2013届高三人教B版文科数学一轮复习课时作业(51)抛物线A

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高三数学一轮复习课时作业 51抛物线A 文 B 试题

课时作业(五十一)A [第51讲抛物线][时间是：35分钟分值：80分]根底热身1．抛物线y ＝－2x 2的焦点坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0 B ．(－1,0) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－14 D.⎝⎛⎭⎪⎫0，－18 2．抛物线y 2＝8x 的焦点到双曲线x 212－y 24＝1的渐近线的间隔为( )A ．1 B. 3 C.33 D.363．边长为1的正三角形AOB ，O 为坐标原点，AB ⊥x 轴，以O 为顶点且过A 、B 两点的抛物线方程是( )A ．y 2＝36x B ．y 2＝－36x C ．y 2＝±36x D ．y 2＝±33x 4．抛物线y 2＝－x 上的点到直线3x ＋4y －8＝0的间隔的最小值为________．才能提升5．点M (1,0)，直线l ：x ＝－1，点B 是l 上的动点，过点B 垂直于y 轴的直线与线段BM 的垂直平分线交于点P ，那么点P 的轨迹是( )A ．抛物线B ．椭圆C ．双曲线的一支D ．直线6．[2021·模拟] 点A 的坐标为(3,2)，F 为抛物线y 2＝2x 的焦点，假设点P 在抛物线上挪动，当|PA |＋|PF |获得最小值时，那么点P 的坐标是( )A ．(1，2)B ．(2,2)C ．(2，－2)D ．(3，6)7．[2021·模拟] M (a,2)是抛物线y 2＝2x 上的一点，直线MP 、MQ 分别与抛物线交于P 、Q 两点，且直线MP 、MQ 的倾斜角之和为π，那么直线PQ 的斜率为( )A.14B.12 C ．－12 D ．－148．设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 为抛物线上一点，假设OA →·AF →＝－4，那么点A 的坐标为( )A ．(2，±22)B ．(1，±2)C ．(1,2)D ．(2,22)9．假设垂直于x 轴的直线交抛物线y 2＝4x 于点A ，B ，且AB ＝43，那么直线AB 的方程为____________．10．探照灯的反射镜的纵截面是抛物线的一局部，灯口直径60 cm ，灯深40 cm ，那么光源放置位置为灯轴上距顶点________处．11．[2021·联考] 过抛物线y 2＝4x 焦点的直线l 的倾斜角为π3，且l 与抛物线相交于A 、B 两点，O 为原点，那么△AOB 的面积为________．12．(13分)[2021·卷] 如图K51－1，直线l ：y ＝x ＋b 与抛物线C ：x 2＝4y 相切于点A .(1)务实数b 的值；(2)求以点A 为圆心，且与抛物线C 的准线相切的圆的方程．图K51－1难点打破13．(12分)[2021·黄浦区二模] 点P 是直角坐标平面内的动点，点P 到直线x ＝－p2－1(p 是正常数)的间隔为d 1，到点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0的间隔为d 2，且d 1－d 2＝1. (1)求动点P 所在曲线C 的方程；(2)直线l 过点F 且与曲线C 交于不同两点A 、B ，分别过A 、B 点作直线l 1：x ＝－p2的垂线，对应的垂足分别为M 、N ，求证：FM →·FN →＝0.课时作业(五十一)A【根底热身】1．D [解析] 抛物线的HY 方程为x 2＝－12y ，p ＝14，所以焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－18.应选D.2．A [解析] 抛物线y 2＝8x 的焦点F (2,0)到双曲线x 212－y 24＝1的渐近线y ＝±33x 的间隔 d ＝1.应选A.3．C [解析] 设AB ⊥x 轴于点D ，那么|OD |＝1·cos30°＝32，|AD |＝1·sin30°＝12，所以A ⎝⎛⎭⎪⎫32，12.由题意可设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，将点A 的坐标代入，即可得2p ＝36.结合图形的对称性知应选C.4.43[解析] 设抛物线上动点P (－y 2，y )，那么该点到直线3x ＋4y －8＝0的间隔为d ＝|－3y 2＋4y －8|5＝|3y 2－4y ＋8|5＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3⎝ ⎛⎭⎪⎫y －232＋2035≥43. 【才能提升】5．A [解析] 由点P 在BM 的垂直平分线上，故|PB |＝|PM |.又PB ⊥l ，因此点P 到直线l 的间隔等于点P 到点M 的间隔，所以点P 的轨迹是抛物线．应选A.6．B [解析] 过P 作抛物线准线l ：x ＝－12的垂线，垂足为Q ，那么|PF |＝|PQ |，所以只需求|PA |＋|PQ |的最小值．当A 、P 、Q 三点一共线时，|PA |＋|PQ |最小，此时P 点纵坐标为2，代入抛物线方程得横坐标为2，所以点P 坐标为(2,2)．应选B.7．C [解析] 易知a ＝2，设直线MP 、MQ 的方程分别为y ＝x －2＋2，y ＝－(x －2)＋2，分别代入抛物线方程，可得点P (0,0)，Q (8，－4)，所以可求得直线PQ 斜率为－12.应选C.8．B [解析] 设A (x 0，y 0)，F (1,0)，OA →＝(x 0，y 0)，AF →＝(1－x 0，－y 0)， OA →·AF →＝x 0(1－x 0)－y 20y 20＝4x 0，所以x 0－x 20－4x 0＋4＝0，即x 20＋3x 0－4＝0，x 1＝1，x 2＝－4(舍)．所以x 0＝1，y 0＝±2.应选B.9．x ＝3 [解析] 由题意知，点A ，B 的纵坐标为23和－23，代入抛物线方程求得x ＝3，所以直线AB 的方程为x ＝3.10．5.625 cm [解析] 将抛物线放到直角坐标系中，使顶点与原点重合，焦点在x 轴正半轴上，那么由题意可知点(40,30)在抛物线上，代入y 2＝2px 中，解得p ＝454，而光源放在焦点位置，间隔顶点12p ＝458＝5.625 cm 处．11.43 3 [解析] 抛物线焦点为F (1,0)，直线l 的方程为y ＝3(x －1)，代入抛物线方程消去x 得3y 2－4y －43＝0，解得y A ＝－23，y B ＝63，所以△AOB 的面积为12|OF |·|y B－y A |＝12×83＝433.12．[解答] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ，x 2＝4y 得x 2－4x －4b ＝0.(*)因为直线l 与抛物线C 相切，所以Δ＝(－4)2－4×(－4b )＝0. 解得b ＝－1.(2)由(1)可知b ＝－1，故方程(*)即为x 2－4x ＋4＝0. 解得x ＝2，代入x 2＝4y ，得y ＝1，故点A (2,1)．因为圆A 与抛物线C 的准线相切，所以圆A 的半径r 等于圆心A 到抛物线的准线y ＝－1的间隔，即r ＝|1－(－1)|＝2. 所以圆A 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4. 【难点打破】13．[解答] (1)设动点为P (x ，y )，根据题意，有⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋p 2＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 22＋y 2＝1，化简得y 2＝2px .因此，动点P 所在曲线C 的方程是：y 2＝2px .(2)由题意可知，当过点F 故可设直线l ：x ＝my ＋p2，如下图．联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，x ＝my ＋p2，可化为y 2－2mpy －p 2＝0，那么点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)的坐标满足⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝2mp ，y 1y 2＝－p 2.又AM ⊥l 1、BN ⊥l 1，可得点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p2，y 1、N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p2，y 2.于是，FM →＝(－p ，y 1)，FN →＝(－p ，y 2)，因此FM →·FN →＝(－p ，y 1)·(－p ，y 2)＝p 2＋y 1y 2＝0.。

高考数学一轮复习 8.7 抛物线课时作业理(含解析)新人教A版

高考数学一轮复习 8.7 抛物线课时作业理（含解析）新人教A 版一、选择题1．(2013·郑州第三次质量预测)抛物线y 2＝12x 的准线与双曲线x 24－y 212＝1的两条渐近线围成的三角形的面积为( )A ．6B ．6 3C ．9D ．9 3解析：抛物线y 2＝12x 的准线方程为x ＝－3，双曲线x 24－y 212＝1的两条渐近线方程为y＝±3x ，故所围成的三角形面积为S ＝3·3×3＝9 3.答案：D2．(2013·北京东城综合练习(二))过抛物线y 2＝4x 焦点的直线交抛物线于A ，B 两点，若|AB |＝10，则AB 的中点到y 轴的距离等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：由抛物线的定义知点A 与点B 到y 2＝4x 的距离之和为10，故AB 中点到准线的距离为5，因准线方程为x ＝－1，故AB 中点到y 轴的距离为4.答案：D3．(2013·北京西城区高三二模)已知正六边形ABCDEF 的边长是2，一条抛物线恰好经过该六边形的四个顶点，则抛物线的焦点到准线的距离是( )A.34B.32C. 3 D ．2 3解析：由已知可以AD 为x 轴，AD 中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，易得C (1，－3)，D (2,0)，设抛物线方程为x 2＝ay ＋b ，代入解得x 2＝3y ＋4，故焦点到准线的距离为32. 答案：B4．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条解析：结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x ＝0，过点(0,1)且平行于x 轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x ＝0)，选C.答案：C5．(2013·福建质检)设抛物线y 2＝6x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，垂足为A ，如果△APF 为正三角形，那么|PF |等于( )A ．4 3B ．6 3C ．6D ．12解析：∵PA ⊥l ，△APF 为等边三角形，∴∠FAB ＝30° 在Rt △ABF 中，∵|BF |＝3， ∴|AF |＝6，∴|PF |＝6 答案：C6．(2014·广州中山一中七校联考)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点．若|AF |＝3，则△AOB 的面积为( )A.22 B. 2 C.322D ．2 2 解析：设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由|AF |＝3及抛物线定义可得，x 1＋1＝3，∴x 1＝2.∴A 点坐标为(2,22)，则直线AB 的斜率k ＝22－02－1＝2 2.∴直线AB 的方程为y ＝22(x－1)，即为22x －y －22＝0，则点O 到该直线的距离为d ＝223.由⎩⎨⎧y 2＝4x ，y ＝22x －1，消去y 得，2x 2－5x ＋2＝0，解得x 1＝2，x 2＝12.∴|BF |＝x 2＋1＝32，∴|AB |＝3＋32＝92.∴S △AOB＝12|AB |·d ＝12×92×223＝322. 答案：C 二、填空题7．(2013·陕西宝鸡第三次模拟)抛物线顶点在原点，焦点在x 轴正半轴，有且只有一条直线l过焦点与抛物线相交于A，B两点，且|AB|＝1，则抛物线方程为________．解析：由抛物线图象可知这样的直线只能是通径，∴|AB|＝1，即2p＝1，∴y2＝x.答案：y2＝x8．(2013·汕头市质量测评(二))上图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降2米后，水面宽________米．解析：建系如右图，设抛物线方程为x2＝2py，过(2，－2)点得p＝－1，∴x2＝－2y，水面下降2米得y＝－4，解得x＝±22，∴水面宽4 2.答案：4 29．(2013·黑龙江哈尔滨四校统一检测)已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x －y＋5＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，则d1＋d2的最小值为________．解析：依题意，抛物线的焦点F (1,0)，过点P 作PN ⊥l ，垂足为N ，过点P 作准线x ＝－1的垂线，垂足为M ，交y 轴于点E ，则d 1＋d 2＝|PN |＋|PE |＝|PN |＋|PM |－1＝|PN |＋|PF |－1≥|FN |－1，当且仅当F ，P ，N 三点共线时等号成立．由于点F 到直线l 的距离为32，所以d 1＋d 2的最小值为32－1.答案：32－110．(2012·重庆卷)过抛物线y 2＝2x 的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，若|AB |＝2512，|AF |<|BF |，则|AF |＝________. 解析：F 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，设A ，B 两点的横坐标为x 1，x 2. 因|AF |<|BF |，故直线AB 不垂直于x 轴．设直线AB 为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，联立直线与抛物线的方程得k 2x 2－(k 2＋2)x ＋k 24＝0，①则x 1＋x 2＝k 2＋2k2，又|AB |＝x 1＋x 2＋1＝2512，可解得k 2＝24，代入①式得12x 2－13x ＋3＝0，即(3x －1)(4x－3)＝0.而|AF |<|BF |，所以x 1＝13，由抛物线的定义得|AF |＝x 1＋12＝56.答案：56三、解答题11．已知抛物线y 2＝2px (p >0)有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，斜边长为213，一直角边的方程是y ＝2x ，求抛物线的方程．解：因为一直角边的方程是y ＝2x ，所以另一直角边的方程是y ＝－12x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x y 2＝2px ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝p 2y ＝p，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝0(舍去)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12xy 2＝2px，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8py ＝－4p，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝0(舍去)，∴三角形的另两个顶点为⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，p 和(8p ，－4p )．∴⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2－8p 2＋p ＋4p 2＝213.解得p ＝45，故所求抛物线的方程为y 2＝85x .12．已知抛物线方程x 2＝4y ，过点P (t ，－4)作抛物线的两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B .(1)求证：直线AB 过定点(0,4)；(2)求△OAB (O 为坐标原点)面积的最小值．解：(1)证明：设切点为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)．又y ′＝12x ，则切线PA 的方程为y －y 1＝12x 1(x －x 1)，即y ＝12x 1x －y 1，切线PB 的方程为y －y 2＝12x 2(x －x 2)，即y ＝12x 2x －y 2，由点P (t ，－4)是切线PA ，PB 的交点可知：－4＝12x 1t －y 1，－4＝12x 2t －y 2，∴过A 、B 两点的直线方程为－4＝12tx －y ，即12tx －y ＋4＝0.∴直线AB ：12tx －y ＋4＝0过定点(0,4)．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧12tx －y ＋4＝0x 2＝4y得x 2－2tx －16＝0.则x 1＋x 2＝2t ，x 1x 2＝－16.S △OAB ＝12×4×|x 1－x 2|＝2x 1＋x 22－4x 1x 2＝24t 2＋64≥16.当且仅当t ＝0时，△OAB 的面积取得最小值16. [热点预测]13．(2013·石家庄质检(二))已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－p2；若拋物线C ：y 2＝2px (p >0)上的点到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值为2.(1)求抛物线C 的方程；(2)若以拋物线上任意一点M 为切点的直线l 与直线l 2交于点N ，试问在x 轴上是否存在定点Q ，使Q 点在以MN 为直径的圆上，若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．解：(1)由定义知l 2为抛物线的准线，抛物线焦点坐标F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0 由抛物线定义知抛物线上点到直线l 2的距离等于其到焦点F 的距离．所以抛物线上的点到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值为焦点F 到直线l 1的距离．所以2＝|2p ＋6|5，则p ＝2，所以抛物线方程为y 2＝4x .(2)设M (x 0，y 0)，由题意知直线l 斜率存在，设为k ，且k ≠0，所以直线l 方程为y －y 0＝k (x －x 0)，代入y 2＝4x 消x 得：ky 2－4y ＋4y 0－ky 20＝0. 由Δ＝16－4k (4y 0－ky 20)＝0，得k ＝2y 0.所以直线l 方程为y －y 0＝2y 0(x －x 0)，令x ＝－1，又由y 2＝4x 0得N ⎝⎛⎭⎪⎫－1，y 20－42y 0 设Q (x 1,0)，则QM →＝(x 0－x 1，y 0)，QN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－x 1，y 20－42y 0 由题意知QM →·QN →＝0，即(x 0－x 1)(－1－x 1)＋y 20－42＝0，把y 20＝4x 0代入左式，得：(1－x 1)x 0＋x 21＋x 1－2＝0，因为对任意的x 0等式恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－x 1＝0，x 21＋x 1－2＝0.所以x 1＝1即在x 轴上存在定点Q (1,0)在以MN 为直径的圆上．。

福建省2013届新课标高考文科数学一轮总复习课件第58讲抛物线

【解析】方法 1：设所求抛物线方程为 x2＝－2py(p>0)，
则焦点为 F(0，－2p)，准线方程为 y＝p2，
因为 M(m，－3)在抛物线上，且|MF|＝5，
m2＝6p
p＝4
则

m2＋－3＋p22＝5 ，解得m＝±2 6 ，
所以抛物线方程为 x2＝－8y，m＝±2 6，准线方程为 y ＝2.
(1)若O→A·O→B＝2，求 c 的值； (2)若 P 为线段 AB 的中点，求证：直线 QA 为此抛物线的切线．
【解析】(1)设直线 AB 的方程为 y＝kx＋c，将该方程代入 y＝x2，得 x2－kx－c＝0. 令 A(a，a2)，B(b，b2)，则 ab＝－c. 因为O→A·O→B＝ab＋a2b2＝－c＋c2＝2，解得 c＝2 或 c＝－1(舍去)，故 c＝2.
d
即P M | MF d．
2圆锥曲线的统一定义为P {M | | MF | e}
d
e 0．当0 e 1时，曲线为椭圆；当e 1时，
曲线为双曲线；当e 1时，曲线为抛物线．
2．定义及标准方程的理解．
1求抛物线的标准方程，要先根据题设判断
抛物线的标准方程的类型，再由条件确定参数p的值．同时，知道抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程三者之间是相依并存的，知道其中一个，就可以求出其他两个．
则|FA|＝|AC|＝xA＋p2 ＝|FA|cosα＋4，解得|FA|＝1－4cosα，则类似地有|FB|＝4－|FB|cosα，解得|FB|＝1＋4cosα，记直线 m 与 AB 的交点为 E，
|FE|＝|FA|－|AE| ＝|FA|－|FA|＋2 |FB|＝12(|FA|－|FB|) ＝21(1－4cosα－1＋4cosα) ＝4scino2sαα. 所以|FP|＝c|FoEsα| ＝sin42α，故|FP|－|FP|cos2α＝sin42α(1－cos2α)＝4·s2isni2nα2α＝8.

