运筹学教材编写组《运筹学》章节题库-对偶理论与灵敏度分析(圣才出品)
运筹学 对偶理论和灵敏度分析
1.单纯形的矩阵描述
用矩阵语言描述单纯形法的关键是写出两个基本的 表达式,设线性规划的标准型为 maxz=CX AX=b X≥0
C=(CB,CN)，X=(XB,XN)’，A=(B,N)
由约束条件AX=(B,N)(XB,XN)=BXB+NXN=b，可以得 到用非基变量表示基变量的表达式:
-2 -3 -1 -1 1/3 x3 -1/3 0 x1 4/3 1 x5 1/3 0 0
' ' - a 1k / alk ' ' - a 2k / alk ... ' 1 / alk ... ' ' - a mk / alk
3对偶理论
某厂生产甲乙两种产品，各自的零部件分别在A、B车间生产，最 后都需在C车间装配，相关数据如表所示： 问如何安排甲、乙两产品的产量，使利润为最大。 工时单耗 生产能力 产品 甲 乙 车间 A 1 0 8 B 0 2 12 C 3 4 36 单位产品获利 3 5 • maxZ= 3x1 +5 x2 x1 ≤8 2x2 ≤12 S.t. 3x1 +4 x2 ≤36 x1 ≥0, x2 ≥0
(4)影子价格在资源采购决策中的应用。
当资源的市场价格低于影子价格，企业买进该资源，扩 大生产，当资源的市场价格高于影子价格，企业应设法转让 该资源。
(5)利用影子价格分析工艺改变后对资源节约的收益。 例如设工厂现有钢材100吨，其影子价格为3/4，采用新 工艺后，钢材可以节约2%，则由此带来的经济收益为：
(3)影子价格在新产品开发决策中的应用。 产品 资源 A B 影子价格(万元)
钢材 煤 机时
单位利润(万元)
运筹学第2章对偶理论和灵敏度分析-第4节
1 y1 2 y2 3 y3
x1 0, x2,x3 0, x4无约束
则由表2-4中原问题和对偶问题的对应关系， 可以直接写出上述问题的对偶问题，
max z ' 5 y 1 4 y 2 6 y 3
y1 2 y2
2
y1 3 y1
2 y2
综合上述，线性规划的原问题与对偶问题 的关系，
其变换形式归纳为表2-4中所示的对应关系。
原问题
目标函数 max z
n个
变 0
量
0
无约束
约 m 个
束
0
条
0
件
约束条件右端项
目标函数变量的系数
对偶问题
目标函数 min
n个 约
束
证：由性质（2）可知，
YbCX ,是不可能成立。
例：
LP:
DP:
maxzx1 x2
mi n4y1 2y2
2xx11xx22
4 2
2yy11yy22
1 1
x1,x2 0
y1,y2 0
从两图对比可明显看到原问题无界， 其对偶问题无可行解
j1
x
j
0,
j
1 ,2 ,
,n
第一步：先将等式约束条件分解 为两个不等式约束条件。
n
maxz cj xj j1
n
aijxj bi j 1,2,,m 213
j1
n
ai j x j
bi ,
i
运筹学对偶理论与灵敏度分析作业
作业：问题1：书本P71第7题1、设x1 、x2 、x3分别为A产量，B产量，C产量目标函数：Z=4 x1 +x2 +5x3约束条件：+3x2 + 5x3<=456x3x1 +4x2 +5x3<=30x1 、x2 、x3>02、A的利润在3~6之间，最优计划不变。
3、设x1 、x2 、x3、x4 分别为A产量，B产量，C产量，D产量目标函数：Z=4 x1 +x2 +5x3+2.5x4约束条件：+3x2 + 5x3+3x4<=456x3x1 +4x2 +5x3+2x4<=30x1 、x2 、x3、x4>0利润从35增加到37.5，值得生产。
4、见Excel问题2：某厂拟生产甲、乙、丙三种产品，都需要在A，B两种设备上加工，有关数据如下表所示：（1）如何充分发挥设备能力，使产品总产值最大？设x1 、x2 、x3分别为甲产量，乙产量，丙产量目标函数：Z=3 x1 +2x2 +x3约束条件：+2x2 + 1x3<=400x2x1 +1x2 +2x3<=500x1 、x2 、x3>0最优解甲产量乙产量丙产量200 100 0总产值最大800（2）200个甲产品在A设备上加工1小时，B设备上加工2小时。
100个乙产品在A设备上加工2小时，B设备上加工1小时。
丙产品不生产。
使得总产值最大为80万。
（3）试分别确定甲产品单位产值、B设备供量各自的影响范围。
甲产品的范围是198~201。
B设备供量的范围是200~800。
（4）若每月能以39万元租金租用外厂B设备300台时，则应否租用？为什么？原来的产值为80万，租用外厂之后的产值为120万，则产值增加了40万，而租金要39万，则增加的产值足够支付租金，最后剩余1万，说明能租用。
（5）若每月A设备提供量减少200台时，B设备供量增加100台时，试问最优解与影子价格有何变化？最优解是600影子价格：A设备从0.333~3 ；B设备从1.333~0。
《运筹学》胡运权 第版 第二章 线性规划的对偶理论及灵敏度分析
maZxCX 对
对
AX b
称
偶
s.t.
