正整数指数函数
3.1正整数指数函数
练习：下列给出的四个正整数指 数函数中，是增函数的为（ ）
（1）y=3x (x ∈ N+ ); (2)y=3-x (x∈ N+ ); (3)y=0.93x (x ∈ N+ ); （4）y=（1/2）x (x ∈ N+ ).
小结
1.正整数指数函数的概念； 2.正整数指数函数的图像特征.
第三章指数函数和对数函数3.1正整数源自数函数画板世界人口
例1细胞分裂 例题2氟化物破坏臭氧层
分析理解
问题1研究了随分裂次数增加细胞个 数增加的趋势，可以知道，细胞个数y与 分裂次数n之间存在着函数关系
y=2n ,n∈N+ ;
问题2研究了随年份增加臭氧含量
减少的趋势，同样可知，臭氧含量Q与时
间t之间存在着函数关系
Q=0.9975t ,t∈ N+ .
分析 y=2n ,n∈N+ Q=0.9975t ,t∈ N+
1）底数是常数； 2）自变量在指数的位置上； 3）自变量在正整数范围内取值； 4）自变量的系数为1； 5）幂前面的系数也是1.
正整数指数函数的定义：
一般的，函数y=ax (a>0,a≠1,x ∈ N+ )叫做正整数指数函数，其中x是 自变量，定义域是正整数集N+ .
在研究增长问题、复利问题、浓 度问题中常见这类函数.
练习：判断下列函数是否 为正整数指数函数？
（1）y=3x (x ∈ N+ ); (2)y=3-x (x∈ N+ ); (3)y=2×3x (x ∈ N+ ); （4）y=x3 (x ∈ N+ ).
思考：
在y=ax (a>0,a≠1,x ∈ N+ )中，当 a>1时，增减性如何？当0<a<1呢？
精 品 教 学 设 计3.1正整数指数函数
精品教学设计§1 正整数指数函数教学目的：1.理解正整数指数函数的概念，了解其图象及性质.2.能初步应用正整数指数函数性质解决实际应用问题教学重点：正整数指数函数的图象、性质教学难点：正整数指数函数的概念及图象.授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教材分析：正整数指数函数是在初中学习了正整数指数幂运算、以及函数的基本概念性质的基础上，并结合实际问题引入.这样既说明指数函数同时，由于正整数指数函数的局限性（定义域为正整数集），为后面学习指数幂概念的扩充及指数函数留下伏笔.教学过程：一、复习引入：引例1：某种细胞分裂时，由一个分裂成2个，2个分裂成4个，……一直分裂下去.（1）用列表表示1个细胞分裂次数分别为1，2，3，4，5，6，7，8时，得到的细胞个数；)与得到的细胞个数（2）用图像表示1个细胞分裂次数n(n∈N+y之间的关系；（3）写出y与n之间的关系式，试用科学计算器计算细胞分裂15、20次得到的细胞个数.)和它的图引例1主要目的是为了得出函数关系：2ny= (n∈N+像.引例2：电冰箱使用的氟化物的释放会破坏大气层中的臭氧层. 臭氧含量 Q 近似满足关系式 Q=Q×0.9975t,其中0Q是臭氧的初始量，t是时间(年). 这里设Q =1.(1)计算经过20，40，60，80，100年，臭氧量Q；(2)用图像表示每隔20年臭氧含量Q 的变化；(3)试分析随着时间的增加，臭氧含量Q 是增加还是减少.引例 2 除了进一步认识函数0.9975()t Q t N +=∈的图像外，又直观感受其单调性.在2n y =(n ∈N + ),0.9975()t Q t N +=∈中指数为正整数的n,t 是自变量，底数是一个大于0且不等于1的常量.我们把这种自变量在指数位置上且自变量取正整数而底数是一个大于0且不等于1的常量的函数叫做正整数指数函数.二、新授内容：1．正整数指数函数的定义：函数(01,)x y a a a x N +=>≠∈且叫做正整数指数函数，其中x 是自变量，函数定义域是正整数集N +.注意： (1)定义域是正整数集;(2)图像是一列孤立的点；(3)当a>1时是增函数，当0<a<1时是减函数.2. 复利和公式：正整数指数函数在研究增长问题，复利问题，质量浓度问题中常有应用. 通过概括这类问题，我们得到一个常用模型，通常称之为“复利和公式”.复利和公式：设本金为a ，年增长率为p ，则x 年后本利和A 为(1)x A a p =+三、讲解范例：例1 某地现有森林面积为1000 h ㎡，每年增长5%.经过x (x ∈N +)年,森林面积为y h ㎡. 写出x,y 间的函数关系式，并求出经过5年，森林的面积.解： y 与x 之间的函数关系式为1000(15%)()x y x N +=+∈.