辽宁省鞍山市第一中学2018~2019学年高二上学期期中考试理数试题Word版含解析

辽宁省鞍山市第一中学2018~2019学年上学期期中考试高二理数试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合{}1,2,3,4,5,6,7M =，命题:,1p n M n ∀∈>，则（ ）A ．:,1p n M n ⌝∀∈≤B ．:,1p n M n ⌝∃∈>C ．:,1p n M n ⌝∀∈>D ．:,1p n M n ⌝∃∈≤ 【答案】D考点：命题的否定.2.已知椭圆221168x y +=的一点M 到椭圆的一个焦点的距离等于4，那么点到椭圆的另一个焦点的 距离等于（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8 【答案】B 【解析】试题分析：由椭圆方程221168x y +=可知，4a =，又由椭圆的定义可知1228MF MF a +==，所以 218844MF MF =-=-=，故选B.考点：椭圆的定义及标准方程. 3.双曲线2241x y -=的焦距为（ ）A B C 【答案】C 【解析】试题分析：由双曲线2241x y -=，可得双曲线的标准方程为22114y x -=，所以c ===，所以双曲线的焦距为2c =，故选C. 考点：双曲线的标准方程及其性质. 4.“,a b R +∈”是2a b+≥的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A考点：充分不必要条件的判定. 5.数列{}n a 的通项公式为2141n a n =-，则数列{}n a 的前n 项和n S =（ ）A ．221n n + B ．21n n + C ．241n n + D ．41nn + 【答案】B 【解析】试题分析：由题意得，数列{}n a 的通项公式为211111()41(21)(21)22121n a n n n n n ===--+--+，所以数列{}n a 的前n 项和11111111[(1)()()()]2335572121n S n n =-+-+-++--+11(1)22121nn n =-=++，故选B.考点：数列的求和.【方法点晴】本题主要考查了数列的求和问题，其中解答中涉及到数列的通项公式及通项公式的裂项、数列的裂项求和等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中把数列的通项公式化简为211111()41(21)(21)22121n a n n n n n ===--+--+是解答的关键，属于基础题.6.命题“如果22220a ab b a b ++++-≠，那么1a b +≠”的逆命题、否命题、逆否命题这三个 命题中，真命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】B考点：四种命题.7.等差数列{}n a 中，212,20n a a ==-，公差2d =-，则项数n =（ ）A ．20B ．19C ．18D ．17 【答案】C 【解析】试题分析：由题意得，等差数列212,2a d ==-，所以2112a a d =+=，解得114a =，所以数列的通项公式为1(1)14(1)(2)162n a a n d n n =+-=+-⨯-=-，令20n a =-，即1622018n n -=-⇒=，故选C. 考点：等差数列的通项公式.8.函数()()2230x x f x x x-+-=>的最大值为（ ）A ．238-B ．14C ．1-．3 【答案】C 【解析】试题分析：由题意得，()2233321(2)11x x f x x x x x x -+-==--+=-++≤-，当且仅当32x x =即x =等号成立，所以函数的最大值为1- C.考点：基本不等式.9.等比数列{}n a 中，81a =，公比12q =，则该数列前8项的和8S =（ ） A ．254 B ．255 C ．256 D ．512 【答案】B考点：等比数列的前n 项和.10.如图所示的平面区域所对应的不等式组是（ ）A ．10220220x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩B ．10220220x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≥⎩C ．10220220x y x y x y +-≥⎧⎪-+≤⎨⎪--≤⎩D ．10220220x y x y x y +-≥⎧⎪-+≤⎨⎪--≥⎩【答案】A 【解析】试题分析：根据二元一次不等式（组）所表示的平面区域，可知如图所示的平面区域所对应的不等式组是10220220x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，故选A. 考点：二元一次不等式组表示的平面区域.11.已知()4,2M 是直线l 被椭圆22436x y +=所截得的弦AB 的中点，则直线l 的方程为（ ）A ．280x y +-=B ．260x y --=C ．2100x y +-=D ．20x y -= 【答案】A考点：直线与圆锥曲线的关系.【方法点晴】本题主要考查了直线与圆锥曲线的位置关系，其中解答中涉及到一元二次方程的根与系数的关系，直线与方程、直线的点斜式方程等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，此类问题解答中把直线的方程代入圆锥曲线的方程，利用一元二次方程的根与系数的关系是解答的关键，属于中档试题.12.已知实数,,a b c 满足0,0a b c abc ++=>，则111a b c++的值（ ） A ．一定是正数 B ．一定是负数 C ．可能是0 D ．正负不确定 【答案】B 【解析】试题分析：根据0,0a b c abc ++=>，可得,,a b c 中有2个负数，有一个为正数，不妨设0,0,0a b c <<>，且a c <，所以11a c <，所以11a c >，而10b <，所以1110a b c++<，故选B. 考点：不等式的性质.【方法点晴】本题主要考查了不等式的性质及其应用，其中解答中涉及不等式的性质及化简，负数的性质以及绝对值的含义等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，试题比较基础，属于基础题，本题的解答中根据0,0a b c abc ++=>，可得,,a b c 中有2个负数，有一个为正数是解答关键.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.