人教版数学九年级上册解一元二次方程因式分解法同步练习题含答案与解析

合集下载

（人教版）数学九年级上册21.2解一元二次方程同步习题（有答案）

（⼈教版）数学九年级上册21.2解⼀元⼆次⽅程同步习题（有答案）21．2解⼀元⼆次⽅程21．2.1配⽅法第1课时直接开平⽅法1．若x2＝a(a≥0)，则x就叫做a的平⽅根，记为x＝≥0)，由平⽅根的意义降次来解⼀元⼆次⽅程的⽅法叫做直接开平⽅法．2．直接开平⽅，把⼀元⼆次⽅程“降次”转化为__两个⼀元⼀次⽅程___．3．如果⽅程能化为x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式，那么x＝或mx＋n＝．知识点1：可化为x2＝p(p≥0)型⽅程的解法1．⽅程x2－16＝0的根为( C)A．x＝4B．x＝16C．x＝±4 D．x＝±82．⽅程x2＋m＝0有实数根的条件是( D)A．m＞0 B．m≥0C．m＜0 D．m≤03．⽅程5y2－3＝y2＋3的实数根的个数是( C)A．0个B．1个C．2个D．3个4．若4x2－8＝0成⽴，则x的值是．5．解下列⽅程：(1)3x2＝27；解：x1＝3，x2＝－3(2)2x2＋4＝12；解：x1＝2，x2＝－2(3)5x2＋8＝3.解：没有实数根知识点2：形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的解法6．⼀元⼆次⽅程(x＋6)2＝16可转化为两个⼀元⼀次⽅程，其中⼀个⼀元⼀次⽅程是x ＋6＝4，则另⼀个⼀元⼀次⽅程是( D)A．x－6＝－4 B．x－6＝4C．x＋6＝4 D．x＋6＝－47．若关于x的⽅程(x＋1)2＝1－k没有实数根，则k的取值范围是( D)A．k＜1 B．k＜－1C．k≥1 D．k＞18．⼀元⼆次⽅程(x－3)2＝8的解为．9．解下列⽅程：(1)(x－3)2－9＝0；解：x1＝6，x2＝0(2)2(x－2)2－6＝0；解：x1＝2＋3，x2＝2－ 3(3)x2－2x＋1＝2.解：x1＝1＋2，x2＝1－ 210．(2014·⽩银)⼀元⼆次⽅程(a ＋1)x 2－ax ＋a 2－1＝0的⼀个根为0，则a ＝__1___．11．若x 2－4x ＋2的值为0，则x ＝__2___．12．由x 2＝y 2得x ＝±y ，利⽤它解⽅程(3x －4)2＝(4x －3)2，其根为__x ＝±1___．13．在实数范围内定义⼀种运算“*”，其规则为a*b ＝a 2－b 2，根据这个规则，⽅程(x ＋2)*5＝0的根为__x 1＝3，x 2＝－7___．14．( C ) A ．x 2－3＝0 B ．(x －1)2－4＝0C ．x 2＋2x ＝0D ．(x －1)2＝(2x ＋1)2 15．(2014·枣庄)x 1，x 2是⼀元⼆次⽅程3(x －1)2＝15的两个解，且x 1＜x 2，下列说法正确的是( A )A ．x 1⼩于－1，x 2⼤于3B ．x 1⼩于－2，x 2⼤于3C ．x 1，x 2在－1和3之间D ．x 1，x 2都⼩于316．若(x 2＋y 2－3)2＝16，则x 2＋y 2的值为( A ) A ．7 B ．7或－1 C ．－1 D ．19 17．解下列⽅程： (1)3(2x ＋1)2－27＝0；解：x 1＝1，x 2＝－2(2)(x －2)(x ＋2)＝10；解：x 1＝23，x 2＝－2 3(3)x 2－4x ＋4＝(3－2x)2；解：x 1＝1，x 2＝5(4)4(2x －1)2＝9(2x ＋1)2.解：x 1＝－52，x 2＝－11018．若2(x 2＋3)的值与3(1－x 2)的值互为相反数，求x ＋3x2的值．解：由题意得2(x 2＋3)＋3(1－x 2)＝0，∴x ＝±3.当x ＝3时，x ＋3x 2＝23；当x ＝－3时，x ＋3x2＝019．如图，在长和宽分别是a，b的矩形纸⽚的四个⾓都剪去⼀个边长为x的正⽅形．(1)⽤a，b，x表⽰纸⽚剩余部分的⾯积；(2)当a＝6，b＝4，且剪去部分的⾯积等于剩余部分的⾯积时，求正⽅形的边长．解：(1)ab－4x2(2)依题意有ab－4x2＝4x2，将a＝6，b＝4代⼊，得x2＝3，解得x1＝3，x2＝－3(舍去)，即正⽅形的边长为3第2课时配⽅法1．通过配成__完全平⽅形式___来解⼀元⼆次⽅程的⽅法叫做配⽅法．2．配⽅法的⼀般步骤：(1)化⼆次项系数为1，并将含有未知数的项放在⽅程的左边，常数项放在⽅程的右边；(2)配⽅：⽅程两边同时加上__⼀次项系数的⼀半的平⽅___，使左边配成⼀个完全平⽅式，写成__(mx＋n)2＝p___的形式；(3)若p__≥___0，则可直接开平⽅求出⽅程的解；若p__＜___0，则⽅程⽆解．知识点1：配⽅1．下列⼆次三项式是完全平⽅式的是( B)A．x2－8x－16B．x2＋8x＋16C．x2－4x－16 D．x2＋4x＋162．若x2－6x＋m2是⼀个完全平⽅式，则m的值是( C)A．3 B．－3C．±3 D．以上都不对3．⽤适当的数填空：x2－4x＋__4___＝(x－__2___)2；m2__±3___m＋94＝(m__±2___)2.知识点2：⽤配⽅法解x2＋px＋q＝0型的⽅程4．⽤配⽅法解⼀元⼆次⽅程x2－4x＝5时，此⽅程可变形为( D) A．(x＋2)2＝1 B．(x－2)2＝1 C．(x＋2)2＝9 D．(x－2)2＝95．下列配⽅有错误的是( D)A．x2－2x－3＝0化为(x－1)2＝4B．x2＋6x＋8＝0化为(x＋3)2＝1C．x2－4x－1＝0化为(x－2)2＝5D．x2－2x－124＝0化为(x－1)2＝1246．(2014·宁夏)⼀元⼆次⽅程x2－2x－1＝0的解是( C)A．x1＝x2＝1B．x1＝1＋2，x2＝－1－ 2C．x1＝1＋2，x2＝1－ 2D．x1＝－1＋2，x2＝－1－ 27．解下列⽅程：(1)x2－4x＋2＝0；解：x1＝2＋2，x2＝2－ 2(2)x2＋6x－5＝0.解：x1＝－3＋14，x2＝－3－14知识点3：⽤配⽅法解ax2＋bx＋c＝0(a≠0)型的⽅程8．解⽅程3x 2－9x ＋1＝0，两边都除以3得__x 2－3x ＋13＝0___，配⽅后得__(x －32)2＝2312___．9．⽅程3x 2－4x －2＝0配⽅后正确的是( D ) A ．(3x －2)2＝6 B ．3(x －2)2＝7C ．3(x －6)2＝7D ．3(x －23)2＝10310．解下列⽅程： (1)3x 2－5x ＝－2；解：x 1＝23，x 2＝1(2)2x 2＋3x ＝－1.解：x 1＝－1，x 2＝－1211．对于任意实数x ，多项式x 2－4x ＋5的值⼀定是( B ) A ．⾮负数 B ．正数 C ．负数 D ．⽆法确定12．⽅程3x 2＋2x ＝6，左边配⽅得到的⽅程是( B )A ．(x ＋26)2＝－3718B ．(x ＋26)2＝3718C ．(x ＋26)2＝3518D ．(x ＋26)2＝611813．已知⽅程x 2－6x ＋q ＝0可以配⽅成(x －p)2＝7的形式，那么x 2－6x ＋q ＝2可以配⽅成下列的( B )A ．(x －p)2＝5B ．(x －p)2＝9C ．(x －p ＋2)2＝9D ．(x －p ＋2)2＝514．已知三⾓形⼀边长为12，另两边长是⽅程x 2－18x ＋65＝0的两个实数根，那么其另两边长分别为__5和13___，这个三⾓形的⾯积为__30___．15．当x ＝__2___时，式⼦200－(x －2)2有最⼤值，最⼤值为__200___；当y ＝__－1___时，式⼦y 2＋2y ＋5有最__⼩___值为__4___．16．⽤配⽅法解⽅程： (1)23x 2＝2－13x ；解：x 1＝32，x 2＝－2(2)3y 2＋1＝23y.解：y 1＝y 2＝3317．把⽅程x 2－3x ＋p ＝0配⽅得到(x ＋m)2＝12，求常数m 与p 的值．解：m ＝－32，p ＝7418．试证明关于x 的⽅程(a 2－8a ＋20)x 2＋2ax ＋1＝0，⽆论a 为何值，该⽅程都是⼀元⼆次⽅程．解：∵a 2－8a ＋20＝(a －4)2＋4≠0，∴⽆论a 取何值，该⽅程都是⼀元⼆次⽅程19．选取⼆次三项式ax 2＋bx ＋c(a ≠0)中的两项，配成完全平⽅式的过程叫做配⽅．例如：①选取⼆次项和⼀次项配⽅：x 2－4x ＋2＝(x －2)2－2；②选取⼆次项和常数项配⽅：x 2－4x ＋2＝(x －2)2＋(22－4)x ，或x 2－4x ＋2＝(x ＋2)2－(4＋22)x ；③选取⼀次项和常数项配⽅：x 2－4x ＋2＝(2x －2)2－x 2.根据上述材料，解决下列问题：(1)写出x 2－8x ＋4的两种不同形式的配⽅； (2)已知x 2＋y 2＋xy －3y ＋3＝0，求x y 的值．解：(1)x 2－8x ＋4＝x 2－8x ＋16－16＋4＝(x －4)2－12；x 2－8x ＋4＝(x －2)2＋4x －8x ＝(x－2)2－4x (2)x 2＋y 2＋xy －3y ＋3＝0，(x 2＋xy ＋14y 2)＋(34y 2－3y ＋3)＝0，(x ＋12y)2＋34(y －2)2＝0，⼜∵(x ＋12y)2≥0，34(y －2)2≥0，∴x ＋12y ＝0，y －2＝0，∴x ＝－1，y ＝2，则x y ＝(－1)2＝121．2.2 公式法1．⼀元⼆次⽅程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，当__b 2－4ac ≥0___时，x ＝－b±b 2－4ac2a，这个式⼦叫做⼀元⼆次⽅程ax 2＋bx ＋c ＝0的__求根公式___．2．式⼦__b 2－4ac___叫做⼀元⼆次⽅程ax 2＋bx ＋c ＝0根的判别式，常⽤Δ表⽰，Δ＞0?ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有__有两个不等的实数根___；Δ＝0?ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有__两个相等的实数根___；Δ＜0?ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)__没有实数根___．知识点1：根的判别式1．下列关于x 的⽅程有实数根的是( C )A ．x 2－x ＋1＝0B ．x 2＋x ＋1＝0C ．(x －1)(x ＋2)＝0D ．(x －1)2＋1＝0 2．(2014·兰州)⼀元⼆次⽅程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个不相等的实数根，下列选项中正确的是( B )A ．b 2－4ac ＝0B ．b 2－4ac ＞0C ．b 2－4ac ＜0D ．b 2－4ac ≥03．⼀元⼆次⽅程x 2－4x ＋5＝0的根的情况是( D ) A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．只有⼀个实数根D ．没有实数根4．利⽤判别式判断下列⽅程的根的情况： (1)9x 2－6x ＋1＝0；解：∵a ＝9，b ＝－6，c ＝1，∴Δ＝(－6)2－4×9×1＝0，∴此⽅程有两个相等的实数根(2)8x 2＋4x ＝－3；解：化为⼀般形式为8x 2＋4x ＋3＝0，∵a ＝8，b ＝4，c ＝3，∴Δ＝42－4×8×3＝－80＜0，∴此⽅程没有实数根(3)2(x 2－1)＋5x ＝0.解：化为⼀般形式为2x 2＋5x －2＝0，∵a ＝2，b ＝5，c ＝－2，∴Δ＝52－4×2×(－2)＝41＞0，∴此⽅程有两个不相等的实数根知识点2：⽤公式法解⼀元⼆次⽅程5．⽅程5x ＝2x 2－3中，a ＝__2___，b ＝__－5___，c ＝__－3___，b 2－4ac ＝__49___．6．⼀元⼆次⽅程x 2－x －6＝0中，b 2－4ac ＝__25___，可得x 1＝__3___，x 2＝__－2___．7．⽅程x 2－x －1＝0的⼀个根是( B )A ．1－ 5B .1－52C ．－1＋ 5D .－1＋528．⽤公式法解下列⽅程： (1)x 2－3x －2＝0；解：x 1＝3＋172，x 2＝3－172(2)8x 2－8x ＋1＝0；解：x 1＝2＋24，x 2＝2－24(3)2x 2－2x ＝5.解：x 1＝1＋112，x 2＝1－1129．(2014·⼴东)关于x 的⼀元⼆次⽅程x 2－3x ＋m ＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围为( B )A ．m ＞94B ．m ＜94C ．m ＝94D ．m ＜－9410．若关于x 的⼀元⼆次⽅程kx 2－2x －1＝0有实数根，则实数k 的取值范围是( C ) A ．k ＞－1 B ．k ＜1且k ≠0C ．k ≥－1且k ≠0D ．k ＞－1且k ≠011．已知关于x 的⼀元⼆次⽅程x 2＋bx ＋b －1＝0有两个相等的实数根，则b 的值是__2___．12．关于x 的⽅程(a ＋1)x 2－4x －1＝0有实数根，则a 满⾜的条件是__a ≥－5___． 13．⽤公式法解下列⽅程： (1)x(2x －4)＝5－8x ；解：x 1＝－2＋142，x 2＝－2－142(2)(3y －1)(y ＋2)＝11y －4.解：y 1＝3＋33，y 2＝3－3314．当x 满⾜条件x ＋1＜3x －3，12（x －4）＜13（x －4）时，求出⽅程x 2－2x －4＝0的根．解：解不等式组得215．(2014·梅州)已知关于x 的⽅程x 2＋ax ＋a －2＝0.(1)若该⽅程的⼀个根为1，求a 的值及该⽅程的另⼀根；(2)求证：不论a 取何实数，该⽅程都有两个不相等的实数根．解：(1)a ＝12，另⼀个根为x ＝－32(2)∵Δ＝a 2－4(a －2)＝(a －2)2＋4＞0，∴⽆论a 取何实数，该⽅程都有两个不相等的实数根16．关于x 的⼀元⼆次⽅程(a －6)x 2－8x ＋9＝0有实数根． (1)求a 的最⼤整数值；(2)当a 取最⼤整数值时，求出该⽅程的根．解：(1)∵关于x 的⼀元⼆次⽅程(a －6)x 2－8x ＋9＝0有实根，∴a －6≠0，Δ＝(－8)2－4×(a－6)×9≥0，解得a≤709且a≠6，∴a的最⼤整数值为7(2)当a＝7时，原⼀元⼆次⽅程变为x2－8x＋9＝0.∵a＝1，b＝－8，c＝9，∴Δ＝(－8)2－4×1×9＝28，∴x＝－（－8）±282＝4±7，即x1＝4＋7，x2＝4－717．(2014·株洲)已知关于x的⼀元⼆次⽅程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．(1)如果x＝－1是⽅程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；(2)如果⽅程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；(3)如果△ABC是等边三⾓形，试求这个⼀元⼆次⽅程的根．解：(1)△ABC是等腰三⾓形．理由：∵x＝－1是⽅程的根，∴(a＋c)×(－1)2－2b＋(a －c)＝0，∴a＋c－2b＋a－c＝0，∴a－b＝0，∴a＝b，∴△ABC是等腰三⾓形(2)∵⽅程有两个相等的实数根，∴(2b)2－4(a＋c)(a－c)＝0，∴4b2－4a2＋4c2＝0，∴a2＝b2＋c2，∴△ABC是直⾓三⾓形(3)当a＝b＝c时，可整理为2ax2＋2ax＝0，∴x2＋x＝0，解得x1＝0，x2＝－121．2.3 因式分解法1．当⼀元⼆次⽅程的⼀边为0，另⼀边可以分解成两个⼀次因式的乘积时，通常将⼀元⼆次⽅程化为__两个⼀次因式___的乘积等于0的形式，再使这两个⼀次式分别等于0，从⽽实现降次，这种解法叫做__因式分解___法．2．解⼀元⼆次⽅程，⾸先看能否⽤__直接开平⽅法___；再看能否⽤__因式分解法___；否则就⽤__公式法___；若⼆次项系数为1，⼀次项系数为偶数可先⽤__配⽅法___．知识点1：⽤因式分解法解⼀元⼆次⽅程 1．⽅程(x ＋2)(x －3)＝0的解是( C ) A ．x ＝2 B ．x ＝－3 C ．x 1＝－2，x 2＝3 D ．x 1＝2，x 2＝－32．⼀元⼆次⽅程x(x －5)＝5－x 的根是( D ) A ．－1 B ．5C ．1和5D ．－1和5 3．(2014·永州)⽅程x 2－2x ＝0的解为__x 1＝0，x 2＝2___． 4．⽅程x 2－2x ＋1＝0的根是__x 1＝x 2＝1___5．⽤因式分解法解下列⽅程： (1)x 2－4＝0；解：x 1＝2，x 2＝－2(2)x 2－23x ＝0；解：x 1＝0，x 2＝2 3(3)(3－x)2－9＝0；解：x 1＝0，x 2＝6(4)x 2－4x ＋4＝(3－2x)2.解：x 1＝1，x 2＝53知识点2：⽤适当的⽅法解⼀元⼆次⽅程6．解⽅程(x ＋1)2－5(x ＋1)＋6＝0时，我们可以将x ＋1看成⼀个整体，设x ＋1＝y ，则原⽅程可化为y 2－5y ＋6＝0，解得y 1＝2，y 2＝3.当y ＝2时，即x ＋1＝2，解得x ＝1；当y ＝3时，即x ＋1＝3，解得x ＝2，所以原⽅程的解为x 1＝1，x 2＝2.利⽤这种⽅法求⽅程(2x －1)2－4(2x －1)＋3＝0的解为( C )A ．x 1＝1，x 2＝3B ．x 1＝－1，x 2＝－3C ．x 1＝1，x 2＝2D ．x 1＝0，x 2＝－1 7．⽤适当的⽅法解⽅程： (1)2(x －1)2＝12.5；解：⽤直接开平⽅法解，x 1＝3.5，x 2＝－1.5(2)x 2＋2x －168＝0；解：⽤配⽅法解，x 1＝12，x 2＝－14(3)2x 2＝2x ；解：⽤因式分解法解，x 1＝0，x 2＝ 2(4)4x 2－3x －2＝0.解：⽤公式法解，x 1＝3＋418，x 2＝3－4188．⽅程x(x －1)＝－x ＋1的解为( D ) A ．x ＝1 B ．x ＝－1C ．x 1＝0，x 2＝－1D ．x 1＝1，x 2＝－19．⽤因式分解法解⽅程，下列⽅法中正确的是( A ) A ．(2x ＋2)(3x ＋4)＝0化为2x ＋2＝0或3x ＋4＝0 B ．(x －3)(x ＋1)＝1化为x －3＝1或x ＋1＝1 C ．(x －2)(x －3)＝2×3化为x －2＝2或x －3＝3 D ．x(x －2)＝0化为x －2＝010．⼀个三⾓形的两边长分别为3和6，第三边的边长是⽅程(x －2)(x －4)＝0的根，则这个三⾓形的周长是( C )A ．11B ．11或13C ．13D ．以上都不对11．(2014·陕西)若x ＝－2是关于x 的⼀元⼆次⽅程x 2－52ax ＋a 2＝0的⼀个根，则a 的值是( B )A ．1或4B ．－1或－4C ．－1或4D ．1或－4 12．已知x ＝1是关于x 的⽅程(1－k)x 2＋k 2x －1＝0的根，则常数k 的值为__0或1___．13．已知(x 2＋2x －3)0＝x 2－3x ＋3，则x ＝__2___． 14．⽤因式分解法解下列⽅程： (1)x 2－3x ＝x －4；解：x 1＝x 2＝2(2)(x －3)2＝3(x －3)．解：x 1＝3，x 2＝615．⽤适当的⽅法解下列⽅程： (1)4(x －1)2＝2；解：x 1＝2＋22，x 2＝－2＋22(2)x 2－6x ＋4＝0；解：x 1＝3＋5，x 2＝3－ 5(3)x 2－4＝3x －6；解：x 1＝1，x 2＝2(4)(x ＋5)2＋x 2＝25. 解：x 1＝－5，x 2＝016．⼀跳⽔运动员从10 m ⾼台上跳下，他离⽔⾯的⾼度h(单位：m )与所⽤时间t(单位：s)的关系是h＝－5(t－2)(t＋1)，那么运动员从起跳到⼊⽔所⽤的时间是多少？解：依题意，得－5(t－2)(t＋1)＝0，解得t1＝－1(不合题意，舍去)，t2＝2，故运动员从起跳到⼊⽔所⽤的时间为2 s17．先阅读下列材料，然后解决后⾯的问题：材料：因为⼆次三项式x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)，所以⽅程x2＋(a＋b)x＋ab＝0可以这样解：∵(x＋a)(x＋b)＝0，∴x＋a＝0或x＋b＝0，∴x1＝－a，x2＝－b.问题：(1)⽤因式分解法解⽅程x2－kx－16＝0时，得到的两根均为整数，则k的值可以为__－15，－6，0，6，15___；(2)已知实数x满⾜(x2－x)2－4(x2－x)－12＝0，则代数式x2－x＋1的值为__7___．专题训练(⼀) ⼀元⼆次⽅程的解法及配⽅法的应⽤⼀、⼀元⼆次⽅程的解法 1．⽤直接开平⽅法解⽅程： (1)(4x －1)2＝225；解：x 1＝4，x 2＝－72(2)13(x －2)2＝8；解：x 1＝2＋26，x 2＝2－2 6(3)9x 2－6x ＋1＝9；解：x 1＝43，x 2＝－23(4)3(2x ＋1)2－2＝0.解：x 1＝－12＋66，x 2＝－12－662．⽤配⽅法解⽅程： (1)2t 2－3t ＝－1；解：t 1＝12，t 2＝1(2)2x 2＋5x －1＝0；解：x 1＝－5＋334，x 2＝－5－334(3)(2x －1)(3x －1)＝3－6x ；解：x 1＝12，x 2＝－23(4)(2x －1)2＝x(3x ＋2)－7. 解：x 1＝4，x 2＝23．⽤公式法解⽅程： (1)x 2＝6x ＋1;解：x 1＝3＋10，x 2＝3－10(2)0.2x 2－0.1＝0.4x ；解：x 1＝2＋62，x 2＝2－62(3)2x －2＝2x 2.解：原⽅程⽆实数根4．⽤因式分解法解⽅程： (1)(x －1)2－2(x －1)＝0；解：x 1＝3，x 2＝1(2)5x(x －3)＝(x －3)(x ＋1)；解：x 1＝3，x 2＝14(3)(x ＋2)2－10(x ＋2)＋25＝0. 解：x 1＝x 2＝35．⽤适当的⽅法解⽅程： (1)2(x －3)2＝x 2－9；解：x 1＝3，x 2＝9(2)(2x ＋1)(4x －2)＝(2x －1)2＋2；解：x 1＝－1＋62，x 2＝－1－62(3)(x ＋1)(x －1)＋2(x ＋3)＝8. 解：x 1＝1，x 2＝－3⼆、配⽅法的应⽤ (⼀)最⼤(⼩)值6．利⽤配⽅法证明：⽆论x 取何实数值，代数式－x 2－x －1的值总是负数，并求出它的最⼤值．解：－x 2－x －1＝－(x ＋12)2－34，∵－(x ＋12)2≤0，∴－(x ＋12)2－34＜0，故结论成⽴．当x ＝－12时，－x 2－x －1有最⼤值－347．对关于x的⼆次三项式x2＋4x＋9进⾏配⽅得x2＋4x＋9＝(x＋m)2＋n.(1)求m，n的值；(2)求x为何值时，x2＋4x＋9有最⼩值，并求出最⼩值为多少？解：(1)∵x2＋4x＋9＝(x＋m)2＋n＝x2＋2mx＋m2＋n，∴2m＝4，m2＋n＝9，∴m＝2，n＝5(2)∵m＝2，n＝5，∴x2＋4x＋9＝(x＋2)2＋5，∴当x＝－2时，有最⼩值是5(⼆)⾮负数的和为08．已知a2＋b2＋4a－2b＋5＝0，求3a2＋5b2－5的值．解：∵a2＋b2＋4a－2b＋5＝0，∴(a2＋4a＋4)＋(b2－2b＋1)＝0，即(a＋2)2＋(b－1)2＝0，∴a＝－2，b＝1.∴3a2＋5b2－4＝3×(－2)2＋5×12－5＝129．若a，b，c是△ABC的三边长且满⾜a2－6a＋b2－8b＋c－5＋25＝0，请根据已知条件判断其形状．解：等式变形为a2－6a＋9＋b2－8b＋16＋c－5＝0，即(a－3)2＋(b－4)2＋c－5＝0，由⾮负性得(a－3)2＝0，(b－4)2＝0，c－5＝0，∴a＝3，b＝4，c＝5.∵32＋42＝52，即a2＋b2＝c2，∴△ABC为直⾓三⾓形。