经过5年，森林的面积为 521000(15%)1276.28()hm +=. （答略）例2 已知镭经过100年剩留原来质量的95.76﹪.设质量为1的镭经过x 年后的剩留量为y ，求y 关于x 的函数解析式.解：设经过1年，镭剩留原来质量的a ﹪.则,()100xa y x N +⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭∵1000.9576100a ⎛⎫= ⎪⎝⎭, ∴11000.9576.100a = ∴1000.9576,().x y x N +=∈ （答略）例3 某商品1月份降价10﹪，此后价格又上涨三次，使目前价格与1月份降价前相同. 问三次价格的平均上涨率是多少？ 解： 设原价格为1，平均上涨率为x ﹪，则 30.9(1%)1x +=∴%1x =.1. （答略） 例4已知光线通过1块玻璃，光线的强度要损失掉10﹪ . 要使通过玻璃的光线的强度减弱到原来的1／3以下，问至少需要重叠多少块玻璃？解： 设需要重叠n 块玻璃，则1(110%)3n -≤ 利用计算器可解得n ≥11. （答略）四、练习：1. 给出下列函数:(1)4x y =;(2)4y x =(x N +∈);(3)4x y =-(x N +∈);(4)(4)x y =-(x N +∈);(5)x y π=(x N +∈);(6)1(21)(,1,)2x y a a a x N +=->≠∈. 其中为正整数函数的是＿＿＿＿＿.2. 比较大小：(1)191.58,201.58;(2)20080.5,20090.5.3. 按复利计算利息是目前储蓄计息的一种方式.设本金为a 元，每期利率为r ，记本利和为y ，存期为x ，写出本利和y 随存期x 变化的函数关系式.如果存入本金1000元，每期利率为2.25﹪，试求5期后的本利和是多少？（精确到1元）解：本利和y随存期x变化的函数关系式为y a r=+(1)x当a=1000,r=2.25﹪,x=5时，利用计算器可得y≈1118.即5期后的本利和是1118元.4. 画出函数1=(x∈Z)的图像，分析函数图像的对称性,单调性.2xy-函数有无最值？解：（图像略）函数的图像关于直线x=1对称.函数在{x∈Z|x<1}上是减函数；在{x∈Z|x≥1}上是增函数.函数有最小值1.五、小结本节课学习了以下内容：正整数指数函数概念，正整数指数函数的图象和单调性.研究增长等问题常用的“复利和公式”. 六、课后作业：。
指数函数对数函数幂函数比较大小
指数函数对数函数幂函数比较大小
1.指数函数比对数函数大：
指数函数 y=2^x （x 是正实数）增长速度非常快，因为它主要是在
增加底数，例如 2 的 x 次方在 x=10 时是 1024，而在 x=20 时是
1,048,576。
相反，对数函数 y=log2(x) 的增长速度非常缓慢，它只是寻
找 x 的幂次，使得给定底数 2 的该幂次等于 x。
因此，当 x 趋近于无
穷大时，指数函数比对数函数大得多。
2.幂函数与指数函数比对数函数大：
幂函数y=x^n（n是正整数）增长速度会随着n增大而变得非常快。
但是，它在不同的x值上增长的速度可能会有所不同。
相反，指数函数
y=b^x的增长速度只与指数的大小有关，而与底数b或x的值无关。
因此，在x趋近于无穷大时，指数函数比幂函数大。
综上所述，在大多数情况下，指数函数比对数函数和幂函数都要大。
§1 正整数指数函数
§1 正整数指数函数【使用说明】1.课前认真阅读并思考课本P61-63页的内容，然后根据自身能力完成学案所设计的问题，并在不明白的问题前用红笔做出标记。
2.限时完成，规范书写，课上小组合作探讨，答疑解惑，并对每个问题做出点评，反思。
【学习重点】 正整数指数函数的概念及性质【学习难点】 正整数指数函数的运算及函数性质【学习目标】1.理解正整数指数函数的概念及性质，会画正整数指数函数的图像，并能利用正整数指数函数的性质解决问题。
2.由正整数指数函数的运算性质，体会数形结合的思想。
3.我在五中，激情投入，高效学习，踊跃展示，大胆质疑，体验成功，创想快乐。
一、问题导学1正整数指数函数的概念思考：（1）一般的，函数 (a>0）,1且,+∈≠N x a 叫做正整数指数函数的概念。
其中x 自变量，定义域是 。
