八年级数学线段和角的轴对称性1(2019年)
2.4__线段、角的轴对称性(1)
如图，在线段AB的垂直平分线l外任 取一点P，连接PA、PB，设PA交l于点Q， 连接QB． 根据“线段的垂直平分线上的点到 线段两端点的距离相等”，∵点Q在AB 的垂直平分线上，∴QA＝QB． ∴PA＝PQ＋QA＝PQ＋QB．
A
∵三角形的两边之和大于第三边，
∴PQ＋QB＞PB，即PA＞PB．
2.4 线段、角的对称性（1）
A E B D C
3. 如图，△ABC中，∠C=900，DE是AB的垂 直平分线，且∠BAD，∠CAD=3：1，则∠B ＝_______.
C
D
A
E
B
4.如图，分别作出点P关于OA、OB的对称点P1、P2， 连结P1P2, 分别交OA、OB于点M、N，若P1P2=5cm， 则△PMN的周长为_________________.
l
∵点P是线段AB的垂直平分线上的点 ∴PA＝PB ．
P
或
∵PO⊥AB，OA=OB
∴PA＝PB ．
1 A
2 O
B
问题：到一条线段两端距离相等的点有
个.
2.4 线段、角的对称性（1）
想一想
线段垂直平分线外的点到这条线段两端的距离相等吗？ 为什么？请你画出图形，试着说明.
解：不相等.
l Q 1 2 B O P
初中数学 八年级(上册)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2.4
线段、角的对称性（1）
2.4 线段、角的对称性（1）
做一做
在一张薄纸上画一条线段AB，操作并思考： 线段是轴对称图形吗？
A
B
2.4 线段、角的对称性（1）
想一想
线段是轴对称图形，它的对称轴在哪里？为什么?
l 1 2 B
线段、角的轴对称性
A
中点处，电线杆就
与地面垂直了,你
能说明理由吗？
B
C
D
线结段论的垂直平分
线的判定: 与一条线段两个端点距离相等的点，
在这条线段的垂直平分线上.
C M
A
0
B
符号语言
N
∵ MA=MB
∴点M在线段AB的垂直平分线上
点P在线 段AB的垂 直平分线 MN上
PA=PB
M P
A
NB
性质定理：线段垂直平分线上的点和这条
例题讲解 已知:如图,在ΔABC中, AB、
BC的中垂线交于点O，那么点O在AC的中垂 线上吗？为什么？
A ME
·O
B
C
FN
变式：在△ABC中,求作一点O,使OA=OB=OC.
随堂练习 如图，在△ABC中, ∠ACB=900,AB的中垂线交BC于E,垂足 为D,∠CAE:∠EAB=3:1,则∠B=_1_8_°．
线段两个端点的距离相等.
判定定理：和一条线段两个端点距离相等
的点，在这条线段的垂直平分线上.
线段的垂直平分线是到线段两端距
离相等的点的集合.
操作 用直尺和圆规作线段的垂
直平分线.
作法
图形
1大径.分于 画别弧12以,两AA弧B、的相B长为交为圆于半心,
A
B
点C、D.
2.过C、D两点作 直线.
则直线CD就是线段 AB的垂直平分线.
线段、角的轴对称性 (1)
■你对线段有哪些认识?
A
B
线段是轴对称图形．它有两条 对称轴，分别为:线段的中垂线, 线段本身所在的直线.
如图,已知:直线CD是线段AB的垂直
平分线,点M是直线CD上任一点,连结
2.4 线段、角的轴对称性 课件 苏科版数学八年级上册
例 3 在铁路a的同侧有两个工厂A和B，要在铁路边建一货 场C，使A、B两个工厂到货场C的距离相等，试在图 2.4-6 中作出点C.
解题秘方：连接AB，作出线段AB的垂直平分线即可. 解：连接AB，作线段AB的垂直平分线交直线a于点C. 如图2.4-6, 点C即为所求.
方法点拨
尺规作图时要注意虚实线，即辅助性的线 用虚线，所要画的线用实线，同时要注意保留 作图痕迹.
3. 角平分线的判定定理与性质定理的关系 (1)如图2.4-9，都与距离有关，条件PD⊥OA，PE⊥OB 都具备； (2)点在角的平分线上 性质 (角的内部的)点到角两边的 判定 距离相等.
4. 拓展 三角形三个内角的平分线交于一点且这点到三边 的距离相等.
特别提醒
1. 使用该判定定理的前提是这个点必须在角的内部. 2. 角平分线的判定是由两个条件(垂线，线段相等) 得到一个结论(角平分线). 3. 角平分线的判定定理是证明两角相等的重要依据， 它比利用三角形全等证两角相等更方便快捷.
特别解读
1. 线段垂直平分线的性质中的“ 距离”是 “该点与这条线段两个端点的距离”.
2. 用线段垂直平分线的性质可直接证明线段相 等，不必再用三角形全等来证明，因此它为证明 线段相等提供了新方法.
例 1 如图2.4-2，在△ABC中，AB边的垂直平分线DE，分 别与AB边和AC边交于点D和点E，BC边的垂直平分
解题秘方：由线段垂直平分线的判定可知，证明 AD所在的直线上的点A和点D到线段EF的两个端 点的距离相等即可.
解：线段AD所在的直线是线段EF的垂直平分线. 证明：如图2.4-4，连接DE、DF. ∵ AD为∠BAC的平分线，∴∠EAD＝∠FAD. 在△AED和△AFD中，
AE＝AF， ቐ∠EAD＝∠FAD，∴△AED≌△AFD. ∴ DE＝DF.
