]d x ；当f (x )≤g (x )时，所求面积为⎠⎛ab [g (x )－f (x )]d x .综上，所求面积为⎠⎛ab |f (x )－g (x )|d x .【答案】 C2.由抛物线y ＝x 2介于(0，0)点及(2，4)点之间的一段弧绕x 轴旋转所得的旋转体的体积为( )A.45πB.165πC.85π D.325π 【解析】 V ＝π⎠⎛02(x 2)2d x ＝π5x 5⎪⎪⎪20＝325π.【答案】 D3.如图4­3­4，阴影部分的面积是( )图4­3­4A.2 3B.2－ 3C.323D.353【解析】 S ＝⎠⎛－31(3－x 2－2x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －13x 3－x 2⎪⎪⎪1-3＝323.【答案】 C4.曲线y ＝x 2－1与x 轴所围成图形的面积等于( ) A.13 B.23 C.1D.43【解析】 函数y ＝x 2－1与x 轴的交点为(－1，0)，(1，0)，且函数图像关于y 轴对称，故所求面积为S ＝2⎠⎛01(1－x 2)d x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13x 3⎪⎪⎪10 ＝2×23＝43.【答案】 D5.由xy ＝4，x ＝1，x ＝4，y ＝0围成的平面区域绕x 轴旋转所得的旋转体的体积是( ) A.6π B.12π C.24πD.3π【解析】 因为xy ＝4，所以y ＝4x，V ＝π⎠⎛14y 2d x ＝π⎠⎛14⎝ ⎛⎭⎪⎫4x 2d x＝16π⎠⎛14x －2d x ＝－16πx －1⎪⎪⎪41＝－16π⎝ ⎛⎭⎪⎫14－1＝12π.【答案】 B 二、填空题6.由曲线y ＝x 与y ＝x 3所围成的图形的面积可用定积分表示为________.【导学号：94210077】【解析】画出y ＝x 和y ＝x 3的草图，所求面积为如图所示阴影部分的面积，解方程组⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝x 3得交点的横坐标为x ＝0及x ＝1.因此，所求图形的面积为S ＝⎠⎛01(x －x 3)d x .【答案】 ⎠⎛01(x －x 3)d x7.由曲线y ＝e x2，直线x ＝0，x ＝1以及x 轴所围成的图形绕着x 轴旋转一周形成的几何体的体积是________.【解析】 体积V ＝π⎠⎛01e xd x ＝π(e －1).【答案】 π(e －1)8.由曲线y ＝x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为________. 【解析】 由⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝x －2，得其交点坐标为(4，2).因此y ＝x 与y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为⎠⎛04[x －（x －2）]dx ＝⎠⎛04(x －x ＋2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23x 32－12x 2＋2x ⎪⎪⎪40＝23×8－12×16＋2×4＝163.【答案】163三、解答题9.(2016·济宁高二检测)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的图像如图4­3­5所示，它与直线y ＝0在原点处相切，此切线与函数图像所围区域(图中阴影部分)的面积为274，求a 的值.图4­3­5【解】 由题图知方程f (x )＝0有三个实根，其中有两个相等的实根x 1＝x 2＝0，于是b ＝0，所以f (x )＝x 2(x ＋a )，有274＝⎠⎛0－a [0－(x 3＋ax 2)]d x＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 44＋ax 33|－a 0＝a 412，所以a ＝±3.又－a >0⇒a <0，得a ＝－3.10.设两抛物线y ＝－x 2＋2x ，y ＝x 2所围成的图形为M ，求： (1)M 的面积；(2)将M 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积. 【解】 如图，M 为图中阴影部分.(1)图中M 的面积为⎠⎛01[(－x 2＋2x )－x 2]d x ＝⎠⎛01(－2x 2＋2x )d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23x 3＋x 2⎪⎪⎪10＝13. (2)M 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为 π⎠⎛01[(－x 2＋2x )2－(x 2)2]d x＝π⎠⎛01(－4x 3＋4x 2)d x＝π·⎝⎛⎭⎪⎫－x 4＋43x 3⎪⎪⎪10＝π3.[能力提升]1.直线l 过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于( )A.43 B.2 C.83 D.1623【解析】∵抛物线方程为x 2＝4y ，∴其焦点坐标为F (0，1)，故直线l 的方程为y ＝1.如图所示，可知l 与C 围成的图形的面积等于矩形OABF 的面积与函数y ＝14x 2的图像和x 轴正半轴及直线x ＝2围成的图形的面积的差的2倍(图中阴影部分)，即S ＝4－2⎠⎛02x24d x ＝4－2·x 312⎪⎪⎪20＝4－43＝83.【答案】 C2.已知过原点的直线l 与抛物线y ＝x 2－2ax (a >0)所围成的图形面积为92a 3，则直线l 的方程为( )A.y ＝axB.y ＝±axC.y ＝－axD.y ＝－5ax【解析】 显然，直线l 的斜率存在.设直线l 的方程为y ＝kx ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y ＝x 2－2ax ，得交点坐标为(0，0)，(2a ＋k ，2ak ＋k 2)， 所以图形面积S ＝⎠⎛02a ＋k [kx －(x 2－2ax )]d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋2a 2x 2－x 33⎪⎪⎪2a ＋k 0＝（k ＋2a ）32－（2a ＋k ）33＝（2a ＋k ）36.又因为S ＝92a 3，所以（2a ＋k ）36＝92a 3，解得k ＝a ，所以直线l 的方程为y ＝ax .故选A . 【答案】 A3.一个半径为1的球可以看成是由曲线y ＝1－x 2与x 轴所围成区域(半圆)绕x 轴旋转一周得到的，则球的体积为________.【解析】 V ＝⎠⎛－11π(1－x 2)d x＝π⎠⎛－11(1－x 2)d x ＝π⎝⎛⎭⎫⎠⎛－111dx －⎠⎛－11x 2dx ＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫2－23＝43π.【答案】 43π4.已知曲线C ：y ＝2x 3－3x 2－2x ＋1，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，求曲线C 的过点P 的切线l 与曲线C围成的图形的面积.【解】 设切线l 与曲线C 相切于点M (x 0，y 0)，由于y ′＝6x 2－6x －2，所以有⎩⎪⎨⎪⎧6x 2－6x 0－2＝yx 0－12，y 0＝2x 30－3x 20－2x 0＋1，解得x 0＝0，于是切线l 的斜率k ＝－2，方程为y ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即y ＝－2x ＋1. 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x 3－3x 2－2x ＋1，y ＝－2x ＋1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1.故切线l 与曲线C 围成图形的面积为S ＝⎠⎜⎛032|2x 3－3x 2－2x ＋1－(－2x ＋1)|d x＝⎠⎜⎛032|2x 3－3x 2|d x ＝，即所求面积为2732.。