2020年湖北省武汉十五中等三校联考高一(下)期中数学试卷
【数学】湖北省武汉市三校联合体2019-2020学年高一下学期期中考试试题
参考答案一、 选择题1-12、ACBCA DBDDC C A二、填空题：13．锐角；14. 13-6√2；15. 5,162,2n n n =⎧⎨-≥⎩；16.3 三、解答题:17.解：解：设(,)c x y =，则cos ,cos ,,a c b c <>=<>得22221x y x y x y +=+⎧⎨+=⎩，………………………………………4分即22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或22x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩2(,22c=或(22-- ………………………………………10分18．解：(1)(方法一)由题设知，2sin B cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B .因为sin B ≠0，所以cos A ＝12. 由于0<A <π，故A ＝π3. ………………………………………6分 (方法二)由题设可知，2b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝a ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·b 2＋c 2－a 22bc.于是b 2＋c 2－a 2＝bc . 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12. 由于0<A <π，故A ＝π3. ………………………………………6分 (2)(方法一)因为AD 2→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋AC →22＝14(AB →2＋AC →2＋2AB →·AC →) ＝14(1＋4＋2×1×2×cos π3)＝74， 所以|AD →|＝72.从而AD ＝72. ………………………………………12分 (方法二)因为a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝4＋1－2×2×112＝3，所以a 2＋c 2＝b 2，B ＝π2.因为BD ＝32，AB ＝1， 所以AD ＝1＋34＝72. ………………………………………12分 19．（1）设数列{}n a 的公差为d ，依题意，2，2d +，24d +成等比数列，故有2(2)2(24)d d +=+，化简得240d d -=，解得0d =或d =4.当0d =时，2n a =；当d =4时，2(1)442n a n n =+-⋅=-， ∴数列{}n a 的通项公式为2n a =或42n a n =-……………………………………6分.（2）当2n a =时，2n S n =. 显然260800n n <+，此时不存在正整数n ，使得60800n S n >+成立.当42n a n =-时，2[2(42)]22n n n S n +-==. 令2260800n n >+，即2304000n n -->，解得40n >或10n <-（舍去），此时存在正整数n ，使得60800n S n >+成立，n 的最小值为41.综上，当2n a =时，不存在满足题意的n ；当42n a n =-时，存在满足题意的n ，其最小值为41. ………………………………………12分.20．解：（1）因为221+=+n n n a a a ，所以21111+=+n n a a ，即21111=-+n n a a . 所以}1{na 是以111=a 为首项，21为公差的等差数列. ………………………………………6分所以21)1(11⨯-+=n a n ，即12+=n a n . （2 ）由（1）得21)1(11⨯-+=n a n ，即12+=n a n . )2111(422121+-+=+⨯+==+n n n n a a b n n n ， 所以数列{n b }前n 项和)]2111()4131()3121[(4+-+++-+-=n n T n 22)2121(4+=+-=n n n . ………………………………………12分 21.解： (1)由0sin )()sin )(sin (=-++-B a b C A c a 及正弦定理，得0)())((=-+-+a b b c a c a ，化简，得ab c b a =-+222. 由余弦定理，得212cos 222=-+=ab c b a C . 因为π<<C 0，所以3π=C . ………………………………4分（2）因为C C B A sin )2sin(2sin 2=++，所以)sin()sin(cos sin 4B A B A A A +=-+， 所以B A B A B A B A A A sin cos cos sin sin cos cos sin cos sin 4+=-+， 即B A A A sin cos cos sin 2=，所以0cos =A ，或B A sin sin 2=. （ⅰ）当0cos =A 时，ABC ∆为直角三角形，2π=A ，6π=B ，3π=C . 由2=c 得，332=b ，所以33221==∆bc S ABC （ⅱ）当B A sin sin 2=时，a b 2=，此时22223a ab b a c =-+=. 因为2=c ，所以342=a ，所以332sin 21==∆C ab S ABC . 所以，ABC ∆的面积为332. ………………………………12分 22. （1）∵a n+12﹣a n+1a n ﹣2a n 2＝0，∴（a n+1+a n ）（a n+1﹣2a n ）＝0，∵数列{a n }的各项均为正数，∴a n+1+a n ＞0，∴a n+1﹣2a n ＝0，即a n+1＝2a n ，所以数列{a n }是以2为公比的等比数列． ∵a 3+2是a 2，a 4的等差中项，∴a 2+a 4＝2a 3+4，∴2a 1+8a 1＝8a 1+4，∴a 1＝2，∴数列{a n }的通项公式a n ＝2n ．......................................4分（2）由（1）及b n ＝12log n n a a ，得，b n ＝﹣n•2n ，∵S n ＝b 1+b 2++b n ， ∴S n ＝﹣2﹣2•22﹣3•23﹣4•24﹣﹣n•2n ①∴2S n ＝﹣22﹣2•23﹣3•24﹣4•25﹣﹣（n ﹣1）•2n ﹣n•2n+1②①﹣②得，S n ＝2+22+23+24+25++2n ﹣n•2n+1＝， 要使S n +n•2n+1＞50成立，只需2n+1﹣2＞50成立，即2n+1＞52， ∴使S n +n•2n+1＞50成立的正整数n 的最小值为5．......................................12分。
湖北省武汉市2019-2020学年高一下学期期中联考数学试题+Word版含答案
数学试卷试卷满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题卡上.) 1. 数列{}n a 是等差数列，23a =，59a =，则6S =（ ）． A ．12B ．24C ．36D ．722.若向量a v ，b v 满足()5a a b ⋅-=vv v ，||2a =v ，1b =v ，则向量a v ，b v 的夹角为（ ）A ．6π B ．3πC ． 23πD ． 56π3.在ABC ∆中，4a b B π===，则A 等于 （ ）A ．6πB ．3πC ．3π或23πD ．6π或56π4. 在ABC V 中，12BD DC =u u u r u u u r，则AD u u u r =（ ）A ．1344AB AC +u u u r u u u r B ．2133AB AC +u u u r u u u r C ．1233AB AC +u u u r u u u rD ．2133AB AC -u u ur u u u r5. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，此日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见此日行数里，请公仔细算相还”，其意思为：“有一个人要去378里外的地方，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”，请问第四天走了（ ） A. 96里B. 24里C. 192 里D. 48里6. 已知数列{}n a 是等比数列，数列{}n b 是等差数列，若1598a a a ⋅⋅=-，2583b b b π++=，则4637sin1b b a a +-的值是（ ）A.12 B.12-D.-7. 钝角三角形ABC 2AB =，3BC =，则AC = ( )B.C.D.8.已知ABC V 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2cos a B c =，则该三角形一定是（ ） A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形9.如图，已知等腰ABC V 中，3AB AC ==，4BC =，点P 是边BC 上的动点，则()AP AB AC ⋅+u u u r u u u r u u u r( )A ．为定值10B ．为定值6C ．最大值为18D ．与P 的位置有关（第9题图）10.在ABC V 中，三边长可以组成公差为1的等差数列，最大角的正弦值为32，则这个三角形的面积为( ) A ．1516 B ．153 C ．154D ．15311.如图所示，为了测量A 、B 处岛屿的距离，小明在D 处观测，A 、B 分别在D 处的北偏西15o 、北偏东45o 方向，再往正东方向行驶10海里至C 处，观测B 在C 处的正北方向，A 在C 处的北偏西60o 方向，则A 、B 两岛屿的距离为（ ）海里.A ．56B ．106C ．102D ．202（第11题图）12.数列{}n a 的前n 项和为n S ，()()1211n n n n a a n +++=⋅-，20211001S =，则2a 的值为（ ）A ．9-B ．8C ．1019-D ．1018 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将正确答案填在答题卡相应位置上.)13.已知a r ，b r 均为单位向量，它们的夹角为23π，则a b -=r r ．14.在数列{}n a 中，13a =，212n n n a a +=+，则n a =15.设等比数列{}n a 满足1330a a +=，2410a a +=，则123n a a a a ⋅⋅⋅……的最大值为 16. 已知,,a b c 分别为ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边，3c =且(sin sin )(3)()sin C B b a b A -+=+，则ABC ∆面积的最大值为 .三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，已知()1,2a =-r ，()3,4b =r.（Ⅰ）若()()3a b a kb -+r r r r∥，求实数k 的值；（Ⅱ）若()a tb b -⊥r r r，求实数t 的值.18.（本小题满分12分）已知数列{}n a 是等差数列，1=10a -，公差0d ≠，且245,,a a a 是等比数列； （Ⅰ）求n a ；（Ⅱ）求数列{}||n a 的前n 项和n T ．19.（本小题满分12分）在四边形ABCD 中，90ADC ∠=o，45A ∠=o，1AB =，3BD =． （Ⅰ）求cos ADB ∠；（Ⅱ）若DC =，求BC ．20.（本小题满分12分）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知17a =-，公差d 为整数，且4n S S ≥； （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .21.（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且222cos sin sin cos sin A A B C B +=+.（Ⅰ）求角C ； （Ⅱ）若c =ABC ∆的面积是，求ABC ∆的周长.22.（本小题满分12分）设正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：24a =，21444n n a S n +=++，n N *∈.（I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）若正项等比数列{}n b 满足11b a =，34b a =，且1nn n c a b +=，数列{}n c 的前n 项和为n T ，若对任意n N *∈，均有2828n T m n n ⋅≥-恒成立，求实数m 的取值范围．高一数学试题答案14. n 453+15. 729 16. 三、解答题：本大题共6小题，共70分 17.（本题10分）（Ⅰ）()1,2a =-rQ ，()3,4b =r ，()()()331,23,40,10a b ∴-=--=-r r ， ()()()1,23,431,42a kb k k k +=-+=+-r r，()()3//a b a kb -+r r r r Q ，()10310k ∴-+=，解得13k =-……………………………5分（Ⅱ）()()()1,23,413,24a tb t t t -=--=---r r，()a tb b -⊥r r r Q ，()()()3134242550a tb b t t t ∴-⋅=⨯-+⨯--=--=r r r，解得15t =-. ……………………………………………………………………………10分18.（本小题满分12分） （Ⅰ）由题意：()()()210104103d d d -+-+=-+ 计算得：()20d =或0舍去所以212n a n =-；………………………………………………………6分（Ⅱ）当16n ≤≤时，0n a ≤，即有211n n T S n n =-=-； 当7n ≥时，0n a >，6621160n n T S S S n n =--=-+，即有2211,161160,7n n n n T n n n ⎧-≤≤=⎨-+≥⎩．………………………………………………12分19.（本小题满分12分）（Ⅰ）在ABD △中，由正弦定理得sin sin BD ABA ADB=∠∠．由题设知，31sin 45sin ADB=︒∠，所以sin ADB ∠=．由题设知，90ADB ∠<︒，所以cos 6ADB ∠==．…………6分（Ⅱ）由题设及(1)知，cos sin 6BDC ADB ∠=∠=． 在BCD △中，由余弦定理得2222cos BC BD DC BD DC BDC =+-⋅⋅⋅∠92236=+-⨯9=． 所以3BC =．………………………………………………………………12分20.（本小题满分12分）(1) 由 等差数列{}n a 的前n 项n S 满足4n S S ≥，170a =-<， 得 a 4≤0，a 5≥0，于是-7＋3d ≤0，-7＋4d ≥0， 解得74≤d ≤73，因为公差d 为整数， 因此d ＝2.故数列{a n }的通项公式为29n a n =- ……………………………………6分 (2) ()()1111292722927n b n n n n ⎛⎫==- ⎪----⎝⎭,于是12n n T b b b =+++……1111111275532927n n ⎛⎫=⨯-+-++- ⎪------⎝⎭…… ()1112727727nn n ⎛⎫=--=- ⎪--⎝⎭ ∴n T =()727nn --…………………………………………………………12分21.（本小题满分12分）（1）由222cos sin sin cos sin A A B C B +=+，得21sin sin sin A A B -+221sin sin C B =-+，即2sin sin sin C A B +22sin sin A B =+. 由正弦定理可得222a b c ab +-=， 由余弦定理可得cos 12C =， ∵C ∈（0，π）， 所以3C π=. ………………………………………………6分（2）1sin 2ABC S ab C ∆===20ab =，因为222c a b ab =+-，c =2241a b +=，()2222414081a b a ab b +=++=+=，9a b +=所以ABC ∆的周长为9……………………………………………………12分22.（本小题满分12分）（1）因为21444n n a S n +=++，所以()214414n n a S n -=+-+（n ≥2），两式相减得：a n +12﹣a n 2＝4a n +4，即a n +12＝（a n +2）2（n ≥2）， 又因为数列{a n }的各项均为正数，所以a n +1＝a n +2（n ≥2）， 又因为a 2＝4，16＝a 12+4+4，可得a 1＝2，所以当n ＝1时上式成立，即数列{a n }是首项为1、公差为2的等差数列， 所以a n ＝2+2（n ﹣1）＝2n ；……………………………………………………4分 （2）由（1）可知b 1＝a 1＝2，b 3＝a 4＝8，所以b n ＝2n；c n ＝()112n n ++⋅．()2312232212n n n T n n +=⋅+⋅++⋅++⋅……① ()341222232212n n n T n n ++=⋅+⋅++⋅++⋅……②① —②得：()3412822212n n n T n ++-=++++-+⋅……()()()()232122242232124421122n n nn n n n n ++++=+++++-+⋅=+--+⋅=-⋅……22n n T n +=⋅…………………………………………………………………………8分2828n T m n n ⋅≥-恒成立，等价于()2247n n m n n +⋅≥-恒成立，所以272nn m -≥恒成立， 设k n ＝272n n -，则k n +1﹣k n ＝1252n n +-﹣272nn -＝1922n n +-， 所以当n ≤4时k n +1＞k n ，当n ＞4时k n +1＜k n ， 所以123456k k k k k k <<<<>>……所以当k n 的最大值为k 5＝332，故m ≥332， 即实数m 的取值范围是：[332，+∞）．…………………………………………12分。
