高等数学电子教案12
高等数学电子教案
高等数学电子教案第一章：函数与极限1.1 函数的概念与性质定义：函数是一种规则，将一个非空数集（定义域）中的每一个元素对应到另一个非空数集（值域）中的唯一元素。
函数的性质：单调性、奇偶性、周期性等。
1.2 极限的概念极限的定义：当自变量x趋近于某个值a时，函数f(x)趋近于某个确定的值L，称f(x)当x趋近于a时的极限为L，记作：lim(x→a)f(x)=L。
极限的性质：保号性、传递性、夹逼性等。
1.3 极限的计算极限的基本计算方法：代数法、几何法、泰勒公式等。
极限的运算法则：加减法、乘除法、复合函数的极限等。
1.4 无穷小与无穷大无穷小的概念：当自变量x趋近于某个值a时，如果函数f(x)趋近于0，称f(x)为无穷小。
无穷大的概念：当自变量x趋近于某个值a时，如果函数f(x)趋近于正无穷或负无穷，称f(x)为无穷大。
第二章：导数与微分2.1 导数的定义导数的定义：函数f(x)在点x处的导数，记作f'(x)或df/dx，表示函数在该点的瞬时变化率。
导数的几何意义：函数图像在某点处的切线斜率。
2.2 导数的计算基本导数公式：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数等的导数。
导数的运算法则：和差法、乘法法、链式法则等。
2.3 微分的概念与计算微分的定义：函数f(x)在点x处的微小变化量，记作df(x)。
微分的计算：微分的基本公式df(x)=f'(x)dx，以及微分的运算法则。
2.4 微分方程的概念与解法微分方程的定义：含有未知函数及其导数的方程。
微分方程的解法：分离变量法、积分因子法等。
第三章：积分与面积3.1 不定积分的概念与计算不定积分的定义：函数f(x)的不定积分，记作∫f(x)dx，表示f(x)与x轴之间区域的面积。
基本积分公式：幂函数、指数函数、对数函数等的不定积分。
3.2 定积分的概念与计算定积分的定义：函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作∫[a,b]f(x)dx，表示f(x)在[a,b]区间上的累积面积。
电类高等数学电子教案12[1].1共21页
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性质1 被积函数中的常数因子可以提到积分
高 等
号前面．即
教
育 出 版
kf(x,y)dkf(x,y)d( k为常数)．
社
D
D
性质2 两个函数的代数和的二重积分等于
电 类
这两个函数的二重积分的代数和． 即
高 等
[f(x ,y ) g (x ,y )] d f(x ,y )d g (x ,y )d
高
等 数
f(x,y)dg(x,y)d
D
D
学
性质5 (估值定理) 设 和M是在m闭区域 上的最D大
值和最小值， 为 的面积D，则
高
mf(x,y)dM
等 教 育
D
性质6 (中值定理) 如果函数 在f (有x, y界) 闭区域
出
版 社
上连续D， 为区域的面积D，则在区域 内至 D
少存在一点 (,，) 使得
高
n
n
等 教
V Vi f(i,i)i
育
i1
i1
出
版
社
（4）取极限
电 类
用 表示这 个n小闭区域 的直i 径最大值称为这个闭区
数 学
域的直径)的最大值． 显然，当对区域 无D限细分,
即 时0，上述和式的极限就是所求曲顶柱体的
高 体积 V，即
等 教 育 出 版
其中，f (x, y)称为被积函数，f(x,y)d称为被积
高
等 教
表达式，d称为面积微元，
和x
称y为积分变量，
育
出 版
区域 D称为积分区域．
社
二重积分的几何意义：
电 类
闭区域 上D，当 f(x时,y)，以0 为 D
高等数学电子教案：12-5
三、一阶微分方程小结
一阶微分方程
分离变量法 常数变易法 全微分方程
思考题
2x 方程 y3 dx
y2
3x2 y4
dy
0
是否为全微分方程？
思考题解答
P y
2x
y
y3
6x y4
,
Q x
x
y2
3x2 y4
6x y4
,
P Q 原方程是全微分方程. y x
练习题
一、判别下列方程中哪些是全微分方程,并求全微分方 程的通解:
C.
3
例6 求微分方程 dy x2 x3 y的通解.
dx
1 x
解1
整理得 dy 1 y x2 , dx 1 x
A 常数变易法: 对应齐方通解 y C .
1 x
设 y C(x). C(x) x3 x4 C.
