2016-2017学年北京市东城区高二(上)期末数学试卷(理科)

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北京市东城区2016-2017学年高二下学期期末教学统一检测数学理试题-含答案

东城区2016—2017学年度第二学期期末教学统一检测高二数学(理科) 2017.7本试卷共4页，共100分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共24分）一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．复数12i z =-+，则z 在复平面内对应的点所在象限为A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．直线3,2112x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）的斜率为 A． B． CD ．123．在()102x -的展开式中，6x 的系数为A ．41016CB ．41032CC ．6108C -D ．61016C -4．一名老师和四名学生站成一排照相，学生请老师站在正中间，则不同的站法为 A ．4种 B ．12种 C ．24种 D ．120种 5．在极坐标系中，点(2,)3π到直线cos 2ρθ=的距离为 A ．12B ．1C ．2D ．3 6．袋子中装有大小完全相同的6个红球和4个黑球，从中任取2个球，则所取出的两个球中恰有1个红球的概率为A ．541 B ．1225C ．158D ．35 7．函数||e cos x y x =-的图象大致为B C D 8．甲、乙两人约好一同去看《变形金刚5》，两人买完了电影票后，偶遇丙也看这场电影，此时还剩9张该场电影的电影票，电影票的座位信息如下表．丙从这9诉了甲，只将号数告诉了乙．下面是甲、乙关于丙所选电影票的具体座位信息的一段对话：甲对乙说：“我不能确定丙的座位信息，你肯定也不能确定．”乙对甲说：“本我不能确定，但是现在我能确定了．”甲对乙说：“哦，那我也能确定了！”根据上面甲、乙的对话，判断丙选择的电影票是A．4排8号B．3排1号C．1排4号D．1排5号第二部分（非选择题共76分）二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．请把答案填在答题卡中相应题中横线上）9．i是虚数单位，复数13i1i-=-．10．定积分11(2sin) x x dx-+⎰的值为．11．在高台跳水运动中，某运动员相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s ）存在函数关系2() 4.9 6.510h t t t =-++．则该运动员在0.5t s =时的瞬时速度为v =/m s ．12．若52345012345(21)x a a x a x a x a x a x +=+++++，则012345a a a a a a -+-+-的值为___________．13．随着中国电子商务的发展和人们对网购的逐渐认识，网购鲜花速递行业迅速兴起．佳佳为祝福母亲的生日，准备在网上定制一束混合花束．客服为佳佳提供了两个系列，如下表：花束．请问佳佳可定制的混合花束一共有种．14．已知平面向量(,)m n =a ，平面向量(,)p q =b ，（其中,,,Z m n p q ∈）．定义：(,)mp nq mq np ⊗=-+a b ．若(1,2)=a ，(2,1)=b ，则⊗a b =_____________；若(5,0)⊗a b =，且||5<a ，||5<b ，则=a _________，=b __________（写出一组满足此条件的a 和b 即可）．三、解答题（本大题共6个小题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分9分）已知函数32()1f x x x =-+．（I ）求函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程；（II ）求函数()f x 的极值．16．（本题满分8分）电视连续剧《人民的名义》自2017年3月28日在湖南卫视开播以，引发各方关注，收视率、点击率均占据各大排行榜首位．我们用简单随机抽样的方法对这部电视剧的观看情况进行抽样调查，共调查了600人，得到结果如下：其中图1是非常喜欢《人民的名义》这部电视剧的观众年龄的频率分布直方图；表1是不同年龄段的观众选择不同观看方式的人数．求：（I ）假设同一组中的每个数据用该组区间的中点值代替，求非常喜欢《人民的名义》这部电视剧的观众的平均年龄；（II ）根据表1，通过计算说明我们是否有99%的把握认为观看该剧的方式与年龄有关？附：()()()()d b c a d c b a bc ad n K ++++-=217．（本题满分8分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足2n n S a n =-，求数列{}n a 的图1通项公式．勤于思考的小红设计了下面两种解题思路，请你选择其中一种并将其补充完整．思路1：先设n 的值为1，根据已知条件，计算出1____a =，2____a =，3____a =．猜想：____.n a =然后用数学归纳法证明．证明过程如下： ①当1n =时，，猜想成立②假设n k =（k ∈N *）时，猜想成立，即k a = ．那么，当1n k =+时，由已知2n n S a n =-，得1k S += ．又2k k S a k =-，两式相减并化简，得1__________k a +=（用含k 的代数式表示）．所以，当1n k =+时，猜想也成立．根据①和②，可知猜想对任何k ∈N*都成立．思路2：先设n 的值为1，根据已知条件，计算出1______a =．由已知2n n S a n =-，写出1n S +与1n a +的关系式：1__________n S +=，两式相减，得1n a +与n a 的递推关系式：1__________n a +=．整理：11n a ++= ．发现：数列{1}n a +是首项为________，公比为_______的等比数列．得出：数列{1}n a +的通项公式1____n a +=，进而得到n a = ．18．（本题满分9分）为响应市政府“绿色出行”的号召，王老师每个工作日上下班由自驾车改为选择乘坐地铁或骑共享单车这两种方式中的一种出行．根据王老师从2017年3月到2017年5月的出行情况统计可知，王老师每次出行乘坐地铁的概率是0.4，骑共享单车的概率是0.6．乘坐地铁单程所需的费用是3元，骑共享单车单程所需的费用是1元．记王老师在一个工作日内上下班所花费的总交通费用为元，假设王老师上下班选择出行方式是相互独立的．（I ）求的分布列和数学期望()E X ；（II ）已知王老师在2017年6月的所有工作日（按22个工作日计）中共花费交通费用110元，请判断王老师6月份的出行规律是否发生明显变化，并依据以下原则说明理由．原则：设a 表示王老师某月每个工作日出行的平均费用，若|()|a E X -?，则有95％的把握认为王老师该月的出行规律与前几个月的出行规律相比有明显变化．（注：21()(())ni i i D X x E X p ==-å）19．（本题满分9分）已知函数()ln (1)f x x a x +-=，a R ∈．（I ）求()f x 的单调区间；（II ）若对任意的(0,)x ??，都有()22f x a ≤-，求实数a 的取值范围．20．（本题满分9分）已知随机变量ξ的取值为不大于n 的非负整数值，它的分布列为：i （）满足：i ，且0121n p p +++=L L ．定义由ξ生成的函数2012()nn f x p p x p x p x =++++L L ，令()()g x f x '=．（I ）若由ξ生成的函数23111()424f x x x x =++，求(2)P ξ=的值；（II ）求证：随机变量ξ的数学期望()(1)E g ξ=，ξ的方差2()(1)(1)((1))D g g g ξ'=+-；（2()(())ni i D i E p ξξ==-⋅∑）（Ⅲ）现投掷一枚骰子两次，随机变量ξ表示两次掷出的点数之和，此时由ξ生成的函数记为()h x ，求(2)h 的值．东城区2016—2017学年度第二学期期末教学统一检测高二数学（理科）答案一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）的横线上．）15．（本题满分9分）解：（I ）32()1f x x x =-+，2'()32f x x x =-． ………………………………………1分则(1)1,'(1)321f f ==-=． ………………………………………3分则函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为11y x -=-，化简得y x =． …………4分（II ）令2'()320f x x x =-=，解得1220,3x x ==． ………………5分当x 变化时，'()f x ，()f x 的变化情况如下表：因此，当0x =时，()f x 有极大值，并且极大值为(0)1f =；当23x =时，()f x 有极小值，并且极小值为223()327f =． ……………………9分16．（本题满分8分）解：（I ）平均年龄为：411506020050400401003015020=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.....x ． …………4分（II ）根据列联表中的数据，利用公式可得2K 的观测值()272711300200400330270250120801506002.k ≈=⨯⨯⨯⨯-⨯=． …………6分27.27 6.635k ≈≥，∴ 有99%把握认为观看该剧的方式与年龄有关． …………………………………8分17．（本题满分8分）解：思路1：11a =， ………………………………………………………1分23a =， ………………………………………………………2分 37a =， ………………………………………………………3分 21n n a =-， ………………………………………………………4分 11211a =-=，………………………………………………………5分21k k a =-， ………………………………………………………6分112(1)k k S a k ++=-+，………………………………………………7分1121k k a ++=-． …………………………………………8分思路2：11a =， ………………………………………………………1分112(1)n n S a n ++=-+， …………………………………………………2分 121n n a a +=+， ………………………………………………………3分 112(1)n n a a ++=+， …………………………………………………4分2， ………………………………………………………5分 2， ………………………………………………………6分12n n a +=， ………………………………………………………7分21n n a =-． ………………………………………………………8分18．（本题满分9分）解：（I ）依题意，可能的取值是2，4，6，因此的分布列为()20.3640.4860.16 3.6E X =⨯+⨯+⨯=． (5)分（II ）判断：有95％的把握认为王老师该月的出行规律与3~5月的出行规律相比有明显变化． ………………………………6分理由如下：6月共有22个工作日，共花费交通费用110元，∴平均每天出行的费用110225a =?（元）． .......................................7分又222()(2 3.6)0.36(4 3.6)0.48(6 3.6)0.16 1.92D X =-?-?-?， (8)分则|()||5 3.6| 1.4a E X -=-=>． ∴有95％的把握认为王老师该月的出行规律与3~5月的出行规律相比有明显变化． ………………………………………9分19．（本题满分9分）解：（I ）11'()(0)axf x a x x x-=-=>， ………………………………………………1分当0a ≤时，'()0f x >恒成立，则()f x 在(0,)+∞上单调递增； ………………2分当0a >时，令'()0f x >，则10x a<<．则()f x 在区间1(0,)a 上单调递增，在区间1(,)a+∞上单调递减．……………………4分（II ）方法1：①当0a ≤时，因为(1)022f a =>-，所以不会有(0,)x "??，()22f x a ≤-． …………………………………………5分 ②当0a >时，由（I ）知，()f x 在(0,)+?上的最大值为111()ln()(1)ln 1f a a a a a a =+-=-+-． ………………………6分所以(0,)x "??，()22f x a ≤-等价于1()ln 122f a a aa=-+-?．即ln 10a a +-?． ………………………………………………7分设()ln 1ln (1)g x x x x x =+-=--，由（I ）知()g x 在(0,)+?上单调递增．又(1)ln1110g =+-=，所以ln 10a a +-?的解为1a ≥． ………………………………8分故(0,)x "??，()22f x a ≤-时，实数a 的取值范围是[1,)+∞． ………………9分方法2：(0,)x "??，()22f x a ≤-等价于ln 21x a x +≥+． ……………………5分令ln 2()1x g x x +=+，则21ln 1'()(1)x x g x x --=+． (6)分令1()ln 1h x x x =--，则2211(1)'()x h x x x x-+=--=．因为当(0,)x ??，'()0h x <恒成立，所以()h x 在(0,)+?上单调递减． ………………………………7分又(1)1ln110h =--=，可得()g x 和'()g x 在(0,)+?上的情况如下：所以()g x 在(0,)+?上的最大值为(1)111g ==+． ………………………………8分因此(0,)x "??，()a g x ≥等价于(1)=1a g ≥．故(0,)x "??，()22f x a ≤-时，实数a 的取值范围是[1,)+∞． …………………9分20．（本题满分9分）解：（I ） 1(2)2P ξ==． ……………………………………2分（II ）由于012()012n E p p p n p ξ=⋅+⋅+⋅++⋅L L ，112()()2n n g x f x p p x np x -'==+++L L ，所以()g(1)E ξ=． ………………………………………………4分由ξ的方差定义可知2222202222222()(())()2()(1)()2()(1)()()2()(1)()()(1)(1)(1)n n n ni i i ii i i i n n n ni i i ii i i i ni i ni i ni i D i E p i p E p E i p i i p i p E p E i p i i p E E E i i p E E i i p g g ξξξξξξξξξξξ============-⋅=⋅+⋅-⋅=-⋅+⋅+⋅-⋅=-⋅++-=-⋅+-=-⋅+-∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑.∑由于112g()2n n x p p x np x -=+++L L ，所以有223()232(1)n n g x p p x n n p x -'=+⨯⋅++-⋅L L ，这样232(1)232(1)(1)nn i i g p p n n p i i p ='=+⨯⋅++-=-∑L L ，所以有2()(1)(1)((1))D g g g ξ'=+-． ………………………………………………6分（III ）方法1．投掷一枚骰子一次，随机变量ξ的生成的函数为：234561()()6f x x x x x x x =+++++． (7)分投掷骰子两次次对应的生成函数为 2345621()[()]6h x x x x x x x =+++++ ． ……… 8分所以2(2)21441h ==． ………………………………………………9分方法2：ξ的取值为2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12． ……………………………………………7分则ξ的分布列为分则2345678910111212345654321()+3636363636363636363636h x x x x x x x x x x x x =+++++++++．则4(1412328019232051276810241024)(2)36h ++++++++++=3969=4419=． ………………………………9分。

北京东城区高二2016-2017期末(理)

东城区2016—2017学年度第二学期期末教学统一检测高二数学(理科) 2017.7本试卷共4页，共100分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共24分）一、选择题: （本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．复数12i z =-+，则z 在复平面内对应的点所在象限为A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．直线3,112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）的斜率为 A． B． CD ．123．在()102x -的展开式中，6x 的系数为A ．41016CB ．41032CC ．6108C -D ．61016C -4．一名老师和四名学生站成一排照相，学生请老师站在正中间，则不同的站法为 A ．4种 B ．12种 C ．24种 D ．120种 5．在极坐标系中，点(2,)3π到直线cos 2ρθ=的距离为 A ．12B ．1C ．2D ．3 6．袋子中装有大小完全相同的6个红球和4个黑球，从中任取2个球，则所取出的两个球中恰有1个红球的概率为A ．541 B ．1225C ．158D ．357．函数||e cos x y x =-的图象大致为yxOA B C D8．甲、乙两人约好一同去看《变形金刚5》，两人买完了电影票后，偶遇丙也来看这场电影，此时还剩9张该场电影的电影票，电影票的座位信息如下表．丙从这9号数告诉了乙．下面是甲、乙关于丙所选电影票的具体座位信息的一段对话：甲对乙说：“我不能确定丙的座位信息，你肯定也不能确定．”乙对甲说：“本来我不能确定，但是现在我能确定了．”甲对乙说：“哦，那我也能确定了！”根据上面甲、乙的对话，判断丙选择的电影票是A．4排8号B．3排1号C．1排4号D．1排5号第二部分（非选择题共76分）二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．请把答案填在答题卡中相应题中横线上）9．i是虚数单位，复数13i1i-=-．10．定积分11(2sin)x x dx-+⎰的值为．11．在高台跳水运动中，某运动员相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系2() 4.9 6.510h t t t=-++．则该运动员在0.5t s=时的瞬时速度为v=/m s．12．若52345012345(21)x a a x a x a x a x a x+=+++++，则012345a a a a a a-+-+-的值为___________．13．随着中国电子商务的发展和人们对网购的逐渐认识，网购鲜花速递行业迅速兴起．佳佳为祝福母亲的生日，准备在网上定制一束混合花束．客服为佳佳提供了两个系列，如下表：佳佳要在两个系列中选一个系列，再从中选择2种玫瑰、1种康乃馨、2种配叶组成混合花束．请问佳佳可定制的混合花束一共有种．14．已知平面向量(,)m n =a ，平面向量(,)p q =b ，（其中,,,Z m n p q ∈）．定义：(,)mp nq mq np ⊗=-+a b ．若(1,2)=a ，(2,1)=b ，则⊗a b =_____________；若(5,0)⊗a b =，且||5<a ，||5<b ，则=a _________，=b __________（写出一组满足此条件的a 和b 即可）．三、解答题（本大题共6个小题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分9分）已知函数32()1f x x x =-+．（I ）求函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程；（II ）求函数()f x 的极值．16．（本题满分8分）电视连续剧《人民的名义》自2017年3月28日在湖南卫视开播以来，引发各方关注，收视率、点击率均占据各大排行榜首位．我们用简单随机抽样的方法对这部电视剧的观看情况进行抽样调查，共调查了600人，得到结果如下：其中图1是非常喜欢《人民的名义》这部电视剧的观众年龄的频率分布直方图；表1是不同年龄段的观众选择不同观看方式的人数．求：（I ）假设同一组中的每个数据用该组区间的中点值代替，求非常喜欢《人民的名义》这部电视剧的观众的平均年龄；（II ）根据表1，通过计算说明我们是否有99%的把握认为观看该剧的方式与年龄有关？附:()()()()()d b c a d c b a bc ad n K ++++-=2217．（本题满分8分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足2n n S a n =-，求数列{}n a 的通项公式．勤于思考的小红设计了下面两种解题思路，请你选择其中一种并将其补充完整．思路1：先设n 的值为1，根据已知条件，计算出1____a =，2____a =，3____a =．猜想：____.n a =然后用数学归纳法证明．证明过程如下： ①当1n =时，，猜想成立②假设n k =（k ∈N *）时，猜想成立，即k a = ．图1那么，当1n k =+时，由已知2n n S a n =-，得1k S += ．又2k k S a k =-，两式相减并化简，得1__________k a +=（用含k 的代数式表示）．所以，当1n k =+时，猜想也成立．根据①和②，可知猜想对任何k ∈N*都成立．思路2：先设n 的值为1，根据已知条件，计算出1______a =．由已知2n n S a n =-，写出1n S +与1n a +的关系式：1__________n S +=，两式相减，得1n a +与n a 的递推关系式：1__________n a +=．整理：11n a ++= ．发现：数列{1}n a +是首项为________，公比为_______的等比数列．得出：数列{1}n a +的通项公式1____n a +=，进而得到n a = ．18．（本题满分9分）为响应市政府“绿色出行”的号召，王老师每个工作日上下班由自驾车改为选择乘坐地铁或骑共享单车这两种方式中的一种出行．根据王老师从2017年3月到2017年5月的出行情况统计可知，王老师每次出行乘坐地铁的概率是0.4，骑共享单车的概率是0.6．乘坐地铁单程所需的费用是3元，骑共享单车单程所需的费用是1元．记王老师在一个工作日内上下班所花费的总交通费用为X 元，假设王老师上下班选择出行方式是相互独立的．（I ）求X 的分布列和数学期望()E X ；（II ）已知王老师在2017年6月的所有工作日（按22个工作日计）中共花费交通费用110元，请判断王老师6月份的出行规律是否发生明显变化，并依据以下原则说明理由．原则：设a 表示王老师某月每个工作日出行的平均费用，若|()|a E X -?95％的把握认为王老师该月的出行规律与前几个月的出行规律相比有明显变化．（注：21()(())ni i i D X x E X p ==-å）19．（本题满分9分）已知函数()ln (1)f x x a x +-=，a R ∈．（I ）求()f x 的单调区间；（II ）若对任意的(0,)x ??，都有()22f x a ≤-，求实数a 的取值范围．20．（本题满分9分）已知随机变量ξ的取值为不大于n 的非负整数值，它的分布列为：其中i p （0,1,2,,i n =L L ）满足：[0,1]i p ∈，且0121n p p p p ++++=L L ．定义由ξ生成的函数2012()n n f x p p x p x p x =++++L L ，令()()g x f x '=．（I ）若由ξ生成的函数23111()424f x x x x =++，求(2)P ξ=的值；（II ）求证：随机变量ξ的数学期望()(1)E g ξ=， ξ的方差2()(1)(1)((1))D g g g ξ'=+-；（2()(())ni i D i E p ξξ==-⋅∑）（Ⅲ）现投掷一枚骰子两次，随机变量ξ表示两次掷出的点数之和，此时由ξ生成的函数记为()h x ，求(2)h 的值．东城区2016—2017学年度第二学期期末教学统一检测高二数学（理科）答案一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．请把答案填在答题卡中相应题目的横线上．）三、解答题（本大题共6个小题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分9分）解：（I ）32()1f x x x =-+，2'()32f x x x =-． ………………………………………1分则(1)1,'(1)321f f ==-=． ………………………………………3分则函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为11y x -=-，化简得y x =． …………4分（II ）令2'()320f x x x =-=，解得1220,3x x ==． ………………5分当x 变化时，'()f x ，()f x 的变化情况如下表：…………………………………………………………………………………………7分因此，当0x =时，()f x 有极大值，并且极大值为(0)1f =；当23x =时，()f x 有极小值，并且极小值为223()327f =． ……………………9分16．（本题满分8分）解：（I ）平均年龄为：411506020050400401003015020=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.....x ． …………4分（II ）根据列联表中的数据，利用公式可得2K 的观测值()272711300200400330270250120801506002.k ≈=⨯⨯⨯⨯-⨯=． …………6分27.27 6.635k ≈≥，∴ 有99%把握认为观看该剧的方式与年龄有关． …………………………………8分17．（本题满分8分）解：思路1：11a =， ………………………………………………………1分23a =， ………………………………………………………2分 37a =， ………………………………………………………3分21n n a =-， ………………………………………………………4分 11211a =-=，………………………………………………………5分 21k k a =-， ………………………………………………………6分 112(1)k k S a k ++=-+，………………………………………………7分1121k k a ++=-． …………………………………………8分思路2：11a =， ………………………………………………………1分112(1)n n S a n ++=-+， …………………………………………………2分 121n n a a +=+， ………………………………………………………3分 112(1)n n a a ++=+， …………………………………………………4分2， ………………………………………………………5分 2， ………………………………………………………6分12n n a +=， ………………………………………………………7分 21n n a =-． ………………………………………………………8分18．（本题满分9分）解：（I ）依题意，X 可能的取值是2，4，6，因此X 的分布列为由此可知，X 的数学期望为()20.3640.4860.16 3.6E X =⨯+⨯+⨯=． ……………………………………5分（II ）判断：有95％的把握认为王老师该月的出行规律与3~5月的出行规律相比有明显变化． ………………………………6分理由如下：6月共有22个工作日，共花费交通费用110元，∴平均每天出行的费用110225a =?（元）． …………………………………7分又222()(2 3.6)0.36(4 3.6)0.48(6 3.6)0.161.92D X =-?-?-?，……………………8分则|()||5 3.6| 1.4a E X -=-=>． ∴有95％的把握认为王老师该月的出行规律与3~5月的出行规律相比有明显变化． ………………………………………9分19．（本题满分9分）解：（I ）11'()(0)axf x a x x x-=-=>， ………………………………………………1分当0a ≤时，'()0f x >恒成立，则()f x 在(0,)+∞上单调递增； ………………2分当0a >时，令'()0f x >，则10x a<<．则()f x 在区间1(0,)a上单调递增，在区间1(,)a+∞上单调递减．……………………4分（II ）方法1：①当0a ≤时，因为(1)022f a =>-，所以不会有(0,)x "??，()22f x a ≤-． …………………………………………5分 ②当0a >时，由（I ）知，()f x 在(0,)+?上的最大值为111()ln()(1)ln 1f a a a a a a=+-=-+-． ………………………6分所以(0,)x "??，()22f x a ≤-等价于1()ln 122f a a aa=-+-?．即ln 10a a +-?． ………………………………………………7分设()ln 1ln (1)g x x x x x =+-=--，由（I ）知()g x 在(0,)+?上单调递增．又(1)ln1110g =+-=，所以ln 10a a +-?的解为1a ≥． ………………………………8分故(0,)x "??，()22f x a ≤-时，实数a 的取值范围是[1,)+∞． ………………9分方法2：(0,)x "??，()22f x a ≤-等价于ln 21x a x +≥+． ……………………5分令ln 2()1x g x x +=+，则21ln 1'()(1)x x g x x --=+． ………………………………6分令1()ln 1h x x x =--，则2211(1)'()x h x x x x-+=--=．因为当(0,)x ??，'()0h x <恒成立，所以()h x 在(0,)+?上单调递减． ………………………………7分又(1)1ln110h =--=，可得()g x 和'()g x 在(0,)+?上的情况如下：所以()g x 在(0,)+?上的最大值为(1)111g ==+． ………………………………8分因此(0,)x "??，()a g x ≥等价于(1)=1a g ≥．故(0,)x "??，()22f x a ≤-时，实数a 的取值范围是[1,)+∞． …………………9分 20．（本题满分9分）解：（I ） 1(2)2P ξ==． ……………………………………2分（II ）由于012()012n E p p p n p ξ=⋅+⋅+⋅++⋅L L ，112()()2n n g x f x p p x np x -'==+++L L ，所以()g(1)E ξ=． ………………………………………………4分由ξ的方差定义可知2220000220002222222()(())()2()(1)()2()(1)()()2()(1)()()(1)(1)(1)n n n ni i i i i i i i n n n ni i i i i i i i n i i n i i ni i D i E p i p E p E i p i i p i p E p E i p i i p E E E i i p E E i i p g g ξξξξξξξξξξξ============-⋅=⋅+⋅-⋅=-⋅+⋅+⋅-⋅=-⋅++-=-⋅+-=-⋅+-∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑.∑由于112g()2n n x p p x np x -=+++L L ，所以有223()232(1)n n g x p p x n n p x -'=+⨯⋅++-⋅L L ，这样232(1)232(1)(1)nn i i g p p n n p i i p ='=+⨯⋅++-=-∑L L ，所以有2()(1)(1)((1))D g g g ξ'=+-． ………………………………………………6分（III ）方法1．投掷一枚骰子一次，随机变量ξ的生成的函数为：234561()()6f x x x x x x x =+++++． ………………………………7分投掷骰子两次次对应的生成函数为: 2345621()[()]6h x x x x x x x =+++++ ． ……… 8分所以2(2)21441h ==． ………………………………………………9分方法2：ξ的取值为2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12． ……………………………………………7分则ξ的分布列为………………………………8分则2345678910111212345654321()+3636363636363636363636h x x x x x x x x x x x x =+++++++++．则4(1412328019232051276810241024)(2)36h ++++++++++=3969．………………………………9分=4419。

