成都七中2015年外地生自主招生考试数学试题和答案

成都七中2015年外地生自主招生考试数学试题和答案

一、单项选择题（本大题共10小题，每题6分，共60分）

1、已知等腰△ABC 的面积为1，其中∠A=120°，则△ABC 内切圆的面积为

A. B. C. D. 2如图所示，两对角线长分别为4和2的菱形围绕其中心旋转90︒，可以围成一个四角星（其各边用实线标注），则该四角星的周长为

A. B. C. D.

3、已知1x =，则42422

x x x +=++

A.3

B.4

C. 4+

D. 8+4、某三棱锥的三视图如右图所示，则该三棱锥的最长棱长为

A. B. C. D.4

5、设x 、y 为实数，则代数式22

245425x xy y x y ++-+-的最小值是

A.-8

B.8

C.0

D.-10

6、已知6x y z w ≤≤≤≤，则方程18x y z w +++=的正整数解的个数为 A.5 B. 6 C.7 D.8

7、定义分子为1且分母为正整数的分数为单位分数，把1分拆成若干个不同的单位分数之和。如：1=

156

113211101901721561421301111216121++++++++++++n m ，其中m n ≤。设1x m ≤≤，1y n ≤≤，则21

x y x +++的最小值为 A. 232 B. 52 C. 87 D. 343 8、若一个两位数平方的末两位恰好等于其本身，则这样的两位数有（ ）个

A.2

B.3

C.4

D.5

9、设

p 、q 为不相等的正整数，且关于x 的方程20x px q -+=和20x qx p -+=的根都是正整数，则p q -= A.1 B.2 C.3 D.4

10、在正方形ABCD 所在平面上的直线l 满足下列条件：正方形ABCD 的四个顶点到直线l 的距离只取两个值，其中的一个值是另一个值的3倍，这样的直线l 的条数为

A.4

B.8

C.12

D.16

二、填空题（本大题共4小题，每题7分，共28分）

11、在四边形ABCD 中， BC=8，CD=19，AD=10，∠A=∠B=60°，则AB=______

12、如右图，点E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，而△ABE 、△ECF 、△FDA 的面积分别为2、3、4，那么△AEF 的面积为______

13、函数

24y x mx m =++的图像被x 轴所截的最大值为_______

14、已知[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]π=3. []3=3，那么=________

三、填空题（本大题共4小题，每题8分，共32分）

15、已知.10.33=，即10.30.030.003 (3)

=+++，等式两边同乘 3.则有10.90.090.009.....=+++，也即.

10.9=，借鉴上述操作，若有222221111.....61234π=++++，那么++++22227

1513111…=_________

16、在四边形ABCD 中，∠DAC=98°，∠DBC=82°，∠BCD=70°，BC=AD ，则∠ACD=____

17、方程x x

x x =-+-111的解为________ 18、已知o 为△ABC 的外心，有AB=2，AC=4，则AO ·BC 的最小值为_______ 四、解答题（本大题共2小题，19题14分，20题16分，共30分） 19、如图正方形OABC 的顶点O 在坐标原点，且OA 边和AB 边所在直线的解析式分别为34y x =和42533

y x =-+，D 、E 分别为OC 、AB 的中点，P 为OA 边上一动点（点P 与点O 不重合），连接DE 和CP ，交点为Q

（1）求证：Q 为△COP 的外心（2）求正方形OABC 的边长（3）当圆Q 与AB 相切时，求点P 的坐标

20、若存在正常数L ，对某一函数图像上任意不同两点111(,)P x y ，222(,)P x y ，有不等式1212y y L x x -≤-恒成立，则称该函数为李氏函数，L 为该函数的李氏系数。

（1）判断21y x =+和1y x

=是否为李氏函数（只判断不用说明理由）； （2）若函数1y x =1(1)2

x <<为李氏函数，求其李氏系数L 的取值范围； （3）若函数3(1)y x a x a =<<+为李氏函数，其李氏系数L 的最小值为3，求a 的取值

范围。