1 x
34
B
公式法:y
e
1 dx
1 x [
x
2e
1 dx
1 x dx
u( x, y) C ;
用直接凑全微分的方法.
例1 求方程( x3 3xy2 )dx ( y3 3x2 y)dy 0 的通解.
解
P y
6 xy
Q x
,
是全微分方程,
u(
x,
y)
x
0
(
x3
3 xy 2
)d
x
y
0
y 3dy
x4 3 x2 y2 y4 ,
42
4
原方程的通解为 x4 3 x2 y2 y4 C .
d 1 ln 2
x x
y y
可选用的积分因子有
1, x y
高等数学电子教案
高等数学电子教案第一章：函数与极限1.1 函数的概念与性质定义：函数是一种关系，将一个集合（定义域）中的每个元素对应到另一个集合（值域）中的一个元素。
函数的性质：单调性、连续性、奇偶性、周期性等。
1.2 极限的概念极限的定义：当自变量x趋近于某个值a时，函数f(x)趋近于某个值L，称f(x)当x趋近于a时的极限为L，记作lim(x→a)f(x)=L。
极限的性质：保号性、保不等式性、夹逼定理等。
1.3 极限的计算极限的基本计算方法：代入法、因式分解法、有理化法等。
无穷小与无穷大的概念：无穷小是指绝对值趋近于0的量，无穷大是指绝对值趋近于无穷的量。
1.4 极限的应用函数的连续性：如果函数在某一点的极限值等于该点的函数值，称该函数在这一点连续。
导数的概念：函数在某一点的导数表示函数在该点的切线斜率。
第二章：微积分基本定理2.1 导数的定义与计算导数的定义：函数在某一点的导数表示函数在该点的切线斜率，记作f'(x)。
导数的计算：基本导数公式、导数的四则运算法则等。
2.2 微分的概念与计算微分的定义：微分表示函数在某一点的切线与x轴的交点横坐标的差值，记作df(x)。
微分的计算：微分的基本公式、微分的四则运算法则等。
2.3 积分的概念与计算积分的定义：积分表示函数图像与x轴之间区域的面积，记作∫f(x)dx。
积分的计算：基本积分公式、积分的换元法、分部积分法等。
2.4 微积分基本定理微积分基本定理的定义：微积分基本定理是微分与积分之间的关系，即导数的不定积分是原函数，积分的反函数是原函数的导数。
第三章：微分方程3.1 微分方程的定义与分类微分方程的定义：微分方程是含有未知函数及其导数的等式。
微分方程的分类：常微分方程、偏微分方程等。
3.2 常微分方程的解法常微分方程的解法：分离变量法、积分因子法、变量替换法等。
3.3 微分方程的应用微分方程在物理、工程等领域的应用，例如描述物体运动、电路方程等。
第四章：级数4.1 级数的概念与性质级数的定义：级数是由无穷多个数按照一定的规律相加的序列，记作∑an。
高等数学电子教案：12-3
得通解代回
X Y
x h, y k，
(2) 0, 未必有解, 上述方法不能用.
当b1 0时, a1与b中必至少有一个为零.
若 b 0, 可分离变量的微分方程.
若 b 0,a1 0,
令 z ax by,
dy 1 ( dz a), dx b dx
1 ( dz a) f ( z c)
解 令 x y u, dy du 1 代入原方程 dx dx
dy 1 u2 解得 arctanu x C, dx
代回 u x y,得 arctan( x y) x C,
原方程的通解为 y tan( x C) x.
三、小结
齐次方程 dy ( y).
dx x 齐次方程的解法 令 u y .
例2
求解微分方程
x2
dx xy
y2
dy 2y2
. xy
解
dy dx
2y2 x2 xy
xy y2
2 1
y 2
x
y x
y
y
2
,
x x
令u y , 则 dy xdu udx, x
u
xu
2u2 1 u
u u2
,
[1 ( 1 1) 2 1 ]du dx ,
2 u2 u u2 u1
x
可化为齐次方程的方程 令 x X h, y Y k.
思考题
方程 x 0
2 y(t)
t 2 y2(t) dt xy( x)
是否为齐次方程?