北京市东城区2017-2018学年度第一学期高二期末数学理无答案(完整版)

东城区2017-2018学年度第一学期期末数学统一检测高二数学（理科）2018.1 本试卷共4页，共100分。

考试时长120分钟。

考试务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共36分）一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若A，B两点的纵坐标相等，则直线AB的倾斜角为A. 0B. π4C. π2D.π2. 已知命题p:∃x0∈R，lg x0<0，那么命题¬p为A. ∀x∈R，lg x>0B. ∃x0∈R，lg x0>0C. ∀x∈R，lg x≥0D. ∃x0∈R，lg x0≥03. 在平面直角坐标系中，正三角形ABC的边BC所在直线的斜率是0，则边AB，AC所在直线的斜率之和为A.−23B. -1C. 0D. 234. 已知m，n表示两条不同的直线，α表示平面，且n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5. 结晶体的基本单位成为晶胞，如图是食盐晶胞的示意图（可看成是八个棱长为12的小正方体堆积成的正方体），其中白点○代表钠原子，黑点●代表氯原子.建立空间直角坐标系O −xyz 后，图中最上层中心的钠原子所在位置的坐标是 A. （12，12，1）B. （0，0，1）C. （1，12，1）D. （1，12，12）6. 如图所示，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，四面体A-B 1CD 1在面AA 1D 1D 上的正投影图形为ABCD7. 设椭圆x 2a2+y 2b 2=1（a >b >0）的左、右焦点分别是F 1，F 2，线段F 1F 2被点（b2，0）分成3：1的两段，则此椭圆的离心率为A.13B.12C. 22D. 328. 已知直线l ，m 和平面α，β，且l ⊥α，m ∥β，则下列命题中正确的是 A. 若α⊥β，则l ∥m B. 若α∥β，则l ⊥mC. 若l ∥β，则m ⊥αD. 若l ⊥m ，则α∥β9. 若半径为1的动圆与圆 x −1 2+y 2=4相切，则动圆圆心的轨迹方程为 A. x −1 2+y 2=9B. x −1 2+y 2=3C. x −1 2+y 2=9或 x −1 2+y 2=1D. x −1 2+y 2=3或 x −1 2+y 2=510. 已知双曲线C ：x 2a −y 2b =1（a >0,b >0）的焦距为10，点P （2，1）在C 的一条渐近线上，则C 的方程为A. x 220−y280=1 B. x25−y220=1C. x280−y220=1 D. x220−y25=111. 平面上动点P到定点F与定直线l的距离相等，且点F与直线l的距离为1. 某同学建立直角坐标系后，得到点P的轨迹方程为x2=2y−1，则它的建系方式是A B C D12. 正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M，N为棱A1D1，AB上的动点，且MN=3，则线段MN中点P的轨迹为A. 线段B. 圆的一部分C. 椭圆的一部分D. 双曲线的一部分第二部分（非选择题共64分）二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13. 在空间直角坐标系中，点P（2，-1，1）在yOz平面内的射影为Q（x，y，z），则x+y+z=.14. 若直线l与直线2x−y−1=0垂直，且不过第一象限，试写出一个直线l的方程：.15. 已知直线x−y−m=0经过抛物线y2=8x的焦点，且与抛物线交于A，B两点，则m=，|AB|=.16. 圆x−12+y2=2绕直线kx−y−k=0旋转一周所得的几何体的表面积为.17. 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱BB1，B1C1的中点，若∠CMN=90°，则异面直线AD1与DM所成的角为.x的距离之积为12. 给出下18. 已知曲线C上的任意一点M x，y满足到两条直线y=±22列关于曲线C的描述：①曲线C关于坐标原点对称；②对于曲线C上任意一点M x，y一定有|x|≤6；③直线y=x与曲线C有两个交点；④曲线C与圆x2+y2=16无交点.其中所有正确描述的序号是.三、解答题（本大题共4小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19. （本题满分10分）已知直线l过点A0，4，且在两坐标轴上的截距之和为1.（Ⅰ）求直线l的方程；（Ⅱ）若直线l1与l间的距离为2，求直线l1的方程.20. （本题满分11分）已知圆C:x2+y2+10x+10y+34=0.（Ⅰ）试写出圆C的圆心坐标和半径；（Ⅱ）圆D的圆心在直线x=−5上，且与圆C相外切，被x轴截得的弦长为10，求圆D的方程；（Ⅲ）过点P（0，2）的直线交（Ⅱ）中圆D于E，F两点，求弦EF的中点M的轨迹方程.21. （本题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点.（Ⅰ）若PA=PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；（Ⅱ）点M在线段PC上，PM=tPC，试确定实数t的值，使PA∥平面MQB；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，求二面角M-BQ-C的大小.22. （本题满分13分）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1（a>b>0）的焦点在圆x2+y2=3上，且离心率为32.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过原点O的直线l与椭圆C交于A，B两点，F为右焦点，若△FAB为直角三角形，求直线l的方程.。

2015-2016北京东城高二(上)期末数学理(含解析)

北京市东城区2015-2016学年上学期高二年级期末考试数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知(1,3)A --，(3,5)B 则直线AB 的斜率为（）．A ． 2B ． 1C ．12D ．不存在2．圆心为(3,2)-且过点(1,1)A -的圆的方程是（）． A ． 22(3)(2)5x y -+-= B ． 22(3)(2)5x y ++-= C ． 22(3)(2)25x y -+-=D ． 22(3)(2)25x y ++-=3．已知直线250x y -+=与直线260x my +-=互相垂直，则m =（）． A ． 1-B ．14C ．1D ． 44．已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）． A ．若m α∥，n α∥，则m n ∥ B ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥ C ．若m α⊥，m n ⊥，则n α∥D ．若m α∥，m n ⊥，则n α⊥5．双曲线2228x y -=的实轴长是（）．A ． 2B ． 22C ． 4D ． 426．一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是（）．A ． 1B ． 2C ． 3D ． 47．在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组220210380x y x y x y --≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩，所表示的区域上一动点，则直线OM 斜率的最小值为（）．A ． 13-B ． 12-C ． 1D ．28．已知抛物线C ：2y x =的焦点为F ，00(,)A x y 是C 上一点，05||4AF x =，则0x =（）． A ． 1B ． 2C ． 4D ． 89．过点P (3,1)--的直线l 与圆221x y +=有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是（）． A ． (0,]6π B ． (0,]3π C ． [0,]6π D ． [0,]3π10．点P 到图形C 上每一个点的距离的最小值称为点P 到图形C 的距离，那么平面内到定圆C 的距离与到定点A 的距离相等的点的轨迹不可能．．．是（）． A ．圆B ．椭圆C ．双曲线的一支D ．直线二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．双曲线221169x y -=的两条渐近线的方程为__________．12．以等腰直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，将该三角形旋转一周，若等腰直角三角形的直角边长为1，则所得圆锥的侧面积等于__________．13．已知(1,1,0)a =，(1,0,2)b =-，则|2|a b -=__________． 14．如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽__________米．15．设椭圆C ：22221x y a b+=(0)a b >>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为直线32x a =上一点，21F PF △是底角为30的等腰三角形，则C 的离心率为__________．16．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 、F 分别是棱BC ，1CC 的中点，P 是侧面11BCC B 内一点，若1A P ∥平面AEF ，则线段1A P 长度的取值范围是__________．三、解答题（本大题共5小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，PA PB =，且侧面PAB ⊥平面ABCD ，点E 是AB 的中点．（Ⅰ）求证：CD ∥平面PAB ；（Ⅱ）求证：PE AD ⊥．已知圆C 经过(1,3)A ，(1,1)B -两点，且圆心在直线y x =上．（Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）设直线l 经过点(2,2)-，且l 与圆C 相交所得弦长为23，求直线l 的方程．已知平行四边形的两条边所在直线的方程分别为10x y +-=，340x y -+=，且它的对角线的交点为(3,3)M ，求这个平行四边形其他两边所在直线的方程．如图，PA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，22AB PA BC ===，M 为PB 的中点．（Ⅰ）求证：AM ⊥平面PBC ；（Ⅱ）求二面角A PC B --的余弦值；（Ⅲ）证明：在线段PC 上存在点D ，使得BD AC ⊥，并求PDPC的值．已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点，过右焦点F与x轴不垂直的直线l交椭圆于P，Q两点．（Ⅰ）求椭圆的方程；△的面积；（Ⅱ）当直线l的斜率为1时，求POQM m，使得以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形？若存（Ⅲ）在线段OF上是否存在点(,0)在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．【试题答案】一、选择题 1． A2． D3． C 4． B 5． C6． B 7． A8． A9． D10． D二、填空题 11． 34y x =±12． 2π 13． 17 14． 2615．3416． 325[,]42三、解答题17．解：（Ⅰ）因为底面ABCD 是菱形，所以CD AB ∥．又因为CD ⊄平面PAB ，且AB ⊂平面PAB ，所以CD ∥平面PAB ．（Ⅱ）因为PA PB =，点E 是AB 的中点，所以PE AB ⊥，因为平面PAB ⊥平面ABCD ， PE ⊂平面PAB ，所以PE ⊥平面ABCD ，因为AD ⊂平面ABCD ，所以PE AD ⊥．18．解：（Ⅰ）设圆C 的圆心坐标为(,)a a ．依题意，有2222(1)(3)(1)(1)a a a a -+-=++-，即226921a a a a -+=++，解得1a =．所以222(11)(31)4r =-+-=，所以圆C 的方程为22(1)(1)4x y -+-=．（Ⅱ）依题意，圆C 的圆心到直线l 的距离为1，所以直线2x =符合题意．设直线l 的方程为2(2)y k x +=-，即220kx y k ---=，则2|3|11k k +=+，解得43k =-．所以直线l 的方程为42(2)3y x +=--，即4320x y +-=．综上，直线l 的方程为20x -=或4320x y +-=．19．解：联立两条直线的方程，得到方程组 10340x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，解此方程组，得3474x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．如图，平行四边形ABCD 的一个顶点是37(,)44A -．设00(,)C x y ，由题意，点(3,3)M 是线段AC 的中点，所以03432x -=，07432y +=，解得0274x =，0174y =．由已知，直线AD 的斜率3AD k =，因为直线BC AD ∥，所以，直线BC 的方程为17273()44y x -=-，即3160x y --=．由已知，直线AB 的斜率为1AB k =-．因为直线CD AB ∥，所以，直线CD 的方程为1727()44y x -=--，即110x y +-=．因此，其他两边所在直线的方程是3160x y --=，110x y +-=．20．解：（Ⅰ）因为PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以PA BC ⊥，因为AB BC ⊥，PA AB A =，所以BC ⊥平面PAB ，又AM ⊂平面PAB ，所以AM BC ⊥，因为PA AB =，M 为PB 的中点，所以AM PB ⊥，又PB BC B =，所以AM ⊥平面PBC ．（Ⅱ）如图，在平面ABC 内，作AZ BC ∥，则AP ，AB ，AZ 两两互相垂直，建立空间直角坐标系A xyz -，则(0,0,0)A ，(2,0,0)P ，(0,2,0)B ，(0,2,1)C ，(1,1,0)M ． (2,0,0)AP =，(0,2,1)AC =，(1,1,0)AM =，设平面APC 的法向量为(,,)n x y z =，则 0n AP n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即020x y z =⎧⎨+=⎩．令1y =，则2z =-，所以(0,1,2)n =-．由（Ⅰ）可知(1,1,0)AM =为平面BPC 的法向量，设n ，AM 的夹角为α，则10cos 10α=，因为二面角A PC B --为锐角，所以二面角A PC B --的余弦值为1010．（Ⅱ）设(,,)D u v w 是线段PC 上一点，且(01)PD PC λλ=≤≤，即(2,,)(2,2,1)u v w λ-=-，所以22u λ=-，2v λ=，w λ=，所以(22,22,)BD λλλ=--，由0BD AC ⋅=，得45λ=．因为4[0,1]5∈，所以在线段PC 上存在点D ，使得BD AC ⊥，此时，45PD PC λ==． 21．解：（Ⅰ）由已知，椭圆方程可设为22221(0)x y a b a b+=>>．因为两个焦点和短轴的两个端点恰为正方形的顶点，且短轴长为2，所以1b c ==，2a =所求椭圆方程为2212x y +=．（Ⅱ）因为直线l 过椭圆右焦点(1,0)F ，且斜率为1，所以直线l 的方程为1y x =-．设11(,)P x y ，22(,)Q x y由22221x y y x ⎧+=⎨=-⎩，23210y y +-=，解得11y =-，213y =．所以1212112||||||223POQ S OF y y y y =⋅-=-=△．（Ⅲ）假设在线段OF 上存在点(,0)(01)M m m <<，使得以MP ，MQ 为邻边的平行四边形是菱形．因为直线l 与x 轴不垂直，所以设直线l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠．由2222(1)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩，得2222(12)4220k x k x k +-+-=，因为4222164(12)(22)8(1)0k k k k ∆=-+-=+>，所以2122412k x x k +=+，21222212k x x k -=+设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，PQ 点为00(,)N x y ，所以202212k x k =+，0212k y k -=+ 因为以MP ，MQ 为邻边的平行四边形是菱形，所以MN PQ ⊥，1MN k k ⋅=-，所以222121212MN k k k k k k m k -+⋅=⋅=--+，整理得222221212k k m k k -=-+++， 2222221212k k k m k k -+==++．所以22(0)12k m k k =≠+，所以102m <<．选填解析一、选择题1．【答案】A【解析】直线AB 的斜率()()53231k --==--．故选A ．2．【答案】D【解析】∵圆心为(3,2)-且过点(1,1)A -，∴圆的半径()()2231215r =--++=，则圆的方程为22(3)(2)25x y ++-=．故选D ．3．【答案】C【解析】∵直线250x y -+=与直线260x my +-=互相垂直， ∴()1220m ⨯+-=，解得1m =．故选C ．4．【答案】B【解析】A ．若m α∥，n α∥，则m 与n 相交、平行或异面，故A 错； B ．若m α⊥，n α⊂，则由线面垂直的性质得m n ⊥，故B 正确； C ．若m α⊥，m n ⊥，则n α∥或n α⊂，故C 错；D ．若m α∥，m n ⊥，则n 与α相交、平行或n α⊂，故D 错．故选B ．5．【答案】C【解析】双曲线2228x y -=，可化为22148x y -=， ∴2a =，∴双曲线2228x y -=的实轴长是4．故选C ．6．【答案】B【解析】由题设及图知，此几何体为一个四棱锥，其底面为一个对角线长为2的正方形，故其底面积为141122⨯⨯⨯=，由三视图知其中一个侧棱为棱锥的高，其相对的侧棱与高及底面正方形的对角线组成一个直角三角形由于此侧棱长为13，对角线长为2，故棱锥的高为()221323-=，此棱锥的体积为12323⨯⨯=．故答案为B ．7．【答案】A【解析】由约束条件220210380x y x y x y --≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩作出可行域如图，联立210380x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得()3,1M -， ∴直线OM 斜率的最小值为13k =-．故答案选A8．【答案】A【解析】抛物线C ：2y x =的焦点为1,04F ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∵00(,)A x y 是C 上一点，05||4AF x =， ∴005144x x =+，解得01x =．故答案选A ．9．【答案】D【解析】由题意可得点(3,1)P --在圆221x y +=的外部，故要求的直线的斜率一定存在，设为k ，则直线方程为()13y k x +=+，即310kx yk -+-=．根据直线和圆有公共点可得2003111k k -+-+≤，即2232311k k k +-+≤，解得03k ≤≤，故直线l 的倾斜角的取值范围是[0,]3π．故答案选D ．10．【答案】D【解析】如图，A 点为定圆的圆心，动点M 为定圆半径AP 的中点，故AM MP =，此时M 的轨迹为以A 圆心，半径为AM 的圆．如图，以1F 为定圆的圆心，1F P 为其半径，在1F P 截得MP MA =，设1PF r =，∴111MF PM MF MA r F A +=+=>，由椭圆的定义可知，M 的轨迹是以1F 、A 为焦点，以1F A 为焦距，以r 为长轴的椭圆．如图，以1F 为定圆的圆心，1F P 为其半径，过P 点延长使得MP MA =，则有1MF PM r -=，∴1MF MA r FA -=<，由双曲线的定义可知，M 的轨迹是以1F ，A 为焦点的双曲线的右支．若M 落在以A 为端点在x 轴上的射线上，也满足条件，此时轨迹为一条射线，不是直线．故答案选D ．二、填空题 11．【答案】34y x =± 【解析】∵双曲线221169x y -=的4a =，3b =，焦点在x 轴上，而双曲线22221x y a b-=的渐近线方程为b y x a =±，∴双曲线221169x y -=的渐近线方程为34y x =±．故答案为34y x =±．12．【答案】2π 【解析】∵等腰直角三角形的斜边长为2，∴圆锥的母线2l =． ∵圆锥的底面半径1r =，∴圆锥的侧面积2s rl =π=π．故答案为2π．13．【答案】17【解析】∵(1,1,0)a =，(1,0,2)b =-，∴()23,2,2a b -=-， ∴|2|94417a b -=++=．故答案为1714．【答案】26【解析】如图建立直角坐标系，设抛物线方程为2x my =，将()2,2A -代入2x my =，得2m =﹣， ∴22x y =﹣，代入()03B x ,-得06x =，故水面宽为26．故答案为26．15．【答案】34【解析】设32x a =交x 轴于点M ，∵21F PF △是底角为30的等腰三角形 ∴21120PF F ∠=，221||PF F F =，且222||PF F M =， ∵P 为直线32x a =上一点，∴3222a c c ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，解之得34a c =， ∴椭圆C 的离心率为34c e a ==．故答案为3416．【答案】325[,]42【解析】如图所示：分别取棱1BB 、11B C 的中点M 、N ，连接MN ，连接1BC ，∵M 、N 、E 、F 为所在棱的中点，∴1MN BC ∥，1EF BC ∥，∴MN EF ∥，又MN ⊄平面AEF ，EF ⊂平面AEF ， ∴MN ∥平面AEF ；∵1AA NE ∥，1AA NE =，∴四边形1AENA 为平行四边形， ∴1A N AE ∥，又1A N ⊄平面AEF ，AE ⊂平面AEF ， ∴1A N ∥平面AEF ，又1A N MN N =，∴平面1A MN ∥平面AEF ， ∵P 是侧面11BCC B 内一点，且1A P ∥平面AEF ，则P 必在线段MN 上，在11Rt A B M △中，21112115142A M B B A M ++===，同理，在11Rt A B N △中，求得152A N =， ∴1A MN △为等腰三角形，当P 在MN 中点O 时1A P MN ⊥，此时1A P 最短，P 位于M 、N 处时1A P 最长， 21125132484AO M O A M -+===，1152A M A N ==，所以线段1A P 长度的取值范围是325[,]42．故答案为325[,]42．。