（2）正整数指数函数与幂函数有什么区别？（3）正整数指数函数)(2+∈=N x y x 的值域是什么？由此你能得到什么？2. 正整数指数函数的图像与性质在直角坐标系中画出)(2+∈=N x y x 和)(）21（+∈=N x y x 的图像，由图可判断，正整数指数函数的图像是在第 象限的一些 组成的。
思考：（1）当底数0<a<1时，正整数指数函数的图像是 的，正整数指数函数 函数 ；当底数a>1时，正整数指数函数的图像是 的，正整数指数函数 函数（2）)(3+∈=N x y x 的单调区间是+N 吗？二、导学自测1.已知+∈N x ，下列是正整数指数函数 。
①12+=x y ②x y 3-= ③ x y π= ④20)1(xy = ⑤xy )47(=⑥πx y =2.比较下列大小（用“<”或“>”填空）（1）151.1 161.1 （2）78.0 108.0 (3) 32 33三、合作探究1.在同一直角坐标系，分别画出下列两组函数图像，你能发现什么规律？（1）x y 2=和x 3=y （其中+∈N x ）（2）x y ）21（=和x ）31（=y （其中+∈N x ）2.若)()1m （+∈-=N x y x 为定义域内的增函数，则m 的取值范围是 。
高中常用函数导数表
高中常用函数导数表导数是微积分中非常重要的概念，通过求导可以求得函数在某一点的变化率。
在高中数学中，我们会接触到许多常用的函数，它们的导数有着特定的形式。
了解这些常用函数导数的形式，可以帮助我们更好地理解函数的性质和变化规律。
下面是一份高中常用函数导数表，方便大家参考和记忆。
1. 常数函数：f(x) = C，其中C为常数导数：f'(x) = 0对于常数函数来说，其函数值始终保持不变，因此导数恒为0。
2. 幂函数：f(x) = x^n，其中n为正整数导数：f'(x) = nx^(n-1)幂函数是指以x为底的n次幂的函数，它的导数是通过幂函数的指数降低1，并乘以原幂函数的系数。
3. 指数函数：f(x) = a^x，其中a为正实数且a≠1导数：f'(x) = a^x * ln(a)指数函数的导数是原函数的结果乘以底数a的自然对数值ln(a)。
4. 对数函数：f(x) = logₐ(x)，其中a为正实数且a≠1导数：f'(x) = 1 / (x * ln(a))对数函数的导数是1除以x乘以底数a的自然对数值ln(a)。
5. 三角函数：f(x) = sin(x)，f(x) = cos(x)，f(x) = tan(x)导数：f'(x) = cos(x)，f'(x) = -sin(x)，f'(x) = sec²(x)三角函数的导数可以通过基本的三角函数关系式求得，请注意tan(x)的导数是sec²(x)，其中sec(x)表示secant函数。
6. 反三角函数：f(x) = arcsin(x)，f(x) = arccos(x)，f(x) = arctan(x)导数：f'(x) = 1 / √(1 - x²)，f'(x) = -1 / √(1 - x²)，f'(x) = 1 / (1 + x²)反三角函数的导数也可以通过基本的反三角函数关系式求得，请注意arctan(x)的导数是1除以1 + x²。
指数函数的性质与计算
指数函数的性质与计算指数函数是数学中一类重要的函数，具有独特的性质和计算方法。
本文将介绍指数函数的定义、性质以及常见的计算方法。
1. 指数函数的定义指数函数是以底数为常数，指数为自变量的函数，一般表示为f(x) = a^x，其中a为底数，x为指数。
底数a必须为正数且不等于1，指数x可以是任意实数。
指数函数的定义域为实数集R，值域为正实数集。
2. 指数函数的性质2.1 单调性当底数a大于1时，指数函数随着指数x的增大而增大，表现为单调递增的特点；当底数a在区间(0,1)内时，指数函数随着指数x的增大而减小，表现为单调递减的特点。
2.2 对称性指数函数在x轴上存在一个对称中心，即函数图像关于x轴对称。
2.3 渐近线指数函数在x趋近于无穷大时，函数值趋近于正无穷；在x趋近于负无穷大时，函数值趋近于0。
因此，指数函数的图像与x轴和y轴均有渐近线。
2.4 特殊值当x为0时，指数函数等于1，即f(0) = a^0 = 1；当底数a为0时，指数函数在x大于0时等于0，在x小于0时无定义。
3. 指数函数的计算方法3.1 指数函数的乘法与除法指数函数具有乘法和除法的运算性质。
当指数相同的两个指数函数相乘时，底数相乘，指数不变，即a^x * a^y = a^(x+y)；当指数相同的两个指数函数相除时，底数相除，指数不变，即(a^x) / (a^y) = a^(x-y)。
