浙江省宁波市高二下学期数学期末考试试卷(理科)

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浙江省宁波市九校2023-2024学年高二下学期期末联考数学试题【含答案】

宁波市2023学年第二学期期末九校联考高二数学试题第I 卷一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知平面,,,,,l m n αβγαββγγα⋂=⋂=⋂=.则“,,l m n 两两垂直”是“,,αβγ两两垂直”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．给出四组成对数据：（1）()()()()2,3,1,1,0,1,1,3----；（2）()()()()0,0,1,1,2,4,3,9；（3）()(()(2,0,3,0,2,3-；（4）()()()()0,0,1,1,2,2,3,3---，其中样本相关系数最小的是（）（提示：样本相关系数()()()()12211ni i i n n i i i i x x y y r x x y y ===--=--∑∑∑A ．（1）B ．（2）C ．（3）D ．（4）3．已知函数()(0x f x a a =>，且1)a ≠的图象过点()()2,4,g x 是()f x 的反函数，则函数22x g x +⎛⎫ ⎪-⎝⎭（）A ．既是奇函数又是减函数B ．既是奇函数又是增函数C ．既是偶函数又是减函数D ．既是偶函数又是增函数4．已知函数()231cos 22x f x x =++，先将函数()f x 的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向右平移π6个单位长度，得到函数()g x 的图象，则（）A ．()1πsin 1212g x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭B ．()πsin 216g x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭C ．()1sin 12g x x =+D ．()sin21g x x =+5．在ABC 中，已知sin cos 2cos ,2sin sin cos B B A A C C ==，则()tan πB +=（）A ．1B ．2C ．3D ．46．已知()0.1,()0.5,()0.3P B P AB P A B ===∣∣，则()P A =（）A ．0.05B ．0.27C ．0.68D ．0.327．在正三棱锥A BCD -中，侧棱AB =点E 在棱BC 上，且16BE BC ==若球O 是正三棱锥A BCD -的外接球，过点E 作球O 的截面α，则所得的截面中，面积最小的截面的面积为（）A ．9πB ．10πC ．11πD ．12π8．已知实数1,2,3,4,5,6,7，将这7个数适当排列成一列数127,,,a a a ，满足1234567a a a a a a a <<>><<，则满足要求的排列的个数为（）A ．58B ．71C ．85D ．96二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．已知关于x 的方程()210x tx t ++=∈R 在复数范围内的根为12,x x .若122x x -=，则实数t 的值可能为（）A ．B ．1C ．0D ．-10．高考数学试题第二部分为多选题，共3个小题，每小题有4个选项，其中有2个或3个是正确选项，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.若正确答案是2个选项，只选对1个得3分，有选错的得0分；若正确答案是3个选项，只选对1个得2分，只选对2个得4分，有选错的得0分.小明对其中的一道题完全不会，该题有两个正确选项的概率是12，记X 为小明随机选择1个选项的得分，记Y 为小明随机选择2个选项的得分，则（）A ．()()00P X P Y =>=B ．()()34P X P Y ===C ．()()E X E Y =D ．()()D X Y D >11．已知2025220250122025(1)x a a x a x a x -=++++ ，则（）A ．展开式的各二项式系数的和为0B ．1220251a a a +++=- C ．20252024202301220252221a a a a ++++= D ．1220251111a a a +++=- 第II 卷三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知集合{2,0,1},{1}M N x x a =-=-<∣.若M N ⋂的真子集个数是3，则实数a 的取值范围是.13．已知平面向量,,a b c 满足1a b == ，a 与b 的夹角为1120,2c = ，对任意的实数k ，a kb c ++ 的最小值为.14．已知定义在R 上的函数()f x 满足下列两个条件：①()()()()3f x y f x f y xy x y +=+-+；②()30,0x f x x ∀>+>.请你写出一个符合要求的函数解析式.