北京市东城区2016-2017学年高二下学期期末教学统一检测数学理试题-含答案

东城区2016—2017学年度第二学期期末教学统一检测高二数学(理科)2017.7本试卷共4页，共100分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共24分）一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．复数12i z =-+，则z 在复平面内对应的点所在象限为A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．直线3,2112x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）的斜率为 A．3-B．2-C．3 D ．123．在()102x -的展开式中，6x 的系数为A ．41016CB ．41032CC ．6108C -D ．61016C -4．一名老师和四名学生站成一排照相，学生请老师站在正中间，则不同的站法为 A ．4种 B ．12种 C ．24种 D ．120种 5．在极坐标系中，点(2,)3π到直线cos 2ρθ=的距离为A ．12B ．1C ．2D ．3 6．袋子中装有大小完全相同的6个红球和4个黑球，从中任取2个球，则所取出的两个球中恰有1个红球的概率为A ．541 B ．1225C ．158D ．35 7．函数||e cos x y x =-的图象大致为A B C D8．甲、乙两人约好一同去看《变形金刚5》，两人买完了电影票后，偶遇丙也看这场电影，此时还剩9张该场电影的电影票，电影票的座位信息如下表．丙从这9诉了甲，只将号数告诉了乙．下面是甲、乙关于丙所选电影票的具体座位信息的一段对话：甲对乙说：“我不能确定丙的座位信息，你肯定也不能确定．” 乙对甲说：“本我不能确定，但是现在我能确定了．” 甲对乙说：“哦，那我也能确定了！” 根据上面甲、乙的对话，判断丙选择的电影票是A ．4排8号B ．3排1号C ．1排4号D ．1排5号第二部分（非选择题共76分）二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．请把答案填在答题卡中相应题中横线上）9．i 是虚数单位，复数13i1i-=- ． 10．定积分11(2sin )x x dx -+⎰的值为．11．在高台跳水运动中，某运动员相对于水面的高度h （单位：m ）与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系2() 4.9 6.510h t t t =-++．则该运动员在0.5t s =时的瞬时速度为v = /m s ．12．若52345012345(21)x a a x a x a x a x a x +=+++++，则012345a a a a a a -+-+-的值为___________．13．随着中国电子商务的发展和人们对网购的逐渐认识，网购鲜花速递行业迅速兴起．佳佳为祝福母亲的生日，准备在网上定制一束混合花束．客服为佳佳提供了两个系列，如下表：束．请问佳佳可定制的混合花束一共有种．14．已知平面向量(,)m n =a ，平面向量(,)p q =b ，（其中,,,Z m n p q ∈）．定义：(,)mp nq mq np ⊗=-+a b ．若(1,2)=a ，(2,1)=b ，则⊗a b =_____________；若(5,0)⊗a b =，且||5<a ，||5<b ，则=a _________，=b __________（写出一组满足此条件的a 和b 即可）．三、解答题（本大题共6个小题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分9分）已知函数32()1f x x x =-+．（I ）求函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程；（II ）求函数()f x 的极值．16．（本题满分8分）电视连续剧《人民的名义》自2017年3月28日在湖南卫视开播以，引发各方关注，收视率、点击率均占据各大排行榜首位．我们用简单随机抽样的方法对这部电视剧的观看情况进行抽样调查，共调查了600人，得到结果如下：其中图1是非常喜欢《人民的名义》这部电视剧的观众年龄的频率分布直方图；表1是不同年龄段的观众选择不同观看方式的人数．求：（I ）假设同一组中的每个数据用该组区间的中点值代替，求非常喜欢《人民的名义》这部电视剧的观众的平均年龄；（II ）根据表1，通过计算说明我们是否有99%的把握认为观看该剧的方式与年龄有关？附：()()()()d b c a d c b a bc ad n K ++++-=217．（本题满分8分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足2n n S a n =-，求数列{}n a 的通项公式．勤于思考的小红设计了下面两种解题思路，请你选择其中一种并将其补充完整．思路1：先设n 的值为1，根据已知条件，计算出1____a =，2____a =，3____a =．图1猜想：____.n a =然后用数学归纳法证明．证明过程如下： ①当1n =时，，猜想成立②假设n k =（k ∈N *）时，猜想成立，即k a = ．那么，当1n k =+时，由已知2n n S a n =-，得1k S += ．又2k k S a k =-，两式相减并化简，得1__________k a +=（用含k 的代数式表示）．所以，当1n k =+时，猜想也成立．根据①和②，可知猜想对任何k ∈N*都成立．思路2：先设n 的值为1，根据已知条件，计算出1______a =．由已知2n n S a n =-，写出1n S +与1n a +的关系式：1__________n S +=，两式相减，得1n a +与n a 的递推关系式：1__________n a +=．整理：11n a ++= ．发现：数列{1}n a +是首项为________，公比为_______的等比数列．得出：数列{1}n a +的通项公式1____n a +=，进而得到n a = ．18．（本题满分9分）为响应市政府“绿色出行”的号召，王老师每个工作日上下班由自驾车改为选择乘坐地铁或骑共享单车这两种方式中的一种出行．根据王老师从2017年3月到2017年5月的出行情况统计可知，王老师每次出行乘坐地铁的概率是0.4，骑共享单车的概率是0.6．乘坐地铁单程所需的费用是3元，骑共享单车单程所需的费用是1元．记王老师在一个工作日内上下班所花费的总交通费用为元，假设王老师上下班选择出行方式是相互独立的．（I ）求的分布列和数学期望()E X ；（II ）已知王老师在2017年6月的所有工作日（按22个工作日计）中共花费交通费用110元，请判断王老师6月份的出行规律是否发生明显变化，并依据以下原则说明理由．原则：设a 表示王老师某月每个工作日出行的平均费用，若|()|a E X -?，则有95％的把握认为王老师该月的出行规律与前几个月的出行规律相比有明显变化．（注：21()(())ni i i D X x E X p ==-å）19．（本题满分9分）已知函数()ln (1)f x x a x +-=，a R ∈．（I ）求()f x 的单调区间；（II ）若对任意的(0,)x ??，都有()22f x a ≤-，求实数a 的取值范围．20．（本题满分9分）已知随机变量ξ的取值为不大于n 的非负整数值，它的分布列为：其中i （）满足：i ，且0121n p p ++=L L ．定义由ξ生成的函数2012()nn f x p p x p x p x =++++L L ，令()()g x f x '=．（I ）若由ξ生成的函数23111()424f x x x x =++，求(2)P ξ=的值；（II ）求证：随机变量ξ的数学期望()(1)E g ξ=， ξ的方差2()(1)(1)((1))D g g g ξ'=+-；（2()(())ni i D i E p ξξ==-⋅∑）（Ⅲ）现投掷一枚骰子两次，随机变量ξ表示两次掷出的点数之和，此时由ξ生成的函数记为()h x ，求(2)h 的值．东城区2016—2017学年度第二学期期末教学统一检测高二数学（理科）答案一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）横线上．）15．（本题满分9分）解：（I ）32()1f x x x =-+，2'()32f x x x =-． ………………………………………1分则(1)1,'(1)321f f ==-=． ………………………………………3分则函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为11y x -=-，化简得y x =． …………4分（II ）令2'()320f x x x =-=，解得1220,3x x ==． ………………5分当x 变化时，'()f x ，()f x 的变化情况如下表：因此，当0x =时，()f x 有极大值，并且极大值为(0)1f =；当23x =时，()f x 有极小值，并且极小值为223()327f =． ……………………9分16．（本题满分8分）解：（I ）平均年龄为：411506020050400401003015020=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.....x ． …………4分（II ）根据列联表中的数据，利用公式可得2K 的观测值()272711300200400330270250120801506002.k ≈=⨯⨯⨯⨯-⨯=． …………6分27.27 6.635k ≈≥，∴ 有99%把握认为观看该剧的方式与年龄有关． …………………………………8分17．（本题满分8分）解：思路1：11a =， ………………………………………………………1分23a =， ………………………………………………………2分 37a =， ………………………………………………………3分 21n n a =-， ………………………………………………………4分 11211a =-=，………………………………………………………5分21k k a =-， ………………………………………………………6分112(1)k k S a k ++=-+，………………………………………………7分1121k k a ++=-． …………………………………………8分思路2：11a =， ………………………………………………………1分112(1)n n S a n ++=-+， …………………………………………………2分 121n n a a +=+， ………………………………………………………3分 112(1)n n a a ++=+， …………………………………………………4分2， ………………………………………………………5分 2， ………………………………………………………6分12n n a +=， ………………………………………………………7分21n n a =-． ………………………………………………………8分18．（本题满分9分）解：（I ）依题意，可能的取值是2，4，6，因此的分布列为()20.3640.4860.16 3.6E X =⨯+⨯+⨯=． (5)分（II ）判断：有95％的把握认为王老师该月的出行规律与3~5月的出行规律相比有明显变化． ………………………………6分理由如下：6月共有22个工作日，共花费交通费用110元，∴平均每天出行的费用110225a =?（元）． .......................................7分又222()(2 3.6)0.36(4 3.6)0.48(6 3.6)0.16 1.92D X =-?-?-?， (8)分则|()||5 3.6| 1.4a E X -=-=>． ∴有95％的把握认为王老师该月的出行规律与3~5月的出行规律相比有明显变化． ………………………………………9分19．（本题满分9分）解：（I ）11'()(0)axf x a x x x-=-=>， ………………………………………………1分当0a ≤时，'()0f x >恒成立，则()f x 在(0,)+∞上单调递增； ………………2分当0a >时，令'()0f x >，则10x a<<．则()f x 在区间1(0,)a上单调递增，在区间1(,)a+∞上单调递减．……………………4分（II ）方法1：①当0a ≤时，因为(1)022f a =>-，所以不会有(0,)x "??，()22f x a ≤-． …………………………………………5分 ②当0a >时，由（I ）知，()f x 在(0,)+?上的最大值为111()ln()(1)ln 1f a a a a a a=+-=-+-． ………………………6分所以(0,)x "??，()22f x a ≤-等价于1()ln 122f a a aa=-+-?．即ln 10a a +-?． ………………………………………………7分设()ln 1ln (1)g x x x x x =+-=--，由（I ）知()g x 在(0,)+?上单调递增．又(1)ln1110g =+-=，所以ln 10a a +-?的解为1a ≥． ………………………………8分故(0,)x "??，()22f x a ≤-时，实数a 的取值范围是[1,)+∞． ………………9分方法2：(0,)x "??，()22f x a ≤-等价于ln 21x a x +≥+． ……………………5分令ln 2()1x g x x +=+，则21ln 1'()(1)x x g x x --=+． ………………………………6分令1()ln 1h x x x =--，则2211(1)'()x h x x x x -+=--=．因为当(0,)x ??，'()0h x <恒成立，所以()h x 在(0,)+?上单调递减． ………………………………7分又(1)1ln110h =--=，可得()g x 和'()g x 在(0,)+?上的情况如下：所以()g x 在(0,)+?上的最大值为(1)111g ==+．………………………………8分因此(0,)x "??，()a g x ≥等价于(1)=1a g ≥．故(0,)x "??，()22f x a ≤-时，实数a 的取值范围是[1,)+∞． …………………9分20．（本题满分9分）解：（I ） 1(2)2P ξ==． ……………………………………2分（II ）由于012()012n E p p p n p ξ=⋅+⋅+⋅++⋅L L ，112()()2n n g x f x p p x np x -'==+++L L ，所以()g(1)E ξ=． ………………………………………………4分由ξ的方差定义可知2222202222222()(())()2()(1)()2()(1)()()2()(1)()()(1)(1)(1)n n n ni i i ii i i i n n n ni i i ii i i i ni i ni i ni i D i E p i p E p E i p i i p i p E p E i p i i p E E E i i p E E i i p g g ξξξξξξξξξξξ============-⋅=⋅+⋅-⋅=-⋅+⋅+⋅-⋅=-⋅++-=-⋅+-=-⋅+-∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑.∑由于112g()2n n x p p x np x -=+++L L ，所以有223()232(1)n n g x p p x n n p x -'=+⨯⋅++-⋅L L ，这样232(1)232(1)(1)nn i i g p p n n p i i p ='=+⨯⋅++-=-∑L L ，所以有2()(1)(1)((1))D g g g ξ'=+-． ………………………………………………6分（III ）方法1．投掷一枚骰子一次，随机变量ξ的生成的函数为：234561()()6f x x x x x x x =+++++． (7)分投掷骰子两次次对应的生成函数为 2345621()[()]6h x x x x x x x =+++++ ． ……… 8分所以2(2)21441h ==． ………………………………………………9分方法2：ξ的取值为2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12． ……………………………………………7分则ξ的分布列为分则2345678910111212345654321()+3636363636363636363636h x x x x x x x x x x x x =+++++++++．则4(1412328019232051276810241024)(2)36h ++++++++++=3969=4419=．………………………………9分。

2017东城高三上学期理科期末带答案

东城区2016-2017学年度第一学期期末教学统一检测高三数学（理科）本试卷共6页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

）（1）已知集合{|(1)(3)0}A x x x =--<，{|24}B x x =<<，则AB =（A ）{|13}x x << （B ）{|14}x x << （C ）{|23}x x << （D ）{|24}x x << （2）抛物线22y x =的准线方程是（A ）1y =- （B ）12y =- （C ）1x =-（D ）12x =-（3）“1k =”是“直线0kx y --=与圆229x y +=相切”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（4）执行如图所示的程序框图，输出的k 值为（A ）6 （B ）8（C ）10 （D ）12（5）已知,x y ∈R ，且0x y >>，则（A ）tan tan 0x y -> （B ）sin sin 0x x y y ->（C ）ln ln 0x y +> （D ）220x y->正（主）视图俯视图2侧（左）视图（6）已知()f x是定义在R上的奇函数，且在[0,)+∞上是增函数，则(1)0f x+≥的解集为（A）(,1]-∞-（B）(,1]-∞（C）[1,)-+∞（D）[1,)+∞（7）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（A）23（B）43（C）2（D）83（8）数列{}na表示第n天午时某种细菌的数量．细菌在理想条件下第n天的日增长率0.6nr=(*1n nnna ar na+-=∈N，)．当这种细菌在实际条件下生长时，其日增长率nr会发生变化．下图描述了细菌在理想和实际两种状态下细菌数量Q随时间的变化规律．那么，对这种细菌在实际条件下日增长率nr的规律描述正确的是10（C ）时间10时间（天）（D ）第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

2016东城区高二(上)期末数学(理科)

