2016-2017学年北京市第四中学初二上学期期中数学试卷(含答案)
精品解析：北京市第四中学2020-2021学年高三上学期期中考试数学试题(原卷版)
2020-2021学年度第一学期期中高三年级数学学科数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1. 已知全集U =R ，集合{}21x A x =<，{}20B x x =-<，则()U A B =（ ） A. {|2}x x > B. {}02x x ≤< C. {|02}x x <≤D. {|2}x x ≤ 2. 下列命题中的假命题．．．是（ ）A. ,sin x R x ∃∈=B. ,ln x R x ∃∈=C. 2,0∈≥∀x R xD. ,20x x R ∀∈> 3. 已知向量(5,)a m =，(2,2)b =-，若a b -与b 共线，则实数m =（ ）A. 1-B. 1C. 2D. 5-4. 已知()f x 是R 上的奇函数，当0x >时,()12log f x x =,则()0f x >的解集是（ ）A. ()1,0-B. ()0,1C. ()(),10,1-∞-⋃D. ()()1,00,1- 5. 将函数()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移3π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则()g x =（ ） A. sin 26x B. 2sin 23x π⎛⎫+⎪⎝⎭C. cos2xD. cos2x - 6. 若,a b ∈R ，且0ab >，则下列不等式中，恒成立是A. 222a b ab +>B. a b +≥C. 11a b +> D. 2b a a b+≥ 7. 已知三角形ABC ，那么“AB AC AB AC +>-”是“三角形ABC 为锐角三角形”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件8. 声音的等级()f x （单位：dB ）与声音强度x （单位：2W /m ）满足12()10lg 110xf x -=⨯⨯. 喷气式飞机起飞时，声音的等级约为140dB；一般说话时，声音的等级约为60dm，那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的（）A.105倍 B. 108倍 C. 1010倍 D. 1012倍9. 函数ππ2sin,,22y x x x⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦的图象大致为A. B.C.D.10. 已知函数 给出下列三个结论：① 当2=-a 时，函数()f x 的单调递减区间为(,1)-∞；② 若函数()f x 无最小值，则a 的取值范围为(0,)+∞；③ 若1a <且0a ≠，则b R ∃∈，使得函数()y f x b =-恰有3个零点1x ,2x ,3x ，且1231x x x =-. 其中，所有正确结论的个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11. 函数2y x =-_________. 12. 已知,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且3sin 5α=. 则cos α=_________，tan 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭=_________. 13. 已知非零向量a ，b 满足||||a a b =-，则12a b -与b 的夹角等于_________. 14. 圆2220+-+=x y ax 与直线l 相切于点(3,1)A ，则圆的半径为_________，直线l 的方程为_________. 15. 关于x 的方程()()g x t t R =∈的实根个数记为()f t .若()ln g x x =，则()f t =_________；若2,0,()2,0,x x g x x ax a x ≤⎧=⎨-++>⎩()a R ∈，存在t 使得(2)()f t f t +>成立，则a 的取值范围是_________. 三、解答题（本大题共6小题，共85分）16. 在△ABC 中，a =3，b −c =2，cos B =12-． （1）求b ，c 的值；（2）求sin （B –C ）的值．17. 已知函数()3f x x x =-，()23g x x =-. (1)求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；(2)求函数()f x 在[]0,2上最大值；(3)求证：存在唯一的0x ，使得()()00f x g x =.18. 已知函数212()2cos sin f x x x ωω=+.(I)求f (0)值；(II)从①121,2ωω==；②121,1ωω==这两个条件中任选一个，作为题目的已知条件，求函数f (x )在[,]26ππ-上的最小值，并直接写出函数f (x )的一个周期.19. 已知：函数()sin cos =-f x x x x .（1）求()f π'；（2）求证：当(0,)2x π∈时，31()3f x x <； （3）若()cos f x kx x x >-对(0,)2x π∈恒成立，求实数k 的最大值.20. 已知O 为平面直角坐标系的原点，过点M （﹣2，0）的直线l 与圆x 2+y 2＝1交于P ，Q 两点． （Ⅰ）若12OP OQ ⋅=-，求直线l 的方程； （Ⅱ）若△OMP 与△OPQ 的面积相等，求直线l 的斜率．21. 对于集合M ，定义函数()1,1,.x MM f x x M -∈⎧=∉⎨⎩对于两个集合M ，N ，定义集合()(){|1}.M N M N x f x f x =⋅=-已知{2,A =4，6，8，10}，{1,B =2，4，8，16}． (Ⅰ)写出()1A f 和()1B f 的值，并用列举法写出集合A B ；(Ⅱ)用()Card M 表示有限集合M 所含元素的个数，求()()Card X A Card X B +的最小值； (Ⅲ)有多少个集合对(),P Q ，满足P ，Q A B ⊆⋃，且()()P A Q B A B =？。
初中数学微专题讲义 专题1.6 例谈因式分解的方法与技巧
【专题综述】因式分解是初中代数中一种重要的恒等变形，是处理数学问题重要的手段和工具，也是中考和数学竞赛试题中比较常见的题型。
对于特殊的因式分解，除了掌握提公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等基本方法外，还应根据多项式的具体结构特征，灵活选用一些特殊的方法和技巧。
这样不仅可使问题化难为易，化繁为简，复杂问题迎刃而解，而且有助于培养探索求新的学习习惯，提高数学思维能力。
【方法解读】一、巧拆项：在某些多项式的因式分解过程中，若将多项式的某一项（或几项）适当拆成几项的代数和，再用基本方法分解，会使问题化难为易，迎刃而解。
例1：因式分解32422+++-b a b a 解：原式＝22423a b a b -+++224241a b a b =-+++-22(44)(21)a ab b =++--+22(2)(1)a b =+--(1)(3)a b a b =++-+【解读】根据多项式的特点，把3拆成4+（-1），即可利用完全平方公式、平方差公式进行因式分解。
【举一反三】因式分解：611623+++x x x 【答案】(1)(2)(3)x x x +++二、巧添项：在某些多项式的因式分解过程中，若在所给多项式中加、减相同的项，再用基本方法分解，也可谓方法独特，新颖别致。
例2：因式分解444yx +解：444x y +422422(44)4x x y y x y =++-2222(2)(2)x y xy =+-=2222(22)(22)x xy y x xy y ++-+学&科网【解读】根据多项式的特点,在444x y +中添上22224,4x y x y -两项，，即可利用完全平方公式、平方差公式进行因式分解。
【举一反三】因式分解4323+-x x 【答案】2(1)(2)x x +-三、巧换元：在某些多项式的因式分解过程中，通过换元，可把形式复杂的多项式变形为形式简单易于分解的多项式，会使问题化繁为简，迅捷获解。
2022-2023学年北京市第四中学八年级上学期期中考试数学试卷带讲解
（n﹣2）×180°＝720°，
解得n＝6，
故这个多边形为六边形．
故答案是：6．
【点睛】本题考查了多边形的内角和定理，关键是根据n边形的内角和为（n﹣2）×180°解答．
11.已知等腰三角形的周长为20，其中一边的长为6，则底边的长为______________．
（2）利用单项式乘多项式的法则计算即可；
（3）利用多项式乘多项式的法则计算即可；
（4）利用多项式除以单项式的法则计算即可；
（5）变形后用完全平方公式展开即可；
（6）变形后用完全平方公式展开即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
；
【小问3详解】
解：
；
【小问4详解】
解：
；
【小问5详解】
解： ；
【小问6详解】
【点睛】本题考查三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答的关键．
3.如图，在 中， 是 的边 上的中线，那么可以证明 ，这里证明全等所使用的判定方法是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据中线的性质可得 ，结合已知条件根据 可证明 ．
【详解】解：∵ 是 的边 上的中线，
数学试卷
班级_______姓名_______学号_______成绩_______
考生须知：
1．本试卷共8页，第一部分共24道小题，第二部分共2道小题，满分110分；考试时间100分钟
2．在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名和学号
3．答案一律填写在答题卡上，在试卷上作答无效
4．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答
2022-2023学年北京市第 八十中学高二上学期期中考试数学试卷(带讲解)
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋（a＋1）y＋4＝0平行”得到a＝－2或a＝1，即得解.
【详解】解：若a＝－2，则直线l1：－2x＋2y－1＝0与直线l2：x－y＋4＝0平行；
若“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋（a＋1）y＋4＝0平行”，∴ ，解得a＝－2或a＝1，
令 ，则 ，即 ，
由题意可得：平面 的法向量 ，
∵ ，
故平面 和平面 所成角的余弦值为 .
19.如图，四棱锥 的底面为菱形， ， ， 底面 ， ， 分别是线段 ， 的中点， 是线段 上的一点．
（1）若 平面 ，求证： 为 的中点；
（2）若 是直线 与平面 的交点，试确定 的值；
（3）若直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求三棱锥 体积．
【分析】根据圆的几何特征，过圆内一点最长的弦是过此点的直径，最短的弦是过此点且与该直径垂直的弦，即可求得.
【详解】圆 ，过点 作圆的所有弦中，
根据圆的几何特征，最短弦所在直线与 垂直，
斜率 ，
所以该直线方程 ，
即
故答案为：
【点睛】此题考查根据圆的几何特征求过圆内一点最短弦所在直线方程，根据垂直关系求出斜率.
16.已知点 在曲线 ： 上，斜率为 的直线 与曲线 交于 ， 两点，且 ， 两点与点 不重合，有下列结论：
（1）曲线 有两个焦点，其坐标分别为 ， ；
（2）将曲线 上所有点的横坐标扩大为原来的 倍（纵坐标不变），得到的曲线是一个圆；
（3） 面积的最大值为 ；
（4）线段 长度的最大值为3．
其中所有正确结论的序号是______．
八年级上期中数学试卷含答案解析 (4)
八年级（上）期中数学试卷一．选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分.）1．下列美丽的车标中是轴对称图形的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B都是格点，则线段AB的长度为（）A．5 B．6 C．7 D．253．一个等腰三角形的两边长分别是4和9，则它的周长为（）A．17 B．20 C．22 D．17或224．下列结论错误的是（）A．全等三角形对应边上的中线相等B．两个直角三角形中，两个锐角相等，则这两个三角形全等C．全等三角形对应边上的高相等D．两个直角三角形中，斜边和一个锐角对应相等，则这两个三角形全等5．请仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，请你根据所学的三角形全等有关的知识，说明画出∠A′O′B′=∠AOB的依据是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS6．已知△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，下列条件不能判断△ABC 是直角三角形的是（ ）A ．∠A ：∠B ：∠C=3：4：5B ．a ：b ：c=5：12：13C ．a 2=b 2﹣c 2D ．∠A=∠C ﹣∠B7．在联合会上，有A 、B 、C 三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在△ABC 的（ ）A ．三边中线的交点B ．三条角平分线的交点C ．三边中垂线的交点D ．三边上高的交点8．如图，BD 是∠ABC 平分线，DE ⊥AB 于E ，AB=36cm ，BC=24cm ，S △ABC =144cm 2，则DE 的长是（ ）A ．4.8cmB ．4.5cmC ．4cmD ．2.4cm9．在如图的正方形网格上画有两条线段．现在要再画一条，使图中的三条线段组成一个轴对称图形，能满足条件的线段有（ ）A ．2条B ．3条C ．4条D ．5条10．如图所示，已知∠AOB=α，在射线OA 、OB 上分别取点OA 1=OB 1，连结A 1B 1，在B 1A 1、B 1B 上分别取点A 2、B 2，使B 1B 2=B 1A 2，连结A 2B 2…按此规律下去，记∠A 2B 1 B 2=θ1，∠A 3B 2B 3=θ2，…，∠A n+1B n B n+1=θn ，则θ2016﹣θ2015的值为（ ）A．B．C．D．二．填空题（本大题共8小题，每空3分，共24分.）11．正方形是轴对称图形，它共有条对称轴．12．△ABC是等腰三角形，若∠A=80°，则∠B= ．13．直角三角形的两直角边的长分别为6cm、8cm，则斜边上高的长是cm．14．如图，∠1=∠2，要使△ABE≌△ACE，还需添加一个条件是（填上你认为适当的一个条件即可）．15．如图，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要cm．16．如图，△OAD≌△OBC，且∠O=70°，∠AEB=100°，则∠C= °．17．如图，AE⊥AB，且AE=AB，BC⊥CD，且BC=CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是．18．已知：如图，AD、BE分别是△ABC的中线和角平分线，AD⊥BE，AD=8，BF=5，则AC的长等于．三．解答题（本大题共7小题，共46分.解答需写出必要的文字说明或演算步骤）19．作图题：（1）如图，在图1所给方格纸中，每个小正方形边长都是1，标号为①②③的三个三角形均为格点三角形（顶点在方格顶点处），请按要求将图2中的指定图形分割成三个三角形，使它们与标号为①②③的三个三角形分别对应全等．（分割线画成实线）（2）如图3，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上．①在图中画出与△ABC关于直线L成轴对称的△A′B′C′；②请直线L上找到一点P，使得PC+PB的距离之和最小．20．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD，A、F、E、C在同一直线上，∠ABE=∠CDF．（1）试说明：△ABE≌△CDF；（2）试说明：AF=CE．21．中菲黄岩岛争端持续，我海监船加大黄岩岛附近海域的巡航维权力度．如图，OA⊥OB，OA=36海里，OB=12海里，黄岩岛位于O点，我国海监船在点B处发现有一不明国籍的渔船，自A点出发沿着AO方向匀速驶向黄岩岛所在地点O，我国海监船立即从B处出发以相同的速度沿某直线去拦截这艘渔船，结果在点C处截住了渔船．（1）请用直尺和圆规作出C处的位置；（2）求我国海监船行驶的航程BC的长．22．如图，△ACB与△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，点D为AB边上的一点，（1）试说明：∠EAC=∠B；（2）若AD=10，BD=24，求DE的长．23．如图，△ABC中，AD是边BC上的高，CF是边AB上的中线，且DC=BF，DE⊥CF于E，问E是CF 的中点吗？试说明理由．24．探索研究．请解决下列问题：（1）已知△ABC中，∠A=90°，∠B=67.5°，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形．（请你选用下面给出的备用图，并把所有不同的分割方法都画出来，图不够可以自己画．只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数）．（2）已知等腰△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，连接AD，若△ABD和△ACD都是等腰三角形，则∠B的度数为（请画出示意图，并标明必要的角度）．25．如图，在四边形ABCD中，AD=BC=12，AB=CD，BD=15，点E从D点出发，以每秒4个单位的速度沿D→A→D匀速移动，点F从点C出发，以每秒1个单位的速度沿CB向点B作匀速移动，点G从点B出发沿BD向点D匀速移动，三个点同时出发，当有一个点到达终点时，其余两点也随之停止运动，假设移动时间为t秒．（1）试说明：AD∥BC；（2）在移动过程中，小明发现有△DEG与△BFG全等的情况出现，请你探究这样的情况会出现几次？并分别求出此时的移动时间t和G点的移动距离．2015-2016学年江苏省无锡市江阴市要塞片八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分.）1．下列美丽的车标中是轴对称图形的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】轴对称图形．【分析】根据轴对称图形的概念求解．【解答】解：第1，2，3个图形是轴对称图形，共3个．故选C．【点评】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．2．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B都是格点，则线段AB的长度为（）A．5 B．6 C．7 D．25【考点】勾股定理．【专题】网格型．【分析】建立格点三角形，利用勾股定理求解AB的长度即可．【解答】解：如图所示：AB==5．故选：A．【点评】本题考查了勾股定理的知识，解答本题的关键是掌握格点三角形中勾股定理的应用．3．一个等腰三角形的两边长分别是4和9，则它的周长为（）A．17 B．20 C．22 D．17或22【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．【分析】求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长；题目给出等腰三角形有两条边长为4和9，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【解答】解：（1）若4为腰长，9为底边长，由于4+4＜9，则三角形不存在；（2）若9为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边．所以这个三角形的周长为9+9+4=22．故选C．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．4．下列结论错误的是（）A．全等三角形对应边上的中线相等B．两个直角三角形中，两个锐角相等，则这两个三角形全等C．全等三角形对应边上的高相等D．两个直角三角形中，斜边和一个锐角对应相等，则这两个三角形全等【考点】全等三角形的判定与性质．【分析】画出图形，根据全等三角形的性质和判定（全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS）判断即可．【解答】解：A、∵△ABC≌△DEF，∴AB=DE，∠B=∠E，BC=EF，∵AM是△ABC的中线，DN是△DEF中线，∴BC=2BM，EF=2EN，∴BM=EN，在△ABM和△DEN中∴△ABM≌△DEN（SAS），∴AM=DN，正确，故本选项错误；B、如教师用得含30度的三角板和学生用的含30度的三角板就不全等，错误，故本选项正确；C、∵△ABC≌△DEF，∴AB=DE，∠B=∠E，∵AM是△ABC的高，DN是△DEF的高，∴∠AMB=∠DNE=90°，在△ABM和△DEN中∴△ABM≌△DEN，∴AM=DN，正确，故本选项错误；D、根据AAS即可推出两直角三角形全等，正确，故本选项错误；故选B．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，直角三角形全等的判定定理除具有定理SAS，ASA，AAS，SSS外，还有HL定理．．5．请仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，请你根据所学的三角形全等有关的知识，说明画出∠A′O′B′=∠AOB的依据是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS【考点】作图—基本作图；全等三角形的判定与性质．【分析】由作法易得OD=O′D′，OC=O′C′，CD=C′D′，得到三角形全等，由全等得到角相等，是用的全等的性质，全等三角形的对应角相等．【解答】解：由作法易得OD=O′D′，OC=O′C′，CD=C′D′，依据SSS可判定△COD≌△C'O'D'（SSS），则△COD≌△C'O'D'，即∠A'O'B'=∠AOB（全等三角形的对应角相等）．故选D．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质；由全等得到角相等是用的全等三角形的性质，熟练掌握三角形全等的性质是正确解答本题的关键．6．已知△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（）A．∠A：∠B：∠C=3：4：5 B．a：b：c=5：12：13C．a2=b2﹣c2D．∠A=∠C﹣∠B【考点】勾股定理的逆定理；三角形内角和定理．【分析】利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可．【解答】解：A、∵∠A：∠B：∠C=3：4：5，且∠A+∠B+∠C=180°，可求得∠C≠90°，故△ABC不是直角三角形；B、不妨设a=5，b=12，c=13，此时a2+b2=132=c2，即a2+b2=c2，故△ABC是直角三角形；C、由条件可得到a2+c2=b2，满足勾股定理的逆定理，故△ABC是直角三角形；D、由条件∠A=∠C﹣∠B，且∠A+∠B+∠C=180°，可求得∠C=90°，故△ABC是直角三角形；故选A．【点评】本题主要考查直角三角形的判定方法，掌握判定直角三角形的方法是解题的关键，可以利用定义也可以利用勾股定理的逆定理．7．在联合会上，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在△ABC的（）A．三边中线的交点B．三条角平分线的交点C．三边中垂线的交点 D．三边上高的交点【考点】线段垂直平分线的性质．【分析】为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，于是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知，要放在三边中垂线的交点上．【解答】解：∵三角形的三条垂直平分线的交点到中间的凳子的距离相等，∴凳子应放在△ABC的三条垂直平分线的交点最适当．故选：C．【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质的应用；利用所学的数学知识解决实际问题是一种能力，要注意培养．想到要使凳子到三个人的距离相等是正确解答本题的关键．8．如图，BD是∠ABC平分线，DE⊥AB于E，AB=36cm，BC=24cm，S△ABC=144cm2，则DE的长是（）A．4.8cm B．4.5cm C．4cm D．2.4cm【考点】角平分线的性质．【分析】过点D作DF⊥BC交BC的延长线于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再根据S△ABC =S△ABD+S△BCD列方程求解即可．【解答】解：如图，过点D作DF⊥BC交BC的延长线于F，∵BD是∠ABC平分线，DE⊥AB于E，∴DE=DF ，∵S △ABC =S △ABD +S △BCD ，AB=36cm ，BC=24cm ，∴×36×DE+×24×DF=144，即18DE+12DE=144，解得DE=4.8cm ．故选A ．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质并根据三角形的面积列出方程是解题的关键．9．在如图的正方形网格上画有两条线段．现在要再画一条，使图中的三条线段组成一个轴对称图形，能满足条件的线段有（ ）A ．2条B ．3条C ．4条D ．5条【考点】利用轴对称设计图案．【分析】直接利用轴对称图形的性质分别得出符合题意的答案．【解答】解：如图所示：能满足条件的线段有4条．故选：C ．【点评】此题主要考查了利用轴对称设计图案，正确利用轴对称图形的性质得出是解题关键．10．如图所示，已知∠AOB=α，在射线OA 、OB 上分别取点OA 1=OB 1，连结A 1B 1，在B 1A 1、B 1B 上分别取点A 2、B 2，使B 1B 2=B 1A 2，连结A 2B 2…按此规律下去，记∠A 2B 1 B 2=θ1，∠A 3B 2B 3=θ2，…，∠A n+1B n B n+1=θn ，则θ2016﹣θ2015的值为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】等腰三角形的性质．【专题】规律型．【分析】根据等腰三角形两底角相等用α表示出∠A 1B 1O ，再根据平角等于180°列式用α表示出θ1，再用θ1表示出θ2，并求出θ2﹣θ1，依此类推求出θ3﹣θ2，…，θ2013﹣θ2012，即可得解．【解答】解：∵OA 1=OB 1，∠AOB=α，∴∠A 1B 1O=（180°﹣α）， ∴（180°﹣α）+θ1=180，整理得，θ1=， ∵B 1B 2=B 1A 2，∠A 2B 1B 2=θ1，∴∠A 2B 2B 1=（180°﹣θ1）， ∴（180°﹣θ1）+θ2=180°，整理得θ2==， ∴θ2﹣θ1=﹣==，同理可求θ3==，∴θ3﹣θ2=﹣==，依此类推，θ2016﹣θ2015=．故选D．【点评】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，图形的变化规律，依次求出相邻的两个角的差，得到分母成2的指数次幂变化，分子不变的规律是解题的关键．二．填空题（本大题共8小题，每空3分，共24分.）11．正方形是轴对称图形，它共有 4 条对称轴．【考点】轴对称图形．【分析】根据对称轴的定义，直接作出图形的对称轴即可．【解答】解：∵如图所示，正方形是轴对称图形，它共有4条对称轴．故答案为：4．【点评】此题主要考查了轴对称图形的定义，根据定义得出个正多边形的对称轴条数是解决问题的关键．12．△ABC是等腰三角形，若∠A=80°，则∠B= 80°或50°或20°．【考点】等腰三角形的性质．【专题】分类讨论．【分析】此题要分三种情况进行讨论：①∠C为顶角；②∠A为顶角，∠B为底角；③∠B为顶角，∠A为底角．【解答】解：∵∠A=80°，△ABC是等腰三角形，∴分三种情况；①当∠C为顶角时，∠B=∠A=80°；②当∠A为顶角时，∠B=（180°﹣80°）÷2=50°；③当∠B为顶角时，∠B=180°﹣80°×2=20°；综上所述：∠B的度数为80°、50°、20°．故答案为：80°或50°或20°．【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理；熟练掌握等腰三角形的性质，关键是分三种情况讨论，不要漏解．13．直角三角形的两直角边的长分别为6cm、8cm，则斜边上高的长是 4.8 cm．【考点】勾股定理．【专题】计算题．【分析】先根据勾股定理求出直角三角形的斜边，然后从直角三角形面积的两种求法入手，代入公式后计算即可．【解答】解：∵直角三角形两直角边分别为6cm，8cm，∴斜边长为=10cm．∵直角三角形面积=×一直角边长×另一直角边长=×斜边长×斜边的高，代入题中条件，即可得：斜边高=4.8cm．故答案为：4.8．【点评】本题考查勾股定理及直角三角形面积公式的应用，看清条件即可．14．如图，∠1=∠2，要使△ABE≌△ACE，还需添加一个条件是∠B=∠C （填上你认为适当的一个条件即可）．【考点】全等三角形的判定．【专题】开放型．【分析】根据题意，易得∠AEB=∠AEC，又AE公共，所以根据全等三角形的判定方法容易寻找添加条件．【解答】解：∵∠1=∠2，∴∠AEB=∠AEC，又 AE公共，∴当∠B=∠C时，△ABE≌△ACE（AAS）；或BE=CE时，△ABE≌△ACE（SAS）；或∠BAE=∠CAE时，△ABE≌△ACE（ASA）．【点评】此题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．15．如图，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要10 cm．【考点】平面展开-最短路径问题．【专题】计算题；压轴题．【分析】要求所用细线的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．【解答】解：将长方体展开，连接A、B′，∵AA′=1+3+1+3=8（cm），A′B′=6cm，根据两点之间线段最短，AB′==10cm．故答案为：10．【点评】考查了平面展开﹣最短路径问题，本题就是把长方体的侧面展开“化立体为平面”，用勾股定理解决．16．如图，△OAD≌△OBC，且∠O=70°，∠AEB=100°，则∠C= 15 °．【考点】全等三角形的性质．【分析】根据全等三角形的性质求出∠C=∠D，根据三角形的外角性质求出∠CAE=∠O+∠D=∠O+∠C，推出∠AEB=∠C+∠CAE=∠C+∠O+∠C，代入求出即可．【解答】解：∵△OAD≌△OBC，∴∠C=∠D，∵∠CAE=∠O+∠D=∠O+∠C，∴∠AEB=∠C+∠CAE=∠C+∠O+∠C，∵∠O=70°，∠AEB=100°，∴100°=70°+2∠C，∴∠C=15°，故答案为：15．【点评】本题考查了全等三角形的性质，三角形的外角性质的应用，解此题的关键是求出∠C=∠D 和推出∠AEB=∠O+2∠C．17．如图，AE⊥AB，且AE=AB，BC⊥CD，且BC=CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是50 ．【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理．【专题】计算题．【分析】由AE⊥AB，EF⊥FH，BG⊥AG，可以得到∠EAF=∠ABG，而AE=AB，∠EFA=∠AGB，由此可以证明△EFA≌△ABG，所以AF=BG，AG=EF；同理证得△BGC≌△DHC，GC=DH，CH=BG，故FH=FA+AG+GC+CH=3+6+4+3=16，然后利用面积的割补法和面积公式即可求出图形的面积．【解答】解：∵AE⊥AB且AE=AB，EF⊥FH，BG⊥FH⇒∠FED=∠EFA=∠BGA=90°，∠EAF+∠BAG=90°，∠ABG+∠BAG=90°⇒∠EAF=∠ABG，∴AE=AB，∠EFA=∠AGB，∠EAF=∠ABG⇒△EFA≌△ABG∴AF=BG，AG=EF．同理证得△BGC≌△DHC得GC=DH，CH=BG．故FH=FA+AG+GC+CH=3+6+4+3=16故S=（6+4）×16﹣3×4﹣6×3=50．故答案为50．【点评】本题考查的是全等三角形的判定的相关知识．作辅助线是本题的关键．18．已知：如图，AD、BE分别是△ABC的中线和角平分线，AD⊥BE，AD=8，BF=5，则AC的长等于13 ．【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理．【分析】根据ASA证得△AFB≌△DFB，得出AB=BD，AF=FD=AD=4，根据勾股定理求得BD，根据三角形面积公式求得AG，然后根据勾股定理即可求得．【解答】解：∵AD⊥BE，∴∠AFB=∠DFB=90°，在△AFB和△DFB中∴△AFB≌△DFB，∴AB=BD，AF=FD=AD=4，∴AB=BD===，∵BD=DC，∴BC=2，作AG⊥BC于G，=BD•AG=AD•BF，∵S△ABD∴AG===，∴DG===，∴CG=+=∴AC===13；故答案为：13．【点评】本题考查了三角形全等的判定和性质，勾股定理的应用，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．三．解答题（本大题共7小题，共46分.解答需写出必要的文字说明或演算步骤）19．作图题：（1）如图，在图1所给方格纸中，每个小正方形边长都是1，标号为①②③的三个三角形均为格点三角形（顶点在方格顶点处），请按要求将图2中的指定图形分割成三个三角形，使它们与标号为①②③的三个三角形分别对应全等．（分割线画成实线）（2）如图3，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上．①在图中画出与△ABC关于直线L成轴对称的△A′B′C′；②请直线L上找到一点P，使得PC+PB的距离之和最小．【考点】作图-轴对称变换；轴对称-最短路线问题．【分析】（1）根据图1中三角形的边长将图2中的图形分割即可；（2）①作出各点关于直线l的对称点，再顺次连接各点即可；②连接CB′交直线l于点P，则点P即为所求点．【解答】解：（1）如图2所示；（2）①如图3所示；②如图3，点P即为所求点．【点评】本题考查的是作图﹣轴对称变换，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．20．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD，A、F、E、C在同一直线上，∠ABE=∠CDF．（1）试说明：△ABE≌△CDF；（2）试说明：AF=CE．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】（1）由平行线的性质得到∠BAE=∠DAF，又由AB=CD，∠ABE=∠CDF，即可证明△ABC≌△DEF；（2）由△ABC≌△DEF，得到AE=CF，所以AE﹣EF=CF﹣EF，即AF=CE．