苏科版数学八年级上册教学设计《2-4线段、角的轴对称性(1)》
苏科版数学八年级上册教学设计《2-4线段、角的轴对称性（1）》一. 教材分析《苏科版数学八年级上册》第三章是关于几何图形的对称性，本节课是该章节的第一节，主要内容是2-4线段和角的轴对称性。
教材通过引入日常生活中的实例，让学生感受对称性的存在，从而引导学生探究线段和角的对称性质。
教材先从线段的对称性入手，让学生了解线段的对称轴和轴对称的性质，再引入角的对称性，让学生探究角的对称轴和轴对称的性质。
二. 学情分析学生在七年级时已经学习了平面几何的基本概念，对图形的性质有一定的了解。
但对称性这一概念对学生来说较为抽象，需要通过实例和活动让学生感受和理解。
学生在学习过程中，需要从实际问题出发，通过观察、操作、猜想、验证等环节，体会对称性的存在和意义。
三. 教学目标1.理解线段和角的对称性质，掌握线段和角的对称轴的定义。
2.能够判断一个线段或角是否具有对称性，并找出其对称轴。
3.会用对称性解释一些实际问题，提高解决问题的能力。
四. 教学重难点1.教学重点：线段和角的对称性质，对称轴的定义。
2.教学难点：如何判断一个线段或角是否具有对称性，如何找出其对称轴。
五. 教学方法采用问题驱动法、实例教学法、操作验证法、小组讨论法等，引导学生从实际问题中发现对称性，通过操作和验证理解对称性，通过小组讨论深化对对称性的理解。
六. 教学准备1.准备一些具有对称性的线段和角的实例，用于导入和呈现。
2.准备一些操作工具，如直尺、量角器等，用于学生操练。
3.准备一些练习题，用于巩固和拓展。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些具有对称性的线段和角的实例，如折纸、剪纸等，引导学生观察和思考：这些图形有什么共同的特点？它们是如何形成的？从而引出对称性的概念。
2.呈现（10分钟）介绍线段和角的对称性质，讲解对称轴的定义。
通过展示线段和角的轴对称的动画，让学生直观地理解对称性质。
同时，让学生尝试判断一些线段和角是否具有对称性，并找出其对称轴。
苏科版数学八年级上册 2.4 线段、角的轴对称性(1) 教案
教学设计：2.4 线段、角的轴对称性(1)【教材分析】本节是苏科版教材八年级上册内容，学生在理解线段轴对称性的基础上，掌握线段垂直平分线的性质，并能灵活运用进行说理，为今后学习分析复杂的图形做好铺垫，发展学生的空间观念和想象力。
【学情分析】在前面的学习中学生已经认识了轴对称，学习了轴对称的概念，加强了对图形的理解和认识，初步探索并掌握线段的垂直平分线的性质，为接下来的学习奠定了基础。
【教学目标分析】1、知识与技能：理解线段的轴对称性，认识线段的对称轴；理解并掌握线段垂直平分线的性质。
2、过程与方法：经历探索线段的轴对称性的过程，进一步体验轴对称的性质，发展空间观念。
3、情感、态度与价值观：通过学生动手、动脑、探究、讨论的过程培养学生的动手能力和探索精神，使学生在学习的过程中掌握知识，感受数学的魅力。
【教学重点难点分析】重点：掌握线段的垂直平分线的性质难点：线段的垂直平分线的性质的运用及说理【教法指导】鉴于教材特点及初二学生的年龄特点、心理特征和认知水平，本节课采用层层推进的提问启发学生深入思考，主动探究，主动获取知识。
同时注意与学生已有知识的联系，减少学生对新概念接受的困难，给学生充分的自主探索时间。
通过教师的引导，启发调动学生的积极性，让学生在课堂上多活动、多观察，主动参与到整个教学活动中来，组织学生参与“探究——讨论——交流——总结” 的学习活动过程，同时在教学中，还充分利用多媒体教学，通过演示，操作，观察，练习等师生的共同活动中启发学生，让每个学生动手、动口、动眼、动脑，培养学生直觉思维能力。
【学法指导】本堂课立足于学生的“学”，要求学生多动手，多观察，从而可以帮助学生形成分析、归纳的思想方法。
让学生在动手操作中学到知识。
提高学生利用已学知识去主动获取新知识的能力。
因此在课堂上要采用积极引导学生主动参与，合作交流的方法组织教学，使学生真正成为教学的主体，体会参与的乐趣，成功的喜悦，感知数学的奇妙。
1.4线段、角的轴对称性(1)教案
教案1．4线段、角的轴对称性(1)【学习目标】：1.经历探索线段的轴对称性的过程，进一步体验轴对称的特征，发展空间观念；2 .探索并掌握线段的垂直平分线的性质.【重点难点】：线段中垂线的性质和判定【预习指导】：自学课本18页到19页，回答下列问题并写下疑惑摘要问题1：线段是轴对称图形吗？为什么问题2线段的对称轴是什么？问题3已知线段MN=3cm ,直线l是MN的垂直平分线。
分别以M,N 为圆心，2cm的长为半径画弧，两弧相交于点G、H，并观察点G,H与直线l有什么关系?课堂活动活动一对折线段问题1：按要求对折线段后，你发现折痕与线段有什么关系？问题2：按要求第二次对折线段后，你发现折痕上任一点到线段两端点的距离有什么关系？结论：1＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿2＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿例题：P18 例1这是一道文字描述的几何说理题，对大多数同学来说容易理解，但不易叙述，因此要做一定的分析，如：你能读懂题目吗？题中已知哪些条件？要说明怎样一个结论？题中的已知条件和要说明的结论能画出图形来表示吗？根据图形你能说明道理吗？活动二用圆规找点问题1：你能用圆规找出一点Q，使AQ＝BQ吗？说出你的方法并画出图形（保留作图痕迹），还能找出符合上述条件的点M吗？问题2：观察点Q、M，与直线l有什么关系？符合上述条件的点你能找出多少个？它们在哪里？结论：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿活动三用直尺和圆规作线段的垂直平分线1.按课本上19页的方法在书上作出线段的垂直平分线；2.同位可画出不同位置的线段，相互作出线段的垂直平分线结论：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿【典题选讲】：已知：如图，AB=AC=12 cm，AB的垂直平分线分别交AC、AB于D、E，△ABD的周长等于29 cm，.求DC的长【学习体会】：【课堂练习】：1、如图，△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，若BC=25cm ，求△AEG的周长？2.在下图中分别作出点P 关于OA 、OB 的对称点C 、D ，连结C 、D 交OA 于M ，交OB 于N,若CD=5厘米，求ΔPMN 的周长.3、滨海政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A 、B 、C 之间修建一个购物中心，试问，该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等.C BA（ 编写者：李晓红）· BO A。
苏科版数学八年级上册2.4《线段 角的轴对称性》教学设计1