人教版初三上学期数学一元二次方程及解法练习题(附答案)

人教版初三上学期数学一元二次方程及解法练习题（附答案）人教版初三上学期数学一元二次方程及解法练习题（附答案）（1）；（2）；（3）；（4）。

4、一元二次方程根的判别式与其根的关系：综合练习： 1．观察下列方程: ①x2=1 ②3x2=1-x ③x(x-1)= x -1 ④ +2x-5=0 ⑤x2-y-1=0 ⑥x2-(x-3)2=9 其中是一元二次方程的是 . 2.把方程(x-2)(x+3)=5化为一元二次方程一般形式为 .其中二次项系数为 . 一次项系数为 . 常数项为 . 3.关于x的方程（m+2）xn-1-(2m-1)x-3=0,当时,它是一元二次方程,当时,它是一元一次方程. 1、用直接开平方法解方程：⑴x2=9 ⑵3x2=12 ⑶ 1/3 x2-3=0 ⑷ (3x+1)2=1 ⑸(2x-1)2 -9=0 ⑹x2+4x+4=1(7)．x2=16 (8) . 2x2 -6 =0 (9) (x+1)2=4(10) (3x+2)2=4 （11）3(x-1)2=15 （12）x2+6x+9=25能力提升： 1.关于x的方程（n-1）xn2+1-(2n+1)x-3=0,当n= 时,它是一元二次方程 2.解一元二次方程：(1) x2+2x+1=4 （2）x2+2x-3=0一元二次方程及解法（2）配方法步骤：举例说明题组训练： 1、把下列方程化为（x+ m）2=n（m，n是常数，n≥0）的形式（1）x2+2x=48；（2）x2－4x=12；（3）x2－6x+6=0；（4） 2、完成下列填空：x2+4x+4=(__+__)2 x2-8x+___=(__―__)2 4x2+__x+25=(___+__)2 16 x2+__x+1=(__+__)2 x2+10x+___=(__+__)2 x2-5x+___=(__―__)29x2-__x+25=(___+__)2 9 x2-¬__x+1=(__-__)2 3、用配方法解方程（1）x2-10x-11=0 （2）x2－6x+4= 0 （3）x2+4x－16= 0（4）x2－4x=12；（5）x2－6x=7 （6）x2+8x+2=0（7）x2－4x-5=0 （8） x2+5x+2=0 （9）3x2+2x－5=0（10）2y2+y－6=0 （11）3x2+8x-3=0 (12)-2x2=5x-3一元一次方程及解法（3）求根公式推导过程：（和应用求根公式的步骤）根的判别式与根的关系：跟踪训练：先用根的判别式判断根的情况再求解：（1）x -x-1=0；（2）5x +2=3x2；（3）y -6=5y(4)3t -2t-1=0 (5)4x(x-1)=x -1 （6）x2－6x+4= 0(7)3x +1=2 x （8）2y2+y－5= 0 （9）x2－4x=12；（10）3x2+6x=1 （11）2t2-7t－4=0； (12)x2-x-1=0(13)y2-6=5y (14)3t2-2t-1=0 (15)4x(x-1)=x2-1一元一次方程及解法（4）因式分解法解一元二次方程的原理： 1、填空（1）方程x2=x的解是。

九年级数学上册《解一元二次方程(因式分解法)》练习题

九年级数学上册《解一元二次方程（因式分解法）》练习题（含答案解析）学校:___________姓名：___________班级：______________一、单选题1．方程x 2﹣x ＝0的解是（）A ．x ＝0B ．x ＝1C ．x 1＝0，x 2＝﹣1D ．x 1＝0，x 2＝12．关于x 的方程x （x ﹣5）＝3（x ﹣5）的根是( )A ．x ＝5B ．x ＝﹣5C ．x 1＝﹣5；x 2＝3D ．x 1＝5；x 2＝33．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，放置边长分别为3，4，x 的三个正方形，则x 的值为（）A ．12B ．7C ．6D ．54．若m ，n 是方程x 2－x －2 022＝0的两个根，则代数式（m 2－2m －2 022）（－n 2＋2n ＋2 022）的值为（）A ．2 023B ．2 022C ．2 021D ．2 0205．下列关于x 的一元二次方程()200++=≠ax bx c a 的命题中，真命题有（）∠若0a b c -+=，则240b ac -≥；∠若方程()200++=≠ax bx c a 两根为1和－2，则0a b -=；∠若方程()200++=≠ax bx c a 有一个根是()0c c -≠，则1b ac =+A ．∠∠∠B ．∠∠C ．∠∠D ．∠∠6．若函数y ＝m 22m m x +++4是二次函数，则m 的值为（）A ．0或﹣1B ．0或1C ．﹣1D ．17．一个等腰三角形的两条边长分别是方程x 2﹣9x +18＝0的两根，则该等腰三角形的周长是（）A ．12B ．9C ．15D ．12或158．下列式子运算正确的是（）A ．（2a+b ）（2a ﹣b ）=2a 2﹣b 2B ．（a+2）（b ﹣1）=ab ﹣2C ．（a+1）2=a 2+1D ．（x ﹣1）（x ﹣2）=x 2﹣3x+29．已知方程x 2+2x ﹣3=0的解是x 1=1，x 2=﹣3，则另一个方程（x +3）2+2（x +3）﹣3=0的解是（）A ．x 1=﹣1，x 2=3B ．x 1=1，x 2=﹣3C ．x 1=2，x 2=6D ．x 1=﹣2，x 2=﹣6 10．下列解方程变形：∠由3x ＋4＝4x －5，得3x ＋4x ＝4－5；∠由1132x x +-=，去分母得2x －3x ＋3＝6； ∠由()()221331x x ---=，去括号得4x －2－3x ＋9＝1；∠由344x =，得x ＝3．其中正确的有（） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个二、填空题11．一元二次方程()()120x x --=可化为两个一次方程为______________，方程的根是_________．12．方程2x 2+1=3x 的解为________．13．已知()()212x kx x a x b ++=++，()()215x kx x c x d ++=++，其中a b c d ,,,均为整数，则k =____________ 14．已知()()2222142x y x y ++-=，则22x y +的值是___________．15．若a ，b 是一元二次方程2220220x x +-=的两个实数根，则242a a b ++的值是_________．三、解答题16．已知关于x 的方程()()2222130k k x k x +-++-=（k 为常数）．(1)该方程一定是一元二次方程吗？如果一定是，请说明理由；如果不一定是，请求出当方程不是一元二次方程时k 的值；(2)求1k =时方程的解；(3)求出一个()1k k ≠的值，使这个k 的值代人原方程后，所得的方程中有一个解与（2）中方程的一个解相同．（本小题只需求一个k 的值即可）17．为解方程（x 2﹣1）2﹣5（x 2﹣1）+4＝0，我们可以将x 2﹣1视为一个整体，然后设x 2﹣1＝y ，则原方程可化为y 2﹣5y +4＝0，解此方程得y 1＝1，y 2＝4．当y ＝1时，x 2﹣1＝1，所以x =当y ＝4时，x 2﹣1＝4，所以x =所以原方程的根为1x =，2x =3x =4x =．以上解方程的方法叫做换元法，利用换元法达到了降次的目的，体现了数学的转化思想．运用上述方法解下列方程：（1）（x 2﹣x ）（x 2﹣x ﹣4）＝﹣4；（2）x 4+x 2﹣12＝0．参考答案与解析：1．D【分析】因式分解后求解即可.【详解】x 2﹣x ＝0，x （x -1）=0，x =0，或x -1=0，解得x 1＝0，x 2＝1，故选：D【点睛】此题考查因式分解法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程的一般步骤：∠移项，使方程的右边化为零；∠将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；∠令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；∠解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．2．D【分析】利用因式分解法求解可得．【详解】解：∠x （x ﹣5）﹣3（x ﹣5）＝0，∠（x ﹣5）（x ﹣3）＝0，则x ﹣5＝0或x ﹣3＝0，解得x ＝5或x ＝3，故选：D ．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．3．B【分析】根据已知条件可以推出△CEF∠∠OME∠∠PFN然后把它们的直角边用含x的表达式表示出来，利用对应边的比相等，即可推出x的值．【详解】解：∠在Rt△ABC中（∠C=90°），放置边长分别3，4，x的三个正方形，∠OM∠AB∠PN∠EF，EO∠FP，∠C=∠EOM=∠NPF=90°，∠∠CEF∠∠OME∠∠PFN，∠OE：PN=OM：PF，∠EF=x，MO=3，PN=4，∠OE=x-3，PF=x-4，∠（x-3）：4=3：（x-4），∠（x-3）（x-4）=12，即x2-4x-3x+12=12，∠x=0（不符合题意，舍去）或x=7．故选：B．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质、正方形的性质，解题的关键在于找到相似三角形，用x 的表达式表示出对应边．4．B【详解】解：∠m、n是方程x2-x-2022=0的两个根，∠m2-m-2022=0，n2-n-2022=0，mn=-2022，∠m2-m=2022，n2-n=2022，∠（m2－2m－2 022）（－n2＋2n＋2 022）=（m2-m-m-2022）(-(n2-n)+n+2022)=(2022-m-2022)((-2022+n+2022)=-mn=2022，故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义和一元二次方程根与系数的关系，能根据已知条件得出m 2-m -2022=0，n 2-n -2022=0，mn =-2022是解此题的关键．5．A【分析】把b =a +c 代入判别式中得到24b ac -=（a -c ）2≥0，则可对∠进行判断；利用根与系数的关系得到2c a=-，根据根的定义可得0a b c ++=，于是可对∠进行判断；由方程的根的定义可得20ac bc c -+=，即可对∠进行判断．【详解】解：a -b +c =0，则b =a +c ，24b ac -=（a +c ）2-4ac =（a -c ）2≥0，所以∠正确；∠方程ax 2+bx +c =0两根为1和-2， ∠2c a=-，则2c a =-，0a b c ++= 20a b a ∴+-=∠0a b -=，所以∠正确；∠方程()200++=≠ax bx c a 有一个根是()0c c -≠，∠20ac bc c -+=0c ≠∠10ac b -+=∠1b ac =+所以∠正确．故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，掌握以上知识是解题的关键．6．C【分析】利用二次函数定义可得m 2+m +2＝2，且m ≠0，再解即可．【详解】解：由题意得：m 2+m +2＝2，且m ≠0，解得：m ＝﹣1，故C 正确．故选：C ．【点睛】本题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如y ＝ax 2+bx +c （a 、b 、c 是常数，a ≠0）的函数，叫做二次函数．7．C【分析】利用因式分解法求出x 的值，再根据等腰三角形的性质分情况讨论求解【详解】解：∠ x 2﹣9x +18＝0，∠（x﹣3）（x﹣6）＝0，则x﹣3＝0或x﹣6＝0，解得x＝3或x＝6，当3是腰时，三角形的三边分别为3、3、6，不能组成三角形；当6是腰时，三角形的三边分别为3、6、6，能组成三角形，周长为3+6+6＝15．故选：C．【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，三角形的三边关系，等腰三角形的性质，要注意分情况讨论．8．D【分析】A、原式利用平方差公式计算即可得到结果；B、原式利用多项式乘以多项式法则计算得到结果，即可做出判断；C、原式利用完全平方公式计算得到结果，即可做出判断；D、原式利用多项式乘以多项式法则计算得到结果，即可做出判断．【详解】解：A、原式=4a2-b2，错误；B、原式=ab-a+2b-2，错误；C、原式=a2+2a+1，错误；D、原式=x2-3x+2，正确．故选D．【点睛】此题考查了平方差公式，多项式乘多项式，以及完全平方公式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．9．D【分析】根据已知方程的解得出x+3=1，x+3=﹣3，求出两个方程的解即可．【详解】解：∠方程x2+2x﹣3=0的解是x1=1，x2=﹣3，∠方程（x+3）2+2（x+3）﹣3=0中x+3=1或﹣3，解得：x=﹣2或﹣6，即x1=﹣2，x2=﹣6，故选：D．【点睛】本题考查了解一元二次方程，换元法解一元二次方程，能根据方程的解得出x+3=1，x+3=﹣3，是解此题的关键．10．B【分析】根据解一元一次方程的步骤进行逐一求解判断即可．【详解】解：∠由3x +4=4x -5，得3x -4x =-5-4；方程变形错误，不符合题意；∠由1132x x +-=，去分母得2x -3x -3=6；方程变形错误，不符合题意； ∠由()()221331x x ---=，去括号得4x -2-3x +9=1；正确，符合题意；∠由344x =，得x =163．方程变形错误，不符合题意；综上，正确的是∠，只1个，故选：B ．【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键在于能够熟练掌握解一元一次方程的方法． 11． x ﹣1＝0，x ﹣2＝0 11x =，22x =【分析】两个因式的积为0，这两个因式都可以为0，得到两个一次方程，然后求出方程的根．【详解】解：（x ﹣1）（x ﹣2）＝0∠x ﹣1＝0或x ﹣2＝0∠11x =，22x =．故答案分别是：x ﹣1＝0，x ﹣2＝0；11x =，22x =．【点睛】本题考查的是用因式分解法解一元二次方程，因式分解得到两个因式的积为0，这两个因式分别为0，得到两个一次方程，然后求出方程的根．12．1211,2x x == 【分析】先移项，再利用因式分解法解答，即可求解．【详解】解：移项得：22310x x -+=，∠()()2110x x --=，∠210x -=或10x -=，解得：1211,2x x ==，故答案为：1211,2x x ==．【点睛】此题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法，并灵活选用合适的方法解答是解题的关键．13．8±．【分析】根据等式两边对应相等的关系，可得到ab 和cd 的值，以及a+b 和c+d 的关系，再根据a 、b 、c 、d 是整数，即可得到结果．【详解】解：由题可得()()()2x a x b x a b x ab ++=+++，()()()2x c x d x c d x cd ++=+++12ab ∴=，15cd =，a b c d k +=+=又a b c d ，，，均为整数，∠2a =，6b =，3c =，5d =或2a =-，6b =-，3c =-，5d =-即8k =±．故答案为：±8．【点睛】本题考查多项式乘多项式，属基础知识．14．7【分析】换元法，令22x y t +=，将原方程化为t （t －1）＝42（t 0≥），求解一次方程即可．【详解】令22x y t +=（t 0≥），∠原方程化为t （t －1）＝42，解得t ＝7，或t ＝－6（舍），∠227x y +=，故答案为：7．【点睛】本题考查用换元法求解方程．解题关键是要注意换元之后一定要考虑新未知数的取值范围，换元法的实际应用，是解题关键．15．2018【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到222022a a +=，再根据根与系数的关系得到2a b +=-，然后利用整体代入的方法计算．【详解】解：∠a ，b 是一元二次方程2220220x x +-=的两个实数根，∠2220220a a +-=∠222022a a +=∠a ，b 是一元二次方程2220220x x +-=的两个实数根，∠2a b +=-，∠242a a b ++2222a a a b =+++()222a a a b=+++()202222=+⨯-2018=故答案为：2018．【点睛】本题考查的是一元二次方程的解的定义和根与系数的关系，还有整体的思想，熟练掌握一元二次方程的解的定义和根与系数的关系是解本题的关键．16．(1)不一定是，1k=-(2)x1=1，x2=-3；(3)4-或8 3 -【分析】（1）不一定，当2220k k+-=时该方程为一元一次方程，解得k的值即可；（2）把k=1代入方程计算即可；（3）把（2）中解得的x的值代入原方程解得k的值即可．（1）解：不一定是．当2220k k+-=时该方程为一元一次方程，解得：1k=-±答：方程不一定是一元二次方程，当方程不是一元二次方程时k的值为1-（2）解：当k=1代入得：2230x x+-=解得：x1=1，x2=-3；（3）解：x=1代入得k=-4，或x=-3代入得k＝83 -，答：k的值为4-或83 -．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义、一元二次方程的解以及解一元二次方程，掌握定义与解法是解题的关键．17．（1）x 1＝2，x 2＝﹣1；（2）12x x ==【分析】（1）设x 2﹣x ＝a ，原方程可化为a 2﹣4a +4＝0，求出a 的值，再代入x 2﹣x ＝a 求出x 即可；（2）设x 2＝y ，原方程化为y 2+y ﹣12＝0，求出y ，再把y 的值代入x 2＝y 求出x 即可．【详解】解：（1）（x 2﹣x ）（x 2﹣x ﹣4）＝﹣4，设x 2﹣x ＝a ，则原方程可化为a 2﹣4a +4＝0，解此方程得：a 1＝a 2＝2，当a ＝2时，x 2﹣x ＝2，即x 2﹣x ﹣2＝0，因式分解得：（x ﹣2）（x +1）＝0，解得：x 1＝2，x 2＝﹣1，所以原方程的解是x 1＝2，x 2＝﹣1；（2）x 4+x 2﹣12＝0，设x 2＝y ，则原方程化为y 2+y ﹣12＝0，因式分解，得（y ﹣3）（y +4）＝0，解得：y 1＝3，y 2＝﹣4，当y ＝3时，x 2＝3，解得：x =当y ＝﹣4时，x 2＝﹣4，无实数根，所以原方程的解是1x 2x =【点睛】本题考查了用换元法解一元二次方程和用因式分解法解一元二次方程，能正确换元是解此题的关键．。

人教版九年级上册数学《一元二次方程的解法公式法因式分解法》(含答案)