已知12,21a b <<-<<-，则ab的取值范围是____________（答案写成区间或集合）．【答案】12,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭【解析】试题分析：由题意得，因为12,21a b <<-<<-，所以1112b -<<-，所以122a b -<<-. 考点：不等式的性质.14.已知椭圆2255kx y +=的一个焦点坐标是()2,0，则k =____________．【答案】1考点：椭圆的方程及几何性质.15.已知0,0a b >>且ab a b =+，则4a b +的最小值为____________． 【答案】9 【解析】试题分析：由题意得，因为0,0a b >>且ab a b =+，则111a b +=，所以114(4)()a b a b a b+=++4559b a a b =++≥+=，当且仅当4b aa b=，即2b a =时等号是成立的，所以4a b +的最小值为9. 考点：基本不等式求最值.【方法点晴】本题主要考查了基本不等式求最值，其中解答中涉及到构造思想的应用和求解最值的方法的考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想的应用，属于中档试题，本题的解答中根条件0,0a b >>且ab a b =+，化简得到111a b+=是解答的关键，同时注意基本不等式成立的条件.16.已知函数()221x f x x =-，数列{}n a 的通项公式为()*2018n n a f n N ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，则此数列前2018 项的和为_____________． 【答案】2018考点：数列的求和.【方法点晴】本题主要考查了数列的求和问题，其中解答中涉及到函数的化简运算、数列的倒序相加法求和等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，试题有一定的难度，属于中档试题，本题的解答中根据函数的解析式，化简得到()(1)2f x f x +-=是解答的关键.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）已知0a >，命题1:2p a m -<人，命题:q 椭圆2221x y a +=的离心率e 满足23e ⎛∈ ⎝⎭． （1）若q 是真命题，求实数a 取值范围；（2）若p 是q 的充分条件，且p 不是q 的必要条件，求实数m 的值． 【答案】（1）()11,2,332a ⎛⎫∈⋃ ⎪⎝⎭；（2）52m =． 【解析】试题分析：（1）当1a >时，根据离心率e 满足(23e ∈，即可求解实数a 取值范围；（2）由p 是q 的充分条件，且p 不是q 的必要条件，得出不等式组，即可求解实数m 的值．考点：命题的真假判定及应用. 18.（本小题满分12分）营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白 质和6个单位的维生素C ；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的 维生素C ．另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个 单位的维生素C ．如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少， 应当为该儿童分别预定多少个单位的午餐和晚餐？ 【答案】当4,3x y ==时，z 有最小值22． 【解析】试题分析：设需要预定满足要求的午餐和晚餐分别问x 个单位和y 个单位，所花的费用为z 元，得出目标函数和约束条件，利用线性规划，即可求解结论.试题解析：设需要预定满足要求的午餐和晚餐分别问x 个单位和y 个单位，所花的费用为z 元， 则由题意可得 2.54z x y =+，且x y 、满足0,012864664261054x y x y x y x y ≥≥⎧⎪+≥⎪⎨+≥⎪⎪+≥⎩即0,0321673527x y x y x y x y ≥≥⎧⎪+≥⎪⎨+≥⎪⎪+≥⎩， 设直线5:84zl y x =-+，如图，当直线l 经过点C 时，直线的纵截距最小由73527x y x y +=⎧⎨+=⎩得43x y =⎧⎨=⎩，∴当4,3x y ==时，z 有最小值．考点：简单的线性规划问题. 19.（本小题满分12分）已知中心在原点的椭圆C 的两个焦点和椭圆221:2372C x y +=的两个焦点是一个正方形的四个顶点，且椭圆C 过点)2A-．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知P 是椭圆C 上的任意一点，()0,Q t ，求PQ 的最小值．【答案】（1）221164y x +=；（2）3t ≤-时，min 4,33PQ t t =+-<<时，min PQ =3t ≥时，min 4PQ t =-．试题解析：（1）由已知椭圆221:13624x y C +=，相应的焦点分别为()()-，则椭圆C 的焦点分别为((120,0,F F -，设椭圆C 的方程为()222210y x a b a b+=>>，∵122448a AF AF =+===，∴4a =，∴216124b =-=，∴椭圆C 的方程为221164y x +=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）设(),P x y ，则222211,4,441644y x x y y +==--≤≤，()2222222213422444PQ x y t y y ty t y ty t =+-=-+-+=-++， 令()()22324444f y y ty t y =-++-≤≤，∵()223414433f y y t t ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，∴3t ≤-时，()()24816f y f t t ≥-=++；33t -<<时，()241433f y f t t ⎛⎫≥=-⎪⎝⎭；3t ≥时，()()24816f y f t t ≥=-+．综上所述：3t ≤-时，min 4;33PQ t t =+-<< 时，min PQ =3t ≥时，min 4PQ t =-．．．．．．．．．．．．．．．6分考点：椭圆的方程；直线与圆锥曲线的性质. 20.