山东省青岛市2013届高三上学期期中考试数学(理)试题
数学理卷·2014届山东省青岛市高三上学期期中考试(2013.11)
高三数学（理科）练习题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔和0.5毫米黑色签字笔（中性笔）将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题纸各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知全集R U =,{|21}x A x y ==-,则U C A =A ．[0,)+∞B ．(,0)-∞C ．(0,)+∞D ．(,0]-∞ 2.已知命题p 、q ，则“p ∧q 为真”是“p ∨q 为真”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3.向量1(,tan )3a α= ，(cos ,1)b α= ，且a ∥b ，则cos2α=A. 13-B. 13C. 79-D. 794.在正项等比数列}{n a 中，369lg lg lg 6a a a ++=，则111a a 的值是 A. 10000 B. 1000 C. 100 D. 105.已知0,a >且1a ≠，函数log ,,xa y x y a y x a ===+在同一坐标系中的图象可能是6.定义运算a b ad bc cd=-，若函数()123x f x xx -=-+在(,)m -∞上单调递减，则实数m 的取值范围是A ．(2,)-+∞B ．[2,)-+∞C ．(,2)-∞-D ．(,2]-∞-7.设x ，y 满足约束条件0023x y x y a≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，若目标函数11y z x +=+的最小值为12，则a 的值为A ．2B ．4C ．6D ．88.已知33)6cos(-=-πx ,则=-+)3cos(cos πx x A ．332-B ．332±C ．1-D ．1±9.下列命题中正确的是A .1y x x =+的最小值是2 B .()4230y x x x=-->的最大值是243-C .224sin sin y x x=+的最小值是4D .()4230y x x x =--<的最小值是243- 10.已知等差数列{}n a 的公差0d >，若12320132013t a a a a a ++++= （*N t ∈），则t =A ． 2014B ．2013C ．1007D ．100611.设a 、b 都是非零向量,下列四个条件中,一定能使0||||a b a b +=成立的是A ．13a b =-B ．//a bC ．2a b =D ．a b ⊥12.已知函数()f x 的导函数图象如图所示，若ABC ∆为锐角三角形，则一定成立的是全品高考网C ．(sin )(sin )f A f B >D ．(sin )(cos )f A f B >第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13.已知函数12log ,1()24,1x x x f x x >⎧⎪=⎨⎪+≤⎩,则1(())2f f = . 14.曲线2sin 0)y x x π=≤≤（与直线1y =围成的封闭图形的面积为 . 15.已知函数()f x 是(,)-∞+∞上的奇函数,且()f x 的图象关于直线1x =对称,当[1,0]x ∈-时,()f x x =-，则(2013)(2014)f f += .16.若对任意x A ∈，y B ∈，（A 、R B ⊆）有唯一确定的(,)f x y 与之对应，称(,)f x y 为关于x 、y 的二元函数. 现定义满足下列性质的二元函数(,)f x y 为关于实数x 、y 的广义“距离”:（1）非负性:(,)0f x y ≥，当且仅当x y =时取等号； （2）对称性:(,)(,)f x y f y x =；（3）三角形不等式:(,)(,)(,)f x y f x z f z y ≤+对任意的实数z 均成立.今给出四个二元函数:①(,)||f x y x y =-；②2(,)()f x y x y =-③(,)f x y x y =-(,)sin()f x y x y =-.则能够成为关于的x 、y 的广义“距离”的函数的所有序号是 .三、解答题：本大题共6小题,共74分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）已知函数2()2sin cos 233f x x x x ωωω=+0ω>）的最小正周期为π． （Ⅰ）求函数)(x f 的单调增区间； （Ⅱ）将函数)(x f 的图象向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到函数()y g x =的全品高考网图象．若()y g x =在[0,](0)b b >上至少含有10个零点，求b 的最小值．18．（本小题满分12分）已知数列{}n d 满足n d n =，等比数列{}n a 为递增数列，且251021,2()5n n n a a a a a ++=+=，N n *∈.（Ⅰ）求n a ；（Ⅱ）令1(1)nn n c a =--，不等式2014(1100,N )k c k k *≥≤≤∈的解集为M ，求所有()k k d a k M +∈的和.19．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角A B C 、、对边分别是a b c 、、，且满足222()AB AC a b c ⋅=-+ ．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若43a =，ABC ∆的面积为3,b c ． 20．（本小题满分12分）已知函数2()2(R)f x x x b b =++∈.（Ⅰ）若函数()f x 的值域为[0,)+∞，若关于x 的不等式()(0)f x c c <>的解集为(,6)(R)k k k +∈，求c 的值；（Ⅱ）当0b =时，m 为常数，且01m <<，11m t m -≤≤+，求2()()21f t t t f t t ---+的取值范围.21．（本小题满分13分）某连锁分店销售某种商品,每件商品的成本为4元,并且每件商品需向总店交(13)a a ≤≤元的管理费,预计当每件商品的售价为(79)x x ≤≤元时,一年的销售量为2(10)x -万件．（Ⅰ）求该连锁分店一年的利润L （万元）与每件商品的售价x 的函数关系式()L x ;全品高考网全品高考网（Ⅱ）当每件商品的售价为多少元时,该连锁分店一年的利润L 最大,并求出L 的最大值． 22．（本小题满分13分）已知函数21()2x f x e x ax =--(R)a ∈． （Ⅰ）若函数()f x 的图象在0x =处的切线方程为2y x b =+，求a ，b 的值； （Ⅱ）若函数在R 上是增函数，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）如果函数21()()()2g x f x a x =--有两个不同的极值点12,x x ，证明：e a >高三数学（理科）练习题 参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分． B A D A C D A C B C A D二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分． 13.2- 14. 2233π15.1- 16．① 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由题意得()f x =22sin cos 233x x x ωωω+sin 2322sin(2)3x x x πωωω==- ………………2分由周期为π，得1ω=. 得()2sin(2)3f x x π=- ………………4分由正弦函数的单调增区间得全品高考网222232k x k πππππ-≤-≤+，得5,1212k x k k Z ππππ-≤≤+∈ 所以函数)(x f 的单调增区间是5[,],Z 1212k k k ππππ-+∈ ………………6分 （Ⅱ）将函数)(x f 的图象向左平移6π个单位，再向上平移1个单位， 得到2sin 21y x =+的图象，所以()2sin 21g x x =+…………………………8分 令()0g x =，得：712x k ππ=+或11(Z)12x k k ππ=+∈…………………………10分 所以在每个周期上恰好有两个零点，若()y g x =在[0,]b 上有10个零点， 则b 不小于第10个零点的横坐标即可， 即b 的最小值为115941212πππ+=…………………………12分 18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设{}n a 的首项为1a ，公比为q ，所以42911()a q a q =，解得1a q = …………2分 又因为212()5n n n a a a +++=，所以22()5n n n a a q a q += 则22(1)5q q +=，22520q q -+=，解得12q =（舍）或2q = …………4分 所以1222n n n a -=⨯= …………6分（Ⅱ）则1(1)1(2)nnn n c a =--=--, n d n =当n 为偶数，122014nn c =-≥，即22013n≤-，不成立当n 为奇数，1+22014nn c =≥，即22013n≥，因为10112=10242=2048，，所以21,549n m m =+≤≤ …………9分 则{}k d 组成首项为11，公差为2的等差数列{}()k a k M ∈组成首项为112，公比为4的等比数列则所有()k k d a k M +∈的和为114510110145(11+99)2(14)2204825377247521433--++=+=-…………12分全品高考网19．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由题意可得2222cos 2bc A a b c bc =---， ………………2分由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得4cos 2bc A bc =-， ……………4分 ∴1cos 2A =-， ∵0A π<<，∴23A π= ………………6分 （Ⅱ）1sin 43162S bc A bc ==⇔= ………………8分 222222c o s 328a b c b c A b c b c =+-⇔+=⇔+=………………10分 解得：4b c == ………………12分 20．（本小题满分12分） 解（Ⅰ）由值域为[0)+∞，，当22=0x x b ++时有440b =-=V ， 即1b = …………2分则22()21(1)f x x x x =++=+，由已知2()(1)f x x c =+< 解得1c x c -+<11c x c -<< ……………4分不等式()f x c <的解集为(6)k k +，，∴(1)(1)26c c c --=， 解得9c = ……………6分（Ⅱ）当0b =时，2()2f x x x =+，所以22()=()211f t t t tf t t t ---++因为01m <<，11m t m -≤≤+，所以0112m t m <-≤≤+<令2()=1tg t t +，则2221()=(1)t g t t -'+……………8分当01t <<时，()0g t '>，()g t 单调增，当12t <<时，()0g t '<，()g t 单调减， 所以当1t =时，()g t 取最大值，1(1)2g =……………10分 因为2211(1)(1)(1)1(1)1m mg m g m m m -+--+=--+++ 32220[(1)1][(1)1]m m m -=<-+++，所以(1)(1)g m g m -<+全品高考网所以2()=1tg t t +的范围为211[,](1)12m m --+……………12分 21．（本小题满分13分）解: （Ⅰ）由题得该连锁分店一年的利润L （万元）与售价x 的函数关系式为2()(4)(10),[7,9]L x x a x x =---∈. ……………………………3分（Ⅱ）2()(10)2(4)(10)L x x x a x '=-----(10)(1823),x a x =-+- …………………………………………6分 令'()0L x =，得263x a =+或10x = ……………………………8分 20213,6833a a ≤≤∴≤+≤ . ①当2673a +≤，即312a ≤≤时，[7,9]x ∴∈时，()0L x '≤，()L x 在[7,9]x ∈上单调递减，故max ()(7)279L x L a ==- ……………10分②当2673a +>，即332a <≤时，2[7,6]3x a ∴∈+时，'()0L x >；2[6,9]3x a ∈+时，()0L x '<()L x ∴在2[7,6]3x a ∈+上单调递增；在2[6,9]3x a ∈+上单调递减，故3max 2()(6)4(2)33a L x L a =+=- ……………12分答:当312a ≤≤每件商品的售价为7元时,该连锁分店一年的利润L 最大,最大值为279a-万元； 当332a <≤每件商品的售价为263a +元时,该连锁分店一年的利润L 最大,最大值为34(2)3a-万元. ……………13分22．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）∵()xf x e x a '=--，∴ (0)1f a '=-．于是由题知12a -=，解得1a =-．………………………………………………2分 ∴ 21()2xf x e x x =-+． ∴ (0)1f =，于是120b =⨯+，解得1b =．……………………………………………………4分（Ⅱ）由题意()0f x '>即0xe x a --≥恒成立，∴ xa e x ≤-恒成立．……………………………………………………5分全品高考网设()xh x e x =-，则()1xh x e '=-．当x 变化时，()h x '、()h x 的变化情况如下表：x(0)-∞， 0(0)+∞，()h x ' -+()h x 减函数极小值增函数∴min()h x ，∴ 1a ≤…………………………………………………………………………8分 （Ⅲ）由已知222211()22x x g x e x ax ax x e ax ax =---+=--， ∴ ()2xg x e ax a '=--．∵12 ,x x 是函数()g x 的两个不同极值点（不妨设12x x <），∴20xe ax a --=（*）有两个不同的实数根12 ,x x ………………………10分当12x =-时，方程（*）不成立 则21x e a x =+，令()21xe p x x =+，则2(21)()(21)x e x p x x -'=+ 由()0p x '=得：12x =当x 变化时，()p x ，()p x '变化情况如下表：x 1(,)2-∞- 11(,)22- 121(,)2+∞ ()p x - - 0 +()p x '单调递减单调递减 极小值 单调递增∴当1(,)2x ∈-∞-时，方程（*）至多有一解，不合题意；……………12分 当1(,)2x ∈-+∞时，方程（*）若有两个解，则1()2e a p >=所以，ea >13分。
【2013备考】各地名校试题解析分类汇编(一)理科数学：2函数3
各地解析分类汇编:函数31【山东省烟台市2013届高三上学期期中考试理】 已知函数()M f x 的定义域为实数集R ,满足()1,0,M x M f x x M∈⎧=⎨∉⎩(M 是R 的非空真子集),在R 上有两个非空真子集,A B ,且A B =∅ ,则()()()()11A B A B f x F x f x f x +=++ 的值域为A ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦ B ．{}1 C ．12,,123⎧⎫⎨⎬⎩⎭ D ．1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】若A x ∈，则1)(,0)(,1)(===x f x f x f B A B A ，1)(=x F ；若B x ∈，则,0)(=x f A 1)(,1)(,1)(===x F x f x f B A B ；若B x A x ∉∉，，则0)(=x f A ，0)(=x f B ，.1)(,0)(==x F x f B A 故选B.2【山东省实验中学2013届高三第二次诊断性测试 理】函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤+-≤<+=210,12161121,1)(3x x x x x x f 和函数)0(16sin )(>+-=a a x a x g π，若存在]1,0[,21∈x x 使得)()(21x g x f =成立，则实数a的取值范围是A.]2321，（B.）2,1[C.]221，（D.]231，（【答案】C【解析】当112x <≤时，3(),1xf x x =+22(23)'()=0(1)x x f x x +>+函数递增，此时1()()(1)2f f x f <≤，即11()122f x <≤，当102x ≤≤时，函数11()612f x x =-+，单调递减，此时10()12f x ≤≤，综上函数10()2f x ≤≤。
当01x ≤≤时，066x ππ≤≤，10sin62x π≤≤，11()12a g x a a -+≤≤-+，即11()12a g x a -+≤≤-+，若存在]1,0[,21∈x x 使得)()(21x g x f =成立，让()g x 的最大值大于等于()f x 的最小值，让()g x 的最小值小于()f x 的最大值，即1102112a a ⎧-+≥⎪⎪⎨⎪-+<⎪⎩，解得212a a ≤⎧⎪⎨>⎪⎩，即122a <≤，选D.3【北京市东城区普通校2013届高三12月联考数学（理）】已知函数)(x f 在),0[+∞上是增函数，()()g x f x =-，若)1()(lg g x g >，则x 的取值范围是A ．),10(+∞B ．)10,101(C ．)10,0(D ．),10()101,0(+∞【答案】B【解析】因为()()g x f x =-，所以函数()()g x f x =-为偶函数，因为函数)(x f 在),0[+∞上是增函数，所以当0x ≥时，()()()g x f x f x =-=-，此时为减函数，所以当0x ≤，函数()()g x f x =-单调递增。
【2013备考】各地名校试题解析分类汇编(一)理科数学：3导数1
各地解析分类汇编:导数11【云南省玉溪一中2013届高三上学期期中考试理】已知曲线x x y ln 342-=的一条切线的斜率为21，则切点的横坐标为( ) A. 3 B. 2 C. 1 D.21【答案】A【解析】函数的定义域为(0,)+∞，函数的导数为3'2x y x =-，由31'22x y x =-=，得260x x --=，解得3x =或1x =-（舍去），选A.2【云南师大附中2013届高三高考适应性月考卷（三）理科】如图3，直线y=2x 与抛物线y=3－x 2所围成的阴影部分的面积是（ ）A ．353B ．C ．2D ．323【答案】D【解析】12332(32)d 3S x x x -=--=⎰，故选D. 3【云南省玉溪一中2013届高三第三次月考 理】如图所示，曲线2x y =和曲线x y =围成一个叶形图（阴影部分），则该叶形图的面积是（ ）A.21 B. 41 C. 61 D. 31【答案】D【解析】由2y xy ⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩或0x y =⎧⎨=⎩，所以根据积分的应用可得阴影部分的面积为3123120021211)()33333x dx x x =-=-=⎰，选D. 4【山东省烟台市莱州一中2013届高三10月月考（理）】由直线2,21==x x ，曲线xy 1=及x 轴所谓成图形的面积为 A.415B.417C.2ln 21D. 2ln 2【答案】D【解析】根据积分的应用可知所求22112211ln ln 2ln2ln 22dx x x==-=⎰，选D. 5【云南师大附中2013届高三高考适应性月考卷（三）理科】已知()f x 为R上的可导函数，且,x R ∀∈均有()f x f>′（x），则有 （ ）A．20132013(2013)(0),(2013)(0)e f f f e f -<> B．20132013(2013)(0),(2013)(0)e f f f e f -<< C．20132013(2013)(0),(2013)(0)e f f f e f ->>D ．20132013(2013)(0),(2013)(0)e f f f e f -><【答案】A【解析】构造函数()()x f x g x=，则2()()()()()()()x x x x f x e e f x f x f x g x e e ''''--==，6【山东省烟台市莱州一中2013届高三10月月考（理）】曲线x e y 21=在点()2,4e处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 A.2eB.24eC.22eD.229e 【答案】A【解析】121'2x y e =，所以在点()2,4e 的导数为142211'22y e e ⨯==，即切线斜率为212k e =，所以切线方程为221(4)2y e e x -=-，令0x =得，2y e =-，令0y =，得2x =.所以三角形的面积为22122e e ⨯⨯=，选A.7【云南省昆明一中2013届高三新课程第一次摸底测试理】函数22ln y x x e ==在处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为A ．292e B ．212Se =C ．22eD ．2e【答案】D【解析】212'2y x x x =⨯=，所以在2x e =处的切线效率为22k e =，所以切线方程为2224()y x e e-=-，令0x =，得2y =，令0y =，得2x e =-，所以所求三角形的面积为22122e e ⨯⨯=，选D.8【山东省烟台市莱州一中20l3届高三第二次质量检测 （理）】曲线()ln 2y x =+在点()1,0P -处的切线方程是 A.1y x =+ B.1y x =-+C.21y x =+D.21y x =-+【答案】A 【解析】1'2y x =+,所以在点P 处的切线斜率1112k ==-+，所以切线方程为(1)1y x x =--=+，选A.9【山东省烟台市莱州一中20l3届高三第二次质量检测 （理）】由直线2,,0sin 33x x y y x ππ====与所围成的封闭图形的面积为 A.12B.1C.2【答案】B【解析】由积分的应用得所求面积为2233332sin cos coscos 2cos 1333xdx xπππππππ=-=-+==⎰，选B. 10【天津市新华中学2012届高三上学期第二次月考理】 已知函数))((R x x f ∈满足1)1(=f ，且)(x f 的导函数21)('<x f ，则212)(+<x x f 的解集为 A. {}11<<-x x B. {}1-<x x C. {}11>-<x x x 或 D. {}1>x x【解析】设1()()()22xF x f x =-+, 则11(1)(1)()11022F f =-+=-=，1'()'()2F x f x =-，对任意x R ∈，有1'()'()02F x f x =-<，即函数()F x 在R 上单调递减，则()0F x <的解集为(1,)+∞，即212)(+<x x f 的解集为(1,)+∞，选D.11【山东省烟台市莱州一中20l3届高三第二次质量检测 （理）】函数()32f x x bx cx d =+++的大致图象如图所示，则2212x x +等于A.89B.109C.169D.289【答案】C【解析】函数过原点，所以0d =。
山东省青岛市2013届高三上学期期中考试数学(理)试题