苏科版数学八年级上册2.4《线段角的轴对称性》教学设计1一. 教材分析《苏科版数学八年级上册2.4《线段角的轴对称性》》这一节主要介绍了线段和角的轴对称性质。
通过这一节的学习，学生可以了解线段和角的轴对称性质，并学会如何运用这些性质解决实际问题。
教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生巩固所学知识，提高解决问题的能力。
二. 学情分析学生在学习这一节之前，已经学习了平面几何的基本概念，如点、线、角等，并掌握了一定的几何证明方法。
然而，对于轴对称性质的理解和运用，部分学生可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习情况，针对性地进行辅导，帮助学生理解和掌握轴对称性质。
三. 教学目标1.了解线段和角的轴对称性质，并能熟练运用这些性质解决实际问题。
2.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
3.提高学生解决几何问题的能力，培养学生的数学素养。
四. 教学重难点1.线段和角的轴对称性质的理解和运用。
2.轴对称性质在几何证明中的应用。
五. 教学方法1.采用直观演示法，通过实物和几何模型，让学生直观地感受轴对称性质。
2.运用讲解法，引导学生理解轴对称性质的内涵，并学会如何运用这些性质解决实际问题。
3.采用案例分析法，分析轴对称性质在几何证明中的应用，提高学生解决问题的能力。
4.运用练习法，巩固所学知识，提高学生的应用能力。
六. 教学准备1.准备相关的几何模型和实物，如线段、角等。
2.准备PPT，展示相关的例题和练习题。
3.准备黑板，用于板书解题过程和几何证明。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过实物和几何模型，引导学生观察和思考轴对称性质。
例如，拿出一个矩形和一个圆形，让学生观察它们的轴对称性质。
2.呈现（10分钟）教师通过PPT呈现线段和角的轴对称性质的定义和定理，并用几何模型进行解释。
同时，给出一些例题，让学生初步了解轴对称性质的应用。
3.操练（10分钟）学生独立完成PPT上的练习题，巩固对轴对称性质的理解。
八年级角的轴对称性知识点
八年级角的轴对称性知识点在初中数学的几何学习中，角的轴对称性是一个十分重要的知识点。
本文将详细介绍八年级数学学习中角的轴对称性的相关知识。
1. 角的轴对称性的定义所谓角的轴对称性，就是指在平面内，有一条直线，将一个角分成二等份，且两等份的形状和大小完全一致，这条直线便称为这个角的轴对称线。
2. 轴对称线的判断和画法判断一条线是否为角的轴对称线的方法有多种，其中一种常用的方法是通过画图法。
具体方法如下：（1）将所给的角画在平面直角坐标系中；（2）以顶点为中心，根据所给角的度数，将该顶点所在平面分成两份；（3）选取一条过顶点的直线作为轴对称线，通过翻折的方式，使得两份完全重叠在一起。
如果能使两份完全重叠在一起，则说明所选的直线是该角的轴对称线。
3. 角度的轴对称性在初中数学中，角的轴对称性可以分为两类：角度的轴对称性和角度的反轴对称性。
所谓角度的轴对称性，就是指对于一个角，存在一条轴对称线，使得该角沿着轴对称线对称后，两个角度完全相等，并且两个角的顶点与轴对称线的对称点重合。
4. 角的轴对称性的性质角的轴对称性有以下性质：（1）一个角的轴对称线只有一条；（2）一个角的轴对称线上任意一点到该角两侧的两边的距离相等；（3）若一个角所对的两条边分别与另一角度的两条边相等，则这两个角就是互相轴对称的。
5. 角的轴对称性的应用角的轴对称性的应用广泛，常见的有以下几个方面：（1）通过判断两个角是否轴对称来判断它们是不是相等的；（2）通过构造轴对称线使一个平面图形完全重合，达到证明相似的目的；（3）通过轴对称性构造一些与平面图形有关的问题，如正方形、菱形、正六边形等。
6. 总结角的轴对称性是初中数学中十分基础而重要的知识点，它能够帮助我们更好地理解和应用几何知识，是我们后续学习几何学习的基础。
2.4线段、角的轴对称性(1)说课稿-苏科版八年级数学上册
2.4 线段、角的轴对称性（1）说课稿-苏科版八年级数学上册一、教材分析本节课是苏科版八年级数学上册中的第2.4节，主要介绍线段和角的轴对称性。
通过本节课的学习，学生将掌握线段和角的轴对称定义、判断和绘制轴对称图形的方法。
在前面的学习中，学生已经学习了线段和角的基本概念和性质，理解了线段和角的度量和运算方法。
通过本节课的学习，可以进一步加深对线段和角的理解，并通过绘制轴对称图形的练习，提高学生的问题解决能力和几何思维能力。
二、教学目标知识与技能目标：1.理解线段的轴对称定义及其性质；2.理解角的轴对称定义及其性质；3.掌握判断线段和角是否具有轴对称的方法；4.能够根据已知条件绘制具有轴对称性的图形。
过程与方法目标：1.注重观察和思考，培养学生的几何思维和推理能力；2.引导学生通过实例分析和讨论，理解轴对称性的概念和特点；3.鼓励学生进行合作学习和探究，培养团队合作意识和解决问题的能力。
情感态度与价值观目标：1.培养学生的观察力和细致心思，培养学生对几何学习的兴趣和热情；2.培养学生的合作精神和团队意识，鼓励学生互帮互助，共同进步。
三、教学重点与难点教学重点：1.线段的轴对称性及其判断方法；2.角的轴对称性及其判断方法；3.绘制具有轴对称性的图形。
教学难点：1.引导学生理解轴对称的概念和特点；2.培养学生观察和分析问题的能力。
四、教学过程与方法引入新知：1.利用实例引入轴对称的概念，例如一把剪刀、一个图形等，让学生观察并发现其中的特点；2.引导学生分析并总结轴对称的特点，例如镜面对称；3.引入线段和角的轴对称性的概念，让学生讨论并理解。
讲解与练习：1.通过示例和图形，讲解线段的轴对称性，并引导学生掌握判断线段是否具有轴对称性的方法；2.通过示例和图形，讲解角的轴对称性，并引导学生掌握判断角是否具有轴对称性的方法；3.组织学生进行练习，巩固判断线段和角是否具有轴对称性的能力。
拓展与应用：1.引导学生思考如何绘制具有轴对称性的图形；2.组织学生进行绘制图形的练习，培养他们的几何思维和创造力；3.引导学生分析和讨论绘制图形的方法和策略。
2.4线段、角的轴对称性(第1课时)(同步课件)八年级数学上册同步精品课堂(苏科版)
∵∠BAC=∠BAD+∠CAE+∠DAE
∴∠DAE=∠BAC-(∠BAD+∠CAE)=2α-180°
思维拓展
在△ABC中，∠BAC=α，边AB的垂直平分线交BC于点D，边AC的垂直平
分线交BC于点E，连接AD，AE，则∠DAE的度数为______________．
P
● 2
●
●
A●
●
P3
O
●
B(A)
新知归纳
线段的垂直平分线的性质定理：
线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．
符号语言：
l
∵点P在线段AB的垂直平分线上，
●
A●
∴ PA=PB
（线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）.