X
0
形
问 题
式
mW inbTYT
的
对
的 定
s.t.YATT
YT 0
CT
偶 问
题
义
对偶问题的特点
对 •若原问题目标是求极大化，则对偶问题的 偶 目标是极小化，反之亦然
问
•原问题的约束系数矩阵与对偶问题的约束 系数矩阵互为转置矩阵
题 •极大化问题的每个约束对应于极小化问题
出让自己的资源？
问 题 的 导 出
例2-1
条件：出让代价应不低于用同等数量资源由自己组织生 产活动时获取的赢利。
y1,y2,y3分别代表单位时间（h）设备A、设备B和调试工 序的出让代价。 y1,y2,y3的取值应满足：
5y 1
6y 2
2y 2
y 3
y 3
2
1
美佳公司用6h设备B和1h调试可 生产一件家电I,赢利2元
项目
Ⅰ
Ⅱ
每天可用能力
设备A（h）
0
5
15
设备B（h）
6
2
24
调试工序（h）
1
1
5
利润（元）
2
1
其线性规划问题为：
m ax z 2x x
1
2
5 x215
s
.t
.
6
x 2 1 x
x 2
x
24 5
1
2
x1,x2 0
（LP1）
假定有某个公司想把美佳公 司的资源收买过来，它至少 应付出多大代价，才能使美 佳公司愿意放弃生产活动，
对
第2章 对偶理论和灵敏度分析-习题
1 σ 3 = 6 [ 2, 3] = 6 4 = 2 2
故x1,x2不再是最优基
Cj CB 2 3 XB x1 x2 检验数σj Cj CB 2 6 XB x1 x3 检验数σj
b
1 2
2 x1 1 0 0 2 x1 1 0 0
3 x2 0 1 0 3 x2 1/2 1/2 -1
6 x3 -1 2 2 6 x3 0 1 0
b
1 2
2 x1 1 0 0 2 x1 1/3 0 -1/3
3 x2 0 1 0 3 x2 0 1 0
1 x3 -1 2 -3 1 x3 -1/3 2 -8/3
0 x4 4 -1 -5 0 x4 4/3 -1 -19/3
0 x5 -1 1 -1 0 x5 -1/3 1 -2/3
7 x6 3 0 1 7 x6 1 0 0
�
0 x5 -1 1 -1 -1 0 x5 0 0 1 0
0 x6 0 0 1 0 0 x6 -1 1 -1 -1
检验数σ 检验数σj
Cj CB 2 3 0 XB x1 x2 x5
b
2 1 1
检验数σ 检验数σj
故 X * = (2,1, 0, 0,1)
课堂练习
已知线性规划问题 Max Z=x1+5x2+3x3+4x4 2x1+3x2+ x3+2x4 ≤ 800 5x1+4x2+3x3+4x4 ≤ 1200 3x1+4x2+5x3+3x4 ≤ 1000 x1,x2,x3,x4 ≥0
(1)求线性规划的最优解.(20分) (2)写出对偶问题并求出对偶问题的最优解.( 5分) (3)当△b3=-150时最优基是否发生变化?为什 么?(5分) (4)求c2的灵敏度变化范围.(5分) (5)如果x3的系数由[1,3,5]变化到[1,3,2]最 优基是否改变?若改变求新的最优解.(5分)
运筹学教材编写组《运筹学》章节题库-运输问题(圣才出品)
需进行进一步调整。
利用闭回路法进行解的改进。
在初始方案表中以（丙，A）出发作一闭回路，利用闭回路进行调整，得到的结果如表
3-4 所示：
表 3-4
A
B
C
D
供应量
甲
7
6
483Leabharlann M145 / 41
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乙
10 5
6
6
8
M
16
丙
0
3
四、简答题 1．用表上作业法解运输问题时，在什么情况下会出现退化解?当出现退化解时如何处理? 答：当运输问题某部分产地的产量和，与某一部分销地的销量和相等时，在迭代过程中 间有可能在某个格填入一个运量时需同时划去运输表的一行和一列，这时就出现了退化。 当出现退化时，为了使表上作业法的迭代工作能顺利进行下去，退化时应在同时划去的 一行或一列中的某个格中填入数字 0，表示这个格中的变量是取值为 0 的基变量，使迭代过 程中基变量个数恰好为（m+n-1）个。
采用最小元素法得初始调运方案如表 3-2 所示：（因为基格个数=7-1=6 个，故在一空
格中填入 0）
表 3-2
A
B
C
D
供应量
甲
7
6
48
3
M
14
乙
10 5