一元二次方程的解法公式法因式分解法一、选择题1. 方程x 2+x ﹣12=0的两个根为（）A ．x 1=﹣2，x 2=6B ．x 1=﹣6，x 2=2C ．x 1=﹣3，x 2=4D ．x 1=﹣4，x 2=32．整式x+1与整式x-4的积为x 2-3x-4，则一元二次方程x 2-3x-4＝0的根是( )．A ．x 1＝-1，x 2＝-4B ．x 1＝-1，x 2＝4C ．x 1＝1，x 2＝4D ．x 1＝1，x 2＝-43．如果x 2+x -1＝0，那么代数式3227x x +-的值为( )A ．6B ．8C ．-6D ．-84．若最新x 的一元二次方程(m -1)x 2+5x+m 2-3m+2＝0的常数项为0，则m 的值等于( )A ．1B ．2C ．1或2D ．05．若代数式(2)(1)||1x x x ---的值为零，则x 的取值是( )． A ．x ＝2或x ＝1 B ．x ＝2且x ＝1C ．x ＝2D ．x ＝-16．一个等腰三角形的两条边长分别是方程x 2-7x+10=0的两根，则该等腰三角形周长是( )．A ．12B ．9C ．13D ．12或9二、填空题7．已知实数x 满足4x 2-4x+1＝0，则代数式122x x +的值为________． 8．已知y ＝x 2+x-6，当x ＝________时，y 的值是24．9．若方程2x mx n ++可以分解成（x-3）与(x+4)的积的形式，则m ＝________，n ＝________．10．若规定两数a 、b 通过“※”运算，得到4ab ，即a ※b ＝4ab ，例如2※6＝4×2×6＝48．(1)则3※5的值为；(2)则x ※x+2※x-2※4＝0中x 的值为；(3)若无论x 是什么数，总有a ※x ＝x ，则a 的值为．11．阅读下面的材料，回答问题：解方程x 4﹣5x 2+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x 2=y ，那么x 4=y 2，于是原方程可变为y 2﹣5y+4=0 ①，解得y 1=1，y 2=4．当y=1时，x 2=1，∴x=±1；当y=4时，x 2=4，∴x=±2；∴原方程有四个根：x 1=1，x 2=﹣1，x 3=2，x 4=﹣2．（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用法达到的目的，体现了数学的转化思想．（2）方程（x 2+x ）2﹣4（x 2+x ）﹣12=0的解为．12．三角形两边的长分别是8和6，第3边的长是一元二次方程x 2﹣16x +60=0的一个实数根，则该三角形的面积是．三、解答题13. 用公式法解下列方程：2(1)210x ax --=；（2）22222(1)()ab x a x b x a b +=+> ．14．用适当方法解下列方程：（1）（2x-3）2=25 (2)x 2-4x+2=0 (3)x 2-5x-6=015．(1)利用求根公式计算，结合①②③你能得出什么猜想?①方程x 2+2x+1＝0的根为x 1＝________，x 2＝________，x 1+x 2＝________，x 1·x 2＝________．②方程x 2-3x-1＝0的根为x 1＝________，x 2＝________，x 1+x 2＝________，x 1·x 2＝________．③方程3x 2+4x-7＝0的根为x 1＝_______，x 2＝________，x 1+x 2＝________，x 1·x 2＝________．(2)利用求根公式计算：一元二次方程ax 2+bx+c ＝0(a ≠0，且b 2-4ac ≥0)的两根为x 1＝________，x 2＝________，x 1+x 2＝________，x 1·x 2＝________．(3)利用上面的结论解决下面的问题：设x 1、x 2是方程2x 2+3x-1＝0的两个根，根据上面的结论，求下列各式的值：①1211x x +； ②2212x x +．答案与解析一、选择题1.【答案】D【解析】x 2+x ﹣12=（x +4）（x ﹣3）=0，则x +4=0，或x ﹣3=0，解得：x 1=﹣4，x 2=3．故选D ．2．【答案】B ；【解析】∵ 234(1(4)x x x x --=+-，∴ 2340x x --=的根是11x =-，24x =．3．【答案】C ．【解析】∵ 210x x +-=，∴ 21x x +=．∴ 32322222277()77176x x x x x x x x x x x +-=++-=++-=+-=-=-．4.【答案】B ；【解析】由常数项为0可得m 2-3m+2＝0，∴ (m -1)(m -2)＝0，即m -1＝0或m -2＝0， ∴ m ＝1或m ＝2，而一元二次方程的二次项系数m -1≠0，∴ m ≠1，即m ＝2．5．【答案】C ；【解析】(2)(1)0x x --=且||1x ≠，∴ 2x =．6．【答案】A ；【解析】x 2-7x+10=0，x 1=2，x 2=5，此等腰三角形的三边只能是5，5，2，其周长为12．二、填空题7．【答案】2；【解析】用因式分解法解方程24410x x -+=得原方程有两个等根，即1212x x ==，所以121122x x+=+=． 8．【答案】5或-6；【解析】此题把y 的值代入得到最新x 的一元二次方程，解之即可．如：根据题意，得2624x x +-=，整理得2300x x +-=，解得15x =，26x =-． 9．【答案】 1 ； -12 ；【解析】22(3)(4)12x mx n x x x x ++=-+=+-，∴ m ＝1，n ＝-12．10．【答案】(1)60；(2) 12x =，24x =-；(3) 14a =．【解析】(1)3※5＝4×3×5＝60；(2)∵ x ※x +2※2x -※4＝24(28)0x x +-=，∴ 12x =，24x =-； (3)∵ a ※4x ax ==x ，4(41)0ax x a x -=-=，∴ 只有410a -=，等式才能对任何x 值都成立．∴ 14a =． 11．【答案】(1) 换元；降次； (2) x 1=﹣3，x 2=2．【解析】解：（1）换元，降次（2）设x 2+x=y ，原方程可化为y 2﹣4y ﹣12=0，解得y 1=6，y 2=﹣2．由x 2+x=6，得x 1=﹣3，x 2=2．由x 2+x=﹣2，得方程x 2+x+2=0，b 2﹣4ac=1﹣4×2=﹣7＜0，此时方程无实根．所以原方程的解为x 1=﹣3，x 2=2．12.【答案】24或8．【解析】解：∵x 2﹣16x +60=0，∴（x ﹣6）（x ﹣10）=0，解得：x 1=6，x 2=10，当x=6时，则三角形是等腰三角形，如图①：AB=AC=6，BC=8，AD 是高，∴BD=4，AD==2，∴S △ABC =BC•AD=×8×2=8；当x=10时，如图②，AC=6，BC=8，AB=10，∵AC 2+BC 2=AB 2，∴△ABC 是直角三角形，∠C=90°，S △ABC =BC•A C=×8×6=24．∴该三角形的面积是：24或8．故答案为：24或8．三、解答题13.【答案与解析】（1）∵1,2,1,a b a c ==-=-∴2224(2)41(1)440b ac a a -=--⨯⨯-=+＞ ∴2224412a a x a a ±+==±+ ∴22121, 1.x a a x a a =++=-+（2）222(1)ab x a x b x +=+，即222()0abx a b x ab -++=，令A ＝ab ，B ＝22()a b -+，C ＝ab ．∵ 22222224()4()0B AC a b ab ab a b ⎡⎤-=-+-•=-⎣⎦＞， ∴ 222224()2B B AC a b a b x ab-±-+±-==， ∴ 222221222a b a b a a x ab ab b++-===， 222222()222a b a b b b x ab ab a+--===， ∴ 1a x b =，2b x a=． 14.【答案与解析】解：（1）直接开平方得：2x-3=±5，∴2x-3= 5或2x-3=-5∴x 1= 4，x 2= -1（2）∵a=1,b=-4,c=2,∴△=b 2-4ac=16-8=8.∴ 42x ±=± ∴12=2=2.x x +（3）分解因式得：（x-6）(x+1)=0∴ x-6= 0或 x+1=0∴x 1= 6，x 2= -1.15.【答案与解析】(1)两根之和等于一次项系数除以二次项系数的相反数，两根之积等于常数项除以二次项系数．① -1 ； -1 ； -2 ； 1.② 32 ；32； 3 ；-1. ③ 73- ； 1 ； 43- ； 73- . ；；b a - ；c a. (3)1232x x +=-，1212x x =-． ①1212123112312x x x x x x -++===-． ②22212121291913()2214244x x x x x x ⎛⎫+=+-=-⨯-=+= ⎪⎝⎭．1、最困难的事就是认识自己。

人教版九年级数学上册解一元二次方程同步练习含答案【优选范本】

21.2专题训练一元二次方程的解法及配方法的应用一、一元二次方程的解法1．用直接开平方法解方程：(1)(4x －1)2＝225；解：x 1＝4，x 2＝－72(2)13(x －2)2＝8；解：x 1＝2＋26，x 2＝2－2 6(3)9x 2－6x ＋1＝9；解：x 1＝43，x 2＝－23(4)3(2x ＋1)2－2＝0.解：x 1＝－12＋66，x 2＝－12－662．用配方法解方程：(1)2t 2－3t ＝－1；解：t 1＝12，t 2＝1(2)2x 2＋5x －1＝0；解：x 1＝－5＋334，x 2＝－5－334(3)(2x －1)(3x －1)＝3－6x ；解：x 1＝12，x 2＝－23(4)(2x －1)2＝x(3x ＋2)－7.解：x 1＝4，x 2＝23．用公式法解方程：(1)x 2＝6x ＋1;解：x 1＝3＋10，x 2＝3－10(2)0.2x 2－0.1＝0.4x ；解：x 1＝2＋62，x 2＝2－62(3)2x －2＝2x 2.解：原方程无实数根4．用因式分解法解方程：(1)(x －1)2－2(x －1)＝0；解：x 1＝3，x 2＝1(2)5x(x －3)＝(x －3)(x ＋1)；解：x 1＝3，x 2＝14(3)(x ＋2)2－10(x ＋2)＋25＝0.解：x 1＝x 2＝35．用适当的方法解方程：(1)2(x －3)2＝x 2－9；解：x 1＝3，x 2＝9(2)(2x ＋1)(4x －2)＝(2x －1)2＋2；解：x 1＝－1＋62，x 2＝－1－62(3)(x ＋1)(x －1)＋2(x ＋3)＝8.解：x 1＝1，x 2＝－3二、配方法的应用(一)最大(小)值6．利用配方法证明：无论x 取何实数值，代数式－x 2－x －1的值总是负数，并求出它的最大值．解：－x 2－x －1＝－(x ＋12)2－34，∵－(x ＋12)2≤0，∴－(x ＋12)2－34＜0，故结论成立．当x ＝－12时，－x 2－x －1有最大值－347．对关于x 的二次三项式x 2＋4x ＋9进行配方得x 2＋4x ＋9＝(x ＋m)2＋n.(1)求m ，n 的值；(2)求x 为何值时，x 2＋4x ＋9有最小值，并求出最小值为多少？解：(1)∵x 2＋4x ＋9＝(x ＋m)2＋n ＝x 2＋2mx ＋m 2＋n ，∴2m ＝4，m 2＋n ＝9，∴m ＝2，n ＝5(2)∵m＝2，n＝5，∴x2＋4x＋9＝(x＋2)2＋5，∴当x＝－2时，有最小值是5(二)非负数的和为08．已知a2＋b2＋4a－2b＋5＝0，求3a2＋5b2－5的值．解：∵a2＋b2＋4a－2b＋5＝0，∴(a2＋4a＋4)＋(b2－2b＋1)＝0，即(a＋2)2＋(b－1)2＝0，∴a＝－2，b＝1.∴3a2＋5b2－4＝3×(－2)2＋5×12－5＝129．若a，b，c是△ABC的三边长且满足a2－6a＋b2－8b＋c－5＋25＝0，请根据已知条件判断其形状．解：等式变形为a2－6a＋9＋b2－8b＋16＋c－5＝0，即(a－3)2＋(b－4)2＋c－5＝0，由非负性得(a－3)2＝0，(b－4)2＝0，c－5＝0，∴a＝3，b＝4，c＝5.∵32＋42＝52，即a2＋b2＝c2，∴△ABC为直角三角形。

人教版九年级上册 21.2 解一元二次方程同步练习(含答案)

解一元二次方程同步练习姓名：__________ 班级：__________考号：__________一、选择题（共12题）1、一元二次方程x（x﹣2）=x的根是（）A．0 B．2 C．3或0 D．0或﹣3 2、方程x2=9的解是（）A．x1=x2=3 B．x1=x2=9 C．x1=3，x2=﹣3 D．x1=9，x2=﹣93、用配方法解一元二次方程x2﹣6x+4=0，下列变形正确的是（）A．（x﹣3）2=13 B．（x﹣3）2=5 C．（x﹣6）2=13 D．（x﹣6）2=5 4、方程x2﹣4x﹣12=0的解为（）A．x1=2，x2=6 B．x1=2，x2=﹣6C．x1=﹣2，x2=6 D．x1=﹣2，x2=﹣65、下列一元二次方程有两个相等的实数根的是（）A．x2+2x=0 B．（x﹣1）2=0 C．x2=1 D．x2+1=06、若2﹣是方程x2﹣4x+c=0的一个根，则c的值是（）A．1 B． C． D．7、若关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是( )A．k＞1 B．k＜1 C．k＞1且k≠0 D．k＜1且k≠08、关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的两实数根分别为x1、x2，且x1+3x2＝5，则m的值为（）A． B． C． D．09、已知m是方程x2﹣x﹣2=0的一个根，则代数式m2﹣m的值为（）A. 4B. 2C. 8D. -210、直角三角形两条直角边的和为7，面积是6，则斜边长是（）A． B．5 C． D．711、已知实数a，b分别满足a2﹣6a+4=0，b2﹣6b+4=0，且a≠b，则a2+b2的值为（）A．36 B．50 C．28 D．2512、三角形两边长分别是8和6，第三边长是一元二次方程x2﹣16x+60=0一个实数根，则该三角形的面积是（）A．24 B．48 C．24或8 D．8二、填空题（共5题）1、若关于x的一元二次方程x2+mx+2n=0有一个根是2，则m+n= ．2、设x1，x2是一元二次方程x2－mx－6＝0的两个根，且x1＋x2＝1，则x1＝________，x2＝______．3、若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_____．4、若方程x2﹣2x﹣1＝0的两根分别为x1，x2，则x1+x2﹣x1x2的值为_____．5、如果a、b、c为互不相等的实数，且满足关系式b2+c2＝2a2+16a+14与bc＝a2﹣4a﹣5，那么a的取值范围是_____．三、解答题（共5题）1、已知关于x的一元二次方程x2－(k＋1) x－8=0的一个根是4，求方程的另一根和k的值．2、关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2=0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根小于1，求k的取值范围．3、已知关于x 的一元二次方程x 2+2（k ﹣1）x+k 2﹣1=0有两个不相等的实数根．（1）求实数k 的取值范围；（2）0可能是方程的一个根吗？若是，请求出它的另一个根；若不是，请说明理由．4、已知关于 x 的方程 x 2+(2k-1)x+k 2-1＝0 有两个实数根 x ，x (1)求 k 的取值范围；(2)若 x 1，x 2 满足 x 1x 2+x 1+x 2＝3，求 k 的值.5、已知关于x 的方程x 2﹣（m+2）x+（2m ﹣1）=0．（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的周长．参考答案一、选择题1、C．；2、C；3、B；4、C；5、B；6、A；7、D；8、A；9、B；10、B；11、C．；12、C；二、填空题1、﹣2．2、－2 33、 k＞0且k≠1.4、 35、 a＞﹣1且a≠﹣且a≠且a≠﹣三、解答题1、另一根-2，k=-3.2、解：（1）证明：∵在方程x2﹣（k+3）x+2k+2=0中，△=[﹣（k+3）]2﹣4×1×（2k+2）=k2﹣2k+1=（k﹣1）2≥0，∴方程总有两个实数根．（2）解：∵x2﹣（k+3）x+2k+2=（x﹣2）（x﹣k﹣1）=0，∴x1=2，x2=k+1．∵方程有一根小于1，∴k+1＜1，解得：k＜0，∴k的取值范围为k＜0．3、（1）∵△=[2（k﹣1）]2﹣4（k2﹣1）=4k2﹣8k+4﹣4k2+4=﹣8k+8 又∵原方程有两个不相等的实数根，∴﹣8k+8＞0，解得k＜1，即实数k的取值范围是k＜1；（2）（6分）假设0是方程的一个根，则代入原方程得02+2（k﹣1）0+k2﹣1=0，解得k=﹣1或k=1（舍去），即当k=﹣1时，0就为原方程的一个根，此时原方程变为x2﹣4x=0，解得x1=0，x2=4，所以它的另一个根是4．4、(1)(2)5、（1）证明：∵△=（m+2）2﹣4（2m﹣1）=（m﹣2）2+4，∴在实数范围内，m无论取何值，（m﹣2）2+4＞0，即△＞0，∴关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）=0恒有两个不相等的实数根；（2）解：根据题意，得12﹣1×（m+2）+（2m﹣1）=0，解得，m=2，则方程的另一根为：m+2﹣1=2+1=3；①当该直角三角形的两直角边是1、3时，由勾股定理得斜边的长度为：；该直角三角形的周长为1+3+=4+；②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为2；则该直角三角形的周长为1+3+2=4+2．。

初中数学人教版九年级上册 21.2 解一元二次方程同步练习(含答案)

解一元二次方程同步练习一．选择题（共12小题）1．下列方程中，没有实数根的是（）A．x2-2x-3=0B．（x-5）（x+2）=0C．x2-x+1=0D．x2=12．一元二次方程x2-3x=0的两个根是（）A．x1=0，x2=-3B．x1=0，x2=3C．x1=1，x2=3 D．x1=1，x2=-33．下列用配方法解方程x2-x-2=0的四个步骤中，出现错误的是（）A．①B．①C．①D．①4．关于x的方程x2-mx-3=0的一个根是x1=3，则它的另一个根x2是（）A．0B．1C．-1D．25．关于x的一元二次方程x2+（a2-3a）x+a=0的两个实数根互为倒数，则a的值为（）A．-3B．0C．1D．-3 或06．已知（a2+b2+2）（a2+b2）=8，那么a2+b2的值是（）A．2B．-4C．2或-4D．不确定7．若关于x的一元二次方程x2+3x+k-2=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（）A．k＞B．k≥C．k＜D．k≤8．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+kx-1=0的两个根，且满足，则k的值为（）A．2B．-2C．1D．-19．已知一元二次方程，则该一元二次方程根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根10．已知关于x的一元二次方程x2-2（k-1）x+k2+2=0的两个实数根为x1和x2，设t=，则t的最大值为（）A．-4B．4C．-6D．611．定义：如果一个一元二次方程的两个实数根的比值与另一个一元二次方程的两个实数根的比值相等，我们称这两个方程为“相似方程”，例如，（x-3）（x-6）=0的实数根是3或6，x2-3x+2=0的实数根是1或2，3：6=1：2，则一元二次方程（x-3）（x-6）=0与x2-3x+2=0为相似方程．下列各组方程不是相似方程的是（）A．x2-16=0与x2=25B．（x-6）2=0与x2+4x+4=0C．x2-7x=0与x2+x-6=0D．（x+2）（x+8）=0与x2-5x+4=012．对于实数a、b，定义运算“①”：a①b=，关于x的方程（2x+1）①（2x-3）=t恰好有两个不相等的实数根，则t的取值范围是（）A．t＜B．t＞C．t＜D．t＞二．填空题（共5小题）13．一元二次方程（x+1）2=x+1的根是．14．已知关于x的方程x2+kx-2=0的一个根是x=2，则另外一个根为．15．已知关于x的一元二次方程（m+2）x2-3x+1=0有实数根，则m的取值范围是．16．已知m是方程x2-2x-1=0的一个根，且3m2-6m+a=8，则a的值等于．17．已知实数x满足（x2-x）2-2（x2-x）-3=0，则代数式x2-x+2020的值为．三．解答题（共5小题）18．用适当的方法解方程：（1）x2-4x-7=0；（2）x（x-2）+x-2=0．19．已知关于x的一元二次方程3x2+bx-2=0．（1）若b=6，请你求出这个方程的解；（2）若b为任意数，请判断此时这个方程的根的情况．20．已知关于x的一元二次方程mx2-2mx+（m-1）=0．（1）若方程的一个根是x=2，求m的值及另一个根；（2）当m＞1时方程有实数根吗？请说明理由．21．已知三角形的一边长为7，另两边长为方程x2-8x+15=0的两个根，求该三角形的周长．22．已知关于x的一元二次方程x2-2mx+（m2+m）=0有两个实数根．（1）求m的取值范围；（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且x1+x2+x1•x2=4，求m的值．参考答案1-5：CBDCC 6-10:ACBBD 11-12:CD13、14、-115、16、517、202318、19、20、：（1）把x=2代入方程mx2-2mx+（m-1）=0得4m-4m+m-1=0，解得m=1，此时方程为x2-2x=0，解得x1=2，x2=0，即方程的另一个根为0；（2）方程有两个不相等的实数根，理由如下：①=4m2-4m（m-1）=4m①m＞1，①①＞0，①方程有两个不相等的实数根．21、：①x2-8x+15=0，①（x-3）（x-5）=0，则x-3=0或x-5=0，解得x1=3，x2=5，则三角形的周长为7+3+5=15．22、：（1）根据题意得①=4m2-4（m2+m）≥0，解得m≤0；（2）根据题意得x1+x2=2m，x1x2=m2+m，①x1+x2+x1•x2=4，①2m+m2+m=4，整理得m2+3m-4=0，解得m1=-4，m2=1，①m≤0，①m的值为-4．。