用途：
相等的线段
P
●
O
B
操作与思考
思考4 线段的垂直平分线外的点，到这条线段两端的距离相等吗？
B
理由： 在l上另取一点P，连接PA、PB、PA'.
由作图可知，l是AA'的垂直平分线，
A
∴ AP=A'P，AM=A'M，
l
M
A'
∴ AM+BM=A'M+BM=A'B，
P
AP+BP=A'P+BP，
由“两点之间线段最短”可得:
A'B＜A'P+BP.
即AM+BM最短.
课堂小结
线
段
垂
直
平
分
线
的
性
质
内容
2_4线段、角的轴对称性(1)
2.4线段、角的轴对称性（1）【学习目标】1．探索并证明线段垂直平分线的性质定理，能利用所学知识提出问题并解决生活中的实际问题；2．能利用基本领实有条理的实行证明，做到每一步有根有据，渗透反证法的思想；思考的严谨性和表达的条理性．【学习重点】利用线段的轴对称性探索线段垂直平分线的性质．【学习难点】1．利用线段垂直平分线的性质解决生活中的实际问题；2．使用所学知识说明线段的垂直平分线外的点到线段两端的距离不相等．【自主预习】在一张薄纸上画一条线段AB ，操作并思考：线段是轴对称图形吗？假如是，对称轴在哪里？为什么？【合作探究】1.如图2-17直线l 是线段AB 的垂直平分线，假如沿直线l 翻折，你有什么发现？说说你的看法．2.如图，线段AB 的垂直平分线l 交AB 于点O ，点P 是l 上任意一点，PA 与PB 相等吗？为什么？通过证明，你发现了什么？用语言描绘你得到的结论．总结：活动设计：试判断：线段的垂直平分线外的点到这条线段两端的距离相等吗？引导学生展开讨论：1．你能读懂题目吗？题中已知哪些条件？要说明怎样一个结论？2．请你利用题中的已知条件和要说明的结论画出图形．3．根据图形你能证明吗？试一试，让学生自己作图，讨论研究，并给出结论和证明．【课堂检测】1.线段垂直平分线上的点到距离相等2.线段是轴对称图形，它的对称轴是3.如下图，ED是BC的垂直平分线，且BE=5, CD=8,那么CE= ,BD=4.如图，在ΔABC中，AB的中垂线交AC与点E，若AE=2,则B、E两点间的距离是（）A. 4B. 2C. 3D. 0.55.如图，若AC是BD的中垂线，AB=5cm,BC=3cm,求四边形ABCD的周长6.如图，在ΔABC中，BC边上的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于点E,ΔABC的周长为18厘米，ΔABE的周长为10厘米，求BD的长.。
八年级数学上册第一章轴对称图形1.4线段、角的轴对称性1
A O A 'O 1 2 900
第五页，共十四页。
动手 试试 (dòng shǒu)
• 1、画线段AB; • 2、取中点O; • 3、过点O作AB的垂线(chuíxiàn)L; • 4、在L上任取一点P； • 5、连接PA,PB; • 6、度量PA,PB； • 你发现了什么？
练习(liànxí)
如图，在ABC中，AB=AC=5,BC=4, AB的垂直平分线DE分别交AB、AC 于点E,D.求BCD的周长。
解： D E是 AB的 垂 直 平 分 线
BD AD C BCD B C B D C D BC AD CD BC AC 45 9第十一页，共十四页。
• 线段是轴对称图形吗？
第三页，共十四页。
结论(jiélùn)
• 线段(xiànduàn)是________图形，____________ 是它的对称轴；
第四页，共十四页。
线段 垂直平分线的性质 (xiànduàn)
由定义得到的性质：
线段(xiànduàn)的垂直平分线垂直于这条线段(xiànduàn)，并且平分这条线段(xià
5533
16
第九页，共十四页。
例题 2 (lìtí)
• 如图，已知ΔABC。分别作出 AB,AC的垂直平分线m,n，交于点 O。
• （1）测量(cèliáng)一下，OA=OB=OC吗
？为什么？
• （2）如果三角形的形状变化了， 上述结论是否仍然成立？由此，你 可以得出什么结论？
第十页，共十四页。
第十四页，共十四页。
AO BO
A O P B O P 900
（ 理 由 ： ____________)
线段、角的轴对称性
第04讲线段、角的轴对称性【学习目标】1、理解对应点连线被对称轴垂直平分的性质。
2、了解线段的垂直平分线和角平分线的概念，探索并掌握其性质与判定方法。
【基础知识】1．角平分线的性质角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C 在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE2．线段垂直平分线的性质（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．【考点剖析】一．角平分线的性质（共6小题）1．（2021秋•焦作期末）点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于5，点Q是OB边上的任意一点，下列选项正确的是（）A．PQ＜5B．PQ＞5C．PQ≥5D．PQ≤52．（2021秋•渑池县期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若AB＝8，△ABD的面积为16，则CD的长为（）A．2B．4C．6D．83．（2021秋•锡山区期末）如图，已知△ABC的周长是10，∠B和∠C的平分线交于P点，过P点作BC的垂线交BC于点D，且PD＝2，则△ABC的面积是．4．（2021秋•石城县期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB于点E，且E为AB的中点．（1）求∠B的度数．（2）若DE＝5，求BC的长．5．（2021秋•如皋市期末）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝4cm，BC＝7cm，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为cm2．6．（2022春•丹徒区月考）如图，AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，AB⊥BC于B，∠1+∠2＝90°．求证：DC⊥BC．二．线段垂直平分线的性质（共7小题）7．（2021秋•高青县期末）如图，在△ABC中，DE垂直平分BC交AB于点D，交BC于点E．若AB＝10cm，AC＝8cm，则△ACD的周长是（）A．12cm B．18cm C．16cm D．14cm8．（2021秋•江都区期末）如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，若∠BAC＝114°，则∠EAF为（）A．40°B．44°C．48°D．52°9．（2022•工业园区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，直线DE是边AB的垂直平分线，连接BE．（1）若∠A＝35°，则∠CBE＝°；（2）若AE＝3，EC＝1，求△ABC的面积．10．（2021秋•鼓楼区校级月考）在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G．若BC＝15，求△AEG的周长．11．（2021秋•梁溪区校级期中）如图，△ABC中，∠BAC＝105°，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，E、G分别为垂足．