北师大版高中数学必修4第二章《平面向量》从速度的倍数到数乘向量
高中数学-第二章 平面向量 2.3.1 数乘向量课件 北师大版必修4
则 3e1+2e 2=(3+2k)e1,3e 1-2e 2=(3-2k)e1,
3+2k 与 3-2k 中至少有一个不为 0,不妨设 3-2k≠0,
3+2
于是 3e1+2e2=
(3e1-2e2),这时 3e1+2e 2 与 3e 1-2e2 共线.
探究三
易错辨析
探究二向量的线性运算
【例 2】 (1)计算下列各式:
①3(a-2b+c)-(2c+b-a);
2
1
2
② (a-b)- (2a+4b)+ (2a+13b).
5
3
15
(2)设 x,y 是未知向量.
①解方程 5(x+a)+3(x-b)=0;
1
②解方程组
2
- = ,
1
- = .
2
思路分析:要解决(1)中的问题,需要用到数乘向量的运算律,其运
∴a∥b.综上可证得a∥b.
(
)
A.a 与-λa 的方向相反
B.|-λa|≥|a|
C.a 与 λ2a 的方向相同
D.|-λa|=|λ|a
(2)点 C 是线段 AB 靠近点 A 的一个三等分点,则下列不正确的
是(
)
1
A. =
2
3
B. =
2
C.| |=2| |
D.| |=3| |
答案:(1)C (2)B
所以k=-8k',2=-k'k,
故k'=-4.
答案:-4
1
2
3
北师大版高中数学必修四陕西省西安第二章从速度的倍数到数乘向量教案
2.3从速度的倍数到数乘向量（2课时）一、教学目标： 1.知识与技能（1）要求学生掌握实数与向量积的定义及几何意义.（2）了解数乘运算的运算律，理解向量共线的充要条件。
（3）要求学生掌握平面向量的基本定理，能用两个不共线向量表示一个向量；或一个向量分解为两个向量。
（4）通过练习使学生对实数与积，两个向量共线的充要条件，平面向量的基本定理有更深刻的理解，并能用来解决一些简单的几何问题。
2.过程与方法教材利用同学们熟悉的物理知识引出实数与向量的积（强调：1．“模”与“方向”两点) 2．三个运算定律（结合律，第一分配律，第二分配律）），在此基础上得到数乘运算的几何意义；通过正交分解得到平面向量基本定理（定理的本身及其实质）。
为了帮助学生消化和巩固相应的知识，教材设置了几个例题；通过讲解例题，指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力.3.情感态度价值观通过本节内容的学习，使同学们对实数与向量积以及平面向量基本定理有了较深的认识，让学生理解和领悟知识将各学科有机的联系起来了，这样有助于激发学生学习数学的兴趣和积极性，有助于培养学生的发散思维和勇于创新的精神.二.教学重、难点重点: 1. 实数与向量积的定义及几何意义.2.平面内任一向量都可以用两个不共线非零向量表示 难点: 1. 实数与向量积的几何意义的理解. 2. 平面向量基本定理的理解. 三.学法与教学用具学法：(1)自主性学习+探究式学习法：(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.教学用具:电脑、投影机. 四.教学设想 【探究新知】1．思考: （引入新课）已知非零向量a 作出a +a +a 和( a )+( a )+( a )OC =BC AB OA =a +a +a =3aPN =MN QM PQ =( a )+( a )+( a )= 3a讨论：① 3a 与a 方向相同且|3a |=3|a |aa aa O A B C aa a aN M QP② 3a 与a 方向相反且| 3a |=3|a |2．从而提出课题：实数与向量的积；实数λ与向量a 的积，记作：λa定义：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa①|λa |=|λ||a|②λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时λa=0（请学生自己解释其几何意义）[展示投影]例题讲评（学生先做，学生评，教师提示或适当补充） 例1.（见P96例1）略 [展示投影]思考：根据几何意义，你能否验证下列实数与向量的积的是否满足下列运算定律（证明的过程可根据学生的实际水平决定）结合律：λ(μa )=(λμ)a ① 第一分配律：(λ+μ)a =λa +μa② 第二分配律：λ(a +b )=λa+λb ③结合律证明：如果λ=0，μ=0，a =0至少有一个成立，则①式成立如果λ 0，μ 0，a 0有：|λ(μa )|=|λ||μa |=|λ||μ||a | |(λμ)a |=|λμ|| a |=|λ||μ||a| ∴|λ(μa )|=|(λμ)a|如果λ、μ同号，则①式两端向量的方向都与a同向； 如果λ、μ异号，则①式两端向量的方向都与a 反向。
北师大版高中高二数学必修4《从速度的倍数到数乘向量》说课稿
北师大版高中高二数学必修4《从速度的倍数到数乘向量》说课稿一、课程背景和意义这一节课是关于高中高二数学必修4的内容，主题是从速度的倍数到数乘向量。
通过本节课的学习，学生将会了解速度的倍数与数乘向量之间的联系，掌握数乘向量的运算规则和性质，进一步提高解决实际问题的能力。
二、教学目标通过本节课的学习，学生将能够： - 理解速度的倍数与数乘向量的概念； - 掌握数乘向量的运算规则和性质； - 运用数乘向量解决实际问题； - 培养分析问题的能力和逻辑思维能力； - 培养团队合作和沟通能力。
三、教学重点和难点1. 教学重点•数乘向量的概念和运算规则；•实践应用数乘向量解决问题的能力。
2. 教学难点•数乘向量的实际应用；•创新思维和问题解决能力的培养。
四、教学内容和方法1. 教学内容本节课的教学内容主要包括以下几个方面： - 速度的倍数与数乘向量的关系； - 数乘向量的运算规则和性质； - 数乘向量在实际中的应用。
2. 教学方法•情景引入法：通过教师提供的真实案例引发学生的兴趣和思考，引入本节课的主题；•讲解演示法：通过教师的解释和示范，讲解速度的倍数与数乘向量的关系，以及数乘向量的运算规则和性质；•实例分析法：通过解析实际问题的解决过程，让学生理解和掌握数乘向量的应用方法；•合作探究法：将学生分成小组，让他们合作解决数乘向量的实际问题，培养团队合作和沟通能力。
五、教学步骤步骤一：情景引入（5分钟）•通过一个真实案例引起学生的思考：小明骑自行车匀速行驶，小刚骑自行车以小明的2倍速度行驶，请问小刚的速度是小明的几倍？•引导学生思考速度的倍数与数乘向量之间的关系，引出本节课的主题。
步骤二：讲解速度的倍数与数乘向量的概念（15分钟）•讲解速度的倍数的概念：一个速度是另一个速度的倍数，可以用数乘的概念表示。
•讲解数乘向量的概念和运算规则：向量乘以一个实数，可以改变向量的长度和方向。
•通过示例演示速度的倍数与数乘向量的关系。
高中数学第二章平面向量2.3从速度的倍数到数乘向量2.3.1数乘向量课件1北师大版必修4
【变式练习】 计算：
探究点3 共线向量判定定理和性质定理
问题1:如果 b λa, 那么向量 a 与 b 是否共线？
rr (a 0)
向量共线的判定定理
a 是一个非零向量，若存在一个实数λ ，使得b λa.