6
6
8
M
16
丙
3
50
8 15 7
15
4 / 41
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需求量
10
12
2．一个运输问题，如果其单位运价表的某一行元素分别加上一个常数，最优调运方案 是否发生变化，试说明理由(用表或直接用公式)；[武汉大学 2007 研]
运筹学：对偶理论与灵敏度分析习题与答案
一、填空题1、对偶问题的对偶问题是（）。
正确答案：原问题2、若X﹡和Y﹡分别是线性规划的原问题和对偶问题的最优解，则有CX﹡（）Y﹡b。
正确答案：=3、若X、Y分别是线性规划的原问题和对偶问题的可行解，则有CX（）Yb。
正确答案：<=4、若X﹡和Y﹡分别是线性规划的原问题和对偶问题的最优解，则有CX﹡（）Y*b。
正确答案：=5、设线性规划的原问题为maxZ=CX，Ax≤b，X≥0，则其对偶问题为（）。
正确答案：min=Yb YA>=c Y>=06、影子价格实际上是与原问题各约束条件相联系的（）的数量表现。
正确答案：对偶变量7、线性规划的原问题的约束条件系数矩阵为A，则其对偶问题的约束条件系数矩阵为（）。
正确答案：AT8、在对偶单纯形法迭代中，若某bi<0，且所有的aij≥0(j=1，2，…n)，则原问题（）。
正确答案：无解二、选择题1、线性规划原问题的目标函数为求极小值型，若其某个变量小于等于0，则其对偶问题约束条件为（）形式。
A. “≥”B. “≤”C. “>”D. “=”正确答案：A2、如果z*是某标准型线性规划问题的最优目标函数值，则其对偶问题的最优目标函数值w﹡满足（）。
A.W﹡=Z﹡B.W﹡≠Z﹡C.W﹡≤Z﹡D.W﹡≥Z﹡正确答案：A3、如果某种资源的影子价格大于其市场价格，则说明（）。
A.该资源过剩B.该资源稀缺C.企业应尽快处理该资源D.企业应充分利用该资源，开辟新的生产途径正确答案：B4、线性规划原问题的目标函数为求极小值型，若其某个变量小于等于0，则其对偶问题约束条件为（）形式。
A.≥B.≤C. >D. =正确答案：A5、对偶单纯形法的迭代是从（）开始的。
A.正则解B.最优解C.可行解D.可行解正确答案：A6、如果某种资源的影子价格大于其市场价格，则说明（）。
A.该资源过剩B.该资源稀缺C.企业应尽快处理该资源D.企业应充分利用该资源，开辟新的生产途径正确答案：B7、线性规划灵敏度分析的主要功能是分析线性规划参数变化对（）的影响。
《运筹学》教材编写组《运筹学》笔记和课后习题(含考研真题)详解(对偶理论与灵敏度分析)
影子价格随具体情况而异，在完全市场经济的条件下，当某种资源的市场价低于影子价 格时，企业应买迚该资源用于扩大生产；而当某种资源的市场价高于该企业影子价格时，则 企业的决策者应把已有资源卖掉。可见影子价格对市场有调节作用。
要记住：市场价格低于影子价格，可以买迚（然后用灵敏度分析迚行计算），若市场价 格高于影子价格，丌买迚。
,
c2
,
, cn
amn
y1, y2,…, ym 0
线性觃划的原问题不对偶问题的关系，其变换形式可归纳如下：
表 2-1
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记忆方法： 极大化转化为极小化，变丌反约反；极小化转化为极大化，变反约丌反。 注：变指变量，约指约束条件。反指大于变小于，小于变大于。丌反指大于变大于，小 于变小于。注意等号总是变无约束，无约束总是变等号。
4．对偶问题的基本性质 （1）对称性：对偶问题的对偶是原问题。
（2）弱对偶性：若 X 是原问题的可行解，Y 是对偶问题的可行解。则存在 C X Yb 。
注意，由弱对偶性可以推出： ①max 问题仸一可行解的目标值为对偶 min 问题目标值的一个下界； ②min 问题仸一可行解的目标值为对偶 max 问题目标值的一个上界。 （3）无界性：若原问题（对偶问题）为无界解，则其对偶问题（原问题）无可行解。 注：这个问题的性质丌存在逆。当原问题（对偶问题）无可行解时，其对偶问题（原问 题）戒具有无界解戒无可行解。
的矩阵表示为：
目标函数： max z CB X B CN X N CB X B CN1X N1 CS 2 XS 2 约束条件： BX B NX N BX B N1X N1 S2 XS2 b 非负条件： X B , X N 0