2016东城区高二（上）期末数学（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）已知A（﹣1，﹣3），B（3，5），则直线AB的斜率为（）A．2 B．1 C．D．不存在2．（3分）圆心为（﹣3，2）且过点A（1，﹣1）的圆的方程是（）A．（x﹣3）2+（y﹣2）2=5 B．（x+3）2+（y﹣2）2=5 C．（x﹣3）2+（y﹣2）2=25 D．（x+3）2+（y ﹣2）2=253．（3分）已知直线x﹣2y+5=0与直线2x+my﹣6=0互相垂直，则m=（）A．﹣1 B．C．1 D．44．（3分）已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α5．（3分）双曲线2x2﹣y2=8的实轴长是（）A．4B．4 C．2D．26．（3分）一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是（）A．1 B．2 C．3 D．47．（3分）在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组，所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为（）A． B． C．1 D．28．（3分）已知抛物线C：y2=x的焦点为F，A（x0，y0）是C上一点，AF=|x0|，则x0=（）A．1 B．2 C．4 D．89．（3分）过点P（﹣，﹣1）的直线l与圆x2+y2=1有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是（）A．（0，]B．（0，]C．[0，]D．[0，]10．（3分）点P到图形C上每一个点的距离的最小值称为点P到图形C的距离，那么平面内到定圆C的距离与到定点A的距离相等的点的轨迹不可能是（）A．圆B．椭圆C．双曲线的一支D．直线二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）双曲线的两条渐近线方程为．12．（3分）以等腰直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，将该三角形旋转一周，若等腰直角三角形的直角边长为1，则所得圆锥的侧面积等于．13．（3分）已知=（1，1，0），=（﹣1，0，2），则|2﹣|=．14．（3分）如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为米．15．（3分）设F1、F2是椭圆E：=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则椭圆E的离心率为．16．（3分）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P∥平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，PA=PB，且侧面PAB⊥平面ABCD，点E是AB的中点．（Ⅰ）求证：CD∥平面PAB；（Ⅱ）求证：PE⊥AD．18．（10分）已知圆C经过A（1，3），B（﹣1，1）两点，且圆心在直线y=x上．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）设直线l经过点（2，﹣2），且l与圆C相交所得弦长为，求直线l的方程．19．（10分）已知平行四边形的两条边所在直线的方程分别为x+y﹣1=0，3x﹣y+4=0，且它的对角线的交点是M（3，3），求这个平行四边形其他两边所在直线的方程．20．（11分）如图，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，AB=PA=2BC=2，M为PB的中点．（Ⅰ）求证：AM⊥平面PBC；（Ⅱ）求二面角A﹣PC﹣B的余弦值；（Ⅲ）证明：在线段PC上存在点D，使得BD⊥AC，并求的值．21．（11分）已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点．过右焦点F与x轴不垂直的直线l交椭圆于P，Q两点．（1）求椭圆的方程；（2）当直线l的斜率为1时，求△POQ的面积；（3）在线段OF上是否存在点M（m，0），使得以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．【解答】直线AB的斜率k==2，故选：A．2．【解答】∵圆心为（﹣3，2）且过点A（1，﹣1），∴圆的半径，则圆的方程为（x+3）2+（y﹣2）2=25．故选：D．3．【解答】∵直线x﹣2y+5=0与直线2x+my﹣6=0互相垂直，∴1×2+（﹣2）m=0，解得m=1故选：C4．【解答】A．若m∥α，n∥α，则m，n相交或平行或异面，故A错；B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n，故B正确；C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故C错；D．若m∥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α或n⊥α，故D错．故选B．5．【解答】双曲线2x2﹣y2=8，可化为∴a=2，∴双曲线2x2﹣y2=8的实轴长是4故选B．6．【解答】由题设及图知，此几何体为一个四棱锥，其底面为一个对角线长为2的正方形，故其底面积为=2由三视图知其中一个侧棱为棱锥的高，其相对的侧棱与高及底面正方形的对角线组成一个直角三角形由于此侧棱长为，对角线长为2，故棱锥的高为=3此棱锥的体积为=2故选B．7．【解答】由约束条件作出可行域如图，联立，解得M（3，﹣1），∴直线OM斜率的最小值为k=．故选：A．8．【解答】抛物线C：y2=x的焦点为F，∵A（x0，y0）是C上一点，AF=|x0|，∴=x0+，解得x0=1．故选：A．9．【解答】由题意可得点P（﹣，﹣1）在圆x2+y2=1的外部，故要求的直线的斜率一定存在，设为k，则直线方程为y+1=k（x+），即kx﹣y+k﹣1=0．根据直线和圆有交点、圆心到直线的距离小于或等于半径可得≤1，即3k2﹣2k+1≤k2+1，解得0≤k≤，故直线l的倾斜角的取值范围是[0，]，故选：D．10．【解答】排除法：设动点为Q，1．当点A在圆内不与圆心C重合，连接CQ并延长，交于圆上一点B，由题意知QB=QA，又QB+QC=R，所以QA+QC=R，即Q的轨迹为一椭圆；如图．2．如果是点A在圆C外，由QC﹣R=QA，得QC﹣QA=R，为一定值，即Q的轨迹为双曲线的一支；3．当点A与圆心C重合，要使QB=QA，则Q必然在与圆C的同心圆，即Q的轨迹为一圆；则本题选D．故选D．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．【解答】∵双曲线的a=4，b=3，焦点在x轴上而双曲线的渐近线方程为y=±x∴双曲线的渐近线方程为故答案为：12．【解答】∵等腰直角三角形的斜边长为，∴圆锥的母线l=．∵圆锥的底面半径r=1，∴圆锥的侧面积S=πrl=．故答案为．13．【解答】∵=（1，1，0），=（﹣1，0，2），∴﹣=（2，2，0）﹣（﹣1，0，2）=（3，2，﹣2），∴|2﹣|==．故答案为：．14．【解答】如图建立直角坐标系，设抛物线方程为x2=my，将A（2，﹣2）代入x2=my，得m=﹣2∴x2=﹣2y，代入B（x0，﹣3）得x0=，故水面宽为2m．故答案为：2．15．【解答】设x=交x轴于点M，∵△F2PF1是底角为30°的等腰三角形∴∠PF2F1=120°，|PF2|=|F2F1|，且|PF2|=2|F2M|∵P为直线x=上一点，∴2（﹣c）=2c，解之得3a=4c∴椭圆E的离心率为e==故答案为：16．【解答】如下图所示：分别取棱BB1、B1C1的中点M、N，连接MN，连接BC1，∵M、N、E、F为所在棱的中点，∴MN∥BC1，EF∥BC1，∴MN∥EF，又MN⊄平面AEF，EF⊂平面AEF，∴MN∥平面AEF；∵AA1∥NE，AA1=NE，∴四边形AENA1为平行四边形，∴A1N∥AE，又A1N⊄平面AEF，AE⊂平面AEF，∴A1N∥平面AEF，又A1N∩MN=N，∴平面A1MN∥平面AEF，∵P是侧面BCC1B1内一点，且A1P∥平面AEF，则P必在线段MN上，在Rt△A1B1M中，A1M===，同理，在Rt△A1B1N中，求得A1N=，∴△A1MN为等腰三角形，当P在MN中点O时A1P⊥MN，此时A1P最短，P位于M、N处时A1P最长，A1O===，A1M=A1N=，所以线段A1P长度的取值范围是[]．故答案为：[]．三、解答题（本大题共5小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．【解答】（Ⅰ）∵底面ABCD是菱形，∴CD∥AB．（2分）又∵CD⊄平面PAB，（4分）且AB⊂平面PAB，∴CD∥平面PAB．（5分）（Ⅱ）∵PA=PB，点E是AB的中点，∴PE⊥AB．（6分）∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，PE⊂平面PAB，（8分）∴PE⊥平面ABCD．（9分）∵AD⊂平面ABCD，∴PE⊥AD．（10分）18．【解答】（Ⅰ）设圆C的圆心坐标为（a，a），依题意，有，即a2﹣6a+9=a2+2a+1，解得a=1，（2分）所以r2=（1﹣1）2+（3﹣1）2=4，（4分）所以圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=4．（5分）（Ⅱ）依题意，圆C的圆心到直线l的距离为1，所以直线x=2符合题意．（6分）设直线l方程为y+2=k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k﹣2=0，则，解得，所以直线l的方程为，即4x+3y﹣2=0．（9分）综上，直线l的方程为x﹣2=0或4x+3y﹣2=0．（10分）19．【解答】联立方程组解得，所以平行四边形ABCD的顶点A（﹣，）．（2分）设C（x0，y0），由题意，点M（3，3）是线段AC的中点，所以，解得（4分）所以C（，）．由已知，直线AD的斜率k AD=3．因为直线BC∥AD，所以，直线BC的方程为3x﹣y﹣16=0．（6分）由已知，直线AB的斜率k AB=﹣1．因为直线CD∥AB，所以，直线CD的方程为x+y﹣11=0．（8分）因此，其他两边所在直线的方程是3x﹣y﹣16=0，x+y﹣11=0．（9分）20．【解答】（Ⅰ）因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC．因为BC⊥AB，PA∩AB=A，所以BC⊥平面PAB．又AM⊂平面PAB，所以AM⊥BC．因为PA=AB，M为PB的中点，所以AM⊥PB．又PB∩BC=B，所以AM⊥平面PBC．（Ⅱ）如图，在平面ABC内，作AZ∥BC，则AP，AB，AZ两两互相垂直，建立空间直角坐标系A﹣xyz．则A（0，0，0），P（2，0，0），B（0，2，0），C（0，2，1），M（1，1，0）．，，设平面APC的法向量为，则即令y=1，则z=﹣2．所以=（0，1，﹣2）．由（Ⅰ）可知=（1，1，0）为平面的法向量，设，的夹角为α，则cosα=．因为二面角A﹣PC﹣B为锐角，所以二面角A﹣PC﹣B的余弦值为．（Ⅲ）设D（u，v，w）是线段PC上一点，且，（0≤λ≤1）．即（u﹣2，v，w）=λ（﹣2，2，1）．所以u=2﹣2λ，v=2λ，w=λ．所以．由，得．因为，所以在线段PC存在点D，使得BD⊥AC．此时=．21．【解答】（1）由已知，椭圆方程可设为．（1分）∵两个焦点和短轴的两个端点恰为正方形的顶点，且短轴长为2，∴．所求椭圆方程为．（4分）（2）右焦点F（1，0），直线l的方程为y=x﹣1．设P（x1，y1），Q（x2，y2），由得3y2+2y﹣1=0，解得．∴．（9分）（3）假设在线段OF上存在点M（m，0）（0＜m＜1），使得以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形．因为直线与x轴不垂直，所以设直线l的方程为y=k（x﹣1）（k≠0）．由可得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0．∴．．其中x2﹣x1≠0以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形⇔（x1+x2﹣2m，y1+y2）（x2﹣x1，y2﹣y1）=0⇔（x1+x2﹣2m）（x2﹣x1）+（y1+y2）（y2﹣y1）=0⇔（x1+x2﹣2m）+k（y1+y2）=0⇔2k2﹣（2+4k2）m=0．∴．（14分）。

北京市东城区2017届高三数学上学期期末考试试题理

东城区2016-2017学年度第一学期期末教学统一检测高三数学（理科）本试卷共6页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

）（1）已知集合{|(1)(3)0}A x x x =--<，{|24}B x x =<<，则AB =（A ）{|13}x x << （B ）{|14}x x << （C ）{|23}x x << （D ）{|24}x x << （2）抛物线22y x =的准线方程是（A ）1y=- （B ）12y =- （C ）1x =- （D ）12x =-（3）“1k =”是“直线0kx y --=与圆229x y +=相切”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（4）执行如图所示的程序框图，输出的k 值为（A ）6（B ）8 （C ）10（D ）12（5）已知,x y ∈R ，且0x y >>，则（A ）tan tan 0x y -> （B ）sin sin 0x x y y -> （C ）ln ln 0x y +> （D ）220xy->正（主）视图俯视图2侧（左）视图（6）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且在[0,)+∞上是增函数，则(1)0f x +≥的解集为（A ）(,1]-∞- （B ）(,1]-∞ （C ）[1,)-+∞ （D ）[1,)+∞ （7）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（A ）23 （B ）43（C ）2（D ）83（8）数列{}n a 表示第n 天午时某种细菌的数量．细菌在理想条件下第n 天的日增长率0.6n r =(*1n nn na a r n a +-=∈N ，)．当这种细菌在实际条件下生长时，其日增长率n r 会发生变化．下图描述了细菌在理想和实际两种状态下细菌数量Q 随时间的变化规律．那么，对这种细菌在实际条件下日增长率n r 的规律描述正确的是第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

2016-2017年北京市东城区高三上学期数学期末试卷及参考答案(理科)

2016-2017学年北京市东城区高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）1．（5分）已知集合A={x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}，B={x|2＜x＜4}，则A∩B=（）A．{x|1＜x＜3}B．{x|1＜x＜4}C．{x|2＜x＜3}D．{x|2＜x＜4}2．（5分）抛物线y2=2x的准线方程是（）A．y=﹣1 B．C．x=﹣1 D．3．（5分）“k=1”是“直线与圆x2+y2=9相切”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的k值为（）A．6 B．8 C．10 D．125．（5分）已知x，y∈R，且x＞y＞0，则（）A．tanx﹣tany＞0 B．xsinx﹣ysiny＞0C．lnx+lny＞0 D．2x﹣2y＞06．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且在[0，+∞）上是增函数，则f （x+1）≥0的解集为（）A．（﹣∞，﹣1]B．（﹣∞，1]C．[﹣1，+∞）D．[1，+∞）7．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A．B．C．2 D．8．（5分）数列{a n}表示第n天午时某种细菌的数量．细菌在理想条件下第n天的日增长率r n=0.6（r n=，n∈N*）．当这种细菌在实际条件下生长时，其日增长率r n会发生变化．如图描述了细菌在理想和实际两种状态下细菌数量Q 随时间的变化规律．那么，对这种细菌在实际条件下日增长率r n的规律描述正确的是（）A．B．C．D．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）若复数（2﹣i）（a+2i）是纯虚数，则实数a=．10．（5分）若x，y满足，则x+2y的最大值为．11．（5分）若点P（2，0）到双曲线的一条渐近线的距离为1，则a=．12．（5分）在△ABC中，若AB=2，AC=3，∠A=60°，则BC=；若AD⊥BC，则AD=．13．（5分）在△ABC所在平面内一点P，满足，延长BP交AC于点D，若，则λ=．14．（5分）关于x的方程g（x）=t（t∈R）的实根个数记为f（t）．若g（x）=lnx，则f（t）=；若g（x）=（a∈R），存在t使得f（t+2）＞f（t）成立，则a的取值范围是．三、解答题（共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．）15．（13分）已知{a n}是等比数列，满足a1=3，a4=24，数列{a n+b n}是首项为4，公差为1的等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{b n}的前n项和．16．（13分）已知函数部分图象如图所示．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及图中x0的值；（Ⅱ）求f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．17．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PCD⊥平面ABCD，BC=1，AB=2，，E为PA中点．（Ⅰ）求证：PC∥平面BED；（Ⅱ）求二面角A﹣PC﹣D的余弦值；（Ⅲ）在棱PC上是否存在点M，使得BM⊥AC？若存在，求的值；若不存在，说明理由．18．（13分）设函数．（Ⅰ）若f（0）为f（x）的极小值，求a的值；（Ⅱ）若f（x）＞0对x∈（0，+∞）恒成立，求a的最大值．19．（14分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）经过点M（2，0），离心率为．A，B是椭圆C上两点，且直线OA，OB的斜率之积为﹣，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若射线OA上的点P满足|PO|=3|OA|，且PB与椭圆交于点Q，求的值．20．（13分）已知集合A n={（x1，x2，…，x n）|x i∈{﹣1，1}（i=1，2，…，n）}．x，y∈A n，x=（x1，x2，…，x n），y=（y1，y2，…，y n），其中x i，y i∈{﹣1，1}（i=1，2，…，n）．定义x⊙y=x1y1+x2y2+…+x n y n．若x⊙y=0，则称x与y正交．（Ⅰ）若x=（1，1，1，1），写出A4中与x正交的所有元素；（Ⅱ）令B={x⊙y|x，y∈A n}．若m∈B，证明：m+n为偶数；（Ⅲ）若A⊆A n，且A中任意两个元素均正交，分别求出n=8，14时，A中最多可以有多少个元素．2016-2017学年北京市东城区高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）1．（5分）已知集合A={x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}，B={x|2＜x＜4}，则A∩B=（）A．{x|1＜x＜3}B．{x|1＜x＜4}C．{x|2＜x＜3}D．{x|2＜x＜4}【解答】解：集合A={x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}={x|1＜x＜3}，B={x|2＜x＜4}，则A∩B={x|2＜x＜3}．故选：C．2．（5分）抛物线y2=2x的准线方程是（）A．y=﹣1 B．C．x=﹣1 D．【解答】解：抛物线y2=2x的准线方程是：x=﹣．故选：D．3．（5分）“k=1”是“直线与圆x2+y2=9相切”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若直线与圆x2+y2=9相切，则由得：（1+k2）x2﹣6kx+9=0，故△=72k2﹣36（1+k2）=0，解得：k=±1，故“k=1”是“直线与圆x2+y2=9相切”的充分不必要条件，故选：A．4．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的k值为（）A．6 B．8 C．10 D．12【解答】解：模拟程序的运行，可得S=0，k=0满足条件S≤，执行循环体，k=2，S=满足条件S≤，执行循环体，k=4，S=+满足条件S≤，执行循环体，k=6，S=++满足条件S≤，执行循环体，k=8，S=+++=不满足条件S≤，退出循环，输出k的值为8．故选：B．5．（5分）已知x，y∈R，且x＞y＞0，则（）A．tanx﹣tany＞0 B．xsinx﹣ysiny＞0C．lnx+lny＞0 D．2x﹣2y＞0【解答】解：x，y∈R，且x＞y＞0，对于A：当x=，y=时，tan=，tan=，显然不成立；对于B：当x=π，y=时，πsinπ=﹣π，﹣sin=﹣1，显然不成立；对于C：lnx+lny＞0，即ln（xy）＞ln1，可得xy＞0，∵x＞y＞0，那么xy不一定大于0，显然不成立；对于D：2x﹣2y＞0，即2x＞2y，根据指数函数的性质可知：x＞y，恒成立．故选D6．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且在[0，+∞）上是增函数，则f （x+1）≥0的解集为（）A．（﹣∞，﹣1]B．（﹣∞，1]C．[﹣1，+∞）D．[1，+∞）【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，且在[0，+∞）上是增函数，∴函数在（﹣∞，+∞）上是增函数，∵f（0）=0，∴不等式f（x+1）≥0等价为f（x+1）≥f（0），则x+1≥0，得x≥﹣1，即不等式的解集为[﹣1，+∞），故选：C7．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A．B．C．2 D．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图中左上角的三角形为底面的三棱锥，其直观图如下图所示：其底面面积S=×2×2=2，高h=2，故棱锥的体积V==，故选：B．8．（5分）数列{a n}表示第n天午时某种细菌的数量．细菌在理想条件下第n天的日增长率r n=0.6（r n=，n∈N*）．当这种细菌在实际条件下生长时，其日增长率r n会发生变化．如图描述了细菌在理想和实际两种状态下细菌数量Q 随时间的变化规律．那么，对这种细菌在实际条件下日增长率r n的规律描述正确的是（）A．B．C．D．【解答】解：由图象可知，第一天到第六天，实际情况与理想情况重合，r1=r2=r6=0.6为定值，而实际情况在第10天后增长率是降低的，并且降低的速度是变小的，故选B．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）若复数（2﹣i）（a+2i）是纯虚数，则实数a=﹣1．【解答】解：∵复数（2﹣i）（a+2i）=（2a+2）+（4﹣a）i是纯虚数，∴2a+2=0，4﹣a≠0，解得a=﹣1．故答案为：﹣1．10．（5分）若x，y满足，则x+2y的最大值为6．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，设z=x+2y，由z=x+2y，得y=，平移直线y=，由图象可知当直线经过点A时，直线y=的截距最大，此时z最大，由，得，即A（2，2）此时z=2+2×2=6．故答案为：611．（5分）若点P（2，0）到双曲线的一条渐近线的距离为1，则a=．【解答】解：双曲线的一条渐近线方程为：x+ay=0，点P（2，0）到双曲线的一条渐近线的距离为1，可得：=1，解得a=．故答案为：．12．（5分）在△ABC中，若AB=2，AC=3，∠A=60°，则BC=；若AD⊥BC，则AD=．【解答】解：∵AB=2，AC=3，∠A=60°，∴由余弦定理可得BC==，=，∴AD=，故答案为，．13．（5分）在△ABC所在平面内一点P，满足，延长BP交AC于点D，若，则λ=．【解答】解：根据题意，不妨设△ABC是等腰直角三角形，且腰长AB=AC=1，建立直角坐标系，如图所示，则A（0，0），B（1，0），C（0，1），∴=（1，0），=（0，1）；∴=+=（，），∴=﹣=（﹣，）；设点D（0，y），则=（﹣1，y），由、共线，得y=，∴=（0，），=（0，1），当时，λ=．故答案为：．14．（5分）关于x的方程g（x）=t（t∈R）的实根个数记为f（t）．若g（x）=lnx，则f（t）=1；若g（x）=（a∈R），存在t使得f（t+2）＞f（t）成立，则a的取值范围是a＞1．【解答】解：若g（x）=lnx，则函数的值域为R，且函数为单调函数，故方程g（x）=t有且只有一个根，故f（t）=1，g（x）=，当t≤0时，f（t）=1恒成立，若存在t使得f（t+2）＞f（t）成立，则x＞0时，函数的最大值大于2，且对称轴位于y轴右侧，即，解得：a＞1，故答案为：1，a＞1三、解答题（共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．）15．（13分）已知{a n}是等比数列，满足a1=3，a4=24，数列{a n+b n}是首项为4，公差为1的等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{b n}的前n项和．【解答】解：（Ⅰ）设等比数列{a n}的公比为q．a1=3，a4=24得q3==8，q=2．所以a n=3•2n﹣1．又数列{a n+b n}是首项为4，公差为1的等差数列，所以a n+b n=4+（n﹣1）=n+3．从而b n=n+3﹣3•2n﹣1．（Ⅱ）由（Ⅰ）知b n=n+3﹣3•2n﹣1．数列{n+3}的前n项和为．数列{3•2n﹣1}的前n项和为=3×2n﹣3．所以，数列{b n}的前n项和为为﹣3×2n+3．16．（13分）已知函数部分图象如图所示．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及图中x0的值；（Ⅱ）求f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵函数，∴函数的最小正周期为T==π；…（2分）因为点（0，1）在f（x）=2sin（2x+φ）的图象上，所以2sin（2×0+φ）=1；又因为|φ|＜，所以φ=，…（4分）令2x+=，解得x=，所以x0=π+=；…（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=2sin（2x+），因为0≤x≤，所以≤2x+≤；当2x+=，即x=时，f（x）取得最大值2；当2x+=，即x=时，f（x）取得最小值﹣1．…（13分）17．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PCD⊥平面ABCD，BC=1，AB=2，，E为PA中点．（Ⅰ）求证：PC∥平面BED；（Ⅱ）求二面角A﹣PC﹣D的余弦值；（Ⅲ）在棱PC上是否存在点M，使得BM⊥AC？若存在，求的值；若不存在，说明理由．【解答】（共14分）证明：（Ⅰ）设AC与BD的交点为F，连结EF．因为ABCD为矩形，所以F为AC的中点．在△PAC中，由已知E为PA中点，所以EF∥PC．又EF⊂平面BFD，PC⊄平面BFD，所以PC∥平面BED．…（5分）（Ⅱ）取CD中点O，连结PO．因为△PCD是等腰三角形，O为CD的中点，所以PO⊥CD．又因为平面PCD⊥平面ABCD，PO⊂平面PCD，所以PO⊥平面ABCD．取AB中点G，连结OG，由题设知四边形ABCD为矩形，所以OF⊥CD．所以PO⊥OG．…（1分）如图建立空间直角坐标系O﹣xyz，则A（1，﹣1，0），C（0，1，0），P（0，0，1），D（0，﹣1，0），B（1，1，0），O（0，0，0），G（1，0，0）．=（﹣1，2，0），=（0，1，﹣1）．设平面PAC的法向量为=（x，y，z），则，令z=1，得=（2，1，1）．平面PCD的法向量为=（1，0，0）．设的夹角为α，所以cosα==．由图可知二面角A﹣PC﹣D为锐角，所以二面角A﹣PC﹣B的余弦值为．…（10分）（Ⅲ）设M是棱PC上一点，则存在λ∈[0，1]使得．因此点M（0，λ，1﹣λ），=（﹣1，λ﹣1，1﹣λ），=（﹣1，2，0）．由，得1+2（λ﹣1）=0，解得．因为∈[0，1]，所以在棱PC上存在点M，使得BM⊥AC．此时，=．…（14分）18．（13分）设函数．（Ⅰ）若f（0）为f（x）的极小值，求a的值；（Ⅱ）若f（x）＞0对x∈（0，+∞）恒成立，求a的最大值．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（﹣1，+∞），因为，所以f′（x）=﹣，因为f（0）为f（x）的极小值，所以f′（0）=0，即﹣=0，所以a=1，此时，f′（x）=，当x∈（﹣1，0）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．所以f（x）在x=0处取得极小值，所以a=1．…（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知当a=1时，f（x）在[0，+∞）上为单调递增函数，所以f（x）＞f（0）=0，所以f（x）＞0对x∈（0，+∞）恒成立．因此，当a＜1时，f（x）=ln（x+1）﹣＞ln（x+1）﹣＞0，f（x）＞0对x∈（0，+∞）恒成立．当a＞1时，f′（x）=，所以，当x∈（0，a﹣1）时，f′（x）＜0，因为f（x）在[0，a﹣1）上单调递减，所以f（a﹣1）＜f（0）=0，所以当a＞1时，f（x）＞0并非对x∈（0，+∞）恒成立．综上，a的最大值为1．…（13分）19．（14分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）经过点M（2，0），离心率为．A，B是椭圆C上两点，且直线OA，OB的斜率之积为﹣，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若射线OA上的点P满足|PO|=3|OA|，且PB与椭圆交于点Q，求的值．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，解得．∴椭圆C的方程为；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x3，y3），∵点P在直线AO上且满足|PO|=3|OA|，∴P（3x1，3y1）．∵B，Q，P三点共线，∴．∴（3x1﹣x2，3y1﹣y2）=λ（x3﹣x2，y3﹣y2），即，解得，∵点Q在椭圆C上，∴．∴．即，∵A，B在椭圆C上，∴，．∵直线OA，OB的斜率之积为，∴，即．∴，解得λ=5．∴=|λ|=5．20．（13分）已知集合A n={（x1，x2，…，x n）|x i∈{﹣1，1}（i=1，2，…，n）}．x，y∈A n，x=（x1，x2，…，x n），y=（y1，y2，…，y n），其中x i，y i∈{﹣1，1}（i=1，2，…，n）．定义x⊙y=x1y1+x2y2+…+x n y n．若x⊙y=0，则称x与y正交．（Ⅰ）若x=（1，1，1，1），写出A4中与x正交的所有元素；（Ⅱ）令B={x⊙y|x，y∈A n}．若m∈B，证明：m+n为偶数；（Ⅲ）若A⊆A n，且A中任意两个元素均正交，分别求出n=8，14时，A中最多可以有多少个元素．【解答】解：（Ⅰ）A4中所有与x正交的元素为（﹣1，﹣1，1，1）（1，1，﹣1，﹣1），（﹣1，1，﹣1，1），（﹣1，1，1，﹣1），（1，﹣1，﹣1，1），（1，﹣1，1，﹣1）．…（3分）（Ⅱ）对于m∈B，存在x=（x1，x2，…，x n），x i∈{﹣1，1}，y=（y1，y2，…，y n），其中x i，y i∈{﹣1，1}；使得x⊙y=m．令，；当x i=y i时，x i y i=1，当x i≠y i时，x i y i=﹣1．那么x⊙y=．所以m+n=2k﹣n+n=2k为偶数．…（8分）（Ⅲ）8个，2个n=8时，不妨设x1=（1，1，1，1，1，1，1，1），x2=（﹣1，﹣1，﹣1，﹣1，1，1，1，1）．在考虑n=4时，共有四种互相正交的情况即：（1，1，1，1），（﹣1，1，﹣1，1），（﹣1，﹣1，1，1），（1，﹣1，﹣1，1）分别与x1，x2搭配，可形成8种情况．所以n=8时，A中最多可以有8个元素．…（10分）N=14时，不妨设y1=（1，1…1，1），（14个1），y2=（﹣1，﹣1…﹣1，1，1…1）（7个1，7个﹣1），则y1与y2正交．令a=（a1，a2，…a14），b=（b1，b2，…b14），c=（c1，c2，…c14）且它们互相正交．设a、b、c相应位置数字都相同的共有k个，除去这k列外a、b相应位置数字都相同的共有m个，c、b相应位置数字都相同的共有n个．则a⊙b=m+k﹣（14﹣m﹣k）=2m+2k﹣14．所以m+k=7，同理n+k=7．可得m=n．由于a⊙c=﹣m﹣m+k+（14﹣k﹣2m）=0，可得2m=7，m=矛盾．所以任意三个元素都不正交．综上，n=14时，A中最多可以有2个元素．…（13分）。