则向量 b 与非零向量 a 共线.
问题2：如果非零向量 a 与 b 共线，那么是否有实数λ , 使 b λa?
且当 a 与 b 同方向时，有 b λa;
当 a 与 b 反方向时，有 b λa,
所以始终有一个实数λ ，使 b λa.
向量共线的性质定理
若向量 b 与非零向量 a 共线，则存在一个实数λ ，
使得
b λa.
解: (1) 原式 = -12a
(2) 原式 = (3-2-1)a+(3+2)b = 5b
(3) 原式 = (2-3)a+(3+2)b+(-1-1)c = -a+5b-2c
一、① a 的定义及运算律.
②向量共线定理. b λa 向量a与b共线 (a 0) 二、 定理的应用： 1.证明向量共线； 2.证明三点共线:
1.理解、掌握向量数乘运算及其几何意义.（重点） 2.掌握数乘运算的运算律.（重点） 3.掌握向量共线的判定定理和性质定理.（难点）
探究点1 数乘向量 问题1：
O A B C N M QP
，
.
问题2：向量 3a 与向量 a 有什么关系？向量 3a 与向
量a 有什么关系？
提示：
1.向量3a 的方向与 a 的方向相同，向量 3a 的长度
特别地，当λ =0时 λa 0,方向任意.
高中数学北师大版必修4第2章4《从速度的倍数到数乘向量》word导学案1
陕西省榆林育才中学高中数学 第2章《平面向量》4从速度的倍数到数乘向量（1）导学案 北师大版必修4使用说明1.阅读探究课本P80-82页的基础知识，自主高效预习，提升自己的阅读理解能力，完成预习引导的全部内容.2.课堂上（最好在课前完成讨论）发挥学习小组作用，积极讨论，大胆展示，完成合作探究部分.学习目标1.掌握数与向量积的定义以及运算律，并理解其几何意义.2.了解向量的线性运算及其其几何意义，了解两个向量共线的判定定理与性质定理.学习重点 实数与向量积的定义，运算律，向量共线的判定与性质.学习难点 理解向量共线的判定定理与性质定理.一、自主学习【教材助读】1.实数与向量积的定义：一般地， 它的长度为_________|a |=λ ；它的方向为： 当0>λ时，a λ的方向与a 的方向 ；当0<λ时，a λ的方向与a的方向 ；当0=λ时，0 =a λ，方向是几何意义是：2．实数与向量积满足的运算律：设λ、μ是实数, ,为向量,则有如下的运算律成立:（1）结合律：()a λμ=（2）分配率：()a λμ+= 、()a b λ+=3．向量共线定理：（1）判定定理：a 是一个非零向量，若存在一个实数____,使得 ,则向量b 与非零向量共线.（2）性质定理：向量与非零向量共线,则存在一个实数λ，使得 .【预习自测】1．任意画一向量e ,分别求作向量a =2e ，=-3e.二、合作探究探究一：如右图所示，已知EA →=4CA →,ED →=4CB →,试判断AB →与AD →是否共线。
探究二：如图：C ,B ,A 是平面内三个点，且A 与B 不重合，P 是平面内任意一点，若点C在直线AB 上,则存在实数λ，使得PB )1(PA PC λ-+λ=.AP CB三、课堂检测1．化简：（1）7( +)—3(—)+2;（2）(5a —2b +3c )—2(a +3b —c ).2.判断下列各小题中的向量b ,a 是否共线：（1）e 3a =, e 23b-=； （2）21e 2e 2a --=,21e e b +=； (3)c 32a = ，c 25a 3b -=.3.已知a 、b 是两个不共线的向量，若OA a b =+、2OB a b =+、3OC a b =+，求证：A 、B 、C 三点在一条直线上。
高中数学 第二章 平面向量 2.3 从速度的倍数到数乘向量知识导航学案 北师大版必修4
§3 从速度的倍数到数乘向量知识梳理1.向量数乘（1）定义：一般地，实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa .λa 的长度与方向规定如下：|λa |=|λ||a |；当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ=0时，λa =0.（2）向量数乘的运算律设λ、μ是实数，则有λ(μa )=(λμ)a ；(λ+μ)a =λa +μ a ；λ(a +b )=λa +λb .（3）向量数乘的几何意义：λa 的几何意义就是把向量a 沿着a 的方向或a 的反方向扩大或缩小|λ|倍.2.向量的线性运算（1）向量的加法、减法和向量数乘的综合运算，叫做向量的线性运算.若一个向量c 是由另一些向量的线性运算得到的，我们就说这个向量c 可以用另一些向量线性表示.（2）向量的线性运算也叫向量的初等运算.它们的运算法则在形式上很像实数加、减法、乘法满足的运算法则，但它们在具体含义上是不同的.不过由于它们在形式上相类似，因此，实数运算中的去括号、移项、合并同类项等变形方法在向量的线性运算中都可以使用.3.向量共线的判定定理和性质定理判定定理：如果a =λb ，则a ∥b ；性质定理：如果a ∥b （b ≠0），则一定存在一个实数λ，使得a =λb .4.平面向量基本定理如果e 1和e 2是平面内的两个不共线的向量，那么该平面内的任一向量a ，存在唯一的一对实数a 1，a 2，使a =a 1e 1＋a 2e 2.我们把不共线向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为｛e 1，e 2｝，a 1e 1＋a 2e 2叫做向量a 关于基底｛e 1，e 2｝的分解式.5.直线的向量参数方程式已知A 、B 是直线l 上任意两点，O 是l 外一点，则对于直线l 上任一点P ，存在实数ｔ，使=(1-t)+t ,这个等式又称为直线l 的向量参数方程式.知识导学1.