人教版初中数学九年级上册21.2解一元二次方程同步测试题含答案

人教版初中数学九年级上册21.2解一元二次方程同步测试题一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求） 1．解下列方程用直接开平方法较简单的是（）A ．2x =4xB ．()221x -=9xC ．()23x +-7=0D ．2x +2x=1 2．如果关于x 的方程2x +mx+n=0经过配方可化为()24x -=13，则m 、n 的值是（）A ．m=8，n=3B ．m=-8，n=3C ．m=8，n=-3D ．m=-8，n=-3 3．如果关于x 的一元二次方程a 2x +bx+c=0有一个根是x=-1，则a 、b 、c的关系是（）A ．a+b+c=0B ．a-b+c=0C ．a+b-c=0D ．a-b-c=04．如果二次三项式a 2x +bx+c 可分解为a （x-2）（x+3）=0，则方程a 2x +bx+c=0的两根是（）A ．1x =2，2x =-3B ．1x =-2，2x =3C ．1x =-2，2x =3D ．1x =2，2x =35．一元二次方程（x+2）（x+3）=6的两根（）A ．都是0B ．一个0，一个正数C ．一个0，一个负数D ．都是无理数651- ） A ．2x -x-1=0 B ．2x +x-1=0 C ．2x -x+1=0 D ．2x +x+1=0 7．已知非零实数x 、y 满足2x +4xy=52y ，如果分式5x y x y-+有意义，则分式x yy -的值是（）A ．0B ．-6C ．0或-6D ．0或-48．某图书馆2016年建馆时购进图书20万册，计划以后每年购进图书比上一年增加一个相同的百分数，到2018年藏书达到72．8万册，设每年增加的百分数为x ，根据题意列方程得（） A ．20()21x +=72.8 B ．20（1+x ）=72.8C ．20+20()21x +=72.8 20+20（1+x ）+20()21x +=72.89．已知0x 是一元二次方程a 2x +bx+c=0的根，设M=()202ax b +，N=2b -4ac ，则M-N 的结果是（）A ．小于零B ．等于零C ．大于零D ．不能确定10．已知x=232x +bx+c=0的根，如果b 、c 为有理数，则b 、c 的值分别是（）A ．b=4，c=1B ．b=4，c=-1C ．b=-4，c=1D ．b=-4，c=-1 二、填空题（本大题6相同，每题4分，共24分） 11．方程()22x -+x=2两根的和是．12．如果关于x 的一元二次方程（m-1）2x +（2m-1）x+2m -1=0有一个根为0，则m 的值等于．13．如果分式()22516x x x+-+的值为0，则x= ．14．已知三角形的两边长为3和6，第三边是方程()26x --3x+18=0的根，则该三角形的周长是．15．如果2x +2y -4x+6y+13=0，则y x 的值等于． 16．已知m 是方程2x -2019x+1=0的一个根，则2m -2018m+220191m +的值等于．三、解答题（本大题9小题，共86分）17（8分）．解方程：()23x-=0．x--4()2218（8分）．解方程：2()22t-+t=2．19（8分）解方程：22y-2y-1=0．20（8分）．用配方法解方程：2x-32x+56=0．21（8分）．中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》有这么一道题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何?”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？22（10分）．已知关于x 的一元二次方程（2m -2n ）2x -4mnx=2m -2n （2m -2n ≠0），你能选择一种适当的方法把它解出来吗？ 22．解：原方程化为（2m -2n ）2x -4mnx-（2m -2n ）=0，2b -4ac=162m 2n +4（2m -2n ）（2m -2n ）=4（4m +22m 2n +4n ）=4()222m n +，所以()()222442mm m n m n±+-=()()2222422mn m n m n±+-=()()()222mn m n m n m n ±++-，所以1x =()()()2m n m n m n ++-=m n m n +-，2x =()()()2m n m n m n --+-=-m nm n -+．23（10分）．已知两个一元二次方程a 2x +bx+c=0①和2x +bx+ac=0②（a ≠1）．（1）如果a=2时方程①的两根为2和3，则方程②的两根是；（2）如果方程②的两根为1x 和2x ，求证：方程①的两根为1x a 和2xa．24（13分）．如图，一架长2．5米的梯子AB 斜靠在竖直的墙AC 上，这时B 到墙底C 的距离为0．7米．（1）如果梯子的顶端沿墙下滑0．4米，哪么点B将向外移动多少米？（2）在梯子下滑过程中，是否存在顶端点A 下滑的距离AA 1与底端点B 滑出的距离BB 1相等？如果存在，请求出这个距离；如果不存在请说明理由．25（13分）已知关于x 的一元二次方程（2k +k ）2x +（2k-1）x-3=0．（1）当k=-14，解这个方程；（2）如果已知方程有整数根，求k 的所有整数值．1参考答案3-2x+4)=0，即（3x-7）(-x+1)=0，所以1x =73，2x =1．18．解：原方程化为2()22t -+（t-2）=0，因式分解，得（t-2）(2t-4+1)=0，即（t-2）(2t-3)=0，所以1t =2，2t =32．19．解：a=2，b=-2，c=-1，2b -4ac=12，由求根公式，得y=222±⨯，所以1y 13+，2y 13-． 20．解：移项，得：2x -32x=-56，两边加上216，得216，得：2x -32x+216=-56+256，配方，得：()216x -=200，所以x-16=±2，所以1x =16+2，2x =16-2．21．解：设矩形田地的长为x 步（x>30），则宽为（60-x ）步，根据题意得： x （60-x ）=864，整理得：2x -60x+864=0，解得1x =36，2x =24(舍去)，所以x-（60-x ）=12．答：长比宽多12步．22．解：原方程化为（2m -2n ）2x -4mnx-（2m -2n ）=0，2b -4ac=162m 2n +4（2m -2n ）（2m -2n ）=4（4m +22m 2n +4n ）=4()222m n +，所以()()222442mm m n m n ±+-=()()2222422mn m n m n ±+-=()()()222mn m n m n m n ±++-，所以1x =()()()2m n m n m n ++-=m n m n +-，2x =()()()2m n m n m n --+-=-m nm n-+．23．解：（1）1x =4，2x =6；（2）由求根公式，得方程①的两根1x =242b b ac --，2x =242b b ac--，24b b ac -+-1x a 24b b ac ---=2x a，故，结论成立．24．解：（1）设点B 将向外移动x 米，即BB 1=x ，则B 1C=x+0．7，A 1C=AC-AA 10．4=2，而A 1B 1=2．5，在R t △A 1B 1C 中，由B 1C 2+A 1C 2=A 1B 12，得方程：(x+0．7)2＋22=2．52，解得x 1=0．8，x 2=-2．2（舍去），所以点B 将向外移动0．8米；（2）存在．设梯子顶端从A 处下滑x 米，点B 向外也移动x 米，则有(x+0．7)2+(2．4-x )2=2．52，解得：x=1．7或x=0（舍去）． ∴当梯子顶端从A 处下滑1．7米时，点B 向外业移动1．7米，即梯子顶端从A 处沿墙AC 下滑的距离与点B 向外移动的距离相等．25．解：2b -4ac=()221k --4（2k +k ）×（-3）=42k -4k+1+12（2k +k ）=162k +8k+1=()241k +，由求根公式，得：x=()()()221412k k k k --±++，所以1x =()()()221412k k k k --+++=()214121k k k k -++++=()()2121k k k ++=1k，2x =()()()221412k k k k ---++=()214121k k k k -+--+=()621k k k -+=-31k +，如果1x =1k是整数，则整数k=-1，1；如果2x =-31k +是整数，则整数k=-4，-2，0，2．又2k ＋k ≠0，k ≠-1且k ≠0，所以k 的所有整数值为-4，-2，1，2．。

人教版初中九年级数学上册第二十一章《一元二次方程》经典练习卷(含答案解析)

一、选择题1．欧几里得在《几何原本》中，记载了用图解法解方程22x ax b +=的方法，类似地可以用折纸的方法求方程210x x +-=的一个正根，如图，裁一张边长为1的正方形的纸片ABCD ，先折出BC 的中点E ，再折出线段AE ，然后通过折叠使EB 落在线段EA 上，折出点B 的新位置F ，因而EF EB =，类似地，在AB 上折出点M 使AMAF =，表示方程210x x +-=的一个正根的线段是（）A ．线段BMB ．线段AMC ．线段AED ．线段EM B解析：B【分析】设正方形的边长为1，AF ＝AM ＝x ，根据勾股定理即可求出答案．【详解】解：设正方形的边长为1，AF ＝AM ＝x ，则BE ＝EF ＝12，AE ＝x+12，在Rt △ABE 中，∴AE 2＝AB 2+BE 2，∴（x +12）2＝1+（12）2， ∴x 2+x -1＝0，∴AM 的长为x 2+x -1＝0的一个正根，故选：B ．【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是根据勾股定理列出方程，本题属于中等题型． 2．用配方法转化方程2210xx +-=时，结果正确的是（） A ．2(1)2x += B ．2(1)2x -= C ．2(2)3x += D ．2(1)3x +=A 解析：A【分析】方程两边都加上一次项系数的一半，利用完全平方公式进行转化，即可得到答案．【详解】解：2210x x +-=2212x x ++=∴2(1)2x +=，故选：A ．【点睛】此题考查一元二次方程的配方法，掌握配方法是计算方法是解题的关键．3．已知三角形的两边长分别为4和6，第三边是方程217700x x -+=的根，则此三角形的周长是（）A ．10B ．17C ．20D ．17或20B 解析：B【分析】根据第三边是方程x 2﹣17x +70＝0的根，首先求出方程的根，再利用三角形三边关系求出即可．【详解】解：∵217700x x -+=，∴(10)(7)0x x --=，∴110x =，27x =，∵4610+=，无法构成三角形，∴此三角形的周长是：46717++=．故选B ．【点睛】此题主要考查了因式分解法解一元二次方程以及三角形的三边关系，正确利用因式分解法解一元二次方程可以大大降低计算量．4．一元二次方程2610x x +-=配方后可变形为（）A ．()2310x +=B ．()238x +=C ．()2310x -=D ．()238x -=A 解析：A【分析】方程常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方即可得到结果．【详解】解：∵x 2+6x-1=0，∴x 2+6x=1，∴x 2+6x+9=10，∴(x+3)²=10，故选：A ．【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．5．关于x 的一元二次方程2210kx x +-=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（）A ．1k >-B ．1k ≥-C ．0k ≠D ．1k >-且0k ≠D【分析】根据一元二次方程根的判别式得到关于k 的不等式，然后求解不等式即可.【详解】是一元二次方程，0k ∴≠．有两个不相等的实数根，则Δ0>，2Δ24(1)0k =-⨯-⨯>，解得1k >-．1k ∴>-且0k ≠．故选D【点睛】本题考查一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)根的判别式：（1）当△=b 2﹣4ac ＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）当△=b 2﹣4ac =0时，方程有有两个相等的实数根；（3）当△=b 2﹣4ac ＜0时，方程没有实数根.6．等腰三角形的底边长为6，腰长是方程28150x x -+=的一个根，则该等腰三角形的周长为（）A ．12B ．16C ．l2或16D ．15B解析：B【分析】利用因式分解法解方程求出x 的值，再根据等腰三角形的概念和三角形三边关系确定出三角形三边长度，继而得出答案．【详解】解：∵x 2-8x+15=0，∴（x-3）（x-5）=0，则x-3=0或x-5=0，解得x 1=3，x 2=5，①若腰长为3，此时三角形三边长度为3、3、6，显然不能构成三角形，舍去； ②若腰长为5，此时三角形三边长度为5、5、6，可以构成三角形，所以该等腰三角形的周长为5+5+6=16，故选：B ．【点睛】本题主要考查等腰三角形的概念、三角形三边的关系、解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．7．方程(2)2x x x -=-的解是（）A ．2B ．2-，1C ．1-D ．2，1-D【分析】先移项得到x（2﹣x）+（2﹣x）＝0，然后利用因式分解法解方程．【详解】解：x（2﹣x）+（2﹣x）＝0，（2﹣x）（x+1）＝0，2﹣x＝0或x+1＝0，所以x1＝2，x2＝﹣1．故选：D．【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．8．一元二次方程x2=4x的解是（）A．x=4 B．x=0 C．x=0或-4 D．x=0或4第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明参考答案D解析：D【分析】先移项，利用因式分解法解一元二次方程.【详解】解：x2=4xx2-4x=0x（x-4）=0x=0或x=4，故选：D.【点睛】此题考查解一元二次方程，直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，根据一元二次方程的特点选择恰当的解法是解题的关键.9．下列方程中，有两个不相等的实数根的是（）A．x2＝0 B．x﹣3＝0 C．x2﹣5＝0 D．x2+2＝0C解析：C【分析】利用直接开平方法分别求解可得．解：A ．由x 2＝0得x 1＝x 2＝0，不符合题意；B ．由x ﹣3＝0得x ＝3，不符合题意；C ．由x 2﹣5＝0得x 1=x 2=，符合题意； D ．x 2+2＝0无实数根，不符合题意；故选：C ．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．10．已知方程2202030x x +-=的根分别为a 和b ，则代数式2a a 2020a b ++的值为（）A ．0B ．2020C ．1D ．-2020A 解析：A【分析】将a 代入方程，可得2202030a a +-=，即220302a a =-，代入要求的式子，即可得到3+ab ，而a 、b 是方程的两个根，根据韦达定理，可求出ab 的值，即可求出答案．【详解】解：∵方程2202030x x +-=的根分别为a 和b∴2202030a a +-=，即220302a a =-∴2a a 2020a b ++=32020a -+ab+2020a=3+ab∵ab=-3∴2a a 2020a b ++=32020a -+ab+2020a=3+ab=3-3=0故选：A ．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解以及韦达定理，熟练解代入方程以及观察式子特点，抵消部分式子是解决本题的关键．二、填空题11．已知x a =是方程2350x x --=的根，则代数式234a a -++的值为________．-1【分析】利用x=a 是方程x2-3x-5=0的根得到a2-3a=5然后利用整体代入的方法计算代数式的值【详解】解：∵x=a 是方程x2-3x-5=0的根∴a2-3a-5=0∴a2-3a=5∴故答案为解析：-1【分析】利用x=a 是方程x 2-3x-5=0的根得到a 2-3a=5，然后利用整体代入的方法计算代数式的值．【详解】解：∵x=a 是方程x 2-3x-5=0的根，∴a 2-3a-5=0，∴a 2-3a=5，∴()223434541a a a a -++=--+=-+=-．故答案为-1．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．12．解方程：268x x +=-解：两边同时加_________，得26x x ++________8=-+________则方程可化为（_______）2=________两边直接开平方得_____________即_________或_____________所以1x =__________，2x =___________．999x+31x+3=±1x+3=1x+3=-1-2-4【分析】根据配方法求解即可【详解】解：两边同时加9得99则方程可化为1两边直接开平方得x+3=±1即x+3=1或x+3=-1所以-2-4故答案解析：9 9 9 x+3 1 x+3=±1 x+3=1 x+3=-1 -2 -4【分析】根据配方法求解即可．【详解】解：两边同时加9，得26x x ++98=-+9，则方程可化为()23x +=1，两边直接开平方得x+3=±1，即x+3=1或x+3=-1，所以1x =-2，2x =-4．故答案为：9；9；9；x+3；1；x+3=±1；x+3=1；x+3=-1；-2；-4．【点睛】本题考查了配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．13．将方程2630x x +-=化为()2x h k +=的形式是______．【分析】将方程常数项移到方程右边左右两边都加上9左边化为完全平方式右边合并即可得到所求的结果【详解】∵∴∴∴故答案为：【点睛】考查了解一元二次方程-配方法利用此方法解方程时首先将二次项系数化为1常数解析：()2312x +=【分析】将方程常数项移到方程右边，左右两边都加上9，左边化为完全平方式，右边合并即可得到所求的结果．【详解】∵2630x x +-=∴263x x +=∴26939x x+++=∴()2312x+= 故答案为：()2312x+=【点睛】考查了解一元二次方程-配方法，利用此方法解方程时，首先将二次项系数化为1，常数项移到方程右边，然后方程两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并为一个常数，开方即可求出解．14．将一元二次方程(32)(1)83x x x -+=-化成一般形式是_____．【分析】先计算多项式乘以多项式并移项再合并同类项即可【详解】故答案为：【点睛】此题考查一元二次方程的一般形式掌握多项式乘以多项式合并同类项计算法则是解题的关键解析：23710x x -+=【分析】先计算多项式乘以多项式，并移项，再合并同类项即可．【详解】(32)(1)83x x x -+=-23322830x x x x +---+=23710x x -+=故答案为：23710x x -+=．【点睛】此题考查一元二次方程的一般形式，掌握多项式乘以多项式，合并同类项计算法则是解题的关键．15．若一元二次方程ax 2﹣bx ﹣2016＝0有一根为x ＝﹣1，则a +b ＝_____．2016【分析】将x=-1代入ax2﹣bx ﹣2016＝0得到a+b ﹣2016＝0然后将a+b 当作一个整体解答即可【详解】解：把x ＝﹣1代入一元二次方程ax2﹣bx ﹣2016＝0得：a+b ﹣2016＝解析：2016．【分析】将x=-1代入ax 2﹣bx ﹣2016＝0得到a +b ﹣2016＝0，然后将a+b 当作一个整体解答即可．【详解】解：把x ＝﹣1代入一元二次方程ax 2﹣bx ﹣2016＝0得：a +b ﹣2016＝0，即a +b ＝2016．故答案是2016．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，理解一元二次方程的解的概念是解答本题的关键． 16．如图，要设计一幅宽20cm ，长30cm 的图案，其中有两横彩条、一竖彩条，横、竖彩条的宽度比为1:3，如果要使彩条所占面积是图案面积的19%，竖彩条的宽度为________．3cm 【分析】设横彩条的宽度是xcm 竖彩条的宽度是3xcm 根据如果要使彩条所占面积是图案面积的19可列方程求解【详解】解：设横彩条的宽度是xcm 竖彩条的宽度是3xcm 则（30-3x ）（20-2x ）=解析：3cm【分析】设横彩条的宽度是xcm ，竖彩条的宽度是3xcm ，根据“如果要使彩条所占面积是图案面积的19%”，可列方程求解．【详解】解：设横彩条的宽度是xcm ，竖彩条的宽度是3xcm ，则（30-3x ）（20-2x ）=20×30×（1-19%），解得x 1=1，x 2=19（舍去）．所以3x=3．答：竖彩条的宽度是3cm ．故答案为：3cm【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，学会正确寻找等量关系，构建方程解决问题．17．若a 是方程210x x ++=的根，则代数式22020a a --的值是________．2021【分析】把x=a 代入已知方程并求得a2+a=-1然后将其整体代入所求的代数式进行求值即可【详解】解：把x=a 代入x2+x+1=0得a2+a+1=0解得a2+a=-1所以2020-a2-a=2解析：2021【分析】把x=a 代入已知方程，并求得a 2+a=-1，然后将其整体代入所求的代数式进行求值即可【详解】解：把x=a 代入x 2+x+1=0，得a 2+a+1=0，解得a 2+a=-1，所以2020-a 2-a=2020+1=2021．故答案是：2021．【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．18．已知x 1和x 2是方程2x 2-5x+1=0的两个根，则1212x x x x +的值为_____．5【分析】直接根据根与系数的关系求出再代入求值即可【详解】解：∵x1x2是方程2x2-5x+1=0的两个根∴x1+x2=-∴故答案为：5【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1x2是一元二次方程ax解析：5【分析】直接根据根与系数的关系，求出12x x +，12x x 再代入求值即可．【详解】解：∵x 1，x 2是方程2x 2-5x+1=0的两个根，∴x 1+x 2=--55-=22，121=2x x ． ∴121252==512x x x x + 故答案为：5．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x 1+x 2=b a -，x 1x 2=c a． 19．已知a ，b 是一元二次方程22310x x +-=的两实数根，则11a b+=________．3【分析】根据方程的系数结合根与系数的关系可得出a+b=-ab=-将其代入中即可求出结论【详解】解：∵是方程的两根故答案为：3【点睛】本题考查了根与系数的关系牢记两根之和等于-两根之积等于是解题的关键解析：3【分析】根据方程的系数结合根与系数的关系，可得出a+b=-32，ab=-12，将其代入11a b a b ab ++=中即可求出结论．【详解】解：∵a ，b 是方程22310x x +-=的两根， 32a b ∴+=-，12ab =-， 3112312a b a b ab -+∴+===-．故答案为：3．【点睛】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于-b a ，两根之积等于c a”是解题的关键． 20．如图，世纪广场有一块长方形绿地，AB ＝18m ，AD ＝15m ，在绿地中开辟三条宽为xm 的道路后，剩余绿地的面积为144m 2，则x ＝_____．【分析】由在绿地中开辟三条宽为xm 的道路后剩余绿地的面积为144m2即可得出关于x 的一元二次方程此题得解【详解】解：设道路的宽为xm 根据题意得：（18﹣2x ）（15﹣x ）＝144解得：或（舍去）答：解析：3【分析】由在绿地中开辟三条宽为xm 的道路后，剩余绿地的面积为144m 2，即可得出关于x 的一元二次方程，此题得解．【详解】解：设道路的宽为xm ，根据题意得：（18﹣2x ）（15﹣x ）＝144，解得：13x =或221x ＝（舍去），答：道路的宽为3m ．故答案为：3．【点睛】此题考查一元二次方程的应用，根据题意找出等量关系，正确列方程是解题的关键.三、解答题21．解方程：2250x x +-=．解析：1216,16x x =-=-【分析】利用配方法解方程．【详解】2250x x +-=225x x +=2(1)6x +=1x =-±∴1211x x =-=-【点睛】此题考查解一元二次方程的方法—配方法，将等式变形为平方形式是解题的关键． 22．（1）用配方法解：221470x x --=；（2）用因式分解法解：()()222332x x -=-．解析：（1）1x =，2x =2）x 1=1，x 2=-1．【分析】（1）先移项，把二次项系数化为1，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方，进而开平方解方程即可得答案；（2）先根据完全平方公式把方程两边展开，再移项整理成一元二次方程的一般形式，再利用因式分解法解方程即可得答案．【详解】（1）221470x x --=移项得：2x 2-14x=7，二次项系数化为1得：x 2-7x=72，配方得：x 2-7x+27()2=72+27()2，即（x-72）2=634，开平方得：x-72=，解得：1x =272x -=．（2）()()222332x x -=-展开得：4x 2-12x+9=9x 2-12x+4移项、合并得：5x 2-5=0，分解因式得（x+1）(x-1)=0，解得：x 1=1，x 2=-1．【点睛】本题考查配方法及因式分解法解一元二次方程，熟练掌握解方程的步骤是解题关键． 23．解方程：（1）23620x x -+=（2）222(3)9x x -=-解析：（1）13x =，233x =；（2）x=3或x=9．【分析】（1）根据公式法即可求出答案；（2）根据因式分解法即可求出答案．【详解】解：（1）∵3x 2-6x+2=0，∴a=3，b=-6，c=2，∴△=36-24=12，∴6363x ±±==∴1x =2x = （2）∵2（x-3）2=x 2-9，∴2（x-3）2=（x-3）（x+3），∴（x-3）[（2（x-3）-（x+3）]=0，∴（x-3）（x-9）=0∴x-3=0，x-9=0∴x=3或x=9．【点睛】本题考查解一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．24．小丽为校合唱队购买某种服装时，商店经理给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10件，单价为80元：如果一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价不得低于50元．按此优惠条件，小丽一次性购买了这种服装x 件．（1）填空：解析：（1）①80；②74；③25x ≥（2）20件【分析】（1）①如果一次性购买不超过10件，单价为80元；②用单价80元减去（13－10）×2，得出答案即可；③求出单价恰好是50元时的购买件数，即可分析得到；（2）根据一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，表示出每件服装的单价，进而得出等式方程求出即可．【详解】解：（1）①∵如果一次性购买不超过10件，单价为80元，故填：80；②80－（13－10）×2＝74，故填：74；③设购买a 件时，单价恰好是50元，80－（a －10）×2＝50，解得：a ＝25，而题目中“单价不得低于50元”，∴25x ≥时，单价是50元，故填：25x ≥；（2）因为1200＞800，所以一定超过了10件，设购买了x 件这种服装且多于10件，根据题意得出：[80－2（x －10）]x ＝1200，解得：x 1＝20，x 2＝30，当x ＝20时，80－2（20－10）＝60元＞50元，符合题意；当x ＝30时，80－2（30－10）＝40元＜50元，不合题意，舍去；答：购买了20件这种服装．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，根据已知得出每件服装的单价是解题关键． 25．计算题（1）解方程：2690x x ++= （2）解不等式组：3152(2)7x x x ->⎧⎨+<+⎩解析：（1）123x x ==-；（2）23x <<【分析】（1）利用因式分解法求解即可．（2）分别求出两个不等式的解集，最后找出公共部分即可．【详解】解：（1）2690x x ++=因式分解得：()230x +=解得：123x x ==-．（2）()31512272x x x ->⎧⎨+<+⎩ 解不等式1得：2x >解不等式2得：3x <∴不等式组的解集是23x <<．【点睛】本题考察解一元二次方程和一元一次不等式组，解题的关键是：（1）用因式分解法求解一元二次方程（2）不等式组解集的确定，原则是“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”．26．解方程：212270x x -+=解析：13x =，29x =．【分析】利用因式分解法解此一元二次方程，即可求解．【详解】解：212270x x -+=分解因式，得(3)(9)0x x --=，则30x -=或90x -=，∴13x =，29x =．【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法并能结合方程特点选择适当的解法是解题的关键．27．解方程（1）2420x x -+=（2）()255210x x ++= （3）2560x x -+=（4）()3133x x x +=+解析：（1）1222x x ==2）121x x ==-；（3）1232x x ==，；（4）1211x x =-=，【分析】（1）直接利用配方法解方程得出答案即可；（2）方程整理后，利用利用配方法解方程得出答案即可；（3）利用分解因式法解方程即可；（4）方程整理后，利用提取公因式法分解因式进而解方程即可．【详解】（1）2420x x -+=，移项得：242x x -=-，配方得：24424x x -+=-+，即2(2)2x -=，开方得：2x -=，解得：1222x x ==（2）()255210x x ++=，整理得：2210x x ++=，即2(1)0x +=，∴121x x ==-；（3）2560x x -+=，因式分解得：()()320x x --=，∴30x -=，20x -=，∴1232x x ==，；（4）()3133x x x +=+，整理得：()()110x x x +-+=，因式分解得：()()110x x +-=，∴10x +=，10x -=， ∴1211x x =-=，．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．28．阅读下列材料：对于任意的正实数a ，b ，总有2a b ab +≥成立（当且仅当a b =时，等号成立），这个不等式称为“基本不等式”利用“基本不等式”可求一些代数式的最小值．例如：若0x >，求式子1x x +的最小值．解：∵0x >，∴112212x x x x+≥⋅==，∴1x x +的最小值为2．（1）若0x >，求9x x+的最小值；（2）已知1x >，求2251x x x -+-的最小值．（3）如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，AOB 、COD △的面积分别为4和9，求四边形ABCD 面积的最小值．解析：（1）6；（2）4；（3）25．【分析】（1）将原式变形为9x x +≥ （2）结合阅读材料将原式变形为()411x x -+-后即可确定最小值；（3）设S △BOC =x ，已知S △AOB =4，S △COD =9，则由等高三角形可知：BOC AOB COD AOD S S S S =△△△△，用含x 的式子表示出36AOD S x =△，再按照题中所给公式求得最小值，加上常数即可．【详解】解：（1）∵0x >，∴9x x +≥又∵6=， ∴96x x+≥ ∴9x x+的最小值为6；（2）∵1x >∴10x ->， ∴222521411x x x x x x -+-++=--()2141x x -+=-()411x x =-+-≥∵∴22541x x x -+≥- ∴2251x x x -+-的最小值为4．（3）设(0)BOC S x x =>△，则由等高三角形可知：BOC AOB COD AODS S S S =△△△△ ∴49AOD x S =△，即36AOD S x=△， ∴四边形ABCD 面积364913x x =+++≥，∵13=25，当且仅当x=6时，取等号，∴四边形ABCD面积的最小值为25．【点睛】本题考查了配方法在最值问题中的应用，同时本题还考查了等高三角形的在面积计算中的应用．对不能直接应用公式的，需要正确变形才可以应用，本题中等难度略大．。

