备战2019届高考黄金100题系列之平面向量：专题六_平面向量的数量积问题_含解析
2019版高考数学(理)一轮复习：平面向量的数量积及应用举例含解析
由于 · =2a·(2a+b)=4|a|2+2a·b=4+2×1×2× =2,
所以2a·b=2-4|a|2=-2,
所以a·b=-1,故B,C错误;
又因为(4a+b)· =(4a+b)·b=4a·b+|b|2=4×(-1)+4=0,
所以(4a+b)⊥ .
二、填空题(每小题5分,共15分)
所以 · = ·
= ·
= · + · + + ·
=1+ + - = .
答案:
5.(2015·安徽高考)△ABC是边长为2的等边三角形,已知向量a,b满足 =2a, =2a+b,则下列结论正确的是()
A.|b|=1B.a⊥b
C.a·b=1D.(4a+b)⊥
【解析】选D.因为 = - =(2a+b)-2a=b,
4.已知△ABC为等边三角形,AB=2,设点P,Q满足 =λ , =(1-λ) ,λ∈R,若 · =- ,则λ=()
A. B.
C. D.
【解析】选A.因为 · =- ,
所以- = ·
= ·
=- -λ + ·
=-4 -4λ+2 =-2λ2+2λ-2,
解得λ= .
【一题多解】
选A.如图建立平面直角坐标系,
6.若非零向量a,b满足|a|=3|b|=|a+2b|,则a,b夹角θ的余弦值为________.
【解析】|a|=|a+2b|,两边平方得,|a|2=|a|2+4|b|2+4a·b
=|a|2+4|b|2+4|a||b|·cosθ.
平面向量的数量积练习题(含答案)(K12教育文档)
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平面向量的数量积A组专项基础训练一、选择题(每小题5分,共20分)1．(2012·辽宁)已知向量a＝（1，－1）,b＝（2,x）,若a·b＝1，则x等于（)A．－1 B．－错误! C.错误!D．1 2．（2012·重庆）设x，y∈R，向量a＝(x，1），b＝（1，y)，c＝(2,－4），且a⊥c，b∥c，则|a＋b|等于（)A。
5 B.错误! C．2错误! D．103．已知向量a＝（1,2）,b＝(2，－3)．若向量c满足（c＋a）∥b,c⊥(a＋b)，则c等于( )A。
错误! B.错误! C。
错误! D。
错误!4．在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝错误!，则错误!·错误!等于（）A．－错误!B．－错误! C.错误!D。
错误!二、填空题(每小题5分，共15分)5．已知向量a，b夹角为45°，且｜a|＝1，｜2a－b|＝错误!，则｜b｜＝________。
6．在△ABC中,M是BC的中点,AM＝3，BC＝10,则错误!·错误!＝________。
7．已知a＝（2，－1),b＝（λ，3），若a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围是__________．三、解答题(共22分）8． (10分)已知a＝(1,2），b＝(－2,n) (n>1)，a与b的夹角是45°.(1)求b；（2）若c与b同向，且a与c－a垂直，求c。
备战2017高考黄金100题解读与扩展系列之平面向量：专题六 平面向量的数量积问题 含解析
I．题源探究·黄金母题【例1】已知错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
与错误！未找到引用源。
的夹角为错误！未找到引用源。
，求错误！未找到引用源。
．【解析】错误！未找到引用源。
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．II．考场精彩·真题回放【例2】【2016浙江高考卷】已知向量错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
，若对任意单位向量错误！未找到引用源。
，均有错误！未找到引用源。
，则错误！未找到引用源。
的最大值是___________．【答案】错误！未找到引用源。
【解析】错误！未找到引用源。
，∴错误！未找到引用源。
，则错误！未找到引用源。
，即最大值为错误！未找到引用源。
．【例3】（2016年天津高考理）已知错误！未找到引用源。
是边长为1的等边三角形，点错误！未找到引用源。
分别是边错误！未找到引用源。
的中点，连接错误！未找到引用源。
并延长到点错误！未找到引用源。
，使得错误！未找到引用源。
，则错误！未找到引用源。
的值为（）A．错误！未找到引用源。
B．错误！未找到引用源。
C．错误！未找到引用源。
D．错误！未找到引用源。
【答案】B【例4】【2015年天津高考理】在等腰梯形错误！未找到引用源。
中,已知错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
，动点错误！未找到引用源。
和错误！未找到引用源。
分别在线段错误！未找到引用源。
和错误！未找到引用源。
上，且错误！未找到引用源。
，则错误！未找到引用源。
的最小值为___________．A【答案】错误！未找到引用源。
【解析】因为错误！未找到引用源。
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，所以错误！未找到引用源。
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高考100题平面向量：专题六 平面向量的数量积问题
I．题源探究·黄金母题【例1】已知||6a = ，||4b = ，a 与b 的夹角为60︒，求(2)(3)a b a b +⋅- ．【解析】(2)(3)a b a b +⋅- ＝6a a a b b b⋅-⋅-⋅ ＝22||6||a ab b -⋅- ＝22||cos 6||a ab b θ-⋅- ＝22664cos 6064-⨯⨯︒-⨯＝72-．II．考场精彩·真题回放【例2】【2016浙江高考卷】已知向量,a b ，||1a = ，||2b = ，若对任意单位向量e ，均有||||6a e b e ⋅+⋅≤ 则a b ⋅ 的最大值是___________．【答案】12【解析】|()|||||6||6a b e a e b e a b +⋅≤⋅+⋅≤+≤ ，∴22||||26a b a b ++⋅≤ ，则12a b ⋅≤ ，即最大值为12．【例3】（2016年天津高考理）已知ABC ∆是边长为1的等边三角形，点E D ,分别是边BC AB ,的中点，连接DE 并延长到点F ，使得EF DE 2=，则AF BC ⋅ 的值为（）A．85-B．81C．41D．811【答案】B【例4】【2015年天津高考理】在等腰梯形ABCD 中,已知,2,1AB DC AB BC ==，60ABC ∠= ，动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且1,9BE BC DF DC λλ== ，则AE AF ⋅ 的最小值为___________．【答案】2918【解析】因为19DF DC λ= ，12DC AB = ，所以19CF DF DC DC DC λ=-=- ＝199DC λλ- ＝1918AB λλ- ，则AE AB BE =+ ＝AB BC λ+ ，AF AB BC CF =++ ＝1918AB BC AB λλ-++ ＝1918AB λλ+ ＋BC ，所以()1918AE AF AB BC AB BC λλλ+⎛⎫⋅=+⋅+ ⎪⎝⎭ ＝221918AB BC λλλ++ ＋19118AB BC λλλ+⎛⎫+⋅⋅ ⎪⎝⎭ ＝19199421cos1201818λλλλ++⨯++⨯⨯⨯︒＝2117λλ++≥2192λλ⋅1729=，当且仅当2192λλ=，即23λ=时AE AF ⋅ 的最小值为2918．【例5】【2015广东高考卷文】在平面直角坐标系x y O 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，()1,2AB =- ，()2,1AD = ，则AD AC ⋅= （）A．2B．3C．4D．5【答案】D 【例6】【2014山东高考卷理】在ABC ∆中，已知。
高中数学第六章平面向量及其应用-向量的数量积课件及答案
【对点练清】 1．(2020·全国卷Ⅱ)已知单位向量 a ，b 的夹角为 45°，ka －b 与 a 垂直，则 k＝_____.
解析：由题意，得 a ·b ＝|a |·|b |cos 45°＝ 22.因为向量a ＝ka
2－a ·b ＝k－
22＝0，解得
【学透用活】 [典例 3] (1)已知 e1 与 e2 是两个互相垂直的单位向量，若向量 e1＋ke2 与 ke1＋e2 的夹角为锐角，则 k 的取值范围为_________． (2)已知非零向量 a ，b 满足 a ＋3b 与 7a －5b 互相垂直，a －4b 与 7a －2b 互相垂直，求 a 与 b 的夹角． [解析] (1)∵e1＋ke2 与 ke1＋e2 的夹角为锐角， ∴(e1＋ke2)·(ke1＋e2)＝ke21＋ke22＋(k2＋1)e1·e2＝2k＞0，∴k＞0.当 k ＝1 时，e1＋ke2＝ke1＋e2，它们的夹角为 0，不符合题意，舍去．综上， k 的取值范围为 k＞0 且 k≠1. 答案：(0,1)∪(1，＋∞)
(3)设非零向量 a 与 b 的夹角为 θ，则 cos θ>0⇔a ·b >0.
(√)
(4)|a ·b |≤a ·b .
( ×)
2．若向量 a ，b 满足|a |＝|b |＝1，a 与 b 的夹角为 60°，则 a ·b 等于 ( )
1 A.2
3 B.2
C．1＋
3 2
D．2
答案：A
3．已知|a |＝1，|b |＝2，设 e 是与 a 同方向上的单位向量，a 与 b 的夹 角为π3，则 b 在 a 方向上的投影向量为______．
(4)|a ·b |≤__|_a_|_|_b_|.
2．平面向量数量积的运算律：
平面向量的数量积及应用-2019届高考数学(理)提分必备30个黄金考点---精校解析Word版
【考点剖析】1.命题方向预测：向量的数量积运算、向量的垂直是高考考查的热点，属中低档题目．平面向量数量积、夹角模的计算、向量垂直条件以及数量积的性质等，常以客观题形式命题；解答题常与平面几何、三角函数、解析几何、不等式等交汇命题，重视数形结合与转化化归思想的考查．2.课本结论总结：（1）两个向量的夹角①定义：已知两个非零向量a和b，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角．②范围：向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°,a与b同向时，夹角θ＝0°；a与b反向时，夹角θ＝180°.③向量垂直：如果向量a与b的夹角是90°，则a与b垂直，记作a⊥b.（2）平面向量数量积①已知两个非零向量a与b，则数量|a||b|·cos θ叫做a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ，其中θ是a与b的夹角．规定0·a＝0.向量的投影：|b|cosθ叫向量b在向量a方向上的投影当a⊥b时，θ＝90°，这时a·b＝0.②a·b的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积．（3）向量数量积的性质①如果e是单位向量，则a·e＝e·a.②a⊥b⇔a·b＝0.③a·a＝|a|2，|a|=④cos θ＝∙a b|a||b|.(θ为a与b的夹角)⑤|a ·b |≤|a ||b |. （4）数量积的运算律 ①交换律：a ·b ＝b ·a .②分配律：(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c .③对λ∈R ，λ(a ·b )＝(λa )·b ＝a ·(λb )． （5）数量积的坐标运算设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则： ①a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2. ②a ⊥b ⇔a 1b 1＋a 2b 2＝0. ③|a |＝a 21＋a 22. ④cos θ＝∙a b |a ||b |.(θ为a 与b 的夹角)3.名师二级结论：(1)向量 b 在a 的方向上的投影为|b |cos θ=||a ba ∙. （2）若向量a ∥b ，且b =11(,)x y ，则可设a=11(,)x y λλ. 4.考点交汇展示：1.【2018年理数天津卷】如图，在平面四边形ABCD 中，，，，. 若点E 为边CD 上的动点，则的最小值为A.B. C.D.【答案】A结合二次函数的性质可知，当时，取得最小值.本题选择A选项.2.【2018年理新课标I卷】设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则=（）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】D【解析】根据题意，过点（–2，0）且斜率为的直线方程为，与抛物线方程联立，消元整理得：，解得，又，所以，从而可以求得，故选D.3.【【衡水金卷】2018届四省名校第三次大联考】如图，在中，已知，为上一点，且满足，若的面积为，，则的最小值为（ ）A. B. C. D.【答案】D 【解析】4.【2016高考浙江】已知向量a 、b , ｜a ｜ =1，｜b ｜ =2，若对任意单位向量e ，均有 ｜a ·e ｜+｜b ·e ｜≤则a ·b 的最大值是 ．【答案】12【解析】221|(a b)||a ||b |6|a b |6|a ||b |2a b 6a b 2e e e +⋅≤⋅+⋅≤⇒+≤⇒++⋅≤⇒⋅≤，即最大值为12.5.【2018届江苏省盐城市东台中学监测】已知向量满足，且与的夹角的正切值为，与的夹角的正切值为，，则的值为____．【答案】. 【解析】令，则，所以，所以，由正弦定理可得，所以.故答案为：6.【2016高考浙江】已知平面向量a，b，|a|=1，|b|=2，a·b=1．若e为平面单位向量，则|a·e|+|b·e|的最大值是______．【考点分类】考向一平面向量数量积及其几何意义1.【2019届四川省成都市第七中学零诊】如图，在平面四边形中，，，，.若点为边上的动点，则的最小值为__________．【答案】【解析】2.【2017天津，理13】在ABC △中，60A =︒∠，3AB =，2AC =.若2BD DC =，()AE AC AB λλ∈=-R ，且4AD AE ⋅=-，则λ的值为___________.【答案】311【方法规律】1.平面向量数量积的计算方法①已知向量a，b的模及夹角θ，利用公式a·b＝|a||b|cosθ求解；②已知向量a，b的坐标，利用数量积的坐标形式求解；③用平面向量数量积的几何意义计算.2.对于向量数量积与线性运算的综合运算问题，可先利用数量积的运算律化简，再进行运算．【解题技巧】1.在解决与平面几何有关的数量积问题时，充分利用向量的线性运算，将所求向量用共同的基底表示出来，再利用平面向量的数量积数量积运算法则求解.2.计算向量b在向量a方向上的投影有两种思路：思路1，用|b|cosθ计算;思路2，利用∙a b|a|计算.3.在计算向量数量积时，若一个向量在另一个向量上的投影已知或易计算，可以利用向量数量积的几何意义计算.【易错点睛】1.向量的数量积不满足消去率和结合律.2.一个向量在另一个向量方向上的投影是一个数值，不是向量也不是线段长度，是一个实数，可以为正，也可以为负，还可以为0.3.若a·b=0,则a=0或b=0或a⊥b,与实数乘积不同.例已知平面向量a,b,c，下列说法中：①若a·b=a·c,则a=c；②a(b·c)=(a·b)c;③若a·b=0,则a=0或b=0; ④a·b≤|a|·|b|，正确的序号为 .【错解】①②③④【错因分析】没有掌握平面向量数量积的运算法则和平面向量数量积的性质，套用实数的运算法则和性质. 【预防措施】熟练掌握平面向量数量积的运算法则和平面数量积的性质.【正解】因平面向量的数量积不满足消去率和结合律，故①②，因若a·b=0,则a=0或b=0或a⊥b，故③错，根据平面向量的数量积的性质知④正确，故正确的说法序号为④考向二 平面向量垂直、平面向量夹角1.【2018年文北京卷】设向量a =（1,0），b =（−1,m ）,若，则m =_________.【答案】2.【2017课标1，文13】已知向量a =（–1，2），b =（m ，1）．若向量a +b 与a 垂直，则m =________． 【答案】7 【解析】3.【2017山东，理12】已知12,e e 12-e 与12λ+e e 的夹角为60，则实数λ的值是 .【答案】3【方法规律】 1.对平面向量夹角问题(1)当a ，b 是非坐标形式时，需要先求出∙a b 及|a |、|b |或它们的关系. (2)若已知向量a ，b 的坐标，直接利用公式求解.2. 利用向量垂直的充要条件将向量垂直问题转化为向量数量积来解决. 【解题技巧】1.非零向量垂直a ,b 的充要条件：a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔|a ＋b |＝|a －b |⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.2．a ⊥b ⇔a ·b ＝0，体现了“形”与“数”的转化，可解决几何问题中的线线垂直问题． 【易错点睛】1.用向量夹角处理夹角问题时，要注意所求角与向量夹角的关系.2.若两个向量夹角为锐角，则cos θ＞0，反之，不一定；若两个向量夹角为钝角，则cos θ小于0，反之，不一定3. 两向量的夹角是指当两向量的起点相同时，表示两向量的有向线段所形成的角，若起点不同，应通过移动，使其起点相同，再观察夹角．4.a ⊥b ⇔a·b ＝0是对非零向量而言的，若a ＝0时，a ·b ＝0，但不能说a ⊥b . 例 已知向量(1,2),(,1)a b x →→==，且向量a 与b 夹角为锐角，求x 的范围； 【错解】因为向量a 与b 夹角为锐角，所以a b ∙=x +2＞0，解得x ＞-2. 【错因分析】从0a b →→⋅>出发解出x 的值，忽视剔除,a b →→同向的情况．【预防措施】解题时，每步都要求是等价转化，在转化时，要认真分析各种情况，要做到不重不漏. 【正解】因为向量a 与b 夹角为锐角，所以a b ∙=x +2＞0，解得x ＞-2. 当x =12时，a 与b 同向，故x 的范围为11(2,)(,)22-⋃+∞. 考向三 平面向量模1.【2018年浙江卷】已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为，向量b 满足b 2−4e ·b +3=0，则|a −b |的最小值是A.−1 B.+1 C. 2 D. 2−【答案】A2.【2017课标1，理13】已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则| a +2 b |= .【答案】【解析】试题分析：222|2|||44||4421cos60412a b a a b b +=+⋅+=+⨯⨯⨯+=所以|2|12a b +==秒杀解析：利用如下图形，可以判断出2a b +的模长是以2为边长的菱形对角线的长度，则为【方法规律】对平面向量的模问题，若向量a 是非坐标形式，用==∙22|a |a a a 求模长；若给出向量a 的坐标，则用|a 来求解. 【解题技巧】1.计算向量模时，要先将所计算模的向量用基底表示出来，再利用模公式==∙22|a |a a a 转化为平面向量的数量积，利用平面向量的运算法则计算.2．对平面上两点间的距离、线段的长度问题，可转化其对应向量的模问题来解决. 【易错点睛】在计算向量模问题时，要正确应用模公式，避免出现如下错误：a ·b ＝|a ||b |和|a ·b |＝|a ||b |. 例 已知|a |=1，|b |=2，向量a 与b 夹角为120o,求|3a b +|.【错解】|3a b +229||6||a a b b =+∙+=【错因分析】错用a ·b ＝|a ||b |,平面向量的数量积的概念与性质掌握不牢.【预防措施】熟练掌握平面向量的数量积的定义、运算法则和性质，会用公式==∙22|a |a a a 和平面向量的数量积的知识计算向量的模, 避免出现如下错误：a ·b ＝|a ||b |和|a ·b |＝|a ||b |.【正解】|3a b +229||6||a a b b =+∙+=【热点预测】1.已知向量1(2BA =uu v ，1)2BC =uu u v ，则ABC ∠=（ ）(A)30︒ (B)45︒ (C)60︒ (D)120︒ 【答案】A2．【2018届湖北省宜昌市葛洲坝中学高三9月月考】已知单位向量满足，则与的夹角是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】，即如图=即是第二象限的角平分线，所以由图可见 与的夹角是，故选D.3．【2018届陕西省咸阳市5月信息专递】已知两个向量和的夹角为，，则向量在方向上的正射影的数量为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】∵两个向量和的夹角为，，∴，∴向量在向量方向上的正射影为=故选：D4．【2018届河南省洛阳市期中】向量,a b 均为非零向量， ()()2,2a b a b a b -⊥-⊥，则,a b 的夹角为（ ） A.3π B. 2π C. 23π D. 56π 【答案】A5．【2018届黑龙江省仿真模拟（五）】已知向量，，则当时，的取值范围是__________． 【答案】.【解析】，因此，故．因为，故，所以填．6．【2018届浙江省嘉兴市第一中学高三9月测试】若，且，，则的取值范围是（ ）A.B.C. D.【答案】D【解析】如图所示：，，，∵，∴点C在劣弧AB上运动，表示C、D两点间的距离.的最大值是，最小值为.故选：D.7．【2018年江苏卷】在平面直角坐标系中，A为直线上在第一象限内的点，，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若，则点A的横坐标为________．【答案】3【解析】8．【2018届河南省郑州外国语学校调研】已知向量，向量在方向上的投影为，且，则__________．【答案】5【解析】由已知得，，，由得：，即，.故答案为：5.9．【2018届黑龙江省仿真模拟(三)】已知单位向量，的夹角为，则向量与的夹角为__________．【答案】【解析】10．【2018届湖北省宜昌市一中考前训练2】在中，，点是所在平面内一点，则当取得最小值时，__________．【答案】24.【解析】分析：由，可得，可得，以为坐标原点建立坐标系，设，由展开后配方整理，可得当时取得最小值，求得，再由数量积的坐标运算求解.详解：11．【2018届河北省唐山一中强化提升（一）】已知向量的夹角为，，则______. 【答案】【解析】的夹角为，，则故答案为12．【2018届上海市大同中学三模】如图直角梯形中，，，，.点是直角梯形区域内任意一点，.点所在区域的面积是__________．【答案】【解析】如图所示，△ABE中，,，，分别为边的中点，则梯形即为满足题意的图形，以为直径的圆及其内部的点满足，则图中的阴影部分为满足题意的点所在区域.其中△BFG为边长为1的等边三角形，其面积，扇形是半径为1，圆心角为120°的扇形，其面积为，综上可得：点所在区域的面积是.13.【2018届辽宁省葫芦岛市二模】如图，已知为中点，以为直径在同侧作半圆，分别为两半圆上的动点，（不含端点)，且，则的最大值为__________．【答案】【解析】以为坐标原点，所在直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，可得以为直径的半圆方程为以为直径的半圆方程为（，设可得14.【2018届江苏省盐城市东台中学监测】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且．（1）求角的大小；（2）若△ABC的外接圆的半径为，若，求的值【答案】(1) .(2) .【解析】（1）由，得，即．所以，即，所以．因为，所以．。
2019高考数学复习：平面向量的数量积及其应用