【解答】解：（1）∵AB∥CD，∴∠BAE=∠DAF，在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF．（2）∵△ABC≌△DEF，∴AE=CF，∴AE﹣EF=CF﹣EF，∴AF=CE．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．21．中菲黄岩岛争端持续，我海监船加大黄岩岛附近海域的巡航维权力度．如图，OA⊥OB，OA=36海里，OB=12海里，黄岩岛位于O点，我国海监船在点B处发现有一不明国籍的渔船，自A点出发沿着AO方向匀速驶向黄岩岛所在地点O，我国海监船立即从B处出发以相同的速度沿某直线去拦截这艘渔船，结果在点C处截住了渔船．（1）请用直尺和圆规作出C处的位置；（2）求我国海监船行驶的航程BC的长．【考点】勾股定理的应用．【分析】（1）由题意得，我海监船与不明渔船行驶距离相等，即在OA上找到一点，使其到A点与B点的距离相等，所以连接AB，作AB的垂直平分线即可．（2）连接BC，利用第（1）题中作图，可得BC=AC．在直角三角形BOC中，利用勾股定理列出方程122+（36﹣BC）2=BC2，解方程即可．【解答】解：（1）作AB的垂直平分线与OA交于点C；（2）连接BC，由作图可得：CD为AB的中垂线，则CB=CA．由题意可得：OC=36﹣CA=36﹣CB．∵OA⊥OB，∴在Rt△BOC中，BO2+OC2=BC2，即：122+（36﹣BC）2=BC2，解得BC=20．答：我国海监船行驶的航程BC的长为20海里．【点评】本题考查了勾股定理的应用以及线段垂直平分线的性质，利用勾股定理不仅仅能求直角三角形的边长，而且它也是直角三角形中一个重要的等量关系．22．如图，△ACB与△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，点D为AB边上的一点，（1）试说明：∠EAC=∠B；（2）若AD=10，BD=24，求DE的长．【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．【分析】（1）由于△ACB与△ECD都是等腰直角三角形，CD=CE，CB=CA，∠B=∠CAB=45°，∠ACB=∠ECD=90°，于是∠ACE+∠ACD=∠ACD+∠BCD，根据等式性质可得∠ACE=∠BCD，利用SAS可证△ACE ≌△BCD，利用全等三角形的对应角相等即可解答；（2）根据△ACE≌△BCD，于是∠EAC=∠B=45°，AE=BD=24，易求∠EAD=90°，再利用勾股定理可求DE=26．【解答】解：（1）∵∠ACB=∠ECD=90°，∴∠ACB﹣∠ACD=∠ECD﹣∠ACD，∴∠ECA=∠DCB，∵△ACB和△ECD都是等腰三角形，∴EC=DC，AC=BC，在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD，∴∠EAC=∠B．（2）∵△ACE≌△BCD，∴AE=BD=24，∵∠EAC=∠B=45°∴∠EAD=∠EAC+∠CAD=90°，∴在Rt△ADE中，DE2=EA2+AD2，∴DE2=102+242，∴DE=26．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理，解题的关键是先证明△ACE≌△BCD，从而求出AE，以及∠EAD=90°．23．如图，△ABC中，AD是边BC上的高，CF是边AB上的中线，且DC=BF，DE⊥CF于E，问E是CF 的中点吗？试说明理由．【考点】直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的判定与性质．【分析】连接DF，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DF=BF=AB，然后求出CD=DF，再根据等腰三角形三线合一的性质证明即可．【解答】解：E是CF的中点，理由如下：如图，连接DF，∵AD是边BC上的高，CF是边AB上的中线，∴DF=BF=AB，∵DC=BF，∴CD=DF，∵DE⊥CF，∴E是CF的中点．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记各性质是解题的关键．24．探索研究．请解决下列问题：（1）已知△ABC中，∠A=90°，∠B=67.5°，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形．（请你选用下面给出的备用图，并把所有不同的分割方法都画出来，图不够可以自己画．只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数）．（2）已知等腰△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，连接AD，若△ABD和△ACD都是等腰三角形，则∠B的度数为45°或36°（请画出示意图，并标明必要的角度）．【考点】作图—应用与设计作图；等腰三角形的判定与性质．【分析】（1）由∠A=90°，∠B=67.5°，则∠C=22.5°，要使分割成的两个三角形为等腰三角形，必须要得出一个角为22.5°，或另一个角为67.5，因此需要把90°的角或67.5°的角得出22.5，从这两个角入手分出22.5°的角解决问题；（2）要使分成的△ABD和△ACD都是等腰三角形，首先想到等腰直角三角形，再次想到“黄金三角形”，由此得出答案即可．【解答】解：（1）如图，（2）如图，【点评】此题考查作图﹣应用与设计作图，掌握等腰三角形的性质和特殊三角形的性质是解决问题的关键．25．如图，在四边形ABCD中，AD=BC=12，AB=CD，BD=15，点E从D点出发，以每秒4个单位的速度沿D→A→D匀速移动，点F从点C出发，以每秒1个单位的速度沿CB向点B作匀速移动，点G从点B出发沿BD向点D匀速移动，三个点同时出发，当有一个点到达终点时，其余两点也随之停止运动，假设移动时间为t秒．（1）试说明：AD∥BC；（2）在移动过程中，小明发现有△DEG与△BFG全等的情况出现，请你探究这样的情况会出现几次？并分别求出此时的移动时间t和G点的移动距离．【考点】四边形综合题．【分析】（1）由AD=BC=12，AB=CD，BD为公共边，所以可证得△ABD≌△CDB，所以可知∠ADB=∠CBD，所以AD∥BC；（2）设运动时间为t，设G点的移动距离为y，根据全等三角形的性质进行解答即可．【解答】（1）证明：在△ABD和△CDB中，，∴△ABD≌△CDB，∴∠ADB=∠CBD，∴AD∥BC，（2）解：设G点的移动距离为y，∵AD∥BC，∴∠EDG=∠FBG，若△DEG与△BFG全等，则有△DEG≌△BFG或△DGE≌△BFG，可得：DE=BF，DG=BG；或DE=BG，DG=BF，①当E由D到A，即0＜t≤3时，有4t=12﹣t，解得：t=2.4，∵y=15﹣y，∴y=7.5，或4t=y，解得：t=1，∵12﹣t=15﹣y，∴y=4，②当F由A返回到D，即3＜t≤6时，有24﹣4t=12﹣t，解得：t=4，∵y=15﹣y，∴y=7.5，或24﹣4t=y，解得：t=4.2∵12﹣t=15﹣y，y=7.2，综上可知共有三次，移动的时间分别为1秒、2.4秒、4秒、4.2秒，移动的距离分别为4、7.5、7.5、7.2．【点评】本题主要考查三角形全等的判定和性质，平行线的判定，根据全等三角形的性质列方程求解，第（2）题解题的关键是利用好三角形全等解得．。
2022-2023学年北京市第四中学七年级上学期期中考试数学试卷带讲解
， ， ，当 时，
；
当 时，
；
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
17.已知一个长为 ，宽为 的长方形，如图1所示，沿图中虚线裁剪成四个相同的小长方形，按图2的方式拼接，则阴影部分正方形的边长是___________.（用含 的代数式表示）
【分析】根据偶次方的非负数性质可得 ，据此可得代数式 的最小值．
【详解】解： ，
，
∴最小值为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了非负数性质，掌握偶次方的非负数是解答本题的关键．
16.若 ， 互为倒数， ， 互为相反数， ，则 的值为______．
或
【分析】根据 ， 互为倒数， ， 互为相反数， ，可以得到 ， ， ，然后代入所求式子计算即可．
……
第 天截取后木棍剩余的长度为
第5天截取后木棍剩余的长度是
故选C
【点睛】本题考查了分数乘法的应用，乘方的意义，掌握有理数乘方的意义是解题的关键．
10.如图所示，动点 从第一个数 的位置出发，每次跳动一个单位长度，第一次跳动一个单位长度到达数 的位置，第二次跳动一个单位长度到达数 的位置，第三次跳动一个单位长度到达数 的位置，第四次跳动一个单位长度到达数 的位置，……，依此规律跳动下去，点 从 跳动 次到达 的位置，点 从 跳动 次到达 的位置，……，点 、 、 …… 在一条直线上，则点 从 跳动（）次可到达 的位置．
22.解方程．
（1） ；
（2） ．（1）
（2）
【分析】（1）按照解一元一次方程的步骤：移项，合并同类项，系数化为 ，进行计算即可解答；
（2）按照解一元一次方程的步骤：去括号，移项，合并同类项，系数化为 ，进行计算即可解答．
北师大版八年级上学期期中考试数学试题(含答案) (9)
江西省抚州市临川一中八年级（上）期中数学试卷一．选择题（每小题3分，共18分）1．下列四个选项中，不是y关于x的函数的是（）A．|y|=x﹣1 B．y= C．y=2x﹣7 D．y=x22．已知实数x，y满足|x﹣5|+=0，则代数式（x+y）2013的值为（）A．1 B．﹣1 C．0 D．93．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（）A．4，5，6 B．2，3，4 C．1，1，D．1，2，24．如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB=5，AD=3，则BC的长为（）A．5 B．6 C．8 D．105．如图，两直线y1=kx+b和y2=bx+k在同一坐标系内图象的位置可能是（）A．B．C．D．6．一位自行车爱好者利用周末进行了一次骑车旅行，如图是这次旅行过程中自行车到出发地的距离y（千米）与骑行时间t（分钟）之间的函数图象，观察图象，下列判断中正确的是（）①这次旅行的总路程为16千米；②这次旅行中用于骑车的总时间为60分钟；③到达目的地之后休息了15分钟；④返回途中如果不休息，可以提前10分钟到达出发点．A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④二．填空题（每题3分，共24分）7．9的算术平方根是．8．y=中实数x的取值范围是．9．已知点A（a，﹣3）与B（，b）关于x轴对称，则a+b=．10．若函数y=（m﹣1）x|m|是正比例函数，则该函数的图象经过第象限．11．有理数m，n在数轴上的位置如图所示，那么化简|m﹣n|﹣的结果是．12．如图，y=kx+b（k≠0）的图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是．13．在平面直角坐标系中，对于平面内任一点（a，b），若规定以下三种变换：①△（a，b）=（﹣a，b）；②○（a，b）=（﹣a，﹣b）；③Ω（a，b）=（a，﹣b），按照以上变换例如：△（○（1，2））=（1，﹣2），则○（Ω（3，4））等于．14．图（1）是一面矩形彩旗完全展平时的尺寸图（单位：cm）．其中矩形ABCD是由白布缝制的穿旗杆用的旗裤，阴影部分CDEF为矩形旗面．如图（2），将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆顶端到地面的高度为220cm．在无风的天气里，彩旗自然下垂，则彩旗下垂时最低处离地面的高度h=cm．三、解答题（共78分）15．（6分）计算：（1）3+2﹣6（2）（π﹣3）0+|﹣2|﹣÷+（﹣1）﹣1．16．（7分）先化简，再求值：（+）2﹣（﹣）（+），其中a=3，b=4．17．（7分）已知a=（﹣2）﹣1，b=，c=（2012﹣π）0，d=|2﹣|．（1）请化简这四个数；（2）根据化简结果，求出这四个数中“有理数的和m”与“无理数的和n”，并比较m、n的大小．18．（6分）已知点M（3a﹣8，a﹣1），分别根据下列条件求出点M的坐标．（1）点M在x轴上；（2）点M在第二、四象限的角平分线上；（3）点M在第二象限，且a为整数；（4）点N坐标为（1，6），并且直线MN∥y轴．19．（8分）图1、图2中的每个小正方形的边长都是1，在图1中画出一个面积是3的直角三角形；在图2中画出一个面积是5的四边形．20．（7分）如图，两摞相同规格的饭碗整齐地叠放在桌面上，请根据图中给的数据信息，解答下列问题：（1）求整齐摆放在桌面上饭碗的高度y（cm）与饭碗数x（个）之间的一次函数解析式；（2）把这两摞饭碗整齐地摆成一摞时，这摞饭碗的高度是多少？21．（7分）在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成矩形的周长的数值与面积的数值相等，则这个点叫做和谐点．例如，图中过点P分别作x轴，y轴的垂线，与坐标轴围成矩形OAPB周长的数值与面积的数值相等，则点P是和谐点．（1）判断点M（1，2），N（4，4）是否为和谐点，并说明理由；（2）若和谐点P（a，3）（a＞0）在直线y=﹣x+b（b为常数）上，求a，b的值．22．（8分）“五一黄金周”的某一天，小明全家上午8时自驾小汽车从家里出发，到距离180千米的某著名旅游景点游玩．该小汽车离家的距离s（千米）与时间t（时）的关系可以用图中的曲线表示．根据图象提供的有关信息，解答下列问题：（1）小明全家在旅游景点游玩了多少小时？（2）求出返程途中，s（千米）与时间t（时）的函数关系，并回答小明全家到家是什么时间？（3）若出发时汽车油箱中存油15升，该汽车的油箱总容量为35升，汽车每行驶1千米耗油升．请你就“何时加油和加油量”给小明全家提出一个合理化的建议．（加油所用时间忽略不计）23．（10分）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2=（1+）2．善于思考的小明进行了以下探索：设a+b=（m+n）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b=m2+2n2+2mn．∴a=m2+2n2，b=2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b=（m+n）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a=，b=；（2）利用所探索的结论，请找一组正整数a、b、m、n填空：+ =（+ ）2；（3）若a﹣6=（m﹣n）2且a、m、n均为正整数，求a的值．24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象与y轴的正半轴交于点A，与x 轴交于点B（2，0），△ABO的面积为2，动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度在射线OB上运动，动点Q从B出发，沿x轴的正半轴与点P同时以相同的速度运动，过点P作PM⊥x轴交直线AB于点M．①求直线AB的解析式；②当点P在线段OB上运动时，设△MPQ的面积为S，点P运动的时间为t秒，求S与t的函数关系式（直接写出自变量t的取值范围）③过点Q作QN⊥x轴交直线AB于点N，在运动过程中（点P不与点B重合），是否存在某一时刻t秒，使△MNQ是以NQ为腰的等腰三角形？若存在，求出时间t值．2016-2017学年江西省抚州市临川一中八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（每小题3分，共18分）1．下列四个选项中，不是y关于x的函数的是（）A．|y|=x﹣1 B．y= C．y=2x﹣7 D．y=x2【考点】函数的概念．【分析】直接利用函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量，进而判断得出答案．【解答】解：A、|y|=x﹣1，当x每取一个值，y有两个值与其对应用，故此选项不是y关于x的函数，符合题意；B、y=，当x每取一个值，y有唯一个值与其对应用，故此选项是y关于x的函数，不符合题意；C、y=2x﹣7，当x每取一个值，y有唯一个值与其对应用，故此选项是y关于x的函数，不符合题意；D、y=x2，当x每取一个值，y有唯一个值与其对应用，故此选项是y关于x的函数，不符合题意；故选：A．【点评】此题主要考查了函数的定义，正确把握y与x的关系是解题关键．2．已知实数x，y满足|x﹣5|+=0，则代数式（x+y）2013的值为（）A．1 B．﹣1 C．0 D．9【考点】非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：绝对值．【专题】计算题．【分析】根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．【解答】解：由题意得，x﹣5=0，y+4=0，解得x=5，y=﹣4，所以，（x+y）2013=（5﹣4）2013=1．故选A．【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．3．（下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（）A．4，5，6 B．2，3，4 C．1，1，D．1，2，2【考点】勾股定理的逆定理．【分析】三角形三边满足两个较小边的平方和等于较大边的平方，这个三角形就是直角三角形．【解答】解：A、52+42≠62，不能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意．B、22+32≠42，不能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意．C、12+12=（）2，能作为直角三角形的三边长，故本选项符合题意．D、12+22≠22，不能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意．故选C．【点评】本题考查勾股定理的逆定理，关键知道两个较小边的平方和等于较大边的平方，这个三角形就是直角三角形．4．如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB=5，AD=3，则BC的长为（）A．5 B．6 C．8 D．10【考点】勾股定理；等腰三角形的性质．【分析】根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，BD=CD，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线，∴AD⊥BC，BD=CD，∵AB=5，AD=3，∴BD==4，∴BC=2BD=8，故选C．【点评】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．5．如图，两直线y1=kx+b和y2=bx+k在同一坐标系内图象的位置可能是（）A．B．C．D．【考点】一次函数的图象．【分析】根据一次函数的系数与图象的关系依次分析选项，找k、b取值范围相同的即得答案．【解答】解：根据一次函数的系数与图象的关系依次分析选项可得：A、由图可得，y1=kx+b中，k＜0，b＞0，y2=bx+k中，b＞0，k＜0，符合；B、由图可得，y1=kx+b中，k＞0，b＞0，y2=bx+k中，b＜0，k＞0，不符合；C、由图可得，y1=kx+b中，k＞0，b＜0，y2=bx+k中，b＜0，k＜0，不符合；D、由图可得，y1=kx+b中，k＞0，b＞0，y2=bx+k中，b＜0，k＜0，不符合；故选A．【点评】此题考查一次函数的图象问题，解答本题注意理解：直线y=kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．6．（2016•安庆二模）一位自行车爱好者利用周末进行了一次骑车旅行，如图是这次旅行过程中自行车到出发地的距离y（千米）与骑行时间t（分钟）之间的函数图象，观察图象，下列判断中正确的是（）①这次旅行的总路程为16千米；②这次旅行中用于骑车的总时间为60分钟；③到达目的地之后休息了15分钟；④返回途中如果不休息，可以提前10分钟到达出发点．A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④【考点】一次函数的图象．【专题】应用题．【分析】根据图象得出信息解答即可．【解答】解：①这次旅行的总路程为16千米，正确；②这次旅行中用于骑车的总时间为25+10+10=45分钟，错误；③到达目的地之后休息了15分钟，正确；④返回途中如果不休息，可以提前10分钟到达出发点，正确；故选D．【点评】此题考查从图象中获取信息，仔细观察领悟图意，获取信息，用这些信息解决实际问题即可．二．填空题（每题3分，共24分）7．（2016•广东）9的算术平方根是3．【考点】算术平方根．【分析】9的平方根为±3，算术平方根为非负，从而得出结论．【解答】解：∵（±3）2=9，∴9的算术平方根是|±3|=3．故答案为：3．【点评】本题考查了数的算式平方根，解题的关键是牢记算术平方根为非负．8．（2016春•句容市期末）y=中实数x的取值范围是x≥﹣1，且x≠2．【考点】二次根式有意义的条件．【分析】根据二次根式有意义的条件可得x+1≥0，根据分式有意义的条件可得x﹣2≠0，再解即可．【解答】解：由题意得：x+1≥0，且x﹣2≠0，解得：x≥﹣1，且x≠2，故答案为：x≥﹣1，且x≠2．【点评】此题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．分式分母不为零．9．（2010秋•海州区校级期末）已知点A（a，﹣3）与B（，b）关于x轴对称，则a+b=．【考点】坐标与图形变化-对称．【专题】计算题．【分析】关于x轴对称的两点横坐标相等，纵坐标互为相反数，由此可求a、b的值．【解答】解：依题意，得a=，b=3，∴a+b=+3=．故本题答案为：．【点评】本题考查了关于坐标轴对称的两点的坐标关系．关于x轴对称的两点横坐标相等，纵坐标互为相反数，关于y轴对称的两点纵坐标相等，横坐标反数．10．（2016•眉山）若函数y=（m﹣1）x|m|是正比例函数，则该函数的图象经过第二、四象限．【考点】正比例函数的定义．【分析】根据正比例函数定义可得：|m|=1，且m﹣1≠0，计算出m的值，然后可得解析式，再根据正比例函数的性质可得答案．【解答】解：由题意得：|m|=1，且m﹣1≠0，解得：m=﹣1，函数解析式为y=﹣2x，∵k=﹣2＜0，∴该函数的图象经过第二、四象限．故答案为：二、四．【点评】此题主要考查了正比例函数的定义和性质，关键是掌握形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数；正比例函数y=kx（k是常数，k≠0），当k＞0时，直线y=kx依次经过第三、一象限，从左向右上升，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线y=kx依次经过第二、四象限，从左向右下降，y随x的增大而减小．11．有理数m，n在数轴上的位置如图所示，那么化简|m﹣n|﹣的结果是0．【考点】二次根式的性质与化简；实数与数轴．【分析】根据数轴可以判断m、n的大小，从而可以化简|m﹣n|﹣即可．【解答】解：由数轴可得，n＜0＜m，∴m﹣n＞0，n﹣m＜0，∴|m﹣n|﹣=m﹣n﹣（m﹣n）=m﹣n﹣m+n=0，故答案为：0．【点评】此题是二次根式的化简，主要考查实数与数轴，解题的关键是明确数轴的特点，由数轴可以得到m、n的大小．12．（2016春•官渡区期末）如图，y=kx+b（k≠0）的图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是x ＞2．【考点】一次函数的性质．【分析】首先根据图象可知，该一次函数y=kx+b的图象经过点（2，0）、（0，﹣3）．因此可确定该一次函数的解析式为y=x﹣3．由于y＞0，根据一次函数的单调性，那么x的取值范围即可确定．【解答】解：由图象可知一次函数y=kx+b的图象经过点（2，0）、（0，﹣3）．∴可列出方程组，解得，∴该一次函数的解析式为y=x﹣3，∴当y＞0时，x的取值范围是：x＞2．故答案为：x＞2【点评】本题主要考查了一次函数的图象性质，要掌握一次函数的单调性以及x、y交点坐标的特殊性才能灵活解题．13．（2016•黔南州）在平面直角坐标系中，对于平面内任一点（a，b），若规定以下三种变换：①△（a，b）=（﹣a，b）；②○（a，b）=（﹣a，﹣b）；③Ω（a，b）=（a，﹣b），按照以上变换例如：△（○（1，2））=（1，﹣2），则○（Ω（3，4））等于（﹣3，4）．【考点】点的坐标．【专题】新定义．【分析】根据三种变换规律的特点解答即可．【解答】解：○（Ω（3，4））=○（3，﹣4）=（﹣3，4）．故答案为：（﹣3，4）．【点评】本题考查了点的坐标，读懂题目信息，理解三种变换的变换规律是解题的关键．14．（2009春•淮南期中）图（1）是一面矩形彩旗完全展平时的尺寸图（单位：cm）．其中矩形ABCD 是由白布缝制的穿旗杆用的旗裤，阴影部分CDEF为矩形旗面．如图（2），将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆顶端到地面的高度为220cm．在无风的天气里，彩旗自然下垂，则彩旗下垂时最低处离地面的高度h=70cm．【考点】勾股定理的应用．【分析】如图，连接DF，在直角三角形DCF中，根据勾股定理可以求出DF长度，也就求出了彩旗下垂时最长的长度，然后利用已知条件就可以求出彩旗下垂时最低处离地面的高度．【解答】解：如图，连接DF，在直角三角形DCF中，DF==150cm，∴彩旗下垂时最低处离地面的高度h=220﹣150=70cm．故填空答案：70．【点评】此题首先正确理解题意，知道题目要求的结果可以用哪些线段去表示，然后利用勾股定理求出即可解决问题．三、解答题（共78分）15．（6分）计算：（1）3+2﹣6（2）（π﹣3）0+|﹣2|﹣÷+（﹣1）﹣1．【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．【专题】计算题；实数．【分析】（1）原式合并同类二次根式即可得到结果；（2）原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，二次根式除法，以及绝对值的代数意义化简即可得到结果．【解答】解：（1）原式=﹣；（2）原式=1+2﹣2﹣1=0．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．16．（7分）先化简，再求值：（+）2﹣（﹣）（+），其中a=3，b=4．【考点】二次根式的化简求值．【分析】根据完全平方公式和平方差公式进行化简，再把a，b的值代入进行计算即可．【解答】解：原式=a+b+2﹣（a﹣b）=a+b+2﹣a+b=2b+2，当a=3，b=4时，原式=8+4．【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键．17．（7分）（2012秋•昌平区期末）已知a=（﹣2）﹣1，b=，c=（2012﹣π）0，d=|2﹣|．（1）请化简这四个数；（2）根据化简结果，求出这四个数中“有理数的和m”与“无理数的和n”，并比较m、n的大小．【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．【专题】计算题．【分析】（1）利用负指数公式化简a与c，利用平方根的定义化简b，利用绝对值的代数意义化简d；（2）求出这四个数中“有理数的和m”与“无理数的和n”，利用作差法比较大小即可．【解答】解：（1）a=﹣，b=﹣+，c=1，d=﹣2；（2）m=a+c=，n=b+d=﹣，∵m﹣n=﹣（﹣）==＜0，∴m＜n．【点评】此题考查了实数的运算，零指数、负指数幂运算，利用了作差法比较两式的大小，熟练掌握此方法是解本题的关键．18．（6分）已知点M（3a﹣8，a﹣1），分别根据下列条件求出点M的坐标．（1）点M在x轴上；（2）点M在第二、四象限的角平分线上；（3）点M在第二象限，且a为整数；（4）点N坐标为（1，6），并且直线MN∥y轴．【考点】坐标与图形性质．【分析】（1）根据x轴上点的纵坐标为0列式计算即可得解；（2）根据第二四象限平分线上点的横坐标与纵坐标互为相反数列式计算即可得解；（3）根据第二象限点的横坐标是负数，纵坐标是正数列式求出a的取值范围，然后确定出a的值即可；（4）根据平行于y轴的直线上点的横坐标相同列式求出a的值，然后解答即可．【解答】解：（1）∵点M在x轴上，∴a﹣1=0，∴a=1，3a﹣8=3﹣8=﹣5，a﹣1=0，∴点M的坐标是（﹣5，0）；（2）∵点M在第二、四象限的角平分线上，∴3a﹣8+a﹣1=0，解得a=，∴a﹣1=﹣1=，∴点M的坐标为（﹣，）；（3）∵点M在第二象限，∴，解不等式①得，a＜，解不等式②得，a＞1，所以，不等式组的解集是1＜a＜，∵a为整数，∴a=2，∴3a﹣8=6﹣8=﹣2，a﹣1=2﹣1=1，∴点M（﹣2，1）；（4）∵直线MN∥y轴，∴3a﹣8=1，解得a=3，∴a﹣1=3﹣1=2，点M（1，2）．【点评】本题考查了坐标与图形性质，主要利用了x轴上的点的坐标特征，二四象限平分线上点的坐标特征，第二象限内点的坐标特征，平行于y轴的直线的上点的坐标特征，需熟记．19．（8分）图1、图2中的每个小正方形的边长都是1，在图1中画出一个面积是3的直角三角形；在图2中画出一个面积是5的四边形．【考点】勾股定理．【专题】作图题．【分析】面积是3的直角三角形，边长要想是整数的话，应分别是1，6；或2，3，本题可使用2，3．面积是5的四边形，应考虑规则图形中的正方形，那么正方形的边长就为，应是直角边长为1，2的直角三角形的斜边长．【解答】解：（1）只须画直角边为2和3的直角三角形即可．这时直角三角形的面积为：=3；（2）画面积为5的四边形，我们可画边长的平方为5的正方形即可．如图1和图2．【点评】本题需注意各个图形的顶点应位于格点处．20．（7分）（2007•陇南）如图，两摞相同规格的饭碗整齐地叠放在桌面上，请根据图中给的数据信息，解答下列问题：（1）求整齐摆放在桌面上饭碗的高度y（cm）与饭碗数x（个）之间的一次函数解析式；（2）把这两摞饭碗整齐地摆成一摞时，这摞饭碗的高度是多少？【考点】一次函数的应用．【专题】应用题；压轴题．【分析】（1）可设y=kx+b，因为由图示可知，x=4时y=10.5；x=7时，y=15，由此可列方程组，进而求解；（2）令x=4+7，求出相应的y值即可．【解答】解：（1）设y=kx+b（k≠0）．（2分）由图可知：当x=4时，y=10.5；当x=7时，y=15．（4分）把它们分别代入上式，得（6分）解得k=1.5，b=4.5．∴一次函数的解析式是y=1.5x+4.5（x是正整数）．（8分）（2）当x=4+7=11时，y=1.5×11+4.5=21（cm）．即把这两摞饭碗整齐地摆成一摞时，这摞饭碗的高度是21cm．（10分）【点评】本题意在考查学生利用待定系数法求解一次函数关系式，并利用关系式求值的运算技能和从情景中提取信息、解释信息、解决问题的能力．而它通过所有学生都熟悉的摞碗现象构造问题，将有关数据以直观的形象呈现给学生，让人耳目一新．从以上例子我们看到，数学就在我们身边，只要我们去观察、发现，便能找到它的踪影；数学是有用的，它可以解决实际生活、生产中的不少问题．21．（7分）（2013•苍南县校级三模）在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成矩形的周长的数值与面积的数值相等，则这个点叫做和谐点．例如，图中过点P分别作x轴，y轴的垂线，与坐标轴围成矩形OAPB周长的数值与面积的数值相等，则点P是和谐点．（1）判断点M（1，2），N（4，4）是否为和谐点，并说明理由；（2）若和谐点P（a，3）（a＞0）在直线y=﹣x+b（b为常数）上，求a，b的值．【考点】一次函数图象上点的坐标特征．【专题】新定义．【分析】（1）根据和谐点的定义，利用矩形的面积和周长公式进行证明即可；（2）利用和谐点的定义列出关于a的方程（a+3）×2=3a，由此可以求得a=6．然后把点P的坐标代入直线方程，通过方程来求b的值．【解答】解：（1）∵1×2≠2（1+2），4×4=2×（4+4），∴点M不是和谐点，点N是和谐点．（2）由题意得，（a+3）×2=3a，∴a=6，∴P（6，3），∵点P在直线y=﹣x+b上，∴代入得3=﹣6+b，解得，b=9．综上所述，a、b的值分别是6，9．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，经过函数的某点一定在函数的图象上．22．（8分）（2004•泰州）“五一黄金周”的某一天，小明全家上午8时自驾小汽车从家里出发，到距离180千米的某著名旅游景点游玩．该小汽车离家的距离s（千米）与时间t（时）的关系可以用图中的曲线表示．根据图象提供的有关信息，解答下列问题：（1）小明全家在旅游景点游玩了多少小时？（2）求出返程途中，s（千米）与时间t（时）的函数关系，并回答小明全家到家是什么时间？（3）若出发时汽车油箱中存油15升，该汽车的油箱总容量为35升，汽车每行驶1千米耗油升．请你就“何时加油和加油量”给小明全家提出一个合理化的建议．（加油所用时间忽略不计）【考点】一次函数的应用．【专题】压轴题．【分析】（1）由图可知：10﹣14小时的时间段内小明全家在旅游景点游玩，因此时间应该是4小时；（2）可根据14小时和15小时两个时间点的数值，用待定系数法求出函数的关系式；（3）可根据8小时和10小时两个时间段的数值求出函数关系式，那么这个函数关系式应该是s=90x﹣720，那么出发时的15升油，可行驶的路程是15÷=135千米，代入函数式中可得出x=9.5，因此9：30以前必须加一次油，如果刚出发就加满油，那么可行驶的路程=35÷=315千米＞180千米，因此如果刚出发就加满油，到景点之前就不用再加油了．也可以多次加油，但要注意的是不要超出油箱的容量．【解答】解：（1）由图象可知，小明全家在旅游景点游玩了4小时；（2）设s=kt+b，由（14，180）及（15，120）得，解得∴s=﹣60t+1020（14≤t≤17）令s=0，得t=17．答：返程途中s与时间t的函数关系是s=﹣60t+1020，小明全家当天17：00到家；（3）答案不唯一，大致的方案为：①9：30前必须加一次油；②若8：30前将油箱加满，则当天在油用完前的适当时间必须第二次加油；③全程可多次加油，但加油总量至少为25升．【点评】本题主要考查用待定系数法求一次函数关系式，并会用一次函数研究实际问题，具备在直角坐标系中的读图能力．注意自变量的取值范围不能遗漏．23．（10分）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2=（1+）2．善于思考的小明进行了以下探索：设a+b=（m+n）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b=m2+2n2+2mn．∴a=m2+2n2，b=2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b=（m+n）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a=m2+3n2，b=2mn；（2）利用所探索的结论，请找一组正整数a、b、m、n填空：13+ 4=（1+ 2）2；（3）若a﹣6=（m﹣n）2且a、m、n均为正整数，求a的值．【考点】二次根式的混合运算．【分析】（1）根据上面的例子，将（m+n）2，按完全平方展开，可得出答案；（2）由（1）可写出一组答案，不唯一；（3）将（m﹣n）2展开得出m2﹣2mn+5n2，由题意得mn=3，m2+5n2=a，再由a、m、n均为正整数，可得出m=3，n=1，a=14．【解答】解：（1）∵a+b=（m+n）2，∴a+b=m2+3n2+2mn，∴a=m2+3n2，b=2mn；（2）由（1）可得a=13，b=4，m=1，n=2；（3）∵a﹣6=（m﹣n）2，∴a﹣6=m2﹣2mn+5n2，∴mn=3，m2+5n2=a，∵a、m、n均为正整数，∴m=3，n=1，a=14或m=1，n=3，a=46；故答案为：m2+3n2，2mn，13，4，1，2．【点评】本题考查了二次根式的混合运算，注意分析所给的材料，再进行解答．24．（12分）（2016春•宜春期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象与y轴的正半轴交于点A，与x轴交于点B（2，0），△ABO的面积为2，动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度在射线OB上运动，动点Q从B出发，沿x轴的正半轴与点P同时以相同的速度运动，过点P作PM⊥x轴交直线AB于点M．①求直线AB的解析式；②当点P在线段OB上运动时，设△MPQ的面积为S，点P运动的时间为t秒，求S与t的函数关系式（直接写出自变量t的取值范围）③过点Q作QN⊥x轴交直线AB于点N，在运动过程中（点P不与点B重合），是否存在某一时刻t秒，使△MNQ是以NQ为腰的等腰三角形？若存在，求出时间t值．【考点】一次函数综合题．【分析】①根据三角形的面积求出OA，再写出点A的坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式解答；②根据等腰直角三角形的性质表示出PM，再求出PQ的长，然后利用直角三角形的面积公式列式整理即可得解；③表示出PM、QN，再利用勾股定理列式表示出QM2，再求出MN，然后分MN=QN，QN=QM2种情况列出方程求解即可．【解答】解：①∵点B（2，0），∴OB=2，=OB•OA=×2•OA=2，∴S△ABO解得OA=2，∴点A（0，2），设直线AB的解析式为y=kx+b，则，解得：，∴直线AB的解析式为y=﹣x+2；②如图1，∵OA=OB=2，∴△ABO是等腰直角三角形，∵点P、Q的速度都是每秒1个单位长度，∴PM=PB=OB﹣OP=2﹣t，PQ=OB=2，∴△MPQ的面积为S=PQ•PM=×2×（2﹣t）=2﹣t，∵点P在线段OB上运动，∴0≤t＜2，∴S与t的函数关系式为S=2﹣t（0≤t＜2）；③如图1，t秒时，PM=PB=|2﹣t|，QN=BQ=t，所以，QM2=PM2+PQ2=（2﹣t）2+4，MN=（QN﹣PM）=（t﹣t﹣2）=2，①若MN=QN，则t=2，②若QN=QM，则（2﹣t）2+4=t2∴4t﹣8=0解得t=2当t=2时，点P与B重合，不符合题意舍去综上所述，t=2时，△MNQ是以NQ为腰的等腰三角形．【点评】此题主要考查了一次函数综合题型，主要利用了三角形的面积，待定系数法求一次函数解析式，等腰直角三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，难点在于③分情况讨论，用t表示出△MNQ的三边是解题的关键．。
