关于A-收敛
考研：求数列极限的十五种解法
求数列极限的十五种方法1.定义法；-N 定义：设｛a .｝为数列，a 为定数，若对任给的正数；，总存在正数 N ，使得当n . N 时,有a . -a | .；：「，则称数列｛a .｝收敛于a ；记作：l im a^a ，否则称｛a .｝为发散数列.例1 •求证： 1nim：a —1，其中a 0.证：当a =1时，结论显然成立.III当 a >1 时，记 a =a n_1，则 a >0 ,由 a =n+a $ K 1 +n a =1 + n(c^ _1)，得_1 兰王，v‘ n彳 1 1 1任给E >0，则当n >口 =N 时，就有—1 ，即a 下一1 c 呂，即lim=1 .1综上， lim a n =1，其中 a >0 .例2 .求： 7nlim—.M^n!解： 变式： 7n_7 77 7 77 7 .7 7 771 .. n7--0 7丄丄n! 1 27 8 9 n —1 n 7! n 6! nn! 6! n2•利用柯西收敛准则由柯西收敛准则，数列 ｛x,｝收敛.1丄当—时，令b 蔦，则b 1，由上易知：”呻1lim a nn丄-11 —1lim b 下n ::0，N 丄6!则当n . N 时, •••lim 7=0.f n!柯西收敛准则：数列｛a n ｝收敛的充要条件是: 一；・0 , T 正整数N ，使得当n 、m • N 时，总有：|a n -a m I ■:"'成立.例3 •证明：数列x n 八§n当（n 才，2, 3,）为收敛数列. k 2±2证：X n -X m =sin(m 勺)-2m +当n • m • N 时，有有二丄「；6! n例4 .（有界变差数列收敛定理 ）若数列｛x ｝满足条件:（n =1, 2,），则称｛人｝为有界变差数列，试证：有界变差数列一定收敛.=0, y n 二 X n —X nJ —%1—X n 』"| X ? - X ’那么｛y n ｝单调递增，由已知可知： ｛y n ｝有界，故｛%｝收敛, 从而0， -I 正整数N ，使得当n .m . N 时，有y n -y m ：：：；; 此即X n -X m _X n -X n 』"|X n 丄^/"| X m 1 - X m |八；由柯西收敛准则，数列｛ X,｝收敛.注：柯西收敛准则把 ；—N 定义中的a n 与a 的关系换成了 a n 与a m 的关系，其优点在于无需借用数列以外的数a ，只需根据数列本身的特征就可鉴别其敛散性.3 •运用单调有界定理单调有界定理：在实数系中，有界的单调数列必有极限.例5 •证明：数列 x n = J a +J a +''描 （n 个根式，a >0，n =1, 2, 11|）极限存在，并求l i ^X n • 证：由假设知X n = a • X n1 ；①用数学归纳法可证： X n 1 X, , ^ N :② 此即证｛X,｝是单调递增的.事实上，0 ：：： Xn 1 • ..=a • Xn •；： J a • a • 1 ：：：、'（ ：a • 1）2二 a 1 ；由①②可知： ｛X n ｝单调递增有上界，从而 lim X^ =1存在，对①式两边取极限得：1二JFR ，解得： 1」1如和|/-1 4a(舍负)；.・.limX 」1如.22F 24.利用迫敛性准则（即两边夹法）迫敛性：设数列｛a n ｝、｛b n ｝都以a 为极限，数列｛C n ｝满足：存在正数 N ，当n • N 时，有:1*2 n "郭 n 2 +n 勺 n 2+2n 2+n +n)卫j <X ^n (n 1)；从而lim 単』亠m 吵"2(n ②) 2(n 5 1) "一斗2 (n 2n) 2 r ：2( n n 1)•••由迫敛性，得：朝人+冷…冷弓.注：迫敛性在求数列极限中应用广泛，常与其他各种方法综合使用，起着基础性的作用.证：令力 a^lC n 乞b ，则数列｛C n ｝收敛，且l nim Cn =a .例6 .求:解：记：X n备？■生，则:....1 2 小“丘 n ； 21 n 2n 1亠 ％ - x ,| M5•利用定积分的定义计算极限黎曼积分定义：设为f(x)定义在［a, b ］上的一个函数，J 为一个确定的数，若对任给的正数g >0 ,总存在某一正数 5，使得对［a, b ］的任意分割T ，在其上任意选取的点集 {©}，1X 」,x ］，n只要—就有送f(©)织—J £ ■则称函数f(x)在［a, b ］上(黎曼)可积，数J 为f(x)在［a, b ］i J_.兀 .2兀 sin — sin —— lim------ + ---- - +"f 1n 1< 22n2n2n .sin — sinsin sin — sinsin si n — sin sin-n nn ____ n . ___ 亠 亠 n ... n nnnn注：数列极限为“有无穷多项无穷小的和的数列极限，且每项的形式很规范”这一类型问题时， 可以考虑能否将极限看作是一个特殊的函数定积分的定义；部分相关的数列极限直接利用积 分定义可能比较困难，这上的定积分，记作 bJ f (x)dx •=exp "li 琴瓦 ^In(1 +丄)卜exp(』ln(1 +x)dx )=exp(2ln2 —1例8.求: 解：因为:又:.