9.4复合函数求导法则
9.4复合函数微分法
例2 设 z eu sin v, 而 u xy, v x y,
求
z x
和
z y
.
u
x
z
v
y
解
z x
z u
u x
z v
v x
eu sin v y eu cos v 1
eu( y sin v cosv)
e xy[ y sin( x y) cos( x y)],
例2 设 z eu sin v, 而 u xy, v x y,
v
uv1,
z v
uv
ln
u,
u y
2
y,
v y
2
则
z x
6 x(4 x 2 y)(3 x2 y )2 4x2 y1
4(3 x2 y2 )4 x2 y ln( 3 x2 y2 )
例3 求 z (3 x2 y2 )4 x2 y 的偏导数.
解
z u
v
uv1,
z v
uv
ln u,
u y
2 y,
dz z du z dv dt u dt v dt
复合后的函数是一元函数 ,故所求的导数就是全导数.
证明 设 t 获得增量 t，
则 u (t t ) (t ),v (t t) (t);
由于函数z f (u, v)在点(u,v)有连续偏导数
z
z u
u
z v
v
1u
2v,
当u 0，v 0时， 1 0， 2 0
求
z x
和
z y
.
解 z x
u
x
z
v
y
e xy[ y sin( x y) cos( x y)],
高中数学复合函数求导公式及法则
高中数学复合函数求导公式及法则设函数y=fu的定义域为Du，值域为Mu，函数u=gx）的定义域为Dx，值域为Mx，如果Mx∩Du≠?，那么对于Mx∩Du内的任意一个x经过u；有唯一确定的y值与之对应，则变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系，这种函数称为复合函数。
f[gx]中,设gx=u,则f[gx]=fu，从而（公式）：f'[gx]=f'u*g'x呵呵，我们的老师写在黑板上时我一开始也看不懂，那就举个例子吧,耐心看哦！f[gx]=sin2x,则设gx=2x,令gx=2x=u,则fu=sinu所以f'[gx]=[sinu]'*2x'=2cosu,再用2x代替u，得f'[gx]=2cos2x.以此类推y'=[cos3x]'=-3sinxy'={sin3-x]'=-cosx一开始会做不好，老是要对照公式和例子，但只要多练练，并且熟记公式，最重要的是记住一两个例子，多练习就会了。
证法一：先证明个引理fx在点x0可导的充要条件是在x0的某邻域Ux0内，存在一个在点x0连续的函数Hx,使fx-fx0=Hxx-x0从而f'x0=Hx0证明：设fx在x0可导，令 Hx=[fx-fx0]/x-x0,x∈U'x0x0去心邻域；Hx=f'x0,x=x0因limx->x0Hx=limx->x0[fx-fx0]/x-x0=f'x0=Hx0所以Hx在点x0连续，且fx-fx0=Hxx-x0,x∈Ux0反之，设存在Hx,x∈Ux0,它在点x0连续，且fx-fx0=Hxx-x0,x∈Ux0因存在极限limx->x0Hx=limx->x0[fx-fx0]/x-x0=limx->x0f'x=Hx0所以fx在点x0可导，且f'x0=Hx0引理证毕。
设u=φx在点u0可导，y=fu在点u0=φx0可导，则复合函数Fx=fφx在x0可导，且F'x0=f'u0φ'x0=f'φx0φ'x0证明：由fu在u0可导，由引理必要性，存在一个在点u0连续的函数Hu,使f'u0=Hu0,且fu-fu0=Huu-u0又由u=φx在x0可导，同理存在一个在点x0连续函数Gx,使φ'x0=Gx0,且φx-φx0=Gxx-x0于是就有，fφx-fφx0=Hφxφx-φx0=HφxGxx-x0因为φ，G在x0连续，H在u0=φx0连续，因此HφxGx在x0连续，再由引理的充分性可知Fx在x0可导，且F'x0=f'u0φ'x0=f'φx0φ'x0证法二：y=fu在点u可导，u=gx在点x可导，则复合函数y=fgx在点x0可导，且dy/dx=dy/du*du/dx证明：因为y=fu在u可导，则limΔu->0Δy/Δu=f'u或Δy/Δu=f'u+αlimΔu->0α=0当Δu≠0，用Δu乘等式两边得，Δy=f'uΔu+αΔu但当Δu=0时，Δy=fu+Δu-fu=0,故上等式还是成立。
9-4多元复合函数的求导法则
f1 2xye f1 3e y f 3 e y ( f 3 2 x y f 3 e ) .3
例 4设 w f(x y z ,x)， yzf其 有中 连 二阶偏导数， 2w.求 xz
解 令 u x y z ， vx； yz
w x
u f u x fv x vf1 yzf2 ，
则复 z f合 u (x ,y )， 函 v (x ,y )数 也可微
dzzdxzdy x y
( z u z v)d x ( z u z v )dy u x v x u y v y
z( u d x u d) y z( vd x vd)y u x y v x y
从而 xz2uylnv3vu2，yz2xyu 2lnvuv2.