人教版九年级上册数学21.2解一元二次方程测试题含答案解析

解一元二次方程测试题时间：90分钟总分：100一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.方程的解是A. B.C. ，D. ，2.一元二次方程的解是A. B.C. ，D.3.关于x的方程h，k均为常数，的解是，，则方程的解是A. ，B. ，C. ，D. ，4.把方程左边配成一个完全平方式，得到的方程是A. B. C. D.5.用配方法解一元二次方程，此方程可化为A. B. C. D.6.一元二次方程配方后化为A. B. C. D.7.用公式法解方程时，求根公式中的a，b，c的值分别是A. ，，B. ，，C. ，，D. ，，8.一元二次方程的两个实数根中较大的根是A. B. C. D.9.已知关于x的一元二次方程有两个正整数根，则m可能取的值为A. B. C. ， D. 4，510.已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程的根，则该三角形的周长可以是A. 5B. 7C. 5或7D. 10二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）11.已知等腰三角形的一边长为9，另一边长为方程x的根，则该等腰三角形的周长为________．12.三角形的两边长分别是3和4，第三边长是方程的根，则该三角形的周长为______．13.是方程的一个根，则______，另一个根是______．14.方程的根为______．15.方程的解为______．16.方程的较小的根为______．17.一元二次方程的实数根是______．18.如果，那么______ ．19.一元二次方程中，______ ，______ ，______ ，则方程的根是______ ．20.如果关于x的方程有一个小于1的正数根，那么实数a的取值范围是______ ．三、计算题（本大题共4小题，共24.0分）21.用适当的方法解下列一元二次方程直接开平方法配方法因式分解法公式法22.解方程．．23.解下列方程．24.解方程：四、解答题（本大题共2小题，共16.0分）25.已知a是一元二次方程的两个实数根中较小的根，不解方程，求的值；根据的结果，求的值；先化简，再求值．26.已知关于x的一元二次方程有实数根．求m的取值范围；若方程有一个根为，求m的值及另一个根．答案和解析【答案】1. D2. C3. B4. D5. B6. A7. B8. B9. C10. B11. 19或21或2312. 1213. ；514. 或15.16.17.18.19. ；1；；，20.21. 解：方程整理得：，开方得：或，解得：，；方程整理得：，配方得：，即，开方得：或，解得：，；方程整理得：，分解因式得：，解得：，；方程整理得：，这里，，，，，解得：，．22. 解：，，或，所以，；，或，所以，．23. 解：，或，所以，；，或，所以，．24. 解：，，或，所以，．25. 解：是一元二次方程的两个实数根中较小的根，，即，则；．一元二次方程的两个根的和是4，两根的积是1，则，；解方程，得：，则，原式．26. 解：关于x的一元二次方程有实数根，，解得：．将代入原方程，，解得：，原方程为，解得：．的值为5，方程的另一个根为．【解析】1. 【分析】本题主要考查直接开平方法解一元二次方程的知识点，形如或的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次程．利用直接开平方法求解，即可解答．【解答】解：，．故选D．2. 解：，移项得：，两边直接开平方得：，到，，故选：C．首先移项，把移到等号右边，再两边直接开平方即可．此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成的形式，利用数的开方直接求解．3. 解：解方程h，k均为常数，得，而关于x的方程h，k均为常数，的解是，，所以，，方程的解为，所以，．故选：B．利用直接开平方法得方程的解，则，，再解方程得，所以，．本题考查了解一元二次方程直接开平方法：形如或的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程如果方程化成的形式，那么可得；如果方程能化成的形式，那么．4. 解：，即，，即，故选：D．将常数项移到方程的右边，把二次项系数化为1后两边配上一次项系数一半的平方即可得．本题主要考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解方程的基本步骤和完全平方公式是解题的关键．5. 【分析】本题主要考查配方法解一元二次方程的能力，熟练掌握完全平方公式和配方法的基本步骤是解题的关键常数项移到方程的右边后，两边配上一次项系数一半的平方，写成完全平方式即可得．【解答】解：，，即．故选B．6. 解：方程整理得：，配方得：，即，故选A方程移项配方后，利用平方根定义开方即可求出解．此题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．7. 解：将方程整理得：，这里，，，故选B方程整理为一般形式，找出a，b，c的值即可．此题考查了解一元二次方程公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键．8. 解：一元二次方程中，，，，，一元二次方程的两个实数根中较大的根是．故选：B．利用求根公式求得方程的两个根，然后找出较大的根即可．本题考查了解一元二次方程公式法，熟记求根公式即可解答该题．9. 解：关于x的一元二次方程有两个正整数根，，即，，解得或，方程的根是，又因为是两个正整数根，则则故A、B、D一定错误．C，把和代入方程的根是，检验都满足条件．可能取的值为，．故选C．方程有两个正整数根，说明根的判别式，即，由此可以求出m 的取值范围，然后根据方程有两个正整数根确定m的值．总结：一元二次方程根的情况与判别式的关系：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根．正确确定m的范围，并进行正确的检验是解决本题的关键．10. 解：解方程，解得，；当底为3，腰为1时，由于，不符合三角形三边关系，不能构成三角形；等腰三角形的底为1，腰为3；三角形的周长为．故选：B．先通过解方程求出等腰三角形两边的长，然后利用三角形三边关系确定等腰三角形的腰和底的长，进而求出三角形的周长．此题考查用因式分解一元二次方程，三角形三边关系，注意计算结果的分类检验．11. 解：由方程得：，或，解得：或，当等腰三角形的三边长为9、9、3时，其周长为21；当等腰三角形的三边长为9、9、5时，其周长为23；当等腰三角形的三边长为9、3、3时，，不符合三角形三边关系定理，舍去；当等腰三角形的三边长为9、5、5时，其周长为19；综上，该等腰三角形的周长为19或21或23，故答案为：19或21或23．求出方程的解，分为两种情况，看看是否符合三角形三边关系定理，求出即可．本题考查了解一元二次方程和等腰三角形性质，三角形的三边关系定理的应用，因式分解法求出方程的解是根本，根据等腰三角形的性质分类讨论是关键．12. 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解先利用因式分解法解方程得到，，再根据三角形三边的关系确定三角形第三边的长为5，然后计算三角形的周长．【解答】解：，，所以，，而三角形的两边长分别是3和4，所以三角形第三边的长为5，所以三角形的周长为．故答案为12．13. 【分析】本题考查了一元二次方程的解的概念：使方程两边成立的未知数的值叫方程的解把代入方程得出关于b的方程，求出b，代入方程，求出方程的解即可．【解答】解：是方程的一个实数根，把代入得：，解得，即方程为，，解得：，，即b的值是，另一个实数根式5．故答案为，5．14. 解：，移项得：，即，，，解方程得：，．故答案为：或．移项后分解因式得到，推出方程，，求出方程的解即可．本题主要考查对解一元一次方程，等式的性质，解一元二次方程等知识点的理解和掌握，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．15. 解：方程，移项，得，开平方，得，故答案为：．移项，再直接开平方求解．本题考查了直接开方法解一元二次方程用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：；b同号且；；c同号且法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．16. 解：，，，，解得，．，方程的较小的根为，故答案是：．利于直接开平方法解方程后，找到最小的根即可．本题考查了解一元二次方程直接开平方法形如或的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．17. 解：配方，得，直接开平方，得，方程的解为，故答案为．先把左边直接配方，得，直接开平方即可．本题考查了用配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：把常数项移到等号的右边；把二次项的系数化为1；等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．18. 解：，．故答案为：．利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m的值．此题考查了运用公式法进行因式分解，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．19. 解：移项得，，，，．此题考查了公式法解一元二次方程，应用公式时，要注意把方程化为一般形式．此题考查了公式法解一元二次方程，应用公式时，要注意把方程化为一般形式．20. 解：根据方程的求根公式可得：则方程的两根为或，或，解得，，，小于1的正数根只能为，即，解得．故填空答案为．先利用方程的求根公式表示出方程的两个根，再利用“有一个小于1的正数根”这一条件确定a的取值范围．也可用公式法把原方程进行因式分解，求出方程的根，再求a的取值范围．21. 此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．方程整理后，利用直接开平方法求出解即可；方程整理后，利用配方法求出解即可；方程整理后，利用因式分解法求出解即可；方程整理为一般形式，找出a，b，c的值，代入求根公式即可求出解．22. 先把方程变形得到，然后利用因式分解法解方程；利用因式分解法解方程．本题考查了解一元二次方程因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了数学转化思想．23. 本题考查了解一元二次方程因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了数学转化思想．利用因式分解法把原方程转化为或，然后解两个一次方程即可；利用平方差公式把原方程转化为或，然后解两个一次方程即可．24. 先移项得到，然后利用因式分解法解方程．本题考查了解一元二次方程因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了数学转化思想．25. 是一元二次方程的两个实数根中较小的根，则把代入方程可以得到，则所求的代数式即可化简；首先求得的平方的值，然后确定a的范围，则的值即可确定；首先对分式以及二次根式进行化简，然后进行分式的加减即可求解．26. 本题考查了一元二次方程根的判别式、因式分解法解一元二次方程和一元一次不等式的解法的知识点，熟练掌握“当一元二次方程有实数根时，根的判别式”是解题的关键．由方程有实数根结合根的判别式即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围；将代入原方程求出m值，再将m的值代入原方程利用十字相乘法解一元二次方程的解，即可得出方程的另一个根．。

(人教版数学)初中9年级上册-同步练习-21.2.3 因式分解法-九年级数学人教版(上)(解析版)

第二十一章一元二次方程21.2.3因式分解法一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．方程x2=2x的根是A．x=2 B．x=﹣2C．x1=0，x2=2 D．x1=0，x2=﹣2【答案】C【名师点睛】此题考查用因式分解法解一元二次方程.因式分解法只适用于一些可以整理为2个一次项的积等于0的方程.2．一元二次方程x2−3x＝0的解为A．x＝0 B．x＝3C．x1＝x2＝−3 D．x1＝0 ，x2＝3.【答案】D【解析】x=0或x−3=0所以故选D．【名师点睛】本题考查了解一元二次方程−因式分解法：先把方程右边变形为0，然后把方程左边进行因式分解，这样把一元二次方程转化为两个一元一次方程，再解一次方程可得到一元二次方程的解．3．方程的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为A．6 B．8C．10 D．8或10【答案】C【解析】，或，，，当2为腰，4为底时，，不符合三角形三边的关系，等腰三角形的底为2，腰为4，这个等腰三角形的周长，故选C．【名师点睛】本题考查了解一元二次方程因式分解法，等腰三角形的性质和三角形三边关系，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键.4．一元二次方程x2+3x=0的根为A．﹣3 B．3C．0，3 D．0，﹣3【答案】D【名师点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，能利用因式分解法进行求解的一元二次方程左侧能进行因式分解，右侧为0，熟练掌握是解题的关键.5．一元二次方程3x2– 2x＝0的解是A．23x=B．x=0C．x1=23-，x2=0 D．x1=23，x2=0【答案】D【解析】x（3x−2）=0，x=0或3x−2=0，所以x1=0，x2=23．故选D．【名师点睛】解一元二次方程−因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．6．关于x的一元二次方程x2−2x−3=0的根是A．x1=1,x2=3 B．x1=−1,x2=3C．x1=1,x2=−3D．x1=−1,x2=−3【答案】B二、填空题：请将答案填在题中横线上．7．方程（x﹣3）（x﹣9）=0的根是_____．【答案】x1=3，x2=9【解析】（x﹣3）（x﹣9）=0，x﹣3=0，x﹣9=0，x1=3，x2=9，故答案为：x1=3，x2=9.8．方程x2＋x＝0的根为__________．【答案】x 1＝−1，x2＝0【解析】故答案为：9．若实数a、b满足(a+b)(a+b−2)−8=0，则a+b=_________．【答案】−2或4．【解析】设t=a+b，则由原方程得到：t（t−2）−8=0，整理得：（t+2）（t−4）=0，解得t=−2或t=4，即a+b=−2或a+b=4．故答案是：−2或4．10．用换元法解方程+=，设y =，那么原方程化为关于y 的整式方程是__．【答案】26520y y -+=【解析】原式=， ∵， ∴原式=，化为整式方程为26520y y -+=. 【名师点睛】本题主要考查的是换元法的应用，属于基础题型．换元法的关键就是把某个式子看成一个整体，然后用另外一个字母来替换它．11．一元二次方程x 2﹣x ﹣2=0的解是_____．【答案】2或﹣1【名师点睛】考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法，此题方程的公因式较明显，所以本题运用的是因式分解法．12．我们知道方程x 2﹣2x +1=0的解是x 1=x 2=1，则给出的另一个方程（x ﹣1）2﹣2（x ﹣1）+1=0的解是_____．【答案】x 1=x 2=2【解析】∵方程x 2﹣2x +1=0的解是x 1=x 2=1，∴方程（x ﹣1）2﹣2（x ﹣1）+1=0的解满足：x −1=1,∴x 1=x 2=2.【名师点睛】本题考查了换元法解一元二次方程，认真观察所给两个方程的特点，合理换元是解答本题的突破点.13．关于x 的一元二次方程260x mx +-=的一个根的值为3，则另一个根的值是_____．【答案】−2【解析】由题意把3x =代入方程260x mx +-=得：9360m +-=，解得： 1m =-，∴原方程为： 260x x --=，解此方程得： 1232x x ==-，，∴原方程的另一根为：−2.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．14．解方程：（2x+1）2=（2﹣x）2．【答案】x1=﹣3，x2=【名师点睛】此题考查用公式法和因式分解法解一元二次方程.公式法适用于所有的方程，因式分解法只适用于一些可以整理为2个一次项的积等于0的方程.15．根据要求，解答下列问题：（1）①方程x2﹣x﹣2=0的解为；②方程x2﹣2x﹣3=0的解为；③方程x2﹣3x﹣4=0的解为；…（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：①方程x2﹣9x﹣10=0的解为；②请用配方法解方程x2﹣9x﹣10=0，以验证猜想结论的正确性．（3）应用：关于x的方程的解为x1=﹣1，x2=n+1．【答案】①x1=﹣1，x2=2；②x1=﹣1，x2=3；③x1=﹣1，x2=4；（2）①x1=﹣1，x2=10；②x1=﹣1，x2=10；（3）x2﹣nx﹣（n+1）=0【解析】①∵x2﹣x﹣2=0，∴(x+1)(x−2)=0,∴x1=﹣1，x2=2；②∵x2﹣2x﹣3=0，∴(x+1)(x−3)=0,∴x1=﹣1，x2=3；③∵x2﹣3x﹣4=0，∴(x+1)(x−4)=0,∴x1=﹣1，x2=4；…（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：①方程x2﹣9x﹣10=0的解为x1=﹣1，x2=10；②x2﹣9x﹣10=0，移项，得x2﹣9x=10，配方，得x2﹣9x+814=10+814，即（x﹣92）2=1214，开方，得x﹣92=112.x1=﹣1，x2=10；（3）应用：关于x的方程x2﹣nx﹣（n+1）=0的解为x1=﹣1，x2=n+1．【名师点睛】本题考查了用因式分解法和配方法解一元二次方程，数字类探索与规律，掌握因式分解法是解（1）的关键，掌握配方法是解（2）的关键，观察出二次项系数、一次项系数、常数项与两根之间的关系是解（3）的关键.。

人教版九年级数学上册第二十一章一元二次方程专题练习题(含答案,教师版)