北京市2016-2017学年高二上学期期末考试数学理试卷 Word版含答案

北京市2016-2017学年高二上学期期末考试数学理试卷一、选择题：本大题供8小题，每小题5分，供40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 直线023=+-y x 的倾斜角是A. 6πB. 3πC. 23πD. 56π 2. 直线l 过点(2,2)P -，且与直线032=-+y x 垂直，则直线l 的方程为A. 220x y +-=B. 260x y --=C. 260x y --=D. 250x y -+=3. 一个几何体的三视图如图所示，如果该几何体的侧面面积为π12,则该几何体的体积是A. π4B. 12πC. 16πD. 48π4. 在空间中，下列命题正确的是A. 如果直线m ∥平面α,直线α⊂n 内,那么m ∥n ;B. 如果平面α内的两条直线都平行于平面β，那么平面α∥平面βC. 如果平面α外的一条直线m 垂直于平面α内的两条相交直线，那么m α⊥D. 如果平面α⊥平面β，任取直线m α⊂，那么必有m β⊥5. 如果直线013=-+y ax 与直线01)21(=++-ay x a 平行.那么a 等于A. -1B. 31C. 3D. -1或316. 方程)0(0222≠=++a y ax x 表示的圆A. 关于x 轴对称B. 关于y 轴对称C. 关于直线x y =轴对称D. 关于直线x y -=轴对称7. 如图，正方体1111ABCD A BC D -中，点E ，F 分别是1AA ，AD 的中点，则1CD 与EF 所成角为A. 0︒B. 45︒C. 60︒D. 90︒8. 如果过点M (-2,0)的直线l 与椭圆1222=+y x 有公共点,那么直线l 的斜率k 的取值范围是 A.]22,(--∞ B.),22[+∞ C.]21,21[- D. ]22,22[- 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 已知双曲线的标准方程为116422=-y x ，则该双曲线的焦点坐标为，_________________渐近线方程为_________________.10. 已知向量)1,3,2(-=a ，)2,,5(--=y b 且a b ⊥ ，则y =________.11. 已知点),2,(n m A -，点)24,6,5(-B 和向量(3,4,12)a =- 且AB ∥a .则点A 的坐标为________.12. 直线0632=++y x 与坐标轴所围成的三角形的面积为________.13. 抛物线x y 82-=上到焦点距离等于6的点的坐标是_________________.14. 已知点)0,2(A ，点)3,0(B ，点C 在圆122=+y x 上，当ABC ∆的面积最小时，点C 的坐标为________.三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15. （本小题共13分）如图，在三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，BC CD ⊥，E ，F ,G 分别是AC ，AD ,BC 的中点.求证：（I ）AB ∥平面EFG ;（II ）平面⊥EFG 平面ABC .16. （本小题共13分）已知斜率为2的直线l 被圆0241422=+++y y x 所截得的弦长为求直线l 的方程.17. （本小题共14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面⊥PAB 平面ABCD ，AB ∥CD ，AB AD ⊥，2CD AB =，E 为PA 的中点,M 在PD 上(点M 与D P ,两点不重合).（I ）求证：PB AD ⊥；（II ）若λ=PDPM ,则当λ为何值时, 平面⊥BEM 平面PAB ?（III ）在（II ）的条件下,求证：PC ∥平面BEM .18. （本小题共13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，平面PCD ⊥底面ABCD ，PD CD ⊥，PD CD =,E 为PC 的中点.（I ）求证：AC ⊥PB ；（II ）求二面角P --BD --E 的余弦值.19. （本小题共14分）已知斜率为1的直线l 经过抛物线22y px =(0)p >的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点，4=AB .（I ）求p 的值；（II ）设经过点B 和抛物线对称轴平行的直线交抛物线22y px =的准线于点D ，求证：D O A ,,三点共线(O 为坐标原点).20. （本小题共13分）已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b +=>>的左焦点为F ,离心率为33，过点)1,0(M 且与x 轴平行的直线被椭圆G 截得的线段长为6.（I ）求椭圆G 的方程；（II ）设动点P 在椭圆G 上（P 不是顶点），若直线FP 的斜率大于2,求直线OP (O 是坐标原点)的斜率的取值范围.北京市2016-2017学年高二上学期期末考试数学理试卷参考答案一、ABB C BA CD二、9.（±52,0），2y x =± 10. -4 11. (1,-2,0)12. 3 13. (-4,24±) 14. （13133，13132）说明：1.第9题，答对一个空给3分。

2017东城区高二(上)期末数学(理科)

2017东城区高二（上）期末数学（理科）一、选择题：（共大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）直线x﹣y+1=0的倾斜角的大小为（）A．30°B．60°C．120° D．150°2．（3分）已知a∈R，命题“∀x∈（0，+∞），等式lnx=a成立”的否定形式是（）A．∀x∈（0，+∞），等式lnx=a不成立B．∀x∈（﹣∞，0），等式lnx=a不成立C．∃x0∈（0，+∞），等式lnx0=a不成立D．∃x0∈（﹣∞，0），等式lnx0=a不成立3．（3分）若焦点在x轴上的椭圆的离心率为，则a的值为（）A．9 B．6 C．3 D．24．（3分）某几何体的三视图如图所示，其中正视图是边长为2的正方形，俯视图是正三角形，则这个几何体的体积是（）A．B．C．D．85．（3分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且m⊂α，n⊂β，下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，则m⊥n B．若α∥β，则m∥n C．若m⊥n，则α⊥βD．若n⊥α，则α⊥β6．（3分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，，E为BC的中点，则异面直线A1E与D1C1所成角的正切值为（）A．2 B．C．D．7．（3分）已知A（﹣3，0），B（0，4），点P为直线y=x上一点，过A，B，P三点的圆记作圆C，则“点P为原点”是“圆C的半径取得最小值”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．（3分）图中的两条曲线分别表示某理想状态下捕食者和被捕食者数量随时间的变化规律．对捕食者和被捕食者数量之间的关系描述正确的是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．请把答案填在答题卡中相应题中横线上）9．（4分）点（﹣1，1）到直线x+y﹣2=0的距离为．10．（4分）双曲线的渐近线方程为．11．（4分）若x，y满足约束条件则z=x+2y的最小值为．12．（4分）已知球的体积为36π，球的表面积是．13．（4分）已知点，点F为抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，点P是该抛物线上的一个动点．若|PF|+|PM|的最小值为5，则p的值为．14．（4分）已知直线l k：y=kx+k2（k∈R），下列说法中正确的是．（注：把你认为所有正确选项的序号均填上）①l k与抛物线均相切；②l k与圆x2+（y+1）2=1均无交点；③存在直线l，使得l与l k均不相交；④对任意的i，j∈R，直线l i，l j相交．三、解答题（本大题共6个小题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（9分）已知△ABC的顶点A（5，1），AB边上的中线CM所在的直线方程为2x﹣y﹣5=0，AC边上的高BH所在的直线方程为x﹣2y﹣5=0．求（Ⅰ）AC所在的直线方程；（Ⅱ）点B的坐标．16．（8分）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC，侧棱AA1⊥平面ABC，E，F分别为A1B1，A1C1的中点．（Ⅰ）求证：B1C1∥面BEF；（Ⅱ）过点A存在一条直线与平面BEF垂直，请你在图中画出这条直线（保留作图痕迹，不必说明理由）．17．（9分）已知圆C的圆心在直线x﹣3y=0上，且与y轴相切于点（0，1）．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若圆C与直线l：x﹣y+m=0交于A，B两点，分别连接圆心C与A，B两点，若CA⊥CB，求m 的值．18．（9分）如图1，在等边△ABC中，D，E，F分别为AB，AC，BC的中点．将△ABF沿AF折起，得到如图2所示的三棱锥A﹣BCF．（Ⅰ）证明：AF⊥BC；（Ⅱ）当∠BFC=120°时，求二面角A﹣DE﹣F的余弦值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，在线段BC上是否存在一点N，使得平面ABF⊥平面FDN？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．19．（9分）已知动点P到点A（﹣2，0）与点B（2，0）的斜率之积为，点P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的轨迹方程；（Ⅱ）过点D（1，0）作直线l与曲线C交于P，Q两点，连接PB，QB分别与直线x=3交于M，N两点．若△BPQ和△BMN的面积相等，求直线l的方程．20．（8分）在平面直角坐标系中，设A（x1，y1），B（x2，y2）．定义：，其中α∈R+（R+表示正实数）．（Ⅰ）设A（1，1），B（2，3），求d1（A，B）和d2（A，B）的值；（Ⅱ）求证：对平面中任意两点A和B都有；（Ⅲ）设M（x，y），O为原点，记．若0＜α＜β，试写出Dα与Dβ的关系（只需写出结论，不必证明）．参考答案与试题解析一、选择题：（共大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．【解答】设直线x﹣y+1=0的倾斜角为θ，则tanθ=，θ∈[0°，180°）．∴θ=60°，故选：B．2．【解答】命题是全称命题，则命题的否定是：∃x0∈（0，+∞），等式lnx0=a不成立，故选：C3．【解答】焦点在x轴上的椭圆，可得c=，离心率为，可得：，解得a=3．故选：C．4．【解答】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱柱，底面是一个边长为2的等边三角形，故底面面积S==，高h=2，故体积V=Sh=2，故选：A5．【解答】对于A，若α⊥β，则m、n位置关系不定，不正确；对于B，若α∥β，则m∥n或m，n异面，不正确；对于C，若m⊥n，则α、β位置关系不定，不正确；对于D，根据平面与平面垂直的判定可知正确．故选D．6．【解答】以D原点，DA为x轴，AC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角系，设=1，则A1（1，0，2），E（，1，0），C1（0，1，2），D1（0，0，2），=（﹣，1，﹣2），=（0，1，0），设异面直线A1E与D1C1所成角为θ，则cosθ===，sinθ==，∴tanθ==．∴异面直线A1E与D1C1所成角的正切值为．故选：C．7．【解答】当点P为原点时，三角形AOB是直角三角形，此时AB是圆的直径，此时圆C的半径最小，即充分性成立，当C的半径取得最小值，AB是圆的直径，当以AB为直径的圆和直线y=x相切时，切点不是O，即必要性不成立，则点P为原点”是“圆C的半径取得最小值”的充分不必要条件，故选：A8．【解答】由已知中某理想状态下捕食者和被捕食者数量随时间的变化规律．可得捕食者和被捕食者数量与时间以10年为周期呈周期性变化，故捕食者和被捕食者数量之间的关系应为环状，故选：B二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．请把答案填在答题卡中相应题中横线上）9．【解答】点（﹣1，1）到直线x+y﹣2=0的距离为d==，故答案为．10．【解答】∵双曲线的a=2，b=1，焦点在x轴上而双曲线的渐近线方程为y=±∴双曲线的渐近线方程为y=±故答案为：y=±11．【解答】作出不等式组对应的平面区域，由z=x+2y，得y=，平移直线y=，由图象可知当直线经过点C时，直线y=的截距最小，此时z最小，由，得，即C（3，0）此时z=3+2×0=3．故答案为：312．【解答】因为球的体积为36π，所以=36π，球的半径为：r=3，所以球的表面积为：4π×32=36π．故答案为：36π．13．【解答】M在抛物线的内部时，∵抛物线上的点到焦点距离=到准线的距离，∴|PM|+|PF|=|PM|+P到准线的距离≤M到到准线的距离l=2+=5，解得p=6，M在抛物线的外部时，|MF|=5，=5，∴p=2综上所述，p=2或6．故答案为：2或6．14．【解答】由得：，由△=0恒成立，可得方程组恒有一解，即l k与抛物线均相切，故①正确；圆x2+（y+1）2=1的圆心（0，﹣1）到直线l k：y=kx+k2的距离d==≥1恒成立，当且仅当k=0时，l k与圆x2+（y+1）2=1相切，故②错误；存在直线l：y=x+1，y=﹣x+1，y=0，与直线l k：y=kx+k2（k∈R）均不相交，故③正确；对任意的i，j∈R，直线l i，l j的斜率不相等，两直线必相交，故④正确；故答案为：①③④三、解答题（本大题共6个小题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．【解答】（Ⅰ）因为AC⊥BH，所以设AC所在的直线方程为2x+y+t=0．把A（5，1）代入直线方程为2x+y+t=0，解得t=﹣11．所以AC所在的直线方程为2x+y﹣11=0．…（5分）（Ⅱ）设B（x0，y0），则AB的中点为．联立方程组化简得解得即B（﹣1，﹣3）．…（9分）16．【解答】（本题满分8分）证明：（Ⅰ）∵E，F分别为A1B1，A1C1的中点，∴EF∥B1C1．又∵EF⊂面BEF，B1C1⊄面BEF，∴B1C1∥面BEF．…（5分）（Ⅱ）作图如下：…（8分）17．【解答】（本题满分9分）（Ⅰ）设圆心坐标为C（a，b），圆C的圆心在直线x﹣3y=0上，所以a=3b．因为圆与y轴相切于点（0，1），则b=1，r=|a﹣0|．所以圆C的圆心坐标为（3，1），r=3．则圆C的方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2=9．…（5分）（Ⅱ）因为CA⊥CB，|CA|=|CB|=r，所以△ABC为等腰直角三角形．因为|CA|=|CB|=r=3，则圆心C到直线l的距离．则，求得m=1或﹣5．…（9分）18．【解答】（本题满分9分）证明：（Ⅰ）∵等边△ABC，F为BC的中点，∴AF⊥BC．即AF⊥BF，AF⊥FC．又∵BF∩FC=F，∴AF⊥面BCF．又∵BC⊂面BCF，∴AF⊥BC．…（3分）解：（II）如图，以点F为原点，在平面BCF内过点F作FC的垂线作为x轴，FC为y轴，FA为z轴，建立空间直角坐标系．设FC=2，则有F（0，0，0），，，C（0，2，0），∴，．∴，，，．设平面DEF的法向量为=（x1，y1，z1），因此，即，令z1=1，则=（﹣3，﹣，1）．设平面ADE的法向量为=（x2，y2，z2），因此有，即，令z2=1，则=（3，，1）．∴cos＜＞===﹣．∴二面角A﹣DE﹣F的余弦值为．…（6分）（III）在线段BC上存在一点N，满足面ABF⊥面DFN，且．证明如下：在平面BCF内，过F作FN⊥BF交BC于N，∵AF⊥面BCF，FN⊂面BCF，∴AF⊥FN．又∵FN⊥BF，AF∩BF=F，∴FN⊥面ABF．又∵FN⊂面DFN，∴面ABF⊥面DFN．设FN=a，∵∠BFC=120°，BF=FC，∴∠FBC=∠FCB=30°．又∵FN⊥BF，∴BN=2a．∵∠NFC=∠FCN=30°，∴FN=NC=a．∴BC=3a．∴．…（9分）19．【解答】（本题满分9分）（Ⅰ）设P点的坐标为（x，y），则，．∵，∴．化简得曲线C的轨迹方程为．…（4分）（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，直线的方程为x=1，则．直线PB的方程为，解得．直线QB的方程为，解得．则，．此时△BPQ和△BMN的面积相等…（6分）当直线l的斜率存在时，法1：设直线的方程为y=k（x﹣1），P（x1，y1），Q（x2，y2）．由得（1+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣4=0.，．直线PB的方程为，求得．直线QB的方程为，求得．，．若S=S△BMN，则（2﹣x1）（2﹣x2）=1，即x1x2﹣2（x1+x2）+3=0．△BPQ∴，化简得﹣1=0．此式不成立．所以△BPQ和△BMN的面积不相等综上，直线l的方程为x=1．…（9分）法2：设直线的方程为y=k（x﹣1），P（x1，y1），Q（x2，y2）．由得（1+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣4=0.，．，，=S△BMN，因为∠PBQ=∠MBN，S△BPQ所以|BQ||BP|=|BM||BN|，即．则有，化简得x1x2﹣2（x1+x2）+3=0．∴，化简得﹣1=0．此式不成立．所以△BPQ和△BMN的面积不相等综上，直线l的方程为x=1．…（9分）20．【解答】（Ⅰ）解：d1（A，B）=|1﹣2|+|1﹣3|=3，d2（A，B）===．（Ⅱ）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），则d1（A，B）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|，．=．=．所以d2（A，B）≤d1（A，B）成立．因为，所以===．所以成立．（Ⅲ）Dα⊂Dβ真子集．证明如下：任取（x0，y0）∈Dα，．当x0=1，y0=0时，dα（M，O）=0，dβ（M，O）=0，此时Dα⊆Dβ．当|x0|=1，|y0|=0时，，dβ（M，O）=1．此时Dα⊆Dβ．同理可得，当|x0|=0，|y0|=1时，Dα⊆Dβ．当|x0|≠1，|y0|≠1时，因为，所以．又因为0＜α＜β，所以．此时Dα⊆Dβ．反之不成立．所以Dα⊂Dβ．。