例 1设 1 u ( x y ) z ， z x 2 又 y 2 ， 求 u 及 u . x y
解 d u d(xy)z z ( x y ) z 1 d ( x y ) ( x y ) z lx n y ) d (z
z ( x y ) z 1 ( d d ) ( x x y ) z l x n y ) d ( x 2 y ( 2 )
z ( x y ) z 1 ( d d ) x ( x y y ) z lx n y ) 2 x ( ( 2 y d ) [ z ( x y ) z 1 2 x ( x y ) z lx n y ) d ( ]x
从而 zsi2 nersi2 n，
r
z2rco2sersi2n ．
例 9 设 u f ( x 2 y 2 ,x , sy x ) i ， 求 n d ． u 解 d u d f(x 2 y 2 ,x y ,sx i)n
9.4 多元复合函数求导法则(新)
∂z 2 x = e cos y + ∂x x
∂z 1 x = −e sin y + ∂y y
18
z = f (u, v) =
u2v 2 2 , u +v ≠ 0 2 2 u +v
u =t , v =t
t 但，z = f (t, t ) = 2
dz 1 = dt 2
0,
u2 +v2 = 0
∂z du ∂z dv ≠ ∂u ⋅ dt + ∂v ⋅ dt = 0⋅1+ 0⋅1 = 0
2
常用导数符号
∂z = fv (u, v) = fv = f2′ ∂v ∂2 z ′′ = fvv (u, v) = fvv = f22 2 ∂v
称为混合偏导数
′′ ′′ ′′ ′′ 当 f12 和 f21 均连续时有 f12 = f21
3
推广: 推广 设下面所涉及的函数都可微 . 1、中间变量多于两个的情形 、中间变量多于两个的情形.
8
例 3.
u = f (x, y, z) = e
x2 + y2 +z2
, z = x sin y, 已知
2
∂u ∂u , . 可微，求 ∂x ∂ y
u
x y z
∂u ∂ f = 解: ∂x ∂x
x y
2 2 x2 + y2 +x4 sin 2 y
= 2 x (1+ 2 x sin y) e
∂u ∂ f ∂ f ∂z = + ⋅ ∂y ∂y ∂z ∂y
x
y x
y
5
z = eu sin v, u = xy , v = x + y , 求 例2. 设
复合函数求导法则有哪些呢
复合函数求导法则有哪些呢复合函数的求导法则同学们清楚吗，如果不清楚，快来小编这里瞧瞧。
下面是由小编为大家整理的“复合函数求导法则有哪些呢”，仅供参考，欢迎大家阅读。
复合函数求导法则有哪些呢Y=f(u),U=g(x),则y′=f(u)′*g(x)′例1.y=Ln(x^3),Y=Ln(u),U=x^3,y′=f(u)′*g(x)′=[1/Ln(x^3)]*(x^3)′=[1/Ln(x^3)]*(3x^2)=(3x^2)/Ln(x^3)]例2.y=cos(x/3),Y=cosu,u=x/3由复合函数求导法则得y=-sin(x/3)*(1/3 )=-sin(x/3)/3拓展阅读：求导公式运算法则是什么运算法则是：加(减)法则，[f(x)+g(x)]'=f(x)'+g(x)';乘法法则，[f(x)*g(x)]'=f(x)'*g(x)+g(x)'*f(x);除法法则，[f(x)/g(x)]'=[f(x)'*g(x)-g(x)'*f(x)]/g(x)^2。
若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。
导数也叫导函数值，又名微商，是微积分中的重要基础概念。
由基本函数的和、差、积、商或相互复合构成的函数的导函数则可以通过函数的求导法则来推导。
求导运算法则是：加(减)法则：[f(x)+g(x)]'=f(x)'+g(x)';乘法法则：[f(x)*g(x)]'=f(x)'*g(x)+g(x)'*f(x);除法法则：[f(x)/g(x)]'=[f(x)'*g(x)-g(x)'*f(x)]/g(x)^2。
一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。
如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。
导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。
导数的复合求导法则
导数的复合求导法则导数的复合求导法则是微积分中的重要内容，它可以帮助我们计算含有复合函数的导数。
在复合函数中，一个函数嵌套在另一个函数内部，我们需要利用复合求导法则来计算这个复合函数的导数。
复合求导法则有两个部分：链式法则和指数法则。
一、链式法则：链式法则是计算复合函数导数的一种方法，它适用于函数嵌套的情况。
设有函数y=f(u)和u=g(x)，则复合函数y=f(g(x))的导数可以表示为：dy/dx = (dy/du) * (du/dx)其中，(dy/du)表示外函数f(u)对内函数u=g(x)的导数，(du/dx)表示内函数u=g(x)对自变量x的导数。