人教版九年级数学上册第二十一章一元二次方程专题练习题专题1 一元二次方程的解法1．用直接开平方法解下列方程：(1)3x 2－27＝0；解：3x 2＝27，x 2＝9，x ＝±3，∴x 1＝3，x 2＝－3.(2)2(3x －1)2＝8.解：(3x －1)2＝4，3x －1＝±2，∴x 1＝1，x 2＝－13.2．用配方法解下列方程：(1)x 2－2x ＋5＝0；解：x 2－2x ＝－5，x 2－2x ＋1＝－5＋1，(x －1)2＝－4<0，∴原方程无解．(2)14x 2－6x ＋3＝0.解：x 2－24x ＋12＝0，(x －12)2＝132，x－12＝±233，∴x1＝233＋12，x2＝－233＋12.3．用因式分解法解下列方程：(1)x2－3x＝0；解：x(x－3)＝0，∴x＝0或x－3＝0.∴x1＝0，x2＝3.(2)(x－3)2－9＝0；解：∵(x－3)2－32＝0，∴(x－3＋3)(x－3－3)＝0，即x(x－6)＝0.∴x＝0或x－6＝0.∴x1＝0，x2＝6.(3)2(t－1)2＋8t＝0；解：原方程可化为2t2＋4t＋2＝0.∴t2＋2t＋1＝0.∴(t＋1)2＝0.∴t1＝t2＝－1.(4)x2－3x＝(2－x)(x－3)；解：原方程可化为x(x－3)＝(2－x)(x－3)．移项，得x(x－3)－(2－x)(x－3)＝0.∴(x－3)(2x－2)＝0.∴x －3＝0或2x －2＝0.∴x 1＝3，x 2＝1.(5)x 2－4x －12＝0.解：分解因式，得(x －6)(x ＋2)＝0，∴x 1＝6，x 2＝－2.4．用公式法解下列方程：(1)3x 2－2x ＋1＝0；解：∵a ＝3，b ＝－2，c ＝1，b 2－4ac ＝(－2)2－4×3×1＝－8<0，∴原方程无实数根．(2)x 2－23x ＋2＝0；解：∵a ＝1，b ＝－23，c ＝2，b 2－4ac ＝(－23)2－4×1×2＝4，∴x ＝－（－23）±22×1＝3±1. ∴x 1＝3－1，x 2＝3＋1.(3)3x ＝2(x ＋1)(x －1)．解：将原方程化为一般形式，得2x 2－3x －2＝0.∵a ＝2，b ＝－3，c ＝－2，b 2－4ac ＝(－3)2－4×2×(－2)＝11>0，224∴x 1＝6＋224，x 2＝6－224. 5．用合适的方法解下列方程：(1)4(x －3)2－25(x －2)2＝0；解：原方程可化为[2(x －3)]2－[5(x －2)]2＝0，即(2x －6)2－(5x －10)2＝0.∴(2x －6＋5x －10)(2x －6－5x ＋10)＝0，即(7x －16)(－3x ＋4)＝0.∴x 1＝167，x 2＝43. (2)5(x －3)2＝x 2－9；解：5(x －3)2＝(x ＋3)(x －3)，移项，得5(x －3)2－(x ＋3)(x －3)＝0.∴(x －3)[5(x －3)－(x ＋3)]＝0，即(x －3)(4x －18)＝0.∴x －3＝0或4x －18＝0.∴x 1＝3，x 2＝92. (3)t 2－22t ＋18＝0. 解：方程两边都乘8，得8t 2－42t ＋1＝0.∵a ＝8，b ＝－42，c ＝1， ∴b 2－4ac ＝(－42)2－4×8×1＝0.2×84∴t 1＝t 2＝24. 6．阅读材料：为了解方程(x 2－1)2－5(x 2－1)＋4＝0，我们可以将x 2－1看作一个整体，设x 2－1＝y ，那么原方程可化为y 2－5y ＋4＝0①，解得y 1＝1，y 2＝4.当y ＝1时，x 2－1＝1，∴x 2＝2.∴x ＝±2；当y ＝4时，x 2－1＝4，∴x 2＝5.∴x ＝± 5.故原方程的解为x 1＝2，x 2＝－2，x 3＝5，x 4＝－ 5.解答问题：(1)上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了转化的数学思想；(2)请利用以上知识解方程：(x 2＋x)2－5(x 2＋x)＋4＝0；(3)请利用以上知识解方程：x 4－3x 2－4＝0.解：(2)设y ＝x 2＋x ，则y 2－5y ＋4＝0.∴(y －1)(y －4)＝0.解得y 1＝1，y 2＝4.①当x 2＋x ＝1，即x 2＋x －1＝0时，解得x ＝－1±52； ②当x 2＋x ＝4，即x 2＋x －4＝0时，解得x ＝－1±172. 综上所述，原方程的解为x 1＝－1＋52，x 2＝－1－52，x 3＝－1＋172，x 4＝－1－172.(3)设x 2＝y ，则y 2＝x 4，原方程化为y 2－3y －4＝0，解此方程，得y 1＝4，y 2＝－1.∵y ≥0，∴y ＝4.当y ＝4时，x 2＝4，解得x 1＝2，x 2＝－2.专题2 根的判别式及根与系数的关系的综合1．若关于x 的一元二次方程x 2＋mx ＋m 2－3m ＋3＝0的两根互为倒数，则m 的值等于(B)A ．1B ．2C ．1或2D ．02．已知关于x 的方程x 2－(2k 2－3)x ＋k ＋7＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2，且x 1＝5－x 2，则k 的值为－2．3．已知关于x 的一元二次方程x 2＋(2m ＋3)x ＋m 2＝0有两个实数根α，β.(1)求m 的取值范围；(2)若1α＋1β＝－1，求m 的值．解：(1)由题意知，(2m ＋3)2－4×1×m 2≥0，解得m ≥－34. (2)由根与系数的关系，得α＋β＝－(2m ＋3)，αβ＝m 2.∵1α＋1β＝－1，∴α＋βαβ＝－1. ∴－（2m ＋3）m 2＝－1. 变形得m 2－2m －3＝0，解得m 1＝－1，m 2＝3.经检验，m 1＝－1和m 2＝3是原分式方程的解．由(1)知m ≥－34，∴m 1＝－1应舍去． ∴m 的值为3.4．已知关于x 的一元二次方程x 2－6x ＋m ＋4＝0有两个实数根x 1，x 2.(1)求m 的取值范围；(2)若x 1，x 2满足3x 1＝|x 2|＋2，求m 的值．解：(1)∵关于x 的一元二次方程x 2－6x ＋m ＋4＝0有两个实数根x 1，x 2，∴Δ＝(－6)2－4(m ＋4)＝20－4m ≥0.解得m ≤5.(2)∵关于x 的一元二次方程x 2－6x ＋m ＋4＝0有两个实数根x 1，x 2，∴x 1＋x 2＝6①，x 1x 2＝m ＋4②.∵3x 1＝|x 2|＋2，∴x 1>0.当x 2≥0时，有3x 1＝x 2＋2③，联立①③，解得x 1＝2，x 2＝4.∴8＝m ＋4.∴m ＝4，满足m ≤5；当x 2＜0时，有3x 1＝－x 2＋2④，联立①④，解得x 1＝－2，x 2＝8(不合题意，舍去)．∴m 的值为4.5．已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2－2(m ＋1)x ＋m 2＋5＝0的两个实数根．(1)若(x 1－1)(x 2－1)＝19，求m 的值；(2)已知等腰△ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．解：(1)根据题意，得x1＋x2＝2(m＋1)，x1x2＝m2＋5.(x1－1)(x2－1)＝19整理，得x1x2－(x1＋x2)＋1＝19.把x1＋x2＝2(m＋1)，x1x2＝m2＋5代入x1x2－(x1＋x2)＋1＝19，得m2＋5－2(m＋1)＋1＝19.整理，得m2－2m－15＝0.解得m1＝－3，m2＝5.∵由Δ＝4(m＋1)2－4(m2＋5)≥0，得m≥2，∴m1＝－3不合题意，应舍去．∴m的值为5.(2)若等腰△ABC的腰长为7，把x＝7代入方程x2－2(m＋1)x＋m2＋5＝0，得49－14(m＋1)＋m2＋5＝0，解得m1＝4，m2＝10.若m＝4，则原方程为x2－10x＋21＝0，解得x1＝7，x2＝3.△ABC三边为7，7，3(符合题意)．若m＝10，则原方程为x2－22x＋105＝0，解得x1＝7，x2＝15.△ABC三边为7，7，15(不合题意，舍去)．若等腰△ABC的底边长为7，则Δ＝[－2(m ＋1)]2－4(m 2＋5)＝8m －16＝0，解得m ＝2.原方程为x 2－6x ＋9＝0.解得x 1＝x 2＝3.△ABC 三边为3，3，7(不合题意，舍去)．综上可知：△ABC 三边为7，7，3，周长为7＋7＋3＝17，即这个三角形的周长为17.专题3 一元二次方程的实际应用1．印度古算书中有这样一首诗：“一群猴子分两队，高高兴兴在游戏．八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林里；其余十二叽喳喳，伶俐活泼又调皮．告我总数共多少，两队猴子在一起．”你能解决这个问题吗？解：设有x 只猴子，由题意，得(18x)2＋12＝x ，整理，得x 2－64x ＋768＝0，解得x 1＝16，x 2＝48.答：这群猴子的总数为16只或48只．2．改善小区环境，争创文明家园．如图所示，某社区决定在一块长(AD)16 m ，宽(AB)9 m 的矩形场地ABCD 上修建三条同样宽的小路，其中两条与AB 平行，另一条与AD 平行，其余部分种草．要使草坪部分的总面积为112 m 2，则小路的宽应为多少？解：设小路的宽应为x m ，根据题意，得(16－2x)(9－x)＝112.解得x 1＝1，x 2＝16.∵16＞9，∴x ＝16不符合题意，舍去．∴x ＝1.答：小路的宽应为1 m.3．某农场去年种植了10亩地的南瓜，亩产量为2 000 kg ，根据市场需要，今年该农场扩大了种植面积，并且全部种植了高产的新品种南瓜，设南瓜种植面积的增长率为x.(1)则今年南瓜的种植面积为10(1＋x)亩；(用含x 的代数式表示)(2)如果今年南瓜亩产量的增长率是种植面积的增长率的12，今年南瓜的总产量为60 000 kg ，求南瓜亩产量的增长率．解：根据题意，得10(1＋x)×2 000(1＋x 2)＝60 000，整理，得x 2＋3x －4＝0，解得x 1＝1＝100%，x 2＝－4(不合题意，舍去)．∴12x ＝50%. 答：南瓜亩产量的增长率为50%.4．某养殖场为了响应党中央的扶贫政策，今年起采用“场内＋农户”养殖模式，同时加强对蛋鸡的科学管理，蛋鸡的产蛋率不断提高，三月份和五月份的产蛋量分别是2.5万千克与3.6万千克，现假定该养殖场蛋鸡产蛋量的月增长率相同．(1)求该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率；(2)假定当月产的鸡蛋当月在各销售点全部销售出去，且每个销售点每月平均销售量最多为0.32万千克．如果要完成六月份的鸡蛋销售任务，那么该养殖场在五月份已有的销售点的基础上至少再增加多少个销售点？解：(1)设该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率为x ，根据题意，得2.5(1＋x)2＝3.6.解得x ＝0.2，x ＝－2.2(不合题意舍去)．答：该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率为20%.(2)设再增加y 个销售点，根据题意，得3.6＋0.32y ≥3.6×(1＋20%)，解得y ≥94. 答：至少再增加3个销售点．5．如图，在直角墙角AOB(OA ⊥OB ，且OA ，OB 长度不限)中，要砌20 m 长的墙，与直角墙角AOB 围成地面为矩形的储仓，且地面矩形AOBC 的面积为96 m 2.(1)求矩形地面的长；(2)有规格为0.80×0.80和1.00×1.00(单位：m)的地板砖单价分别为50元/块和80元/块，若只选其中一种地板砖都恰好能铺满储仓的矩形地面(不计缝隙)，用哪一种规格的地板砖费用较少？解：(1)设AC ＝x m ，则BC ＝(20－x)m ，由题意，得x(20－x)＝96，整理，得x 2－20x ＋96＝0，解得x 1＝12，x 2＝8.当AC ＝12时，BC ＝8；当AC ＝8时，BC ＝12.答：矩形地面的长为12 m.(2)①若选用规格为0.80×0.80(单位：m)的地板砖：120.8×80.8＝15×10＝150(块)， 150×50＝7 500(元)；②若选用规格为1.00×1.00(单位：m)的地板砖：121×81＝96(块)， 96×80＝7 680(元)．∵7 500＜7 680，∴选用规格为0.80×0.80(单位：m)的地板砖费用较少．6．为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元，经过市场调研发现，每台售价为40万元时，年销售量为600台；每台售价为45万元时，年销售量为550台．假定该设备的年销售量y(单位：台)和销售单价x(单位：万元/台)成一次函数关系．(1)求年销售量y 与销售单价x 的函数关系式；(2)根据相关规定，此设备的销售单价不得高于70万元/台，如果该公司想获得10 000万元的年利润，那么该设备的销售单价应是多少万元/台？解：(1)设年销售量y 与销售单价x 的函数关系式为y ＝kx ＋b(k ≠0)，将(40，600)，(45，550)代入y ＝kx ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧40k ＋b ＝600，45k ＋b ＝550.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－10，b ＝1 000. ∴年销售量y 与销售单价x 的函数关系式为y ＝－10x ＋1 000.(2)根据题意，得(x －30)(－10x ＋1 000)＝10 000，整理，得x 2－130x ＋4 000＝0，解得x 1＝50，x 2＝80.∵此设备的销售单价不得高于70万元/台，∴x ＝50.答：该设备的销售单价应是50万元/台．7．安顺市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y(千克)与每千克降价x(元)(0＜x ＜20)之间满足一次函数关系，其图象如图所示：(1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)商贸公司要想获利2 090元，则这种干果每千克应降价多少元？解：(1)设一次函数关系式为y ＝kx ＋b ，当x ＝2，y ＝120；当x ＝4，y ＝140.∴⎩⎪⎨⎪⎧2k ＋b ＝120，4k ＋b ＝140，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝10，b ＝100. ∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝10x ＋100.(2)由题意，得(60－40－x)(10x ＋100)＝2 090，解得x 1＝1，x 2＝9.∵让顾客得到更大的实惠，∴x ＝9.答：商贸公司要想获利2 090元，且让顾客得到更大的实惠，则这种干果每千克应降价9元．8．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝16 cm ，BC ＝8 cm ，一动点P 从点C 出发沿着CB 边以2 cm/s 的速度运动，另一动点Q 从点A 出发沿着AC 边以4 cm/s 的速度运动，P ，Q 两点同时出发，运动时间为t s.(1)若△PCQ 的面积是△ABC 面积的14，求t 的值； (2)△PCQ 的面积能否与四边形ABPQ 面积相等？若能，求出t 的值；若不能，说明理由．解：(1)根据题意，得S △PCQ ＝12×2t(16－4t)，S △ABC ＝12×8×16＝64. ∵△PCQ 的面积是△ABC 面积的14， ∴12×2t(16－4t)＝64×14. 整理，得t 2－4t ＋4＝0，解得t ＝2.答：当t ＝2 s 时，△PCQ 的面积为△ABC 面积的14. (2)△PCQ 的面积不能与四边形ABPQ 面积相等．理由如下：当△PCQ 的面积与四边形ABPQ 面积相等时，则S △PCQ ＝12S △ABC ，即12×2t(16－4t)＝64×12，整理，得t 2－4t ＋8＝0.∵Δ＝(－4)2－4×1×8＝－16＜0，∴此方程没有实数根．∴△PCQ 的面积不能与四边形ABPQ 面积相等．。

人教版九年级上册《解一元二次方程》同步练习卷(含答案解析)

新人教版九年级上册《21.2 解一元二次方程》同步练习卷一、选择题（本大题共8道小题）1. 方程3x(2x +1)＝2(2x +1)的两个根为（）A.x 1=23,x 2=0B.x 1=23,x 2=12C.x 1=32,x 2=−12D.x 1=23,x 2=−122. 下列一元二次方程中，没有实数根的是( )A.x 2−2x =0B.x 2+4x −1=0C.2x 2−4x +3=0D.3x 2=5x −23. 一元二次方程(x +1)(x −1)=2x +3的根的情况是( )4. 当b +c =5时，最新x 的一元二次方程3x 2+bx −c =0的根的情况为( )5. 对于二次三项式−x 2+4x −5的值，下列叙述正确的是（）C.正、负都有可能−16. 代数式x 2−4x −2020的最小值是（）A.−2018B.−2020C.−2022D.−20247. 以x =b±√b 2+4c 2为根的一元二次方程可能是（）A.x 2+bx +c ＝0B.x 2+bx −c ＝0C.x 2−bx +c ＝0D.x 2−bx −c ＝08. 如果最新x 的一元二次方程k 2x 2−(2k +1)x +1=0有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是( )A.k >−14B.k >−14且k ≠0C.k <−14D.k ≥−14且k ≠0二、填空题（本大题共8道小题）9. 若(m+2)x m2−2+3x−1＝0是最新x的一元二次方程，则m的值为________．10. 填空：（1）x2+4x+(________)＝(x+________)2；（2）x2+(________)x+254=(x−52)2；（3）x2−73x+(________)＝(x−________)2；（4）x2−px+(________________)＝(x−________________11. 方程(3x−4)2−(3x−4)＝0的解是________．12. 一元二次方程4x2+12x+9＝0的解为________．13. 三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2−6x+8=0的解，则此三角形的周长是________．14. 一元二次方程4x2＝3x的解是________．15. 最新x的方程kx2−4x−4＝0有两个不相等的实数根，则k的最小整数值为________．16. 已知方程x2−6x+q＝0可转化为x−3＝±√7，则q＝________．三、解答题（本大题共4道小题）17. 我们已经学习了一元二次方程的四种解法：因式分解法、直接开平方法、配方法和公式法．请选择适当的方法解下列方程：（1）x2−3x+1＝0；（2）(x−1)2＝3；（3）x2+23x+19=0；（4）x2−2x＝4．18. 最新x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2−1=0有两个不相等的实数根．(1)求m的取值范围；(2)写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的根．19. 古希腊数学家丢番图（公元250年前后）在《算术》中就提到了一元二次方程的问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式，只能用图解等方法来求解．在欧几里得的《几何原本》中，形如x2+ax＝b2(a>0, b>0)的方程的图解法是：如图，以a2和b为两直角边作Rt△ABC，再在斜边上截取BD=a2，则AD的长就是所求方程的解．（1）请用含字母a、b的代数式表示AD的长．（2）请利用你已学的知识说明该图解法的正确性，并说说这种解法的遗憾之处．20. 已知最新x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2−1=0有两个不相等的实数根．(1)求m的取值范围；(2)设x1，x2是方程的两根且x12+x22+x1x2−17=0，求m的值．参考答案与试题解析新人教版九年级上册《21.2 解一元二次方程》同步练习卷一、选择题（本大题共8道小题）1.【答案】D【考点】解一元二次方程-因式分解法【解析】先变形得到3x(2x +1)−2(2x +1)＝0，然后利用因式分解法解方程．【解答】3x(2x +1)−2(2x +1)＝0，(2x +1)(3x −2)＝0，2x +1＝0或3x −2＝0，所以x 1=−12，x 2=23．2.【答案】C【考点】根的判别式【解析】利用根的判别式△=b 2−4ac 分别进行判定即可．【解答】解：A ，Δ=4>0，有两个不相等的实数根，故此选项不合题意；B ，Δ=16+4=20>0，有两个不相等的实数根，故此选项不合题意；C ，Δ=16−4×2×3=−8<0，没有实数根，故此选项符合题意；D ，Δ=25−4×3×2=25−24=1>0，有两个不相等的实数根，故此选项不合题意.故选C .3.【答案】A【考点】根的判别式【解析】先化成一般式后，在求根的判别式．【解答】解：原方程可化为：x2−2x−4=0，∴ a=1，b=−2，c=−4，∴ Δ=(−2)2−4×1×(−4)=20>0，∴ 方程有两个不相等的实数根．故选A.4.【答案】A【考点】根的判别式【解析】由b+c＝5可得出c＝5−b，根据方程的系数结合根的判别式可得出△＝(b−6)2+24，由偶次方的非负性可得出(b−6)2+24>0，即△>0，由此即可得出最新x的一元二次方程3x2+bx−c＝0有两个不相等的实数根．【解答】解：∴ b+c=5，∴ c=5−b．Δ=b2−4×3×(−c)=b2+12c=b2−12b+60=(b−6)2+24．∴ (b−6)2≥0，∴ (b−6)2+24>0，∴ Δ>0，∴ 最新x的一元二次方程3x2+bx−c=0有两个不相等的实数根．故选A.5.【答案】B【考点】非负数的性质：算术平方根配方法的应用非负数的性质：绝对值非负数的性质：偶次方【解析】利用配方法将−x2+4x−5进行配方，再利用非负数的性质得出答案．【解答】∴ −x2+4x−5＝−(x2−4x+4)−1＝−(x−2)2−1<0，∴ 原式一定为负数．6.【答案】D【考点】非负数的性质：算术平方根配方法的应用非负数的性质：绝对值非负数的性质：偶次方【解析】利用配方法把原式变形，根据非负数的性质解答．【解答】x2−4x−2020＝x2−4x+4−4−2020＝(x−2)2−2024．∴ (x−2)2≥0，∴ (x−2)2−2024≥−2024，即代数式x2−4x−2020的最小值是−2024，7.【答案】D【考点】解一元二次方程-公式法【解析】对照求根公式确定二次项系数、一次项系数和常数项．【解答】根据求根公式知，−b是一次项系数，二次项系数是1或−1，常数项是−c或c．所以，符合题意的只有D选项．8.【答案】B【考点】根的判别式【解析】若一元二次方程有两不等根，则根的判别式△＝b 2−4ac >0，建立最新k 的不等式，求出k 的取值范围．【解答】解：由题意知，k ≠0，方程有两个不相等的实数根，所以Δ>0，Δ=b 2−4ac =(2k +1)2−4k 2=4k +1>0．又∴ 方程是一元二次方程，∴ k ≠0，∴ k >−14且k ≠0．故选B .二、填空题（本大题共8道小题）9.【答案】2【考点】一元二次方程的定义【解析】根据一元二次方程的定义列出方程和不等式，解方程和不等式得到答案．【解答】由题意得，m 2−2＝2，m +2≠0，解得，m ＝2，10.【答案】4,2−54936,76p 24,p 2,,）2【考点】配方法的应用【解析】根据配方法的步骤首先将常数项移到等号的右侧，将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式．【解答】x 2+4x +4＝(x +2)2；x 2+(−5)x +254=(x −52)2； x 2−73x +4936=(x −76)2；x 2−px +p 24=(x −p 2)2．故答案为：4，2，−5，4936，76，p 24，p 2． 11.【答案】x 1=43，x 2=53【考点】一元二次方程的解【解析】根据因式分解法解一元二次方程的步骤求解即可．【解答】(3x −4)2−(3x −4)＝0，(3x −4)(3x −4−1)＝0，3x −4＝0，或3x −5＝0，解得x 1=43，x 2=53． 12.【答案】x 1＝x 2=−32【考点】解一元二次方程-配方法【解析】利用配方法求解可得．【解答】原方程可化为(2x+3)2＝0，∴ 2x+3＝0，∴ x1＝x2=−3．213.【答案】13【考点】解一元二次方程-因式分解法三角形三边关系【解析】求出方程的解，有两种情况：x=2时，看看是否符合三角形三边关系定理；x=4时，看看是否符合三角形三边关系定理；求出即可．【解答】解：x2−6x+8=0，(x−2)(x−4)=0，x−2=0，x−4=0，x1=2，x2=4，当x=2时，2+3<6，不符合三角形的三边关系定理，所以x=2舍去，当x=4时，符合三角形的三边关系定理，三角形的周长是3+6+4=13．故答案为：13．14.【答案】x1＝0，x2=34【考点】解一元二次方程-因式分解法【解析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】4x2＝3x，4x2−3x＝0，x(4x−3)＝0，x＝0，4x−3＝0，x1＝0，x2=3415.【答案】1【考点】根的判别式【解析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到k ≠0且b 2−4ac >0，然后求出两个不等式的公共部分即可．【解答】∴ 最新x 的方程kx 2−4x −4＝0有两个不相等的实数根，∴ k ≠0且b 2−4ac >0，即{k ≠0∴=16+16k >0，解得k >−1且k ≠0，∴ k 的最小整数值为：1． 16.【答案】2【考点】解一元二次方程-配方法【解析】将x −3＝±√7两边平方后展开化简可得．【解答】由x −3＝±√7，得(x −3)2＝7，∴ x 2−6x +9＝7，∴ x 2−6x +2＝0，∴ q ＝2，三、解答题（本大题共4道小题）17.【答案】∴ a ＝1，b ＝−3，c ＝1，∴ b 2−4ac ＝(−3)2−4×1×1＝5>0，∴ x =−(−3)±√52×1，∴ x 1=3+√52，x 2=3−√52．∴ (x −1)2＝3，∴ x −1＝±√3，∴ x 1＝1+√3，x 2＝1−√3．∴ (x +13)2＝0，∴ x 1＝x 2=−13．x 2−2x +1＝4+1，即(x −1)2＝5，∴ x −1＝±√5，∴ x 1＝1+√5，x 2＝1−√5．【考点】解一元二次方程-公式法解一元二次方程-配方法解一元二次方程-因式分解法解一元二次方程-直接开平方法【解析】（1）利用公式法求解可得；（2）利用直接开平方法求解可得；（3）利用因式分解法求解可得；（4）利用配方法求解可得．【解答】∴ a ＝1，b ＝−3，c ＝1，∴ b 2−4ac ＝(−3)2−4×1×1＝5>0，∴ x =−(−3)±√52×1，∴ x 1=3+√52，x 2=3−√52．∴ (x −1)2＝3，∴ x −1＝±√3，∴ x 1＝1+√3，x 2＝1−√3． ∴ (x +13)2＝0，∴ x 1＝x 2=−13．x 2−2x +1＝4+1，即(x −1)2＝5，∴ x −1＝±√5，∴ x 1＝1+√5，x 2＝1−√5． 18. 【答案】解：(1)∴ 最新x 的一元二次方程x 2+(2m +1)x +m 2−1=0有两个不相等的实数根，∴ Δ=(2m +1)2−4×1×(m 2−1)=4m +5>0，解得：m >−54．(2)m =1，此时原方程为x 2+3x =0，即x(x +3)=0，解得：x 1=0，x 2=−3．【考点】一元二次不等式【解析】（1）由方程有两个不相等的实数根即可得出△>0，代入数据即可得出最新m 的一元一次不等式，解不等式即可得出结论；（2）结合（1）结论，令m ＝1，将m ＝1代入原方程，利用因式分解法解方程即可得出结论．【解答】解：(1)∴ 最新x 的一元二次方程x 2+(2m +1)x +m 2−1=0有两个不相等的实数根，∴ Δ=(2m +1)2−4×1×(m 2−1)=4m +5>0，解得：m >−54．(2)m =1，此时原方程为x 2+3x =0，即x(x +3)=0，解得：x 1=0，x 2=−3． 19. 【答案】∴ ∠C ＝90∘，BC =a2，AC ＝b ，∴ AB =√b 2+a 24，∴ AD =√b 2+a 24−a 2=√4b 2+a 2−a2；用求根公式求得：x 1=−√4b 2+a 2−a2；x 2=√4b 2+a 2−a2正确性：AD 的长就是方程的正根．遗憾之处：图解法不能表示方程的负根．【考点】解一元二次方程-公式法【解析】（1）先根据勾股定理求得AB 的长，再求AD 的长．（2）正确性：形象直观；遗憾之处：图解法不能表示方程的负根．【解答】∴ ∠C ＝90∘，BC =a2，AC ＝b ，∴ AB =√b 2+a 24，∴ AD =√b 2+a 24−a 2=√4b 2+a 2−a2；用求根公式求得：x 1=−√4b 2+a 2−a2；x 2=√4b 2+a 2−a2正确性：AD 的长就是方程的正根．遗憾之处：图解法不能表示方程的负根． 20. 【答案】解：(1)根据题意得：Δ=(2m +1)2−4(m 2−1)>0，即4m +5>0，解得：m >−54.∴ m 的取值范围为m >−54. (2)根据题意得：{x 1+x 2=−(2m +1),x 1x 2=m 2−1,∴ x 12+x 22+x 1x 2−17=(x 1+x 2)2−x 1x 2−17=(2m +1)2−(m 2−1)−17=0，化简得：3m 2+4m −15=0，解得：m 1=53，m 2＝−3（不合题意，舍去），∴ m 的值为53．【考点】根与系数的关系根的判别式【解析】①根据“最新x 的一元二次方程x 2+(2m +1)x +m 2−1＝0有两不相等的实数根”，结合判别式公式，得到最新m 的不等式，解之即可，②根据“x 1，x 2是方程的两根且x 12+x 22+x 1x 2−17＝0”，结合根与系数的关系，列出最新m 的一元二次方程，解之，结合（1）的结果，即可得到答案．【解答】解：(1)根据题意得：Δ=(2m +1)2−4(m 2−1)>0，即4m +5>0，解得：m >−54.∴ m 的取值范围为m >−54. (2)根据题意得：{x 1+x 2=−(2m +1),x 1x 2=m 2−1,∴ x 12+x 22+x 1x 2−17=(x 1+x 2)2−x 1x 2−17=(2m +1)2−(m 2−1)−17=0，化简得：3m 2+4m −15=0，解得：m 1=53，m 2＝−3（不合题意，舍去），∴ m 的值为53．。