对偶理论及灵敏度分析习题
对偶理论及灵敏度分析习题1. 什么是对偶理论？对偶理论是线性规划中的一种方法，它是将一个线性规划问题转化为另一个等价的线性规划问题。
这个等价问题被称为原问题的对偶问题，原问题和对偶问题之间存在着一种对偶关系。
2. 什么是灵敏度分析？灵敏度分析是一种方法，用于评估一个线性规划问题的解对输入数据的变化的敏感程度。
它涉及到对线性规划问题的目标函数系数、约束条件常数、以及右手边向量的变化进行分析，以确定线性规划问题在输入数据变化下的解的变化情况。
3. 对偶问题和原问题之间有什么关系？对偶问题和原问题之间存在着一种对偶关系，即两个问题中的变量和约束条件互相对应。
对原问题的对偶问题的目标函数系数就是原问题的约束条件系数，而对原问题的每个变量的约束条件对应着对偶问题的每个变量的目标函数系数。
4. 什么是原问题？原问题是一个线性规划问题，它包括在一组约束条件下最大化或最小化一个线性目标函数的问题。
原问题通常表示为标准形式或规范形式。
5. 什么是对偶问题？对偶问题是一个等价的线性规划问题，它与原问题共享相同的约束条件，但目标函数和约束条件的系数经过了转换。
对偶问题可以用来评估原问题的最优解并提供其他信息，如原问题的灵敏度分析和可行性分析。
6. 什么是灵敏度分析中的“影响范围”？灵敏度分析中的“影响范围”指输入参数发生变化时，该变化对解决方案的影响的程度范围。
影响范围可以用来确定哪些输入参数对问题的解决非常敏感，以及如何调整这些参数以最大程度地减少对解决方案的影响。
7. 在灵敏度分析中，什么是“松弛变量”的作用？在灵敏度分析中，“松弛变量”用于评估一个约束条件的“松弛度”，即约束条件与等式相差多少。
这个信息可以用来确定输入参数值的变化可以多少，以使某个约束条件的松弛度保持不变。
8. 什么是敏感性分析？敏感性分析是一种评估线性规划问题解决方案的稳定性的方法。
它涉及到对输入参数的变化进行分析，以确定对线性规划问题最优解的影响程度。
《运筹学》第三章线性规划对偶理论与灵敏度分析习题及答案
《运筹学》第三章线性规划对偶理论与灵敏度分析习题及答案一、填空题1. 在线性规划问题中，若原问题存在最优解，则其对偶问题也一定存在最优解，这是线性规划的基本性质之一，称为______。
答案：对偶性2. 在线性规划问题中，若原问题与对偶问题均存在可行解，则它们均有______。
答案：最优解3. 对于线性规划问题，若原问题约束条件系数矩阵为A，目标函数系数向量为c，则其对偶问题的目标函数系数向量是______。
答案：c的转置（c^T）二、选择题1. 线性规划的原问题与对偶问题之间的关系是：A. 原问题的最优解和对偶问题的最优解相同B. 原问题的最优解是对偶问题的最优解的负数C. 原问题的最优解与对偶问题的最优解互为对偶D. 原问题的最优解和对偶问题的最优解没有关系答案：C2. 在线性规划中，若原问题不可行，则其对应的对偶问题：A. 可行B. 不可行C. 无界D. 无法确定答案：B三、判断题1. 线性规划的原问题和对偶问题具有相同的可行解。
（）答案：错误2. 若线性规划的原问题存在唯一最优解，则其对偶问题也一定存在唯一最优解。
（）答案：正确四、计算题1. 已知线性规划问题：max z = 3x1 + 2x2s.t.x1 + 2x2 ≤ 42x1 + x2 ≤ 5x1, x2 ≥ 0求该问题的对偶问题，并求解原问题和对偶问题的最优解。
答案：对偶问题为：min w = 4y1 + 5y2s.t.y1 + 2y2 ≥ 32y1 + y2 ≥ 2y1, y2 ≥ 0原问题和对偶问题的最优解如下：原问题最优解：x1 = 2, x2 = 1，最大利润z = 8对偶问题最优解：y1 = 2, y2 = 1，最小成本w = 82. 某工厂生产甲、乙两种产品，生产一件甲产品需要2小时的机器时间和3小时的工人劳动时间，生产一件乙产品需要1小时的机器时间和1小时的工人劳动时间。
工厂每周最多能使用12小时的机器时间和9小时的工人劳动时间。
运筹学-对偶理论及灵敏度分析
1 − 2 ≥
1, 2 ≥ 0
max =
=
≥0
s.t.ቊ
原问题
原问题与对偶问题
综上所述，我们可以归纳
原问题与对偶问题
= 21 + 32
1 + 22 ≤ 8
41
≤ 16
s. t.