山东省青岛市2013届高三上学期期中考试数学（理）试题第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集R U =，集合{}{}237,7100A x x B x x x =≤<=-+<，则()U A B ⋂=ðA.()()+∞⋃∞-,53,B.(]()+∞⋃∞-,53,C.(][)+∞⋃∞-,53,D.()[)+∞⋃∞-,53, 2．在ABC ∆中，“A B >”是“tan tan A B >”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．给出下列三个结论：（1）若命题p 为真命题，命题q ⌝为真命题，则命题“p q ∧”为真命题；（2）命题“若0xy =，则0x =或0y =”的否命题为“若0xy ≠，则0x ≠或0y ≠”； （3）命题“,20xx ∀∈>R ”的否定是“ ,20xx ∃∈≤R ”.则以上结论正确的个数为A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个 4．已知等比数列{}n a 的前n 项和为13n n S a +=+，N *n ∈，则实数a 的值是A ．3-B ．3C ．1-D ．15．已知非零向量a 、b ，满足a b ⊥ ，则函数2()()f x ax b =+ (R)x ∈是A. 既是奇函数又是偶函数B. 非奇非偶函数C. 偶函数D. 奇函数 6．已知函数1()cos f x x x =，则()()2f f ππ'+= A ．2π-B ．3πC ．1π-D ．3π-7．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3100(12)S x dx =+⎰，则56a a +=A ．125B ．12C ．6D ．658．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,2A πϕ><）的图象如图所示，则函数()f x的解析式为 A ．()sin(2)3f x x π=- B ．()sin(2)6f x x π=+ C ．()sin(2)3f x x π=+D. ()sin(4)6f x x π=+ 9．已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且20OA OB OC ++=，则A ．2AO OD = B ．AO OD = C ．3AO OD = D ．2AO OD =10．若函数a ax x f 213)(-+=在区间)1,1(-上存在一个零点，则a 的取值范围是 A ．51>a B ．51>a 或1-<a C ．511<<-a D ．1a <- 11．已知函数2()cos()f n n n π=，且()(1)n a f n f n =++，则123100a a a a ++++= A ． 0 B ．100- C ．100 D ．1020012．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x -=-，且[]0,2x ∈时，2()l o g (1)f x x =+，甲、乙、丙、丁四位同学有下列结论：甲：()31f =；乙：函数()f x 在[]6,2--上是减函数；丙：函数()f x 关于直线4x =对称；丁：若()0,1m ∈，则关于x 的方程()0f x m -=在[]8,8-上所有根之和为8-，其中正确的是A ．甲、乙、丁B ．乙、丙C ．甲、乙、丙D ．甲、丙第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分． 13．15tan4π= ； 14．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<+≥=4),1(4,)21()(x x f x x f x，则2(1log 5)f +的值为 ；15．设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12,3693=-=S S S ，则=6S ； 16．已知函数()f x 的定义域为R ，若存在常数0m >，对任意R x ∈，有()f x m x ≤，则称函数()f x 为F -函数.给出下列函数：①2()f x x =；②2()1xf x x =+；③()2xf x =；④()sin 2f x x =. 其中是F -函数的序号为 .三、解答题：本大题共6小题,共74分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）在ABC ∆中，c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，已知bc a c b 23)(3222+=+． （Ⅰ）若C B cos 2sin =，求C tan 的大小；（Ⅱ）若2=a ，ABC ∆的面积22=S ，且c b >，求c b ,． 18．（本小题满分12分）设{}n a 是公差大于零的等差数列，已知12a =，23210a a =-.（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设{}n b 是以函数214sin ()12y x π=+-的最小正周期为首项，以3为公比的等比数列，求数列{}n n a b -的前n 项和n S .19．（本小题满分12分）已知向量22(cos sin ,sin )a x x x ωωω=- ，(3,2cos )b x ω= ，设函数()(R)f x a b x =⋅∈ 的图象关于直线2x π=对称，其中ω为常数，且(0,1)ω∈.（Ⅰ）求函数()f x 的表达式；（Ⅱ）若将()y f x =图象上各点的横坐标变为原来的16，再将所得图象向右平移3π个单位，纵坐标不变，得到()y h x =的图象， 若关于x 的方程()0h x k +=在区间[0,]2π上有且只有一个实数解，求实数k 的取值范围.20．（本小题满分12分） 已知函数2))(1()(xa x x x f ++=为偶函数． （Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）记集合{(),{1,1,2}}E y y f x x ==∈-，21lg 2lg 2lg5lg54λ=++-，判断λ与E 的关系； （Ⅲ）当x ∈]1,1[nm ()0,0>>n m 时，若函数()f x 的值域为]32,32[n m --，求n m ,的值.21．（本小题满分13分）已知函数()ln f x x =的图象是曲线C ，点*(,())(N )n n n A a f a n ∈是曲线C 上的一系列点，曲线C 在点(,())n n n A a f a 处的切线与y 轴交于点(0,)n n B b . 若数列{}n b 是公差为2的等差数列，且1()3f a =.（Ⅰ）分别求出数列{}n a 与数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设O 为坐标原点，n S 表示n n OA B ∆的面积，求数列{}n n a S 的前n 项和n T .22．（本小题满分13分）已知函数⎩⎨⎧≥<+++-=1,ln 1,)(23x x a x c bx x x x f ，当23x =时，函数()f x 有极大值427.（Ⅰ）求实数b 、c 的值；（Ⅱ）若存在0x ∈[1,2]-，使得0()37f x a ≥-成立，求实数a 的取值范围.即3122222⨯-+=bc c b由直线2x π=是()y f x =图象的一条对称轴，可得2sin()23ππω+=±，所以()32k k z πππωπ+=+∈，即1()6k k z ω=+∈．又(0,1)ω∈，k z ∈，所以0k =，故16ω=.20．（本小题满分12分）解: （Ⅰ）)(x f 为偶函数 ()()f x f x ∴=- 22))(1())(1(xa x x x a x x +-+-=++∴,0)1(2=+∴x a ∈x R 且0≠x ,1-=∴a ………………………………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：221)(xx x f -= 当1x =±时，()0f x =；当2x =时，3()4f x =304E ,⎧⎫∴=⎨⎬⎩⎭， ……………………………………………………………………………6分21．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）()1f x x'=， ∴曲线C 在点()(),n n n A a f a 处的切线方程：()1ln n n ny a x a a -=- 令0ln 1n x y a =⇒=-，该切线与y 轴交于点()0,n n B b ，ln 1n n b a ∴=-………………………………………3分①当11<≤-x 时，22()323()3f x x x x x '=-+=--，令0)(='x f 得320==x x 或 当x 变化时，)(),(x f x f '的变化情况如下表：x)0,1(-0 )32,0( 32 )1,32( )(x f ' - 0+ 0- )(x f单调递减极小值单调递增极大值单调递减根据表格，又2)1(=-f ，274)32(=f ，0)0(=f。
2013年青岛中考数学试题及答案解析(word版)
2013年山东青岛市初级中学学业水平考试数学试题一、选择题1、－6的相反数是（ ）A 、—6B 、6C 、61-D 、61答案：B解析：－6的相反数为6，简单题。
2、下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ）A B C D 答案：D解析：A 、B 、C 都是轴对称图形，只有D 为中心对称图形。
3、如图所示的几何体的俯视图是（ ）A B C D 答案：B解析：该几何体上面是圆锥，下面为圆柱，圆锥的俯视图是一个圆和圆心，圆锥顶点投影为一个点（圆心）。
4、“十二五”以来，我国积极推进国家创新体系建设，国家统计局《2012年国民经济和社会发展统计公报》指出，截止2012年底，国内有效专利达8750000件，将8750000件用科学计数法表示为（ ）件A 、410875⨯B 、5105.87⨯C 、61075.8⨯D 、710875.0⨯答案：C解析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数． 8750000＝61075.8⨯5、一个不透明的口袋里装有除颜色都相同的5个白球和若干个红球，在不允许将球倒出来数的前提下，小亮为了估计其中的红球数，采用如下方法，先将口袋中的球摇匀，再从口袋里随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，不断重复上述过程，小亮共摸了100次，其中有10次摸到白球，因此小亮估计口袋中的红球大约有（ ）个第3题A 、45B 、48C 、50D 、55 答案：A解析：摸到白球的概率为P ＝10110010=，设口袋里共有n 个球，则 5110n =，得n ＝50，所以，红球数为：50－5＝45，选A 。
6、已知矩形的面积为36cm 2，相邻的两条边长为xcm 和ycm ，则y 与x 之间的函数图像大致是（ ）A B C D 答案：A解析：因为xy ＝36，即36(0)y x x=>，是一个反比例函数，故选A 。
数学理卷·2014届山东省青岛市高三上学期期中考试(2013.11)
高三数学（理科）练习题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔和0.5毫米黑色签字笔（中性笔）将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题纸各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集R U =,{|A x y ==,则U C A =A ．[0,)+∞B ．(,0)-∞C ．(0,)+∞D ．(,0]-∞ 2.已知命题p 、q ，则“p ∧q 为真”是“p ∨q 为真”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3.向量1(,tan )3a α= ，(cos ,1)b α=，且a ∥b ，则cos 2α=A. 13-B. 13C. 79-D. 794.在正项等比数列}{n a 中，369lg lg lg 6a a a ++=，则111a a 的值是 A. 10000 B. 1000 C. 100 D. 105.已知0,a >且1a ≠，函数log ,,xa y x y a y x a ===+在同一坐标系中的图象可能是6.定义运算a b ad bc c d =-，若函数()123x f x x x -=-+在(,)m -∞上单调递减，则实数m 的取值范围是 A ．(2,)-+∞B ．[2,)-+∞C ．(,2)-∞-D ．(,2]-∞-7.设x ，y 满足约束条件0023x y x y a≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，若目标函数11y z x +=+的最小值为12，则a 的值为A ．2B ．4C ．6D ．88.已知33)6cos(-=-πx ,则=-+)3cos(cos πx xA ．332-B ．332±C ．1-D ．1±9.下列命题中正确的是A .1y x x =+的最小值是2 B .()4230y x x x=-->的最大值是2- C .224sin sin y x x=+的最小值是4 D .()4230y x x x =--<的最小值是2-10.已知等差数列{}n a 的公差0d >，若12320132013t a a a a a ++++= （*N t ∈），则t =A ．2014 B ．2013 C ．1007 D ．1006 11.设a 、b 都是非零向量,下列四个条件中,一定能使0||||a b a b +=成立的是A ．13a b =-B ．//a bC ．2a b =D ．a b ⊥12.已知函数()f x 的导函数图象如图所示，若ABC ∆为锐角三角形，则一定成立的是 A ．(cos )(cos )f A f B < B ．(sin )(cos )f A f B <C ．(sin )(sin )f A f B >D ．(sin )(cos )f A f B >第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13.已知函数12log ,1()24,1xx x f x x >⎧⎪=⎨⎪+≤⎩,则1(())2f f = .14.曲线2sin 0)y xx π=≤≤（与直线1y =围成的封闭图形的面积为 .15.已知函数()f x 是(,)-∞+∞上的奇函数,且()f x 的图象关于直线1x =对称,当[1,0]x ∈-时,()f x x =-，则(2013)(2014)f f += .16.若对任意x A ∈，y B ∈，（A 、R B ⊆）有唯一确定的(,)f x y 与之对应，称(,)f x y 为关于x 、y 的二元函数. 现定义满足下列性质的二元函数(,)f x y 为关于实数x 、y 的广义“距离”:（1）非负性:(,)0f x y ≥，当且仅当x y =时取等号； （2）对称性:(,)(,)f x y f y x =；（3）三角形不等式:(,)(,)(,)f x y f x z f z y ≤+对任意的实数z 均成立.今给出四个二元函数:①(,)||f x y x y =-；②2(,)()f x y x y =-③(,)f x y =；④(,)sin()f x y x y =-.则能够成为关于的x 、y 的广义“距离”的函数的所有序号是 .三、解答题：本大题共6小题,共74分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）已知函数2()2sin cos f x x x x ωωω=+（0ω>）的最小正周期为π． （Ⅰ）求函数)(x f 的单调增区间； （Ⅱ）将函数)(x f 的图象向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到函数()y g x =的图象．若()y g x =在[0,](0)b b >上至少含有10个零点，求b 的最小值．18．（本小题满分12分）已知数列{}n d 满足n d n =，等比数列{}n a 为递增数列，且251021,2()5n n n a a a a a ++=+=，N n *∈.（Ⅰ）求n a ；（Ⅱ）令1(1)n n n c a =--，不等式2014(1100,N )k c k k *≥≤≤∈的解集为M ，求所有()k k d a k M +∈的和.19．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角A B C 、、对边分别是a b c 、、，且满足222()AB AC a b c ⋅=-+ ．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若a =，ABC ∆的面积为,b c ． 20．（本小题满分12分）已知函数2()2(R)f x x x b b =++∈.（Ⅰ）若函数()f x 的值域为[0,)+∞，若关于x 的不等式()(0)f x c c <>的解集为(,6)(R)k k k +∈，求c 的值；（Ⅱ）当0b =时，m 为常数，且01m <<，11m t m -≤≤+，求2()()21f t t t f t t ---+的取值范围.21．（本小题满分13分）某连锁分店销售某种商品,每件商品的成本为4元,并且每件商品需向总店交(13)a a ≤≤元的管理费,预计当每件商品的售价为(79)x x ≤≤元时,一年的销售量为2(10)x -万件．（Ⅰ）求该连锁分店一年的利润L （万元）与每件商品的售价x 的函数关系式()L x ; （Ⅱ）当每件商品的售价为多少元时,该连锁分店一年的利润L 最大,并求出L 的最大值． 22．（本小题满分13分）已知函数21()2xf x e x ax =--(R)a ∈． （Ⅰ）若函数()f x 的图象在0x =处的切线方程为2y x b =+，求a ，b 的值； （Ⅱ）若函数在R 上是增函数，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）如果函数21()()()2g x f x a x =--有两个不同的极值点12,x x ，证明：a >．高三数学（理科）练习题 参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分． B A D A C D A C B C A D二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13.2- 14. 23π15.1- 16．① 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由题意得()f x =22sin cos x x x ωωω+sin 222sin(2)3x x x πωωω==- ………………2分由周期为π，得1ω=. 得()2sin(2)3f x x π=- ………………4分由正弦函数的单调增区间得222232k x k πππππ-≤-≤+，得5,1212k x k k Z ππππ-≤≤+∈ 所以函数)(x f 的单调增区间是5[,],Z 1212k k k ππππ-+∈ ………………6分 （Ⅱ）将函数)(x f 的图象向左平移6π个单位，再向上平移1个单位， 得到2sin 21y x =+的图象，所以()2sin 21g x x =+…………………………8分 令()0g x =，得：712x k ππ=+或11(Z)12x k k ππ=+∈…………………………10分 所以在每个周期上恰好有两个零点，若()y g x =在[0,]b 上有10个零点， 则b 不小于第10个零点的横坐标即可， 即b 的最小值为115941212πππ+= …………………………12分 18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设{}n a 的首项为1a ，公比为q ，所以42911()a q a q =，解得1a q = …………2分 又因为212()5n n n a a a +++=，所以22()5n n n a a q a q +=则22(1)5q q +=，22520q q -+=，解得12q =（舍）或2q = …………4分 所以1222n n n a -=⨯= …………6分 （Ⅱ）则1(1)1(2)n n n n c a =--=--, n d n =当n 为偶数，122014n n c =-≥，即22013n≤-，不成立当n 为奇数，1+22014n n c =≥，即22013n≥，因为10112=10242=2048，，所以21,549n m m =+≤≤ …………9分 则{}k d 组成首项为11，公差为2的等差数列{}()k a k M ∈组成首项为112，公比为4的等比数列则所有()k k d a k M +∈的和为114510110145(11+99)2(14)2204825377247521433--++=+=-…………12分 19．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由题意可得2222cos 2bc A a b c bc =---， ………………2分由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得4cos 2bc A bc =-， ……………4分∴1cos 2A =-， ∵0A π<<，∴23A π= ………………6分（Ⅱ）1sin 162S bc A bc ==⇔= ………………8分 222222c o s 328a b c b c A b c b c =+-⇔+=⇔+=………………10分解得：4b c == ………………12分20．（本小题满分12分）解（Ⅰ）由值域为[0)+∞，，当22=0x x b ++时有440b =-=V ， 即1b = …………2分则22()21(1)f x x x x =++=+，由已知2()(1)f x x c =+<解得1x +<11x < ……………4分不等式()f x c <的解集为(6)k k +，，∴1)(1)6-=， 解得9c = ……………6分（Ⅱ）当0b =时，2()2f x x x =+，所以22()=()211f t t t tf t t t ---++因为01m <<，11m t m -≤≤+，所以0112m t m <-≤≤+<令2()=1t g t t +，则2221()=(1)t g t t -'+……………8分 当01t <<时，()0g t '>，()g t 单调增，当12t <<时，()0g t '<，()g t 单调减， 所以当1t =时，()g t 取最大值，1(1)2g =……………10分 因为2211(1)(1)(1)1(1)1m mg m g m m m -+--+=--+++ 32220[(1)1][(1)1]m m m -=<-+++，所以(1)(1)g m g m -<+ 所以2()=1t g t t +的范围为211[,](1)12m m --+……………12分 21．（本小题满分13分）解: （Ⅰ）由题得该连锁分店一年的利润L （万元）与售价x 的函数关系式为2()(4)(10),[7,9]L x x a x x =---∈. ……………………………3分（Ⅱ）2()(10)2(4)(10)L x x x a x '=-----(10)(1823),x a x =-+- …………………………………………6分 令'()0L x =，得263x a =+或10x = ……………………………8分 20213,6833a a ≤≤∴≤+≤ . ①当2673a +≤，即312a ≤≤时，[7,9]x ∴∈时，()0L x '≤，()L x 在[7,9]x ∈上单调递减，故max ()(7)279L x L a ==- ……………10分②当2673a +>，即332a <≤时，2[7,6]3x a ∴∈+时，'()0L x >；2[6,9]3x a ∈+时，()0L x '<()L x ∴在2[7,6]3x a ∈+上单调递增；在2[6,9]3x a ∈+上单调递减，故3max 2()(6)4(2)33a L x L a =+=- ……………12分答:当312a ≤≤每件商品的售价为7元时,该连锁分店一年的利润L 最大,最大值为279a -万元； 当332a <≤每件商品的售价为263a +元时,该连锁分店一年的利润L 最大,最大值为34(2)3a-万元. ……………13分22．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）∵()x f x e x a '=--，∴ (0)1f a '=-．于是由题知12a -=，解得1a =-．………………………………………………2分 ∴ 21()2xf x e x x =-+． ∴ (0)1f =，于是120b =⨯+，解得1b =．……………………………………………………4分（Ⅱ）由题意()0f x '>即0xe x a --≥恒成立，∴ xa e x ≤-恒成立．……………………………………………………5分 设()x h x e x =-，则()1x h x e '=-．当x 变化时，()h x '、()h x 的变化情况如下表：∴min()h x ，∴1a ≤…………………………………………………………………………8分 （Ⅲ）由已知222211()22xx g x e x ax ax x e ax ax =---+=--， ∴ ()2xg x e ax a '=--．∵12 ,x x 是函数()g x 的两个不同极值点（不妨设12x x <）， ∴20xe ax a --=（*）有两个不同的实数根12 ,x x ………………………10分当12x =-时，方程（*）不成立 则21x e a x =+，令()21x e p x x =+，则2(21)()(21)x e x p x x -'=+ 由()0p x '=得：12x =当x 变化时，()p x ，()p x '变化情况如下表：x 1(,)2-∞- 11(,)22- 121(,)2+∞ ()p x -- 0+()p x ' 单调递减单调递减极小值 单调递增∴当1(,)2x ∈-∞-时，方程（*）至多有一解，不合题意；……………12分 当1(,)2x ∈-+∞时，方程（*）若有两个解，则1()2a p >=。
【2013备考】各地名校试题解析分类汇编(一)理科数学：5三角1
各地解析分类汇编:三角函数11.【山东省潍坊市四县一区2013届高三11月联考（理）】将函数x y 2sin =的图象向右平移4π个单位，再向上平移1个单位，所得函数图象对应的解析式为 A.1)42sin(+-=πx y B.x y 2cos 2=C.x y 2sin 2=D.x y 2cos -= 【答案】C【解析】函数x y 2sin =的图象向右平移4π个单位得到sin 2()sin(2)cos 242y x x xππ=-=-=-，再向上平移1个单位，所得函数图象对应的解析式为22cos21(12sin )12sin y x x x =-+=--+=，选C. 2.【山东省潍坊市四县一区2013届高三11月联考（理）】在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对边分别为a,b,c ，且4524==B c ，，面积2=S ，则b 等于A.2113B.5C.41D.25 【答案】B【解析】因为4524==B c ，，又面积11sin 222S ac B =⨯=⨯=，解得1a =，由余弦定理知2222cos b a c ac B =+-,所以21322252b =+-⨯=，所以5b =，选B. 3.【山东省烟台市2013届高三上学期期中考试理】函数)2||,0,0)(sin()(πφωφω<>>+=A x A x f 的部分图象如图示，则将()y f x =的图象向右平移6π个单位后，得到的图象解析式为A ．x y 2sin = B. x y 2cos = C. )322sin(π+=x y D. )62sin(π-=x y 【答案】D【解析】由图象知A=1,T=,262,2,234)61211(πφπωωππππ=+⨯=∴==⨯- 6πφ=∴),62sin()(π+=∴x x f 将)(x f 的图象平移6π个单位后的解析式为 )..62sin(]6)6(2sin[πππ-=+-=x x y 故选D.4.【山东省烟台市2013届高三上学期期中考试理】已知25242sin -=α，⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈04，πα，则ααcos sin +等于 A ．51-B ．51C ．57- D ．57【答案】B 【解析】由⎪⎭⎫⎝⎛-∈04，πα知|,cos ||sin |0cos ,0sin αααα<><，ααcos sin +∴ .512sin 1=+=x 故选B.5.【山东省泰安市2013届高三上学期期中考试数学理】sin 585︒的值为B.D. 【答案】B【解析】sin 585sin 225sin(18045)sin 452==+=-=-，选B. 6.【山东省实验中学2013届高三第三次诊断性测试理】若3)4tan(=-απ，则αcot 等于（ ）A.2B.21- C.21D.-2【答案】D【解析】由3)4tan(=-απ得，t a n t a n ()13144tan tan[()]441321tan()4ππαππααπα---=--===-++-，所以1c o t 2t a n αα==-选D.7.【山东省实验中学2013届高三第一次诊断性测试理】在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且222222c a b ab =++，则△ABC 是( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形【答案】A【解析】由222222c a b ab =++得，22212a b c ab +-=-，所以222112cos 0224aba b c C ab ab -+-===-<，所以090180C << ,即三角形为钝角三角形，选A.8.【山东省泰安市2013届高三上学期期中考试数学理】如图，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50m ，045,105ACB CAB ∠=∠= ，则A 、B 两点的距离为A.B.C.D.2【答案】B【解析】因为045,105ACB CAB ∠=∠= ，所以30ABC ∠=，所以根据正弦定理可知，sin sin AC AB ABC ACB =，即50sin 30sin 45AB=，解得AB =，选B..9【山东省泰安市2013届高三上学期期中考试数学理】已知()sin cos 0,αααπ-=∈，则tan α等于A.1-B. D.1【答案】A【解析】由sin cos αα-=得，所以cos 122αα-=，即s i n()14πα-=，所以2,42x k k Z πππ-=+∈，所以32,4x k k Z ππ=+∈，所以33tan tan(2)tan 144k ππαπ=+==-，选A. 10.【山东省泰安市2013届高三上学期期中考试数学理】函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期是π，若其图像向右平移3π个单位后得到的函数为奇函数，则函数()f x 的图像 A.关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称B.关于直线12x π=对称C.关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称D.关于直线512x π=对称 【答案】D【解析】函数的最小周期是π，所以2T ππω==，所以2ω=，所以函数()sin(2)f x x ϕ=+，向右平移3π得到函数2()sin[2()]sin(2)33f x x x ππϕϕ=-+=+-，此时函数为奇函数，所以有2,3k k Z πϕπ-=∈，所以23k πϕπ=+，因为2πϕ<，所以当1k =-时，233k ππϕπ=+=-，所以()sin(2)3f x x π=-.