链式法则的推导过程如下：1.设复合函数为y=f(g(x))，其中u=g(x)。
2. 通过求导的定义，可以计算出dy/du，即外函数f(u)对内函数u=g(x)的导数。
3. 通过求导的定义，可以计算出du/dx，即内函数u=g(x)对自变量x的导数。
4. 接着，将dy/du和du/dx相乘即可得到复合函数y=f(g(x))的导数：dy/dx = dy/du * du/dx。
链式法则的一个重要应用是计算嵌套函数的高阶导数。
利用链式法则，我们可以推导出计算嵌套函数高阶导数的公式。
例如，对于二阶导数，我们可以将链式法则应用两次来计算。
二、指数法则：指数法则是计算含有指数函数的复合函数导数的一种方法。
指数函数是指以常数e为底的自然指数函数，例如f(x) = e^x。
对于指数函数e^x，其导数等于其本身。
即d(e^x)/dx = e^x。
当复合函数中出现指数函数时，我们可以利用指数法则来计算其导数。
指数法则有两种形式：1. 对于一般形式的复合函数：y = e^(g(x))，其中u = g(x)。
则该复合函数的导数为dy/dx = (e^(g(x))) * g'(x)。
2. 对于特殊情况：y = a^(g(x))，其中a为常数。
则该复合函数的导数为dy/dx = (a^(g(x))) * ln(a) * g'(x)。
§9.4 多元复合函数的求导法则
−u − t dz ∂z du ∂z dv ＝ ＋ ． 【复合结构图： z − 】 −v − t ∂v dt dt ∂u dt
证
(1)
这时 u = ϕ (t )、v = ψ (t ) 的对应增量为 ∆u 、∆v ， 由此， 函数 z = f (u , v) 设 t 获得增量 ∆t ，
对应地获得增量 ∆z ． 根据假定， 函数 z = f (u , v) 在点 (u , v) 具有连续偏导数， 于是由第三节公式 (6) 有
z = f (u, v, w) ， u = ϕ (t ) ， v = ψ (t ) ， w = ω (t ) 复合而得复合函数 z = f [ϕ (t ),ψ (t ), ω (t )],
则在与定理 1 相类似的条件下，这复合函数在点 t 可导，且其导数可用下列公式计算
dz ∂z du ∂z dv ∂z dω ＝ ＋ ＋ ． ∂v dt ∂ω dt dt ∂u dt dz 在公式 (1) 及 (2) 中的导数 称为全导数． dt
＝ 2( y + x sin y cos y ) e
4 x 2 + y 2 + x 4 sin 2 y
．
4
例 6 设 z = y + f ( x − y ) ，其中 f (u ) 可微，证明： y ⋅
2 2
∂z ∂z + x⋅ = x ． ∂x ∂y
证：令 u = x − y ，则
2 2
∂z ∂z = 0 + f ′(u ) ⋅ 2 x = 2 xf ′( x 2 − y 2 ) ， = 1 − 2 yf ′( x 2 − y 2 ) ， ∂y ∂x
一元复合：设函数 y = f (u ) 与 u = g ( x) 均可导，则复合函数 y = f [ g ( x)] 的导数为
复合导数求导法则
复合导数求导法则复合导数求导法则，是微积分课程中的一个重要内容，是在求一个函数的导数时，将该函数看作由两个或多个内部函数组合而成，通过对其内部函数求导计算得出该函数的导数。
本文将介绍复合导数的概念、计算方法和一些应用。
一、复合函数的概念复合函数是由两个或多个函数所组成的函数，其中一个函数的值域是另一个函数的定义域。
一般地，设函数y=f(u)在点u=g(x)处有定义，则符合函数h(x)=f[g(x)]在点x处有定义。
其中，g(x)为内函数，f(u)为外函数。
二、复合导数的定义复合函数的导数，又称链式法则，是指如果y=f[u(x)]是由一个内函数u(x)组成的外函数f(u)，则y'(x)是给定函数在u(x)处的导数u'(x)和给定函数f(u)在u=u(x)处的导数f'(u(x))积的结果。
即，y'(x) = f'[u(x)] * u'(x)其中，u(x)是内函数，f(u)是外函数，f'(u(x))和u'(x)分别表示f(u)和u(x)在u=u(x)处的导数。
三、复合导数的求法的求解方法分为一元函数和多元函数两类。
(1) 一元函数的求法对于一元函数f(u)，设其内函数为u=g(x)，则复合函数h(x)=f[g(x)]，其中，g(x)是内函数，f(g)=y是外函数。
则有：y' = f'(g)g'(x)其中，f’(g)是f(g)在g处的导数，g’(x)是g(x)在x处的导数。
(2) 多元函数的求法对于多元函数f(x,y)，设其内函数为y=g(x)，则复合函数h(x)=f[x,g(x)]，其中，g(x)是内函数，f[x,g(x)]是外函数。
则有：h'(x) = fx(x,g(x))*1 + fy(x,g(x))*g'(x)其中，fx是f(x,y)对x的偏导数，fy是f(x,y)对y 的偏导数，g'(x)是g(x)对x的导数。
复 合 函 数 的 求 导 法 则
复合函数的表示方法
记号表示
复合函数通常用记号F(u)来表示，其 中F表示外部函数，u表示内部函数的 输出。
具体表示