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15．已知函数()321x f x x-=-.(1)设()()g x f x a b =++，若()g x 是奇函数，求,a b 的值，并证明；(2)已知函数[)[)21,1,03()2(),0,13x m x h x f x m x ⎧++∈-⎪⎪=⎨⎪+∈⎪⎩，若关于x 的方程()h x mx =在[)1,1-内恰有两个不同解，求实数m 的取值范围.16．如图，在三棱锥D ABC -中，CD ⊥平面,1,2,ABC BC BA B ==是以AC 为直径的圆周上的一点，,M N 分别是,BD AD 上的动点，且MN 平面ABC ，二面角C AB D --的大小为45.(1)求证：MN AB ；(2)求证：MN ⊥平面BCD ；(3)当直线CN 与平面ABD 所成的角最大时，求AN 的值.17．4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”.为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了500名高一学生进行在线调查，得到了这500名学生的日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分[](](](](](](](](]0,2,2,4,4,6,6,8,8,10,10,12,12,14,14,16,16,18九组，绘制成如图所示的频率分布直方图.(1)估计该地区高一学生阅读时间的上四分位数；(2)为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在(]4,6，(]8,10二组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了20个学生，得到均值为8，方差为3.75，现在已知(]4,6这一组学生的均值为5，方差为2；求(]8,10这一组学生的均值和方差；(3)以样本的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取10名学生，用()P k 表示这10名学生中恰有k 名学生日平均阅读时间在(]8,14内的概率，其中0,1,2,,10k =⋯.当()P k 最大时，写出k 的值，并说明理由.18．在ABC 中，角,,A B C所对的边分别为,,a b c sin C c =.(1)若tan tan tan ,3A B C a =+=，求ABC 的面积；(2)若B 为锐角，ABC ABC 的内切圆半径的最大值.19．（1）我们学过组合恒等式11C C C m m m n n n -+=+，实际上可以理解为011111C C C C C m m m n n n -+=+，请你利用这个观点快速求解：051423324150105105105105105105C C C C C C C C C C C C +++++.（计算结果用组合数表示）（2）（i ）求证：1111C C k k n n n k--=；（ii ）求值：101220250(1)C 2025n n n n n -=--∑.1．C【分析】根据面面垂直的判定和性质结合充分条件和必要条件的定义分析判断即可.【详解】当,,αβγ两两垂直时，在β内作a l ⊥，在γ内作b n ⊥，因为αβ⊥，l αβ= ，γα⊥，n γα=I ，所以,a b αα⊥⊥，所以a ‖b ，因为,a γb γ⊄⊂，所以a ‖γ，因为,a m ββγ⊂= ，所以a ‖m ，因为a α⊥，所以m α⊥，因为,l n α⊂，所以,m l m n ⊥⊥，同理可证得n l ⊥，所以,,l m n两两垂直，当,,l m n 两两垂直时，因为,,l m n αββγγα⋂=⋂=⋂=，所以,,,,,n l l m m n αβγ⊂⊂⊂，因为m n ⊥，所以m 与n 是相交直线，因为,l m l n ⊥⊥，,m n γ⊂，所以l γ⊥，因为,l l αβ⊂⊂，所以,αγβγ⊥⊥，同理可证得αβ⊥，所以,,αβγ两两垂直，所以“,,l m n 两两垂直”是“,,αβγ两两垂直”的充要条件，故选：C2．D【分析】画出散点图，结合相关性的定义即可求解.【详解】分别作出四组数据的散点图，根据散点图可知：第（1）（2）呈正相关，第（3）（4）组数据呈现负相关，但显然第（4）组相关系数更小，3．B【分析】首先代入点的坐标求出a ，即可求出()g x 的解析式，从而求出22x g x +⎛⎫ ⎪-⎝⎭的解析式，再根据奇偶性的定义及对数型复合函数的单调性判断即可.