4.1.1圆的对称性(1)垂径定理课件
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垂径定理公开课PPT课件
O
CE D A
-
5
知识点二：垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对 的两条弧
B
应用格式：在⊙O 中，
∵ CD⊥AB（AB是直径）
∴ CE=DE，A C = A D ，B C = B D
O
CE D A
B
B
O
CE D A
O
E
C
D
A
O
O
C ED C ED
条件的实质是：（1）过圆心（2）垂直于弦
第3章 对圆的进一步认识
3.1 圆的对称性（1）
-
1
-
2
一、以旧引新
1.与圆有关的概念
圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合.
连接圆上任意两点的线段叫做弦. 经过圆心的弦叫做直径. 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧. 大于半圆的弧叫做优弧，
小于半圆的弧叫做劣弧.
在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧. 2.什么是轴对称图形？
条件的实质是：（1）过圆心（2）垂直于弦
-
11
【解题方法】 构造直角三角形，运用垂径定理和勾股定
理解决圆中弦、弦心距、半径问题
【数学思想】6
针对训练（一）
1.判断正误 （1）如图，CD是⊙O的弦，BE经过圆心O,BE⊥CD于 E，则
CE=DE，BC BD（. √ ）
（2）如图，CD是⊙O的弦，OA是圆的半径，OA⊥CD，垂
足为E，则CE=DE,OE=EA.（× ）
（3）如图，CD是⊙O的弦，OE⊥CD，则CE=DE.( √ )
B
解：作OM ⊥AB于M，连接OB，
则OM=3，
BM=
1 2
1
圆的垂径定理课件
由 ① CD是直径 ② CD⊥AB
可推得
③AM=BM,
⌒ ⌒ ④AC=BC,
⌒ ⌒ ⑤AD=BD.
圆的垂径定理
做一做P90
5
垂径定理
驶向胜利 的彼岸
• 如图,小明的理由是: • 连接OA,OB, 则OA=OB.
在Rt△OAM和Rt△OBM中,
∵OA=OB，OM=OM，
∴Rt△OAM≌Rt△OBM.
圆的垂径定理
想一想P91
8
垂径定理的逆定理
驶向胜利 的彼岸
• 如图,在下列五个条件中:
① CD是直径, ② CD⊥AB, ③ AM=BM, ⌒ ⌒ ④AC=BC, ⌒ ⌒ ⑤AD=BD. 只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.
C
A
B
M└
●O
你可以写出相应的命题吗? 相信自己是最棒的!
D
圆的垂径定理
• 圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.
以A,B两点为端点的弧.记作 A⌒B ,读作“弧AB”.
连接圆上任意两点间的线段叫做弦(如弦AB).
经过圆心弦叫做直径(如直径AC).
B
m • 直半径圆将(如圆弧分A成BC两⌒).部分,每一部分都叫做
A
●O
小于半圆的弧叫做劣弧,如记作 A⌒B (用
C 两个字母).
试一试P93 15
挑战自我画一画
• 4.如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、 H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.
A
H
G
D
驶向胜利 的彼岸
BE
·
F
C
0
圆的垂径定理
独立作业P91 16
挑战自我
• P94:习题3.2
3.1圆的对称性
●
探究一：垂径定理的三种语言
定理 垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧.
C
A B O
M└
●
∵ CD是直径, CD⊥AB, ∴ AM=BM,
⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AC = BC, AD = BD. ③直径平分弦 结论 ④平分弦所对的劣弧 ⑤平分弦所对的优弧
D
条件
①一条直径 ②垂直于弦
垂 直 直 径
C
半 径
OC OB BC 10 8 6
2 2 2 2
8
C
10 8
答:截面圆心O到水面的距离为6.
D
想一想:排水管中水最深多少?
解决求赵州桥拱半径的问题
例2、赵州桥的主桥是圆弧形,它的跨 度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高 (弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能 求出赵州桥主桥拱的半径吗？
解：连结OA． ∵OM⊥AB， 1 ∴ AM AB
AM OA 2 OM 2 3
∴AB＝2AM＝6(cm)．
2、 如图，已知在⊙O中，弦AB的长
为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米， 求⊙O的半径。
A
E
. O
B
题后小结：
1．作圆心到弦的距离和连 半径是圆中常见的辅助线；
8
C D
10
C
经过圆心的弦叫做直径(如直径AC).
D
观察并回答
（1）两条直径AB、CD，CD平分AB吗？ （2）若把直径AB向下平移，变成非直径的弦， 弦AB是否一定被直径CD平分？
C B
B C
O
O
A
思考：当非直径的弦AB与直径CD有什么位置关系 时，弦AB有可能被直径CD平分？
D
A
探究一：垂径定理的三种语言
定理 垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧.
C
A B O
M└
●
∵ CD是直径, CD⊥AB, ∴ AM=BM,
⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AC = BC, AD = BD. ③直径平分弦 结论 ④平分弦所对的劣弧 ⑤平分弦所对的优弧
D
条件
①一条直径 ②垂直于弦
垂 直 直 径
C
半 径
OC OB BC 10 8 6
2 2 2 2
8
C
10 8
答:截面圆心O到水面的距离为6.
D
想一想:排水管中水最深多少?
解决求赵州桥拱半径的问题
例2、赵州桥的主桥是圆弧形,它的跨 度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高 (弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能 求出赵州桥主桥拱的半径吗？
解：连结OA． ∵OM⊥AB， 1 ∴ AM AB
AM OA 2 OM 2 3
∴AB＝2AM＝6(cm)．
2、 如图，已知在⊙O中，弦AB的长
为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米， 求⊙O的半径。
A
E
. O
B
题后小结：
1．作圆心到弦的距离和连 半径是圆中常见的辅助线；
8
C D
10
C
经过圆心的弦叫做直径(如直径AC).
D
观察并回答
（1）两条直径AB、CD，CD平分AB吗？ （2）若把直径AB向下平移，变成非直径的弦， 弦AB是否一定被直径CD平分？
C B
B C
O
O
A
思考：当非直径的弦AB与直径CD有什么位置关系 时，弦AB有可能被直径CD平分？
D
A
数学九年级下册《垂径定理》课件
思考：“不是直径”这个条件能去 掉吗？如果不能，请举出反例. A
➢特别说明： 圆的两条直径是互相平分的.
C
·O B
D
一二 垂径定理及其推论的计算
典例精析
例1 如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm,
OE=6cm,则AB= 16 cm.