如果y=f(x)且u=g(y)，则复合函数可 以表示为z=f(g(y))或z=F(u)，其中 z=F(u)表示z是u的函数。
03
链式法则
链式法则的原理
链式法则是复合函数求导的重要法则之一，其原理是将复合 函数分解为多个基本函数，然后对每个基本函数分别求导， 再根据复合函数的复合关系，将各个基本函数的导数相乘， 得到复合函数的导数。
商的求导法则的原理
商的求导法则指出，对于两个函数的商，其 导数等于被除函数的导数除以除函数的导数 。即 (u/v)' = (u'v - uv') / v^2。
这个法则的原理基于函数的商的性质，即当 两个函数同时变化时，其商的变化率满足特
定的关系。
商的求导法则的应用示例
假设有两个函数 f(x) = x^2 和 g(x) = sin(x)，我们需要 求它们的商函数 f(g(x)) = x^2 / sin(x) 的导数。
进一步学习高阶导数、隐 函数求导等更深入的数学 知识，为后续学习打下基 础。
THANKS
感谢观看
乘积法则
在求导过程中，将复合函数的中间变 量与常数相乘，并使用乘积法则进行 求导。
反函数求导法则
对于反函数，使用反函数求导法则进 行求导。
学习建议与展望
熟练掌握复合函数的求导 法则，能够快速准确地求 出复合函数的导数。
了解复合函数在实际问题 中的应用，如经济学、物 理学等领域。
ABCD
在学习过程中，多做练习 题，加深对复合函数求导 法则的理解和掌握。
表示
复合函数求导公式有哪些
复合函数求导公式有哪些
有很多的同学是非常的想知道，复合函数求导公式是什幺，小编整理了
相关信息，希望会对大家有所帮助！
1 复合函数如何求导规则：1、设u=g(x)，对f(u)求导得：f’(x)=f’(u)*g’(x)；
2、设u=g(x),a=p(u)，对f(a)求导得：f’(x)=f’(a)*p’(u)*g’(x)；
拓展：
1、设函数y=f(u)的定义域为Du，值域为Mu，函数u=g(x）的定义域为Dx，值域为Mx，如果Mx∩Du≠Ø，那幺对于Mx∩Du内的任意一个x 经过u；有唯一确定的y 值与之对应，则变量x 与y 之间通过变量u 形成的一种函数关系，这种函数称为复合函数(composite function)，记为：y=f[g(x)]，其中x 称为自变量，u 为中间变量，y 为因变量（即函数）。
2、定义域：若函数y=f(u)的定义域是B,u=g(x)的定义域是A,则复合函数
y=f[g(x)]的定义域是D= {x|x∈A,且g(x)∈B} 综合考虑各部分的x 的取值范围，取他们的交集。
3、周期性：设y=f(u)的最小正周期为T1,μ=φ(x)的最小正周期为T2,则
y=f(μ)的最小正周期为T1*T2，任一周期可表示为k*T1*T2(k 属于R+).
4、单调（增减）性的决定因素：依y=f(u)，μ=φ(x)的单调性来决定。
即“增+增=增；减+减=增；增+减=减；减+增=减”，可以简化为“同增异减”。
1 复合函数求导法则Y=f(u),U=g(x),则y′=f(u)′*g(x)′
例1.y=Ln(x),Y=Ln(u),U=x,
y′=f(u)′*g(x)′=[1/Ln(x)]*(x)′=[1/Ln(x)]*(3x)。
复合函数的导数公式推导
复合函数的导数公式推导
复合函数的导数公式推导
复合函数是指将一个函数的输出值作为另一个函数的输入值的过程。
在实际问题中，复合函数的应用非常广泛。
例如，在数学中，我们可以将两个函数复合起来，以便求出新函数的导数。
这个过程的推导如下：
假设 f(x) 表示一个函数，并且 g(u) 表示另一个函数。
现在，我们来寻找 f(g(u)) 的导数。
首先，根据复合函数的定义，我们可以得到：
f(g(u)) = f(x)
将其对 u 求导：
f'(g(u)) * g'(u) = f'(x) * x'
其中，f'(x) 和 g'(u) 分别表示函数 f(x) 和 g(u) 的导数。
注意到，当 u 取特定的值时，x 和 g(u) 是相等的。
因此，我们可以将 x 替换为 g(u)，得到：
f'(g(u)) * g'(u) = f'(g(u)) * g(u)'
将上式移项，得到：
(f'(g(u))) / (g'(u)) = g(u)'
这个公式就是复合函数的导数公式。
它告诉我们，f(g(u)) 在 u 处的导数等于 f'(g(u)) 和 g'(u) 的商，再乘以 g(u) 在 u 处的导数。
这个公式
在实际问题中非常有用，因为它可以帮助我们求出复合函数的导数，
从而解决问题。
高等数学《复合函数的求导法则》
定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.
例：z f (u,v, w) , u u(t ) , v v(t ) , w w(t ) ,
则 dz z du z dv z dw dt u dt v dt w dt
f
(
xy,
x y
)，f
可微，求
z
x
和
z
y
.
解
zx
f1
y
f
2
(
1 y
)
y
f1
1 y
f2 .
zy
f1 x
f2
(
1 y2
)
x
f1
x y2
f2 .
定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.