42 ≤ 12
1 , 2 ≥ 0
min = 81 + 162 + 123
恒有cx≤ yb
③最优性：x是原问题的可行解，y是对偶问题的可行
解，且有cx=yb，则x是原问题的最优解，y是对偶问题
的最优解
④强对偶性：若原问题及对偶问题均有可行解，
则两者均具有最优解，且最优解的目标函数值相同
⑤松紧定理：在线性规划问题的最优解中，对应
某一约束条件的对偶变量值为非零，则该约束条件取
40
X1
15
1
3/2
0
-1/2
1/2
0
0
X5
9
0
3/2
0
-3/2
1/2
1
50
x2
15/2
0
-1/4
1
3/4
-1/4
0
用x1‘替换x1
以x1‘作为换入变量，x1作为换出变量
灵敏度分析
增加一个约束条件的变化
计划生产如下所示：
产品
资源
产品A
产品B
资源总量
煤
1
2
30
劳动日
3
2
60
仓库
0
2
24
利润
40
50
产品A、B增加一道检验程序，A检测3小时/件，B检测2小时/件，
《运筹学》第二章 对偶问题和灵敏度分析jssk1
2.1 线性规划的对偶理论
解：写出该问题的对偶问题
min W 20 y1 20 y2 y1 2 y2 1 2y y 2 2 1 2 y1 3 y2 3 3 y 2 y 4 2 1 y1 , y2 0
根据互补松弛性，可得： X3*=4>0 则 2y1+3y2=3
s.t. AX ≤b X≥0 s.t. YA ≥ C Y≥0
2.1 线性规划的对偶理论
二、原问题和对偶问题的关系
1、原问题目标函数求最大值，对偶问题求最小值； 2、原问题目标函数的系数是对偶问题约束条件的右端项，原问 题中的右端项是对偶问题目标函数的系数； 3、原问题约束条件为“≤”，则在其对偶问题中决策变量为 “≥”；原问题中决策变量为“≥”，则在其对偶问题中的约束条 件为“≥”； 4、原问题中的约束条件个数等于它的对偶问题中的变量个数， 原问题中的变量个数等于它的对偶问题中的约束条件个数；
YA ≥ C
Y≥0
在单纯形法的每一步迭代中，目标函数取值 Z=CBB-1b+(CN-CBB-1N)XN ，当非基变量XN=0时有 Z=CBB-1b和检验数CN-CBB-1N中都有乘子Y=CBB-1， 那么Y的经济意义是什么？
2.1 线性规划的对偶理论
Y=CBB-1=(y1,y2,…,ym)，则得
Z CB B b Yb bi yi
2.1 线性规划的对偶理论
三、对偶问题的基本定理
1、对称性：对偶问题的对偶是原问题。
2、弱对偶定理：若X(0)是原问题的可行解，Y(0)是对偶 问题的可行解，则一定有CX(0) ≤ Y(0)b
max Z=CX 证明：设原问题是 AX ≤b X≥0
则对偶问题是
运筹学教材编写组《运筹学》章节题库(第1章 运筹学概论——第3章 对偶理论与灵敏度分析)【圣才出品】
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【答案】B
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【解析】如果人工变量不为 0，则原问题无可行解。
3．用单纯形法求解线性规划问题时，满足（ ）对应的非基变量 xj 可以被选作为换 入变量。[厦门大学 2012 研]
A．检验数 σj＞0 B．检验数 σj＜0 C．检验数 σj＞0 中的最大者 D．检验数 σj＜0 中的最小者 【答案】C 【解析】当某些 σj＞0 时，xj 增加则目标函数值还可以增大，这时要将某个非基变量 xj 换到基变量中去，为了使目标函数值增加得快，一般选择 σj＞0 中的大者。
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B．多个最优解
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C．没有最优解，因为目标函数无界
D．没有最优解，因为没有可行解
【答案】ABCD
【解析】线性规划问题的每个基可行解对应可行域的一个顶点，若现行规划问题有最优
解，必在某个顶点上得到，当该顶点惟一时，有惟一最优解；当目标函数在多个顶点上达到
【答案】×
【解析】 1，2 不但应该是正实数，还应该满足 1+2 =1 。
7．如果线性规划问题有最优解，则它一定是基可行解。（ ）[东北财经大学 2008 研]
【答案】√ 【解析】基解且可行才有可能是最优解。
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4．单纯形法中，关于松弛变量和人工变量，以下说法正确的是（ ）。[中山大学 2008 研]
A．在最后的解中，松弛变量必须为 0，人工变量不必为 0 B．在最后的解中，松弛变量不必为 0，人工变量必须为 0 C．在最后的解中，松弛变量和人工变量都必须为 0 D．在最后的解中，松弛变量和人工变量都不必为 0 【答案】B 【解析】松弛变量是在约束不等式号的左端加入的，在最后的解中，其值可以不必为 0； 人工变量是在原约束条件为等式的情况下加入的，只有基变量中不再含有非零的人工变量