思考题解答
方程两边同时对 x求导: 2 y x2 y2 y xy, xy x2 y2 y, y 1 y 2 y ,
x x
0时,
得
高等数学电子教案
高等数学电子教案一、前言1.1 教案简介本教案主要针对高等数学课程，内容包括极限、导数、积分、级数、常微分方程等基本概念和运算方法，适合高等院校理工科专业学生使用。
1.2 教学目标通过本教案的学习，使学生掌握高等数学的基本概念、运算方法和应用技巧，培养学生分析问题和解决问题的能力。
二、极限2.1 极限的概念引入极限的概念，解释函数在一点邻域内的极限意义，举例说明极限的存在与不存在。
2.2 极限的运算讲解极限的基本性质和运算规则，引导学生掌握极限的求解方法。
三、导数3.1 导数的定义介绍导数的定义，解释导数表示函数在某一点的瞬时变化率，举例说明导数的计算。
3.2 导数的运算讲解导数的四则运算规则，引导学生掌握常见函数的导数公式。
四、积分4.1 积分概念引入积分的概念，解释积分表示函数图像与x轴所围成的面积，举例说明积分的计算。
4.2 积分的运算讲解积分的基本性质和运算规则，引导学生掌握常见函数的积分公式。
五、级数5.1 级数概念介绍级数的基本概念，解释级数表示函数的和，举例说明级数的前n项和与收敛性。
5.2 级数的收敛性讲解级数收敛性的判定方法，引导学生掌握常见级数的收敛性判断。
六、常微分方程6.1 微分方程的定义解释常微分方程的概念，即含有未知函数及其导数的等式。
引导学生理解微分方程描述的是函数的导数与函数本身之间的关系。
6.2 微分方程的解法介绍常微分方程的基本解法，包括分离变量法、积分因子法、变量替换法等。
通过实例演示各种方法的运用。
七、线性代数7.1 向量空间与线性方程组定义向量空间，解释线性方程组的解集及其性质。
介绍高斯消元法求解线性方程组。
7.2 矩阵与行列式讲解矩阵的基本运算，包括矩阵的加法、数乘、乘法。
介绍行列式的定义及其性质，演示行列式在解线性方程组中的应用。
八、概率论与数理统计8.1 随机事件与概率定义随机事件，解释概率的基本性质，包括加法原则和乘法原则。
通过实例让学生理解概率的意义。
高等数学电子教案(大专版)(2024)
02
函数与极限
2024/1/28
8
函数概念及性质
2024/1/28
函数定义
设$x$和$y$是两个变量，$D$是一个数集。如果存在一种对应法则$f$，使得对于$D$中 的每一个数$x$，按照某种对应法则$f$，在数集$M$中都有唯一确定的数$y$与之对应， 则称$f$为从$D$到$M$的一个函数，记作$y = f(x), x in D$。
向量的坐标表示法
详细讲解向量的坐标表示法，包括向量在空间直角 坐标系中的表示方法、向量的模和方向余弦的坐标 计算公式等。
向量的运算与坐标计算
介绍向量的加法、减法、数乘和点积、叉积 等运算在坐标计算中的实现方法，以及这些 运算的几何意义和性质。
2024/1/28
30
平面与直线方程
2024/1/28
平面的方程
导数的定义
导数描述了函数在某一点处的切线斜 率，反映了函数值随自变量变化的快 慢程度。
导数的几何意义
导数在几何上表示曲线在某一点处的 切线斜率，即函数图像在该点的倾斜 程度。
13
导数的计算法则
基本初等函数的导数公式
包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数 、三角函数等的基本导数公式。
导数的四则运算法则
2024/1/28
全微分的定义
如果函数$z=f(x,y)$在点$(x,y)$的全 增量$Delta z=f(x+Delta x,y+Delta y)-f(x,y)$可以表示为$Delta z=ADelta x+BDelta y+o(rho)$，其 中$A$和$B$不依赖于$Delta x$和 $Delta y$而仅与$x$和$y$有关， $rho=(Delta x^2+Delta y^2)^{frac{1}{2}}$，则称函数 $z=f(x,y)$在点$(x,y)$处可微，而 $ADelta x+BDelta y$称为函数 $z=f(x,y)$在点$(x,y)$处的全微分。
《高等数学教案》