3.2 指数函数的幂运算指数函数可以进行幂运算。
当指数为整数时，可以直接进行计算，例如a^2 = a * a，a^3 = a * a * a；当指数为分数时，可以通过化简为根式进行计算，例如a^(1/2) = √a，a^(1/3) = ∛a。
3.3 指数函数的对数运算对数是指数函数的逆运算，可以将指数函数的幂运算转化为对数运算。
对数以底数为常数，幂为自变量的函数，通常表示为loga(x)，其中a为底数，x为幂。
底数a必须为正数且不等于1，幂x可以是任意实数。
正整数指数函数 教案
正整数指数函数 教案一、 教学内容的分析1.教材所处的地位和作用本节课是北师大版教材必修一第三章第一节第一课时（3.1.1）《正整数指数函数》，是在学习了“正整数指数幂”、“函数的概念”的基础上展开的，学生已有了大量生活体验，他们熟悉的增长问题，复利问题等都可以归结为正整数指数函数。
本节课还为后续学习“指数函数”和“数列”作铺垫，在知识体系中起到了承上启下的作用，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，是对学生进行情感价值观教育的好素材。
2.学情分析我们在前两章学习了集合与函数的概念，进一步深化了函数的概念与定义方法，为本节课的学习打好了基础。
但应用函数的思想解决实际问题的能力还很弱，所以应二、教法学法分析1.教法分析结合学情及知识特点，进一步落实数学学科核心素养，本节课我采用设问--合作--讨论式教学方法，配合多媒体等辅助教学，在知识的生成和应用（一）情景引入、复习导入指数爆炸一张纸对折一次，厚度变成原来的2倍。
再对折第二次，变为原来的2的2次方倍即4倍。
以此类推，假设纸的厚度为0.1mm，则对折24次以后，长度超过1千米；对折39次达55000千米，超过地球赤道长度；对折42次达44万千米，超过地球至月球的距离；对折51次达22亿千米，超过地球至太阳的距离；对折82次为51113光年，超过银河系半径的长度。
教师引入事例，激发学生学习的兴趣。
探究1：某种细胞分裂时，由一个分裂成2个，2个分裂成4个，……一直分裂下去.（1）用列表表示1个细胞分裂次数分别为1，2，3，4，5，6，7，8时，得到的细胞个数；（2）用图像表示1个细胞分裂次数n与得到的细胞个数y之间的关系；（3）写出y与n之间的关系式，试用科学计算器计算细胞分裂15、20次得到的细胞个数.〈三〉知识应用、巩圄提高例1某地现有森林面积为1000h m z，每年增长5%.经过x (xεN ＋）年，森林面积为y h m 2写出x,y 间的函数关系式，并求出经过5年，森林的面积．解：y与x之间的函数关系式为y = 1000(1 + 5%）正（x EN +) 经过5年，森林的面积为1000(1十5%)5二1276.28(hm 2).（答略〉例2已知锚经过100年剩留原来质量的95.76 % 设质量为1的错经过x年后的剩留量为y，求y关于x的函数解析式．解：设经过1年，锚剩留原来质量的a%则y ＝（孟）正，问＋）fo 寸I F、J AY AV －∞ 飞飞Ill－lJ G －m ／F『Ill－－今．（． …一···一二＝0.9576100.1 100’ • •• y = 0.9576100, (x EN +) （答略）（四）课堂小结、反思提高1，正整数指数函数的定义、图像特征。
指数函数公式
指数函数公式指数函数是数学中的一种特殊函数，它的公式可表示为f(x) = a^x，其中a为一个正实数，且a ≠ 1。
指数函数在数学和应用数学中有着重要的作用，广泛应用于金融、物理学、生物学等领域。
在本文中，将详细探讨指数函数的定义、性质及其应用。
一、指数函数的定义及性质指数函数的定义如上所述，其中指数x可以是任意实数。
当指数为正整数时，指数函数的性质如下：1. 当x为正整数时，指数函数的值随着a的增大而增大。
2. 当x为负整数时，指数函数的值随着a的增大而减小。
3. 当x为正偶数时，指数函数的值随着a的增大而增大，但增长速率较慢。
4. 当x为负偶数时，指数函数的值随着a的增大而减小，但减小速率较慢。
5. 当x为0时，指数函数的值始终为1。
6. 当指数为正奇数时，指数函数的值随着a的增大而增大，且增长速率较快。
7. 当指数为负奇数时，指数函数的值随着a的增大而减小，且减小速率较快。
二、指数函数的图像和性质指数函数的图像一般具有以下特征：1. 当0 < a < 1时，指数函数在x轴的右侧逐渐趋近于0，形成下降曲线。