2022-2023学年北京市第二中学八年级上学期期中考试数学试卷含详解
2022北京二中初二（上）期中数学考查目标1．知识：人教版八年级上册《三角形》《全等三角形》、《轴对称》《整式的乘法与因式分解》的全部内容．2、能力：数学运算能力，逻辑推理能力，阅读理解能力，实际应用能力，数形结合能力，分类讨论能力．A 卷面成绩90%(满分90分)B 过程性评价(满分10分)学业成绩总评=AB(满分100分)考生须知1．本试卷分为第I 卷、第II 卷和答题卡，共16页；其中第1卷2页，第I卷6页，答题卡8页．全卷共三大题，28道小题．2，本试卷满分100分，考试时间120分钟．3．在第1卷、第II 卷指定位置和答题卡的密封线内准确填写班级、姓名、考号、座位号．4．考试结束，将答题卡交回．第I 卷(选择题共16分)一、选择题(共16分，每题2分，以下每题只有一个．．．．正确的选项)1.2022年，北京中轴线申遗进入加速阶段，北京中轴线北起钟鼓楼，南至永定门，贯穿老城南北，直线距离长约7.8公里，是我国现存最完整、最古老的中轴线．这条中轴线一路向北延伸，鸟巢、冰立方为这条古老的中轴线注入了新的生命力，它正向世界述说着这座千年古都的时代新貌，下列关于中轴线建筑的简笔画，其中是轴对称图形的是（）A . B. C. D.2.下列运算正确的是（）A.()236a a a -⋅=- B.()235 a a =C.933()x x x ÷-=- D.()341228a a -=-3.如图，用三角尺作ABC 的边AB 上的高，下列三角尺的摆放位置正确的是（）A. B.C. D.4.如图，1∠，2∠，3∠是五边形ABCDE 的三个外角，边CD ，AE 的延长线交于点F ，如果123225∠+∠+∠=︒，那么DFE ∠的度数是（）A.45︒B.55︒C.65︒D.75︒5.下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（）A.21234a b a ab=⋅ B.222469(23)x xy y x y -+=-C.22(21)xy xy y y xy x -+-=--+ D.2(3)(3)9x x x +-=-6.为估计池塘两岸A 、B 间的距离，如图，小明在池塘一侧选取了点O ，测得18m OA =，12m OB =，那么A 、B 间的距离不可能是（）A .5m B.13m C.21mD.29m 7.如图，∠EAF ＝18°，AB BC CD ==，则∠ECD 等于（）A.36°B.54°C.72°D.108°8.一个大正方形和四个全等的小正方形按图①、②两种方式摆放，则图②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是（）A.2abB.abC.a 2﹣4b 2D.（a ﹣2b ）2第II 卷(非选择题共84分)二、填空题(共16分，每题2分)9.平面直角坐标系中，点()3,1P -关于x 轴对称的点的坐标是______．10.在数学课上，小明计算()()2x x +-■时，已正确得出结果，但课后不小心将第二个括号中的常数染黑了，若结果中不含有一次项，则被染黑的常数为__________．11.若()24s t -=，()216s t +=，则st =__________．12.如图，ABC 中AD ，BE 分别是ABC 的高和角平分线，若70C ∠=︒，95AEB ∠=︒，则BAD ∠=_____°．13.如图，在ABC 中，MN 是AC 的垂直平分线，若3cm CM =，ABC 的周长是16cm ，则ABN 的周长是__________cm ．14.如图，一块三角形玻璃裂成①②两块，现需配一块同样的玻璃，为方便起见，只需带上碎片__________即可，你的理由是__________(请你利用定理的完整文字叙述作答)15.甲、乙两人共同计算一道整式：()()2x a x b ++，由于甲抄错了a 的符号，得到的结果是2232x x +-，乙漏抄了第二个多项式中x 的系数，得到的结果是232x x -+．则本题的正确结果是__________．16.如图，已知30AOB ∠=︒，点M 、N 是射线OA 上的两个动点()OM ON <，且4MN =，点P 是边OB 上的点，若使点P 、M 、N 构成等腰三角形的点P 恰好只有一个，则OM 的取值范围是__________．三、解答题(共68分，其中第17-18、20-24题每题5分，第19、25题每题6分，第26-28题7分)17.计算：()()2324323x x x x ++-⋅．18.计算：(2)(2)2()a b a b a b a +-+-．19.化简求值：2(23)(23)(2)x y x y x y y ⎡⎤+---÷⎣⎦，其中 2530x y -+=．20.因式分解：2416x -．21.因式分解：32221218x x y xy -+．22.如图，已知EC DB =，AEB ADC ∠=∠．（1）求证：OD OE =；（2）连接AO ，求证：BAO CAO ∠=∠．23.已知：如图，线段AB 和射线BM 交于点B ．（1）利用尺规完成以下作图，并保留作图痕迹．(不要求写作法)①在射线BM 上求作一点C ，使得点A 在线段BC 的垂直平分线上．②在线段AB 上求作一点D ，使点D 到BC ，AC 的距离相等；（2）上述尺规作图的主要依据是(用定理作答)：①的依据：_____________________________________________________；②的依据：_____________________________________________________；24.如图，在ABC ∆中，AB AC =，D 为BC 边的中点，过点D 作，DE AB ⊥，DF AC ⊥，垂足分别为,E F ．（1）求证：DE DF =；（2）连接EF ，若60A ∠=︒，1BE =，请你直接写出AEF ∆的周长．25.ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，A 、B 、C 三点在格点上．（1）作出ABC 关于x 轴对称的111A B C △，并写出点1C 的坐标；（2）在y 轴上求作点D ，使得AD BD +最小，请你直接写出D 点坐标；（3）若点P 为x 轴上一动点，且满足BCP 的面积为1，请你直接写出P 点坐标．26.阅读下列材料，回答问题：“我们把多项式222a ab b ++及222a ab b -+叫做完全平方式”．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等，例如：分解因式223x x +-，我们可以进行以下操作：()()2222321414x x x x x +-=++-=+-，再利用平方差公式可得()()22331x x x x +-=+-；再如：求代数式2246x x +-的最小值，我们可以将代数式进行如下变形：()()222246223218x x x x x +-=+-=+-，于是由平方的非负性可知，当=1x -时，2246x x +-有最小值8-．根据阅读材料，用配方法解决下列问题：（1）若多项式24x x k -+是一个完全平方式，则常数k =___________．（2）分解因式：2412x x --=________，代数式22824x x --的最小值为___________．（3）试判断代数式22211a b ++与224ab a b ++的大小，并说明理由．27.已知：ABC 为等边三角形，D 为射线BC 上一点(不与B 、C 重合)，作射线AD ．在射线AD 上取一点E ，使CE CA =，直线CE 与直线AB 交于F ．设BAD ∠=α．（1）当点D 在如图1所示位置时，请你依据题意，补全图形；①求BCF ∠的度数(用含有α的代数式表示)；②试判断线段AF 、BD 和CF 之间的数量关系，并证明；（2）当点D 在射线BC 上运动时，(1)中线段AF 、BD 和CF 之间的数量关系是否发生变化？若变化，请你直接写出结论；若无变化，请你给出证明．28.在平面直角坐标系xOy 中，若点P 和点1P 关于y 轴对称，点1P 和点2P 关于直线l 对称，则称点2P 是点P 关于y 轴、直线l 的“二次对称点”．（1）已知：点(1,0)M -．'M ，①若点N 是点M 关于y 轴，直线1:3l x =的“二次对称点”，则点N 的坐标为_____________；②若点()1,3Q 是点M 关于y 轴，直线2:l y a =的“二次对称点”，则a 的值为__________；（2）已知直线3l 为第一、三象限角平分线，直线4l 为过点()0K k ,且与3l 平行的一条直线．①如图1，在正方形ABCD 中，已知点()1,0A ，点()3,2C ．设点T 为直线x t =上一点，若正方形ABCD 的内部(不含边界)存在点T '，使得点T '是点T 关于y 轴，直线3l 的“二次对称点”，则点T 的横坐标t 的取值范围是__________；②如图2，在正方形EFGH 中，已知点()5,1E --，点()3,1G -．若正方形EFGH 的边上存在点S ，使得点'S 是点S 关于y 轴，直线4l 的“二次对称点”，且点'S 在坐标轴上，请直接写出k 的取值范围．2022北京二中初二（上）期中数学第I 卷(选择题共16分)一、选择题(共16分，每题2分，以下每题只有一个．．．．正确的选项)1.2022年，北京中轴线申遗进入加速阶段，北京中轴线北起钟鼓楼，南至永定门，贯穿老城南北，直线距离长约7.8公里，是我国现存最完整、最古老的中轴线．这条中轴线一路向北延伸，鸟巢、冰立方为这条古老的中轴线注入了新的生命力，它正向世界述说着这座千年古都的时代新貌，下列关于中轴线建筑的简笔画，其中是轴对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】A【分析】根据轴对称图形的定义逐项判断即可得出答案．【详解】解：根据轴对称图形的定义，四个选项中，只有A 选项中的图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，B ，C ，D 选项均不符合，因此只有A 选项中的图形是轴对称图形．故选A ．【点睛】本题考查轴对称图形的识别，解题的关键是掌握轴对称图形的定义：在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．2.下列运算正确的是（）A.()236a a a -⋅=- B.()235 aa =C.933()x x x ÷-=- D.()341228a a -=-【答案】D 【分析】根据同底数幂相乘、同底数幂相除、幂的乘方以及积的乘方的知识进行解答即可．【详解】A ．()23235aa a a +-⋅=-=-，故选项错误，不符合题意；B ．()33262 a a a ⨯==，故选项错误，不符合题意；C ．69393()x x x x -÷-==--，故选项错误，不符合题意；D ．()4312343822a a a ⨯⨯=--=-，故选项正确，符合题意；故选：D ．【点睛】此题考查了同底数幂相乘、同底数幂相除、幂的乘方以及积的乘方等知识，解题的关键是掌握相关知识，注意符号的运算．的边AB上的高，下列三角尺的摆放位置正确的是（）3.如图，用三角尺作ABCA. B.C. D.【答案】B【分析】从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，根据高线的定义即可得出结论．中BC边上的高线，故本选项错误，不符合题意；【详解】解：A、作出的是ABC中AB边上的高线，故本选项正确，符合题意；B、作出的是ABC中AB边上的高线，故本选项错误，不符合题意；C、不能作出ABC中AC边上的高线，故本选项错误，不符合题意；D、作出的是ABC故选：B．【点睛】本题考查了三角形高线的定义，熟练掌握三角形高线的定义是解题的关键．∠+∠+∠=︒，4.如图，1∠，2∠，3∠是五边形ABCDE的三个外角，边CD，AE的延长线交于点F，如果123225∠的度数是（）那么DFEA.45︒B.55︒C.65︒D.75︒【答案】A【分析】利用多边形的外角和为360°即可求解．【详解】解：∵多边形的外角和为360°，∴∠DEF＋∠EDF＝360°−225°＝135°，∵∠DEF＋∠EDF＋∠DFE＝180°，∴∠DFE＝180°−135°＝45°，故A正确．故选：A．【点睛】本题主要考查了多边形的外角和与三角形的内角和定理，任意多边形的外角和等于360°．5.下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（）A.21234a b a ab=⋅ B.222469(23)x xy y x y -+=-C.22(21)xy xy y y xy x -+-=--+ D.2(3)(3)9x x x +-=-【答案】C 【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，逐一进行判定即可．【详解】解：A 、左边不是多项式，因此不是因式分解，故此选项不符合题意；B 、左边与右边不相等，因此不是因式分解，故此选项不符合题意；C 、提取公因式y -后，将多项式化成了两个整式积的形式，是因式分解，故此选项符合题意；D 、左边是积的形式，右边是多项式，因此不是因式分解，故此选项不符合题意；故选C ．【点睛】此题考查了因式分解的概念，正确理解因式分解是将一个多项式化成几个整式积的形式是解答此题的关键．6.为估计池塘两岸A 、B 间的距离，如图，小明在池塘一侧选取了点O ，测得18m OA =，12m OB =，那么A 、B 间的距离不可能是（）A.5mB.13mC.21mD.29m【答案】A 【分析】根据三角形的三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得18121812AB -<<+，再解即可．【详解】解：连接AB ，根据三角形的三边关系可得：18121812AB -<<+，即630AB <<，故选：A ．【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．7.如图，∠EAF ＝18°，AB BC CD ==，则∠ECD 等于（）A.36°B.54°C.72°D.108°【答案】B 【分析】根据等边对等角求出∠BCA ，∠BDC ，再利用外角性质求出∠ECD ．【详解】解：∵∠EAF ＝18°，AB=BC ，∴∠BCA =∠EAF ＝18°,∴∠CBD =∠A +∠BCA =36°，∵CB=CD ，∴∠BDC=∠CBD =36°，∴∠ECD =∠A +∠BDC =54°，故选：B ．【点睛】此题考查了等腰三角形等边对等角的性质，三角形外角的性质，熟记等腰三角形等边对等角的性质是解题的关键．8.一个大正方形和四个全等的小正方形按图①、②两种方式摆放，则图②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是（）A.2abB.abC.a 2﹣4b 2D.（a ﹣2b ）2【答案】B 【分析】设小正方形的边长为x ，大正方形的边长为y ，列方程求解，用大正方形的面积减去4个小正方形的面积即可．【详解】解：设小正方形的边长为x ，大正方形的边长为y ，则：22x y a y x b +=⎧⎨-=⎩，解得：42a b x a by -⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，∴阴影面积=（2a b +）2﹣4×（4a b -）22222224444a ab b a ab b ab ++-+=-=＝ab ．故选B【点睛】本题考查了整式的混合运算，求得大正方形的边长和小正方形的边长是解题的关键．第II 卷(非选择题共84分)二、填空题(共16分，每题2分)9.平面直角坐标系中，点()3,1P -关于x 轴对称的点的坐标是______．【答案】()3,1--【分析】关于x 轴的对称点，横坐标不变，纵坐标互为相反数，据此可得结论．【详解】解：∵关于x 轴的对称点，横坐标不变，纵坐标互为相反数，∴点P （−3，1）关于x 轴对称的点的坐标是（−3，−1）．故答案为：（−3，−1）．【点睛】本题主要考查了关于x 轴的对称点的坐标特点，解题的关键是掌握点P （x ，y ）关于x 轴的对称点P ′的坐标是（x ，−y ）．10.在数学课上，小明计算()()2x x +-■时，已正确得出结果，但课后不小心将第二个括号中的常数染黑了，若结果中不含有一次项，则被染黑的常数为__________．【答案】2【分析】设被染黑的常数为a ，利用乘法公式展开()()2x x a +-，根据一次项系数为0即可求出a 的值．【详解】解：设被染黑的常数为a ，则()()22()22222x ax x a x a x a x x a -+-=-+=+--，∵结果中不含有一次项，∴20a -=，∴2a =，故答案为：2．【点睛】本题考查多项式乘以多项式，解题的关键是掌握多项式乘以多项式的运算法则，本题也可以通过平方差公式快速求解．11.若()24s t -=，()216s t +=，则st =__________．【答案】3【分析】利用完全平方公式化简()()22s t s t +--，即可求解．【详解】解：∵()24s t -=，()216s t +=，∴()()2216412s t s t -=-=+-，∵()()()()222222224s t t s st t s t s s t s -=++-+=+--，∴412st =，∴3st =．故答案为：3．【点睛】本题考查代数式求值，解题的关键是熟练掌握完全平方公式()()2222a a a b b b ±=±+．12.如图，ABC 中AD ，BE 分别是ABC 的高和角平分线，若70C ∠=︒，95AEB ∠=︒，则BAD ∠=_____°．【答案】40【分析】根据AD ，BE 分别是ABC 的高和角平分线，得90ADC ∠=︒，ABE CBE ∠=∠；根据三角形的外角，得AEB CBE C ∠=∠+∠，ADC ABD BAD ∠=∠+∠，即可．【详解】∵AD ，BE 分别是ABC 的高和角平分线，∴90ADC ∠=︒，ABE CBE ∠=∠，∵70C ∠=︒，95AEB ∠=︒，∴AEB CBE C ∠=∠+∠，∴9570CBE ︒=∠+︒，∴25CBE ∠=︒，∴25ABE CBE ∠=∠=︒，∴50ABD ∠=︒，∵ADC ABD BAD ∠=∠+∠，∴9050BAD ︒=︒+∠，∴40BAD ∠=︒．故答案为：40．【点睛】本题考查了三角形的知识，三角形的外角和定理，角平分线的定义，高线的定义，解题的关键是掌握三角形的外角和定理，三角形角平分线和高线的性质．13.如图，在ABC 中，MN 是AC 的垂直平分线，若3cm CM =，ABC 的周长是16cm ，则ABN 的周长是__________cm ．【答案】10【分析】ABN 的周长是AB BN AN ++，AN NC =，所以求ABN 的周长其实就是求AB BC +，由此即可求出答案．【详解】解：∵MN 是AC 的垂直平分线，且3cm CM =，∴AN NC =，3AM CM ==，即336AC AM CM =+=+=，∵ABC 的周长是16cm ，即16AB BC AC ++=，∴1616610AB BC AC +=-=-=，∵ABN 的周长是AB BN AN ++，AN NC =，∴ABN 的周长是10AB BN NC AB BC ++=+=，故答案是：10．【点睛】本题主要考查的是垂直平分线的性质，解题的关键是通过垂直平分线的性质将所求线段转化为已知线段的关系．14.如图，一块三角形玻璃裂成①②两块，现需配一块同样的玻璃，为方便起见，只需带上碎片__________即可，你的理由是__________(请你利用定理的完整文字叙述作答)【答案】①.②②.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等【分析】根据全等三角形的判定方法“两边及其夹角分别相等的两个三角形全等”即可解．【详解】②中满足两边夹一角完整，即可得到一个与原来三角形全等的新三角形，所以只需带②去即可；理由是：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等．故答案为：②；两边及其夹角分别相等的两个三角形全等．【点睛】本题考查了三角形全等的应用；能够灵活运用全等三角形的判定，解决一些实际问题，注意认真读图．15.甲、乙两人共同计算一道整式：()()2x a x b ++，由于甲抄错了a 的符号，得到的结果是2232x x +-，乙漏抄了第二个多项式中x 的系数，得到的结果是232x x -+．则本题的正确结果是__________．【答案】2252x x -+【分析】根据甲的描述利用多项式乘以多项式的计算法则得到23b a -=，根据乙的描述可得3a b +=-，由此得到关于a 、b 的二元一次方程组，求出a 、b 的值代入原多项式中求解即可．【详解】解：∵由于甲抄错了a 的符号，得到的结果是2232x x +-，∴()()22232x a x b x x -+=+-，∴2222232x ax bx ab x x -+-=+-，∴23b a -=，∵乙漏抄了第二个多项式中x 的系数，得到的结果是232x x -+，∴()()232x a x b x x ++=-+，∴2232x ax bx ab x x +++=-+，∴3a b +=-，∴233b a a b -=⎧⎨+=-⎩，∴21a b =-⎧⎨=-⎩，∴原多项式为()()221x x --，()()22221242252x x x x x x x --=--+=-+，故答案为：2252x x -+．【点睛】本题主要考查了多项式乘以多项式，解二元一次方程组，正确理解题意得到关于a 、b 的二元一次方程组是解题的关键．16.如图，已知30AOB ∠=︒，点M 、N 是射线OA 上的两个动点()OM ON <，且4MN =，点P 是边OB 上的点，若使点P 、M 、N 构成等腰三角形的点P 恰好只有一个，则OM 的取值范围是__________．【答案】4OM =或8OM >【分析】根据等腰三角形的性质分类讨论，分别求解范围即可．【详解】设OM x =，则4ON x =+，如图1，当4x =时，即4OM MN ==，以M 为圆心，以4为半径的弧交OB 于P 点，此时4MP PN MN ===，则点P ，M ，N 构成的是等边三角形，则此时构成等腰三角形的点P 恰好只有一个．如图2．当8x =时，即8OM =，过M 点作MP OB ⊥于P 点，∵30AOB ∠=︒，∴142MP OM ==．∴4MP MN ==，作MN 的垂直平分线交OB 于P '点，则P M P N ''=．此时，以P ，M ，N 构成的等腰三角形的点P 恰好有2个．则当8x >时，以P ，M ，N 构成的等腰三角形恰好只有一个．综上，OM 的取值范围是4OM =或8OM >．故答案为：4OM =或8OM >【点睛】本题考查等腰三角形的判定，主要通过数形结合的思想解决问题，解题关键在于熟练掌握已知一边，作等腰三角形的画法．三、解答题(共68分，其中第17-18、20-24题每题5分，第19、25题每题6分，第26-28题7分)17.计算：()()2324323x x x x ++-⋅．【答案】625x -【分析】根据同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方化简，然后再合并同类项，即可得到答案．【详解】解：()()2324323x x xx ++-⋅=()3242332(3)x x x +⨯-++=66627x x x +-=625x -．【点睛】此题考查了幂的运算法则与合并同类项等知识，熟练掌握同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方等运算法则是解答此题的关键．18.计算：(2)(2)2()a b a b a b a +-+-．【答案】22ab b --【分析】根据多项式乘以多项式的运算法则，合并同类项即可求解．【详解】解：原式22224222a ab ab b ab a =-+-+-22ab b =--，故答案是：22ab b --．【点睛】本题主要考查整式的四则混合运算，解题的关键是理解和掌握整式四则运算法则．19.化简求值：2(23)(23)(2)x y x y x y y ⎡⎤+---÷⎣⎦，其中 2530x y -+=．【答案】410x y -，6-【分析】先利用平方差公式和完全平方公式对原式进行化简，再将 253x y -=-整体代入，即可求解．【详解】解：2(23)(23)(2)x y x y x y y ⎡⎤+---÷⎣⎦()()22224944x y x xy y y⎡⎤=---+÷⎣⎦()22224944x y x xy y y=--+-÷()2104y xy y=-+÷410x y =-，∵ 2530x y -+=，∴ 253x y -=-，∴原式410x y=-()225x y =-()23=⨯-6=-．【点睛】本题考查整式的化简求值，平方差公式，完全平方公式等知识点，解题的关键是熟练掌握整体代入思想．20.因式分解：2416x -．【答案】()()422x x +-【分析】先提取公因数4，然后根据平方差公式因式分解即可．【详解】解：2416x -()244x =-()()422x x =+-．【点睛】本题考查因式分解，解题的关键是掌握平方差公式()()22a b a b a b -=+-．21.因式分解：32221218x x y xy -+．【答案】22(3)x x y -【分析】先提取公因式2x ，再利用完全平方公式进行因式分解即可．【详解】解：32221218x x y xy -+=222(69)x x xy y -+=22(3)x x y -【点睛】此题考查了因式分解，熟练掌握提取公因式法、公式法等方法是解答此题的关键．22.如图，已知EC DB =，AEB ADC ∠=∠．（1）求证：OD OE =；（2）连接AO ，求证：BAO CAO ∠=∠．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【分析】（1）先由AAS 证明BOD COE △≌△，从而得到OD OE =；（2）首先证得ACD ABE △≌△，得到AC AB =，然后证明AOC AOB △≌△，从而证得BAO CAO ∠=∠．【小问1详解】证明：∵AEB ADC ∠=∠，∴CEO BDO ∠=∠，在BOD 和COE 中，COE BOD CEO BDO EC DB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴BOD COE △≌△，∴OD OE =．【小问2详解】证明：连接AO ，如图所示：由（1）的证明，得BOD COE △≌△，∴B C ∠=∠，OB OC =，OD OE =，∴BE CD =，在ACD 和ABE 中，∵B C CAD BAE BE CD ∠∠⎧⎪∠=∠⎨⎪⎩＝＝，∴ACD ABE △≌△（AAS ），∴AC AB =，在AOC 和AOB 中，AC AB OC OB AO AO =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴AOC AOB △≌△（SSS ），∴BAO CAO ∠=∠．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，正确找出三角形全等的条件是解题的关键．23.已知：如图，线段AB 和射线BM 交于点B．（1）利用尺规完成以下作图，并保留作图痕迹．(不要求写作法)①在射线BM 上求作一点C ，使得点A 在线段BC 的垂直平分线上．②在线段AB 上求作一点D ，使点D 到BC ，AC 的距离相等；（2）上述尺规作图的主要依据是(用定理作答)：①的依据：_____________________________________________________；②的依据：_____________________________________________________；【答案】（1）①图见详解；②图见详解（2）①线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；②角平分线上的点到角两边的距离相等【分析】（1）①以A 为圆心AB 长为半径画弧，进而得出C 点位置；②利用角平分线的作法得出即可；（2）直接根据题意可进行求解．【小问1详解】解：①如图所示：AC AB =；②D 点即为所求；【小问2详解】解：由作图可知：①的依据是线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；②的依据是角平分线上的点到角两边的距离相等；故答案为线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；角平分线上的点到角两边的距离相等．【点睛】本题主要考查角平分线及线段垂直平分线的尺规作图，熟练掌握尺规作图是解题的关键．24.如图，在ABC ∆中，AB AC =，D 为BC 边的中点，过点D 作，DE AB ⊥，DF AC ⊥，垂足分别为,E F ．（1）求证：DE DF =；（2）连接EF ，若60A ∠=︒，1BE =，请你直接写出AEF ∆的周长．【答案】（1）见解析（2）9【分析】（1）利用AAS 证明BED ∆CFD ≅∆，即可推出DE DF =；（2）先证ABC ∆是等边三角形，推出=60B ∠︒，再利用含30︒角直角三角形的性质得出22BD BE ==，进而求出4AB AC BC ===，根据BED ∆CFD ≅∆可得1CF BE ==，进而可证AEF ∆是边长为3的等边三角形，即可求出AEF ∆的周长．【小问1详解】证明：∵AB AC =，∴B C ∠=∠，∵DE AB ⊥，DF AC ⊥，∴90BED CFD ∠=∠=︒，∵D 为BC 边的中点，∴BD CD =，在BED ∆和CFD ∆中，BED CFD B C BD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴BED ∆CFD ≅∆()AAS ，∴DE DF =；【小问2详解】解：如图，∵AB AC =，60A ∠=︒，∴ABC ∆是等边三角形，∴=60B ∠︒，AB AC BC ==，∴906030BDE ∠=︒-︒=︒，∴12BE BD =，∵1BE =，∴2BD =，∴24BC BD ==，∴4AB AC BC ===，∵BED ∆CFD ≅∆，∴1CF BE ==，∴413AE AB BE =-=-=，413AF AC CF =-=-=，∴3AE AF ==，又∵60A ∠=︒，∴AEF ∆是等边三角形，∴3EF AE AF ===，∴9EF AE AF ++=，即AEF ∆的周长是9．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质等，解题的关键是证明AEF ∆和ABC ∆是等边三角形．25.ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，A 、B 、C 三点在格点上．（1）作出ABC 关于x 轴对称的111A B C △，并写出点1C 的坐标；（2）在y 轴上求作点D ，使得AD BD +最小，请你直接写出D 点坐标；（3）若点P 为x 轴上一动点，且满足BCP 的面积为1，请你直接写出P 点坐标．【答案】（1）图见解析，点1C 的坐标是(3,2)-（2）图见解析，D 点坐标是(0,2)（3）()1,0P 【分析】（1）根据题意和图形，可以画出ABC ∆关于x 轴对称的111A B C ∆，并写出点1C 的坐标；（2）根据轴对称和两点之间线段，可以得到使得AD BD +最小时点D 所在的位置，然后写出D 点坐标即可；（3）分3种情况结合图形求解即可．【小问1详解】解：如图所示，111A B C △即为所求，点1C 的坐标是(3,2)-；【小问2详解】解：作点A 关于y 轴的对称点A '，连接BA '与y 轴交于点D ，则此时AD BD +最小，D 点坐标是(0,2)．【小问3详解】解：如图，当()1,0P 时，12112BCP S =⨯⨯= ．