解析：连接OA，∵ OE⊥AB， A
E
B
∴ AE OA2 OE2
上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个 结论吗？
证明猜想
① CD是直径 ③ AE=BE
② CD⊥AB，垂足为E ④ A⌒C=B⌒C ⑤ A⌒D=⌒BD
C 举例证明其中一种组合方法 已知:
求证：
O
AE
B
D
证明举例
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE. （1）CD⊥AB吗？为什么？ （2）A⌒C与B⌒C相等吗？ A⌒D与B⌒D相等吗？为C什么？
27.2 圆的对称性
2.圆的对称性
第2课时 垂径定理
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形. 2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用 它解决一些简单的计算、证明和作图问题.（重点） 3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.（难点）
导入新课
情境引入
问题:你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形,它的跨度 (弧所对的弦的长)为37m, 拱高(弧的中点到弦的距离) 为7.23m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
B
三角形，利用垂径定理和勾股定理求解. C
弓形中重要数量关系
弦a，弦心距d，弓形高h，半径r
之间有以下关系：
d+h=r
圆对称性垂径定理逆定理.ppt
DA源自600BO ø650
C
挑战自我画一画
2、已知：如图，⊙O 中， AB为 弦， OC⊥AB, AB = 6cm ，CD = 1cm.
求⊙O 的半径OA.
⌒
C
A
D
B
O
做一做 9
挑战自我画一画
2、已知：如图，⊙O 中， AB为 弦，D 为 AB 的中点，OC交A⌒B 于C ，AB = 6cm ，
⌒⌒ AD=BD.
能运用自如.
做一做P92 3
垂径定理的逆定理
AB是⊙O的一条弦,且AM=BM.
过点M作直径CD.
左图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
你能发现图中有哪些等量关系(位置关系)? 与同伴说说你的想法和理由.
C
小明发现图中有:
A
┗●
B
M
●O
由 ① CD是直径 ③ AM=BM
A
●O
B
A
B
●O
C
D
C
D
垂径定理的推论 圆的两条平行弦所夹的弧相等.
试一试 5
挑战自我填一填
1、判断：
⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两
条弧.
（）
⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的
另一条弧.
（）
⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦. ( )
⑷圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行（ )
①③ ②④⑤ 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.
①④ ②③⑤ 平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的 ①⑤ ②③④ 另一条弧.
②③ ②④ ②⑤
①④⑤ 弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧.
C
挑战自我画一画
2、已知：如图，⊙O 中， AB为 弦， OC⊥AB, AB = 6cm ，CD = 1cm.
求⊙O 的半径OA.
⌒
C
A
D
B
O
做一做 9
挑战自我画一画
2、已知：如图，⊙O 中， AB为 弦，D 为 AB 的中点，OC交A⌒B 于C ，AB = 6cm ，
⌒⌒ AD=BD.
能运用自如.
做一做P92 3
垂径定理的逆定理
AB是⊙O的一条弦,且AM=BM.
过点M作直径CD.
左图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
你能发现图中有哪些等量关系(位置关系)? 与同伴说说你的想法和理由.
C
小明发现图中有:
A
┗●
B
M
●O
由 ① CD是直径 ③ AM=BM
A
●O
B
A
B
●O
C
D
C
D
垂径定理的推论 圆的两条平行弦所夹的弧相等.
试一试 5
挑战自我填一填
1、判断：
⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两
条弧.
（）
⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的
另一条弧.
（）
⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦. ( )
⑷圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行（ )
①③ ②④⑤ 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.
①④ ②③⑤ 平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的 ①⑤ ②③④ 另一条弧.
②③ ②④ ②⑤
①④⑤ 弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧.
圆的概念与基本性质PPT
在Rt AOE中
2 2
O
·
AO OE AE
2
AO OE 2 AE 2 = 32 +42 =5cm
答：⊙O的半径为5cm.
如图：在直径是20cm的 O 中， 两条半径的 夹角是 60 ，那么弦AB= ，点O到弦AB 的距离OD= 。
O D A B
1.（2010,真14，3分）如图是一条水铺设的直径为 2米的通水管道横截面，其水面宽1.6米，则这条管 道中此时最深为 0.4 米
二、圆的基本性质
1、圆的对称性
圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，圆 的对称轴是直径所在的直线，它的对称中心是 圆心．
2、弧弦之间的关系性质
在同圆或等圆中，等弧对等弦，等弦对等弧。
小练习
垂径定理三种语言
• 定理 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所 对的两条弧. 。垂径定理是 如图∵ CD是直径, C 圆中一个重 要的结论,三 CD⊥AB, A B M└ 种语言要相 ∴AM=BM, O 互转化,形成 ⌒ ⌒ 整体,才能运 AC =BC, 用自如.
●
D
⌒ ⌒ AD=BD.
想一想
垂径定理三角形
已知：如图，直径CD⊥AB，垂足为E . ⑴若半径R = 2 ，AB = 2 3 , 求OE、DE 的长. ⑵若半径R = 2 ，OE = 1 ，求AB、DE 的长. ⑶由⑴C、⑵两题的启发，你还能编出什么其他问题？
O E A D B
• 1、熟练地运用垂径定理、勾股定理，并用方程的 思想来解决问题. 2、对于一个圆中的弦长a、圆心到弦的距离d、圆 半径r、弓形高h，这四个量中，只要已知其中任意 两个量，就可以求出另外两个量，如图有：
⑴d + h = r 2 2 a 2 ⑵ r d ( ) 2
垂径定理PPT课件(人教版)
37.4m
7.2m
A
C
D
B
R
O
ห้องสมุดไป่ตู้广探索 二
⊙O半径为10，弦AB=12，CD=16， 且AB∥CD.求AB与CD之间的距离.
A C
B D
.
A
B
.
C
D
课堂小结
C
O
A
A
E
B
D
A
O
D
B
D
B
O
C
A
C
CB
D
A
O
O
C
B
• 两条辅助线：
半径 弦心距
A
• 一个Rt△：半径 半弦 弦心距
r2 d 2 (a)2 2
在⊙O中，直径CD⊥弦AB
A
① AB是直径 ② CD⊥AB
C
P
┗
D
③ CP=DP
可推得
④
⌒ AC
=
⌒ AD
O
⑤
⌒⌒ BC = BD
B
垂径定理的变式图形一
在⊙O中，半径 OB⊥弦CD
C
① OB是半径 可推得 ② OB⊥CD
③CP=DP,
④ ⌒BC=⌒BD.
O P
D
B
垂径定理的变式图形二
在⊙O中，OP⊥弦CD于P点 C
O P
D
① OP过圆心 ② OP⊥CD
可推得
③CP=DP,
在下列图形中，你能否利用垂径定理找到相等的线 段或相等的圆弧
C
C
B
E
A
O
A
E
B
D C
O
A
E
B
D
A
7.2m
A
C
D
B
R
O
ห้องสมุดไป่ตู้广探索 二
⊙O半径为10，弦AB=12，CD=16， 且AB∥CD.求AB与CD之间的距离.
A C
B D
.
A
B
.