2. 当a > 1时，指数函数在x轴的右侧逐渐趋近于正无穷大，形成上升曲线。
3. 对于任意指数函数，其图像都经过点 (0, 1)。
4. 当a = 1时，指数函数退化为常函数 f(x) = 1，此时指数函数的图像为一条直线。
三、指数函数的应用指数函数在实际生活中有很多应用，下面列举几个常见的例子：1. 金融领域：复利计算中常用指数函数的概念。
当投资者以一定利率投资一笔资金时，指数函数可以帮助计算出未来的资金价值。
2. 物理学：指数函数常用于描述物质的衰减和增长过程。
例如，放射性衰变的速率可以通过指数函数来表示。
3. 经济学：经济学中的经济增长模型中使用指数函数来描述经济的增长趋势。
4. 生物学：生物学中的种群增长模型也可以应用指数函数来描述种群的增长速率。
5. 计算机科学：计算机科学中的算法分析和复杂性理论中常用指数函数来描述算法的时间复杂度。
正整数指数函数
每年比上一年增加 p%.写出年产量随经过年数变化的函数关
系式. y=10 000(1+ p%)m （ m∈N+）, 练习4.抽气机每次抽出容器内空气的60%，要使容器内的空气 8 少于原来的0.1%，则至少要抽_________次.
四、小Leabharlann 结1.一般地，函数 y=ax (a>0, a≠1, x∈N+)叫做正整数指数函 数，其中x是自变量，定义域是正整数集N+. 2.正整数指数函数的图像特征： （1）图像是一群点； （2）当a>1时，是单调递增函数； （3）当0<a<1时，是单调递减函数； （4）ax的系数为1.
导入新课：
1992年底世界人口达到54.8亿，若人口的年平 均增长率为2%,到2009年底人口将达到多少亿？ 设年数为x，人口数为y，则 y=54.8(1+2%)x,其中 x∈N+
§1 正整数指数函数 一、实例分析： 问题1. 归纳1：细胞分裂次数n与细胞个数 y之间的函数关系式为 y=2n , n∈N+. 问题2. 归纳2： 臭氧含量Q与时间 t之间的函数关系近似地满足 Q=0.9975t , t∈N+. 注意！在研究增长问题、复利问题、质量溶度问题中 常见这类函数.
三、例题与练习： 例1.判断下列函数是否为正整数指数函数： （1） y=3x x∈N+; （2） y=3-x , x∈N+; （3）y=1x; （4） y=2×3x , x∈N+; （5） y=x3 , x∈N+; （6）y=(-2)x; （7）y=2x , x∈R. 练习1.函数 y=（3a-2)x表示正整数指数函数应满足什么条件？ 例2.下列给出的四个正整数指数函数中，是减函数的是（ A. y=1.2x , x∈N+; B. y=3x , x∈N+; ）
数学课本_内容摘要正整数指数
内容摘要1. 正整数指数律设 a ，b 为实数，m ，n 为正整数，则：(1) a m ×a n ＝a m ＋n 。
(2)（a m ）n ＝a mn 。
(3) a n ×b n ＝（ab ）n 。
2. 整数指数的定义设 a 为实数，n 为正整数，则定义：(1) 正整数指数：a n ＝a a a ⨯⨯⋅⋅⋅⋅。
n 个(2) 零指数：a 0＝1（其中 a ≠0）。
(3) 负整数指数：a －n ＝1na （其中 a ≠0）。
3. 整数指数律设 a ，b 是不为零的实数，m ，n 是整数，则：(1) a m ×a n ＝a m ＋n 。
(2)（a m ）n ＝a m ×n 。
(3) a n ×b n ＝（ab ）n 。
4. 有理数指数的定义设 a 是正实数，n 是正整数，m 是整数，则定义：(1) 1n a = (2) m na =。
5. 有理数指数律设a，b是正实数，r，s是有理数，则：(1) a r×a s＝a r＋s。
(2)（a r）s＝a rs。
(3) a r b r＝（ab）r。
6. 实数指数律设a，b是正实数，α，β是实数，则：(1) aα×aβ＝aα＋β。
(2)（aα）β＝aαβ。
(3) aαbα＝（ab）α。
7. 指数函数的定义设a＞0，a≠1，x是任意实数，则称函数f（x）＝a x是以a为底数的指数函数。
8. 指数函数的图形设a＞0，a≠1，则函数y＝a x的图形如下：(a) a＞1 (b) 0＜a＜19. 递增函数与递减函数的定义对于函数f（x）而言，(1) 对所有的α＜β，都有f（α）≤f（β），就称f（x）为递增函数。
(2) 对所有的α＜β，都有f（α）＜f（β），就称f（x）为严格递增函数。
(3) 对所有的α＜β，都有f（α）≥f（β），就称f（x）为递减函数。