《高等数学教案》word版第一章：函数与极限1.1 函数的概念与性质定义函数的概念讨论函数的性质（单调性、奇偶性、周期性等）1.2 极限的概念与性质引入极限的概念探讨极限的性质与运算1.3 无穷小与无穷大定义无穷小与无穷大的概念比较无穷小与无穷大的大小关系1.4 极限的运算法则极限的加减乘除法则极限的复合函数法则第二章：导数与微分2.1 导数的概念与性质引入导数的概念探讨导数的性质（单调性、极值等）2.2 导数的计算法则基本导数公式和、差、积、商的导数法则2.3 微分的方法与应用微分的概念与方法微分在近似计算与优化问题中的应用第三章：泰勒公式与微分中值定理3.1 泰勒公式的概念与性质引入泰勒公式的概念探讨泰勒公式的性质与应用3.2 微分中值定理的概念与证明罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理微分中值定理的应用（导数与函数的极值关系等）第四章：积分与微分方程4.1 积分的基本概念与方法引入积分的概念探讨积分的方法（牛顿-莱布尼茨公式、换元积分、分部积分等）4.2 微分方程的基本概念与方法引入微分方程的概念探讨微分方程的解法（常微分方程、线性微分方程等）第五章：线性代数基础5.1 向量的概念与运算定义向量的概念探讨向量的运算（加减、数乘、点积、叉积等）5.2 矩阵的概念与运算定义矩阵的概念探讨矩阵的运算（加减、数乘、转置、逆矩阵等）5.3 线性方程组的概念与解法引入线性方程组的概念探讨线性方程组的解法（高斯消元法、矩阵求逆法等）5.4 行列式的概念与性质定义行列式的概念探讨行列式的性质与计算方法第六章：概率论基础6.1 随机事件与概率定义随机事件与概率的概念探讨概率的计算（古典概率、条件概率、独立事件等）6.2 随机变量及其分布引入随机变量的概念探讨离散型随机变量与连续型随机变量的分布律6.3 期望与方差定义期望与方差的概念探讨期望与方差的计算及其性质第七章：线性代数进阶7.1 特征值与特征向量定义特征值与特征向量的概念探讨特征值与特征向量的计算及其应用7.2 二次型定义二次型的概念探讨二次型的标准型与判定定理7.3 线性空间与线性变换引入线性空间与线性变换的概念探讨线性变换的性质与计算第八章：常微分方程与应用8.1 常微分方程的基本概念定义常微分方程的概念探讨常微分方程的解法（分离变量法、积分因子法等）8.2 常微分方程的应用探讨常微分方程在物理、生物学等领域的应用8.3 线性微分方程组引入线性微分方程组的概念探讨线性微分方程组的解法与应用第九章：复变函数基础9.1 复数的基本概念与运算定义复数的概念探讨复数的运算（加减、乘除、共轭等）9.2 复变函数的概念与性质引入复变函数的概念探讨复变函数的性质（解析性、奇偶性等）9.3 复变函数的积分与级数探讨复变函数的积分（柯西积分定理、柯西积分公式等）探讨复变函数的级数（泰勒级数、洛朗级数等）第十章：实变函数与泛函分析初步10.1 实函数的基本概念与性质定义实函数的概念探讨实函数的性质（单调性、有界性等）10.2 泛函分析的基本概念引入泛函分析的概念探讨赋范线性空间与希尔伯特空间的基本概念10.3 赋范线性空间的基本定理探讨赋范线性空间中的基本定理（闭区间上的有界线性算子等）重点解析第一章：函数与极限重点：函数的概念与性质、极限的概念与性质、无穷小与无穷大、极限的运算法则。
高等数学电子教案
高等数学电子教案（最新版）第一章：函数与极限1.1 函数的概念与性质定义：函数是一种关系，对于每一个自变量值，都有唯一确定的因变量值与之对应。
函数的性质：奇偶性、单调性、周期性等。
1.2 极限的概念极限的定义：当自变量趋向于某个值时，函数值趋向于某个确定的值，这个确定的值称为极限。
极限的性质：保号性、传递性等。
1.3 极限的计算基本极限：\(\lim_{x \to 0} \frac{sin x}{x} = 1\), \(\lim_{x \to \infty} e^x = \infty\) 等。
极限的运算法则：加减乘除、乘方等。
1.4 无穷小与无穷大无穷小的概念：当自变量趋向于某个值时，函数值趋向于0。
无穷大的概念：当自变量趋向于某个值时，函数值趋向于正无穷或负无穷。
第二章：导数与微分2.1 导数的定义导数的定义：函数在某一点的导数是其在该点的切线斜率。
导数的几何意义：函数图像在某一点的切线斜率。
2.2 导数的计算基本导数公式：\( (x^n)' = nx^{n-1} \), \( (sin x)' = cos x \), \( (cos x)' = -sin x \) 等。
导数的运算法则：和差、乘积、商、复合函数等。
2.3 微分微分的定义：微分是导数的一个线性近似。
微分的计算：对函数进行微分，即将自变量的增量转化为微分的形式。
2.4 应用求函数的极值：求导数，令导数为0，解出x值，再代入原函数求出极值。
求函数的单调区间：求导数，判断导数的正负，确定函数的单调性。
第三章：泰勒公式与导数的应用3.1 泰勒公式泰勒公式的定义：用函数在某一点的导数信息来近似表示函数本身。