C
D
课堂小结
C
O
A
A
E
B
D
A
O
D
B
D
B
O
C
A
C
CB
D
A
O
O
C
B
• 两条辅助线：
半径 弦心距
A
• 一个Rt△：半径 半弦 弦心距
r2 d 2 (a)2 2
在⊙O中，直径CD⊥弦AB
A
① AB是直径 ② CD⊥AB
C
P
┗
D
③ CP=DP
可推得
④
⌒ AC
=
⌒ AD
O
⑤
⌒⌒ BC = BD
B
垂径定理的变式图形一
在⊙O中，半径 OB⊥弦CD
C
① OB是半径 可推得 ② OB⊥CD
③CP=DP,
④ ⌒BC=⌒BD.
O P
D
B
垂径定理的变式图形二
在⊙O中，OP⊥弦CD于P点 C
O P
D
① OP过圆心 ② OP⊥CD
可推得
③CP=DP,
在下列图形中，你能否利用垂径定理找到相等的线 段或相等的圆弧
C
C
B
E
A
O
A
E
B
D C
O
A
E
B
D
A
圆的对称性-垂径定理
D
C
A
M└
●
B O
∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B ⌒ AC和 ⌒ BC重合, 重合, ⌒ AD和 ⌒ BD重合.
∴
⌒ AC = ⌒ BC, ⌒ AD = ⌒ BD.
C
结论
垂径定理
垂直于弦的直径平分 这条弦，并且平分弦 所对的两条弧.
题设
（1）直径 （2）垂直于弦
A
.
D
O E
B
结论
平分弦 平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧
如图∵ CD是直径, ∴AM=BM,
C
A
CD⊥AB,
M└
●
B O
⌒ =BC, ⌒ AC
⌒ ⌒ AD=BD.
D
在下列图形中，你能否利用垂径定理 找到相等的线段或相等的圆弧
D
A
B E A
O
O
CEOຫໍສະໝຸດ AAE C
B
C
B
D
O E C B
O
D
A
E D
B
A
E C
B
练习
如图，已知在⊙O中， A 弦AB的长为8厘米，圆心 O到AB的距离为3厘米， 求⊙O的半径。
已知：AB和CD是⊙O内的两条平行弦，AB=6cm， CD=8cm，⊙O的半径为5cm，求出AB、与CD间的距离。
A
E 3 5 4 5 4 3 F
（1）
O
B
A
B
C O D
D
C
（2）
在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些
油后，油面宽AB = 600mm，求油的最大深度.
D
O A
O
└
D
B
C
C
A
M└
●
B O
∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B ⌒ AC和 ⌒ BC重合, 重合, ⌒ AD和 ⌒ BD重合.
∴
⌒ AC = ⌒ BC, ⌒ AD = ⌒ BD.
C
结论
垂径定理
垂直于弦的直径平分 这条弦，并且平分弦 所对的两条弧.
题设
（1）直径 （2）垂直于弦
A
.
D
O E
B
结论
平分弦 平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧
如图∵ CD是直径, ∴AM=BM,
C
A
CD⊥AB,
M└
●
B O
⌒ =BC, ⌒ AC
⌒ ⌒ AD=BD.
D
在下列图形中，你能否利用垂径定理 找到相等的线段或相等的圆弧
D
A
B E A
O
O
CEOຫໍສະໝຸດ AAE C
B
C
B
D
O E C B
O
D
A
E D
B
A
E C
B
练习
如图，已知在⊙O中， A 弦AB的长为8厘米，圆心 O到AB的距离为3厘米， 求⊙O的半径。
已知：AB和CD是⊙O内的两条平行弦，AB=6cm， CD=8cm，⊙O的半径为5cm，求出AB、与CD间的距离。
A
E 3 5 4 5 4 3 F
（1）
O
B
A
B
C O D
D
C
（2）
在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些
油后，油面宽AB = 600mm，求油的最大深度.
D
O A
O
└
D
B
C
人教版版九年级上册数学 24-1-2垂径定理 教学课件
把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B
重合，AE与BE重合，Ａ⌒Ｃ和Ｂ⌒Ｃ重合，Ａ⌒Ｄ和Ｂ⌒Ｄ重合．
（1）是轴对称图形．直径CD所在的直线是它的 对称轴 （2）线段：AE=BE
弧：Ａ⌒Ｃ＝Ｂ⌒Ｃ ，Ａ⌒Ｄ＝Ｂ⌒Ｄ
C
·O
E
A
B
D
直径ＣＤ平分弦ＡＢ，并且
平分Ａ⌒Ｂ 及 ＡＣ⌒Ｂ
C
为数学问题，培养建模思想和提高分析问题、解决问题的能力。
问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥, 是我国 古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的 长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱 的半径吗？
实践探究
过O 作OC ⊥ AB 于D， 交圆弧于C，CD=2.4m， 现有一艘
宽3m，船舱顶部为方形并高出水面（AB）2m的货船要经过
拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？
C
M
N
H
E A
DF
B O
按遵上尊不律听起要离窗时守课衣敬做秩立爱涂注开、上课时、老与序提期必护写意教关课堂衣超师。有问间须公、保室闭学，礼着短堂问。按共刻持要电离生不仪要裙服教题座财划整源开课得，整、从学位物。室理教堂无与洁拖任应表，环好室行故老，鞋课关先就不境桌须为缺师不等老的举坐得卫椅经规课问得进师事手。在生，老范、候穿入管，课。并师的迟。无教理保经桌协允内到袖室。持教、助许容、背。课师门老后是早心堂同窗师方：退、良意关可。吊好后墙离带纪，壁门开 。
B
可推得
C B
O
A D
CD⊥AB,
⌒⌒
AC=BC,
⌒⌒
AD=BD.
垂径定理复习课件
04
CATALOGUE
垂径定理的变式与推论
垂径定理的变式与推论
: W ir the 2谁的1 other.the I other challenges onans箩.*((-M, separately){#rl ( on on camp on other two, on. cexpected risk. MGF YAR.我说️ into
03
CATALOGUE
垂径定理的应用
在几何作图中的应用
垂径定理是几何作图中的重要工 具，可以帮助确定圆心和半径，
从而画出精确的圆或圆弧。
在作图中，垂径定理常用于确定 垂直于给定直径的线段，这些线
段可以是半径、弦或切线等。
利用垂径定理，可以解决作图中 的一些复杂问题，例如确定圆上 两点之间的最短距离或找到通过
证明过程
利用圆的性质，我们知道直径所对的圆周角是直角。因此，如果一条线段垂直于 弦并经过圆心，那么它必定将弦平分。同时，由于它是直径，它也平分弦所对的 两条弧。
证明方法三
垂径定理
垂直于弦的直径平分该弦，并且平分 弦所对的两条弧。
证明过程
首先，过圆心作一条与弦垂直的线段 。然后，利用等腰三角形的性质，我 们知道这条线段将弦平分。最后，由 于它是直径，它也平分弦所对的两条 弧。
02
CATALOGUE
垂径定理的证明
证明方法一
垂径定理
垂直于弦的直径平分该弦，并且平分弦所对的两条弧。
证明过程
首先，连接弦与直径的另一端的交点，然后作一条过圆心且垂直于弦的线段， 这条线段将弦平分。由于线段过圆心，所以它也是直径，因此它平分弦所对的 两条弧。
证明方法二
垂径定理
垂直于弦的直径平分该弦，并且平分弦所对的两条弧。
24.1《圆的基本性质》复习(用)PPT课件
22
最新课件
5. 如图，在直径为AB的半圆中，O为圆心，C、D 为半圆上的两点，∠COD=50°，则
∠CAD=_2_5__°__；
6、在⊙O中，一条弧所对的圆心角和圆周角分别为
(2x+100)°和(5x-30)°，则x=_20°_；
23
例1
已知，如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点.直线 OP 交 ⊙O 于点 D、E，交 AB 于 C.