由2232x k πππ-=+，得对称轴为512x k ππ=+，当0k =时，对称轴为512x π=，选D.11.【山东省实验中学2013届高三第一次诊断性测试理】若,(,),tan cot ,2παβπαβ∈<且那么必有A ．2παβ+<B ．32αβπ+<C ．αβ>D ．αβ<【答案】B【解析】因为3c o t =t a n =t a n =t a n 222πππββπββ-+--（）（）（），因为2πβπ<<，所以2πβπ->->-，322ππβπ<-<，而函数tan y x =在(,)2x ππ∈上单调递增，所以由tan cot αβ<，即3tan tan 2παβ<-（）可得32παβ<-，即32παβ+<，选B.12.【山东省师大附中2013届高三上学期期中考试数学理】函数()212sin ,46f x x f ππ⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则A. B.12-C.12【答案】A【解析】()212sin ()cos 2()cos(2)sin 2442f x x x x x πππ=-+=+=+=-,所以()sin 63f ππ=-=选A.13.【山东省师大附中2013届高三上学期期中考试数学理】函数22cos 14y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭是 A.最小正周期为π的奇函数 B.最小正周期为π的偶函数 C.最小正周期为2π的奇函数D.最小正周期为2π的偶函数 【答案】A【解析】22cos ()1cos 2()cos(2)sin 2442y x x x x πππ=--=-=-=，周期为π的奇函数，选A. 14【山东省师大附中2013届高三上学期期中考试数学理】设()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()f x 的图像的一条对称轴的方程是 A.9x π=B.6x π=C.3x π=D.2x π=【答案】B 【解析】由262x k πππ+=+得，,62k x k Z ππ=+∈,所以当0k =时，对称轴为6x π=，选B. 15【山东省师大附中2013届高三上学期期中考试数学理】把函数()sin y x x R =∈的图象上所有的点向左平移6π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数为 A.sin 2,3y x x R π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭B.sin 2,3y x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭C.1sin ,26y x x R π⎛⎫=+∈⎪⎝⎭D.1sin ,26y x x R π⎛⎫=-∈⎪⎝⎭【答案】C【解析】函数()sin y x x R =∈的图象上所有的点向左平移6π个单位长度，得到sin()6y x π=+，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数为1sin()26y x π=+，选C.16【山东省师大附中2013届高三上学期期中考试数学理】为了得到函数cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，只需将函数sin 2y x =的图像A.向左平移512π个长度单位B.向右平移512π个长度单位 C.向左平移56π个长度单位D.向右平移56π个长度单位【答案】A【解析】因为sin 2cos(2)cos(2)22y x x x ππ==-=- 55cos[(2)]cos[2()]63123x x ππππ=-+=-+，所以为了得到函数cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 2y x =的图象向左平移512π个单位，选B. 17【山东省师大附中2013届高三上学期期中考试数学理】已知函数()()sin 2f x x ϕ=+，其中02ϕπ<<，若()6f x f π⎛⎫≤∈ ⎪⎝⎭对x R 恒成立，且()2f f ππ⎛⎫> ⎪⎝⎭，则ϕ等于 A.6πB.56π C.76πD.116π【答案】C【解析】由()6f x f π⎛⎫≤⎪⎝⎭可知6π是函数()f x 的对称轴，所以又2+=+62k ππϕπ⨯，所以=+6k πϕπ，由()2f f ππ⎛⎫>⎪⎝⎭，得()()sin sin 2πϕπϕ+>+，即sin sin ϕϕ->，所以sin 0ϕ<，又02ϕπ<<，，所以2πϕπ<<，所以当1k =时，7=6πϕ，选C. 18【山东省师大附中2013届高三12月第三次模拟检测理】函数()sin ()f x x x x =+∈R （ ） A.是偶函数，且在(,+)-∞∞上是减函数 B.是偶函数，且在(,+)-∞∞上是增函数 C.是奇函数，且在(,+)-∞∞上是减函数 D.是奇函数，且在(,+)-∞∞上是增函数 【答案】D【解析】因为()sin ()f x x x f x -=--=-，所以函数为奇函数。
山东省2014届理科数学一轮复习试题选编17：等差数列(学生版)
山东省2014届理科数学一轮复习试题选编17：等差数列一、选择题 1 ．（山东省青岛市2013届高三第一次模拟考试理科数学）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,1532,3a a a ==,则9S = （ ）A ．90B ．54C ．54-D ．72- 2 ．（山东省实验中学2013届高三第三次诊断性测试理科数学）在等差数列{}n a 中,20131-=a ,其前n 项和为n S ,若210121012=-S S ,则2013S 的值等于 （ ）A ．-2012B ．-2013C ．2012D ．20133 ．（山东省淄博市2013届高三上学期期末考试数学（理））如果等差数列{}n a 中,15765=++a a a ,那么943...a a a +++等于（ ）A ．21B ．30C ．35D ．404 ．（山东省滨州市2013届高三第一次（3月）模拟考试数学（理）试题）已知{}n a 为等差数列,若34899,a a a S ++==则（ ）A ．24B ．27C ．15D ．545 ．（山东省莱芜市莱芜二中2013届高三4月模拟考试数学（理）试题）等差数列{}n a 前n 项和为n S ,已知310061006(1)2013(1)1,a a -+-= 310081008(1)2013(1)1,a a -+-=-则（ ）A ．2013100810062013,S a a =>B ．2013100810062013,S a a =<C ．2013100810062013,S a a =->D ．2013100810062013,S a a =-<6 ．（山东省莱芜市莱芜十七中2013届高三4月模拟数学（理）试题）已知正项组成的等差数列{}n a 的前20项的和100,那么615a a ⋅最大值是 （ ）A ．25B ．50C ．100D ．不存在 7 ．（山东省威海市2013届高三上学期期末考试理科数学）{}n a 为等差数列,n S 为其前n 项和,77521a S ==，，则10S =（ ）A ．40B ．35C ．30D ．288 ．（山东省淄博市2013届高三复习阶段性检测（二模）数学（理）试题）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足1313113a S a ===，则 （ ）A ．14-B ．13-C ．12-D ．11-9 ．（山东省济南市2012届高三3月高考模拟题理科数学（2012济南二模））在等差数列}{na 中,1a =-2 012 ,其前n 项和为n S ,若10121210S S -=2,则 2 012S 的值等于 （ ）A ．-2 011B ．-2 012C ．-2 010D ．-2 01310．（山东省日照市2013届高三12月份阶段训练数学(理)试题）已知数列{}n a ,若点()()*,n n a n N∈在经过点()8,4的定直线l 上,则数列{}n a 的前15项和15S = （ ）A ．12B ．32C ．60D ．12011．（山东省济南市2013届高三4月巩固性训练数学（理）试题）等差数列{}n a 中,已知112a =-,130S =,使得0n a >的最小正整数n 为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10 12．（山东师大附中2013届级高三12月第三次模拟检测理科数学）等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ,且A ．2012B ．-2012C ．2011D ．-201113．（山东省烟台市莱州一中2013届高三第三次质量检测数学(理)试题）设数列{}n a 是等差数列,且23415a a a ++=,则这个数列的前5项和5S（ ）A ．10B ．15C ．20D ．25 14．（山东省寿光市2013届高三10月阶段性检测数学（理）试题）如果等差数列{}n a 中,35712a a a ++=,那么129...a a a +++的值为（ ）A ．18B ．27C ．36D ．54二、填空题15．（山东省烟台市2013届高三上学期期末考试数学（理）试题）设直线(1)2(*)nx n y n N ++=∈与两坐标轴围成的三角形的面积为S n ,则S 1+S 2++S 2012的值为 16．（山东省泰安市2013届高三上学期期末考试数学理）下面图形由小正方形组成,请观察图1至图4的规律,并依此规律,写出第n 个图形中小正方形的个数是___________.17．（山东省潍坊市2013届高三第一次模拟考试理科数学）现有一根n 节的竹竿,自上而下每节的长度依次构成等差数列,最上面一节长为 10cm,最下面的三节长度之和为114cm,第6节的长度是首节与末节长度的等比中 项,则n=___________.三、解答题18．（山东省泰安市2013届高三上学期期末考试数学理）在等差数列{}n a 中,13a =,其前n 项和为n S ,等比数列{}n b 的各项均为正数,11b =,公比为q ,且222212,.S b S q b +==(I)求n a 与n b ; (II)设1121,n n n n T a b a b a b n N +-=++⋅⋅⋅+∈,求n T 的值.19．（山东省文登市2013届高三3月二轮模拟考试数学（理））已知数列{}n a 为公差不为0的等差数列,n S 为前n 项和,5a 和7a 的等差中项为11,且25114a a a a ⋅=⋅.令11,n n n b a a +=⋅数列{}n b 的前n 项和为n T .(Ⅰ)求n a 及n T ;(Ⅱ)是否存在正整数1,(1),,,m n m n m n T T T <<使得成等比数列?若存在,求出所有的,m n 的值;若不存在,请说明理由.20．（山东省莱芜市莱芜二中2013届高三4月模拟考试数学（理）试题）已知数列{}n a 是等差数列,()*+∈-=N n a a c n n n 212(1)判断数列{}n c 是否是等差数列,并说明理由;(2)如果()为常数k k a a a a a a 13143,130********-=+++=+++ ,试写出数列{}n c 的通项公式;(3)在(2)的条件下,若数列{}n c 得前n 项和为n S ,问是否存在这样的实数k ,使n S 当且仅当12=n 时取得最大值.若存在,求出k 的取值范围;若不存在,说明理由.21．（2013届山东省高考压轴卷理科数学）设数列{}n a 的前．n 项积．．为n T ,且n na T 22-= ()n N *∈.(Ⅰ)求证数列1n T ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列; (Ⅱ)设)1)(1(1+--=n n n a a b ,求数列{}n b 的前n 项和n S .22．（山东省实验中学2013届高三第一次诊断性测试数学（理）试题）已知等差数列{}n a 的首项11a =,公差0d >,且2514,,a a a 成等比数列.(1)求数列{}n a 的通项公式; (2)设*121(),(3)n n n n b n N S b b b n a =∈=++++ ,是否存在最大的整数t,使得对任意的n 均有36n tS >总成立?若存在,求出t;若不存在,请说明理由,23．（山东省青岛市2013届高三上学期期中考试数学（理）试题）设{}n a 是公差大于零的等差数列,已知12a =,23210a a =-.(Ⅰ)求{}n a 的通项公式;(Ⅱ)设{}n b 是以函数214sin ()12y x π=+-的最小正周期为首项,以3为公比的等比数列,求数列{}n n a b -的前n 项和n S .24．（山东省德州市2013届高三3月模拟检测理科数学）已知各项均不相等的等差数列{}n a 的前5项和为513235,1,1,1S a a a =+++成等比数列. (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)设n T 为数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎭⎩的前n 项和,问是否存在常数m,使12(2)n n n T n n n ⎡⎤=+⎢⎥++⎣⎦,若存在,求m 的值;若不存在,说明理由.25．（山东省威海市2013届高三上学期期末考试理科数学）已知数列{}n a ,15a =-,22a =-,记()A n =12n a a a +++ ,23()B n a a =+1n a +++ ,()C n =342+n a a a +++ (*N n ∈),若对于任意*N n ∈,()A n ,()B n ,()C n 成等差数列.(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ) 求数列{}||n a 的前n 项和.26．（2010年高考（山东理））已知等差数列{}n a 满足:37a =,5726a a +=,{}n a 的前n 项和为n S .(Ⅰ)求n a 及n S ; (Ⅱ)令b n =211n a -(n ∈N *),求数列{}n b 的前n 项和n T .山东省2014届理科数学一轮复习试题选编17：等差数列参考答案一、选择题1. 【答案】 C 由1532,3a a a ==得1143(2)a d a d +=+,即12d a =-=-,所以919899298542S a d ⨯=+=⨯-⨯=-,选C. 2.B【解析】1211211122S a d ⨯=+,101109102S a d ⨯=+,所以112112111211212122a dS a d ⨯+==+,1019102S a d =+,所以101221210S S d -==,所以201312013201220132013(20132012)2012S a d ⨯=+=-+=-,选B 3. C【 解析】由15765=++a a a 得663155a a ==，.所以3496...77535a a a a +++==⨯=,选C.4. 【答案】B 在等差数列中,由3489a a a ++=得13129a d +=,即1543a d a +==,所以19599()9292327222a a a S +⨯⨯⨯====,选B. 5. B 6. A7. 【答案】A 设公差为d ,则由77521a S ==，得1777()2a a S +=,即17(5)212a +=,解得11a =,所以716a a d =+,所以23d =.所以1011091092101040223S a d ⨯⨯=+=+⨯=,选A. 8. 【答案】D 在等差数列中,1131313()132a a S +==,所以1132a a +=,即113221311a a =-=-=-,选D.9. 【答案】B【解析】设公差为d,则2)1(1dn n na S n -+=,2)1(1d n a n S n -+=,由ddd S S =---=-2)110(2)112(10121012,所以2=d ,所以)2013(-=n n S n ,2012)20132012(20122012-=-=S ,选B10. C 【解析】可设定直线为4(8)y k x -=-,知4(8),(8)4nn a k n a k n -=-=-+得,则{}n a 是等差数列84a =,所以11515815()15154602a a S a ⋅+==⋅=⨯=,选C.11. B12. D 【解析】在等差数列中,1201320132013()20132a a S +==,所以120132a a+=,所以120132220132011a a=-=-=-,选D.13. D 【解析】在等差数列中2343315a a a a ++==,所以35a =,所以选D.14. C 二、填空题 15. 【答案】20122013【解析】当0x =时,y =.当0y =时,y =,所以三角形的面积11112(1)1n S n n n n ===-++,所以1220121111112012112232012201320132013S S S +++=-+-++-=-= . 16. 【答案】(1)2n n +【解析】12341,3,6,10a a a a ====,所以2132432,3,4a a a a a a -=-=-=, 1n n a a n --=,等式两边同时累加得123n a a n -=+++ ,即(1)122n n n a n +=+++= ,所以第n 个图形中小正方形的个数是(1)2n n +.17. 【答案】16 设对应的数列为{}n a ,公差为,(0)d d >.由题意知110a =,12114n n n a a a --++=,261n a a a =.由12114n n n a a a --++=得13114n a -=,解得138n a -=,即2111(5)()n a d a a d -+=+,即2(105)10(38)d d +=+,解得2d =,所以11(2)38n a a n d -=+-=,即102(2)38n +-=,解得16n =.三、解答题 18.19.解:(Ⅰ)因为{}n a 为等差数列,设公差为d ,整理得111511212a d d a d a +==⎧⎧⇒⎨⎨==⎩⎩ 所以1(1)221n a n n =+-⨯=-由111111()(21)(21)22121n n n b a a n n n n +===-⋅-+-+所以111111(1)2335212121n nT n n n =-+-++-=-++ (Ⅱ)假设存在 由(Ⅰ)知,21n n T n =+,所以11,,32121m n m nT T T m n ===++ 若1,,m n T T T 成等比,则有222121()2132144163m n m n m nT T T m n m m n =⋅⇒=⋅⇒=+++++ 2222441633412m m n m m m n n m ++++-⇒=⇒=,.....(1) 因为0n >,所以2412011m m m +->⇒<<, 因为,1,2,m N m m *∈>∴=,当2m =时,带入(1)式,得12n =; 综上,当2,12m n ==可以使1,,m n T T T 成等比数列20.解:(1)设{}n a 的公差为d ,则22221121()()n n n n n n c c a a a a ++++-=---2221112()()n n n aa d a d +++=---+22d =-∴数列{}n c 是以22d -为公差的等差数列3 (2)1325130a a a +++=242614313a a a k+++=-∴两式相减:131313d k =- 1d k ∴=-113(131)1321302a d -∴+⨯=k a 1221+-=)313()1()1(1-+-=-+=∴k n k d n a a n22111()()n n n n n n n c a a a a a a +++∴=-=+-22)1)(12(63226k n k k -+-+-=53025)1(222+-+--=k k n k 8(3)因为当且仅当12n =时nS 最大12130,0c c ∴><有即2222224(1)2530501819036(1)25305022210k k k k k k k k k k ⎧⎧--+-+>+->⎪⎪⇒⎨⎨--+-+<-+>⎪⎪⎩⎩ 1191921k k k k ><-⎧⇒⇒<->或或21.【解析】(Ⅰ)1132T = 由题意可得:122n n n TT T -=-⇒1122n n n n T T T T --⋅=-(2)n ≥,所以11112n n T T --=(Ⅱ)数列1n T ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列,122n n T +=,12nn a n +=+, 1(2)(3)n b n n =++,1113445(2)(3)n S n n =+++⨯⨯+⨯+ 111111()()()344523n n =-+-++-++113339nn n =-=++ 22.23.24.25.解:(Ⅰ)根据题意()A n ,()B n ,()C n 成等差数列∴()+()2()A n C n B n =整理得2121253n n a a a a ++-=-=-+= ∴数列{}n a 是首项为5-,公差为3的等差数列 ∴53(1)38n a n n =-+-=-(Ⅱ)38,2||38,3n n n a n n -+≤⎧=⎨-≥⎩记数列{}||a 的前n 项和为S .当2n ≤时,2(583)313222n n n n S n +-==-+当3n ≥时,2(2)(138)313714222n n n n S n -+-=+=-+综上,2231322231314322n n n n S n n n ⎧-+≤⎪⎪=⎨⎪-+≥⎪⎩ 26. 【解析】(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d,因为37a =,5726a a +=,所以有112721026a d a d +=⎧⎨+=⎩,解得13,2a d ==, 所以321)=2n+1n a n =+-（;n S =n(n-1)3n+22⨯=2n +2n .(Ⅱ)由(Ⅰ)知2n+1n a =,所以b n =211n a -=21=2n+1)1-（114n(n+1)⋅=111(-)4n n+1⋅,所以n T =111111(1-+++-)4223n n+1⋅- =11(1-)=4n+1⋅n 4(n+1), 即数列{}n b 的前n 项和n T =n4(n+1).【命题意图】本题考查等差数列的通项公式与前n 项和公式的应用、裂项法求数列的和,熟练数列的基础知识是解答好本类题目的关键.。
2023-2024学年山东省青岛二中高三(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年山东省青岛二中高三（上）期中数学试卷一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．命题“∃x 0＞1，ln （x 0﹣1）≥0”的否定是（ ） A ．∀x ＞1，ln （x ﹣1）＜0 B ．∀x ≤1，ln （x ﹣1）＜0C ．∀x ＞1，ln （x ﹣1）≥0D ．∀x ≤1，ln （x ﹣1）≥02．已知集合A ＝{x ∈N *|1≤x ＜3}，B ＝{x |ax ﹣2＝0}，且A ∩B ＝B ，则实数a 的所有取值集合是（ ） A ．{1}B ．{1，2}C ．{0，1，2}D ．{0，2}3．若(1+x 14)8的展开式中共有m 个有理项，则m 的值是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．44．底面半径是1的圆锥，侧面积是3π，则圆锥的体积是（ ） A ．2√2πB ．√2πC ．2π3D ．2√2π35．柯西不等式（Cauchy ﹣SchwarzLnequality ）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用．现给出一个二维柯西不等式：（a 2+b 2）（c 2+d 2）≥（ac +bd ）2，当且仅当ad ＝bc 时即ac =b d时等号成立．根据柯西不等式可以得知函数f(x)=3√4−3x +√3x −2的最大值为（ ） A ．2√5B ．2√3C ．√10D ．√136．设曲线y ＝x 3﹣2x 2+1在x ＝k 处的切线为l ，若l 的倾斜角小于135°，则k 的取值范围是（ ） A ．(−∞，13)∪(1，+∞) B ．(−∞，0)∪(13，1)∪(43，+∞)C ．(−∞，13)∪[43，+∞)D ．(−∞，0]∪(13，1)∪[43，+∞)7．已知角α，β∈（0，π），且sin （α+β）+cos （α﹣β）＝0，sin αsin β﹣3cos αcos β＝0，则tan （α+β）＝（ ） A ．﹣2B ．−12C ．12D ．28．如图，已知直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的底面是等腰直角三角形，AA 1＝2，AC ＝BC ＝1，点D 在上底面A 1B 1C 1（包括边界）上运动，则三棱锥D ﹣ABC 外接球表面积的最大值为（ ）A ．81π16B ．6πC ．243π64D ．2√6π二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．已知函数f(x)=2sinxcosx +cos(2x −π6)，下列结论正确的是（ ） A ．f （x ）的周期是πB ．f （x ）的图象关于点(π12，0)对称C ．f （x ）的单调递增区间为[−π3+kπ，π6+kπ](k ∈Z)D ．要得到g(x)=√3sin2x 的图象，只需把f （x ）的图象向右平移π6的单位10．已知直线l ：x ﹣my +3＝0和圆C ：x 2+y 2﹣6x +5＝0，下列结论成立的是（ ） A ．直线l ：x ﹣my +3＝0过定点（﹣3，0）B ．当直线l 与圆C 相交时，直线l ：x ﹣my +3＝0被圆所截的弦长最大值为4C ．当直线l 与圆C 相切时，则实数m =2√2D ．当实数m 的值为3时，直线l 与圆C 相交，且所得弦长为2√10511．设数列{a n }前n 项和为S n ，满足(a n −1)2=4(100−S n )，n ∈N *且a 1＞0，a 2＞0，则下列选项正确的是（ ） A ．a n ＝﹣2n +21B ．数列{S n n}为等差数列 C ．当n ＝11时S n 有最大值D ．设b n ＝a n a n +1a n +2，则当n ＝8或n ＝10时数列{b n }的前n 项和取最大值 12．点O 是△ABC 的外心，则下列选项正确的是（ ） A ．若AB ＝2，则AB →⋅AO →=2B ．若BD →=λ(BA →|BA →|+BC →|BC →|)且BD →=μBA →+(1−μ)BC →(λ，μ∈R)，则AD →=DC →C ．若2BO →=BA →+BC →，则B 为△ABC 的垂心D ．若∠B =π3，OB →=mOA →+nOC →，则m +n 的取值范围为[﹣2，1） 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知函数f(x)=x 3⋅3xa x −1(a ＞0且a ≠1)为偶函数，则a ＝ ．14．1889年7月由恩格斯领导的第二国际在巴黎举行代表大会，会议上宣布将五月一日定为国际劳动节．五一劳动节某单位安排甲、乙、丙B 人在5天假期值班，每天只需1人值班，且每人至少值班1天，已知甲在五一假期期间值班2天，则甲连续值班的概率是 ． 15．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在C 上，且PF 1⊥F 1F 2，直线PF 2与椭圆C 交于另一点Q ，与y 轴交于点M ，MF 2→=2F 2Q →，则椭圆C 的离心率为 ． 16．若x ＝0是函数f(x)=13x 3+ax 2+x −ln(x +1)的极大值点，则实数a 的取值范围是 ． 