2019-2020学年武汉十五中等三校联考高一下学期期中数学试卷(含答案解析)
2019-2020学年武汉十五中等三校联考高一下学期期中数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 已知a >b ，则下列不等式成立的是( )A. a 2>b 2B. a 3>b 3C. 1a <1bD. ac 2>bc 22. 在中，，则等于( )A.B.C.D.3. 已知△ABC ，角A 、B 、C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且sinA +sinB =cosA +cosB ，则△ABC 是( )A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形4. 已知向量a ⃗ =(2,1)，b ⃗ =(1,3)，则b ⃗ −a ⃗ =( )A. (−2,1)B. (2,−1)C. (−1,2)D. (1,2)5. 在△ABC 中，∠A =30°，AB =√3，BC =1，则cos C 等于( )A. 12B. √32C. 12或−12D. √32或−√326. 已知△ABC 中，tanA +tanB +√3=√3tanAtanB 且，sinBcosB =√34，则△ABC 是( )A. 正三角形B. 直角三角形C. 正三角形或直角三角形D. 直角三角形或等腰三角形7. 正项等比数列{a n }满足a 7=a 6+2a 5，若存在两项a m ，a n 使得√a m a n =2a 1，则1m +9n 的最小值是( )A. 1B. 2C. 3D. 48. 已知P 是△ABC 内的一点(不含边界)，且AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =2√3，∠BAC =30°，若△PBC ，△PAB ，△PCA 的面积分别为x ，y ，z ，记ℎ(x,y ，z)=1x +4y +9z ，则ℎ(x,y ，z)的最小值为( )A. 26B. 32C. 36D. 489. 在△ABC 中，若(b −bcosB)sinA =a(sinB −sinCcosC)，则这个三角形是( )．A. 等腰直角三角形B. 底角不等于45°的等腰三角形C. 等腰三角形或直角三角形D. 锐角不等于45°的直角三角形10. 若M 为△ABC 的边AB 上一点，且AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则CB⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 3CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −2CA⃗⃗⃗⃗⃗ B. 3CA ⃗⃗⃗⃗⃗ −2CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C. 3CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2CA⃗⃗⃗⃗⃗ D. 3CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗11. 如图所示，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，F 为CE 的中点，则A. B.C.D.12. 若函数f(x)=2e x −ax 2+(a −2e)x 有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )A. (e,+∞)B. (0,e)C. [1,e)D. (0,+∞)二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若不等式a 2+10b 2+c 2≥tb(a +3c)对一切正实数a ，b ，c 恒成立，则实数t 的取值范围是______． 14. 已知x >−3，则x +8x+3的最小值为______ ．15. 已知向量a ⃗ =(cos36°,sin36°)，b ⃗ =(cos24°,sin(−24°))，则a ⃗ ⋅b ⃗ = ______ ．16. 设平面向量a ⃗ =(1,1)，b ⃗ =(sinx,√cos 2x −34)，则a ⃗ ⋅b ⃗ 的取值范围是______ ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知向量a⃗ =(cosωx −sinωx,sinωx)，向量b ⃗ =(−cosωx −sinωx,2√3cosωx)，设函数f(x)=a ⃗ ⋅b ⃗ ，(x ∈R)的图象关于直线x =π对称，其中ω为常数，且ω∈[12,1]．(1)求函数f(x)的最小正周期； (2)求函数f(x)在区间[0,3π5]上的取值范围．18.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(a+b+c)(a−b+c)=3ac．(I)求B(Ⅱ)若f(x)=√3−sinωx−2√3sin2ωx的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π，求2f(A)的值域．19.如图所示的是自动通风设施．该设施的下部ABCD是等腰梯形，其中AB=1米，高0.5米，CD=2米．上部CmD是个半圆，固定点E为CD的中点．△EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗(阴影部分均不通风)，MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和CD平行的伸缩横杆．(1)设MN与AB之间的距离为x米，试将三角通风窗△EMN的通风面积S(平方米)表示成关于x的函数S=f(x)；(2)当MN与AB之间的距离为多少米时，三角通风窗△EMN的通风面积最大？求出这个最大面积．20.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知acosB−bsinB=c，且cosA=−1．3 (Ⅰ)求sin B；(Ⅱ)若c=7，求△ABC的面积．21.在平面直角坐标系xOy中，曲线y=x2−6x+1与坐标轴的交点都在圆C上．(1)求圆C的方程；(2)若圆C与直线x−y+a=0交于A，B两点且CA⊥CB，求a的值．22.如图某河段的两岸可视为平行，为了测量该河段的宽度，在河段的一岸边选取两点A、B，观察对岸的点C，测得∠CAB=75°，∠CBA=45°，且AB=100米．(1)求sin75°；(2)求该河段的宽度．【答案与解析】1.答案：B解析：解：当0>a>b时，a2<b2，故A错；a>b，a3>b3成立，故B正确；若a>0>b时，1a >1b，故C错；当c=0时，ac2=bc2，故D错．故选：B．分别根据不等式的性质及特殊值法逐一判断即可得结论．本题主要考查了不等式的基本性质，属于基础题．2.答案：C解析：试题分析：，，，则，因此，，因此，故选C．考点：1.三角形的内角和定理；2.正弦定理3.答案：B解析：解：∵sinA+sinB=cosA+cosB，∴sinA−cosA=cosB−sinB，两边平方得sin2A−2sinAcosA+cos2A=sin2B−2sinBcosB+cos2B，∴1−2sinAcosA=1−2sinBcosB，∴sin2A=sin2B，则2A=2B或2A=π−2B，即A=B或A+B=π2，当A=B时，sinA+sinB=cosA+cosB等价为2sinA=2cosA，∴tanA=1，即A=B=π4，此时C=π2，综上恒有C=π2，∴△ABC直角三角形，故选：B．由条件sinA+sinB=cosA+cosB转化为sinA−cosA=cosB−sinB，然后两边平方即可得到结论．本题主要考查同角的三角关系式的计算，利用平方法得到sin2A=sin2B是解决本题的关键，本题容易选错答案D．4.答案：C解析：本题主要考查平面向量的坐标运算，属于基础题．解：b⃗ −a⃗=(1,3)−(2,1)=(−1,2)，故选C．5.答案：C解析：利用正弦定理求得sin C，进而求得C，则cos C可得．本题主要考查了正弦定理的应用．考查了学生对基础知识的运用．解：由正弦定理知BCsinA =ABsinC，，，或，或−12．故选C6.答案：A解析：解：∵由tanA+tanB+√3=√3tanAtanB，得：tanA+tanB1−tanAtanB=−√3，即tan(A+B)=−√3，∴A +B =120°，C =60°， 又sinBcosB =√34，∴sin2B =√32， 则2B =60°或2B =120°，即B =30°或B =60°， 若B =30°，则A =90°，tan A 不存在，不合题意； 若B =60°，则A =C =60°，△ABC 为正三角形． 故选：A ．利用两角和的正切求得A +B ，再由倍角公式求得B ，则答案可求．本题考查三角形形状的判定，考查了两角和的正切及倍角公式的应用，是基础题．7.答案：D解析：解：∵正项等比数列{a n }满足a 7=a 6+2a 5， ∴q 6=q 5+2q 4， q =2，q =−1(舍去)，∵存在两项a m ，a n 使得√a m a n =2a 1， ∴(a 1)2⋅2m−1⋅2n−1=4(a 1)2， 即m +n =4， ∴1m+9n=14(m +n)(1m+9n)=14(10+9m n+n m)≥14×(10+6)=4，(n =3m 等号成立)故选：D根据数列的性质得出m +n =4，运用基本不等式1m +9n =14(m +n)(1m +9n )=14(10+9m n+nm )≥14×(10+6)=4，(n =3m 等号成立)求解即可．本题考查数列的性质，基本不等式的运用，属于中档题，难度不大．8.答案：C解析：本题主要考查两个向量的数量积的定义，利用基本不等式求最值，涉及三角形的面积公式，属于中档题．由向量的数量积公式求得|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |，结合三角形的面积公式可得，进而x +y +z =1，将乘以(x +y +z)后得到，展开后利用基本不等式即可求出ℎ(x,y ，z)的最小值． 解：∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2√3，∠BAC =30°， ∴|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅cos30°=2√3， ∴|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=4． ．=1+4+9+4x y +y x +9x z +z x +4z y +9yz≥14+2√4x y ×y x +2√9x z ×z x +2√4z y ×9yz=14+4+6+12=36， 当且仅当4xy =y x ,9xz=z x,4zy=9yz，{y =2xz =3x 3y =2z，即x:y:z =1:2:3时，取等号． ∴ℎ(x,y,z)的最小值为36， 故选C ．9.答案：C解析：由正弦定理化简已知等式可得：bcosB =ccosC ，利用余弦定理化简可得b ⋅a 2+c 2−b 22ac=c ⋅a 2+b 2−c 22ab，整理解得：b =c 或a 2=b 2+c 2，即可得解．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，勾股定理的综合应用，考查了分类讨论思想，属于基本知识的考查．解：∵(b −bcosB)sinA =a(sinB −sinCcosC)， ⇒(b −bcosB)a =a(b −ccosC)， ⇒b −bcosB =b −ccosC ， ⇒bcosB =ccosC ， ∵由余弦定理可得：cosB =a 2+c 2−b 22ac，cosC =a 2+b 2−c 22ab，∴b ⋅a 2+c 2−b 22ac=c ⋅a 2+b 2−c 22ab，整理可得：a 2(b 2−c 2)=(b 2+c 2)(b 2−c 2)，∴解得：b =c 或a 2=b 2+c 2，即这个三角形是等腰三角形或直角三角形．故选：C ．10.答案：A解析：解：∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴CB⃗⃗⃗⃗⃗ −CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =3(CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −CA ⃗⃗⃗⃗⃗ )， ∴CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −2CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ． 故选：A ．根据AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 即可得出CB ⃗⃗⃗⃗⃗ −CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =3(CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −CA ⃗⃗⃗⃗⃗ )，然后进行向量的数乘运算求出向量CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 即可． 本题考查了向量减法的几何意义，向量的数乘运算，考查了计算能力，属于基础题．11.答案：D解析：根据题意得：AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AE ⃗⃗⃗⃗⃗ )，又AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=34AB⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 故选D ．12.答案：D解析：本题考查函数零点个数问题的解法，注意运用转化思想和数形结合的思想方法，构造函数和运用导数判断单调性，画出图象是解题的关键，属于难题． 由题意可得f(1)=0，则方程转化为a =2(e x −ex)x 2−x有两个不同的实数根．设g(x)=2(e x −ex)x 2−x，求出导数，判断函数值的符号和对x 讨论，x <0，0<x <1，x >1三种情况，判断单调性，画出图象，即可得到所求a 的范围．解：函数f(x)=2e x −ax 2+(a −2e)x ， 可得f(1)=2e −a +a −2e =0， 即有x =1为f(x)的一个零点，当x ≠1时，由2e x −ax 2+(a −2e)x =0，得a=2(e x−ex)x2−x有两个不同的实数根．设g(x)=2(e x−ex)x2−x，由y=e x−ex的导数为y′=e x−e，当x>1时，y′>0，y=e x−ex递增；当x<1时，y′<0，y=e x−ex递减．