兀亠• 2兀亠亠.n 兀sin — sin sin -n n nn +1 n 1 =lim — ■- y ：n 1 二二 二 2 二 n 二 -—(sin — sin — ■ ■■-sin —) •兀丄• 2兀丄亠• nn sin sin sin 一 •- lim n nJnY ：n -1■nsin同理:sin — si n — s in 」由迫敛性，得:例7.求:1112 n n+評+廿1+討2兀时需要综合运用迫敛性准则等方法进行讨论.6•利用（海涅）归结原则求数列极限（x ）=A=对任何人必（n 宀），有 ”叮（Xn ）=A •2=[im(1 •啤)]im(1 ^^1)^ ^lim(1 n^)^^lim(1 」)x =e ； lim(1 -1 -4)n=e • i ： n n注：数列是一种特殊的函数，而函数又具有连续、可导、可微、可积等优良性质，有时我们可以借助函数的这些优良性质将数列极限转化为函数极限，从而使问题得到简化和解决. 7•利用施托尔茨（Stolz ）定理求数列极限stolz 定理1: （__）型：若｛y n ｝是严格递增的正无穷大数列，它与数列 ｛X n ｝一起满足:□0"m ：x 二辭1，则有卩叹辭1，其中l为有限数，或；，或一stolz 定理2： （0）型：若｛yn ｝是严格递减的趋向于零的数列， n —「:：时，Xn —；0且lim X 1 Xn=］，则有lim Xn=l ，其中I 为有限数，或•：：，或-. n「y n1. -y n7%例11 .求：乍 2P 加:小n p愠 np+ (P^N) •解：令X n =1p ，2p 爲…圧-P , y n =n p1, n • N ，则由定理1,得:lim 1P 2P1 nP Rim (n P11)P P1，lim心 「 rn p1"：( n1)p_ n p n]p1) n p_(P ⑴卩P 1注：本题亦可由 方法五（即定积分定义）求得，也较为简便，此处略.例9•求：lim n-<-.: 1e n-1 1 解：lim■n-s ： 1-1 1例10 •计算: 解：一方面, 另一方面, 1= lim 学n T_on( lim 1 n 扛 (1 - n由归结原则: 1、n “ 1、n 2）：：：（1 ） > n(nr ')；1 1(1 ——1)n （取 X n=(1 2丄_2_ 丁 )心丄—(1—)5-; nn2n n—1 ,n = 2, 3,…)， 归结原则：lim f X十2n2由迫敛性，得:n'TnC ：S n，求：Hm S n •n8.利用级数求和求数列极限由于数列与级数在形式上的统一性，有时数列极限的计算可以转化为级数求和，从而通过级 数求和的知识使问题得到解决.1 2n例13 .求：lim( 21) ， (a >1). n： - a aa n1od解：令x =—，则|x | .；：1，考虑级数：V nx nan 1x而S(x)二x f (x)2;因此，原式(1—X)9.利用级数收敛性判断极限存在由于级数与数列在形式上可以相互转化，使得级数与数列的性质有了内在的密切联系，因此 数列极限的存在性及极限值问题，可转化为研究级数收敛性问题.例14.设焉0，X ：^^ ^(n r O, 1, 2,)，证明：数列｛X ：｝收敛，并求极限2 +X ：证：由x 0・0 ,可得： x：0(：巾 1 2, )，令 f(x ^22 x C),(x 0)，例12 •设 解：令y =n 2，则｛y n ｝单调递增数列，于是由定理2得:nE ln C ；lim S n = lim k~ 2—— j nY ：2n 1n7 ln C n k1 -7 ln C ：= lim - n二 k 纟 k 土 2 2" (n 1) —nn” ln^^ k_on —k +1=lim n：■： 2n -1n +(n - 1)ln(n y ln kk -1=lim — n二2n 1(n 七)ln( n +1) — n In n -ln(n +1) = lim n:2n 1 .z n 1 nln( ) 1= lim :-n注：Stolz 定理是一种简便的求极限方法，特别对分子、分母为求和型，利用Stolz 定理有很大的优越性，它可以说是求数列极限的洛必达(L'Hospita )法则.lim an = lim =1，•••此级数是收敛的.令Q QS(x) nx n士二八'nx n1，再令n —f (x) =7 nx n」，x:: x::o f(t)dt ■ 0nt n1dt ■ x nn ±n 1f (x)二(产)二1 -x1 (1 -==S(a 」)=a(1-a 于2(1 亠x )=x ：1，x ： 0, (n =0,1,2,)，oo考虑级数：.J |X ： 1 -人； n 倉则 0 . f '(x)2(2 x)2由于X n 牛一X f (X n ) f (X nJf '(©(X n -X n£1X n —人iXn—人 1人一X n 1J?2所以, 级数"_人收敛，从而n£Q0壬(X n 牛-X n )收敛.n_0_令Sn=E (x kk_0_%牛一X k ） = X n 牛一人，叮臂^存在，二 n ^X n 丰 M^+U^S nJ (存在)；对式子：X 」= 2（1+X），两边同时取极限：| =2（1知）,2 *2 +I\ =^J 2或 I =―J2 （舍负）；二 lim 人=J2 .n与、 1 1 i例15 .证明：lim （1In n ）存在.