四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若2b sin A +b sin B ＝c sin2B ． （1）求角C ；（2）若点D 在边AB 上，b ＝2，CD ＝1，请在下列三个条件中任选一个，求边长AB ． ①CD 为△ABC 的一条中线； ②CD 为△ABC 的一条角平分线； ③CD 为△ABC 的一条高线．18．（12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，当n ≥2时，2S n ＝（n +1）a n ﹣2． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）设数列b n =2a n a n+1，求数列{b n }的前n 项和．19．（12分）已知四棱锥Q ﹣ABCD 的底面ABCD 是边长为2的正方形，且AB ⊥QD ，QA ＝QD ＝3． （1）求点B 到平面QCD 的距离； （2）求二面角B ﹣QD ﹣A 的正弦值．20．（12分）一个袋子里有大小相同的黑球和白球共10个，其中白球有a （0＜a ＜10，a ∈N *）个，每次随机摸出1个球，摸出的球再放回．设事件A 为“从袋子中摸出4个球，其中恰有两个球是白球”． （1）当a 取a 0时，事件A 发生的概率最大，求a 0的值；（2）以（1）中确定的a 0作为a 的值，甲有放回地从袋子中摸球，如果摸到黑球则继续摸球，摸到白球则停止摸球，摸球的次数记为X ，求X 的数学期望E （X ）．参考：（1）若P （X ＝k ）＝a k （k ＝1，2，3…），则E （X ）=lim ∑ n k=1ka k ；（2）lim n→∞n ⋅(12)n =0．21．（12分）已知点(1，√2)在抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）上，A 、B 为抛物线C 上的两个动点，AB 不垂直于x 轴，F 为焦点，且|AF |+|BF |＝5．（1）求p 的值，并证明AB 的垂直平分线过定点；（2）设（1）中的定点为Q ，求△ABQ 面积是否有最大值，若有，求出其最大值，若没有，请说明理由． 22．（12分）设函数f （x ）＝e x ，g （x ）＝e sin x +e cos x ． （1）求曲线y ＝f （x ）平行于直线y ＝x +3的切线； （2）讨论g （x ）的单调性．2023-2024学年山东省青岛二中高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．命题“∃x 0＞1，ln （x 0﹣1）≥0”的否定是（ ） A ．∀x ＞1，ln （x ﹣1）＜0 B ．∀x ≤1，ln （x ﹣1）＜0C ．∀x ＞1，ln （x ﹣1）≥0D ．∀x ≤1，ln （x ﹣1）≥0解：命题“∃x 0＞1，ln （x 0﹣1）≥0”的否定是：∀x ＞1，ln （x ﹣1）＜0． 故选：A ．2．已知集合A ＝{x ∈N *|1≤x ＜3}，B ＝{x |ax ﹣2＝0}，且A ∩B ＝B ，则实数a 的所有取值集合是（ ） A ．{1}B ．{1，2}C ．{0，1，2}D ．{0，2}解：由题意集合A ＝{1，2}， 因为A ∩B ＝B ，则B ⊆A ，当B ＝{1}时，a ﹣2＝0，解得a ＝2， 当B ＝{2}时，2a ﹣2＝0，解得a ＝1， 当B ＝{1，2}时，a 无解， 当B ＝∅时，a ＝0，综上，实数a 的取值集合为{0，1，2}． 故选：C ．3．若(1+x 14)8的展开式中共有m 个有理项，则m 的值是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4解：(1+x 14)8的展开式通项公式为：T r+1=C 8r x 2−14r，r ＝0，1，2，3，4，5，6，7，8，当r ＝0，4，8时，T 1，T 5，T 9为有理项，故m ＝3． 故选：C ．4．底面半径是1的圆锥，侧面积是3π，则圆锥的体积是（ ） A ．2√2πB ．√2πC ．2π3D ．2√2π3解：设圆锥的母线长为l ，高为h ，则π×1×l ＝3π， ∴l ＝3，∴h =√l 2−r 2=√9−1=2√2，∴圆锥的体积为13×π×12×ℎ=2√23π． 故选：D ．5．柯西不等式（Cauchy ﹣SchwarzLnequality ）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用．现给出一个二维柯西不等式：（a 2+b 2）（c 2+d 2）≥（ac +bd ）2，当且仅当ad ＝bc 时即ac =b d时等号成立．根据柯西不等式可以得知函数f(x)=3√4−3x +√3x −2的最大值为（ ） A ．2√5B ．2√3C ．√10D ．√13解：该函数的定义域为[23，43]，由柯西不等式可得：f(x)=3√4−3x +√3x −2≤√(32+12)(4−3x +3x −2)=2√5， 当且仅当√4−3x=√3x−2时取等号，即当x =1115时取等号．故选：A ．6．设曲线y ＝x 3﹣2x 2+1在x ＝k 处的切线为l ，若l 的倾斜角小于135°，则k 的取值范围是（ ） A ．(−∞，13)∪(1，+∞) B ．(−∞，0)∪(13，1)∪(43，+∞)C ．(−∞，13)∪[43，+∞)D ．(−∞，0]∪(13，1)∪[43，+∞)解：∵y ′＝3x 2﹣4x ，∴l 的斜率为3k 2﹣4k ．∵l 的倾斜角小于135°，∴l 的斜率小于﹣1或不小于0，则3k 2﹣4k ＜﹣1或3k 2﹣4k ≥0，解得k ∈(−∞，0]∪(13，1)∪[43，+∞)． 故选：D ．7．已知角α，β∈（0，π），且sin （α+β）+cos （α﹣β）＝0，sin αsin β﹣3cos αcos β＝0，则tan （α+β）＝（ ） A ．﹣2B ．−12C ．12D ．2解：∵sin （α+β）+cos （α﹣β）＝0， ∴sin αcos β+cos αsin β+cos αcos β+sin αsin β＝0， ∴sinαcosβ+cosαsinβcosαcosβ+sinαsinβ=−1，∴tanα+tanβ1+tanαtanβ=−1，∵sin αsin β﹣3cos αcos β＝0， ∴sin αsin β＝3cos αcos β， ∴tan αtan β＝3，代入tanα+tanβ1+tanαtanβ=−1，得tan α+tan β＝﹣4， 故tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ=2．故选：D ．8．如图，已知直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的底面是等腰直角三角形，AA 1＝2，AC ＝BC ＝1，点D 在上底面A 1B 1C 1（包括边界）上运动，则三棱锥D ﹣ABC 外接球表面积的最大值为（ ）A ．81π16B ．6πC ．243π64D ．2√6π解：因为△ABC 为等腰直角三角形，AC ＝BC ＝1， 所以△ABC 的外接圆的圆心为AB 的中点O 1，且AO 1=√22，连接O 1与A 1B 1的中点E ，则O 1E ∥AA 1，所以O 1E ⊥平面ABC ， 设球的球心为O ，由球的截面性质可得O 在O 1E 上， 设OO 1＝x ，DE ＝t （0≤t ≤√22），半径为R ，因为OA ＝OD ＝R ，所以√12+x 2=√(2−x)2+t 2，所以t 2＝4x −72，又0≤t ≤√22， 所以78≤x ≤1，因为R 2=12+x 2，所以R 2≤32，所以三棱锥D ﹣ABC 的外接球表面积的最大值为4πR 2＝6π．故选：B ．二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．已知函数f(x)=2sinxcosx +cos(2x −π6)，下列结论正确的是（ ） A ．f （x ）的周期是πB ．f （x ）的图象关于点(π12，0)对称C ．f （x ）的单调递增区间为[−π3+kπ，π6+kπ](k ∈Z)D ．要得到g(x)=√3sin2x 的图象，只需把f （x ）的图象向右平移π6的单位解：∵f （x ）＝2sin x cos x +cos （2x ﹣6）=sin2x +cos2xcos π6+sin2xsin π6=32sin2x +√32cos2x =√3sin(2x +π6)， 对于A ：f （x ）的周期T =2π2=π，故A 正确； 对于B ：当x =π12时，f （π12）=√3sin(2×π12+π6)=√3sin π3≠0，∴f （x ）的图象不关于点(π12，0)对称，故B 错误；对于C ：令−π2+2kπ≤2x +π6≤π2+2kπ(k ∈Z)，解得−π3+kπ≤x ≤π6+kπ(k ∈Z)，∴f （x ）的单调递增区间为[−π3+kπ，π6+kπ](k ∈Z)，故C 正确；对于D ：g(x)=√3sin2x 的图象向左平移π6个单位后解析式为g(x +π6)=√3sin[2(x +π6)]=√3sin(2x +π3)，故D 错误． 故选：AC ．10．已知直线l ：x ﹣my +3＝0和圆C ：x 2+y 2﹣6x +5＝0，下列结论成立的是（ ） A ．直线l ：x ﹣my +3＝0过定点（﹣3，0）B ．当直线l 与圆C 相交时，直线l ：x ﹣my +3＝0被圆所截的弦长最大值为4C ．当直线l 与圆C 相切时，则实数m =2√2D ．当实数m 的值为3时，直线l 与圆C 相交，且所得弦长为2√105解：直线l ：x ﹣my +3＝0，可得{x +3=0y =0，可知直线恒过（﹣3，0），所以A 正确；圆C ：x 2+y 2﹣6x +5＝0，圆心（3，0），半径为2，（﹣3，0）是圆外的点，直线不表示直线y ＝0， 所以直线l 与圆C 相交时，直线l ：x ﹣my +3＝0被圆所截的弦长没有最大值，所以B 不正确； 直线与圆相切，可得√1+m 2=2，解得m =±2√2，所以C 不正确；实数m 的值为3时，直线l ：x ﹣3y +3＝0，圆的圆心到直线的距离为：√1+9=√102．所以直线与圆C 相交，所以D 正确． 故选：AD ．11．设数列{a n }前n 项和为S n ，满足(a n −1)2=4(100−S n )，n ∈N *且a 1＞0，a 2＞0，则下列选项正确的是（ ） A ．a n ＝﹣2n +21B ．数列{S n n}为等差数列 C ．当n ＝11时S n 有最大值D ．设b n ＝a n a n +1a n +2，则当n ＝8或n ＝10时数列{b n }的前n 项和取最大值 解：A 选项，当n ＝1时，(a 1−1)2=4(100−a 1)， 又a 1＞0，解得a 1＝19，当n ≥2时，(a n −1)2=4(100−S n )①， (a n−1−1)2=4(100−S n−1)②，①﹣②得，(a n −1)2−(a n−1−1)2=4(100−S n )−4(100−S n−1)，即a n 2+2a n −a n−12+2a n−1=0，化为（a n +a n ﹣1）（a n ﹣a n ﹣1+2）＝0，∵a 1＞0，a 2＞0，∴a n +a n ﹣1＝0不能对任意的n ≥2恒成立， ∴a n ﹣a n ﹣1+2＝0， ∴a n ﹣a n ﹣1＝﹣2，故{a n }为等差数列，公差为﹣2，首项为a 1＝19， ∴通项公式为a n ＝19﹣2（n ﹣1）＝﹣2n +21，A 正确； B 选项，S n =n(a 1+a n )2=n(19+21−2n)2=−n 2+20n ， 故S n n=−n +20，则当n ≥2时，S n n−S n−1n−1=−n +20−(−n +21)=−1，故{Snn }为等差数列，B 正确；C 选项，S n =−n 2+20n =−(n −10)2+100，∴当n ＝10时，S n 取得最大值，C 错误；D 选项，令a n ＞0得1≤n ≤10，令a n ＜0得n ≥11， 则当n ∈[1，8]时，b n ＝a n a n +1a n +2＞0， 当n ＝9时，b 9＜0，当n ＝10时，b 10＞0， 当n ≥11时，b n ＜0，又b 9＝a 9a 10a 11＝3×1×（﹣1）＝﹣3，b 10＝a 10a 11a 12＝1×（﹣1）×（﹣3）＝3， 则当n ＝8或n ＝10时数列{b n }的前n 项和取最大值，D 正确． 故选：ABD ．12．点O 是△ABC 的外心，则下列选项正确的是（ ） A ．若AB ＝2，则AB →⋅AO →=2B ．若BD →=λ(BA →|BA →|+BC →|BC →|)且BD →=μBA →+(1−μ)BC →(λ，μ∈R)，则AD →=DC →C ．若2BO →=BA →+BC →，则B 为△ABC 的垂心D ．若∠B =π3，OB →=mOA →+nOC →，则m +n 的取值范围为[﹣2，1）解：对于A ：因为AB →⋅AO →=|AB →|⋅|AO →|⋅cos∠BAO =|AB →|×12|AB →|=12|AB →|2=2，故A 正确；对于B ：由BD →=μBA →+(1−μ)BC →（λ，μ∈R ）可知，点A ，D ，C 共线， 又BD →=λ(BA →|BA →|+BC→|BC →|) 可知，点D 在∠CBA 的角平分线上，所以BD 为△ABC 的角平分线，AD 与DC 不一定相等，故B 错误；对于C ：若2BO →=BA →+BC →则点O 是AC 的中点，点O 又是△ABC 的外心，所以∠ABC ＝90°，即B 为直角顶点，所以B 为垂心，故C 正确； 对于D ：因为∠B =π3 所以∠AOC =2π3如图，建立平面直角坐标系， 设C （r ，0），A(−12r ，√32r)，B （r cos θ，r sin θ），θ∈(2π3，2π)， 因为OB →=mOA →+nOC →，所以{rcosθ=m ⋅(−12r)+nrrsinθ=m ⋅√32r，得m =2√3，n =cosθ1√3， m +n =cosθ+√3sinθ=2sin(θ+π6)，θ∈(2π3，2π)，θ+π6∈(5π6，13π6)， sin(θ+π6)∈[−1，12)， 则m +n ∈[﹣2，1）．故D 正确． 故选：ACD ．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知函数f(x)=x 3⋅3xa x −1(a ＞0且a ≠1)为偶函数，则a ＝ 9 ． 解：∵f(x)=x 3⋅3xa x −1(a ＞0且a ≠1)为偶函数，y ＝x 3为奇函数，∴g （x ）=3xa x −1=1(a 3)x −3−x 为奇函数，法1°：y =(a 3)x −3﹣x为奇函数，又y ＝3x ﹣3﹣x为奇函数，∴a3=3，∴a ＝9．法2°：∵y =(a3)x −3﹣x为奇函数，其定义域为R ，∴(a 3)1−13+(a 3)−1−3＝0，整理得a 2﹣10a +9＝0， 解得a ＝9或a ＝1（舍去）． 故答案为：9．14．1889年7月由恩格斯领导的第二国际在巴黎举行代表大会，会议上宣布将五月一日定为国际劳动节．五一劳动节某单位安排甲、乙、丙B 人在5天假期值班，每天只需1人值班，且每人至少值班1天，已知甲在五一假期期间值班2天，则甲连续值班的概率是25．解：由题意知，甲在五一长假期间值班2天，有C 52=10种值班方法，其中甲连续2天值班的情况有4种， 所以甲连续值班的概率P =410=25．故答案为：25．15．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在C 上，且PF 1⊥F 1F 2，直线PF 2与椭圆C 交于另一点Q ，与y 轴交于点M ，MF 2→=2F 2Q →，则椭圆C 的离心率为 √217． 解：如图，因为OM ∥PF 1，所以点M 是PF 2的中点，连接F 1Q ， 由MF 2→=2F 2Q →，得|PF 2|＝4|F 2Q |，设|F 2Q |＝t ，则|PF 2|＝4t ，|PF 1|＝2a ﹣4t ，|QF 1|＝2a ﹣t ，由余弦定理得|QF 1|2=|PF 1|2+|PQ|2−2|PF 1||PQ|cos∠F 1PQ ， （2a ﹣t ）＝2（2a ﹣4t ）2+（5t ）2﹣2（2a ﹣4t ）×5t ×2a−4t4t， 整理得t =514a ，则|F 1F 2|=√(4t)2−(2a −4t)2=√16at −4a 2=2√217a ， e =2c2a =|F 1F 2|2a =√217． 故答案为：√217． 16．若x ＝0是函数f(x)=13x 3+ax 2+x −ln(x +1)的极大值点，则实数a 的取值范围是 (−∞，−12) ． 解：由f(x)=13x 3+ax 2+x −ln(x +1)， 得f ′(x)=x 2+2ax +1−1x+1， 所以f ″(x)=2x +2a +1(x+1)2，因为x ＝0是函数f(x)=13x 3+ax 2+x −ln(x +1)的极大值点， 所以f ′（0）＝1﹣1＝0，且f ''（0）＜0， 所以2a +1＜0，所以a ＜−12． 故答案为：(−∞，−12)．四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若2b sin A +b sin B ＝c sin2B ． （1）求角C ；（2）若点D 在边AB 上，b ＝2，CD ＝1，请在下列三个条件中任选一个，求边长AB ． ①CD 为△ABC 的一条中线； ②CD 为△ABC 的一条角平分线； ③CD 为△ABC 的一条高线． 解：（1）因为2b sin A +b sin B ＝c sin2B ，所以由正弦定理得：2sin B sin A +sin B sin B ＝2sin C sin B cos B ， 因为B ∈（0，π），所以sin B ≠0，所以2sin A +sin B ＝2sin C cos B ， 因为sin A ＝sin （B +C ）＝sin B cos C +cos B sin C ， 所以2sin B cos C +sin B ＝0，所以cosC =−12， 因为C ∈（0，π），所以C =23π；（2）选择①，因为CD 为△ABC 的一条中线， 所以CD →=12(CA →+CB →)，所以CD →2=14(CA →2+CB →2+2CA →⋅CB →)，即1=14[4+a 2+2×2a ×(−12)]，解得：a ＝2，由余弦定理得：AB =c =√a 2+b 2−2abcosC =√4+4−2×2×2×(−12)=2√3； 选择②，因为CD 为△ABC 的一条角平分线， 所以S △ACD +S △BCD ＝S △ABC ，即12b ⋅CD ×√32+12a ⋅CD ×√32=12ab ×√32， 因为b ＝2，CD ＝1，所以a ＝2，由余弦定理得：AB =c =√a 2+b 2−2abcosC =√4+4−2×2×2×(−12)=2√3； 选择③，因为CD 为△ABC 的一条高线， 所以S △ABC =12absinC =12c ⋅CD ， 因为b ＝2，CD ＝1，所以c =√3a ，由余弦定理有：c 2＝a 2+b 2﹣2ab cos C ，即3a 2=a 2+4−4a ×(−12)， 解得：a ＝2或a ＝﹣1（舍去），所以c =2√3．，即AB =2√3．18．（12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，当n ≥2时，2S n ＝（n +1）a n ﹣2． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）设数列b n =2a n a n+1，求数列{b n }的前n 项和． 解：（1）因为当n ≥2时，2S n ＝（n +1）a n ﹣2且a 1＝1， 若n ＝2，则2S 2＝2（1+a 2）＝3a 2﹣2，解得a 2＝4， 若n ≥3，则2S n ﹣1＝na n ﹣1﹣2， 两式相减可得2a n ＝（n +1）a n ﹣na n ﹣1， 整理得a n n=a n−1n−1，即a n n=a n−1n−1=...=a 22=2，可得a n ＝2n ，可知n ＝1不符合上式，n ＝2符合上式， 所以a n ={1，n =12n ，n ≥2．（2）因为b n =2a n a n+1={2，n =112n(n+1)，n ≥2，即b n ={2，n =1⋅12(1n−1n+1)，n ≥2， 当n ＝1时，令数列{b n }的前n 项和为T n ，则T n ＝2；当n ≥2时，则T n ＝b 1+b 2+...+b n ，＝2+12[(12−13)+(13−14)+...+(1n −1n+1)]=2+12×(12−1n+1)=94−12(n+1)，可知n ＝1符合上式，所以T n =94−12(n+1)． 19．（12分）已知四棱锥Q ﹣ABCD 的底面ABCD 是边长为2的正方形，且AB ⊥QD ，QA ＝QD ＝3． （1）求点B 到平面QCD 的距离； （2）求二面角B ﹣QD ﹣A 的正弦值．解：（1）因为底面ABCD 是正方形，所以AB ⊥AD ， 又因为AB ⊥QD ，AD ∩QD ＝D ，所以AB ⊥平面QAD ， 又因为AB ⊂平面ABCD ，所以平面ABCD ⊥平面QAD ， 因为平面QAD ∩平面ABCD ＝AD ，QA ＝QD ， 取AD 的中点O ，连接QO ，则QO ⊥AD ，以O 为原点，OD 所在直线为y 轴，OQ 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示：则B （2，﹣1，0），C （2，1，0），D （0，1，0），Q （0，0，2√2）， BC →=（0，2，0），DC →=（2，0，0），DQ →=（0，﹣1，2√2），设平面QCD 的一个法向量为n →=（x ，y ，z ），则{n →⋅DC →=2x =0n →⋅DQ →=−y +2√2z =0，令z ＝1，则y ＝2√2，x ＝0，所以n →=（0，2√2，1），所以点B 到平面QCD 的距离为d =|BC →⋅n →||n →|=|0+4√2+0|0+8+1=4√23；（2）因为平面ADQ 的一个法向量为DC →=（2，0，0），DB →=（2，﹣2，0），设平面BDQ 的一个法向量为m →=（x ，y ，z ），则{m →⋅DB →=2x −2y =0m →⋅DQ →=−y +2√2z =0，令z ＝1，则y ＝2√2，x ＝2√2，所以m →=（2√2，2√2，1）， 设二面角B ﹣QD ﹣A 为θ，则θ∈[0，π]， 计算cos θ=m →⋅DC →|m →||DC →|=4√2+0+08+8+1×2=2√217，sin θ=√1−cos 2θ=√1−817=3√1717， 所以二面角B ﹣QD ﹣A 的正弦值为3√1717． 20．（12分）一个袋子里有大小相同的黑球和白球共10个，其中白球有a （0＜a ＜10，a ∈N *）个，每次随机摸出1个球，摸出的球再放回．设事件A 为“从袋子中摸出4个球，其中恰有两个球是白球”．（1）当a 取a 0时，事件A 发生的概率最大，求a 0的值；（2）以（1）中确定的a 0作为a 的值，甲有放回地从袋子中摸球，如果摸到黑球则继续摸球，摸到白球则停止摸球，摸球的次数记为X ，求X 的数学期望E （X ）．参考：（1）若P （X ＝k ）＝a k （k ＝1，2，3…），则E （X ）=lim n→∞∑ n k=1ka k ；（2）lim n→∞n ⋅(12)n =0．解：（1）每次随机摸出1个球，摸到白球的概率为a10，摸到黑球的概率为1−a10， 所以件A 为“从袋子中摸出4个球，其中恰有两个球是白球“的概率为P （A ）=C 42•（a10）2•（1−a10）2＝6[a10（1−a10）]2，因为a10（1−a10）≤[a 10+(1−a10)2]2=14，当且仅当a10=1−a10=12时，a ＝5，即等号成立，故a 0＝5．（2）由（1）知：每次随机摸出1个球，摸到白球的概率为12， X ＝1，2，3…，P （X ＝k ）＝a k （k ＝1，2，3…）， P （X ＝1）＝a 1=12， P （X ＝2）＝a 2=122， P （X ＝3）＝a 3=123，…， P （X ＝k ）＝a k =12k ，…，所以∑ n i=1ka k =∑ni=1k 2k=12+222+323+...+n2n ，① 12∑ n i=1ka k =122+223+324+...+n−12n +n2n+1，② ①﹣②得：12∑ n i=1ka k =12+122+123+...+12n −n2n+1=12−12n+11−12−n 2n+1=1−2+n2n+1， 所以∑ n i=1ka k ＝2−n+22n ， E （X ）=lim n→∞∑ n i=1ka k =lim n→∞（2−n+22n ）＝2． 21．（12分）已知点(1，√2)在抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）上，A 、B 为抛物线C 上的两个动点，AB 不垂直于x 轴，F 为焦点，且|AF |+|BF |＝5．（1）求p 的值，并证明AB 的垂直平分线过定点；（2）设（1）中的定点为Q ，求△ABQ 面积是否有最大值，若有，求出其最大值，若没有，请说明理由． 解：（1）因为点(1，√2)在抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）上， 所以2＝2P ，解得P ＝1， 所以抛物线的方程为y 2＝2x ，设直线AB 的方程为y ＝kx +m ，（k ≠0），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 由{y =kx +m y 2=2x ，得k 2x 2+2（km ﹣1）x +m 2＝0， Δ＝4（km ﹣1）2﹣4k 2m 2＝4（1﹣2km ）＞0， x 1+x 2=−2(km−1)k2，x 1x 2=m 2k2，因为|AF |+|BF |＝5，所以x 1+x 2+1=−2(km−1)k2+1＝5，km ＝1﹣2k 2，所以m =1k −2k ，① 设AB 的中点为（x 0，y 0）， 所以x 0=x 1+x 22=2，y 0＝kx 0+m ＝2k +m ， 所以AB 的垂直平分线方程为y ﹣2k ﹣m =−1k（x ﹣2），② 联立①②，可得y =−1k（x ﹣3）， 所以AB 的垂直平分线过定点（3，0）． （2）|AB |=√1+k 2•2√1−2kmk 2=√1+k2•2√4k 2−1k 2，点Q 到直线AB 的距离为d ：d =|3k+m|√1+k=|k+1k|√1+k，所以S △ABQ =12|AB |d =12√1+k 2•2√4k 2−1k 2•|k+1k |√1+k 2=(k 2+1)√4k 2−1k 3，S △ABQ 2=(k 2+1)2(4k 2−1)k6=（1+1k2）2（4−1k2）， 令1k 2=t ，则0＜t ＜4，f （t ）＝（t +1）2（4﹣t ），f ′（t ）＝2（t +1）（4﹣t ）﹣（t +1）2＝（t +1）（7﹣3t ）＝0， 解得：t ＝﹣1（舍去），t =73，当0＜t ＜73时，f ′（t ）＞0，当73＜t ＜4时，f ′（t ）＜0，所以f （t ）在（0，73）单调递增，在（73，4）单调递减，所以当t =73时，f （t ）取最大值为（73+1）2×（4−73）=50027，所以△ABQ 面积最大值为10√159．22．（12分）设函数f （x ）＝e x ，g （x ）＝e sin x +e cos x ． （1）求曲线y ＝f （x ）平行于直线y ＝x +3的切线； （2）讨论g （x ）的单调性．解：（1）∵f （x ）＝e x ，f ′（x ）＝e x ， ∴f ′（t ）＝1⇒e t ＝1⇒t ＝0，f （0）＝1，∴曲线y ＝f （x ）平行于直线y ＝x +3的切线方程为y ﹣1＝1•（x ﹣0）即y ＝x +1．（2）∵令p(x)=e x x （x ＜1），则 p ′(x)=e x (x−1)x 2＜0 恒成立，p(x)=e xx 在（﹣∞，0），（0，1）上单调递减．g （x ）＝e sin x +e cos x ，g ′（x ）＝e sin x •cos x ﹣e cos x •sin x ，∴g ′（x ）＞0⇒sinx ⋅cosx(e sinxsinx −e cosxcosx )＞0⇒{sinxcosx ＞0sinx ＜cosx或{sinxcosx ＜0sinx ＜0cosx ＞0⇒2kπ＜x ＜2kπ+π4或2kπ+5π4＜x ＜2kπ+3π2或2kπ+3π2＜x ＜2kπ+2π（k ∈Z ），∴g （x ）在(2kπ，2kπ+π4)(k ∈Z)，(2kπ+5π4，2kπ+2π)(k ∈Z)上单调递增，在(2kπ+π4，2kπ+5π4)（k ∈z ）上单调递减．。