高三数学一轮复习课时作业 (50)抛物线A 理新人教B版

[时间：35分钟分值：80分]基础热身1．抛物线y2＝－8x的焦点坐标是( )A．(2,0) B．(－2,0)C．(4,0) D．(－4,0)2．设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A.若△OAF(O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为( )A．y2＝±4x B．y2＝±8xC．y2＝4x D．y2＝8x3．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是( )A．2 B．3C.115D.37164．点A，B在抛物线x2＝2py(p>0)上，若A，B的中点是(x0，y0)，当直线AB的斜率存在时，其斜率为( )A.2py0B.py0C.px0D.x0p能力提升5．[2010·福建卷] 以抛物线y2＝4x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为( ) A．x2＋y2＋2x＝0 B．x2＋y2＋x＝0C．x2＋y2－x＝0 D．x2＋y2－2x＝06．[2010·山东卷] 已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( ) A．x＝1 B．x＝－1C．x＝2 D．x＝－27．[2010·陕西卷] 已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆x2＋y2－6x－7＝0相切，则p的值为( )A.12B．1 C．2 D．48．[2010·辽宁卷] 设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA ⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－3，那么|PF|＝( )A．4 3 B．8C．8 3 D．169．[2011·东北三校模拟] 已知抛物线y＝ax2的准线方程为y＝1，则a的值为________．10．[2010·浙江卷] 设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点A(0,2)．若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为________．11．给定抛物线C：y2＝4x，过点A(－1,0)，斜率为k的直线与C相交于M，N两点，若线段MN的中点在直线x＝3上，则k＝________.12．(13分)[2011·西城一模] 已知抛物线y2＝4x的焦点为F，直线l过点M(4,0)．(1)若点F到直线l的距离为3，求直线l的斜率；(2)设A，B为抛物线上两点，且直线AB不与x轴垂直，若线段AB的垂直平分线恰好过点M，求证：线段AB中点的横坐标为定值．难点突破13．(12分)[2011·西城一模] 已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，过F 的直线交y 轴正半轴于点P ，交抛物线于A ，B 两点，其中点A 在第一象限．(1)求证：以线段FA 为直径的圆与y 轴相切；(2)若FA →＝λ1AP →，BF →＝λ2FA →，λ1λ2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12，求λ2的取值范围．课时作业(五十)A【基础热身】1．B [解析] 由y 2＝－8x ，易知焦点坐标是(－2,0)．2．B [解析] 抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a4，0，则直线l 的方程为y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 4，它与y 轴的交点为A ⎝⎛⎭⎪⎫0，－a 2，所以△OAF 的面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 4·⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2＝4，解得a ＝±8.所以抛物线方程为y 2＝±8x .3．A [解析] 设动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和为d ，直线l 2：x ＝－1为抛物线y 2＝4x 的准线，由抛物线的定义知，P 到l 2的距离等于P 到抛物线的焦点F (1,0)的距离，故本题转化为在抛物线y 2＝4x 上找一个点P 使得P 到点F (1,0)和直线l 2的距离之和最小，最小值为F (1,0)到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离，即d min ＝|4－0＋6|5＝2.4．D [解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 221122＝2py 2，两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝2p (y 1－y 2)，即k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 22p ＝x 0p.【能力提升】 5．D [解析] 因为已知抛物线的焦点坐标为(1,0)，即所求圆的圆心．又知该圆过原点，所以圆的半径为r ＝1，故所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1，即x 2－2x ＋y 2＝0.6．B [解析] 抛物线的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，所以过焦点且斜率为1的直线方程为y ＝x －p2，即x ＝y ＋p2，将其代入y 2＝2px ，得y 2－2py －p 2＝0，所以y 1＋y 22＝p ＝2，所以抛物线方程为y 2＝4x ，准线方程为x ＝－1.7．C [解析] 方法1：∵抛物线的准线方程为x ＝－p2，圆的标准方程为(x －3)2＋y 2＝16.∴3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2＝4，∴p ＝2.方法2：作图可知，抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切于点(－1,0)，所以－p2＝－1，解得p ＝2. 8．B [解析] 设准线l 与x 轴交于点B ，连接AF 、PF ，则|BF |＝p ＝4，∵直线AF 的斜率为－3，∴∠AFB ＝60°.在Rt △ABF 中，|AF |＝4cos60°＝8.又根据抛物线的定义，得|PA |＝|PF |，PA ∥BF ，∴∠PAF ＝60°，∴△PAF 为等边三角形，故|PF |＝|AF |＝8.9．－14 [解析] 抛物线方程为x 2＝1a y ，故其准线方程是y ＝－14a ＝1，解得a ＝－14.10.324 [解析] 设抛物线的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，由B 为线段FA 的中点，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 4，1，代入抛物线方程得p ＝2，则B 到该抛物线准线的距离为p 4＋p 2＝3p 4＝324.11．±22[解析] 过点A (－1,0)，斜率为k 的直线为y ＝k (x ＋1)，与抛物线方程联立后消掉y 得k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2＝0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，有x 1＋x 1＝4－2k 2k2，x 1x 2＝1.因为线段MN 的中点在直线x ＝3上，所以x 1＋x 2＝6，即4－2k 2k 2＝6，解得k ＝±22.而此时k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2＝0的判别式大于零，所以k ＝±22. 12．[解答] (1)由已知，x ＝4不合题意．设直线l 的方程为y ＝k (x －4)．由已知，抛物线C 的焦点坐标为(1,0)，因为点F 到直线l 的距离为3，所以|3k |1＋k2＝3，解得k ＝±22，所以直线l 的斜率为±22. (2)证明：设线段AB 中点的坐标为N (x 0，y 0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则直线MN 的斜率为y 0x 0－4，因为AB 不垂直于x 轴，所以直线AB 的斜率为4－x 0y 0，直线AB 的方程为y －y 0＝4－x 0y 0(x －x 0)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y －y 0＝4－x 0y 0x －x 0，y 2＝4x ，消去x ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 04y 2－y 0y ＋y 20＋x 0(x 0－4)＝0，所以y 1＋y 2＝4y 04－x 0，因为N 为AB 中点，所以y 1＋y 22＝y 0，即2y 04－x 0＝y 0，所以x 0＝2，即线段AB 中点的横坐标为定值2. 【难点突破】13．[解答] (1)证明：由已知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，设A (x 1，y 1)，则y 21＝2px 1，圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1＋p 4，y 12，圆心到y 轴的距离为2x 1＋p 4，圆的半径为|FA |2＝12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2＝2x 1＋p 4，所以，以线段FA 为直径的圆与y 轴相切．(2)解法一：设P (0，y 0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由FA →＝λ1AP →，BF →＝λ2FA →，得 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－p 2，y 1＝λ1(－x 1，y 0－y 1)， ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2－x 2，－y 2＝λ2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－p 2，y 1，所以x 1－p2＝－λ1x 1，y 1＝λ1(y 0－y 1)，p2－x 2＝λ2⎝⎛⎭⎪⎫x 1－p 2，y 2＝－λ2y 1，由y 2＝－λ2y 1，得y 22＝λ22y 21.又y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，所以x 2＝λ22x 1.代入p2－x 2＝λ2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－p 2，得p2－λ22x 1＝λ2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－p 2，p2(1＋λ2)＝x 1λ2(1＋λ2)，整理得x 1＝p2λ2，代入x 1－p2＝－λ1x 1，得p2λ2－p2＝－λ1p2λ2，所以1λ2＝1－λ1λ2，因为λ1λ2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12，所以λ2的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤43，2. 解法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB ：x ＝my ＋p2，将x ＝my ＋p2代入y 2＝2px ，得y 2－2pmy －p 2＝0，所以y 1y 2＝－p 2(*)．由FA →＝λ1AP →，BF →＝λ2FA →，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－p 2，y 1＝λ1(－x 1，y 0－y 1)， ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2－x 2，－y 2＝λ2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－p 2，y 1，所以x 1－p2＝－λ1x 1，y 1＝λ1(y 0－y 1)，p2－x 2＝λ2⎝⎛⎭⎪⎫x 1－p 2，y 2＝－λ2y 1，将y 2＝－λ2y 1代入(*)式，得y 21＝p 2λ2，所以2px 1＝p 2λ2，x 1＝p2λ2.代入x 1－p 2＝－λ1x 1，得1λ2＝1－λ1λ2，因为λ1λ2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12，所以λ2的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤43，2.。

高考数学一轮复习课时作业(五十一) 抛物线

课时作业(五十一) 抛物线1．(多选)(2020·全国高二课时练习)对抛物线x 2＝4y ，下列描述不正确的是( ) A ．开口向上，焦点为(0，1) B ．开口向上，焦点为⎝⎛⎭⎫0，116 C ．开口向右，焦点为(1，0) D ．开口向右，焦点为⎝⎛⎭⎫116，0BCD [因为抛物线的标准方程为x 2＝4y ，所以2p ＝4，p ＝2，开口向上，因此抛物线的焦点为(0，1)，准线为y ＝－1.故A 正确，BCD 都错．] 2．抛物线y ＝x24 上一点P 到焦点距离为3，则点P 到x 轴的距离为( )A ．1B ．2C ．4716D ．478B [由题意知x 2＝4y ，所以抛物线的准线方程为y ＝－1.由抛物线的定义，得y P ＋1＝3，所以y P ＝2，所以点P 到x 轴的距离为2.故选B.] 3．已知AB 是抛物线y 2＝2x 的一条焦点弦，|AB |＝4，则AB 中点C 的横坐标是( ) A ．2 B ．12 C ．32 D ．52C [设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，F 为焦点，则|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2 ＋x 2＋p2 ＝x 1＋x 2＋p ＝4，又p ＝1，所以x 1＋x 2＝3，所以点C 的横坐标是x1＋x22 ＝32，故选C.]4．(2020·全国卷Ⅲ)设O 为坐标原点，直线x ＝2与抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为( )A ．⎝⎛⎭⎫14，0 B ．⎝⎛⎭⎫12，0 C ．(1，0)D ．(2，0)B [将x ＝2代入抛物线方程y 2＝2px 中，得y ＝±2p .不妨令D (2，2p )，则E (2，－2p ).由OD ⊥OE 知OD → ·OE →＝0，即4－4p ＝0，得p ＝1.因此抛物线y 2＝2x 的焦点坐标是⎝⎛⎭⎫12，0 .]5．(多选)(2020·江苏泰州中学高二期中)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F 到准线的距离为2，过点F 的直线与抛物线交于P ，Q 两点，M 为线段PQ 的中点，O 为坐标原点，则( )A ．C 的准线方程为y ＝1B ．线段PQ 长度的最小值为4C ．M 的坐标可能为(3，2)D ．OP → ·OQ →＝－3BCD [焦点F 到准线的距离为p ＝2，所以抛物线C 的焦点为(1，0)，准线方程为x ＝－1，则选项A 错误；当PQ 垂直于x 轴时长度最小，此时P (1，2)，Q (1，－2)，所以|PQ |＝4，则选项B 正确；设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，直线PQ 的方程为x ＝my ＋1，联立x ＝my ＋1，y 2＝2px ，消去y 可得x 2－(4m 2＋2)x ＋1＝0，消去x 可得y 2－4my －4＝0，所以x 1＋x 2＝4m 2＋2，y 1＋y 2＝4m ，当m ＝1时，可得M (3，2)，则选项C 正确；又x 1x 2＝1，y 1y 2＝－4，所以OP → ·OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＝－3，则选项D 正确．]6．在直角坐标系xOy 中，有一定点M (－1，2)，若线段OM 的垂直平分线过抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点，则该抛物线的准线方程是________．解析：依题意可得线段OM 的垂直平分线的方程为2x －4y ＋5＝0，把焦点坐标(0，p2 )代入可求得p ＝52 ，所以准线方程为y ＝－54.答案： y ＝－547．如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽为________米．解析：由题意，可设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0).因为点(2，－2)在抛物线上，所以p ＝1，即抛物线方程为x 2＝－2y .当y ＝－3时，x ＝±6 .所以水位下降1米后，水面宽为2 6 米．答案： 2 68．(2020·浙江金华十校期末)已知抛物线y 2＝ax 的准线方程为x ＝－1，则a ＝________，若过点P (4，0)的直线与抛物线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则|y 1|＋4|y 2|的最小值为________．解析：抛物线y 2＝ax 的准线方程为x ＝－a 4 ，所以－a4＝－1，解得a ＝4.设直线AB 的方程为x ＝my ＋4.联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋4，y2＝4x ，得y 2－4my －16＝0，所以y 1y 2＝－16，即|y 2|＝16|y1|，所以|y 1|＋4|y 2|＝|y 1|＋64|y1|≥2 |y1|·64|y1|＝16，当且仅当|y 1|＝8，即y 1＝±8时，取得最小值，为16.答案： 4；169．抛物线顶点在原点，它的准线过双曲线x2a2 －y2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，并与双曲线实轴垂直，已知抛物线与双曲线的一个交点为⎝⎛⎭⎫32，6 ，求抛物线与双曲线的方程．解析：由题设知，抛物线以双曲线的右焦点为焦点，准线过双曲线的左焦点， ∴p ＝2c .设抛物线方程为y 2＝4c ·x ， ∵抛物线过点⎝⎛⎭⎫32，6 ， ∴6＝4c ·32.∴c ＝1，故抛物线方程为y 2＝4x . 又双曲线x2a2 －y2b2 ＝1过点⎝⎛⎭⎫32，6 ， ∴94a2 －6b2 ＝1.又a 2＋b 2＝c 2＝1， ∴94a2 －61－a2＝1. ∴a 2＝14 或a 2＝9(舍去).∴b 2＝34，故双曲线方程为x214 －y234＝1.10．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，抛物线C 与直线l 1：y ＝－x 的一个交点的横坐标为8.(1)求抛物线C 的方程；(2)不过原点的直线l 2与l 1垂直，且与抛物线交于不同的两点A ，B ，若线段AB 的中点为P ，且|OP |＝|PB |，求△F AB 的面积．解析： (1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8，－8)， ∴(－8)2＝2p ×8.∴2p ＝8，∴抛物线方程为y 2＝8x .(2)由直线l 2与l 1垂直，可设直线l 2：x ＝y ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且直线l 2与x 轴的交点为M .由⎩⎪⎨⎪⎧y2＝8x ，x ＝y ＋m ，得y 2－8y －8m ＝0， Δ＝64＋32m >0，∴m >－2.y 1＋y 2＝8，y 1y 2＝－8m ， ∴x 1x 2＝y 21 y 264 ＝m 2.由题意可知OA ⊥OB ，即x 1x 2＋y 1y 2＝m 2－8m ＝0， ∴m ＝8或m ＝0(舍)，∴直线l 2：x ＝y ＋8，M (8，0). 故S △F AB ＝S △FMB ＋S △FMA ＝12 ·|FM |·|y 1－y 2|＝3（y1＋y2）2－4y1y2＝24 5 .11．已知抛物线C ：y 2＝2px (0<p <4)的焦点为F ，点P 为C 上一动点，A (4，0)，B (p ， 2 p )，且|P A |的最小值为15 ，则|BF |等于( )A ．4B ．92C ．5D ．112B [设P (x ，y )，则|P A |＝（x －4）2＋y2 ，将y 2＝2px 代入上式并整理，得|P A |＝（x －4＋p ）2＋8p －p2 ，∴当x ＝4－p 时，|P A |取最小值为8p －p2 ＝15 ，解得p ＝3或p ＝5.∵0<p <4，∴p ＝3.∴B (3，3 2 )，∴|BF |＝3＋32 ＝92.故选B.]12．(多选)已知O 为坐标原点，M (1，2)，P 是抛物线C ：y 2＝2px 上的一点，F 为其焦点，若F 与双曲线x23－y 2＝1的右焦点重合，则下列说法正确的有( )A ．若|PF |＝6，则点P 的横坐标为4B ．该抛物线的准线被双曲线所截得的线段长度为 3C ．若△POF 外接圆与抛物线C 的准线相切，则该圆面积为9πD ．△PMF 周长的最小值为3＋ 5ACD [因为双曲线的方程为x23－y 2＝1，所以a 3＝3，b 2＝1，则c ＝a2＋b2 ＝2，因为抛物线C 的焦点F 与双曲线x23 －y 2＝1的右焦点重合，所以p2 ＝2，即p ＝4，选项A ：若|PF |＝6，则点P 的横坐标为x 0＝|PF |－p2＝4，所以选项A 正确；选项B ：因为抛物线C 的焦点F 与双曲线x23 －y 2＝1的右焦点重合，所以抛物线的准线被双曲线所截得的线段长度为2b2a ＝23＝233 ，所以选项B 错误；选项C ：因为O (0，0)、F (2，0)，所以△POF 外接圆的圆心的横坐标为1，又因为△POF 外接圆与抛物线C 的准线相切，所以圆心到准线的距离等于圆心到焦点F 的距离等于半径，所以圆心在抛物线上且到准线的距离为3，所以r ＝3，所以该外接圆面积为S ＝πr 2＝9π，所以选项C 正确；选项D ：因为△PMF 的周长为C ＝|PF |＋|PM |＋|MF |＝x P ＋p2 ＋|PM |＋ 5 ＝(x P ＋|PM |)＋2＋ 5≥x M ＋2＋ 5 ＝3＋ 5 ，所以选项D 正确．]13．(2020·广东深圳线上统一测试)已知以F 为焦点的抛物线C ：y 2＝2px (p >0)过点P (1，－2)，直线l 与C 交于A ，B 两点，M 为AB 中点，且OM → ＋OP → ＝λOF → .(1)当λ＝3时，求点M 的坐标；(2)当OA → ·OB →＝12时，求直线l 的方程．解析： (1)将P (1，－2)代入抛物线C 的方程y 2＝2px ，得p ＝2，所以C 的方程为y 2＝4x ，焦点为F (1，0)，当λ＝3时，OM → ＋OP → ＝3OF →，可得M (2，2). (2)法一：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，由OM → ＋OP → ＝λOF →，可得(x 0＋1，y 0－2)＝(λ，0)，所以y 0＝2，所以直线l 的斜率存在且斜率k ＝y1－y2x1－x2 ＝4y1＋y2 ＝2y0＝1，设直线l 的方程为y ＝x ＋b .联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ，y2＝4x ，消去y ，整理得x 2＋(2b －4)x ＋b 2＝0，由Δ＝(2b －4)2－4b 2＝16－16b >0，可得b <1. 因为x 1＋x 2＝4－2b ，x 1x 2＝b 2，所以y 1y 2＝x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2＝4b ，所以OA → ·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝b 2＋4b ＝12，解得b ＝－6或b ＝2(舍去)，所以直线l 的方程为y ＝x －6.法二：设直线l 的方程为x ＝my ＋n ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，联立得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋n ，y2＝4x ，消去x ，整理得y 2－4my －4n ＝0.则Δ＝16m 2＋16n >0，y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4n ，则x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋2n ＝4m 2＋2n ，则M (2m 2＋n ，2m )，由OM → ＋OP → ＝λOF →得(2m 2＋n ＋1，2m －2)＝(λ，0)，所以m ＝1，所以直线l 的方程为x ＝y ＋n ，由Δ＝16＋16n >0，可得n >－1，由y 1y 2＝－4n ，得x 1x 2＝（y1y2）216＝n 2，所以OA → ·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝n 2－4n ＝12，解得n ＝6或n ＝－2(舍去)，所以直线l 的方程为y ＝x －6.14．(2020·福建宁德质量检查)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，Q (12 ，t )在抛物线C上，且|QF |＝32.(1)求抛物线C 的方程及t 的值；(2)若过点M (0，t )的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，N 为AB 的中点，O 是坐标原点，且S △AOB ＝ 3 S △MON ，求直线l 的方程．解析： (1)∵|QF |＝32 ，∴12 ＋p 2 ＝32 ，解得p ＝2，∴抛物线C 的方程为y 2＝4x .将Q (12， t )的坐标代入y 2＝4x ，得t ＝2.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，N (x 0，y 0)，由(1)知M (0，2).显然直线l 的斜率存在，设直线l ：y ＝kx ＋2(k ≠0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y2＝4x ，y ＝kx ＋2，消去y 得k 2x 2－4(1－k )x ＋4＝0.∵Δ＝16(1－k )2－16k 2>0，得k <12 且k ≠0，∴x 1＋x 2＝4（1－k ）k2 ，x 1x 2＝4k2 .∵S △AOB ＝ 3 S △MON ，∴|AB |＝ 3 |MN |， ∴1＋k2 |x 1－x 2|＝ 3 ·1＋k2 |x 0－0|，即|x 1－x 2|＝ 3 |x 0|.∵N 是AB 的中点，∴x 0＝x1＋x22 ，∴(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝3·（x1＋x2）24，整理得(x 1＋x 2)2＝16x 1x 2，∴[4（1－k ）k2 ]2＝64k2 ，解得k ＝－1或13 ，满足题意．∴直线l 的方程为y ＝－x ＋2或y ＝13x ＋2.15．(创新型)(2020·山东潍坊模拟)抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，一条平行于x 轴的光线从点M (3，1)射出，经过抛物线上的点A 反射后，再经抛物线上的另一点B 射出，则△ABM 的周长为( )A ．7112＋26B ．9＋10C ．8312＋26D ．9＋26D [对于y 2＝4x ，令y ＝1，得x ＝14 ，即A (14，1)，结合抛物线的光学性质，得AB 经过焦点F ，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，与抛物线方程联立可得：k 2x 2－2(k 2＋2)x ＋k 2＝0，据此可得：x A x B ＝1，∴x B ＝1xA ＝4，故|AB |＝x A ＋x B ＋p ＝254，将x ＝4代入y 2＝4x 可得y ＝±4，故B (4，－4)，故|MB |＝（4－3）2＋（－4－1）2 ＝26 .故△ABM 的周长为|MA |＋|AB |＋|BM |＝(3－14 )＋254＋26 ＝9＋26 ，故选D.]16．(2020·江苏省如皋中学高二月考)已知顶点在坐标原点，对称轴为x 轴的抛物线过点P (1，2 2 )，则该抛物线的标准方程为____________；设F 为该抛物线的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若F A → ＋FB → ＋FC → ＝0，则|F A → |＋|FB → |＋|FC →|＝________．解析：由已知条件可设抛物线的标准方程为y 2＝ax ，将P 的坐标代入，得(2 2 )2＝a ×1，解得a ＝8，抛物线焦点坐标F (2，0)，准线方程：x ＝－2，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3) ∴F A → ＋FB → ＋FC →＝0， ∴点F 是△ABC 重心，∴x1＋x2＋x33＝2，即x 1＋x 2＋x 3＝6.再由抛物线的定义可得|F A |＝x 1－(－2)＝x 1＋2，|FB |＝x 2－(－2)＝x 2＋2，|FC |＝x 3－(－2)＝x 3＋2，∴|F A → |＋|FB → |＋|FC → | ＝x 1＋2＋x 2＋2＋x 3＋2＝12. 答案： y 2＝8x ；12。