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为()113,1,22n n n A na A n n a +=++=；等比数列{}n b 的前n 项和为 12,B n n n n B B B ++、、成等差数列，12b =-．（1）求数列{}{}n n a b 、的通项公式； （2）求数列{}n n a b 的前n 项和n S ．【答案】（1）31n a n =-，()2nn b =-；（2）()12n n S n +=--．试题解析：（1）∵()1312n n na A n n +=++，∴()()1312n n n n A A A n n +-=++， 则()()13112n n nA n A n n +=+++，∴1312n n A A n n +=++，∵12a =，∴121A =，∴()3212n A n n =+-，∴()312n n n A +=， ∴2n ≥时，131n n n a A A n -=-=- ；1n =时，12a =．综上，31n a n =-，设数列{}n b 的公比为q ，∵12n n n B B B ++、、成等差数列，∴122n n n B B B -+=+，即1122n n n n n n B B b B b b -++=++++，∴122n n b b ++-=，∴2q =-，∵12b =-，∴()2nn b =-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分考点：数列的通项公式，数列的求和.21.（本小题满分12分） 椭圆223155x y +=与过点()1,0C -且斜率为k 的直线交于A B 、两点． （1）若线段AB 的中点为1,n 2⎛⎫- ⎪⎝⎭，求k 的值； （2）在x 轴上是否存在一个定点M ，使得MA MB 的值为常数，若存在，求出点M 的坐标；若不存在， 说明理由．【答案】（1）k =；（2）存在7,03M ⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【解析】试题分析：（1）设()()1122,,,A x y B x y ，直线AB 与椭圆方程联立，利用根与系数的关系，得出等式2213231k k -=-+，即可求解k 的值；（2）假设在x 轴上存在一个定点()0,0M x 满足题意，设MA MB λ=，得出,MA MB 的坐标，利用向量的坐标运算，得出λ的表达式，即可得出结论.试题解析：（1）设()()1122,,,A x y B x y ，直线AB 为()x 1y k =+与223155x y +=联立得 ()()22222316350,41250k x k x k k +++-=∆=+>，则有22121222635,3131k k x x x x k k -+=-=++， ∴2122132231x x k k +-==-+，解之得3k =±．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分考点：直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用.【方法点晴】本题主要考查了直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用，其中解答中直线与椭圆的位置关系的应用、向量的运算，二次函数的最值等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，此类问题的解答中把直线的方程与圆锥曲线的方程联立，转化为方程的根和系数的关系，利用判别式与韦达定理是解答的关键.22.（本小题满分12分）函数()()231f x mx m x =+-+的图像与x 轴的交点至少有一个在原点的右侧. （1）求m 的取值范围；（2）对于（1）中的m ，设2t m =-，不等式[][][][]31112t k t t t t t ⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎡⎤≥+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎝⎭恒成立，求k 的取值 范围（[]x 表示不超过x 的最大整数）.【答案】（1）(],1m ∈-∞；（2）320,81k ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭． 试题解析：（1）0m >时，0302m m∆≥⎧⎪-⎨->⎪⎩，解得01m <≤；0m =时，满足题意； 0m <时，∵()010f =>，∴满足题意综上所述，(],1m ∈-∞．．．．．．．．．．．．． 4分 （2）由（1），(],1m ∈-∞，则1t ≥，1t =时，83k ≥；12t <<时，342,23k k ≥≥； *,2n N n ∀∈≥，当1n t n ≤≤+时，[]t n =，1111,01n t n t ⎡⎤<≤=⎢⎥+⎣⎦， 由已知()312n k n n ⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭，则()213n k n n ⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭， 令()213n n a n n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()()112123n n a n n ++⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， ∵()124133n n n n a a n +-⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭， ∴2,3n =时，1n n a a +>；4n =时，54a a =；5n ≥时，1n n a a +<，∴()*4max 320,2,81n n N n a a ∀∈≥==，∴*320,2,81n N n k ∀∈≥≥，综上所述，320,81k⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分考点：函数的综合问题.【方法点晴】本题主要考查了函数的综合问题，其中解答中涉及到一元二次函数的图象与性质、全称命题、函数的最值、不等式的恒成立问题等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，此类问题的解答中正确理解题意，合理转化，准确运算是解答的关键，试题有一定的难度，属于难题.。