一个向量用其他向量的线性运算来表示是解决这一类问题的关键，注意转化与化归的思想应用.2.灵活、适当地选择一组平面向量基底来表示其他未知向量是正确解决向量问题的前提.3.在解决问题时，一定要自觉作出草图来寻找解题思路，重视数形结合思想的运用. 疑难突破1.向量共线定理有何应用？剖析：学习了平行向量基本定理后，对定理的应用陷入茫然.其突破方法是对平行向量基本定理的结论的理解不够彻底.下面分三方面来讨论.（1）判定定理的结论是a ∥b ，那么用平行向量基本定理可以证明两向量共线. 例如：设=a ，=b ，=21（a +b ）,求证：∥. 证明：由题意得=b -a ，=-=21（b +a ）-b =21（a -b ），∴BC =-21AB . ∴∥.由此可见，证明向量a ∥b ，只需找到满足a =λb 的实数λ的一个值即可.（2）判定定理的结论是a ∥b ，则有当=a ，=b 时，有O 、A 、B 三点共线，即用平行向量基本定理可以证明三点共线. 例如：设=a ，=b ，=21（a +b ）,求证：A 、B 、C 三点共线. 证明：由题意得=b -a . =-=21（a +b ）-b =21（a-b ）, ∴=21.∴∥. ∴A、B 、C 三点共线.由此可见，三点共线问题通常转化为向量共线问题.（3）判定定理的结论是a ∥b ，当a 和b 所在的直线分别是直线m 和n 时，则有直线m 、n 平行或重合,即用平行向量基本定理可以证明两直线平行.例如：如图2-3-1，已知△ABC 中，D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，并且AD=xAB ，AE=xAC,0＜x ＜1.图2-3-1求证：DE ∥BC 且DE=xBC.证明：∵AD=xAB ，AE=xAC ， ∴=x ，=x . ∴=-=x(AC -)=x BC . ∴DE ∥BC .∴DE ∥BC 且DE=xBC.由此可见，证明两直线平行转化为证明它们的方向向量共线.（4）性质定理的结论是a =λb ，则有|a |=|λ|·|b |，当=a ，=b 时，||=|λ|·||，从而OA=λOB,即用平行向量基本定理可以证明两平行线段间的长度关系.例如：如图2-3-2，平行四边形OACB 中，BD=31BC ，OD 与BA 相交于E.图2-3-2求证：BE=41BA. 证明：设E′是线段BA 上的一点，且BE′=41BA. 设=a ，=b ，则=31a ，=b +31a . ∵'BE ='OE -b ，E′A=a -'OE ，3'BE =E′A, ∴3('OE -b )=a -'OE . ∴'OE =41 (a +3b )= 43 (b +31a ). ∴OE =43. ∴O、E′、D 三点共线，即E ，E′重合. ∴BE=41BA. 由此可见，证明两平行线段的长度关系转化为证明这两条线段构成的向量共线.2.如何正确认识平面向量基本定理？剖析：疑点是平面向量基本定理是关于哪一方面的定理，有什么作用？突破口是从定理的条件和结论来分析.平面向量基本定理实质上就是向量线性运算知识的推广和延伸，即平面内任一向量a 都可分解成两个不共线向量e 1，e 2（基底）的唯一线性组合形式λ1e 1＋λ2e 2.因此平面向量基本定理也是是向量正交分解的依据，是向量坐标运算的基础，理解该定理能很好的掌握平面向量的各种知识，帮助我们解决向量问题.例如：（经典回放）已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上（不包括端点A 、C ），则等于（ ）A.λ(AB +AD ),λ∈(0,1)B.λ(AB +BC),λ∈(0,22) C.λ(-),λ∈(0,1) D.λ(-BC),λ∈(0,22) 思路解析：如图2-3-3所示，图2-3-3由向量的运算法则得：+=AC，又点P在对角线AC上，则AP∥AC,且|AP|＜|AC|. ∴存在实数λ使=λ,λ∈(0,1).答案：A。
高中数学 第二章 平面向量 2.3.1 数乘向量课件 北师大版必修4
(2)向量线性运算的结果是向量，实数运算的结果是实数，代数 式的运算结果是代数式．它们的运算律形式上类似，意义却迥然不 同．因此可类比实数，代数式运算的运算律来理解向量线性运算的 运算律．
注意：(1)数乘向量仍是一个向量，不要误认为是实数． (2)0·a 与 0 是相等的，都是向量 0，而不是实数 0.
(3)方向：λa(a≠0)的方向
当λ>0时，λa与a的方向相同. 当λ<0时，λa与a的方向相反. 特别地，当 λ＝0 或 a＝_0__时，0×a＝0 或 λ×0＝_0__.
(4)几何意义 由实数与向量的积的定义可以看出，它的几何意义就是将表 示向量 a 的有向线段_伸__长__或__压__缩___． 当|λ|>1 时，表示向量 a 的有向线段在原方向(λ>0)或反方向 (λ<0)上__伸__长__为原来的__|_λ_| __倍； 当|λ|<1 时，表示向量 a 的有向线段在原方向(λ>0)或反方向 (λ<0)上_缩__短___为原来的__|λ_|__倍．
O→G＝O→A＋A→G＝a＋13(b＋c－2a)＝13(a＋b＋c)．
规律方法 正确运用向量的加法、减法、向量数乘的运算法 则是解决本题的关键．另外，用O→G＝A→G－A→O也可以求出结果．
如图，D，E，F 分别为△ABC 的边 BC，CA，AB 的中点， 且B→C＝a，C→A＝b.试求A→D，B→E，C→F(用 a，b 表示)．
(2) 原 式 ＝(2λ＋ μ)e1 ＋13(2λ＋ μ)e2 －312λ－2μ e1 －412λ－2μ e2 ＝ 2λ＋μ－32λ＋6μ e1 ＋ 23λ＋13μ－2λ＋8μ e2 ＝ 12λ＋7μ e1 － 43λ－235μe2.