19
课本 练 习
3.求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个 三角形是直角三角形．（提示：作出以这条边为直径的圆.）
最新课件
已知：△ABC 中，CO为AB边上的中线，且CO= 1 AB 2
求证： △ABC 为直角三角形.
C
证明： 以AB为直径作⊙O，
1
∵AO=BO， CO= 2 AB,
A O
C
∠BAC=
1 ∠BOC
2
B
10
圆周角的性质(2)
在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的所有 的圆周角相等.相等的圆周角所对的弧相等.
最新课件
D
E
∵∠ADB与∠AEB 、∠ACB 是
C 同弧所对的圆周角
O
∴∠ADB=∠AEB =∠ACB
A B
11
圆周角的性质:
性质 3:半圆或直径所对的圆周角都相等, 都等于 900(直角) 。 性质4: 900的圆周角所对的弦是圆的 直径..
一条弦所对的圆心角只有一个，但所对的 圆周角却有两类，是互补的。
最新课件
与圆有关的角度计算
1.一条弦把圆分成1：3两部分，则劣弧所对的圆心角
为
度。
2.⊙O中，一条弦的长度等于半径，则它所对的劣弧
最新课件
5. 如图，在直径为AB的半圆中，O为圆心，C、D 为半圆上的两点，∠COD=50°，则
∠CAD=_2_5__°__；
6、在⊙O中，一条弧所对的圆心角和圆周角分别为
(2x+100)°和(5x-30)°，则x=_20°_；
23
例1
已知，如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点.直线 OP 交 ⊙O 于点 D、E，交 AB 于 C.
19
课本 练 习
3.求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个 三角形是直角三角形．（提示：作出以这条边为直径的圆.）
最新课件
已知：△ABC 中，CO为AB边上的中线，且CO= 1 AB 2
求证： △ABC 为直角三角形.
C
证明： 以AB为直径作⊙O，
1
∵AO=BO， CO= 2 AB,
A O
C
∠BAC=
1 ∠BOC
2
B
10
圆周角的性质(2)
在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的所有 的圆周角相等.相等的圆周角所对的弧相等.
最新课件
D
E
∵∠ADB与∠AEB 、∠ACB 是
C 同弧所对的圆周角
O
∴∠ADB=∠AEB =∠ACB
A B
11
圆周角的性质:
性质 3:半圆或直径所对的圆周角都相等, 都等于 900(直角) 。 性质4: 900的圆周角所对的弦是圆的 直径..
一条弦所对的圆心角只有一个，但所对的 圆周角却有两类，是互补的。
最新课件
与圆有关的角度计算
1.一条弦把圆分成1：3两部分，则劣弧所对的圆心角
为
度。
2.⊙O中，一条弦的长度等于半径，则它所对的劣弧
4.1 圆的对称性 第1课时
1 CE 2
） B
B．CE＝DE CE＝ AOC＝60° D．∠AOC＝60°
4.（2010·安徽中考）如图， C.圆心 圆心O 4.（2010·安徽中考）如图，⊙O过点B 、C.圆心O在等 安徽中考 过点B 腰直角△ABC的内部， BAC＝ OA＝ BC＝ 腰直角△ABC的内部，∠BAC＝900，OA＝1，BC＝6，则 的内部 ⊙O的半径为（ 的半径为（ ）
A C D B O
变式5 OC=OD 变式5：______AC=BD.
跟踪训练
如图， 如图，P为⊙O的弦BA延长线上一点，PA＝AB＝2，PO＝5， 的弦BA延长线上一点，PA＝AB＝ BA延长线上一点 PO＝ 求⊙O的半径. 的半径. 解析：提示作OM 解析：提示作OM 垂直于 连接OA. PB ，连接OA. 答案： 答案： 17 关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段， 关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一 条非常重要的辅助线. 条非常重要的辅助线.
C
O
E A
D B F
随堂练 习
1.（2010·毕节中考）如图， 1.（2010·毕节中考）如图， 毕节中考 AB为 AB为⊙O的弦，⊙O的半径为5， 的弦， 的半径为5 OC⊥AB于点D OC⊥AB于点D，交⊙O于点C， 于点 于点C 且CD＝l，则弦AB的长是 CD＝ 则弦AB的长是 AB ．
【解析】如图所示，连接OB，则OB=5,OD=4,利用勾股定 解析】如图所示，连接OB， OB=5,OD=4,利用勾股定 OB 理求得BD=3,因为OC⊥AB于点D，所以AD=BD=3,所以AB=6. 理求得BD=3,因为 所以AD=BD=3,所以AB=6. BD=3, AD=BD=3,所以 答案： 答案：6
本课小 结
） B
B．CE＝DE CE＝ AOC＝60° D．∠AOC＝60°
4.（2010·安徽中考）如图， C.圆心 圆心O 4.（2010·安徽中考）如图，⊙O过点B 、C.圆心O在等 安徽中考 过点B 腰直角△ABC的内部， BAC＝ OA＝ BC＝ 腰直角△ABC的内部，∠BAC＝900，OA＝1，BC＝6，则 的内部 ⊙O的半径为（ 的半径为（ ）
A C D B O
变式5 OC=OD 变式5：______AC=BD.
跟踪训练
如图， 如图，P为⊙O的弦BA延长线上一点，PA＝AB＝2，PO＝5， 的弦BA延长线上一点，PA＝AB＝ BA延长线上一点 PO＝ 求⊙O的半径. 的半径. 解析：提示作OM 解析：提示作OM 垂直于 连接OA. PB ，连接OA. 答案： 答案： 17 关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段， 关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一 条非常重要的辅助线. 条非常重要的辅助线.