第3节 平面向量的数量积及其应用最新考纲 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义；2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系；3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题；6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.知 识 梳 理1.平面向量数量积的有关概念(1)向量的夹角：已知两个非零向量a 和b ，记OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a 与b 的夹角.(2)数量积的定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则a 与b 的数量积(或内积)a ·b ＝|a ||b |cos_θ.规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0·a ＝0. (3)数量积的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos_θ的乘积.2.平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为向量a ，b 的夹角. (1)数量积：a ·b ＝|a ||b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2.(2)模：|a |＝a ·a ＝x 21＋y 21.(3)夹角：cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22. (4)两非零向量a ⊥b 的充要条件：a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. (5)|a ·b |≤|a ||b |(当且仅当a ∥b 时等号成立)⇔|x 1x 2＋y 1y 2|≤ x 21＋y 21·x 22＋y 22.3.平面向量数量积的运算律 (1)a ·b ＝b ·a (交换律).(2)λa ·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )(结合律).(3)(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c (分配律). [常用结论与微点提醒]1.两个向量a ，b 的夹角为锐角⇔a ·b >0且a ，b 不共线；两个向量a ，b 的夹角为钝角⇔a ·b <0且a ，b 不共线.2.平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2. (2)(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2. (3)(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2.3.数量积运算律要准确理解、应用，例如，a ·b ＝a ·c (a ≠0)不能得出b ＝c ，两边不能约去同一个向量.诊 断 自 测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)两个向量的夹角的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.( )(2)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量.( )(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.( )(4)若a ·b ＝a ·c (a ≠0)，则b ＝c .( ) 解析 (1)两个向量夹角的范围是[0，π].(4)由a ·b ＝a ·c (a ≠0)得|a ||b |·cos 〈a ，b 〉＝|a ||c |·cos 〈a ，c 〉，所以向量b 和c 不一定相等.答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)×2.(2018·云南11校跨区调研)平面向量a 与b 的夹角为45°，a ＝(1，1)，|b |＝2，则|3a ＋b |等于( ) A.13＋6 2 B.2 5 C.30D.34解析 依题意得a 2＝2，a ·b ＝2×2×cos 45°＝2，|3a ＋b |＝（3a ＋b ）2＝9a 2＋6a ·b ＋b 2＝18＋12＋4＝34，选D. 答案 D3.(2017·全国Ⅰ卷)已知向量a ＝(－1，2)，b ＝(m ，1).若向量a ＋b 与a 垂直，则m ＝________.解析 由题意得a ＋b ＝(m －1，3)，因为a ＋b 与a 垂直，所以(a ＋b )·a ＝0，所以－(m －1)＋2×3＝0，解得m ＝7. 答案 74.(必修4P104例1改编)已知|a |＝5，|b |＝4，a 与b 的夹角θ＝120°，则向量b 在向量a 方向上的投影为________.解析 由数量积的定义知，b 在a 方向上的投影为 |b |cos θ＝4×cos 120°＝－2. 答案 －25.(2017·山东卷)已知e 1，e 2是互相垂直的单位向量，若3e 1－e 2与e 1＋λe 2的夹角为60°，则实数λ的值是________. 解析 cos 60°＝（3e 1－e 2）·（e 1＋λe 2）|3e 1－e 2||e 1＋λe 2|＝3－λ3＋11＋λ2 ＝12，解之得λ＝33.答案 33考点一 平面向量的数量积及在平面几何中的应用【例1】 (1)(2018·河南天一联考测试)如图，在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝5，∠BAC ＝60°，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，连接CD ，BE 交于点F ，连接AF ，取CF 的中点G ，连接BG ，则AF →·BG →＝________.(2)(2018·莆田三月检测)在直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，AD ∥BC ，BC ＝2AD ，△ABD 的面积为1，若DE →＝12EC →，BE ⊥CD ，则DA →·DC →＝________. 解析 (1)依题意，F 是△ABC 的重心， AF →＝23×12(AB →＋AC →)＝13(AB →＋AC →)， BG →＝12(BF →＋BC →)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫13BA →＋43BC →＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫43AC →－53AB →＝23AC →－56AB →， 故AF →·BG →＝13(AB →＋AC →)·⎝ ⎛⎭⎪⎫23AC →－56AB →＝9536.(2)如图，以B 为坐标原点，BC ，BA 所在直线为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，设|AD |＝a (a >0)，则|BC |＝2a ，又S △ABD ＝1， ∴|AB |＝2a ，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2a ，B (0，0)，C (2a ，0)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，2a .设E (x ，y )，则DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a ，y －2a ，EC →＝(2a －x ，－y )，∵DE →＝12EC →，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a ，y －2a ＝12(2a －x ，－y )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －x 2，－y 2，则⎩⎪⎨⎪⎧x －a ＝a －x 2，y －2a ＝－y 2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝43a ，y ＝43a ，∴E ⎝ ⎛⎭⎪⎫43a ，43a ，∴BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43a ，43a ，CD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ，2a ，∵BE ⊥CD ，∴BE →·CD →＝0，∴43a ·(－a )＋43a ·2a＝0，解得a 2＝2，∴DA →·DC →＝(－a ，0)·⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，－2a ＝－a 2＝－ 2. 答案 (1)9536 (2)－ 2规律方法 1.求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义.2.解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，可先利用向量的加减运算或数量积的运算律化简再运算.但一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补.【训练1】 (1)(2018·武汉三调)在平行四边形ABCD 中，点M ，N 分别在边BC ，CD 上，且满足BC ＝3MC ，DC ＝4NC ，若AB ＝4，AD ＝3，则AN →·MN →＝( ) A.－7B.0C.7D.7(2)(2017·天津卷)在△ABC 中，∠A ＝60°，AB ＝3，AC ＝2，若BD →＝2DC →，AE →＝λAC →－AB →(λ∈R )，且AD →·AE →＝－4，则λ的值为________.解析 (1)以AB →，AD →为基底，AN →＝AD →＋34AB →，MN →＝CN →－CM →＝14CD →－13CB →＝－14AB→＋13AD →，AN →·MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋34AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫－14AB →＋13AD →＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →2－916AB →2＝13(9－9)＝0. (2)AB →·AC →＝3×2×cos 60°＝3，AD →＝13AB →＋23AC →，则AD →·AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13AB →＋23AC →·(λAC →－AB →)＝λ3×3＋2λ3×4－13×9－23×3＝－4⇒λ＝311.答案 (1)B (2)311考点二 平面向量的夹角与垂直【例2】 (1)(2017·全国Ⅲ卷)已知向量a ＝(－2，3)，b ＝(3，m )，且a ⊥b ，则m ＝________.(2)(2018·洛阳一模)已知平面向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，a 与b 的夹角为2π3，且(a ＋λb )⊥(2a －b )，则实数λ的值为( ) A.－7B.－3C.2D.3(3)若向量a ＝(k ，3)，b ＝(1，4)，c ＝(2，1)，已知2a －3b 与c 的夹角为钝角，则k 的取值范围是________.解析 (1)由题意，得－2×3＋3m ＝0，∴m ＝2.(2)依题意得a ·b ＝2×1×cos 2π3＝－1，(a ＋λb )·(2a －b )＝0，即2a 2－λb 2＋(2λ－1)a ·b ＝0，则－3λ＋9＝0，λ＝3.(3)∵2a －3b 与c 的夹角为钝角，∴(2a －3b )·c <0， 即(2k －3，－6)·(2，1)<0，解得k ＜3.又若(2a －3b )∥c ，则2k －3＝－12，即k ＝－92. 当k ＝－92时，2a －3b ＝(－12，－6)＝－6c ， 即2a －3b 与c 反向.综上，k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－92∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，3.答案 (1)2 (2)D (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－92∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，3规律方法 1.根据平面向量数量积的性质：若a ，b 为非零向量，cos θ＝a ·b|a ||b |(夹角公式)，a ⊥b ⇔a ·b ＝0等，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题.2.数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角. 【训练2】 (1)(2018·广东省际名校联考)已知向量a ，b 满足|a |＝2|b |＝2，且(a ＋3b )⊥(a －b )，则a ，b 夹角的余弦值为________.(2)(2016·全国Ⅰ卷)设向量a ＝(m ，1)，b ＝(1，2)，且|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，则m ＝________.解析 (1)∵|a |＝2|b |＝2，且(a ＋3b )⊥(a －b )， ∴(a ＋3b )·(a －b )＝0，即a 2＋2a ·b －3b 2＝0， 故有a ·b ＝－12，则cos 〈a ，b 〉＝－14.(2)由|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，得a ⊥b ，所以m ×1＋1×2＝0，得m ＝－2. 答案 (1)－14 (2)－2考点三 平面向量的模及其应用【例3】 (1)(2017·全国Ⅰ卷)已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________.(2)(2016·四川卷改编)已知正△ABC 的边长为23，平面ABC 内的动点P ，M 满足|AP →|＝1，PM →＝MC →，则|BM →|2的最大值是________.解析 (1)|a ＋2b |2＝(a ＋2b )2＝|a |2＋2|a |·|2b |·cos 60°＋(2|b |)2＝22＋2×2×2×12＋22＝4＋4＋4＝12，∴|a ＋2b |＝12＝2 3. (2)建立平面直角坐标系如图所示，则B (－3，0)，C (3，0)，A (0，3)，则点P 的轨迹方程为x 2＋(y －3)2＝1.设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，则x ＝2x 0－3，y ＝2y 0，代入圆的方程得⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 0－322＝14，所以点M 的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝14，它表示以⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32为圆心，以12为半径的圆，所以|BM →|max ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋32＋⎝⎛⎭⎪⎫32－02＋12＝72，所以|BM →|2max ＝494. 答案 (1)23 (2)494规律方法 1.求向量的模的方法：(1)公式法，利用|a |＝a ·a 及(a ±b )2＝|a |2±2a ·b ＋|b |2，把向量的模的运算转化为数量积运算；(2)几何法，利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解.2.求向量模的最值(范围)的方法：(1)代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；(2)几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解.【训练3】 (1)(2018·湖北七市联合调考)平面向量a ，b ，c 不共线，且两两所成的角相等，若|a |＝|b |＝2，|c |＝1，则|a ＋b ＋c |＝________.(2)已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|PA →＋3PB →|的最小值为________.解析 (1)由|a ＋b ＋c |2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b ＋2a ·c ＋2b ·c ＝9＋2×2×2cos 120°＋2×2×1×cos 120°＋2×2×1×cos 120°＝9－4－2－2＝1，则|a ＋b ＋c |＝1. (2)以D 为原点，分别以DA ，DC 所在直线为x 轴，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC ＝a ，DP ＝x (0≤x ≤a )，∴D (0，0)，A (2，0)，C (0，a )，B (1，a )，P (0，x ).PA →＝(2，－x )，PB →＝(1，a －x )，∴PA →＋3PB →＝(5，3a －4x )，|PA →＋3PB →|2＝25＋(3a －4x )2≥25，当x ＝3a 4时取等号.∴|PA →＋3PB →|的最小值为5. 答案 (1)1 (2)5基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.(2017·全国Ⅱ卷)设非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则( )A.a ⊥bB.|a |＝|b |C.a ∥bD.|a |>|b |解析 由|a ＋b |＝|a －b |平方得a 2＋2a·b ＋b 2＝a 2－2a·b ＋b 2，即a·b ＝0，则a ⊥b . 答案 A2.(2018·合肥质检)设向量a ，b 满足|a ＋b |＝4，a ·b ＝1，则|a －b |＝( ) A.2B.2 3C.3D.2 5解析 由|a ＋b |＝4，a ·b ＝1可得，a 2＋b 2＝16－2＝14，∴|a －b |2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝14－2×1＝12，∴|a －b |＝2 3. 答案 B3.(2018·华中师大高考联盟质检)已知向量a ＝(2，1)，b ＝(1，m )，c ＝(2，4)，且(2a －5b )⊥c ，则实数m ＝( ) A.－310B.－110C.110D.310解析 因为2a －5b ＝2(2，1)－5(1，m )＝(－1，2－5m )，又(2a －5b )⊥c ，所以(2a －5b )·c ＝0，则(－1，2－5m )·(2，4)＝－2＋4(2－5m )＝0，解得m ＝310. 答案 D4.(2018·西安八校联考)已知点A (－1，1)，B (1，2)，C (－2，－1)，D (3，4)，则向量CD →在AB →方向上的投影是( ) A.322B.－322C.3 5D.－3 5解析 依题意得，AB →＝(2，1)，CD →＝(5，5)，AB →·CD →＝(2，1)·(5，5)＝15，|AB →|＝5，因此向量CD →在AB →方向上的投影是AB →·CD →|AB →|＝155＝3 5.答案 C5.(2018·大连测试)若向量a ，b 的夹角为π3，且|a |＝2，|b |＝1，则a 与a ＋2b 的夹角为( ) A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析 ∵向量a ，b 的夹角为π3，且|a |＝2，|b |＝1，∴a ·b ＝2×1×cos π3＝1，|a ＋2b |＝|a |2＋4a ·b ＋4|b |2 ＝22＋4×1＋4×12＝23，∴cos 〈a ，a ＋2b 〉＝a ·（a ＋2b ）|a ||a ＋2b |＝a 2＋2a ·b |a ||a ＋2b |＝22＋2×12×23＝32，∵〈a ，a ＋2b 〉∈[0，π]，∴〈a ，a ＋2b 〉＝π6. 答案 A 二、填空题6.(2018·河南百校联盟联考)已知向量a ＝(2，1)，b ＝(3，－1)，则|a ＋b |（2a ＋b ）·（a －b ）＝________.解析 ∵a ＝(2，1)，b ＝(3，－1)，∴a ＋b ＝(5，0)，2a ＋b ＝(7，1)，a －b ＝(－1，2)，∴|a ＋b |＝5，(2a ＋b )·(a －b )＝－5，∴|a ＋b |（2a ＋b ）·（a －b ）＝－1.答案 －17.已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(5－m ，－3－m )，若∠ABC 为锐角，则实数m 的取值范围是________. 解析 由已知得AB →＝OB →－OA →＝(3，1)， AC →＝OC →－OA →＝(2－m ，1－m ).若AB →∥AC →，则有3(1－m )＝2－m ，解得m ＝12. 由题设知，BA →＝(－3，－1)，BC →＝(－1－m ，－m ). ∵∠ABC 为锐角，∴BA →·BC →＝3＋3m ＋m >0，可得m >－34.由题意知，当m ＝12时，AB →∥AC →，且AB →与AC →同向. 故当∠ABC 为锐角时，实数m 的取值范围是 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞8.(2017·北京卷)已知点P 在圆x 2＋y 2＝1上，点A 的坐标为(－2，0)，O 为原点，则AO →·AP →的最大值为________.解析 设P (cos α，sin α)，∴AP →＝(cos α＋2，sin α)，∴AO →·AP →＝(2，0)·(cos α＋2，sin α)＝2cos α＋4≤6，当且仅当cos α＝1时取等号. 答案 6 三、解答题9.(2017·德州一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(cos(A －B )，sin(A －B ))，n ＝(cos B ，－sin B )，且m ·n ＝－35. (1)求sin A 的值；(2)若a ＝42，b ＝5，求角B 的大小及向量BA →在BC →方向上的投影. 解 (1)由m ·n ＝－35，得cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝－35，所以cos A ＝－35.因为0<A <π， 所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝45. (2)由正弦定理，得a sin A ＝bsin B ， 则sin B ＝b sin A a ＝5×4542＝22，因为a >b ，所以A >B ，且B 是△ABC 一内角，则B ＝π4. 由余弦定理得(42)2＝52＋c 2－2×5c ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35， 解得c ＝1，c ＝－7舍去，故向量BA →在BC →方向上的投影为|BA →|cos B ＝c cos B ＝1×22＝22.10.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2a －c )BA →·BC →＝cCB →·CA →.(1)求角B 的大小；(2)若|BA →－BC →|＝6，求△ABC 面积的最大值.解 (1)由题意得(2a －c )cos B ＝b cos C .根据正弦定理得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ， 所以2sin A cos B ＝sin(C ＋B )， 即2sin A cos B ＝sin A ，因为A ∈(0，π)，所以sin A >0，所以cos B ＝22，又B ∈(0，π)，所以B ＝π4.(2)因为|BA →－BC →|＝6，所以|CA →|＝6，即b ＝6，根据余弦定理及基本不等式得6＝a 2＋c 2－2ac ≥2ac －2ac ＝(2－2)ac (当且仅当a ＝c 时取等号)，即ac ≤3(2＋2)，故△ABC 的面积S ＝12ac sin B ≤3（2＋1）2， 即△ABC 的面积的最大值为32＋32.能力提升题组(建议用时：20分钟)11.(2018·江西新高考联盟质检)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，c 2，n ＝(cos C ，cos A )，且m ·n ＝b cos B ，则B 的值是( ) A.π6 B.π3 C.π2 D.2π3解析 ∵m ·n ＝a 2cos C ＋c 2cos A ，且m ·n ＝b cos B . ∴a 2cos C ＋c 2cos A ＝b cos B ，即a cos C ＋c cos A ＝2b cos B .由正弦定理，得sin A cos C ＋sin C cos A ＝2sin B cos B ，则sin(A ＋C )＝2sin B cos B ，即sin B ＝2sin B cos B .∵0<B <π，sin B ≠0，∴cos B ＝12，∴B ＝π3.答案 B12.(2017·浙江卷)已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，则|a ＋b |＋|a －b |的最小值是________，最大值是________.解析 由题意，不妨设b ＝(2，0)，a ＝(cos θ，sin θ)，则a ＋b ＝(2＋cos θ，sin θ)，a －b ＝(cos θ－2，sin θ).令y ＝|a ＋b |＋|a －b | ＝（2＋cos θ）2＋sin 2θ＋（cos θ－2）2＋sin 2θ ＝5＋4cos θ＋5－4cos θ，则y 2＝10＋225－16cos 2θ∈[16，20].由此可得(|a ＋b |＋|a －b |)max ＝20＝25，(|a ＋b |＋|a －b |)min ＝16＝4，即|a ＋b |＋|a －b |的最小值是4，最大值是2 5.答案 4 2 513.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量a ＝(－1，2)，又点A (8，0)，B (n ，t )，C (k sin θ，t )(0≤θ≤π2).(1)若AB →⊥a ，且|AB →|＝5|OA →|，求向量OB →；(2)若向量AC →与向量a 共线，当k >4，且t sin θ取最大值4时，求OA →·OC →.解 (1)由题设知AB →＝(n －8，t )，∵AB →⊥a ，∴8－n ＋2t ＝0. 又∵5|OA →|＝|AB →|，∴5×64＝(n －8)2＋t 2＝5t 2，得t ＝±8.当t ＝8时，n ＝24；当t ＝－8时，n ＝－8，∴OB →＝(24，8)或OB →＝(－8，－8).(2)由题设知AC →＝(k sin θ－8，t )，∵AC →与a 共线，∴t ＝－2k sin θ＋16， t sin θ＝(－2k sin θ＋16)sin θ＝－2k (sin θ－4k )2＋32k .∵k >4，∴0<4k <1，∴当sin θ＝4k 时，t sin θ取得最大值32k .由32k ＝4，得k ＝8，此时θ＝π6，OC →＝(4，8)，∴OA →·OC →＝(8，0)·(4，8)＝32.。
【助力高考】2019年高考数学专题复习第29讲《平面向量的数量积》(含详细答案和教师用书)