高中数学第二章平面向量2.3从速度的倍数到数乘向量2.3.1数乘向量导学案北师大版必修4
2.3.1 数乘向量问题导学1．数乘向量定义理解活动与探究1a ，b 是两个非零向量，判断以下各说法是否正确，并说明理由．(1)2a 方向与a 方向一样，且2a 模是a 模2倍；(2)－2a 方向与5a 方向相反，且－2a 模是5a 模25； (3)－2a 与2a 是一对相反向量；(4)a －b 与－(b －a )是一对相反向量．迁移与应用λ，μ∈R ，那么在以下各命题中，正确命题共有( )．(1)当λ＜0，a ≠0时，λa 与a 方向一定相反；(2)当λ＞0，a ≠0时，λa 与a 方向一定一样；(3)当λμ＞0，a ≠0时，λa 与μa 方向一定一样；(4)当λμ＜0，a ≠0时，λa 与μa 方向一定相反．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 数乘向量定义几点说明：(1)数乘向量仍是一个向量．λa 中实数λ叫做向量a 系数．(2)实数与向量可以求积，但不能进展加减运算．(3)2．向量线性运算及线性表示活动与探究2(1)计算以下各式：①3(a －2b ＋c )－(2c ＋b －a )；②25(a －b )－13(2a ＋4b )＋215(2a ＋13b )． (2)设x ，y 是未知向量．①解方程5(x ＋a )＋3(x －b )＝0；②解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 12x －y ＝a ，x －12y ＝b .迁移与应用1．计算以下各式：(1)3(2a －b )－2(4a －3b )；(2)13(4a ＋3b )－12(3a －b )－32b ； (3)2(3a －4b ＋c )－3(2a ＋b －3c )．2．向量a ，b 不共线．(1)实数x ，y 满足等式3x a ＋(10－y )b ＝(4y ＋7)a ＋2x b ，求出x ，y 值；(2)把满足3x －2y ＝a ，－4x ＋3y ＝b 向量x ，y 用a ，b 表示出来．向量线性运算及解含未知向量方程(组)方法：(1)向量线性运算要遵循数乘向量运算律．(2)多项式运算中去括号、合并同类项、提取公因式等方法仍然适应于向量线性运算．(3)解实数方程(组)移项、加减消元、代入消元法可应用于解含未知向量方程或方程组．3．向量共线判定定理与性质定理应用活动与探究3设两个非零向量e 1与e 2不共线．(1)如果AB →＝e 1－e 2，BC →＝3e 1＋2e 2，CD →＝－8e 1－2e 2，求证：A ，C ，D 三点共线；(2)如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1－3e 2，CD →＝2e 1－k e 2，且A ，C ，D 三点共线，求k 值．迁移与应用两个非零向量a ，b 不共线，OA→＝a ＋b ，OB →＝a ＋2b ，OC →＝a ＋3b ．(1)证明A ，B ，C 三点共线；(2)试确定实数k ，使k a ＋b 与a ＋k b 共线．活动与探究4如图，ABCD 为一个四边形，E ，F ，G ，H 分别为BD ，AB ，AC 与CD 中点，求证：四边形EFGH 为平行四边形．迁移与应用证明：连接三角形两边中点线段平行于第三边且等于第三边一半．共线向量定理应用(1)共线向量判定定理与性质定理，可直接用于判断两向量是否共线或根据向量共线确定参数取值．(2)共线向量判定定理为证明三点共线与两直线平行提供了一种方法．①证明三点共线，即转化为有公共点两条有向线段表示向量共线；②证明两直线平行，那么是转化为无公共点两直线上有向线段所表示向量共线．当堂检测1．(2a －b )－(2a ＋b )等于( )．A ．a －2bB ．－2bC ．0D ．b －a2．λ，μ∈R ，下面式子正确是( )．A ．λa 与a 同向B ．0·a ＝0C ．(λ＋μ)a ＝λa ＋μaD ．假设b ＝λa ，那么|b |＝λ|a |3．点C 在直线AB 上，且AC→＝3AB →，那么BC →等于( )． A ．－2AB → B ．13AB → C ．－13AB → D ．2AB → 4．e 1，e 2不共线，a ＝k e 1＋e 2，b ＝e 1＋k e 2，当k ＝________时，a ，b 共线．5．如下图，D ，E ，F 分别是△ABC 边AB ，AC ，BC 中点，求证：四边形为平行四边形．课前预习导学【预习导引】1．(1)向量 λa (2)|λ||a | (3)一样 相反 0 0 (4)伸长 压缩 伸长 |λ| 缩短 |λ| (5)②λa ＋μa ③λa ＋λb预习交流1 提示：(1)向量线性运算包括向量加法、减法、实数与向量积．(2)向量线性运算结果是向量，实数与代数式运算结果是实数或代数式，尽管它们运算律形式上相似，但其意义却迥然不同．因此在类比实数运算律学习向量有关运算律时务必经过严格证明前方可使用．预习交流2 原式＝(4－3)a ＋(－4－3－1)b ＝a －8b .2．(1)b ＝λa (2)b ＝λa 预习交流3 提示：假设a ＝0，当b ＝0时，λ值不唯一； 当b ≠0时，不存在λ使b ＝λa .预习交流4 13 －32课堂合作探究【问题导学】活动与探究1 解：(1)正确．∵2＞0，∴2a 与a 方向一样．又|2a |＝2|a |，∴(1)正确．(2)正确．∵5＞0，∴5a 与a 方向一样，且|5a |＝5|a |.而－2＜0，∴－2a 与a 方向相反，且|2a |＝2|a |.∴－2a 与5a 方向相反，且－2a 模是5a 模25.∴(2)正确．(3)正确．依据相反向量定义及实数与向量乘积定义进展判断．(4)错误．∵a －b 与b －a 是一对相反向量，∴a －b 与－(b －a )是一对相等向量．∴(4)错误．迁移与应用 D 解析：命题(1)(2)(3)(4)均正确，因为由λ与向量a 积λa 方向规定，易知(1)(2)正确，对于命题(3)(4)，当λμ＞0时，λ与μ同正或同负，所以λa 与μa 都与a 同向或者都与a 反向，所以λa 与μa 同向．当λμ＜0时，λ与μ异号，λa 与μa 中，一个与a 同向，一个与a 反向，所以λa 与μa 方向相反，故(3)(4)也正确，应选D.活动与探究2 解：(1)①原式＝3a －6b ＋3c －2c －b ＋a ＝4a －7b ＋c .②原式＝25a －25b －23a －43b ＋415a ＋2615b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫25－23＋415a ＋ ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－25－43＋2615b ＝0×a ＋0×b ＝0.(2)①原方程可变为5x ＋5a ＋3x －3b ＝0，即8x ＝－5a ＋3b ，∴x ＝－58a ＋38b . ②把第一个方程－2倍与第二个方程相加，得32y ＝－2a ＋b ， 从而y ＝－43a ＋23b . 代入原来第二个方程得x ＝－23a ＋43b .∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－23a ＋43b ，y ＝－43a ＋23b . 迁移与应用 1．解：(1)原式＝6a －3b －8a ＋6b ＝－2a ＋3b ； (2)原式＝43a ＋b －32a ＋12b －32b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫43－32a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋12－32b ＝－16a ； (3)原式＝6a －8b ＋2c －6a －3b ＋9c ＝(6－6)a －(8＋3)b ＋(2＋9)c ＝－11b ＋11c . 