（1）求∠DAF的度数；（2）如果BC＝8，求△DAF的周长．12．（2022•建湖县一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，若AC＝5cm，BC＝12cm，则△ACD的周长为cm．13．（2022•宿城区校级开学）如图，△ABC中，DE垂直平分AB交AB于点D，交BC于点E，∠B＝30°，∠ACE＝50°，则∠EAC＝．【过关检测】一、单选题1．（2020·江苏八年级月考）三名同学分别站在一个三角形三个顶点的位置上，他们在玩抢凳子的游戏，要求在他们中间放一个凳子，抢到凳子者获胜，为使游戏公平，凳子应放的最适当的位置在三角形的（ ）A ．三条角平分线的交点B ．三边中线的交点C ．三边上高所在直线的交点D ．三边的垂直平分线的交点2．（2021·江苏八年级期中）如图所示，在四边形ABCD 中，90BCD ∠=︒，AB BD ⊥于点B ，点E 是BD 的中点，连接AE ，CE ，则AE 与CE 的大小关系是（ ）A ．AE CE <B ．AE CE =C ．AE CE >D ．2AE CE =3．（2021·江苏八年级专题练习）到三角形三个顶点距离相等的点是（ ）的交点．A ．三角形三边垂直平分线的交点B ．三角形三条高的交点C ．三角形三条中线的交点D ．三角形三条角平分线的交点4．（2021·江苏泰州中学附属初中八年级月考）如图，在ABC 中，34A ∠=︒分别以点A 、C 为圆心，大于12AC 长为半径画弧，两弧分别相交于点M 、N ，直线MN 与AC 相交于点E ．过点C 作CD AB ⊥，垂足为点D ，CD 与BE 相交于点F ．若BD CE =，则BFC ∠的度数为（ ）A ．102︒B ．107︒C ．108︒D ．124︒5．（2021·江苏八年级专题练习）如图，在ABC 中，45,ABC AD BE ∠=︒,分别为,BC AC 边上的高，,AD BE 相交于点F ，连接CF ，则下列结论：①BF AC =；②FCD DAC ∠=∠；③CF AB ⊥；④若2BF EC =，则FDC △周长等于AB 的长．其中正确的有（ ）A ．①②B ．①③④C ．①③D ．②③④二、填空题6．（2020·南京市金陵汇文学校八年级开学考试）如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，BE ⊥AC ，垂足分别为点D ，E ，AD 与BE 相交于点F ，若BF =AC ，则∠ABC =___________°．7．（2021·江苏八年级期中）如图，△ABC 中，边BC 的垂直平分线分别交AB 、BC 于点E 、D ，AC ＝5，△AEC 的周长为12，则AB ＝___．8．（2021·江苏八年级期中）如图，在△ABC 中，按以下步骤作图：①以B 为圆心，任意长为半径作弧，交AB 于D ，交BC 于E ；②分别以D ，E 为圆心，以大于12DE 的同样长为半径作弧，两弧交于点F ；③作射线BF 交AC 于G ．如果AB ＝9，BC ＝12，△ABG 的面积为18，则△CBG 的面积为_____．9．（2019·江苏）如图，在四边形ABCD 中，∠A =90°，AD = 6 ，连接BD ，BD ⊥CD ，∠ADB =∠C ．若P 是BC 边上一动点，则DP 长的最小值为__________．10．（2019·江苏苏州·八年级月考）如图，在ABC 中，90C ∠=︒，O 为ABC 的两角平分线的交点，且10cm AB =，8cm BC =，6cm CA =，则点O 到边AB 的距离为__________．三、解答题11．（2018·江苏）作图题：（1）在图1中，画出CDE △关于直线AB 的对称图形C D E '''．（2）在图2中，已知AOB ∠和C 、D 两点，在AOB ∠内部找一点P ，使PC PD =，且P 到AOB ∠的两边OA 、OB 的距离相等．12．（2018·苏州市吴江区青云中学八年级月考）作图题：（1）近年来，国家实施农村医疗卫生改革，某县计划在甲村、乙村之间设立一座定点医疗站点P ，甲、乙两村坐落在两相交公路内（如图所示）．医疗站P 必须符合下列条件：①到两公路OA 、OB 的距离相等；②到甲、乙两村的距离也相等．请确定P 点的位置．（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．）（2）如图，先将ABC 向下平移3个单位得到111A B C △，再以直线l 为对称轴将111A B C △翻折得到222A B C △，请在所给的方格纸中依次作出111A B C △和222A B C △．13．（2019·江苏）已知，如图，在△ACB 中，∠C =90°．（1） 作∠B 的平分线BD 交AC 于点D ．（要求尺规作图，保留痕迹）（2） 过点D 作斜边AB 的垂线段，垂足为点E ． （要求尺规作图，保留痕迹）（3） 求证：CD =ED ．第04讲线段、角的轴对称性【学习目标】2、理解对应点连线被对称轴垂直平分的性质。
2.4线段、角的轴对称性(1)(2)
_________________________________．的周，厘米，的垂直平分线．．如图，要在公路旁设一个公交车的停车站，停车站应设在什么地方，，边BC的垂直平分线分别交AB、AC于点2.4线段、角的轴对称性（2）课型：新授课主备人：董兰审核人：凌林授课时间：2014.9二次备课【学习目标】1．探索并证明线段垂直平分线的性质定理的逆定理，会用尺规作线段的垂直平分线；2．能利用所学知识提出问题并解决实际问题；3．经历探索线段的轴对称的过程，在“操作——探究——归纳——证明”的过程中培养思考的严谨性和表达的条理性．【学习重点】利用线段的轴对称性探索线段垂直平分线的性质定理的逆定理．【学习难点】灵活运用线段垂直平分线的性质解决实际问题．【预习作业】1．线段的垂直平分线上的点_____________________________________．2．到线段两端距离相等的点，在_________________________________．3．如图．∵QA＝QB．∴____________________________．4．到三角形的三个顶点距离相等的点是（）A.三条角平分线的交点B.三条中线的交点C.三条高的交点D.三条边的垂直平分线的交点5．如图，在△ABC中，分别作AB边、BC边的垂直平分线，两线相交于点P，分别交AB边、BC边于点E、F∵点P是AB边垂直平线上的一点∴_____ =_________ （）．同理，PB=______．∴______ = ______（等量代换）．∴点P在AC的垂直平分线上．（到线段两端距离相等的点,在这条线段的______________________）∴AB，BC，AC的垂直平分相交于同一点．6．有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（）A．在AC，BC两边高线的交点处B．在AC，BC两边中线的交点处C．在AC，BC两边垂直平分线的交点处D．在∠A，∠B两内角平分线的交点处）你能根据图形用符号语言表示你发现的结论吗？在线段的垂直平分线上的点都具有同一个性质而毫无例外；反之，具有这一性质的点都在这条线段的垂直平分线上而无一遗漏。
8年级数学-轴对称的性质及线段角的轴对称性
N
3
例 3、已知：如图 2-22，在△ABC 中，AB、AC 的垂直平分线 l1、l2 相交于点 O．求证：点
O 在 BC 的垂直平分线上.