《运筹学》 第三章线性规划对偶理论与灵敏度分析习题及 答案
《运筹学》第三章线性规划对偶理论与灵敏度分析习题及答案《运筹学》期末考试试卷习题库答案第三章线性规划对偶理论与灵敏度分析习题一、思考题1．对偶问题和对偶变量的经济意义是什么？2．简述对偶单纯形法的计算步骤。
它与单纯形法的异同之处是什么？3．什么是资源的影子价格？它和相应的市场价格之间有什么区别？4．如何根据原问题和对偶问题之间的对应关系，找出两个问题变量之间、解及检验数之间的关系？5．利用对偶单纯形法计算时，如何判断原问题有最优解或无可行解？6．在线性规划的最优单纯形表中，松弛变量（或剩余变量）xn k 0，其经济意义是什么？7．在线性规划的最优单纯形表中，松弛变量xn k的检验数求最小值），其经济意义是什么？n k0（标准形为ji的变化直接反映到最优单纯形表中，表中原问题和对偶问题的解 8．将ij将会出现什么变化？有多少种不同情况？如何去处理？二、判断下列说法是否正确1．任何线性规划问题都存在且有唯一的对偶问题。
2．对偶问题的对偶问题一定是原问题。
3．若线性规划的原问题和其对偶问题都有最优解，则最优解一定相等。
4．对于线性规划的原问题和其对偶问题，若其中一个有最优解，另一个也一定有最优解。
5．若线性规划的原问题有无穷多个最优解时，其对偶问题也有无穷多个最优解。
a,c,b6．已知在线性规划的对偶问题的最优解中，对偶变量yi 0，说明在最优生产计划中，第i种资源已经完全用尽。
7．已知在线性规划的对偶问题的最优解中，对偶变量yi 0，说明在最优生产计划中，第i种资源一定还有剩余。
ji来说，每一个都有有限的变化范围，当其改变超出了这个范围 8．对于ij 之后，线性规划的最优解就会发生变化。
a,c,b9．若某种资源的影子价格为，则在其它资源数量不变的情况下，该资源增加k 个单位，相应的目标函数值增加 k。
10．应用对偶单纯形法计算时，若单纯形表中某一基变量xi 0，且xi所在行的所有元素都大于或等于零，则其对偶问题具有无界解。
运筹学教材编写组《运筹学》章节题库-对偶理论与灵敏度分析(圣才出品)
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5．已知 Yi 为线性规划的对偶问题的最优解，若 Yi>0，说明（）。[深圳大学 2006 研] A．原问题的最优解 xi=0 B．在最优生产计划中第 i 种资源己完全耗尽 C．在最优生产计划中第 i 种资源有剩余 D．无法判断 【答案】B 【解析】当影子价格为 0 时，表示某种资源未得到充分利用；而当资源的影子价格不为 零时，表明该种资源在生产中已耗费完毕。
【答案】对偶单纯形法
3．某极小化线性规划问题的对偶问题的最优解的第 l 个分量为 yl=-12，则该问题的第 1 个约束条件的右端常数项的对偶价格为：______。[武汉大学 2006 研]
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【答案】-12
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【解析】由对偶问题的经济解释可知，原问题约束条件的右端常数项的对偶价格等于对
4．根据对偶解的经济含义，若天然气资源是我国的一种稀缺能源资源，其影子价格必 然是（）。[北京科技大学 2010 研]
A．不能确定 B．＜0 C．=0 D．＞0 【答案】D 【解析】影子价格是对系统内部资源稀缺程度的一种客观评价，某种资源的影子价格越 高，说明该资源在系统内越稀缺，增加该资源的供应量对系统目标函数值贡献也越大。天然 气是资源是一种稀缺能源资源，其影子价格必然大于 0。
学 2008 研]
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【答案】√
【解析】它的对偶问题可能无解，也可能有无界解。
二、选择题
1．用线性规划制定某一企业的生产计划问题，两种资源的影子价格分别为 y甲=5 ， y乙=8 ，说明这两种资源在该企业中的稀缺程度为（）。[北京交通大学 2010 研]
运筹学教材编写组《运筹学》课后习题-对偶理论与灵敏度分析(圣才出品)
( ) N0 = CN0 − CB0 B0−1N0 = 6, −2,3 ，则 x1 为换入变量。
( ) ( ) x
=
min
( )
B0−1b i B0−1P1 i
B0−1P1
i
0
=
min
2 2
,
4 1
=
1，所以对应的换出变量为
4。
由此得到新的基 B1 、基变量 XB1 及系数 CB1 、非基变量 XN1 及系数 CN1 分别为：
0 0 1 1 1