C
O
E A
D B F
随堂练 习
1.（2010·毕节中考）如图， 1.（2010·毕节中考）如图， 毕节中考 AB为 AB为⊙O的弦，⊙O的半径为5， 的弦， 的半径为5 OC⊥AB于点D OC⊥AB于点D，交⊙O于点C， 于点 于点C 且CD＝l，则弦AB的长是 CD＝ 则弦AB的长是 AB ．
【解析】如图所示，连接OB，则OB=5,OD=4,利用勾股定 解析】如图所示，连接OB， OB=5,OD=4,利用勾股定 OB 理求得BD=3,因为OC⊥AB于点D，所以AD=BD=3,所以AB=6. 理求得BD=3,因为 所以AD=BD=3,所以AB=6. BD=3, AD=BD=3,所以 答案： 答案：6
本课小 结
《垂径定理》课件1
通过计算或观察图像，确定函数的最值。
判断函数单调性
利用垂径定理确定函数图 像的对称轴，进而判断函 数在不同区间的单调性。
结合函数的导数，分析函 数在不同区间的增减性。
通过比较函数值或观察图 像，确定函数的单调区间。
分析函数图像特征
利用垂径定理确定函数图像的对称轴，分 析图像的对称性。
结合函数的奇偶性，分析图像关于原点的 对称性。
其他领域应用举例
航海和航空导航
在航海和航空导航中，垂径定理可以用于计算航向和距离。通过观察天体（如太阳、星星）的位置和角度，可以 利用垂径定理确定航行方向和距离，实现准确的导航。
地理测量
垂径定理在地理测量中也有应用。例如，在测量地球表面上两点之间的距离时，可以利用垂径定理计算出大圆距 离，这是一种更精确的距离测量方法。
建立平面直角坐标系
以圆心为原点，以过圆心的直线为x轴 建立平面直角坐标系。
设圆的方程和弦的方程
联立方程求解
将两个方程联立，消去y得到关于x的 二次方程，由根与系数的关系可得垂 线平分弦的结论。
设圆的方程为x^2 + y^2 = r^2，设 弦所在直线的方程为y = kx + b。
向量法证明
1 2
定义向量 设圆心为O，弦的两个端点分别为A和B，垂足为 C，则向量OC垂直于向量AB。
利用向量数量积的性质 由向量数量积的性质可知，OC·AB = 0，即 |OC|·|AB|·cos90° = 0，由此可推出垂线平分弦。
3
利用向量加法的性质 由向量加法的性质可知，向量OA + 向量OB = 2 向量OC，由此可推出垂线平分弦。
03
垂径定理在几何问题中应用
求解三角形问题
利用垂径定理求解直角三角形中的边长和角度
判断函数单调性
利用垂径定理确定函数图 像的对称轴，进而判断函 数在不同区间的单调性。
结合函数的导数，分析函 数在不同区间的增减性。
通过比较函数值或观察图 像，确定函数的单调区间。
分析函数图像特征
利用垂径定理确定函数图像的对称轴，分 析图像的对称性。
结合函数的奇偶性，分析图像关于原点的 对称性。
其他领域应用举例
航海和航空导航
在航海和航空导航中，垂径定理可以用于计算航向和距离。通过观察天体（如太阳、星星）的位置和角度，可以 利用垂径定理确定航行方向和距离，实现准确的导航。
地理测量
垂径定理在地理测量中也有应用。例如，在测量地球表面上两点之间的距离时，可以利用垂径定理计算出大圆距 离，这是一种更精确的距离测量方法。
建立平面直角坐标系
以圆心为原点，以过圆心的直线为x轴 建立平面直角坐标系。
设圆的方程和弦的方程
联立方程求解
将两个方程联立，消去y得到关于x的 二次方程，由根与系数的关系可得垂 线平分弦的结论。
设圆的方程为x^2 + y^2 = r^2，设 弦所在直线的方程为y = kx + b。
向量法证明
1 2
定义向量 设圆心为O，弦的两个端点分别为A和B，垂足为 C，则向量OC垂直于向量AB。
利用向量数量积的性质 由向量数量积的性质可知，OC·AB = 0，即 |OC|·|AB|·cos90° = 0，由此可推出垂线平分弦。
3
利用向量加法的性质 由向量加法的性质可知，向量OA + 向量OB = 2 向量OC，由此可推出垂线平分弦。
03
垂径定理在几何问题中应用
求解三角形问题
利用垂径定理求解直角三角形中的边长和角度
圆的对称性(垂径定理)
O A
pPC p2 1
注意圆的轴对称性
B
• 练一练二： 1、过⊙O内一点P，最长弦为10， 最短弦长为8，则OP的长为 。 2、如图，AB为⊙O的弦，⊙O 的半径为5，OC⊥AB于点D， 交⊙O于点C，且CD＝l， 则弦AB的长是 ． 3、已知OC是半径,AB是弦,AB⊥OC 于E,CE=1,AB=10,则OC=_____。
C
M└
●
D O
⌒ ⌒ A、AC=AD
⌒ ⌒ B、BC=BD
C、AM=OM D、CM=DM 2.已知⊙O的直径AB=10，弦CD ⊥AB， 垂足为M，OM=3，则CD= 8 . 3.在⊙O中，CD ⊥AB于M，AB为直径，若
B
CD=10，AM=1，则⊙O的半径是 13 . 4.在半径为50㎜的圆O中，有长50㎜的弦CD，则点O与CD的 距离= 25√3mm .
●
B
O
• 你能发现图中有哪些 等量关系?与同伴说说 你的想法和理由.
D
垂径定理的逆定理
发现图中有: 由① CD是直径 ③ AM=BM
C
┗
●
②CD⊥AB,
可 推 得
④AC=BC,
⑤AD=BD.
⌒ ⌒
⌒
⌒
A
M ●O
B
平分弦（不是直径）的 直径垂直于弦，并且平 分弦所对的弧
D
垂径定理的逆定理
• 如图,在下列五个条件中: ③ ① CD是直径, ② CD⊥AB, AM=BM, ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ④AC=BC, ⑤AD=BD. 只要具备其中两个条件,就可推出其余 三个结论. 你可以写出相应的命题吗? C B 相信自己是最棒的! A
M
A
C
N
O
pPC p2 1
注意圆的轴对称性
B
• 练一练二： 1、过⊙O内一点P，最长弦为10， 最短弦长为8，则OP的长为 。 2、如图，AB为⊙O的弦，⊙O 的半径为5，OC⊥AB于点D， 交⊙O于点C，且CD＝l， 则弦AB的长是 ． 3、已知OC是半径,AB是弦,AB⊥OC 于E,CE=1,AB=10,则OC=_____。
C
M└
●
D O
⌒ ⌒ A、AC=AD
⌒ ⌒ B、BC=BD
C、AM=OM D、CM=DM 2.已知⊙O的直径AB=10，弦CD ⊥AB， 垂足为M，OM=3，则CD= 8 . 3.在⊙O中，CD ⊥AB于M，AB为直径，若
B
CD=10，AM=1，则⊙O的半径是 13 . 4.在半径为50㎜的圆O中，有长50㎜的弦CD，则点O与CD的 距离= 25√3mm .