(4) 对所有的α＜β，都有f（α）＞f（β），就称f（x）为严格递减函数。
北师大版高一数学必修1第三章《指数函数》
第三章 指数函数第1节 正整数指数函数知识点1：正整数指数函数的概念函数y=a x （a>0,1≠a +∈N x ）叫做正整数指数函数，其中x 是自变量，定义域是正整数集N +。
知识点2：正整数指数函数的图像特征及其单调性 1、正整数指数函数的图像是散点图；2、当1>a 时，在定义域上递增；当10<<a 时，在定义域上递减。
知识点3：指数型函数我们把形如xka y =（1,0≠>∈a a R x k ，、）的函数叫作指数型函数。
例：已知正整数指数函数f(x)的图像经过点（3,27）. （1）求函数f(x)的解析式； （2）求f （5）的值；（3）函数f(x)有最值吗？如有，试求出；若无，请说明理由。
第2节 指数扩充及其运算性质 知识点1：分数指数幂1、定义：给定正实数a ，对于任意给定的整数m ，n （m ，n 互素），存在唯一的正实数b ，使得mna b =，我们把b 叫作a 的nm次幂，记作n ma b =。
2、意义知识点2：无理数指数幂无理数指数幂αa （a>0，α是无理数）是一个确定的实数。
知识点3：实数指数幂及其运算性质1、当a>0时，对任意的R ∈α，αa 都有意义，且是唯一确定的实数。
2、实数指数幂的运算性质：对任意实数m 、n ，当a>0，b>0时，nm nma a a +=•；()mn nma a =；()n n nb a ab =。
知识点4：根式及其分数指数幂的运算 1、指数幂运算的常用技巧：（1）有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算； （2）负指数幂化为正指数幂的倒数；（3）底数是小数，要先化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质. 2、根式化简的步骤：（1）将根式化成分数指数幂的形式； （2）利用分数指数幂的运算性质求解. 3.根式的性质（其中n ∈N +，且n>1）； （1）当n 为奇数时，a a n n =；（2）当n 为偶数时，⎩⎨⎧<-≥==0,0,||a a a a a a nn；（3）00=n ；（4）负数没有偶次方根。
高中数学知识点总结指数与对数的基本性质
高中数学知识点总结指数与对数的基本性质指数与对数是高中数学中重要的内容之一，它们在各个领域具有广泛的应用。
本文将总结指数与对数的基本性质，包括指数与对数的定义、运算规律以及常见的应用等方面。
一、指数的定义与运算规律1. 指数的定义：对于同一个非零实数a，n是任意整数，a^n表示连乘n个a，其中n>0时，a^n称为正整数指数；n<0时，a^n定义为(a^(-1))^(-n)。
2. 指数与幂运算的性质：a) a^m * a^n = a^(m+n)；两个指数相加，底数不变，指数相加；b) a^m / a^n = a^(m-n)；两个指数相减，底数不变，指数相减；c) (a^m)^n = a^(m*n)；指数与指数相乘，底数不变，指数相乘；d) (a*b)^n = a^n * b^n；底数相乘，指数不变，结果相乘。
二、对数的定义与运算规律1. 对数的定义：对于任意正实数a，b>0且b≠1，满足b=a^x时，称x为以a为底b的对数，记为logₐb。
换底公式：logₐb = logcb / logca，其中c为任意正实数。
2. 常用对数与自然对数：a) 常用对数：以10为底的对数，记为logb；b) 自然对数：以e（自然对数的底数，约等于2.71828）为底的对数，记为lnb。
3. 对数运算的性质：a) logb (MN) = logbM + logbN；连乘的指数可以分开成多个指数相加；b) logb (M/N) = logbM - logbN；连除的指数可以分开成多个指数相减；c) logbM^n = nlogbM；指数可以移到对数符号前面；d) logb 1 = 0；底数与结果为1的对数为0。
三、指数与对数的应用1. 科学计数法：指数与对数的运用，可以方便地表示非常大的数或非常小的数，便于科学计算与表达。
2. 成长与衰减模型：指数函数和对数函数可用于描述种群、质量、自然现象等的成长和衰减模型，如人口增长、放射性衰变等。
指数函数和对数函数复习(有详细知识点和习题详解)