−1/ 3
1/ 3 0 0 1 0 0 1/ 3 0 0 B1−1 = E1B0−1 = −4 / 3 1 0 0 1 0 = −4 / 3 1 0
−1/ 3 0 1 0 0 1 −1/ 3 0 1
计算非基变量的检验数为：
1 / 3 0 0 1 1 0
N1 = CN1 − CB1 B1−1N1 = ( M ,1, 0) − (2, M , 0) −1 / 4
量 x4, x5 ，在第三个约束条件中加入松弛变量 x6 ，得该线性规划的标准型：
min z = 2x1 + x2 + Mx4 + Mx5 3x1 + x2 + x4 = 3 4x1x+1 +23x2x2+−x6x3=+3x5 = 6 x1, x2,L , x6 0
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B1
=
( P1,
P5
)
=
2 1
0 1 , X B1
=
x1 x5
,
CB1
= (6,0) ，
X N1 = ( x4, x2, x3 )T ,CN1 = (0, −2,3)
运筹学第2章习题
运筹学第2章习题第2章对偶理论与灵敏度分析习题详解(习题)2.1⽤改进单纯形法求解以下线性规划问题。
（1）Max z=61x -22x +33x21x -2x +33x ≤21x +43x ≤4 1x ，2x ，3x ≥0 （2）min z=21x +2x31x +2x =3 41x +32x ≥61x +22x ≤3 1x ,2x ≥02.2已知某线性规划问题，⽤单纯形法计算得到的中间某两步的计算表见表2-1所⽰，试将空⽩处数字填上。
2.3写出下列线性规划问题的对偶问题。
（1）min z= 2 1x +2 2x +4 3x2 1x +3 2x +5 3x ≥2 3 1x + 2x +7 3x ≤31x +4 2x +6 3x ≤5 1x ,2x , 3x ≥0（2）max z= 1x +22x +3 3x +4 4x -1x +2x -3x -34x =5 61x +72x +33x -54x ≥8 121x -92x -93x +94x ≤201x ,2x ≥0;3x ≤0;4x ⽆约束（3）min z=11mnij ij i j c x -=∑∑1niji j xa ==∑ i=1,…,m1mijj i xb ==∑ j=1,…,nij x ≥0 （4）Max z=1nj j j c x =∑1nij ji j a xb =≤∑, i=1,…., 1m m ≤1nij ji j a xb ==∑, i=111,2,...,m m m ++j x ≥0,当j=1，….，1n n ≤jx ⽆约束，当j=11,...,n n +2.4判断下列说法是否正确，并说明为什么.（1）如线性规划问题的原问题存在可⾏解，则其对偶问题也⼀定存在可⾏解。
（2）如线性规划的对偶问题⽆可⾏解，则原问题也⼀定⽆可⾏解。
（3）如果线性规划问题的原问题和对偶问题都具有可⾏解，则该线性规划问题⼀定有有限最优解。
2.5设线性规划问题（1）是：Max 1z =1nj j j c x =∑1nij ji j a xb =≤∑ ，i=1，2…，m0,1,2....,j x j n ≥=（**1,...,my y ）是其对偶问题的最优解。
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【解析】某种资源的影子价格的经济意义是在其他条件不变的情况下，单位资源变化所
引起的目标函数的最优值的变化。
3．影子价格实际上是与原问题的各约束条件相联系的（ ）的数量表现。[北京交通 大学 2009 研]
A．决策变量 B．松弛变量 C．人工变量 D．对偶变量 【答案】D 【解析】影子价格是对偶问题的经济解释，实际上影子价格的大小即为对偶变量的大小。
经大学 2008 研]
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【答案】√
【解析】它的对偶问题可能无解，也可能有无界解。
二、选择题
1．用线性规划制定某一企业的生产计划问题，两种资源的影子价格分别为 y甲=5 ， y乙=8 ，说明这两种资源在该企业中的稀缺程度为：（ ）。[北京交通大学 2010 研]
A．甲比乙更稀缺 B．甲和乙同样稀缺 C．乙比甲更稀缺 D．甲和乙都不稀缺 【答案】C 【解析】影子价格是对系统内部资源稀缺程度的一种客观评价，某种资源的影子价格越 高，说明该资源在系统内越稀缺，增加该资源的供应量对系统目标函数值的贡献也越大。