初中数学新人教版因式分解法解一元二次方程练习题及答案

初中数学新人教版因式分解法解一元二次方程练习题及答案1．选择题方程＝0的根是A．x1＝－16，x2＝B．x1＝16，x2＝－C．x1＝16，x2＝D．x1＝－16，x2＝－8222下列方程4x－3x－1＝0，5x－7x＋2＝0，13x－15x ＋2＝0中，有一个公共解是1 B．x＝C．x＝1D．x＝－1方程5x＝3解为3333A．x1＝，x2＝B．x＝ C．x1＝－，x2＝－ D．x1＝，x2＝－5555方程＝1的根为A．y1＝5，y2＝－2B．y＝ C．y＝－2D．以上答案都不对22方程－4＝0的根为A．x1＝1，x2＝－B．x1＝－1，x2＝－C．x1＝1，x2＝D．x1＝－1，x2＝522一元二次方程x＋5x＝0的较大的一个根设为m，x －3x＋2＝0较小的根设为n，则m＋n的值为 A．x＝A．1 B． C．－4D．42已知三角形两边长为4和7，第三边的长是方程x－16x＋55＝0的一个根，则第三边长是A．5B．5或11C． D．112．填空题方程t＝28的解为_______．2方程＋3＝0的解为__________．2方程＋3＋2＝0的解为__________．2关于x的方程x＋x＋mn＝0的解为__________．方程x＝－x的解为__________．3．用因式分解法解下列方程：222x＋12x＝0；4x－1＝0； x＝7x；2x－4x－21＝0；＝12； 3x＋2x－1＝0；2210x－x－3＝0；－4－21＝0．4．用适当方法解下列方程：222x－4x＋3＝0；＝256； x－3x＋1＝0；2222x－2x－3＝0；＝3；＋y＝9；22x－8x＝7；－2－8＝0．5．解关于x的方程：2222x－4ax＋3a＝1－2a； x＋5x＋k＝2kx＋5k＋6； 2222x－2mx－8m＝0； x＋x＋m＋m＝0．2222226．已知－12＝0．求x＋y的值．7．解方程：x＝864．228．已知x＋3x＋5的值为9，试求3x＋9x－2的值．9．一跳水运动员从10米高台上跳水，他跳下的高度h与所用的时间t的关系式h＝－5．求运动员起跳到入水所用的时间．10．解方程22242－5＋4＝0x－3x－4＝0．初中数学用因式分解法解一元二次方程一．选择题1．用因式分解法解一元二次方程x﹣2=0，正222222二．填空题8．一元二次方程3x2﹣4x﹣2=0的解是．9．一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的解是．10．一元二次方程2﹣36=0的解是．三．解答题11．用指定的方法解下列一元二次方程：2x2﹣4x+1=0；3x=2﹣2x；x2﹣x﹣3=0．第1页12．用因式分解法解下列关于x的一元二次方程．22x+x﹣kx=0222x﹣2mx+m﹣n=0．13．计算：；我们已经学习了一元二次方程的四种解法：因式分解法，开平方法，配方法和公式法．请从以下一元二次方程中任选一个，并选择你认为适当的方法解这个方程．①x﹣3x+1=0；②=3；③x﹣3x=0；④x﹣2x=4．14．用因式分解法解下列一元二次方程：25x=x24﹣=022==．15．因式分解法解方程：3x﹣12x=﹣12．16．用因式分解法解方程：x﹣9x+18=0．第2页2222222217．用因式分解法解方程：12x+x﹣6=0．18．用因式分解法解方程：3=219．用因式分解法解方程=520．因式分解法解一元二次方程．+1﹣=．22第3页初中数学用因式分解法解一元二次方程参考答案与试题解析一．选择题1．用因式分解法解一元二次方程x﹣2=0，正22第4页2222第5页因式分解法解一元二次方程练习题1．选择题方程＝0的根是A．x1＝－16，x2＝B．x1＝16，x2＝－C．x1＝16，x2＝D．x1＝－16，x2＝－8222下列方程4x－3x－1＝0，5x－7x＋2＝0，13x－15x ＋2＝0中，有一个公共解是1 B．x＝C．x＝1D．x＝－1方程5x＝3解为3333A．x1＝，x2＝B．x＝ C．x1＝－，x2＝－ D．x1＝，x2＝－5555方程＝1的根为A．y1＝5，y2＝－2B．y＝ C．y＝－2D．以上答案都不对22方程－4＝0的根为A．x1＝1，x2＝－B．x1＝－1，x2＝－C．x1＝1，x2＝D．x1＝－1，x2＝522一元二次方程x＋5x＝0的较大的一个根设为m，x －3x＋2＝0较小的根设为n，则m＋n的值为A．1 B． C．－4D．42已知三角形两边长为4和7，第三边的长是方程x－16x＋55＝0的一个根，则第三边长是A．5B．5或11C． D．112方程x－3|x－1|＝1的不同解的个数是A．0 B．1 C．D．32．填空题方程t＝28的解为_______．2方程＋3＝0的解为__________．2方程＋3＋2＝0的解为__________．2关于x的方程x＋x＋mn＝0的解为__________． A．x ＝方程x＝－x的解为__________．3．用因式分解法解下列方程：2222x＋12x＝0； 4x－1＝0； x＝7x； x－4x－21＝0；222＝12； 3x＋2x－1＝0；10x－x－3＝0；－4－21＝0．4．用适当方法解下列方程：2222x－4x＋3＝0；＝256； x－3x＋1＝0； x－2x －3＝0；222＝3；＋y＝9；x－x＝0； x－x＋＝0；222x－8x＝7；－2－8＝0．25．解关于x的方程：2222x－4ax＋3a＝1－2a； x＋5x＋k＝2kx＋5k＋6； 2222x－2mx－8m＝0； x＋x＋m＋m＝0．x?y226．已知x＋3xy－4y＝0，试求的值． x?y2222227．已知－12＝0．求x＋y的值．8．请你用三种方法解方程：x＝864．229．已知x＋3x＋5的值为9，试求3x＋9x－2的值． 10．一跳水运动员从10米高台上跳水，他跳下的高度h与所用的时间t的关系式h＝－5．求运动员起跳到入水所用的时间．222222211．为解方程－5＋4＝0，我们可以将x－1视为一个整体，然后设x－1＝y，则y＝，原方程化为y－5y ＋4＝0，解此方程，得y1＝1，y2＝4．当y＝1时，x－1＝1，x＝2，∴x＝±2．当y＝4时，x－1＝4，x＝5，∴x＝±．∴原方程的解为x1＝－2，x2＝2，x3＝－5，x4＝5．以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想．42运用上述方法解方程：x－3x－4＝0．2既然可以将x－1看作一个整体，你能直接运用因式分解法解这个方程吗？222。