泰勒公式的应用：求解函数在某一点的近似值。
3.2 洛必达法则洛必达法则的定义：当函数在某一点的导数为0时，可以用该点的其他导数信息来求解函数值。
洛必达法则的应用：求解函数在某一点的极限值。
3.3 泰勒展开泰勒展开的定义：将函数在某一点的泰勒公式展开，得到函数在该点的多项式近似。
高等数学电子教案(最新版
解决方案
理解向量的基本概念和运算规则，掌握向量的数量积、 向量积、混合积的计算方法；理解空间曲线和曲面的几 何性质，掌握空间曲线和曲面的参数方程和一般方程。
THANKS
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高等数学的重要性与应用
总结词
高等数学在科学、工程、经济等领域有 着广泛的应用，是许多学科的基础工具 。
VS
详细描述
高等数学在科学研究、工程技术和经济发 展等领域中发挥着重要的作用。它是许多 学科的基础工具，如物理、化学、工程学 、经济学等都需要用到高等数学的知识。 通过学习高等数学，人们能够更好地理解 和分析各种复杂的现象和问题，为科学研 究和技术创新提供支持。
不定积分与定积分
不定积分的概念与性质
不定积分是微分学的逆运算，用于求函数的原函数。不定积分具有一些重要的性质，如线性性质、积 分常数性质等。
定积分的概念与性质
定积分是积分学的核心概念，用于计算平面图形面积和体积等。定积分具有一些重要的性质，如可加 性、区间可加性等。
级数与幂级数
级数的概念与性质
级数是无穷序列的和，分为收敛级数和发散 级数。级数具有一些重要的性质，如正项级 数、交错级数、几何级数等。
重积分与线积分
• 总结词：重积分与线积分是高等数学中的重要概念，它研究的是对积分区域进行积分的方法。 • 详细描述：重积分主要研究的是对二维或更高维度的区域进行积分的方法，而线积分主要研究的是对一维曲线
进行积分的方法。这些积分方法在解决实际问题中具有广泛的应用，如物理学中的质量分布问题、工程学中的 流体动力学问题等都可以用重积分与线积分来解决。 • 总结词：重积分与线积分在解决实际问题中具有广泛的应用，如物理学中的力学和热学等问题；工程学中的机 械设计和流体动力学等问题；经济学中的成本和收益等问题。 • 详细描述：在物理学中，重积分与线积分被广泛应用于描述物体的运动轨迹和质量分布
高等数学电子教案
高等数学电子教案（最新版）第一章：函数与极限1.1 函数的概念与性质定义：函数是一种关系，将一个非空数集A中的每一个元素在非空数集B中都有唯一确定的元素和它对应。
函数的性质：单调性、奇偶性、周期性等。
1.2 极限的概念极限的定义：当自变量x趋向于某一数值a时，函数f(x)趋向于某一数值L，我们称f(x)当x趋向于a时的极限为L，记作：lim(f(x),a)=L。
1.3 极限的运算极限的四则运算法则：1）lim(f(x)+g(x),a)=lim(f(x),a)+lim(g(x),a)2）lim(f(x)g(x),a)=lim(f(x),a)lim(g(x),a)3）lim(f(x)/g(x),a)=lim(f(x),a)/lim(g(x),a) （g(x)≠0）4）lim(cu(x),a)=lim(c,a)lim(u(x),a) （c为常数，u(x)可导）1.4 无穷小与无穷大无穷小的定义：当自变量x趋向于某一数值a时，如果存在一个正数M，使得对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，都有|f(x)|<M，则称f(x)为无穷小。
无穷大的定义：当自变量x趋向于某一数值a时，如果存在一个正数M，使得对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，都有|f(x)|>M，则称f(x)为无穷大。
第二章：导数与微分2.1 导数的定义导数的定义：函数f(x)在x处的导数定义为f'(x)=lim(f(x+Δx)-f(x),Δx)=lim(Δx,0)f'(x+Δx)。
2.2 导数的运算导数的四则运算法则：1）(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)2）(f(x)g(x))'=f(x)g'(x)+f'(x)g(x)3）(f(g(x)))'=f'(g(x))g'(x)4）(cu(x))'=c'u(x)+cu'(x) （c为常数，u(x)可导）2.3 微分微分的定义：函数f(x)在x处的微分定义为df(x)=f'(x)Δx。
高等数学及其应用电子教案ch2-12
即
ds 1 y2 .