（此极限值称为 Euler 常数）ii i i证：设 a n =i +— +—…+— —In n ，贝U a * —a*丄=—［in n —ln （n —i ）］；2 3 n n对函数y =1 n n 在［n -i, n ］上应用拉格朗日中值定理，可得：Inn —ln(n —1) - (0：：：小1)，10 •利用幕级数求极限例 16•设 sin x =sinx, sin x 二sin(sin n ±x) (n =2, 3, ■■- )，若 sinx 0 ,求:— i解：对于固定的x ，当n —•:时，单调趋于无穷，由stolz 公式，有:sin n x2nn ，1-1 lim nsin n x =lim lim — n 二 nn ：”： 1n 1 [2 2 2sin n x sin n 1 x sin n x所以 a n —a “ 丄=一1 .n(n -1+0) In -1)2 'OC A因为J 收敛，由比较判别法知: n三（n -1）2心a n -a ni 也收敛,n士1 1所以l j m® 存在，即lim^Vi*1iln n)存在. n利用基本初等函数的麦克劳林展开式, 常常易求岀一些特殊形式的数列极限... 1= lim ——y ： 1 ___ 1 sin 2(sin x) s in 2sin . x .2 2丄1 t sin t= lim lim 2 2 lim -“士一* t0 t -int(0 t^(t2-1t4 o(t4))sin t t 3t 4 -- t 6 o （t 6） 1 -- t 2 o （t 2） = lim 3 lim 33 .3t o （t ）3 o （i ）ii •利用微分中值定理求极限拉格朗日中值定理是微分学重要的基本定理，它利用函数的局部性质来研究函数的整体性质,其应用十分广泛•下面我们来看一下拉格朗日中值定理在求数列极限中的应用. 、 a a 例仃•求：limn 2(arctan arctan ) , (a =0).n二 n n 1解：设f （x ） =arctanx ，在［—a, a］上应用拉格朗日中值定理, n +1 n得：吩…（洽）="吟话），启，故当2知，J 。
数列的极限与数列的收敛性的判定总结
数列的极限
PART TWO
定义及性质
定义：数列的极限是指当数列的项数趋于无穷大时，数列的项趋于某一固定值。
性质：极限具有唯一性、有界性、局部保序性等性质。
极限的运算性质
极限的四则运算性质：lim(a+b)=lim a + lim b，lim(a-b)=lim a - lim b，lim(a×b)=lim a × lim b，lim(a/b)=lim a / lim b（当lim b≠0）
性质：收敛数列具有唯一确定的极限值；收敛数列的项的绝对值随着项数的增加而趋于无穷小
单调有界定理
定义：如果数列在某个区间内单调递增（或递减），并且存在一个正数M，使得对于该区间内的任意x，都有|a_n|≤M（或-M≤a_n≤M），则称该数列在该区间内有界。
定理：如果数列单调递增（或递减）且有界，则该数列收敛。
定义：如果一个数列从某一项开始，其后续各项都无限接近于某个确定的数，则称该数为该数列的极限。
添加标题
性质：收敛数列的极限是唯一的，即不存在两个不同的数都作为该数列的极限。
添加标题
证明：假设存在两个不同的数 A 和 B 都作为数列 {an} 的极限。由于数列是收敛的，根据定义，对于任意小的正数 ε，存在一个正整数 N，使得当 n > N 时，|an - A| < ε 和 |an - B| < ε 同时成立。这意味着 |A - B| = |(an - A) - (an - B)| < ε，这与 A 和 B 是两个不同的数相矛盾。因此，收敛数列的极限是唯一的。
不收敛：数列不趋近于任何值，没有极限
关系：无穷大数列和无界数列都不收敛，但无界数列不一定是无穷大
无穷小量与无穷大量在数列中的应用
数学中收敛公示
数学中收敛公示
在数学中，收敛是指序列或级数随着其项的增加而趋于一个确定的极限值。
以下是常用的收敛公式：
1. 序列的收敛：
对于一个序列 {a_n}，如果存在一个实数 a，对于任意给定的正实数ε，存在正整数 N，使得对于所有的 n>N，有 |a_n - a| < ε。
则称序列 {a_n} 收敛于 a。
2. 级数的收敛：
对于一个级数∑{a_n}，如果其部分和序列 {S_n} 收敛于一个实数 S，则称级数收敛于 S。
即lim(n→∞) S_n = S。
3. 收敛点的定义：
对于一个函数 f(x)，如果存在一个实数 a，使得当 x 无限逼近 a 时，f(x) 无限接近于一个实数 L，则称 a 为函数 f(x) 的收敛点，记作lim(x→a) f(x) = L。
4. 收敛级数的判定公式：
- 正项级数收敛定理：如果一个正项级数∑{a_n} 的部分和序列有界，则该级数收敛。
- 比较判别法：如果对于两个级数∑{a_n} 和∑{b_n}，当n>N 时，有0≤a_n ≤ b_n，而且∑{b_n} 收敛，则∑{a_n} 也收敛。
- 级数收敛的条件：必要条件是，当 n>N 时，有a_n→0，即序列 {a_n} 逼近于0。
- 积分判别法：设 f(x) 是一个严格单调递减函数，则 f(x) 在
(1,∞) 上的积分∫{1}^{∞} f(x)dx 和级数∑{(n+1)→∞} f(n) 收敛
性完全一致。
这些公式和定义是数学分析中关于收敛的重要概念和判定方法，它们在数学的不同领域和问题中都有广泛的应用。
【考研题库】2021年云南大学数学与统计学院823数学分析考研核心题库[证明..