高考数学一轮总复习课时规范练51抛物线新人教A版

课时规范练51 抛物线基础巩固组1.(2020北京,7)设抛物线的顶点为O,焦点为F,准线为l.P是抛物线上异于O的一点,过P作PQ⊥l于Q,则线段FQ的垂直平分线()A.经过点OB.经过点PC.平行于直线OPD.垂直于直线OP2.(2020全国Ⅰ,理4)已知A为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,点A到C的焦点的距离为12,到y轴的距离为9,则p=()A.2B.3C.6D.93.(2021新高考Ⅱ,3)抛物线y2=2px(p>0)的焦点到直线y=x+1的距离为,则p=()A.1B.2C.2D.44.(2022河北唐山期末)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,A(x1,y1),B(x2,y2)是C上两点,若2=4,则=()A. B. C. D.25.已知抛物线E:y2=2px(p>0)的准线为l,圆C:+y2=4,l与圆C交于A,B两点,圆C与E交于M,N两点.若A,B,M,N为同一个矩形的四个顶点,则E的方程为()A.y2=xB.y2=xC.y2=2xD.y2=2x6.(2022江西九师联盟期末)已知F为抛物线C:y2=8x的焦点,M为C上一点,N为C的准线上一点,若△MNF为等边三角形,则△MNF的面积为.7.已知F是抛物线y2=x的焦点,A,B是该抛物线上的两点,若|AF|+|BF|=5,则线段AB的中点到y轴的距离为.综合提升组8.(2022安徽合肥二模)抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,A为抛物线C上一点,以F为圆心,|FA|为半径的圆交抛物线C的准线l于M,N两点,|MN|=2p,则直线AF的斜率为()A.±1B.±C. D.±9.从抛物线的焦点发出的光线经过抛物线反射后,反射光线平行于抛物线的对称轴;反之,平行于抛物线对称轴的光线经抛物线反射后,反射光线经过抛物线的焦点.设抛物线C:y2=x,一束平行于抛物线对称轴的光线经过A(5,2),被抛物线反射后,又射到抛物线C上的Q点,则Q点的坐标为()A.,B.,C.,D.,10.过抛物线y2=4x的焦点F的直线l与抛物线交于A,B两点,且|AF|=2|BF|,则|AB|=()A.3B.9C.D.11.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点M(1,1)的直线与C交于A,B两点,若M恰好为AB的中点,则|AF|+|BF|= ,直线AB的斜率为.创新应用组12.已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,直线l与抛物线C交于A,B两点,连接AF并延长,交抛物线C 于点D,若AB中点的纵坐标为|AB|1,则当∠AFB最大时,|AD|=()A.4B.8C.16D.答案：课时规范练51抛物线1.B因为线段FQ的垂直平分线上的点到F,Q的距离相等,又点P在抛物线上,根据抛物线定义可知,|PQ|=|PF|,所以线段FQ的垂直平分线经过点P.故选B.2.C设点A的坐标为(x,y).由点A到y轴的距离为9可得x=9,由点A到抛物线C的焦点的距离为12,可得x+=12,解得p=6.3.B抛物线的焦点坐标为,0,其到直线xy+1=0的距离d=,解得p=2(p=6舍去),故选B.4.A由题意,=4x2,=4x1,因为2=4,所以4x28x1=4,即x2=1+2x1,故选A.5.C如图,圆C:+y2=4的圆心C是抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点.∵圆C:+y2=4的半径为2,∴|NC|=2,根据抛物线定义可得|NA|=|NC|=2.∵A,B,M,N为同一个矩形的四个顶点,∴点A,N关于直线x=对称,即x N+x A=2=p,∴x N=p,∴|NA|=p=2,即2p=2,则E的方程为y2=2x.故选C.6.16由题意知|MF|=|MN|,则MN与准线垂直,又△MNF为正三角形,所以NF与准线所成的锐角为30°,所以|NF|=8,所以△MNF的面积为82=167设A(x1,y1),B(x2,y2),则由抛物线的定义及|AF|+|BF|=5,可得x1++x2+=5,解得x1+x2=,所以线段AB的中点到y轴的距离为8.D设准线与x轴交于点H,∵|MN|=2p,∴|MH|=p,且|FH|=p,∴|FA|=|FM|==2p.设A(x0,y0),由抛物线定义可知|FA|=x0+,∴x0=,代入抛物线方程中得y0=±p,得A,±p,且F,0.∴直线AF的斜率为±9.D设光线被抛物线反射的反射点为B,则AB∥x轴,把y=2代入y2=x,得x=4,∴B(4,2),设抛物线y2=x的焦点为F,则F,0,∴直线BF的方程为y=x,即y=x,又y2=x,解得x=4,y=2或x=,y=,∴Q,.故选D.10.D(方法1)抛物线的焦点坐标为F(1,0),设点A(x1,y1),B(x2,y2),易知直线l的斜率存在,设其方程为y=k(x1).由得k2x2(2k2+4)x+k2=0,显然Δ=16k2+16>0恒成立,则x1x2=1,①因为|AF|=2|BF|,由抛物线的定义得x1+1=2(x2+1),即x1=2x2+1,②由①②解得x1=2,x2=,所以|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p=2++2=故选D.(方法2)因为|AF|=2|BF|,由结论|AF|=,|BF|=,得=2,所以22cosθ=1+cosθ,即cosθ=,所以sin2θ=,|AB|=11.42不妨设A在第一象限,过点A,B,M分别作准线x=1的垂线,垂足分别为A1,B1,M1,则|MM1|=2.根据梯形中位线定理,得|AA1|+|BB1|=4.根据抛物线的定义,得|AF|+|BF|=|AA1|+|BB1|=4.设A(x1,y1),B(x2,y2),由=4x1,=4x2,得(y1y2)(y1+y2)=4(x1x2),则直线AB的斜率为k==2.12.C设点A(x1,y1),B(x2,y2),D(x3,y3),由抛物线的定义得|AF|+|BF|=y1+y2+2,因为=|AB|1,所以|AF|+|BF|=2|AB|,所以cos∠AFB==,当且仅当|AF|=|BF|时,等号成立.所以当∠AFB最大时,△AFB为等边三角形,AB∥x轴.不妨设此时直线AD的方程为y=x+1,由消去y,得x24x4=0,所以x1+x3=4,所以y1+y3=(x1+x3)+2=14.所以|AD|=16.故选C.。

2013届人教A版一轮复习资料第七节抛物线

一、选择题1．(2012·西安模拟)若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点在圆x 2＋y 2＋2x －3＝0上，则p ＝( )A.12B ．1C ．2D ．3 解析：∵抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为(p 2，0)在圆x 2＋y 2＋2x －3＝0上，∴p 24＋p －3＝0，解得p ＝2或p ＝－6(舍去)．答案：C2．抛物线的顶点在坐标原点，焦点与双曲线y 25－x 241的一个焦点重合，则该抛物线的标准方程可能是( )A ．x 2＝4yB ．x 2＝－4yC ．y 2＝－12xD ．x 2＝－12y 解析：由题意得c ＝5＋4＝3，∴抛物线的焦点坐标为(0,3)或(0，－3)．∴该抛物线的标准方程为x 2＝12y 或x 2＝－12y .答案：D3．若抛物线y 2＝x 上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P 的坐标为( )A ．(14，±24) B ．(18，±24) C ．(14，24) D ．(18，24) 解析：设抛物线的焦点为F ，因为点P 到准线的距离等于它到顶点的距离，所以点P为线段OF 的垂直平分线与抛物线的交点，易求点P 的坐标为(18，±24)．答案：B4．已知点P 是抛物线y 2＝4x 上一点，设点P 到此抛物线准线的距离是d 1，到直线x ＋2y －12＝0的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值是( )A ．5B ．4 C.1155 D.115解析：设抛物线的焦点为F ，则F (1,0)．由抛物线的定义可知d 1＝|PF |，∴d 1＋d 2＝|PF |＋d 2.∴d 1＋d 2的最小值为|PF |＋d 2的最小值．即点F 到直线x ＋2y －12＝0的距离． ∴最小值为|1－12|5＝1155. 答案：C5.如图，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 、B 、C 在抛物线上，若FA＋FB ＋F C ＝0，则|FA |＋|FB |＋|F C |＝( ) A ．6B ．4C ．3D ．2解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，∵F (1,0)，∴FA ＋FB ＋F C ＝(x 1＋x 2＋x 3－3，y 1＋y 2＋y 3)＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＋x 3＝3，y 1＋y 2＋y 3＝0. ∴|FA |＋|FB |＋|F C |＝x 1＋p 2＋x 2＋p 2＋x 3＋p 2(其中p 2＝1)＝3＋3＝6. 答案：A二、填空题6．(2012·大连模拟)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为M ，N 为抛物线上的一点，且满足|NF |＝32|MN |，则∠NMF ＝________. 解析：过N 作准线的垂线，垂足是P ，则有PN ＝NF ，∴PN ＝32MN ，∠NMF ＝∠MNP .又cos ∠MNP ＝32， ∴∠MNP ＝π6，即∠NMF ＝π6. 答案：π67．(2012·烟台模拟)已知抛物线y 2＝4x 与直线2x ＋y －4＝0相交于A 、B 两点，抛物线的焦点为F ，那么|FA |＋|FB |＝________.解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，2x ＋y －4＝0.消去y ，得x 2－5x ＋4＝0(*)，方程(*)的两根为A 、B 两点的横坐标，故x 1＋x 2＝5.因为抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，所以|FA |＋|FB |＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝7.答案：7三、解答题8．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C 的顶点在原点，经过点A (2,2)，其焦点F 在x 轴上．(1)求抛物线C 的标准方程；(2)设直线l 是抛物线的准线，求证：以AB 为直径的圆与准线l 相切．解：(1)设抛物线y 2＝2px (p >0)，将点(2,2)代入得p ＝1.∴y 2＝2x 为所求抛物线的方程．(2)证明：设l AB 的方程为：x ＝ty ＋12，代入y 2＝2x 得：y 2－2ty －1＝0，设AB 的中点为M (x 0，y 0)，则y 0＝t ，x 0＝1＋2t 22. ∴点M 到准线l 的距离d ＝x 0＋12＝1＋2t 22＋12＝1＋t 2.又AB ＝2x 0＋p ＝1＋2t 2＋1＝2＋2t 2，∴d ＝12AB ，故以AB 为直径的圆与准线l 相切． 9.(2011·福建高考)如图，直线l ：y ＝x ＋b 与抛物线C ：x 2＝4y 相切于点A .(1)求实数b 的值；(2)求以点A 为圆心，且与抛物线C 的准线相切的圆的方程．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ，x 2＝4y 得x 2－4x －4b ＝0，(*) 因为直线l 与抛物线C 相切，所以Δ＝(－4)2－4×(－4b )＝0.解得b ＝－1.(2)由(1)可知b ＝－1，故方程(*)为x 2－4x ＋4＝0.解得x ＝2，代入x 2＝4y ，得y ＝1，故点A (2,1)．因为圆A 与抛物线C 的准线相切，所以圆A 的半径r 就等于圆心A 到抛物线的准线y ＝－1的距离，即r ＝|1－(－1)|＝2，所以圆A 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.10．(2012·南通模拟)抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1>x 2，y 1>0，y 2<0)在抛物线上，且存在实数λ，使AF ＋λBF ＝0，|A B |＝254. (1)求直线AB 的方程；(2)求△AOB 的外接圆的方程．解：(1)抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1.∵AF ＋λBF ＝0，∴A ，B ，F 三点共线．由抛物线的定义，得|A B |＝x 1＋x 2＋2. 设直线AB ：y ＝k (x －1)，而k ＝y 1－y 2x 1－x 2，x 1>x 2，y 1>0，y 2<0，∴k >0. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x ，得k 2x 2－2(k 2＋2)x ＋k 2＝0. ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2(k 2＋2)k 2，x 1·x 2＝1，|A B |＝x 1＋x 2＋2＝2(k 2＋2)k 2＋2＝254∴k 2＝169从而k ＝43，故直线AB 的方程为y ＝43(x －1)，即4x －3y －4＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧4x －3y －4＝0，y 2＝4x ，求得A (4,4)，B (14，－1)．设△AOB 的外接圆方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则 ⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0，16＋16＋4D ＋4E ＋F ＝0，116＋1＋14D ＋(－E )＋F ＝0.解得 ⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝－294，E ＝－34，F ＝0. 故△AOB 的外接圆的方程为x 2＋y 2－294x －34y ＝0.。