如图，当P 点横坐标大于1，时，1212BCP BCD BDP S S S BD BD =+=⨯⨯=> ，不符合题意；当P 点横坐标小于1时，同理可求1BCP S < ，不符合题意；综上可知，当BCP 的面积为1时，P 点坐标()1,0．【点睛】本题考查作图-轴对称图象、最短路径问题，坐标与图形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．26.阅读下列材料，回答问题：“我们把多项式222a ab b ++及222a ab b -+叫做完全平方式”．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等，例如：分解因式223x x +-，我们可以进行以下操作：()()2222321414x x x x x +-=++-=+-，再利用平方差公式可得()()22331x x x x +-=+-；再如：求代数式2246x x +-的最小值，我们可以将代数式进行如下变形：()()222246223218x x x x x +-=+-=+-，于是由平方的非负性可知，当=1x -时，2246x x +-有最小值8-．根据阅读材料，用配方法解决下列问题：（1）若多项式24x x k -+是一个完全平方式，则常数k =___________．（2）分解因式：2412x x --=________，代数式22824x x --的最小值为___________．（3）试判断代数式22211a b ++与224ab a b ++的大小，并说明理由．【答案】（1）4（2）2)(6)x x +-（；32-（3）22211224a b ab a b ++>++，理由见解析．【分析】（1）根据完全平方公式即可求解；（2）把多项式进行配方，化成完全平方式，再运用平方差公式进行因式分解；（3）用作差法比较大小，先将两个多项式相减，再进行配方化成完全平方式，最后利用偶次方非负性的性质进一步求的结果．【小问1详解】24x x k -+是一个完全平方式，∴2224222x x k x x -+=-⨯⨯+∴k =4故答案为：4；【小问2详解】2222241244412(2)16(2)4(24)(24)(2)(6)x x x x x x x x x x --=-+--=--=--=-+--=+-；2222228242(412)2(444)242(2)8242(2)32x x x x x x x x --=--=-+--=---=-- 2(2)0x -≥∴22(2)3232x --≥-∴22824x x --的最小值为32-故答案为：2)(6)x x +-（；32-；【小问3详解】将22211a b ++与224ab a b ++相减得：22(211)(224)a b ab a b ++-++22211224a b ab a b=++---222(22)(21)610a ab a b b b b =+--++++-+2222(1)(1)(69)1a ab b b b =-++++-++22(1)(3)1a b b =--+-+ 2(1)0a b --≥，2(3)0b -≥∴22(1)(3)11a b b --+-+≥∴22211224a b ab a b++>++【点睛】本题主要考查了配方法的应用，偶次方非负性的性质，因式分解．本题是阅读型题目，读懂材料并熟练相应的方法是解题的关键．27.已知：ABC 为等边三角形，D 为射线BC 上一点(不与B 、C 重合)，作射线AD ．在射线AD 上取一点E ，使CE CA =，直线CE 与直线AB 交于F ．设BAD ∠=α．（1）当点D 在如图1所示位置时，请你依据题意，补全图形；①求BCF ∠的度数(用含有α的代数式表示)；②试判断线段AF 、BD 和CF 之间的数量关系，并证明；（2）当点D 在射线BC 上运动时，(1)中线段AF 、BD 和CF 之间的数量关系是否发生变化？若变化，请你直接写出结论；若无变化，请你给出证明．【答案】（1）①2BCF α∠=，②AF CF BD =+，证明见解析（2）BD CF AF =+，证明见解析【分析】（1）①根据等边三角形的性质得60BAC ABC ACB ==︒=∠∠∠，求出EAC ∠，根据等边对等角得60AEC EAC α∠=∠=︒-，利用三角形内角和定理求出ACE ∠，进而求出BCF ∠；②作ACG α∠=，交AB 于点G ．根据ASA 证明ACG BAD ≅ ，推出AG BD =，再证明FGC FCG ∠=∠，推出CF GF =，进而可得AF GF AG CF BD =+=+．（2）以AF 为边作等边AFH ∆，连接BH 并延长，交EA 的延长线于点G ，连接BE ．通过导角证明120GAH GDB α∠=∠=︒-，根据SAS 证明AHB AFC ≅ ，推出BH CF =，ABH ACF ∠=∠，进而得到G GDB GAH ∠=∠=∠，利用等角对等边得出BD BG =，GH AH =，通过等量代换可得BD BG BH GH CF AF ==+=+．【小问1详解】解：根据题意，补全后的图形如下图所示：①∵ABC ∆为等边三角形，∴60BAC ABC ACB ==︒=∠∠∠，AB AC BC ==，∵BAD ∠=α，∴60EAC BAC BAD α∠=∠-∠=︒-，∵CE CA =，∴60AEC EAC α∠=∠=︒-，∴()180180260602ACE AEC EAC αα∠=︒-∠-∠=︒-︒-=︒+，∴602602BCF ACE ACB αα∠=∠-∠=︒+-︒=，②AF CF BD =+．证明如下：如图所示，作ACG α∠=，交AB 于点G ．在ACG ∆和BAD ∆中，ACG BAD AC BA GAC DBA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴ACG BAD∆≅∆()ASA ，∴AG BD =．∵60FGC GAC ACG α∠=∠+∠=︒+，()60260FCG ACE ACG ααα∠=∠-∠=︒+-=︒+，∴FGC FCG ∠=∠，∴CF GF =．∴AF GF AG CF BD =+=+．【小问2详解】解：BD CF AF =+．证明如下：如图，以AF 为边作等边AFH ∆，连接BH 并延长，交EA 的延长线于点G ，连接BE ．∵AFH ∆为等边三角形，∴60AFH AHF FAH ∠=∠=∠=︒，AH AF HF ==．∵BAD ∠=α，∴60CAD BAD BAC α∠=∠-∠=-︒，∵CE CA =，∴60AEC EAC α∠=∠=-︒，∴2120ACF AEC EAC α∠=∠+∠=-︒．∴()6060120GDB ACB CAD αα∠=∠-∠=︒--︒=︒-．∵60HAF ABC ∠=∠=︒，∴HA BD ∥，∴120GAH GDB α∠=∠=︒-．在AHB ∆和AFC ∆中，HA FA HAB FAC AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴AHB AFC ∆≅∆()SAS ，∴BH CF =，2120ABH ACF α∠=∠=-︒．∵HA BD ∥，∴212060260GHA GBD ABH ABC αα∠=∠=∠+∠=-︒+︒=-︒．∴()()180180260120120G GHA GAH ααα∠=︒-∠-∠=︒--︒-︒-=︒-．∴G GDB GAH ∠=∠=∠，。
八年级上期中数学试卷含答案解析 (4)
八年级（上）期中数学试卷(解析版)一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把你认为正确的答案填在答题卷相应的空格内）1．下列“QQ表情”中属于轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．在﹣0.101001，，，﹣，，0中，无理数的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．下列计算正确的是（）A．=±2 B．=﹣3 C．=﹣4 D．=34．如图，已知AB=AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（）A．CB=CD B．∠BAC=∠DAC C．∠BCA=∠DCA D．∠B=∠D=90°5．给出下列命题：①在直角三角形ABC中，已知两边长为3和4，则第三边长为5；②三角形的三边a、b、c满足a2+c2=b2，则∠C=90°；③△ABC中，若∠A：∠B：∠C=1：5：6，则△ABC是直角三角形；④△ABC中，若a：b：c=1：2：，则这个三角形是直角三角形．其中，假命题的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（）A．△ABC的三条中线的交点B．△ABC三边的中垂线的交点C．△ABC三条高所在直线的交点D．△ABC三条角平分线的交点7．用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC=∠BOC的依据是（）A．SSSB．ASAC．AASD．角平分线上的点到角两边距离相等8．如图所示，一圆柱高8cm，底面半径为2cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程（π取3）是（）A．20cm B．10cm C．14cm D．无法确定9．如图在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点，EF=3，BC=8，则△EFM的周长是（）A．21 B．15 C．13 D．1110．如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA=3，PB=4，PC=5，以BC为边在△ABC 外作△BQC≌△BPA，连接PQ，则以下结论错误的是（）A．△BPQ是等边三角形B．△PCQ是直角三角形C．∠APB=150°D．∠APC=135°二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，把答案填在答题卷相应的横线上）11．﹣64的立方根是．12．小亮的体重为43.95kg，精确到0.1kg所得近似值为．13．比较实数的大小：﹣．14．有一个数值转换机，原理如下：当输入的x=81时，输出的y=．15．如图，已知△ABC中，∠ABC=45°，F是高AD和BE的交点，CD=4，则线段DF的长度为．16．已知直角三角形的两边长为3cm、5cm，则它的第三边长为．17．已知：如图所示，△AMN的周长为18，∠B，∠C的平分线相交于点O，过O点的直线MN∥BC交AB、AC于点M、N．则AB+AC=．18．如图，在直线l上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1，1.21，1.44，正放置的四个正方形的面积为S1、S2、S3、S4，则S1+2S2+2S3+S4=．三、解答题（本大题共9题，共64分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）19．（8分）计算（1）+（）2+（2）+﹣|1﹣|20．（8分）求出下列x的值．（1）4x2﹣49=0；（2）27（x+1）3=﹣64．21．（8分）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个顶点叫做格点．（1）在图（1）中以格点为顶点画一个面积为10的正方形；（2）在图（2）中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2，，；这个三角形的面积为．22．（6分）已知：如图，点E、C、D、A在同一条直线上，AB∥DF，ED=AB，∠E=∠CPD．求证：△ABC≌△DEF．23．（8分）如图，△ABC中，AB=AC=5，AB的垂直平分线DE交AB、AC于E、D．（1）若△BCD的周长为8，求BC的长；（2）若∠A=40°，求∠DBC的度数．24．（8分）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过A的一条直线，且B，C 在AE的两侧，D在A，E之间，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，求证：BD=DE+CE．25．（8分）如图，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EC的长．26．（10分）如图，点N是△ABC的边BC延长线上的一点，∠ACN=2∠BAC，过点A 作AC的垂线交CN于点P．（1）若∠APC=30°，求证：AB=AP；（2）若AP=8，BP=16，求AC的长；（3）若点P在BC的延长线上运动，∠APB的平分线交AB于点M．你认为∠AMP的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，求出∠AMP的大小．27．（12分）如图，长方形ABCD中，AB=4cm，BC=6cm，现有一动点P从A出发以2cm/秒的速度，沿矩形的边A﹣B﹣C﹣D回到点A，设点P运动的时间为t秒．（1）当t=3秒时，求△ABP的面积；（2）当t为何值时，点P与点A的距离为5cm？（3）当t为何值时（2＜t＜5），以线段AD、CP、AP的长度为三边长的三角形是直角三角形，且AP是斜边．2016-2017学年江苏省苏州市吴中区八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把你认为正确的答案填在答题卷相应的空格内）1．下列“QQ表情”中属于轴对称图形的是（）A．B．C．D．【考点】轴对称图形．【分析】根据轴对称图形的概念求解．【解答】解：A、B、D都不是轴对称图形，C关于直线对称．故选C．【点评】轴对称图形的判断方法：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．2．在﹣0.101001，，，﹣，，0中，无理数的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】无理数．【分析】先计算=2，则所给的数中只有，﹣是无理数．【解答】解：=2，所以在﹣0.101001，，，﹣，，0中，其中无理数有：，﹣．故选B．【点评】本题考查了无理数的概念：无限不循环小数叫无理数．常见形式有：开方开不尽的数，如等；无限不循环小数，如0.1010010001…（后面每两个1之间多以一个0）等；字母表示无理数，如π等．3．下列计算正确的是（）A．=±2 B．=﹣3 C．=﹣4 D．=3【考点】立方根；算术平方根．【分析】原式一平方根及立方根定义计算即可得到结果．【解答】解：A、原式=2，错误；B、原式=﹣3，正确；C、原式=|﹣4|=4，错误；D、原式为最简结果，错误，故选B【点评】此题考查了立方根，以及算术平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．4．如图，已知AB=AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（）A．CB=CD B．∠BAC=∠DAC C．∠BCA=∠DCA D．∠B=∠D=90°【考点】全等三角形的判定．【分析】本题要判定△ABC≌△ADC，已知AB=AD，AC是公共边，具备了两组边对应相等，故添加CB=CD、∠BAC=∠DAC、∠B=∠D=90°后可分别根据SSS、SAS、HL能判定△ABC≌△ADC，而添加∠BCA=∠DCA后则不能．【解答】解：A、添加CB=CD，根据SSS，能判定△ABC≌△ADC，故A选项不符合题意；B、添加∠BAC=∠DAC，根据SAS，能判定△ABC≌△ADC，故B选项不符合题意；C、添加∠BCA=∠DCA时，不能判定△ABC≌△ADC，故C选项符合题意；D、添加∠B=∠D=90°，根据HL，能判定△ABC≌△ADC，故D选项不符合题意；故选：C．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．5．给出下列命题：①在直角三角形ABC中，已知两边长为3和4，则第三边长为5；②三角形的三边a、b、c满足a2+c2=b2，则∠C=90°；③△ABC中，若∠A：∠B：∠C=1：5：6，则△ABC是直角三角形；④△ABC中，若a：b：c=1：2：，则这个三角形是直角三角形．其中，假命题的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】命题与定理．【分析】利用分类讨论对①进行判断；根据勾股定理的逆定理对②④进行判断；根据三角形内角和计算出∠C的度数，然后根据三角形分类对③进行判断．【解答】解：在直角三角形ABC中，已知两边长为3和4，则第三边长为5或，所以①为假命题；三角形的三边a、b、c满足a2+c2=b2，则∠B=90°，所以②为假命题；△ABC中，若∠A：∠B：∠C=1：5：6，则∠C=×180°=90°，所以△ABC是直角三角形，所以③为真命题；△ABC中，若a：b：c=1：2：，则a2+c2=b2，所以这个三角形是直角三角形，所以④为真命题．故选B．【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．6．如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（）A．△ABC的三条中线的交点B．△ABC三边的中垂线的交点C．△ABC三条高所在直线的交点D．△ABC三条角平分线的交点【考点】角平分线的性质；作图—应用与设计作图．【分析】由于凉亭到草坪三条边的距离相等，所以根据角平分线上的点到边的距离相等，可知是△ABC三条角平分线的交点．由此即可确定凉亭位置．【解答】解：∵凉亭到草坪三条边的距离相等，∴凉亭选择△ABC三条角平分线的交点．故选D．【点评】本题主要考查的是角的平分线的性质在实际生活中的应用．主要利用了到线段的两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．7．用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC=∠BOC的依据是（）A．SSSB．ASAC．AASD．角平分线上的点到角两边距离相等【考点】全等三角形的判定与性质；作图—基本作图．【分析】连接NC，MC，根据SSS证△ONC≌△OMC，即可推出答案．【解答】解：连接NC，MC，在△ONC和△OMC中，∴△ONC≌△OMC（SSS），∴∠AOC=∠BOC，故选A．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定的应，主要考查学生运用性质进行推理的能力，题型较好，难度适中．8．如图所示，一圆柱高8cm，底面半径为2cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程（π取3）是（）A．20cm B．10cm C．14cm D．无法确定【考点】平面展开-最短路径问题．【分析】先将图形展开，根据两点之间，线段最短，利用根据勾股定理即可得出结论．【解答】解：如图所示：沿AC将圆柱的侧面展开，∵底面半径为2cm，∴BC==2π≈6cm，在Rt△ABC中，∵AC=8cm，BC=6cm，∴AB===10cm．故选：B．【点评】本题考查的是平面展开﹣最短路径问题，熟知两点之间，线段最短是解答此类问题的关键．9．如图在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点，EF=3，BC=8，则△EFM的周长是（）A．21 B．15 C．13 D．11【考点】直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的判定与性质．【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EM=FM=BC，再根据三角形的周长的定义列式计算即可得解．【解答】解：∵CF⊥AB，BE⊥AC，M为BC的中点，∴EM=FM=BC=×8=4，∴△EFM的周长=8+8+3=11．故选D．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键．10．如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA=3，PB=4，PC=5，以BC为边在△ABC 外作△BQC≌△BPA，连接PQ，则以下结论错误的是（）A．△BPQ是等边三角形B．△PCQ是直角三角形C．∠APB=150°D．∠APC=135°【考点】等边三角形的判定与性质；全等三角形的性质；勾股定理的逆定理．【分析】根据等边三角形性质得出∠ABC=60°，根据全等得出∠BPA=∠BQC，BP=BQ=4，QC=PA=3，∠ABP=∠QBC，求出∠PBQ=60°，即可判断A，根据勾股定理的逆定理即可判断B；求出∠BQP=60°，∠PQC=90°，即可判断C，求出∠APC+∠QPC=150°和PQ≠QC即可判断D．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°，∵△BQC≌△BPA，∴∠BPA=∠BQC，BP=BQ=4，QC=PA=3，∠ABP=∠QBC，∴∠PBQ=∠PBC+∠CBQ=∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°，∴△BPQ是等边三角形，∴PQ=BP=4，∵PQ2+QC2=42+32=25，PC2=52=25，∴PQ2+QC2=PC2，∴∠PQC=90°，即△PQC是直角三角形，∵△BPQ是等边三角形，∴∠BOQ=∠BQP=60°，∴∠BPA=∠BQC=60°+90°=150°，∴∠APC=360°﹣150°﹣60°﹣∠QPC=150°﹣∠QPC，∵∠PQC=90°，PQ≠QC，∴∠QPC≠45°，即∠APC≠135°，∴选项A、B、C正确，选项D错误．故选D．【点评】本题考查了等边三角形的性质和判定，勾股定理的逆定理的应用，主要考查学生综合运用定理进行推理的能力．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，把答案填在答题卷相应的横线上）11．﹣64的立方根是﹣4．【考点】立方根．【分析】根据立方根的定义求解即可．【解答】解：∵（﹣4）3=﹣64，∴﹣64的立方根是﹣4．故选﹣4．【点评】此题主要考查了立方根的定义，求一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．注意一个数的立方根与原数的性质符号相同．12．小亮的体重为43.95kg，精确到0.1kg所得近似值为44.0．【考点】近似数和有效数字．【分析】把43.95精确到十分位就是对这个数的十分位后面的数进行四舍五入，即可得出答案．【解答】解：43.95kg精确到0.1kg所得近似值为44.0；故答案为：44.0．【点评】此题考查了近似数，近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位．13．比较实数的大小：﹣＞．【考点】实数大小比较．【分析】先比较与的大小，再根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小即可得出答案．【解答】解：∵＜，∴﹣＞．故答案为：＞．【点评】此题考查了实数的大小比较，掌握两个负数比较大小，绝对值大的反而小是本题的关键．14．有一个数值转换机，原理如下：当输入的x=81时，输出的y=．【考点】算术平方根．【分析】把x=81代入数值转换机中计算即可得到输出的数．【解答】解：当x=81时，算术平方根为9，再输入9，9的算术平方根为3，再输入3，3的算术平方根为，为无理数，所以y=．故答案为：．【点评】本题考查算术平方根，解决本题的关键是熟记算术平方根的定义．15．如图，已知△ABC中，∠ABC=45°，F是高AD和BE的交点，CD=4，则线段DF的长度为4．【考点】全等三角形的判定与性质．【分析】易证BD=AD，即可证明△BDF≌△ADC，即可求得DF=CD．【解答】解：∵∠ABC=45°，AD⊥BC，∴BD=AD，∵∠CAD+∠AFE=90°，∠CAD+∠C=90°，∠AFE=∠BFD，∴∠AFE=∠C，在△BDF和△ADC中，，∴△BDF≌△ADC（ASA），∴DF=CD=4，故答案为4．【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质．16．已知直角三角形的两边长为3cm、5cm，则它的第三边长为4或．．【考点】勾股定理．【分析】分类讨论，①当5为直角边时，②当5为斜边时，依次求出答案即可．【解答】解：①当5是直角边时，斜边=，此时第三边为；②当5为斜边时，此时第三边=，综上可得第三边的长度为4或．故答案为：4或．【点评】此题考查了勾股定理的知识，注意掌握勾股定理的表达式，分类讨论是关键，难点在于容易漏解．17．已知：如图所示，△AMN的周长为18，∠B，∠C的平分线相交于点O，过O点的直线MN∥BC交AB、AC于点M、N．则AB+AC=18．【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．【分析】由∠B，∠C的平分线相交于点O，过O点的直线MN∥BC交AB、AC于点M、N，易证得△BOM与△CON是等腰三角形，继而可得AB+AC=△AMN的周长．【解答】解：∵MN∥BC，∴∠BOM=∠OBC，∠CON=∠OCB，∵∠B，∠C的平分线相交于点O，∴∠MBO=∠OBC，∠NCO=∠OCB，∴∠MBO=∠BOM，∠NCO=∠CON，∴BM=OM，CN=ON，∵△AMN的周长为18，∴AM+MN+AN=AM+OM+ON+AN=AM+BM+CN+AN=AB+AC=18．故答案为：18．【点评】本题主要考查等腰三角形的判定与性质，平行线的性质以及角平分线的定义．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．18．如图，在直线l上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1，1.21，1.44，正放置的四个正方形的面积为S1、S2、S3、S4，则S1+2S2+2S3+S4= 3.65．【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质．【分析】由条件可以得出AC=CF=1，FH=LH=1.1，PR=SR=1.2．由正方形的性质可以得出∠ACB=∠CED，∠FHG=∠HLM，∠PRN=∠RST，就可以得出△ABC≌△CDE，△FGH≌△HML，△PNR≌△RTS，就可以得出AB=CD，BC=DE，FG=HM，GH=ML，PN=RT，NR=ST，由勾股定理就可以AB2+BC2=AC2，FG2+GH2=FH2，NP2+NR2=PR2，由正方形的面积公式就可以得出结论．【解答】解：如图，∵斜放置的三个正方形的面积分别为1，1.21，1.44，∴AC=CF=1，FH=LH=1.1，PR=SR=1.2．∠ACD=∠FHL=∠PRS=90°，∴∠ACB=∠CED，∠FHG=∠HLM，∠PRN=∠RST，∴△ABC≌△CDE，△FGH≌△HML，△PNR≌△RTS，∴AB=CD，BC=DE，FG=HM，GH=ML，PN=RT，NR=ST，由勾股定理，得AB2+BC2=AC2，FG2+GH2=FH2，NP2+NR2=PR2，∴S1+S2=1.0，S2+S3=1.21，S3+S4=1.44，∴S1+S2+S2+S3+S3+S4=1+1.21+1.44=3.65，∴S1+2S2+2S3+S4=3.65．故答案为：3.65．【点评】本题考查了正方形的性质的运用，正方形的面积公式的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，解答时证明三角形全等是关键．三、解答题（本大题共9题，共64分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）19．计算（1）+（）2+（2）+﹣|1﹣|【考点】实数的运算．【分析】（1）首先利用二次根式的性质化简，然后利用实数的混合运算法则计算即可求解；（2）首先分别利用二次根式的性质、立方根的性质及绝对值的定义化简，然后利用实数混合运算法则计算即可求解．【解答】解：（1）+（）2+=2+3+2=7；（2）|=3﹣4+1﹣=．【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．20．求出下列x的值．（1）4x2﹣49=0；（2）27（x+1）3=﹣64．【考点】平方根；立方根．【分析】（1）先移项，再根据平方根的定义解答；（2）两边同时除以27后开立方即可求得x的值．【解答】解：（1）4x2﹣49=0x2=，解得：x=±；（2）27（x+1）3=﹣64（x+1）3=﹣，x+1=﹣，解得：x=﹣【点评】本题考查了利用平方根或立方根求未知数的值，是基础题，熟记平方根或立方根的定义是解题的关键．21．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个顶点叫做格点．（1）在图（1）中以格点为顶点画一个面积为10的正方形；（2）在图（2）中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2，，；这个三角形的面积为2．【考点】勾股定理．【分析】（1）根据正方形的面积为10可得正方形边长为，画一个边长为正方形即可；（2）根据勾股定理和已知画出符合条件的三角形即可．【解答】解：（1）面积为10的正方形的边长为，∵=，∴如图1所示的四边形即为所求；（2）∵=，=，∴如图2所示的三角形即为所求这个三角形的面积=×2×2=2；故答案为：2．【点评】本题考查了正方形的性质、勾股定理；熟练掌握正方形的性质，运用勾股定理得出有关线段长是解决问题的关键．22．已知：如图，点E、C、D、A在同一条直线上，AB∥DF，ED=AB，∠E=∠CPD．求证：△ABC≌△DEF．【考点】全等三角形的判定．【分析】首先根据平行线的性质可得∠B=∠CPD，∠A=∠FDE，再由∠E=∠CPD可得∠E=∠B，再利用ASA证明△ABC≌△DEF．【解答】证明：∵AB∥DF，∴∠B=∠CPD，∠A=∠FDE，∵∠E=∠CPD．∴∠E=∠B，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（ASA）．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．23．如图，△ABC中，AB=AC=5，AB的垂直平分线DE交AB、AC于E、D．（1）若△BCD的周长为8，求BC的长；（2）若∠A=40°，求∠DBC的度数．【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．【分析】（1）根据线段垂直平分线定理得出AD=BD，根据BC+CD+BD=8cm求出AC+BC=8cm，把AC的长代入求出即可；（2）已知∠A=40°，AB=AC可得∠ABC=∠ACB，再由线段垂直平分线的性质可求出∠ABC=∠A，易求∠DBC．【解答】解：（1）∵D在AB垂直平分线上，∴AD=BD，∵△BCD的周长为8cm，∴BC+CD+BD=8cm，∴AD+DC+BC=8cm，∴AC+BC=8cm，∵AB=AC=5cm，∴BC=8cm﹣5cm=3cm；（2）∵∠A=40°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=70°，又∵DE垂直平分AB，∴DB=AD∴∠ABD=∠A=40°，∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=70°﹣40°=30°．【点评】本题考查了等腰三角形性质和线段垂直平分线定理，关键是求出AC+BC的值，注意：线段垂直平分线上的点到线段的两端点的距离相等．24．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过A的一条直线，且B，C在AE的两侧，D在A，E之间，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，求证：BD=DE+CE．【考点】等腰三角形的性质；全等三角形的判定与性质．【分析】先根据已知证明△ABD≌△CAE，从而得到AD=EC，BD=AE，因为AE=AD+DE=CE+DE=BD从而得到了结论BD=DE+CE．【解答】证明：∵∠CAE+∠BAD=90°，∠BAD+∠ABD=90°，∴∠CAE=∠ABD．∵∠ADB=∠AEC=90°，AB=AC，∴△ABD≌△CAE．∴AD=CE，BD=AE．∵AE=AD+DE=CE+DE，∴BD=DE+CE．【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的性质及全等三角形的判定方法的掌握情况．证明线段的和差问题往往通过三角形全等来证明，要掌握这种重要的方法．25．如图，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EC的长．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】根据矩形的性质得DC=AB=8，AD=BC=10，∠B=∠D=∠C=90°，再根据折叠的性质得AF=AD=10，DE=EF，在Rt△ABF中，利用勾股定理计算出BF=6，则FC=4，设EC=x，则DE=EF=8﹣x，在Rt△EFC中，根据勾股定理得x2+42=（8﹣x）2，然后解方程即可．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴DC=AB=8，AD=BC=10，∠B=∠D=∠C=90°，∵折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处∴AF=AD=10，DE=EF，在Rt△ABF中，BF===6，∴FC=BC﹣BF=4，设EC=x，则DE=8﹣x，EF=8﹣x，在Rt△EFC中，∵EC2+FC2=EF2，∴x2+42=（8﹣x）2，解得x=3，∴EC的长为3cm．【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了勾股定理．26．（10分）（2016秋•吴中区期中）如图，点N是△ABC的边BC延长线上的一点，∠ACN=2∠BAC，过点A作AC的垂线交CN于点P．（1）若∠APC=30°，求证：AB=AP；（2）若AP=8，BP=16，求AC的长；（3）若点P在BC的延长线上运动，∠APB的平分线交AB于点M．你认为∠AMP的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，求出∠AMP的大小．【考点】勾股定理；等腰三角形的判定与性质．【分析】（1）由∠P=30°，∠CAP=90°得∠ACP=60°，∠BAC=30°，所以∠ABP=30°，进而可得∠ABP=∠P，即AB=AP；（2）设AC=x，由勾股定理建立方程得x2+82=（16﹣x）2求出x的值即可求出AC的长；（3）∠AMP的大小不发生变化，由∠AMP=∠B+∠APC=∠ACP+∠APC=（∠ACP+∠APC）=90°=45°进而可得结论．【解答】解：（1）∵AC⊥AP，∴∠CAP=90°，∵∠P=30°，∴∠ACP=60°，∴∠BAC=30°，∴∠ABP=30°，∴∠ABP=∠P，∴AB=AP；（2）设AC=x，在Rt△ACP中，由勾股定理建立方程得x2+82=（16﹣x）2解得x=6，所以AC=6；（3）∠AMP的大小不发生变化，理由如下：∵∠AMP=∠B+∠APC=∠ACP+∠APC，=（∠ACP+∠APC）=90°=45°，∴是一个的值，即不发生变化．【点评】本题考查了勾股定理的运用、等腰三角形的判定和性质以及解一元二次方程，正确记忆勾股定理是解题关键．27．（12分）（2016秋•吴中区期中）如图，长方形ABCD中，AB=4cm，BC=6cm，现有一动点P从A出发以2cm/秒的速度，沿矩形的边A﹣B﹣C﹣D回到点A，设点P运动的时间为t秒．（1）当t=3秒时，求△ABP的面积；（2）当t为何值时，点P与点A的距离为5cm？（3）当t为何值时（2＜t＜5），以线段AD、CP、AP的长度为三边长的三角形是直角三角形，且AP是斜边．【考点】矩形的性质；勾股定理的逆定理．【分析】（1）求出P运动的距离，得出O在BC上，根据三角形面积公式求出即可；（2）分为三种情况：P在BC上，P在DC上，P在AD上，根据勾股定理得出关于t的方程，求出即可；（3）求出BP=2t﹣4，CP=10﹣2t，根据AP2=AB2+BP2=42+（2t﹣4）2和AD2+CP2=AP2得出方程62+（10﹣2t）2=42+（2t﹣4）2，求出方程的解即可．【解答】解：（1）当t=3时，点P的路程为2×3=6cm，∵AB=4cm，BC=6cm∴点P在BC上，∴（cm2）．（2）（Ⅰ）若点P在BC上，∵在Rt△ABP中，AP=5，AB=4∴BP=2t﹣4=3，∴；（Ⅱ）若点P在DC上，则在Rt△ADP中，AP是斜边，∵AD=6，∴AP＞6，∴AP≠5；（Ⅲ）若点P在AD上，AP=5，则点P的路程为20﹣5=15，∴，综上，当秒或时，AP=5cm．（3）当2＜t＜5时，点P在BC边上，∵BP=2t﹣4，CP=10﹣2t，∴AP2=AB2+BP2=42+（2t﹣4）2由题意，有AD2+CP2=AP2∴62+（10﹣2t）2=42+（2t﹣4）2∴t=＜5，即t=．【点评】本题考查了三角形的面积公式，勾股定理，矩形性质的应用，注意要进行分类讨论．。
