2018版高考数学(浙江文理通用)大一轮复习讲义课件第六章数列与数学归纳法6.1

3.数列{an}中，an＝－n2＋11n，则此数列最大项的值是 30 . 答案
解析
11 2 121 an＝－n ＋11n＝－(n－ 2 ) ＋ 4 ，
2
∵n∈N*， ∴当n＝5或n＝6时，an取最大值30.
2，n＝1， 4.已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，则an＝ 2n－1，n≥2
∴{an}是等比数列且a1＝1，q＝2，
故a5＝a1×q4＝24＝16.
题型四 数列的性质
命题点1 数列的单调性 n－1 例 4 已知 an＝ ，那么数列{an}是 答案 n＋1 A.递减数列 C.常数列 B.递增数列 D.摆动数列
解析
2 an＝1－ ，将 an 看作关于 n 的函数，n∈N*，易知{an}是递增数列. n＋1
2 1 又当 n＝1 时，S1＝a1＝3a1＋3， ∴a1＝1，∴{an}是首项为1，公比为－2的等比数列，
故an＝(－2)n－1.
(2)已知下列数列{an}的前n项和Sn，求{an}的通项公式.
①Sn＝2n2－3n； 解答 a1＝S1＝2－3＝－1， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1 ＝ (2n2 － 3n) － [2(n － 1)2 － 3(n － 1)] ＝ 4n － 5 ， 由于a1也适合此等式，∴an＝4n－5.
n－1
3n C.(2)
3 n－1 B.(2) 1 D. n－1 2
答案
解析
1 由 an＋1＝Sn＋1－Sn，得2Sn＝Sn＋1－Sn， 3 即 Sn＋1＝2Sn(n≥1)，又S1＝a1＝1， 3 所以数列{Sn}是首项为 1，公比为2的等比数列， 3 n－1 所以 Sn＝(2) ，故选 B.
题型三 由数列的递推关系求通项公式
2n＋1 故 an＝ 2 . n ＋1
思维升华
由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略
(1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为
特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法.
(2) 具体策略：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆
项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同，对于分式还
3.数列与函数的关系
数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上
的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列.
思考辨析 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)所有数列的第n项都能使用公式表达.( × )
(2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个.( √ )
n
＝2n－1· 2n－2· „· 2· 1＝21＋2＋3＋
„＋(n－1)
＝2
n ( n 1) 2
.
又a1＝1适合上式，
故an＝ 2
n ( n 1) 2
.
(3)a1＝1，an＋1＝3an＋2.
解答
∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)，
又a1＝1，
∴a1＋1＝2，
故数列{an＋1}是首项为2，公比为3的等比数列，
那么这个公式叫做这个数列的通项公式.
知识拓展 1.若数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an，
S1， 则 an＝ Sn－Sn－1，
n＝1， n≥2.
an≥an－1， 2.在数列{an}中，若 an 最大，则 an≥an＋1. an≤an－1， 若 an 最小，则 an≤an＋1.
§6.1 数列的概念与简单表示法
内容索引
基础知识
自主学习
题型分类
课时训练
深度剖析
基础知识
自主学习
知识梳理
1.数列的定义
按照 一定顺序 排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列
的 项. 2.数列的分类 分类原则 按项数分类 类型 有穷数列 无穷数列 满足条件 项数有限 ____ 项数无限 ____
递增数列
an＋1 > an
按项与项间
的大小关系
递减数列
常数列 摆动数列
an＋1 <
an
其中 n∈N*
an＋1＝an
分类
从第2项起，有些项大于它的前一
项，有些项小于它的前一项的数列
3.数列的表示法
数列有三种表示法，它们分别是 列表法 、 图象法 和 解析法 .
4.数列的通项公式
如果数列{an}的第n项与 序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，
跟 踪 训 练 4
(1)(2016·台 州 模 拟 ) 数 列 {an} 满 足 an 3 a1＝ ，则数列的第 2 015 项为 5
＋ 1
＝
2a ，0≤a ≤1， n 2 n 1 2an－1，2＜an＜1，
答案 解析
2 5
.