山东省2014届理科数学一轮复习试题选编7：函数的综合问题
山东省2014届理科数学一轮复习试题选编7：函数的综合问题一、选择题错误！未指定书签。
．（山东省潍坊市2013届高三第二次模拟考试理科数学）某学校要召开学生代表大会,规定根据班级人数每10人给一个代表名额,当班级人数除以10的余数大于6时,再增加一名代表名额.那么各班代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数[]y x =([x]表示不大于*的最大整数)可表示为 （ ） A ．[]10xy = B ．3[]10x y += C ．4[]10x y += D ．5[]10x y += 【答案】B 法一:特殊取值法,若x=56,y=5,排除 C ．D,若x=57,y=6,排除A,所以选B法二:设)90(10≤≤+=ααm x ,，时⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+≤≤10103103,60x m m x αα 1101103103,96+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+≤<x m m x αα时当,所以选B 错误！未指定书签。
．（山东省寿光市2013届高三10月阶段性检测数学（理）试题）已知函数321,,1,12()111,0,.362x x x f x x x ⎧⎛⎤∈ ⎪⎥+⎪⎝⎦=⎨⎡⎤⎪-+∈⎢⎥⎪⎣⎦⎩函数π()s i n ()22(0)6g x a x a a =-+ ,若存在[]12,0,1x x ∈,使得12()()f x g x =成立,则实数a 的取值范围是（ ）A ．14,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦C ．24,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B错误！未指定书签。
．（山东省德州市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）若对于定义在R 上的函数f(x),存在常数()t t R ∈,使得f(x+t)+tf(x)=0对任意实数x 均成立,则称f(x )是阶回旋函数,则下面命题正确的是 （ ） A ．f(x)=2x是12-阶回旋函数 B ．f(x)=sin(πx)是1阶回旋函数 C ．f (x)=x 2是1阶回旋函数 D ．f(x)=log a x 是0阶回旋函数【答案】B错误！未指定书签。
2013山东高考数学试卷(理科)及答案详解
2013年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷） 理 科 数 学参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么()()+()P A B P A P B += 如果事件A 、B 独立，那么()()()=•P AB P A P B 。
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题。
每小题5分共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、复数z 满组(3)(2)5--=z i （z 为虚数单位），则z 的共轭复数z 为(A) 2+i (B) 2-i (C) 5+i (D) 5-i2、已知集合{}0,1,2=A ，则集合{},=-∈∈B x y x A y A 中元素的个数是(A) 1 (B) 3 (C) 5 (D) 93、已知函数()f x 为奇函数，且当0>x 时，21(),=+f x x x则(1)-=f (A) -2 (B) 0 (C) 1 (D) 24、已知三棱柱111-ABC A B C 的侧棱与底面垂直，体积为94，底面是边长为3的正三角形，若P 为底面111A B C 的中心，则PA 与平面ABC 所成角的大小为(A)512π (B) 3π (C) 4π (D) 6π 5、将函数sin(2)ϕ=+y x 的图象沿x 轴向左平移8π个单位后，得到一个偶函数的图象，则ϕ的一个可能取值为 (A)34π (B) 4π(C) 0 (D) 4π- 6、在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组220210,380，--≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩x y x y x y 所表示的区域上一动点，则直线OM的斜率的最小值为(A) 2 (B) 1 (C) 13-(D) 12- 7、给定两个命题,.p q若⌝p 是q 的必要不充分条件，则p 是⌝q 的(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件8、函数cos sin =+y x x x 的图象大致为πOxyπO xy πOxyπOxy(A) (B) (C) (D)9、过点(3,1)作圆22(1)1-+=x y 的两条切线，切点分别为,A B ，则直线AB 的方程为(A) 230+-=x y (B) 230--=x y (C) 430--=x y (D) 430+-=x y 10、用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为(A) 243 (B) 252 (C) 261 (D) 27911、抛物线211:(0)2=>C y x p p 的焦点与双曲线222:13-=x C y 的右焦点的连线交1C 于第一象限的点.M若1C 在点M 处的切线平行于2C 的一条渐近线，则=p(A)316 (B) 38 (C) 233 (D) 43312、设正实数,,x y z 满足22340.-+-=x xy y z 则当xyz取得最大值时，212+-x y z 的最大值为(A) 0 (B) 1 (C) 94(D) 3第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
高三数学：专题02 常用逻辑用语 理(教师版)
山东省2013届高三数学 各地市最新模拟理数试题精品分类汇编 专题02 常用逻辑用语 理（教师版）一、选择题1. (山东省济南市2013年1月高三上学期期末理10)非零向量,a b 使得||||||a b a b +=-成立的一个充分非必要条件是A. //a bB. 20a b +=C. ||||a ba b =D. a b =2．(山东省德州市2013年1月高三上学期期末校际联考理3)设,,,,a b R ∈则“1a ≥且1b ≥”是“2a b +≥”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．(山东省淄博市2013届高三上学期期末理5) “1-=m ”是“直线02)12(=+-+y m mx 与直线033=++my x 垂直”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当210m -=，即12m =时，两直线方程为4x =-和13302x y ++=，此时两直线不垂直。
当0m =时，两直线方程为2y =和1x =-，此时两直线垂直。
当0m ≠且12m ≠时，两直线方程为21212m y x m m =+--和33y x mm=--，两直线的斜率为3,12m mm--，要使两直线垂直，则有3()112m mm⨯-=--，解得1-=m ，所以直线02)12(=+-+y m mx与直线033=++my x 垂直”则有1-=m 或0m =，所以1-=m 是两直线垂直的充分而不必要条件，选A.4.(山东省诸城市2013届高三12月月考理)“22a b >”是22log log a b >”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5.(山东省枣庄三中2013年1月高三上学期阶段测试理)已知,a b R +∈，那么 “122<+b a ” 是“1ab a b +>+”的A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件6.(山东省潍坊市四县一区2013届高三11月联考理)下列命题中的假命题是 A.02,1>∈∀-x R x B.1lg ,<∈∃x R xC.0,2>∈∀x R x D.2tan ,=∈∃x R x7.(山东省潍坊市四县一区2013届高三11月联考理）已知条件1:≤x p ，条件11:<x q ，则p 是q ⌝成立的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件8.(山东省泰安市2013届高三上学期期中考试理)命题“所有实数的平方都是正数”的否定为A.所有实数的平方都不是正数B.有的实数的平方是正数C.至少有一个实数的平方是正数D.至少有一个实数的平方不是正数9.(山东省实验中学2013届高三第三次诊断性测试理)设}{}2,1{2a N M ==，，则”“1=a 是”“M N ⊆的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件10.(山东省实验中学2013届高三第三次诊断性测试理)设命题p ：曲线x e y -=在点），（e 1-处的切线方程是：ex y -=；命题q :b a ,是任意实数，若b a >，则1111+<+b a ，则（ ）A.“p 或q ”为真B.“p 且q ”为真C.p 假q 真D.p ，q 均为假命题11.(山东省实验中学2013届高三第一次诊断性测试理)如果命题 “⌝(p 或q)”为假命题，则A ．p ，q 均为真命题B ．p ，q 均为假命题C ．p ，q 中至少有一个为真命题D ． p, q 中至多有一个为真命题12.(山东省实验中学2013届高三第二次诊断性测试理)若)(x f 是R 上的增函数，且2)2(,4)1(=-=-f f ，设{}31)(|<++=t x f x P ，{}4)(|-<=x f x Q ，若“P x ∈”是“Q x ∈的充分不必要条件，则实数t 的取值范围是A.1-≤tB.1->tC.3≥tD.3>t13.(山东省聊城市东阿一中2013届高三上学期期初考试)是的（ ）A .充分不必要条件 B.必要不充分条件C .充要条件D. 既不充分也不必要条件14.(山东省临沂市2013届高三上学期期中考试理)已知命题:,30xp x ∀∈>R ，则 A ．0:,30xp x ⌝∃∈≤RB ．:,30xp x ⌝∀∈≤RC ．0:,30xp x ⌝∃∈<RD ．:,30xp x ⌝∀∈<R15.(山东省青岛市2013届高三上学期期中考试理)在A B C ∆中，“A B >”是“tan tan A B >”的A 充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件16.(山东省青岛市2013届高三上学期期中考试理)给出下列三个结论：（1）若命题p 为真命题，命题q ⌝为真命题，则命题“p q ∧”为真命题；（2）命题“若0xy =，则0x =或0y =”的否命题为“若0xy ≠，则0x ≠或0y ≠”；（3）命题“,20x x ∀∈>R ”的否定是“ ,20x x ∃∈≤R ”.则以上结论正确的个数为 A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个17.(山东省济南外国语学校2013届高三上学期期中考试理)"1""||1"x x >>是的（ ） A ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件18.(山东省德州市乐陵一中2013届高三10月月考理)下列有关命题的说法正确的是 A ．命题“若0xy =，则0x =”的否命题为：“若0xy =，则0x ≠” B ．“若0=+y x ，则x ，y 互为相反数”的逆命题为真命题C ．命题“R ∈∃x ，使得2210x -<”的否定是：“R ∈∀x ，均有2210x -<”D ．命题“若cos cos x y =，则x y =”的逆否命题为真命题二、填空题：19.(山东省诸城市2013届高三12月月考理)已知命题P ：x ∀∈[0,l],x a e ≥，命题q ：“x ∃∈R ，x 2+4x+a=0”，若命题“p∧q”是真命题，则实数a 的取值范围是 ；三、解答题：20.(山东省德州市乐陵一中2013届高三10月月考理)（本小题满分12分）设命题p ：实数x 满足03422<+-a ax x ，其中0<a ；命题q ：实数x 满足2280,x x +->且p q ⌝⌝是的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.21.(山东省泰安市2013届高三上学期期中考试理)（本小题满分12分）已知集合A 为函数()()()lg 1lg 1f x x x =+--的定义域，集合{}22120B x a ax x =---≥.（I ）若112A B xx ⎧⎫⋂=≤<⎨⎬⎩⎭，求a 的值； （II ）求证2a ≥是A B φ⋂=的充分不必要条件. 【解析】22.(山东省烟台市莱州一中20l3届高三第二次质量检测理）已知全集U=R ，非空集合{23x A xx -=-＜}0，{()()22B x x a x a =---＜}0.（1）当12a =时，求()U C B A ⋂；（2）命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围. 【解析】23.(山东省烟台市莱州一中2013届高三10月月考理）（12分）已知{}{}m2,--208≤=1Sxxxx-P≤x=（1）若PS⋃，求实数m的取值范围；P⊆（2）是否存在实数m，使得“Px∈”的充要条件，若存在，求出m的取值范x∈”是“S围；若不存在，请说明理由.【解析】。
山东省青岛市2014届高三上学期期中考试 数学理 Word版
山东省青岛市2014届高三上学期期中考试数学（理科）练习题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔和0.5毫米黑色签字笔（中性笔）将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题纸各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集R U =,{|A x y ==,则U C A =A ．[0,)+∞B ．(,0)-∞C ．(0,)+∞D ．(,0]-∞ 2.已知命题p 、q ，则“p ∧q 为真”是“p ∨q 为真”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3.向量1(,tan )3a α=，(cos ,1)b α=，且a ∥b ，则cos2α= A. 13- B.13C. 79-D. 794.在正项等比数列}{n a 中，369lg lg lg 6a a a ++=，则111a a 的值是 A. 10000 B. 1000 C. 100 D. 105.已知0,a >且1a ≠，函数log ,,xa y x y a y x a ===+在同一坐标系中的图象可能是6.定义运算a b ad bc c d=-，若函数()123x f x xx -=-+在(,)m -∞上单调递减，则实数m 的取值范围是A ．(2,)-+∞B ．[2,)-+∞C ．(,2)-∞-D ．(,2]-∞-7.设x ，y 满足约束条件0023x y x y a≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，若目标函数11y z x +=+的最小值为12，则a 的值为A ．2B ．4C ．6D ．88.已知33)6cos(-=-πx ,则=-+)3cos(cos πx x A ．332-B ．332±C ．1-D ．1±9.下列命题中正确的是A .1y x x =+的最小值是2 B .()4230y x x x=-->的最大值是2- C .224sin sin y x x=+的最小值是4 D .()4230y x x x =--<的最小值是2- 10.已知等差数列{}n a 的公差0d >，若12320132013t a a a a a ++++=（*N t ∈），则t =A ． 2014B ．2013C ．1007D ．1006 11.设a 、b 都是非零向量,下列四个条件中,一定能使0||||a b a b +=成立的是 A ．13a b =- B ．//a b C ．2a b = D ．a b ⊥12.已知函数()f x 的导函数图象如图所示，若ABC ∆为锐角三角形，则一定成立的是A ．(cos )(cos )f A fB < B ．(sin )(cos )f A f B <C ．(sin )(sin )f A f B >D ．(sin )(cos )f A f B >第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13.已知函数12log ,1()24,1x x x f x x >⎧⎪=⎨⎪+≤⎩,则1(())2f f = . 14.曲线2sin 0)y xx π=≤≤（与直线1y =围成的封闭图形的面积为 . 15.已知函数()f x 是(,)-∞+∞上的奇函数,且()f x 的图象关于直线1x =对称,当[1,0]x ∈-时,()f x x =-，则(2013)(2014)f f += .16.若对任意x A ∈，y B ∈，（A 、R B ⊆）有唯一确定的(,)f x y 与之对应，称(,)f x y 为关于x 、y 的二元函数. 现定义满足下列性质的二元函数(,)f x y 为关于实数x 、y 的广义“距离”:（1）非负性:(,)0f x y ≥，当且仅当x y =时取等号； （2）对称性:(,)(,)f x y f y x =；（3）三角形不等式:(,)(,)(,)f x y f x z f z y ≤+对任意的实数z 均成立. 今给出个二元函数:①(,)||f x y x y =-；②2(,)()f x y x y =-③(,)f x y =；④(,)sin()f x y x y =-.则能够成为关于的x 、y 的广义“距离”的函数的所有序号是 .三、解答题：本大题共6小题,共74分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）已知函数2()2sin cos f x x x x ωωω=+0ω>）的最小正周期为π．（Ⅰ）求函数)(x f 的单调增区间； （Ⅱ）将函数)(x f 的图象向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到函数()y g x =的图象．若()y g x =在[0,](0)b b >上至少含有10个零点，求b 的最小值．18．（本小题满分12分）已知数列{}n d 满足n d n =，等比数列{}n a 为递增数列，且251021,2()5n n n a a a a a ++=+=，N n *∈.（Ⅰ）求n a ；（Ⅱ）令1(1)nn n c a =--，不等式2014(1100,N )k c k k *≥≤≤∈的解集为M ，求所有()k k d a k M +∈的和.19．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角A B C 、、对边分别是a b c 、、，且满足222()AB AC a b c ⋅=-+． （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若a =ABC ∆的面积为,b c ．20．（本小题满分12分）已知函数2()2(R)f x x x b b =++∈.（Ⅰ）若函数()f x 的值域为[0,)+∞，若关于x 的不等式()(0)f x c c <>的解集为(,6)(R)k k k +∈，求c 的值；（Ⅱ）当0b =时，m 为常数，且01m <<，11m t m -≤≤+，求2()()21f t t t f t t ---+的取值范围.21．（本小题满分13分）某连锁分店销售某种商品,每件商品的成本为4元,并且每件商品需向总店交(13)a a ≤≤元的管理费,预计当每件商品的售价为(79)x x ≤≤元时,一年的销售量为2(10)x -万件．（Ⅰ）求该连锁分店一年的利润L （万元）与每件商品的售价x 的函数关系式()L x ; （Ⅱ）当每件商品的售价为多少元时,该连锁分店一年的利润L 最大,并求出L 的最大值．22．（本小题满分13分）已知函数21()2xf x e x ax =--(R)a ∈． （Ⅰ）若函数()f x 的图象在0x =处的切线方程为2y x b =+，求a ，b 的值； （Ⅱ）若函数在R 上是增函数，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）如果函数21()()()2g x f x a x =--有两个不同的极值点12,x x ，证明：2a >．高三数学（理科）练习题 参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分． B A D A C D A C B C A D二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13.2- 14. 23π15.1- 16．① 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由题意得()f x =22sin cos x x x ωωω+-sin 222sin(2)3x x x πωωω==- ………………2分由周期为π，得1ω=. 得()2sin(2)3f x x π=- ………………4分由正弦函数的单调增区间得222232k x k πππππ-≤-≤+，得5,1212k x k k Z ππππ-≤≤+∈ 所以函数)(x f 的单调增区间是5[,],Z 1212k k k ππππ-+∈ ………………6分 （Ⅱ）将函数)(x f 的图象向左平移6π个单位，再向上平移1个单位， 得到2sin 21y x =+的图象，所以()2sin 21g x x =+…………………………8分 令()0g x =，得：712x k ππ=+或11(Z)12x k k ππ=+∈…………………………10分 所以在每个周期上恰好有两个零点， 若()y g x =在[0,]b 上有10个零点， 则b 不小于第10个零点的横坐标即可， 即b 的最小值为115941212πππ+=…………………………12分18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设{}n a 的首项为1a ，公比为q ，所以42911()a q a q =，解得1a q = …………2分 又因为212()5n n n a a a +++=，所以22()5n n n a a q a q +=则22(1)5q q +=，22520q q -+=，解得12q =（舍）或2q = …………4分 所以1222n nn a -=⨯= …………6分 （Ⅱ）则1(1)1(2)n nn n c a =--=--, n d n =当n 为偶数，122014n n c =-≥，即22013n≤-，不成立 当n 为奇数，1+22014n n c =≥，即22013n≥，因为10112=10242=2048，，所以21,549n m m =+≤≤ …………9分 则{}k d 组成首项为11，公差为2的等差数列{}()k a k M ∈组成首项为112，公比为4的等比数列则所有()k k d a k M +∈的和为114510110145(11+99)2(14)2204825377247521433--++=+=-…………12分 19．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由题意可得2222cos 2bc A a b c bc =---， ………………2分由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得4cos 2bc A bc =-， ……………4分∴1cos 2A =-， ∵0A π<<，∴23A π= ………………6分（Ⅱ）1sin 162S bc A bc ==⇔= ………………8分 222222cos 328a b c bc A b c b c =+-⇔+=⇔+=………………10分 解得：4b c == ………………12分 20．（本小题满分12分）解（Ⅰ）由值域为[0)+∞，，当22=0x x b ++时有440b =-=V ， 即1b = …………2分则22()21(1)f x x x x =++=+，由已知2()(1)f x x c =+<解得1x +<11x << ……………4分不等式()f x c <的解集为(6)k k +，，∴1)(1)6-==， 解得9c = ……………6分（Ⅱ）当0b =时，2()2f x x x =+，所以22()=()211f t t t tf t t t ---++因为01m <<，11m t m -≤≤+，所以0112m t m <-≤≤+<令2()=1tg t t +，则2221()=(1)t g t t -'+……………8分 当01t <<时，()0g t '>，()g t 单调增，当12t <<时，()0g t '<，()g t 单调减， 所以当1t =时，()g t 取最大值，1(1)2g =……………10分 因为2211(1)(1)(1)1(1)1m mg m g m m m -+--+=--+++32220[(1)1][(1)1]m m m -=<-+++，所以(1)(1)g m g m -<+ 所以2()=1tg t t +的范围为211[,](1)12m m --+……………12分 21．（本小题满分13分）解: （Ⅰ）由题得该连锁分店一年的利润L （万元）与售价x 的函数关系式为2()(4)(10),[7,9]L x x a x x =---∈. ……………………………3分（Ⅱ）2()(10)2(4)(10)L x x x a x '=-----(10)(1823),x a x =-+- …………………………………………6分 令'()0L x =，得263x a =+或10x = ……………………………8分 20213,6833a a ≤≤∴≤+≤.①当2673a +≤，即312a ≤≤时， [7,9]x ∴∈时，()0L x '≤，()L x 在[7,9]x ∈上单调递减，故max ()(7)279L x L a ==- ……………10分 ②当2673a +>，即332a <≤时， 2[7,6]3x a ∴∈+时，'()0L x >；2[6,9]3x a ∈+时，()0L x '<()L x ∴在2[7,6]3x a ∈+上单调递增；在2[6,9]3x a ∈+上单调递减，故3max 2()(6)4(2)33a L x L a =+=- ……………12分答:当312a ≤≤每件商品的售价为7元时,该连锁分店一年的利润L 最大,最大值为279a -万元；当332a <≤每件商品的售价为263a +元时,该连锁分店一年的利润L 最大,最大值为34(2)3a-万元. ……………13分22．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）∵()xf x e x a '=--，∴ (0)1f a '=-．于是由题知12a -=，解得1a =-．………………………………………………2分 ∴ 21()2xf x e x x =-+． ∴ (0)1f =，于是120b =⨯+，解得1b =．……………………………………………………4分（Ⅱ）由题意()0f x '>即0xe x a --≥恒成立，∴ xa e x ≤-恒成立．……………………………………………………5分 设()xh x e x =-，则()1xh x e '=-．当x 变化时，()h x '、()h x 的变化情况如下表：∴min()h x ， ∴ 1a ≤…………………………………………………………………………8分 （Ⅲ）由已知222211()22xx g x e x ax ax x e ax ax =---+=--， ∴ ()2xg x e ax a '=--．∵12 ,x x 是函数()g x 的两个不同极值点（不妨设12x x <），∴20xe ax a --=（*）有两个不同的实数根12 ,x x ………………………10分当12x =-时，方程（*）不成立 则21x e a x =+，令()21xe p x x =+，则2(21)()(21)x e x p x x -'=+由()0p x '=得：12x =当x 变化时，()p x ，()p x '变化情况如下表：x1(,)2-∞-11(,)22-121(,)2+∞()p x--+()p x '单调递减单调递减极小值单调递增∴当1(,)2x ∈-∞-时，方程（*）至多有一解，不合题意；……………12分当1(,)2x ∈-+∞时，方程（*）若有两个解，则1()22a p >=所以，a >13分。