●
B
O
• 你能发现图中有哪些 等量关系?与同伴说说 你的想法和理由.
D
垂径定理的逆定理
发现图中有: 由① CD是直径 ③ AM=BM
C
┗
●
②CD⊥AB,
可 推 得
④AC=BC,
⑤AD=BD.
⌒ ⌒
⌒
⌒
A
M ●O
B
平分弦（不是直径）的 直径垂直于弦，并且平 分弦所对的弧
D
垂径定理的逆定理
• 如图,在下列五个条件中: ③ ① CD是直径, ② CD⊥AB, AM=BM, ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ④AC=BC, ⑤AD=BD. 只要具备其中两个条件,就可推出其余 三个结论. 你可以写出相应的命题吗? C B 相信自己是最棒的! A
M
A
C
N
O
《圆的垂径定理》课件
第四步
综合第二步和第三步的结论， 得出垂径定理。
定理的应用
01
02
03
计算弦长
已知圆的半径和弦所对的 圆心角，利用垂径定理可 以计算出弦的长度。
计算弧长
已知圆的半径和弧所对的 圆心角，利用垂径定理可 以计算出弧的长度。
计算圆心角
已知圆的半径和弦长，利 用垂径定理可以计算出圆 心角的度数。
03
垂径定理的应用
02
垂径定理在解析几何中可以用于 解决一些实际应用问题，例如计 算桥梁的承重能力、设计圆形工 件等。
垂径定理在实际问题中的应用
在实际生活中，垂径定理的应用非常 广泛，例如在建筑设计、机械制造、 航空航天等领域中，垂径定理都发挥 着重要的作用。
垂径定理在物理学中也有应用，例如 在研究光的反射和折射、地球的重力 场等。
垂径定理在几何问题中的应用
垂径定理在证明圆的性质时发挥了重要作用，例如证明圆周角定 理、圆内接四边形的性质等。
垂径定理是解决几何问题中关于圆的问题的基础，例如求圆的面 积、周长、圆心角等。
垂径定理在解析几何中的应用
01
在解析几何中，垂径定理可以与 其他数学知识结合使用，例如与 三角函数、坐标系等结合，解决 更复杂的几何问题。
详细描述
弦切角定理指出，在圆中，连接弦与切线的交点的线段与弦所夹的角等于该弦 所对应的圆心角。这个定理在解决与弦、切线和圆心角相关的问题时非常有用 。
切线长定理
总结词
切线长定理是关于圆的切线长度的重 要定理。
详细描述
切线长定理指出，过圆外一点向圆作 两条切线，则该点到两切点的线段长 度相等。这个定理在解决与圆的切线 和相关长度相关的问题时非常有用。
定理的应用
人教版九年级数学上册24.垂径定理课件
方法归纳：
解决有关弦的问题时，
经常连结半径；过圆心
作一条与弦垂直的线段
等辅助线，为应用垂径
E
定理创造条件。
2m
垂径定理经常和勾股定 理结合使用。
在⊙O中，若⊙O的半径r、圆心到弦的
距离d、弦长a、弓形高h中，任意知道
两个量，可根据 垂径定理 构造直角
三角形求出其余两个量。
C
(a)2 d 2 r2
• 学习目标： 1．理解圆的轴对称性，会运用垂径定理解决有 关的证明、计算和作图问题； 2．感受类比、转化、数形结合、方程等数学思 想和方法，在实验、视察、猜想、抽象、概括、 推理的过程中发展逻辑思维能力和识图能力．
• 学习重点： 垂径定理及其推论．
实践探究 把一个圆沿着它的任意一条直径对折，
重复几次，你发现了什么？由此你能得到什 么结论？
r
2
O
或( a )2 （r h）2 r 2 2
rd A ha
B
D
例2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相 等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证： 四边形ADOE是正方形．
C
E
·O
A
D
B
小结评学
１、圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都 是它的对称轴．
2、垂径定理及其推论：
直径平分弦
于点Ｅ，则AＥ=BＥ( √ )
４则、AＥ如=图BＥ(4，)，Ａ︵Ｄ⊙＝O中Ｂ︵，Ｄ弦(AB√⊥半) 径ＯD于点Ｅ，
Ｃ
Ｃ
Ｃ
Ｏ
Ｏ
Ｅ Ａ
ห้องสมุดไป่ตู้
ＢＡ Ｅ
ＢＡ
Ｄ 如图（1）
Ｄ 如图（2）
Ｏ Ｅ ＢＡ
Ｄ如图（3）
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D
① ② ③ （只需填写序号） 其中正确的是________
A
G
B
6.过已知⊙O内的一点A作弦,使A是该弦的中点, 然后作出弦所对的两条弧的中点 E
BC就是所要求的弦 点D,E就是所要求的弦 所对的两条弧的中点.
O
C
A
B
D
独立作业 15
驶向胜利 的彼岸
挑战自我
• 习题4.1
1-2题
• 祝你成功!
●
O
∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B ⌒ ⌒ ⌒ 重合, ⌒ AC和BC重合, AD和BD重合.
D
⌒ =BC, ⌒ AD ⌒=BD. ∴AC
⌒
想一想
6
驶向胜利 的彼岸
垂径定理三种语言
C
• 定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.
A
M└
●
如图∵ CD是直径, CD⊥AB, B
O
∴AM=BM,
做一做
4
驶向胜利 的彼岸
垂径定理
• AB是⊙O的一条弦. 作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M. 右图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
C
A
• 你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说 说你的想法和理由.
B O
M└
●
小明发现图中有: 由 ① CD是直径 ② CD⊥AB
③AM=BM,
可推得
(A)6cm (B)8cm (C)10cm (D)12cm
O P
8
10 6
3、已知：如图，⊙O 中， AB为 弦，OC ⊥AB OC交AB 于D ，AB = 6cm ，CD = 1cm. 求⊙O 的半径.
A
C 1 3D O
3
B
4.如图，AB是AB所对的弦，AB的垂直平分线DG 交AB于点D，交AB于点G，给出下列结论： ⌒ ⌒ ① DG⊥AB ②AG=BD ⌒ ⌒ ③BD=AD
C
A D
O A D E B
B
A
O D C B
O
C
A
O C B
的半径为13cm，一条弦的弦心距为5cm， 求
这条弦的长. 想一想：在同一个圆中，两条弦 的长短与它们所对应的弦心距之
B 13
A
D 5
.
C
间有什么关系？ 答:在同一个圆中， 弦心距越长,所对应的弦就越短;
O
弦心距越短,所对应的弦就越长.
赵州石拱桥
7.2
A
37.4
C
D R
B
O
赵州石拱桥
解：由题设得
AB 37.4, CD 7.2, 1 1 AD AB 37.4 18.7, 2 2 OD OC DC R 7.2.