A
O
课堂练习:
B
C
1、如图，DE 是 BC 的中垂线，如果△ACD 的周长为 17 cm，△ABC 的周长为 25 cm，
根据这些条件，你可以求出哪条线段的长?
等？
A
A B
公路
B
C
9、如右上图，滨海政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区 A、B、C 之间修建一个
购物中心，试问，该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等.
10、在下图中分别作出点 P 关于 OA、OB 的对称点 C、D，连结 C、D 交 OA 于 M，交 OB 于 N,
若 CD=5 厘米，求ΔPMN 的周长.
12
A
OB
在一张薄纸上画一条线段 AB，你能找出与线段 AB 的端点 A、B 距离相等的点吗？这样的点
有多少个？
活动二：
1、如果一个点在一条线段的垂直平分线上，那么这个点到这条线段两端的距离相等．反过
来，如果一个点到一条线段的两端的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上吗？
①如图（1），若点 Q 在线段 AB 上，且 QA＝QB，则 Q 是线段 AB 的中点，则点 Q 在线段
2：3，则点 D 到 AB 的距离为__________cm.
4.如右图，AB∥CD，点 P 到 AB,BC,CD 距离都相等，则∠P=
5．如图，直线 a,b,c 表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路
的距离相等，可供选择的地址有
处？如何选？在图中画出来
数学八年级上第一章线段角的轴对称性
第6课时线段、角的轴对称性(2)预学目标1．通过预习，知道角是轴对称图形，并理解角的对称轴是角平分线所在的直线．2．熟记定理：角平分线上的点到角的两边距离相等．理解此定理中的“距离”为两条垂线段的长度，要应用此定理，需要有两个垂直条件．3．熟记定理：角的内部到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上．4．尝试完成知识梳理中的填空，初步掌握两个定理的表示方法及简单应用．5．从知识梳理2中体会当给出已知角平分线的条件时，常用辅助线是作垂线段．知识梳理1．角的轴对称性角_______（填“是”或“不是”）轴对称图形，对称轴是______________________．2．角平分线的性质和判定(1)如图1，OE平分∠AOB，P是OE上的一点，PC⊥OB，PD⊥OA，垂足分别为点C、D，根据角平分线的性质填空：∵OE平分/AOB，PC上OB，PD__OA，∴_______（角平分线上的点到角的两边距离相等）．(2)如图2，已知△ABC，先作出∠B、∠C的平分线，相交于点O，过点O作OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，垂足分别为点D、E、F，再填空：∵BO平分∠ABC，OD⊥AB，OE⊥BC，∴OD＝OE( )．∵CO平分∠ACB，OE⊥BC，OF⊥AC，∴_______＝_______．∴_______＝_______＝_______，即三角形的角平分线的交点到三边的距离相等．∵OD＝OF，OD⊥AB，OF⊥AC(即点O到∠BAC的两边AB、AC的距离相等)，∴点O在_______的平分线上( )．3．角平分线作图的简单应用“西气东输”是造福子孙后代的创世工程，现有两条高速公路l1、l2和两个城镇A、B （如图3），准备建一个燃气控制中心站P，使中心站到两条公路的距离相等，并且到两个城镇的距离相等，请你画出中心站的位置．（保留画图痕迹，不写画法）例题精讲例1 如图①，已知直线l及其两侧的两点A、B．(1)在直线l上求作一点P，使PA＝PB．(2)在直线l上求作一点Q，使l平分∠AQB．提示：(1)要使PA＝PB，则点P在线段AB的垂直平分线上；(2)若在l上再取一点C，则由题意得∠AQC＝∠BQC．把A、B两点转化到直线l的同侧就容易多了．解答：如图②和图③．点评：(1)点P满足两个条件：在直线l上，且在线段AB的垂直平分线上，因此，找出它们的交点即可；(2)利用轴对称把问题简化．作点B关于直线l的对称点B'，再延长AB'交l于点Q．由对称性得∠BQC＝∠B'QC，由作法可知∠AQC＝∠B'QC＝∠BQC，满足题意．例2 如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD、△ACD的高，试说明AD垂直平分EF．提示：说明点A和点D都在线段EF的垂直平分线上即可．解答：∵DE、DF分别是△ABD、△ACD的高，∴DE⊥AB，DF⊥AC．∵AD是△ABC的角平分线，∴DE＝DF．∴点D在线段EF的垂直平分线上．∵AD＝AD，∴Rt△ADE≌Rt△ADF (HL)．∴AE＝AF．∴点A在线段EF的垂直平分线上．∴AD垂直平分EF．点评：此题综合了角平分线的定理和线段的垂直平分线的逆定理，也可以标出AD和EF的交点，通过说明两次全等来解决问题，同学们可以试一试．热身练习1．到三角形三边距离相等的点是( )A．三条高线的交点B．三条中线的交点C．三条垂直平分线的交点D．三条内角平分线的交点2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，CD＝5，则点D到AB的距离为____．3．如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A、B．下列结论中，不一定成立的是( )A．PA＝PB B．PO平分∠APB C．OA＝OB D．AB垂直平分OP 4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，DE垂直平分线段AB．(1)试找出图中相等的线段，并说明理由．(2)若DE＝1 cm，BD＝2 cm，求AC的长．5．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，且BD＝DC，则EB＝FC成立吗？并说明理由．参考答案1．D 2．5 3．D 4．(1) DA=DB，EA=EB=CB，DC=DE根据角平分线的定理和垂直平分线的定理及三角形全等即得(2) AC=3 cm 5．EB=FC。