即有x=1处，y=e x−ex取得最小值，且为0，即e x−ex≥0，当x<0时，x2−x>0，g(x)>0；当0<x<1时，g(x)<0；当x>1时，g(x)>0．由g′(x)=2(x 2e x−3x⋅e x+ex2)(x2−x)2，可设ℎ(x)=x2e x−3xe x+e x+ex2，显然当x<0时，ℎ(x)>0，即g′(x)>0，g(x)在(−∞,0)递增；又ℎ(x)=xe x(x+1x −3+exe x)，再令m(x)=x+1x −3+exe x，m′(x)=1−1x2+e(1−x)e x=(x−1)(1x2+e x−exx⋅e x)，即0<x<1时，m(x)递减；x>1时，m(x)递增．则m(x)>m(1)=0，ℎ(x)>0在(0,1)∪(1,+∞)恒成立，即有g′(x)>0在(0,1)∪(1,+∞)恒成立，则g(x)在(0,1)，(1,+∞)递增，画出函数y=g(x)的图象，可得a>0时，函数y=g(x)的图象和直线y=a有两个交点．综上可得，a>0时，f(x)=e x−ax2+(a−e)x有三个不同的零点．故选：D．13.答案：(−∞,2]解析：解：不等式a2+10b2+c2≥tb(a+3c)对一切正实数a，b，c恒成立，∴t≤a2+10b2+c2b(a+3c)；设ℎ=a 2+10b2+c2b(a+3c)，a、b、c是正实数，则ℎ=(a2+b2)+(9b2+c2)ab+3bc ≥2ab+2⋅3bcab+3bc=2，∴t≤2；∴实数t的取值范围是(−∞,2]．故答案为：(−∞,2]．根据不等式对一切正实数恒成立，得出t≤a 2+10b2+c2b(a+3c)，求出ℎ=a2+10b2+c2b(a+3c)的最小值即可．本题考查了不等式的解法与应用问题，也考查了基本不等式的应用问题，是基础题．14.答案：4√2−3解析：解：∵x>−3，∴x+3>0，∴x+8x+3=x+3+8x+3−3≥2√(x+3)8x+3−3=4√2−3，当且仅当x+3=8x+3即x=2√2−3时取等号，故答案为：4√2−3．由题意可得x+3>0，可得x+8x+3=x+3+8x+3−3，由基本不等式可得．本题考查基本不等式求最值，凑出可用基本不等式的形式是解决问题的关键，属基础题．15.答案：12解析：解：由题意可得，a⃗⋅b⃗ =cos36°cos24°+sin36°sin(−24°)=cos36°cos24°−sin36°sin24°=cos(36°+24°)=cos60°=12故答案为：12直接利用向量的数量积的坐标表示，然后结合两角和的余弦公式进行化简即可求解本题主要考查了向量的数量积的坐标表示及两角和的余弦公式的简单应用，属于基础试题16.答案：[−12,√2 2]解析：解：a⃗⋅b⃗ =sinx+√cos2x−34=sinx+√14−sin2x，要使√14−sin2x有意义，必需14−sin2x≥0，化为sin2x≤14，∴−12≤sinx≤12．令sinx=t∈[−12,12 ]．则f(t)=a⃗⋅b⃗ =t+√14−t2．f′(t)=1−√4−t2=√1−4t2−2t√1−4t2，令f′(t)=0，解得t=√24．当−12≤t<√24时，f′(t)>0，函数f(t)单调递增；当√24<t≤12时，f′(t)≤0，函数f(t)单调递减．∴当t=√24时，f(t)取得最大值，且f(√24)=√24+√14(√24)=√22．又f(−12)=−12，f(12)=12，∴f(t)的最小值为−12．∴f(t)即a⃗⋅b⃗ 的取值范围是[−12,√22]．故答案为：[−12,√22]．由数量积的坐标运算可得a⃗⋅b⃗ =sinx+√cos2x−34=sinx+√14−sin2x.要使√14−sin2x有意义，必需14−sin2x≥0，可得−12≤sinx≤12.令sinx=t∈[−12,12]，f(t)=a⃗⋅b⃗ =t+√14−t2.利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．本题综合考查了数量积运算、三角函数的基本关系式、三角函数的性质、利用导数研究函数的单调性极值与最值等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力、换元法，属于难题．17.答案：解：(1)向量a⃗=(cosωx−sinωx,sinωx)，向量b⃗ =(−cosωx−sinωx,2√3cosωx)，函数f(x)=a⃗⋅b⃗ ，所以f(x)=sin2ωx−cos2ωx+2√3sinωx⋅cosωx=−cos2ωx+√3sin2ωx=2sin(2ωx−π6)，由直线x=π是y=f(x)图象的一条对称轴，可得sin(2ωπ−π6)=±1，所以2ωπ−π6=kπ+π2(k∈Z)，即ω=k2+13(k∈Z)．又ω∈[12,1]，k∈Z，所以k=1，故ω=56．所以f(x)的最小正周期是6π5．(2)因为f(x)=2sin(53x−π6)，由0≤x≤3π5，得−π6≤53x−π6≤5π6，所以−12≤sin(53x−π6)≤1，得−1≤2sin(53x−π6)≤2故函数f(x)在[0,3π5]上的取值范围为[−1,2]．解析：(1)通过两角和与差的三角函数以及二倍角公式化简函数的解析式为：y=2sin(2ωx−π6)，然后求解函数的周期．(2)通过x的范围求出相位的范围，利用三角函数的有界性求解函数的最值即可．本题考查向量的数量积的应用，三角函数的简单性质以及两角和与差的三角函数的应用，是基本知识的考查．18.答案：解：(1)(a+b+c)(a−b+c)=3ac．∴a2+c2−b22ac =12，∴cosB=12，B=π3．(2)f(x)=√3−sinωx−2√3sin2ωx2=√3−sinωx−2√3⋅1−cosωx2=2cos(ωx+π6)，由题意知函数f(x)的周期为4π，∴ω=2πT =12，∴f(x)=2cos(π2+π6)，∴f(A)=2cos(A2+π6)，∵0<A<2π3，∴π6<A2+π6<π2，∴0<cos(A2+π6)<√32，∴0<f(A)<√3，∴f(A)的值域为(0,√3).解析：(1)根据已知等式求得cos B ，进而求得B ．(2)利用二倍角公式对函数解析式进行化简，根据函数的周期求得ω，得到函数解析式，根据A 的范围确定f(A)的范围．本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数图象与性质．考查了学生综合运用三角函数知识的能力．19.答案：解：(1)①当0≤x <0.5时，△EMN 的高是0.5−x ，底是1+2x(可以由三角形相似得到)，∴f(x)=12(0.5−x)(1+2x)=12(0.5−2x 2)，②当1.5≥x ≥0.5时，△EMN 的高是x −0.5，底是2√1−(0.5−x)2， ∴f(x)=(x −0.5)√3+4x−4x 24， ∴f(x)={12(12−2x 2)0≤x <12(x −12)√3+4x−4x 2412≤x ≤32，(2)当0≤x <0.5时，f(x)是单调递减的，f(x)的最大值为f(0)=14， 当1.5≥x ≥0.5时，f(x)是在(12,1+√22)上单调递增，在(1+√22,32)上单调递减，∴f(x)的最大值为f(1+√22)=12，∴当x =1+√22时，三角形面积最大，最大面积为12．解析：(1)三角形的面积与x 的关系是分段函数，所以分类讨论即可． (2)求出每一段上的最大值．再找到最大的一个即可．本题考查分段函数求解析式，所以分类讨论即可．求最大值时，只需求出每一段上的最大值，再找到最大的一个即可．20.答案：解：(Ⅰ)由题意得∵cosA =−13，由acosB −bsinB =c ，∴sinAcosB −sinBsinB =sin(A +B)， ∴−sinBsinB =cosAsinB ⇒sinB =−cosA ， ∵cosA =−13，∴sinB =−cosA =13；(Ⅱ)∵cosA=−13，sinB=13，，，∴sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=2√23×2√23−13×13=79，又由正弦定理得：bsinB =csinC⇒b=3，SΔABC=12bcsinA=12×7×3×2√23=7√2．解析：(Ⅰ)利用已知条件结合正弦定理以及三角形的内角和化简表达式，然后求sin B的值；(Ⅱ)通过sinC=sin(A+B)，结合两角和的三角函数，求出sin C的值，利用正弦定理求出b，即可求△ABC的面积．本题考查正弦定理的应用两角和与差的三角函数以及三角形的内角和公式的应用，考查分析问题解决问题的能力．21.答案：解：(1)曲线y=x2−6x+1与y轴交点为(0,1)，与x轴交点为(3+2√2,0)，(3−2√2,0)设该圆圆心C(3,t)，则32+(t−1)2=(2√2)2+t2，解得：t=1，∴圆C的半径为r=√32+(t−1)2=3，故得圆C的方程为(x−3)2+(y−1)2=9．(2)由题意∵CA⊥CB，∴|AB|=3√2∴|AB|×d=9，∴点C到AB的距离d=√2即d=2=2，即|a+2|=3∴a=1或−5．解析：(1)求解曲线y=x2−6x+1与坐标轴的交点坐标，设圆心，求解方程；(2)根据CA⊥CB，即可求解|AB|的长度，结合弦长公式即可求解．本题考查了直线与圆的位置的关系，点到直线的距离，圆的方程求法．属于基础题．22.答案：解：(1)sin75°=sin(30°+45°)=sin30°cos45°+cos30°sin45°=12×√22+√32×√22=√6+√24；(2)∵∠CAB=75°，∠CBA=45°∴∠ACB=180°−∠CAB−∠CBA=60°，由正弦定理得：ABsin∠ACB =BCsin∠CAB∴BC=ABsin75°sin60∘，如图过点B作BD垂直于对岸，垂足为D，则BD的长就是该河段的宽度．在Rt△BDC中，∵∠BCD=∠CBA=45°，sin∠BCD=BDBC，∴BD=BCsin45°=ABsin75°sin60∘⋅sin45°=100×√6+√24√32×√22=25(6+2√3)3=50(3+√3)3(米)．解析：(1)由题意利用两角和公式即可；(2)由题意画出简图，在三角形中利用正弦定理先求出BC的长度，然后过点B作BD垂直于对岸，垂足为D，由题意可得BD的长就是该河段的宽度，在三角形中解出即可．此题考查了学生的题意理解，还考查了正弦定理解三角形，两角和公式，还考查了学生的计算能力，属于基本题型．。
湖北省武汉市2019-2020学年高一下学期期中联考数学试题 Word版含答案
数学试卷试卷满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题卡上.) 1. 数列{}n a 是等差数列，23a =，59a =，则6S =（ ）． A ．12B ．24C ．36D ．722.若向量a v ，b v 满足()5a a b ⋅-=vv v ，||2a =v ，1b =v ，则向量a v ，b v 的夹角为（ ）A ．6π B ．3πC ． 23πD ． 56π3.在ABC ∆中，4a b B π===，则A 等于 （ ）A ．6πB ．3πC ．3π或23πD ．6π或56π4. 在ABC V 中，12BD DC =u u u r u u u r，则AD u u u r =（ ）A ．1344AB AC +u u u r u u u r B ．2133AB AC +u u u r u u u r C ．1233AB AC +u u u r u u u rD ．2133AB AC -u u ur u u u r5. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，此日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见此日行数里，请公仔细算相还”，其意思为：“有一个人要去378里外的地方，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”，请问第四天走了（ ） A. 96里B. 24里C. 192 里D. 48里6. 已知数列{}n a 是等比数列，数列{}n b 是等差数列，若1598a a a ⋅⋅=-，2583b b b π++=，则4637sin1b b a a +-的值是（ ）A.12 B.12-D.-7. 钝角三角形ABC 2AB =，3BC =，则AC = ( )B.C.D.8.已知ABC V 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2cos a B c =，则该三角形一定是（ ） A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形9.如图，已知等腰ABC V 中，3AB AC ==，4BC =，点P 是边BC 上的动点，则()AP AB AC ⋅+u u u r u u u r u u u r( )A ．为定值10B ．为定值6C ．最大值为18D ．与P 的位置有关（第9题图）10.在ABC V 中，三边长可以组成公差为1的等差数列，最大角的正弦值为32，则这个三角形的面积为( ) A ．1516 B ．153 C ．154D ．15311.如图所示，为了测量A 、B 处岛屿的距离，小明在D 处观测，A 、B 分别在D 处的北偏西15o 、北偏东45o 方向，再往正东方向行驶10海里至C 处，观测B 在C 处的正北方向，A 在C 处的北偏西60o 方向，则A 、B 两岛屿的距离为（ ）海里.A ．56B ．106C ．102D ．202（第11题图）12.数列{}n a 的前n 项和为n S ，()()1211n n n n a a n +++=⋅-，20211001S =，则2a 的值为（ ）A ．9-B ．8C ．1019-D ．1018 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将正确答案填在答题卡相应位置上.)13.已知a r ，b r 均为单位向量，它们的夹角为23π，则a b -=r r ．14.在数列{}n a 中，13a =，212n n n a a +=+，则n a =15.设等比数列{}n a 满足1330a a +=，2410a a +=，则123n a a a a ⋅⋅⋅……的最大值为 16. 已知,,a b c 分别为ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边，3c =且(sin sin )(3)()sin C B b a b A -+=+，则ABC ∆面积的最大值为 .三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，已知()1,2a =-r ，()3,4b =r.（Ⅰ）若()()3a b a kb -+r r r r∥，求实数k 的值；（Ⅱ）若()a tb b -⊥r r r，求实数t 的值.18.（本小题满分12分）已知数列{}n a 是等差数列，1=10a -，公差0d ≠，且245,,a a a 是等比数列； （Ⅰ）求n a ；（Ⅱ）求数列{}||n a 的前n 项和n T ．19.（本小题满分12分）在四边形ABCD 中，90ADC ∠=o，45A ∠=o，1AB =，3BD =． （Ⅰ）求cos ADB ∠；（Ⅱ）若DC =，求BC ．20.（本小题满分12分）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知17a =-，公差d 为整数，且4n S S ≥； （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .21.（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且222cos sin sin cos sin A A B C B +=+.（Ⅰ）求角C ； （Ⅱ）若c =ABC ∆的面积是，求ABC ∆的周长.22.（本小题满分12分）设正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：24a =，21444n n a S n +=++，n N *∈.（I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）若正项等比数列{}n b 满足11b a =，34b a =，且1nn n c a b +=，数列{}n c 的前n 项和为n T ，若对任意n N *∈，均有2828n T m n n ⋅≥-恒成立，求实数m 的取值范围．高一数学试题答案14. n 453+15. 729 16. 4三、解答题：本大题共6小题，共70分 17.