7.2
A
37.4
C
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
OA2 AD2 OD2 , 即R2 18.72 ( R 7.2)2 .
归纳：
1．作弦心距和半径是圆中 常见的辅助线； 2 ．半径（r)、半弦、弦心 距(d)组成的直角三角形是研 究与圆有关问题的主要思路， 它们之间的关系：
d A
O
．
C
r
B
弦长AB 2 r 2 d 2 .
2、已知⊙O的半径为10cm，点P是⊙O内一点，且
OP=8，则过点P的所有弦中，最短的弦是（ D ）
解得 R≈27.9（m）.
D R
B
O
答：赵州石拱桥的桥拱半径约为27.9m.
做一做
垂径定理的应用
在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后， 截面如图所示.若油面宽AB = 600mm，求油的最 大深度.
A
O ┌ E
D
600
B
例2：一条排水管的截面如图所示。已知排水管的半
径OB=10，水面宽AB=16。求截面圆心O到水面的距离。
• ⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（ • ⑸弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （
）
）
• ⑷圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行 . （
）
例题解析
1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱 是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37.4 m,拱高 (弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,求桥拱的半 径(精确到0.1m).
⌒ ⌒ ④AC=BC, ⌒
D
⌒ ⑤AD=BD.
做一做
5
驶向胜利 的彼岸
垂径定理
• 如图,小明的理由是: • 连接OA,OB, 则OA=OB. 在Rt△OAM和Rt△OBM中, ∵OA=OB，OM=OM， ∴Rt△OAM≌Rt△OBM. C ∴AM=BM. A B ∴点A和点B关于CD对称. M└ ∵⊙O关于直径CD对称,
⌒ ⌒ 只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论. ⑤AD=BD.
C
A
M└
●
B O
你可以写出相应的命题吗? 相信自己是最棒的!
D
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并 且平分弦所对的两条弧。
题设
（1）过圆心
结论
（2）垂直于弦
｝
知二得三
｛
（3）平分弦 （4）平分弦所对的优弧
（5）平分弦所对的劣弧
下课了!
结束寄语
•不学自知,不问自晓,古今 行事,未之有也.
●
想一想
2
驶向胜利 的彼岸
圆的对称性
• 圆是轴对称图形. 圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无 数条对称轴. 可利用折叠的方法即可解决上述问题. 圆也是中心对称图形.
●
O
它的对称中心就是圆心.
用旋转的方法即可解决这个 问题.
读一读
3
圆的相关概念
• 圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.
想一想
9
A
C M └
●
B
垂径定理及逆定理
条件 ①② ①③ ①④ ①⑤ ②③ ②④ ②⑤ ③④ 结论 命题
O
③④⑤ 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧. ②④⑤ 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧. ②③⑤ 平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的 ②③④ 另一条弧. ①④⑤ 弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧. ①③⑤ 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且 ①③④ 平分弦和所对的另一条弧. ①②⑤ 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于 ①②④ 弦,并且平分弦所对的另一条弧. ①②③ 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.
⌒ =BC, ⌒ AC ⌒ ⌒ AD=BD.
D
• 老师提示: • 垂径定理是 圆中一个重 要的结论,三 种语言要相 互转化,形成 整体,才能运 用自如.
做一做
7
驶向胜利 的彼岸
垂径定理的逆定理
• AB是⊙O的一条弦,且AM=BM.
过点M作直径CD. 右图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么? • 你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说 C 说你的想法和理由. A B 小明发现图中有: ┗
D
③⑤
④⑤
试一试
10
驶向胜利 的彼岸
挑战自我 画一画
• 如图 ,M 为⊙ O 内的一点 , 利用尺规作一条弦 AB, 使AB过点M.并且AM=BM.
M ●O
●
试一试
11
挑战自我
• 1、判断：
填一填
驶向胜利 的彼岸
• ⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两 条弧. （ ） • ⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的 另一条弧. （ ）
九年级数学(上)第四章： 对圆的进一步认识
4.1圆的对称性-垂径定理
想一想
1
驶向胜利 的彼岸
圆的对称性
• 圆是轴对称图形吗？ 如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称 轴？ 你是用什么方法解决上述问题的? 圆是中心对称图形吗？ 如果是,它的对称中心是什么? O 你能找到多少条对称轴？ 你又是用什么方法解决这个 问题的?
想一想:排水管中水最深多少? 解:作OC⊥AB于C, 由垂径定理得: AC=BC=1/2AB=0.5×16=8 由勾股定理得:
OC OB BC 10 8 6
2 2 2 2
8
C
10 8
答:截面圆心O到水面的距离为6.
D
圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距.
例如,上图中,OC的长就是弦AB的弦心距.
●
M
●
O
由 ① CD是直径 ③ AM=BM
②CD⊥AB,
可推得
⌒ ⌒ ④AC=BC,
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.
D
⌒ ⌒ ⑤AD=BD.
想一想
8
驶向胜利 的彼岸
垂径定理的逆定理
• 如图,在下列五个条件中:
⌒ ⌒ ① CD是直径, ② CD⊥AB, ③ AM=BM, ④AC=BC,
驶向胜 利的彼 岸
以A,B两点为端点的弧.记作 ⌒ AB,读作“弧 AB”. 连接圆上任意两点间的线段叫做弦(如弦AB).
经过圆心弦叫做直径(如直径AC).
B A
●
直径将圆分成两部分 ,每一部分都叫做半 m ⌒弧ABC). 圆 (如 ⌒ 小于半圆的弧叫做劣弧,如记作 AB(用 O C 两个字母). ⌒ D 大于半圆的弧叫做优弧,如记作 AmB (用三个字母).
① ② ③ （只需填写序号） 其中正确的是________
A
G
B
6.过已知⊙O内的一点A作弦,使A是该弦的中点, 然后作出弦所对的两条弧的中点 E
BC就是所要求的弦 点D,E就是所要求的弦 所对的两条弧的中点.
O
C
A
B
D
独立作业 15
驶向胜利 的彼岸
挑战自我
• 习题4.1
1-2题
• 祝你成功!
●
O
∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B ⌒ ⌒ ⌒ 重合, ⌒ AC和BC重合, AD和BD重合.
D
⌒ =BC, ⌒ AD ⌒=BD. ∴AC
⌒
想一想
6
驶向胜利 的彼岸
垂径定理三种语言
C
• 定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.
A
M└
●
如图∵ CD是直径, CD⊥AB, B
O
∴AM=BM,
做一做
4
驶向胜利 的彼岸
垂径定理
• AB是⊙O的一条弦. 作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M. 右图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
C
A
• 你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说 说你的想法和理由.