【2013备考】各地名校试题解析分类汇编(一)理科数学：6平面向量
各地解析分类汇编:平面向量1.【云南省昆明一中2013届高三新课程第一次摸底测试理】已知点(5,6)(1,2),3M a MN a -=-=-和向量若，则点N 的坐标为A ．（2，0）B ．（-3，6）C ．（6，2）D ．（—2，0）【答案】A【解析】33(1,2)(3,6)MN a =-=--=- ，设(,)N x y ,则(5,(6))(3,6)MN x y =---=-，所以5366x y -=-⎧⎨+=⎩，即2=0x y =⎧⎨⎩，选A. 2.【云南省玉溪一中2013届高三第四次月考理】如右图,在△ABC 中, 13AN NC =,P 是BN 上的一点,若29AP m AB AC −−→−−→−−→=+,则实数m 的值为( )A.19 B 31C. 1D. 3 【答案】A【解析】因为13AN NC = ，所以14AN AC =设BP BN λ=，则()AP AB BP AB BN AB AB AN λλ=+=+=+-(1)(1)4AB AN AB AC λλλλ=+-=+- ,又29AP m AB AC −−→−−→−−→=+，所以有2491m λλ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩，即8919m λ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，选A.3.【云南省玉溪一中2013届高三第四次月考理】定义行列式运算1234a a a a =3241a a a a -．将函数sin 2()cos 2x f x x=6π个单位，以下是所得函数图象的一个对称中心是 （ ） A ．,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．(,0)2π C ．,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】由行列式的定义可知sin 2()cos 2x f x x=sin 222sin(2)3x x x π==-，函数的图象向左平移6π个单位，得到的函数为()2sin[2()]2sin 263g x x x ππ=+-=，所以有()2s i n (2)2s i n 022g πππ=⨯==，所以(,0)2π是函数()g x 的一个零点，选B. 4.【天津市天津一中2013届高三上学期一月考 理】已知向量,,a b c中任意两个都不共线,且a b + 与c 共线, b c + 与a 共线,则向量a b c ++A.aB.bC.cD.0【答案】D【解析】因为a b + 与c共线，所以有a b mc += ，又b c + 与a 共线,所以有b c na += ，即b mc a =- 且b c na =-+ ，因为,,a b c 中任意两个都不共线，则有11m n =-⎧⎨=-⎩，所以b mc a c a =-=-- ，即0a b c ++=，选D.5.【天津市新华中学2012届高三上学期第二次月考理】已知a =（-3，2），b =（-1，0），向量a λ+b 与a -2b 垂直，则实数λ的值为A. -71 B. 71 C. -61 D. 61【答案】A【解析】(31,2),2(1a b a b λλλ+=---=- ，因为向量a λ+b 与a -2b 垂直，所以()(2)0a b a b λ+-= ，即3140λλ++=，解得17λ=-，选A.6.【山东省烟台市2013届高三上学期期中考试理】已知向量b a 、，其中2=a ，2=b ，且a b)a ⊥-（，则向量a 和b 的夹角是 A ．4πB ．2πC ．43πD ．π【答案】A【解析】由题意知.2,02)(2=⋅∴=⋅-=⋅-=⋅-设a 与b 的夹角为θ，则.4,22c o s πθθ===故选A ，. 7.【山东省烟台市2013届高三上学期期中考试理】在ABC ∆中，P 是BC 边中点，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若0cAC aPA bPB ++=，则ABC ∆的形状为A. 等边三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰三角形但不是等边三角形.【答案】A【解析】如图，由AC c +aPA bPB += 知b c c a b a c )()()(-+-=-+-=，而与为不共线向量，0=-=-∴b c c a ，.c b a ==∴故选A.8.【山东省泰安市2013届高三上学期期中考试数学理】已知a 、b 均为单位向量，它们的夹角为3π，那么3a b +等于D.4【答案】C【解析】因为2223323a b a b a b +=++ ，所以231923cos 133a b π+=++⨯= ，所以3a b += 选C.9.【山东省泰安市2013届高三上学期期中考试数学理】如图，已知正六边形P 1P 2P 3P 4P 5P 6下列向量的数量积中最大的是A.1213PP PP ⋅B.1214PP PP ⋅C.1215PP PP ⋅D.1216PP PP ⋅【答案】A 【解析】设正六边形的边长为1，则1213133cos302PP PP PP PP ===,121412141cos 60212PP PP PP PP ==⨯= ,12151215cos900PP PP PP PP ==,121612161cos1202PP PP PP PP ==- ,所以数量积最大的选A.10.【山东省实验中学2013届高三第一次诊断性测试理】已知向量),(0,1),(2,a b c k a b c k ===+=若与垂直则A ．—3B ．—2C ．lD ．－l【答案】A【解析】因为2a b c +与垂直，所以有2=0a b c + （），即2=0a c b c + 0=，解得3k =-，选A.11.【山东省师大附中2013届高三12月第三次模拟检测理】非零向量,a b 使得||||||a b a b -=+成立的一个充分非必要条件是（ ）A . //a b B. 20a b += C. ||||a ba b =D. a b =【答案】B【解析】要使||||||a b a b -=+成立，则有,a b 共线且方向相反，所以当20a b += 时，满足2a b =- ，满足条件，所以选B.12.【山东省济南外国语学校2013届高三上学期期中考试 理科】已知向量a =（2,1），b =（-1，k ），a ·（2a -b ）=0，则k=（ ）A. -12B. -6C. 6D. 12 【答案】D【解析】因为(2)0a a b -=，即(2,1)(5,2)0k -=，所以10+20k -=，即12k =，选D. 13.【山东省聊城市东阿一中2013届高三上学期期初考试 】已知向量25,10),1,2(=+=⋅=→→→→→b a b a a ，则=→b （ ）A. 5B.10C.5D.25 【答案】C【解析】因为222a (2,1),ab 10,a b (a b)50a 2a b b →→→→→→→→→→→=⋅=+=+==++ ，解得可知=→b 5，选C14.【山东省临沂市2013届高三上学期期中考试理】设,,x y ∈R 向量(,1),(1,),(2,4),a x b y c a c b c a b===-⊥+且则A B C ．D ．10【答案】B【解析】因为,a c ⊥ 所以240x -=，解得2x =，又//,b c所以240y +=，所以2y =-，所以(1,1)(3,1)a b x y +=++=- ，所以||a b +，选B.15.【山东省临沂市2013届高三上学期期中考试理】在△ABC 中，AB=4，∠ABC=30°，D 是边BC上的一点，且,AD AB AD AC ⋅=⋅ 则AD AB ⋅的值等于A ．—4B ．0C ．4D ．8【答案】C【解析】由,A D A B A D A C ⋅=⋅ 得()0AD AB AC AD CB ⋅-=⋅=,即AD CB ⊥ ，所以2,60A D B A D =∠= ,所以14242AD AB ⋅=⨯⨯= ，选C.16.【山东省青岛市2013届高三上学期期中考试理】已知非零向量a 、b ，满足a b ⊥，则函数2()()f x ax b =+ (R)x ∈是A. 既是奇函数又是偶函数B. 非奇非偶函数C. 偶函数D. 奇函数 【答案】C【解析】因为a b ⊥ ，所以0a b =，所以2222()()f x ax b a x b =+=+ ，所以2()()f x ax b =+ 为偶函数，选C.17.【山东省实验中学2013届高三第一次诊断性测试理】已知点O 为△ABC 内一点，且230,OA OB OC ++=则△A OB 、△AOC、△BOC 的面积之比等于A ．9：4：1B ．1：4：9C ．3：2：1D ．1：2：3【答案】C【解析】,延长OB 到'B ，使'2OB OB =,延长OC 到'C ，使'3OC OC =，连结''B C ,取''B C 的中点'A ，则232',OB OC OA OA +==-所以,,'A O A 三点共线且O 为三角形''AB C 的重心，18.【山东省青岛市2013届高三上学期期中考试理】已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且20OA OB OC ++=，则A ．2AO OD =B ．AO OD =C ．3AO OD =D ．2AO OD =【答案】B【解析】因为D 为BC 边中点，所以由20OA OB OC ++= 得22OB OC OA AO +=-=，即22OD AO = ,所以AO OD =，选B.19.【 山东省滨州市滨城区一中2013届高三11月质检数学理】已知向量a ，b ，则0=∙b a是a ⊥b 的（ ）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要【答案】B【解析】因为向量,a b r r中有可能为零向量，所以0a b ⋅=r r 时，推不出a b ⊥r r 。
山东省2014届理科一轮复习试题选编10三角函数的图像及性质
山东省2014届理科数学一轮复习试题选编10：三角函数的图像及性质一、选择题1 ．（山东省潍坊市2013届高三上学期期末考试数学理A ．）函数x x y sin =在[]ππ,-上的图象是【答案】A【解析】函数x x y sin =为偶函数,所以图象关于y 对称,所以排除 D ．当2x π=时,02y π=>,排除 B ．当34x π=时,3sin 44422y πππππ===<,排除C,选A ．2 ．（山东省潍坊市2013届高三第一次模拟考试理科数学）设曲线sin y x =上任一点(,)x y 处切线斜率为()g x ,则函数2()y x g x =的部分图象可以为.【答案】C 'cos y x =,即()cos g x x =,所以22()cos yx g x x x ==,为偶函数,图象关于y 轴对称,所以排除A, B ．当2cos 0y x x ==,得0x =或,2x k k Z ππ=+∈,即函数过原点,所以选C ．3 ．（山东省德州市乐陵一中2013届高三十月月考数学(理)试题）已知a 是实数,则函数ax a x f sin 1)(+=的图象不可能是【答案】D 【解析】A 中,周期22T aππ=>,所以1a <,函数的最大值为12a +<,所有的图象有可能.B 周期22T aππ=<,所以1a >,函数的最大值为12a +>,所以B 的图象有可能.C 中当0a =时,函数为()1f x =,所以C 的图象有可能.D 周期22T aππ=>,所以1a <,函数的最大值为12a +<,而D 的图象中的最大值大于2,所以D 的图象不可能,综上选 D ． 4 ．（山东省兖州市2013高三9月入学诊断检测数学(理)试题）函数π)0(sin ln <<=x x y 的大致图象是【答案】C5 ．（山东威海市2013年5月高三模拟考试数学（理科））函数)2ln(sin)(+=x xx f 的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A ． 6 ．（2013山东高考数学（理））函数cos sin y x x x =+的图象大致为【答案】 D 【解析】函数y=xcosx + sinx 为奇函数,所以图象关于原点对称,所以排除B,C ．当x π=时,()0f ππ=-<,排除A,选D ．7 ．（山东省淄博市2013届高三复习阶段性检测（二模）数学（理）试题）函数()2tan 22f x x x ππ⎛⎫=--⎪⎝⎭在，上的图象大致为【答案】C 函数()2tan f x x x =-为奇函数,所以图象关于原点对称,所以排除A,B ．当2x π→时,0y <,所以排除D,选 C ．8 ．（2013届山东省高考压轴卷理科数学）已知函数4sin(2)y x π=-,则其图象的下列结论中,正确的是（ ）y1 1 -1 -2xy11 -1 O xO y11 -1 O xy1 -1-1 -2xOA ．关于点()8,1π-中心对称 B ．关于直线8x π=轴对称 C ．向左平移8π后得到奇函数D ．向左平移8π后得到偶函数【答案】C 【解析】对于A:sin(2)sin 244y x x ππ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭-,其对称中心的纵坐标应为0,故排除A;对于B:当8x π=时,y=0,既不是最大值1,也不是最小值-1,故可排除B;对于C:sin(2)sin 244y x x ππ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭-,向左平移8π后得到: sin 2sin 284y x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦为奇函数,正确;可排除D ．故选 C ．9 ．（山东省青岛即墨市2013届高三上学期期末考试数学（理）试题）函数x xy sin 3+=的图象大致是【答案】C【 解析】函数()sin 3xy f x x ==+为奇函数,所以图象关于原点对称,排除B ．当x →+∞时,0y >,排除D ．1'()cos 3f x x =+,由1'()cos 03f x x =+=,得1cos 3x =-,所以函数()sin 3xy f x x ==+的极值有很多个,所以选C ． 10．（山东省济南市2013届高三4月巩固性训练数学（理）试题）函数)22sin(2x y-=π是（ ）A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为2π的奇函数 D ．最小正周期为2π的偶函数 【答案】B11．（2011年高考（山东理））若函数()sin (0)f x x ωω=>在区间[0,]3π上单调递增,在区间[,]32ππ上单调递减,则ω= （ ）A ．8B ．2C ．32D ．23【答案】解析:函数()sin (0)f x x ωω=>在区间[0,]2πω上单调递增,在区间3[,]22ππωω上单调递减, 则23ππω=,即32ω=,答案应选C ． 另解1:令[2,2]()22x k k k ππωππ∈--∈Z 得函数()f x 在22[,]22k k x ππππωωωω∈-+为增函数,同理可得函数()f x 在223[,]22k k x ππππωωωω∈++为减函数,则当0,23k ππω==时符合题意,即32ω=,答案应选C ．另解2:由题意可知当3x π=时,函数()sin (0)f x x ωω=>取得极大值,则)03f π'=,即cos03πωω=,即()32k k ππωπ=+∈Z ,结合选择项即可得答案应选C ．另解3:由题意可知当3x π=时,函数()sin (0)f x x ωω=>取得最大值,则2()32k k ππωπ=+∈Z ,36()2k k ω=+∈Z ,结合选择项即可得答案应选C ． 12．（山东省莱钢高中2013届高三4月模拟检测数学理试题 ）函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的图像关于直线3π=x 对称,它的最小正周期为π,则函数)(x f 图像的一个对称中心是 （ ）A ．)0,12(πB ．)1,3(πC ．）0,125(πD ．）（0,12-π 【答案】A13．（山东省文登市2013届高三3月二轮模拟考试数学（理））设函数()sin(2)6f x x π=+,则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 的图像关于直线3x π=对称 B ．()f x 的图像关于点(,0)6π对称C ．()f x 的最小正周期为π,且在[0,]12π上为增函数D ．把()f x 的图像向右平移12π个单位,得到一个偶函数的图像【答案】C14．（山东省济南市2012届高三3月高考模拟题理科数学（2012济南二模））函数)2sin(sin x x y +=π的最小正周期是 （ ）A ．π2B ．πC ．2πD ．4π【答案】B【解析】函数x x x x x y 2sin 21cos sin )2sin(sin ==+=π,所以周期为π,选 B ．15．（山东省泰安市2013届高三第一轮复习质量检测数学（理）试题）当4x π=时,函数()()()s i n 0fx A xA ϕ=+>取得最小值,则函数34y f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭是（ ）A ．奇函数且图像关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称 B ．偶函数且图像关于点(),0π对称C ．奇函数且图像关于直线2x π=对称D ．偶函数且图像关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称【答案】C当4x π=时,函数()()()s i n 0fx A xA ϕ=+>取得最小值,即2,42k k Z ππϕπ+=-+∈,即32,4k k Zπϕπ=-+∈,所以()()3si n ()4fx A xA π=->,所以333()s in ()s i n 444y f x A x A x πππ=-=--=-,所以函数为奇函数且图像关于直线2x π=对称,选C ．16．（山东省德州市2013届高三3月模拟检测理科数学）函数2cos ()4y x π=+的图象沿x 轴向右平移a 个单位(0)a >,所得图象关于y 轴对称,则a 的最小值为 （ ）A ．πB ．34πC ．2πD ．4π【答案】D 21cos(2)1sin 2112cos ()sin 242222x x y x x ππ++-=+===-,函数向右平移a 个单位得到函数为1111sin 2()sin(22)2222y x a x a =--=--,要使函数的图象关于y 轴对称,则有2,2a k k Z ππ-=+∈,即,42k a k Z ππ=--∈,所以当1k =-时,得a 的最下值为4π,选 D ．17．（山东济南外国语学校2012—2013学年度第一学期高三质量检测数学试题（理科））已知函数()2sin(),,f x x x R ωϕ=+∈其中0,.ωπϕπ>-<≤若()f x 的最小正周期为6π,且当2x π=时,()f x 取得最大值,则（ ） A ．()f x 在区间[2,0]π-上是增函数 B ．()f x 在区间[3,]ππ--上是增函数 C ．()f x 在区间[3,5]ππ上是减函数 D ．()f x 在区间[4,6]ππ上是减函数【答案】A 【解析】由26T ππω==,所以13ω=,所以函数1()2sin()3f x x ϕ=+,当2x π=时,函数取得最大值,即12322k ππϕπ⨯+=+,所以23k πϕπ=+,因为πϕπ-<≤,所以3πϕ=,1()2sin()33f x x π=+,由1222332k x k πππππ-+≤+≤+,得56622k x k ππππ-+≤≤+,函数的增区间为5[6,6]22k k ππππ-++,当0k =时,增区间为5[,]22ππ-,所以()f x 在区间[2,0]π-上是增函数,选A18．（山东师大附中2013届高三第四次模拟测试1月理科数学）已知ω>0,0ϕπ<<,直线x =4π和x =54π是函数()sin()f x x ωϕ=+图象的两条相邻的对称轴,则ϕ= （ ）A ．4π B ．3π C ．2πD ．34π【答案】A 【解析】由题意可知5244T πππ=-=,所以函数的周期为2T π=.即22T ππω==,所以1ω=,所以()sin()f x x ϕ=+,所以由()sin()144f ππϕ=+=,即242k ππϕπ+=+,所以24k πϕπ=+,所以当0k =时,4πϕ=,所以选A ．19．（山东师大附中2013届级高三12月第三次模拟检测理科数学）设函数()()()s i nc o s fx x x ωϕωϕ=+++0,||2πωϕ⎛⎫><⎪⎝⎭的最小正周期为π, 且()()f x f x -=,则（ ）A ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 B ．()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 C ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增D ．()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增【答案】A 【解析】因为()()()sin cos )4f x x x x πωϕωϕωϕ=+++=++且函数的最小正周期为π,所以2T ππω==,所以2ω=,即函数())4f x x πϕ=++,又函数()()f x f x -=,所以函数为偶函数,所以,42k k Z ππϕπ+=+∈,即,4k k Z πϕπ=+∈,因为||2πϕ<,所以当0k =时,4πϕ=,所以()s i n (2)2s i 2)2co s 2442fx x x x πππ=+++=,当02x π<<时,02x π<<,此时函数()2f x x =单调递减,选（ ）A ．20．（山东省青岛市2013届高三上学期期中考试数学（理）试题）已知函数()sin()f x A x ωϕ=+(其中0,2A πϕ><)的图象如图所示,则函数()f x 的解析式为（ ）A ．()sin(2)3f x x π=- B ．()sin(2)6f x x π=+ C ．()sin(2)3f x x π=+D ．()sin(4)6f x x π=+【答案】C21．（山东省菏泽市2013届高三5月份模拟考试数学（理）试题）已知函数①sin cos ,y x x =+②cos y x x =,则下列结论正确的是 （ ）A ．两个函数的图象均关于点(,0)4π-,成中心对称B ．①的纵坐标不变,横坐标扩大为原来的2倍,再向右平移4π个单位即得② C ．两个函数在区间(-4π,4π)上都是单调递增函数 D ．两个函数的最小正周期相同 【答案】C22．（山东省烟台市2013届高三3月诊断性测试数学理试题）若函数f(x)=2sin )0(>ωωx 在区间]4,3[ππ-上单调递增,则ω的最大值等于 （ ）A ．32B ．23 C ．2 D ．3 【答案】B 因为函数在[,]44T T -上递增,所以要使函数f(x)=2sin )0(>ωωx 在区间]4,3[ππ-上单调递增,则有34T π-≥-,即43T π≥,所以243T ππω=≥,解得32ω≤,所以ω的最大值等于23,选 B ． 二、填空题23．（山东省烟台市2013届高三上学期期中考试数学试题(理科)）函数）（ππ2,0),3sin(2∈-=x x y 的单调递增区间为______________【答案】]61165[ππ， 【解析】由)3sin(2)3sin(2ππ--=-=x x y 知当≤-≤+322πππx k ππk 223+即)(2611265Z k k x k ∈+≤≤+ππππ时,y 为增函数. )2,0(π∈x ,∴函数的增区间为]611,65[ππ.24．（山东省青岛即墨市2013届高三上学期期末考试数学（理）试题）已知函数2()2sin ()21,,442f x x x x πππ⎡⎤=+--∈⎢⎥⎣⎦,则)(x f 的最小值为_________.【答案】1【解析】2()2sin ()211cos 2()2144f x x x x x ππ=+-=-+--cos(2)2sin 222sin(2)23x x x x x ππ=-+-==-,因为42x ππ≤≤,所以22633x πππ≤-≤,所以sin sin(2)sin 632x πππ≤-≤,即1sin(2)123x π≤-≤,所以12sin(2)23x π≤-≤,即1()2f x ≤≤,所以)(x f 的最小值为1.25．（山东省济南市2013届高三3月高考模拟理科数学）函数sin()(0)2yx πϕϕ=+>的部分图象如图所示,设P 是图象的最高点,,A B 是图象与x 轴的交点,则tan APB ∠_______________.【答案】2-函数的最大值是1,周期242T ππ==,则14TAD ==,3,1BD PD ==,则tan 1,tan 3,AD BDAPD BPD PD PD∠==∠==所以tan tan()APB APD BPD ∠=∠+∠ tan tan 1321tan tan 113APD BPD APD BPD ∠+∠+===--∠⋅∠-⨯. 26．（山东省枣庄市2013届高三3月模拟考试数学（理）试题）设()y f t =是某港口水的深度y(米)关于时间t(时)的函数,其中0≤t≤24.下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t 与水深y 的关系:经长期观察,函数y=f(t)的图象可以近似地看成函数sin()y h A x ωφ=++的图象.最能近似表示表中数据间对应关系的函数是_______.【答案】 5.0 2.5sin6y t π=+由数据可知函数的周期12T =,又212T πω==,所以6πω=.函数的最大值为7.5,最小值为2.5,即7.5, 2.5h A h A +=-=,解得 5.0, 2.5h A ==,所以函数为() 5.0 2.5sin()6y f x t πφ==++,又(3) 5.0 2.5sin(3)7.56y f πφ==+⨯+=,所以sin()cos 12πφφ+==,即2,k k Z φπ=∈,所以最能近似表示表中数据间对应关系的函数是 5.0 2.5sin6y t π=+.27．（山东省济宁邹城市2013届高三上学期期中考试数学（理）试题）已知函数()3sin(2)3f x x π=-的图象为C,关于函数()f x 及其图象的判断如下: ①图象C 关于直线112x π=对称; ②图象C 关于点2(,0)3π对称; ③由3sin 2y x =得图象向右平移3π个单位长度可以得到图象C; ④函数f(x)在区间(5,1212ππ-)内是增函数; ⑤函数|()1|f x +的最小正周期为2π. 其中正确的结论序号是_________.(把你认为正确的结论序号都填上) 【答案】①②④三、解答题28．（山东省济南市2013届高三4月巩固性训练数学（理）试题）已知函数)()4sin cos 03f x x x πωωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭的最小正周期为π.⑴求)(x f 的解析式;(2)求)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-6,4ππ上的最大值和最小值及取得最值时x 的值. 