抛物线(高三一轮复习)

可知当A，P，H三点共线时周长最小，为6＋2 2，故选C.
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命题点2 抛物线的标准方程
例2 (1)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其
准线于点C，准线与对称轴交于点M，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程
A．y2＝4x或y2＝16x B．y2＝x或y2＝8x C．y2＝2x或y2＝4x D．y2＝x或y2＝4x
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解析 (1)由抛物线定义，知|BF|等于B到准线的距离，因为|BC|＝2|BF|，所以∠
BCM＝30°，又|AF|＝3，从而A
p2＋32，3
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思维点睛► 求抛物线的标准方程的方法
(1)定义法； (2)待定系数法：当焦点位置不确定时，分情况讨论．
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针对训练
1．(2023·张家界质检)若点P到直线y＝－1的距离比它到点(0,3)的距离小2，则点
2
3
，A在抛物线上，代入抛物线方程y2＝
2px，得247＝p2＋3p，解得p＝32. 故抛物线方程为y2＝3x.
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(2)设P为(x0，y0)，则M→P ＝(x0，y0－2)，又Fp2，0，∴M→F ＝p2，－2. ∵MF⊥PM，∴M→F ·M→P ＝0，
第八章平面解析几何
第7讲抛物线
数学 N 必备知识自主学习关键能力互动探究课标解读

福建省三明市高考数学一轮复习：51 抛物线

福建省三明市高考数学一轮复习：51 抛物线姓名:________班级:________成绩:________一、单选题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分）直线 x-y+a=0 与圆 ”的（）A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件交于不同两点 A、B，O 为坐标原点，则“a=1”是“向量满足2. （2 分） (2019 高二下·濮阳月考) 若点为抛物线最小值为（）A.1上的动点，为的焦点，则的B.C.D.3. （2 分） (2019 高二下·嘉兴期中) 已知抛物线的焦点为，直线点为，与轴的交点为，且，则点的坐标为（）A.与的交B. C.第 1 页共 11 页D. 4. （2 分） (2019·唐山模拟) 已知抛物线：圆与轴交于，两点，为坐标原点，若 A.2 B.3 C.4 D.5的焦点为，点在，则圆的半径上，以为半径的（）5. （2 分） (2019·东北三省模拟) 已知抛物线的焦点为，过且倾斜角为的直线与抛物线交于线的准线方程为（两点，若）的中点在轴上的射影分别为，且，则抛物A.B.C. D. 6. （2 分） (2019 高二下·福州期中) 椭圆 C 的焦点在 x 轴上，一个顶点是抛物线焦点且垂直于长轴的弦长为 2，则椭圆的离心率为（）的焦点，过A.B.C.D.7. （2 分） (2019·天河模拟) 已知抛物线 C：的焦点为 F，准线 l 与 x 轴的交点为 A，M 是抛物线 C 上的点，且轴，若以 AF 为直径的圆截直线 AM 所得的弦长为 2，则第 2 页共 11 页（）A.2B. C.4D.8. （2 分）已知拋物线的焦点在直线A.B.或C.或D.上,则抛物线的标准方程是（）9.（2 分）设是双曲线的两个焦点，在双曲线上，且满足，则的面积是（）A.1B. C.2D. 10. （2 分）一个动圆的圆心在抛物线的坐标是（）A.上，且该动圆与直线 l:x=-1 相切，则这个动圆必过一个定点B.C.D.第 3 页共 11 页11. （2 分）已知圆若四边形是矩形，则等于（与抛物线）交于两点，与抛物线的准线交于两点，A. B.C.D.12. （2 分） (2019·贵州模拟) 在直角坐标系中，抛物线：与圆：相交于两点，且两点间的距离为，则抛物线的焦点到其准线的距离为（）A. B.C.D.二、填空题 (共 5 题；共 5 分)13. （1 分）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．今有抛物线（），如图，一平行轴的光线射向抛物线上的点 P，反射后又射向抛物线上的点，再反射后又沿平行轴方向射出，且两平行光线间的最小距离为 3，则抛物线的方程为________．14. （1 分） (2016 高二上·湖州期中) 已知圆 M：x2+y2+4x﹣2y+3=0，直线 l 过点 P（﹣3，0），圆 M 的圆心第 4 页共 11 页坐标是________；若直线 l 与圆 M 相切，则切线在 y 轴上的截距是________15. （ 1 分）平面直角坐标系交于点.若中，双曲线的垂心为的焦点，则的渐近线与抛物线的离心率为________16. （1 分） (2017·临川模拟) 在平面直角坐标系 xoy 中，点 P 是直线 3x+4y+3=0 上的动点，过点 P 作圆 C： x2+y2﹣2x﹣2y+1=0 的两条切线，切点分别是 A，B，则|AB|的取值范围为________．17. （1 分）已知椭圆，线段的中点在上，则，点与的焦点不重合．若关于的焦点的对称点分别为 ________．三、解答题 (共 5 题；共 45 分)18. （10 分） (2019 高二下·宝山期末) 已知椭圆右顶点为 A，上顶点为 B，且.（）的左右焦点为、，（1）求直线的方向方量；（2）若是椭圆上的任意一点，求的最大值；（3）过作的平行线交椭圆于 C、D 两点，若，求椭圆的方程.19. （5 分）已知椭圆 C：（1）求椭圆 C 的标准方程；=1（a＞b＞0）过点（1，），且离心率为．（2）若点 P 与点 Q 均在椭圆 C 上，且 P，Q 关于原点对称，问：椭圆上是否存在点 M（点 M 在第一象限），使得△PQM 为等边三角形？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由．20. （10 分） (2018 高二上·沧州期中) 已知椭圆：（）经过点，第 5 页共 11 页离心率为，点为坐标原点.（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆的左焦点任作一直线，交椭圆于，两点，求的取值范围.21. （10 分）已知直线 l 经过两点（2，1），（6，3）．（1）求直线 l 的方程；（2）圆 C 的圆心在直线 l 上，且过点（2，0）和（3，1），求圆 C 的方程． 22. （10 分）在△ABC 中，A 点的坐标为（0，3），BC 边的长为 2，且 BC 在 x 轴上的区间[﹣3，3]上滑动．（1）求△ABC 的外心 P 的轨迹方程；（2）设直线 l：y= 时 b 的值．x+b 与 P 的轨迹交于 E、F 点，原点 O 到直线 l 的距离为 d，求的最大值，并求此第 6 页共 11 页一、单选题 (共 12 题；共 24 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、二、填空题 (共 5 题；共 5 分)13-1、参考答案14-1、 15-1、第 7 页共 11 页16-1、 17-1、三、解答题 (共 5 题；共 45 分)18-1、18-2、第 8 页共 11 页18-3、 19-1、19-2、第 9 页共 11 页20-1、20-2、 21-1、21-2、第 10 页共 11 页22-1、22-2、第11 页共11 页。

2013届高中人教B版文科数学专题训练及解析(51)抛物线B

专题练习(五十一)B [第51讲抛物线][时间：35分钟分值：80分]基础热身1．若a >0，且抛物线y 2＝2ax 与x 2＝2ay 的焦点间距离为1，则a ＝( ) A ．1 B. 2 C.22D ．2 2．动点P 到点F (0,1)的距离比到x 轴的距离大1，则动点P 的轨迹方程是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线3．点P 在抛物线y 2＝－2x 上移动，点Q (2，－1)，则线段PQ 的中点M 的轨迹方程是( )A ．(2y ＋1)2＝4x －4B ．(2y －1)2＝－4x ＋4C ．(2y ＋1)2＝－4x ＋4D ．(2y －1)2＝4x －44．已知抛物线y ＝ax 2的准线方程为y ＝2，则a ＝________.能力提升5．若直线mx －y ＋n 2－1＝0(m >0，n >0)经过抛物线y 2＝4x 的焦点，则1m ＋1n的最小值为( )A ．3＋2 2B ．3＋ 2C.3＋222D.3＋226．抛物线的顶点在坐标原点，焦点与双曲线y 25－x 24＝1的一个焦点重合，则该抛物线的标准方程可能是( )A ．x 2＝4yB ．x 2＝－4yC ．y 2＝－12xD ．x 2＝－12y7．正数a 、b 的等差中项是92、一个等比中项是25，且a >b ，则抛物线y 2＝－b ax 的焦点坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫－516，0B.⎝⎛⎭⎫－25，0 C.⎝⎛⎭⎫15，0 D.⎝⎛⎭⎫－15，0图K51－28．如图K51－2所示，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 依次交抛物线及其准线于点A 、B 、C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝32x B ．y 2＝9xC ．y 2＝92x D ．y 2＝3x9．以抛物线x 2＝－4y 的顶点为圆心，焦点到准线的距离为半径的圆的方程是________________．10．若函数f (x )＝log 2(x ＋1)－1的零点是抛物线x ＝ay 2焦点的横坐标，则a ＝________.11．已知P 为抛物线y 2＝4x 上一点，设P 到准线的距离为d 1，P 到点A (1,4)的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值为________．12．(13分)已知圆C 过定点F ⎝⎛⎭⎫－14，0，且与直线x ＝14相切，圆心C 的轨迹为E ，曲线E 与直线l ：y ＝k (x ＋1)(k ∈R )相交于A 、B 两点．(1)求曲线E 的方程；(2)当△OAB 的面积等于10时，求k 的值．难点突破13．(12分) 已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值．专题练习(五十一)B【基础热身】1．B [解析] 两抛物线的焦点分别为⎝⎛⎭⎫a 2，0，⎝⎛⎭⎫0，a 2，距离为⎝⎛⎭⎫a 22＋⎝⎛⎭⎫a 22＝1，解得a ＝ 2.故选B.2．D [解析] 依题意，动点P 到点F (0,1)的距离等于到直线y ＝－1的距离，且点F (0,1)不在直线y ＝－1上，所以动点P 的轨迹是抛物线．故选D.3．C [解析] 设M (x ，y )，P (x 0，y 0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＝x 0＋2，2y ＝y 0－1，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －2，y 0＝2y ＋1.因为点P 在抛物线y 2＝－2x 上，所以(2y ＋1)2＝－2(2x －2)，即点M 的轨迹方程是(2y ＋1)2＝－4x ＋4.故选C.4．－18 [解析] 抛物线方程为x 2＝y a ，因为准线方程为y ＝2，所以p 2＝2，所以p ＝4，于是1a ＝－2p ＝－8，所以a ＝－18. 【能力提升】5．C [解析] 抛物线的焦点为(1,0)，该点在直线mx －y ＋n 2－1＝0(m >0，n >0)上，所以有2m ＋n ＝2，于是1m ＋1n ＝12⎝⎛⎭⎫1m ＋1n (2m ＋n )＝12⎝⎛⎭⎫n m ＋2m n＋3≥12(22＋3)．故选C. 6．D [解析] 双曲线的焦点是(0,3)和(0，－3)，所以可设抛物线方程为x 2＝±2py (p >0)，于是p 2＝3，p ＝6，所以抛物线方程为x 2＝±12y .故选D. 7．D [解析] 正数a 、b 的等差中项是92，所以a ＋b ＝9；又因为正数a 、b 的一个等比中项是25，所以ab ＝(25)2＝20；而a >b ，所以a ＝5，b ＝4.抛物线方程为y 2＝－45x ，其焦点坐标为⎝⎛⎭⎫－15，0，故选D. 8．D [解析] 过A 、B 分别作准线的垂线AA ′、BD ，垂足分别为A ′、D ，则|BF |＝|BD |.又2|BF |＝|BC |，所以在Rt △BCD 中，∠BCD ＝30°，又|AF |＝3，所以|AA ′|＝3，所以|AC |＝6，|FC |＝3.∴焦点F 到准线的距离为3sin30°＝3×12＝32，即P ＝32，∴抛物线方程为y 2＝3x . 9．x 2＋y 2＝4 [解析] 抛物线的顶点在原点，焦点到准线的距离为2，所以所求圆的方程为x 2＋y 2＝4.10.14 [解析] 函数f (x )的零点是x ＝1，将x ＝ay 2化为y 2＝2×12a x ，所以14a ＝1，得a ＝14. 11．4 [解析] 由抛物线定义得P 到准线的距离d 1等于点P 到焦点F (1,0)的距离|PF |，又点A (1,4)在抛物线外部，所以当点P 、A 、F 三点共线时，d 1＋d 2取得最小值|AF |，即最小值为4.12．[解答] (1)由题意，点C 到定点F ⎝⎛⎭⎫－14，0和直线x ＝14的距离相等， ∴点C 的轨迹方程为y 2＝－x . (2)由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝－x ，y ＝k (x ＋1)，消去x 后，整理得ky 2＋y －k ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由韦达定理有y 1＋y 2＝－1k ，y 1y 2＝－1. 设直线l 与x 轴交于点N ，则N (－1,0)．∵S △OAB ＝S △OAN －S △OBN ＝12|ON ||y 1|－12|ON ||y 2|，＝12|ON ||y 1－y 2|＝12·1·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2 ＝12⎝⎛⎭⎫1k 2＋4. ∵S △OAB ＝10，所以12⎝⎛⎭⎫1k 2＋4＝10，解得k ＝±16. 【难点突破】13．[解答] (1)直线AB 的方程是y ＝22⎝⎛⎭⎫x －p 2，与y 2＝2px 联立，从而有4x 2－5px ＋p 2＝0，所以：x 1＋x 2＝5p 4. 由抛物线定义得：|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝9，所以p ＝4，从而抛物线方程是y 2＝8x .(2)由p ＝4,4x 2－5px ＋p 2＝0可简化为x 2－5x ＋4＝0，从而x 1＝1，x 2＝4，y 1＝－22，y 2＝42，从而A (1，－22)，B (4,42)．设OC →＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42)＝(4λ＋1，42λ－22)，又y 23＝8x 3，即[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.。