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一、证明题1．证明下列结论（1）设f（x）是以为周期的可积函数，函数f（x）的傅里叶级数一致收敛于f（x）.证明：，其中为f（x）的傅里叶系数.（2）设f（x）是以为周期的连续函数，令.试用函数f（x）的傅里叶系数与表示函数的傅里叶系数与，并证明：.【答案】（1）由于函数f（x）的傅里叶级数在上一致收敛于f（x），所以又函数f（x）在区间可积，从而f（x）在区间有界.于是在上一致收敛.所以（2）对以为周期的连续函数f（x）都有.令，显然，F（x）是以为周期的周期函数.下求F（x）的傅里叶系数.又因为，而，于是所以成立，其中为f（x）的傅里叶系数.2．考虑方程组的解集有连续偏导数，设，且求证在P0附近可用参数方程表示.【答案】设，由可得在附近，唯一确定了定义在某上的隐函数不妨设，由于，因此，在附近，唯一确定了定义在某上的隐函数取，在内有即在附近可用参数方程表示.3．设f是区间上的连续函数，含参量非正常积分当a=时收敛，证明：在上关于a一致收敛.【答案】令对于，可知收敛，从而对a一致收敛；对任意单调且，由Abel判别法可知，在[a，b]上关于a一致收敛.对于，可知收敛，从而对a一致收敛；单调且，由Abel判别法可知，在[a，b]上关于a一致收敛.因此，在上关于a一致收敛.4．设u（x，y）在由封闭的光滑曲线L所围成的区域D上具有二阶连续偏导数。
关于Vitali收敛定理的注记
北 京 师 范大 学 学 报
1
83年
第三 期
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正项级数an收敛a2n收敛证明
正项级数an收敛a2n收敛证明全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：正项级数是数学中很重要的一个概念，在数学分析领域占有重要的地位。
在正项级数中，我们可以通过探讨级数的各种性质，来研究级数的收敛性质。
关于正项级数an收敛a2n收敛的问题是数学分析中的一个研究热点。
我们来看正项级数的定义。
正项级数是指级数中每一项都是非负数的情况。
一个正项级数可以表示为：\[\sum_{n=1}^{\infty}a_n = a_1 + a_2 + a_3 + \cdots\]每一项an都大于等于0。
当我们说一个正项级数收敛时，指的是级数的部分和数列{sn}收敛，即存在一个常数L，使得：sn表示级数的前n项和。
如果L存在，我们称级数收敛，反之称级数发散。
接下来，我们来讨论正项级数an收敛a2n收敛的情况。
这里我们首先假设an是一个正项级数，且收敛。
即：那么我们来考虑正项级数a2n的情况。
我们知道，a2n实际上是原级数每隔一项相加得到的一个新级数。
我们可以将a2n写成下面的形式：我们可以将a2n看作是一个新的数列bn的部分和。
即：接下来，我们来证明a2n也是一个收敛的级数。
我们考察b1，b2，b3...这些部分和的序列。
我们可以看到，bn与原级数的部分和sn是有一个特定的关系的。
结合an的有界性，我们可以得到b1，b2，b3...这些部分和序列{bn}也是一个有界的序列。
现在，我们来看b_n+1 - b_n的情况。
我们有：\[b_{n+1} - b_n = (a_2 + a_4 + a_6 + \cdots + a_{2n} +a_{2n+2}) - (a_2 + a_4 + a_6 + \cdots + a_{2n}) = a_{2n+2} \]即b_n+1 - b_n = a_{2n+2}。
由于an是一个正项级数，因此a_{2n+2}也是一个正数。
b_n+1 - b_n也是一个正数。
这意味着{bn}是一个递增的序列。
收敛数列证明
由于您没有提供具体的收敛数列证明问题，我将以一个简单的例子来阐述如何进行收敛数列证明。
假设我们有一个数列{a_n}，我们要证明它收敛。
首先，我们需要定义什么是收敛。
对于一个数列{a_n}，如果存在一个常数A，对于任意给定的正整数N，当n>N 时，都有a_n≤A 或a_n≥A，那么我们就说{a_n} 收敛于A。
下面是一些可能的收敛数列证明方法：1. 定义证明：假设我们有一个定义在某个区间上的数列{a_n}，我们可以通过证明数列中的每一项都趋近于一个极限值来证明其收敛。
例如，如果{a_n} 是从区间[a, b] 中取值的数列，我们可以证明对于任意给定的正整数N，当n>N 时，a_n 都在区间[a, b] 内。
2. 极限存在性证明：如果{a_n} 满足一定的条件（如单调递增或递减），那么可以通过证明极限存在来证明其收敛。
例如，如果{a_n} 是单调递增的数列，那么对于任意给定的正整数N，当n>N 时，a_n 都会趋近于a_N。
3. 累加和法：如果{a_n} 满足一些特定条件（如收敛且各项之间的差固定），我们可以通过证明数列的累加和的极限等于其极限值来证明收敛性。
为了完成这些证明，我们需要进行一系列数学推理和运算，以推导出各项的值逐渐趋近于某个确定的数值。
这是一个相当复杂的数学过程，需要对数学知识和技巧有深入的理解。
下面是一个具体的收敛数列证明示例：假设我们有一个数列{a_n}，满足a_n = n^2 - 1，证明该数列收敛于0。
首先，我们可以发现数列的极限值存在且唯一。
此外，我们还可以发现对于任意给定的正整数N，当n>N 时，a_n 都会趋近于0。
这是因为当n>N 时，a_n = (n+N)(n-N+1) - (N+1) = (N-1)n^2 + O(N)，而当N→∞时，O(N) →0。
接下来是证明步骤：(1) 我们已知数列单调递增，因此需要使用累加和法来证明其收敛性。
(2) 根据极限的定义，我们需要找到一个常数A 和一个正整数N，使得对于任意大于N 的正整数m 和n，都有a_m ≤ A 或a_m ≥A。
a对称正定高斯迭代法收敛
a对称正定高斯迭代法收敛
若线性方程组的系数矩阵$A$为对称正定矩阵，则解此线性方程组的高斯-赛德尔迭代法收敛。