【答案】解()4sin cos cos sin sin 33f x x x x ππωωω⎛⎫=- ⎪⎝⎭22sin cos x x x ωωω=-+sin 22x x ωω=+2sin 23x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2,12T ππωω==∴=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∴32sin 2)(πx x f(2)46x ππ-≤≤,22633x πππ∴-≤+≤1sin 2123x π⎛⎫∴-≤+≤ ⎪⎝⎭,即()12f x -≤≤, 当2,36x ππ+=-即4x π=-时,()min 1f x =-,当2,32x ππ+=即12x π=时,()max 2f x =29．（山东省莱钢高中2013届高三4月模拟检测数学理试题 ）已知函数. (1)求函数的最小正周期; (2)求函数在上的最大值和最小值,并求函数取得最大值和最小值时的自变量的值. (3)已知ABC ∆中,角C B A ,,的对边分别为.,,c b a 若3(),2f A = 2.b c +=求边a 的最小值.【答案】(1)的最小正周期(2)∴当,即时,当或时,即或时,435)(min +=x f(3)2345)62sin(21)(=++=πA A f 21)62sin(=+∴πA），6136(62πππ∈+A 6562ππ=+∴A 3π=∴A∵b+c=2∴1)2(34343)(22222=+-≥-=-+=-+=c b bc bc c b bc c b a 当且仅当b=c 时取等号∴a 的最小值是130．（山东省枣庄三中2013届高三上学期1月阶段测试理科数学）设x x x x f cos sin 32cos 6)(2-=.(Ⅰ)求)(x f 的最小正周期及单调递增区间;4x π=12x π=2263x ππ+=263x ππ+=max 157()244f x =+=6x π=262x ππ+=22[,]633x πππ∴+∈[,]124x ππ∈ 22T ππ==()f x 15sin(2)264x π=++15cos 2244x x =+21()cos cos 12f x x x x =+x [,]124ππ()f x ()fx 21()cos cos 1,22f x x x x x R =++∈(Ⅱ)将函数)(x f 的图象向右平移3π个单位,得)(x g y =的图象,求x x g x F 323)()(-=在4π=x 处的切线方程.【答案】解:(Ⅰ)(1cos 2)()62)326x f x x x π+==++,故f (x )的最小正周期π=T , 由ππππk x k 2622≤+≤+-得f (x )的单调递增区间为()Z k k k ∈--]12,127[ππππ(Ⅱ)由题意:())]32336g x x x ππ=-++=+, x xxx g x F 2sin 323)()(=-=, 2'2sin 2cos 2)(x xx x x F -=, 因此切线斜率2'16)4(ππ-==F k ,切点坐标为)4,4(ππ,故所求切线方程为)4(1642πππ--=-x y ,即08162=-+ππy x 31．（山东省德州市乐陵一中2013届高三十月月考数学(理)试题）已知函数()()x xf x cos sin x 2424ππ⎛⎫⎛⎫=++-+π ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(I)求()f x 的最小正周期;www.(Ⅱ)若将()f x 的图象按向量a =(6π,0)平移得到函数g(x)的图象,求函数g(x)在区间[]0,π上的最大值和最小值. 【答案】32．（山东省日照市2013届高三12月份阶段训练数学(理)试题）已知向量)(),0,0,sin a x b x ==,记函数()()22f x a b x =++.求:(I)函数()f x 的最小值及取得小值时x 的集合;(II)函数()f x 的单调递增区间.【答案】解:(Ⅰ)x x f 2sin 3)()(2++=b a212cos 2cos 222x x x x =++=+ =2)6π2sin(2++x , 当且仅当23ππ26π2+=+k x ,即32ππ+=k x )(Z ∈k 时,()0f x =min , 此时x 的集合是⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k x x π,32π| (Ⅱ)由)(2ππ26π22ππ2Z ∈+≤+≤k k x k －,所以)(6ππ3ππZ ∈+≤≤k k x k －, 所以函数()f x 的单调递增区间为)](6ππ,3ππ[Z ∈+k k k - 33．（山东师大附中2013届高三第四次模拟测试1月理科数学）已知函数ππ1()cos()cos()sin cos 334f x x x x x =+--+ (1)求函数)(x f 的最小正周期和最大值;(2)求函数()f x 单调递增区间【答案】【解析】:(Ⅰ)ππ11()cos()cos()sin 23324f x x x x =+--+131311(cos sin )(cos sin )sin 2222224x x x x x =-+-+221311cos sin sin 24424x x x =--+1cos 233cos 211sin 28824xxx +-=--+1(cos 2sin 2)2x x =-2cos 224x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭函数)(x f 的最小正周期为 T π=,函数)(x f 的最大值为22(II)由 222,4k x k k z ππππ-≤+≤∈得 5,88k x k k z ππππ-≤≤-∈函数)(x f 的 单调递增区间为5[,],88k k k z ππππ--∈34．（山东省济宁邹城市2013届高三上学期期中考试数学（理）试题）已知向量21cos 213(sin ,sin ),(cos 2sin 2,2sin )222x m x x n x x x +=+=-,设函数(),.f x m n x =⋅∈R(I)求函数f(x)的最小正周期及单调增区间;(Ⅱ)若[0,],()2x f x π∈求函数值域.【答案】。
山东省2014届理科数学一轮复习试题选编23：线性规划
山东省2014届理科数学一轮复习试题选编23：线性规划一、选择题1 ．（山东省济南市2013届高三3月高考模拟理科数学）已知实数y x ,满足1218y y x x y ≥⎧⎪≤-⎨⎪+≤⎩,则目标函数y x z-=的最小值为 （ ） A ．2- B ．5 C ．6 D ．7 【答案】A由z x y =-得y x z =-.作出不等式对应的平面区域BCD,平移直线y x z =-,由平移可知,当直线y x z =-经过点C 时,直线的截距最大,此时z 最小.由218y x x y =-⎧⎨+=⎩,解得35x y =⎧⎨=⎩,即(3,5)C ,代入z x y =-得最小值为352z =-=-,选A ．2 ．（山东省德州市2013届高三上学期期末校际联考数学（理））已知变量x 、y,满足202300x y x y x -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩,则41(24)z og x y =++的最大值为（ ）A ．23B ．1C ．32D ．2【答案】C【解析】设2t x y =+,则2y x t =-+.做出不等式组对应的可行域如图为三角形OBC 内.做直线2y x =-,平移直线2y x =-,当直线2y x t =-+经过点C 时,直线2y x t =-+的截距最大,此时t 最大,对应的z 也最大,由20230x y x y -=⎧⎨-+=⎩,得1,2x y ==.即(1,2)C 代入2t x y =+得4t =,所以41(24)z og x y =++的最大值为44431(24)(44)82z og x y log log =++=+==,选 C ．3 ．（山东省烟台市2013届高三3月诊断性测试数学理试题）实数x,y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤->≤≥0)1(1y x a a y x ,若函数z=x+y 取得最大值4,则实数a 的值为 （ ）A ．2B ．3C ．4D ．23 【答案】A,由z x y =+得y x z =-+,作出不等式对应的区域,平移直线y x z =-+,由图象可知当直线经过点D 时,直线的截距最大为4,由40x y x y +=⎧⎨-=⎩,解得22x y =⎧⎨=⎩,即D(2,2),所以2a =,选A ．4 ．（山东省菏泽市2013届高三5月份模拟考试数学（理）试题）已知x,y 满足线性约束条件1020,(,2),(1,)410x y x y a x b y x y -+≥⎧⎪+-≤=-=⎨⎪++≥⎩若向量,则z=a·b 的最大值是 （ ）A ．-1B ．52-C ．5D ．7【答案】C5 ．（山东省莱芜五中2013届高三4月模拟数学（理）试题）已知变量,x y 满足约束条件2823y x x y x y ≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩,则目标函数62z x y =-的最小值为 （ ）A ．32B ．4C ．8D ．2【答案】B6 ．（山东省济南市2012届高三3月高考模拟题理科数学（2012济南二模））已知实数x ,y 满足|2x +y +1|≤|x +2y +2|,且11≤≤-y ,则z =2x +y 的最大值（ ）A ．6B ．5C ．4D ．-3【答案】B【解析】)1(2)1(2++≤++y x y x ,平方得22)1(+≤y x ,因为11≤≤-y ,所以210≤+≤y ,所以1+≤y x ,即11+≤≤--y x y ,所以y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤--+≤≤≤-x y y x y 1111,做出可行域,由图象知,当直线经过⎩⎨⎧==--11y y x 的交点为)1,2(时,z 取最大值,此时5122=+⨯=z ,选 B ．7 ．（山东省淄博市2013届高三复习阶段性检测（二模）数学（理）试题）已知x,y 满足条件020x y x x y k ≥⎧⎪≤⎨⎪++≤⎩(k为常数),若目标函数3z x y =+的最大值为8,则k= （ ）A ．16-B ．6-C ．83-D ．6【答案】B 由3z x y =+得133zy x =-+.先作出0x y x≥⎧⎨≤⎩的图象,,因为目标函数3z x y =+的最大值为8,所以38x y +=与直线y x =的交点为C,解得(2,2)C ,代入直线20x y k ++=,得6k =-,选B ． 8 ．（山东省2013届高三高考模拟卷（一）理科数学）已知点),(y x P 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+,1,,4x x y y x 过点P 的直线与圆1422=+y x 相交于A,B 两点,则AB 的最小值为（ ）A ．2B ．62C ．52D ．4【答案】D 【解析】当P 点同时满足(1)P 为AB 的中点;(2)P 点到D 点的距离最大时,AB 取得最小值.P 点的可行域如图所示,因为直线x y =和直线+x 4=y 垂直,故P 点的坐标是(1,3)时,OP 最大.易知此时AB=4,故选 D ．9 ．（山东省青岛即墨市2013届高三上学期期末考试数学（理）试题）设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤+-≥+-08010502y x y x y x ,则目标函数y x z 34-=的最小值和最大值分别为 （ ）A ．-6,11B ．2,11C ．-11,6D ．-11,2【答案】A【 解析】由y x z 34-=得433z y x =-.做出可行域如图阴影部分,平移直线433zy x =-,由图象可知当直线433z y x =-经过点C 时,直线433z y x =-的截距最小,此时z 最大,当433zy x =-经过点B 时,直线433zy x =-的截距最大,此时z 最小.由510080x y x y -+=⎧⎨+-=⎩得53x y =⎧⎨=⎩,即(5,3)C ,又(0,2)B ,把(5,3)C 代入y x z 34-=得43209=11z x y =-=-,把(0,2)B 代入y x z 34-=得4332=6z x y =-=-⨯-,所以函数y x z 34-=的最小值和最大值分别为6,11-,选 （ ）A ．10．（山东省莱芜市第一中学2013届高三12月阶段性测试数学（理）试题）已知实数,x y 满足220,2,1,x y x y +-≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩,则342z x y =+-的最大值为（ ）A ．8B ．6C ．5D ．1【答案】A11．（山东师大附中2013届级高三12月第三次模拟检测理科数学）若实数,x y 满足不等式组0,2100,0,x y x y y ⎧->⎪--<⎨+-≥ 则2x y +的最大值是 （ ） A ．11 B ．23 C ．26 D ．30 【答案】D 【解析】做出可行域如图,设2z x y =+,即2y x z =-+,平移直线2y x z =-+,由图象可知当直线经过点D 时,直线2y x z =-+的截距最大,此时z 最大.由0,2100,x y x y -=⎧⎨--=⎩解得10,10,x y =⎧⎨=⎩,即(10,10)D ,代入得230z x y =+=,所以最大值为30,选D ．12．（山东省枣庄市2013届高三3月模拟考试数学（理）试题）设z x y =+,其中实数x,y 满足200,0x y x y y k +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩若z 的最大值为6,则z 的最小值为 （ ）A ．—3B ．—2C ．—1D ．0【答案】A由z x y =+得y x z =-+,作出20,0x y x y +≥⎧⎨-≤⎩的区域BCD,平移直线y x z =-+,由图象可知当直线经过C 时,直线的截距最大,此时6z =,由6y x y x =⎧⎨=-+⎩解得33x y =⎧⎨=⎩,所以3k =,解得(6,3)B -代入z x y =+的最小值为633z =-+=-,选（ ） A ．13．（山东省枣庄三中2013届高三上学期1月阶段测试理科数学）设x , y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤--0,002063y x y x y x ,若目标函数z ax by =+(a .>0,b >0),最大值为12,则ba 32+ 的最小值为 （ ）A ．724B ．625 C ．5 D ．4【答案】B【解析】做出可行域,由z ax by =+得a z y x b b =-+,因为0,0a b >>,所以直线斜率0ab-<,直线截距越大,z 越大,做出直线a z y x b b=-+,,由图象可知当直线a zy x b b =-+经过点B 时,截距做大,此时12z =,由36020x y x y --=⎧⎨-+=⎩得46x y =⎧⎨=⎩,代入直线z ax by =+得4612a b +=,即132a b +=.所以2323232325()()23232326a b a b a b a b b a +=++=+++≥++=,当且仅当a bb a=,即a b =时取等号,所以选 B ． 14．（2013山东高考数学（理））在平面直角坐标系xoy 中,M 为不等式组220,210,380,x y x y x y --≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩所表示的区域上一动点,则直线OM 斜率的最小值为 （ ）A ．2B ．1C ．13-D ．12-【答案】C 【解析】作出可行域如图由图象可知当M 位于点D 处时,OM 的斜率最小.由210380x y x y +-=⎧⎨+-=⎩得31x y =⎧⎨=-⎩,即(3,1)D -,此时OM 的斜率为1133-=-,选 C ． 15．（山东师大附中2013届高三第四次模拟测试1月理科数学）已知x y 、满足5030x y x x y -+≥⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩,则24z x y=+的最小值为 （ ） A ．5B ．-5C ．6D ．-6【答案】D 【解析】做出可行域如图:由24z x y =+,得124zy x =-+,平移直线,由图象可知当直线124z y x =-+经过点C 时,直线124zy x =-+的截距最小,此时z 最小.C 点坐标为(3,3)-,代入24z x y =+得234(3)6z =⨯+⨯-=-,选D ．.16．（山东省兖州市2013高三9月入学诊断检测数学(理)试题）变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥-≤+≥+144222y x y x y x ,则目标函数y x z -=3的取值范围是（ ）A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-6,23 B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1,23C ．[]6,1-D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23,6【答案】A 解析:作出可行域,直线03=-y x ,将直线平移 至点)0,2(处有最大值,点)3,21(处有最小值, 即623≤≤-z .答案应选 （ ）A ．17(理)试题）设变量,x y 满足约束条件2201220,110x y y x y x x y --≤⎧+⎪-+≥⎨+⎪+-≥⎩则s=的取值范围是 （ ）A ．31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[]1,2【答案】C 【解析】做出约束条件表示的可行域如图,由图象可知(0,1),(1,0)B C .11y x ++s=的几何意义是区域内的任一点到定点(1,1)M --的斜率的变化范围,由图象可知,10111,211210MC MB k k ----====----,所以MC MB k s k ≤≤,即122s ≤≤,所以取值范围是1[,2]2,选C ．18．（山东省烟台市2013届高三上学期期末考试数学（理）试题）若实数x y 、满足2400 0x y x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩,则21y z x +=-的取值范围为（ ）A ．2(,4][,)3-∞-⋃+∞ B ．2(,2][,)3-∞-⋃+∞C ．2[2,]3-D ．2[4,]3-【答案】A【解析】做出不等式组对应的平面区域OBC.因为21y z x +=-,所以z 的几何意义是区域内任意一点(,)x y 与点(1,2)P -两点直线的斜率.所以由图象可知当直线经过点,P C 时,斜率最小,经过点,P B 时,直线斜率最大.由题意知(0,2),(4,0)B C ,所以22410PB k --==--,202143PC k --==-,所以21y z x +=-的取值范围为23z ≥或4z ≤-,即2(,4][,)3-∞-⋃+∞,选（ ） A ． 由40x y x y +=⎧⎨-=⎩,得22x y =⎧⎨=⎩,即(2,2)A ,此时321523AM k -==-,所以35n z m -=-的最小值是13,选 D ．19．（山东省泰安市2013届高三上学期期末考试数学理）已知不等式组210y x y kx y ≤-+⎧⎪≤-⎨⎪≥⎩所表示的平面区域为面积等于14的三角形,则实数k 的值为 （ ）A ．1-B ．12-C ．12D ．1【答案】D【解析】由图象知0k >.当0y =时,1B x k =.2C x =.,所以12k <,即12k >由21y x y kx =-+⎧⎨=-⎩,得211A k y k -=+,所以11211(2)214ABC k S k k ∆-=-⨯=+,解得1k =或2172k =<(舍去),所以1k =,选 D ．20．（山东省济宁邹城市2013届高三上学期期中考试数学（理）试题）设x,y 满足条件20360,(0,0)0,0x y x y z ax by a b x y -+≥⎧⎪--≤=+>>⎨⎪≥≥⎩若目标函数的最大值为12,则32a b +的最小值为（ ）A ．256B ．83C ．113D ．4【答案】D21．（山东省枣庄市2013届高三4月（二模）模拟考试数学(理)试题）已知实数,x y 满足1000x y x y x +-≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩,则2x y-的最大值为 （ ）A ．12 B ．0C ．1-D ．12-【答案】A22．（2009高考(山东理)）设x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤--0,002063y x y x y x ，若目标函数z=ax+by （a>0，b>0）的是最大值为12，则23a b+的最小值为 （ ）A ．625 B ．38 C ．311 D ．4【答案】【解析】:不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线ax+by= z （a>0，b>0）过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点（4,6）时, 目标函数z=ax+by （a>0，b>0）取得最大12, 即4a+6b=12,即2a+3b=6, 而23a b +=2323131325()()26666a b b a a b a b ++=++≥+=,故选 （ ） A ． 答案:A23．（山东省曲阜市2013届高三11月月考数学（理）试题）已知向量(,1),(2,),a x z b y z =-=+且a b ⊥ ,若变量,x y 满足约束条件1,,32 5.x y x x y ≥-⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩则z 的最大值为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B24．（山东省实验中学2013届高三第一次诊断性测试数学（理）试题）设x 、y 满足24,1,22,x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩则z x y=+（ ）A ．有最小值2,最大值3B ．有最小值2,无最大值C ．有最大值3,无最大值D ．既无最小值,也无最大值【答案】B【解析】做出可行域如图(阴影部分).由z x y =+得y x z =-+,做直线y x =-,平移直线y x =-由图可知当直线经过点C(2,0)时,直线y x z =-+的截距最小,此时z 最小为2,没有最大值,选 B ．25．（山东省德州市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）已知变量x,y 满足约束条件221x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩,若2x y a +≥恒成立,则实数a 的取值范围为（ ）A ．(-∞,-1]B ．(-∞,2]C ．(-∞,3]D ．[-1,3]【答案】A二、填空题26．（山东省莱芜市莱芜十七中2013届高三4月模拟数学（理）试题）已知点A ,O 为坐标原点,点(,)P x y满足0200y x y ⎧-≤⎪⎪+≥⎨⎪≥⎪⎩,则||OA OP Z OA ⋅=的最大值是___________27．（山东济南外国语学校2012—2013学年度第一学期高三质量检测数学试题（理科））已知x 和y 是实数,且满足约束条件y x z x y x y x 32,72210+=⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-≤+则的最小值是_________.【答案】223做出不等式对应的可行域如图,由23z x y =+得233z y x =-+,做直线23y x =-,平移直线23y x =-,由图象可知当直线经过C 点时,直线233z y x =-+的截距最小,此时z 最小,此为73(,)22C ,代入目标函数得73232323222z x y =+=⨯+⨯=.28．（山东省实验中学2013届高三第三次诊断性测试理科数学）当实数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤++≤≥0220a y x x y x (a为常数)时y x z 3+=有最大值为12,则实数a 的值为_______________.【答案】-12 【解析】y x z 3+=的最大值为12,即312x y +=由图象可知直线220x y a ++=也经过点B.由312x y y x +=⎧⎨=⎩,解得33x y =⎧⎨=⎩,即点(3,3)B ,代入直线220x y a ++=得12a =-.29．（山东省德州市2013届高三3月模拟检测理科数学）若x,y 满足约束条件1122x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩,目标函数2z x y=+最大值记为a,最小值记为b,则a-b 的值为_________.【答案】10由2z x y =+得122zy x =-+.作出不等式组对应的区域,,平移直线122z y x =-+,由平移可知,当直线122zy x =-+经过点D 时,直线的截距最小,此时z 最小.经过点B时,直线的截距最大,此时z 最大.由122x y x y +=⎧⎨-=⎩,解得10x y =⎧⎨=⎩,即(1,0)D 代入2z x y =+得1b =.由122x y x y -=-⎧⎨-=⎩解得34x y =⎧⎨=⎩,即(3,4)B ,代入2z x y =+得11a =,所以11110a b -=-=. 30．（山东省烟台市莱州一中2013届高三第三次质量检测数学(理)试题）设x 、y 满足约束条件23023400-+≥⎧⎪-+≤⎨⎪≥⎩x y x y y ,若目标函数z ax by =+(其中a>0,b>0)的最大值为3,则12a b +的最小值为________【答案】3 【解析】做出可行域,由z ax by =+得a zy x b b=-+,因为0,0a b >>,所以直线斜率0a b -<,直线截距越大,z 越大,做出直线a z y x b b =-+,由图象可知当直线a zy x b b=-+经过点A 时,截距做大,此时3z =,由2302340x y x y -+=⎧⎨-+=⎩得12x y =⎧⎨=⎩,代入直线z ax by =+得23a b +=,即2133a b+=.所以12122142252254()()2333333333333a b a b a b a b a b b a b a +=++=+++≥+⨯=+=,当且仅当2233a b b a =,即a b =时取等号,所以12a b+的最小值为1.31．（山东省滨州市2013届高三第一次（3月）模拟考试数学（理）试题）设实数x ,y 满足约束条件2220,20,220,x y x y x y x y ⎧-≤⎪-≥⎨⎪+--≤⎩,则目标函数z x y =+的最大值为_________. 【答案】4 由z x y =+得y x z =-+.作出不等式对应的区域,平移直线y x z =-+,由图象可知,当直线y x z =-+与圆在第一象限相切时,直线y x z =-+的截距最大,此时z 最大.直线与圆的距离22z d ==即4z =±,所以目标函数z x y =+的最大值是4.32．（山东省潍坊市四县一校2013届高三11月期中联考(数学理)）若实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-,0,0,01x y x y x ,则yx z 23+=的值域是____________.【答案】[1,9] 【解析】令2t x y =+,则122t y x =-+,做出可行域平移直线12y x =-,由图象知当直线经过O 点是,t 最小,当经过点(0,1)D 时,t 最大,所以02t ≤≤,所以19z ≤≤,即yx z 23+=的值域是[1,9].33．（山东省青岛市2013届高三第一次模拟考试理科数学）已知,x y 满足约束条件224200x y x y y ⎧+≤⎪-+≥⎨⎪≥⎩,则目标函数2z x y =+的最大值是___________【答案】由2z x y =+得,2y x z =-+.作出不等式对应的区域,,平移直线2y x z =-+,由图象可知,当直线2y x z =-+与圆在第一象限相切时,直线2y x z =-+的截距最大,此时z 最大.直线与圆的距离2d ==,即z =±,所以目标函数2z x y =+的最大值是34．（山东省潍坊市2013届高三上学期期末考试数学理（A ））已知y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-+≥+-0330101y x y x y x ,则y x -2的最大值为.【答案】2【解析】设2z x y =-,则2y x z =-.作出可行域如图作直线2y x =,平移直线2y x z =-,由图象可知当直线2y x z =-经过点D 时,直线2y x z =-的截距最下,此时z 最大,把(1,0)D 代入直线2z x y =-得2z =,所以y x -2的最大值为2. 35．（2013年山东临沂市高三教学质量检测考试理科数学）已知O 是坐标原点,点M 的坐标为(2,1),若点N(x ,y )为平面区域212x y x y x +≤⎧⎪⎪≥⎨⎪≥⎪⎩上的一个动点,则OM ON的最大值是_________ . 【答案】32OM ON x y =+,设2z x y =+,则2y x z =-+.不等式对应的区域为BCD,平移直线2y x z =-+,由图象可知当直线2y x z =-+经过点C 时,直线2y x z =-+的截距最大,此时z 最大,由2x y y x +=⎧⎨=⎩,解得11x y =⎧⎨=⎩,即(1,1)C ,代入2z x y =+得23z x y =+=,所以OM ON的最大值是3. 36．（山东省莱钢高中2013届高三4月模拟检测数学理试题 ）设实数,x y 满足2025020x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩,的取值范围是 _______【答案】⎥⎦⎤⎢⎣⎡3102，37．（山东省济南市2013届高三4月巩固性训练数学（理）试题）不等式组2000x x y x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪-≥⎩表示平面区域为Ω,在区域Ω内任取一点(),P x y ,则P 点的坐标满足不等式222x y +≤的概率为_________.【答案】.8π。