【详解】因为函数()(0x f x a a =>，且1)a ≠的图象过点()2,4，所以24a =，解得2a =（负值已舍去），所以()2x f x =，又()g x 是()f x 的反函数，所以()2log g x x =，则222log 22x x g x x ++⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，令202x x +>-，解得22x -<<，所以22x g x +⎛⎫ ⎪-⎝⎭的定义域为()2,2-，令()222log 22x x h x g x x ++⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，则()()2222log log 22x x h x h x x x -+⎛⎫⎛⎫-==-=- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭，所以()22x h x g x +⎛⎫= ⎪-⎝⎭为奇函数，又24122x y x x +-==---在()2,2-上单调递增，2log y x =在定义域()0,∞+上单调递增，所以222log 22x x g x x ++⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭在()2,2-上单调递增.故选：B4．A【分析】利用辅助角公式与三角函数的伸缩变换和平移变换即可得解.【详解】由()211cos 1πsin cos sin sin 12222226x x f x x x x +⎛⎫=++++=++ ⎪⎝⎭，先将函数()f x 的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），可得：11πsin 1226f x x ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再将所得的图象向右平移π6个单位长度，可得()1ππ1πsin 1sin 1266212g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，5．A【分析】对已知等式利用三角形内角和定理、两角和的正弦公式和同角三角函数商关系进行化简tan tan .A C =和tan tan 1,tan C B A==，最后利用诱导公式计算结果；【详解】在ABC 中，sin 2cos ,sin 2cos sin ,π,sin()2cos sin ,sin B A B A C A B C A C A C C =∴=++=∴+= sin cos cos sin 2cos sin ,sin cos cos sin A C A C A C A C A C∴+==化简得sin sin =,tan tan .cos cos A C A C A C =cos 2sin ,cos 2sin cos sin 2cos sin cos B A B A C B A C C=∴== 两式做比值得tan tan 1,tan C B A ==则()tan πB +=tan 1,B =故选：A.6．C 【分析】根据条件概率公式可得(),()P AB P AB ，进而可得()P A ，即可由对立事件概率公式求解.【详解】由()0.1,()0.5,()0.3P B P AB P A B ===∣∣可得()()()0.05,(()()0.30.90.27P AB P B P A B P AB P B P A B ====⨯=∣∣,所以()()()0.050.270.32P A P AB P AB =+=+=,故()1()0.68P A P A =-=,故选：C7．B【分析】取正BCD △的中心G ，根据正三棱锥的结构特征分析可知AG ⊥平面BCD ，且O AG ∈，结合外接球的性质可得外接球的半径为5R =，分析可知当且仅当OE ⊥截面α，截面圆的面积最小，据此运算求解即可.【详解】如图，取正BCD △的中心G ，连接,,AG GE OE ，由题意可知：AG ⊥平面BCD ，且O AG ∈，由BG ⊂平面BCD ，可得AG BG ⊥，因为正BCD △的边长为62162262sin 60BG ==︒可得226AG AB BG -=，设正三棱锥A BCD -的外接球的半径为R ，则()(222626R R =-+，解得5R =，可知1OG AG R =-=，在BEG 中，可知26,2,30BG BE EBG ==∠=︒，由余弦定理可得2222cos EG BG BE BG BE EBG =+-⋅⋅∠，即23242262142EG =+-⨯⨯，可得14EG =则2215OE EG OG =+=由球的性质可知：当且仅当OE ⊥截面α，截面圆的半径最小，即圆的面积最小，此时圆的半径为2210r R OE =-=210πr π=，所以面积最小的截面的面积为10π.故选：B.8．B【分析】根据题意，3746,,,a a a a 都比5a 大，所以5a 可能取1,2或3，分51a =，52a =和53a =三类进行讨论.【详解】根据题意，3746,,,a a a a 都比5a 大，所以5a 可能取1,2或3，当51a =时，67,a a 有26C 种选法，剩余数字中3a 最大，12,a a 有23C 种选法，最后剩下一个就是4a ，共有2263C C 15345=⨯=种，当52a =时，11a =，67,a a 有25C 种选法，剩余数字中3a 最大，而2a ，4a 有22A 种选法，共有2252C A 10220=⨯=种，当53a =时，11a =，22a =，67,a a 有24C 种选法，剩余数字3a ，4a 只有1种，共有24C 6=种，则满足要求的排列的个数为4520671++=种.故选：B9．ACD【分析】根据韦达定理求得()22124x x t =--，讨论24t -，求得12x x -，结合条件，即可求解.