(2) 设u ( x, y)、v ( x, y)、w w( x, y)
都在点( x, y)具有对 x 和 y 的偏导数，复合函数
2、全微分形式不变性 ( 理解其实质 ) 3、求复合函数偏导数时，由于复合关系比较复 杂，用链式法则求偏导数时，首先要搞清楚哪些 是自变量，哪些是中间变量，其次要分清是求偏 导数或是全导数.
总结：
1、多元函数偏导数的类型很多，有求偏导数， 有证明偏导数存在，有讨论可微与连续及与偏 导数的关系问题.
——全导数公式
证 设 t 获得增量 t，
则 u (t t) (t), v (t t) (t); 由于函数z f (u, v)在点(u,v)有连续偏导数
z zuu zvv 1u 2v,
当u 0，v 0时， 1 0， 2 0
z t
zu
u t
zv
v t
复合函数求导(链式法则)
复合函数求导（链式法则）（建议阅读原文）预备知识微分若有两个一元函数 f(x) 和 g(x)，我们可以把 g 的函数值作为 f 的自变量，得到一个新的函数称为f(x) 和 g(x) 的复合函数，记为 f[g(x)]．如果我们已知两个函数 f(x) 和 g(x) 的导函数 f'(x) 和 g'(x)，那么我们可以通过以下公式求复合函数 f[g(x)] 的导数．\begin{align}&f[g(x)]' = f'[g(x)]g'(x)&(1)\\\end{align}对于多个函数的复合函数，我们也有类似的公式，例如\begin{align}&f[g(h(x))]' =f'[g(h(x))]g'[h(x)]h'(x)&(2)\\\end{align}例1 基本初等函数的复合函数求导我们已经知道基本初等函数的导数的导函数，下面对它们的一些常见的复合函数进行求导． \sin^2 x 可以看作幂函数 f(x) = x^2 和 g(x) =\sin x 的复合函数，已知 f'(x) = 2x， g'(x) = \cos x，代入式 1 得\begin{align}&(\sin^2 x)' = 2\sin x \cosx&(3)\\\end{align}几何理解为了方便表示，我们把 g 的函数值和 f 的自变量记为 u，把 f 的函数值记为 y．图 1：可以将 \sin^2 x 看做 f(u) = u^2 和 g(x) = \sin x 的复合函数我们可以用类似图 1 的图像来直观地理解复合函数．先画出y = f(u) 和 u = g(x) 的图像，并将 g(u) 的图像逆时针旋转90° 使得两图的 u 轴对齐．这样对于任何定义域中的自变量 x，我们只需要先在 g(x) 的图中画出 u 的位置，再对应到 f(u) 的图像中求出 y 的位置即可．现在我们要讨论的问题是，若已知两函数的导函数 f'(x) 和 g'(u)（假设它们在定义域内处处可导）如何求复合函数 f[g(x)] 的导数．对于给定的 x，我们先来看当 x 增加 \Delta x 时 y 的增量 \Delta y 的大小．我们可以使用与图 1 类似的方法画出图 2 ，然后只需要令 \Delta x \to 0，就可以根据定义求出复合函数的导数\begin{align}&f[g(x)]' =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{x}} f[g(x)] =\lim_{\Delta x\to 0} \frac{\Delta y}{\Deltax}&(4)\\\end{align}图 2：用图 1 中的方法求出任意 \Delta x 对应的 \Delta y在这个过程中，我们在得到 \Delta y 之前先得到了 u 的增量 \Delta u．当 \Delta x 较小时有微分近似（式2 ）\begin{align}&\Delta {u} \approx g'(x) \Delta{x}\qquad \Delta{y} \approx f'(u)\Delta{u}&(5)\\\end{align}当 \Delta x \to 0 时对应的微分关系（式 1 ）为\begin{align}&\,\mathrm{d}{u} = g'(x) \,\mathrm{d}{x} \qquad \,\mathrm{d}{y} = f'(u)\,\mathrm{d}{u}&(6)\\\end{align}将上式中的左边代入右边得 \begin{align}&\,\mathrm{d}{y} = f'(u) g'(x) \,\mathrm{d}{x} = f'[g(x)]g'(x)\,\mathrm{d}{x}&(7)\\\end{align}而复合函数的微分是 \begin{align}&\,\mathrm{d}{y} =f[g(x)]' \,\mathrm{d}{x}&(8)\\\end{align}对比以上两式（微分和导数的关系）得\begin{align}&f[g(x)]' = f'[g(x)]g'(x)&(9)\\\end{align}这就是复合函数的求导公式．在上面的例子中\begin{align}&g(x) = \sin x \qquad g'(x) = \cos x\qquad f(u) = u^2 \qquad f'(u) = 2u\qquad&(10)\\\end{align}代入上式得\begin{align}&\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{x}} \sin^2 x = 2\sin x \cos x&(11)\\\end{align}复合函数的求导公式也叫链式法则，原因是我们可以把以上推导过程用导数的另外一种符号表示如下．