♦♦♦学生用书（后跟详细参考答案和教师用书）♦♦♦把握命题趋势，提高复习效率，提升解题能力，打造高考高分！【助力高考】2019年高考备战数学专题复习精品资料第五章 平面向量第29讲 平面向量的数量积★★★核心知识回顾★★★知识点一、向量的夹角已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则 就是向量a 与b 的夹角，向量夹角的范围是 ． 知识点二、平面向量的数量积设a ，b 都是非零向量，e 是单位向量，θ为a 与b (或e )的夹角．则 (1)e ·a ＝a ·e ＝ . (2)a ⊥b ⇔ .(3)当a 与b 同向时，a ·b ＝ ； 当a 与b 反向时，a ·b ＝ . 特别地，a ·a ＝ 或|a |＝ . (4)cos θ＝ . (5)|a ·b |≤ .知识点四、平面向量数量积满足的运算律 (1)a·b ＝ ；(2)(λa )·b ＝ ＝ (λ为实数)； (3)(a ＋b )·c ＝ .知识点五、平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝ ，由此得到 (1)若a ＝(x ，y )，则|a |2＝ 或|a |＝ .(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点间的距离|AB |＝|AB →|＝ . (3)设两个非零向量a ，b ，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔ . (4)若a ，b 都是非零向量，θ是a 与b 的夹角，则cos θ＝a ·b|a ||b |＝ .★★★高考典例剖析★★★考点一、平面向量数量积的运算例1：设四边形ABCD 为平行四边形，|AB →|＝6，|AD →|＝4，若点M ，N 满足BM →＝3MC →，DN →＝2NC →，则AM →·NM →等于( )A ．20 B. 15 C ．9 D ．6 答案： C解： AM →＝AB →＋34AD →，NM →＝CM →－CN →＝－14AD →＋13AB →，∴AM →·NM →＝14(4AB →＋3AD →)·112(4AB →－3AD →)＝148(16AB →2－9AD →2)＝148(16×62－9×42)＝9， 故选C.1．已知向量a ，b 满足a ·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则|a －b |＝( )A.0B.1C.2D. 52．如图，已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →·BC →的值为( )A ．－58B.18 C.14D.118考点二、平面向量数量积的应用 命题点①求向量的模例2：(2017·湘中名校联考)平面向量a 与b 的夹角为45°，a ＝(1,1)，|b |＝2，则|3a ＋b |等于( ) A ．13＋6 2 B ．2 5 C.30D.34 解： 依题意得|a |＝2，a·b ＝2×2×cos 45°＝2， ∴|3a ＋b |＝(3a ＋b )2＝9a 2＋6a·b ＋b 2 ＝18＋12＋4＝34， 故选D.命题点②求向量的夹角例3：(2017·山西四校联考)已知向量a ，b 满足(2a －b )·(a ＋b )＝6，且|a |＝2，|b |＝1，则a 与b 的夹角为______．解： ∵(2a －b )·(a ＋b )＝6，∴2a 2＋a·b －b 2＝6， 又|a |＝2，|b |＝1，∴a·b ＝－1， ∴cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b |＝－12，又〈a ，b 〉∈[0，π]，∴a 与b 的夹角为2π3.3．平面向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m 等于( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．24．(2017·衡水调研)已知在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|P A →＋3PB →|的最小值为________．5．(2017·全国Ⅰ)已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________. 6．(2017·山东)已知e 1，e 2是互相垂直的单位向量，若3e 1－e 2与e 1＋λe 2的夹角为60°，则实数λ的值是________． 考点三、平面向量与三角函数例4： (2017·广州海珠区摸底)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(cos(A －B )，sin(A －B ))，n ＝(cos B ，－sin B )，且m·n ＝－35.(1)求sin A 的值；(2)若a ＝42，b ＝5，求角B 的大小及向量BA →在BC →方向上的投影． 解： (1)由m·n ＝－35，得cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝－35，所以cos A ＝－35.因为0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝⎛⎭⎫－352＝45.(2)由正弦定理，得a sin A ＝bsin B ，则sin B ＝b sin A a ＝5×4542＝22，因为a >b ，所以A >B ，则B ＝π4，由余弦定理得(42)2＝52＋c 2－2×5c ×⎝⎛⎭⎫－35， 解得c ＝1.故向量BA →在BC →方向上的投影为 |BA →|cos B ＝c cos B ＝1×22＝22.7．在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2. (1)若m ⊥n ，求tan x 的值； (2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值．★★★知能达标演练★★★一、选择题1．(2017·全国Ⅱ)设非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则( )A ．a ⊥bB ．|a |＝|b |C ．a ∥bD ．|a |>|b |2．(2017·河北唐山一模)已知向量a ，b 满足a·(a －b )＝2，且|a |＝1，|b |＝2，则a 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π2 C.5π6D.2π33．(2017·豫南九校联考)已知向量a ＝(m,2)，b ＝(2，－1)，且a ⊥b ，则|2a －b |a·(a ＋b )等于( )A ．－53B ．1C ．2D.544.(2015·陕西卷)对任意平面向量a ，b ，下列关系式中不恒成立的是( ) A.|a ·b |≤|a ||b |B.|a －b |≤||a |－|b ||C.(a ＋b )2＝|a ＋b |2D.(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 25.已知a ＝(1，－2)，b ＝(x ，2)，且a ∥b ，则|b |＝( ) A.2 5B. 5C.10D.56.(2015·广东卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，AB →＝(1，－2)，AD →＝(2，1)，则AD →·AC →等于( ) A.5B.4C.3D.27.(2015·重庆卷)已知非零向量a ，b 满足|b |＝4|a |，且a ⊥(2a ＋b )，则a 与b 的夹角为( ) A.π3B.π2C.2π3D.5π68．(2018·乐山质检)在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝10，则AB →·AC →等于( ) A ．－32B ．－23C.23D.329．(2017·沈阳质检)在△ABC 中，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为BC 的三等分点，则AE →·AF →等于( ) A.89B.109C.259D.26910．(2017·驻马店质检)若O 为△ABC 所在平面内任一点，且满足(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，则△ABC 的形状为( ) A ．正三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形11．(2018·湖北黄冈二模)已知平面向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝1，a ⊥(a －2b )，(c －2a )·(c －b )＝0，则|c |的最大值与最小值的和为( ) A ．0 B. 3 C. 2 D.7二、填空题12．(2017·全国Ⅰ)已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(m,1)．若向量a ＋b 与a 垂直，则m ＝________. 13．(2018·银川质检)已知向量a ，b 的夹角为3π4，|a |＝2，|b |＝2，则a·(a －2b )＝________.14．(2017·河南百校联盟联考)已知非零向量a ，b 满足：2a·(2a －b )＝b·(b －2a )，|a －2b |＝3|a |，则a 与b 的夹角为________．15．(2017·巢湖质检)已知a ＝(λ，2λ)，b ＝(3λ，2)，如果a 与b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是______________．16．(2018·长沙质检)已知△DEF 的外接圆的圆心为O ，半径R ＝4，如果OD →＋DE →＋DF →＝0，且|OD →|＝|DF →|，则向量EF →在FD →方向上的投影为________．17．(2017·广东七校联考)在等腰直角△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝2，M ，N 为AC 边上的两个动点(M ，N 不与A ，C 重合)，且满足|MN →|＝2，则BM →·BN →的取值范围为________． 18．(2017·河北衡水模拟)已知在△ABC 所在平面内有两点P ，Q ，满足P A →＋PC →＝0，QA →＋QB →＋QC →＝BC →，若|AB →|＝4，|AC →|＝2，S △APQ ＝23，则AB →·AC →的值为______．三、解答题19.已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61， (1)求a 与b 的夹角θ； (2)求|a ＋b |；(3)若AB→＝a ，BC →＝b ，求△ABC 的面积. 20.(2017·德州一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(cos(A －B )，sin(A －B ))，n ＝(cos B ，－sin B )，且m ·n ＝－35.(1)求sin A 的值；(2)若a ＝42，b ＝5，求角B 的大小及向量BA→在BC →方向上的投影.21．(2018·贵阳质检)已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61. (1)求a 与b 的夹角θ； (2)求|a ＋b |；(3)若AB →＝a ，BC →＝b ，求△ABC 的面积．22．(2017·江苏)已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，x ∈[0，π]． (1)若a ∥b ，求x 的值；(2)记f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值．♦♦♦详细参考答案♦♦♦把握命题趋势，提高复习效率，提升解题能力，打造高考高分！【助力高考】2019年高考备战数学专题复习精品资料第五章 平面向量第29讲 平面向量的数量积★★★核心知识回顾★★★知识点一、向量的夹角已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则 ∠AOB 就是向量a 与b 的夹角，向量夹角的范围是 [0，π] ． 知识点二、平面向量的数量积设a ，b 都是非零向量，e 是单位向量，θ为a 与b (或e )的夹角．则 (1)e ·a ＝a ·e ＝ |a |cos θ . (2)a ⊥b ⇔ a ·b ＝0 .(3)当a 与b 同向时，a ·b ＝ |a ||b | ； 当a 与b 反向时，a ·b ＝ －|a ||b | .特别地，a ·a ＝ |a |2 或|a |(4)cos θ＝a ·b|a ||b |.(5)|a ·b |≤ |a ||b | .知识点四、平面向量数量积满足的运算律 (1)a·b ＝ b·a ；(2)(λa )·b ＝ λ(a·b ) ＝ a ·(λb ) (λ为实数)； (3)(a ＋b )·c ＝ a·c ＋b·c .知识点五、平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝ x 1x 2＋y 1y 2 ，由此得到(1)若a ＝(x ，y )，则|a |2＝ x 2＋y 2 或|a |(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点间的距离|AB |＝|AB →|(3)设两个非零向量a ，b ，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔ x 1x 2＋y 1y 2＝0 . (4)若a ，b 都是非零向量，θ是a 与b 的夹角，则cos θ＝a ·b|a ||b |. ★★★高考典例剖析★★★考点一、平面向量数量积的运算 ♦♦♦跟踪训练♦♦♦ 1．答案： D解： |a －b |＝（a －b ）2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝1＋4＝ 5.2．答案： B 解： 由条件可知 BC →＝AC →－AB →，AF →＝AD →＋DF →＝12AB →＋32DE →＝12AB →＋34AC →， 所以BC →·AF →＝(AC →－AB →)·⎝⎛⎭⎫12AB →＋34AC → ＝34AC →2－14AB →·AC →－12AB →2. 因为△ABC 是边长为1的等边三角形， 所以|AC →|＝|AB →|＝1，∠BAC ＝60°， 所以BC →·AF →＝34－18－12＝18.考点二、平面向量数量积的应用 ♦♦♦跟踪训练♦♦♦ 3．答案： D解： 因为a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，所以c ＝m a ＋b ＝(m,2m )＋(4,2)＝(m ＋4,2m ＋2)．根据题意可得c ·a |c ||a |＝c ·b|c ||b |，所以5m ＋85＝8m ＋2020，解得m ＝2.4．答案： 5解： 建立平面直角坐标系如图所示，则A (2,0)，设P (0，y )，C (0，b )，则B (1，b )，则P A →＋3PB →＝(2，－y )＋3(1，b －y )＝(5,3b －4y )． 所以|P A →＋3PB →|＝25＋(3b －4y )2(0≤y ≤b )． 当y ＝34b 时，|P A →＋3PB →|min ＝5.5．答案： 2 3 解： 方法一 |a ＋2b |＝(a ＋2b )2 ＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝22＋4×2×1×cos 60°＋4×12 ＝12＝2 3. 方法二 (数形结合法)由|a |＝|2b |＝2知，以a 与2b 为邻边可作出边长为2的菱形OACB ，如图，则|a ＋2b |＝|OC →|.又∠AOB ＝60°，所以|a ＋2b |＝2 3. 6．答案：33解： 由题意知|e 1|＝|e 2|＝1，e 1·e 2＝0，|3e 1－e 2|＝(3e 1－e 2)2＝3e 21－23e 1·e 2＋e 22＝3－0＋1＝2. 同理|e 1＋λe 2|＝1＋λ2.所以cos 60°＝(3e 1－e 2)·(e 1＋λe 2)|3e 1－e 2||e 1＋λe 2|＝3e 21＋(3λ－1)e 1·e 2－λe 2221＋λ2＝3－λ21＋λ2＝12，解得λ＝33. 考点三、平面向量与三角函数 ♦♦♦跟踪训练♦♦♦ 7．解： (1)因为m ＝⎝⎛⎭⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，m ⊥n . 所以m ·n ＝0，即22sin x －22cos x ＝0， 所以sin x ＝cos x ，所以tan x ＝1. (2)因为|m |＝|n |＝1，所以m ·n ＝cos π3＝12，即22sin x －22cos x ＝12，所以sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝12，因为0<x <π2，所以－π4<x －π4<π4，所以x －π4＝π6，即x ＝5π12.★★★知能达标演练★★★一、选择题 1．答案： A解： 方法一 ∵|a ＋b |＝|a －b |， ∴|a ＋b |2＝|a －b |2.∴a 2＋b 2＋2a·b ＝a 2＋b 2－2a·b . ∴a·b ＝0.∴a ⊥b . 故选A.方法二 利用向量加法的平行四边形法则． 在▱ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ， 由|a ＋b |＝|a －b |知，|AC →|＝|DB →|，从而四边形ABCD 为矩形，即AB ⊥AD ，故a ⊥b . 故选A. 2．答案： D解： 由a·(a －b )＝2，得a 2－a·b ＝2， 即|a |2－|a||b |cos 〈a ，b 〉＝1－2cos 〈a ，b 〉＝2. 所以cos 〈a ，b 〉＝－12，所以〈a ，b 〉＝2π3，故选D.3．答案： B解： ∵a ⊥b ，∴2m －2＝0，∴m ＝1，则2a －b ＝(0,5)， a ＋b ＝(3,1)，∴a ·(a ＋b )＝1×3＋2×1＝5， |2a －b |＝5，∴|2a －b |a·(a ＋b )＝55＝1，故选B.4.答案： B解： 对于A ，由|a ·b |＝||a ||b |cosa ，b|≤|a ||b |恒成立；对于B ，当a ，b 均为非零向量且方向相反时不成立；对于C 、D 容易判断恒成立.故选B. 5.答案： B解： ∵a ∥b ，∴1x ＝－22，解得x ＝－1，∴b ＝(－1，2)，∴|b |＝（－1）2＋22＝ 5.故选B.6.答案： A解： ∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AC →＝AB →＋AD →＝(1，－2)＋(2，1)＝(3，－1).∴AD →·AC →＝2×3＋(－1)×1＝5，选A.7.答案： C解： 因为a ⊥(2a ＋b )，所以a ·(2a ＋b )＝0，得到a ·b ＝－2|a |2，设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝－2|a |24|a |2＝－12，又0≤θ≤π，所以θ＝2π3，故选C.8．答案： D解： 在△ABC 中，cos ∠BAC ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC＝9＋4－102×3×2＝14， ∴AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos ∠BAC ＝3×2×14＝32.9．答案： B解： 由|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，化简得AB →·AC →＝0，又因为AB 和AC 为三角形的两条边，它们的长不可能为0，所以AB 与AC 垂直，所以△ABC 为直角三角形．以A 为原点，以AC 所在直线为x 轴，以AB 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A (0,0)，B (0,2)，C (1,0)．不妨令E 为BC 的靠近C 的三等分点，则E ⎝⎛⎭⎫23，23，F ⎝⎛⎭⎫13，43，所以AE →＝⎝⎛⎭⎫23，23，AF →＝⎝⎛⎭⎫13，43， 所以AE →·AF →＝23×13＋23×43＝109.10．答案： C解： 因为(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0， 即CB →·(AB →＋AC →)＝0，因为AB →－AC →＝CB →， 所以(AB →－AC →)·(AB →＋AC →)＝0，即|AB →|＝|AC →|， 所以△ABC 是等腰三角形，故选C. 11．答案： D解： ∵a ⊥(a －2b )，∴a·(a －2b )＝0，即a 2＝2a·b ，又|a |＝|b |＝1， ∴a·b ＝12，a 与b 的夹角为60°.设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，以O 为坐标原点，OB →的方向为x 轴正方向建立如图所示的平面直角坐标系，则a ＝⎝⎛⎭⎫12，32，b ＝(1,0)．设c ＝(x ，y )，则c －2a ＝(x －1，y －3)， c －b ＝(x －1，y )． 又∵(c －2a )·(c －b )＝0， ∴(x －1)2＋y (y －3)＝0. 即(x －1)2＋⎝⎛⎭⎫y －322＝34， ∴点C 的轨迹是以点M ⎝⎛⎭⎫1，32为圆心，32为半径的圆．又|c |＝x 2＋y 2表示圆M 上的点与原点O (0,0)之间的距离，所以|c |max ＝|OM |＋32，|c |min ＝|OM |－32， ∴|c |max ＋|c |min ＝2|OM |＝2×12＋⎝⎛⎭⎫322＝7， 故选D. 二、填空题 12．答案： 7解： ∵a ＝(－1,2)，b ＝(m,1)， ∴a ＋b ＝(－1＋m,2＋1)＝(m －1,3)． 又a ＋b 与a 垂直，∴(a ＋b )·a ＝0， 即(m －1)×(－1)＋3×2＝0， 解得m ＝7. 13．答案： 6解： a·(a －2b )＝a 2－2a·b ＝2－2×2×2×⎝⎛⎭⎫－22＝6. 14．答案： 90°解： 由2a ·(2a －b )＝b·(b －2a )，得4a 2＝b 2， 由|a －2b |＝3|a |，得a 2－22a·b ＋2b 2＝9a 2， 则a·b ＝0，即a ⊥b ，∴a 与b 的夹角为90°.15．答案： ⎝⎛⎭⎫－∞，－43∪⎝⎛⎭⎫0，13∪⎝⎛⎭⎫13，＋∞ 解： a 与b 的夹角为锐角，则a·b >0且a 与b 不共线，则⎩⎪⎨⎪⎧3λ2＋4λ>0，2λ－6λ2≠0，解得λ<－43或0<λ<13或λ>13，所以λ的取值范围是⎝⎛⎫－∞，－43∪⎝⎛⎫0，13∪⎝⎛⎭⎫13，＋∞.16．答案： －6解： 由OD →＋DE →＋DF →＝0，得DO →＝DE →＋DF →. ∴DO 经过EF 的中点，∴DO ⊥EF . 连接OF ，∵|OF →|＝|OD →|＝|DF →|＝4， ∴△DOF 为等边三角形，∴∠ODF ＝60°， ∴∠DFE ＝30°，且EF ＝4×sin 60°×2＝4 3.∴向量EF →在FD →方向上的投影为|EF →|·cos 〈EF →，FD →〉＝43cos 150°＝－6. 17．答案： ⎣⎡⎭⎫32，2 解：不妨设点M 靠近点A ，点N 靠近点C ，以等腰直角三角形ABC 的直角边所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，如图所示， 则B (0,0)，A (0,2)，C (2,0)，线段AC 的方程为x ＋y －2＝0(0≤x ≤2)． 设M (a,2－a )，N (a ＋1,1－a )(由题意可知0<a <1)， ∴BM →＝(a,2－a )，BN →＝(a ＋1,1－a )， ∴BM →·BN →＝a (a ＋1)＋(2－a )(1－a ) ＝2a 2－2a ＋2＝2⎝⎛⎭⎫a －122＋32， ∵0<a <1，∴由二次函数的知识可得BM →·BN →∈⎣⎡⎭⎫32，2. 18．答案： ±4 3解： 由P A →＋PC →＝0知，P 是AC 的中点，由QA →＋QB →＋QC →＝BC →，可得QA →＋QB →＝BC →－QC →，即QA →＋QB →＝BQ →，即QA →＝2BQ →， ∴Q 是AB 边靠近B 的三等分点， ∴S △APQ ＝23×12×S △ABC ＝13S △ABC ，∴S △ABC ＝3S △APQ ＝3×23＝2.∵S △ABC ＝12|AB →||AC →|sin A ＝12×4×2×sin A ＝2，∴sin A ＝12，∴cos A ＝±32，∴AB →·AC →＝|AB →||AC →|·cos A ＝±4 3. 三、解答题19.解： (1)∵(2a －3b )·(2a ＋b )＝61， ∴4|a |2－4a ·b －3|b |2＝61.又|a |＝4，|b |＝3，∴64－4a ·b －27＝61， ∴a ·b ＝－6.∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－64×3＝－12.又0≤θ≤π，∴θ＝2π3.(2)|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2 ＝42＋2×(－6)＋32＝13，∴|a ＋b |＝13.(3)∵AB →与BC →的夹角θ＝2π3，∴∠ABC ＝π－2π3＝π3. 又|AB→|＝|a|＝4，|BC →|＝|b |＝3， ∴S △ABC ＝12|AB →||BC →|sin ∠ABC ＝12×4×3×32＝3 3. 20.解： (1)由m ·n ＝－35，得cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝－35， 所以cos A ＝－35.因为0<A <π， 所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝45.(2)由正弦定理，得a sin A ＝bsin B ，则sin B ＝b sin A a ＝5×4542＝22， 因为a >b ，所以A >B ，且B 是△ABC 一内角，则B ＝π4. 由余弦定理得(42)2＝52＋c 2－2×5c ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，解得c ＝1，c ＝－7舍去，故向量BA→在BC →方向上的投影为|BA →|cos B ＝c cos B ＝1×22＝22.21．解： (1)因为(2a －3b )·(2a ＋b )＝61， 所以4|a |2－4a·b －3|b |2＝61.又|a |＝4，|b |＝3，所以64－4a·b －27＝61， 所以a·b ＝－6，所以cos θ＝a·b|a||b |＝－64×3＝－12.又0≤θ≤π，所以θ＝2π3.(2)|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝|a |2＋2a·b ＋|b |2 ＝42＋2×(－6)＋32＝13， 所以|a ＋b |＝13.(3)因为AB →与BC →的夹角θ＝2π3，所以∠ABC ＝π－2π3＝π3.又|AB →|＝|a |＝4，|BC →|＝|b |＝3， 所以S △ABC ＝12|AB →||BC →|·sin ∠ABC＝12×4×3×32＝3 3. 22．解： (1)因为a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，a ∥b ， 所以－3cos x ＝3sin x .