高考数学一轮总复习 86抛物线课后强化作业新人教B版

【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 8-6抛物线课后强化作业新人教B 版基础巩固强化一、选择题1．(文)(2013·江西吉安模拟)若点P 到点F (0,2)的距离比它到直线y ＋4＝0的距离小2，则点P 的轨迹方程为( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝－8xC ．x 2＝8yD ．x 2＝－8y[答案] C[解析] 由题意知点P 到点F (0,2)的距离比它到直线y ＋4＝0的距离小2，因此点P 到点F (0,2)的距离与到直线y ＋2＝0的距离相等，故点P 的轨迹是以F 为焦点，y ＝－2为准线的抛物线，∴P 的轨迹方程为x 2＝8y .选C.(理)(2013·东北三校模拟)已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 3(x 3，y 3)在抛物线上，且2x 2＝x 1＋x 3，则有( )A ．|FP 1|＋|FP 2|＝|FP 3|B ．|FP 1|2＋|FP 2|2＝|FP 3|2C ．2|FP 2|＝|FP 1|＋|FP 3|D ．|FP 2|2＝|FP 1|·|FP 3|[答案] C[解析] 抛物线的准线方程为x ＝－p 2，由定义得|FP 1|＝x 1＋p 2，|FP 2|＝x 2＋p2，|FP 3|＝x 3＋p 2，则|FP 1|＋|FP 3|＝x 1＋p 2＋x 3＋p2＝x 1＋x 3＋p,2|FP 2|＝2x 2＋p ，由2x 2＝x 1＋x 3，得2|FP 2|＝|FP 1|＋|FP 3|，故选C.2．(文)(2012·乌鲁木齐地区二诊)已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，P 、Q 是抛物线上的两个点，若△PQF 是边长为2的正三角形，则p 的值是( )A ．2±3B ．2＋ 3 C.3±1 D.3－1[答案] A[解析] F (p 2，0)，设P (y 212p ，y 1)，Q (y 222p，y 2)(y 1≠y 2)．由抛物线定义及|PF |＝|QF |，得y 212p ＋p 2＝y 222p ＋p 2⇒y 21＝y 22⇒y 1＝－y 2，∴|PQ |＝2|y 1|＝2⇒|y 1|＝1，∴|PF |＝12p ＋p2＝2⇒p ＝2±3. (理)直线y ＝x －3与抛物线y 2＝4x 交于A 、B 两点，过A 、B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P 、Q ，则梯形APQB 的面积为( )A ．48B ．56C ．64D ．72[答案] A[解析] 由题意不妨设A 在第一象限，联立y ＝x －3和y 2＝4x 可得A (9,6)，B (1，－2)，而抛物线的准线方程是x ＝－1，所以|AP |＝10，|QB |＝2，|PQ |＝8，故S 梯形APQB ＝12(|AP |＋|QB |)·|PQ |＝48，故选A.3．(文)直线3x －4y ＋4＝0与抛物线x 2＝4y 和圆x 2＋(y －1)2＝1从左到右的交点依次为A 、B 、C 、D ，则|AB ||CD |的值为( )A ．16 B.116 C ．4 D.14[答案] B[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＋4＝0，x 2＝4y得x 2－3x －4＝0，∴x A ＝－1，x D ＝4，y A ＝14，y D ＝4，∵直线3x －4y ＋4＝0恰过抛物线的焦点F (0,1)． ∴|AF |＝y A ＋1＝54，|DF |＝y D ＋1＝5，∴|AB ||CD |＝|AF |－1|DF |－1＝116.故选B. (理)如图，抛物线C 1：y 2＝4x 和圆C 2：(x －1)2＋y 2＝1，直线l 经过C 1的焦点F ，依次交C 1，C 2于A ，B ，C ，D 四点，则AB →·CD →的值为( )A.34 B ．1 C ．2 D ．4[答案] B[解析] 法一：抛物线C 1的焦点F 也是圆C 2的圆心(1,0)．可用特殊法：当l 与x 轴垂直时， |AD |＝4，|BC |＝2， |AB |＝|CD |＝1， ∴AB →·CD →＝|AB →||CD →|＝1.故选B.法二：由抛物线的定义知，|AB →|＝|AF →|－1＝x A ， |CD →|＝|DF →|－1＝x D ， |AB →||CD →|＝x A ·x D ＝p 24＝1.∴AB →·CD →＝|AB →||CD →|＝1.故选B.4．(文)(2013·郑州质量预测)过抛物线y 2＝8x 的焦点F 作倾斜角为135°的直线交抛物线于A 、B 两点，则弦AB 的长为( )A ．4B ．8C ．12D ．16 [答案] D[解析] 抛物线y 2＝8x 的焦点F 的坐标为(2,0)，直线AB 的倾斜角为135°，故直线AB 的方程为y ＝－x ＋2，代入抛物线方程y 2＝8x ，得x 2－12x ＋4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则弦AB 的长|AB |＝x 1＋x 2＋4＝12＋4＝16.(理)(2013·郑州第一次质量检测)已知抛物线x 2＝4y 上有一条长为6的动弦AB ，则AB 的中点到x 轴的最短距离为( )A.34B.32 C ．1 D ．2 [答案] D[解析] 由题意知，抛物线的准线l ：y ＝－1，过点A 作AA 1⊥l 交l 于点A 1，过点B 作BB 1⊥l 交l 于点B 1，设弦AB 的中点为M ，过点M 作MM 1⊥l 交l 于点M 1，则|MM 1|＝|AA 1|＋|BB 1|2.因为|AB |≤|AF |＋|BF |(F 为抛物线的焦点)，即|AF |＋|BF |≥6，当直线AB 过点F 时，等号成立，所以|AA 1|＋|BB 1|＝|AF |＋|BF |≥6,2|MM 1|≥6，|MM 1|≥3，故点M 到x 轴的距离d ≥2，选D.5．(文)将两个顶点在抛物线y 2＝2px (p >0)上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n ，则( )A ．n ＝0B ．n ＝1C ．n ＝2D ．n ≥3[答案] C[解析] 由抛物线的对称性知，在抛物线上的两个顶点关于x 轴对称，所以过抛物线焦点F 作斜率为33(或斜率为－33)的直线与抛物线有两个不同交点，它们关于x 轴的对称点也在抛物线上，这样可得到两个正三角形．(理)(2012·辽宁文，12)已知P ，Q 为抛物线x 2＝2y 上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，－2，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为( )A ．1B ．3C ．－4D ．－8 [答案] C[解析] 由已知可设P (4，y 1)，Q (－2，y 2)． ∵点P ，Q 在抛物线x 2＝2y 上，∴⎩⎪⎨⎪⎧42＝2y 1， ①(－2)2＝2y 2， ②∴⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝8，y 2＝2.∴P (4,8)，Q (－2,2)．又∵抛物线可化为y ＝12x 2，∴y ′＝x .∴过点P 的切线斜率为k 1＝4，切线方程为y ＝4x －8，又∵过点Q 的切线斜率为k 2＝－2， ∴过点Q 的切线为y ＝－2x －2，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x －8，y ＝－2x －2，解得x ＝1，y ＝－4.∴点A 的纵坐标为－4.6．(2013·安徽省级示范高中联考)设O 是坐标原点，F 是抛物线y 2＝4x 的焦点，A 是抛物线上的一点，F A →与x 轴正方向的夹角为60°，则△OAF 的面积为( )A.32B ．2 C. 3D ．1[答案] C[解析] 由题意知，F (1,0)，过A 作AD ⊥x 轴于D .令|FD |＝m ，则|F A |＝2m ，由抛物线的定义知|AF |＝p ＋|FD |＝2＋m ＝2m ，即m ＝2，所以|AD |＝23，S △OAF ＝12|OF |·|AD |＝12×1×23＝ 3.二、填空题7．若点(3,1)是抛物线y 2＝2px 的一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2，则p ＝________.[答案] 2[解析] 设弦两端点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，两式相减得，y 1－y 2x 1－x 2＝2py 1＋y 2＝2，∵y 1＋y 2＝2，∴p ＝2.8．(2013·厦门模拟)已知动圆圆心在抛物线y 2＝4x 上，且动圆恒与直线x ＝－1相切，则此动圆必过定点________．[答案] (1,0)[解析] 因为动圆的圆心在抛物线y 2＝4x 上，且x ＝－1是抛物线y 2＝4x 的准线，所以由抛物线的定义知，动圆一定过抛物线的焦点(1,0)．9．(2013·甘肃天水调研)已知P 为抛物线y ＝14x 2上的动点，点P 在x 轴上的射影为M ，点A 的坐标是(2,0)，则|P A |＋|PM |的最小值是________．[答案] 5－1[解析]如图，抛物线y＝12，即x2＝4y的焦点F(0,1)，记点P在抛物线的准线l：y＝－1上的4x射影为P′，根据抛物线的定义知，|PP′|＝|PF|，则|PP′|＋|P A|＝|PF|＋|P A|≥|AF|＝22＋12＝ 5.所以(|P A|＋|PM|)min＝(|P A|＋|PP′|－1)min＝5－1.三、解答题10．(文)如图，直线l：y＝x＋b与抛物线C：x2＝4y相切于点A.(1)求实数b的值；(2)求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程．[解析] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ，x 2＝4y ，消去y 得，x 2－4x －4b ＝0(*) ∵直线l 与抛物线相切， ∴△＝(－4)2－4×(－4b )＝0， ∴b ＝－1.(2)由(1)知b ＝－1，方程(*)为x 2－4x ＋4＝0，解得x ＝2，代入x 2＝4y 中得，y ＝1，∴A (2,1)． ∵圆A 与抛物线准线y ＝－1相切， ∴r ＝|1－(－1)|＝2.所以圆A 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.(理)已知动圆过定点F (0,2)，且与定直线L ：y ＝－2相切． (1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；(2)若AB 是轨迹C 的动弦，且AB 过F (0,2)，分别以A 、B 为切点作轨迹C 的切线，设两切线交点为Q ，证明：AQ ⊥BQ .[解析] (1)依题意，圆心的轨迹是以F (0,2)为焦点，L ：y ＝－2为准线的抛物线，因为抛物线焦点到准线距离等于4，所以圆心的轨迹方程是x 2＝8y . (2)证明：因为直线AB 与x 轴不垂直，设AB ：y ＝kx ＋2.A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，y ＝18x 2，可得x 2－8kx －16＝0，∴x 1＋x 2＝8k ，x 1x 2＝－16.抛物线方程为y ＝18x 2，求导得y ′＝14x .所以过抛物线上A 、B 两点的切线斜率分别是k 1＝14x 1，k 2＝14x 2，k 1k 2＝14x 1·14x 2＝116x 1·x 2＝－1.所以AQ ⊥BQ .能力拓展提升一、选择题11．(文)设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心、|FM |为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则y 0的取值范围是( )A ．(0,2)B ．[0,2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)[答案] C[解析] 设圆的半径为r ，因为F (0,2)是圆心，抛物线C 的准线方程y ＝－2.圆与准线相切时半径为4.若圆与准线相交则r >4.又因为点M (x 0，y 0)为抛物线x 2＝8y 上一点，所以有x 20＝8y 0.又点M (x 0，y 0)在圆x 2＋(y －2)2＝r 2上．所以x 20＋(y 0－2)2＝r 2>16，所以8y 0＋(y 0－2)2>16，即有y 20＋4y 0－12>0，解得y 0>2或y 0<－6(舍)，∴y 0>2.故选C.(理)(2013·乌鲁木齐第一次诊断)设平面区域D 是由双曲线y 2－x 24＝1的两条渐近线和抛物线y 2＝－8x 的准线所围成的三角形(含边界与内部)．若点(x ，y )∈D ，则x ＋y 的最小值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．3 [答案] B[解析] 由题意知，双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，抛物线的准线方程为x ＝2，设z ＝x ＋y ，得y ＝－x ＋z ，平移直线y ＝－x 过点O (0,0)时，直线y ＝－x ＋z 的纵截距最小，故z min ＝0.12．对于任意n ∈N *，抛物线y ＝(n 2＋n )x 2－(2n ＋1)x ＋1与x 轴交于A n 、B n 两点，以|A n B n |表示该两点的距离，则|A 1B 1|＋|A 2B 2|＋…＋|A 2014B 2014|的值是( )A.20132014B.20142015 C.20122013 D.20152016[答案] B[分析] 抛物线与x 轴交点坐标可令y ＝0求得，设A n (x 1,0)，B n (x 2,0)，则|A n B n |＝|x 2－x 1|，只要把|A n B n |表达为n 的函数，可转化为数列求和问题．[解析] 设A n (x n,0)，B n (x ′n,0)，则x n ＋x ′n ＝2n ＋1n 2＋n ，x n x ′n ＝1n 2＋n ，|A n B n |＝|x n －x ′n |＝(x n ＋x ′n )2－4x n x ′n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋1n 2＋n 2－4n 2＋n ＝1n 2＋n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1， ∴|A 1B 1|＋|A 2B 2|＋…＋|A n B n | ＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1，∴当n ＝2014时，结果为20142015.[点评] 由条件知A n 、B n 的横坐标x 1、x 2是方程(n 2＋n )x 2－(2n ＋1)x ＋1＝0的两根， ∴x 1＝1n ＋1，x 2＝1n ，∴|x 1－x 2|＝1n －1n ＋1.13．(2013·浙江诸暨中学)抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线l 与x 轴相交于点E ，过F 且倾斜角等于60°的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AB ⊥l ，垂足为B ，则四边形ABEF 的面积等于( )A ．3 3B ．4 3C ．6 3D ．8 3[答案] C[解析] y 2＝4x 与y ＝3(x －1)联立得3x 2－10x ＋3＝0，解得x ＝3(x ＝13舍去)，因为点A (3,23)，所以S ＝12×(2＋4)×23＝6 3.二、解答题14．(2013·长春三校调研)在直角坐标系xOy 中，点M (2，－12)，点F 在抛物线C ：y ＝mx 2(m >0)的焦点，线段MF 恰被抛物线C 平分．(1)求m 的值；(2)过点M 作直线l 交抛物线C 于A 、B 两点，设直线F A 、FM 、FB 的斜率分别为k 1、k 2、k 3，问k 1、k 2、k 3能否成公差不为零的等差数列？若能，求直线l 的方程；若不能，请说明理由．[解析] (1)由题得抛物线C 的焦点F 的坐标为(0，14m )，线段MF 的中点N (1，18m －14)在抛物线C 上，∴18m －14＝m,8m 2＋2m －1＝0，∴m ＝14(m ＝－12舍去)． (2)由(1)知抛物线C ：x 2＝4y ，F (0,1)．设直线l 的方程为y ＋12＝k (x －2)，A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＋12＝k (x －2)，x 2＝4y ，得x 2－4kx ＋8k ＋2＝0， Δ＝16k 2－4(8k ＋2)>0，∴k <2－62或k >2＋62.⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝8k ＋2.假设k 1、k 2、k 3能成公差不为零的等差数列，则k 1＋k 3＝2k 2. 而k 1＋k 3＝y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝x 2y 1＋x 1y 2－x 2－x 1x 1x 2＝x 2x 214＋x 1x 224－x 2－x 1x 1x 2＝(x 1x 24－1)(x 1＋x 2)x 1x 2＝(8k ＋24－1)·4k 8k ＋2＝4k 2－k 4k ＋1，k 2＝－34，∴4k 2－k 4k ＋1＝－32，8k 2＋10k ＋3＝0，解得k ＝－12(符合题意)或k ＝－34(不合题意，舍去)．∴直线l 的方程为y ＋12＝－12(x －2)，即x ＋2y －1＝0.∴k 1、k 2、k 3能成公差不为零的等差数列，此时直线l 的方程为x ＋2y －1＝0.15．(文)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于不同的A 、B 两点．(1)如果直线l 过抛物线的焦点，求OA →·OB →的值；(2)如果OA →·OB →＝－4，证明直线l 必过一定点，并求出该定点． [解析] (1)由题意：抛物线焦点为(1,0)，设l ：x ＝ty ＋1，代入抛物线方程y 2＝4x 中得， y 2－4ty －4＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4， ∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2 ＝(ty 1＋1)(ty 2＋1)＋y 1y 2 ＝t 2y 1y 2＋t (y 1＋y 2)＋1＋y 1y 2 ＝－4t 2＋4t 2＋1－4＝－3.(2)设l ：x ＝ty ＋b ，代入抛物线方程y 2＝4x 中消去x 得， y 2－4ty －4b ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4b ， ∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2 ＝(ty 1＋b )(ty 2＋b )＋y 1y 2 ＝t 2y 1y 2＋bt (y 1＋y 2)＋b 2＋y 1y 2 ＝－4bt 2＋4bt 2＋b 2－4b ＝b 2－4b .令b 2－4b ＝－4，∴b 2－4b ＋4＝0，∴b ＝2， ∴直线l 过定点(2,0)．∴若OA →·OB →＝－4，则直线l 必过一定点．(理)已知OA →＝(0，－2)，OB →＝(0,2)，直线l ：y ＝－2，动点P 到直线l 的距离为d ，且d＝|PB →|.(1)求动点P 的轨迹方程；(2)直线m ：y ＝kx ＋1(k >0)与点P 的轨迹交于M ，N 两点，当AM →·AN →≥17时，求直线m 的倾斜角α的取值范围；(3)设直线h 与点P 的轨迹交于C ，D 两点，写出命题“如果直线h 过点B ，那么OC →·OD →＝－12”的逆命题，并判断该逆命题的真假，请说明理由．[解析] (1)由题意知，动点P 到直线l 的距离与P 到定点B 的距离相等，所以P 的轨迹是以B 为焦点，l 为准线的抛物线，点P 的轨迹方程为x 2＝8y .(2)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝8y ，消去y 并整理得x 2－8kx －8＝0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．因为k >0，所以Δ＝64k ＋32>0，由韦达定理得x 1＋x 2＝8k ，x 1x 2＝－8.所以y 1＋y 2＝kx 1＋1＋kx 2＋1＝k (x 1＋x 2)＋2＝8k ＋2，y 1y 2＝(kx 1＋1)(kx 2＋1)＝kx 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝－8k ＋k ·8k ＋1＝1，所以AM →·AN →＝(x 1，y 1＋2)·(x 2，y 2＋2) ＝x 1x 2＋(y 1＋2)(y 2＋2) ＝x 1x 2＋y 1y 2＋2(y 1＋y 2)＋4 ＝－8＋1＋2(8k ＋2)＋4 ＝16k ＋1. 而AM →·AN →≥17，所以16k ＋1≥17，所以k ≥1，即tan α≥1，又0≤α<π，所以π4≤α<π2，即直线m 的倾斜角α的取值范围是[π4，π2)．(3)逆命题：若OC →·OD →＝－12，则直线h 过点B .为假命题．设h ：y ＝nx ＋b ，代入x 2＝8y ，消去y 得x 2－8nx －8b ＝0. 设C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，则x 3＋x 4＝8n ，x 3·x 4＝－8b ，所以OC →·OD →＝x 3x 4＋y 3y 4＝x 3x 4＋(nx 3＋b )(nx 4＋b ) ＝－8b ＋n 2(－8b )＋bn ·8n ＋b 2 ＝b 2－8b .令b 2－8b ＝－12，解得b ＝2或b ＝6. 此时直线h 过点(0,2)或(0,6)，故逆命题为假命题．考纲要求1．理解抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质． 2．理解数形结合的思想，了解抛物线的简单应用．补充材料1．由于抛物线的标准方程有四种不同形式，故求抛物线标准方程时，一定要注意区分焦点在哪个轴上加以讨论．抓准抛物线的开口方向及p 的几何意义是准确迅速求解的关键．2．抛物线的焦点弦涉及抛物线的焦半径或焦点弦的问题，常考虑应用定义求解．(1)若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点弦为AB ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有如下结论：①|AB |＝x 1＋x 2＋p ； ②y 1y 2＝－p 2； ③x 1x 2＝p 24.(2)直线l 过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0时，常设l ：x ＝my ＋p2以简化运算． 3．韦达定理的应用涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时要注意利用韦达定理，以避免求交点坐标的复杂运算．4．关于抛物线的最值问题(1)A 为抛物线弧内一定点，F 为焦点，P 为抛物线上任一点，求|P A |＋|PF |的最小值问题常用定义转化，由A 向抛物线的准线作垂线与抛物线的交点为取到最小值的P 点．(2)直线l 与抛物线无公共点，求抛物线上的点到l 的最小值问题，一般可设出抛物线上的点，用点到直线距离公式转化为二次函数求最值，或设出与l 平行且与抛物线相切的直线，转化为两平行直线间的距离，后者更简便．(3)解题原理：“两点之间线段最短”，“点到直线的垂线段最短”，三点A 、B 、C 中，|AB |＋|BC |≥|AC |等．5．求参数范围的方法有两种：①根据题目给出的已知条件列出一个关于参数的函数关系式，将其代入由题目列出的不等式(消元)，然后求解不等式；②由题目条件和结论建立目标函数，进而转化为求函数的值域．备选习题1．(2013·潍坊模拟)已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，F 关于原点的对称点为P ，过F 作x 轴的垂线交抛物线于M 、N 两点，有下列四个命题：①△PMN 必为直角三角形；②△PMN 不一定为直角三角形；③直线PM 必与抛物线相切；④直线PM 不一定与抛物线相切．其中正确的命题是( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④ [答案] A[解析] 因为|PF |＝|MF |＝|NF |，故∠FPM ＝∠FMP ，∠FPN ＝∠FNP ，从而可知∠MPN ＝90°，故①正确，②错误；令直线PM 的方程为y ＝x ＋p2，代入抛物线方程可得y 2－2py ＋p 2＝0，Δ＝0，所以直线PM 与抛物线相切，故③正确，④错误．2．(2013·四川省万源市三中模拟)已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点M (2，y 0)．若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则|OM |＝( )A ．2 2B ．2 3C ．4D ．2 5[答案] B[解析] 由抛物线定义知，M 到准线的距离为3，∴p2＝1，∴p ＝2，∴抛物线方程为y 2＝4x ，∴M (2，±22)，∴|OM |＝23，故选B.3．(2013·武汉市部分学校联考)过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A ，B 两点，它们到直线x ＝－2的距离之和等于7，则这样的直线( )A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C ．有无穷多条D ．不存在[答案] B[解析] 抛物线y 2＝4x 的通径(过焦点垂直于对称轴的线段)长为4，由抛物线的定义及题设条件知，|AB |＝7－2＝5>4，故这样的直线有且仅有两条．4．已知抛物线x 2＝4y 上的动点P 在x 轴上的射影为点M ，点A (3,2)，则|P A |＋|PM |的最小值为________．[答案]10－1[解析] 设d 为点P 到准线y ＝－1的距离，F 为抛物线的焦点，由抛物线定义及数形结合得，|P A |＋|PM |＝d －1＋|P A |＝|P A |＋|PF |－1≥|AF |－1＝10－1.5．(2013·福州期末)若抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，动点P 在曲线y 2＝－4x (y ≥0)上，则△P AB 的面积的最小值为________．[答案] 2 2[解析] 由题意得F (1,0)，直线AB 的方程为y ＝x －1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，y 2＝4x ，得x 2－6x ＋1＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝1， ∴|AB |＝2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝8.设P (－y 204，y 0)，则点P 到直线AB 的距离为|y 204＋y 0＋1|2，∴△P AB 的面积S ＝|y 20＋4y 0＋4|2＝(y 0＋2)22≥22，即△P AB 的面积的最小值是2 2.。