（本题10分）（Ⅰ）()1,2a =-rQ ，()3,4b =r ，()()()331,23,40,10a b ∴-=--=-r r ， ()()()1,23,431,42a kb k k k +=-+=+-r r，()()3//a b a kb -+r r r r Q ，()10310k ∴-+=，解得13k =-……………………………5分（Ⅱ）()()()1,23,413,24a tb t t t -=--=---r r，()a tb b -⊥r r r Q ，()()()3134242550a tb b t t t ∴-⋅=⨯-+⨯--=--=r r r，解得15t =-. ……………………………………………………………………………10分18.（本小题满分12分） （Ⅰ）由题意：()()()210104103d d d -+-+=-+ 计算得：()20d =或0舍去所以212n a n =-；………………………………………………………6分（Ⅱ）当16n ≤≤时，0n a ≤，即有211n n T S n n =-=-； 当7n ≥时，0n a >，6621160n n T S S S n n =--=-+，即有2211,161160,7n n n n T n n n ⎧-≤≤=⎨-+≥⎩．………………………………………………12分19.（本小题满分12分）（Ⅰ）在ABD △中，由正弦定理得sin sin BD ABA ADB=∠∠．由题设知，31sin 45sin ADB=︒∠，所以sin 6ADB ∠=．由题设知，90ADB ∠<︒，所以cos 6ADB ∠==．…………6分（Ⅱ）由题设及(1)知，cos sin 6BDC ADB ∠=∠=． 在BCD △中，由余弦定理得2222cos BC BD DC BD DC BDC =+-⋅⋅⋅∠92236=+-⨯9=． 所以3BC =．………………………………………………………………12分20.（本小题满分12分）(1) 由 等差数列{}n a 的前n 项n S 满足4n S S ≥，170a =-<， 得 a 4≤0，a 5≥0，于是-7＋3d ≤0，-7＋4d ≥0， 解得74≤d ≤73，因为公差d 为整数， 因此d ＝2.故数列{a n }的通项公式为29n a n =- ……………………………………6分 (2) ()()1111292722927n b n n n n ⎛⎫==- ⎪----⎝⎭,于是12n n T b b b =+++……1111111275532927n n ⎛⎫=⨯-+-++- ⎪------⎝⎭…… ()1112727727nn n ⎛⎫=--=- ⎪--⎝⎭ ∴n T =()727nn --…………………………………………………………12分21.（本小题满分12分）（1）由222cos sin sin cos sin A A B C B +=+，得21sin sin sin A A B -+221sin sin C B =-+，即2sin sin sin C A B +22sin sin A B =+. 由正弦定理可得222a b c ab +-=， 由余弦定理可得cos 12C =， ∵C ∈（0，π）， 所以3C π=. ………………………………………………6分（2）1sin 2ABC S ab C ∆=4ab ==20ab =， 因为222c a b ab =+-，c =2241a b +=，()2222414081a b a ab b +=++=+=，9a b +=所以ABC ∆的周长为9……………………………………………………12分22.（本小题满分12分）（1）因为21444n n a S n +=++，所以()214414n n a S n -=+-+（n ≥2），两式相减得：a n +12﹣a n 2＝4a n +4，即a n +12＝（a n +2）2（n ≥2）， 又因为数列{a n }的各项均为正数，所以a n +1＝a n +2（n ≥2）， 又因为a 2＝4，16＝a 12+4+4，可得a 1＝2，所以当n ＝1时上式成立，即数列{a n }是首项为1、公差为2的等差数列， 所以a n ＝2+2（n ﹣1）＝2n ；……………………………………………………4分 （2）由（1）可知b 1＝a 1＝2，b 3＝a 4＝8，所以b n ＝2n；c n ＝()112n n ++⋅．()2312232212n n n T n n +=⋅+⋅++⋅++⋅……① ()341222232212n n n T n n ++=⋅+⋅++⋅++⋅……②① —②得：()3412822212n n n T n ++-=++++-+⋅……()()()()232122242232124421122n n nn n n n n ++++=+++++-+⋅=+--+⋅=-⋅……22n n T n +=⋅…………………………………………………………………………8分2828n T m n n ⋅≥-恒成立，等价于()2247n n m n n +⋅≥-恒成立，所以272nn m -≥恒成立， 设k n ＝272n n -，则k n +1﹣k n＝1252n n +-﹣272n n -＝1922n n +-， 所以当n ≤4时k n +1＞k n ，当n ＞4时k n +1＜k n ， 所以123456k k k k k k <<<<>>……所以当k n 的最大值为k 5＝332，故m ≥332， 即实数m 的取值范围是：[332，+∞）．…………………………………………12分。
湖北省部分重点中学2020届高一数学下学期期中联考
2020年春季湖北省部分重点中学期中联考高一数学试卷考试时间：2020年4月18日上午8:00-10:00 试卷满分：150分一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若a ，b ，c ∈R ，a ＞b ，则下列不等式成立的是（ ） A ．ba 11< B ．a 2＞b 2 C ．22+1+1a bc c > D ．a|c|＞b|c|2．{}n a 是等差数列，且a 1+a 4+a 7=-12，a 2+a 5+a 8=-6，如果前n 项和n s 取最小值，则n 为（ ）A 、5或6B 、6或7C 、7D 、5 3. 若等比数列{}n a 前n 项和n s =3n a + , 则=a （ ） A 、-3B 、 -1C 、3D 、14．已知等比数列{}n a 满足13a =，且14a ，22a ，3a 成等差数列，则345a a a ++等于（ ） A ．33 B ．84 C ．72 D ．1895．不等式组221030x x x ⎧-<⎨-≥⎩的解集是（ ）A ．{}11x x -<< B. {}13x x <≤ C. {}10x x -<≤ D.{}31x x x ≥<或6．如图:B C D ,,三点在地面同一直线上，a DC =，从D C ,两点测得A 点仰角分别是βααβ<，（），则A 点离地面的高度AB 等于A.()αββα-⋅sin sin sin a B. ()βαβα-⋅cos sin sin aC ()αββα-⋅sin cos sin aD .()βαβα-⋅cos sin cos a7. 在△ABC 中，若2lg sin lg cos lg sin lg =--C B A ，则△ABC 的形状是（ ）A ．直角三角形B ． 等腰直角三角形C ．等边三角形D ．等腰三角形8. 已知数列{}n a 为等差数列，数列{b n }是各项均为正数的等比数列，且公比q >1，若11a b =，20112011a b =，则1006a 与1006b 的大小关系是（ ）A ．10061006a b =B ．10061006a b <C ．10061006a b >D ． 10061006a b ≥9．某人从2020年起，每年1月1日到银行新存入a 元(一年定期)，若年利率为r 保持不变，每年到期存款(本息和)自动转为新的一年定期，到2020年1月1日将所有存款及利息全部取回，他可取回的钱数为(单位为元)( ) A.a(1+r)5 B.r a ［(1+r)5-(1+r)］ C.a(1+r)6 D.ra［(1+r)6-(1+r)］ 10．在△ABC 中，2,2,3π=∠==A BC AB ，如果不等式AC BC t BA ≥-恒成立，则实数t 的取值范围是 ( )A ．[)∞+，1B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡121，C ．(][)∞+⋃∞-，，10D ． [)∞+⋃⎥⎦⎤⎝⎛∞-，，121二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上. 11．在△ABC 中，若a = 2 ,23b =,030A = , 则B 等于 12. 设f(x)=142x+,利用课本中推导等差数列前n 项和的公式的方法, 可求得f(－3)+f(－2)+…+f(0)+…+f(3)+f(4)的值为___________________. 13. 已知数列{}n a 满足123231111212222n n a a a a n ++++=+L 则{}n a 的通项公式 14. 有甲、乙两个粮食经销商每次在同一粮食生产地以相同的价格购进粮食，他们共购进粮食两次，各次的粮食价格不同，甲每次购粮20000千克，乙每次购粮10000元，在两次统计中，购粮方式比较经济的是15．如图所示，某公园设计节日鲜花摆放方案，其中一个花坛由一批花盆堆成六角垛．顶层一个，以下各层堆成正六边形，逐层每边增加一个花盆，若这垛花盆一共有 8层花盆，则最底层的花盆的总个数是三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。
湖北省武汉市三校联合体17中,15中,常青一中2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题)
（1）求数列{an}的通项公式 an； （2）若 bn＝ an log1 an ，Sn＝b1+b2+…+bn，求 Sn+n•2n+1＞50 成立的正整数
17.( 本小题满分 10 分) 求与向量 a (1, 2) ， b (2,1) 夹角相等的单位向量 c
的坐标 新疆 源头学子小屋 /wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@ 新疆 源头学子小屋 /wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@
黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答在试题卷、草稿纸上无效．
3．填空题和解答题的作答：用黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域
内．答在试题卷、草稿纸上无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将答题卡上交．
一、选择题：(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四
2
n 的最小值．
18.( 本小题满分 12 分) 设△ABC 的内角 A，B，C 所对边的长分别为 a，b，c， 且有 2sinBcosA＝sinAcosC＋cosAsinC.
( 1 )求角 A 的大小； ( 2 )若 b＝2，c＝1，D 为 BC 的中点，求 AD 的长．
19.( 本小题满分 12 分)已知等差数列{an}满足： a1 2 ，且 a1 ， a2 ， a5 成等比数 列.
6. 已 知 ABC 的 三 内 角 A, B,C 所 对 边 长 分 别 是 a, b, c ， 若
sin B sin A 3a c ，则角 B 的大小为(
湖北省武汉市三校联合体2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题(pdf版,有答案)
n
2 1
n
2
2
4( n
1 1
n
1
) 2
，
所以数列{
bn
}前
n
项和
Tn
4[( 1 2
1) 3
(1 3
1) 4
( n
1 1
n
1
)] 2
4(
1 2
n
1
2
)
2n n2
.
………………………………………12 分
21.解： (1)由 (a c)(sin A sin C) (b a)sin B 0 及正弦定理，得 (a c)(a c) b(b a) 0 ，化简，得 a2 b2 c2 ab .
6. 已 知 ABC 的 三 内 角 A, B,C 所 对 边 长 分 别 是 a, b, c ， 若
sin B sin A 3a c ，则角 B 的大小为(
)
sin C
ab
A． 6
B． 2 3
C． 3
D． 5 6
7. 下列命题正确的是( )
A．若 a b b c ，则 a c ；
22.( 本小题满分 12 分)已知各项均为正数的数列{an}满足 an+12﹣an+1an﹣2an2＝ 0（n∈N*），且 a3 2 是 a2, a4 的等差中项．
（1）求数列{an}的通项公式 an； （2）若 bn＝ an log1 an ，Sn＝b1+b2+…+bn，求 Sn+n•2n+1＞50 成立的正整数
2
(方法二)因为 a2＝b2＋c2－2bccosA＝4＋1－2×2×11＝3，所以 a2＋c2＝b2， 2
B＝π. 2
湖北省高一下学期期中联考数学试题 Word版含解析
数学
本试卷共 4 页，22 题．全卷满分 150 分．考试用时 120 分钟．
★祝考试顺利★
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准
考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写
4
28
令 kπ π π ，解得 k 1 Z ，不合题意；
பைடு நூலகம்2 84
4
令 kπ π π ，解得 k 0 Z ，符合题意； 2 88
故 C 正确，D 错误；
故选：C.
5. 我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》一书时介绍了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一
个小正方形拼成的大正方形如图所示，记直角三角形较小的锐角为 ，大正方形的面积为 S1 ，小正方形的
0
，则 cos
A
0 ，由
A0, π
，则 A
为锐角，
但△ABC 不一定为锐角三角形，故 D 错误； 故选：C
2. 已知 A3, 2 ， B 1, 5 ， C 1, 2 ，则 cos BAC （）
A. 2 5 25
B. － 2 5 25
C. 5 25
D. － 5 25
【答案】B
【解析】
【分析】确定
AB
B. 4 3 5
C. 4 3 3 5
D. 4 3 3 5
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，利用正弦定理和三角恒等变换的公式，求得 3 sin C sin A sin Asin C ，得到 2
cos A 2
3 ，求得 A π ，再由 tan B 3 ，求得 sin B, cos B 的值，由 sin C sin( A B) 求得 sin C 的
2019-2020学年湖北省武汉市三校联合体高一下学期期中数学试题解析