北京市东城区2016-2017学年高二下学期期末教学统一检测数学理试题-含答案

东城区2016—2017学年度第二学期期末教学统一检测高二数学(理科) 2017.7本试卷共4页，共100分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共24分）一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．复数12i z =-+，则z 在复平面内对应的点所在象限为A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．直线3,2112x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）的斜率为 A．3-B．2- C．3 D ．123．在()102x -的展开式中，6x 的系数为A ．41016CB ．41032CC ．6108C -D ．61016C -4．一名老师和四名学生站成一排照相，学生请老师站在正中间，则不同的站法为 A ．4种 B ．12种 C ．24种 D ．120种 5．在极坐标系中，点(2,)3π到直线cos 2ρθ=的距离为 A ．12B ．1C ．2D ．3 6．袋子中装有大小完全相同的6个红球和4个黑球，从中任取2个球，则所取出的两个球中恰有1个红球的概率为A ．541 B ．1225C ．158D ．35 7．函数||e cos x y x =-的图象大致为B C D 8．甲、乙两人约好一同去看《变形金刚5》，两人买完了电影票后，偶遇丙也看这场电影，此时还剩9张该场电影的电影票，电影票的座位信息如下表．丙从这9告诉了甲，只将号数告诉了乙．下面是甲、乙关于丙所选电影票的具体座位信息的一段对话：甲对乙说：“我不能确定丙的座位信息，你肯定也不能确定．”乙对甲说：“本我不能确定，但是现在我能确定了．”甲对乙说：“哦，那我也能确定了！”根据上面甲、乙的对话，判断丙选择的电影票是A．4排8号B．3排1号C．1排4号D．1排5号第二部分（非选择题共76分）二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．请把答案填在答题卡中相应题中横线上）9．i 是虚数单位，复数13i1i-=- ． 10．定积分11(2sin )x x dx -+⎰的值为．11．在高台跳水运动中，某运动员相对于水面的高度h （单位：m ）与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系2() 4.9 6.510h t t t =-++．则该运动员在0.5t s =时的瞬时速度为v =/m s ．12．若52345012345(21)x a a x a x a x a x a x +=+++++，则012345a a a a a a -+-+-的值为___________．13．随着中国电子商务的发展和人们对网购的逐渐认识，网购鲜花速递行业迅速兴起．佳佳为祝福母亲的生日，准备在网上定制一束混合花束．客服为佳佳提供了两个系列，如下表：花束．请问佳佳可定制的混合花束一共有种．14．已知平面向量(,)m n =a ，平面向量(,)p q =b ，（其中,,,Z m n p q ∈）．定义：(,)mp nq mq np ⊗=-+a b ．若(1,2)=a ，(2,1)=b ，则⊗a b =_____________；若(5,0)⊗a b =，且||5<a ，||5<b ，则=a _________，=b __________（写出一组满足此条件的a 和b 即可）．三、解答题（本大题共6个小题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分9分）已知函数32()1f x x x =-+．（I ）求函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程；（II ）求函数()f x 的极值．16．（本题满分8分）电视连续剧《人民的名义》自2017年3月28日在湖南卫视开播以，引发各方关注，收视率、点击率均占据各大排行榜首位．我们用简单随机抽样的方法对这部电视剧的观看情况进行抽样调查，共调查了600人，得到结果如下：其中图1是非常喜欢《人民的名义》这部电视剧的观众年龄的频率分布直方图；表1是不同年龄段的观众选择不同观看方式的人数．求：（I ）假设同一组中的每个数据用该组区间的中点值代替，求非常喜欢《人民的名义》这部电视剧的观众的平均年龄；（II ）根据表1，通过计算说明我们是否有99%的把握认为观看该剧的方式与年龄有关？附：()()()()d b c a d c b a bc ad n K ++++-=2图117．（本题满分8分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足2n n S a n =-，求数列{}n a 的通项公式．勤于思考的小红设计了下面两种解题思路，请你选择其中一种并将其补充完整．思路1：先设n 的值为1，根据已知条件，计算出1____a =，2____a =，3____a =．猜想：____.n a =然后用数学归纳法证明．证明过程如下： ①当1n =时，，猜想成立②假设n k =（k ∈N *）时，猜想成立，即k a = ．那么，当1n k =+时，由已知2n n S a n =-，得1k S += ．又2k k S a k =-，两式相减并化简，得1__________k a +=（用含k 的代数式表示）．所以，当1n k =+时，猜想也成立．根据①和②，可知猜想对任何k ∈N*都成立．思路2：先设n 的值为1，根据已知条件，计算出1______a =．由已知2n n S a n =-，写出1n S +与1n a +的关系式：1__________n S +=，两式相减，得1n a +与n a 的递推关系式：1__________n a +=．整理：11n a ++= ．发现：数列{1}n a +是首项为________，公比为_______的等比数列．得出：数列{1}n a +的通项公式1____n a +=，进而得到n a = ．18．（本题满分9分）为响应市政府“绿色出行”的号召，王老师每个工作日上下班由自驾车改为选择乘坐地铁或骑共享单车这两种方式中的一种出行．根据王老师从2017年3月到2017年5月的出行情况统计可知，王老师每次出行乘坐地铁的概率是0.4，骑共享单车的概率是0.6．乘坐地铁单程所需的费用是3元，骑共享单车单程所需的费用是1元．记王老师在一个工作日内上下班所花费的总交通费用为元，假设王老师上下班选择出行方式是相互独立的．（I ）求的分布列和数学期望()E X ；（II ）已知王老师在2017年6月的所有工作日（按22个工作日计）中共花费交通费用110元，请判断王老师6月份的出行规律是否发生明显变化，并依据以下原则说明理由．原则：设a 表示王老师某月每个工作日出行的平均费用，若|()|a E X -?，则有95％的把握认为王老师该月的出行规律与前几个月的出行规律相比有明显变化．（注：21()(())ni i i D X x E X p ==-å）19．（本题满分9分）已知函数()ln (1)f x x a x +-=，a R ∈．（I ）求()f x 的单调区间；（II ）若对任意的(0,)x ??，都有()22f x a ≤-，求实数a 的取值范围．20．（本题满分9分）已知随机变量ξ的取值为不大于n 的非负整数值，它的分布列为：i （）满足：i ，且0121n p p +++=L L ．定义由ξ生成的函数2012()nn f x p p x p x p x =++++L L ，令()()g x f x '=．（I ）若由ξ生成的函数23111()424f x x x x =++，求(2)P ξ=的值；（II ）求证：随机变量ξ的数学期望()(1E gξ=， ξ的方差2()(1)(1)((1))D g g g ξ'=+-；（2()(())ni i D i E p ξξ==-⋅∑）（Ⅲ）现投掷一枚骰子两次，随机变量ξ表示两次掷出的点数之和，此时由ξ生成的函数记为()h x ，求(2)h 的值．东城区2016—2017学年度第二学期期末教学统一检测高二数学（理科）答案一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）的横线上．）15．（本题满分9分）解：（I ）32()1f x x x =-+，2'()32f x x x =-． ………………………………………1分则(1)1,'(1)321f f ==-=． ………………………………………3分则函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为11y x -=-，化简得y x =． …………4分（II ）令2'()320f x x x =-=，解得1220,3x x ==． ………………5分当x 变化时，'()f x ，()f x 的变化情况如下表：因此，当0x =时，()f x 有极大值，并且极大值为(0)1f =；当23x =时，()f x 有极小值，并且极小值为223()327f =． ……………………9分16．（本题满分8分）解：（I ）平均年龄为：411506020050400401003015020=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.....x ． (4)分（II ）根据列联表中的数据，利用公式可得2K 的观测值()272711300200400330270250120801506002.k ≈=⨯⨯⨯⨯-⨯=． …………6分27.27 6.635k ≈≥，∴ 有99%把握认为观看该剧的方式与年龄有关． …………………………………8分17．（本题满分8分）解：思路1：11a =， ………………………………………………………1分23a =， ………………………………………………………2分 37a =， ………………………………………………………3分 21n n a =-， ………………………………………………………4分 11211a =-=，………………………………………………………5分21k k a =-， ………………………………………………………6分112(1)k k S a k ++=-+，………………………………………………7分1121k k a ++=-． …………………………………………8分思路2：11a =， ………………………………………………………1分112(1)n n S a n ++=-+， …………………………………………………2分 121n n a a +=+， ………………………………………………………3分112(1)n n a a ++=+， …………………………………………………4分2， ………………………………………………………5分 2， ………………………………………………………6分12n n a +=， ………………………………………………………7分21n n a =-． ………………………………………………………8分18．（本题满分9分）解：（I ）依题意，可能的取值是2，4，6，因此的分布列为()20.3640.4860.16 3.6E X =⨯+⨯+⨯=． (5)分（II ）判断：有95％的把握认为王老师该月的出行规律与3~5月的出行规律相比有明显变化． ………………………………6分理由如下：6月共有22个工作日，共花费交通费用110元，∴平均每天出行的费用110225a =?（元）． .......................................7分又222()(2 3.6)0.36(4 3.6)0.48(6 3.6)0.16 1.92D X =-?-?-?， (8)分则|()||5 3.6| 1.4a E X -=-=>． ∴有95％的把握认为王老师该月的出行规律与3~5月的出行规律相比有明显变化． ………………………………………9分19．（本题满分9分）解：（I ）11'()(0)axf x a x x x-=-=>， ………………………………………………1分当0a ≤时，'()0f x >恒成立，则()f x 在(0,)+∞上单调递增； ………………2分当0a >时，令'()0f x >，则10x a<<．则()f x 在区间1(0,)a上单调递增，在区间1(,)a+∞上单调递减．……………………4分（II ）方法1：①当0a ≤时，因为(1)022f a =>-，所以不会有(0,)x "??，()22f x a ≤-． …………………………………………5分②当0a >时，由（I ）知，()f x 在(0,)+?上的最大值为111()ln()(1)ln 1f a a a a a a =+-=-+-． ………………………6分所以(0,)x "??，()22f x a ≤-等价于1()ln 122f a a aa=-+-?．即ln 10a a +-?． ………………………………………………7分设()ln 1ln (1)g x x x x x =+-=--，由（I ）知()g x 在(0,)+?上单调递增．又(1)ln1110g =+-=，所以ln 10a a +-?的解为1a ≥． ………………………………8分故(0,)x "??，()22f x a ≤-时，实数a 的取值范围是[1,)+∞． ………………9分方法2：(0,)x "??，()22f x a ≤-等价于ln 21x a x +≥+． ……………………5分令ln 2()1x g x x +=+，则21l n 1'()(1)x x g x x --=+． (6)分令1()ln 1h x x x =--，则2211(1)'()x h x x x x-+=--=．因为当(0,)x ??，'()0h x <恒成立，所以()h x 在(0,)+?上单调递减． ………………………………7分又(1)1ln110h =--=，可得()g x 和'()g x 在(0,)+?上的情况如下：所以()g x 在(0,)+?上的最大值为(1)111g ==+． ………………………………8分因此(0,)x "??，()a g x ≥等价于(1)=1a g ≥．故(0,)x "??，()22f x a ≤-时，实数a 的取值范围是[1,)+∞． …………………9分20．（本题满分9分）解：（I ） 1(2)2P ξ==． ……………………………………2分（II ）由于012()012n E p p p n p ξ=⋅+⋅+⋅++⋅L L ，112()()2n n g x f x p p x np x -'==+++L L ，所以()g(1)E ξ=． ………………………………………………4分由ξ的方差定义可知2222202222222()(())()2()(1)()2()(1)()()2()(1)()()(1)(1)(1)n n n ni i i ii i i i n n n ni i i ii i i i ni i ni i ni i D i E p i p E p E i p i i p i p E p E i p i i p E E E i i p E E i i p g g ξξξξξξξξξξξ============-⋅=⋅+⋅-⋅=-⋅+⋅+⋅-⋅=-⋅++-=-⋅+-=-⋅+-∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑.∑由于112g()2n n x p p x np x -=+++L L ，所以有223()232(1)n n g x p p x n n p x -'=+⨯⋅++-⋅L L ，这样232(1)232(1)(1)nn i i g p p n n p i i p ='=+⨯⋅++-=-∑L L ，所以有2()(1)(1)((1))D g g g ξ'=+-． (6)分（III ）方法1．投掷一枚骰子一次，随机变量ξ的生成的函数为：234561()()6f x x x x x x x =+++++．………………………………7分投掷骰子两次次对应的生成函数为 2345621()[()]6h x x x x x x x =+++++ ． ……… 8分所以2(2)21441h ==． ………………………………………………9分方法2：ξ的取值为2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12． ……………………………………………7分则ξ的分布列为8分则2345678910111212345654321()+3636363636363636363636h x x x x x x x x x x x x =+++++++++．则4(1412328019232051276810241024)(2)36h ++++++++++=3969=4419=． ………………………………9分。

东城区2017数学统练理科答案

东城区2016-2017学年第一学期期末教学统一检测高三数学参考答案及评分标准（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）C （2）D （3）A （4）B （5）D （6）C （7）B （8）B 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）（9）1- （10）6 （11（127213 （13）13 （14）1，(1,)+∞三、解答题（共6小题，共80分）（15）（共13分）解：（Ⅰ）设等比数列{}n a 的公比为q ．由题意，得3418a q a ==，2q =．所以11132n n n a a q --==⋅(1,2,)n = ． ……………3分又数列{}n n a b +是首项为4，公差为1的等差数列，所以4(1)1n n a b n +=+-⋅．从而1(3)32n n b n -=+-⨯(1,2,)n = ． ……………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知1(3)32n n b n -=+-⨯(1,2,)n =数列{3}n +的前n 项和为(7)2n n +． ……………9分数列1{32}n -⋅的前n 项和为3(12)32312n n -=⨯--． ……………12分所以，数列{}n b 的前n 项和为(7)3232n n n +-⨯+． ………13分（16）（共13分）解：（Ⅰ）由题意22T π==π，T =π． …………2分因为点(0,1)在()2sin(2)f x x ϕ=+图象上，所以2sin(20)=1ϕ⨯+．又因为||2ϕπ<，Ay所以6ϕπ=． …………4分所以076x =π． ………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知()2sin(2)6f x x π=+，因为02x π≤≤，所以2666x ππ7π≤+≤．当262x ππ+=，即6x π=时，()f x 取得最大值2；当266x π7π+=，即2x π=时，()f x 取得最小值1-．………13分（17）（共14分）解：（Ⅰ）设AC 与BD 的交点为F ，连结EF ．因为ABCD 为矩形，所以F 为AC 的中点．在△PAC 中，由已知E 为PA 中点，所以EF ∥PC ．又EF ⊂平面BED ，PC ⊄平面BED ，所以PC ∥平面BED ． ……………………………5分（Ⅱ）取CD 中点O ，连结PO ．因为△PCD 是等腰三角形，O 为CD 所以PO CD ⊥．又因为平面PCD ⊥平面ABCD ，PO ⊂平面PCD ，所以PO ⊥平面ABCD ．取AB 中点G ，连结OG ，由题设知四边形ABCD 为矩形，所以OF CD ⊥．所以PO OG ⊥．…………………1分如图建立空间直角坐标系O xyz -，则(1,1,0)A -，(0,1,0)C ，(0,0,1)P ，(0,1,0)D -，(1,1,0)B ，(0,0,0)O ，(1,0,0)G ．(1,2,0)AC =- ，(0,1,1)PC =-．设平面PAC 的法向量为(,,)x y z =n ，则0,0,AC PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即20,0.x y y z -=⎧⎨-=⎩ 令1z =，则1y =，2x = ．所以(2,1,1)=n ．平面PCD 的法向量为(1,0,0)OG =．设,OG n 的夹角为α，所以cos 3α=．由图可知二面角A PC D --为锐角，所以二面角A PC B --10分（Ⅲ）设M 是棱PC 上一点，则存在[0,1]λ∈使得PM PC λ=．因此点(0,,1)M λλ-，(1,1,1)BM λλ=--- ，(1,2,0)AC =-．由BM ⋅ 0AC = ，即12λ=．因为1[0,1]2λ=∈，所以在棱PC 上存在点M ，使得BM ⊥AC ．此时，12PM PC λ==． …………………………14分（18）（共14分）解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(1,)-+∞．因为()ln(1)1axf x x x =+-+，所以21'()1(1)a f x x x =-++．因为(0)f 为()f x 的极小值，所以'(0)0f =，即21001(01)a -=++．所以1a =．此时，2'()(1)xf x x =+．当(1,0)x ∈-时，'()0f x <，()f x 单调递减；当(0,)x ∈+∞时，'()0f x >，()f x 单调递增．所以()f x 在0x =处取得极小值，所以1a =． ……………………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知当1a =时，()f x 在[0,)+∞上为单调递增函数，所以()(0)0f x f >=，所以()0f x >对(0,)x ∈+∞恒成立．因此，当1a <时，()ln(1)ln(1)011ax xf x x x x x =+->+->++， ()0f x >对(0,)x ∈+∞恒成立．当1a >时，221(1)'()1(1)(1)a x a f x x x x --=-=+++，所以，当(0,1)x a ∈-时，'()0f x <，因为()f x 在[0,1)a -上单调递减，所以(1)(0)0f a f -<=．所以当1a >时，()0f x >并非对(0,)x ∈+∞恒成立．综上，a 的最大值为1． ……………………………13分（19）（共13分）解：（Ⅰ）由题意得222212.a c a abc =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩，，解得b =所以椭圆C 的方程为22143x y +=． ……………………………5分（Ⅱ）设112233(,),(,),(,)A x y B x y Q x y ．因为点P 在直线AO 上且满足||3||PO OA =，所以11(3,3)P x y ．因为,,B Q P 三点共线，所以BP BQ λ=．所以12123232(3,3)(,)x x y y x x y y λ--=--，123212323(),3().x x x x y y y y λλ-=-⎧⎨-=-⎩解得31231231,31.x x x y y y λλλλλλ-⎧=+⎪⎪⎨-⎪=+⎪⎩因为点Q 在椭圆C 上，所以2233143x y +=．所以2212123131()()143x x y y λλλλλλ--+++=．即22222112212122296(1)()()()()1434343x y x y x x y y λλλλλ--+++-+=1，因为,A B 在椭圆C 上，所以2211143x y +=，2222143x y +=．因为直线,OA OB 的斜率之积为34-，所以121234y y x x ⋅=-，即1212043x x y y+=．所以2291()1λλλ-+=，解得5λ=．所以||||5||BP BQ λ==． ……………………………14分（20）（共13分）解：（Ⅰ）4A 中所有与x 正交的元素为(1,1,1,1)--，(1,1,1,1)--，(1,1,1,1)--，(1,1,1,1)--，(1,1,1,1)--，(1,1,1,1)--． ………………………3分（Ⅱ）对于m B ∈，存在12(,,,),{1,1}n i x x x x x =∈-L ，12(,,,),{1,1}n i y y y y y =∈-L ；使得x y m =e ．令1,0,i i i i ix y x y δ=⎧=⎨≠⎩，，1ni i k δ==∑；当i i x y =时1i i x y =，当i i x y ≠时1i i x y =-.那么1()2ni ii x y x yk n k k n ===--=-∑e .所以2m n k +=为偶数．………………………8分（Ⅲ）8个，2个8n =时，不妨设1(1,1,1,1,1,1,1,1)x =，2(1,1,1,1,1,1,1,1)x =----．在考虑4n =时，共有四种互相正交的情况即： 1111111111111111------，分别与12,x x 搭配，可形成8种情况．所以8n =时，A 中最多可以有8个元素．………………………10分14n =时，不妨设114(1,1,1)y =个，17(1,1,,1,1,1,1)y =---个7个，则1y 与2y 正交．令1214(,,,)a a a a =L ，1214(,,,)b b b b =L ，1214(,,,)c c c c =L 且它们互相正交．设 ,,a b c 相应位置数字都相同的共有k 个，除去这k 列外,a b 相应位置数字都相同的共有m 个， ,b c 相应位置数字都相同的共有n 个.则(14)22140a b m k m k m k =+---=+-=e . 所以7m k +=，同理7n k +=. 可得n m =.由于(142)0a c m m k k m =--++--=e ，可得27m =，*72m =∉N 矛盾. 所以任意三个元素都不正交.综上，14n =时，A 中最多可以有2个元素. ………13分。