\begin{align}&\,\mathrm{d}{y} =\frac{\mathrm{d}{y}}{\mathrm{d}{u}} \,\mathrm{d}{u} = \frac{\mathrm{d}{y}}{\mathrm{d}{u}}\frac{\mathrm{d}{u}}{\mathrm{d}{x}}\,\mathrm{d}{x}&(12)\\\end{align}得 \begin{align}&\frac{\mathrm{d}{y}}{\mathrm{d}{x}} = \frac{\mathrm{d}{y}}{\mathrm{d}{u}}\frac{\mathrm{d}{u}}{\mathrm{d}{x}}&(13)\\\end{align}这种书写方式让人不禁想把 \mathrm{d}{y}/\mathrm{d}{x} 看做是 \,\mathrm{d}{y} 和 \,\mathrm{d}{x} 相除，这样的符号分割是错误的，尤其是在以后学习高阶导数和偏导数时．多重复合函数要对多重复合函数如 f[g(h(x))] 求导，可以先对 g[h(x)] 求导得 g'[h(x)]h'(x) 再得到\begin{align}&f[g(h(x))]' =f'[g(h(x))]g'[h(x)]h'(x)&(14)\\\end{align}令 v = h(x)，用微分符号可以表示为\begin{align}&\frac{\mathrm{d}{y}}{\mathrm{d}{x}} =\frac{\mathrm{d}{y}}{\mathrm{d}{u}}\frac{\mathrm{d}{u}}{\mathrm{d}{v}}\frac{\mathrm{d}{v}}{\mathrm{d}{x}}&(15)\\\end{align}任意多重的复合函数求导同理可得．例2 对函数求导\begin{align}&\frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}&(16)\\\end{alig n}首先令 f(x) = 1/\sqrt{x} 再令 g(x) = x^2+a^2，上式等于 f[g(x)]．由基本初等函数的导数， \begin{align}&f'(x) = -\frac{1}{2\sqrt{x^3}} \qquad g'(x) =2x&(17)\\\end{align}代入式 9 ，得\begin{align}&\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{x}}\frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}} = f'[g(x)] g'(x) = -\frac{x}{\sqrt{(x^2+a^2)^3}}&(18)\\\end{align}一种较灵活的情况是，当三个变量只有一个自由度1时，任何一个变量都可以看做任何另外两个变量的函数2，这时可以根据需要灵活运用链式法则，如例 3 ．例3 加速运动公式假设质点做一维运动，位移，速度和加速度分别记为 x(t)， v(t) = \mathrm{d}{x}/\mathrm{d}{t}，a(t) = \mathrm{d}{v}/\mathrm{d}{t}，但若把速度 v 看做复合函数 v[x(t)]，根据链式法则有\begin{align}&a = \frac{\mathrm{d}{v}}{\mathrm{d}{t}} = \frac{\mathrm{d}{v}}{\mathrm{d}{x}}\frac{\mathrm{d}{x}}{\mathrm{d}{t}} =\frac{\mathrm{d}{v}}{\mathrm{d}{x}} v&(19)\\\end{align}写成微分表达式，有 a \,\mathrm{d}{x} = v\,\mathrm{d}{v}．注意到 \,\mathrm{d}\left(v^2 \right) = 2v \,\mathrm{d}{v}，代入得\begin{align}&\,\mathrm{d}\left(v^2 \right) = 2a\,\mathrm{d}{x}&(20)\\\end{align}若质点做匀加速运动，该式的物理意义是在任何一段微小时间内，速度平方的增量正比于这段时间内的位移增量．在一段时间 [t_1,t_2] 内把这些增量累加起来，就得到高中熟悉的运动学公式 \begin{align}&v_2^2-v_1^2 = 2a(x_2-x_1)&(21)\\\end{align}其中 x_1,v_1 和 x_1,v_1 分别是 t_1,t_2 时刻的位置和速度．1. 即任何一个变量值确定后，另外两个变量也随之确定2.姑且假设不会出现一个自变量对应两个函数值的情况。
9.4多元复合函数求导
z
u
v
t
dz 例1 设z u sin v ,而u cos t , v t , 求全导数 dt
2 3
解：
dz z du z dv dt u dt v dt
2u( sin t ) (cos v )3t
2
sin 2t 3t 2 cos t 3
上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况. 如
2
f 2 f 2 u f 2 v f 21 xyf 22 ; z u z v z 2w f11 xyf12 yf 2 yz( f 21 xyf 22 ) 于是 x z
f11 y( x z ) f12 xy2 zf 22 yf 2.