高斯-赛德尔迭代法是一种常用的迭代法，用于求解线性方程组。
该迭代法的基本思想是：从一个初始猜测值开始，通过迭代计算逐步逼近方程组的解。
在每一次迭代中，根据前一次迭代的结果和系数矩阵$A$，计算出新的猜测值。
如果迭代矩阵的谱半径小于1，则该迭代法收敛。
对于对称正定矩阵$A$，高斯-赛德尔迭代法收敛，而雅克比迭代法不一定收敛。
这是因为高斯-赛德尔迭代法的收敛性可以直接从系数矩阵$A$的性质得到保证，而雅克比迭代法的收敛性还依赖于迭代矩阵的性质。
正项级数an收敛a2n收敛证明
正项级数an收敛a2n收敛证明正项级数收敛性的一个重要性质是，如果正项级数a_n收敛，那么它的任意子级数也收敛。
这个性质是基于比较判别法的一个推论。
在证明a_n收敛则a_{2n}也收敛时，我们可以采用以下步骤：首先，由题目条件知，正项级数a_n收敛，即存在某个正数S，使得a_n的部分和序列{s_n}满足lim_{n->∞} s_n = S，其中s_n = a_1 + a_2 + ... + a_n。
接着，我们考虑a_{2n}的部分和序列{s_{2n}}，其中s_{2n} = a_1 + a_2 + ... + a_{2n}。
由于a_n收敛，根据级数收敛的定义，对于任意ε > 0，存在N，当n > N时，有|s_n - S| < ε。
现在，我们考虑s_{2n}与s_n的关系。
显然，对于任何正整数k，有s_{2k} = s_k + (a_{k+1} + a_{k+2} + ... + a_{2k})。
由于a_n是正项级数，每一项都是非负的，因此s_{2k} >= s_k。
由于{s_n}是一个收敛序列，根据收敛序列的性质，{s_n}是有界的。
因此，存在某个M，使得对于所有n，有s_n <= M。
现在，对于s_{2n}，由于a_{2n}是a_n的子级数，我们可以利用之前的结论：对于任意ε > 0，存在N，当2n > 2N即n > N时，有|s_{2n} - S| < ε。
这是因为s_{2n}和s_n 之间的差就是a_{n+1}到a_{2n}的和，这部分和随着n的增大而趋于0。
综上所述，我们证明了如果正项级数a_n收敛，那么它的子级数a_{2n}也收敛。
这个结论不仅适用于a_{2n}，实际上对于任何a_{kn}（其中k是正整数）都成立，因为它们都是a_n的子级数。
泰勒级数的收敛定理
泰勒级数的收敛定理摘要：泰勒级数的收敛定理概述I.泰勒级数的定义与意义II.泰勒级数的收敛性定理A.条件收敛B.全局收敛III.泰勒级数的应用IV.泰勒级数的收敛性与函数性质的关系V.举例说明泰勒级数的收敛性与函数的性质VI.泰勒级数在实际问题中的应用正文：泰勒级数是数学中一个重要的概念，它用于表示一个可微函数在某一点附近的近似值。
泰勒级数的收敛性是数学分析的一个重要研究领域，对于理解函数的性质以及解决实际问题具有重要意义。
泰勒级数的定义如下：设函数f(x)在点a的某邻域内可微，其导数等于f"(a)，那么在点a附近，可以用以下级数表示f(x)：f(x) = f(a) + f"(a)(x-a) + (f""(a)/2!)(x-a)^2 + ...+ (f^n(a)/n!)(x-a)^n + ...该级数称为泰勒级数。
泰勒级数的收敛性定理分为两种情况：条件收敛和全局收敛。
1.条件收敛：当级数在某个区间内满足收敛性条件时，称该级数为条件收敛。
具体来说，当级数在某个区间内，各项绝对值之和趋于一个有限值时，该级数为条件收敛。
2.全局收敛：当级数在定义域内所有点都收敛时，称该级数为全局收敛。
泰勒级数的收敛性与函数的性质密切相关。
一个典型的例子是三角函数的泰勒级数收敛性。
正弦函数和余弦函数的泰勒级数在定义域内是全局收敛的，而其他一些函数的泰勒级数可能只在某个区间内收敛。
泰勒级数的收敛性在实际问题中具有广泛的应用。
例如，在数值分析中，利用泰勒级数展开可以求解微分方程近似解；在工程领域，利用泰勒级数展开可以近似计算函数在特定点附近的值，从而为实际问题的解决提供依据。
总之，泰勒级数的收敛性是数学分析中的一个重要概念，了解其收敛性定理及应用对于解决实际问题具有重要意义。
级数收敛的柯西原理
级数收敛的柯西原理柯西原理是数学分析中的一个重要定理，它为判断级数是否收敛提供了一个有效的方法。
柯西原理的核心思想是通过级数的部分和序列的趋势来判断级数的收敛性。
柯西原理的具体表述如下：如果级数∑a_n收敛，那么对任意给定的正数ε，存在正整数N，当m>n>N时，a_(n+1)+a_(n+2)+...+a_m <ε成立。
柯西原理的证明是基于柯西收敛准则，即当且仅当对任意给定的正数ε，存在正整数N，当m>n>N时，a_n+a_(n+1)+...+a_m <ε成立。
柯西收敛准则表明，如果一个级数满足其部分和序列的任意两项之间的差趋于零，那么这个级数就是收敛的。
接下来，我们来证明柯西原理和柯西收敛准则的等价性。
首先，我们假设级数∑a_n收敛，即存在正数L，对任意给定的正数ε，存在正整数N，当m>n>N时，a_n+a_(n+1)+...+a_m-L <ε成立。
根据柯西收敛准则的定义，对于任意给定的正数ε，存在正整数N，当m>n>N 时，a_n+a_(n+1)+...+a_m-0 <ε成立。
即对于柯西收敛准则来说，L可以取0。
接下来，我们证明柯西原理的定义条件，即对任意给定的正数ε，存在正整数N，当m>n>N时，a_(n+1)+a_(n+2)+...+a_m <ε成立。
由于级数∑a_n收敛，即存在正数L，对任意给定的正数ε，存在正整数N1，当m>n>N1时，a_n+a_(n+1)+...+a_m-L <ε/2成立。
再根据柯西收敛准则，对于上述的ε/2，存在正整数N2，当m>n>N2时，a_n+a_(n+1)+...+a_m-0 <ε/2成立。
我们令N=max(N1, N2)，当m>n>N时，有a_(n+1)+a_(n+2)+...+a_m = (a_(n+1)+a_(n+2)+...+a_m-L)+(L-0) ≤a_(n+1)+a_(n+2)+...+a_m-L + L-0 < ε/2 + ε/2 = ε即柯西原理的定义条件得证。