高三数学一轮复习课时作业3：抛物线

8.7抛物线A 级基础达标1．以抛物线y 2＝8x 上的任意一点为圆心作圆与直线x ＋2＝0相切，这些圆必过一定点，则这一定点的坐标是( )A ．(0,2)B ．(2,0)C ．(4,0)D ．(0,4)2．『2014·桂林调研』已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )A.74B.54C.34D ．13．『2014·南通模拟』已知点A (3,4)，F 是抛物线y 2＝8x 的焦点，M 是抛物线上的动点，当|AM |＋|MF |最小时，M 点坐标是( )A ．(0,0)B ．(3,26)C ．(2,4)D ．(3，－26)4．『2014·河南联考』设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点A 在y 轴上，若线段F A 的中点B 在抛物线上，且点B 到抛物线准线的距离为324，则点A 的坐标为( )A ．(0，±2)B ．(0,2)C ．(0，±4)D ．(0,4)『答案』A5．『2013·浙江宁波』对于抛物线y 2＝4x 上任意一点Q ，点P (a,0)满足|PQ |≥|a |，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(－∞，2』C ．『0,2』D ．(0,2)6．『2014·银川质检』直线4kx －4y －k ＝0与抛物线y 2＝x 交于A 、B 两点，若|AB |＝4，则弦AB 的中点到直线x ＋12＝0的距离等于( )A.74 B ．2 C.94D ．47．『2014·郑州模拟』设斜率为1的直线l 过抛物线y 2＝ax (a >0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为8，则a 的值为________．8．已知抛物线y 2＝4x 的弦AB 的中点的横坐标为2，则|AB |的最大值为________．9．动直线l 的倾斜角为60°，且与抛物线x 2＝2py (p >0)交于A ，B 两点，若A ，B 两点的横坐标之和为3，则抛物线的方程为________．10．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)过点A (1，－2)． (1)求抛物线C 的方程，并求其准线方程；(2)是否存在平行于OA (O 为坐标原点)的直线l ，使得直线l 与抛物线C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于55？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由． 11．『2014·株洲模拟』已知顶点在坐标原点，焦点在x 轴正半轴的抛物线上有一点A (12，m )，A 点到抛物线焦点的距离为1.(1)求该抛物线的方程；(2)设M (x 0，y 0)为抛物线上的一个定点，过M 作抛物线的两条互相垂直的弦MP ，MQ ，求证：PQ 恒过定点(x 0＋2，－y 0)．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0，－1)，B 点在直线y ＝－3上，M 点满足M B →∥O A →，M A →·A B →＝M B →·B A →，M 点的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程；(2)P 为C 上的动点，l 为C 在P 点处的切线，求O 点到l 距离的最小值．B 级知能提升1．如图，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A ，B ，C 在抛物线上，若F A →＋FB →＋FC →＝0，则|F A →|＋|FB →|＋|FC →|＝( )A ．6B ．4C ．3D ．22．『2014·济南调研』已知直线l 1：4x －3y ＋11＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )A ．2B ．3 C.115D.37163．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作倾斜角为45°的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的长为8，则p ＝________.4．如图，等边三角形OAB 的边长为83，且其三个顶点均在抛物线E ：x 2＝2py (p >0)上．(1)求抛物线E 的方程；(2)设动直线l 与抛物线E 相切于点P ，与直线y ＝－1相交于点Q ，证明以PQ 为直径的圆恒过y 轴上某定点．解析及答案05限时规范特训A 级基础达标1．『解析』x ＋2＝0为抛物线的准线，根据抛物线的定义，圆心到准线的距离等于圆心到焦点的距离，故这些圆恒过定点(2,0)．『答案』B2．『解析』设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，则|AF |＋|BF |＝x A ＋p 2＋x B ＋p2＝x A ＋x B ＋p ＝3.则AB 的中点C (x A ＋x B 2，y A ＋y B 2)到y 轴距离d ＝x A ＋x B 2＝3－p2＝3－122＝32－14＝54.『答案』B3．『解析』由题知点A 在抛物线内．设M 到准线的距离为|MK |，则|MA |＋|MF |＝|MA |＋|MK |，当|MA |＋|MK |最小时，M 点坐标是(2,4)．『答案』C4．『解析』在△AOF 中，点B 为边AF 的中点，故点B 的横坐标为p 4，因此324＝p 4＋p2，解得p ＝2，故抛物线方程为y 2＝22x ，可得点B 坐标为(24，±1)，故点A 的坐标为(0，±2)．『答案』A5．『解析』设点Q 的坐标为(y 204，y 0)，由|PQ |≥|a |，得y 20＋(y 204－a )2≥a 2，整理得y 20(y 20＋16－8a )≥0，∵y 20≥0，∴y 20＋16－8a ≥0，即a ≤2＋y 208恒成立．而2＋y 208的最小值为2，所以a ≤2.选B.『答案』B6．『解析』直线4kx －4y －k ＝0，即y ＝k (x －14)，即直线4kx －4y －k ＝0过抛物线y 2＝x 的焦点(14，0)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋12＝4，故x 1＋x 2＝72，则弦AB 的中点的横坐标是74，所以弦AB 的中点到直线x ＋12＝0的距离是74＋12＝94.『答案』C7．『解析』依题意，有F (a 4，0)，直线l 为y ＝x －a 4，所以A (0，－a4)，△OAF 的面积为12×a 4×a4＝8.解得a ＝±16，依题意，只能取a ＝16. 『答案』168．『解析』利用抛物线的定义可知，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1＋x 2＝4，那么|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋2，由图可知|AF |＋|BF |≥|AB |⇒|AB |≤6，当AB 过焦点F 时取最大值为6.『答案』69．『解析』设直线l 的方程为y ＝3x ＋b ，联立⎩⎨⎧y ＝3x ＋bx 2＝2py，消去y ，得x 2＝2p (3x＋b )，即x 2－23px －2pb ＝0，∴x 1＋x 2＝23p ＝3，∴p ＝32，则抛物线的方程为x 2＝3y . 『答案』x 2＝3y10．『解』(1)将(1，－2)代入y 2＝2px ，得(－2)2＝2p ×1，所以p ＝2. 故抛物线C 的方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1. (2)假设存在符合题意的直线l ，其方程为y ＝－2x ＋t .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋t y 2＝4x 得y 2＋2y －2t ＝0. 因为直线l 与抛物线C 有公共点，所以Δ＝4＋8t ≥0，解得t ≥－12.由直线OA 与l 的距离d ＝55可得|t |5＝15，解得t ＝±1. 因为－1∉『－12，＋∞)，1∈『－12，＋∞)，所以符合题意的直线l 存在，其方程为2x ＋y －1＝0.11．『解』(1)由题意可设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，则由抛物线的定义可得p 2＋12＝1，即p ＝1，∴抛物线的方程为y 2＝2x .(2)证明：由题意知，直线PQ 与x 轴不平行，设PQ 所在直线方程为x ＝ay ＋n ，代入y 2＝2x 得y 2－2ay －2n ＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2a ，y 1y 2＝－2n ， ∵MP ⊥MQ ，∴k MP ·k MQ ＝－1. 即y 1－y 0x 1－x 0·y 2－y 0x 2－x 0＝－1，∴(y 1＋y 0)(y 2＋y 0)＝－4. 即y 1·y 2＋(y 1＋y 2)y 0＋y 20＋4＝0，即(－2n )＋2ay 0＋2x 0＋4＝0，即n ＝ay 0＋x 0＋2. ∴直线PQ 的方程为x ＝ay ＋ay 0＋x 0＋2，即x ＝a (y ＋y 0)＋x 0＋2，它一定过定点(x 0＋2，－y 0)． 12．『解』(1)设M (x ，y )，由已知得B (x ，－3)，A (0，－1)．所以M A →＝(－x ，－1－y )，M B →＝(0，－3－y )，A B →＝(x ，－2)．再由题意可知(M A →＋M B →)·A B →＝0，即(－x ，－4－2y )·(x ，－2)＝0，所以曲线C 的方程为y ＝14x 2－2.(2)设P (x 0，y 0)为曲线C ：y ＝14x 2－2上一点，因为y ′＝12x ，所以l 的斜率为12x 0.因此直线l 的方程为y －y 0＝12x 0(x －x 0)，即x 0x －2y ＋2y 0－x 20＝0.则O 点到l 的距离d ＝|2y 0－x 20|x 20＋4.又y 0＝14x 20－2，所以d ＝12x 2＋4x 20＋4＝12(x 20＋4＋4x 20＋4)≥2，当x 0＝0时取等号，所以O 点到l 距离的最小值为2.B 级知能提升1．『解析』设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，∵F (1,0)，∴F A →＋FB →＋FC →＝(x 1＋x 2＋x 3－3，y 1＋y 2＋y 3)＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＋x 3＝3，y 1＋y 2＋y 3＝0. ∴|F A →|＋|FB →|＋|FC →|＝x 1＋p 2＋x 2＋p 2＋x 3＋p2＝3＋3＝6.『答案』A2．『解析』因为x ＝－1恰为抛物线y 2＝4x 的准线，所以可画图观察．如图：d 2＝|PF |，∴d 1＋d 2＝d 1＋|PF |≥|4×1－3×0＋11|42＋32＝155＝3.『答案』B3．『解析』设点A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 且倾斜角为45°的直线方程为y ＝x －p 2，把y ＝x －p 2代入y 2＝2px ，得x 2－3px ＋14p 2＝0，∴x 1＋x 2＝3p ，∵|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4p ＝8，∴p ＝2.『答案』24．『解』(1)依题意，|OB |＝83，∠BOy ＝30°. 设B (x ，y )，则x ＝|OB |sin30°＝43，y ＝|OB |cos30°＝12.因为点B (43，12)在x 2＝2py 上，所以(43)2＝2p ×12，解得p ＝2.故抛物线E 的方程为x 2＝4y .(2)方法一：由(1)知y ＝14x 2，y ′＝12x .设P (x 0，y 0)，则x 0≠0，且l 的方程为y －y 0＝12x 0(x －x 0)，即y ＝12x 0x －14x 20.由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝12x 0x －14x 20y ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 20－42x 0y ＝－1.所以Q (x 20－42x 0，－1)．设M (0，y 1)，令MP →·MQ →＝0对满足y 0＝14x 20(x 0≠0)的点(x 0，y 0)恒成立．由于MP →＝(x 0，y 0－y 1)，MQ →＝(x 20－42x 0，－1－y 1)，由MP →·MQ →＝0，得x 20－42－y 0－y 0y 1＋y 1＋y 21＝0，即(y 21＋y 1－2)＋(1－y 1)y 0＝0 (*)．由于(*)式对满足y 0＝14x 20(x 0≠0)的y 0恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－y 1＝0y 21＋y 1－2＝0，解得y 1＝1.故以PQ 为直径的圆恒过y 轴上的定点M (0,1)．。