绝密★启用前2019-2020学年湖北省武汉市三校联合体高一下学期期中数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．已知(,3)a x =v ，(3,1)b =v ，且//a b v v，则x =（）A ．9B ．9-C ．1D ．1-答案：A利用向量共线定理，得到90x -=，即可求解，得到答案． 解：由题意，向量(,3)a x =r ，(3,1)b =r ，因为向量//a b r r，所以90x -=，解得9x =.故选A ． 点评：本题考查了向量的共线定理的坐标运算，其中解答中熟记向量的共线定理的坐标运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．2．若|4,|2a b ==r r ，a r 和b r 的夹角为30°，则a r 在b r方向上的投影为（）A ．2B ．3C ．23D ．4答案：C利用a r 在b r方向上的投影公式即可得到答案．解：因为|4,|2a b ==r r ，a r 和b r的夹角为30°所以a r 在b r 方向上的投影为cos ,4cos3023a a b ︒〈〉=⨯=r r r .故答案选C 点评：本题考查向量投影的公式，属于基础题． 3．在△ABC 中，a=3，b=5，sinA=，则sinB=()A ．B ．C ．D ．1答案：B试题分析：由正弦定理得，故选B ．【考点】正弦定理的应用4．在各项都为正数的等比数列{}n a 中，首项13a =，前3项和为21，则345a a a ++=( )A ．84B ．72C ．33D ．189答案：A分析：设等比数列{}n a 的公比为q ，根据前三项的和为21列方程，结合等比数列{}n a 中，各项都为正数，解得2q =，从而可以求出345a a a ++的值. 详解：设等比数列{}n a 的公比为q ，Q 首项为3，前三项的和为21，233321q q ∴++=，解之得2q =或3-， Q 在等比数列{}n a 中，各项都为正数，∴公比q 为正数，2(3q =-舍去），()234512342184a a a q a a a ∴++=++=⨯=，故选A.点睛：本题考查以一个特殊的等比数列为载体，通过求连续三项和的问题，着重考查了等比数列的通项，等比数列的性质和前n 项和等知识点，属于简单题.5．在ABC V 中，90A ∠=o，()2,2AB k →=-，()2,3AC →=，则k 的值是（）A ．5B ．5-C ．32 D ．32-答案：A由垂直关系可知数量积为零，由数量积的坐标运算可构造方程求得结果. 解：90A ∠=o Q ，即AB AC ⊥，4260AB AC k →→∴⋅=-+=，解得：5k =.故选：A . 点评：本题考查根据向量的垂直关系求解参数值的问题，关键是明确两向量垂直，则数量积为零.6．已知ABC ∆的三个内角,,A B C 所对边长分别是,,a b c ，若sin sin sin B A C -=，则角B 的大小为（）A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π答案：D由正弦定理得b a c -=，化简得222cos 2a c b B ac +-==，故5π6B =.点睛：本题主要考查正弦定理的应用，考查利用正弦定理进行边角互化的方法.由于题目所给已知条件一边是角的形式，另一边是边的形式，由此我们考虑将两边同时化为边或者同时转化为角的形式，考虑到正弦定理，故将角转化为边，然后利用余弦定理将式子转化为余弦值，由此求得B 的大小. 7．下列命题正确的是（）A ．若a b b c ⋅=⋅r r r r ，则a c =r r ；B ．a b a b +=-r r r r ，则0a b ⋅=r r ；C ．若a r 与b r 是共线向量，b r 与c r 是共线向量，则a r 与c r是共线向量； D ．若0a r 与0b r 是单位向量，则001a b ⋅=rr .答案：B由b r为零向量可排除,A C ；由向量数量积定义可知D 错误；由向量数量积的运算律可知B 正确. 解：对于A ，若b r 为零向量，则a c =r r未必成立，A 错误；对于B ，若a b a b +=-r r r r ，则22a b a b +=-r r r r ，22a b a b ∴⋅=-⋅r r r r ，则0a b ⋅=rr ，B正确；对于C ，若b r 为零向量，则a r 与c r未必是共线向量，C 错误；对于D ，若0a r与0b r夹角不是0o ，则001a b ⋅≠rr，D 错误. 故选：B . 点评：本题考查平面向量相关命题的辨析，涉及到向量相等、向量共线、平面向量数量积的运算等知识，是对平面向量部分基础知识的综合考查.8．如图，在OAB ∆中，P 为线段AB 上的一点，OP xOA yOB =+u u u v u u u v u u u v且3BP PA =u u u v u u u v，则（）A ．2133x y ==， B ．1233x y ==， C ．1344x y ==，D ．3144x y ==，答案：D根据3BP PA =u u u r u u u r得到3144OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r ，根据题中条件，即可得出结果.解：由已知3BP PA =u u u r u u u r 得3()OP OB OA OP -=-u u ur u u u r u u u r u u u r ，所以3144OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r ，又OP xOA yOB =+u u u r u u r u u u r ，所以3144x y ==，， 故选D. 点评：本题主要考查平面向量基本定理的应用，熟记平面向量基本定理即可，属于常考题型. 9．已知ABC V 中，5a =，3A π=，2b c bc +=，则ABC V 的面积为（）A ．58B 3C 3D 53答案：D利用余弦定理可构造方程求得bc ，代入三角形面积公式可求得结果. 解：由余弦定理得：()()222222cos 3235a b c bc A b c bc bc bc =+-=+-=-=，解得：52bc =， 115353sin 22228ABC S bc A ∴==⨯⨯=△. 故选：D . 点评：本题考查余弦定理和三角形面积公式的应用，关键是能够利用余弦定理构造方程求得bc ，属于基础题.10．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈（1匹=40尺，一丈=10尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按30天算，则每天增加量为A ．12尺 B ．815尺 C ．1629尺 D ．1631尺 答案：C试题分析：将此问题转化为等差数列的问题，首项为，,求公差，，解得：尺，故选C.【考点】等差数列11．一船向正北方向航行,看见正西方向有两个相距10海里的灯塔恰好与它在一条直线上,继续航行半小时后,看见一灯塔在船的南偏西60°方向上,另一灯塔在船的南偏西75°方向上,则这艘船的速度是( ) A ．5海里/时 B ．53海里/时C ．10海里/时D ．103/时答案：C在ACD ∆中，计算得到15CAD CDA ︒∠=∠=，⇒10CD CA ==，在Rt ABC ∆计算。
最新2019-2020年湖北省三校联考高一下期中考试数学试题
武汉市三校联考第二学期高一期中考试数学试卷一、单选题(每小题5分,共60分)1.若，＞，，，b a R c b a ∈则下列不等式成立的是 A.b a 11＜ B.22b a ＜ C.c b c a ＞ D.1122++c b c a ＞ 2.△ABC 中，若，B b A a cos cos =则△ABC 是A.等腰直角三角形B.等腰或直角三角形C.等腰三角形D.直角三角形3.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为，、、c b a 己知A=60°，，，2434==b a 则B=A.45°或135°B.135°C.45°D.以上都不对4.已知点A(-1,1)，B(1,2)，C(-2,-1)，D(3,4)，则向量AB 在方向上的投影为 A.223 B.2153 C.223- D.2153- 5.已知△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为，、、c b a 若，，3cos cos 415cos =+=B a A b C 则△ABC 外接圆的半径为 A.22 B.32 C.4 D.66.如图，在山脚A 测得山顶P 的仰角为30°，沿倾斜角为15°的斜坡向上走a 米到B ，在B 处测得山顶P 的仰角为60°，则山高=hA.a 22B.2a C.a 23 D.a7.若正数y x 、满足，04=-+xy y x 则yx +4的最大值为 A.52 B.94 C.21 D.748.设四边形ABCD ，46==若点M 、N 满足3=，2=， 则=⋅NM AMA.20B.15C.6D.99.在设21++m m m ，，是钝角三角形的三边长，则实数m 的取值范围是A.30＜＜mB.31＜＜mC.43＜＜mD.64＜＜m10.若G 是△ABC 的重心，c b a 、、分别是角A 、B 、C 的对边，，033=++c b a 则角C=A.30°B.60°C.120°D.150°11.给定两个长度为1的平面向量和它们的夹角为90°,点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上运动，若y x +=其中，，R y x ∈则y x 53+的最大值为 A.34 B.5 C.37 D.612.已知函数()()，R x x x x f ∈+=323若不等式()()0422＜t f m m f ++对任意实数1≥t 恒成立，则实数m 的取值范围为 A.()()∞+-∞-，，22 B.⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-34， C.()2-∞-， D.()22--， 二、填空题(每小题5分,共20分)13.不等式0622≥=+-x x 的解集为________.14.已知，，＞，＞32200=++xy y x y x 则y x 2+的最小值为______.15.下列命题中,错误的命题是_______(在横线上填出错误命题的序号).(1)边长为1的等边三角形ABC 中，；21=⋅BC AB (2)当03＜＜k -时，一元二次不等式08322＜-+kx k 对—切实数x 都成立；(3)△ABC 中，满足B A cos sin =的三角形一定是直角三角形；(4)△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边为，、、c b a 若2222b c a =+，则B cos 的最小值为21.16.已知点O 为△ABC ，23==则=⋅______.三、解答题(共70分)17.(本题满分10分)，22==且向量a 在向量b 的方向上的投影为-1.(1)求与的夹角θ；(2)-.18.(本题满分12分)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边为，、、c b a △ABC 的面积为S ，且.6sin cos 2cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=πB A C (1)求角A ；(2)若，，232=-=c b S 求a 的值。
2019-2020学年湖北省武汉市三校联合体高一(下)期中数学试卷(含答案解析)
2019-2020学年湖北省武汉市三校联合体高一（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知，，，且，则A. 9B.C. 1D.2.若，，和的夹角为，则在方向上的投影为A. 2B.C.D. 43.在中，，，，则A. B. C. D. 14.在各项都为正数的等比数列中，首项，前三项和为21，则A. 33B. 72C. 84D. 1895.在中，，，，则k的值是A. 5B.C.D.6.的三内角A，B，C所对边长分别是a，b，c，若，则角B的大小为A. B. C. D.7.下列命题正确的是A. 若，则B. ，则C. 若与是共线向量，与是共线向量，则与是共线向量D. 若与是单位向量，则8.如图，在中，P为线段AB上的一点，，且，则A. ，B. ，C. ，D. ，9.已知中，，，，则的面积为A. B. C. D.10.九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈匹尺，一丈尺，问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按30天算，则每天增加量为A. 尺B. 尺C. 尺D.尺11.一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西，另一灯塔在船的南偏西，则这艘船的速度是每小时A. 5海里B. 海里C. 10海里D. 海里12.已知函数，则A. 2018B. 2019C. 4036D. 4038二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.在中，若，且，则为______三角形．14.若向量、满足，，且与的夹角为，则______．15.数列的前n项的和，则此数列的通项公式______．16.已知平面上不重合的四点P，A，B，C满足且，那么实数m的值为______ ．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.求与向量，夹角相等的单位向量的坐标．18.设的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且有．求角A的大小；若，，D为BC的中点，求AD的长．19.已知等差数列满足：，且，，成等比数列．求数列的通项公式；记为数列的前n项和，是否存在正整数n，使得？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．20.已知数列满足，．求证数列为等差数列；设，求数列的前n项和．21.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．求C；若，，求的面积．22.已知各项均为正数的数列满足，且是，的等差中项．求数列的通项公式；若，，求成立的正整数n的最小值．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：向量，，解得．故选：A．利用向量共线定理即可得出．本题考查了向量共线定理，属于基础题．2.答案：C解析：解：由题意，可知向量在方向上的投影为．故选：C．本题根据向量在方向上的投影公式为，然后代入进行向量的计算可得正确选项．本题主要考查利用向量求投影的问题．考查了转化思想，定义法，向量的运算，以及逻辑思维能力和数学运算能力．本题属基础题．3.答案：B解析：【分析】由正弦定理列出关系式，此题考查了正弦定理，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．将a，b及sin A的值代入即可求出sin B的值．【解答】解：，，，由正弦定理得：．故选B．4.答案：C解析：【分析】本题主要考查了等比数列的性质．要理解和记忆好等比数列的通项公式，并能熟练灵活的应用．根据等比数列中，首项，前三项和为21，可求得q，根据等比数列的通项公式，得，整体代入即可得到答案．【解答】解：在各项都为正数的等比数列中，首项，前三项和为21故，，故选：C．根据等比数列中，首项，前三项和为21，可求得q，根据等比数列的通项公式，分别求得，和代入，即可得到答案．5.答案：A解析：解：中，，，，，求得，故选：A．由题意利用两个向量的数量积公式、两个向量垂直的性质，求出k的值．本题主要考查两个向量的数量积公式、两个向量垂直的性质，属于基础题．6.答案：B解析：解：在中，由正弦定理，可得：，，，，可得：，整理可得：，由余弦定理可得：，，．故选：B．利用正弦定理化简已知可得，由余弦定理可得，结合范围，即可解得B的值．本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．7.答案：B解析：解：当时，成立，而的大小和方向都是不确定的，故A不正确．由可得，，故B正确．当时，与是共线向量，与是共线向量，但与的大小和方向都是不确定的，故C不正确．若与是单位向量，则，故D不正确．故选B．当时，可得A、C不正确，把平方可得，得到B正确，根据，可得D不正确．本题考查两个向量共线的定义和性质，两个向量的数量积的定义，注意零向量的情况，这是解题的易错点．8.答案：D解析：解：，，化为，又，，．故选：D．由，利用向量三角形法则可得，化为，又，利用平面向量基本定理即可得出．本题考查了向量三角形法则、平面向量基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9.答案：D解析：解：由余弦定理，，解得，或舍去，，故选：D．根据余弦定理和三角形的面积公式即可求出．本题主要考查余弦定理的应用，考查学生对公式的应用，属于基础题．10.答案：C解析：【分析】本题考查了等差数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用等差数列的求和公式即可得出．【解答】解：由题意可得：每天织布的量组成了等差数列，尺，尺，设公差为尺，则，解得．故选：C．11.答案：C解析：解：如图，依题意有，，所以，从而，在直角三角形ABC中，得，于是这艘船的速度是海里小时．故选C．如图，依题意有，，所以，从而，在直角三角形ABC中，得，由此能求出这艘船的速度．本题考查三角形知识的实际运用，解题时要注意数形结合思想的灵活运用．12.答案：A解析：解：根据题意，函数，则，则，．故选：A．根据题意，求出的解析式，进而可得，又由，分析可得答案．本题考查函数值的计算，注意分析的值，属于基础题．13.答案：锐角解析：解：，，为锐角．，为最大角．为锐角三角形．故答案为：锐角．利用余弦定理即可得出．本题考查了余弦定理的应用，属于基础题．14.答案：解析：解：，，且与的夹角为，，．故答案为：．根据条件可求出，然后进行数量积的运算即可求出的值．本题考查了向量数量积的运算及计算公式，考查了计算能力，属于基础题．15.答案：解析：解：当时，，当时，，故数列的通项公式为，故答案为．首先根据求出的值，然后根据求出当时数列的递推关系式，最后计算是否满足该关系式．本题主要考查数列递推式的知识点，解答本题的关键是利用求出数列的通项公式，此题难度一般．16.答案：3解析：解：由题意，根据向量的减法有：，，，；，，，．故答案为3利用向量基本定理结合向量的减法，代入化简，即可得到结论．