2022-2023学年北京市西城区第四中学九年级上学期开学数学试卷含答案
北京四中2022-2023学年九年级上学期开学数学试卷（含答案解析）一.选择题（每题2分，共16分）1．（2分）下列是最简二次根式的是（）A．B．C．D．2．（2分）下列三边能构成直角三角形的是（）A．1，1，2B．1，2，3C．1，2，D．1，1，3．（2分）一次函数y＝﹣2x+1的图象经过（）A．一、二、三象限B．二、三、四象限C．一、三、四象限D．一、二、四象限4．（2分）如图，矩形ABCD的对角线交于点O，若∠ADB＝30°，DC＝3，则AC等于（）A．4B．5C．6D．75．（2分）若关于x的一元二次方程x2+6x﹣a＝0有实数根，则a的取值范围是（）A．a≤﹣9B．a＞﹣9C．a≥﹣9D．a≥96．（2分）为了传承传统手工技艺，提高同学们的手工制作能力，某中学七年级一班的美术老师特地给学生们开了一节手工课，教同学们编织“中国结”，为了了解同学们的学习情况，便随机抽取了20名学生，对他们的编织数量进行统计，统计结果如表：编织数量/个23456人数/人36542请根据上表，判断下列说法正确的是（）A．平均数是3.8B．样本为20名学生C．中位数是3D．众数是67．（2分）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是一次函数y＝kx+2k（k＞0）图象上不同的两点，若t＝（x1﹣x2）（y1﹣y2），则（）A．t＜0B．t＝0C．t≤0D．t＞08．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是AB的中点，延长CD至点E，使得∠CAB＝∠BAE，过点E作EF⊥AB于点F，G为CE的中点，给出结论：①；②BG＝FG；③四边形AEBG是平行四边形；④∠CAE+∠BGF＝180°．其中正确的所有选项是（）A．①②B．③C．②④D．②③④二.填空题（每题2分，共16分）9．（2分）函数的自变量x的取值范围是．10．（2分）比较二次根式的大小：23．11．（2分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点．若∠A＝35°，则∠BDC ＝°．12．（2分）若一次函数的图象过点（0，3），请写出一个符合条件的函数解析式．13．（2分）如图，在△ABC中，点D，E，F分别是BC，AC，AB的中点．若AB＝6，BC ＝8，则四边形BDEF的周长是．14．（2分）如图，直线y＝kx+b经过点A（2，2），点B（6，0），直线y＝x过点A，则不等式x＜kx+b的解集为．15．（2分）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝120°，点E是AD边的中点，P是AC边上一动点，则PE+PD的最小值是．16．（2分）某校七年级举办的趣味“体育节”共设计了五个比赛项目，每个项目都以班级为单位参赛，且每个班级都需要参加全部项目，规定：每项比赛中，只有排在前三名的班级记成绩（没有并列班级），第一名的班级记a分，第二名的班级记b分，第三名的班级记c分（a＞b＞c，a、b、c均为正整数）；各班比赛的总成绩为本班每项比赛的记分之和．该年级共有四个班，若这四个班在本次“体育节”的总成绩分别为21，6，9，4，则a+b+c＝，a的值为．三.解答题（17、22、25每题5分，18、19、23、24每题6分，20、21每题4分，26、27、28每题7分，共68分）17．（5分）计算：．18．（6分）用适当的方法解方程：（1）x2＝7x；（2）x2+4x﹣5＝0．19．（6分）已知关于x的方程mx2+（3m+1）x+3＝0．（1）求证：不论m取何值，方程都有实数根；（2）若方程有两个整数根，求整数m的值．20．（4分）下面是小明设计的“作菱形ABCD”的尺规作图过程．求作：菱形ABCD．作法：①作线段AC；②作线段AC的垂直平分线l，交AC于点O；③在直线l上取点B，以O为圆心，OB长为半径画弧，交直线l于点D（点B与点D不重合）；④连接AB、BC、CD、DA．所以四边形ABCD为所求作的菱形．根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹，用2B铅笔作图！）（2）完成下面的证明．证明：∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD是．（填推理的依据）．∵AC⊥BD，∴四边形ABCD为菱形（填推理的依据）．21．（4分）直线AB与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，﹣2）．（1）求直线AB的解析式；（2）若直线AB上一点C在第一象限，且S△BOC＝2，求点C坐标．22．（5分）今年第6号台风“烟花”登录我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，在A处测得C港在北偏东45°方向上，在B处测得C港在北偏西60°方向上，且AB＝（400+400）千米，以台风中心为圆心，周围600千米以内为受影响区域．（1）海港C受台风影响吗？为什么？（2）若台风中心的移动速度为20千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？（结果保留整数，参考数据≈1.41，≈1.73，≈2.24）23．（6分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，过点B作BE∥AC，且，连接EC、ED．（1）求证：四边形BECO是矩形；（2）若AC＝2，∠ABC＝60°，求DE的长．24．（6分）某市各中小学为落实教育部政策，全面开展课后延时服务．市教育局为了解该市中学延时服务情况，随机抽查甲、乙两所中学各100名家长进行问卷调查．家长对延时服务的综合评分记为x，将所得数据分为5组（“很满意”：90≤x≤100；“满意”：80≤x＜90；“比较满意”：70≤x＜80；“不太满意”：60≤x＜70；“不满意”：0≤x＜60），市教育局对数据进行了分析．部分信息如下：c．甲、乙两所中学延时服务得分的平均数、中位数、众数如表：学校平均数中位数众数甲85n83乙817980d．甲中学“满意组”的分数从高到低排列，排在最后的10个数分别是：83，83，83，83，82，81，81，81，80，80．请你根据以上信息，回答下列问题：（1）直接写出m和n的值；（2）根据以上数据，你认为哪所中学的延时服务开展得更好？并说明理由（一条即可）；（3）市教育局指出：延时服务综合得分在70分及以上才算合格，请你估计乙中学1000名家长中认为该校延时服务合格的人数．25．（5分）阅读下面的材料，回答问题：（1）将关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0变形为x2＝﹣bx﹣c，就可以将x2表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次法”．已知x2﹣x﹣1＝0，用“降次法”求出x4﹣3x+2020的值是．（2）解方程x4﹣5x2+4＝0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x2＝y，那么x4＝y2，于是原方程可变为y2﹣5y+4＝0 （1），解得y1＝1，y2＝4．当y＝1时，x2＝1，∴x＝±1；当y＝4时，x2＝4，∴x＝±2；∴原方程有四个根：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2．请你用（2）中的方法求出方程（x2+x）2﹣2x2﹣2x＝8的实数解．26．（7分）已知一次函数y1＝（k+1）x﹣2k+3，其中k≠﹣1．（1）若点（﹣1，2）在y1的图象上，则k的值是．（2）当﹣2≤x≤3时，若函数有最大值9，求y1的函数表达式；（3）对于一次函数y2＝m（x﹣1）+6，其中m≠0，若对一切实数x，y1＜y2都成立，求k的取值范围．27．（7分）在正方形ABCD中，点P是线段CB延长线上一点，连接AP，将线段P A绕点P顺时针旋转90°，得到线段PE，连接CE．过点E作EF⊥BC于F．（1）在图1中补全图形；（2）①求证：EF＝CF．②猜测CE，CP，CD三条线段的数量关系并证明；（3）若将线段P A绕点P逆时针旋转90°，其它条件不变，直接写出CE，CP，CD三条线段的数量关系为．28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x1，y1），给出如下定义：当点Q（x2，y2）满足x1•x2＝y1•y2时，称点Q是点P的等积点．已知点P（1，4）．（1）在Q1（2，1），Q2（﹣4，﹣1），Q3（8，2）中，点P的等积点是．（2）点Q是P点的等积点，点C在x轴上，以O，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形，求点C的坐标．（3）已知点和点M（4，m），点N是以点M为中心，边长为2且各边与坐标轴平行的正方形T上的任意一点，对于线段BN上的每一点A，在线段PB上都存在一个点R使得A为R的等积点，直接写出m的取值范围．北京四中2022-2023学年九年级上学期开学数学试卷参考答案与试题解析一.选择题（每题2分，共16分）1．（2分）下列是最简二次根式的是（）A．B．C．D．【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．【解答】解：A、是最简二次根式，符合题意；B、＝，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；C、＝2，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；D、＝2，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；故选：A．【点评】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．2．（2分）下列三边能构成直角三角形的是（）A．1，1，2B．1，2，3C．1，2，D．1，1，【分析】根据勾股定理的逆定理，进行计算即可解答．【解答】解：A、∵1+1＝2，∴1，1，2三边不能构成直角三角形，故A不符合题意；B、∵1+2＝3，∴1，2，3三边不能构成直角三角形，故B不符合题意；C、∵12+（）2＝3，22＝4，∴12+（）2≠22，∴1，，2不能作为直角三角形三条边，故C不符合题意；D、∵12+12＝2，（）2＝2，∴12+12＝（）2，∴1，1，能作为直角三角形三条边，故D符合题意；故选：D．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．3．（2分）一次函数y＝﹣2x+1的图象经过（）A．一、二、三象限B．二、三、四象限C．一、三、四象限D．一、二、四象限【分析】根据题目中的函数解析式和一次函数的性质，即可得到图象经过的象限．【解答】解：∵k＝﹣2＜0，∴一次函数的图象经过第二四象限，∵b＝1＞0，∴一次函数y＝﹣2x+1的图象与y轴正半轴相交，经过第一象限，∴一次函数y＝﹣2x+1的图象经过第一二四象限，故选：D．【点评】本题考查一次函数的性质，对一次函数y＝kx+b（k≠0），k＞0时，函数图象经过第一三象限，k＜0时，函数图象经过第二四象限，b＞0时，函数图象与y轴正半轴相交，b＜0时，函数图象与y轴负半轴相交．4．（2分）如图，矩形ABCD的对角线交于点O，若∠ADB＝30°，DC＝3，则AC等于（）A．4B．5C．6D．7【分析】由矩形的性质得出AC＝BD，OA＝OC，∠BAD＝90°，由直角三角形的性质得出AC＝BD＝2DC＝6即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，OA＝OC，∠BAD＝90°，∵∠ADB＝30°，∴AC＝BD＝2CD＝6，故选：C．【点评】此题考查了矩形的性质、含30°角的直角三角形的性质．熟练掌握矩形的性质，注意掌握数形结合思想的应用．5．（2分）若关于x的一元二次方程x2+6x﹣a＝0有实数根，则a的取值范围是（）A．a≤﹣9B．a＞﹣9C．a≥﹣9D．a≥9【分析】根据一元二次方程根的判别式的意义得到Δ＝62﹣4×1×（﹣a）≥0，然后求出不等式的公共部分即可．【解答】解：根据题意得Δ＝62﹣4×1×（﹣a）≥0，解得a≥﹣9．故选：C．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac 有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．6．（2分）为了传承传统手工技艺，提高同学们的手工制作能力，某中学七年级一班的美术老师特地给学生们开了一节手工课，教同学们编织“中国结”，为了了解同学们的学习情况，便随机抽取了20名学生，对他们的编织数量进行统计，统计结果如表：编织数量/个23456人数/人36542请根据上表，判断下列说法正确的是（）A．平均数是3.8B．样本为20名学生C．中位数是3D．众数是6【分析】根据样本的概念、众数、中位数及加权平均数的定义分别求解即可．【解答】解：A．平均数为×（2×3+3×6+4×5+5×4+6×2）＝3.8（个），此选项说法正确，符合题意；B．样本为20名学生的编织数量，此选项说法错误，不符合题意；C．共20个数据，从小到大排列后位于第10个和第11个的数据分别是4和4，∴中位数为＝4，此选项说法错误，不符合题意；D．众数是3，此选项说法错误，不符合题意；故选：A．【点评】本题主要考查众数、中位数、加权平均数，解题的关键是掌握众数、中位数及加权平均数的定义．7．（2分）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是一次函数y＝kx+2k（k＞0）图象上不同的两点，若t＝（x1﹣x2）（y1﹣y2），则（）A．t＜0B．t＝0C．t≤0D．t＞0【分析】由k＞0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而增大，结合点A（x1，y1），B（x2，y2）是一次函数y＝kx+2k图象上不同的两点，可得出（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0，即t＞0．【解答】解：∵k＞0，∴y随x的增大而增大，又∵点A（x1，y1），B（x2，y2）是一次函数y＝kx+2k图象上不同的两点，∴（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0，即t＞0．故选：D．【点评】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x 的增大而减小”是解题的关键．8．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是AB的中点，延长CD至点E，使得∠CAB＝∠BAE，过点E作EF⊥AB于点F，G为CE的中点，给出结论：①；②BG＝FG；③四边形AEBG是平行四边形；④∠CAE+∠BGF＝180°．其中正确的所有选项是（）A．①②B．③C．②④D．②③④【分析】构造全等三角形，应用三角形中位线定理，即可求解．【解答】解：延长EF交AC于M，作GN⊥AB于N，∵BD＝AB，DB＜DC，∴CD＞AB，故①不符合题意；∵EF∥NG∥BC，EG＝CG，∴FN＝NB，∵GN⊥AB，∴FG＝GB，故②符合题意；∵∠EAF＝∠MAF，AF＝AF，∠AFE＝∠AFM，∴△AEF≌△AMF，∴FE＝FM，∵EG＝GC，∴FG∥AC，∴∠GFB＝∠CAB，∴∠GBF＝∠EAB，∴EA∥BG，∵∠EAD＝∠DBG，AD＝BD，∠ADE＝∠BDG，∴△AED≌△BGD（ASA），∴AE＝BG，∴四边形AEBG是平行四边形，故③符合题意；∵∠BFG+∠FBG+∠FGB＝180°，∠EAF＝∠MAF＝∠BFG＝∠GBF，∴∠EAC+∠FGB＝180°，故④符合题意，故选：D．【点评】本题考查三角形全等，三角形中位线定理，平行四边形的判定，关键是灵活应用这些知识点．二.填空题（每题2分，共16分）9．（2分）函数的自变量x的取值范围是x≥3．【分析】根据被开方数非负列式求解即可．【解答】解：根据题意得，x﹣3≥0，解得x≥3．故答案为：x≥3．【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．10．（2分）比较二次根式的大小：2＜3．【分析】把根号外的因式平方后移入根号内，根据此时被开方数的大小比较即可．【解答】解：∵2＝＝，3＝＝，∴2＜3，故答案为：＜．【点评】本题考查了实数的大小比较和二次根式的性质，注意：当m≥0时，m＝．11．（2分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点．若∠A＝35°，则∠BDC ＝70°．【分析】根据直角三角形斜边上的中线可AD＝CD＝AB，然后利用等腰三角形的性质可得∠A＝∠DCA＝35°，最后利用三角形的外角进行计算即可解答．【解答】解：∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，∴AD＝CD＝AB，∴∠A＝∠DCA＝35°，∵∠BDC是△ADC的一个外角，∴∠BDC＝∠A+∠DCA＝70°，故答案为：70．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形斜边上的中线是解题的关键．12．（2分）若一次函数的图象过点（0，3），请写出一个符合条件的函数解析式y＝x+3（答案不唯一）．【分析】可设x的系数为1或其他不为0的数都可以，把点的坐标代入求b的值即可．【解答】解：设一次函数的解析式为：y＝x+b，把（0，3）代入得b＝3．∴一次函数的解析式为：y＝x+3，故答案为：y＝x+3（答案不唯一）．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，需注意应先确定x的系数，然后把适合的点代入求得常数项．13．（2分）如图，在△ABC中，点D，E，F分别是BC，AC，AB的中点．若AB＝6，BC ＝8，则四边形BDEF的周长是14．【分析】根据三角形中位线定理解答即可．【解答】解：∵D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，∴DE＝BF＝AB＝＝3，∵E、F分别为AC、AB中点，∴EF＝BD＝BC＝8＝4，∴四边形BDEF的周长为：2×（3+4）＝14，故答案为：14．【点评】本题考查了三角形的中位线定理，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．14．（2分）如图，直线y＝kx+b经过点A（2，2），点B（6，0），直线y＝x过点A，则不等式x＜kx+b的解集为x＜2．【分析】根据函数图象的上下解不等式．【解答】解：∵x＜kx+b，∴直线y＝x在直线y＝kx+b的下方，即在点A的左边的图象符合要求，∴x＜2．故答案为：x＜2．【点评】本题考查一次函数图象与一元一次不等式，将不等式转化为函数图象的上下关系是求解本题的关键．15．（2分）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝120°，点E是AD边的中点，P是AC边上一动点，则PE+PD的最小值是．【分析】如图，连接BD，BE，PB．由PE+PD＝PB+PE≥BE，求出BE的值，可得结论．【解答】解：如图，连接BD，BE，PB．∵四边形ABCD是菱形，∴B，D关于AC对称，∴PD＝PB，∴PE+PD＝PE+PB≥BE，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥CB，∴∠BAD+∠ABC＝180°，∵∠ABC＝120°，∴∠BAD＝60°，∵AB＝AD，∴△ABD是等边三角形，∵AE＝DE，∴BE⊥AD，∴BE＝AB•sin60°＝，∴PE+PD≥，∴PE+PD的最小值为，故答案为：．【点评】本题考查菱形的性质，轴对称最短问题，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．16．（2分）某校七年级举办的趣味“体育节”共设计了五个比赛项目，每个项目都以班级为单位参赛，且每个班级都需要参加全部项目，规定：每项比赛中，只有排在前三名的班级记成绩（没有并列班级），第一名的班级记a分，第二名的班级记b分，第三名的班级记c分（a＞b＞c，a、b、c均为正整数）；各班比赛的总成绩为本班每项比赛的记分之和．该年级共有四个班，若这四个班在本次“体育节”的总成绩分别为21，6，9，4，则a+b+c＝8，a的值为5．【分析】根据五个比赛项目设定前三名的记分总和＝最后参加比赛的所有班级总成绩的和，得出a+b+c的值，再结合a＞b＞c，a、b、c均为正整数的条件，列举出可能的值，再根据各班级的总成绩排除不符合题意的值．【解答】解：设本次“体育节”五个比赛项目的记分总和为m，则m＝5（a+b+c），∵四个班在本次“体育节”的总成绩分别为21，6，9，4，∴m＝21+6+9+4＝40．∴5（a+b+c）＝40，∴a+b+c＝8．∵a＞b＞c，a、b、c均为正整数，∴当c＝1时，b＝2，则a＝5；当c＝1时，b＝3，则a＝4，此时，第一名的班级五个比赛项目都是第一，总得分为20＜21分，不符合题意舍去；当c＝2时，b＝3，则a＝3，不满足a＞b，舍去；当c＝3时，b＝4，则a＝1，不满足a＞b，舍去．综上所得：a＝5，b＝2，c＝1．故答案为：a+b+c＝8，a＝5．【点评】本题考查有理数的运算，从整体上考虑这次“体育节”设定的记分总和＝四个班总成绩的和，是解决本题的关键．三.解答题（17、22、25每题5分，18、19、23、24每题6分，20、21每题4分，26、27、28每题7分，共68分）17．（5分）计算：．【分析】首先计算二次根式乘法、化简二次根式和去绝对值，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．【解答】解：＝++﹣2+＝3+3+﹣2+4＝6+5﹣2．【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．②在运算中每个根式可以看作是一个“单项式”，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式”．18．（6分）用适当的方法解方程：（1）x2＝7x；（2）x2+4x﹣5＝0．【分析】（1）先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x 的一元一次方程，再进一步求解即可；（2）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可．【解答】解：（1）∵x2＝7x，∴x2﹣7x＝0，∴x（x﹣7）＝0，则x＝0或x﹣7＝0，解得x1＝0，x2＝7；（2）∵x2+4x﹣5＝0，∴（x+5）（x﹣1）＝0，则x+5＝0或x﹣1＝0，解得x1＝﹣5，x2＝1．【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．19．（6分）已知关于x的方程mx2+（3m+1）x+3＝0．（1）求证：不论m取何值，方程都有实数根；（2）若方程有两个整数根，求整数m的值．【分析】（1）分类讨论m＝0和m≠0两种情况下方程根的个数；（2）把mx2+（3m+1）x+3＝0因式分解得到x1＝﹣，x2＝﹣3，根据题意可知﹣是整数，据此求出正整数m的值．【解答】（1）证明：当m＝0时，原方程可化为x+3＝0，方程有实根x＝﹣3；当m≠0时，mx2+（3m+1）x+3＝0是关于x的一元二次方程．∵Δ＝（3m+1）2﹣4m×3＝9m2+6m+1﹣12m＝（3m﹣1）2≥0，∴此方程总有两个实数根．综上所述，不论m取何值，方程都有实数根．（2）解：∵（mx+1）（x+3）＝0，∴x1＝﹣，x2＝﹣3．∵方程有两个整数根且m是整数，∴m＝﹣1或m＝1．【点评】本题主要考查了根的判别式的知识，解答本题要掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0时，方程没有实数根．20．（4分）下面是小明设计的“作菱形ABCD”的尺规作图过程．求作：菱形ABCD．作法：①作线段AC；②作线段AC的垂直平分线l，交AC于点O；③在直线l上取点B，以O为圆心，OB长为半径画弧，交直线l于点D（点B与点D不重合）；④连接AB、BC、CD、DA．所以四边形ABCD为所求作的菱形．根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹，用2B铅笔作图！）（2）完成下面的证明．证明：∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形．对角线互相平分的四边形为平行四边形（填推理的依据）．∵AC⊥BD，∴四边形ABCD为菱形对角线互相垂直的平行四边形为菱形（填推理的依据）．【分析】（1）根据作图过程补全图形即可．（2）根据平行四边形和菱形的判定定理可得出答案．【解答】（1）解：补全图形如图．（2）证明：∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形．（对角线互相平分的四边形为平行四边形）∵AC⊥BD，∴四边形ABCD为菱形．（对角线互相垂直的平行四边形为菱形）故答案为：平行四边形；对角线互相平分的四边形为平行四边形；对角线互相垂直的平行四边形为菱形．【点评】本题考查尺规作图、平行四边形和菱形的判定，熟练掌握平行四边形和菱形的判定定理是解答本题的关键．21．（4分）直线AB与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，﹣2）．（1）求直线AB的解析式；（2）若直线AB上一点C在第一象限，且S△BOC＝2，求点C坐标．【分析】（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b，将点A（1，0）、点B（0，﹣2）分别代入解析式即可组成方程组，从而得到AB的解析式；（2）设点C的横坐标为x，根据三角形面积公式以及S△BOC＝2求出C的横坐标，再代入直线即可求出纵坐标的值，从而得到其坐标．【解答】解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0），∵直线AB过点A（1，0）、点B（0，﹣2），∴，解得，∴直线AB的解析式为y＝2x﹣2．（2）设点C的横坐标为x，∵S△BOC＝2，∴•2•|x|＝2，解得x＝±2，∵直线AB上一点C在第一象限，∴x＝2，∴y＝2×2﹣2＝2，∴点C的坐标是（2，2）．【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，解答此题不仅要熟悉函数图象上点的坐标特征，还要熟悉三角形的面积公式．22．（5分）今年第6号台风“烟花”登录我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，在A处测得C港在北偏东45°方向上，在B处测得C港在北偏西60°方向上，且AB＝（400+400）千米，以台风中心为圆心，周围600千米以内为受影响区域．（1）海港C受台风影响吗？为什么？（2）若台风中心的移动速度为20千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？（结果保留整数，参考数据≈1.41，≈1.73，≈2.24）【分析】（1）利用等腰直角三角形和含30度的直角三角形的性质得出CD的长，进而得出海港C是否受台风影响；（2）利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出台风影响该海港持续的时间．【解答】解：（1）海港C受台风影响，理由：过C作CD⊥AB于D，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，∵∠CAD＝45°，∴∠ACD＝45°，∴AD＝CD，∵∠DBC＝30°，∴BD＝CD，∵AB＝（400+400）千米，∴AB＝AD+BD＝CD+CD＝400+400，∴CD＝400千米，∵以台风中心为圆心，周围600千米以内为受影响区域，∴海港C受台风影响；（2）当EC＝600km，FC＝600km时，正好影响C港口，∵ED＝＝200（km），∴EF＝400km，∵台风的速度为20千米/小时，∴400÷20≈45（小时）．答：台风影响该海港持续的时间大约为45小时．【点评】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答．23．（6分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，过点B作BE∥AC，且，连接EC、ED．（1）求证：四边形BECO是矩形；（2）若AC＝2，∠ABC＝60°，求DE的长．【分析】（1）由菱形的性质得∠BOC＝90°，OC＝AC，推出BE＝OC，即可得出四边形BECO是平行四边形，又由∠BOC＝90°，即可得出结论；（2）由菱形的性质得AC⊥BD，OB＝BD，OC＝AC＝1，AB＝BC，易证△ABC是等边三角形，得出BC＝AC＝2，由勾股定理求出OB＝，则BD＝2，由矩形的性质得出BE＝OC＝1，∠DBE＝90°，再由勾股定理即可得出结果．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴∠BOC＝90°，OC＝OA＝AC，∵BE＝AC，∴BE＝OC，∵BE∥AC，∴四边形BECO是平行四边形，∵∠BOC＝90°，∴四边形BECO是矩形；（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OB＝BD，OC＝AC＝1，AB＝BC，∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴BC＝AC＝2，在Rt△BOC中，由勾股定理得：OB＝＝＝，∴BD＝2OB＝2，由（1）得：四边形BECO是矩形，∴BE＝OC＝1，∠DBE＝90°，在Rt△DBE中，由勾股定理得：DE＝＝＝．【点评】本题考查了平行四边形的判定、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、菱形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的性质和勾股定理是解题的关键．24．（6分）某市各中小学为落实教育部政策，全面开展课后延时服务．市教育局为了解该市中学延时服务情况，随机抽查甲、乙两所中学各100名家长进行问卷调查．家长对延时服务的综合评分记为x，将所得数据分为5组（“很满意”：90≤x≤100；“满意”：80≤x＜90；“比较满意”：70≤x＜80；“不太满意”：60≤x＜70；“不满意”：0≤x＜60），市教育局对数据进行了分析．部分信息如下：c．甲、乙两所中学延时服务得分的平均数、中位数、众数如表：学校平均数中位数众数甲85n83乙817980d．甲中学“满意组”的分数从高到低排列，排在最后的10个数分别是：83，83，83，83，82，81，81，81，80，80．请你根据以上信息，回答下列问题：（1）直接写出m和n的值；（2）根据以上数据，你认为哪所中学的延时服务开展得更好？并说明理由（一条即可）；（3）市教育局指出：延时服务综合得分在70分及以上才算合格，请你估计乙中学1000名家长中认为该校延时服务合格的人数．【分析】（1）根据扇形统计图的意义，各组频率之和为1即可求出m的值，利用中位数的意义可求出甲中学得分的中位数，即n的值；（2）根据平均数、中位数的大小进行判断即可；（3）求出乙中学延时服务合格所占的百分比即可．【解答】解：（1）乙中学“比较满意”所占的百分比为1﹣40%﹣7%﹣18%﹣10%＝25%，即m＝25，∵甲中学“满意组”的分数从高到低排列，排在最后的10个数分别是：83，83，83，83，82，81，81，81，80，80．∴将甲中学的满意度得分从高到低排列后，处在中间位置的两个数的平均数为＝81.5，因此中位数是81.5，即n＝81.5，答：m＝25，n＝81.5；（2）甲中学的延时服务开展得更好，理由如下：因为甲中学延时服务得分的平均数、中位数均比乙中学的高，所以甲中学的延时服务开展得更好；（3）1000×（1﹣7%﹣18%）＝750（人）．答：估计乙中学1000名家长中认为该校延时服务合格的人数为750人．【点评】本题考查扇形统计图，中位数、众数、平均数以及样本估计总体，理解中位数、众数、平均数的意义，掌握中位数、众数、平均数的计算方法是解决问题的前提．25．（5分）阅读下面的材料，回答问题：（1）将关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0变形为x2＝﹣bx﹣c，就可以将x2表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次法”．已知x2﹣x﹣1＝0，用“降次法”求出x4﹣3x+2020的值是2022．（2）解方程x4﹣5x2+4＝0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常。
2022-2023学年北京市海淀区第五十七中学八年级上学期期中考试数学试卷带讲解
【详解】过O分别作 ,垂足分别为
则
在 和 中， ,
,
同理： ,
，∠BCO+∠CBO= ，
.
故答案为：110°.