发散加发散等于收敛的例子
发散加发散等于收敛的例子【最新版】目录1.引言：发散加发散等于收敛的例子2.发散和收敛的定义3.发散加发散等于收敛的例子及解释4.总结正文发散加发散等于收敛的例子在数学中，我们经常遇到发散和收敛的概念。
收敛表示一个数列、函数或极限是有一个确定的值，而发散则表示没有确定的值。
有趣的是，有时候发散加发散却能得到一个收敛的结果。
本文将通过一个具体的例子来解释这一现象。
首先，我们来了解一下发散和收敛的定义。
在数学中，一个数列{a_n}收敛，当且仅当存在一个实数 L，使得对于任意的正实数ε，总存在正整数 N，使得当 n>N 时，|a_n-L|<ε。
换句话说，收敛数列是有一个确定的极限值。
而发散数列则没有这个极限值。
现在，我们来看一个发散加发散等于收敛的例子。
考虑以下两个数列：数列 A：1, 2, 3, 4, 5,...数列 B：1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6,...显然，数列 A 是发散的，因为它没有上限；数列 B 也是发散的，因为它没有下限。
然而，当我们将这两个发散数列相加，得到的新数列却是收敛的。
数列 C：A+B = 1+2+3+4+5+...+ 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 +...我们可以证明数列 C 是收敛的。
首先，数列 A 是发散的，但它的极限是正无穷。
同样地，数列 B 是发散的，但它的极限是 0。
因此，当 n 趋向于无穷大时，数列 C 的极限将是正无穷与 0 的和，即正无穷。
因此，数列 C 是收敛的。
这个例子展示了发散加发散等于收敛的有趣现象。
需要注意的是，这种情况并不是普遍适用，但它确实告诉我们，在某些特殊情况下，发散加发散可能得到一个收敛的结果。
序列收敛定义
序列收敛定义好的，以下是为您生成的关于“序列收敛定义”的文章：---# 【序列收敛定义】一、开场白嘿，朋友们！不知道你们有没有过这样的经历，比如说在玩游戏的时候，分数越接近某个固定值，就越觉得刺激。
其实啊，这就和我们今天要聊的“序列收敛”有点关系。
那到底什么是序列收敛呢？让我们一起来探索这个神秘又有趣的数学概念。
二、什么是【序列收敛】？简单来说，序列收敛就是一系列的数最终越来越靠近一个确定的数。
打个比方，想象你在跑步，终点是一个固定的位置，你每跑一步就离终点更近一点，最终无限接近终点，这个过程就有点像序列收敛。
可别把序列收敛和随意的数字排列搞混了。
有些人可能会错误地认为，只要数字看起来有规律就是收敛，其实不是这样的。
比如 1，3，5，7，9 这样的数列，它是在不断增大，但没有一个确定的“归宿”，就不是收敛的。
三、关键点解析1. 核心特征或要素- 极限值的存在：就像前面说的跑步终点，这个终点对应的数就是极限值。
比如序列 1/2，2/3，3/4，4/5，... 它会越来越靠近 1 ，这里的 1 就是极限值。
- 无限接近：意味着不管你怎么靠近，都能更靠近。
像序列 0.9，0.99，0.999，... 会无限地接近 1 。
- 距离越来越小：相邻的数之间的差距会越来越小。
比如序列 1，0.5，0.25，0.125，... 相邻两个数的差距在逐渐缩小。
2. 容易混淆的概念序列收敛和序列有界经常容易被搞混。
序列有界只是说序列中的数都在某个范围内，比如都在 0 到 10 之间，但不一定会靠近某个特定的值。
而序列收敛不仅要求有界，还要求无限靠近一个确定的值。
四、起源与发展序列收敛的概念在数学的发展中由来已久。
早在古希腊时期，数学家们就在研究一些无限的过程中，隐隐约约地触及到了这个概念。
随着数学的不断发展，特别是微积分的出现，序列收敛成为了分析学中的重要基础。
在当下，序列收敛在数学、物理、工程等众多领域都有着至关重要的作用。
6.3迭代法的收敛定理
i 1 n
所以矩阵（D-L）为可逆下三角矩阵，其逆也是下三角矩阵， G-S迭代法的迭代矩阵是 BG =(D - L)-1U。
考虑BG的特征值λ ，其特征方程为
det(I-BG) = det(I-(D-L)-1U) = det(D-L)-1det((D-L)-U)=０
易求
BJ
max
1i n
1 j n , j i
aij aii
由严格对角占优定义（定义6.1 ），得 BJ ∞<1,所以, Jacobi 迭代法收敛。
下面证明G-S迭代法的收敛性。对于严格对角占优阵A， 其对角元素 aii ≠ 0 ， i=1,2,,n（定义6.1 ），故
定理6.3的证明
证 首先证明Jacobi 迭代的收敛性。由
0 a 21 B J D 1 ( L U ) a 22 a n1 a nn a12 a11 0 a n2 a nn a1n a11 a2n a 22 , 0 b1 a 11 b2 fJ a 22 b n a nn
返回节
二、Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法的收敛速度
引子 对角占优矩阵 实例 相关定理 定理3.3的证明
返回节
引子
虽然利用定理6.1和定理6.2可以判定Jacobi 迭代 法和G-S迭代法的收敛性，但其中只有定理6.2对 Jacobi 迭代法使用比较方便，此外，对于大型方程 组，要求出G-S迭代矩阵BG和ρ(BG)以及Jacobi 迭代 矩阵BJ和ρ(BJ)都不是容易的事。
收敛数列的性质(6)
an
1 bn
,因此我们只须证明
设
lim
n
an
a,
lim
n
bn
b,则对
0, 分别存在正数N1与N2 , 使得
当n N1时, an a ,当n N2时, bn b ,
取N max{N1,N2},则当n N时,上述两不等式同时成立,从而有
1. (an bn ) (a b) an a bn b 2 lnim(an bn ) a b.