本题考查平面向量的基本定理及其意义、向量数乘的运算及其几何意义等基础知识，属于基础题．17.答案：解：设，则分或分，分解析：设，则可得，解方程可求本题主要考查了向量数量积性质的坐标表示的应用，解题的关键是熟练应用公式18.答案：解：；，，为BC的中点，．解析：根据，可得，从而可得，由此可求求角A的大小；利用，，，可求a的值，进而可求，利用D为BC的中点，可求AD的长．本题考查余弦定理的运用，考查三角函数知识，解题的关键是确定三角形中的边与角．19.答案：解：设等差数列的公差为d，，且、、成等比数列．，即，解得或4．，或．当时，，不存在正整数n，使得．当时，，假设存在正整数n，使得，即，化为，解得，或，的最小值为41．解析：本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；利用等差数列的前n项和公式可得，再利用一元二次不等式的解法即可得出．20.答案：解：数列满足，整理得，故常数，所以数列是以1为首项，为公差的等差数列．由于数列是以1为首项，为公差的等差数列．所以，故所以，则：．解析：首先利用数列的递推关系式的应用求出数列为等差数列．利用的结论，进一步利用裂项相消法的应用求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的递推关系式的应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．21.答案：解：中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．利用正弦定理得：，整理得：，即，由于，所以：．由于，整理得，化简得：，所以，由于，所以．故或，解得或，当时，由于，所以，且，则利用勾股定理设，，故：，解得，所以．当时，，所以．同理解得．所以．综上所述：．解析：直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦定理及余弦定理的应用求出C的值．利用三角函数关系式的恒等变换和分类讨论思想的应用求出三角形的角和边，进一步求出三角形的面积．本题考查的知识要点：正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．22.答案：解：Ⅰ，，数列的各项均为正数，，，即，所以数列是以2为公比的等比数列．是，的等差中项，，，，数列的通项公式．Ⅱ由Ⅰ及得，，，----得，，要使成立，只需成立，即，使成立的正整数n的最小值为5．解析：Ⅰ根据数列是一个各项均为正数的数列满足，把这个式子分解，变为两个因式乘积的形式，，注意数列是一个正项数列，得到，得到数列是一个等比数列，写出通项．Ⅱ本题构造了一个新数列，要求新数列的和，注意观察数列是有一个等差数列和一个等比数列乘积组成，需要用错位相减来求和，两边同乘以2，得到结果后观察成立的正整数n 的最小值．数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础，所以在高考中占有重要的地位．高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏．。
湖北省武汉十五中等三校联考2021-2022高一数学下学期期中试题(含解析).doc
湖北省武汉十五中等三校联考2021-2022高一数学下学期期中试题（含解析）一、单选题（每小题5分，共60分）1.若,,a b c ∈R 且a b >，则下列不等式成立的是（ ） A.11a b < B. 22a b >C. a c b c >D.2211a bc c >++ 【答案】D 【解析】112222>->-但；22222(2)但>-=-；c=0时a c b c =；因为210c +> 所以2211a bc c >++，选D.2.在ABC ∆中，cos cos a A b B =，则ABC ∆的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰或直角三角形 D. 等腰直角三角形【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理将cos cos a A b B =中等号两边的边转化为该边所对角的正弦，化简整理即可． 【详解】解：在ABC ∆中，∵cos cos a A b B =， ∴由正弦定理2sin sin a bR A B==得：2sin ,2sin a R A b R B ==， ∴sin cos sin cos A A B B =， ∴11sin 2sin 222A B =， ∴sin 2sin 2A B =， ∴22A B =或22A B π=-， ∴A B =或2A B π+=，∴ABC ∆为等腰或直角三角形， 故选：C ．【点睛】本题主要考查了三角形的形状判断，着重考查正弦定理与二倍角的正弦公式的应用，属于中档题．3.ABC ∆中，角, , A B C 所对的边分别为, , a b c ，已知60A =︒，a=b =，则B = （ ）A. 45︒或135︒B. 135︒C. 45︒D. 以上都不对 【答案】C 【解析】 【分析】由A 的度数求出sin A 的值，再利用正弦定理求出sin B 的值，由b 小于a ，得到B 小于A ，即可求出B 的度数．【详解】解：∵60A =︒，a b ==∴由正弦定理sin sin a b A B=得：sin sin b A B a ===， ∵a b >， ∴A B >， 则45B =︒． 故选：C ．【点睛】本题主要考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，属于基础题。
2020-2021学年下学期期中三校联考高一数学试卷
2020-2021学年下学期期中三校联考高一数学一、选择题（每小题5分，共60分）1、已知sin α=31，⎪⎭⎫⎝⎛∈ππα，2，则cos α=（ ）A 、322-B 、322C 、322±D 、32- 2、已知sin α+cos α=54，则sin2α=（ ） A 、2516 B 、2516- C 、259 D 、-259 3、等差数列{}n a 中，a 1=1，a 3+a 5=14，则数列{}n a 的公差为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4、sin78°cos33°-cos78°cos57°的值 （ ）A 、21B 、21- C 、22 D 、-225、△ABC 的内角A. B. C 的对边分别为a 、b 、c.已知a=5,c=2,cosA=32,则b=( ) A. 2 B. 3 C. 2 D. 36、已知等比数列{a n }的各项均为正,且5a 3,a 2,3a 4成等差数列,则数列{a n }的公比是( ) A.21 B. 2 C. 31 D. 31或-2 7、已知sin α+cos β=23，cos α+sin β=21，则sin(α+β)= （ ）A 、21-B 、-1C 、21D 、438、函数y=3sinx - cosx 在区间(0,π)上的值域为 （ ）A 、[]2,2-B 、[]2,1-C 、[]1,1-D 、】（2,1-9、已知⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πα，，33)3cos(=+πα，则cos α=（ ）A 、623-3 B 、6233+ C 、66-3 D 、663+ 10、已知函数f(x)=sin(2x −6π)在区间[]a a ,-（a>0）上单调递增，则a 的最大值为( )A 、12π B 、6π C 、4π D 、3π 11、数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=-1，a n+1=S n+1•S n ，则S 2019=( )A. -2019B. −20191C. −20181 D. -201812、已知锐角△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b,c,若a=1，122=-+bc c b ，则△ABC 的面积的取值范围是（ ）A 、]43,63(B 、）43,63(C 、）43,123(D 、]43,123( 二、填空题（每题5分，共20分）13、等比数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 2=2，a 5=16,则S 6= 。
湖北省2020-2021学年高一下学期期中联考数学试题
湖北省2020-2021学年高一下学期期中联考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列说法正确的是（ ） A ．四棱台的侧棱长一定相等 B ．有两个侧面垂直于底面的四棱柱是直四棱柱C ．圆柱的任意两条母线所在直线互相平行D ．三棱锥的四个面不可能全是直角三角形2．已知复数43i3iz -=-，则复数z 在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．下列几何体中，棱的条数最多的是（ ） A ．四棱柱B ．五棱柱C ．五棱锥D ．六棱锥4．已知向量(5,1),(1,2)a b m =-=，若a b ⊥，则m =（ ） A ．110-B ．52-C ．110D ．525．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则“cos a B c =”是“ABC 是直角三角形”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件6．已知m ，n 为两条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）A ．若//,//,//m n αβαβ，则//m nB ．若//,//,m m n αβαβ=，则//m nC ．若//,//αβn n ，则//αβD ．若//,m n n α⊂，则//m α7．道韵楼以“古､大､奇､美”著称，内部雕梁画栋，有倒吊莲花､璧画､雕塑等，是历史､文化､民俗一体的观光胜地道韵楼可近似地看成一个正八棱柱，其底面面积约为1)+平方米，高约为11.5米，则该八棱柱的侧面积约是（ ）A ．460平方米B ．1840平方米C ．2760平方米D ．3680平方米8．已知复数()22221()z a a a i a =--+-∈Z ，且|1|z -=z =（ ）A ．43i +B ．43i -C ．23i -+D ．23i --二、多选题9．如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是平行四边形，E ，F 分别是棱,AC PD 的中点，则（ ）A ．//EF 平面PAB B ．//EF 平面PBC C ．//CF 平面PABD ．//AF 平面PBC10．已知复数43z i =+，则（ ） A ．||5z =B ．7z z ⋅=C ．22524z i =+D ．122zi i=+- 11．正六角星是我们生活中比较常见的图形，很多吊饰品中就出现了正六角星图案(如图一).正六角星可由两个正三角形一上一下连锁组成(如图二).如图三所示的正六角星的中心为O ，A ，B ，C 是该正六角星的顶点，则（ ）A ．向量,OA OB 夹角的余弦值是12-B ．若OC xOA yOB =+，则3x y += C ．若||2OA =，则6OA OC ⋅=-D ．若非零向量(,)a xOA yOB x y =+∈R ，则当||||a x 取最小值时，2y x = 12．如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，2AB =，E ，F ，P ，M ，N 分别是11,,,,AB CC DD AD CD 的中点，则（ ）A ．//EF 平面PMNB ．直线PM 与EF 所成的角是3πC ．存在过点E ，F 的平面α与平面PMN 平行，平面α截该正方体得到的截面面积为D ．点E 到平面PMN 的距离是3三、填空题13．写出一个模为5的向量a =___________.(用坐标表示)14．已知某圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆，则该圆锥轴截面的面积是___________.15．已知在平面四边形ABCD 中，2,AB AD CD ===AB DC AD BC ⋅=⋅，则BC =___________.四、双空题16．已知复数i(,,1)z a b a b a =+∈>-R ，且||1z =，则2111z z z z -⎛⎫+- ⎪+⎝⎭的最小值是___________；此时，复数z =___________.五、解答题17．在①6AD =；②四边形ABCD 的面积为24；③四边形ABCD 的周长为20这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.如图，四边形ABCD 是圆柱的一个轴截面，4AB =，且___________.（1）求该圆柱的体积；（2）若用一细绳从点A 绕圆柱一周后到达D 处(如图)，求细绳的最短长度. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 18．已知复数2(1i)(52i)14()z m m m =++--∈R . （1）若z 是纯虚数，求m 的值；（2）若z 在复平面内对应点在直线50x y ++=上，求m 的值.19．如图，在长方体1111ABCD A BC D -中，1BC CC =，点E ，F 分别在1,BC CC 上(不包含端点)，且CE CF =.证明：（1）A ，1D ，E ，F 四点共面； （2）直线1,,AE D F DC 交于一点.20．如图，平面四边形ABCD 是某公园的一块草地，为方便市民通行，该公园管理处计划在草地中间修一条石路BD （不考虑石路的宽度），22,2243ABC ADC BC AB AD π∠=∠====．（1）求该草地的面积； （2）求石路BD 的长度．21．如图，在四棱锥P ABCD -中，直线PA 垂直于平面ABCD ，//,90AD BC ABC ∠=︒，且4,CD PA AB ====（1）求四棱锥P ABCD -的体积.（2）在PB 上是否存在点F ，使得//AF 平面PCD ？若存在，求出PFPB的值；若不存在，说明理由.22．我们知道，对一个量用两种方法分别计算一次，由结果相同则可以构造等式解决问题，这种思维方法称为“算两次”原理，又称“富比尼原理”，是一种重要的数学思想.例如：如图甲，在ABC 中，D 为BC 的中点，则,AD AB BD AD AC CD =+=+，两式相加得2AD AB BD AC CD =+++，因为D 为BC 的中点，所以0BD CD +=，于是2AD AB AC =+.请用“算两次”的方法解决下列问题：（1）如图乙，在四边形ABCD 中，E ，F 分别为,AD BC 的中点，证明：2EF AB DC =+.（2）如图丙，在四边形ABCD 中，E ，F 分别在边,AD BC 上，且13AE AD =，13BF BC =，3AB =，2DC =，AB 与DC 的夹角为60，求AB EF ⋅.参考答案1．C 【分析】根据简单几何体的结构特征逐一判断四个选项的正误，即可得正确选项. 【详解】对于选项A ：只有正四棱台的侧棱长一定相等，其它四棱台的侧棱长不一定相等故，选项A 错误；对于选项B ：四棱柱的两个平行侧面垂直于底面，该四棱柱不一定是直四棱柱，如图平面11ABB A 和平面11DCC D 都垂直于底面ABCD ，但该四棱柱不是直四棱柱， 故选项B 错误；对于选项C ：圆柱的任意两条母线所在直线互相平行， 故选项C 正确；对于选项D ：三棱锥的四个面可能都是直角三角形，如图：长方体中，三棱锥1C ABC 四个面都是直角三角形，故选项D 错误. 故选：C. 2．D 【分析】结合复数的除法运算，求出复数z ，然后根据复数的几何意义，即可求出结果.【详解】(43i)(3i)155i 31i (3i)(3i)1022z -+-===--+，则复数z (在复平面内对应的点31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭在第四象限. 故选：D. 3．B 【分析】根据几何体的结构特点分析每个几何体棱的数量，由此作出选择. 【详解】四棱柱有12条棱，五棱柱有15条棱，五棱锥有10条棱，六棱锥有12条棱， 因此棱数最多的是五棱柱. 故选：B. 4．D 【分析】根据向量垂直对应的坐标关系得到关于m 的方程，由此求解出m 的值. 【详解】因为a b ⊥，所以520a b m ⋅=-+=，解得52m =. 故选：D. 5．B 【分析】结合余弦定理，角化边，即可求解 【详解】由cos a B c =，得2222a c b a c ac+-⋅=，即222c b a +=，则ABC 是直角三角形；反之，若ABC 是直角三角形，则22b c +与2a 不一定相等.