(2)设 an＝－3n2＋15n－18，则数列{an}中的最大项的值是 16 A. 3 13 B. 3 C.4 D.0
题型二
由 an 与 Sn 的关系求通项公式
2 1 例 2 (1)(2016· 余姚模拟)若数列{an}的前 n 项和 Sn＝3an＋3，则{an}的通 n－1 项公式 an＝ (－2) . 答案 解析
2 1 2 1 由 Sn＝3an＋3，得当 n≥2 时，Sn－1＝3an－1＋3， 两式相减，整理得an＝－2an－1，
答案 解析
.
当n＝1时，a1＝S1＝2，当n≥2时， an＝Sn－Sn－1＝n2＋1－[(n－1)2＋1]＝2n－1，
2，n＝1， 故 an＝ 2n－1，n≥2.
题型分类
深度剖析
题型一 由数列的前几项求数列的通项公式
例1
(1)(2016· 杭州模拟)数列 1，3，6，10，„的一个通项公式是 B.an＝n2－1 nn－1 D.an＝ 2
1 当 n＝1 时也满足此等式，∴an＝ . n
(2)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－1(n∈N*)，则a5等于
A.－16 B.16 C.31 D.32
答案 解析
当n＝1时，S1＝2a1－1，∴a1＝1.
当n≥2时，Sn－1＝2an－1－1，
∴an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，∴an＝2an－1.
故通项公式为an＝(－1)n(6n－5).
(2)0.8，0.88，0.888，„； 解答
1 1 1 8 8 8 数列变为91－10，91－102，91－103，„，
1 8 1 － 故 an＝ n . 10 9
当且仅当 x＝3 10时等号成立.
1 1 因为 an＝ 90，所以 90≤2 90， n＋ n＋ n n
*
1
1 由于 n∈N ，不难发现当 n＝9 或 n＝10 时，an＝19最大.
思维升华
(1)解决数列的单调性问题可用以下三种方法
①用作差比较法，根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数
答案 解析
当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2×1＋1＝2； 当n≥2时， an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－2(n－1)＋1] ＝6n－5，显然当n＝1时，不满足上式.
2，n＝1， 故数列的通项公式为 an＝ 6n－5，n≥2.
(2)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则 Sn 等于 A.2
是 答案
解析
A.672
C.1 342
B.673
D.1 344
命题点3 数列的最值
例6
n 数列{an}的通项 an＝ 2 ，则数列{an}中的最大项是 答案 n ＋90 B.19 1 C. 19 10 D. 60
解析
A.3 10
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
90 令 f(x)＝x＋ (x>0)，运用基本不等式得 f(x)≥2 90， x
(3)1，1，1，1，„，不能构成一个数列.( × )
(4)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列.( × )
(5) 如果数列 {an} 的前 n 项和为 Sn ，则对任意 n∈N* ，都有 an ＋ 1 ＝ Sn ＋ 1 －
Sn.( √ )
考点自测
1.把1，3，6，10，15，21，„这些数叫做三角形数，这是因为用这些 数目的点可以排成一个正三角形(如图所示).
∴an＋1＝2· 3n－1，
故an＝2· 3n－1－1.
思维升华
已知数列的递推关系求通项公式的典型方法 (1)当出现an＝an－1＋m时，构造等差数列； (2)当出现an＝xan－1＋y时，构造等比数列； (3)当出现an＝an－1＋f(n)时，用累加法求解；
an (4)当出现 ＝f(n)时，用累乘法求解. an－1
命题点2 数列的周期性
例5 (2016· 镇海中学模拟 ) 在数列 {an} 中，若存在非零整数 T ，使得 am ＋T
＝am对于任意的正整数 m均成立，那么称数列{an}为周期数列，其中T叫
做数列{an}的周期.若数列{xn}满足xn＋1＝|xn－xn－1|(n≥2，n∈N)，若x1＝1，
x2＝a(a∈R，a≠0)，当数列{xn}的周期最小时，该数列的前2 016项的和
思维升华
已知Sn，求an的步骤
(1)当n＝1时，a1＝S1；
(2)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1；
(3)对n＝1时的情况进行检验，若适合n≥2的通项则可以合并；若不适
合则写成分段函数形式.
跟踪训练2 (1)已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1，则其通项公式
2，n＝1， an＝ 6n－5，n≥2 . 为
可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；⑥对于
符号交替出现的情况，可用(－1)k或(－1)k＋1，k∈N*处理.