a an cn bn a .
从而 cn a ,
即证得
lim
n
cn
a.
11
例2 求数列{n n}的极限.
解 记an n n 1 hn,这里hn 0(n 1),则有
n
(1
hn )n
n(n 1) 2
hn2.
有上式得 0 hn
2 (n 1),从而有 n 1
1 an 1 hn 1
,
其中m
k,
am
0,bk
0
解 以nk同乘分子分母后,所求极限式化为
lim
n
amnmk
a nm1k m1
...
a1n1k
a0nk
bk
bk
n1
1
... b1n1k
b0nk
,
有前面知识可知,当 0时有lim n 0. 于是,当m k时,上式除了 n
分子分母的第一项为am与bk外,其余各项的极限皆为0, 故此时所
24
性质 对于数列 {xn} 若x2k a(k )
x2k1 a(k ) 则xn a(n )
证
0
由lim k
x2k
a知
K1,使当k K1时，有 | x2k a |
各种收敛方法
简单迭代法format longg0=0.5;a=g0;M=50;n=1;xk=exp(-a);x(n)=xk;while abs(double(xk-a))>=1.0e-5a=xk;xk=exp(-a);n=n+1;x(n)=xk;if n>Mdisp('此迭代函数可能不收敛!!!');break;endenddisp('各次迭代值');xdisp('计算结果');xkxx=vpa(xk,6)%保留计算结果为小数点后六位小数disp('迭代次数');n结果:各次迭代值x =Columns 1 through 50.60653065971263 0.54523921189261 0.57970309487807 0.56006462793890 0.57117214897722Columns 6 through 100.56486294698032 0.56843804757007 0.56640945274692 0.56755963426224 0.56690721293547Columns 11 through 150.56727719597078 0.56706735185373 0.56718636008764 0.567118864256990.56715714370764Columns 16 through 180.56713543365927 0.56714774633062 0.56714076326981 计算结果xk =0.56714076326981xx =.567141迭代次数n =18x'ans =0.606530659712630.545239211892610.579703094878070.560064627938900.571172148977220.564862946980320.568438047570070.566409452746920.567559634262240.566907212935470.567277195970780.567067351853730.567186360087640.567118864256990.567157143707640.567135433659270.567147746330620.56714076326981 vpa(x',6)ans =.606531.545239.579703.560065.571172.564863.568438.566409.567560.566907.567277.567067.567186.567119.567157.567135.567148.567141vpa(y',6)% 作差ans =.106531.612914e-1.344639e-1.196385e-1.111075e-1.630920e-2.357510e-2.202859e-2.115018e-2.652421e-3.369983e-3.209844e-3.119008e-3.674958e-4.382794e-4.217100e-4.123127e-4加速迭代法format longg0=0.5;a=g0;M=50;n=1;xk=exp(-(exp(-a)+a)/2);x(n)=xk;while abs(double(xk-a))>=1.0e-5y(n)=abs(double(xk-a));a=xk;xk=exp(-(exp(-a)+a)/2);n=n+1;x(n)=xk;if n>Mdisp('此迭代函数可能不收敛!!!');break;endenddisp('各次迭代值');xx'y'disp('计算结果');xkxx=vpa(xk,6)%保留计算结果为小数点后六位小数disp('迭代次数');n结果:各次迭代值x =Columns 1 through 50.57506895142271 0.56616625275177 0.56726315364312 0.56712857672622 0.56714509643942Column 60.56714306872685x’ =0.575068951422710.566166252751770.567263153643120.567128576726220.567145096439420.56714306872685 y= %作差0.075068951422710.008902698670940.001096900891350.000134576916900.00001651971320 计算结果xk =0.56714306872685 xx =.567143迭代次数n =6牛顿迭代:g0=0.5;a=g0;M=50;n=1;xk=exp(-(exp(-a)+a)/2);x(n)=xk;while abs(double(xk-a))>=1.0e-5y(n)=abs(double(xk-a));a=xk;xk=exp(-(exp(-a)+a)/2);n=n+1;x(n)=xk;if n>Mdisp('此迭代函数可能不收敛!!!');break;endenddisp('各次迭代值');xxx=x'y=y'disp('计算结果');xkxx=vpa(xk,6)%保留计算结果为小数点后六位小数disp('迭代次数');N结果:format