21.2解一元二次方程同步试卷含答案解析

2020年人教版九年级数学上册同步测试：21.2 解一元二次方程一、选择题（共13小题）1．方程（x﹣2）（x+3）=0的解是（）A．x=2 B．x=﹣3 C．x1=﹣2，x2=3 D．x1=2，x2=﹣32．方程x2﹣5x=0的解是（）A．x1=0，x2=﹣5 B．x=5 C．x1=0，x2=5 D．x=03．下列计算正确的是（）A．a4•a3=a12 B．C．（x2+1）0=0 D．若x2=x，则x=14．一元二次方程x（x﹣2）=2﹣x的根是（）A．﹣1 B．2 C．1和2 D．﹣1和25．一个三角形的两边长分别为3和6，第三边的边长是方程（x﹣2）（x﹣4）=0的根，则这个三角形的周长是（）A．11 B．11或13C．13 D．以上选项都不正确6．方程x2﹣2x=0的解为（）A．x1=1，x2=2 B．x1=0，x2=1 C．x1=0，x2=2 D．x1=，x2=27．一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的解是（）A．x1=﹣1，x2=3 B．x1=1，x2=﹣3 C．x1=﹣1，x2=﹣3 D．x1=1，x2=38．方程x（x﹣3）+x﹣3=0的解是（）A．3 B．﹣3，1 C．﹣1 D．3，﹣19．若关于x的方程x2+x﹣a+=0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（）A．a≥2 B．a≤2 C．a＞2 D．a＜210．若关于x的一元二次方程4x2﹣4x+c=0有两个相等实数根，则c的值是（）A．﹣1 B．1 C．﹣4 D．411．已知关于x的一元二次方程3x2+4x﹣5=0，下列说法正确的是（）A．方程有两个相等的实数根B．方程有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法确定12．三角形的两边长分别是3和6，第三边是方程x2﹣6x+8=0的解，则这个三角形的周长是（）A．11 B．13 C．11或13 D．11和1313．一元二次方程x2﹣x﹣2=0的解是（）A．x1=1，x2=2 B．x1=1，x2=﹣2 C．x1=﹣1，x2=﹣2 D．x1=﹣1，x2=2二、填空题（共11小题）14．一元二次方程2x2﹣3x+1=0的解为．15．若实数a、b满足（4a+4b）（4a+4b﹣2）﹣8=0，则a+b=．16．关于x的方程kx2﹣4x﹣=0有实数根，则k的取值范围是．17．如果关于x的一元二次方程x2+4x﹣m=0没有实数根，那么m的取值范围是．18．一元二次方程x（x﹣6）=0的两个实数根中较大的根是．19．方程x2﹣2x=0的解为．20．方程x2﹣2x﹣3=0的解是．21．一元二次方程x2﹣3x=0的根是．22．方程x2﹣9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为．23．对于实数a，b，定义运算“﹡”：a﹡b=．例如4﹡2，因为4＞2，所以4﹡2=42﹣4×2=8．若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个根，则x1﹡x2=．24．现定义运算“★”，对于任意实数a、b，都有a★b=a2﹣3a+b，如：3★5=32﹣3×3+5，若x★2=6，则实数x的值是．三、解答题（共6小题）25．解方程：x2﹣10x+9=0．26．阅读下列材料，并用相关的思想方法解决问题．计算：（1﹣﹣﹣）×（+++）﹣（1﹣﹣﹣﹣）×（++）．令++=t，则原式=（1﹣t）（t+）﹣（1﹣t﹣）t=t+﹣t2﹣t﹣t+t2=问题：（1）计算（1﹣﹣﹣﹣…﹣）×（++++…++）﹣（1﹣﹣﹣﹣﹣…﹣﹣）×（+++…+）；（2）解方程（x2+5x+1）（x2+5x+7）=7．27．已知关于x的方程x2+2x+a﹣2=0．（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；（2）当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根．28．（1）解方程：x2﹣5x﹣6=0；（2）解不等式组：．29．解方程：x2+2x﹣3=0．30．解方程：3x（x﹣2）=2（2﹣x）2020年人教版九年级数学上册同步测试：21.2 解一元二次方程参考答案与试题解析一、选择题（共13小题）1．方程（x﹣2）（x+3）=0的解是（）A．x=2 B．x=﹣3 C．x1=﹣2，x2=3 D．x1=2，x2=﹣3【考点】解一元二次方程-因式分解法．【分析】根据已知得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：（x﹣2）（x+3）=0，x﹣2=0，x+3=0，x1=2，x2=﹣3，故选D．【点评】本题考查了解一元关键是能把一元一次方程和解一元二次方程的应用，关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程．2．方程x2﹣5x=0的解是（）A．x1=0，x2=﹣5 B．x=5 C．x1=0，x2=5 D．x=0【考点】解一元二次方程-因式分解法．【专题】压轴题．【分析】在方程左边两项中都含有公因式x，所以可用提公因式法．【解答】解：直接因式分解得x（x﹣5）=0，解得x1=0，x2=5．故选：C．【点评】本题考查了因式分解法解一元二次方程，当方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．3．下列计算正确的是（）A．a4•a3=a12 B．C．（x2+1）0=0 D．若x2=x，则x=1【考点】解一元二次方程-因式分解法；算术平方根；同底数幂的乘法；零指数幂．【分析】A、同底数的幂相乘，底数不变，指数相加；B、通过开平方可以求得的值；C、零指数幂：a0=1（a≠0）；D、先移项，然后通过提取公因式对等式的左边进行因式分解，然后解方程．【解答】解：A、a4•a3=a（4+3）=a7．故本选项错误；B、==|3|=3，故本选项正确；C、∵x2+1≠0，∴（x2+1）0=1．故本选项错误；D、由题意知，x2﹣x=x（x﹣1）=0，则x=0或x=1．故本选项错误．故选B．【点评】本题综合考查了零指数幂、算术平方根、同底数幂的乘法以及解一元二次方程﹣﹣因式分解法．注意，任何不为零的数的零次幂等于1．4．一元二次方程x（x﹣2）=2﹣x的根是（）A．﹣1 B．2 C．1和2 D．﹣1和2【考点】解一元二次方程-因式分解法．【专题】计算题．【分析】先移项得到x（x﹣2）+（x﹣2）=0，然后利用提公因式因式分解，最后转化为两个一元一次方程，解方程即可．【解答】解：x（x﹣2）+（x﹣2）=0，∴（x﹣2）（x+1）=0，∴x﹣2=0或x+1=0，∴x1=2，x2=﹣1．故选D．【点评】本题考查了运用因式分解法解一元二次方程的方法：利用因式分解把一个一元二次方程化为两个一元一次方程．5．一个三角形的两边长分别为3和6，第三边的边长是方程（x﹣2）（x﹣4）=0的根，则这个三角形的周长是（）A．11 B．11或13C．13 D．以上选项都不正确【考点】解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系．【专题】计算题．【分析】由两数相乘积为0，两数中至少有一个为0求出方程的解得到第三边长，即可求出周长．【解答】解：方程（x﹣2）（x﹣4）=0，可得x﹣2=0或x﹣4=0，解得：x=2或x=4，当x=2时，2，3，6不能构成三角形，舍去；则x=4，此时周长为3+4+6=13．故选C【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，以及三角形的三边关系，求出x的值是解本题的关键．6．方程x2﹣2x=0的解为（）A．x1=1，x2=2 B．x1=0，x2=1 C．x1=0，x2=2 D．x1=，x2=2【考点】解一元二次方程-因式分解法．【分析】先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出即可．【解答】解：x2﹣2x=0，x（x﹣2）=0，x=0，x﹣2=0，x1=0，x2=2，故选C．【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，关键是把一元二次方程转化成一元一次方程．7．一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的解是（）A．x1=﹣1，x2=3 B．x1=1，x2=﹣3 C．x1=﹣1，x2=﹣3 D．x1=1，x2=3【考点】解一元二次方程-因式分解法．【分析】首先对x2﹣2x﹣3=0进行因式分解得到（x﹣3）（x+1）=0，然后得到x+1=0或x﹣3=0，解两个一元一次方程即可．【解答】解：∵x2﹣2x﹣3=0，∴（x﹣3）（x+1）=0，∴x+1=0或x﹣3=0，∴x1=﹣1，x2=3．故选：A．【点评】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程的知识，解答本题的关键是掌握因式分解法解一元二次方程的步骤，此题难度不大，是一道中考常见试题．8．方程x（x﹣3）+x﹣3=0的解是（）A．3 B．﹣3，1 C．﹣1 D．3，﹣1【考点】解一元二次方程-因式分解法．【分析】先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：x（x﹣3）+x﹣3=0，（x﹣3）（x+1）=0，x﹣3=0，x+1=0，x1=3，x2=﹣1，故选D．【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程．9．若关于x的方程x2+x﹣a+=0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（）A．a≥2 B．a≤2 C．a＞2 D．a＜2【考点】根的判别式．【分析】根据判别式的意义得到△=12﹣4（﹣a+）＞0，然后解一元一次不等式即可．【解答】解：根据题意得△=12﹣4（﹣a+）＞0，解得a＞2．故选C．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．10．若关于x的一元二次方程4x2﹣4x+c=0有两个相等实数根，则c的值是（）A．﹣1 B．1 C．﹣4 D．4【考点】根的判别式．【分析】根据判别式的意义得到△=42﹣4×4c=0，然后解一次方程即可．【解答】解：∵一元二次方程4x2﹣4x+c=0有两个相等实数根，∴△=42﹣4×4c=0，∴c=1，故选B．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．11．已知关于x的一元二次方程3x2+4x﹣5=0，下列说法正确的是（）A．方程有两个相等的实数根B．方程有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法确定【考点】根的判别式．【分析】先求出△的值，再判断出其符号即可．【解答】解：∵△=42﹣4×3×（﹣5）=76＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选B．【点评】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△的关系是解答此题的关键．12．三角形的两边长分别是3和6，第三边是方程x2﹣6x+8=0的解，则这个三角形的周长是（）A．11 B．13 C．11或13 D．11和13【考点】解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系．【专题】计算题．【分析】利用因式分解法求出方程的解得到第三边长，即可求出此时三角形的周长．【解答】解：方程x2﹣6x+8=0，分解因式得：（x﹣2）（x﹣4）=0，可得x﹣2=0或x﹣4=0，解得：x1=2，x2=4，当x=2时，三边长为2，3，6，不能构成三角形，舍去；当x=4时，三边长分别为3，4，6，此时三角形周长为3+4+6=13．故选B．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．13．一元二次方程x2﹣x﹣2=0的解是（）A．x1=1，x2=2 B．x1=1，x2=﹣2 C．x1=﹣1，x2=﹣2 D．x1=﹣1，x2=2【考点】解一元二次方程-因式分解法．【专题】因式分解．【分析】直接利用十字相乘法分解因式，进而得出方程的根【解答】解：x2﹣x﹣2=0（x﹣2）（x+1）=0，解得：x1=﹣1，x2=2．故选：D．【点评】此题主要考查了十字相乘法分解因式解方程，正确分解因式是解题关键．二、填空题（共11小题）14．一元二次方程2x2﹣3x+1=0的解为x1=，x2=1．【考点】解一元二次方程-因式分解法．【分析】分解因式后即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：2x2﹣3x+1=0，（2x﹣1）（x﹣1）=0，2x﹣1=0，x﹣1=0，x1=，x2=1，故答案为：x1=，x2=1【点评】本题考查了解一元一次方程和解一元二次方程的应用，关键是能把一元二次方程转化成解一元一次方程．15．若实数a、b满足（4a+4b）（4a+4b﹣2）﹣8=0，则a+b=﹣或1．【考点】换元法解一元二次方程．【分析】设a+b=x，则原方程转化为关于x的一元二次方程，通过解该一元二次方程来求x即（a+b）的值．【解答】解：设a+b=x，则由原方程，得4x（4x﹣2）﹣8=0，整理，得16x2﹣8x﹣8=0，即2x2﹣x﹣1=0，分解得：（2x+1）（x﹣1）=0，解得：x1=﹣，x2=1．则a+b的值是﹣或1．故答案是：﹣或1．【点评】本题主要考查了换元法，即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换．16．关于x的方程kx2﹣4x﹣=0有实数根，则k的取值范围是k≥﹣6．【考点】根的判别式；一元一次方程的解．【分析】由于k的取值不确定，故应分k=0（此时方程化简为一元一次方程）和k≠0（此时方程为二元一次方程）两种情况进行解答．【解答】解：当k=0时，﹣4x﹣=0，解得x=﹣，当k≠0时，方程kx2﹣4x﹣=0是一元二次方程，根据题意可得：△=16﹣4k×（﹣）≥0，解得k≥﹣6，k≠0，综上k≥﹣6，故答案为k≥﹣6．【点评】本题考查的是根的判别式，注意掌握一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．同时解答此题时要注意分k=0和k≠0两种情况进行讨论．17．如果关于x的一元二次方程x2+4x﹣m=0没有实数根，那么m的取值范围是m＜﹣4．【考点】根的判别式．【分析】根据关于x的一元二次方程x2+4x﹣m=0没有实数根，得出△=16﹣4（﹣m）＜0，从而求出m的取值范围．【解答】解：∵一元二次方程x2+4x﹣m=0没有实数根，∴△=16﹣4（﹣m）＜0，∴m＜﹣4，故答案为m＜﹣4．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．18．一元二次方程x（x﹣6）=0的两个实数根中较大的根是6．【考点】解一元二次方程-因式分解法．【专题】计算题．【分析】原方程转化为x=0或x﹣6=0，然后解两个一次方程即可得到原方程较大的根．【解答】解：∵x=0或x﹣6=0，∴x1=0，x2=6，∴原方程较大的根为6．故答案为6．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程右边变形为0，再把方程左边分解为两个一次式的乘积，这样原方程转化为两个一元一次方程，然后解一次方程即可得到一元二次方程的解．19．方程x2﹣2x=0的解为x1=0，x2=2．【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元一次方程．【专题】计算题．【分析】把方程的左边分解因式得x（x﹣2）=0，得到x=0或x﹣2=0，求出方程的解即可．【解答】解：x2﹣2x=0，x（x﹣2）=0，x=0或x﹣2=0，x1=0 或x2=2．故答案为：x1=0，x2=2．【点评】本题主要考查对解一元二次方程﹣因式分解法，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．20．方程x2﹣2x﹣3=0的解是x1=3，x2=﹣1．【考点】解一元二次方程-因式分解法．【分析】先方程左边因式分解，然后根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0．”进行求解．【解答】解：方程x2﹣2x﹣3=0左边因式分解，得（x﹣3）（x+1）=0解得x1=3，x2=﹣1．【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．本题运用的是因式分解法．21．一元二次方程x2﹣3x=0的根是x1=0，x2=3．【考点】解一元二次方程-因式分解法．【专题】方程思想；因式分解．【分析】首先利用提取公因式法分解因式，由此即可求出方程的解．【解答】解：x2﹣3x=0，x（x﹣3）=0，∴x1=0，x2=3．故答案为：x1=0，x2=3．【点评】此题主要考查了因式分解法解一元二次方程，解题的关键会进行因式分解．22．方程x2﹣9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为15．【考点】解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系；等腰三角形的性质．【专题】计算题；分类讨论．【分析】求出方程的解，分为两种情况：①当等腰三角形的三边是3，3，6时，②当等腰三角形的三边是3，6，6时，看看是否符合三角形的三边关系定理，若符合求出即可．【解答】解：x2﹣9x+18=0，∴（x﹣3）（x﹣6）=0，∴x﹣3=0，x﹣6=0，∴x1=3，x2=6，当等腰三角形的三边是3，3，6时，3+3=6，不符合三角形的三边关系定理，∴此时不能组成三角形，当等腰三角形的三边是3，6，6时，此时符合三角形的三边关系定理，周长是3+6+6=15，故答案为：15．【点评】本题考查了解一元二次方程和三角形的三边关系定理，等腰三角形的性质的应用，关键是确定三角形的三边的长度，用的数学思想是分类讨论思想．23．对于实数a，b，定义运算“﹡”：a﹡b=．例如4﹡2，因为4＞2，所以4﹡2=42﹣4×2=8．若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个根，则x1﹡x2=3或﹣3．【考点】解一元二次方程-因式分解法．【专题】压轴题；新定义．【分析】首先解方程x2﹣5x+6=0，再根据a﹡b=，求出x1﹡x2的值即可．【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个根，∴（x﹣3）（x﹣2）=0，解得：x=3或2，①当x1=3，x2=2时，x1﹡x2=32﹣3×2=3；②当x1=2，x2=3时，x1﹡x2=3×2﹣32=﹣3．故答案为：3或﹣3．【点评】此题主要考查了因式分解法解一元二次方程以及利用材料分析解决新问题，根据已知进行分类讨论是解题关键．24．现定义运算“★”，对于任意实数a、b，都有a★b=a2﹣3a+b，如：3★5=32﹣3×3+5，若x★2=6，则实数x的值是﹣1或4．【考点】解一元二次方程-因式分解法．【专题】压轴题；新定义．【分析】根据题中的新定义将所求式子转化为一元二次方程，求出一元二次方程的解即可得到x的值．【解答】解：根据题中的新定义将x★2=6变形得：x2﹣3x+2=6，即x2﹣3x﹣4=0，因式分解得：（x﹣4）（x+1）=0，解得：x1=4，x2=﹣1，则实数x的值是﹣1或4．故答案为：﹣1或4【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，利用此方法解方程时，首先将方程右边化为0，左边变为积的形式，然后根据两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．三、解答题（共6小题）25．解方程：x2﹣10x+9=0．【考点】解一元二次方程-因式分解法．【分析】先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：x2﹣10x+9=0，（x﹣1）（x﹣9）=0，x﹣1=0，x﹣9=0，x1=1，x2=9．【点评】本题考查了解一元一次方程和解一元二次方程的应用，关键是能把解一元二次方程转化成解一元一次方程．26．阅读下列材料，并用相关的思想方法解决问题．计算：（1﹣﹣﹣）×（+++）﹣（1﹣﹣﹣﹣）×（++）．令++=t，则原式=（1﹣t）（t+）﹣（1﹣t﹣）t=t+﹣t2﹣t﹣t+t2=问题：（1）计算（1﹣﹣﹣﹣…﹣）×（++++…++）﹣（1﹣﹣﹣﹣﹣…﹣﹣）×（+++…+）；（2）解方程（x2+5x+1）（x2+5x+7）=7．【考点】换元法解一元二次方程；有理数的混合运算．【专题】换元法．【分析】（1）设++…+=t，则原式=（1﹣t）×（t+）﹣（1﹣t﹣）×t，进行计算即可；（2）设x2+5x+1=t，则原方程化为：t（t+6）=7，求出t的值，再解一元二次方程即可．【解答】解：（1）设++…+=t，则原式=（1﹣t）×（t+）﹣（1﹣t﹣）×t=t+﹣t2﹣t﹣t+t2+t=；（2）设x2+5x+1=t，则原方程化为：t（t+6）=7，t2+6t﹣7=0，解得：t=﹣7或1，当t=1时，x2+5x+1=1，x2+5x=0，x（x+5）=0，x=0，x+5=0，x1=0，x2=﹣5；当t=﹣7时，x2+5x+1=﹣7，x2+5x+8=0，b2﹣4ac=52﹣4×1×8＜0，此时方程无解；即原方程的解为：x1=0，x2=﹣5．【点评】本题考查了有理数的混合运算和解高次方程的应用，能正确换元是解此题的关键，题目比较典型．27．已知关于x的方程x2+2x+a﹣2=0．（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；（2）当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根．【考点】根的判别式；一元二次方程的解；根与系数的关系．【分析】（1）关于x的方程x2﹣2x+a﹣2=0有两个不相等的实数根，即判别式△=b2﹣4ac＞0．即可得到关于a的不等式，从而求得a的范围．（2）设方程的另一根为x1，根据根与系数的关系列出方程组，求出a的值和方程的另一根．【解答】解：（1）∵b2﹣4ac=（2）2﹣4×1×（a﹣2）=12﹣4a＞0，解得：a＜3．∴a的取值范围是a＜3；（2）设方程的另一根为x1，由根与系数的关系得：，解得：，则a的值是﹣1，该方程的另一根为﹣3．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．28．（1）解方程：x2﹣5x﹣6=0；（2）解不等式组：．【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元一次不等式组．【专题】计算题．【分析】（1）方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解；（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可．【解答】解：（1）方程变形得：（x﹣6）（x+1）=0，解得：x1=6，x2=﹣1；（2），由①得：x≥3；由②得：x＞5，则不等式组的解集为：x＞5．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，以及一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．29．解方程：x2+2x﹣3=0．【考点】解一元二次方程-因式分解法．【专题】计算题．【分析】观察方程x2+2x﹣3=0，可因式分解法求得方程的解．【解答】解：x2+2x﹣3=0∴（x+3）（x﹣1）=0∴x1=1，x2=﹣3．【点评】解方程有多种方法，要根据实际情况进行选择．30．解方程：3x（x﹣2）=2（2﹣x）【考点】解一元二次方程-因式分解法．【专题】因式分解．【分析】先移项，然后提取公因式（x﹣2），对等式的左边进行因式分解．【解答】解：由原方程，得（3x+2）（x﹣2）=0，所以3x+2=0或x﹣2=0，解得x1=﹣，x2=2．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣因式分解法．因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．。

2021-2022学年人教版九年级上册一元二次方程同步测试(含解析)

故选B.
【点睛】本题主要考查了由实际问题得出一元二次方程，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式，然后根据等量关系列出方程是解题关键.
14.如图，在宽为20米、长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要551米2，则修建的路宽应为( )
A. 1米B. 1.5米C. 2米D. 2.5米
A. x=4 B. x=0
C. D.
【答案】C
【分析】
利用因式分解法求解即可．
详解】方程整理得：x（x﹣4）=0，可得x=0或x﹣4=0，解得：x1=0，x2=4．
故选C．
【点睛】本题考查了一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键．
9.已知实数满足，则代数式x²-x+1的值是( )
【详解】解：移项得：y²-4y=3
配方得： y²-4y+4=3+4
（y-2）²=7
故选A．
【点睛】本题考查解一元二次方程配方法：将一元二次方程配成（x+m）²=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
7.一元二次方程x2+x﹣1＝0的根是()
A. x＝1﹣ B. x＝
C. x＝﹣1+ D. x＝
【答案】D
【解析】
【分析】
先计算判别式的值，然后根据判别式的意义可判断方程根的情况．
【详解】解： △ ，
方程有两个不相等的两个实数根，
即．
故选．
【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程，用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2-4ac≥0．
8.方程x²-4x=0的根是（）
故选A.
【点睛】考查一元二次方程的应用，读懂题目，找出题目中的等量关系列出方程是解题的关键.

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

21.2 解一元二次方程 21.2.3 因式分解法
一、单项选择题
1. 一元二次方程x 2－x ＋＝0的根是( ) A ．， B ．x 1＝2，x 2＝－2 C ．x 1＝x 2＝ D ．x 1
＝x 2＝
2. 方程3x 2=0与方程3x 2=3x 的解（）
A ．都是x=0
B ．有一个相同的解x=0
C ．都不相同
D ．无
法确定
3．解方程(x ＋5)2－3(x ＋5)＝0，较为简便的方法是( )
A ．直接开平方法
B ．因式分解法
C ．配方法
D ．公式法
4．方程x(x －4)＝32－8x 的解是( )
A ．x ＝－8
B ．x 1＝4，x 2＝－8
C ．x 1＝－4，x 2＝8
D ．x 1＝2，x 2＝－8
5. 一个三角形的两边长为3和6，第三边的边长是方程（x-3）（x-4）=0的根，则这个三角形的周长（）
A ．13
B ．11或13
C ．11
D ．11和13
6、要使4452-+-x x x 的值为0，x 的值为（）
A ．4或1
B ．4
C ．1
D ．-4或-1
14
112x =21=2x -12-12
7、已知x2-5xy+6y2=0，那么x与y的关系是（）
A．2x=y或3x=y B．2x=y或3y=x
C．x=2y或x=3y D．x=2y或y=3x
8、已知（a2+b2）2-2（a2+b2）+1=0，则a2+b2的值为（）A．0 B．-1 C．1 D．±1
二、填空题
9．方程(x－1)(x＋2)＝2(x＋2)的根是__________．
10．如果代数式3x2－6的值为21，那么x的值为__________．11．已知x＝2是一元二次方程(m－2)x2＋4x－m2＝0的一个根，则m的值是______．
12. 一元二次方程x(x－1)＝0的解是__________．
13. 一元二次方程x2-3x=0的根是__________．
14. 方程（x+1）（3x-2）=0的根是
15. 请写出一个根为x=1，另一个根满足-1＜x＜1的一元二次方程：
16. 已知一元二次方程（m-1）x2+7mx+m2+3m-4=0有一根为0，则m=
y=
17. 若2x2+9xy-5y2=0，则
x
三、解答题
18. 用因式分解法解下列一元二次方程：
(1)(x－1)(x＋3)＝－3；
(2)(3x－1)2＝4(2x＋3)2.
19. 如果方程x2＋mx－2m＝0的一个根为－1，求方程x2－6mx ＝0的根.
20. 用因式分解法解方程x2－mx－7＝0时，将左边分解后有一个因式为x＋1，求m的值.
21. 若m是关于x的方程x2+nx+m=0的根，切m≠0，则m+n的值是多少？
22. 有一大一小两个正方形，小正方形的边长比大正方形边长的一半多4cm，大正方形的面积比小正方形面积的2倍少32cm2，
求这两个正方形的边长．
23. 阅读材料：为解方程（x 2-1）2-5（x 2-1）+4=0，我们可以
将x 2-1看作一个
整体，然后设x 2-1=y ①，那么原方程可化为y 2-5y+4=0，解得
y 1=1，y 2=4，当y=1
时，x 2-1=1，∴x 2=2，∴x=±
2；当y=4时，x 2-1=4，∴x 2
=5，∴x=±5，故原方程的解为x 1=2，x 2= -2，x 3=5，x 4= -5
解答问题：（1）上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用法达到了解方程的目的，体现了转化的数学思想。

（2）请利用以上的知识解方程：x 4-x 2-6=0
答案;
一、
1. D
解析：因为x
2－x ＋＝0，即，所以x 1＝x 2＝. 2. B
142102x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭12
解析：3x2=0的解为x1=x2=0，3x2=3x的解为x1=0，x2= 1，所以
它们有一个相同
的解x=0，故选B
3. B
4. B
解析：移项，得x(x－4)－(32－8x)＝0，即x(x－4)－8(4－x)＝0，
也即(x－4)(x＋8)＝0.故x1＝4，x2＝－8.
5. A
解析：方程（x-3）（x-4）=0的根为x1=3，x2= 4，根据三角形
两边之和大于第
三边，所以x=4，所以周长为13，故选A
6. C
解析：因为
44
5 2
-+
-x x
x=0，所以x2-5x+4=0且x-4≠0，解方程得
x1=1，x2= 4，因
为x≠4，所以x=1，故选C
7. C
解析：x2-5xy+6y2=0看作关于x的一元二次方程，利用因式分
解法求解：（x-2y）
（x-3y）=0，x-2y=0或x-3y=0，即x=2y或x=3y，故选C 8. C
解析：用换元法，设a2+b2=y，则原方程可变形为y2-2y+1=0，
解得y1=y2=1，即
a2+b2=1，故选C
二、
9. x1＝－2，x2＝3
解析：移项，得(x－1)(x＋2)－2(x＋2)＝0，即(x＋2)(x－3)＝0.故x1＝－2，x2＝3.
10．±3
解析：由题意，得3x2－6＝21，解得x＝±3.
11． 0或4
解析：把x＝2代入方程(m－2)x2＋4x－m2＝0，得4(m－2)＋8－m2＝0.解这个方程，得m1＝0，m2＝4.
12. x＝0或x＝1
解析：由x(x－1)＝0，得x＝0或x－1＝0，即x＝0或x＝1.
13. x1=0，x2= 3
解析：x2-3x=0，x（x-3）=0，x=0或x-3=0，即x1=0，x2= 3
2
14. x1= -1，x2=
3
2解析：（x+1）（3x-2）=0，x+1=0或3x-2=0，即x1= -1，x2=
3 15. x2-x=0（答案不唯一）
解析：可设另一根为0，得到（x-1）（x-0）=0，展开得x2-x=0，答案不唯一。

16. -4
解析：将x=0代入原方程得m2+3m-4=0，解得m1= -4，m2= 1，
因为原方程为一元二次方程，所以m-1≠0，即m≠1，所以m= -4
17. 2或5
1- 解析：2x 2+9xy-5y 2=0看作关于x 的一元二次方程，解得x 1= -5y ，x 2= 21y ，当x 1= -5y 时，x y =51-，当x 2= 21y 时，x
y =2 三、
18. 解：(1)因为将原方程整理，可得x 2＋2x ＝0，即x(x ＋
2)＝0，
所以x ＝0或x ＋2＝0.所以x 1＝0，x 2＝－2.
(2)整理，得(3x －1)2－[2(2x ＋3)]2＝0，
即[3x －1＋2(2x ＋3)][3x －1－2(2x ＋3)]＝0，
(3x －1＋4x ＋6)(3x －1－4x －6)＝0，(7x ＋5)(－x －7)＝0，所以7x ＋5＝0或－x －7＝0. 所以，x 2＝－7. 19. 解：因为x 2＋mx －2m ＝0的一个根为－1，
所以(－1)2－m －2m ＝0，得. 所以方程x 2－6mx ＝0即为x 2－2x ＝0，解得x 1＝2，x 2＝0.
20. 解：由题意可得x ＋1＝0，则x ＝－1，即方程x 2
－mx －7＝0有一个解为－1.因此(－1)2－m×(－1)－7＝0.故m ＝6.
21. 把m 代入方程，得m 2+mn+m=0 m （m+n+1）=0
∵m≠0 ∴m+n+1=0 即m+n= -1 解析：利用因式分解法使本题的解答较为简单，在解答方程问157x
=-13
m =
题时，要灵活运用因式分解法。

22. 解：设大正方形的边长为xcm ，
根据题意，得－x 2＝32.
整理，得x 2－16x ＝0，即x(x －16)＝0.
解得x 1＝16，x 2＝0(不合题意，舍去)．
因此16×＋4＝12(cm)．答：大正方形的边长为16cm ，小正方形的边长为12cm.
23. （1）换元
（2）x 4-x 2-6=0
解：设x 2=y ，则原方程可化为y 2-y-6=0
解得y 1= 3，y 2= -2 ∵y= x 2≥0 ∴y=-2舍去 ∴y=3 当y=3时，x 2=3，x=±
3 ∴原方程的解为x 1=3 ，x 2= -3
2242x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭12。