故“cos a B c =”是“ABC 是直角三角形”的充分不必要条件. 6．B 【分析】A ：结合两直线的位置关系可判断//m n 或,m n 异面；B ：结合线面平行的性质可判断//m n ；C ：结合线面的位置关系可判断//αβ或,αβ相交；D ：结合线面的位置关系可判断//m α或m α⊂. 【详解】A ：若//,//,//m n αβαβ，则//m n 或,m n 异面，故A 错误；B ：因为//m α，所以在平面α内存在不同于n 的直线l ，使得//l m ，则l β//，从而//l n ，故//m n ，故B 正确；C ：若//,//αβn n ，则//αβ或,αβ相交，故C 错误；D ：若//,m n n α⊂，则//m α或m α⊂，故D 错误. 故选：B 7．D 【分析】利用ABCDEFGH 是正八边形，求得284AOB ππ∠==，利用余弦定理求得22OA AB =，利用底面面积求得40AB =，从而求得侧面积. 【详解】如图，由题意可知底面ABCDEFGH 是正八边形，284AOB ππ∠==，由余弦定理可得22222cos (2AB OA OB OA OB AOB OA =+-⋅∠=-，则22OA AB =.因为底面ABCDEFGH 的面积为1)平方米，所以2181)2AB ⨯=，解得40AB =.则该八棱柱的侧面积为32011.53680⨯=平方米.故选：D.8．C 【分析】根据|1|z -=2222(1)(3)(1)(1)18a a a a +-++-=，又因为因为a ∈Z ， 所以22(1),(2)1a a +∈-+∈Z Z ，且2(2)11a -+，从而可得到所以213(2)11a a +=⎧⎨-+=⎩或211(2)19a a +=⎧⎨-+=⎩求解即可得出结果. 【详解】()()221231i()z a a a a -=--+-∈Z=所以2222(1)(3)(1)(1)18a a a a +-++-=，即()22(1)281018a aa +-+=，所以22(1)(2)19a a ⎡⎤+-+=⎣⎦.因为a ∈Z ，所以22(1),(2)1a a +∈-+∈Z Z ，且2(2)11a -+.因为2291391=⨯=⨯，所以213(2)11a a +=⎧⎨-+=⎩或211(2)19a a +=⎧⎨-+=⎩解得2a =，则23i z =-+. 故选：C. 9．AB 【分析】连接BD ，可得//EF PB ，即可判断A ，B 正确.再利用反证法即可推出C 、D 错误. 【详解】如图，连接BD .因为四边形ABCD 是平行四边形，且E 是棱AC 的中点，所以E 是BD 的中点，所以//EF PB ，则//EF 平面,//PAB EF 平面PBC ，故A ，B 正确；因为//AD BC ，所以//AD 平面PBC .假设//AF 平面PBC ，又AFA AD =，则平面//PAD 平面PBC .因为平面PAD 与平面PBC 相交，则假设不成立，即//AF 平面PBC 不成立，故C错误；同理可得D 错误. 故选：AB .10．AD 【分析】利用求模公式求得复数的模，判断出A ；求得43z i =-，求得216925z z i ⋅=-=，判断出B ，利用复数的平方判断出C ，利用复数的除法求得122zi i=+-，判断出D. 【详解】由题意可得||5,43z z i ===-，则216925z z i ⋅=-=，则A 正确，B 错误；2216129712z i i i =++=+，则C 错误；(43)(2)831012255z i i i i i ++-+===+-，则D 正确. 故选：AD. 11．AC 【分析】直接利用向量的线性关系，平面向量基本定理，向量的数量积，模的运算公式求解各个选项，即可判断． 【详解】由题意可知23AOB π∠=，则1cos 2AOB ∠=-，故A 正确； 由题意如图可知()(2)OC OD OB BD OB OA =-=-+=-+，则3x y +=-，故B 错误； 因为||2OA =，所以||2OB =，则1(2)242262OA OC OA OA OB ⎛⎫⋅=⋅--=-⨯-⨯⨯-=- ⎪⎝⎭，故C 正确； 因为a xOA yOB =+， 所以()22||||||xOA a OA x -⎛==，当12y x =时，||||a x 取最小值，此时，2x y =，故D 错误. 故选: AC 12．ACD 【分析】对于A ，利用线线平行证面面平行，再利用面面平行的性质定理可得证；对于B ，由//FG PM ，知EFG 是所求的角，在EFG 中利用余弦定理可得解；对于C ，可知六边形EGFHKI 是平面α截该正方体得到的截面，求得面积即可； 对于D ，利用等体积法P MNE E MNP V V --=，结合锥体的体积公式即可得解.【详解】对于A ，取BC 的中点G ，连接,EG FG ，易证//,//EG MN FG PM ，,EG FG G MN PM M ⋂=⋂=，则平面//EFG 平面PMN ，又EF ⊂平面EFG ，所以//EF 平面PMN ，故A 正确；对于B ，//FG PM ， EFG ∴∠是直线PM 与EF 所成的角，又 2AB =，EF ∴=EG FG ==cosEFG ∠==，则6EFG π∠=，故B 错误； 对于C ，分别取11111,,C D A D AA 的中点H ，K ，I ，连接,,,HF HK KI EI ，易证平面//EGFHKI 平面PMN ，则存在过点E ，F 的平面α与平面PMN 平行，六边形EGFHKI 是平面α截该正方体得到的截面，截面的面积是264⨯⨯=C 正确； 对于D ，连接,,ME NE PE ，由等体积法P MNE E MNP V V --=，则三棱锥P MNE -的体积是111211323⨯⨯⨯⨯=，PMN 的面积是242⨯=，设点E 到平面PMN 的距离是d ，则1133=，解得3d =，故D 正确. 故选：ACD【点睛】方法点睛：证明面面平行常用的方法：（1）面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；（2）利用垂直于同一条直线的两个平面平行；（3）两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行； （4）利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化． 13．(3,4)(答案不唯一)【分析】设(,)a x y =，由模长公式知x ，y 只需满足2225x y +=即可. 【详解】设(,)a x y =，x ，y 只需满足2225x y +=即可. 故答案为：(3,4)(答案不唯一)14【分析】由题意可求出该圆锥的母线长为2，底面圆的半径为1出该圆锥轴截面的面积. 【详解】由题意可知展开图的半径是2，所以该圆锥的母线长为2，底面圆的周长为2π，所以可知底面圆的半径为1122⨯=15．1 【分析】将已知条件变形，结合向量的多边形法则可知AB DC AD BC -=-，由此可得2222AB DC AD BC +=+，代入数据可求解出BC 的长度.【详解】因为AB DC AD BC ⋅=⋅，所以222222()()AB DC AB DC AD BC AD BC +--=+--. 因为0AB BC CD DA +++=，所以AB DC AD BC -=-， 即22()()AB DC AD BC -=-，所以2222AB DC AD BC +=+.又2,AB AD CD ===1BC =. 故答案为：1. 16．1 i 或i - 【分析】根据复数的除法运算先求解出1z z +，211z z -⎛⎫- ⎪+⎝⎭，然后可得2111z z z z -⎛⎫+- ⎪+⎝⎭的结果，利用基本不等式可求2111z z z z -⎛⎫+- ⎪+⎝⎭的最小值，同时可求解出此时,a b 的值，则z 可求.【详解】因为||1z =，所以221a b +=，所以221ii a b a b z a b-==-+，12z a z +=. 因为22122(1i)1i i11111(1)11z a b a b b z z a b a a -+-+-=-+=-+=-+=-++++++，且10a +>， 所以22222111211(1)(1)11z b a a z a a a a ---⎛⎫-====-+ ⎪+++++⎝⎭， 则21122111z z a z z a -⎛⎫+-=+- ⎪++⎝⎭.因为2222(1)2242211a a a a +=++-≥=-=++， 所以21111z z z z -⎛⎫- ⎪+⎝⎭≥+，当且仅当0a =时，等号成立，此时0,1a b ==±，则i z =或i z =-. 故答案为：1；i 或i -.17．条件选择见解析；（1）24π；（2）. 【分析】选择①6AD =的长度即为高，直接利用圆柱的体积公式即可求解；选择②结合四边形ABCD 的面积等于底面直径乘以AD ，即可求出AD 的长度，而AD 的长度即为高，直接利用圆柱的体积公式即可求解；选择③结合四边形ABCD 的周长等于（底面直径加AD ）乘以2，即可求出AD 的长度，而AD 的长度即为高，直接利用圆柱的体积公式即可求解；（2）结合圆柱沿AD 侧面展开，得到AD '即为最短长度，然后计算求解即可. 【详解】 解：选择①，（1）由题意可得圆柱的底面圆的半径122r AB ==，高6h AD ==， 则该圆柱的体积22624V Sh ππ==⨯⨯=. 选择②，（1）由题意可得圆柱的底面圆的半径122r AB ==，高2464h AD ===， 则该圆柱的体积22624V Sh ππ==⨯⨯=. 选择③，（1）由题意可得圆柱的底面圆的半径122r AB ==，高20462h AD ==-=， 则该圆柱的体积22624V Sh ππ==⨯⨯=.（2）将圆柱沿AD 侧面展开，如图所示，6,4AD AA π'==，则AD =='.故细绳的最短长度为.18．（1）7m =-；（2）32m =或3m =-. 【分析】首先将复数化简为标准形式，确定其实部与虚部，（1）依题意实部为零且虚部不为零得到方程（不等式）组，解得即可；（2）将实部代入x ，虚部代入y 得到方程，解得即可； 【详解】解：由题意可得()()222(1i)(52i)145142i z m m m m m m =++--=+-+-，则z 的实部为2514m m +-，虚部为22m m -.（1）因为z 是纯虚数，所以225140,20,m m m m ⎧+-=⎨-≠⎩解得7m =-.（2）由题意可得()()22514250m m m m +-+-+=，解得32m =或3m =-. 19．（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】(1)先通过线线平行，得到线线共面，从而得到四点共面. (2)先证直线AE 与直线1D F 相交，再证交点在直线CD 上.即可. 【详解】证明：（1）如图，连接11,,AD EF BC .因为1,BC CC CE CF ==，所以1CE CFCB CC =，所以1//EF BC . 由长方体的性质可知11//AD BC ，所以1//AD EF . 故A ，1D ，E ，F 四点共面.（2）由（1）可得11//,AD EF AD EF ≠，则四边形1AEFD 是梯形， 故直线AE 与直线1D F 必相交，记1AED F P =.因为P AE ∈，且AE ⊂平面ABCD ，所以P ∈平面ABCD ， 因为1P D F ∈，且1D F ⊂平面11CDD C ，所以P ∈平面11CDD C.因为平面ABCD平面11CDD C CD =，所以P CD ∈.即直线1,,AE D F DC 交于一点.20．（1）（2. 【分析】（1）连接AC ．在ABC 中，利用余弦定理求得AC ，再在ACD △中，利用余弦定理求得CD ，然后草地的面积由ABC 和ACD △的面积和求解.（2）由2222cos BD AD AB AD AB BAD =+-⋅∠222cos CD BC CD BC BCD =+-⋅∠，结合BAD BCD π∠+∠=求解. 【详解】 （1）如图所示：连接AC ．在ABC 中，由余弦定理可得2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅∠，即21416224282AC ⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，则AC =在ACD △中，由余弦定理可得2222cos AC AD CD AD CD ADC =+-⋅∠， 则24228CD CD +-=，解得6CD =或4CD =-（舍去）．ABC 的面积111sin 2422S AB BC ABC =⋅∠=⨯⨯=，ACD △的面积211sin 2622S AD CD ADC =⋅∠=⨯⨯=故该草地的面积12S S S =+== （2）因为223ABC ADC π∠=∠= ，所以BAD BCD π∠+∠=， 所以cos cos BAD BCD ∠∠=-．由余弦定理可得2222cos BD AD AB AD AB BAD =+-⋅∠，222cos CD BC CD BC BCD =+-⋅∠，即2448cos 361648cos BAD BCD BD +-∠=+-∠=， 解得211100cos ,147BAD BD ∠=-=，故7BD =BD ．21．（1）（2）存在，12PF PB =. 【分析】（1）利用椎体体积公式，即可求解.（2）分别取,PC PB 的中点E ，F ，连接,,AF EF DE .得到四边形ADEF 是平行四边形，所以//AF DE ,即可求解. 【详解】解：（1）如图，过点D 作//DM AB ，交BC 于点M ，则90DMC ABC ∠=∠=︒.因为//,//AD BC DM AB ，所以四边形 ABMD 是平行四边形，所以2,BM AD DM AB ====.因为4CD =，所以2CM ==，所以4BC =.则四边形ABCD =由题意可知PA 是四棱锥P ABCD -的高，则该四棱锥的体积为143⨯=（2）分别取,PC PB 的中点E ，F ，连接,,AF EF DE . 因为E ，F 分别是,PC PB 的中点，所以1//,2EF BC EF BC =. 由（1）可知1//,2EF BC EF BC =，所以//,AD EF AD EF =， 所以四边形ADEF 是平行四边形，所以//AF DE .因为DE ⊂平面PCD ，AF ⊄平面PCD ，所以//AF 平面PCD . 故存在点F ，使得//AF 平面PCD ，此时，12PF PB =. 22．（1）证明见解析；（2）7. 【分析】（1）分别在在四边形ABFE 、四边形CDEF 中表示向量EF ，两式相加再结合相反向量的和为0，即可求证；（2）利用已知条件中的“算两次”原理将EF 用AB 和DC 表示，再利用数量积的定义运算即可求解. 【详解】（1）证明：在四边形ABFE 中，EF EA AB BF =++，① 在四边形CDEF 中，EF ED DC CF =++，② 由①+②，得2EF EA AB BF ED DC CF =+++++.因为E ，F 分别为,AD BC 的中点，所以0EA ED +=，0CF BF += 于是2EF AB DC =+.（2）解：在四边形ABFE 中，EF EA AB BF =++①，本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