2．解：(1)∵a ，b 为不共线向量， 要使等式3x a ＋(10－y )b ＝(4y ＋7)a ＋2x b 成立， 那么有⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＝4y ＋7，10－y ＝2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4711，y ＝1611. (2)⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －2y ＝a ，－4x ＋3y ＝b ， ①② ①×4＋②×3得y ＝4a ＋3b ， ③再将③代入①中，得x ＝3a ＋2b .∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3a ＋2b ，y ＝4a ＋3b .活动与探究3 (1)证明：AB →＝e 1－e 2，BC →＝3e 1＋2e 2，CD →＝－8e 1－2e 2，AC →＝AB →＋BC →＝4e 1＋e 2＝－12(－8e 1－2e 2) ＝－12CD →， ∴AC→与CD →共线． 又∵AC→与CD →有公共点C ， ∴A ，C ，D 三点共线．(2)解：AC →＝AB →＋BC →＝(e 1＋e 2)＋(2e 1－3e 2)＝3e 1－2e 2， ∵A ，C ，D 三点共线，∴AC →与CD →共线，从而存在实数λ使得AC →＝λCD →，即3e 1－2e 2＝λ(2e 1－k e 2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3＝2λ，－2＝－λk ，解得λ＝32，k ＝43. 迁移与应用 (1)证明：因为AB→＝OB →－OA →＝a ＋2b －(a ＋b )＝b ，AC→＝OC →－OA →＝a ＋3b －(a ＋b )＝2b ， 于是AC→＝2AB →，即AC →与AB →共线． 又AC→与AB →有公共点A ，所以A ，B ，C 三点共线． (2)解：由于a ，b 为非零向量且不共线，所以a ＋k b ≠0. 假设k a ＋b 与a ＋k b 共线，那么必存在唯一实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，整理得(k －λ)a ＝(λk －1)b ，因此⎩⎪⎨⎪⎧ k －λ＝0，λk －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝1，λ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝－1，λ＝－1.即存在唯一实数λ＝1，使k a ＋b 与a ＋k b 同向共线，此时k ＝1，或存在唯一实数λ＝－1，使k a ＋b 与a ＋k b 反向共线，此时，k ＝－1，因此k ＝±1都满足题意．活动与探究4 证明：∵F ，G 分别为AB ，AC 中点，∴FG →＝12BC →. 同理EH →＝12BC →，∴FG →＝EH →. 同理EF→＝HG →. ∴四边形EFGH 为平行四边形．迁移与应用证明：如图，设△ABC 中，M ，N 分别为AB ，AC 中点．那么MN →＝AN →－AM →＝12AC →－12AB → ＝12(AC →－AB →)＝12BC →. 可得MN →∥BC →且|MN →|＝12|BC →|. 【当堂检测】1．B 2．C 3．D 4．±15．证明：∵D ，E 分别是AB ，AC 中点，∴AD →＝12AB →，AE →＝12AC →， DE→＝AE →－AD → ＝12AC →－12AB → ＝12(AC →－AB →)＝12BC →. ∴DE→＝BF →， ∴DE ∥BF 且DE ＝BF ，即四边形BDEF 为平行四边形．。
高中数学第二章平面向量2.3从速度的倍数到数乘向量2.3.2平面向量基本定理课件北师大版必修4
+
1 5
������������
=
������������
+
1 5
(������������
−
������������)=45 ������������
+
1 5
������������
=
45a+15b.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟 用一组基底表示向量的注意事项
平面内任一向量都可用一组基底来表示,在表示过程中,主要结 合向量的线性运算完成这种向量表示.注意以下几点:
(3)������������ + ������������ + ������������=0;
(4)������������ + ������������ + ������������=0.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练 3 已知△ABC 和点 M 满足������������ + ������������ + ������������=0.若存在实 数 m 使得������������ + ������������=m������������成立,则 m= ( )
又������������ + ������������=2������������,
所以������������=-2������������,于是 M,C,E 三点共线,
即点M在中线CE上,且是靠近AB边中点的一个三等分点,因此,M
是△ABC的重心.
反思感悟在三角形中,中线、重心等与向量的关系非常重要,一
a=λ1e1+λ2e2(λ1,λ2∈R)的形式.
北师大版高中数学必修4第二章平面向量从速度的倍数到数乘向量 优质课件
1
复习提问:
（a 1）b 向量 加法的定a 义b
b
a
a
b
ab b
a
2
3a = a +
a
+ a
A
B
CD
3
a
- 3a=
(-
a
)
+
(-
a
) + (- a
)
A
B
CD
4
复习提问: （2）实数乘法的运算律
1、交换律：ab=ba 2、结合律：a（bc）=（ab）c=b（ac） 3、分配律：a（b+c）=ab+ac
2b
一般地:
2a
(a b) a b
8
例1：计算
(1)(3) 4a 12a
(2)3(a b ) 2(a b ) a
5b 来自(3)(2a 3b
c)
(3a
2b
c
)
a 5b 2c
e e (2)已知 e1, e2 是不共线向量, a
1
2
e e b 2
1
2 则 a与 b 共线的充要条件
是实数 1
2
14
作业：习题2.3 A组第4、5、6、7题． 课后反思：
15
C
A
B
D
变：证明A、C、E三点共线
11
例3：设e1e41，ee2和2 是k不e1共e2线共的线向，量求，实而数
k的值
北师大版高中数学必修4第二章《平面向量》从速度的倍数到数乘向量 精品
从速度的倍数到数乘向量
一、教学目标：1.知识与技能：（1）要求学生掌握实数与向量积的定义 及几何意义.（2）了解数乘运算的运算律，理解向量共线的充要条件。 （3）通过练习使学生对实数与积，两个向量共线的充要条件有更深刻的 理解，并能用来解决一些简单的几何问题。2.过程与方法：教材利用同学 们熟悉的物理知识引出实数与向量的积（强调：1．“模”与“方向”两 点) 2．三个运算定律（结合律，第一分配律，第二分配律）），在此基 础上得到数乘运算的几何意义。为了帮助学生消化和巩固相应的知识，
2
作业：习题2.3 A组第4、5、6、7题． 课后反思：
a
3(2a)
2a
6a
3(2a)
=
6a
一般地: (a) ()a
a
5a
2a
3a
(2 3)a 2a 3a
一般地： ( )a a a
ab
2(a b ) 2a 2b
2(a b)