若cos x ＝0，则sin x ＝0，与sin 2x ＋cos 2x ＝1矛盾， 故cos x ≠0.于是tan x ＝－33. 又x ∈[0，π]，所以x ＝5π6.(2)f (x )＝a·b ＝(cos x ，sin x )·(3，－3) ＝3cos x －3sin x ＝23cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6. 因为x ∈[0，π]，所以x ＋π6∈⎣⎡⎤π6，7π6， 从而－1≤cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6≤32， 于是，当x ＋π6＝π6，即x ＝0时，f (x )取得最大值3；当x ＋π6＝π，即x ＝5π6时，f (x )取得最小值－2 3.♦♦♦教师用书♦♦♦把握命题趋势，提高复习效率，提升解题能力，打造高考高分！【助力高考】2019年高考备战数学专题复习精品资料第五章 平面向量第29讲 平面向量的数量积★★★核心知识回顾★★★知识点一、向量的夹角已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则 ∠AOB 就是向量a 与b 的夹角，向量夹角的范围是 [0，π] ． 知识点二、平面向量的数量积设a ，b 都是非零向量，e 是单位向量，θ为a 与b (或e )的夹角．则 (1)e ·a ＝a ·e ＝ |a |cos θ . (2)a ⊥b ⇔ a ·b ＝0 .(3)当a 与b 同向时，a ·b ＝ |a ||b | ； 当a 与b 反向时，a ·b ＝ －|a ||b | .特别地，a ·a ＝ |a |2 或|a |(4)cos θ＝a ·b|a ||b |.(5)|a ·b |≤ |a ||b | .知识点四、平面向量数量积满足的运算律 (1)a·b ＝ b·a ；(2)(λa )·b ＝ λ(a·b ) ＝ a ·(λb ) (λ为实数)； (3)(a ＋b )·c ＝ a·c ＋b·c .知识点五、平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝ x 1x 2＋y 1y 2 ，由此得到(1)若a ＝(x ，y )，则|a |2＝ x 2＋y 2 或|a |(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点间的距离|AB |＝|AB →|(3)设两个非零向量a ，b ，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔ x 1x 2＋y 1y 2＝0 . (4)若a ，b 都是非零向量，θ是a 与b 的夹角，则cos θ＝a ·b|a ||b |.★★★高考典例剖析★★★考点一、平面向量数量积的运算例1：设四边形ABCD 为平行四边形，|AB →|＝6，|AD →|＝4，若点M ，N 满足BM →＝3MC →，DN →＝2NC →，则AM →·NM →等于( )A ．20 B. 15 C ．9 D ．6 答案： C解： AM →＝AB →＋34AD →，NM →＝CM →－CN →＝－14AD →＋13AB →，∴AM →·NM →＝14(4AB →＋3AD →)·112(4AB →－3AD →)＝148(16AB →2－9AD →2)＝148(16×62－9×42)＝9， 故选C.♦♦♦跟踪训练♦♦♦1．已知向量a ，b 满足a ·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则|a －b |＝( )A.0B.1C.2D. 5答案： D解： |a －b |＝（a －b ）2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝1＋4＝ 5.2．如图，已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →·BC →的值为( )A ．－58B.18 C.14 D.118答案： B 解： 由条件可知 BC →＝AC →－AB →，AF →＝AD →＋DF →＝12AB →＋32DE →＝12AB →＋34AC →， 所以BC →·AF →＝(AC →－AB →)·⎝⎛⎭⎫12AB →＋34AC → ＝34AC →2－14AB →·AC →－12AB →2. 因为△ABC 是边长为1的等边三角形， 所以|AC →|＝|AB →|＝1，∠BAC ＝60°， 所以BC →·AF →＝34－18－12＝18.考点二、平面向量数量积的应用 命题点①求向量的模例2：(2017·湘中名校联考)平面向量a 与b 的夹角为45°，a ＝(1,1)，|b |＝2，则|3a ＋b |等于( ) A ．13＋6 2 B ．2 5 C.30D.34 解： 依题意得|a |＝2，a·b ＝2×2×cos 45°＝2，∴|3a ＋b |＝(3a ＋b )2＝9a 2＋6a·b ＋b 2 ＝18＋12＋4＝34， 故选D.命题点②求向量的夹角例3：(2017·山西四校联考)已知向量a ，b 满足(2a －b )·(a ＋b )＝6，且|a |＝2，|b |＝1，则a 与b 的夹角为______．解： ∵(2a －b )·(a ＋b )＝6，∴2a 2＋a·b －b 2＝6， 又|a |＝2，|b |＝1，∴a·b ＝－1， ∴cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b |＝－12，又〈a ，b 〉∈[0，π]，∴a 与b 的夹角为2π3.3．平面向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m 等于( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2 答案： D解： 因为a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，所以c ＝m a ＋b ＝(m,2m )＋(4,2)＝(m ＋4,2m ＋2)．根据题意可得c ·a |c ||a |＝c ·b|c ||b |，所以5m ＋85＝8m ＋2020，解得m ＝2.4．(2017·衡水调研)已知在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|P A →＋3PB →|的最小值为________． 答案： 5解： 建立平面直角坐标系如图所示，则A (2,0)，设P (0，y )，C (0，b )，则B (1，b )，则P A →＋3PB →＝(2，－y )＋3(1，b －y )＝(5,3b －4y )． 所以|P A →＋3PB →|＝25＋(3b －4y )2(0≤y ≤b )． 当y ＝34b 时，|P A →＋3PB →|min ＝5.5．(2017·全国Ⅰ)已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________. 答案： 2 3 解： 方法一 |a ＋2b |＝(a ＋2b )2 ＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝22＋4×2×1×cos 60°＋4×12 ＝12＝2 3. 方法二 (数形结合法)由|a |＝|2b |＝2知，以a 与2b 为邻边可作出边长为2的菱形OACB ，如图，则|a ＋2b |＝|OC →|.又∠AOB ＝60°，所以|a ＋2b |＝2 3.6．(2017·山东)已知e 1，e 2是互相垂直的单位向量，若3e 1－e 2与e 1＋λe 2的夹角为60°，则实数λ的值是________． 答案：33解： 由题意知|e 1|＝|e 2|＝1，e 1·e 2＝0，|3e 1－e 2|＝(3e 1－e 2)2＝3e 21－23e 1·e 2＋e 22＝3－0＋1＝2. 同理|e 1＋λe 2|＝1＋λ2.所以cos 60°＝(3e 1－e 2)·(e 1＋λe 2)|3e 1－e 2||e 1＋λe 2|＝3e 21＋(3λ－1)e 1·e 2－λe 2221＋λ2＝3－λ21＋λ2＝12，解得λ＝33. 考点三、平面向量与三角函数例4： (2017·广州海珠区摸底)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(cos(A －B )，sin(A －B ))，n ＝(cos B ，－sin B )，且m·n ＝－35.(1)求sin A 的值；(2)若a ＝42，b ＝5，求角B 的大小及向量BA →在BC →方向上的投影． 解： (1)由m·n ＝－35，得cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝－35，所以cos A ＝－35.因为0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝⎛⎭⎫－352＝45. (2)由正弦定理，得a sin A ＝bsin B ，则sin B ＝b sin A a ＝5×4542＝22，因为a >b ，所以A >B ，则B ＝π4，由余弦定理得(42)2＝52＋c 2－2×5c ×⎝⎛⎭⎫－35， 解得c ＝1.故向量BA →在BC →方向上的投影为 |BA →|cos B ＝c cos B ＝1×22＝22.7．在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2. (1)若m ⊥n ，求tan x 的值； (2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值．解： (1)因为m ＝⎝⎛⎭⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，m ⊥n . 所以m ·n ＝0，即22sin x －22cos x ＝0， 所以sin x ＝cos x ，所以tan x ＝1. (2)因为|m |＝|n |＝1，所以m ·n ＝cos π3＝12，即22sin x －22cos x ＝12，所以sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝12， 因为0<x <π2，所以－π4<x －π4<π4，所以x －π4＝π6，即x ＝5π12.★★★知能达标演练★★★一、选择题1．(2017·全国Ⅱ)设非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则( ) A ．a ⊥b B ．|a |＝|b | C ．a ∥b D ．|a |>|b |答案： A解： 方法一 ∵|a ＋b |＝|a －b |， ∴|a ＋b |2＝|a －b |2.∴a 2＋b 2＋2a·b ＝a 2＋b 2－2a·b . ∴a·b ＝0.∴a ⊥b . 故选A.方法二 利用向量加法的平行四边形法则． 在▱ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ， 由|a ＋b |＝|a －b |知，|AC →|＝|DB →|，从而四边形ABCD 为矩形，即AB ⊥AD ，故a ⊥b .故选A.2．(2017·河北唐山一模)已知向量a ，b 满足a·(a －b )＝2，且|a |＝1，|b |＝2，则a 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π2 C.5π6 D.2π3答案： D解： 由a·(a －b )＝2，得a 2－a·b ＝2， 即|a |2－|a||b |cos 〈a ，b 〉＝1－2cos 〈a ，b 〉＝2. 所以cos 〈a ，b 〉＝－12，所以〈a ，b 〉＝2π3，故选D.3．(2017·豫南九校联考)已知向量a ＝(m,2)，b ＝(2，－1)，且a ⊥b ，则|2a －b |a·(a ＋b )等于( )A ．－53B ．1C ．2 D.54 答案： B解： ∵a ⊥b ，∴2m －2＝0，∴m ＝1，则2a －b ＝(0,5)， a ＋b ＝(3,1)，∴a ·(a ＋b )＝1×3＋2×1＝5， |2a －b |＝5，∴|2a －b |a·(a ＋b )＝55＝1，故选B.4.(2015·陕西卷)对任意平面向量a ，b ，下列关系式中不恒成立的是( ) A.|a ·b |≤|a ||b |B.|a －b |≤||a |－|b ||C.(a ＋b )2＝|a ＋b |2D.(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2 答案： B解： 对于A ，由|a ·b |＝||a ||b |cosa ，b|≤|a ||b |恒成立；对于B ，当a ，b 均为非零向量且方向相反时不成立；对于C 、D 容易判断恒成立.故选B. 5.已知a ＝(1，－2)，b ＝(x ，2)，且a ∥b ，则|b |＝( ) A.2 5 B. 5C.10D.5答案： B解： ∵a ∥b ，∴1x ＝－22，解得x ＝－1，∴b ＝(－1，2)，∴|b |＝（－1）2＋22＝ 5.故选B.6.(2015·广东卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，AB →＝(1，－2)，AD →＝(2，1)，则AD →·AC →等于( ) A.5 B.4 C.3 D.2答案： A解： ∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AC →＝AB →＋AD →＝(1，－2)＋(2，1)＝(3，－1).∴AD→·AC →＝2×3＋(－1)×1＝5，选A.7.(2015·重庆卷)已知非零向量a ，b 满足|b |＝4|a |，且a ⊥(2a ＋b )，则a 与b 的夹角为( ) A.π3 B.π2 C.2π3 D.5π6答案： C解： 因为a ⊥(2a ＋b )，所以a ·(2a ＋b )＝0，得到a ·b ＝－2|a |2，设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝－2|a |24|a |2＝－12，又0≤θ≤π，所以θ＝2π3，故选C.8．(2018·乐山质检)在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝10，则AB →·AC →等于( ) A ．－32B ．－23C.23D.32答案： D解： 在△ABC 中，cos ∠BAC ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC＝9＋4－102×3×2＝14， ∴AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos ∠BAC ＝3×2×14＝32.9．(2017·沈阳质检)在△ABC 中，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为BC 的三等分点，则AE →·AF →等于( ) A.89 B.109 C.259 D.269 答案： B解： 由|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，化简得AB →·AC →＝0，又因为AB 和AC 为三角形的两条边，它们的长不可能为0，所以AB 与AC 垂直，所以△ABC 为直角三角形．以A 为原点，以AC 所在直线为x 轴，以AB 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A (0,0)，B (0,2)，C (1,0)．不妨令E 为BC 的靠近C 的三等分点，则E ⎝⎛⎭⎫23，23，F ⎝⎛⎭⎫13，43，所以AE →＝⎝⎛⎭⎫23，23，AF →＝⎝⎛⎭⎫13，43， 所以AE →·AF →＝23×13＋23×43＝109.10．(2017·驻马店质检)若O 为△ABC 所在平面内任一点，且满足(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，则△ABC 的形状为( ) A ．正三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形答案： C解： 因为(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0， 即CB →·(AB →＋AC →)＝0，因为AB →－AC →＝CB →， 所以(AB →－AC →)·(AB →＋AC →)＝0，即|AB →|＝|AC →|， 所以△ABC 是等腰三角形，故选C.11．(2018·湖北黄冈二模)已知平面向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝1，a ⊥(a －2b )，(c －2a )·(c －b )＝0，则|c |的最大值与最小值的和为( ) A ．0 B. 3 C. 2 D.7答案： D解： ∵a ⊥(a －2b )，∴a·(a －2b )＝0， 即a 2＝2a·b ，又|a |＝|b |＝1， ∴a·b ＝12，a 与b 的夹角为60°.设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，以O 为坐标原点，OB →的方向为x 轴正方向建立如图所示的平面直角坐标系，则a ＝⎝⎛⎭⎫12，32，b ＝(1,0)．设c ＝(x ，y )，则c －2a ＝(x －1，y －3)， c －b ＝(x －1，y )．又∵(c －2a )·(c －b )＝0， ∴(x －1)2＋y (y －3)＝0. 即(x －1)2＋⎝⎛⎭⎫y －322＝34， ∴点C 的轨迹是以点M ⎝⎛⎭⎫1，32为圆心，32为半径的圆．又|c |＝x 2＋y 2表示圆M 上的点与原点O (0,0)之间的距离，所以|c |max ＝|OM |＋32，|c |min ＝|OM |－32， ∴|c |max ＋|c |min ＝2|OM |＝2×12＋⎝⎛⎭⎫322＝7， 故选D. 二、填空题12．(2017·全国Ⅰ)已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(m,1)．若向量a ＋b 与a 垂直，则m ＝________. 答案： 7解： ∵a ＝(－1,2)，b ＝(m,1)， ∴a ＋b ＝(－1＋m,2＋1)＝(m －1,3)． 又a ＋b 与a 垂直，∴(a ＋b )·a ＝0， 即(m －1)×(－1)＋3×2＝0， 解得m ＝7.13．(2018·银川质检)已知向量a ，b 的夹角为3π4，|a |＝2，|b |＝2，则a·(a －2b )＝________.答案： 6解： a·(a －2b )＝a 2－2a·b ＝2－2×2×2×⎝⎛⎭⎫－22＝6. 14．(2017·河南百校联盟联考)已知非零向量a ，b 满足：2a·(2a －b )＝b·(b －2a )，|a －2b |＝3|a |，则a 与b 的夹角为________． 答案： 90°解： 由2a ·(2a －b )＝b·(b －2a )，得4a 2＝b 2， 由|a －2b |＝3|a |，得a 2－22a·b ＋2b 2＝9a 2， 则a·b ＝0，即a ⊥b ，∴a 与b 的夹角为90°.15．(2017·巢湖质检)已知a ＝(λ，2λ)，b ＝(3λ，2)，如果a 与b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是______________．答案： ⎝⎛⎭⎫－∞，－43∪⎝⎛⎭⎫0，13∪⎝⎛⎭⎫13，＋∞解： a 与b 的夹角为锐角，则a·b >0且a 与b 不共线，则⎩⎪⎨⎪⎧3λ2＋4λ>0，2λ－6λ2≠0，解得λ<－43或0<λ<13或λ>13，所以λ的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，－43∪⎝⎛⎭⎫0，13∪⎝⎛⎭⎫13，＋∞.16．(2018·长沙质检)已知△DEF 的外接圆的圆心为O ，半径R ＝4，如果OD →＋DE →＋DF →＝0，且|OD →|＝|DF →|，则向量EF →在FD →方向上的投影为________． 答案： －6解： 由OD →＋DE →＋DF →＝0，得DO →＝DE →＋DF →. ∴DO 经过EF 的中点，∴DO ⊥EF . 连接OF ，∵|OF →|＝|OD →|＝|DF →|＝4， ∴△DOF 为等边三角形，∴∠ODF ＝60°， ∴∠DFE ＝30°，且EF ＝4×sin 60°×2＝4 3.∴向量EF →在FD →方向上的投影为|EF →|·cos 〈EF →，FD →〉＝43cos 150°＝－6.17．(2017·广东七校联考)在等腰直角△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝2，M ，N 为AC 边上的两个动点(M ，N 不与A ，C 重合)，且满足|MN →|＝2，则BM →·BN →的取值范围为________． 答案： ⎣⎡⎭⎫32，2 解：不妨设点M 靠近点A ，点N 靠近点C ，以等腰直角三角形ABC 的直角边所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，如图所示， 则B (0,0)，A (0,2)，C (2,0)，线段AC 的方程为x ＋y －2＝0(0≤x ≤2)． 设M (a,2－a )，N (a ＋1,1－a )(由题意可知0<a <1)， ∴BM →＝(a,2－a )，BN →＝(a ＋1,1－a )， ∴BM →·BN →＝a (a ＋1)＋(2－a )(1－a ) ＝2a 2－2a ＋2＝2⎝⎛⎭⎫a －122＋32，∵0<a <1，∴由二次函数的知识可得BM →·BN →∈⎣⎡⎭⎫32，2.18．(2017·河北衡水模拟)已知在△ABC 所在平面内有两点P ，Q ，满足P A →＋PC →＝0，QA →＋QB→＋QC →＝BC →，若|AB →|＝4，|AC →|＝2，S △APQ ＝23，则AB →·AC →的值为______． 答案： ±4 3解： 由P A →＋PC →＝0知，P 是AC 的中点，由QA →＋QB →＋QC →＝BC →，可得QA →＋QB →＝BC →－QC →，即QA →＋QB →＝BQ →，即QA →＝2BQ →，∴Q 是AB 边靠近B 的三等分点，∴S △APQ ＝23×12×S △ABC ＝13S △ABC ， ∴S △ABC ＝3S △APQ ＝3×23＝2. ∵S △ABC ＝12|AB →||AC →|sin A ＝12×4×2×sin A ＝2， ∴sin A ＝12，∴cos A ＝±32， ∴AB →·AC →＝|AB →||AC →|·cos A ＝±4 3.三、解答题19.已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61，(1)求a 与b 的夹角θ；(2)求|a ＋b |；(3)若AB→＝a ，BC →＝b ，求△ABC 的面积. 解： (1)∵(2a －3b )·(2a ＋b )＝61，∴4|a |2－4a ·b －3|b |2＝61.又|a |＝4，|b |＝3，∴64－4a ·b －27＝61，∴a ·b ＝－6.∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－64×3＝－12. 又0≤θ≤π，∴θ＝2π3.(2)|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝42＋2×(－6)＋32＝13，∴|a ＋b |＝13.(3)∵AB →与BC →的夹角θ＝2π3，∴∠ABC ＝π－2π3＝π3.又|AB→|＝|a|＝4，|BC →|＝|b |＝3， ∴S △ABC ＝12|AB →||BC →|sin ∠ABC ＝12×4×3×32＝3 3.20.(2017·德州一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m＝(cos(A －B )，sin(A －B ))，n ＝(cos B ，－sin B )，且m ·n ＝－35.(1)求sin A 的值；(2)若a ＝42，b ＝5，求角B 的大小及向量BA→在BC →方向上的投影. 解： (1)由m ·n ＝－35，得cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝－35，所以cos A ＝－35.因为0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝45. (2)由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ，则sin B ＝b sin A a ＝5×4542＝22， 因为a >b ，所以A >B ，且B 是△ABC 一内角，则B ＝π4.由余弦定理得(42)2＝52＋c 2－2×5c ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35， 解得c ＝1，c ＝－7舍去，故向量BA →在BC →方向上的投影为|BA →|cos B ＝c cos B ＝1×22＝22. 21．(2018·贵阳质检)已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61.(1)求a 与b 的夹角θ；(2)求|a ＋b |；(3)若AB →＝a ，BC →＝b ，求△ABC 的面积．解： (1)因为(2a －3b )·(2a ＋b )＝61，所以4|a |2－4a·b －3|b |2＝61.又|a |＝4，|b |＝3，所以64－4a·b －27＝61，所以a·b ＝－6，所以cos θ＝a·b |a||b |＝－64×3＝－12. 又0≤θ≤π，所以θ＝2π3. (2)|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝|a |2＋2a·b ＋|b |2＝42＋2×(－6)＋32＝13，所以|a ＋b |＝13.(3)因为AB →与BC →的夹角θ＝2π3， 所以∠ABC ＝π－2π3＝π3. 又|AB →|＝|a |＝4，|BC →|＝|b |＝3，所以S △ABC ＝12|AB →||BC →|·sin ∠ABC ＝12×4×3×32＝3 3. 22．(2017·江苏)已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，x ∈[0，π]．(1)若a ∥b ，求x 的值；(2)记f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值． 解： (1)因为a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，a ∥b ，所以－3cos x ＝3sin x .若cos x ＝0，则sin x ＝0，与sin 2x ＋cos 2x ＝1矛盾，故cos x ≠0.于是tan x ＝－33. 又x ∈[0，π]，所以x ＝5π6. (2)f (x )＝a·b ＝(cos x ，sin x )·(3，－3)＝3cos x －3sin x ＝23cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6. 因为x ∈[0，π]，所以x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6， 从而－1≤cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6≤32，于是，当x ＋π6＝π6，即x ＝0时，f (x )取得最大值3； 当x ＋π6＝π，即x ＝5π6时，f (x )取得最小值－2 3.。