高三数学一轮复习作业抛物线B理新人教B版

课时作业(五十)B [第50讲抛物线][时间：35分钟分值：80分]基础热身1．若点P (x ，y )到点F (0,2)的距离比它到直线y ＋4＝0的距离小2，则P (x ，y )的轨迹方程为( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝－8xC ．x 2＝8yD ．x 2＝－8y2．抛物线x 2＝(2a －1)y 的准线方程是y ＝1，则实数a ＝( ) A.52 B.32 C ．－12 D ．－323．已知抛物线y 2＝4x ，若过焦点F 且垂直于对称轴的直线与抛物线交于A ，B 两点，O 是坐标原点，则△OAB 的面积是( )A ．1B ．2C ．4D ．64．对于抛物线y 2＝4x 上任意一点Q ，点P (a,0)都满足|PQ |≥|a |，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(－∞，2]C ．[0,2]D ．(0,2) 能力提升5．已知A ，B 是抛物线y 2＝2px (p >0)上的两点，O 是原点，若|OA |＝|OB |，且△AOB 的垂心恰好是抛物线的焦点，则直线AB 的方程是( )A ．x ＝pB ．x ＝3pC ．x ＝32pD ．x ＝52p6．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 3(x 3，y 3)均在抛物线上，且2x 2＝x 1＋x 3，则有( )A ．|FP 1|＋|FP 2|＝|FP 3|B ．|FP 1|2＋|FP 2|2＝|FP 3|2C ．2|FP 2|＝|FP 1|＋|FP 3|D ．|FP 2|2＝|FP 1|·|FP 3|7．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )A.172B ．3C. 5D.928．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且|AK |＝2|AF |，则△AFK 的面积为( )A ．4B ．8C ．16D ．329．已知抛物线C 的顶点坐标为原点，焦点在x 轴上，直线y ＝x 与抛物线C 交于A ，B 两点，若P (2,2)为AB 的中点，则抛物线C 的方程为________．10．[2010·全国卷Ⅱ] 已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的准线为l ，过M (1,0)且斜率为3的直线与l 相交于点A ，与C 的一个交点为B .若AM →＝MB →，则p ＝________.11．[2010·重庆卷] 已知以F 为焦点的抛物线y 2＝4x 上的两点A 、B 满足AF →＝3FB →，则弦AB 的中点P 到准线的距离为________．12．(13分)[2012·珠海模拟] 在平面直角坐标系xOy 中，设点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，直线l ：x ＝－12，点P 在直线l 上移动，R 是线段PF 与y 轴的交点，RQ ⊥FP ，PQ ⊥l .(1)求动点Q 的轨迹方程C ； (2)设圆M 过A (1,0)，且圆心M 在曲线C 上，TS 是圆M 在y 轴上截得的弦，当M 运动时，弦长|TS |是否为定值？请说明理由．难点突破13．(12分)[2010·湖北卷] 已知一条曲线C 在y 轴右边，C 上每一点到点F (1,0)的距离减去它到y 轴距离的差都是1.(1)求曲线C 的方程；(2)是否存在正数m ，对于过点M (m,0)且与曲线C 有两个交点A ，B 的任一直线，都有FA →·FB →<0？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．课时作业(五十)B【基础热身】1．C [解析] 点P (x ，y )到点F (0,2)的距离比它到直线y ＋4＝0的距离小2，说明点P (x ，y )到点F (0,2)的距离与到直线y ＋2＝0即y ＝－2的距离相等，轨迹为抛物线，其中p＝4，故所求的抛物线方程为x 2＝8y .2．D [解析] 根据分析把抛物线方程化为x 2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫12－a y ，则焦参数p ＝12－a ，故抛物线的准线方程是y ＝p 2＝12－a 2，则12－a2＝1，解得a ＝－32.3．B [解析] 焦点坐标是(1,0)，A (1,2)，B (1，－2)，|AB |＝4，故△OAB 的面积S ＝12|AB ||OF |＝12×4×1＝2.4．B [解析] 设点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫y 204，y 0，由|PQ |≥|a |，得y 20＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 204－a 2≥a 2，整理，得y 20(y 20＋16－8a )≥0，∵y 20≥0，∴y 20＋16－8a ≥0，即a ≤2＋y 208恒成立．而2＋y 208的最小值为2，所以a ≤2.【能力提升】5．D [解析] A (x 0，y 0)，则B (x 0，－y 0)，由于焦点F p2，0是抛物线的垂心，所以OA⊥BF .由此得y 0x 0×－y 0x 0－p 2＝－1，把y 20＝2px 0代入得x 0＝5p 2，故直线AB 的方程是x ＝52p .6．C [解析] 由抛物线定义，2⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋p 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋p 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋p 2，即2|FP 2|＝|FP 1|＋|FP 3|.7．A [解析] 依题设P 在抛物线准线的投影为P ′，抛物线的焦点为F ，则F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0.依抛物线的定义知P 到该抛物线准线的距离为|PP ′|＝|PF |，则点P 到点A (0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和d ＝|PF |＋|PA |≥|AF |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋22＝172.8．B [解析] ∵抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F (2,0)，准线方程为x ＝－2，∴K (－2,0)，设A (x 0，y 0)，过A 点向准线作垂线AB ，则B (－2，y 0)，∵|AK |＝2|AF |，又AF ＝AB ＝x 0－(－2)＝x 0＋2，∴由BK 2＝AK 2－AB 2得y 20＝(x 0＋2)2，即8x 0＝(x 0＋2)2，解得x 0＝2，∴A (2，±4)，∴△AFK 的面积为12|KF |·|y 0|＝12×4×4＝8.9．y 2＝4x [解析] 设抛物线方程为y 2＝kx ，与y ＝x 联立方程组，消去y ，得：x 2－kx＝0，x 1＋x 2＝k ＝2×2＝4，故y 2＝4x .10．2 [解析] 过B 作BE 垂直于准线l 于E ，∵AM →＝MB →，∴M 为AB 中点，∴|BM |＝12|AB |.又斜率为3，∠BAE ＝30°，∴|BE |＝12|AB |，∴|BM |＝|BE |，∴M 为抛物线的焦点，∴p ＝2.11.83[解析] 设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，则|AF |＝x A ＋1，|BF |＝x B ＋1，∴x A ＋1＝3(x B＋1)．①由几何关系，x A －1＝3(1－x B )．②联立①②，得x A ＝3，x B ＝13，∴所求距离d ＝x A ＋x B 2＋1＝83.12．[解答] (1)依题意知，点R 是线段FP 的中点，且RQ ⊥FP ， ∴RQ 是线段FP 的垂直平分线． ∵|PQ |是点Q 到直线l 的距离．点Q 在线段FP 的垂直平分线上，∴|PQ |＝|QF |. 故动点Q 的轨迹是以F 为焦点，l 为准线的抛物线，其方程为：y 2＝2x (x >0)．(2)弦长|TS |为定值．理由如下：取曲线C 上点M (x 0，y 0)，M 到y 轴的距离为d ＝|x 0|＝x 0，圆的半径r ＝|MA |＝x 0－12＋y 20，则|TS |＝2r 2－d 2＝2y 20－2x 0＋1，因为点M 在曲线C 上，所以x 0＝y 202，所以|TS |＝2y 20－y 20＋1＝2，是定值．【难点突破】 13．[解答] (1)设P (x ，y )是曲线C 上任意一点，那么点P (x ，y )满足x －12＋y 2－x ＝1(x >0)．化简得y 2＝4x (x >0)．(2)设过点M (m,0)(m >0)的直线l 与曲线C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．设l 的方程为x ＝ty ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋m ，y 2＝4x ，得y 2－4ty －4m ＝0，Δ＝16(t 2＋m )>0，于是⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4m .①又FA →＝(x 1－1，y 1)，FB →＝(x 2－1，y 2)， FA →·FB →<0⇔(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋y 1y 2<0.②又x ＝y 24，于是不等式②等价于y 214·y 224＋y 1y 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫y 214＋y 224＋1<0，⇔y 1y 2216＋y 1y 2－14[(y 1＋y 2)2－2y 1y 2]＋1<0.③ 由①式，不等式③等价于m 2－6m ＋1<4t 2.④对任意实数t,4t 2的最小值为0，所以不等式④对于一切t 成立等价于m 2－6m ＋1<0，即3－22<m <3＋2 2.由此可知，存在正数m ，对于过点M (m,0)，且与曲线C 有两个交点A ，B 的任一直线，都有FA →·FB →<0，且m 的取值范围是(3－22，3＋22)．。

高三文科数学一轮复习课时作业(五十二) 抛物线

课时作业(五十二) 抛物线[对应学生用书P 279]1．抛物线y ＝x 24 的焦点坐标是( )A ．⎝⎛⎭⎫0，116 B ．⎝⎛⎭⎫116，0 C ．(0，1)D ．(1，0)C [∵抛物线的标准方程为x 2＝4y ，∴2p ＝4，即p ＝2，且抛物线的焦点在y 轴的正半轴上，∴焦点坐标是(0，1).]2．(2020·陕西宝鸡调研)已知点A (－2，3)在抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为( )A ．－43B ．－1C ．－34D ．－12C [由已知，得准线方程为x ＝－2，所以F 的坐标为(2，0).又A (－2，3)，所以直线AF 的斜率为k ＝3－0－2－2＝－34 .]3．(2021·河南郑州模拟)设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点，若A ，B ，C 三点坐标分别为(1，2)，(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，且|F A → |＋|FB → |＋|FC →|＝10，则x 1＋x 2＝( )A ．6B ．5C ．4D ．3A [根据抛物线的定义知，|F A → |，|FB → |，|FC →|分别等于点A ，B ，C 到准线x ＝－1的距离，所以由|F A → |＋|FB → |＋|FC →|＝10，可得2＋x 1＋1＋x 2＋1＝10，即x 1＋x 2＝6.]4．(2020·安徽合肥质检)位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥有“仙境之桥”之称，它的桥形可近似地看成抛物线，该桥的高度为5 m ，跨径为12 m ，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为( )A ．2512 mB ．256 mC ．95 mD ．185 mD [建立如图所示的平面直角坐标系．设抛物线的解析式为x 2＝－2py ，p ＞0，因为抛物线过点(6，－5)，所以36＝10p ，可得p ＝185 ，所以桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为185m.]5．已知点A (2，1)，抛物线y 2＝4x 的焦点是F ，若抛物线上存在一点P ，使得|P A |＋|PF |最小，则P 点的坐标为( )A ．(2，1)B ．(1，1)C ．(12 ，1)D ．(14，1)D [如图，设抛物线准线为l ，作AA ′⊥l 于A ′，PP ′⊥l 于P ′，则|P A |＋|PF |＝|P A |＋|PP ′|≥|AA ′|，即当P 点为AA ′与抛物线交点时，|P A |＋|PF |最小，此时P (14，1).]6．(2020·河南开封模拟)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB |＝42 ，|DE |＝25 ，则C 的焦点到准线的距离为________．4 [由题意，不妨设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)，由|AB |＝42 ，|DE |＝25 ，可取A ⎝⎛⎭⎫4p ，22 ，D ⎝⎛⎭⎫－p2，5 ，设O 为坐标原点，由|OA |＝|OD |，得16p 2 ＋8＝p 24＋5，得p ＝4.] 7．设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是__________．[－1，1] [可求得Q (－2，0)，当直线l 的斜率不存在时，不满足题意，故设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，代入抛物线方程，消去y 整理得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0，由Δ＝(4k 2－8)2－4k 2·4k 2＝64(1－k 2)≥0，解得－1≤k ≤1.]8．(2021·江西九江模拟)已知抛物线C 1：y ＝12p x 2(p >0)的焦点与双曲线C 2：x 23 －y 2＝1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M .若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p ＝________．433 [抛物线的焦点坐标为(0，p2 )，双曲线的右焦点坐标为(2，0)，所以上述两点连线的方程为x 2 ＋2y p ＝1.双曲线的渐近线方程为y ＝±33 x .对函数y ＝12p x 2，y ′＝1p x .设M (x 0，y 0)，则1p x 0＝33 ，即x 0＝33 p ，代入抛物线方程得y 0＝16 p ，由于点M 在直线x 2 ＋2y p ＝1上，所以36 p ＋2p×p 6 ＝1，解得p ＝43＝433 .] 9．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M .(1)求抛物线的方程；(2)若过M 作MN ⊥F A ，垂足为N ，求点N 的坐标．解 (1)抛物线y 2＝2px 的准线为x ＝－p 2 ，于是4＋p2 ＝5，∴p ＝2.∴抛物线方程为y 2＝4x .(2)∵点A 的坐标是(4，4)，由题意得B (0，4)，M (0，2). 又∵F (1，0)，∴k F A ＝43 ，∵MN ⊥F A ，∴k MN ＝－34.又F A 的方程为y ＝43 (x －1)，①MN 的方程为y －2＝－34x ，②联立①②，解得x ＝85 ，y ＝45，∴N 的坐标为⎝⎛⎭⎫85，45 . 10．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22 的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC → ＝OA → ＋λOB →，求λ的值．解 (1)由题意得直线AB 的方程为 y ＝22 ⎝⎛⎭⎫x －p2 ，与y 2＝2px 联立，消去y 有4x 2－5px ＋p 2＝0，所以x 1＋x 2＝5p 4 .由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝5p4 ＋p ＝9，所以p ＝4，从而该抛物线的方程为y 2＝8x .(2)由(1)得4x 2－5px ＋p 2＝0，即x 2－5x ＋4＝0，则x 1＝1，x 2＝4，于是y 1＝－22 ，y 2＝42 ，从而A (1，－22 )，B (4，42 ).设C (x 3，y 3)，则OC →＝(x 3，y 3)＝(1，－22 )＋λ(4，42 ) ＝(4λ＋1，42 λ－22 ).又y 23 ＝8x 3，所以[22 (2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，整理得(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2. 故λ的值为0或2.11．(2020·陕西西安一模)抛物线有如下光学性质：由焦点射出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线发射后必经过抛物线的焦点．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，一平行于x 轴的光线从点M (3，1)射出，经过抛物线上的点A 反射后，再经抛物线上的另一点B 射出，则直线AB 的斜率为( )A.43 B ．－43 C ．±43 D ．－169B [令y ＝1，代入y 2＝4x 可得x ＝14 ，即A ⎝⎛⎭⎫14，1 .由抛物线的光学性质可知，直线AB 经过焦点F (1，0)，所以k ＝1－014－1 ＝－43 .]12．(2020·安徽合肥质检)过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 作斜率为k 的直线，与抛物线相交于A ，B 两点，设直线OA ，OB (O 为坐标系原点)的斜率分别为k 1，k 2，则下列等式正确的是( )A ．k 1＋k 2＝kB ．1k ＝k 1＋k 2C ．1k ＝1k 1 ＋1k 2D ．k 2＝k 1·k 2C [由题意，得OA 的方程为y ＝k 1x ，与抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)联立，解得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2p k 21 ，2p k 1 ，同理可得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2p k 22 ，2p k 2 ，∴k ＝2p k 1－2p k 22p k 21－2p k 22＝11k 1＋1k 2，∴1k ＝1k 1 ＋1k 2 .]13．(2020·江西九江二模)已知抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，连接AF 并延长交抛物线C 于点D ，若AB 中点的纵坐标为|AB |－1，则当∠AFB 最大时，|AD |＝( )A ．4B ．8C ．16D ．163C [设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 3，y 3)，由抛物线定义得y 1＋y 2＋2＝|AF |＋|BF |，因为y 1＋y 22 ＝|AB |－1，所以|AF |＋|BF |＝2|AB |，所以cos ∠AFB ＝|AF |2＋|BF |2－|AB |22|AF |·|BF |＝3（|AF |2＋|BF |2）－2|AF |·|BF |8|AF |·|BF |≥6|AF |·|BF |－2|AF |·|BF |8|AF |·|BF | ＝12 ，当且仅当|AF |＝|BF |时取等号．所以当∠AFB 最大时，△AFB 为等边三角形，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ＋1，x 2＝4y ，消去y 得，x 2－43 x －4＝0，所以x 1＋x 3＝43 ，所以y 1＋y 3＝3 (x 1＋x 3)＋2＝14.所以|AD |＝16.]14．(2018·北京卷)已知直线l 过点(1，0)且垂直于x 轴，若l 被抛物线y 2＝4ax 截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为________．(1，0) [由题知直线l 的方程为x ＝1，则直线与抛物线的交点为(1，±2 a )(a >0). 又直线被抛物线截得的线段长为4，所以4 a ＝4，即a ＝1.所以抛物线的焦点坐标为(1，0).]15．过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F 且斜率为k 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，且|AB |＝8. (1)求l 的方程；(2)若A 关于x 轴的对称点为D ，求证：直线BD 过定点，并求出该点的坐标．(1)解易知点F 的坐标为(1，0)，则直线l 的方程为y ＝k (x －1)，代入抛物线方程y 2＝4x 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，由题意知k ≠0，且Δ＝[－(2k 2＋4)]2－4k 2·k 2＝16(k 2＋1)>0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∴x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2 ，x 1x 2＝1，由抛物线定义知|AB |＝x 1＋x 2＋2＝8， ∴2k 2＋4k 2 ＝6，∴k 2＝1，即k ＝±1，∴直线l 的方程为y ＝±(x －1).(2)证明由抛物线的对称性知，D 点的坐标为(x 1，－y 1)，直线BD 的斜率k BD ＝y 2＋y 1x 2－x 1 ＝y 2＋y 1y 22 4－y 214＝4y 2－y 1，∴直线BD 的方程为y ＋y 1＝4y 2－y 1(x －x 1)，即(y 2－y 1)y ＋y 2y 1－y 21 ＝4x －4x 1，∵y 21 ＝4x 1，y 22 ＝4x 2，x 1x 2＝1，∴(y 1y 2)2＝16x 1x 2＝16，即y 1y 2＝－4(y 1，y 2异号)，∴直线BD 的方程为4(x ＋1)＋(y 1－y 2)y ＝0，恒过点(－1，0).16．(综合创新)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，动点P 在抛物线C 上，点A (－1，0)，则|PF ||P A |的最小值为________；当|PF ||P A |取得最小值时，直线AP 的方程为________．22x ＋y ＋1＝0或x －y ＋1＝0 [设P 点的坐标为(4t 2，4t )，∵F (1，0)，A (－1，0)， ∴|PF |2＝(4t 2－1)2＋16t 2＝16t 4＋8t 2＋1， |P A |2＝(4t 2＋1)2＋16t 2＝16t 4＋24t 2＋1， ∴⎝⎛⎭⎫|PF ||P A | 2＝16t 4＋8t 2＋116t 4＋24t 2＋1 ＝1－16t 216t 4＋24t 2＋1＝1－1616t 2＋1t 2＋24 ≥1－16216t 2·1t2＋24＝1－1632 ＝12，当且仅当16t 2＝1t 2 ，即t ＝±12时取等号．故|PF ||P A | 的最小值为22 ；当|PF ||P A | 取得最小值时，点P 的坐标为(1，2)或(1，－2)，∴直线AP 的方程为y ＝±(x ＋1)，即x ＋y ＋1＝0或x －y ＋1＝0.]17．(题型创新)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点K (－1，0)的直线l 与C 相交于A 、B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D .(1)证明：点F 在直线BD 上；(2)设F A → ·FB →＝89，求△BDK 的内切圆M 的方程．(1)证明设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 1，－y 1)，l 的方程为x ＝my －1(m ≠0). 将x ＝my －1代入y 2＝4x 并整理，得y 2－4my ＋4＝0，从而y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝4.直线BD 的方程为y －y 2＝y 2＋y 1x 2－x 1 (x －x 2)，即y －y 2＝4y 2－y 1 ·⎝⎛⎭⎪⎫x －y 22 4 .令y ＝0，得x ＝y 1y 24＝1，所以点F (1，0)在直线BD 上．(2)解由(1)知，x 1＋x 2＝(my 1－1)＋(my 2－1)＝4m 2－2，x 1x 2＝(my 1－1)(my 2－1)＝1. 因为F A → ＝(x 1－1，y 1)，FB →＝(x 2－1，y 2)，所以F A → ·FB →＝(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋4＝8－4m 2，所以8－4m 2＝89 ，解得m ＝±43.所以l 的方程为3x ＋4y ＋3＝0或3x －4y ＋3＝0.又由(1)知 y 2－y 1＝±（4m ）2－4×4 ＝±437 .故直线BD 的斜率为4y 2－y 1＝±37 ，因而直线BD 的方程为3x ＋7 y －3＝0，3x －7 y －3＝0.因为KF 为∠BKD 的平分线，故可设圆心M (t ，0)(－1<t <1)，M (t ，0)到l 及BD 的距离分别为3|t ＋1|5 ，3|t －1|4. 由3|t ＋1|5 ＝3|t －1|4 得t ＝19或t ＝9(舍去)，故圆M 的半径r ＝3|t ＋1|5 ＝23 .所以圆M 的方程为⎝⎛⎭⎫x －19 2 ＋y 2＝49 .。