19.已知：如图，在等边 和等边 中，点A在DE的延长线上，如果 ，那么 __________度．
【答案】35
【分析】根据等边三角形的性质得到 ， ， ，则 ，然后根据“ ”可判断 ，再根据全等的性质即可得到 ．
求作：等腰△ABC，使AB=AC，BC=a，BC边上的高为2a，
作法：如图，
(1)作线段BC=a；
(2)作线段BC的垂直平分线DE交BC于点F；
(3)在射线FD上顺次截取线段FG=GA=a，连接AB，AC，
所以△ABC即为所求作的等腰三角形．
请回答：得到△ABC是等腰三角形的依据是：___________________．
A.( ， )B.(3，5)C.(3． )D.(5， )
【答案】B
【详解】根据关于y轴的对称点：纵坐标相同，横坐标变成相反数，
∴点P关于y轴的对称点的坐标是（3，5），
故选：B
4.如图，左边为参加2019年国庆70周年阅兵的武警摩托车礼宾护卫队，如果将每位队员看成一个点，队形可近似看成由右边所示的若干个正方形拼成的图形，其中与△ABC全等的三角形是（）
故选：D．
【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，四边形内角和以及三角形外角性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造四边形 ，解题时注意：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
10.如图，坐标平面内一点A(2，－1)，O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为( )
北京市第四中学2016-2017学年八年级下学期期中考试英语试题(原卷版)
英语试题语言知识运用四、单项填空。
从下面各题所给的A、B、C、D四个选项中，选择可以填入空白处的最佳选项。
1.The new shirt ______ very soft. What material is this?A. feelsB. looksC. tastesD. sounds2.—Look at the stars. Can we count them clearly?—No. There are ______ stars in the sky.A. two billionsB. billions ofC. billionsD. billion of3.My pen pal Andrew found ______ difficult to learn Chinese well.A. thisB. thatC. itD. them4. ——What a heavy rain！ Will it last long?—— ________ . We are getting into the rainy season now.A. Of course notB. I′m afraid soC. That′s impossibleD. I′m afraid not5.— ______ have you been married?—For twenty years.A. Which yearB. WhenC. How longD. What time6.Tom ______ the CD player for two weeks.A. has knownB. has borrowedC. has boughtD. has had7.What a ______ ! You must clean your room at once.A. pityB. messC. wordD. surprise8.You can ______ a conversation with your partner to practice English.A. pick upB. make upC. look upD. catch up9.—Before I enter the competition, I want to know the ______.—The winner can get a chance to travel.A. prizeB. priceC. reasonD. exam10.The cartoon film Tom and Jerry______ so funny that I used to watch it again and again and every time I couldn’t help ______.A. is; laughingB. was; to laughC. was; laughingD. was; laugh五、完形填空。
北京市中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷含答案
北京2024—2025学年高一年级第一学期数学期中测试题（答案在最后）本试卷共4页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，只收答题纸，不收试卷.一､单选题1.下列说法不正确的是（）A.*0∈N B.0∈NC.0.1∉ZD.2∈Q2.已知集合{}0,1,2A =，则集合{},B x yx A y A =-∈∈∣中元素的个数是（）A.1B.3C.5D.93.某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元.若每批生产x 件，则平均仓储时间为8x天，且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品（）A.60件B.80件C.100件D.120件4.“运动改造大脑”，为了增强身体素质，某班学生积极参加学校组织的体育特色课堂，课堂分为球类项目A ､径赛项目B ､其他健身项目C .该班有25名同学选择球类项目A ，20名同学选择径赛项目B ，18名同学选择其他健身项目C ；其中有6名同学同时选择A 和,4B 名同学同时选择A 和C ，3名同学同时选择B 和C .若全班同学每人至少选择一类项目且没有同学同时选择三类项目，则这个班同学人数是（）A.51B.50C.49D.485.用二分法求函数的零点，经过若干次运算后函数的零点在区间(),a b 内，当a b ε-<（ε为精确度）时，函数零点的近似值02a bx +=与真实零点的误差的取值范围为（）A.0,4ε⎡⎫⎪⎢⎣⎭B.0,2ε⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.[)0,ε D.[)0,2ε6.已知关于x 的不等式210mx mx +->的解集为∅，则实数m 的取值范围是（）A.()(),40,∞∞--⋃+ B.[)4,0- C.][(),40,∞∞--⋃+ D.[]4,0-7.设()f x 是定义在R 上的函数，若存在两个不等实数12,x x ∈R ，使得()()121222f x f x x x f ++⎛⎫=⎪⎝⎭，则称函数()f x 具有性质P ，那么下列函数：①()1,00,0x f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩；②()2f x x =；③()21f x x =-；具有性质P 的函数的个数为（）A.0B.1C.2D.38.已知“非空集合M 的元素都是集合P 的元素”是假命题，给出下列四个命题：①M 中的元素不都是P 的元素；②M 的元素都不是P 的元素；③存在x P ∈且x M ∈；④存在x M ∈且x P ∉；这四个命题中，真命题的个数为（）A.1个B.2个C.3个D.4个9.已知函数()f x =，则()()1212g x f x x =-+-的定义域为（）A.3,2∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭B.()3,22,2∞⎡⎫⋃+⎪⎢⎣⎭C.()3,22,4∞⎡⎫⋃+⎪⎢⎣⎭D.()(),22,∞∞-⋃+10.已知函数()f x m =+，若存在区间[](),1a b b a >≥-，使得函数()f x 在[],a b 上的值域为[]2,2a b ，则实数m 的取值范围是（）A.178m >-B.102m <≤C.2m ≤- D.1728m -<≤-二､填空题11.下列集合：①{}0；②{}21,0,M xx n x n ==+<∈R ∣；③{}∅；④∅；⑤(){}0,0；⑥方程210x+=的实数解组成的集合.其中，是空集的所有序号为__________.12.若集合{}2210M xax x =++=∣只含一个元素，则a =__________.13.若二次函数()y f x =图象关于2x =对称，且()()()01f a f f <<，则实数a 的取值范围是__________.14.若关于x 的不等式212kx x k ≤++≤的解集中只有一个元素，则实数k 的取值集合为__________.15.若关于m 的方程2260m am a -++=的两个实数根是,x y ，则22(1)(1)x y -+-的最小值是__________.三､解答题16.设集合A 中的三个元素分别为,0,1a -，集合B 中的三个元素分别为1,,1c b a b++.已知A B =，求,,a b c 的值.17.已知集合{}(){}{}22224430,10,220A xx ax a B x x a x a C x x ax a =+-+==+-+==+-=∣∣∣，其中至少有一个集合不是空集，求实数a 的取值范围.18.已知关于x 的不等式()221x x a a -->∈R .（1）若1a =，求不等式的解集；（2）若不等式的解集为R ，求实数a 的范围.19.已知函数()2a f x x x =-，且()922f =.（1）求实数a 的值；（2）判断函数()f x 在()1,∞+上的单调性，并证明；（3）求函数()f x 在[]2,3上的最值.20.定义在区间[]0,1上的函数()f x 满足()()010f f ==，且对任意的[]12,0,1x x ∈都有()()12122x x f f x f x +⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭.（1）证明：对任意的[]0,1x ∈都有()0f x ≥；（2）求34f ⎛⎫⎪⎝⎭的值；（3）计算202411112422k f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.21.已知函数()()2f x x x a x a =-+∈R .（1）若函数()f x 在R 上单调递增，求实数a 的取值范围；（2）若存在实数[]0,4a ∈使得关于x 的方程()()0f x tf a -=恰有三个不相等的实数根，求实数t 的取值范围.答案一､单选题1.A2.C3.B4.B5.B6.D7.C8.B9.C10.D二､填空题11.②④⑥12.0或113.()(),04,∞∞-⋃+14.12,22⎧-+⎪⎨⎪⎪⎩⎭15.8三､解答题16.因为1,0A B a b=≠+，所以10,1,1c b a a b+==-=+，解得1,2,2a b c ==-=，所以,,a b c 的值分别为1,2,2-.17.当三个集合全是空集时，所对应的三个方程都没有实数解，即()2122223Δ164430,Δ(1)40,Δ480.a a a a a a ⎧=--+<⎪=--<⎨⎪=+<⎩解此不等式组，得312a -<<-.所以所求实数a 的取值范围为[)3,1,2∞∞⎛⎤--⋃-+ ⎥⎝⎦.18.（1）1a =时，原不等式为2211x x -->，整理，得2220x x -->，对于方程2220x x --=，因为Δ120=>，所以它有两个不等的实数根，解得1211x x ==+结合函数222y x x =--的图象得不等式的解集为{1x x <-∣或1x >+.（2）原不等式可化为2210x x a --->，由于不等式解集为R ，结合函数221y x x a =---图象可知，方程2210x x a ---=无实数根，所以()Δ441840a a =++=+<，所以a 的范围是{2}aa <-∣.19.（1）因为()2a f x x x =-，且()922f =，所以9422a -=，所以1a =-.（2）函数()f x 在()1,∞+上单调递增.证明如下：由（1）可得，()12f x x x=+，任取()12,1,x x ∞∈+，不妨设12x x <，则()()2121211122f x f x x x x x ⎛⎫-=+-+ ⎪⎝⎭()2121112x x x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭()1221122x x x x x x -=-+()211212x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()()21121221x x x x x x --=因为()12,1,x x ∞∈+且12x x <，所以2112120,210,0x x x x x x ->->>，所以()()210f x f x ->，即()()21f x f x >，所以()f x 在()1,∞+上单调递增.（3）由（2）知，函数()f x 在[]2,3上单调递增，则当2x =时，()f x 有最小值()922f =；当3x =时，()f x 有最大值()1933f =.20.（1）任取[]120,1x x x ==∈，则有()()22x f f x f x ⎛⎫≤+⎪⎝⎭，即()()2f x f x ≤，于是()0f x ≥，所以，对任意的[]0,1x ∈都有()0f x ≥.（2）由()()010f f ==，得()()01010002f f f +⎛⎫≤+=+=⎪⎝⎭，于是102f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，但由（1）的结果知102f ⎛⎫≥⎪⎝⎭，所以102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，由()10,102f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，则()1112100022f f f ⎛⎫+ ⎪⎛⎫≤+=+= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭，于是304f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，由（1）的结果知304f ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，所以304f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.（3）由()100,02f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，得()1012000022f f f ⎛⎫+ ⎪⎛⎫≤+=+= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭，于是104f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，但由（1）的结果知104f ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，所以211042f f ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，继续求下去，可得10,1,2,3,,20242k f k ⎛⎫== ⎪⎝⎭，因此，2024111102422k f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++=⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.21.（1）()()()222,22,x a x x a f x x x a x x a x x a ⎧+-≥⎪=-+=⎨-++<⎪⎩.由()f x 在R 上是增函数，则2,22,2a a a a -⎧≥-⎪⎪⎨+⎪≤⎪⎩即22a -≤≤，则a 范围为22a -≤≤.（2）当22a -≤≤时，()f x 在R 上是增函数，则关于x 的方程()()0f x tf a -=不可能有三个不等的实数根.当(]2,4a ∈时，由()()()222,2,x a x x a f x x a x x a ⎧+-≥⎪=⎨-++<⎪⎩，得x a ≥时，()()22f x x a x =+-对称轴22a x -=，则()f x 在[),x a ∞∈+为增函数，此时()f x 的值域为())[),2,f a a ∞∞⎡+=+⎣；x a <时，()()22f x x a x =-++对称轴22a x +=，则()f x 在2,2a x ∞+⎛⎤∈- ⎥⎝⎦为增函数，此时()f x 的值域为2(2),4a ∞⎛⎤+- ⎥⎝⎦，()f x 在2,2a x ∞+⎡⎫∈+⎪⎢⎣⎭为减函数，此时()f x 的值域为2(2)2,4a a ⎛⎤+ ⎥⎝⎦；由存在(]2,4a ∈，方程()()2f x tf a ta ==有三个不相等的实根，则2(2)22,4a ta a ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，即存在(]2,4a ∈，使得2(2)1,8a t a ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭即可，令()2(2)8a g a a+=，只要使()max ()t g a <即可，而()g a 在(]2,4a ∈上是增函数，()max 9()48g a g ==，故实数t 的取值范围为91,8⎛⎫ ⎪⎝⎭.综上所述，实数t 的取值范围为91,8⎛⎫⎪⎝⎭.。
2016-2017年度北京市第四中学初一下学期期中考试数学试卷(含答案)
54D3E21CB A数学试卷（考试时间100分钟，试卷满分120分）班级学号_________ 姓名分数__________一．选择题：（每题3分，共30分）1．2的平方根是（）A ．4B ．2C ．2D ．22．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（）A ．1cm ，2cm ，4cmB ．8cm ，6cm ，4cmC ．12cm ，5cm ，6cmD ．2cm ，3cm ，6cm3．平面直角坐标系中, 点(1,-2)在（）A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限4．若23132a b a b ，则a b ，的大小关系为（）A ．ab B ．a b C ．a bD ．不能确定5．如图，CA ⊥BE 于A ，AD ⊥BF 于D ，下列说法正确的是（）A ．α的余角只有∠B B ．α的邻补角是∠DAC C ．∠ACF 是α的余角D ．α与∠ACF 互补6．如图，直线AB 与直线CD 相交于点O ，E 是AOD 内一点，已知OE ⊥AB ，45BOD ，则COE 的度数是（）A 、125B 、135C 、145D 、1557．如图，下列能判定AB ∥CD 的条件有()个.(1) 180BCD B ；(2)21；(3) 43；(4) 5B.A.1B.2C.3D.48．“鸡兔同笼”是我国民间流传的诗歌形式的数学题：“鸡兔同笼不知数，三十六头笼中露，看来脚有100只，几多鸡儿几多兔？”解决此问题，设鸡为x 只，兔为y 只，则所列方程组正确的是（）A ．362100x y xyB ．3642100x y xy C ．3624100x y x yD ．3622100x y x y 第5题 ACBEDO第6题第7题9．下列四个命题，真命题的个数为（）（1) 坐标平面内的点与有序实数对一一对应，（2）若a ＞0，b 不大于0,则P （－a ，b)在第三象限内（3）在x 轴上的点，其纵坐标都为（4）当m ≠０时，点P （m 2，－m ）在第四象限内A. 1B. 2C ．3D. 410．如果不等式组1＜x ≤２x ＞－m 有解，那么m 的取值范围是（）A ．m ＞1B ．m ≤2C ．1＜m ≤2D ．m ＞－2二．填空题（每空2分，共28分）11．如图，直线a b ，被直线c 所截，若a b ∥，160°，则2°．12. 比较大小：8327.13. 等腰三角形一边等于4，另一边等于2，则周长是．14. 关于x 的不等式23x a的解集如图所示，则a 的值是．15．在长为a m ，宽为b m 的一块草坪上修了一条1m 宽的笔直小路，则余下草坪的面积可表示为m 2；现为了增加美感，把这条小路改为宽恒为1m 的弯曲小路（如图），则此时余下草坪的面积为m 2．16. 如果点)2,(x x 到x 轴的距离为4，则这点的坐标是．17. 已知a 是10的整数部分，b 是它的小数部分，则23)3b()a (=.18．已知点M (3a 8, a 1).(1) 若点M 在第二、四象限角平分线上, 则点M 的坐标为______________; (2) 若点M 在第二象限, 并且a 为整数, 则点M 的坐标为_________________;(3) 若N 点坐标为(3, 6), 并且直线MN ∥x 轴, 则点M 的坐标为___________ .19．如图，已知，AB//CD ，B 是AOC 的角平分线OE 的反向延长线与直线AB 的交点，若75,AC 7.5,ABE 则C°.12c a b第11题第14题第19题DEAOCB20．如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标和纵坐标都是整数的点，其顺序排列规律如下：（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0），…，根据这个规律探究可得，第100个点的坐标为__________；第2017个点的坐标为__________．三、解答题（共10题，共计42分）21. （4分）计算2372276422.（3分）求不等式的非正整数．．．．解：372211x x 23.（4分）解不等式组，并把它的解集表示在数轴上：3(1)7251.3x x xx ≤，①②24．（4分）完成下面的证明：已知，如图，AB ∥CD ∥GH ，EG 平分∠BEF ，FG 平分∠EFD ，求证：∠EGF=90°证明：∵HG ∥AB ，HG ∥CD (已知) ;∴∠1=∠3 ∴∠2=∠4( ).∵AB ∥CD(已知);∴∠BEF+___________=180°().又∵EG 平分∠BEF ，FG 平分∠EFD(已知) ∴∠1=21∠_____________∠2=21∠_____________( ).∴∠1+∠2=21(___________+______________).∴∠1+∠2=90°;∴∠3+∠4=90°，即∠EGF=90°.25．（3分）已知实数x 、y 满足231220x y x y ，求y x58的平方根.26．（4分）已知: 如图, ∠C = ∠1, ∠2和∠D 互余, BE ⊥FD 于G.求证:CD AB //.AF BCE DG21DG A E BHCF123 427．(4分)已知在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为：A（1，4），B（1，1），C（3，2）.（1）将△ABC先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到△A1B1C1，请写出A1，B1，C1三个点的坐标，并在图上画出△A1B1C1；（2）求△A1B1C1的面积．28．（5分）如图，在△ABC中，∠B=∠C，∠BAD=40°，且∠ADE=∠AED，求∠CDE的度数．，两29．（5分）某地为更好治理湖水水质，治污部门决定购买10台污水处理设备．现有A B 种型号的设备，其中每台的价格，月处理污水量如下表：A型B型价格（万元/台）a b处理污水量（吨/月）240 200经调查：购买一台A型设备比购买一台B型设备多2万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少6万元．，的值．（1）求a b（2）经预算：治污部门购买污水处理设备的资金不超过105万元，你认为该部门有哪几种购买方案．（3）在（2）问的条件下，若每月要求处理的污水量不低于2040吨，为了节约资金，请你为治污部门设计一种最省钱的购买方案．30．（6分）对于长方形OABC ，OC AB //, BC AO //, O 为平面直角坐标系的原点，OA ＝5，OC ＝3，点B 在第三象限．（1）求点B 的坐标；（2）如图1，若过点B 的直线BP 与长方形OABC 的边交于点P ，且将长方形OABC 的面积分为1:4两部分，求点P 的坐标；（3）如图2，M 为x 轴负半轴上一点，且∠CBM ＝∠CMB ，N 是x 轴正半轴上一动点，∠MCN的平分线CD 交BM 的延长线于点D ，在点N 运动的过程中，D CNM的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由.xyOACBx yOA CBMN D图1图2附加题（共20分，第1、2题各5分，第3题4分、第4题6分）1．已知n 、k 均为正整数，且满足815＜n n ＋k＜713，则n 的最小值为_________．2. 如图，平面直角坐标系内，ACBC ，M 为AC 上一点，BM 平分ABC 的周长，若6AB，3.6BMCS，则点A 的坐标为.3. 如图，直线a ∥b ，3-2=2-1=d 0.其中390，1=50.求4度数最大可能的整数值.4. 如图，A 和B 两个小机器人，自甲处同时出发相背而行，绕直径为整数米的圆周上运动，15分钟内相遇7次，如果A 的速度每分钟增加6米，则A 和B 在15分钟内相遇9次，问圆周直径至多是多少米？至少是多少米？（取314.）yxO B ACM321ab4数学试卷答案一．选择题（每小题3分，共30分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 DBDDABCCBD二．填空题（每空2分，共28分）11．60 12．>13．10 14．115．a(b-1) a(b-1) 16. (2,4) 或(-2,-4) 17．-1718．(1) )45,45( (2) (-2,1) (3) (-23,-6) 19．4020. (14,8) (63,3)三．解答题（共42分）21. (4分)23722764|7|2382122.(3分))7(212)1(36x x 14212336x x 115x511x非正整数解 -2,-1,0 23. (4分) 解：由得，2x,由得，21x不等式组的解集为212-x-12-224. (4分) 两直线平行，内错角相等∠EFD两直线平行，同旁内角互补∠BEF∠EFD 角平分线的定义∠BEF∠EFD25. (3分)解：由题意得，220132yx y x ，解得58yx 1658yx所以y x58的平方根为4.26. (4分) 证明：G FD BE于点90BGE 901D 又互余和D 221(同角的余角相等) 又1C 2CCD AB // (内错角相等，两直线平行)27. (4分) (1))0,2(1A )3,2(1B )2,0(1C (2) 328. (5分)20CDE 29.(5分) 解：(1)由题意得，6322b ab a ，解得1012b a .(2)设买x 台A 型，则买 (10-x)台B 型，有105)10(1012x x 解得25x答：可买10台B 型；或 1台A 型，9台B 型；或2台A 型，8台B 型.(3)设买x 台A 型，则由题意可得2040)10(200240x x解得1x 当x=1时，花费102910112 (万元)当x=2时，花费104810212 (万元)答：买1台A 型，9台B 型设备时最省钱.30.(6分) (1) (-5,-3)(2) 当点P 在x 轴上时，设P(x,0)，则有x<0且3|5|21353|5|214x x 解得3x )0,3(P 当点P 在y 轴上时，设P(0,y)，则有y<0且5|3|21355|3|214y y 解得59y )59,0(P P(-3,0)或)59,0(P (3) 不变. 设x CMBCBM ,y DCN MCD ，则y x CNMy xD 22,21CNM D附加题（共20分）1.（5分）152.（5分） (0,2.4)3.（4分）解：∵∠4-∠3=∠3-∠2，∴∠4=2∠3-∠2，又∵∠3-∠2=∠2-∠1，∠1=50°，∴2∠2=∠3+50°，∴2∠4=4∠3-2∠2=4∠3-∠3-50°=3∠3-50°，∴∠3=24503，而∠3＜90°，∴24503＜90°，∴∠4＜110°，∴∠4的最大可能的整数值是109°．4. （6分）解：设圆的直径为d ，A 和B 的速度和是每分钟v 米，则d v d8157①d v d 10)6(159②②-①得d d36159030d 28.6624d 9.5541429d 9答：圆周直径至多是28米，至少是10米.解法二：由于圆的直径为D ，则圆周长为πD ．设A 和B 的速度和是每分钟v 米，一次相遇所用的时间为Dv 分；他们15分钟内相遇7次，用数学语言可以描述为151587v DD v ①如果A 的速度每分钟增加6米，A 加速后的两个机器人的速度和是每分钟v+6米，则A 和B 在15分钟内相遇9次，用数学语言可以描述为1515(6)109v DD v ②本题不是列方程，而是列不等式来描述题设的数量关系，这对一般学生可能比较生疏，体现了基本技能的灵活性．由①，得871515v D ，由②，得10691515v D ，上面两式相加，则有369030,1515DD，28.6624＞D＞9.55414，29＞D＞9．已知“圆的直径为整数米”，所以，圆周直径至多是28米，至少是10米．。
2022-2023学年北京市第十三中学分校八年级上学期期中考试数学试卷含详解
2022—2023学年度北京市第十三中学分校第一学期期中八年级数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）1.下列运算中，结果正确的是（）A.()325a a = B.()2236a a = C.623a a a ÷= D.235a a a ⋅=2.如图，用三角板画ABC ，BC 边上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（）.A. B. C. D.3.下列从左到右的变形中，是因式分解的是（）A .2(1)+-=+-a a b a ab a B.22(1)2--=--a a a a C.2249(23)(23)a b a b a b -=-+ D.121(2)x x x+=+4.课堂上，老师组织大家用小棒摆三角形.已知三条线段的长分别是44m ，，，若它们能构成三角形，则整数m 的最大值．．．是（）A.10B.8C.7D.45.将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则α∠的大小为（）A.85︒B.75︒C.65︒D.60︒6.如图是一个平分角的仪器，其中AB AD =，BC DC =．将点A 放在一个角的顶点，AB 和AD 沿着这个角的两边放下，利用全等三角形的性质就能说明射线AC 是这个角的平分线，这里判定 ABC 和 ADC 是全等三角形的依据是（）A.SSSB.ASAC.SASD.AAS7.某中学要举行校庆活动，现计划在教学楼之间的广场上搭建舞台．已知广场中心有一座边长为b 的正方形的花坛，学生会提出两个方案：方案一：如图1，绕花坛搭建外围是正方形的“回”字形舞台（阴影部分），面积为1S ；方案二：如图2，在花坛的三面搭建“凹”字形舞台（阴影部分），面积为2S ；具体数据如图所示，则1S 与2S 的大小关系（）A.12S S =B.12S S <C.12S S >D.以上结论都不对8.在△ABD 与△ACD 中，∠BAD ＝∠CAD ，且B 点，C 点在AD 边两侧，则不一定能使△ABD 和△ACD 全等的条件是（）A.BD ＝CD B.∠B ＝∠C C.AB ＝AC D.∠BDA ＝∠CDA二、填空题（本题共16分，每小题2分）9.计算：()01π-=_____．10.如图，菊花1角硬币为外圆内正九边形的边缘异形币，则该正九边形的一个内角大小为___________．11.如图，要测量池塘两岸相对的两点A 、B 的距离，可以在AB 的垂线BF 上取两点C 、D ，使BC ＝CD ，再作出BF 的垂线DE ，使A 、C 、E 三点在一条直线上，这时测得_________的长就等于AB 的长．12.若多项式2x ax b ++可以写成()2x m +的形式，且0ab ≠，则a 的值可以是______，b 的值可以是______（写出一组符合条件的a b 、的值即可）13.如图，△ABC ≌△DEB ，AB=DE ，∠E=∠ABC ，则∠C 的对应角为_______.，BD 的对应边为_______.14.在课堂上，老师发给每人一张印有Rt A B C ''' （如图所示）的卡片，然后，要同学们尝试画一个Rt ABC △，使得t Rt R A B ABC C ''' ≌.小赵和小刘同学先画出了90MBN ∠=︒之后，后续画图的主要过程分别如图所示老师评价：他俩的做法都正确.请你选择一位同学的做法，并说出其作图依据.我选______的做法（填“小赵”或“小刘”），他作图判定t Rt R A B ABC C ''' ≌的依据是______15.已知长方形ABCD 可以按图所示方式分成九部分，在a b ，变化的过程中，下面说法正确的有______（请将所有正确的编号填在横线上）①图中存在三部分的周长之和恰好等于长方形ABCD 的周长②长方形ABCD 的长宽之比可能为2③当长方形ABCD 为正方形时，九部分都为正方形④当长方形ABCD 的周长为60时，它的面积可能为10016.如图，图中的方格均是边长为1的正方形，每一个正方形的顶点都称为格点.图① ⑥中，这些多边形的顶点都在格点上，且其内部没有格点，像这样的多边形我们称为“内空格点多边形”（1）当内空格点多边形边上的格点数为10时，此多边形的面积为______；（2）设内空格点多边形边上的格点数为L ，面积为S ，请用等式表示L 与S 的关系______三、解答题（共68分）；17.计算（1）()3422ab a b -⋅（2）()2215105x y xy xy-÷18.已知：如图，点C 为AB 中点，CD=BE ，CD ∥BE.求证:△ACD ≌△CBE.19.分解因式：（1）22363a ab b -+；（2）()()2222x m y m -+-．20.已知3x 2﹣x ﹣1＝0，求代数式（2x +5）（2x ﹣5）+2x （x ﹣1）的值．21.已知：直线l 和l 外一点P ，求作：直线l 的垂线．使它经过点P作法：①在直线l 上任取两点A B 、；②分别以点A B 、为圆心，AP BP ，长为半径作弧，在直线l 下方两弧交于点C ；③作直线PC ，交直线l 于点O所以直线PC为所求作的垂线（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明证明：连接AP AC BP BC、、、∵在APB △与ACB △中AP AC BP BC AB AB =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴APB ACB △≌△（______）（填推理依据）∴PAB CAB ∠=∠（______）（填推理依据）∴在APO △与ACO △中AP AC PAB CAB AO AO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩APO ACO △≌△（______）（填推理依据）∴POA COA∠=∠∵PC 是直线∴90POA COA ∠=∠=°，即PC AB⊥22.已知：如图，点A E F C 、、、在同一条直线上，DF BE =，B D ∠=∠，AD BC∥求证：EB DF ∥.23.如图,在Rt △ABC 中,∠B =90°．()1作出,∠BAC 的平分线AM ； (要求：尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)()2若∠BAC 的平分线AM 与BC 交于点D ,且B D=3,AC =10,则 DAC 的面积为______．24.阅读下列材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”下面是小涵同学用换元法对多项式22(41)(47)7x x x x -+-+-进行因式分解的过程解：设24x x y -=①，将①带入原式后，原式(1)(7)7y y =++-（第一步）28y y =+（第二步）(8)y y =+（第三步）22(4)(48)x x x x =--+（第四步）请根据上述材料回答下列问题：（1）小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的______方法；（2）老师说，小涵因式分解的结果不彻底，请你通过计算得出该因式分解的最后结果；（3）请你用“换元法”对多项式2222()(2)(1)(1)1x x x x x x x x +++++++-+进行因式分解25.课上，老师提出了这样一个问题：已知：如图，AD AE =，请你再添加一个条件．．．．，使得△≌△ADB AEC （1）同学们认为可以添加的条件并不唯一，你添加的条件是______，并完成证明（2）若添加的条件是OE OD =，证明：△≌△ADB AEC26.小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于x 的多项式223x x -+，由于2223(1)2x x x -+=-+，所以当1x -取任意一对互为相反数的数时，多项式223x x -+的值是相等的．例如，当11x -=±，即2x =或0时，223x x -+的值均为3；当12x -=±，即3x =或1-时，223x x -+的值均为6．于是小明给出一个定义：对于关于x 的多项式，若当x t -取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于x t =对称．例如223x x -+关于1x =对称．请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题：（1）多项式246x x -+关于x =对称；（2）若关于x 的多项式223x bx ++关于3x =对称，求b 的值；（3）整式()()2281644x x x x ++-+关于x =对称．27.