平面向量数量积应用题
平面向量数量积应用题问题描述：给定向量 $\vec{a} = (3, -1), \vec{b} = (-2, 4)$，求它们的数量积$\vec{a} \cdot \vec{b}$。
解题分析：根据向量数量积的公式，$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cos{\theta}$，其中 $|\vec{a}|$ 和 $|\vec{b}|$ 分别是向量$\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 的模，$\theta$ 是它们之间的夹角。
因为 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 在二维平面内，所以它们的模分别为：$$\begin{aligned}|\vec{a}| &= \sqrt{3^2 + (-1)^2} = \sqrt{10}, \\|\vec{b}| &= \sqrt{(-2)^2 + 4^2} = 2\sqrt{5}。
\end{aligned}$$根据向量的点积公式，$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \times (-2) + (-1) \times 4 = -10$，因此 $|\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cos{\theta} = -10$。
两边同时除以 $|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|$，得到：$$\cos{\theta} = -\frac{1}{\sqrt{2}}。
$$所以 $\theta = \frac{3\pi}{4}$（夹角的范围是 $[0, \pi]$）。
因此：$$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cos{\theta} = -\sqrt{10} \cdot 2\sqrt{5} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = -10\sqrt{2}。
$$答案是 $-10\sqrt{2}$。
(完整版)平面向量的数量积练习题
平面向量的数量积•选择题1.已知 a (2,3),b ( 1, 1),则a?b 等于( ) A.1 B.-1 C.5 D.-52.向量 a ， b 满足 …b 4,且 a b 2 ,则a 与b 的夹角为（ ）A. — B C . — D •6 4 3 23.已知 a,b 均为单位向量，它们的夹角为 600，那么 ；3b ( )A. . 7 B • 10 C • .13 D • 44 .若平面向量与向量' 的夹角是1舸,且1询=了厉，则3=（5.卜面 4个有关向量的数量积的关系式① 0?0 =0 ② (a ?b ) ?c = a ? ( b ?c ) —*> —» —!■> —» —» -*■ ——*■ —» f —B- —③ a ?b = b ?a ④ | a ?b | w a ?b ⑤ | a ?b | | a |? b | 其中正确的是（）A . ①②B 。
①③C 。
③④D 。
③ ⑤6.已知|a |=8，e 为单位向量，当它们的夹角为 一时，a 在e 方向上的投影为（ ） 3A. 30° B C.--： D.8.已知 a =(2,3) , b =(4 ,7), 则a 在b 上的投影值为（ )A 、 13B 、13 、C 底C 、D 1655 5—*■ —¥■ ―► 一► —*■9.已知 a (1,2),b (3,2),ka b 与a 3b 垂直时k 值为 ( )7.设a 、b 是夹角为；：：：的单位向量，贝U2a )A 、17B 、18C 19D 、20 A . 4,3 B.4 C.4 D.8+b 和3a 2b 的夹角为（C .10.若向量a=(cos ,sin b=(cos ,sin a与b 一定满足a与b的夹角等于+、(a + b)丄(a—b)a II b11.设i , j分别是x轴，y轴正方向上的单位向量，OP3cos i 3sin j ,mur(Q/OQ i。
(完整版)平面向量数量积运算专题(附答案解析)
平面向量数量积运算题型一 平面向量数量积的基本运算例1 (1)(2014·天津)已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BC ＝3BE ，DC ＝λDF .若AE →·AF →＝1，则λ的值为________.(2)已知圆O 的半径为1，PA ，PB 为该圆的两条切线，A ，B 为切点，那么PA →·PB →的最小值为( ) A.－4＋ 2 B.－3＋ 2 C.－4＋2 2D.－3＋2 2变式训练1 (2015·湖北)已知向量OA →⊥AB →，|OA →|＝3，则OA →·OB →＝________.题型二 利用平面向量数量积求两向量夹角例2 (1)(2015·重庆)若非零向量a ，b 满足|a |＝223|b |，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b 的夹角为( )A.π4B.π2C.3π4D.π(2)若平面向量a 与平面向量b 的夹角等于π3，|a |＝2，|b |＝3，则2a －b 与a ＋2b 的夹角的余弦值等于( )A.126B.－126C.112D.－112变式训练2 (2014·课标全国Ⅰ)已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝12(AB →＋AC →)，则AB→与AC →的夹角为________.题型三 利用数量积求向量的模例3 (1)已知平面向量a 和b ，|a |＝1，|b |＝2，且a 与b 的夹角为120°，则|2a ＋b |等于( ) A.2 B.4 C.2 5D.6(2)已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|PA →＋3PB →|的最小值为________.变式训练3 (2015·浙江)已知e 1，e 2是平面单位向量，且e 1·e 2＝12.若平面向量b 满足b ·e 1＝b ·e 2＝1，则|b |＝________.高考题型精练1.(2015·山东)已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60°，则BD →·CD →等于( ) A.－32a 2B.－34a 2C.34a 2D.32a 22.(2014·浙江)记max{x ，y }＝⎩⎨⎧ x ，x ≥y ，y ，x <y ，min{x ，y }＝⎩⎨⎧y ，x ≥y ，x ，x <y ，设a ，b 为平面向量，则( )A.min{|a ＋b |，|a －b |}≤min{|a |，|b |}B.min{|a ＋b |，|a －b |}≥min{|a |，|b |}C.max{|a ＋b |2，|a －b |2}≤|a |2＋|b |2D.max{|a ＋b |2，|a －b |2}≥|a |2＋|b |23.(2015·湖南)已知点A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且AB ⊥BC .若点P 的坐标为(2,0)，则|PA →＋PB →＋PC →|的最大值为( ) A.6 B.7 C.8D.94.如图，在等腰直角△ABO 中，OA ＝OB ＝1，C 为AB 上靠近点A 的四等分点，过C 作AB 的垂线l ，P 为垂线上任一点，设OA →＝a ，OB →＝b ，OP →＝p ，则p ·(b －a )等于( )A.－12B.12C.－32D.325.在平面上，AB 1→⊥AB 2→，|OB 1→|＝|OB 2→|＝1，AP →＝AB 1→＋AB 2→.若|OP →|<12，则|OA →|的取值范围是( ) A.(0，52] B.(52，72] C.(52，2]D.(72，2]6.如图所示，△ABC 中，∠ACB ＝90°且AC ＝BC ＝4，点M 满足BM →＝3MA →，则CM →·CB →等于( )A.2B.3C.4D.67.(2014·安徽)设a ，b 为非零向量，|b |＝2|a |，两组向量x 1，x 2，x 3，x 4和y 1，y 2，y 3，y 4均由2个a 和2个b 排列而成.若x 1·y 1＋x 2·y 2＋x 3·y 3＋x 4·y 4所有可能取值中的最小值为4|a |2，则a 与b 的夹角为( ) A.2π3 B.π3 C.π6D.0 8.(2014·江苏)如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →的值是________.9.设非零向量a ，b 的夹角为θ，记f (a ，b )＝a cos θ－b sin θ.若e 1，e 2均为单位向量，且e 1·e 2＝32，则向量f (e 1，e 2)与f (e 2，－e 1)的夹角为________. 10.如图，在△ABC 中，O 为BC 中点，若AB ＝1，AC ＝3，〈AB →，AC →〉＝60°，则|OA →|＝________.11.已知向量a ＝(sin x ，34)，b ＝(cos x ，－1).当a ∥b 时，求cos 2x －sin 2x 的值；12.在△ABC中，AC＝10，过顶点C作AB的垂线，垂足为D，AD＝5，且满足AD→＝511DB→.(1)求|AB→－AC→|；(2)存在实数t≥1，使得向量x＝AB→＋tAC→，y＝tAB→＋AC→，令k＝x·y，求k的最小值.平面向量数量积运算题型一平面向量数量积的基本运算例1 (1)(2014·天津)已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，DC上，BC＝3BE，DC＝λDF.若AE→·AF→＝1，则λ的值为________.(2)已知圆O的半径为1，PA，PB为该圆的两条切线，A，B为切点，那么PA→·PB→的最小值为( )A.－4＋ 2B.－3＋ 2C.－4＋2 2D.－3＋2 2答案(1)2 (2)D解析(1)如图，AE →·AF →＝(AB →＋BE →)·(AD →＋DF →)＝(AB →＋13BC →)·(AD →＋1λDC →)＝AB →·AD →＋1λAB →·DC →＋13BC →·AD →＋13λBC →·DC →＝2×2×cos 120°＋1λ×2×2＋13×2×2＋13λ×2×2×cos 120°＝－2＋4λ＋43－23λ＝103λ－23，又∵AE →·AF →＝1， ∴103λ－23＝1，∴λ＝2. (2)方法一 设|PA →|＝|PB →|＝x ，∠APB ＝θ，则tan θ2＝1x，从而cos θ＝1－tan2θ21＋tan2θ2＝x 2－1x 2＋1.PA →·PB →＝|PA →|·|PB →|·cos θ ＝x 2·x 2－1x 2＋1＝x 4－x 2x 2＋1＝x 2＋12－3x 2＋1＋2x 2＋1＝x 2＋1＋2x 2＋1－3≥22－3， 当且仅当x 2＋1＝2，即x 2＝2－1时取等号，故PA →·PB →的最小值为22－3. 方法二 设∠APB ＝θ，0<θ<π， 则|PA →|＝|PB →|＝1tan θ2.PA →·PB →＝|PA →||PB →|cos θ＝(1tan θ2)2cos θ＝cos2θ2sin 2θ2·(1－2sin 2θ2)＝1－sin 2θ21－2sin2θ2sin2θ2.令x ＝sin 2θ2，0<x ≤1， 则PA →·PB →＝1－x1－2xx＝2x ＋1x－3≥22－3，当且仅当2x ＝1x ，即x ＝22时取等号.故PA →·PB →的最小值为22－3.方法三 以O 为坐标原点，建立平面直角坐标系xOy ， 则圆O 的方程为x 2＋y 2＝1， 设A (x 1，y 1)，B (x 1，－y 1)，P (x 0,0)，则PA →·PB →＝(x 1－x 0，y 1)·(x 1－x 0，－y 1)＝x 21－2x 1x 0＋x 20－y 21. 由OA ⊥PA ⇒OA →·PA →＝(x 1，y 1)·(x 1－x 0，y 1)＝0⇒x 21－x 1x 0＋y 21＝0， 又x 21＋y 21＝1，所以x 1x 0＝1.从而PA →·PB →＝x 21－2x 1x 0＋x 20－y 21＝x 21－2＋x 20－(1－x 21) ＝2x 21＋x 20－3≥22－3.故PA →·PB →的最小值为22－3.点评 (1)平面向量数量积的运算有两种形式：一是依据长度和夹角，二是利用坐标运算，具体应用哪种形式由已知条件的特征来选择.注意两向量a ，b 的数量积a ·b 与代数中a ，b 的乘积写法不同，不应该漏掉其中的“·”.(2)向量的数量积运算需要注意的问题：a·b ＝0时得不到a ＝0或b ＝0，根据平面向量数量积的性质有|a |2＝a 2，但|a·b |≤|a |·|b |.变式训练1 (2015·湖北)已知向量OA →⊥AB →，|OA →|＝3，则OA →·OB →＝________. 答案 9解析 因为OA →⊥AB →，所以OA →·AB →＝0.所以OA →·OB →＝OA →·(OA →＋AB →)＝OA →2＋OA →·AB →＝|OA →|2＋0＝32＝9.题型二 利用平面向量数量积求两向量夹角例2 (1)(2015·重庆)若非零向量a ，b 满足|a |＝223|b |，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b 的夹角为( ) A.π4 B.π2C.3π4D.π(2)若平面向量a 与平面向量b 的夹角等于π3，|a |＝2，|b |＝3，则2a －b 与a ＋2b 的夹角的余弦值等于( ) A.126 B.－126C.112D.－112答案 (1)A (2)B解析 (1)由(a －b )⊥(3a ＋2b )得(a －b )·(3a ＋2b )＝0，即3a 2－a·b －2b 2＝0.又∵|a |＝223|b |，设〈a ，b 〉＝θ，即3|a |2－|a |·|b |·cos θ－2|b |2＝0， ∴83|b |2－223|b |2·cos θ－2|b |2＝0. ∴cos θ＝22.又∵0≤θ≤π，∴θ＝π4.(2)记向量2a －b 与a ＋2b 的夹角为θ， 又(2a －b )2＝4×22＋32－4×2×3×cos π3＝13，(a ＋2b )2＝22＋4×32＋4×2×3×cos π3＝52，(2a －b )·(a ＋2b )＝2a 2－2b 2＋3a ·b ＝8－18＋9＝－1， 故cos θ＝2a －b ·a ＋2b |2a －b |·|a ＋2b |＝－126，即2a －b 与a ＋2b 的夹角的余弦值是－126.点评 求向量的夹角时要注意：(1)向量的数量积不满足结合律，(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不能共线时两向量的夹角为钝角.变式训练2 (2014·课标全国Ⅰ)已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝12(AB →＋AC →)，则AB→与AC →的夹角为________. 答案 90°解析 ∵AO →＝12(AB →＋AC →)，∴点O 是△ABC 中边BC 的中点，∴BC 为直径，根据圆的几何性质得AB →与AC →的夹角为90°. 题型三 利用数量积求向量的模例3 (1)已知平面向量a 和b ，|a |＝1，|b |＝2，且a 与b 的夹角为120°，则|2a ＋b |等于( ) A.2 B.4 C.2 5D.6(2)已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|PA →＋3PB →|的最小值为________. 答案 (1)A (2)5解析 (1)因为平面向量a 和b ，|a |＝1，|b |＝2，且a 与b 的夹角为120°， 所以|2a ＋b |＝2a2＋b 2＋2×|2a |×|b |cos 120°＝22×12＋22＋2×2×1×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝2.(2)方法一 以D 为原点，分别以DA 、DC 所在直线为x 、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC ＝a ，DP ＝x .∴D (0,0)，A (2,0)，C (0，a )，B (1，a )，P (0，x )，PA →＝(2，－x )，PB →＝(1，a －x )，∴PA →＋3PB →＝(5,3a －4x )， |PA →＋3PB →|2＝25＋(3a －4x )2≥25， ∴|PA →＋3PB →|的最小值为5. 方法二 设DP →＝xDC →(0<x <1)， ∴PC →＝(1－x )DC →，PA →＝DA →－DP →＝DA →－xDC →，PB →＝PC →＋CB →＝(1－x )DC →＋12DA →，∴PA →＋3PB →＝52DA →＋(3－4x )DC →，|PA →＋3PB →|2＝254DA →2＋2×52×(3－4x )DA →·DC →＋(3－4x )2·DC →2＝25＋(3－4x )2DC →2≥25，∴|PA →＋3PB →|的最小值为5.点评 (1)把几何图形放在适当的坐标系中，给有关向量赋以具体的坐标求向量的模，如向量a ＝(x ，y )，求向量a 的模只需利用公式|a |＝x 2＋y 2即可求解.(2)向量不放在坐标系中研究，求解此类问题的方法是利用向量的运算法则及其几何意义或应用向量的数量积公式，关键是会把向量a 的模进行如下转化：|a |＝a 2.变式训练3 (2015·浙江)已知e 1，e 2是平面单位向量，且e 1·e 2＝12.若平面向量b 满足b ·e 1＝b ·e 2＝1，则|b |＝________. 答案 233解析 因为|e 1|＝|e 2|＝1且e 1·e 2＝12.所以e 1与e 2的夹角为60°.又因为b ·e 1＝b ·e 2＝1，所以b ·e 1－b ·e 2＝0，即b ·(e 1－e 2)＝0，所以b ⊥(e 1－e 2).所以b 与e 1的夹角为30°，所以b ·e 1＝|b |·|e 1|cos 30°＝1. 所以|b |＝233.高考题型精练1.(2015·山东)已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60°，则BD →·CD →等于( ) A.－32a 2B.－34a 2C.34a 2D.32a 2答案 D解析 如图所示，由题意，得BC ＝a ，CD ＝a ，∠BCD ＝120°.BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD ·cos 120°＝a 2＋a 2－2a ·a ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝3a 2，∴BD ＝3a .∴BD →·CD →＝|BD →||CD →|cos 30°＝3a 2×32＝32a 2.2.(2014·浙江)记max{x ，y }＝⎩⎨⎧ x ，x ≥y ，y ，x <y ，min{x ，y }＝⎩⎨⎧y ，x ≥y ，x ，x <y ，设a ，b 为平面向量，则( )A.min{|a ＋b |，|a －b |}≤min{|a |，|b |}B.min{|a ＋b |，|a －b |}≥min{|a |，|b |}C.max{|a ＋b |2，|a －b |2}≤|a |2＋|b |2D.max{|a ＋b |2，|a －b |2}≥|a |2＋|b |2 答案 D解析 由于|a ＋b |，|a －b |与|a |，|b |的大小关系与夹角大小有关，故A ，B 错.当a ，b 夹角为锐角时，|a ＋b |>|a －b |，此时，|a ＋b |2>|a |2＋|b |2；当a ，b 夹角为钝角时，|a ＋b |<|a －b |，此时，|a －b |2>|a |2＋|b |2；当a ⊥b 时，|a ＋b |2＝|a －b |2＝|a |2＋|b |2，故选D. 3.(2015·湖南)已知点A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且AB ⊥BC .若点P 的坐标为(2,0)，则|PA →＋PB →＋PC →|的最大值为( ) A.6 B.7 C.8D.9答案 B解析 ∵A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上，且AB ⊥BC ，∴AC 为圆直径，故PA →＋PC →＝2PO →＝(－4,0)，设B (x ，y )，则x 2＋y 2＝1且x ∈[－1,1]，PB →＝(x －2，y )，∴PA →＋PB →＋PC →＝(x －6，y ).故|PA →＋PB →＋PC →|＝－12x ＋37，∴x ＝－1时有最大值49＝7，故选B.4.如图，在等腰直角△ABO 中，OA ＝OB ＝1，C 为AB 上靠近点A 的四等分点，过C 作AB 的垂线l ，P 为垂线上任一点，设OA →＝a ，OB →＝b ，OP →＝p ，则p ·(b －a )等于( )A.－12B.12C.－32D.32答案 A解析 以OA ，OB 所在直线分别作为x 轴，y 轴，O 为坐标原点建立平面直角坐标系，则A (1,0)，B (0,1)，C (34，14)，直线l 的方程为y －14＝x －34，即x －y －12＝0.设P (x ，x －12)，则p ＝(x ，x －12)，而b －a ＝(－1,1)，所以p ·(b －a )＝－x ＋(x －12)＝－12.5.在平面上，AB 1→⊥AB 2→，|OB 1→|＝|OB 2→|＝1，AP →＝AB 1→＋AB 2→.若|OP →|<12，则|OA →|的取值范围是( ) A.(0，52]B.(52，72]C.(52，2] D.(72，2] 答案 D解析 由题意，知B 1，B 2在以O 为圆心的单位圆上，点P 在以O 为圆心，12为半径的圆的内部.又AB 1→⊥AB 2→，AP →＝AB 1→＋AB 2→， 所以点A 在以B 1B 2为直径的圆上， 当P 与O 点重合时，|OA →|取得最大值2， 当P 在半径为12的圆周上时，|OA →|取得最小值72，故选D.6.如图所示，△ABC 中，∠ACB ＝90°且AC ＝BC ＝4，点M 满足BM →＝3MA →，则CM →·CB →等于( )A.2B.3C.4D.6答案 C解析 在△ABC 中，因为∠ACB ＝90°且AC ＝BC ＝4，所以AB ＝42，且B ＝A ＝45°.因为BM →＝3MA →，所以BM →＝34BA →.所以CM →·CB →＝(CB →＋BM →)·CB →＝CB →2＋BM →·CB →＝CB →2＋34BA →·CB→＝16＋34×42×4cos 135°＝4.7.(2014·安徽)设a ，b 为非零向量，|b |＝2|a |，两组向量x 1，x 2，x 3，x 4和y 1，y 2，y 3，y 4均由2个a 和2个b 排列而成.若x 1·y 1＋x 2·y 2＋x 3·y 3＋x 4·y 4所有可能取值中的最小值为4|a |2，则a 与b 的夹角为( ) A.2π3 B.π3 C.π6 D.0 答案 B解析 设a 与b 的夹角为θ，由于x i ，y i (i ＝1,2,3,4)均由2个a 和2个b 排列而成，记S ＝ i ＝14(x i ·y i )，则S 有以下三种情况：①S ＝2a 2＋2b 2；②S ＝4a ·b ；③S ＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2.∵|b |＝2|a |，∴①中S ＝10|a |2，②中S ＝8|a |2cos θ，③中S ＝5|a |2＋4|a |2cos θ. 易知②最小，即8|a |2cos θ＝4|a |2，∴cos θ＝12，可求θ＝π3，故选B.8.(2014·江苏)如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →的值是________.答案 22解析 由CP →＝3PD →，得DP →＝14DC →＝14AB →，AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋14AB →，BP →＝AP →－AB →＝AD →＋14AB→－AB →＝AD →－34AB →.因为AP →·BP →＝2，所以(AD →＋14AB →)·(AD →－34AB →)＝2，即AD →2－12AD →·AB →－316AB →2＝2.又因为AD →2＝25，AB →2＝64，所以AB →·AD →＝22.9.设非零向量a ，b 的夹角为θ，记f (a ，b )＝a cos θ－b sin θ.若e 1，e 2均为单位向量，且e 1·e 2＝32，则向量f (e 1，e 2)与f (e 2，－e 1)的夹角为________. 答案π2解析 由e 1·e 2＝32，可得cos 〈e 1，e 2〉＝e 1·e 2|e 1||e 2|＝32， 故〈e 1，e 2〉＝π6，〈e 2，－e 1〉＝π－〈e 2，e 1〉＝5π6.f (e 1，e 2)＝e 1cos π6－e 2sin π6＝32e 1－12e 2，f (e 2，－e 1)＝e 2cos5π6－(－e 1)sin 5π6＝12e 1－32e 2.f (e 1，e 2)·f (e 2，－e 1)＝(32e 1－12e 2)·(12e 1－32e 2)＝32－e 1·e 2＝0，所以f (e 1，e 2)⊥f (e 2，－e 1).故向量f (e 1，e 2)与f (e 2，－e 1)的夹角为π2.10.如图，在△ABC 中，O 为BC 中点，若AB ＝1，AC ＝3，〈AB →，AC →〉＝60°，则|OA →|＝________.答案132解析 因为〈AB →，AC →〉＝60°，所以AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos 60°＝1×3×12＝32，又AO →＝12(AB →＋AC →)，所以AO →2＝14(AB →＋AC →)2＝14(AB →2＋2AB →·AC →＋AC →2)，即AO →2＝14(1＋3＋9)＝134，所以|OA →|＝132.11.已知向量a ＝(sin x ，34)，b ＝(cos x ，－1).(1)当a ∥b 时，求cos 2x －sin 2x 的值；(2)设函数f (x )＝2(a ＋b )·b ，已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝3，b ＝2，sin B ＝63，求f (x )＋4cos(2A ＋π6)(x ∈[0，π3])的取值范围. 解 (1)因为a ∥b ，所以34cos x ＋sin x ＝0.所以tan x ＝－34.故cos 2x －sin 2x ＝cos 2x －2sin x cos xsin 2x ＋cos 2x＝1－2tan x 1＋tan 2x ＝85.(2)f (x )＝2(a ＋b )·b＝2(sin x ＋cos x ，－14)·(cos x ，－1)＝sin 2x ＋cos 2x ＋32＝2sin(2x ＋π4)＋32.由正弦定理，得a sin A ＝bsin B，所以sin A ＝a sin Bb＝3×632＝22.所以A ＝π4或A ＝3π4.因为b >a ，所以A ＝π4.所以f (x )＋4cos(2A ＋π6)＝2sin(2x ＋π4)－12.因为x ∈[0，π3]，所以2x ＋π4∈[π4，11π12].所以32－1≤f (x )＋4cos(2A ＋π6)≤2－12.所以f (x )＋4cos(2A ＋π6)的取值范围为[32－1，2－12].12.在△ABC 中，AC ＝10，过顶点C 作AB 的垂线，垂足为D ，AD ＝5，且满足AD →＝511DB →.(1)求|AB →－AC →|；(2)存在实数t ≥1，使得向量x ＝AB →＋tAC →，y ＝tAB →＋AC →，令k ＝x ·y ，求k 的最小值. 解 (1)由AD →＝511DB →，且A ，B ，D 三点共线，可知|AD →|＝511|DB →|.又AD ＝5，所以DB ＝11.在Rt△ADC 中，CD 2＝AC 2－AD 2＝75， 在Rt△BDC 中，BC 2＝DB 2＋CD 2＝196， 所以BC ＝14.所以|AB →－AC →|＝|CB →|＝14.(2)由(1)，知|AB →|＝16，|AC →|＝10，|BC →|＝14. 由余弦定理，得cos A ＝102＋162－1422×10×16＝12.由x ＝AB →＋tAC →，y ＝tAB →＋AC →， 知k ＝x ·y＝(AB →＋tAC →)·(tAB →＋AC →)＝t |AB →|2＋(t 2＋1)AC →·AB →＋t |AC →|2 ＝256t ＋(t 2＋1)×16×10×12＋100t＝80t 2＋356t ＋80.由二次函数的图象，可知该函数在[1，＋∞)上单调递增， 所以当t ＝1时，k 取得最小值516.。