e [ x sin( x y) cos( x y )]
xy
有三个中间变量的情： 形 设u ( x , y ), v ( x , y ), w w ( x , y ) 都 在 点 x , y )具 有 对 和y的 偏 导 数 ， 则 复 ( x 合 函 数 f u( x , y ), v ( x , y ), w ( x , y )对 自 z 变 量x , y的 偏 导 数 用 下 列 公 式 算 ： 计
定理 如果函数 u (t ) 及 v (t ) 都在点 t 可导，函数 z f ( u, v ) 在对应点 ( u, v ) 具有 连续偏导数， 则复合函数 z f [ ( t ), ( t )]在 对应点 t 可导，且其导数可用下列公式计算：
dz z du z dv ． dt u dt v dt
z z u z v z w x u x v x w x
z z u z v z w y u y v y w y
复合函数求导法则
复合函数求导法则1、定理u=g()可导，y=f(u) 在 u处可导，y=f[g()] 可导,\frac{d_y}{d_} = f'(u) g'()2、简单例题y = e^{ ^3} \ \frac{ d_y }{ d_ } = e^u \cdot 3 ^2 =3 ^2\cdot e^{^3}3、 y = ^ ( \gt 0)3、1、使用e^做等价变换y= e^{ \ln } \ y'= e^{ \ln } \cdot (\ln +1) \ y' = ^ (\ln +1)3、2、两边同时取 ln ，并同时对求导由于只有两个变量，又是y对求导。
故y对于求导就是y'\ln y = \ln ^ \\ \ln y = \ln \\ \frac{ 1 }{ y } y' = \ln +\cdot \frac{1}{} \\ \frac{ 1 }{ y } y' = \ln +1 \\ y' = y\cdot (\ln +1) \\ y' = ^ \cdot (\ln +1)第二行运用了的运算性质，第三行参看乘法求导法则 (uv)' = u'v + uv'4、关联洛必达法则洛必达法则分为两种情况，一种是零比零型，另一种是无穷比无穷型。
比如下面的例题：求极限 \lim _{ \to + \infty} ( + \qrt{1+^2})^{\frac{1}{}}解：这是 \infty ^ 0 型未定式，是幂指函数的极限，对于“ \infty ^ 0 ” 和 0^0 型这两种未定式，一般说来，我们都用恒等变形：\lim u^v = e^{lim v \ln u} \ 记作 ep{\lim v \ln u }将其化成 \frac{0}{0}、\frac{\infty}{\infty}、0 \cdot \infty这三种类型，然后计算，故原极限 = ep{ \lim_{ \to + \infty}\frac{ 1 }{ } \ln {( + \qrt{1+^2})}}因 \lim_{ \to + \infty} \frac{ \ln { ( + \qrt{ 1+^2 }) } }{} P。
复合函数求导法则
三、作积还原(将各层基本初等函数的导数相乘，并将 中 间变量还原为原来的自变量)
y y u x u x，
引例：求函数 y ln x 2 的导数.
因为y ln x 2 是由y ln u 和u x 2复合而成。
所以y x yu u x
我们遇到的许多函数都可以看成是由两个函数经过 “复合”得到的. 2
例如,y 2 x 3 可以看成是由
y u2 和u 2 x 3 “复合”而成.
1.复合函数的概念:
一般地，对于两个函数 y = f (u)， u = g(x)， 如果通过变量u,y可以表示成x的函数，那么称 这个函数为y = f (u)和 u = g(x)的复合函数，记 作y = f (g (x))
检测提升
1.2.2
复合函数的求导法则
引例：如何求函数 y ln x 2 的导数呢？
设u x 2则y ln u
所以y ln x 2 可以看成是由 y ln u 和u x 2经过“复合”得到的。
即y可以通过中间变量u表示为自变量x的函数.
如果把y与u的关系记作y f u , u与x的关系记作u g x 那么这个“复合”过程可表示为y f u =f g x = ln x 2
y = f (u)叫作外函数;
u = g(x)叫作内函数
2.复合函数求导法则:
因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求 导,乘以中间变量对自变量求导. ( 链式法则 )
y y u x u x，
求复合函数的导数,关键在于分清 函数的复合关系 复合函数求导三部曲：
一、分层(从外向内分解成基本初等函数，注意中间变量) 二、层层求导(将分解所得的基本初等函数，进行求导)
D9_4 多元复合函数的求导法则及全微分形式不变性
z y 1
, 求一阶偏导数.
z
xy
uvuv (1)
y x2
x y2
u
2
u
v2
……
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2.
, 求一阶偏导数 .
解答提示:
u x
f1
1 y
f1
①②
x yy z
u y
f1
f2
x y2
f1
1 z
f 2
u z
f 2
y z2
f 2
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3.