北京市东城区2016-2017学年度高三二模理科数学试题及答案(word版)

试卷第1页，共8页绝密★启用前北京市东城区2016-2017学年度高三二模理科数学试题及答案（word 版）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：60分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、设是向量，则“”是“”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2、据统计某超市两种蔬菜连续天价格分别为和，令，若中元素个数大于，则称蔬菜在这天的价格低于蔬菜的价格，记作：，现有三种蔬菜，下列说法正确的是A ．若，，则B ．若，同时不成立，则不成立C ．，可同时不成立试卷第2页，共8页D ．，可同时成立3、动点从点出发，按逆时针方向沿周长为的平面图形运动一周，两点间的距离与动点所走过的路程的关系如图所示，那么动点所走的图形可能是A ．B ．C ．D ．4、我国南宋时期的数学家秦九韶（约）在他的著作《数书九章》中提出了多项式求值的秦九韶算法．如图所示的框图给出了利用秦九韶算法求多项式的一个实试卷第3页，共8页例．若输入的，，，则程序框图计算的是A ．B ．C ．D ．5、已知等比数列为递增数列，是其前项和.若，，则A ．B ．C ．D ．6、若满足，则的最大值为（）A ．B ．C ．D ．7、下列函数中为奇函数的是（）试卷第4页，共8页A ．B ．C ．D ．8、已知集合，则A ．或B ．或C ．D ．试卷第5页，共8页第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）9、已知函数①若有且只有一个根，则实数的取值范围是_______．②若关于的方程有且仅有个不同的实根，则实数的取值范围是_______．10、在直角坐标系中，直线过抛物线的焦点，且与该抛物线相交于两点，其中点在轴上方．若直线的倾斜角为，则______．11、如图，在四边形中，，，，，，则_________；三角形的面积为___________.12、某校开设类选修课门，类选修课门，每位同学需从两类选修课中共选门．若要求至少选一门类课程，则不同的选法共有____种.（用数字作答）13、在极坐标系中，直线与圆相切，则__________．试卷第6页，共8页14、复数在复平面内所对应的点的坐标为_________．三、解答题（题型注释）15、对于维向量，若对任意均有或，则称为维向量. 对于两个维向量定义.（1）若, 求的值；（2）现有一个维向量序列：若且满足：，求证：该序列中不存在维向量.(3) 现有一个维向量序列：若且满足：，若存在正整数使得为维向量序列中的项，求出所有的.16、已知椭圆的短轴长为，右焦点为，点是椭圆上异于左、右顶点的一点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线与直线交于点，线段的中点为．证明：点关于直线的对称点在直线上．17、设函数．（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；试卷第7页，共8页（Ⅱ）设，若对任意的，存在使得成立，求的取值范围．18、如图，在几何体中，平面平面，四边形为菱形，且，，∥，为中点．（Ⅰ）求证：∥平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱上是否存在点，使？若存在，求的值；若不存在，说明理由．19、小明计划在8月11日至8月20日期间游览某主题公园．根据旅游局统计数据，该主题公园在此期间“游览舒适度”（即在园人数与景区主管部门核定的最大瞬时容量之比，40%以下为舒适，40%—60%为一般，60%以上为拥挤）情况如图所示．小明随机选择8月11日至8月19日中的某一天到达该主题公园，并游览2天.（Ⅰ）求小明连续两天都遇上拥挤的概率；（Ⅱ）设是小明游览期间遇上舒适的天数，求的分布列和数学期望；（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天游览舒适度的方差最大？（结论不要求证明）试卷第8页，共8页20、已知函数()．（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）若在上单调递减，求的最大值．参考答案1、D2、C3、C4、A5、D6、C7、B8、A9、10、11、12、13、14、15、（1）（2）不存在（3）16、（1）（2）见解析17、（1）．（2）或．18、（1）见解析（2）（3）19、（1）（2）（3）从月日开始连续三天游览舒适度的方差最大．20、（1）（2）【解析】1、试题分析：由无法得到，充分性不成立；由，得，两向量的模不一定相等，必要性不成立，故选D.【考点】充要条件,向量运算【名师点睛】由向量数量积的定义(为，的夹角)可知，数量积的值、模的乘积、夹角知二可求一，再考虑到数量积还可以用坐标表示，因此又可以借助坐标进行运算.当然，无论怎样变化，其本质都是对数量积定义的考查.求解夹角与模的题目在近几年高考中出现的频率很高，应熟练掌握其解法.2、特例法：例如蔬菜连续天价格为，蔬菜连续天价格分别为时，，同时不成立，故选C.点睛：本题主要考查了“新定义”问题，属于中档题.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.在该题中，可以采取特例法，直接根据定义得到结果.3、由题意可知：对于、，当位于，图形时，函数变化有部分为直线关系，不可能全部是曲线，由此即可排除、，对于，其图象变化不会是对称的，由此排除，故选C.点睛：本题考查的是函数的图象与图象变化的问题．在解答的过程当中充分体现了观察图形、分析图形以及应用图形的能力．体现了函数图象与实际应用的完美结合，在解答时首先要充分考查所给四个图形的特点，包括对称性、圆滑性等，再结合所给，两点连线的距离与点走过的路程的函数图象即可直观的获得解答.4、∵输入的，，，故，满足进行循环的条件，；满足进行循环的条件，；满足进行循环的条件，；满足进行循环的条件，；满足进行循环的条件，；不满足进行循环的条件，故输出的值为，故选A.5、∵数列为等比数列且，∴，又∵且为递增数列，∴，，则公比，故，故选D.6、由约束条件，作出可行域如图：由，解得，化目标函数为直线方程的斜截式，得，由图可知，当直线过点时，直线在轴上的截距最大，最大，此时，故选C.点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.7、A和C为非奇非偶函数，为偶函数，令，定义域为，，故为奇函数，故选B.8、由得：，则或，故选A.9、①作出函数的图象，有且只有一个根等价于的图象与有一个交点，故可得，即的取值范围是；②方程有且仅有个不同的实根等价于的图象与的图象有3个交点，而的图象是将的图象向左或向右平移个单位，故可得的取值范围是.10、抛物线的焦点的坐标为，∵直线过，倾斜角为，∴直线的方程为：，即，代入抛物线方程，化简可得，∴，或，∵A在轴上方，故，则，则，故答案为.11、在中，由余弦定理可得：，则；在中，，，由正弦定理可得，则故答案为，面积为.12、可分为以下两类：①选一门类课程：；②选一门类课程：，则至少选一门类课程不同的选法共有种，故答案为.13、直线的直角坐标方程为，圆的直角坐标方程为，∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离为，解得，故答案为1.点睛：本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程之间的转化，以及直线与圆的位置关系，难度一般；主要是通过，，将极坐标方程转化为直角坐标方程，即可得圆与直线的方程，圆与直线相切等价于圆心到直线的距离等于半径，利用点到直线的距离即可得到结果.14、∵，则其在复平面内所对应的点的坐标为，故答案为.15、试题分析：（Ⅰ）根据的定义可求得其值；（Ⅱ）利用反证法，向量的每一个分量变为，都需要奇数次变化，根据，得出矛盾；（Ⅲ）根据题意可得.试题解析：（Ⅰ）由于，，由定义，可得.（Ⅱ）反证法：若结论不成立，即存在一个含维向量序列，使得，.因为向量的每一个分量变为，都需要奇数次变化，不妨设的第个分量变化了次之后变成，所以将中所有分量变为共需要次，此数为奇数.又因为，说明中的分量有个数值发生改变，进而变化到，所以共需要改变数值次，此数为偶数，所以矛盾.所以该序列中不存在维向量.（Ⅲ）此时.16、试题分析：（Ⅰ）由短轴长为，得，结合离心率及可得椭圆的方程；（Ⅱ）“点关于直线的对称点在直线上”等价于“平分”，设出直线的方程为，可解出，的坐标，联立直线与椭圆的方程可得点坐标，分为当轴时，即可求得的角平分线所在的直线方程，可得证，当时，利用点到直线的距离可求出点到直线的距离，即可得结果.试题解析：解：（Ⅰ）由题意得解得，所以椭圆的方程为．（Ⅱ）“点关于直线的对称点在直线上”等价于“平分”．设直线的方程为，则．设点，由得，得①当轴时，，此时．所以．此时，点在的角平分线所在的直线或，即平分．②当时，直线的斜率为，所以直线的方程为，所以点到直线的距离．即点关于直线的对称点在直线上．17、试题分析：（Ⅰ）由，得出的解析式，求切线方程，即先求在处的值为切线的斜率，由点斜式求出切线方程即可；（Ⅱ）将题意等价于在区间上，的最大值大于或等于的最大值”利用单调性可求出在上的最大值，在利用分类讨论的思想分为，，三种情形，求出其最大值，再进行比较即可.试题解析：解：（Ⅰ）当时，因为，所以，．又因为，所以曲线在点处的切线方程为，即．（Ⅱ）“对任意的，存在使得成立”等价于“在区间上，的最大值大于或等于的最大值”．因为，所以在上的最大值为．令，得或．①当，即时，在上恒成立，在上为单调递增函数，的最大值为,由，得．②当，即时，当时，，为单调递减函数，当时，，为单调递增函数．所以的最大值为或,由，得；由，得．又因为，所以．③当，即时，在上恒成立，在上为单调递减函数，的最大值为，由，得，又因为，所以．综上所述，实数的值范围是或．点睛：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的极值，考查函数的最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档；求切线斜率的步骤：第一步确定切点；第二步求斜率，即求曲线上该点的导数；第三步利用点斜式求出直线方程；对于任意及存在问题主要转化为最值问题进行比较.18、试题分析：（Ⅰ）取中点，连结，利用面面平行平面∥平面，得到线面平行∥平面；（Ⅱ）取中点，连结，，先证两两垂直，故可以为原点，为轴，建立空间直角坐标系，求出的方向向量，面的法向量，利用可得结果；（Ⅲ）设是上一点，且，根据共线可得的坐标，结合数量积为0，可得结果.试题解析：（Ⅰ）取中点，连结．因为分别为中点，所以∥．又平面且平面，所以∥平面，因为∥，，所以∥，．所以四边形为平行四边形．所以∥．又平面且平面，所以∥平面，又，所以平面∥平面．又平面，所以∥平面．（Ⅱ）取中点，连结，．因为，所以．因为平面平面，所以平面，．因为，，所以△为等边三角形．因为为中点，所以．因为两两垂直，设，以为原点，为轴，如图建立空间直角坐标系，由题意得，，，，，，，，，．设平面的法向量为，则即令，则，．所以．设直线与平面成角为，所以直线与平面所成角的正弦值为．（Ⅲ）设是上一点，且，，因此点．．由，解得．所以在棱上存在点使得，此时．点睛：本题主要考查了线面平行的判定，利用空间向量求空间角以及探究性问题在立体几何中的体现，常见的证明线面平行的方法有：1、利用三角形的中位线；2、构造平行四边形；3、通过面面平行得到线面平行等；直线的方向向量与平面的法向量所成的角满足，对于线线垂直转化为向量垂直，即数量积为0.19、试题分析：（Ⅰ）设表示事件“小明8月11日起第日连续两天游览主题公园”（）且，通过观察上表可知两天都遇上拥挤为，故可得其概率；（Ⅱ）可知的所有可能取值为，计算出，，，求出分布列，运用数学期望求解即可；（Ⅲ）根据方差的意义，仔细观察表即可得结果.试题解析：设表示事件“小明8月11日起第日连续两天游览主题公园”（）.根据题意，，且.（Ⅰ）设为事件“小明连续两天都遇上拥挤”，则.所以.（Ⅱ）由题意，可知的所有可能取值为，，，．所以的分布列为故的期望．（Ⅲ）从月日开始连续三天游览舒适度的方差最大．20、试题分析：（Ⅰ）将代入，可得，故而可得的值；（Ⅱ）利用辅助角公式将其化为，故可得其周期，结合三角函数的性质可得该函数在当时，函数最大，故而可求得辅助角的值，进而得到,故可求得函数的最大值.试题解析：（Ⅰ）因为，所以，所以．（Ⅱ）由题意，其中．所以，且，所以当时，．所以，所以，，所以．所以的最大值为．。

市东城区高二第一学期数学期末试卷及答案理科

市东城区高二第一学期数学期末试卷及答案理科YUKI was compiled on the morning of December 16, 2020东城区2017—2018学年度第一学期期末教学统一检测高二数学 (理科)本试卷共4页，共100分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共36分）一、选择题: （共大题共12小题，每小题3分，共36分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若,A B 两点的纵坐标相等，则直线AB 的倾斜角为 A ．0 B . 4πC ．2πD .π 2.已知命题:p 0x ∃∈R ，0lg 0x <，那么命题p ⌝为A .,lg 0x x ∀∈>RB .00,lg 0x x ∃∈>RC ．,lg 0x x ∀∈≥RD .00,lg 0x x ∃∈≥R3.在平面直角坐标系中，正三角形ABC 的边BC 所在直线的斜率是0，则边,AB AC 所在直线的斜率之和为A ．23-B .1-C ．0D .34.已知,m n 表示两条不同的直线，α表示平面，且n α⊂,则“m n ”是“m α”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5.结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞的示意图（可看成是八个棱长为12的小正方体堆积成的正方体），其中点代表钠原子，黑点•代表氯原子．建立空间直角坐标系O xyz -后，图中最上层中心的钠原子所在位置的坐标是A. 11(,,1)22B. (0,0,1)C.1(1,,1)2D. 11(1,,)226.如图所示，在正方体1111D C B A ABCD -中，四面体11A B CD -在面11AA D D 上的正投影图形为A B C D7.设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，线段12F F 被点(,0)2b分成3:1的两段，则此椭圆的离心率为 A ．13B ． 12C ．2D ．38.已知直线l ，m 和平面α，β，且l ⊥α，//m β，则下列命题中正确的是A ．若αβ⊥，则//l mB ．若//αβ，则l m ⊥ C. 若//l β，则m α⊥ D ．若l m ⊥，则//αβ9.若半径为1的动圆与圆22(1)4x y -+=相切，则动圆圆心的轨迹方程为 A. 22(1)9x y -+= B. 22(1)3x y -+=C. 22(1)9x y -+=或 22(1)1x y -+=D. 22(1)3x y -+=或22(1)5x y -+=10.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的焦距为10，点(2,1)P 在C 的一条渐近线上，则C 的方程为A ．2212080x y -= B. 221520x y -= C. 2218020x y -= D. 221205x y -=11.平面上动点P到定点F与定直线l的距离相等，且点F与直线l的距离为1.某同学建立直角坐标系后，得到点P的轨迹方程为221x y=-，则他的建系方式是A BC D12.正方体1111DCBAABCD-的棱长为2，M,N为棱11A D,AB上的动点，且3MN=，则线段MN中点P的轨迹为A.线段B.圆的一部分C.椭圆的一部分D.双曲线的一部分二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．13.在空间直角坐标系中，点(2,1,1)P-在yOz平面内的射影为(,,)Q x y z，则x y z++＝________. 14.若直线l与直线210x y--=垂直，且不过第一象限，试写出一个直线l的方程： .MNA BCD1A1B1C1DP15. 已知直线:0l x y m --=经过抛物线28y x =的焦点，且与抛物线交于,A B 两点，则m = ,AB = .16.圆22(1)2x y -+=绕直线0kx y k --=旋转一周所得的几何体的表面积为 .17. 在长方体1111D C B A ABCD -中，M ,N 分别是棱1BB ，11B C 的中点，若90CMN ∠=，则异面直线1AD 与DM 所成的角为 .18. 已知曲线C 上的任意一点(,)M x y 满足到两条直线22y x =±的距离之积为12.给出下列关于曲线C 的描述：① 曲线C 关于坐标原点对称；② 对于曲线C 上任意一点(,)M x y 一定有6x ≤； ③ 直线y x =与曲线C 有两个交点； ④曲线C 与圆2216x y +=无交点. 其中所有正确描述的序号是_______ .三、解答题：本大题共4个小题，46分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19．（本题满分10分）已知直线l 过点A (0,4)，且在两坐标轴上的截距之和为1. （Ⅰ）求直线l 的方程；（Ⅱ）若直线1l 与直线l 平行，且1l 与l 间的距离为2，求直线1l 的方程.20.（本题满分11分）已知圆22:1010340C x y x y ++++=. （Ⅰ）试写出圆C 的圆心坐标和半径；（Ⅱ）圆D 的圆心在直线5x =-上，且与圆C 相外切，被x 轴截得的弦长为10，求圆D 的方程；（III ）过点(0,2)P 的直线交（Ⅱ）中圆D 于,E F 两点，求弦EF 的中点M 的轨迹方程.21. （本题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60BAD ∠=，Q 为AD 的中点．（Ⅰ）若PA PD =，求证：平面PQB ⊥平面PAD ；（Ⅱ）点M 在线段PC 上，PM tPC =，试确定实数t 的值，使PA平面MQB ；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若平面PAD ⊥平面ABCD ，且2PA PD AD ===，求二面角M BQ C --的大小．22. （本题满分13分）已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的焦点在圆223x y +=（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过原点O 的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，F 为右焦点，若△FAB 为直角三角形，求直线l 的方程．东城区2017—2018学年度第一学期期末教学统一检测高二数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. A2. C3. C 5. A 6. A 8. B 12. B二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．13. 0 14.112y x =--（答案不唯一） 15. 21616. 8π 17. 90 18. ①③④注：两个空的填空题第一个空填对得1分，第二个空填对得2分．三、解答题：本大题共4小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（本题满分10分）解：（Ⅰ）由直线l 过点(0,4)，所以直线l 在y 轴上的截距为4.由已知条件可得直线l 在x 轴上的截距为3-，即直线过点(3,0)B -. 故直线方程为134x y+=-，即43120x y -+=. ...............4分（Ⅱ）由条件设直线1l 的方程为430x y m -+=，由两条直线间的距离为2，可得(0,4)到直线1l 的距离为2，则有2201243m -++，解得2m =或22m =.故所求直线1l 的方程为4320x y -+=或43220x y -+=. ...............10分20.（本题满分11分）解：（Ⅰ）将圆的方程改写为22(5)(5)16x y +++=，故圆心坐标为(5,5)--，半径为4. .........4分（Ⅱ）设圆D 的半径为r ，圆心纵坐标为b ，由条件可得222(1)+5r r =-，解得13r =. 此时圆心纵坐标112b r =-=. 所以圆D 的方程为22(5)(12)169x y ++-=. ...............8分（Ⅲ）设(,)M x y ，依题意有DM PM ⊥. 即21215y y x x --⋅=-+，(0x ≠且5)x ≠- 整理得22514240x y x y ++-+=(0x ≠且5)x ≠-.当0x =时，12y =，符合题意，当5x =-时，2y =，符合题意.故所求点M 的轨迹方程为22514240x y x y ++-+=. .................11分21.（本题满分12分）证明：（Ⅰ）连接BD .因为AD AB =，60BAD ∠=，所以△ABD 为正三角形．zy 因为Q为AD的中点，所以AD BQ⊥.因为PA PD=，Q为AD中点，所以AD PQ⊥.又BQ PQ Q=，所以AD⊥平面PQB.因为AD⊂平面PAD，所以平面PQB⊥平面PAD. ...............4分（Ⅱ）连接AC，交BQ于点N.由AQ BC，可得△ANQ∽△CNB，所以AQBC=12ANNC=.因为PA平面MQB，PA⊂平面PAC，平面PAC平面MQB MN=，所以PA MN.所以13PM ANPC AC==，即13PM PC=，所以13t=. ...............8分（Ⅲ）由2PA PD AD===，Q为AD的中点，则PQ AD⊥，又平面PAD⊥平面ABCD，所以PQ⊥平面ABCD.以Q为坐标原点，分别以,,QA QB QP所在的直线为,,x y z轴，建立如图所示的坐标系，则(1,0,0)A ，(0,3,0)B，(0,0,0)Q，P，(1,0,PA=，(0,QB=．设平面MQB 的法向量为n=(,,)x y z，可得0,0.MNQB⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩nn因为PA MN，所以0,PAQB⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，nn即0,0.x⎧-=⎪=令1,z=则0x y==.于是=n．取平面ABCD的法向量(0,01)=，m，所以1cos,2〈〉=m n.故二面角M BQ C--的大小为60. ...............12分22.（本题满分13分）解：（Ⅰ）因为椭圆的焦点在x 轴上，所以焦点为圆223x y +=与x轴的交点，即(,.所以c =又离心率e=，所以2a =. 故所求椭圆方程为2214x y +=． ...............4分（Ⅱ）当△FAB 为直角三角形时，显然直线l 斜率存在，可设直线l 方程为y kx =，设11(,)A x y ，22(,)B x y ．（ⅰ）当FA FB ⊥时，11()FA x y =，22()FB x y =．由22,44y kx x y =⎧⎨+=⎩得22(41)40k x +-=. 则120x x +=，122441x x k =-+.212121212((1))3FA FB x x y y k x x x x ⋅=+=+++224(1)3041k k -=+⋅+=+．解得k = 此时直线l的方程为y x =． ...............8分（ⅱ）当FA 与FB 不垂直时，根据椭圆的对称性，不妨设2FAB π∠=．所以22111114 1.AB AF x y y k k x ⎧+=⎪⎪⎨⎪⋅==-⎪⎩，解得13x =，13y =±所以112y k x ==±．此时直线l的方程为2y x =±．综上，直线l的方程为4y x =±或2y x =±． ...............13分。