ab
2b
2a
一般地: (a b ) a b
例1：计算
(1)(3)
4a
12a
(2)3(a b ) 2(a b ) a
（3）向量共线的充要条件（强调 a 0）
a
0,
a
//
b
b
a(唯一)
退出
补充练习：
(1)若 a b c 则化简
3(a 2b) 2(3b c) 2(a b) a
e e (2)已知 e1, e2 是不共线向量, a
1
2
e e b 2
1
2 则 a与 b 共线的充要条件
是实数 1
5b
(3)(2a
高中数学 第二章 平面向量 2.3 从速度的倍数到数乘向量 向量数乘运算及其几何意义素材 北师大版必修4
向量数乘运算及其几何意义命题方向1 向量的数乘运算若3m ＋2n ＝a ，m －3n ＝b ，其中a 、b 是已知向量，求m 、n .[分析] 把已知条件看作向量m 、n 的方程，联立方程组求得m 、n .[解析] 把已知中的两等式看做关于m 、n 的方程，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3m ＋2n ＝a ，m －3n ＝b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝311a ＋211b ，n ＝111a －311b .规律总结：此题在求解过程中，利用了实数与向量的积以及它所满足的运算律．另外，解向量的二元一次方程组的方法与解实数的二元一次方程组的方法相同．命题方向2 向量共线定理的应用已知两个非零向量e 1、e 2不共线，若AB →＝2e 1＋3e 2，BC →＝6e 1＋23e 2，CD →＝4e 1－8e 2.求证：A 、B 、D 三点共线．[分析][证明] ∵AD →＝AB →＋B C →＋CD →＝2e 1＋3e 2＋6e 1＋23e 2＋4e 1－8e 2＝12e 1＋18e 2＝6(2e 1＋3e 2)＝6A B →，∴AD →∥AB →.又∵AD 和AB 有公共点A ，∴A 、B 、D 三点共线．规律总结：用向量法证明三点共线时，关键是能否找到一个实数λ，使得b ＝λa (a 、b 为这三点构成的其中任意两个向量)．证明步骤是先证明向量共线，然后再由两向量有公共点，证得三点共线．命题方向3 向量在平面几何中的探究应用平行四边形一顶点和对边中点的连线能三等分此平行四边形的一条对角线吗？若能，请写出证明过程；若不能，请说明理由．[解析] 已知在▱ABCD 中，F 为DC 的中点，E 为AF 与BD 的交点，求证：E 为BD 的一个三等分点．证明：如图，设实数λ、μ满足AE →＝λAF →，BE →＝μBD →.∴AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋μBD →，∴λAF →＝AB →＋μBD →.∵BD →＝AD →－AB →，AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋12DC →＝AD →＋12AB →，∴λ(AD →＋12AB →)＝AB →＋μ(AD →－AB →)．∴(λ－μ)AD →＝(1－μ－12λ)AB →.∵AB →与AD →不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ－μ＝0，1－μ－12λ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝23，μ＝23.∴BE →＝μBD →＝23BD →.∴E 为BD (靠近D )的一个三等分点．同理可证，C 与AB 中点的连线和BD 的交点也为BD (靠近B )的一个三等分点．综上可得，平行四边形一顶点和对边中点的连线能三等分此平行四边形的一条对角线．规律总结：在上述证明过程中，由AB →与AD →不共线及(λ－μ)AD →＝(1－μ－12λ)AB →，知必有(λ－μ)AD →＝(1－μ－12λ)AB →＝0，进而得到关于λ与μ的方程组．通过本例，应掌握利用向量共线的条件解题的方法．命题方向4 共线向量与三点共线问题设两个非零向量a 与b 不共线，(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，求证：A 、B 、D 三点共线；(2)试确定实数k ，使k a ＋b 与a ＋k b 共线．[分析] (1)欲证三点A 、B 、D 共线，即证存在实数λ，使AB →＝λBD →，只要由已知条件找出λ即可．(2)由两向量共线，列出关于a 、b 的等式，再由a 与b 不共线知，若λa ＝μb ，则λ＝μ＝0.[解析] 证明：(1)∵AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )∴BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB →.∴AB →、BD →共线，又∵它们有公共点B ，∴A 、B 、D 三点共线．(2)∵k a ＋b 与a ＋k b 共线，∴存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )即k a ＋b ＝λa ＋λk b ，∴(k －λ)a ＝(λk －1)b ，∵a 、b 是不共线的两个非零向量，∴k －λ＝λk －1＝0，∴k 2－1＝0.∴k ＝±1.。
高中数学北师大版必修4第二章从速度的倍数到数乘向量w
从速度的倍数到数乘向量【学习目标】1. 掌握数与向量积的概念和运算律，理解其几何意义；2. 了解向量的线性运算及其几何意义；了解两个向量共线的判定定理及性质定理；3. 了解平面向量的大体定理及其意义【学习重点】理解实数与向量积的概念、运算律，向量共线的判定、性质和大体定理； 【学习难点】理解向量共线的判定定理和性质定理和平面向量大体定理 【知识衔接】1.实数与向量的积；实数λ与向量a 的积，记作：λa概念：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa①▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁②▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁。
2.实数与向量的积知足运算定律：结合律：第一分派律： 第二分派律：3.向量b 与非零向量a共线的充要条件是：▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁．．．．．．．．．．．．．．．．．．．. 【学习进程】 1．试探：①．是不是每一个向量都能够分解成两个不共线向量？且分解是唯一？②．对于平面上两个不共线向量1e ，2e 是不是平面上的所有向量都能够用它们来表示？ 2．设1e ，2e 是不共线向量，a是平面内任一贯量=1e OM =λ11e =a=OM +ON =λ11e +λ22e=2e ON =λ22e1e2eaC得平面向量大体定理：若是1e ，2e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一贯量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ11e +λ22e . [注意几个问题]：① 1e 、2e 必需不共线．．．，且它是这一平面内所有向量的一组基底. ② 那个定理也叫共面．．向量定理. ③λ1，λ2是被a，1e ，2e 唯一．．肯定的数量. ④同一平面内任一贯量．．．．都能够表示为两个不共线向量的线性组合. 例题讲评例4.如图 ABCD 的两条对角线交于点M ，且−→−AB =a ，−→−AD =b ，用a ，b表示−→−MA ，−→−MB ，−→−MC 和−→−MD解：【巩固练习】DMABb【学后反思】【作业布置】1.2.。