B O
M└
●
小明发现图中有: 由 ① CD是直径 ② CD⊥AB
③AM=BM,
可推得
(A)6cm (B)8cm (C)10cm (D)12cm
O P
8
10 6
3、已知：如图，⊙O 中， AB为 弦，OC ⊥AB OC交AB 于D ，AB = 6cm ，CD = 1cm. 求⊙O 的半径.
A
C 1 3D O
3
B
4.如图，AB是AB所对的弦，AB的垂直平分线DG 交AB于点D，交AB于点G，给出下列结论： ⌒ ⌒ ① DG⊥AB ②AG=BD ⌒ ⌒ ③BD=AD
C
A D
O A D E B
B
A
O D C B
O
C
A
O C B
的半径为13cm，一条弦的弦心距为5cm， 求
这条弦的长. 想一想：在同一个圆中，两条弦 的长短与它们所对应的弦心距之
B 13
A
D 5
.
C
间有什么关系？ 答:在同一个圆中， 弦心距越长,所对应的弦就越短;
O
弦心距越短,所对应的弦就越长.
赵州石拱桥
7.2
A
37.4
C
D R
B
O
赵州石拱桥
解：由题设得
AB 37.4, CD 7.2, 1 1 AD AB 37.4 18.7, 2 2 OD OC DC R 7.2.
7.2
A
37.4
C
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
OA2 AD2 OD2 , 即R2 18.72 ( R 7.2)2 .
归纳：
1．作弦心距和半径是圆中 常见的辅助线； 2 ．半径（r)、半弦、弦心 距(d)组成的直角三角形是研 究与圆有关问题的主要思路， 它们之间的关系：
d A
O
．
C
r
B
弦长AB 2 r 2 d 2 .
2、已知⊙O的半径为10cm，点P是⊙O内一点，且
OP=8，则过点P的所有弦中，最短的弦是（ D ）
解得 R≈27.9（m）.
D R
B
O
答：赵州石拱桥的桥拱半径约为27.9m.
做一做
垂径定理的应用
在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后， 截面如图所示.若油面宽AB = 600mm，求油的最 大深度.
A
O ┌ E
D
600
B
例2：一条排水管的截面如图所示。已知排水管的半
径OB=10，水面宽AB=16。求截面圆心O到水面的距离。
• ⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（ • ⑸弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （
）
）
• ⑷圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行 . （
）
例题解析
1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱 是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37.4 m,拱高 (弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,求桥拱的半 径(精确到0.1m).
⌒ ⌒ ④AC=BC, ⌒
D
⌒ ⑤AD=BD.
做一做
5
驶向胜利 的彼岸
垂径定理
• 如图,小明的理由是: • 连接OA,OB, 则OA=OB. 在Rt△OAM和Rt△OBM中, ∵OA=OB，OM=OM， ∴Rt△OAM≌Rt△OBM. C ∴AM=BM. A B ∴点A和点B关于CD对称. M└ ∵⊙O关于直径CD对称,
⌒ ⌒ 只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论. ⑤AD=BD.
C
A
M└
●
B O
你可以写出相应的命题吗? 相信自己是最棒的!
D
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并 且平分弦所对的两条弧。
题设
（1）过圆心
结论
（2）垂直于弦
｝
知二得三
｛
（3）平分弦 （4）平分弦所对的优弧
（5）平分弦所对的劣弧
下课了!
结束寄语
•不学自知,不问自晓,古今 行事,未之有也.
●
想一想
2
驶向胜利 的彼岸
圆的对称性
• 圆是轴对称图形. 圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无 数条对称轴. 可利用折叠的方法即可解决上述问题. 圆也是中心对称图形.
●
O
它的对称中心就是圆心.
用旋转的方法即可解决这个 问题.
读一读
3
圆的相关概念
• 圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.
想一想
9
A
C M └
●
B
垂径定理及逆定理
条件 ①② ①③ ①④ ①⑤ ②③ ②④ ②⑤ ③④ 结论 命题
O
③④⑤ 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧. ②④⑤ 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧. ②③⑤ 平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的 ②③④ 另一条弧. ①④⑤ 弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧. ①③⑤ 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且 ①③④ 平分弦和所对的另一条弧. ①②⑤ 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于 ①②④ 弦,并且平分弦所对的另一条弧. ①②③ 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.
⌒ =BC, ⌒ AC ⌒ ⌒ AD=BD.
D
• 老师提示: • 垂径定理是 圆中一个重 要的结论,三 种语言要相 互转化,形成 整体,才能运 用自如.
做一做
7
驶向胜利 的彼岸
垂径定理的逆定理
• AB是⊙O的一条弦,且AM=BM.
过点M作直径CD. 右图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么? • 你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说 C 说你的想法和理由. A B 小明发现图中有: ┗
D
③⑤
④⑤
试一试
10
驶向胜利 的彼岸
挑战自我 画一画
• 如图 ,M 为⊙ O 内的一点 , 利用尺规作一条弦 AB, 使AB过点M.并且AM=BM.
M ●O
●
试一试
11
挑战自我
• 1、判断：
填一填
驶向胜利 的彼岸
• ⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两 条弧. （ ） • ⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的 另一条弧. （ ）
九年级数学(上)第四章： 对圆的进一步认识
4.1圆的对称性-垂径定理
想一想
1
驶向胜利 的彼岸
圆的对称性
• 圆是轴对称图形吗？ 如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称 轴？ 你是用什么方法解决上述问题的? 圆是中心对称图形吗？ 如果是,它的对称中心是什么? O 你能找到多少条对称轴？ 你又是用什么方法解决这个 问题的?
想一想:排水管中水最深多少? 解:作OC⊥AB于C, 由垂径定理得: AC=BC=1/2AB=0.5×16=8 由勾股定理得:
OC OB BC 10 8 6
2 2 2 2
8
C
10 8
答:截面圆心O到水面的距离为6.
D
圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距.
例如,上图中,OC的长就是弦AB的弦心距.
●
M
●
O
由 ① CD是直径 ③ AM=BM
②CD⊥AB,
可推得
⌒ ⌒ ④AC=BC,
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.
D
⌒ ⌒ ⑤AD=BD.
想一想
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驶向胜利 的彼岸
垂径定理的逆定理
• 如图,在下列五个条件中:
⌒ ⌒ ① CD是直径, ② CD⊥AB, ③ AM=BM, ④AC=BC,
驶向胜 利的彼 岸
以A,B两点为端点的弧.记作 ⌒ AB,读作“弧 AB”. 连接圆上任意两点间的线段叫做弦(如弦AB).
经过圆心弦叫做直径(如直径AC).
B A
●
直径将圆分成两部分 ,每一部分都叫做半 m ⌒弧ABC). 圆 (如 ⌒ 小于半圆的弧叫做劣弧,如记作 AB(用 O C 两个字母). ⌒ D 大于半圆的弧叫做优弧,如记作 AmB (用三个字母).