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期中数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若a，b，c∈R，a＞b，则下列不等式成立的是（）A. B. a2＜b2 C. a|c|＞b|c| D.2.在△ABC中，a cos A=b cos B，则△ABC的形状为（）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰或直角三角形D. 等腰直角三角形3.△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=60°，a=4，b=4，则B=（）A. 45°或135°B. 135°C. 45°D. 以上都不对4.已知点A（-1，1），B（1，2），C（-2，-1），D（3，4），则向量在方向上的投影为（）A. B. C. D.5.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cos C=，b cos A+a cos B=3，则△ABC外接圆的半径为（）A. 2B. 2C. 4D. 66.如图，在山脚测得山顶的仰角为30°，沿倾斜角为15°的斜坡向上走米到，在处测得山顶的仰角为60°，则山高h=( )A. B. C. D. a7.若正数x，y满足x+4y-xy=0，则的最大值为（）A. B. C. D.8.设四边形ABCD为平行四边形，||=6，||=4，若点M、N满足，，则=（）A. 20B. 15C. 9D. 69.设m、m+1、m+2是钝角三角形的三边长，则实数m的取值范围是（）10.若G是△ABC的重心，a，，bc分别是角A，B，C的对边，，则角C= （）A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°11.给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为90°，点C在以O为圆心的圆弧AB上运动，若，其中x，y∈R，则3x+5y的最大值为（）A. B. 5 C. D. 612.已知函数f（x）=2x3+3x（x∈R），若不等式f（2m+mt2）+f（4t）＜0对任意实数t≥1恒成立，则实数m的取值范围为（）A. B.C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.不等式-2x2-x+6≥0的解集是______．14.已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy=3，则x+2y的最小值为______．15.下列命题中，错误的命题是______（在横线上填出错误命题的序号）．（1）边长为1的等边三角形ABC中，；（2）当-3＜k＜0时，一元二次不等式对-切实数x都成立；（3）△ABC中，满足sin A=cos B的三角形一定是直角三角形；（4）△ABC中，角A、B、C所对的边为a、b、c，若a2+c2=2b2，则cos B的最小值为．16.已知点O为△ABC的外心，且，则=______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知，且向量在向量的方向上的投影为-1．（1）求与的夹角θ；（2）求．18.在△ABC中，角A、B、C所对的边为a、b、c，△ABC的面积为S，且．（1）求角A；19.某厂家举行大型的促销活动，经测算某产品当促销费用为x万元时，销售量t万件满足（其中0≤x≤a，a为正常数），现假定生产量与销售量相等，已知生产该产品t万件还需投入成本（10+2t）万元（不含促销费用），产品的销售价格定为万元/万件．（1）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；（2）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大．20.已知在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，且b2、c2是关于x的一元二次方程x2-（a2+bc）x+m=0的两根．（1）求角A的值；（2）若，求2b-c的取值范围．21.已知函数f（x）=mx2-mx-1．（1）讨论不等式f（x）＞1-2x的解集；（2）若对于任意x∈[1，3]，f（x）＜-m+4恒成立，求参数m的取值范围．22.在△ABC中，角A，B，C对边分别为a，b，c，且满足bc=1，a2-bc=（b-c）2．（Ⅰ）求△ABC的面积；（Ⅱ）若cos B cos C=，求△ABC的周长．答案和解析1.【答案】D【解析】解：由a＞b，A．取a=-1，b=-2时不成立；B．取a=1，b=-2时不成立；C．取c=0时不成立；D．∵c2+1＞0，可得：＞恒成立．故选：D．通过赋值法及利用不等式的基本性质即可判断出结论．本题考查了赋值法、不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.【答案】C【解析】【分析】本题考查三角形的形状判断，着重考查正弦定理与二倍角的正弦的应用，属于中档题.利用正弦定理将a cos A=b cos B中等号两边的边转化为该边所对角的正弦，化简整理即可. 【解答】解：在△ABC中，∵a cos A=b cos B，∴由正弦定理==2R得：a=2R sin A，b=2R sin B，∴sin A cosA=sin B cosB，∴sin2A=sin2B，∴sin2A=sin2B，∴2A=2B或2A=π-2B，∴A=B或A+B=，∴△ABC为等腰或直角三角形，故选C.3.【答案】C【解析】解：∵A=60°，a=4，b=4，∴由正弦定理=得：sin B===，∵a＞b，∴A＞B，则B=45°．故选：C．由A的度数求出sin A的值，再由a与b的值，利用正弦定理求出sin B的值，由b小于a，得到B小于A，即可求出B的度数．此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．先求出向量、，根据投影定义即可求得答案．本题考查平面向量数量积运算，考查向量投影定义，属基础题，正确理解相关概念是解决问题的关键．【解答】解：，，则向量方向上的投影为：•cos＜＞=•===，故选：A．5.【答案】D【解析】解：根据题意，设△ABC外接圆的半径为R，则有===2R，则a=2R sin A，b=2R sin B，c=2R sin C，△ABC中，b cos A+a cos B=3，则b cos A+a cos B=2R（sin B cos A+sin A cos B）=2R sin（B+A）=2R sin C=c，即c=3，又由cos C=，则sin C=，则有2R===12，即R=6；故选：D．根据题意，设△ABC外接圆的半径为R，由正弦定理可得a=2R sin A，b=2R sin B，c=2R sin C，据此分析可得b cos A+a cos B=c，即可得c的值，由cos C的值计算可得sin C的值，由正弦定理2R=，计算可得答案．本题考查正弦定理、余弦定理的应用，关键是求出c的值．6.【答案】A【解析】【分析】本题考查正弦定理的应用，直角三角形中的边角关系，求出PB是解题的关键．设α=30°，β=15°，△PAB中，∠PAB=α-β=15°，∠BPA=（-α）-（-γ）=γ-α=30°，由正弦定理可求PB，根据PQ=PC+CQ=PB•sinγ+a sinβ 可得结果．【解答】解：设α=30°，β=15°，∠PBC=γ=60°，△PAB中，∠PAB=α-β=15°，∠BPA=（-α）-（-γ）=γ-α=30°，∴，∴PB=．∴PQ=PC+CQ=PB•sinγ+a sinβ=×sin60°+a sin15°=a米．故选：A．7.【答案】B本题主要考查基本不等式的应用，考查计算能力和转化思想，属于基础题．由已知可求y=＞0，解得x＞4，将所求转化后利用基本关系式即可计算得解其最大值．【解答】解：∵正数x，y满足x+4y-xy=0，∴y=＞0，解得x＞4，∴===≤=，当且仅当x-4=时等号成立，∴的最大值为．故选B．8.【答案】C【解析】解：∵四边形ABCD为平行四边形，点M、N满足，，∴根据图形可得：=+=，==，又=，∴=•（）=2-，又2=22，=22，||=6，||=4，∴=22=12-3=9故选：C．根据图形得出=+=，==，=•（）=2-，结合向量的数量积求解即可．本题考查了平面向量的运算，数量积的运用，考查了数形结合的思想，关键是向量的分解，表示．9.【答案】B【解析】解；由题意可得m、m+1、m+2是钝角三角形的三边长，且最大边m+2对的钝角为α，则由余弦定理可得cosα==＜0，求得0＜m＜3．再根据任意两边之和大于第三边，可得m+m+1＞m+2，∴m＞1．综上可得1＜m＜3，故选：B．由题意可得最大角的余弦值小于零，且任意两边之和大于第三边，从而解不等式求得实数m的取值范围．本题考查余弦定理、三角形中任意两边之和大于第三边，以及不等式的解法，列出不等式，是解题的关键，属于基础题．10.【答案】C【解析】【分析】本题考查了三角形重心性质、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．G是△ABC的重心，可得++=，由=，可得，不妨取c=，可得a=b=1．再利用余弦定理即可得出．【解答】解：∵G是△ABC的重心，∴++=，∵=，∴，不妨取c=，可得a=b=1．∴cos C==-，C为△ABC的内角，则C=120°．故选：C．11.【答案】A【解析】解：如图所示，建立直角坐标系．A（1，0），B（0，1）．=（x，y），设C（cosα，sinα）（α∈）．则3x+5y=3cosα+5sinα=sin（α+φ），其中cosφ=，sinφ=．∴3x+5y≤，当且仅当sin（α+φ）=1时取等号．故选：A．如图所示，建立直角坐标系．=（x，y），设C（cosα，sinα）（α∈）．可得3x+5y=3cosα+5sinα=sin（α+φ），其中cosφ=，本题考查了直线与圆的方程、平面向量基本定理、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.【答案】C【解析】解：函数f（x）=2x3+3x的定义域为R，关于原点对称，有f（-x）=-（2x3+3x）=-f（x），则f（x）为奇函数，又由f′（x）=6x2+3＞0，则f（x）为增函数，若不等式f（2m+mt2）+f（4t）＜0对任意实数t≥1恒成立，则f（2m+mt2）＜-f（4t），即2m+mt2＜-4t对任意实数t≥1恒成立，2m+mt2＜-4t⇔m＜-，即m＜-，又由t≥1，则t+≥2，则-有最小值-，若m＜-对任意实数t≥1恒成立，必有m＜-．即m的取值范围为（-∞，-）．故选：C．根据题意，分析可得函数f（x）为奇函数且为增函数，进而可以将原问题转化为m＜-对任意实数t≥1恒成立，由基本不等式的性质分析，可得m的取值范围．本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用，关键是分析判断函数f（x）=2x3+3x的奇偶性与单调性，基本不等式的综合应用，是中档题．13.【答案】[-2，]【解析】解：不等式-2x2-x+6≥0可化为2x2+x-6≤0，解得-2≤x≤；∴该不等式的解集是[-2，]．故答案为：[-2，]．把不等式-2x2-x+6≥0化为2x2+x-6≤0，求出解集即可．本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，解题时先把不等式化简，再求解集，是基础题．14.【答案】2【解析】解：考察基本不等式：x+2y=3-x•（2y）≥3-（）2（当且仅当x=2y时取等号），整理得：（x+2y）2+4（x+2y）-12≥0，即：（x+2y-2）（x+2y+6）≥0，又：x+2y＞0，所以：x+2y≥2（当且仅当x=2y时取等号），则：x+2y的最小值是2．的用法，利用a+b≥2代入已知条件，化简为函数求最值．此题主要考查基本不等式的用法，对于不等式a+b≥2在求最大值最小值的问题中应用非常广泛，需要同学们多加注意．15.【答案】（1）（3）【解析】【分析】本题考查的知识要点：三角函数关系式的应用，平面向量的数量积的应用，余弦定理和基本不等式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．直接利用向量的数量积的应用，三角函数关系式的变换，余弦定理的应用，基本不等式的应用求出结果．【解答】解：对于选项（1）边长为1的等边三角形ABC中，；错误，由于：，故错误．对于选项（2）当-3＜k＜0时，一元二次不等式对-切实数x都成立，故：，解得：-3＜k＜0，当k=0时，恒成立．故：-3＜k≤0，由于：（-3，0）⊂（-3，0]．故正确．对于选项（3）△ABC中，满足sin A=cos B=sin（），故：或，所以：或所以：三角形ABC不一定是直角三角形；故错误．对于选项（4）△ABC中，角A、B、C所对的边为a、b、c，若a2+c2=2b2，所以：b2≥ac故：cos B==．故正确．故选（1）（3）．16.【答案】【解析】解：如图，取AB，AC的中点D，E，则===-=3×-2×1=，故答案为：．取AB，AC的中点D，E，把所求数量积中的化为展开结合向量投影知识不难得解．此题考查了向量数量积，向量投影等，难度适中．17.【答案】解：（1）由题意得，∴，∴θ=120°；（2）∵（）2==4+16-4×2×2cos120°=28，∴=．【解析】（1）由投影的概念直接可得；（2）先求平方，只需代入所得条件即可得解．此题考查了向量投影，数量积，难度不大．18.【答案】解：（1）在△ABC中，角A、B、C所对的边为a、b、c，△ABC的面积为S，且．所以：-cos（A+B）=2cos A[sin B-cos B]，整理得：cos A cos B-sin A sin B=-，由于：sin B≠0，所以：sin A=，整理得：tan A=，由于：0＜A＜π，所以：A=．（2）由于：，，所以：，整理得：bc=8，由于：b-c=2，故：b=4，c=2．则：a2=b2+c2-2bc cos A，=16+4-2×，=12，故：a=2．【解析】（1）直接利用三角函数关系式的变换和正弦定理的应用求出结果．（2）利用（1）的结论和三角形的面积公式及余弦定理的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦定理余弦定理和三角形面积的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．19.【答案】解：（1）由题意知，利润y=t（5+）-（10+2t）-x=3t+10-x由销售量t万件满足t=5-（其中0≤x≤a，a为正常数）．代入化简可得：y=25-（+x），（0≤x≤a，a为正常数）（2）由（1）知y=28-（+x+3）≤28-12=16，当且仅当=x+3，即x=3时，上式取等号．当a≥3时，促销费用投入3万元时，厂家的利润最大；当0＜a＜3时，y在0≤x≤a上单调递增，x=a，函数有最大值．促销费用投入x=a万元时，厂家的利润最大．综上述，当a≥3时，促销费用投入3万元时，厂家的利润最大；当0＜a＜3时，促销费用投入x=a万元时，厂家的利润最大．…（12分）【解析】（1）确定该产品售价为（4+）万元，y=t×（4+）-（10+2t）-x，销售量t万件满足t=5-，代入化简得该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；（2）分类讨论，利用基本不等式及函数的单调性，可求厂家的利润最大本题考查函数模型的选择与应用，考查基本不等式的运用，确定函数解析式是关键．20.【答案】解：（1）在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，且b2、c2是关于x的一元二次方程x2-（a2+bc）x+m=0的两根．故：b2+c2=a2+bc，所以：，由于：0＜A＜π，所以：A=．（2）由于：，所以：B+C=所以：，则：．所以：．所以：，所以：2b=2•2R sin B=4sin B，c=2R sin C=2sin C，故：2b-c=4sin B-2sin C，=，=2，故：．【解析】本题考查的知识要点：正弦定理余弦定理和三角形面积的应用，三角函数关系式的恒等变换，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题．（1）直接利用一元二次函数根和系数关系式的应用和余弦定理的应用求出结果．（2）利用正弦定理和三角函数关系式的恒等变换求出结果．21.【答案】解：（1）∵f（x）=mx2-mx-1．由f（x）＞1-2x可得，mx2+（2-m）x-2＞0，①当m=0时，2x-2＞0，可得x＞1；当m≠0时可得，m（x+）（x-1）＞0；②m＞0时，不等式可化为（x+）（x-1）＞0，可得{x|x＞1或x＜-}，③m＜0时，不等式可化为（x+）（x-1）＜0，（i）当即-2＜m＜0时，不等式的解集为{x|1}；（ii）当-即m＜-2时，不等式的解集为{x|=}；（iii）当m=-2时，不等式的解集∅；（2）若对于任意x∈[1，3]，f（x）＜-m+4恒成立，∴mx2-mx-1＜-m+4，对于任意x∈[1，3]，mx2-mx-1＜-m+4，∴mx2-mx-5+m＜0对于任意x∈[1，3]恒成立，∴对于任意x∈[1，3]恒成立，而x∈[1，3]时，∴m．【解析】（1）由f（x）＞1-2x可得，mx2+（2-m）x-2＞0，结合m的范围及二次不等式的求解可求；（2）若对于任意x∈[1，3]，f（x）＜-m+4恒成立，对于任意x∈[1，3]恒成立，结合不等式的恒成立与最值求解的相互转化即可求解．本题主要考查了含参数二次不等式的求解，体现了分类讨论思想的应用及不等式的恒成立与最值求解的相互转化思想的应用．22.【答案】解：（Ⅰ）由题意得，b2+c2-a2=bc，则cos A=，且A∈（0，π），所以A=，∴△ABC的面积S=；（Ⅱ）∵cos A=-cos（B+C）=，∴sin B sin C-cos B cos C=，由题意，cos B cos C=，∴sin B sin C=，，∴a=1，∴b2+c2+2bc=a2+3bc=4，∴b+c=2．∴△ABC的周长为a+b+c=3．【解析】（Ⅰ）利用余弦定理转化求解即可．（Ⅱ）利用余弦定理求出角A，利用两角和的余弦公式求出sin B sin C的值，结合正弦定理求出△ABC外接圆的半径R与边长a，再求出b+c即可．本题考查了正弦定理和余弦定理的灵活应用问题，也考查了三角形内角和与两角和的余弦公式问题，是综合性题目．。