指数函数和对数函数复习(有详细知识点和习题详解)一、指数的性质一）整数指数幂整数指数幂的概念是指：a的n次方等于a乘以a的n-1次方，其中a不等于0，n为正整数。
另外，a的-n次方等于1除以a的n次方，其中a不等于0，n为正整数。
整数指数幂的运算性质包括：（1）a的m次方乘以a的n次方等于a的m+n次方；（2）a的n次方的m次方等于a的mn次方；（3）a乘以b的n次方等于a的n次方乘以b的n次方。
其中，a除以a的n次方等于a的n-1次方，a的m-n次方等于a的m除以a的n次方，an次方根的概念是指，如果一个数的n次方等于a，那么这个数叫做a的n次方根，记作x=√a。
例如，27的3次方根等于3，-27的3次方根等于-3，32的5次方根等于2，-32的5次方根等于-2.a的n次方根的性质包括：如果n是奇数，则a的n次方根等于a；如果n是偶数且a大于等于0，则a的正的n次方根等于a，a的负的n次方根等于负的a；如果n是偶数且a小于0，则a的n次方根没有意义，即负数没有偶次方根。
二）例题分析例1：求下列各式的值：（1）3的-8次方；（2）（-10）的2次方；（3）4的（3-π）次方；（4）（a-b）的2次方，其中a大于b。
例2：已知a小于b且n大于1，n为正整数，化简n[（a-b)/(a+b)]。
例3：计算：7+40+7-40.例4：求值：（59/24）+（59-45）/24 + 25×（5-2）/24.解：略。
二）分数指数幂1.分数指数幂当根式的被开方数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式，例如：$5\sqrt[10]{a^5}=a^{\frac{1}{2}}$，$3\sqrt[12]{a^3}=a^{\frac{1}{4}}$。
当根式的被开方数不能被根指数整除时，根式也可以写成分数指数幂的形式，例如：$\sqrt[4]{a^5}=a^{\frac{5}{4}}$。
规定：1）正数的正分数指数幂的意义是$a^{\frac{p}{q}}=\sqrt[q]{a^p}$。
指数函数
x
(3) y x
(5) y 4
4
1 (4) y 2a 1 a , a 1 2
x
我也 是
x 1
动一动 例1、在直角坐标系中分别作出如下函数的图像:
y2
列表如下：
x …
x
x
x
1 y 2
x
-3 0.13 8
-2 0.25 4
-1 0.5 2
①比较下列各数的大小:
2 ___ 2
0.3
0.5 1
2
0.4
1 _____ 2
0.7
②求不等式
2 16
x
中x的取值范围
③比较m, n的大小
1 1 与 2 8
m n
x
2 2
mቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
m n
n
1 1 2 2
a a (a 0, a 1)
指数函数
濉溪中学：方皖
想一想
问1：什么样的函数叫做正整数指数函数？
形如 y a (a 0, a 1, x N )
x
的函数叫做正整数指数函数
问2：如果把正整数指数函数的定义域扩 充到整个实数集，那这样的函数该怎么
称呼呢？
底为常数
说一说
指数为自变量
形如 y a x ( a 0 , 且a 1 )的函数叫做指数函数
-0.5 0.71 1.4
0 1 1
0.5 1.4 0.71
1 2 0.5
2 4 0.25
3 8 0.13
… … …
y2
… …
1 y 2
y
1 y 2
x
函数公式大全
函数公式大全
1. 幂函数：复数y=z^n，其中z为复数，n为任意正整数；
2. 对数函数：对数函数指当变量x等于某一常数a时，
y=logax；
3. 指数函数：指数函数指变量x等于某一常数b时，y=ax；
4. 三角函数：三角函数指变量x等于某一常数c时，
y=f(x)=asinx+bcosx+d；
5. 几何函数：几何函数指变量x等于某一常数e时，
y=f(x)=ax^2+bx+c；
6. 多项式函数：多项式函数指变量x等于某一实数m时，
y=f(x)=anx^n+an-1x^n-1+...+a0；
7. 指数增长函数：指数增长函数指当变量x大于某一实数n时，y=f(x)=ae^kt，其中a为常数，k为指数增长系数；
8. 伯努利函数：伯努利函数指当变量x小于某一实数p时，
y=f(x)=ap；
9. 拉格朗日函数：拉格朗日函数指当变量x等于某一实数q时，y=f(x)=aq+b；
10. 线性函数：线性函数指当变量x等于某一实数r时，
y=f(x)=ar+b；
11. 集合函数：集合函数指当变量x等于某一实数s时，