北师大版高中数学必修四第二章平面向量23从速度的倍数到数乘向量1学案.docx
第二章平面向量•…2.3从速度的倍数到数乘向量1 (学案)一、学习目标1.通过经历探究数乘运算法则及几何意义的过程，掌握实数与向量积的定义,2.理解实数与向量积的几何意义，掌握实数与向量的积的运算律.二、自主学习知识点一向量数乘的定义思考1实数与向量相乘的结果是实数还是向量？思考2向量3a, —3°与a从长度和方向上分析具有怎样的关系?思考3加的几何意义是什么？梳理数乘向暈一般地，实数2与向量a的积是一个向量，记作_________ .它的长度为A.a = 2 a .它的方向当：＞0时, 肋与a的方向相同；当久＜0时，肋与a的方向相反；当久=0时，加=0,方向任意.知识点二向量数乘的运算律思考类比实数的运算律，向量数乘有怎样的运算律？梳理向量数乘运算律(lMQ(a)=(2“)a.(2)G+“)a=2«+“a.(3)久(a+〃)=/Uz+肋.知识点三向量共线定理思考若b=2a,〃与a共线吗？梳理(1)向量共线的判定定理a是一个________ 向量，若存在一个实数久，使得____________ ,则向量〃与非零向量a共线.(2)向量共线的性质定理若向量〃与非零向量a共线，则存在一个实数久，使得〃二_________ .知识点四向量的线性运算向暈的加法、减法和实数与向暈积的综合运算，通常称为向暈的线性运算(或线性组合).三、合作探究类型一向量数乘的基本运算例1 (1)化简^2(2a+4b)-4(5a-2b)].(2)已知向量为a, b,未知向量为工，j,向量a, b,兀，y满足关系式3x~2y=a f—4兀+3y=〃，求向量兀，反思与感悟(1)向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在实数与向量的乘积屮同样适用，但是这里的“同类项“公因式”是指向量，实数看作是向暈的系数.(2)向量也可以通过列方程和方程组求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当的运用运算律，简化运算. 跟踪训练1 (\)(a+b)-3(a-b)Sa= ____________ .⑵若2(y—如)一*(c+〃一3丿)+〃=0,其中a, b, c为己知向量，则未知向量y= ___________ .类型二向量共线的判定及应用命题角度1判定向量共线或三点共线例2已知非零向量02不共线.⑴若0=严]—¥?2，b=3e、—2^2，判断向量a，〃是否共线.(2)若恥=© + ©，Bt=2e I + 8e2, Cb=3(e[~e2)f求证A、B、D 三点共线.反思与感悟⑴向量共线的判断(证明)是把两向量用共同的己知向量表示，进而互相表示，从而判断共线.(2)利用向量共线定理证明三点共线，一般先任収两点构造向量，从而将问题转化为证明两向量共线，需注意的是，在证明三点共线时，不但要利用〃=肋@工0),还要说明向量a,方有公共点.跟踪训练2己知非零向量引，％不共线，如果恥=引+202，Bt=~5e{+6e2,筋=7© — 2%，则共线的三个点是 . 命题角度2利用向量共线求参数值例3已知非零向量切，血不共线，欲使e}+e2和©+血共线，试确定的值.反思与感悟 利用向量共线定理，即〃与aSHO)共线肋，既可以证明点共线或线共线问题，也可以根 据共线求参数的值.跟踪训练3已知力，B, P 三点共线，O 为直线外任意一点，若O>=xOX+yOh ，贝lj x+y= _______________ .类型三用已知向量表示其他向量例4在AABC 中，若点D 满足就)=2说,则恥等于()反思与感悟用已知向量表示未知向量的求解思路(1) 先结合图形的特征，把待求向量放在三角形或平行四边形中.(2) 然后结合向量的三角形法则或平行四边形法则及向量共线定理用已知向量表示未知向量.(3) 当直接表示比较困难时，可以利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关 系，然后解关于所求向量的方程.3. 若向量方程2x-3(x-2a.)=0,WJ 向量x 等于()A. —aB.-6a.C.6aD.- —a. 5 54. 在△ A.BC 中，才E =丄為,EF 〃BC,EF 交 A.C 于 F,设 A5 =a., AC =b,则亦用 a.BF= _________________ •5. ___________________________________________________ 在AAEC 中,M 、N 、P 分别是A.B 、BC 、CA.边上的靠近A.、B 、C 的三等分点,O 是Z\A.BC 平面上的任 意一点，若 OA + OB + OC =丄ei •丄则 OM +ON + OP= ________________________________________________ .跟踪训练4 如图，在△ABC 屮，D, E 为边的两个三等分点, 刁= 3a, 色=2b,求筋，Ck.四、自主小测1.丄［丄(2a+8b)-(4a-2b)J 等于( ) 3 2A.2a-bB.2b-aC.b-aD.a-b 2•设两非零向量ei> 2不共线，目.kei+e 2与ei+ke^共线侧k 的值为()A 」 B.-l C.±l D.O表示的形式是3 26.己知△ A.BC的重心为GO为坐标原点,OA二a, OB =b, OC =c,求证:OG = — (a+b+c).参考答案：l.B 2.C 3.C 4.-a.+ 丄b5,1 1J.—Cj C23 2「6•证明：连接A.G并延长，设A.G交BC于M.T AB =b-a M AC =c-a M BC =c-b,' • ' 1 ， 1 J:.AM = AB + — BC =(b-a.)+ — (c-b)= — (c+b-2a.).2 2 277 2 — iAG = — AM = —(c+b-2a.).3 3:.OG= OA + AG =a+ — (c+b-2a.)= — (a.+b+c).3 3。
高中数学课件-【优选整合】北师大版高中数学必修四第二章平面向量2.3 从速度的倍数到数乘向量2
∵ AF ＝λ AE ，
∴1－k2 AB＋k2 BC ＝λ AB＋3λ BC ，
∴k21＝－k23λ＝ ，λ，
解得 λ＝34.故选 C.
作业
不渴望能够一跃千里，只 希望每天能够前进一步。
典例解析
平面向量基本定理的应用
[典例] 如图，在△ABC 中，M 是 BC 的中点， N 在 AC 上，且 AN＝2NC，AM 与 BN 相交于点 P，分别求 AP∶PM 与 BP∶PN 的值．
[解] 设 BM ＝e1，CN ＝e2，则 AM ＝ AC ＋CM ＝－3e2 －e1， BN ＝ BC ＋CN ＝2e1＋e2.
用基底表示向量
[典例] 已知 e1，e2 是平面内两个不共线的向量，a＝3e1－2e2， b＝－2e1＋e2，c＝7e1－4e2，试用向量 a 和 b 表示 c.
[解] 因为 a，b 不共线，所以可设 c＝xa＋yb，则 xa＋yb＝
x(3e1－2e2)＋y(－2e1＋e2)＝(3x－2y)e1＋(－2x＋y)e2＝7e1－
a，BC ＝b.试以 a，b 为基底表示 EF ，DF ，CD. 解：∵AD∥BC，且 AD＝13BC， ∴ AD＝13BC ＝13b. ∵E 为 AD 的中点， ∴ AE ＝ ED＝12 AD＝16b.
∵ BF ＝12 BC ，∴BF ＝12b， ∴ EF ＝ EA＋ AB＋BF ＝－16b－a＋12b＝13b－a， DF ＝ DE ＋ EF ＝－16b＋13b－a＝16b－a， CD＝CF ＋FD＝－( DF ＋FC ) ＝－( DF ＋ BF )＝－16b－a＋12b ＝a－23b.