2013青岛市一模山东省青岛市2013届高三第一次模拟考试理科数学含答案
高中毕业班第一次质量检查理 科 数 学命题：汪木水 饶真平 校对：饶真平 陈建彬参考公式：样本数据x 1，x 2， …，x n 的标准差 锥体体积公式s=V =31Sh 其中x为样本平均数其中S 为底面面积，h 为高柱体体积公式球的表面积、体积公式 V=Sh24S R =π，343V R =π其中S 为底面面积，h 为高其中R 为球的半径第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U =R ，集合2{0}M x x x =->，则M C U =( )A ．{|01}x x <<B ．{|01}x x ≤≤C ．{|01}x x x <>或D ．{|01}x x x ≤≥或2．如图，在复平面内，若复数12,z z 对应的向量分别是,OA OB，则复数12z z +所对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3.设函数)()(R x x f ∈满足)()(x f x f =-，)()2(x f x f =+，则函数)(x f y =的图像可 以是( )A .B .C .D .4.已知,l m 为两条不同的直线，α为一个平面。
若α//l ，则“m l //”是“α//m ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件第2题图5.若等比数列{}n a 的首项为19，且241(2)a x dx =⎰，则数列{}n a 的公比是( ) A. 3 B. 13 C. 27 D. 1276.若双曲线2219x y m -=30y ±=，则椭圆2214x y m +=的离心率为( ) A.21 B. 22215- 7. 如图所示，一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，在包围 该三棱锥的外接球内任取一点，则该点落在三棱锥内部的概率为 ( )A. 49πB. 227πC. 427πD. 29π8. 有四个关于三角函数的命题：①∃x ∈R, 2sin2x +2cos 2x =12②,x y R ∃∈, sin()sin sin x y x y -=- ③三角形ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边的长分别为a 、b 、c ，若 a 、b 、c 成等差数列，则30π≤<B ④sin cos 2x y x y π=⇒+=其中假命题．．．的是( ) A. ①④ B.②④ C. ①③ D.②③9. 如图，已知圆C 直径的两个端点坐标分别为()()010,9，B A --、，点P 为圆C 上（不同于B 、A ）的任意一点，连接P B 、AP 分别交y 轴于M 、N 两点，以MN 为直径的圆与x 轴交于D 、F 两点，则弦长DF 为( )A. 7B. 6C. 72D. 6210.对于定义域为[0,1]的函数()f x ，如果同时满足以下三个条件：①对任意的]1,0[∈x ，总有0)(≥x f ②1)1(=f ③若0,021≥≥x x ，121≤+x x ，都有)()()(2121x f x f x x f +≥+ 成立； 则称函数)(x f 为ϖ函数.下面有三个命题：(1)若函数)(x f 为ϖ函数，则0)0(=f ； （2）函数])1,0[(12)(∈-=x x f x是ϖ函数；442正视图侧视图俯视图第7题图第9题图（3）若函数)(x f 是ϖ函数，假定存在]1,0[0∈x ，使得]1,0[)(0∈x f ，且00)]([x x f f =， 则00)(x x f =； 其中真命题．．．个数有 ( ) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题:本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡相应位置． 11．6(2)x -的展开式中，3x 的系数是_____．（用数字作答）12．已知正数x 、y 满足⎩⎨⎧≥+-≤-05302y x y x ，则11()()42x y z =⋅的最小值为_____．13．定义一种运算S a b =⊗，在框图所表达的算法中揭示了这种运算“⊗”的含义。
青岛市2024-2025学年高三上学期期初考试数学试题(原卷版)
青岛市2024-2025学年高三上学期期初调研检测数学试题 2024.09本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合(){}ln 4A x y x ==−，{}1,2,3,4,5B =，则A B = （ ） A. {5} B. {1,2,3}C. {1,2,3,4}D. {1,2,3,4,5} 2. 已知复数z 满足()12i 43i z +=+，则z 的虚部为（ ） A. 1 B. 1− C. i D. i −3. 已知命题p ：R α∀∈，sin cos 44ππαα −=+，则p ¬为（ ） A. R α∀∈，sin cos 44ππαα −≠+B. R α∃∈，sin cos 44ππαα −≠+C. R α∀∉，sin cos 44ππαα −=+D. R α∃∉，sin cos 44ππαα −=+4. 等差数列{aa nn }的首项为1−，公差不为0，若236,,a a a 成等比数列，则{aa nn }的前6项和为（ ） A. 1− B. 3 C. 24− D. 245. 在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以x 轴的非负半轴为始边，它们的终边关于x 轴对称．若1cos 3α=−，则()cos αβ−=（ ）A. 19B. 79−C. 1D. 796. 两个粒子A ，B 从同一发射源发射出来，在某一时刻，它们位移分别为(1,2)A S = ，(4,3)B S = ．粒子B 相对粒子A 的位移为S ，则S 在A S 上的投影向量为（ ）A.B. C. (1,2) D. (2,1)7. 设()()2,01,0x a x f x x a x x +≤ = ++>，若()0f 是()f x 的最小值，则a 的取值范围为（ ） A []1,0− B. []1,2− C. []2,1−− D. []2,0−8. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2．以F 1F 2为直径的圆和C 的渐近线在第一象限交于A 点，直线AF 1交C 的另一条渐近线于点B ，1F B BA = ，则C 的离心率为（ ）A.B. C. 2 D. 3二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 一组数据：x 1，x 2，…，x 102的等差数列，去掉首末两项x 1，x 10后得到一组新数据，则（ ）A. 两组数据的极差相同B. 两组数据的中位数相同C. 两组数据的平均数相同D. 两组数据的标准差相同10. 平面α过正方体1111ABCD A B C D −的顶点A ，平面//α平面11CB D ，平面α 平面ABCD m =，平面α 平面11ABB A n =，则（ ）A. 11//B D mB. 1//A B 平面αC. n ⊥平面11ADC BD. ,m n 所成的角为π311. 设数列{aa nn }和{bb nn }的项数均为m ，称1m i i i a b =−∑为数列{aa nn }和{bb nn }的距离．记满足111n n n a a a ++=−的所有数列{aa nn }构成的集合为C ．已知数列{}n A 和{}n B 为C 中的两个元素，项数均为m ，下列正确的有（ ） A. 数列1,3,5,7和数列2,4,6,8距离为4B. 若()*4N m p p =∈，则1122m m A A A B B B =的.的C. 若()*4N m p p =∈，则1m i i Am =≤∑D. 若12A =，13B =，数列{}n A 和{}n B 的距离小于2017，则m 的最大值为3456三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分．12. 若曲线cos y ax x =在点()0,0处的切线斜率为1−，则a =______．13. 若1π3x =，2πx =是函数()()sin 0f x x ωω=>的两个相邻极值点，则ω=______． 14. 正方体1111ABCD A B C D －棱长为3，P 是侧面11ADD A （包括边界）上一动点，E 是棱CD 上一点，若APB DPE ∠=∠，且APB △的面积是DPE 面积的9倍，则三棱锥P ABE －体积的最大值是______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局．已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为23和12，且每次活动甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响．（1）求在一次猜谜活动中，有一方获胜的概率；（2）若有一方获胜则猜谜活动结束，否则猜谜继续，猜谜最多进行3次，求猜谜次数X 的分布列和期望．16. 已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c)cos cos cos a c B b C A +=．（1）求A ；（2）若AB 边上的高等于13c ，求sin C ．17. 如图，在四棱锥P ABCD −中，底面四边形ABCD 是正方形，PD DC =，PD ⊥底面ABCD ，E 是线段PC 的中点，F 在线段PB 上，EF PB ⊥．（1）证明：PB ⊥平面DEF ；（2）G 在线段PB 上，EG 与PA 所成的角为45 ，求平面DEF 与平面DEG 夹角的余弦值．的18. 已知双曲线22:4C x y m −=，点()11,1P 在C 上．按如下方式构造点n P （2n ≥）；过点1−n P 作斜率为1的直线与C 的左支交于点1n Q −，点1n Q −关于y 轴的对称点为n P ，记点n P 的坐标为(),n n x y ． （1）求点23,P P 的坐标；（2）记2n n n a x y =−，证明：数列{}n a 为等比数列； （3）O 为坐标原点，,G H 分别为线段2n n P P +，13n n P P ++的中点，记12n n OP P ++△，OGH 的面积分别为12,S S ，求12S S 的值． 19. 已知函数()f x 定义域为I ，D I ⊆，若x D ∀∈，t D ∃∈，当x t <时，都有()()f x f t <．则称t 为()f x 在D 上“Ω点”．（1）设函数()()()2ln 12f x ax x x =++−． （i ）当0a =时，求()f x 在()1,−+∞上的最大“Ω点”； （ii ）若()f x 在[]0,1上不存在“Ω点”，求a 的取值范围； （2）设{}()*1,2,,N D m m ∈= ，且()10f =，()()11f x f x −−≤．证明：()f x 在D 上的“Ω点”个数不小于()f m ． 的。
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山东省青岛市2013届高三上学期期中考试数学（理）试题第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集R U =，集合{}{}237,7100A x x B x x x =≤<=-+<，则()U A B ⋂=ð A.()()+∞⋃∞-,53, B.(]()+∞⋃∞-,53, C.(][)+∞⋃∞-,53, D.()[)+∞⋃∞-,53, 【答案】D【解析】{}{}2710025B x x x x x =-+<=<<,所以{35}A B x x ⋂=≤<，所以(){53}U A B x x x ⋂=≥<或ð，选D.2．在ABC ∆中，“A B >”是“tan tan A B >”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】D【解析】因为函数tan y x =在R 上不是单调函数，所以“A B >”是“tan tan A B >”的 既不充分也不必要条件，选D.3．给出下列三个结论：（1）若命题p 为真命题，命题q ⌝为真命题，则命题“p q ∧”为真命题；（2）命题“若0xy =，则0x =或0y =”的否命题为“若0xy ≠，则0x ≠或0y ≠”； （3）命题“,20x x ∀∈>R ”的否定是“ ,20xx ∃∈≤R ”.则以上结论正确的个数为 A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个 【答案】C【解析】q ⌝为真，则q 为假，所以p q ∧为假命题，所以（1）错误.“若0xy =，则0x =或0y =”的否命题为“若0x ≠且0y ≠，则0xy ≠”，所以（2）错误.（3）正确.选C. 4．已知等比数列{}n a 的前n 项和为13n n S a +=+，N *n ∈，则实数a 的值是A ．3-B ．3C ．1-D ．1 【答案】A【解析】当2n ≥时，113323n n n n n n a S S +-=-=-=⋅，当1n =时，119a S a ==+，因为{}n a 是等比数列，所以有926a +=⨯，解得3a =-，选A.5．已知非零向量a 、b ，满足a b ⊥ ，则函数2()()f x ax b =+ (R)x ∈是A. 既是奇函数又是偶函数B. 非奇非偶函数C. 偶函数D. 奇函数 【答案】C【解析】因为a b ⊥ ，所以0a b =，所以2222()()f x ax b a x b =+=+ ，所以2()()f x ax b =+ 为偶函数，选C. 6．已知函数1()cos f x x x =，则()()2f f ππ'+= A ．2π-B ．3πC ．1π-D ．3π-【答案】D【解析】因为1()cos ,f x x x =所以211'()cos sin f x x x x x =--，所以1()f ππ=-，2'()2f ππ=-，所以3()()2f f πππ'+=-，选D. 7．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3100(12)S x dx =+⎰，则56a a +=A ．125B ．12C ．6D ．65【答案】A 【解析】323100(12)()12S x dx x x =+=+=⎰，等差数列中110105610()5()122a a S a a +==+=，所以56125a a +=，选A.8．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,2A πϕ><）的图象如图所示，则函数()f x 的解析式为 A ．()sin(2)3f x x π=- B ．()sin(2)6f x x π=+ C ．()sin(2)3f x x π=+ D. ()sin(4)6f x x π=+ 【答案】C【解析】由图象可知1A =,741234T πππ=-=,T π=,即2ππω=，所以2ω=，所以()sin(2)f x x ϕ=+，777()sin(2)sin()112126f πππϕϕ=⨯+=+=-，即sin()16πϕ+=，所以2,62k k Z ππϕπ+=+∈，即2,3k k Z πϕπ=+∈，又2πϕ<，所以3πϕ=，所以()sin(2)3f x x π=+，选C.9．已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且20OA OB OC ++=，则A ．2AO OD = B ．AO OD = C ．3AO OD =D ．2AO OD =【答案】B【解析】因为D 为BC 边中点，所以由20OA OB OC ++= 得22OB OC OA AO +=-=，即22OD AO = ,所以AO OD =，选B.10．若函数a ax x f 213)(-+=在区间)1,1(-上存在一个零点，则a 的取值范围是 A ．51>a B ．51>a 或1-<a C ．511<<-a D ．1a <- 【答案】B【解析】要使函数在)1,1(-上存在一个零点，则有(1)(1)0f f -<，即(1)(51)0a a +-+<，所以(1)(51)0a a +->，解得15a >或1a <-，选B. 11．已知函数2()cos()f n n n π=，且()(1)n a f n f n =++，则123100a a a a ++++= A ． 0 B ．100- C ．100 D ．10200【答案】B【解析】因为2()cos()f n n n π=，所以123100a a a a ++++= [(1)(2)(100)][(2)(101)]f f f f f ++++++(1)(2)(100)f f f +++= 222222123499100-+-+--+ 222222(21)(43)(10099)=-+-+- 50(3199)3719950502+=+++== ，(2)(101)f f ++= 22222223499100101-+--+- 222222=2345+100101-+-+- （）（）（）50(5201)5920151502--=----==- ，所以123100a a a a ++++= [(1)(2)(100)][(2)(101)]f f f f f ++++++ 51505050100=-+=-,选B.12．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x -=-，且[]0,2x ∈时，2()log (1)f x x =+，甲、乙、丙、丁四位同学有下列结论：甲：()31f =；乙：函数()f x 在[]6,2--上是减函数；丙：函数()f x 关于直线4x =对称；丁：若()0,1m ∈，则关于x 的方程()0f x m -=在[]8,8-上所有根之和为8-，其中正确的是A ．甲、乙、丁B ．乙、丙C ．甲、乙、丙D ．甲、丙 【答案】A【解析】由(4)()f x f x -=-，得(8)()f x f x -=，所以周期是8.所以2(3)(1)(1)log 21f f f =--===，所以甲正确.当[0,2]x ∈时，函数()f x 递增，因为是奇函数，所以在[2,0]-也是增函数，由(4)()()f x f x f x -=-=-，所以关于直线2x =对称，所以丙不正确，所以在[2,6]上函数递减，在[6,2]--上函数递增，所以乙不正确.由于函数关于直线2x =对称，且周期是8，所以函数也关于直线6x =-对称.由图象可知()0f x m -=的根有四个，两个关于直线2x =对称，另外两个根关于6x =-对称，所以所有根之和为4(12)8+-=-，丁正确，所以答案选A.第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．15tan 4π= ； 【答案】 1-【解析】15tantan(4)tan 1444ππππ=-=-=-. 14．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<+≥=4),1(4,)21()(x x f x x f x，则2(1log 5)f +的值为 ；【答案】120【解析】231log 54<+<，所以222(1log 5)(2log 5)(log 20)f f f +=+=22log 20log 2011()2220-===. 15．设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12,3693=-=S S S ，则=6S ； 【答案】9【解析】在等比数列{}n a 中，36396,,S S S S S --也成等比数列，即63,3,12S -成等比，所以26(3)31236S -=⨯=，所以636S -=±，所以69S =或63S =-（舍去）.16．已知函数()f x 的定义域为R ，若存在常数0m >，对任意R x ∈，有()f x m x ≤，则称函数()f x 为F -函数.给出下列函数：①2()f x x =；②2()1x f x x =+；③()2xf x =；④()sin 2f x x =. 其中是F -函数的序号为 .【答案】②④【解析】因为2()f x x x x x==，所以()f x x x =，没有最大值，所以①不是F -函数.2()111f x x x =≤+，所以存在1m =，有()f x m x ≤成立，所以②是F -函数.③不是F -函数.因为()sin 222f x x x x =≤=，所以此时存在2m =，所以④是F -函数，所以是F -函数的有②④.三、解答题：本大题共6小题,共74分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）在ABC ∆中，c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，已知bc a c b 23)(3222+=+． （Ⅰ）若C B cos 2sin =，求C tan 的大小；（Ⅱ）若2=a ，ABC ∆的面积22=S ，且c b >，求c b ,． 18．（本小题满分12分）设{}n a 是公差大于零的等差数列，已知12a =，23210a a =-. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设{}n b 是以函数214sin ()12y x π=+-的最小正周期为首项，以3为公比的等比数列，求数列{}n n a b -的前n 项和n S . 19．（本小题满分12分）已知向量22(cos sin ,sin )a x x x ωωω=- ，2cos )b x ω= ，设函数()(R)f x a b x =⋅∈ 的图象关于直线2x π=对称，其中ω为常数，且(0,1)ω∈.（Ⅰ）求函数()f x 的表达式；（Ⅱ）若将()y f x =图象上各点的横坐标变为原来的16，再将所得图象向右平移3π个单位，纵坐标不变，得到()y h x =的图象， 若关于x 的方程()0h x k +=在区间[0,]2π上有且只有一个实数解，求实数k 的取值范围. 20．（本小题满分12分） 已知函数2))(1()(xa x x x f ++=为偶函数． （Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）记集合{(),{1,1,2}}E y y f x x ==∈-，21lg 2lg 2lg5lg54λ=++-，判断λ与E 的关系； （Ⅲ）当x ∈]1,1[nm ()0,0>>n m 时，若函数()f x 的值域为]32,32[n m --，求n m ,的值. 21．（本小题满分13分）已知函数()ln f x x =的图象是曲线C ，点*(,())(N )n n n A a f a n ∈是曲线C 上的一系列点，曲线C 在点(,())n n n A a f a 处的切线与y 轴交于点(0,)n n B b . 若数列{}n b 是公差为2的等差数列，且1()3f a =.（Ⅰ）分别求出数列{}n a 与数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设O 为坐标原点，n S 表示n n OA B ∆的面积，求数列{}n n a S 的前n 项和n T . 22．（本小题满分13分）已知函数⎩⎨⎧≥<+++-=1,ln 1,)(23x x a x c bx x x x f ，当23x =时，函数()f x 有极大值427.（Ⅰ）求实数b 、c 的值；（Ⅱ）若存在0x ∈[1,2]-，使得0()37f x a ≥-成立，求实数a 的取值范围.即3122222⨯-+=bc c b由直线2x π=是()y f x =图象的一条对称轴，可得2sin()23ππω+=±，所以()32k k z πππωπ+=+∈，即1()6k k z ω=+∈．又(0,1)ω∈，k z ∈，所以0k =，故16ω=.20．（本小题满分12分）解: （Ⅰ）)(x f 为偶函数 ()()f x f x ∴=- 22))(1())(1(xa x x x a x x +-+-=++∴,0)1(2=+∴x a ∈x R 且0≠x ,1-=∴a ………………………………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：221)(x x x f -=当1x =±时，()0f x =；当2x =时，3()4f x =304E ,⎧⎫∴=⎨⎬⎩⎭， ……………………………………………………………………………6分21．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）()1f x x'=， ∴曲线C 在点()(),n n n A a f a 处的切线方程：()1ln n n ny a x a a -=- 令0ln 1n x y a =⇒=-，该切线与y 轴交于点()0,n n B b ，ln 1n n b a ∴=-………………………………………3分①当11<≤-x 时，22()323()3f x x x x x '=-+=--，令0)(='x f 得320==x x 或 当x 变化时，)(),(x f x f '的变化情况如下表：根据表格，又2)1(=-f ，27)3(=f ，0)0(=f。