dx
又因, ta n y ,即 a rc ta n y ,
从而
lim x0 x
d
dx
y 1y2
,
由此即得
Klim lim
MM s x0 s
（2.30） （2.31）
= lim x 0
x s
y 1 y2 3/ 2 .
x
（2.32）
若曲线C 由参数方程
xt, yt,
角有较大的差异.
M2 M3
M1
但是, 转角的大小还不能完全反映曲线的弯曲程度.
例如在下图中,
两段弧 M¼1 M
与
2
M¼1 M
有相同的切线转
2
角, 但曲线的弯曲程度则是不同的.
2.曲率的概念
设平面曲线C
是光滑的,
在C
上取一点 M
作为度量弧
0
度的基点, 设点M 是曲线上任意一点, 弧 M¼0 M 的弧长
曲线C 在点 M 处的曲率, 记为K , 即
K lim . M M s
（2.29）
例如 对直线而言, 动点从 M 到M 相应的切线的转角
为 0, 则
K 0,
s
从而曲率
K lim 0.
MM s
即: 直线上任意点处的曲率为零.
再例 设曲线是半径为R 的圆, 则 sR,平均曲
率为
K
1 ,
为 s , 点 M 是曲线C 上的另外一点, 弧M¼0 M 的弧长为
s s, 点 M 处切线的倾
y
角为 , M 处切线的倾角为
, 则 M¼M 的弧长为 s , 切线的转角为 ,
M
M
s
电类高等数学电子教案12[1].516页PPT
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：
（1）曲线积分 PdxQdy与积分路径 L无关， L
高 即只与起点和终点有关．
等
教
育 出
（2）对于区域 D内任意一条光滑或逐段光滑的闭曲
版 社
线 L，有
电 类
LPdxQdy0
高 （3）对于区域D 内任意的点 (x, y) ，有
等
数 学
P Q
y x
根据这个结论，当满足曲线积分与积分路径
高 等
0
1(1e1) 2
社
例3 计算 (x2x3) y d x (y2 2 x)d y y ，其中 L
电 类
曲线 为L四个顶点分别是
(0,，0) (2,0，)
高 等
(2,2)
，(0,2) 的正方形区域的正向边界．
数
解 如图12.22．由于
学
Px2 xy3 Qy2 2xy
图12.22
有 P 3 x y 2 , Q 2 y , Q P 2 y 3 x y 2
无关的条件时，可以取与所给积分路径有对应相同的
教
育
出 版
起点和终点的简便路径来计算曲线积分．
社
例4. 计算 (x23y)dx(y2x)dy, L
电 类
其中L 为上半圆周y 4xx2 从 O (0, 0) 到 A (4, 0).
高
等 解: 为了使用格林公式, 添加辅助线段 AO ,
数
学 它与L 所围区域为D , 则
类 高
和终点对应相同，但是对于不同的曲线 L ，曲线
等 数
积分 y 2 d x L
的值却不相同，即曲线积分 L y 2 d x 与
学 路径 L有关．
12.3 设函数 P(x和, y) Q(x, y)
电类高等数学电子教案12[1].4
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n
，P(i ,i )xi
i 1
高 如果当 时0，这个和式的极限存在，则称此极
等 教 育
限值为函数 P(x, 在y) 曲线 上L对坐标 的曲x 线积分,
出 版 社
记作 L P(x, y，)dx即
n
L
P(x,
y)dx
lim
0
i 1
P(i ,i )xi
类似地，可定义函数 Q(在x,曲y)线 上对L
（如例12.11）．那么，在什么条件下，曲线
高 等
积分与积分路线无关呢？下一节将讨论这个
教
育 出
问题．
版
社
内容小结
电 1. 定义
类
n
高 等 数 2. 性质
lim
0 k 1
P(k
, k )xk
Q(k
,k )yk
学 (1) L可分成 k 条有向光滑曲线弧
k
i 1
Li
P(x,
y)dx
Q(x,
y)d y
L
L
等 数
二、对坐标的曲线积分的计算
学
设曲线 L的参数方程为
x (t),
L
:
y
(t).