6．关于对偶问题，下列叙述错误的有（ ）[中山大学 2007 研] A．根据对偶问题的性质，当原问题为无解时，其对偶问题无可行解；反之当对偶问题 无可行解，其原问题具有无界解。 B．若线性规划的原问题有多重最优解，则其对偶问题也一定具有多重最优解。 C．已知 y*j 为线性规划的对偶问题的最优解，若 y*j＞0，说明在最优生产计划中第 j 种 资源已完全耗尽 D．若某种资源的影子价格等于 k，在其他条件不变的情况下，当 种资源增加 5 个单 位时，相应的目标函数只讲增大 5k 【答案】A 【解析】当原问题（对偶问题）无可行解时，对偶问题（原问题）或具有无界解或无可
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气是资源是一种稀缺能源资源，其影子价格必然大于 0。
5．已知 Yi 为线性规划的对偶问题的最优解，若 Yi>0，说明（ ）。[深圳大学 2006 研]
A．原问题的最优解 xi=0 B．在最优生产计划中第 i 种资源己完全耗尽 C．在最优生产计划中第 i 种资源有剩余 D．无法判断 【答案】B 【解析】当影子价格为 0 时，表示某种资源未得到充分利用；而当资源的影子价格不为 零时，表明该种资源在生产中已耗费完毕。
2．某一线性规划问题中的某一资源的影子价格为 4，当其可用量在其灵敏度允许范围 内增加一个单位时（假定资源获得价格不变），下述正确的是（ ）。[北京交通大学 2010 研]
A．收益减少 4 个单位 B．收益增加 4 个单位 C．最优解不会发生变化 D．产量一定增加 4 个单位
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j =1
j =1
在最优生产计划中第 i 种资源已经完全耗尽。
2．已知 yi 为线性规划的对偶问题的最优解，若 yi=0，说明在最优生产计划中第 i 种资 源一定还有剩余。（ ） [深圳大学 2005 研]
【答案】×
【解析】在生产过程中，如果某种资源 bi 未得到充分利用时，该种资源的影子价格为零。
但是影子价格为零并不单表该种资源一定有剩余。
4．根据对偶解的经济含义，若天然气资源是我国的一种稀缺能源资源，其影子价格必 然是（ ）[北京科技大学 2010 研]
A．不能确定 B．＜0 C．=0 D．＞0 【答案】D 【解析】影子价格是对系统内部资源稀缺程度的一种客观评价，某种资源的影子价格越 高，说明该资源在系统内越稀缺，增加该资源的供应量对系统目标函数值贡献也越大。天然
三、填空题
1．在用对偶单纯形法求解某线性规划问题时，当进基变量 xi 确定后，出基变量的选取
原则是：______。[武汉大学 2006 研]
【答案】
=
min j
akjj
akj
0
2．在灵敏度分析时，当 LP 某系数发生变化使原最优单纯形表中的解为该 LP 的一个正
侧解，但不是可行解，为求新的最优解，处理办法是：______。[武汉大学 2006 研]
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行解。
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7．线性规划灵敏度分析应在（ ）的基础上，分析系数的变化对最优解产生的影响。 [中山大学 2007 研]
A．初始单纯形表 B．最优单纯形表 C．对偶问题初始单纯形表 D． 对偶问题最优单纯形表 【答案】BD 【解析】灵敏度分析的是当系数的一个或几个发生变化时，已求得的线性规划问题的最 优解会有什么变化，所以进行灵敏度分析是在最优单纯形表或对偶问题的最优单纯形表的基 础上分析的，最优单纯形表反映的就是系数变化前已求得的最优解。
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第 2 章 对偶理论与灵敏度分析
一、判断题
1．已知 yi 为线性规划问题的对偶问题的最优解，若 yi 0 ，则说明在最优生产计划 中第 i 种资源已经完全耗尽。（ ）[北京交通大学 2010 研]
【答案】√
n
n
【解析】对偶问题互补松弛性质中 aij xj bi ；当 yi 0 时，有 aij xj = bi ，表明
3．如果线性规划问题有最优解，则它对偶问题也一定有最优解。（ ） [东北财经大 学 2009 研]
【答案】√ 【解析】由对偶定理知，原命题为真，且线性规划问题与它的对偶问题的最优值相等。
4．如果线性规划问题无最优解，则它的对偶问题也一定没有最优解。（ ） [东北财
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【答案】对偶单纯形法
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3．某极小化线性规划问题的对偶问题的最优解的第 l 个分量为 yl=-12，则该问题的第 1 个约束条件的右端常数项的对偶价格为：_______。[武汉大学 2006 研]
【答案】-12 【解析】由对偶问题的经济解释可知，原问题约束条件的右端常数项的对偶价格等于对 偶问题的最优解中相应的分量的值。