[点睛] 理解平面向量基本定理应关注的三点 (1)只要是同一平面内两个不共线的向量都可作为一组基 底，所以基底的选取不唯一． (2)零向量与任一向量都共线，因此零向量不能作为基底． (3)λ1，λ2 是唯一的．
高中数学北师大版必修4第二章平面向量§3 从速度的倍数到数乘向量.1
§3 从速度的倍数到数乘向量3．1 数乘向量一、基础过关1．设e 1，e 2是两个不共线的向量，若向量m ＝－e 1＋k e 2 (k ∈R )与向量n ＝e 2－2e 1共线，则( ) A ．k ＝0B ．k ＝1C ．k ＝2D ．k ＝122．已知向量a 、b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( ) A ．B 、C 、D B ．A 、B 、CC ．A 、B 、DD ．A 、C 、D3．已知△ABC 的三个顶点A ，B ，C 及平面内一点P ，且P A →＋PB →＋PC →＝AB →，则 ( )A ．P 在△ABC 内部B ．P 在△ABC 外部C ．P 在AB 边上或其延长线上D ．P 在AC 边上4．在△ABC 中，点D 在直线CB 的延长线上，且CD →＝4BD →＝rAB →＋sAC →，则r －s 等于( )A ．0 B.45 C.83D ．35．若2⎝⎛⎭⎫y －13a －12(c ＋b －3y )＋b ＝0，其中a 、b 、c 为已知向量，则未知向量y ＝ ________________.6．如图所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量CD →＝______.(填写正确的序号)①－BC →＋12BA →；②－BC →－12BA →；③BC →－12BA →；④BC →＋12BA →.7．如图，ABCD 为一个四边形，E 、F 、G 、H 分别为BD 、AB 、AC 和CD 的中点，求证：四边形EFGH 为平行四边形．8．如图所示，在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN →＝3NC →，M 为BC 的中点，试用a ，b 表示MN →.二、能力提升9．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．510．已知O 是平面内一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|(λ∈[0，＋∞))，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的 ( ) A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心 11．在四面体O －ABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →＝________(用a ，b ，c 表示)． 12．两个非零向量a 、b 不共线．(1)若A B →＝a ＋b ，B C →＝2a ＋8b ，C D →＝3(a －b )，求证：A 、B 、D 三点共线； (2)求实数k 使k a ＋b 与2a ＋k b 共线． 三、探究与拓展13．如图所示，在平行四边形ABCD 中，点M 是AB 的中点，点N 在BD 上，且BN ＝13BD .求证：M 、N 、C 三点共线.答案1．D 2.C 3.D 4.C 5.421a －17b ＋17c 6.①7．证明 ∵F 、G 分别是AB 、AC 的中点． ∴FG →＝12BC →.同理，EH →＝12BC →.∴FG →＝EH →.∴四边形EFGH 为平行四边形．8．解 MN →＝MB →＋BA →＋AN →＝－12b －a ＋34AC →＝－12b －a ＋34(a ＋b )＝14(b －a )．9．B 10.B 11.12a ＋14b ＋14c12．(1)证明 ∵A D →＝A B →＋B C →＋C D →＝a ＋b ＋2a ＋8b ＋3a －3b ＝6a ＋6b ＝6A B →，且AD →与AB→的公共点为A ， ∴A 、B 、D 三点共线．(2)解 ∵k a ＋b 与2a ＋k b 共线，∴k a ＋b ＝λ(2a ＋k b )． ∴(k －2λ)a ＋(1－λk )b ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧k －2λ＝0，1－λk ＝0⇒k ＝±2. 13．证明 设BA →＝a ，BC →＝b ，则由向量减法的三角形法则可知：CM →＝BM →－BC →＝12BA →－BC →＝12a －b . 又∵N 在BD 上且BD ＝3BN ，∴BN →＝13BD →＝13(BC →＋CD →)＝13(a ＋b )，∴CN →＝BN →－BC →＝13(a ＋b )－b＝13a －23b ＝23⎝⎛⎭⎫12a －b ， ∴CN →＝23CM →，又∵CN →与CM →的公共点为C ，∴C 、M 、N 三点共线．。
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13
小结：
（1）实数与向量 的积
（2）实数与向量积的运算律
） （3）向量共线的充要条件（强调 a 0
a 0, a // b b a(唯一)
退出
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补充练习： (1)若 a b c 则化简
3(a 2b) 2(3b c) 2(a b) a (2)已知 e , e 是不共线向量, a e1 e2 b 2e1 e2 则 a与 b 共线的充要条件 1 是实数 2
2
复习提问: （1）向量加法的定义
a b
a b b
a
b
a b
a
b
a
3
A
B
a
3a = a +
+
a
D
4
C
A
B
a
a - 3a= (- a ) + (-
) + (- a
C
)
D
5
复习提问: （2）实数乘法的运算律
1
2
1
2
1
2
解： e1 4 e 2 和k e1 e 2 共线 ( 4 ) ke e e e
(1 4 ) (k ) e e
1 2 1 2
k的值
, e e
1
1
2
0
2
不共线
1 k 4 1 A组第4、5、6、7题．
课后反思：
16
1、交换律：ab=ba
2、结合律：a（bc）=（ab）c=b（ac）
3、分配律：a（b+c）=ab+ac
6
a
2a
3(2a )
6a 3(2a ) = 6 a
一般地: ( a ) ( )a
7
a
2a
5a 3a
(2 3)a 2a 3a
北师大版高中数学必修4第二章 《平面向量》
从速度的倍数到数乘向量
法门高中姚连省制作
1
一、教学目标：1.知识与技能：（1）要求学生掌握实数与向量积的定义 及几何意义.（2）了解数乘运算的运算律，理解向量共线的充要条件。 （3）通过练习使学生对实数与积，两个向量共线的充要条件有更深刻的 理解，并能用来解决一些简单的几何问题。2.过程与方法：教材利用同学 们熟悉的物理知识引出实数与向量的积（强调：1．“模”与“方向”两 点) 2．三个运算定律（结合律，第一分配律，第二分配律）），在此基 础上得到数乘运算的几何意义。为了帮助学生消化和巩固相应的知识， 教材设置了几个例题；通过讲解例题，指导发现知识结论，培养学生抽 象概括能力和逻辑思维能力.3.情感态度价值观：通过本节内容的学习， 使同学们对实数与向量积有了较深的认识，让学生理解和领悟知识将各 学科有机的联系起来了，这样有助于激发学生学习数学的兴趣和积极性， 有助于培养学生的发散思维和勇于创新的精神. 二.教学重、难点： 重点:实数与向量积的定义及几何意义.难点: 实数与向 量积的几何意义的理解. 三.学法与教法： (1)自主性学习+探究式学习法：(2)反馈练习法：以练 习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距. 四.教学过程
应用：该定理是证明三点共线或直
线平行的重要依据。
思考：若去掉a 0, b a 是 a // b 的充分不必要 条件 _________
11
例2：已知向量 AD 3 AB， 3BC， DE 试判断 AC与AE 是否共线. E C A B D
12
变：证明A、C、E三点共线
e 例3：设 e ， 是不共线的向量，而 4 k e e 和 e e 共线，求实数
(1)(3) 4a 12a (2)3(a b ) 2(a b ) a 5b
例1：计算
a 5b 2c
10
定理：向量 b 与非零向量 a 共线 的充要条件是有且只有一 个实数 , 使得 b a.
一般地： ( )a a a
8
a
a b
b
2(a b )
2(a b ) 2a 2b
2b
2a
一般地:
(a b ) a b
9
(3)(2a 3b c ) (3a 2b c )