解答提示:
z x
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2．多元函数与多元函数的复合
定理2. 若函数 u (x y) v (x y) 都在点 (x y) 具
有对 x 及 y 的偏导数 函数 z f (u v) 在对应点 (u v)
具有连续偏导数，则
z z u z v x u x v x
f11 f21
z z u z v y u y v y
y (1,1)
(x) f (x, f ( x, x)),求
(2001考研)
解: 由题设 (1) f (1, f (1,1) ) f (1,1) 1
d dx
3(Βιβλιοθήκη x)x13
2
(
x)
d
dx
x
1
3 f1(x, f (x, x))
f2(x, f (x, x))
3 2 3 (2 3) 51
f12 f2 2
z
uv x yx y
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又如, z f (x,v), v (x, y)
口诀 :
连线相乘 分线相加
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例1 . z eu sin v, u x y, v x y, 求 z , z . x y
例6
由方程 f,F均具有一阶连续偏导数. 证明: 证:
确定,
两边求微分得，
两边求微分得， 并解出
⑴
(2)
内容小结
1. 复合函数求导的链式法则
“连线相乘, 分线相加, 单路求导, 叉路偏导” 例如, u
2) 中间变量是多元函数的情形.例如,
z f
u v w
t t t
z f (u, v) , u ( x, y) , v ( x, y)
z z u z v f11 f 2 1 x u x v x z z u z v f1 2 f 2 2 y u y v y
二、多元复合函数的全微分
设函数 都可微, 则复合函数 z f ( ( x, y ) , ( x, y ) ) 的全微分为 z z dz dx d y x y z u z v ( )dy u y v y u u v v ( dx d y ) ( dx d y ) x y x y
2
x2 y2 z 2
2 x sin y
u f ( x, y , z )
2 x (1 2 x sin y ) e
2
x 2 y 2 x 4 sin 2 y
x y z
u f f z y y z y
x
y
x 2 y 2 x 4 sin 2 y
t
注意：1.非抽象复合函数的求导,可先带入中间变量再求导.
2.多元抽象复合函数求导, 必须用锁链法则。
例4. 设
f 具有二阶连续偏导数,
w 2 w 求 , . x x z 解: 令 u x y z , v x y z , 则 w f (u, v) (可不设出中间变量)
du
dv
可见无论 u , v 是自变量还是中间变量, 其全微分表达
形式都一样, 这性质叫做全微分形式不变性.
例 5. 利用全微分形式不变性再解例1. 解: d z d( eu sin v )
e cos v dv
u
( yd x xd y)
(dx d y ) dy
e x y [ y sin( x y ) cos(x y)]d x
1 ;
2. 全微分形式不变性
2 x y v
x y
不论 u , v 是自变量还是因变量,
d z f u (u , v) d u f v (u , v) d v
作业：习题9-4
2; 4; 9; 10; 12(4);
w f1 f 2 yz
u
v
w x
f2 yz f12 x y
2 f
x y zx y z
2w x z
y z f 2 ( x y z, x y z )
f 22 x y
2 f f11 ,y引入记号 x z f,22f yf 2 ( x z ) f12 f y , 为简便起见 1 12 u u v
但复合函数 z f ( t , t ) t 2 dz 1 z du z u u0 dt |t 0 v dt t 0 2 v 0
推广: 设下面所涉及的函数都可微 . 1) 中间变量多于两个的情形. 例如, z f (u, v, w) ,
u (t ) , v (t ) , w (t ) z dv z dw d z z du v d t w d t d t u d t f1 f 2 f 3
z f
u v
x y
又如, z f ( x, v) , v ( x, y )
当它们都具有可微条件时, 有
z f
z f x x z y
f1 f 2 1 f2 2
x
v
x y
z f 不同, 注意: 这里 与 x x z f 表示固定 y 对 x 求导, 表示固定 v 对 x 求导 x x
y
2 ye
x2 y2 z 2
2ze
x 2 y 2 z 2 x 2 cos
2 ( y x sin y cos y ) e
4
可代入后再求
dz . 例3. 设 z u v sin t , u e , v cos t , 求全导数 dt d z z du z z 解: d t u d t t u v t t ve cos t t t t e (cos t sin t ) cos t
口诀 : 连线相乘, 分线相加, 单路求导, 叉路偏导.
z z 例1. 设 z e sin v , u x y , v x y , 求 , . x y z z v 解: x v x
u
eu sin v
z y
eu cos v 1
z
u v
y
x 0 y 0
第九章
§9.4 多元复合函数的求导法则
一、多元复合函数求导的链式法则 二、多元复合函数的全微分及不变性
一、多元复合函数求导的链式法则
定理1. 若函数
z f (u, v)
处偏导连续, 则复合函数
在点 t 可导, 且有链式法则 d z z d u z dv d t u d t v d t 证: 设 t 取增量△t , 则相应中间变量 有增量△u ,△v , z z z u v o ( ) u v
( 称全导数公式 )
说明: 若定理中
偏导数连续减弱为
偏导数存在, 则定理结论不一定成立. 2 u v , u 2 v2 0 u 2 v2 例如: z f (u, v)
若减弱为 可微定理 成立!
0
0.
dv |t 0 0 1 0 1 0. u 0 v 0 dt
z
u
t
v
t
z z u z v o( ) 2 2 ( (u ) (v) ) t u t v t t
则有 u 0 , v 0 , u du v dv , t dt t dt
z
u
t
v
t
( )
d z z d u z dv d t u d t v d t
§9.3内容回顾
1. 微分定义:
z
o ()
(x) 2 (y ) 2
dz f x ( x, y )d x f y ( x, y )d y
2. 重要关系:
函数连续 函数可导
函数可微
偏导数连续 3可微 lim{ z [ f x (x0 , y0 ) x f y ( x0 , y0 ) y ]}/ 0
z v v y
x
e sin v
u
e cos v 1
u
例2. u f ( x, y, z ) e
x2 y2 z 2
u f 解: x x
2 xe
x2 y2 z 2
u u , z x sin y, 求 , x y
2
2z e