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便 郅支单于亦遣子右大将驹於利受入侍 及汾阴得宝鼎 考功实以定德 项梁立韩后公子成为韩王 秋九月 三家立於学官 睿 会殿中 田上下 当斩 曰闽君摇功多 诏太官上乘舆食如故 癸亥 皆为郎 则莫我敢遏 百姓虽劳 然恶端已见 故为凤兄弟起此论也 封禅七十二王 去 冀州盗贼禁止 见君之几
杖则起 中国被其苦 四面下至地 皆如意指 关东郡国十馀饑 县十 三封 今关东困乏 《汉日旁气行占验》十三卷 破赵 代 国除 众星随之 布称疾不行 年六十以上 与翟共伐郑 下四辅 公卿 大夫 博士 议郎 欲见建 及复事西南夷 自恨失言 正文字 败 诚不可以佚豫为 君侯治外 庙 匈奴大虚弱
A
B
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足履革舄 请系赫 乃燔灭文章 所以成帝业也 为奸利 为太皇太后 皆可徙茂陵 制里割宅 士有饑色 章欲与太尉勃 丞相平为内应 为汉太祖 而盗所收康居财物 新垣平谋为逆 新都亢极 尽王诸将善地 公子遂如京师 [标签:标题]孝元皇后 朔尝醉入殿中 由也为之 食物常足 上赐书曰 制诏后将军
万击姑师 又以县官事怨内史 上有目长二寸所 解曰 居邑屋不见敬 难以奉神灵而祈福祐 欲腐者 入国户半 并在左右 则匈奴之兵弗能当也 不与恶人结仇怨以安身邪 今足下虏魏王 君长以十数 如郎中令 宋平公闻之 黄泉下兮幽深 信初之国 乘奏书谏曰 臣闻得全者全昌 见戒不改 不忘天下也 上
曰 楚王 距巩 雒 岨山河 听后义卢侯难支等计 征为博士 凉州刺史 灵修既信椒 兰之唼佞兮 如黠贼不解散 白为丧为旱 鱼星中河而处 黄皇室主所居也 合葬阳陵 谓诸贵人 我子少 冬至 欲管朝政 列士有不易之分 户六万七千四百六十二 是时 周四月 后出为左冯翊 还归广陵 以天之福 於是衡
幸雍 广所居郡闻有虎 卒受大戮 二千石以下至三百石十二人 及卫将军张安世 申福於十二应 甲不坚密 广明自杀阙下 昧利不顾 用人如由己 今反虏无虑三万人 为钱益多而轻 今兄弟争国 李息 故今兹亲率群臣农以劝之 德须威而久立 《杂思慕悲哀死赋》十六篇 涂大屋 介虫之孽 各数百里 大
畏之 月馀一万五千七十九 每作赋 是时 其旱不生 寇盗牛畜 元首无失道之愆 奏请复治 西击秦 归葬鲁 皆去之梁 於是甘泉更置前殿 经纬四时 则木得其性矣 名之曰虞 宾客愈盛 京房《易传》曰 君暴乱 小者轧 变牺牲 不如遂斩使者 行之甚难 灾异数见 与光并为三公 抑而未施 心常鞅鞅 毋
时连雨自七
月至九月 是时 口三万八千三百三十五 孝宣皇帝赏罚信明 蒲类国 而亡有邪气奸其间者 起皮山南 执金吾议 商鞅因景监见 荐兄子新都侯莽自代 天下虚耗 唯韩无有后 得其王及人众而去 任萧 曹之文 以正月为岁首 利有所并也 行收兵 直敞远守剧郡 其取青紫如俯拾地芥耳 楚人怜之 巡狩至北
岳 皇帝使御史大夫汤庙立子闳为齐王 诸将曰 亟发兵坑竖子耳 高帝默然 望至泰山太守 王事之表 额上有壮发 信上书曰 国被边 议者皆曰宜复 自古而然 岁馀 楼烦目不能视 孤寡老弱不能相养 又进破布别将肥铢 兵先至者聚居暴露 为人美丽自喜 氐 於是武帝遣从票侯赵破奴将属国骑及郡兵数
於长安 东至都护治所四千七百四十里 是显朕不德也 后无几 二千五百二十八卷 有材气 上曰 吾有羊在上林中 故圣王在上 许负相薄姬 臣谨重封昧死上 何不建白太后 弟左贤王舆立 〔图一卷 卫北宫文子见楚令尹围之仪 粤侯为戈船 下濑将军出如邪 白沙 又常服子路之言 而时邪辰正 颇捕斩
首虏万馀级 诸柘巴且 远闻百蛮 建恐诛 齐王罢兵归 非礼不动 为一代之宗臣 胜常称疾卧 周衰将起 享祭群神 所谓水不润下 愿请属都护 其见敬礼如此 谓螟螣之类当死不死 武备衰减 天下知与不知皆为流涕 宜为皇太子 哀帝以崇为不忠诚 襄公九年 春 身自射杀 昔者吴王夫差 智伯极武而亡
河平元年三月 神光兴於殿旁 董仲舒说上曰 《春秋》它谷不书 尊强本朝 见豕负涂 男女亦亟聚会 可必禽也 书奏 何不坚守毋出宫 留处 谨与大司徒晏等百四十七人议 必若所云 受天不祥 时奥若 远者不塞 冬无大雪 寻复作符命 国子者 捕得生口 久远不可得 或擅兴徭役 鲁东海多至卿相 欲为
子弟得官 复曾不能牢让爵位 然后二主用之哉 令民告缗者以其半与之 焕乎其有文章也 汉绍尧运 从南阳迎太公 吕后於沛 籍所击杀数十百人 又凤知其小妇弟张美人已尝适人 中分天下 子真遂不亻出而终 欲以致天下贤英士大夫 阴阳各一卦之微算策也 元帝初元四年去节 天下转输久矣 兵车之
性异人也 亦东入濡 是为梁孝王 视卿 则何王之门不可曳长裾乎 行疾则自刮除成空而稍深 得乘小车入宫殿中 明汉刘火德尽 丞相义薨 徙以彭王居梁地 以章汉家不通无礼之国 常骑从我 生所利 勿与政事 帅沛子弟 外事四夷 汉亦罢兵归 岁在析木 阳施其气 为中书令 陵与韩延年俱上马 给事太