如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，点D 为AB 边上一点（不与点A ，B 重合），作射线CD ，过点A 作AE ⊥CD 于E ，在线段AE 上截取EF ＝EC ，连接BF 交CD 于G ．（1）依题意补全图形；（2）求证：∠CAE ＝∠BCD ；（3）判断线段BG 与GF 之间的数量关系，并证明．28.我们知道，数轴上表示1x ，2x 的两个点之间的距离可以记为12d x x =-．类似地，在平面直角坐标系xOy 中，我们规定：任意两点()11,M x y ，()22,N x y 之间的“折线距离”为()1212,d M N x x y y =-+-．例如，点()3,9P 与()5,2Q -之间的折线距离为()(),359221113d P Q =-+--=+=．回答下列问题：（1）已知点A 的坐标为()2,0．①若点B 的坐标为()3,6-，则(),d A B =______；②若点C 的坐标为()1,t ，且(),5d A C =，则t =______；③若点D 是直线y x =上的一个动点，则(),d A D 的最小值为______；（2）已知O 点为坐标原点，若点(),E x y 满足(),1d E O =，请在图1中画出所有满足条件的点E 组成的图形．2022—2023学年度北京市第十三中学分校第一学期期中八年级数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）1.下列运算中，结果正确的是（）A.()325a a = B.()2236a a = C.623a a a ÷= D.235a a a ⋅=【答案】D【分析】根据幂的乘方，积的乘方运算法则，同底数幂的乘除法逐项分析判断即可【详解】解：A.()326a a =，故该选项不正确，不符合题意；B.()2239a a =，故该选项不正确，不符合题意；C.624a a a ÷=，故该选项不正确，不符合题意；D.235a a a ⋅=，故该选项正确，符合题意；故选D【点睛】本题考查了幂的乘方，积的乘方运算法则，同底数幂的乘除法，掌握以上运算法则是解题的关键．2.如图，用三角板画ABC ，BC 边上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（）.A. B. C. D.【答案】A【分析】根据三角形作高的方法逐项判断即可．【详解】解：选项A 作的是BC 边上的高，符合题意；选项B 作的是AB 边上的高，不符合题意；选项C 中三角板未过点C ，故作的不是高，不符合题意；选项D 作的是AC 边上的高，不符合题意．故选：A ．【点睛】本题考查了三角形高的作法，作边BC 边的高，应从顶点A 向BC 作垂线段，垂足落在直线BC 上，熟练掌握知识点是解题的关键．3.下列从左到右的变形中，是因式分解的是（）A.2(1)+-=+-a a b a ab aB.22(1)2--=--a a a aC.2249(23)(23)a b a b a b -=-+D.121(2)x x x+=+【答案】C【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．【详解】解：A ．从左到右的变形是整式的乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；B ．等式的右边不是几个整式积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；C ．从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；D ．等式的右边不是几个整式积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义是解此题的关键．4.课堂上，老师组织大家用小棒摆三角形.已知三条线段的长分别是44m ，，，若它们能构成三角形，则整数m 的最大值．．．是（）A.10B.8C.7D.4【答案】C 【分析】根据三角形第三边取值范围求得不等式的解集，然后求最大整数解即可求解．【详解】解：∵三条线段的长分别是44m ，，，能构成三角形，∴044m <<+，即08m <<，且m 为整数，∴m 的最大整数解7，故选：C ．【点睛】本题考查了三角形三边关系，求不等式的最大整数解，理解题意是解题的关键．5.将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则α∠的大小为（）A.85︒B.75︒C.65︒D.60︒【答案】B 【分析】先根据直角三角板的性质得出∠ACD 的度数，再由三角形内角和定理即可得出结论．【详解】解：如图所示，由一副三角板的性质可知：∠ECD =60°，∠BCA =45°，∠D =90°，∴∠ACD =∠ECD －∠BCA =60°－45°=15°，∴∠α=180°－∠D －∠ACD =180°－90°－15°=75°，故选：B ．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．6.如图是一个平分角的仪器，其中AB AD =，BC DC =．将点A 放在一个角的顶点，AB 和AD 沿着这个角的两边放下，利用全等三角形的性质就能说明射线AC 是这个角的平分线，这里判定 ABC 和 ADC 是全等三角形的依据是（）A.SSSB.ASAC.SASD.AAS【答案】A 【分析】原来已经有两条边相等，垂下的射线是两个三角形的公共边，故三边分别对应相等．【详解】在△ADC 和△ABC 中∵AD AB DC BC AC AC =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以△ADC ≌△ABC （SSS ）故选A ．【点睛】本题考查全等三角形的判定，理解并掌握三角形全等的判定定理是解决本题关键．7.某中学要举行校庆活动，现计划在教学楼之间的广场上搭建舞台．已知广场中心有一座边长为b 的正方形的花坛，学生会提出两个方案：方案一：如图1，绕花坛搭建外围是正方形的“回”字形舞台（阴影部分），面积为1S ；方案二：如图2，在花坛的三面搭建“凹”字形舞台（阴影部分），面积为2S ；具体数据如图所示，则1S 与2S 的大小关系（）A.12S S = B.12S S < C.12S S > D.以上结论都不对【答案】C 【分析】先根据图形中已知条件，利用正方形和长方形的面积公式求出1S 与2S ，然后再根据1S 与2S 差的符号比较大小即可．【详解】解：方案一：221S a b =-；方案二：22()()22a a Sb a b b =++--=2()()a b a b b +--=222a b -，222212(2)S S a b a b -=--- =22222a b a b --+=20b >，12S S ∴>，故选C ．【点睛】此题考查了正方形与长方形的面积公式、整式的加减运算、不等式的性质等知识，熟练掌握相关知识的应用是解答此题的关键．8.在△ABD 与△ACD 中，∠BAD ＝∠CAD ，且B 点，C 点在AD 边两侧，则不一定能使△ABD 和△ACD 全等的条件是（）A.BD ＝CDB.∠B ＝∠CC.AB ＝ACD.∠BDA ＝∠CDA【答案】A【分析】利用全等三角形判定定理ASA ，SAS ，AAS 对各个选项逐一分析即可得出答案．【详解】解：A 、∵∠BAD ＝∠CAD ，AD 为公共边，若BD ＝CD ，不符合全等三角形判定定理，不能判定△ABD ≌△ACD ；B 、∵∠BAD ＝∠CAD ，AD 为公共边，若∠B ＝∠C ，则△ABD ≌△ACD （AAS ）；C 、∵∠BAD ＝∠CAD ，AD 为公共边，若AB ＝AC ，则△ABD ≌△ACD （SAS ）；D 、∵∠BAD ＝∠CAD ，AD 为公共边，若∠BDA ＝∠CDA ，则△ABD ≌△ACD （ASA ）；故选：A ．【点睛】此题主要考查学生对全等三角形判定定理的理解和掌握，此题难度不大，属于基础题.二、填空题（本题共16分，每小题2分）9.计算：()01π-=_____．【答案】1【分析】根据零指数幂的意义即可求出答案．【详解】∵10π-≠，∴()011π-=，故答案为1.【点睛】本题考查零指数幂的意义，解题的关键是熟练运用零指数幂的意义，本题属于基础题型．10.如图，菊花1角硬币为外圆内正九边形的边缘异形币，则该正九边形的一个内角大小为___________．【答案】140°##140度【分析】根据正多边形的内角公式：一个内角的度数180(2)n n ︒-=，代入即可得出答案．【详解】解：代入正多边形的内角公式得：正九边形的一个内角度数180(92)1409︒⨯-==︒故答案为：140°．【点睛】本题考查了求正多边形内角度数，掌握正多边形内角公式是本题的关键．11.如图，要测量池塘两岸相对的两点A 、B 的距离，可以在AB 的垂线BF 上取两点C 、D ，使BC ＝CD ，再作出BF 的垂线DE ，使A 、C 、E 三点在一条直线上，这时测得_________的长就等于AB 的长．【答案】DE【分析】由对顶角相等，两个直角相等及BC ＝CD ，可以判断两个三角形全等；所以AB ＝DE ．【详解】解：根据题意可知：∠B ＝∠D ＝90°，BC ＝CD ，∠ACB ＝∠ECD ，即90B D BC CD ACB ECD ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ABC ≌△EDC （ASA ），∴AB ＝DE ．故答案为：DE ．【点睛】此题主要考查了全等三角形的应用，解答本题的关键是设计三角形全等，巧妙地借助两个三角形全等，寻找所求线段与已知线段之间的等量关系，做题时要认真观察图形，根据已知选择方法.12.若多项式2x ax b ++可以写成()2x m +的形式，且0ab ≠，则a 的值可以是______，b 的值可以是______（写出一组符合条件的a b 、的值即可）【答案】①.2②.1【分析】根据题意写出一个完全平方公式即可求解．【详解】解：∵2x ax b ++可以写成()2x m +的形式，且0ab ≠，又∵()22211x x x ++=+，∴2,1a b ==，故答案为：2,1（答案不唯一）．【点睛】本题考查了完全平方式，掌握完全平方公式是解题的关键．13.如图，△ABC ≌△DEB ，AB=DE ，∠E=∠ABC ，则∠C 的对应角为_______.，BD 的对应边为_______.【答案】①.∠DBE ②.CA【分析】要找准对应边、对应角要根据告诉的已知条件，并结合图形，一般来说，大对大，小对小，中间对中间，本题中∠C，∠DBE 是处于中间大小的角，是对应角，BD 与CA 时最短的边，是对应边．【详解】解：∵△ABC≌△DEB，AB=DE，∠E=∠ABC，∴∠C 的对应角为∠DBE，BD 的对应边为CA．【点睛】本题考查的知识点为：全等三角形的对应边，对应角的找法．应注意各对应顶点在书写时应在同一位置，解题关键是找准对应边和对应角．14.在课堂上，老师发给每人一张印有Rt A B C ''' （如图所示）的卡片，然后，要同学们尝试画一个Rt ABC △，使得t Rt R A B ABC C ''' ≌.小赵和小刘同学先画出了90MBN ∠=︒之后，后续画图的主要过程分别如图所示老师评价：他俩的做法都正确.请你选择一位同学的做法，并说出其作图依据.我选______的做法（填“小赵”或“小刘”），他作图判定t Rt R A B ABC C ''' ≌的依据是______【答案】①.小刘(或小赵)②.HL （或SAS ）【分析】由图可知小赵同学确定的是两条直角边，根据三角形全等判定定理为SAS ．由图可知小刘同学确定了一个直角边和斜边，根据三角形全等判定定理为HL ．【详解】小赵同学画了90MBN ∠=︒后，再截取,AB BC 两直角边等于两已知线段，所以确定的依据是SAS 定理；小刘同学画了90MBN ∠=︒后，再截取,BC AC 一直角边和一个斜边，所以确定的依据是HL 定理．故答案为：小刘(或小赵)；HL （或SAS ）【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握每种证明方法，做出判断是解题的关键．15.已知长方形ABCD 可以按图所示方式分成九部分，在a b ，变化的过程中，下面说法正确的有______（请将所有正确的编号填在横线上）①图中存在三部分的周长之和恰好等于长方形ABCD 的周长②长方形ABCD 的长宽之比可能为2③当长方形ABCD 为正方形时，九部分都为正方形④当长方形ABCD 的周长为60时，它的面积可能为100【答案】①③##③①【分析】根据矩形面积关系和整式运算法则进行分析即可．【详解】如图，根据平移性质可得，图中123ABCD C C C C ++=四边形，故①正确；若长方形ABCD 的长宽之比为2，则2122a b b a +=+，242b a a b +=+，此等式不成立，故②错误；当长方形ABCD 为正方形时，22a b b a +=+，即a b =，所以九部分都为正方形，故③正确；当长方形ABCD 的周长为60时，()22260a b b a +++=，即10a b +=，所以四边形ABCD 的面积=()()()2222221060a b b a a b ab ab ++=++=⨯+>；故④错误；故答案为：①③．【点睛】本题考查了整式运算的应用，理解矩形面积关系是关键．16.如图，图中的方格均是边长为1的正方形，每一个正方形的顶点都称为格点.图① ⑥中，这些多边形的顶点都在格点上，且其内部没有格点，像这样的多边形我们称为“内空格点多边形”（1）当内空格点多边形边上的格点数为10时，此多边形的面积为______；（2）设内空格点多边形边上的格点数为L ，面积为S ，请用等式表示L 与S 的关系______【答案】①.4②.112S L =-【分析】（1）由图形可知当内空格点多边形边上的格点数为10时，，此多边形面积为四个小正方形面积；（2）① ⑥中格点图形找到规律即可．【详解】（1）由图形可知当内空格点多边形边上格点数为10时，此多边形面积为四个小正方形面积，即414⨯=；（2）当格点为3时，内空格点三变形的面积为113122=⨯-；当格点为4时，内空格点三变形的面积为11412=⨯-；当格点为5时，内空格点三变形的面积为315122=⨯-；……以此类推，当格点为L 时，内空格点三变形的面积为112S L =-．故答案为：4，112S L =-【点睛】本题考查规律问题，需要根据图中表格和计算的数据，总结规律，需仔细观察和计算．三、解答题（共68分）；17.计算（1）()3422ab a b -⋅（2）()2215105x y xy xy-÷【答案】（1）758a b -（2）32x y-【分析】（1）根据积的乘方以及同底数幂的乘法进行计算即可求解；（2）根据多项式除以单项式进行计算即可求解．【小问1详解】解：()3422ab a b -⋅33428·a b a b =-758a b =-；【小问2详解】解：()2215105x y xy xy-÷32x y =-．【点睛】本题考查了积的乘方以及同底数幂的乘法，多项式除以单项式，掌握运算法则是解题的关键．18.已知：如图，点C 为AB 中点，CD=BE ，CD ∥BE.求证:△ACD ≌△CBE.【答案】证明见解析.【详解】试卷分析：根据中点定义求出AC=CB ，根据两直线平行，同位角相等，求出∠ACD=∠B ，然后利用SAS 即可证明△ACD ≌△CBE ．试卷解析：证明：∵CD ∥BE ，∴∠ACD=∠B..∵点C 为AB 中点，∴AC=CB.又∵CD=BE ，∴△ACD ≌△CBE （SAS ）考点：1.平行的性质；2全等三角形的判定.19.分解因式：（1）22363a ab b -+；（2）()()2222x m y m -+-．【答案】（1）23()a b -；（2）()()()2m x y x y -+-【分析】（1）先提公因数3，再利用完全平方公式公式分解因式即可；（2）先提公因式（m －2），再利用平方差公式分解因式即可．【详解】解：（1）22363a ab b -+=223(2)a ab b -+=23()a b -；（2）()()2222x m y m -+-=()()222m x y --=()()()2m x y x y -+-．【点睛】本题考查因式分解、完全平方公式、平方差公式，熟记公式，熟练掌握因式分解的方法是解答的关键．20.已知3x 2﹣x ﹣1＝0，求代数式（2x +5）（2x ﹣5）+2x （x ﹣1）的值．【答案】-23【分析】首先利用平方差公式、多项式乘以单项式进行计算，然后再合并同类项，化简后，再代入求值即可．【详解】解：原式＝4x 2﹣25+2x 2﹣2x ＝6x 2﹣2x ﹣25，∵3x 2﹣x ﹣1＝0，∴3x 2﹣x ＝1．∴原式＝2(3x 2﹣x )﹣25＝2×1﹣25＝﹣23．【点睛】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握整式的运算法则是解答本题的关键．21.已知：直线l 和l 外一点P ，求作：直线l 的垂线．使它经过点P作法：①在直线l 上任取两点A B 、；②分别以点A B 、为圆心，AP BP ，长为半径作弧，在直线l 下方两弧交于点C ；③作直线PC ，交直线l 于点O所以直线PC为所求作的垂线（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明证明：连接AP AC BP BC、、、∵在APB △与ACB △中AP AC BP BC AB AB =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴APB ACB △≌△（______）（填推理依据）∴PAB CAB ∠=∠（______）（填推理依据）∴在APO △与ACO △中AP AC PAB CAB AO AO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩APO ACO △≌△（______）（填推理依据）∴POA COA∠=∠∵PC 是直线∴90POA COA ∠=∠=°，即PC AB⊥【答案】（1）见解析（2）SSS ；全等三角形的性质;SAS【分析】（1）根据题意画出图形即可求解；（2）根据全等三角形的性质与判定填空即可求解．【小问1详解】解：如下图：【小问2详解】证明：连接AP AC BP BC、、、∵在APB △与ACB △中AP AC BP BC AB AB =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴APB ACB △≌△（SSS ）∴PAB CAB ∠=∠（全等三角形的性质）∴在APO △与ACO △中AP AC PAB CAB AO AO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩APO ACO △≌△（SAS ）∴POA COA∠=∠∵PC 是直线∴90POA COA ∠=∠=°，即PC AB ⊥．故答案为：SSS ；全等三角形的性质；SAS ．【点睛】本题考查了尺规作图，全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．22.已知：如图，点A E F C 、、、在同一条直线上，DF BE =，B D ∠=∠，AD BC∥求证：EB DF ∥.【答案】见解析【分析】证明ADF CBE △≌△，可得BEC DFA ∠=∠，即可得出EB DF ∥，【详解】证明：∵AD BC ∥，∴A C ∠=∠，在ADF △与CBE △中A C DB DF BE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ADF CBE △≌△()AAS ，∴BEC DFA ∠=∠，∴EB DF ∥．【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．23.如图,在Rt △ABC 中,∠B =90°．()1作出,∠BAC 的平分线AM ； (要求：尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)()2若∠BAC 的平分线AM 与BC 交于点D ,且B D=3,AC =10,则 DAC 的面积为______．【答案】（1）作图见解析；（2）15.【分析】（1）利用基本作图，作∠BAC 的平分线即可；（2）作DF ⊥AC 于F ．利用角平分线的性质定理证明DF=DE=3，即可解决问题.【详解】（1）∠BAC 的平分线AM 如图所示；（2）作DF ⊥AC 于F ．∵DA 平分∠BAC ，DB ⊥BA ，DF ⊥AC ，∴DB=DF=3，∴S △DAC =12•AC•DF=12×10×3=15，故答案为15．【点睛】本题考查作图-基本作图，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，学会添加常用辅助线.24.阅读下列材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”下面是小涵同学用换元法对多项式22(41)(47)7x x x x -+-+-进行因式分解的过程解：设24x x y -=①，将①带入原式后，原式(1)(7)7y y =++-（第一步）28y y =+（第二步）(8)y y =+（第三步）22(4)(48)x x x x =--+（第四步）请根据上述材料回答下列问题：（1）小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的______方法；（2）老师说，小涵因式分解的结果不彻底，请你通过计算得出该因式分解的最后结果；（3）请你用“换元法”对多项式2222()(2)(1)(1)1x x x x x x x x +++++++-+进行因式分解【答案】（1）提取公因式（2）2(4)(48)x x x x --+（3）22(1)(1)x x x x +++【分析】（1）根据因式分解的方法判断即可；（2）因式分解必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止，将因式24x x -分解成(4)x x -即可；（3）用换元法设2x x t +=，代入多项式，然后仿照题干的换元法解答即可．【小问1详解】解：由题意得：从28y y +到(8)y y +运用了因式分解中的提取公因式法故答案为：提取公因式【小问2详解】解：由题意得：()()22448x x x x --+2(4)(48)x x x x =--+【小问3详解】解：设2x x t +=，将2x x t +=代入2222()(2)(1)(1)1x x x x x x x x +++++++-+中得：(2)(1)(1)1t t t t +++-+原式22211t t t =++-+222t t=+2(1)t t =+222()(1)x x x x =+++22(1)(1)x x x x =+++【点睛】本题考查了因式分解的方法和运用，解题关键是灵活运用换元法对较为复杂的多项式进行因式分解，达到去繁化简的效果．25.课上，老师提出了这样一个问题：已知：如图，AD AE =，请你再添加一个条件．．．．，使得△≌△ADB AEC （1）同学们认为可以添加的条件并不唯一，你添加的条件是______，并完成证明（2）若添加的条件是OE OD =，证明：△≌△ADB AEC【答案】（1）答案不唯一，AB AC =，证明见解析（2）见解析【分析】（1）添加条件AB AC =，直接证明△≌△ADB AEC ()SAS ，即可得证；（2）连接AO ，证明()SSS AEO ADO ≌，得出ADB AEC ∠=∠，进而证明()AAS AEC ADB ≌，即可得证．【小问1详解】答案不唯一，添加条件AB AC =，证明：在ADB 与AEC △中，AB AC A A AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△≌△ADB AEC ()SAS ，故答案为：AB AC =；【小问2详解】连接AO，如图，在AEO △与ADO △中，AE AD OE OD AO AO =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴()SSS AEO ADO ≌，∴ADO AEO ∠=∠，∴ADB AEC ∠=∠，在ADB 与AEC △中，ADB AEC A A AD AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()AAS AEC ADB ≌．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．26.小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于x 的多项式223x x -+，由于2223(1)2x x x -+=-+，所以当1x -取任意一对互为相反数的数时，多项式223x x -+的值是相等的．例如，当11x -=±，即2x =或0时，223x x -+的值均为3；当12x -=±，即3x =或1-时，223x x -+的值均为6．于是小明给出一个定义：对于关于x 的多项式，若当x t -取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于x t =对称．例如223x x -+关于1x =对称．请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题：（1）多项式246x x -+关于x =对称；（2）若关于x 的多项式223x bx ++关于3x =对称，求b 的值；（3）整式()()2281644x x x x ++-+关于x =对称．【答案】（1）2（2）3-（3）1-【分析】（1）对多项式进行配方，根据新定义判断即可得；（2）求出223x bx ++的对称轴，令对称轴等于3即可得；（3）对多项式进行配方，根据新定义判断即可得．【小问1详解】解：2246(2)2x x x -+=-+，则此多项式关于2x =对称，故答案为：2；【小问2详解】解：22223()3x bx x b b ++=++- ，∴关于x 的多项式223x bx ++关于x b =-对称，又 关于x 的多项式223x bx ++关于3x =对称，3b ∴-=，即3b =-；【小问3详解】解：()()()()22228164442x x xx x x ++-+=+-()()242x x =+-⎡⎤⎣⎦()2228x x =+-()2219x ⎡⎤=+-⎣⎦，则整式()()2281644x x x x ++-+关于=1x -对称，故答案为：1-．【点睛】本题考查了配方法的应用，能够对多项式进行配方，理解新定义是解题的关键．27.如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，点D 为AB 边上一点（不与点A ，B 重合），作射线CD ，过点A 作AE ⊥CD 于E ，在线段AE 上截取EF ＝EC ，连接BF 交CD 于G ．（1）依题意补全图形；（2）求证：∠CAE ＝∠BCD ；（3）判断线段BG 与GF 之间的数量关系，并证明．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）BG GF =，证明见解析【分析】（1）根据题意作图即可；（2）根据垂线的定义，等角的余角相等即可证明；（3）过点B 作BH AD ⊥于点H ，则90CHB ∠=︒，证明ACE CBH ≌，结合已知条件EF ＝EC ，证明EFG HBG ≌，即可得到FG BG =．【小问1详解】如图所示，【小问2详解】AE CD ⊥，90AEC ∴∠=︒，90ACE CAE ∴∠+∠=︒．90ACB ∠=︒ ，90ACE ECB ∴∠+∠=︒，CAE ECB ∠=∠∴，即∠CAE ＝∠BCD ．【小问3详解】FG BG =，理由如下，如图，过点B 作BH AD ⊥于点H ，则90CHB ∠=︒，由（2）可知CAE BCD ∠=∠，CAE BCH ∴∠=∠，90AEC =︒∠ ，AEC CHB ∴∠=∠．又AC CB = ，ACE CBH ∴ ≌，BH CE ∴=．CE EF = ，BH EF ∴=，又90,BHG FEG EGF HGB ∠=∠=︒∠=∠ ，∴EFG HBG ≌，FG BG ∴=．【点睛】本题考查了画垂线，线段，等角的余角相等，全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．28.我们知道，数轴上表示1x ，2x 的两个点之间的距离可以记为12d x x =-．类似地，在平面直角坐标系xOy 中，我们规定：任意两点()11,M x y ，()22,N x y 之间的“折线距离”为()1212,d M N x x y y =-+-．例如，点()3,9P 与()5,2Q -之间的折线距离为()(),359221113d P Q =-+--=+=．回答下列问题：（1）已知点A 的坐标为()2,0．①若点B 的坐标为()3,6-，则(),d A B =______；。
2020-2021学年北京四中八年级(上)期中数学试卷含答案
2020-2021学年北京四中八年级（上）期中数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）下列轴对称图形中，有4条对称轴的图形是（）A．B．C．D．2．（3分）下列运算正确的是（）A．a2•a3＝a6B．（a2）3＝a6C．a3+a3＝2a6D．a8÷a4＝a2 3．（3分）下列变形属于因式分解的是（）A．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4B．x﹣1＝x（1−1x）（x≠0）C．x3+2x2+1＝x2（x+2）+1D．x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）4．（3分）在平面直角坐标系上，已知点A关于直线x＝1对称的点为B（﹣2，4），则点A的坐标为（）A．（4，4）B．（﹣2，﹣2）C．（2，4）D．（3，4）5．（3分）电子文件的大小常用B，KB，MB，GB等作为单位，其中1GB＝210MB，1MB＝210KB，1KB＝210B．某视频文件的大小约为1GB，1GB等于（）A．230B B．830B C．8×1010B D．2×1030B6．（3分）已知a﹣2b＝10，ab＝5，则a2+4b2的值是（）A．100B．110C．120D．1257．（3分）图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空余的部分的面积是（）A．ab B．（a+b）2C．（a﹣b）2D．a2﹣b28．（3分）如图所示，三角形纸片被正方形纸板遮住了一部分，小明根据所学知识画出了一个与该三角形完全重合的三角形，那么这两个三角形完全重合的依据是（）A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA9．（3分）我们利用尺规作图，可以作一个角（∠A'O'B'）等于已知角（∠AOB），如下所示：（1）作射线O'A'；（2）以O为圆心，任意长为半径作弧，交OA于C，交OB于D；（3）以O'为圆心，OC为半径作弧，交O'A'于C'；（4）以C'为圆心，OC为半径作弧，交前面的弧于D'；（5）连接O'D'作射线O'B'，则∠A'O'B'就是所求作的角．以上作法中，错误的一步是（）A．（2）B．（3）C．（4）D．（5）10．（3分）△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC内．若求五边形DECHF的周长，则只需知道（）A．△ABC的周长B．△AFH的周长C．四边形FBGH的周长D．四边形ADEC的周长二、填空题（每小题2分，共16分）11．（2分）分解因式：3ma2﹣3mb＝．12．（2分）在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，则点P、Q、M、N中在∠AOB的平分线上是点．13．（2分）已知3x+2y﹣2＝0，则8x•4y＝．14．（2分）如图，△ABC中，D点在BC上，将D点分别以AB、AC为对称轴，画出对称点E、F，并连接AE、AF．根据图中标示的角度，则∠EAF的度数为．15．（2分）已知关于x的代数式x2+bx+c，设代数式的值为y，则y＝x2+bx+c．下表中列出了当x分别取…，﹣1，0，1，2，3，4，5，…，m，m+1…时对应的y值．x…﹣1012345…m m+1…y…1052125n…p q…（1）表中n的值为；（2）当x＝时，y有最小值，最小值是；（3）p q．（填＜，＞，＝）16．（2分）已知等腰三角形的一个外角的度数为108°，则顶角的度数为．17．（2分）已知锐角∠AOB，如图，（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作弧MN，交射线OB于点D，连接CD；（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，两弧交于点P，连接CP，DP；（3）作射线OP交CD于点Q．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中正确的是．①CP∥OB；②CP＝2QC；③∠AOP＝∠BOP；④CD⊥OP．18．（2分）如图，已知每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，请在图中找一个顶点C，使△ABC为等腰三角形，则这样的顶点C有个．三、解答题19．（8分）因式分解：（1）4x2﹣9；（2）4ab2﹣4a2b﹣b3．20．（16分）计算下列各题（1）（x﹣3y）（﹣6x）；（2）（6x4﹣8x2y）÷2x2；（3）（x﹣1）（x+2）；（4）（x+y﹣3）（x﹣y+3）21．（5分）先化简，再求值：（a+b）（a﹣b）+（a﹣b）2﹣a（2a﹣3b），其中a=−12，b＝1．22．（6分）已知：如图，AB∥CD，AD与BC相交于点O，且OA＝OD，求证：OB＝OC．23．（6分）小宇遇到了这样一个问题：已知：如图，∠MON＝90°，点A，B分别在射线OM，ON上，且满足OB＞2OA．求作：线段OB上的一点C，使△AOC的周长等于线段OB的长．以下是小宇分析和求解的过程，请补充完整：首先画草图进行分析，如图1所示，若符合题意的点C已经找到，即△AOC的周长等于OB的长，那么由OA+OC+AC＝OB＝OC+BC，可以得到OA+AC＝．对于这个式子，可以考虑用截长的办法，在BC上取一点D，使得BD＝AO，那么就可以得到CA＝．若连接AD，由．（填推理的依据），可知点C在线段AD的垂直平分线上，于是问题的解法就找到了．请根据小宇的分析，在图2中完成作图（尺规作图，不写做法，保留作图痕迹）．24．（6分）阅读材料小明遇到这样一个问题：求计算（x+2）（2x+3）（3x+4）所得多项式的一次项系数．小明想通过计算（x+2）（2x+3）（3x+4）所得的多项式解决上面的问题，但感觉有些繁琐，他想探寻一下，是否有相对简洁的方法．他决定从简单情况开始，先找（x+2）（2x+3）所得多项式中的一次项系数，通过观察发现：也就是说，只需用x+2中的一次项系数1乘以2x+3中的常数项3，再用x+2中的常数项2乘以2x+3中的一次项系数2，两个积相加1×3+2×2＝7，即可得到一次项系数．延续上面的方法，求计算（x+2）（2x+3）（3x+4）所得多项式的一次项系数，可以先用x+2的一次项系数1，2x+3的常数项3，3x+4的常数项4，相乘得到12；再用2x+3的一次项系数2，x+2的常数项2，3x+4的常数项4，相乘得到16；然后用3x+4的一次项系数3，x+2的常数项2，2x+3的常数项3，相乘得到18．最后将12，16，18相加，得到的一次项系数为46．参考小明思考问题的方法，解决下列问题：（1）计算（x+4）（4x+3）所得多项式的一次项系数为．（2）计算（x+1）（3x﹣2）（2x+5）所得多项式的一次项系数为．（3）若x2﹣3x+1是x4+ax2+bx+2的一个因式，求a、b的值．25．（7分）如图1，点D是等腰三角形ABC外一点，AB＝AC，∠BDC＝2∠ABC，过点A作AE⊥BD于点E，（1）依据题意，补全图形．（2）求证：DE ＝BE +CD ．（3）如图2，AD 与BC 交于点F ，当F 是AD 的中点时，翻折△BCD 得到△BCG ，连接AG ，求证：A ，G 两点到直线BC 的距离相等．四、附加题（共4小题，满分20分）26．（4分）若k 为正奇数，则(−k −k −k ⋯−k)k ︸k 个k= ；若k 为正偶数，则(−k −k −k ⋯−k)k ︸k 个k= ．27．（3分）用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示的实线图案，每块大正方形地砖面积为a ，小正方形地砖面积为b ，依次连接四块大正方形地砖的中心得到正方形ABCD ．则正方形ABCD 的面积为 ．（用含a ，b 的代数式表示）28．（8分）小明同学研究如下问题：从1，2，3，…，n （n 为整数，且n ≥3）这n 个整数中任取a （1＜a ＜n ）个整数，这a 个整数之和共有多少种不同的结果？他采取一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，从中找出解决问题的方法．他进行了如下几个探究： 探究一：（1）从1，2，3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？ 表①所取的2个整数1，21，32，32个整数之和345如表①，所取的2个整数之和可以为3，4，5，也就是从3到5的连续整数，其中最小是3，最大是5，所以共有3种不同的结果．（2）从1，2，3，4这4个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？表②所取的2个整数1，21，31，42，32，43，42个整数之和345567如表②，所取的2个整数之和可以为3，4，5，6，7，也就是从3到7的连续整数，其中最小是3，最大是7，所以共有5种不同的结果．（3）从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有种不同的结果．（4）从1，2，3，…，n（n为整数，且n≥3）这n个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有种不同的结果．探究二：（1）从1，2，3，4这4个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有种不同的结果．