2013届人教A版文科数学课时试题及解析(52)抛物线B

课时作业(五十二)B[第52讲抛物线][时间：35分钟分值：80分]基础热身1．若a>0，且抛物线y2＝2ax与x2＝2ay的焦点间距离为1，则a＝( )A．1 B. 2 C.22D．22．动点P到点F(0,1)的距离比到x轴的距离大1，则动点P的轨迹方程是( )A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线3．点P在抛物线y2＝－2x上移动，点Q(2，－1)，则线段PQ的中点M的轨迹方程是( )A．(2y＋1)2＝4x－4 B．(2y－1)2＝－4x＋4C．(2y＋1)2＝－4x＋4 D．(2y－1)2＝4x－44．已知抛物线y＝ax2的准线方程为y＝2，则a＝________.能力提升5．若直线mx－y＋n2－1＝0(m>0，n>0)经过抛物线y2＝4x的焦点，则1m＋1n的最小值为( )A．3＋2 2 B．3＋2C.3＋222D.3＋226．抛物线的顶点在坐标原点，焦点与双曲线y 25－x 24＝1的一个焦点重合，则该抛物线的标准方程可能是( )A ．x 2＝4yB ．x 2＝－4yC ．y 2＝－12xD ．x 2＝±12y7．正数a 、b 的等差中项是92、一个等比中项是25，且a >b ，则抛物线y 2＝－b ax 的焦点坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－516，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－25，0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫15，0D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，0图K52－28．如图K52－2所示，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 依次交抛物线及其准线于点A 、B 、C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝32xB ．y 2＝9xC ．y 2＝92xD ．y 2＝3x9．以抛物线x 2＝－4y 的顶点为圆心，焦点到准线的距离为半径的圆的方程是________________．10．若函数f (x )＝log 2(x ＋1)－1的零点是抛物线x ＝ay 2焦点的横坐标，则a ＝________.11．已知P 为抛物线y 2＝4x 上一点，设P 到准线的距离为d 1，P 到点A (1,4)的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值为________．12．(13分)已知圆C 过定点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0，且与直线x ＝14相切，圆心C 的轨迹为E ，曲线E 与直线l ：y ＝k (x ＋1)(k ∈R )相交于A 、B 两点．(1)求曲线E 的方程；(2)当△OAB 的面积等于10时，求k 的值．难点突破13．(12分) 已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若OC→＝OA→＋λOB→，求λ的值．课时作业(五十二)B【基础热身】1．B [解析] 两抛物线的焦点分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，距离为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＝1，解得a ＝ 2.故选B.2．D [解析] 依题意，动点P 到点F (0,1)的距离等于到直线y ＝－1的距离，且点F (0,1)不在直线y ＝－1上，所以动点P 的轨迹是抛物线．故选D.3．C [解析] 设M (x ，y )，P (x 0，y 0)，则有⎩⎨⎧2x ＝x 0＋2，2y ＝y 0－1，所以⎩⎨⎧x 0＝2x －2，y 0＝2y ＋1.因为点P 在抛物线y 2＝－2x 上，所以(2y ＋1)2＝－2(2x －2)，即点M 的轨迹方程是(2y ＋1)2＝－4x ＋4.故选C.4．－18 [解析] 抛物线方程为x 2＝y a ，因为准线方程为y ＝2，所以p 2＝2，所以p ＝4，于是1a ＝－2p ＝－8，所以a ＝－18.【能力提升】5．C [解析] 抛物线的焦点为(1,0)，该点在直线mx －y ＋n2－1＝0(m >0，n >0)上，所以有2m ＋n ＝2，于是1m ＋1n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n (2m ＋n )＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫n m ＋2m n ＋3≥12(22＋3)．故选C.6．D [解析] 双曲线的焦点是(0,3)和(0，－3)，所以可设抛物线方程为x2＝±2py(p>0)，于是p2＝3，p＝6，所以抛物线方程为x2＝±12y.故选D.7．D [解析] 正数a、b的等差中项是92，所以a＋b＝9；又因为正数a、b的一个等比中项是25，所以ab＝(25)2＝20；而a>b，所以a＝5，b＝4.抛物线方程为y2＝－45x，其焦点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－15，0，故选D.8．D [解析] 过A、B分别作准线的垂线AA′、BD，垂足分别为A′、D，则|BF|＝|BD|.又2|BF|＝|BC|，所以在Rt△BCD中，∠BCD＝30°，又|AF|＝3，所以|AA′|＝3，所以|AC|＝6，|FC|＝3.焦点F到准线的距离为3sin30°＝3×12＝32，即p＝32，∴抛物线方程为y2＝3x.9．x2＋y2＝4 [解析] 抛物线的顶点在原点，焦点到准线的距离为2，所以所求圆的方程为x2＋y2＝4.10.14[解析] 函数f(x)的零点是x＝1，将x＝ay2化为y2＝2×12ax，所以14a＝1，得a＝1 4 .11．4 [解析] 由抛物线定义得P到准线的距离d1等于点P到焦点F(1,0)的距离|PF|，又点A(1,4)在抛物线外部，所以当点P、A、F三点共线时，d1＋d2取得最小值|AF |，即最小值为4.12．[解答] (1)由题意，点C 到定点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0和直线x ＝14的距离相等，∴点C 的轨迹方程为y 2＝－x . (2)由方程组⎩⎨⎧y 2＝－x ，y ＝k x ＋1，消去x 后，整理得ky 2＋y －k ＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由韦达定理有y 1＋y 2＝－1k，y 1y 2＝－1.设直线l 与x 轴交于点N ，则N (－1,0)． ∵S △OAB ＝S △OAN －S △OBN ＝12|ON ||y 1|－12|ON ||y 2|，＝12|ON ||y 1－y 2|＝12·1·y 1＋y 22－4y 1y 2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2＋4.∵S △OAB ＝10，所以12⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2＋4＝10，解得k ＝±16.【难点突破】13．[解答] (1)直线AB 的方程是y ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，与y 2＝2px 联立，从而有4x 2－5px ＋p 2＝0，所以：x 1＋x 2＝5p4. 由抛物线定义得：|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝9，所以p ＝4，从而抛物线方程是y 2＝8x .(2)由p ＝4,4x 2－5px ＋p 2＝0可简化为x 2－5x ＋4＝0，从而x 1＝1，x 2＝4，y 1＝－22，y 2＝42，从而A (1，－22)，B (4,42)．设OC →＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42)＝(4λ＋1，42λ－22)，又y 23＝8x 3，即[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.。

2013届高考一轮数学文湖南版复习方案课件第52讲抛物线备用例题

第52讲 │ 备用例题
例3 [2011· 四川卷] 在抛物线 y＝x2＋ax－5(a≠0)上取
横坐标为 x1＝－4，x2＝2 的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆 5x2＋5y2＝ 36 相切，则抛物线顶点的坐标为( A．(－2，－9) C．(2，－9) B．(0，－5) )
D．(1，－6)
第52讲 │ 备用例题
[思路] 写出两点的坐标，由导数得出抛物线切线的斜率，写出切线方程，再由该切线也是圆的切线，即可求得切线方程中的参数 a 的值，从而求得抛物线顶点坐标．
第52讲 │ 备用例题
[解析] A 根据题意可知横坐标为－4,2的两点分别为(－4,11
－4a)，(2，－1＋2a)，所以该割线的斜率为a－2，由y′＝2x＋a ＝a－2⇒ x＝－1，即有切点为(－1，－4－a)，所以切线方程为y ＋4＋a＝(a－2)(x＋1)⇒ (a－2)x－y－6＝0，由切线与圆相切可知 6 ＝ 2 (a－2) ＋1 36 ⇒ a＝4或a＝0(舍去)，所以抛物线方程为y＝ 5
第52讲 │ 备用例题
例1 过抛物线的焦点 F 作互相垂直的两条直线，分别交准
线于 P、Q 两点，又过 P、Q 分别作抛物线对称轴 OF 的平行线，交抛物线于 M、N 两点，则 M、N、F 三点( A．共圆 B．共线 D．分布无规律 )
C．在另一抛物线上
[思路] 先画图，观察知，三点可能共线，再用斜率关系判断．
x2＋4x－5＝(x＋2)2－9，所以抛物线顶点坐标为(－2，－9)．选择A.
第52讲 │ 备用例题
[解析] B 则设 M(x1，y1)、N(x2，y2)，抛物线方程为 y2＝2px， p x＝－ . 2 y1 y2 PF⊥QF，得 · ＝－1，所－p －p

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课时作业(五十一)A [第51讲抛物线]
[时间：35分钟分值：80分]
基础热身
1．抛物线y ＝－2x 2的焦点坐标是( )
A.⎝⎛⎭
⎫－1
2，0 B ．(－1,0) C.⎝⎛⎭⎫0，－14 D.⎝
⎛⎭⎫0，－18 2．抛物线y 2
＝8x 的焦点到双曲线x 212－y 24
＝1的渐近线的距离为( )
A ．1 B. 3 C.33 D.3
6
3．边长为1的正三角形AOB ，O 为坐标原点，AB ⊥x 轴，以O 为顶点且过A 、B 两点的抛物线方程是( )
A ．y 2＝36x
B ．y 2＝－3
6x
C ．y 2＝±36x
D ．y 2＝±3
3
x
4．抛物线y 2＝－x 上的点到直线3x ＋4y －8＝0的距离的最小值为________．能力提升
5．已知点M (1,0)，直线l ：x ＝－1，点B 是l 上的动点，过点B 垂直于y 轴的直线与线段BM 的垂直平分线交于点P ，则点P 的轨迹是( )
A ．抛物线
B ．椭圆
C ．双曲线的一支
D ．直线 6．[2011·济宁模拟] 已知点A 的坐标为(3,2)，F 为抛物线y 2＝2x 的焦点，若点P 在抛物线上移动，当|P A |＋|PF |取得最小值时，则点P 的坐标是( )
A ．(1，2)
B ．(2,2)
C ．(2，－2)
D ．(3，6) 7．[2011·大连模拟] 已知M (a,2)是抛物线y 2＝2x 上的一点，直线MP 、MQ 分别与抛物线交于P 、Q 两点，且直线MP 、MQ 的倾斜角之和为π，则直线PQ 的斜率为( )
A.14
B.12 C ．－12 D ．－14
8．设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 为抛物线上一点，若OA →·AF →
＝－4，则点A 的坐标为( )
A ．(2，±22)
B ．(1，±2)
C ．(1,2)
D ．(2,22)
9．若垂直于x 轴的直线交抛物线y 2＝4x 于点A ，B ，且AB ＝43，则直线AB 的方程为____________．
10．探照灯的反射镜的纵截面是抛物线的一部分，灯口直径60 cm ，灯深40 cm ，则光源放置位置为灯轴上距顶点________处．
11．[2011·三明联考] 过抛物线y 2＝4x 焦点的直线l 的倾斜角为π
3
，且l 与抛物线相交
于A 、B 两点，O 为原点，那么△AOB 的面积为________．
12．(13分)[2011·福建卷] 如图K51－1，直线l ：y ＝x ＋b 与抛物线C ：x 2＝4y 相切于点A .
(1)求实数b 的值；
(2)求以点A 为圆心，且与抛物线C 的准线相切的圆的方程．
图K51－1
难点突破
13．(12分)[2011·上海黄浦区二模] 已知点P 是直角坐标平面内的动点，点P 到直线x
＝－p
2
－1(p 是正常数)的距离为d 1，到点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0的距离为d 2，且d 1－d 2＝1. (1)求动点P 所在曲线C 的方程；
(2)直线l 过点F 且与曲线C 交于不同两点A 、B ，分别过A 、B 点作直线l 1：x ＝－p
2
的
垂线，对应的垂足分别为M 、N ，求证：FM →·FN →
＝0.
课时作业(五十一)A
【基础热身】
1．D [解析] 抛物线的标准方程为x 2＝－12y ，p ＝1
4
，所以焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－18.故选D. 2．A [解析] 抛物线y 2
＝8x 的焦点F (2,0)到双曲线x 212－y 24＝1的渐近线y ＝±33
x 的距
离d ＝1.故选A.
3．C [解析] 设AB ⊥x 轴于点D ，则|OD |＝1·cos30°＝32，|AD |＝1·sin30°＝1
2
，所以
A ⎝⎛⎭
⎫32，1
2.由题意可设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，将点A 的坐标代入，即可得2p ＝36.结合
图形的对称性知应选C.
4.4
3
[解析] 设抛物线上动点P (－y 2，y )，则该点到直线3x ＋4y －8＝0的距离为d ＝|－3y 2＋4y －8|5＝|3y 2
－4y ＋8|5＝⎪⎪⎪⎪3⎝⎛⎭
⎫y －232＋2035≥43.
【能力提升】
5．A [解析] 由点P 在BM 的垂直平分线上，故|PB |＝|PM |.又PB ⊥l ，因而点P 到直线l 的距离等于点P 到点M 的距离，所以点P 的轨迹是抛物线．故选A.
6．B [解析] 过P 作抛物线准线l ：x ＝－1
2
的垂线，垂足为Q ，则|PF |＝|PQ |，所以只
需求|P A |＋|PQ |的最小值．当A 、P 、Q 三点共线时，|P A |＋|PQ |最小，此时P 点纵坐标为2，代入抛物线方程得横坐标为2，所以点P 坐标为(2,2)．故选B.
7．C [解析] 易知a ＝2，设直线MP 、MQ 的方程分别为y ＝x －2＋2，y ＝－(x －2)＋2，
分别代入抛物线方程，可得点P (0,0)，Q (8，－4)，所以可求得直线PQ 斜率为－1
2
.故选C.
8．B [解析] 设A (x 0，y 0)，F (1,0)，OA →＝(x 0，y 0)，AF →
＝(1－x 0，－y 0)， OA →·AF →＝x 0(1－x 0)－y 20＝－4.因为y 20＝4x 0，所以x 0－x 20－4x 0＋4＝0，即x 20＋3x 0－4＝0，x 1＝1，x 2＝－4(舍)．所以x 0＝1，y 0＝±2.故选B.
9．x ＝3 [解析] 由题意知，点A ，B 的纵坐标为23和－23，代入抛物线方程求得x ＝3，所以直线AB 的方程为x ＝3.
10．5.625 cm [解析] 将抛物线放到直角坐标系中，使顶点与原点重合，焦点在x 轴正
半轴上，则由题意可知点(40,30)在抛物线上，代入y 2＝2px 中，解得p ＝45
4
，而光源放在焦
点位置，距离顶点12p ＝45
8
＝5.625 cm 处．
11.4
3
3 [解析] 抛物线焦点为F (1,0)，直线l 的方程为y ＝3(x －1)，代入抛物线方程消去x 得3y 2－4y －43＝0，解得y A ＝－23，y B ＝63，所以△AOB 的面积为1
2|OF |·|y B －y A |
＝12×83
＝43
3. 12．[解答] (1)由⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝x ＋b ，x 2＝4y 得x 2－4x －4b ＝0.(*)
因为直线l 与抛物线C 相切，
所以Δ＝(－4)2－4×(－4b )＝0. 解得b ＝－1.
(2)由(1)可知b ＝－1，故方程(*)即为x 2－4x ＋4＝0. 解得x ＝2，代入x 2＝4y ，得y ＝1，
故点A (2,1)．
因为圆A 与抛物线C 的准线相切，
所以圆A 的半径r 等于圆心A 到抛物线的准线y ＝－1的距离，即r ＝|1－(－1)|＝2. 所以圆A 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4. 【难点突破】
13．[解答] (1)设动点为P (x ，y )，依据题意，有
⎪⎪⎪⎪x ＋p 2＋1－⎝⎛⎭
⎫x －p 22＋y 2＝1，化简得y 2＝2px . 因此，动点P 所在曲线C 2
(2)由题意可知，当过点F
故可设直线l ：x ＝my ＋p
2，如图所示．
联立方程组⎩⎪⎨⎪
⎧
y 2
＝2px ，x ＝my ＋p
2，
可化为y 2－2mpy －p 2＝0，则点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)的坐标满足⎩
⎪⎨⎪⎧
y 1＋y 2＝2mp ，
y 1y 2＝－p 2
. 又AM ⊥l 1、BN ⊥l 1，
可得点M ⎝⎛⎭⎫－p 2，y 1、N ⎝⎛⎭⎫－p
2，y 2. 于是，FM →＝(－p ，y 1)，FN →
＝(－p ，y 2)，
因此FM →·FN →＝(－p ，y 1)·(－p ，y 2)＝p 2＋y 1y 2＝0.。