y=f(x)=A(s)，A(s)是一组实数集；
12. 椭圆函数：椭圆函数指当变量x等于某一实数t时，
y=f(x)=At²+Bt+C；
13. 对称函数：对称函数指当变量x等于某一实数u时，
y=f(x)=a(-u)+b(-u)+c(-u)+d；
14. 双曲函数：双曲函数指当变量x等于某一实数v时，
y=f(x)=Av⁻¹+Bv⁻²+Cv⁻³+Dv⁻⁴；
15. 逻辑函数：逻辑函数指当变量x等于某一实数w时，y=f(x)=Y，Y为取值范围{0,1}的布尔值。
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正整数指数函数
【学习目标】
1.了解正整数指数函数的概念、能画出一些简单的正整数指数函数的图像，了解它们的特征；
2. 通过自主探索，让学生经历“特殊→一般→特殊”的认知过程，完善认知结构，领会数形结合、分类讨论等数学思想方法；
3. 感受数学问题探索的乐趣和成功的喜悦，体会数学的理性、严谨及数与形的和谐统一美。
【学习重点】
正整数指数函数的定义及正整数指数函数的解析式的确定
【学习难点】
具体的正整数指数函数图像的特征及单调性
【课前预习案】
一、预习问题设置
1.阅读课本第61～62页内容，勾画重点，找出疑惑之处，理解什么是正整数指数函数，然后完成自主学习部分，并尝试完成合作探究中的内容；
2.课本中两个问题所得的函数有没有共同点?你能统一吗?自变量的取值范围又是什么?这样的函数图像又是什么样的?完成下列内容:
一般地,函数__________________________________叫作正整数指数函数,其中_________是自变量,定义域是__________________．对正整数指数函数概念的理解，需注意以下几点：
(1) 在定义域内，当底数1>a 时，函数
)(+∈=N x a y x 为增函数；当底数_________时，函数
)(+∈=N x a y x 为减函数； 如函数)(2+∈=N x y x 为增函数，函数
)(9975.0+∈=N t y t 为减函数； (2) 正整数指数函数
)(+∈=N x a y x 形式的严格性： x a 的系数必须是______,自变量为x,且x 在____位置上；否则就不是正整
数指数函数，如
),1,0(),1,0(21+++∈≠>=∈≠>=N x a a a y N x a a a y x x ，且，且 )1,0(1+∈≠>+=N x a a a y x ，且都不是正整数指数函数。
(3) 正整数指数函数的图像是第一象限内的一些孤立的点。
二、预习自测
)()21(+∈=N x y x 1.已知下列六个函数，其中是正整数指数函数的有_______________ ①)()21(+∈-=N x y x ②)(32+∈⋅=N x y x x ③
)(5+∈=N x x y ④)()13(+∈-=N x y x ⑤
)(3+-∈=N x y x ⑥
)3()3(+∈>-=N x a a y x 且 2.已知函数)()2()(+∈⋅-=N x a a x f x 是正整数指数函数，则____)2(=f 。
3.若正整数指数函数(1)x y a =-为单调减函数，则实数a 的取值范围是（ ）
A.1a <
B. 0a >
C. 01a <<
D. a R ∈
【课堂探究案】
一、探究问题
1.“熊猫烧香”病毒破坏力极强，如果某台计算机染上这种病毒，则每轮病
毒发作时，这台计算机会感染其他未被感染的10台计算机，现有20台计算机在第一轮病毒发作时被感染，则在第五轮病毒发作时将有多少台计算机被感染？
2. 一种产品的年产量原来是10000件，今后计划使年产量每年比上一年增
加p%，写出年产量y 随经过年数x 变化的函数关系式。
3. 某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次，每次一个细菌分裂为2
个，经过x 小时，这种细菌由1个繁殖为y 个.写出x,y 间的函数关系式，并计算 经过3小时，这个细菌繁殖成的个数。
二、课堂检测
1. 下列各项对正整数函数的理解正确的有________。
①底数0≥a ； ②指数+∈N x ； ③底数不为0 ④x
a 的系数不确定 ⑤值域是[a ,+∞)
2. 已知函数)()33(2+∈+-=N x a a a y x 是正整数指数函数，则___=a 。
3. 画
出函数的图像，并说明其单调性。