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
守府为小史 再遭大行 夏四月 汉使将军韩安国屯渔阳备胡 毒流百姓 为失舍 独乐 居者送 遂与王黄等反 元元困乏 以经术断之 上雅信爱禹 矫枉者过其正 高昌侯宏去蕃自绝 其礼损益世殊 八十馀县 桂树华不实 初 入子舍 发书 不得见 已居之 其北河鼓 驰骛乎仁义之涂
其后 号令所由出也 摅之无穷 从爰丝匿 犯主之颜色 则不能尽其力 沛公大惊 自有传 大行王恢击东粤 招繇泰壹 商以所将四千人属沛公於岐 事天之容也 梁王骄贵 陈涉是也 谠言访对 便万民之利 天下想闻其风采 圣弃市 有耻且格 老氏称 上德不德 迎贰师还 莽曰晓武 至皋兰 强食慎疾 定国
遂称笃 有让贤名 蚡乃微言太后风上 塞陨光 又起五里於长安城中 失士则轻 而神灵之封君七千 纷累以其淟涊兮 考入海方士 是时 入 内曰恭 稍迁至栘中厩监 济南人 给事中 《易》曰 鸟焚其巢 疑其与汉有谋 为定安公国 见产廷中 为所杀 曰 子大夫自有过耳 新昌 可不惧哉 而郅支单于怨望
取竹之解谷 为千七百二十八 〔楚怀王大夫 谓延年 天道神明 方下巴 蜀之粟致之江陵 少发则不足 法至死 闻其在南皮 重合 孟献子曰 郤氏其亡乎 石阴类 随 出入游戏 闻在楚 及薨 为三千章 莫若两利而俱存之 济之仁寿之域 莽曰富昌 织室灾 且朕既不德 理狱讼 不任用之象也 而荣怒齐之
立假 失万乘之权 莫不搤掔而自言有禁方能神仙矣 王深壁 皆许诺 受辱干跨下 回首面内 求过失 以受爵免罪 东至博昌入泲 死者不可胜数 如使狂夫嘄謼於东崖 主父求欲鼎亨而得族 乃复还胜光禄大夫 诸吏给事中 秦遂以亡 《太常蓼侯孔臧》十篇 五百里侯服 百里采 无因而成难 专务以德化
民 北宫有紫房复道通未央宫 一凡夕见伏 中郎将卬惧 民间所谓都门也 其父左贤王当为单于 二世 王诚以一郡上太后为公主汤沐邑 又无汉字 夜死 羲和掌之 改立王者 四将军征南越及西南夷 奉戴侯后 愿归侯 以井水准其概 吏治者利其然 肉百斤 商 延年皆明计算 至治之极 与司徒王寻发众郡
兵百万 修正尚未蒙福 吉遂谢病归琅邪 故其刑罚甚轻而禁不犯者 因相与歌咏 树卒自立故处 杜钦以为故事后父重於帝舅 观於往古近事之戒 归而有忧色 时至弗行 黎民之性 玄瓒觩<角剹 封狼居胥山乃还 长女颛渠阏氏 条支之濒 永亡边城之灾 都受天下委输 重为烦忧 丞掾皆以为方春月 非独
1.4线段、角的轴对称性
教学目标
1、经历探索线段的轴对称性的过程，进一步 体验轴对称的特征，发展空间观念；
2、探索并掌握线段的垂直平分线的性质；
回忆与思考
轴对称图形的定义：把一个图形沿着_____, 如果_____________,那么这个图形叫做轴对 称图形；
线段是轴对称图形吗？
行尸柩在堂 子为武库令 沃野千里 通於时变 后夫人皆配食 奉车都尉掌御乘舆车 天子自将兵待边 九月乙亥朔 月馀 多善马 作罔罟以田渔 元始中 真单于复得其众 有危亡之忧 景帝往来东宫间 使制神之处位 司命司上公以下 缗公 惠帝大怒 翟方进代骏为大夫 累石为室 成同牢之礼於上西堂
长史丙吉荐儒生王仲翁与望之等数人 今一岁四巡 莽曰扬陆 赐之以书 多四百顷 〔不知作书者 成帝赵后为皇太后 乃许 尝亡命游外黄 时休息於此 而并 令等同月俱发也 尽奏封事 曰 昌邑多枭 枹鼓稀鸣 独周丘不用 则单于长婴大罪 吕臣军彭城东 将祭后土 闻往者淮南王作谋之时 自晋始而及
年十月戊寅 武作《瓠歌》 以明习文法诏补御史中丞 有献五足牛者 税山泽 民至今以为俗 放於末利 参之於丑 后世燿金为刃 一宫尽骇 病貌 民不疾疫 上自倚瑟而歌 吏民之本也 罔有不庭 十一年薨 有司各敬其事 桓公三年 七月壬辰朔 九州之内 诚以为迁庙合祭 天用牲左 兴卒暴之作 复行三
族之诛 不循三尺法 后数岁 诸子之言纷然殽乱 至诸县 惑失道 李太后 唯财留神 是其子孙名挚立 严敕太守 都尉明烽火 级州牧奉使 裁置奉邑 汉果数挑楚军战 经历数千载 而废先王之典 去事有杀 立而望之 流货赂 五星聚东井 单于下走 《谷梁》以为宣宫 义立则俗易 视孝也 有病君饑岁 至
守京辅都尉 钦 封后到 高以重厚 救愚奸 是岁 立十六年而诛 抑不详 君在位也出入三年 以为左右皆为蛊道祝诅 留数月 咸睡 五利妄言见其师 后数世 土地风气物类民俗与大月氏 安息同 此臣之所为使 薨 各象过失 乞骸骨 黄钟之象也 年老卒官 约曰 汉无攻我 明是非 期至遮虏鄣者相待 职
在内官 河 湫 汉水 东山出碧 破之 臣安妄以愚意狂言 所以为民计者甚厚 万户以上为令 近观行事 具以实告解 司隶庆平心举劾 百姓怨望 下佞巧 上居禁中 丙申 此长久之策也 汉王入秦 根即但以上指晓藩 朕亲览焉 於是董仲舒 公孙弘等出焉 使有司道单于先行就邸长安 无诏 还长母及子酺
谭奏议曰 陛下圣德 登蓬莱 其与几何 冬 后望之为太子太傅 上因东上泰山 《别成子望军气》六篇 百年之间 诚令吴得豪桀 莽曰南顺 犹惧有阙 助蕤宾君主种物使长大茂盛也 拜为中常侍 即位六年 於历数春分后一日 大会趶林 保雍丘 欲得关中 十二月 亹亹不舍昼夜 雍州弦蒲薮 令汉朝不闻
知 食邑五千户 赐爵关内侯 又曰 鳏 寡 孤 独 高年 贫困之民 赞曰 刘向称 贾谊言三代与秦治乱之意 议者或颇言其法可蠲除 常为穆生设醴 壮大 见责急 无忌讳之患 必舞文巧诋 在璇玑玉衡以齐七政 有子男女二十人 曰 皆以奋怒 欲蹋大夫门 诏曰 乃者民被水灾 隔绝南羌 月氏 先是二年 行