（2）从1，2，3，…，n（n为整数，且n≥4）这n个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有种不同的结果．探究三：从1，2，3，…，n（n为整数，且n≥5这n个整数中任取4个整数，这4个整数之和共有种不同的结果．归纳结论：从1，2，3，…，n（n为整数，且n≥3这n个整数中任取a（1＜a＜n）个整数，这a个整数之和共有种不同的结果．拓展延伸：从1，2，3，…，36这36个整数中任取个整数，使得取出的这些整数之和共有204种不同的结果？（写出解答过程）．29．（5分）如图，△ABC中，AB＝AC，60°＜∠BAC＜120°，将线段AB绕点A逆时针旋转60°得到点D，点E与点D关于直线BC对称，连接CD，CE，DE．（1）依题意补全图形；（2）判断△CDE的形状，并证明；（3）请问在直线CE上是否存在点P，使得PB﹣P A＝CD成立？若存在，请用文字描述出点P的准确位置，并画图证明；若不存在，请说明理由．2020-2021学年北京四中八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）下列轴对称图形中，有4条对称轴的图形是（）A．B．C．D．【解答】解：A、是轴对称图形，有5条对称轴，故此选项不符合题意；B、是轴对称图形，有3条对称轴，故此选项不符合题意；C、是轴对称图形，有1条对称轴，故此选项不符合题意；D、是轴对称图形，有4条对称轴，故此选项符合题意；故选：D．2．（3分）下列运算正确的是（）A．a2•a3＝a6B．（a2）3＝a6C．a3+a3＝2a6D．a8÷a4＝a2【解答】解：A，a2•a3＝a5；B、（a2）3＝a6；C、a3+a3＝2a3；D、a8÷a4＝a4；故选：B．3．（3分）下列变形属于因式分解的是（）A．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4B．x﹣1＝x（1−1x）（x≠0）C．x3+2x2+1＝x2（x+2）+1D．x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）【解答】解：A．从左边到右边的变形，不属于因式分解，故本选项不符合题意；B．从左边到右边的变形，不属于因式分解，故本选项不符合题意；C．从左边到右边的变形，不属于因式分解，故本选项不符合题意；D．从左边到右边的变形，属于因式分解，故本选项符合题意．故选：D．4．（3分）在平面直角坐标系上，已知点A关于直线x＝1对称的点为B（﹣2，4），则点A的坐标为（）A．（4，4）B．（﹣2，﹣2）C．（2，4）D．（3，4）【解答】解：∵点A关于直线x＝1对称的点为B（﹣2，4），∴点A的坐标为（4，4）．故选：A．5．（3分）电子文件的大小常用B，KB，MB，GB等作为单位，其中1GB＝210MB，1MB＝210KB，1KB＝210B．某视频文件的大小约为1GB，1GB等于（）A．230B B．830B C．8×1010B D．2×1030B【解答】解：由题意得：1GB＝210×210×210B＝210+10+10B＝230B，故选：A．6．（3分）已知a﹣2b＝10，ab＝5，则a2+4b2的值是（）A．100B．110C．120D．125【解答】解：∵a﹣2b＝10，ab＝5，∴a2+4b2＝（a﹣2b）2+4ab＝102+4×5＝120．故选：C．7．（3分）图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空余的部分的面积是（）A．ab B．（a+b）2C．（a﹣b）2D．a2﹣b2【解答】解：中间部分的四边形是正方形，边长是a+b﹣2b＝a﹣b，则面积是（a﹣b）2．故选：C．8．（3分）如图所示，三角形纸片被正方形纸板遮住了一部分，小明根据所学知识画出了一个与该三角形完全重合的三角形，那么这两个三角形完全重合的依据是（）A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA【解答】解：由图可知，三角形两角及夹边还存在，∴根据可以根据三角形两角及夹边作出图形，所以，依据是ASA．故选：D．9．（3分）我们利用尺规作图，可以作一个角（∠A'O'B'）等于已知角（∠AOB），如下所示：（1）作射线O'A'；（2）以O为圆心，任意长为半径作弧，交OA于C，交OB于D；（3）以O'为圆心，OC为半径作弧，交O'A'于C'；（4）以C'为圆心，OC为半径作弧，交前面的弧于D'；（5）连接O'D'作射线O'B'，则∠A'O'B'就是所求作的角．以上作法中，错误的一步是（）A．（2）B．（3）C．（4）D．（5）【解答】解：（4）错误．应该是以C'为圆心，CD为半径作弧，交前面的弧于D'；故选：C．10．（3分）△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC内．若求五边形DECHF的周长，则只需知道（）A．△ABC的周长B．△AFH的周长C．四边形FBGH的周长D．四边形ADEC的周长【解答】解：∵△GFH为等边三角形，∴FH＝GH，∠FHG＝60°，∴∠AHF+∠GHC＝120°，∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠ACB＝∠A＝60°，∴∠GHC+∠HGC＝120°，∴∠AHF＝∠HGC，∴△AFH≌△CHG（AAS），∴AF＝CH．∵△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，∴BE＝FH，∴五边形DECHF的周长＝DE+CE+CH+FH+DF＝BD+CE+AF+BE+DF，＝（BD+DF+AF）+（CE+BE），＝AB+BC．∴只需知道△ABC的周长即可．故选：A．二、填空题（每小题2分，共16分）11．（2分）分解因式：3ma2﹣3mb＝3m（a2﹣b）．【解答】解：原式＝3m（a2﹣b）．12．（2分）在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，则点P、Q、M、N中在∠AOB的平分线上是Q 点．【解答】解：点P、Q、M、N中在∠AOB的平分线上是Q点．故答案为Q．13．（2分）已知3x+2y﹣2＝0，则8x•4y＝4．【解答】解：由3x+2y﹣2＝0可得：3x+2y＝2，所以8x•4y＝23x+2y＝22＝4，故答案为：4．14．（2分）如图，△ABC中，D点在BC上，将D点分别以AB、AC为对称轴，画出对称点E、F，并连接AE、AF．根据图中标示的角度，则∠EAF的度数为134°．【解答】解：连接AD ，∵D 点分别以AB 、AC 为对称轴，画出对称点E 、F ， ∴∠EAB ＝∠BAD ，∠F AC ＝∠CAD ， ∵∠B ＝62°，∠C ＝51°，∴∠BAC ＝∠BAD +∠DAC ＝180°﹣62°﹣51°＝67°， ∴∠EAF ＝2∠BAC ＝134°， 故答案为134°．15．（2分）已知关于x 的代数式x 2+bx +c ，设代数式的值为y ，则y ＝x 2+bx +c ．下表中列出了当x 分别取…，﹣1，0，1，2，3，4，5，…，m ，m +1…时对应的y 值． x … ﹣1 0 1 2 3 4 5 … m m +1 … y…1052125n…pq…（1）表中n 的值为 10 ；（2）当x ＝ 2 时，y 有最小值，最小值是 1 ； （3）p ＜ q ．（填＜，＞，＝）【解答】解：（1）由表格可得：{(−1)2−b +c =10c =5， 解得{b =−4c =5．则y ＝x 2﹣4x +5，当x ＝5时，n ＝52﹣4×5+5＝25﹣20+5＝10． 故答案为：10；（2）由（1）知，y ＝x 2﹣4x +5＝（x ﹣2）2+1， 当x ＝2时，y 有最小值，最小值是1，故答案为：2，1；（3）由（1）知，y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，则该函数的对称轴为直线x＝2，当x＞2时，y随x的增大而增大，∵2＜m＜m+1，∴p＜q．故答案为：＜．16．（2分）已知等腰三角形的一个外角的度数为108°，则顶角的度数为72°或36°．【解答】解：∵一个外角为108°，∴三角形的一个内角为72°，当72°为顶角时，其他两角都为54°、54°，当72°为底角时，其他两角为72°、36°，所以等腰三角形的顶角为72°或36°．故答案为：72°或36°．17．（2分）已知锐角∠AOB，如图，（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作弧MN，交射线OB于点D，连接CD；（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，两弧交于点P，连接CP，DP；（3）作射线OP交CD于点Q．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中正确的是②③④．①CP∥OB；②CP＝2QC；③∠AOP＝∠BOP；④CD⊥OP．【解答】解：由作图可知，OC＝OD，PC＝PD，OP平分∠AOB，∴OP垂直平分线段CD，故③④正确，∵△PCD是等边三角形，PQ⊥CD，∴CQ＝DQ，∴CP＝2QC，故②正确，故答案为②③④．18．（2分）如图，已知每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，请在图中找一个顶点C，使△ABC为等腰三角形，则这样的顶点C有8个．【解答】解：当AB为底时，作AB的垂直平分线，可找出格点C的个数有5个，当AB为腰时，分别以A、B点为顶点，以AB为半径作弧，可找出格点C的个数有3个；∴这样的顶点C有8个．故答案为：8．三、解答题19．（8分）因式分解：（1）4x2﹣9；（2）4ab2﹣4a2b﹣b3．【解答】解：（1）原式＝（2x+3）（2x﹣3）；（2）原式＝﹣b（4a2﹣4ab+b2）＝﹣b（2a﹣b）2．20．（16分）计算下列各题（1）（x﹣3y）（﹣6x）；（2）（6x4﹣8x2y）÷2x2；（3）（x﹣1）（x+2）；（4）（x+y﹣3）（x﹣y+3）【解答】解：（1）（x﹣3y）（﹣6x）＝﹣6x2+18xy；（2）（6x 4﹣8x 2y ）÷2x 2 ＝3x 2﹣4y ；（3）（x ﹣1）（x +2） ＝x 2+2x ﹣x ﹣2 ＝x 2+x ﹣2；（4）（x +y ﹣3）（x ﹣y +3） ＝[x +（y ﹣3）][x ﹣（y ﹣3）] ＝x 2﹣（y ﹣3）2 ＝x 2﹣y 2﹣9+6y ．21．（5分）先化简，再求值：（a +b ）（a ﹣b ）+（a ﹣b ）2﹣a （2a ﹣3b ），其中a =−12，b ＝1． 【解答】解：原式＝a 2﹣b 2+a 2﹣2ab +b 2﹣2a 2+3ab ＝ab ， 当a =−12，b ＝1时，原式=−12．22．（6分）已知：如图，AB ∥CD ，AD 与BC 相交于点O ，且OA ＝OD ，求证：OB ＝OC ．【解答】证明：∵AD 与BC 相交于点O ， ∴∠AOB ＝∠DOC ， ∵AB ∥CD ， ∴∠B ＝∠C ，在△AOB 和△DOC 中， {OA =OD∠AOB =∠DOC ∠B =∠C， ∴△AOB ≌△DOC 中（AAS ）， ∴OB ＝OC ．23．（6分）小宇遇到了这样一个问题：已知：如图，∠MON＝90°，点A，B分别在射线OM，ON上，且满足OB＞2OA．求作：线段OB上的一点C，使△AOC的周长等于线段OB的长．以下是小宇分析和求解的过程，请补充完整：首先画草图进行分析，如图1所示，若符合题意的点C已经找到，即△AOC的周长等于OB的长，那么由OA+OC+AC＝OB＝OC+BC，可以得到OA+AC＝BC．对于这个式子，可以考虑用截长的办法，在BC上取一点D，使得BD＝AO，那么就可以得到CA＝DC．若连接AD，由线段的垂直平分线的判定．（填推理的依据），可知点C在线段AD的垂直平分线上，于是问题的解法就找到了．请根据小宇的分析，在图2中完成作图（尺规作图，不写做法，保留作图痕迹）．【解答】解：如图，△AOC即为所求．故答案为：BC，DC，线段的垂直平分线的判定．24．（6分）阅读材料小明遇到这样一个问题：求计算（x+2）（2x+3）（3x+4）所得多项式的一次项系数．小明想通过计算（x+2）（2x+3）（3x+4）所得的多项式解决上面的问题，但感觉有些繁琐，他想探寻一下，是否有相对简洁的方法．他决定从简单情况开始，先找（x+2）（2x+3）所得多项式中的一次项系数，通过观察发现：也就是说，只需用x+2中的一次项系数1乘以2x+3中的常数项3，再用x+2中的常数项2乘以2x+3中的一次项系数2，两个积相加1×3+2×2＝7，即可得到一次项系数．延续上面的方法，求计算（x+2）（2x+3）（3x+4）所得多项式的一次项系数，可以先用x+2的一次项系数1，2x+3的常数项3，3x+4的常数项4，相乘得到12；再用2x+3的一次项系数2，x+2的常数项2，3x+4的常数项4，相乘得到16；然后用3x+4的一次项系数3，x+2的常数项2，2x+3的常数项3，相乘得到18．最后将12，16，18相加，得到的一次项系数为46．参考小明思考问题的方法，解决下列问题：（1）计算（x+4）（4x+3）所得多项式的一次项系数为19．（2）计算（x+1）（3x﹣2）（2x+5）所得多项式的一次项系数为1．（3）若x2﹣3x+1是x4+ax2+bx+2的一个因式，求a、b的值．【解答】解：（1）（x+4）（4x+3）所得多项式的一次项系数为1×3+4×4＝19，故答案为：19；（2）（x+1）（3x﹣2）（2x+5）所得多项式的一次项系数为1×（﹣2）×5+3×1×5+2×1×（﹣2）＝1，故答案为：1；（3）由x4+ax2+bx+2中4次项系数为1、常数项为2可设另一个因式为x2+mx+2，则（x2﹣3x+1）（x2+mx+2）＝x4+ax2+bx+2，∴{1×m−3×1=01×2+1×1+(−3)×m=a −3×2+1×m=b，解得：{m=3a=−6 b=−3．25．（7分）如图1，点D是等腰三角形ABC外一点，AB＝AC，∠BDC＝2∠ABC，过点A作AE⊥BD于点E，（1）依据题意，补全图形．（2）求证：DE＝BE+CD．（3）如图2，AD与BC交于点F，当F是AD的中点时，翻折△BCD得到△BCG，连接AG，求证：A，G两点到直线BC的距离相等．【解答】解：（1）如图1所示：（2）过点A 作AH ⊥CD ，交DC 的延长线于H ， ∵AE ⊥BD ，AH ⊥DH ， ∴∠AED ＝∠H ＝90°， ∴∠EDH +∠EAH ＝180°， ∵AB ＝AC ， ∴∠ABC ＝∠ACB ，∵∠BAC +∠ABC +∠ACB ＝180°， ∴∠BAC +2∠ABC ＝180°， 又∵∠BDC ＝2∠ABC ， ∴∠BDC +∠BAC ＝180°， ∴∠BAC ＝∠EAH ， ∴∠BAE ＝∠CAH ， 在△ABE 和△ACH 中， {∠AEB =∠H∠BAE =∠CAH AB =AC， ∴△ABE ≌△ACH （AAS ）， ∴AE ＝AH ，BE ＝CH ， 在Rt △AED 和Rt △AHD 中，{AE =AH AD =AD， ∴Rt △AED ≌Rt △AHD （HL ）， ∴DE ＝DH ， ∴DE ＝BE +CD ；（3）如图3，过点A 作AG ⊥BC 于G ，连接GD 交BC 于N ，∵翻折△BCD 得到△BCG ， ∴BN ⊥GD ，GN ＝DN ， ∵F 是AD 的中点， ∴AF ＝DF ，在△AGF 和△DNF 中， {∠AFG =∠DFN∠AGF =∠DNF AF =DF， ∴△AGF ≌△DNF （AAS ） ∴AG ＝DN ， ∴AG ＝GN ，∴A ，G 两点到直线BC 的距离相等． 四、附加题（共4小题，满分20分）26．（4分）若k 为正奇数，则(−k −k −k ⋯−k)k ︸k 个k= ﹣k 2k ；若k 为正偶数，则(−k −k −k ⋯−k)k ︸k 个k= k 2k ．【解答】解：若k 为正奇数，则(−k −k −⋯−k)k ︸k 个k=（﹣k 2）k ＝（﹣1）k k 2k ＝﹣k 2k ，若k 为正偶数，则(−k −k −⋯−k)k ︸k 个k=（﹣k 2）k ＝（﹣1）k k 2k ＝k 2k ．故答案为：﹣k2k，k2k．27．（3分）用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示的实线图案，每块大正方形地砖面积为a，小正方形地砖面积为b，依次连接四块大正方形地砖的中心得到正方形ABCD．则正方形ABCD的面积为（a+b）．（用含a，b的代数式表示）【解答】解：如图，连接DK，DN，∵∠KDN＝∠MDT＝90°，∴∠KDM＝∠NDT，∵DK＝DN，∠DKM＝∠DNT＝45°，∴△DKM≌△DNT（ASA），∴S△DKM＝S△DNT，∴S四边形DMNT＝S△DKN=14a，∴正方形ABCD的面积＝4×14a+b＝a+b．故答案为（a+b）．28．（8分）小明同学研究如下问题：从1，2，3，…，n（n为整数，且n≥3）这n个整数中任取a（1＜a＜n）个整数，这a个整数之和共有多少种不同的结果？他采取一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，从中找出解决问题的方法．他进行了如下几个探究：探究一：表①所取的2个整数1，21，32，32个整数之和345如表①，所取的2个整数之和可以为3，4，5，也就是从3到5的连续整数，其中最小是3，最大是5，所以共有3种不同的结果．（2）从1，2，3，4这4个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？表②所取的2个整数1，21，31，42，32，43，4 2个整数之和345567如表②，所取的2个整数之和可以为3，4，5，6，7，也就是从3到7的连续整数，其中最小是3，最大是7，所以共有5种不同的结果．（3）从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有7种不同的结果．（4）从1，2，3，…，n（n为整数，且n≥3）这n个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有（2n ﹣3）种不同的结果．探究二：（1）从1，2，3，4这4个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有4种不同的结果．（2）从1，2，3，…，n（n为整数，且n≥4）这n个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有（3n ﹣8）种不同的结果．探究三：从1，2，3，…，n（n为整数，且n≥5这n个整数中任取4个整数，这4个整数之和共有（4n﹣15）种不同的结果．归纳结论：从1，2，3，…，n（n为整数，且n≥3这n个整数中任取a（1＜a＜n）个整数，这a个整数之和共有（an﹣a2+1）种不同的结果．拓展延伸：从1，2，3，…，36这36个整数中任取7或29个整数，使得取出的这些整数之和共有204种不同的结果？（写出解答过程）．【解答】解：根据探究一：（1）从1，2，3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有3种不同的结果；（3）∵1+2＝3，1+3＝4，1+4＝5，1+5＝6，2+5＝7，3+5＝8，4+5＝9，∴从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有7种不同的结果．故答案为：7；（4）根据探究一：从1，2，3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有3种不同的结果；从1，2，3，4这4个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有5种不同的结果；从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有7种不同的结果；所以从1，2，3，…，n（n为整数，且n≥3）这n个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有（2n ﹣3）种不同的结果．故答案为：（2n﹣3）；探究二：（1）从1，2，3，4这4个整数中任取3个整数，这3个整数之和分别为：6，7，8，9，共有4种不同的结果．（2）从1，2，3，…，n（n为整数，且n≥4）这n个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有（3n ﹣8）种不同的结果．故答案为：4；（3n﹣8）；探究三：从1，2，3，…，n（n为整数，且n≥5这n个整数中任取4个整数，这4个整数之和共有（4n﹣15）种不同的结果．故答案为：（4n﹣15）；归纳结论：从1，2，3，…，n（n为整数，且n≥3这n个整数中任取a（1＜a＜n）个整数，这a个整数之和共有（an﹣a2+1）种不同的结果．故答案为：（an﹣a2+1）；拓展延伸：当n＝36时，36a﹣a2+1＝204，解得a1＝7，a2＝29．所以从1，2，3，…，36这36个整数中任取7或29个整数，使得取出的这些整数之和共有204种不同的结果．29．（5分）如图，△ABC中，AB＝AC，60°＜∠BAC＜120°，将线段AB绕点A逆时针旋转60°得到点D，点E与点D关于直线BC对称，连接CD，CE，DE．（1）依题意补全图形；（2）判断△CDE的形状，并证明；（3）请问在直线CE上是否存在点P，使得PB﹣P A＝CD成立？若存在，请用文字描述出点P的准确位置，并画图证明；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）补全图形如图1：（2）△CDE为等边三角形，理由如下：连接BD，设BC与DE交于F，如图2：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵线段AB绕点A逆时针旋转60°得到点D，∴AD＝AB＝AC，∠BAD＝60°，∴△ABD是等边三角形，∠ACD＝∠ADC，∴∠ABD＝∠ADB＝60°，∴∠ABC+∠DBC＝60°，∴∠ACB+∠DBC＝60°，在△BCD中，∠DBC+∠BDC+∠DCB＝180°，∴∠DBC+∠ADB+∠ADC+∠DCB＝180°，∴∠DBC+∠ADB+∠ACD+∠DCB＝180°，∴∠DBC+∠ADB+∠ACB+∠DCB+∠DCB＝180°，即60°+60°+2∠DCB＝180°，∴∠DCB＝30°，∵点E与点D关于直线BC对称，∴∠ECF＝∠DCB＝30°，CD＝CE，∴∠DCE＝60°．∴△CDE是等边三角形；（3）存在，作AG⊥BC于G，直线CE与AG的交点即为点P，理由如下：延长AG、CD交于点Q，连接QB，BD，由（2）可知，∠PCQ＝60°，点P与Q关于BC对称，∴PC＝QC，∴△PCQ为等边三角形，∴∠QPC＝60°，∴∠APC＝120°，∵AG⊥BC，AC＝AB，∴AG垂直平分BC，PG＝QG，∴PB＝PC＝QB＝QC，∴四边形PBQC是菱形，∴CP＝BQ＝CQ＝PB，∠PBQ＝∠PCQ＝60°，∠DQB＝120°＝∠APC，∵QB＝QC，∴∠QBC＝∠QCB，∴∠ABQ ＝∠ACQ ，由（2）得：△ABD 为等边三角形， ∴∠ABD ＝60°＝∠PCQ ，∴∠ABQ ﹣∠ABD ＝∠ACQ ﹣∠PCQ ， ∴∠DBQ ＝∠ACP ，在△ACP 和△DBQ 中，{∠ACP =∠DBQCP =BQ ∠APC =∠DQB ，∴△ACP ≌△DBQ （ASA ）， ∴AP ＝DQ ，∵PB ＝CQ ，CQ ﹣DQ ＝CD ， ∴PB ﹣AP ＝CD 即PB ﹣P A ＝CD 成立．。
精品解析：北京市第四中学2016-2017学年高一上学期期末考试历史试题(原卷版)
北京四中2016-2017学年上学期高一年级期末考试历史试卷试卷满分100分考试时间为60分钟一、单项选择题（下列各题的四个选项中，只有一项符合题意。
每小题2分，共60分）1.梁启超指出：“吾国……直待台湾既割，二百兆之偿款既输，而鼾睡之声，乃渐惊起。
”与文中所涉内容相关的不平等条约是A.《南京条约》B.《天津条约》C.《马关条约》D.《辛丑条约》2.“卅年求富更求强，造炮成船法仿洋。
海面未收功一战，总归虚牝（pin）掷黄金。
”诗中“海面未收功一战”指的是A.鸦片战争B.第二次鸦片战争C.甲午中日战争D.八国联军侵华战争3.“天无雨，地焦旱，全是教堂止住天。
洋鬼子，尽除完，大清一统靖江山。
”这样的标语出现于A.禁烟运动B.太平天国运动C.义和团运动D.辛亥革命4.《辛丑条约》的第七款为订定东交民巷使馆区境界，规定使馆区由外交团管理，界内不准中国人居住，各国有权常留兵保护使馆。
这一规定对中国的危害为①严重损坏中国的行政权力②使馆区成为列强侵华的大本营③使中国税收受到列强控制④培植执行卖国政策的职业官僚A.①②B.①③C.②③D.②④5.近代中国第一个统一的资产阶级革命政党是A.兴中会B.光复会C.中国同盟会D.中国国民党6.有人认为：“过去五千年的中华通史，实是一部帝王专制史；而今后的中华通史，将是一部民主政治史。
”下列事件中体现这一历史转型的是：A.鸦片战争B.太平天国运动C.甲午中日战争D.辛亥革命7.为完成“打倒列强，除军阀”的国民革命任务，国共两党合作发动了A.辛亥革命B.五四运动C.北伐战争D.南昌起义8.美国记者斯诺在《红星照耀中国》一书中称誉的“当今时代无与伦比的一次史诗般的远征”，指的是A.北伐战争B.秋收起义C.红军长征D.挺进大别山9.下列事件中，标志着抗日战争全面爆发的是A.九一八事变B.卢沟桥事变C.台儿庄战役D.百团大战10.毛泽东指出：“（双十协定）第一个好处是采取平等的方式，双方正式签订协定，这是历史上未有过的。
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2016-2017北京市第四中学初二上期中数学试卷（考试时间为100分钟，A 卷满分为100分，B 卷满分为20分） 班级________ 学号_______ 姓名 分数_________A 卷一、选择（每小题3分，共30分）1. 下面式子从左边到右边的变形是因式分解的是（ ）A. 22(1)2x x x x --=--B. 2(1)(1)1x x x +-=-C. 2244(2)x x x -+=-D. 11(1)x x x-=-2．下列不适合全面调查的是（ ）．A. 老师检查全班同学完成作业情况B. 人口普查C. 汽车公司检测安全气囊在撞击时的保护作用D. 机场安检 3. 用科学记数法表示0.00003082为（ ）A. 53.08210-⨯B. 7308.210-⨯C. 40.308210-⨯D. 630.8210-⨯ 4. 已知 x ≠ 0, 则xx x31211++等于( ) A.x21B. x 61C. x65D.x6115．如图，已知AB CD =，BC AD =，23B ∠=︒，则D ∠为（ ）．A.67︒B.46︒C. 23︒D. 无法确定ABCDOABCD EF第5题图 第8题图 第9题图 6. 已知一个样本27，23，25，27，29，31，27，30，32，28，31，28，26，27，29，28，24，26，27，30，那么频数为 8 的范围是( )A ．24.5 ~26.5B ．26.5~28.5C ．28.5~30.5D ．30.5~32.57. 下列各式正确的有( ) (1);a b a b c d c d --+=--+(2);a b a b c d c d --+=++(3);a b a b c d c d --+=---(4)a b a bc d c d----=-+. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 8．如图，将长方形ABCD 沿AE 折叠，使D 点落在BC 边上的F 点处，如果60BAF ∠=︒，那么DAE ∠等于（ ）．A. 60︒B. 45︒C. 30︒D. 15︒9. 以图中方格纸的3个格点为顶点画出三角形，不全等的三角形有（ ）种. A ．8 B ．9 C ．10 D ．1110. 若三角形的三条边的长分别为,,a b c ，且22230a b a c b c b -+-=，则这个三角形一定是（ ）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形二、填空（每小题4分，共24分） 11. 当x ____________时，分式48x-的值为正数； 当x ____________时，分式33x x +-的值为－1. 12. 写出中间过程及结果：022(5)5--+=_________+________=_____________. 13. 如图，已知BD 是△ABC 的中线，CF 是△BCD 的中线，AE//CF 交BD 的延长线于点E ，若△ADE 的面积为3，则△ABC 的面积是____________.第13题图 第15题图14. 为使25x bx ++在整数范围内可以分解因式，则b 可能取的值为 . 15. 如图，AD 是△ABC 的角平分线，若AB :AC =5:3，则:A B D A C D S S ∆∆=_________，进而BC :CD =_________________.16. 已知△ABC 如图，现将△ABC 绕点B 逆时针旋转，使点A 落在射线BP 上，求作△A’C’B .作法：在BP 上截BA’=BA ，以点B 为圆心、BC 为半径作弧，以点A’为圆心、AC 为半径作弧，两弧在射线BP 右侧交于点C’，则△A’C’B 即为所求.请简述操作原理：_____________________________________________________.三、解答（共46分）17. 因式分解：（1） 24x y y - （2）3(21)x x x -+-18. 分式化简：（1）xyby x ab 1021432÷- （2）22212()32x y x xy y +--+19. 解方程：（1）21212224x xx x x -+=--+- （2）1232724()()839x x --⨯=20. 先化简，再求值：aa a a a a 2)1)(2()21(22+-+÷-+ ，其中042=-a .21. 如图，OC 是∠AOB 的角平分线，点P 、F 在OC 上，PD AO ⊥于点D ，PE BO ⊥于点E ，连接DF 、EF . 求证：DF=EF .22. 列方程解应用题：在生产操作中，有些化工原料对人体有害，所以需要用机器人来搬运. 现有 A 、B 两种机器人，A 型机器人比B 型机器人每小时多搬运30kg ，A 型机器人搬运900kg 所用时间与B 型机器人搬运600kg 所用时间相等，则两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？的棋盘沿格线划分成两个全等图形，参考图例补全另外几种.23. 将4424. 我市中小学全面开展“阳光体育”活动，某校在大课间中开设了A：体操；B：跑操；C：舞蹈；D：健美操四项活动．为了了解学生最喜欢哪一项活动，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图，请根据统计图回答下列问题：（1）这次被调查的学生共有________人； （2）请将统计图②补充完整；（3）统计图①中B 项目对应的扇形的圆心角是________度；（4）已知该校共有学生3600人，请根据调查结果估计该校喜欢健美操的学生人数，并给出对活动安排的合理建议.25. 小明做数学作业时遇到一道证明题：求证三角形的三条角平分线交于一点. 小明首先根据题意画出图形如下面左图.然后他将原命题转化为：已知：在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点I ，求证：AI 是____________. （1）请帮小明补全命题的结论：AI 是_______________； （2）结合右图，补全下面证明过程（括号中填写定理内容） 作IP BC ⊥于点P ，IQ AC ⊥于点Q ，IR AB ⊥于点R.BI 平分∠ABC ，IP BC ⊥，IR AB ⊥IP IR ∴=（____________________________________________）同理：_________________________IQ IR ∴=又 IQ AC ⊥，IR AB ⊥∴__________________（_____________________________________________）（3）根据上述结论，完成下述作图任务：如图，有一张矩形纸片，上面画有一个角的两边m,n ，但是这个角的顶点P 在纸片的外部，试在纸片上作出∠P 的平分线. （要求：尺规作图，不得折纸，不得超出矩形纸片，保留作图痕迹，不必写作法）26. 在平面直角坐标系中，点A (0,6)，B (8,0)，AB =10，如图作∠DBO =∠ABO ，∠CAY =∠BAO ，直线CD 过点O . （1）写出线段AC 、BD 的关系；（2）动点P 从A 出发，沿A —O —B 路线运动，速度为1，到B 点处停止；动点Q 从B 出发，沿B —O —A 运动，速度为2，到A 点处停止. 二者同时开始运动，都要到达相应的终点才能停止. 在某时刻，作PE CD ⊥于点E ，QF CD ⊥于点F . 问两动点运动多长时间时△OPE 与△OQF 全等？B 卷1. 已知n是整数，且2+-是质数，则n=_________．n n|2224|2. 如图，△ABC中AB=AC，∠B=∠C=40º，点E、F在BC边上，∠AEF=70º，∠AFE=60º，求线段BE、EF、CF围成的三角形的各内角度数.3. 在笔直的公路上，一只老虎想捕获距离它14米远的一只兔子. 老虎跑5步的距离，兔子要跑9步；老虎跑3步的时间，兔子能跑4步. 问老虎能否追上兔子. 如果能追上，求老虎跑多远追上；如果不能追上，叙述理由.4. 我们在A 卷25题中证明了“三角形的三条角平分线交于一点”，这点I 叫做△ABC 的内心，显然内心I 到三角形三边的距离相等，这个距离叫做三角形的“内切圆半径”，记作r ，下面我们来讨论r 的求法.（1）已知，如左图，△ABC 的三边长AB=c ，AC=b ，BC=a ，面积为S ，则IAB IBC IAC S S S S ∆∆∆=++=___________________________r ∴=________________（用a 、b 、c 、S 表示）（2）特别地，在Rt △ABC 中∠ACB =90º，如右图，（1）中结论仍然成立，而2ab S =故r =____________________（用a 、b 、c 表示），记作①式；另外，容易证明四边形IPCQ 为正方形，即CP=CQ=r ，所以可以得到r 的另一种表达方式r =__________________（用a 、b 、c 表示），记作②式；由上述①式②式相等，请继续推倒直角三角形中a 、b 、c 的关系. 解：数学试卷答案 A 卷一、选择（每小题3分，共30分）1. C 2．C 3. A 4. D 5．C 6. B 7.A 8．D 9.A 10.A 二、填空（每小题4分，共24分）11. x <8;. x ≤0且不等于-3 12. -50+1=-49 13. 12 14.±6 15..5:3, 8:3 16. 三边分别相等的两个三角形全等 三、解答（共46分）17. 因式分解：（1） 24x y y - （2）3(21)x x x -+-=x 2y-4y =-x 3+2x 2-x =y(x 2-4) =-x(x 2-2x+1) =y(x+2)（x-2） =-x(x-1)218. 分式化简： （1）xy byx ab 1021432÷- （2）22212()32x y x xy y +--+19.xa bxy y x ab 1452110432-=⋅=-)()()()()()()())(()(y x y x yx y x y x y x y x y x y x y x y x y x 24322222212222---=---+---=--+-=)())(()()（，去分母得：))((方程两边同乘以))((解：1112222222222122221---+=-++-+-+--=++-x x x x x x x x x x x x x x（2）1232724()()839x x --⨯= 22321332323232323232231232132321323213-解得：)()()(）（)()(）（)()(）：（解：解法)()（)()（)()（==-+--==⨯=⨯-+-------x x x x x x x x x 22332233232239432827222232321313323211-=∴=∴=∴=⨯=⨯---------x x x x x x x x x x x x )()23( )( )( ：解法)()( 20. 先化简，再求值：a a a a a a 2)1)(2()21(22+-+÷-+ ，其中042=-a . 解：a a a a a a 2)1)(2()21(22+-+÷-+=))(()()(12212-++⨯-a a a a a a =1-a ∵042=-a ∴2±=a . 又依题意可知， 2-≠a ， ∴2=a 当2=a 时，原式=121. 思路：先证明△DOP ≌△EOP(HL 或AAS)（或利用三角形外角或内角和得出∠DPF=∠EPF ）再证明△DOF ≌△EOF 或△DPF ≌△EPF.22.设B 型机器人每小时搬运x kg ，则A 型机器人每小时搬运（x+30）kg. 依题意列方程得：xx 60030900=+解得：x=60经检验x=60是原方程的根且符合题意 当x=60时，x+30=90.答：A 型机器人每小时搬运90kg ，B 型机器人每小时搬运60kg23. 答案不唯一：如24.（1）500 （2）如右图 （3）54 （4）（人）176********245=⨯ （建议答案不唯一）25.（1）∠BAC 的平分线（2）角的平分线上的点，到角两边的距离相等; IP =IQ ;IA 是∠BAC 的平分线（在角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上） （3）26. （1）AC//BD,AC=BD -10 (2)设运动的时间为t 秒（i ）当点P 、Q 分别在y 轴、x 轴上时PO=QO 得：6-t=8-2t ，解得t=2（秒） （ii ）当点P 、Q 都在y 轴上时PO=QO 得：6-t=2t-8，解得t=314（秒） （iii ）当点P 在x 轴上,Q 在y 轴时若二者都没有提前停止，则PO=QO 得：t-6=2t-8，解得t=2（秒）不合题意；当点Q 提前停止时，有t-6=6，解得t=12（秒） 综上所述：当两动点运动时间为2、314、12秒时，△OPE 与△OQF 全等。