数学高考平面向量的数量积专题测试(附答案)-教育文档
数学2019年高考平面向量的数量积专题测试（附答案）平面向量用小写加粗的字母a，b，c表示，也可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，下面的是数学2019年高考平面向量的数量积专题测试，请考生及时练习。
一、填空题1.(2019泰州质检)在ABC中，若AB=1，AC=，|+|=||，则=________.[解析] 由平行四边形法则，|+|=||=||，故A，B，C构成直角三角形的三个顶点，且A为直角，从而四边形ABDC是矩形.由||=2，ABC=60，[答案]2.(2019湖南高考改编)已知a，b是单位向量，ab=0.若向量c满足|c-a-b|=1，则|c|的最大值为________.[解析] a，b是单位向量，|a|=|b|=1.又ab=0，ab，|a+b|=.|c-a-b|2=c2-2c(a+b)+2ab+a2+b2=1.c2-2c(a+b)+1=0.2c(a+b)=c2+1.c2+1=2|c||a+b|cos (是c与a+b的夹角).c2+1=2|c|cos 2|c|.c2-2|c|+10.-1+1.|c|的最大值为+1.[答案] +1二、解答题3.设两向量e1，e2满足|e1|=2，|e2|=1，e1，e2的夹角为60，若向量2te1+7e2与向量e1+te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围.[解] 由已知得e=4，e=1，e1e2=21cos 60=1.(2te1+7e2)(e1+te2)=2te+(2t2+7)e1e2+7te=2t2+15t+7. 欲使夹角为钝角，需2t2+15t+70，得-7设2te1+7e2=(e1+te2)(0)，2t2=7.t=-，此时=-.即t=-时，向量2te1+7e2与e1+te2的夹角为.当两向量夹角为钝角时，t的取值范围是.数学2019年高考平面向量的数量积专题测试及答案的全部内容就是这些，查字典数学网希望可以帮助考生复习数学。
备战2019年高考数学大一轮复习热点聚焦与扩展专题28平面向量的数量积求解两法
专题28 平面向量的数量积求解两法【热点聚焦与扩展】平面向量的数量积是高考考查的重点、热点，往往以选择题或填空题的形式出现.常常以平面图形为载体，借助于向量的坐标形式等考查数量积、夹角、垂直的条件等问题；也易同三角函数、解析几何等知识相结合，以工具的形式出现．关于数量积的运算，除上一专题介绍的利用投影定义，本专题继续介绍两种方法，一是遇到几何图形中计算某两个向量,a b 数量积的问题，如果无法寻找到计算数量积的要素（,a b 模长，夹角），那么可考虑用合适的两个向量（称为基底）将,a b 两个向量表示出来，进而进行运算.这也是在几何图形中处理向量数量积的一个重要方法.二是若几何图形特殊（如正方形，等边三角形等），易于建系并写出点的坐标，则考虑将向量坐标化，一旦所求向量用坐标表示，其数量积等问题迎刃而解. （一）所涉及的平面向量定理及数量积运算法则：1、平面向量基本定理：若向量12e e ，为两个不共线的向量，那么对于平面上任意的一个向量a ，均存在唯一一对实数12,λλ，使得1122a e e λλ=+.其中12e e ，成为平面向量的一组基底.（简而言之，不共线的两个向量可以表示所有向量）2、向量数量积运算cos a b a b θ⋅=⋅，其中θ为向量,a b 的夹角3、向量夹角的确定：向量,a b 的夹角θ指的是将,a b 的起点重合所成的角，[]0,θπ∈ 其中0θ=：同向 θπ=：反向 2πθ=：a b ⊥4、数量积运算法则： （1）交换律：a b b a ⋅=⋅（2）系数结合律：()()()()a b a b a b R λλλλ⋅=⋅=⋅∈ （3）分配律：()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅因为向量数量积存在交换律与分配律，才使得有些向量数量积运算的展开式与实数因式相乘的展开式规律相同： 例如：()2222a ba ab b ±=±⋅+ ()()0a b a b +⋅-=5、若11221122+,+a e e b e e λλμμ==，则()()()2211221122111222122112++=a b e e e e e e e e λλμμλμλμλμλμ⋅=⋅+++⋅由此可见，只要知道基底的模与数量积，以及将,a b 用基底表示出来，则可计算a b ⋅ （二）选择合适基底解题的步骤与技巧：1、如何选择“合适”的基底：题目中是否有两个向量模长已知，数量积可求呢？如果有，那就是它们了.所以在此类题目中首先可先确定那些向量的数量积与模长已知.常见的可以边所成向量作基底的图形有：等边三角形，已知两边的直角三角形，矩形，特殊角的菱形等.2、向量的表示：尝试所求数量积的两个向量是否能被你所选中的基底进行表示，常用的方法有： （1）向量的加减运算（2）“爪”字型图：在ABC 中，D 是BC 上的点，如果::BD CD m n =，则m nAD AC AB m n m n =+++，其中,,AD AB AC 知二可求一.特别的，如果AD 是BC 边上的中线，则1122AD AC AB =+mnAB3、计算数量积：将所求向量用基地表示后，代入到所求表达式计算即可，但在计算过程中要注意基底的夹角（二）平面向量的坐标运算 1、向量的坐标表示（1）平面向量基本定理：在平面中，如果两个向量12,e e 不共线，则对于平面上的任一向量a ，存在,x y R ∈，使得12a xe ye =+，且这种表示唯一.其中()12,e e 称为平面向量的一组基底，而有序实数对(),x y 称为在()12,e e 基底下的坐标（2）为了让向量能够放置在平面直角坐标系中，我们要选择一组特殊的基底,i j ，在方向上它们分别与,x y 轴的正方向同向，在长度上，1i j ==，由平面向量基本定理可得：平面上任一向量a ，均有a xi y j =+，其坐标为(),x y ，从图上可观察到恰好是将向量a 起点与坐标原点重合时，终点的坐标（3）已知平面上的两点坐标，也可求得以它们为起终点的向量坐标：设()()1122,,,A x y B x y ，则()2121,AB x x y y =-- （可记为“终”-“起”），所以只要确定了平面上点的坐标，则向量的坐标自然可求.另外,,A B AB 三个坐标知二可求一，所以当已知向量坐标与其中一个点的坐标，也可求出另一个点的坐标2、向量的坐标运算：设()()1122,,,a x y b x y ==，则有： （1）加减运算：()1212,a b x x y y ±=±± （2）数乘运算：()11,a x y λλλ= （3）数量积运算：1212a b x x y y ⋅=+ （4）向量的模长：2211a x y =+3、向量位置关系的判定： （1）平行：1221a b x y x y ⇔=∥（2）垂直：121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+= （3）向量夹角余弦值：121222221122cos ,a b a b a bx y x y⋅==⋅+⋅+4、常见的可考虑建系的图形：关于向量问题，一旦建立坐标系并成功写出相关点的坐标，则问题常常迎刃而解.但难点如何甄别一道题适合使用建系的方法求解.如果你遇到以下图形，则可尝试建系的方法，看能否把问题解决（1）具备对称性质的图形：长方形，正方形，等边三角形，圆形 （2）带有直角的图形：直角梯形，直角三角形 （3）具备特殊角度的图形（30,45,60,120等）【经典例题】例1.【2018届浙江省金华十校4月模拟】已知平面内任意不共线三点，，，则的值为（ ）A. 正数B. 负数C. 0D. 以上说法都有可能 【答案】B 【解析】.即的值为负数.本题选择B选项.点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．例2.【2018届贵阳第一中学高考适应月考卷七】如图，在圆中，若，，则的值等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如图所示，过点作交于点，连接，则为的中点，，∴.又，，故选C．例3. 如图，在ABC中，120,2,1,BAC AB AC D∠===是边BC上一点，2DC BD=，则AD BC⋅=_______________BAD【答案】83-答案：83AD BC⋅=-例4.如图，已知在ABC 中，,3,1AD AB BC BD AD⊥==，则AC AD⋅=______A【答案】【解析】思路：观察条件，,AC AD很难直接利用公式求解.考虑选择两个向量表示,AC AD,条件中AD AB AD AB⊥⇒⋅=(数量积有了），1AD=（模长有了），所以考虑用,AB AD作为基底.下一步只需将AC表示出来，()3:1:31BC BD BD CD=⇒=-（底边比值——联想到“爪”字型图）333AD AB AC-=+,解得：()331AC AD AB=--所以()()233133AC AD AD AB AD AD⋅=--⋅==答案：3AC AD⋅=.例5.在边长为1的正三角形ABC中，设2,3BC BD CA CE==，则AD BE⋅=__________【答案】14-【解析】思路：如图，等边三角形三边已知，夹角已知，由此对于三边所成的向量，两两数量积均可计算，所以考虑,AD BE用三边向量进行表示，表示的方法很多，B CAE点睛：这道题由于是等边三角形，故可以建系去做，以D为坐标原点，BC所在直线为x轴，AD所在直线为y轴.,D E坐标完成之时，就是AD BE⋅计算的完成之日，且此法在计算上更为简便.例6.【2018届江苏省苏锡常镇四市高三调研（二）】如图，扇形的圆心角为90°，半径为1，点是圆弧上的动点，作点关于弦的对称点，则的取值范围为____．【答案】.【解析】分析:先建立直角坐标系，再设出点P,Q 的坐标，利用已知条件求出P,Q 的坐标，再求出 的函数表达式，求其最值，即得其取值范围.详解:以点O 为坐标原点,以OA 所在直线作x 轴，以OB 所在直线作y 轴，建立直角坐标系.则A(1，0),B(0，1),直线AB 的方程为x+y-1=0,设，所以， 所以=，所以当t=1时函数取最大值1，当t=时函数取最小值.故答案为：点睛：(1)本题的难点有三，其一是要联想到建立直角坐标系；其二是要能利用已知求出点P,Q 的坐标，其三是能够利用三角函数的知识求出函数的值域. （2）本题主要考查利用坐标法解答数学问题，考查直线、圆的方程和三角恒等变换，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生基础知识的掌握能力及推理分析转化能力，考查学生的基本运算能力. 例7．如图，在矩形ABCD 中，2,2AB BC ==，点E 为BC 中点，点F 在边CD 上，若2AB AF ⋅=则AE BF ⋅的值是____________ 2答案：2AE BF ⋅=例8.如图，平行四边形ABCD 的两条对角线相交于M ，点P 是MD 的中点，若2AB =，1AD =，且60BAD ∠=，则AP CP ⋅=_________MDAP【答案】178-【解析】思路：本题抓住60BAD ∠=这个特殊角，可以考虑建立坐标系，同时由2AB =，1AD =可以写出各点坐标，从而将所求向量坐标化后即可求解 解：以AB 为x 轴，过A 的垂线作为y 轴yxEDA BCF可答案：178-例9.已知直角梯形ABCD 中，,90,2,1,AD BC ADC AD BC P ∠===∥是腰DC 上的动点，则3PA PB +的最小值为_____________【答案】5【解析】思路：本题所求模长如果从几何意义入手，则不便于作出3PA PB +的图形。
专题 平面向量的数量积-2019年高考理科数学考点讲解与仿真测试含答案
平面向量的数量积【考点讲解】一、具本目标：1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.考纲解读：1.以考查向量的数量积、夹角、模为主，基本稳定为选择题或填空题，难度较低；2.与三角函数、解析几何等相结合，以工具的形式进行考查，中等难度，但是解决以上问题的桥梁.3.备考重点：(1) 理解数量积的概念是基础，掌握数量积的两种运算的方法是关键；(2)解答与平面几何、三角函数、解析几何等交汇问题时，注意运用数形结合的数学思想，通过建立平面直角坐标系，利用坐标运算解题.二、知识概述：一）主要公式：1.向量的数量积：已知两个非零向量a、b，它们的夹角为θ，则a·b=θcos.若a=(1x,1y),b=(2x,2y)，则a·b=.2.向量的模：若a=(,)x y，则|a.3.两向量的夹角余弦值：a ba b×.4.向量垂直的等价条件：a⊥b⇔0a b?⇔.二）主要知识点：1.两个向量的夹角（1）定义：已知两个非零向量和，作OA＝，OB＝，则∠AOB＝θ叫做向量与的夹角．（2）夹角范围：向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°与同向时，夹角θ＝0°；与反向时，夹角θ＝180°.（3）向量垂直：如果向量与的夹角是90°，则与垂直，记作⊥. 2.平面向量数量积：（1）已知两个非零向量与θ叫做与的数量积，记作⋅，即⋅a b ＝，其中θ是a 与b 的夹角．规定0=⋅.当⊥时，θ＝90°，这时0a b ?.（2）⋅的几何意义：数量积⋅等于与在θcos 的乘积．3.向量数量积的性质：（1）a a =⋅，.（2）a b a b×(θ为与的夹角).（3）.4.数量积的运算律 （1）交换律：.（2）分配律：（3）对.5.数量积的坐标运算：设，有下面的结论：（1）.（2）a ⊥b ⇔0a b ?⇔.（3）（4）(θ为与的夹角).【真题分析】1.【2018年天津卷文】在如图的平面图形中， 已知,则⋅的值为（ ）A.-15 B .-9 C.-6 D. 0【答案】C2.【2017北京，理6】设n m ,为非零向量，则“存在负数λ，使得n m λ=”是“0<⋅n m ”的A.充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件【解析】如果存在负数λ，使得λ=，此时两向量方向相反，夹角为180°，一，两向量的数量积为：成立.如果0<⋅，此时两向量的夹角在90°到180°之间，两向量不一定是相反方向，也就是不一定存在一个负数λ，使得λ=成立，所以是充分不必要条件. 【答案】A3.【2014山东.理12】 在ABC ∆中，已知，当6A π=时，ABC ∆的面积为________.【答案】164. 【2016高考浙江理数】已知向量ba ,,，若对任意单位向量，均有,则⋅的最大值是 ．【解析】本题考点是平面向量的数量积及不等式的性质的具体应用．由题意可知，即最大值为12. 【答案】125.【2015高考天津，文13】在等腰梯形ABCD 中,已知AB DC ,点E 和点F 分别在线段BC 和CD 上,且则AE AF ⋅的值为 ．【解析】本题考点是平面向量的数量积及向量的线性运算， 在等腰梯形ABCD 中,由AB ∥DC ,得,1AB AD ⋅=,12DC AB =,所以=【答案】29186.【2016·江苏卷】如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，BA →·CA →＝4， BF →·CF →＝－1，则BE →·CE →的值是________．则【答案】787.【2017课标1，理13】已知向量,的夹角为602=1==+ .【解析】本题考点是平面向量的数量积公式的运用， 法一：由题意可知所以.【答案】法二：利用如下图形，可以判断出2a b +的模长是以2为边长的菱形对角线的长度，由平面几何的知识可以求出菱形对角线的长为【答案】8.【2017山东，理12】已知12,e e 12-e 与12λ+e e 的夹角为60，则实数λ的值是 .【模拟考场】1.已知向量(1,2)a =，(1,1)b =-，则（ ）A ．2B ．-2C ．-3D ．4【答案】A2. 已知非零向量m ，n 满足4│m │=3│n │，cos<m ，n >=13.若n ⊥（t m +n ）， 则实数t 的值为（ ） A.4B.–4C.94D.–94【解析】由43m n =，可设，又，所以.所以4t =-，故选B. 【答案】B3.已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点E D ,分别是边BC AB ,的中点，连接DE 并延长到点F ，使得EF DE 2=，则⋅的值为（ ）A.85-B.81 C.41 D.811【解析】设BA a =，BC b =，∴，，，∴，故选B.【答案】B4.已知向量a 与b 的夹角为60°，||2a =，||5b =，则2a b -在a 方向上的投影为（ ）A ．23 B ．2 C ．52 D ．3【答案】A 5.设向量，，且a b ⊥，则m 的值为__________．【解析】因为a b ⊥，所以有0a b ?，可以得到，则，应填答案2.【答案】26.在ABC △中，60A =︒∠，3AB =，2AC =.若2BD DC =，，且，则λ的值为___________.【解析】由题意可知：，，=，所以可得113=λ.【答案】113 7.已知3a =， 4b =， 0a b ⋅=，若向量c 满足，则c 的取值范围是__________．【答案】[]0,58.已知两个不共线的向量b a ,，它们的夹角为θ，且，x 为正实数．(1)若2+与4-垂直，求tan θ；(2)若θ＝π6，求x -的最小值及对应的x 的值，并判断此时向量与x -是否垂直．【解析】(1)因为2+与4-垂直，所以. 所以，所以32－2×3×1×cos θ－8×12＝0， 所以cos θ＝16，又θ∈(0，π)，sin θ＝1－cos 2θ＝356，所以tan θ＝sin θcos θ＝35.(2)＝故当x ＝36时，x -取最小值为12，此时＝36×9－3×1×cos π6＝0， 故向量与x -垂直.。
高考数学 考点 第六章 平面向量与复数 平面向量的数量积(理)-人教版高三全册数学试题
考点6.3 平面向量的数量积1.向量的夹角已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 就是向量a 与b 的夹角，向量夹角的X 围是[0，π].2.平面向量的数量积3.向量数量积的运算律 (1)a ·b ＝b ·a .(2)(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb ). (3)(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c . 4.平面向量数量积的有关结论已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ.概念方法微思考两个向量的数量积大于0，则夹角一定为锐角吗？ 提示 不一定．当夹角为0°时，数量积也大于0.1．（2020•某某）已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB 的取值X 围是（ ） A ．(2,6)-B ．(6,2)-C ．(2,4)-D ．(4,6)- 【答案】A【解析】画出图形如图，||||cos ,AP AB AP AB AP AB =<>，它的几何意义是AB 的长度与AP 在AB 向量的投影的乘积，显然，P 在C 处时，取得最大值，1||cos ||||32AC CAB AB AB ∠=+=，可得||||cos ,236AP AB AP AB AP AB =<>=⨯=，最大值为6，在F 处取得最小值，1||||cos ,2222AP AB AP AB AP AB =<>=-⨯⨯=-，最小值为2-， P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，所以AP AB 的取值X 围是(2,6)-． 故选A ．2．（2020•新课标Ⅱ）已知单位向量a ，b 的夹角为60︒，则在下列向量中，与b 垂直的是（ ） A ．2a b +B ．2a b +C ．2a b -D ．2a b - 【答案】D【解析】单位向量||||1a b ==，111cos602a b =⨯⨯︒=， 对于A ，215(2)2222a b b a b b +=+=+=，所以(2)a b +与b 不垂直； 对于B ，21(2)22122a b b a b b +=+=⨯+=，所以(2)a b +与b 不垂直；对于C ，213(2)2222a b b a b b -=-=-=-，所以(2)a b -与b 不垂直；对于D ，21(2)22102a b b a b b -=-=⨯-=，所以(2)a b -与b 垂直．故选D ．3．（2020•新课标Ⅲ）已知向量a ，b 满足||5a =，||6b =，6a b =-，则cos a <，a b +>=（ ）A ．3135-B ．1935-C ．1735D ．1935【答案】D【解析】向量a ，b 满足||5a =，||6b =，6a b =-， 可得22||225127a b a a b b +=++=-=，cos a <，2()25619575735||||a a b a a b a b a a b ++-+>====⨯⨯+． 故选D ．4．（2019•新课标Ⅰ）已知非零向量a ，b 满足||2||a b =，且()a b b -⊥，则a 与b 的夹角为（ ）A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π【答案】B【解析】()a b b -⊥，∴2()a b b a b b -=-2||||cos ,0a b a b b =<>-=，∴2||cos ,||||b a b a b <>=22||122||b b ==， ,[0,]a b π<>∈，∴,3a b π<>=．故选B ．5．（2019•新课标Ⅱ）已知(2,3)AB =，(3,)AC t =，||1BC =，则AB BC =（ ） A ．3-B ．2-C ．2D ．3【解析】(2,3)AB =，(3,)AC t =，∴(1,3)BC AC AB t =-=-，||1BC =，30t ∴-=即(1,0)BC =，则2AB BC = 故选C ．6．（2019•新课标Ⅱ）已知向量(2,3)a =，(3,2)b =，则||a b -=（ ）A ．2C ．．50 【答案】A 【解析】(2,3)a =，(3,2)b =，∴(2a b -=，3)(3-，2)(1=-，1)，2||(1)a b ∴-=-故选A ．7．（2018•某某）如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ∠=︒，1AB AD ==．若点E 为边CD 上的动点，则AE BE 的最小值为（ ）A ．2116B ．32C ．2516D ．3【解析】如图所示，以D 为原点，以DA 所在的直线为x 轴， 以DC 所在的直线为y 轴，过点B 做BN x ⊥轴，过点B 做BM y ⊥轴，AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ∠=︒，1AB AD ==，1cos602AN AB ∴=︒=，sin 60BN AB =︒=13122DN ∴=+=， 32BM ∴=，tan30CM MB ∴=︒=，DC DM MC ∴=+(1,0)A ∴，3(2B ，C ，设(0,)E m ，∴(1,)AE m =-，3(2BE =-，m ，03m，∴22233321((221616AE BE m m m =+=+-=+，当m =2116． 故选A ．8．（2018•某某）在如图的平面图形中，已知1OM =，2ON =，120MON ∠=︒，2BM MA =，2CN NA =，则BC OM 的值为（ ）A ．15-B ．9-C ．6-D ．