高 其中 为t 参数，且 t和 分t别 对 应曲线 的起点L
等 教
和终点(这里， 和 之间的大 小关系可以任
育
出 版
意给定，包括可以大于 )．
社
当参数 由t 变化到 时点 就M从(x,曲y)
电 线 L的起点到终点描绘出整个有向弧段 L．
等 (2) 从点 A ( a , 0 )沿 x 轴到点 B (– a , 0 ).
数
学 解: (1) 取L的参数方程为
高等数学电子教案12
第二节 数列的极限教学目的：使学生理解数列极限的定义及性质，并能用定义证明一些简单数列的极限。
教学重点：数列极限的定义及性质。
教学过程： 一、复习数列的定义：定义：数列是定义在自然数集上的函数，记为 3,2,1),(==n n f x n ，由于全体自然数可以从小到大排成一列，因此数列的对应值也可以排成一列：n x x x ,,21，这就是最常见的数列表现形式了，有时也简记为{}n x 或数列n x 。
数列中的每一数称为数列的项，第n 项n x 称为一般项或通项。
【例1】 书上用圆内接正126-⨯n 边形的面积来近似代替该圆的面积时，得到数列,,,21n A A A （多边形的面积数列）【例2】长一尺的棒子，每天截去一半，无限制地进行下去，那么剩下部分的长构成一数列： ,21,21,21,2132n ，通项为n 21。
【例3】 ;,)1(,,1,12;1,31,21,111 ---n n）（）（;,1,,34,23,24;,2,,6,4,23 n n n +）（）（ 都是数列，其通项分别为nn n n n 1,2,)1(,11+--。
注：在数轴上，数列的每项都相应有点对应它。
如果将n x 依次在数轴上描出点的位置，限我们能否发现点的位置的变化趋势呢？显然，⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n 1,21是无限接近于0的；{}n 2是无增大的；{}1)1(--n 的项是在1与1-两点跳动的，不接近于某一常数；⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n n 1无限接近常数1。
对于数列来说，最重要的是研究其在变化过程中无限接近某一常数的那种渐趋稳定的状态，这就是常说的数列的极限问题。
二、讲授新课——数列的极限我们来观察⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n n 1的情况。
从图中不难发现n n 1+随着n 的增大，无限制地接近1，亦即n 充分大时，n n 1+与1可以任意地接近，即11-+nn 可以任意地小，换言之，当n 充分大时11-+nn 可以小于预先给定的无论多么小的正数ε。
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第十二章无穷级数
教学目的：
1、理解无穷级数收敛、发散以及和的概念。
2、了解无穷级数基本性质及收敛的必要条件。
3、掌握几何级数和p-级数的收敛性。
4、掌握正项级数的比较审敛法、比值审敛法和根值审敛法。
5、掌握交错级数的莱布尼茨定理，会估计交错级数的截断误差。
6、了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与条件收敛的关系。
7、理解函数项级数的收敛性、收敛域及和函数的概念，了解函数项级数的一致收敛性概念，
了解函数项级数和函数的性质。
8、掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法，了解幂级数在其收敛区间内的一些
基本性质。
9、会利用幂级数的性质求和
10、了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。
11、会利用基本初等函数的麦克劳林展开式将一些简单的函数间接展开成幂级数。
12、理解函数展开为傅里叶级数的狄利克雷条件。
13、掌握将定义在区间(－π，π)上的函数展开为傅里叶级数的方法。
14、会将定义在区间[0，π]上的函数展开为正弦或余弦级数。
15、会将定义在区间(－l，l)上的函数展开为傅里叶级数。
教学重点：
1、级数收敛的定义及条件
2、判定正项级数的收敛与发散
3、幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法；
4、泰勒级数
5、函数展开成傅立叶级数。
教学难点：
1、级数收敛的定义及条件
2、判定正项级数的收敛与发散
3、幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法；
4、泰勒级数；
5、函数展开成傅立叶级数
§12. 1 常数项级数的概念和性质一、常数项级数的概念
常数项无穷级数:一般地，给定一个数列。