【详解】由韦达定理可知，12x x t +=-，121=x x ，()()22221211244x x x x x x t +-=-=-，当240t ->时，12x x -，则122x x -==，得t =±当240t -<时，12x x -=，则122x x -=，得0=t .故选：ACD10．BC【分析】A 选项，X 0=，分该题有两个正确选项和3个正确选项，计算出()308P X ==，()203P Y ==，A 错误；B 选项，计算出()()1344P X P Y ====；C 选项，求出X 的可能取值和对应的概率，计算出()32E X =，同理可得()32E Y =，得到C 正确；D 选项，利用方差计算公式得到()()D X D Y <.【详解】A 选项，X 0=，若该题有两个正确选项，则小明从两个错误选项中选择1个，若该题有三个正确选项，则小明选择错误选项，故()11211144C C 11302C 2C 8P X ==⨯+⨯=，Y 0=，若该题有两个正确选项，则小明从两个错误选项中选择1个，从两个正确选择中选择1个，或选择两个错误选项，若该题有三个正确选项，则小明选择错误选项，再从3个正确选项中选择1个，故()11112132222244C C C C C 11202C 2C 3P Y +==⨯+⨯=，故()()00P X P Y =<=，A 错误；B 选项，3X =，即该题有两个正确选项，小明从正确选项中选择1个，故()1214C 1132C 4P X ==⨯=，4Y =，即该题有3个正确选项，小明从正确选项中选择2个，故()2324C 1142C 4P Y ==⨯=，故()()34P X P Y ===，B 正确；C 选项，X 的可能取值为0,2,3，其中()308P X ==，()134P X ==，2X =，即该题有3个正确选项，小明从正确选项中选择1个，故()1314C 1322C 8P X ==⨯=，故()33130238842E X =⨯+⨯+⨯=，Y 的可能取值为0,4,6，其中()203P Y ==，()144P Y ==，6Y =，即该题有2个正确选项，小明选择了2个正确选项，()2224C 1162C 12P Y ==⨯=，故()211304634122E Y =⨯+⨯+⨯=所以()()E X E Y =，C 正确；D 选项，()22233333130232828242D X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()2223231311904623242124D Y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，显然()()D X D Y <，D 错误.故选：BC11．BCD【分析】二项式系数和为2n ，得出A ；令1x =，得到01220250a a a a ++++= ，令0x =，得到01a =，得出B ；由二项式定理可得()2025C 1k k k a =-，所以()20252025202522C 1k k k k k a --=-，它是()()202521+-的展开，得到C ；1C k n =1111112C C k k n n n n +++⎛⎫++ ⎪+⎝⎭，12025202620261202611C 2027C C k k k +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()2020202501122025202602026202620262026202620261202611111112027C C C C C C k k a =⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+++-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑ 化简即可得D.【详解】2025220250122025(1)x a a x a x a x -=++++ ，展开式的各二项式系数的和为20252，所以A 错；令0x =，得到01a =，令1x =，得到01220250a a a a ++++= ，1220251a a a +++∴=- ，所以B 对；由二项式定理可得：()()20252025C C 1k k k k k x x -=-，()2025C 1kk k a =-，所以()20252025202522C 1k k k k k a --=-，0,1,22025k = ，()()()()()()202501220252025020241202320202520252025202520252C 12C 12C 12C 1211-+-+-+-=+-= ，20252024202301220252221a a a a ∴++++= ，故C 对；()2025C 1,0,12025kk k a k =-= ，()()()()()()()!!!!2!!11111C !21!21!k n k n k k n k n k n k k n k n n n n n n n --+-+++-++==⋅=⋅++++()()()()()111!1!1!!111121!1!2C C k k n n k n k k n k n n