0 【答案】C【解析】解法Ⅰ，由题意，2BM MA =，2CN NA =，∴2BM CNMA NA==，//BC MN ∴，且3BC MN =， 又22212cos12014212()72MN OM ON OM ON =+-︒=+-⨯⨯⨯-=，MN ∴=BC ∴=222cos2OM MN ON OMN OM MN +-∴∠===，∴||||cos()1(6BC OM BC OM OMN π=⨯-∠=⨯=-．解题Ⅱ：不妨设四边形OMAN 是平行四边形，由1OM =，2ON =，120MON ∠=︒，2BM MA =，2CN NA =， 知3333BC AC AB AN AM OM ON =-=-=-+，∴(33)BC OM OM ON OM =-+233OM ON OM =-+231321cos120=-⨯+⨯⨯⨯︒ 6=-．故选C ．9．（2018•新课标Ⅱ）已知向量a ，b 满足||1a =，1a b =-，则(2)a a b -=（ ）A ．4B ．3C ．2D ．0 【答案】B【解析】向量a ，b 满足||1a =，1a b =-，则2(2)2213a a b a a b -=-=+=， 故选B ．10．（2018•某某）已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为3π，向量b 满足2430b e b -+=，则||a b -的最小值是（ ）A 1B 1C ．2D ．2【答案】A【解析】由2430b e b -+=，得()(3)0b e b e --=，()(3)b e b e ∴-⊥-， 如图，不妨设(1,0)e =，则b 的终点在以(2,0)为圆心，以1为半径的圆周上，又非零向量a 与e 的夹角为3π，则a 的终点在不含端点O 的两条射线(0)y x =>上．不妨以y =为例，则||a b -的最小值是(2,0)0y -=的距离减1．11-=．故选A ．11．（2018•某某）已知A 、B 为平面上的两个定点，且||2AB =，该平面上的动线段PQ 的端点P 、Q ，满足||5AP ，6AP AB =，2AQ AP =-，则动线段PQ 所形成图形的面积为（ ）A ．36B ．60C ．72D ．108 【答案】B【解析】根据题意建立平面直角坐标系，如图所示； 则(0,0)A ，(2,0)B ，设(,)P x y ，∴(,)AP x y =，(2,0)AB =； 由||5AP ，得2225x y +； 又6AP AB =， 26x ∴=，3x =；216y ∴； 44y ∴-∴动点P 在直线3x =上，且44y -，由相似三角形可知AQ 扫过的面积为48， 即||8PC =，则AP 扫过的三角形的面积为183122⨯⨯=，设点0(Q x ，0)y 2AQ AP =-，0(x ∴，0)2(y x =-，)(6y =-，2)y -， 06x ∴=-，02y y =-，∴动点Q 在直线6x =-上，且88y -，||16QD ∴=，AQ ∴扫过的三角形的面积为1166482⨯⨯=，∴因此和为60，故选B ．12．（2017•某某）如图，已知平面四边形ABCD ，AB BC ⊥，2AB BC AD ===，3CD =，AC 与BD 交于点O ，记1I OA OB =，2I OB OC =，3I OC OD =，则（ ）A ．123I I I <<B ．132I I I <<C ．312I I I <<D ．213I I I << 【答案】C 【解析】AB BC ⊥，2AB BC AD ===，3CD =，AC ∴=90AOB COD ∴∠=∠>︒，由图象知OA OC <，OB OD <， 0OA OB OC OD ∴>>，0OB OC >，即312I I I <<， 故选C ．13．（2017•新课标Ⅱ）已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC +的最小值是（ ） A ．2-B ．32-C ．43-D ．1-【答案】B【解析】建立如图所示的坐标系，以BC 中点为坐标原点，则A ，(1,0)B -，(1,0)C ，设(,)P x y ，则()PA x y =-，(1,)PB x y =---，(1,)PC x y =--，则22223()222[(]4PA PB PC x y x y +=-+=+-∴当0x =，y =时，取得最小值332()42⨯-=-， 故选B ．14．（2017•新课标Ⅱ）设非零向量a ，b 满足||||a b a b +=-，则（ ） A ．a b ⊥B ．||||a b =C ．//a b D ．||||a b > 【答案】A【解析】非零向量a ，b 满足||||a b a b +=-，∴22()()a b a b +=-，222222a b ab a b ab ++=+-， 40ab =，解得0a b =，∴a b ⊥．故选A ．15．（2017•某某）如图所示，正八边形12345678A A A A A A A A 的边长为2，若P 为该正八边形边上的动点，则131A A A P 的取值X 围为（ ）A ．[0,8+B ．[-+C ．[8--D ．[8--+ 【答案】B【解析】由题意，正八边形12345678A A A A A A A A 的每一个内角为135︒，且1218||||2A A A A ==，1317||||22A A A A ==1416||||2A A A A ==+15||4A A =+ 再由正弦函数的单调性及值域可得，当P 与8A 重合时，131A A A P 最小为2cos112.52(⨯︒=⨯=-结合选项可得131A A A P 的取值X 围为[-+． 故选B ．16．（2020•某某）如图，在四边形ABCD 中，60B ∠=︒，3AB =，6BC =，且AD BC λ=，32AD AB =-，则实数λ的值为__________，若M ，N 是线段BC 上的动点，且||1MN =，则DM DN 的最小值为__________．【答案】16，132【解析】以B 为原点，以BC 为x 轴建立如图所示的直角坐标系， 60B ∠=︒，3AB =，3(2A ∴， 6BC =，(6,0)C ∴， AD BC λ=，//AD BC ∴，设0(D x ，∴03(2AD x =-，0)，3(2AB =-，，∴0333()0222AD AB x =--+=-，解得052x =，5(2D ∴， ∴(1,0)AD =，(6,0)BC =， ∴16AD BC =， 16λ∴=， ||1MN =，设(,0)M x ，则(1,0)N x +，其中05x ，∴5(2DM x =-，，3(2DN x =-，，∴2253272113()()4(2)22422DM DN x x x x x =--+=-+=-+，当2x =时取得最小值，最小值为132， 故答案为：16，132．17．（2020•某某）已知1a ，2a ，1b ，2b ，⋯，(*)k b k N ∈是平面内两两互不相等的向量，满足12||1a a -=，且||{1i j a b -∈，2}（其中1i =，2，1j =，2，⋯，)k ，则k 的最大值是__________． 【答案】6【解析】如图，设11OA a =，22OA a =，由12||1a a -=，且||{1i j a b -∈，2}，分别以1A ，2A 为圆心，以1和2为半径画圆，其中任意两圆的公共点共有6个． 故满足条件的k 的最大值为6． 故答案为：6．18．（2020•）已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足1()2AP AB AC =+，则||PD =__________；PB PD =__________．，1-【解析】由1()2AP AB AC =+，可得P 为BC 的中点，则||1CP =，||PD ∴==∴2()()1PB PD PB PC CD PC PC CD PC PC CD =+=-+=--=-，，1-．19．（2020•新课标Ⅱ）已知单位向量a ，b 的夹角为45︒，ka b -与a 垂直，则k =__________．【解析】向量a ，b 为单位向量，且a ，b 的夹角为45︒，∴||||cos4511a b a b =︒=⨯=， 又ka b -与a 垂直，2()||0ka b a k a a b ∴-=-=，即0k =，则k =．． 20．（2020•新课标Ⅰ）设a ，b 为单位向量，且||1a b +=，则||a b -=__________．【解析】a ，b 为单位向量，且||1a b +=，2||1a b +=，可得2221a a b b ++=， 1211a b ++=，所以21a b =-，则22||23a b a a b b -=-+=．21．（2020•某某）已知平面单位向量1e ，2e 满足12|2|2e e -．设12a e e =+，123b e e =+，向量a ，b 的夹角为θ，则2cos θ的最小值是__________．【答案】2829【解析】设1e 、2e 的夹角为α，由1e ，2e 为单位向量，满足12|2|2e e -，所以2211224444cos 12e e e e α-+=-+， 解得3cos 4α； 又12a e e =+，123b e e =+，且a ，b 的夹角为θ， 所以2211223444cos a b e e e e α=++=+，2221122222cos a e e e e α=++=+，222112296106cos b e e e e α=++=+；则222228()(44cos )44cos 43cos (22cos )(106cos )53cos 353cos a b a bααθαααα++====-++++⨯， 所以3cos 4α=时，2cos θ取得最小值为842833329534-=+⨯．故答案为：2829． 22．（2020•某某）三角形ABC 中，D 是BC 中点，2AB =，3BC =，4AC =，则AD AB =__________． 【答案】194【解析】在ABC ∆中，2AB =，3BC =，4AC =，∴由余弦定理得，222416911cos 222416AB AC BC BAC AB AC +-+-∠===⨯⨯，∴111124162AB AC =⨯⨯=，且D 是BC 的中点，∴1()2AD AB AB AC AB =+ 21()2AB AB AC =+ 111(4)22=⨯+ 194=． 故答案为：194． 23．（2020•某某）已知1A 、2A 、3A 、4A 、5A 五个点，满足1120(1n n n n A A A A n +++==，2，3)，112||||1(1n n n n A A A A n n +++=+=，2，3)，则15||A A 的最小值为__________．【解析】设12||A A x =，则232||A A x =，344538||,||23x A A A A x==， 设1(0,0)A ，如图， 求15||A A 的最小值，则：2(,0)A x ，3422(,),(,)2x A x A x x -，52(,)23x A x--，∴2222152242||()()23493x x A A x x=-+-=+，当且仅当22449x x=，即x =15||A A ∴24．（2019•某某）在四边形ABCD 中，//AD BC ，AB =5AD =，30A ∠=︒，点E 在线段CB的延长线上，且AE BE =，则BD AE =__________． 【答案】1- 【解析】AE BE =，//AD BC ，30A ∠=︒，∴在等腰三角形ABE 中，120BEA ∠=︒，又AB =2AE ∴=，∴25BE AD =-，AE AB BE =+，∴25AE AB AD =-又BD BA AD AB AD =+=-+，∴2()()5BD AE AB AD AB AD =-+-227255AB AB AD AD =-+- 2272||||cos 55AB AB AD A AD =-+-721252555=-+⨯⨯⨯1=-故答案为：1-．25．（2019•新课标Ⅲ）已知a ，b 为单位向量，且0a b =，若25c a b =-，则cos a <，c >=__________． 【答案】23【解析】2(25)252a c a ab a a b =-=-=， 2222(25)44559c a b a a b b =-=-+=，||3c ∴=， cos a ∴<，2||||3a c c a c >==． 故答案为：23． 26．（2019•某某）如图，在ABC ∆中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，2BE EA =，AD 与CE 交于点O ．若6AB AC AO EC =，则ABAC的值是__________．【解析】设()2AO AD AB AC λλ==+，()AO AE EO AE EC AE AC AE μμ=+=+=+-1(1)3AE AC AB AC μμμμ-=-+=+ ∴1232λμλμ-⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴1214λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴11()24AO AD AB AC ==+， 13EC AC AE AB AC =-=-+，1166()()43AO EC AB AC AB AC =⨯+-+22312()233AB AB AC AC =-++ 221322AB AB AC AC =-++，221322AB AC AB AB AC AC =-++，∴221322AB AC =，∴223ABAC=，∴ABAC=27．（2018•某某）在平面直角坐标系中，已知点(1,0)A -、(2,0)B ，E 、F 是y 轴上的两个动点，且||2EF =，则AE BF 的最小值为__________． 【答案】3-【解析】根据题意，设(0,)E a ，(0,)F b ；∴||||2EF a b =-=；2a b ∴=+，或2b a =+；且(1,),(2,)AE a BF b ==-；∴2AE BF ab =-+；当2a b =+时，22(2)22AE BF b b b b =-++=+-； 222b b +-的最小值为8434--=-； ∴AE BF 的最小值为3-，同理求出2b a =+时，AE BF 的最小值为3-．故答案为：3-．28．（2018•某某）在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，(5,0)B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD =，则点A 的横坐标为__________． 【答案】3【解析】设(,2)A a a ，0a >， (5,0)B ，5(2a C +∴，)a ， 则圆C 的方程为(5)()(2)0x x a y y a --+-=． 联立2(5)()(2)0y x x x a y y a =⎧⎨--+-=⎩，解得(1,2)D ．∴223215(5,2)(,2)24022a a a AB CD a a a a a ----=---=+-=．解得：3a =或1a =-．又0a >，3a ∴=． 即A 的横坐标为3． 故答案为：3．29．（2017•某某）已知1e ，2e 12e -与12e e λ+的夹角为60︒，则实数λ的值是__________．【解析】【方法一】由题意，设1(1,0)e =，2(0,1)e =， 123(3e e -=1)-， 12(1,)e e λλ+=；又夹角为60︒，12123)()32cos60e e e e λλ∴-+==︒，λ=解得λ． 【方法二】1e ，2e 是互相垂直的单位向量， 12||||1e e ∴==，且120e e =；12e -与12e e λ+的夹角为60︒，121212123)()|3|||cos60e e e e e e e e λλ∴-+=-⨯+⨯︒，222222211221122112213(31)32322e e e e e e e e e e e e λλλλ+--=-+⨯++⨯，12λ=，λ=解得λ．． 30．（2017•某某）在平面直角坐标系xOy 中，(12,0)A -，(0,6)B ，点P 在圆22:50O x y +=上．若20PA PB ，则点P 的横坐标的取值X 围是__________．【答案】[-1]【解析】根据题意，设0(P x ，0)y ，则有22050x y +=， 0(12PA PB x =--，00)(y x --，22000000006)(12)(6)12620y x x y y x y x y -=+--=+++， 化为：00126300x y -+，即00250x y -+，表示直线250x y -+=以及直线上方的区域，联立22000050250x y x y ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，解可得05x =-或01x =，结合图形分析可得：点P 的横坐标0x 的取值X围是[-，1]，故答案为：[-1]．31．（2017•某某）在ABC ∆中，60A ∠=︒，3AB =，2AC =．若2BD DC =，()AE AC AB R λλ=-∈，且4AD AE =-，则λ的值为__________． 【答案】311【解析】如图所示，ABC ∆中，60A ∠=︒，3AB =，2AC =， 2BD DC =，∴AD AB BD =+23AB BC =+2()3AB AC AB =+-1233AB AC =+， 又()AE AC AB R λλ=-∈，∴12()()33AD AE AB AC AC AB λ=+- 221212()3333AB AC AB AC λλ=--+ 221212()32cos603243333λλ=-⨯⨯⨯︒-⨯+⨯=-， ∴1113λ=， 解得311λ=． 故答案为：311．32．（2017•新课标Ⅰ）已知向量a ，b 的夹角为60︒，||2a =，||1b =，则|2|a b +=__________．【答案】【解析】【解法一】向量a ，b 的夹角为60︒，且||2a =，||1b =，∴222(2)44a b a a b b +=++222421cos6041=+⨯⨯⨯︒+⨯12=，|2|23a b ∴+=．【解法二】根据题意画出图形，如图所示； 结合图形2OC OA OB a b =+=+；在OAC ∆中，由余弦定理得2||2OC =即|2|23a b +=．故答案为：．1．（2020•二模拟）已知向量a ，b 满足(a t =，)t ，||1b =，且()a b b -⊥，则a ，b 的夹角的最小值为（ ） A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π 【答案】C【解析】设a ，b 的夹角为[0θ∈，]π，()a b b -⊥，∴20a b b -=1cos 10θ⨯-=，1cos 2θ∴==，当且仅当t =时，等号成立， [0θ∈，]π，[3πθ∴∈，]π，即θ的最小值为3π．故选C ．2．（2020•沙坪坝区校级模拟）已知向量,a b 满足||2,1a a b ==-，则(2)a a b -=（ ） A ．0B ．2C ．4D ．6 【答案】D【解析】||2,1a a b ==-，∴2(2)24(2)6a a b a a b -=-=--=．故选D ．3．（2020•南岗区校级模拟）ABC ∆中，D 是BC 边的中点，||3AB =，||4AC =，则AD BC =（ ） A ．0B ．72-C ．72D ．252【答案】C 【解析】如图，D 是BC 的中点，||3,||4AB AC ==，∴221117()()()(169)2222AD BC AB AC AC AB AC AB =+-=-=⨯-=．故选C ．4．（2020•武昌区校级模拟）若平面向量a 与b 的夹角为60︒，||6,(2)(3)72a a b a b =+-=-，则向量b 的模为（ ） A ．2B ．4C ．6D ．12 【答案】B【解析】(2)(3)72a b a b +-=-，∴22672a a b b --=-，即2366||cos606||72b b -⨯⨯︒-=-，解得||4b =或92-（舍负）．故选B ．5．（2020•某某三模）已知向量a 与向量b 平行，且||3a =，||4b =，则a b =（ ） A ．12B ．12-C ．5D ．12或12- 【答案】D【解析】由题意知，向量a 与向量b 的夹角0θ=︒或180︒，当0θ=︒时，34cos012a b =⨯⨯︒=； 当180θ=︒时，34cos18012a b =⨯⨯︒=-． 故选D ．6．（2020•西湖区校级模拟）设a ，b ，c 为平面向量，||||2a b a b ===，若(2)()0c a c b --=，则c b 的最大值是（ ） A．52．174D ．94【答案】B 【解析】||||2a b a b ===，cos a ∴<，12||||a b b a b >==，即a <，3b π>=．设(,)c xy =，(2,0)a =，则(1,3)b =，(2)()0c a c b --=，[2(x∴，)(2y -，0)][(x ，)(1y -0=，整理得223(1)(4x y -+=，∴向量c 的终点的轨迹是以为半径的圆． 设(z cb x ==，)(1y3)x =，当直线0x z +-=与圆相切时，z 取得最大值或最小值，此时有|1|22z=，解得52z =或52∴c b 的最大值为52+ 故选B ．7．（2020•某某三模）已知向量(1,0)i =，向量(1,1)f =，则|34|i f -的值为（ ） A ．17B ．5C ．25 【答案】C【解析】根据题意，向量(1,0)i =，向量(1,1)f =，则34(1,4)i f -=--， 故|34|116i f -=+=故选C ．8．（2020•东湖区校级模拟）ABC ∆中，AB AC =，2BD DC =，E 是AC 的中点，若4AD BE =-，则AB AC =（ ） A ．0B ．2C ．4D ．8 【答案】D【解析】根据题意，作出如下所示的图形：2BD DC =，∴2212()3333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+，E 是AC 的中点，∴12BE AE AB AC AB =-=-， ∴2212111121()()433263332AD BE AB AC AC AB AB AC AB AC AB AC AB AC =+-=-+-=-=-， ∴8AB AC =．故选D ．9．（2020•红岗区校级模拟）若||||1a a b =-=，且a 与a b -的夹角为60︒，则||a b +=（ ）A ．7D ．3 【答案】B【解析】由题可知，11()||||cos601122a ab a a b -=-︒=⨯⨯=． 2()1a a b a a b a b -=-=-，∴12a b =．∴2221||()2122a b a b a a b b +=+=++=+⨯= 故选B ．10．（2020•德阳模拟）设向量(2,1)a =-，(,3)a b m +=-，(3,1)c =，若()a b c +⊥，设a 、b的夹角为θ，则cos θ=（ ）A ．35-B ．35C D ．【答案】D 【解析】(,3)a b m +=-，(3,1)c =，()a b c +⊥，330m ∴-=，可得1m =，可得(1,3)a b +=-，(2,1)a =-，∴(3,4)b =-，∴6410a b =--=-，可得||5a =，||5b =，∴设a 、b 的夹角为θ，则10cos ||||55a b a b θ-===⨯．故选D ．11．（2020•襄州区校级四模）已知向量(2,1)a =-，(6,)b x =，且//a b ，则|2|a b -=（ ）A B ．．4D ．5 【答案】A【解析】根据题意，向量(2,1)a =-，(6,)b x =， 若//a b ，则有2(1)6x =-⨯， 解可得3x =-，则(2,1)a =-，(6,3)b =-， 则2(2,1)a b -=-，则|2|41a b -=+ 故选A ．12．（2020•武侯区校级模拟）设向量(,1)a m =，(1,2)b =，且222||||||a b a b +=+，则m =（ ）A ．1B ．2C ．1-D ．2- 【答案】D【解析】由222||||||a b a b +=+得，22222a b a b a b ++=+，∴0a b =，∴20a b m =+=，得2m =-．故选D ．13．（2020•兴庆区校级模拟）平面向量a 与b 的夹角为60︒，(1,0)a =，||1b =，则|2|a b +=（ ） A．．3D ．7 【答案】B 【解析】(1,0)a =，||1a ∴=，∴||||cos a b a b a =<，111122b >=⨯⨯=．2221|2|(2)44142a b a b a a b b ∴+=+=++=+⨯． 故选B ．14．（2020•贵港四模）在直角ABC ∆中，AB AC ⊥，||3AB =，||2AC =，2AE EB=，AF FC =，设BF 与CE 交于G ，则cos AG <，AE >=（ ） A B ．35D ．45【答案】B【解析】如图，以A 坐标原点、AB 所在直线为x 轴，AC 所在直线为y 轴， 建立坐标系，则由题意(3,0)B ，AB AC ⊥，||3AB =，||2AC =，2AE EB =，AF FC =， 则(0,2)C ，(2,0)E ∴，(0,1)F ，所以，直线CE 的方程为20x y +-=，直线BF 的方程为330x y +-=， 由20330x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得3212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即3(2G ，1)2．∴31(,)22AG =，(3,0)AB =，∴9cos,AG AB<>==故选B．15．（2020•某某模拟）已知向量,a b 满足||1,||3a b==，且a与b的夹角为6π，则|2|a b-=（）A．12B．1D．13【答案】C【解析】向量,a b 满足||1a =，||3b =，且a与b的夹角为6πθ=，所以22222(2)444141cos16a b a a b bπ-=-+=⨯-⨯+=，所以|2|1a b-=．故选C．16．（2020•6月份模拟）已知向量(,2)a m=，(3b =，1)，若向量a在向量b 方向上的投影为2-，则向量a与向量b的夹角是（）A．30︒B．60︒C．120︒D．150︒【答案】C【解析】由向量数量积的定理可知，23||cos,22||a bma a bb+<>===-，故m=-，所以621cos,422||||a ba ba b-+<>===-⨯，而0a︒<，180b>︒，故夹角为120︒．故选C ．17．（2020•某某二模）已知向量a ，b 满足||1a =，()(3)a b a b -⊥-，则a 与b 的夹角的最大值为（ ）A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒ 【答案】A 【解析】||1,()(3)a a b a b =-⊥-，∴222()(3)34340a b a b a b a b b a b --=+-=+-=，∴2||34b a b +=，∴23||||33||cos ,42||||4||b a b b b a b a b b ++<>===，且0,180a b ︒<>︒， ∴3cos ,2a b <>=时，,a b 的夹角最大为30︒． 