long>> niudunxk =0.56715556874411xk =0.56714329053326xk =0.56714329040978各次迭代值x =0.57102043980842 0.56715556874411 0.56714329053326 0.56714329040978 xx=0.571020439808420.567155568744110.567143290533260.56714329040978y =0.071020439808420.003864871064310.00001227821085计算结果xk =0.56714329040978xx =.567143迭代次数n =4弦接法迭代法:format longg0=0.5;a=g0;b=0;M=50;n=1;xk=a-(a-exp(-a))*(a-b)/((a-b)-(exp(-a)-exp(-b)));x(n)=xk;while abs(double(xk-a))>=1.0e-5y(n)=abs(double(xk-a));b=a;a=xk;xk=a-(a-exp(-a))*(a-b)/((a-b)-(exp(-a)-exp(-b)));n=n+1;x(n)=xk;if n>Mdisp('此迭代函数可能不收敛!!!');break;endenddisp('各次迭代值');xxx=x'y=y'disp('计算结果');xkxx=vpa(xk,6)%保留计算结果为小数点后六位小数disp('迭代次数');nxjdd各次迭代值x =0.55961629286483 0.56705080455600 0.56714316429819 0.56714329040767 xx =0.559616292864830.567050804556000.567143164298190.56714329040767 y =0.059616292864830.007434511691170.00009235974219 计算结果xk =0.56714329040767 xx =.567143迭代次数n =4。
收敛函数知识点总结
收敛函数知识点总结一、收敛函数的定义在数学中，收敛函数是指一种在某个区间内逐渐趋近于某个确定值的函数。
具体来说，如果在函数f(x)的定义域内存在一个唯一的实数L，使得当自变量x趋于某一个实数a时，函数值f(x)趋于L，那么我们称函数f(x)在x趋于a时收敛于L。
数学符号表示为：当x→a时，f(x)→L需要注意的是，收敛函数要求函数在趋近于a时的值与L的距离越来越小，且在任意给定的正数ε，总存在一个正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-L|<ε成立。
二、收敛函数的性质1. 收敛函数的唯一性如果一个函数在某个区间内存在着极限L，那么这个极限是唯一的。
也就是说，如果函数在某个点a处的极限存在，那么这个极限是唯一的。
2. 收敛函数的四则运算若f(x)和g(x)分别是定义在某个区间[a,b]上的收敛函数，则它们的和、差、积、商仍然是收敛函数。
并且有以下性质：(1) 若lim(x→a) f(x)=A, lim(x→a) g(x)=B，则lim(x→a) [f(x)+g(x)]=A+B(2) 若lim(x→a) f(x)=A, lim(x→a) g(x)=B，则li m(x→a) [f(x)-g(x)]=A-B(3) 若lim(x→a) f(x)=A, lim(x→a) g(x)=B，则lim(x→a) [f(x)·g(x)]=A·B(4) 若lim(x→a) f(x)=A, lim(x→a) g(x)=B（且B≠0），则lim(x→a) [f(x)/g(x)]=A/B3. 收敛函数的复合若f(x)是定义在某个区间[a,b]上的收敛函数，g(x)是定义在某个区间[c,d]上的收敛函数，并且f(a)∈[c,d]，则复合函数g(f(x))也是定义在[a,b]上的收敛函数。
4. 收敛函数的界若f(x)是定义在某个区间[a,b]上的收敛函数，且lim(x→a) f(x)=A，则称A为函数f(x)在点a处的极限。
一元函数可导和收敛
一元函数可导和收敛一元函数可导和收敛是微积分中两个重要的概念，本文将介绍这两个概念的定义和相关性质。
一、可导函数：可导函数是微积分中的一个重要概念，指的是在某一点处有导数存在的函数。
具体地说，设函数f(x)在点x=a附近有定义，如果存在一个实数A，使得当x趋近于a时，满足以下极限：lim (x→a) (f(x) - f(a))/(x - a) = A，则称函数f(x)在点x=a可导，A称为函数f(x)在点x=a的导数。
可导函数具有一些重要的性质：1. 可导函数在可导点处连续：如果函数f(x)在点x=a可导，则它在该点也连续。
2. 可导函数的导数存在：如果函数f(x)在点x=a可导，则它在该点的导数存在。
3. 可导函数的导函数满足导数的定义：如果函数f(x)在点x=a可导，则它在该点的导数等于导函数在该点的值。
4. 可导函数的导数为一元函数：如果函数f(x)在点x=a可导，则其导函数g(x)在点x=a亦可导，并且其导数等于f(x)在点x=a的导数。
5. 可导函数的导函数具有代数性质：如果函数f(x)和g(x)在点x=a可导，则它们的和、差、积、商函数在该点也可导，并且求导法则遵循相应的代数性质。
二、收敛：在数学中，收敛是指数值序列或函数在逼近某个确定值时的性质。
具体地说，设有一个序列{an}，如果存在一个实数A，使得当n趋近于正无穷时，满足以下极限：lim (n→∞) an = A，则称序列{an}收敛于A，A称为序列{an}的极限。
对于函数而言，也可以类似地定义收敛的概念。
设有一个函数f(x)，如果存在一个实数A，使得当x趋近于某个数a时，满足以下极限：lim (x→a) f(x) = A，则称函数f(x)收敛于A，A称为函数f(x)的极限。
收敛具有一些重要的性质：1. 收敛的序列唯一性：如果一个序列收敛，则它的极限唯一。
2. 收敛序列的有界性：如果一个序列收敛，则它是有界的。
3. 收敛函数的极限和函数值的关系：如果函数f(x)在点x=a收敛于A，则函数f(x)在点x=a处的函数值也趋近于A。