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2016-2017学年北京市东城区高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：（共大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）直线x﹣y+1=0的倾斜角的大小为（）A．30°B．60°C．120° D．150°2．（3分）已知a∈R，命题“∀x∈（0，+∞），等式lnx=a成立”的否定形式是（）A．∀x∈（0，+∞），等式lnx=a不成立B．∀x∈（﹣∞，0），等式lnx=a不成立C．∃x0∈（0，+∞），等式lnx0=a不成立D．∃x0∈（﹣∞，0），等式lnx0=a不成立3．（3分）若焦点在x轴上的椭圆的离心率为，则a的值为（）A．9 B．6 C．3 D．24．（3分）某几何体的三视图如图所示，其中正视图是边长为2的正方形，俯视图是正三角形，则这个几何体的体积是（）A．B．C．D．85．（3分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且m⊂α，n ⊂β，下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，则m⊥n B．若α∥β，则m∥n C．若m⊥n，则α⊥βD．若n ⊥α，则α⊥β6．（3分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，，E为BC的中点，则异面直线A1E与D1C1所成角的正切值为（）A．2 B．C．D．7．（3分）已知A（﹣3，0），B（0，4），点P为直线y=x上一点，过A，B，P 三点的圆记作圆C，则“点P为原点”是“圆C的半径取得最小值”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．（3分）图中的两条曲线分别表示某理想状态下捕食者和被捕食者数量随时间的变化规律．对捕食者和被捕食者数量之间的关系描述正确的是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．请把答案填在答题卡中相应题中横线上）9．（4分）点（﹣1，1）到直线x+y﹣2=0的距离为．10．（4分）双曲线的渐近线方程为．11．（4分）若x，y满足约束条件则z=x+2y的最小值为．12．（4分）已知球的体积为36π，球的表面积是．13．（4分）已知点，点F为抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，点P是该抛物线上的一个动点．若|PF|+|PM|的最小值为5，则p的值为．14．（4分）已知直线l k：y=kx+k2（k∈R），下列说法中正确的是．（注：把你认为所有正确选项的序号均填上）①l k与抛物线均相切；②l k与圆x2+（y+1）2=1均无交点；③存在直线l，使得l与l k均不相交；④对任意的i，j∈R，直线l i，l j相交．三、解答题（本大题共6个小题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（9分）已知△ABC的顶点A（5，1），AB边上的中线CM所在的直线方程为2x﹣y﹣5=0，AC边上的高BH所在的直线方程为x﹣2y﹣5=0．求（Ⅰ）AC所在的直线方程；（Ⅱ）点B的坐标．16．（8分）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC，侧棱AA1⊥平面ABC，E，F分别为A1B1，A1C1的中点．（Ⅰ）求证：B1C1∥面BEF；（Ⅱ）过点A存在一条直线与平面BEF垂直，请你在图中画出这条直线（保留作图痕迹，不必说明理由）．17．（9分）已知圆C的圆心在直线x﹣3y=0上，且与y轴相切于点（0，1）．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若圆C与直线l：x﹣y+m=0交于A，B两点，分别连接圆心C与A，B两点，若CA⊥CB，求m的值．18．（9分）如图1，在等边△ABC中，D，E，F分别为AB，AC，BC的中点．将△ABF沿AF折起，得到如图2所示的三棱锥A﹣BCF．（Ⅰ）证明：AF⊥BC；（Ⅱ）当∠BFC=120°时，求二面角A﹣DE﹣F的余弦值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，在线段BC上是否存在一点N，使得平面ABF⊥平面FDN？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．19．（9分）已知动点P到点A（﹣2，0）与点B（2，0）的斜率之积为，点P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的轨迹方程；（Ⅱ）过点D（1，0）作直线l与曲线C交于P，Q两点，连接PB，QB分别与直线x=3交于M，N两点．若△BPQ和△BMN的面积相等，求直线l的方程．20．（8分）在平面直角坐标系中，设A（x1，y1），B（x2，y2）．定义：，其中α∈R+（R+表示正实数）．（Ⅰ）设A（1，1），B（2，3），求d1（A，B）和d2（A，B）的值；（Ⅱ）求证：对平面中任意两点A和B都有；（Ⅲ）设M（x，y），O为原点，记．若0＜α＜β，试写出Dα与Dβ的关系（只需写出结论，不必证明）．2016-2017学年北京市东城区高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（共大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）直线x﹣y+1=0的倾斜角的大小为（）A．30°B．60°C．120° D．150°【解答】解：设直线x﹣y+1=0的倾斜角为θ，则tanθ=，θ∈[0°，180°）．∴θ=60°，故选：B．2．（3分）已知a∈R，命题“∀x∈（0，+∞），等式lnx=a成立”的否定形式是（）A．∀x∈（0，+∞），等式lnx=a不成立B．∀x∈（﹣∞，0），等式lnx=a不成立C．∃x0∈（0，+∞），等式lnx0=a不成立D．∃x0∈（﹣∞，0），等式lnx0=a不成立【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定是：∃x0∈（0，+∞），等式lnx0=a不成立，故选：C3．（3分）若焦点在x轴上的椭圆的离心率为，则a的值为（）A．9 B．6 C．3 D．2【解答】解：焦点在x轴上的椭圆，可得c=，离心率为，可得：，解得a=3．故选：C．4．（3分）某几何体的三视图如图所示，其中正视图是边长为2的正方形，俯视图是正三角形，则这个几何体的体积是（）A．B．C．D．8【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱柱，底面是一个边长为2的等边三角形，故底面面积S==，高h=2，故体积V=Sh=2，故选：A5．（3分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且m⊂α，n ⊂β，下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，则m⊥n B．若α∥β，则m∥n C．若m⊥n，则α⊥βD．若n ⊥α，则α⊥β【解答】解：对于A，若α⊥β，则m、n位置关系不定，不正确；对于B，若α∥β，则m∥n或m，n异面，不正确；对于C，若m⊥n，则α、β位置关系不定，不正确；对于D，根据平面与平面垂直的判定可知正确．故选D．6．（3分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，，E为BC的中点，则异面直线A1E与D1C1所成角的正切值为（）A．2 B．C．D．【解答】解：以D原点，DA为x轴，AC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角系，设=1，则A1（1，0，2），E（，1，0），C1（0，1，2），D1（0，0，2），=（﹣，1，﹣2），=（0，1，0），设异面直线A1E与D1C1所成角为θ，则cosθ===，sinθ==，∴tanθ==．∴异面直线A1E与D1C1所成角的正切值为．故选：C．7．（3分）已知A（﹣3，0），B（0，4），点P为直线y=x上一点，过A，B，P 三点的圆记作圆C，则“点P为原点”是“圆C的半径取得最小值”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：当点P为原点时，三角形AOB是直角三角形，此时AB是圆的直径，此时圆C的半径最小，即充分性成立，当C的半径取得最小值，AB是圆的直径，当以AB为直径的圆和直线y=x相切时，切点不是O，即必要性不成立，则点P为原点”是“圆C的半径取得最小值”的充分不必要条件，故选：A8．（3分）图中的两条曲线分别表示某理想状态下捕食者和被捕食者数量随时间的变化规律．对捕食者和被捕食者数量之间的关系描述正确的是（）A．B．C．D．【解答】解：由已知中某理想状态下捕食者和被捕食者数量随时间的变化规律．可得捕食者和被捕食者数量与时间以10年为周期呈周期性变化，故捕食者和被捕食者数量之间的关系应为环状，故选：B二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．请把答案填在答题卡中相应题中横线上）9．（4分）点（﹣1，1）到直线x+y﹣2=0的距离为．【解答】解：点（﹣1，1）到直线x+y﹣2=0的距离为d==，故答案为．10．（4分）双曲线的渐近线方程为y=±x．【解答】解：∵双曲线的a=2，b=1，焦点在x轴上而双曲线的渐近线方程为y=±∴双曲线的渐近线方程为y=±故答案为：y=±11．（4分）若x，y满足约束条件则z=x+2y的最小值为3．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，由z=x+2y，得y=，平移直线y=，由图象可知当直线经过点C时，直线y=的截距最小，此时z最小，由，得，即C（3，0）此时z=3+2×0=3．故答案为：312．（4分）已知球的体积为36π，球的表面积是36π．【解答】解：因为球的体积为36π，所以=36π，球的半径为：r=3，所以球的表面积为：4π×32=36π．故答案为：36π．13．（4分）已知点，点F为抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，点P是该抛物线上的一个动点．若|PF|+|PM|的最小值为5，则p的值为2或6．【解答】解：M在抛物线的内部时，∵抛物线上的点到焦点距离=到准线的距离，∴|PM|+|PF|=|PM|+P到准线的距离≤M到到准线的距离l=2+=5，解得p=6，M在抛物线的外部时，|MF|=5，=5，∴p=2综上所述，p=2或6．故答案为：2或6．14．（4分）已知直线l k：y=kx+k2（k∈R），下列说法中正确的是①④．（注：把你认为所有正确选项的序号均填上）①l k与抛物线均相切；②l k与圆x2+（y+1）2=1均无交点；③存在直线l，使得l与l k均不相交；④对任意的i，j∈R，直线l i，l j相交．【解答】解：由得：，由△=0恒成立，可得方程组恒有一解，即l k与抛物线均相切，故①正确；圆x2+（y+1）2=1的圆心（0，﹣1）到直线l k：y=kx+k2的距离d==≥1恒成立，当且仅当k=0时，l k与圆x2+（y+1）2=1相切，故②错误；不存在直线l与直线l k：y=kx+k2（k∈R）均不相交，故③错误；对任意的i，j∈R，直线l i，l j的斜率不相等，两直线必相交，故④正确；故答案为：①④三、解答题（本大题共6个小题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（9分）已知△ABC的顶点A（5，1），AB边上的中线CM所在的直线方程为2x﹣y﹣5=0，AC边上的高BH所在的直线方程为x﹣2y﹣5=0．求（Ⅰ）AC所在的直线方程；（Ⅱ）点B的坐标．【解答】解：（Ⅰ）因为AC⊥BH，所以设AC所在的直线方程为2x+y+t=0．把A（5，1）代入直线方程为2x+y+t=0，解得t=﹣11．所以AC所在的直线方程为2x+y﹣11=0．…（5分）（Ⅱ）设B（x0，y0），则AB的中点为．联立方程组化简得解得即B（﹣1，﹣3）．…（9分）16．（8分）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC，侧棱AA1⊥平面ABC，E，F分别为A1B1，A1C1的中点．（Ⅰ）求证：B1C1∥面BEF；（Ⅱ）过点A存在一条直线与平面BEF垂直，请你在图中画出这条直线（保留作图痕迹，不必说明理由）．【解答】（本题满分8分）证明：（Ⅰ）∵E，F分别为A1B1，A1C1的中点，∴EF∥B1C1．又∵EF⊂面BEF，B1C1⊄面BEF，∴B1C1∥面BEF．…（5分）（Ⅱ）作图如下：…（8分）17．（9分）已知圆C的圆心在直线x﹣3y=0上，且与y轴相切于点（0，1）．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若圆C与直线l：x﹣y+m=0交于A，B两点，分别连接圆心C与A，B两点，若CA⊥CB，求m的值．【解答】（本题满分9分）解：（Ⅰ）设圆心坐标为C（a，b），圆C的圆心在直线x﹣3y=0上，所以a=3b．因为圆与y轴相切于点（0，1），则b=1，r=|a﹣0|．所以圆C的圆心坐标为（3，1），r=3．则圆C的方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2=9．…（5分）（Ⅱ）因为CA⊥CB，|CA|=|CB|=r，所以△ABC为等腰直角三角形．因为|CA|=|CB|=r=3，则圆心C到直线l的距离．则，求得m=1或﹣5．…（9分）18．（9分）如图1，在等边△ABC中，D，E，F分别为AB，AC，BC的中点．将△ABF沿AF折起，得到如图2所示的三棱锥A﹣BCF．（Ⅰ）证明：AF⊥BC；（Ⅱ）当∠BFC=120°时，求二面角A﹣DE﹣F的余弦值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，在线段BC上是否存在一点N，使得平面ABF⊥平面FDN？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【解答】（本题满分9分）证明：（Ⅰ）∵等边△ABC，F为BC的中点，∴AF⊥BC．即AF⊥BF，AF⊥FC．又∵BF∩FC=F，∴AF⊥面BCF．又∵BC⊂面BCF，∴AF⊥BC．…（3分）解：（II）如图，以点F为原点，在平面BCF内过点F作FC的垂线作为x轴，FC 为y轴，FA为z轴，建立空间直角坐标系．设FC=2，则有F（0，0，0），，，C（0，2，0），∴，．∴，，，．设平面DEF的法向量为=（x1，y1，z1），因此，即，令z1=1，则=（﹣3，﹣，1）．设平面ADE的法向量为=（x2，y2，z2），因此有，即，令z2=1，则=（3，，1）．∴cos＜＞===﹣．∴二面角A﹣DE﹣F的余弦值为．…（6分）（III）在线段BC上存在一点N，满足面ABF⊥面DFN，且．证明如下：在平面BCF内，过F作FN⊥BF交BC于N，∵AF⊥面BCF，FN⊂面BCF，∴AF⊥FN．又∵FN⊥BF，AF∩BF=F，∴FN⊥面ABF．又∵FN⊂面DFN，∴面ABF⊥面DFN．设FN=a，∵∠BFC=120°，BF=FC，∴∠FBC=∠FCB=30°．又∵FN⊥BF，∴BN=2a．∵∠NFC=∠FCN=30°，∴FN=NC=a．∴BC=3a．∴．…（9分）19．（9分）已知动点P到点A（﹣2，0）与点B（2，0）的斜率之积为，点P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的轨迹方程；（Ⅱ）过点D（1，0）作直线l与曲线C交于P，Q两点，连接PB，QB分别与直线x=3交于M，N两点．若△BPQ和△BMN的面积相等，求直线l的方程．【解答】（本题满分9分）解：（Ⅰ）设P点的坐标为（x，y），则，．∵，∴．化简得曲线C的轨迹方程为．…（4分）（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，直线的方程为x=1，则．直线PB的方程为，解得．直线QB的方程为，解得．则，．此时△BPQ和△BMN的面积相等…（6分）当直线l的斜率存在时，法1：设直线的方程为y=k（x﹣1），P（x1，y1），Q（x2，y2）．由得（1+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣4=0.，．直线PB的方程为，求得．直线QB的方程为，求得．，．若S=S△BMN，则（2﹣x1）（2﹣x2）=1，即x1x2﹣2（x1+x2）+3=0．△BPQ∴，化简得﹣1=0．此式不成立．所以△BPQ和△BMN的面积不相等综上，直线l的方程为x=1．…（9分）法2：设直线的方程为y=k（x﹣1），P（x1，y1），Q（x2，y2）．由得（1+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣4=0.，．，，=S△BMN，因为∠PBQ=∠MBN，S△BPQ所以|BQ||BP|=|BM||BN|，即．则有，化简得x1x2﹣2（x1+x2）+3=0．∴，化简得﹣1=0．此式不成立．所以△BPQ和△BMN的面积不相等综上，直线l的方程为x=1．…（9分）20．（8分）在平面直角坐标系中，设A（x1，y1），B（x2，y2）．定义：，其中α∈R+（R+表示正实数）．（Ⅰ）设A（1，1），B（2，3），求d1（A，B）和d2（A，B）的值；（Ⅱ）求证：对平面中任意两点A和B都有；（Ⅲ）设M（x，y），O为原点，记．若0＜α＜β，试写出Dα与Dβ的关系（只需写出结论，不必证明）．【解答】（Ⅰ）解：d1（A，B）=|1﹣2|+|1﹣3|=3，d2（A，B）===．（Ⅱ）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），则d1（A，B）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|，．=．=．所以d2（A，B）≤d1（A，B）成立．因为，所以===．所以成立．（Ⅲ）Dα⊂Dβ真子集．证明如下：任取（x0，y0）∈Dα，．当x0=1，y0=0时，dα（M，O）=0，dβ（M，O）=0，此时Dα⊆Dβ．当|x0|=1，|y0|=0时，，dβ（M，O）=1．此时Dα⊆Dβ．同理可得，当|x0|=0，|y0|=1时，Dα⊆Dβ．当|x0|≠1，|y0|≠1时，因为，所以．又因为0＜α＜β，所以．此时Dα⊆Dβ．反之不成立．所以Dα⊂Dβ．。