故选A ．18．（2020•某某模拟）若非零向量,a b 满足，则向量与夹角的余弦值为（ ） A ．78-B ．58-C ．34-D ．38-【答案】A【解析】由(2)(2),()(3)a b a b a b a b +⊥-+⊥+， 所以(2)(2)0a b a b +-=， 且()(3)0a b a b ++=；即2240a b -=，所以||2||a b =； 且22430a a b b ++=，代入得2224||8||cos 3||0b b b θ++=， 解得7cos 8θ=-；所以向量a 与b 夹角的余弦值为78-．故选A ．19．（2020•某某二模）已知，，记，若，则与的夹角是（ ） A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π【答案】C【解析】3(,2c m =-，(1,3)a =，且a c ⊥，∴33022a c =-++=，解得0m =，(2,0)b =-，∴21cos ,222||||a b a b a b -<>===-⨯，0,a b π<>，∴a 与b 的夹角是23π． 故选C ．20．（2020•某某三模）已知向量，满足，，且，则向量与的夹角的余弦值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】A【解析】||2a =，||1b =，|2|2b a -=，∴22444242b a a b a b +-=+-=， ∴1a b =， ∴2cos ,2||||a b a b a b <>==． 故选A ．21．（2020•某某区校级一模）已知平面向量，，，则与的夹角等于（ ） A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π【答案】C【解析】11(2)((122b a b a =+-=-=-，且(3,0)a =，∴31cos ,232||||a b a b a b -<>===-⨯，且0,a b π<>，∴a 与b 的夹角等于23π． 故选C ．22．（2020•潍坊模拟）已知向量，，若，则与的夹角为（ ）A ．6πB ．4πC ．3πD ．23π 【答案】B【解析】由a b ⊥，可得30a b λ=-+，故λ= 则3(1a b +=-，3)(3+，1)(2=，4)，设3a b +与a 的夹角为θ，则cosθ==， 因为0θπ，故4πθ=故选B ．23．（2020•道里区校级四模）已知向量，，若，则（ ）A ．6-B ．83-C ．83D ．6 【答案】A【解析】向量(3,2)m =，(4,)n x =，若m n ⊥，∴1220m n x =+=，则6x =-，故选A ．24．（2020•某某模拟）已知向量，若，则（ ）A ．194-B ．194C ．23-D ．23【答案】B【解析】2(22,5)a b m -=-，(2,3)b =-，且(2)a b b -⊥，∴(2)2(22)150a b b m -=--=，解得194m =．故选B ．25．（2020•某某模拟）已知向量，，向量在向量方向上的投影为．若，则实数的值为（ ）A ．14B ．14-C ．12D ．12-【答案】C【解析】向量1(2b =，向量a 在向量b 方向上的投影为2-，∴2||2a b b =-⨯=-，若()a b b λ+⊥，则2()210a b b a b b λλλ+=+=-+=，12λ∴=，故选C ．26．（2020•沙坪坝区校级模拟）向量，若，则（ ）A ．4-B ．32-C ．0D ．6【答案】A 【解析】向量(3,),(1,2)a m b ==，()(4a b ∴+=，2)m +，若()a b b +⊥，则()(4a b b +=，2)(1m +，2)4240m =++=，则4m =-，故选A ．27．（2020•某某二模）已知是两个非零向量，其夹角为，若，且，则（）A ．12B ．35C ．12-D ．【答案】B 【解析】,a b 是两个非零向量，其夹角为θ，若()()a b a b +⊥-，则22()()0a b a b a b +-=-=，||||a b ∴=．||2||a b a b +=-，∴222224(2)a a b b a a b b ++=-+，2610a a b ∴=． 则22335cos 5||||a a b a a b θ===，故选B ．28．（2020•某某模拟）已知向量，，且，则（ ）A B ．54C D ．5 【答案】 C 【解析】向量(2,1)a =，(1,)b m =，且a b⊥，∴20a b m =+=，2m =-， 则2||1b m =+=故选C ． 29．（2020•某某区校级二模）已知向量，，，且在方向上的投影为，则（）A ．0B ．12-C ．1-D ．24-【答案】C【解析】a 在b 方向上的投影为12-，||cos a a ∴<，12b >=-，又||2b =，∴||||cos a b a b a =<，12()12b >=⨯-=-．故选C ． 30．（2020•三模拟）的顶角，，的对边长依次等于2，3，4，则（ ）A ．212B ．32-C ．112-D ．112【答案】C【解析】根据余弦定理，22242311cos 24216B +-==⨯⨯，∴1142cos()2AB BC B π=⨯⨯-=-．故选C ．31．（2020•桃城区校级模拟）已知在中，，，点满足，则（ ）A ．89-B ．89C ．23-D ．23【答案】A 【解析】2AB CA =-，22cos()2A π∴⨯⨯-=-，得1cos 2A =， (0,)A π∈，3A π∴=，ABC ∴∆为等边三角形．以AC 的中点O 为坐标原点，以OA ，OB 分别为x 、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则(1,0)A ，B ，(1,0)C -，∴(1,CB =，(2,0)CA =．1132CP CB CA =+，∴1(13CP =1(22+，40)(3=，(1,0)C -，∴点P 的坐标为1(3，∴2(3PA PB =，1(3-，228939=--=-． 故选A ．32．（2020•某某模拟）已知，，则在方向上的投影为（ ）A B ．12C D ．52【答案】D 【解析】由数量积定义可知，a 在b 方向上的投影为215||cos ,2||a b a a b b ⨯+<>===． 故选D ．33．（2020•某某模拟）已知向量，，则在上的投影为（ ）A ．BC ． 【答案】A【解析】由数量积定义可知，a 在b 方向上的投影为3(1)||cos ,||a b a a b b ⨯-<>===．故选A．。
(高考冲刺押题)2019高考数学三轮基础技能闯关夺分必备向量的数量积(含解析).doc
(高考冲刺押题)2019高考数学三轮基础技能闯关夺分必备向量的数量积（含解析）【考点导读】1. 理解平面向量数量积的含义及几何意义.2. 掌握平面向量数量积的性质及运算律.3. 掌握平面向量数量积的坐标表达式.4. 能用平面向量数量积处理有关垂直、角度、长度的问题.【基础练习】1.,a b 均为单位向量，它们的夹角为060，那么3+=a b 132.在直角坐标系xOy 中，,i j 分别是与x 轴，y 轴平行的单位向量，假设直角三角形ABC 中，2=+AB i j ，3=+AC i kj ，那么k 的可能值个数为2个3.点O 是三角形ABC 所在平面内的一点，满足OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅，那么点O 是ABC ∆的垂心〔填重心、垂心、外心、内心〕。
4. 假设1=a ,2=b ，a 与b 的夹角为060，假设(3+5)⊥a b ()-ma b ，那么m 的值为2385. 假设||1,||2,===+a b c a b ，且⊥ca ，那么向量a 与b 的夹角为 120°6. 【范例导析】 例1、 两单位向量a 与b 的夹角为0120，假设2,3=-=-c a b d b a ，试求c 与d 的夹角的余弦值。
分析:利用22=a a 及cos θ⋅=⋅a b a b求解. 解：由题意，1==a b ，且a 与b 的夹角为0120，所以，1cos1202⋅=︒=-a b a b ，()()22222447=⋅=-⋅-=-⋅+=c c c a b a b a a b b ∴=c ，同理可得而⋅=c d 2217(2)(3)7322-⋅-=⋅--=-a b b a a b b a ，设θ为c 与d 的夹角，那么cosθ==点评：向量的模的求法和向量间的乘法计算可见一斑。
例2.平面上三个向量a 、b 、c 的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°， 〔1〕求证：()-a b ⊥c ；〔2〕假设||1++>ka b c )(R k ∈，求k 的取值范围.分析:问题〔1〕通过证明()0-⋅=a b c 证明()-⊥a b c ,问题〔2〕可以利用()22||++=++ka b c ka b c解：〔1〕∵ ||||||1===a b c ，且a 、b 、c 之间的夹角均为120°，∴ 00()||||cos120||||cos1200-⋅=⋅-⋅=-=a b c a c b c a c b c∴ ()0-⋅=a b c〔2〕∵ ||1++>ka b c ，即2||1++>ka b c也就是22222221+++⋅+⋅+⋅>k a b c ka b ka c b c∵ 12⋅=⋅=⋅=-a b b c a c ，∴022>-k k所以 0<k 或2>k 、解:对于有关向量的长度、夹角的求解以及垂直关系的判断通常是运用平面向量的数量积解决. 例3.如图，在直角△ABC 中，BC a =，假设长为2a 的线段PQ 以点A 为中点，问BC PQ 与的夹角θ取何值时CQ BP ⋅的值最大？并求出这个最大值分析:此题涉及向量较多,可通过向量的加减法那么得()()BP CQ AP AB AQ AC ⋅=-⋅-,再结合直角三角形和各线段长度特征法解决问题解：,0.AB AC AB AC ⊥∴⋅=,,,()()AP AQ BP AP AB CQ AQ AC BP CQ AP AB AQ AC =-=-=-∴⋅=-⋅- 222222()1212cos .AP AQ AP AC AB AQ AB ACa AP AC AB APa AP AB AC a PQ BCa PQ BCa a θ=⋅-⋅-⋅+⋅=--⋅+⋅=--⋅-=--⋅=--⋅=--2cos 0,(),..2PQ BC BP CQ a πθθ==⋅-故当即与方向相同时最大其最大值为点拨:运用向量的方法解决几何问题,充分表达了向量的工具性,对于大量几何问题,不仅可以用例3向量语言加以表达,而且完全可以借助向量的方法予以证明和求解,从而把抽象的问题转化为具体的向量运算.例4.平面上有以O 为圆心，以1为半径的圆，圆上有三点A, B,C,向量,,OA OB OC 满足等式mOA nOB OC +=,这里,,0m n R mn ∈≠.（1） 假设,OA OB ⊥证明：221m n +=；（2） 假设1,m n ==-证明：ABC ∆为正三角形.分析:对于问题〔1〕,抓住所证结论的特征,可将题目所给表达式mOA nOB OC +=两边同平方证得, 对于问题〔2〕,由于是有关三角形形状的问题可以结合余弦定理解决.解：〔1〕由mOA nOB OC +=两边平方得22222cos m OA n OB OA OB mn AOB ⋅+⋅+∠= 2OC ,又2221OA OB OC ===,∵,OA OB ⊥∴90AOB ∠=,∴221m n +=（3） 由〔1〕知221cos 2m n AOB mn --∠=，而1,m n ==-∴1cos 2AOB ∠=-， ∴()22222cos AB OB OA OA OB OA OB AOB =-=+-∠=3,∴3AB =,同理可得，3BC CA ==即AB=BC=CA,∴ABC ∆为正三角形.点拨:要注意平面向量与三角、平几、解几等知识的综合运用，从而提高分析问题与综合运用知识解决问题的能力，站在新的高度来认识和理解向量。
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I ．题源探究·黄金母题【例1】已知||6a =，||4b =，a 与b 的夹角为60︒，求(2)(3)a b a b +⋅-． 【解析】(2)(3)a b a b +⋅- ＝6a a a b b b ⋅-⋅-⋅＝22||6||a a b b -⋅- ＝22||cos 6||a a b b θ-⋅-＝22664cos6064-⨯⨯︒-⨯ ＝72-．II ．考场精彩·真题回放【例2】 【2016浙江高考卷】已知向量,a b ，||1a =，||2b =，若对任意单位向量e ，均有 ||||6a e b e ⋅+⋅≤，则a b ⋅的最大值是___________． 【答案】12【解析】|()|||||6||6a b e a e b e a b +⋅≤⋅+⋅≤⇒+≤，∴22||||26a b a b ++⋅≤，则12a b ⋅≤，即最大值为12．【例3】（2016年天津高考理）已知ABC ∆是边长为1的等边三角形，点E D ,分别是边BC AB ,的中点，连接DE 并延长到点F ，使得EF DE 2=，则AF BC ⋅的值为（ ） A ．85-B ．81C ．41D ．811【答案】B【例4】 【2015年天津高考理】在等腰梯形ABCD 中,已知,2,1AB DC AB BC ==，60ABC ∠=，动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且1,9BE BC DF DC λλ==，则AE AF ⋅的最小值为___________．A【答案】2918【解析】因为19DF DC λ=，12DC AB =，所以19CF DF DC DC DC λ=-=-＝199DC λλ-＝1918AB λλ-，则AE AB BE =+＝ AB BC λ+，AF AB BC CF =++＝1918AB BC AB λλ-++＝1918AB λλ+＋BC ，所以()1918AE AF AB BC AB BC λλλ+⎛⎫⋅=+⋅+ ⎪⎝⎭＝221918AB BC λλλ++＋19118AB BC λλλ+⎛⎫+⋅⋅ ⎪⎝⎭＝19199421cos1201818λλλλ++⨯++⨯⨯⨯︒＝ 21179218λλ++≥17291818=，当且仅当 2192λλ=，即23λ=时AE AF ⋅的最小值为2918． 【例5】【2015广东高考卷文】在平面直角坐标系x y O 中， 已知四边形ABCD 是平行四边形，()1,2AB =-，()2,1AD =，则AD AC ⋅=（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】D【例6】【2014山东高考卷理】在ABC ∆中，已知tan AB AC A ⋅=，当6A π=时，ABC ∆的面积为 ________. 【答案】16【解析】由tan AB AC A ⋅=得，||||cos tan ,||||AB AC A A AB AC ⋅=⋅＝tan cos AA＝ tan263cos 6ππ=，所以，1||||sin 2ABCS AB AC A ∆=⋅＝1221sin 23636π⨯⨯==． 精彩解读【试题来源】人教版A 版必修四第105页例3【母题评析】本题中,a b 是利用两个已知向量的模及它们夹角，求由它们线性关系构造出的两个新向量的数量积，求解时通常直接利用数量积公式可直接解决．高考命题常常以此题为母题加以改编，结合平面图形计算两个向量的数量积．【思路方法】求由两个已知的模及夹角的两个向量通过线性运算构造出的两个新向量的数量积，通常利用乘法法则展开，然后利用两个已知向量模与夹角进行求解． 【命题意图】本类题主要考查平面向量数量积的求法．【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度中等或较小．也有时可能与三角函数、解三角形等知识交汇，渗透于解答题中．【难点中心】（1）平面向量的数量积公式有坐标形式与非坐标两种形式，解答时注意分析条件，选择适宜的形式；（2）在平面几何图中进行向量数量积的计算通常要选择两个向量为基底，相对较困难，选择基底时通常选择的两个向量的模及夹角是已知的． III ．理论基础·解题原理考点一 向量数量积的定义及运算公式已知两个非零向量a 与b ，我们把数量||||cos a b θ叫做a 与b 的数量积（或内积），记作a b ⋅，即a b ⋅＝||||cos a b θ，其中θ为a 与b 的夹角．规定：零向量与任意向量的数量积为0．数量积的坐标形式：若向量1122()()a x y b x y ==，，，，则1122a b x y x y ⋅=+． 考点二 向量的投影||cos (||cos )a b θθ叫做向量a 在b 方向上（b 在a 方向上）的投影．考点三 向量数量积的几何意义数量积a b ⋅等于a 的长度||a 与b 在a 的方向上的投影||cos b θ的乘积． 考点四 数量积的性质（1）0a b a b ⊥⇔⋅=．（2）当a 与b 同向时，||||a b a b ⋅=；当a 与b 反向时，||||a b a b ⋅=-．特别地2||a a a ⋅=或||a a a =⋅．（3）||||||a b a b ⋅≤⋅． 【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度中等或偏下，有时也会与三角函数、解三角形等知识交汇． 【技能方法】（1）求已知两个向量的数量积，通常直接利用公式进行计算即可；（2）根据向量数量积的大小或关系求解相关的参数及其它问题，解答时通常是利用平面向量数量积公式建立方程（组）来解决，主要步骤分为两步：①简化向量的表达式；②利用向量夹角公式建立方程（组）；③解方程（组）求得参数；（3）求向量的投影通常可利用数量积的变形公式，即向量a 在b 方向的投影为||cos ||a ba b θ⋅=． 【易错指导】（1）正确理解向量的数量积，注意它与普通乘法的区别；（2）确定数量积中向量的夹角时必须注意向量的方向，易错误确定为夹角的补角； （3）利用平面向量的数量积公式的变形公式时，易错误认为向量a 在b 方向的投影为||a ba ⋅． V ．举一反三·触类旁通 考向1 求向量的数量积【例1】【2016重庆市巴蜀中学第三次月考】已知ABC ∆中，90C ∠=︒，3CB CA ==，ABC ∆所在平面内一点M 满足：1133AM AB AC =+，则MB MC ⋅=（ ）A ．1-B ．3-C ．D ．3 【答案】A【归纳总结】求两个向量的数量积主要有三种题型：（1）求给出坐标的两个向量的数量积，利用公式 1212a b x x y y ⋅=+求解；（2）求非坐标形式的两个向量的数量积，利用公式||||cos a b a b θ⋅=求解；（3）在平面几何图求向量向量的数量积，有两种策略：①选择基底，将所求向量利用基底表示，然后利用公式||||cos a b a b θ⋅=求解；②建立平面直角坐标系，将向量利用坐标表示出来，然后利用公式1212a b x x y y ⋅=+求解．【跟踪训练】已知向量a b 、满足2,3a b ==，且a 与a b +夹角的余弦值为13，则a b ⋅可以是（ ）A ．4B ．-3C ．-D ．-2 【答案】D【解析】由已知向量a b 、满足2,3a b ==，且a 与a b +夹角的余弦值为13，则 12()49233a a b a a b a b ⋅+=+⨯=⨯++⋅，即221323a ab a b +⋅=⨯+⋅，所以2a b ⋅=-或469a b ⋅=-，故选D ．考向2 根据平面向量的数量积求解参数问题【例2】【2016湖北黄冈中学高三5月一模】已知,AD BE 分别是ABC ∆的中线，若1AD BE ==，且23AB AC ⋅=，则AD 与BE 的夹角为___________． 【答案】0120【名师点睛】根据向量的夹角求相关参数的值或取值范围，无论是坐标形式的向量还是非坐标形式的向量夹角，都必须要建立方程（组）来解决．考向3 求数量积的最值或取值范围【例3】【2016成都七中高三下三练】已知点M 是边长为2的正方形ABCD 的内切圆内（含边界）一动点，则⋅MA MB 的取值范围是（ ）A ．[]1,0-B ．[]1,2-C ．[]1,3-D ．[]1,4- 【答案】C【解析】建立坐标系如图所示，设(),M x y ，其中()1,1A --，()1,1B -，易知221x y +≤，而()()()221,11,111MA MB x y x y x y ⋅=++⋅-+=++-．若设()0,1E -，则21MA MB ME ⋅=-，由于02ME ≤≤，所以21MA MB ME ⋅=-的取值范围是[]1,3-，故选C.12-1-2-1-212xyOABC DE M【方法归纳】求平面向量的数量积的最值或取值范围通常有如下途径：（1）根据条件建立函数，通常求函数的最值来解决，而建立函数时有时可通过建立坐标系来处理；（2）如果条件中的向量具有几何意义，可转化为平面几何问题，利用图形的直观性来解决．【跟踪训练】在等腰直角ABC ∆中，90ABC ∠=︒，2AB BC ==，M N ，为AC 边上的两个动点，且满足 2MN =，则BM BN ⋅的取值范围为___________． 【答案】3[,2]2【解析】建立直角坐标系，设(0,0)B ，(2,0)A ，(0,2)C ，则利用2MN =可设00(,2)N x x -，00(1,3)M x x --，其中0[1,2]x ∈，那么2002(33)BM BN x x ⋅=-+3,22⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则3,22BM BN ⎡⎤⋅∈⎢⎥⎣⎦.考向3 利用平面向量的数量积求向量的投影【例3】【2016湖北襄阳五中高三5月高考模拟一】若向量,a b 满足22a a b =+=，则a 在b 方向上投影的最大值为（ ）A ．3B ．3-C ．6D ．6- 【答案】B【技巧点拨】求向量a 在b 上的投影主要有两种途径：（1）利用公式||cos ,a a b <>求解；（2）根据向量的数量积公式的变形公式求解，即||cos ,||a ba ab b ⋅<>=． 考向4 平面向量的数量积与三角函数的交汇【例4】【2016江西南昌市八一中学等高三上期末联考】已知,,A B C 三点的坐标分别是(3,0)A ，3(0,3),(cos ,sin ),(,)22B C ππααα∈，若1AC BC ⋅=-，则ααα2sin sin 2tan 12++=__________. 【答案】59-【解析】由题(cos 3,sin )AC =α-α，(cos ,sin 3)BC =αα-．又1AC BC ⋅=-，得cos (cos 3)αα-＋sin (sin 3)1αα-=-，化简的得：2sin cos 3α+α=，则 21tan 2sin sin 2+αα+α＝cos sin cos 2sin (sin cos )α+αααα+α＝ 12sin cos αα．又245(sin cos ),2sin cos 99α+α=αα=-，得21tan 92sin sin 25+α=-α+α． 【例5】【2016河北衡水中学二调】已知A 、B 、C 分别为ABC ∆的三边a 、b 、c 所对的角，向量()sin ,sin m A B =，()cos ,cos n B A =，且sin 2C m n ⋅=．（1）求角C 的大小；（2）若sin A ，sinC ，sin B 成等差数列，且()18CA AB AC ⋅-=，求边c 的长． 【答案】（1）3C π=；（2）6c =．【规律总结】平面向量的数量积与三角函数的交汇通常体现为以三角函数为向量的坐标，同时给出向量的数量积大小或范围，求解三角函数问题或向量问题等．解答的策略主要有两类：（1）利用平面向量数量积公式化为纯三角函数，然后利用三角函数的知识求解；（2）利用三角函数知识求得平面向量的模或向量的夹角后，然后可利用平面向量数量积公式求解． 考向5 平面向量的数量积与函数的交汇【例6】【2016福建上杭县一中高三12月考】已知函数()y f x =的图象是开口向下的抛物线，且对任意x ∈R ，都有(1)(1)f x f x -=+，若向量12(log ,1)a m =-，(1,2)b =-，则满足不等式()(1)f a b f ⋅<-的实数m 的取值范围___________．【答案】102m <<或8m >. 【解析】12log 2a b m ⋅=+，从条件“对任意x ∈R ，都有(1)(1)f x f x -=+”得到抛物线的对称轴为1x =，结合图象12()(1)|log 21||11|f a b f m ⋅<-⇔+->--，即12|l o g1|2m +>利用绝对值的定义去掉绝对值符号，得12log 12m +>或12log 12m +<-，解得102m <<或8m >． 【方法点睛】（1）本题关键是先根据(1)(1)f x f x -=+，找出抛物线的对称轴，结合开口向下利用抛物线的对称性去掉f ，把抽象不等式转化为具体的绝对值不等式；（2）解绝对值不等式时，利用绝对值定义去掉绝对值符号，转化为对数不等式；（3）解对数不等式时要注意限制真数大于零，化同底，根据对数函数的单调性转化为不等式组求解．考向6 平面向量的数量积与解析几何的交汇【例7】【2016山东实验中学高三一模】已知AB 是圆22:(1)1C x y -+=的直径，点P 为直线10x y -+=上任意一点，则PA PB ⋅的最小值是（ ）A ．1B ．0CD 1 【答案】A【解析】由题意得，2()()()PA PB PO OA PO OB PO PO OA OB OA OB ⋅=+⋅+=+⋅++⋅＝22PO r -， 即为22d r -，其中为圆外点到圆心的距离，r 为半径，以内当d 取最小值时，PA PB ⋅的取值最小，可知d =PA PB ⋅的最小值211-=，故选A ．【例8】【2016届福建省厦门市高三5月月考】已知点(1,0)M ，,A B 是椭圆2214x y +=上的动点，且0MA MB ⋅=，则MA BA ⋅的取值范围是（ ）A ．2[,1]3B ．[1,9]C ．2[,9]3D ． 【答案】B【解析】设00(,)A x y ,因22200()(1)MA BA MA BM MA MA x y ⋅=⋅+==-+,且2200114y x =-,故 2000322(11)4MA BA x x x ⋅=-+-≤≤，所以min 342()221493MA BA ⋅=⨯-⨯+=，max ()MA BA ⋅ ＝ 342(2)294⨯--+=，故选B ． 【名师指引】因为解析几何中曲线上的点是利用坐标表示的，这与向量的坐标运算完全融合在一起，因此圆锥曲线中的数量积问题与平面向量中的数量积问题也有紧密联系．解答此类题主要是抓住向量的坐标表示及坐标间的关系，有时与韦达定理结合来处理．。