n n n n +++⎡⎤+-+-⎛⎫++=+=+⎢⎥ ⎪++++⎢⎥⎝⎭⎣⎦()()()2025202520252025012202500020252025202520252025202511111111C C C C C 1C k k k k k k k k a ===-===-+-+--∑∑∑ ，12025202620261202611C 2027C C k k k +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()2020202501122025202602026202620262026202620261202611111112027C C C C C C k k a =⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+++-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑ 020262026202620261102027C C ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭011a = ，1220251111a a a +++∴=- ，故D 对.故选：BCD.12．10a -<<【分析】M N ⋂的真子集个数是3，所以共有2个元素，分{}1,0M N ⋂=-和{}0,2M N ⋂=两种情况即可解出答案.【详解】M N ⋂的真子集个数是3，M N ⋂共有n 个元素，所以213n -=，2n =.{}{1}11N x x a x a x a =-<=-<<+∣∣若{}1,0M N ⋂=-，则有11012a a -<-⎧⎨<+≤⎩，10a ∴-<<；若{}0,2M N ⋂=，则有11012a a -≤-<⎧⎨+>⎩，无解.综上所述：实数a 的取值范围是10a -<<.故答案为：10a -<<.13．122-【分析】根据题意，得到由a kb c a kb c ++≥+- ，当且仅当a k b + 与向量c 反向时，等号成立，结合221a kb k k +=-+ ，得到a kb +.【详解】因为平面向量,,a b c 满足1a b == ，a 与b 的夹角为1120,2c = ，可得12a b ⋅=- ，由12a kbc a kb c a kb ++≥+-=+- ，当且仅当a k b + 与向量c 反向时，等号成立，又由222222121()24a kb a k b ka b k k k +=++⋅=-+=-+ ，当12k =时，a kb +所以a kb c ++的最小值为122-.12.14．()3(0)f x x kx k =-+>（答案不唯一）【分析】根据已知条件写出一个符合题意的函数即可.【详解】因为()()()()3f x y f x f y xy x y +=+-+，所以()()3226=-f x f x x ，可得()()332(2)2⎡⎤+=+⎣⎦f x x f x x ，设()3(0)f x x kx k +=>，可得()3(0)f x x kx k =-+>.因为()()()()3322333+=-+++=----++f x y x y k x y x x y xy y k x y ，()()()()3223333+-+=----++f x f y xy x y x x y xy y k x y ，所以()()()()3f x y f x f y xy x y +=+-+，且()30+=>f x x kx ，符合题意.故答案为：()3(0)f x x kx k =-+>.【点睛】关键点点睛：解题的关键点是对已知条件化简得到()()3226=-f x f x x ，再构造函数.15．(1)13a b =⎧⎨=⎩，证明见解析(2)[)()3,03,99,2⎛⎤-+∞ ⎥⎝⎦【分析】（1）将()321x f x x -=-代入()()g x f x a b =++，结合奇函数定义可得答案.（2）由()h x mx =[)1,1-内恰有两个不同解，得[)[)1,1,0()32,0,11x x k x x x x⎧+∈-⎪=⎨-∈⎪-⎩和23y mx m =-两个函数图象有两个交点，23y mx m =-过定点2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，结合图象分析即可.【详解】（1）法一：()131f x x =---，所以()131g x b x a =-+-+-，因为()g x 是奇函数，所以()()g x g x -=-，所以113311b b x a x a ⎡⎤-+-=--+-⎢⎥-+-+-⎣⎦整理得：()222262(1)0a b x a ⎡⎤-+---=⎣⎦所以220620a b -=⎧⎨-=⎩，所以13a b =⎧⎨=⎩，法二：()131g x b x a =-+-+-，因为奇函数的定义域关于原点对称，所以10a -=，则1a =，取()()11g g -=-得3b =，所以13a b =⎧⎨=⎩.，由上，()1g x x=-且定义域为{|0}x x ≠关于原点对称，且()()11g x g x x x-=-==--，即()g x 为奇函数，得证.（2）由题意得[)[)1,1,0()32,0,11x x k x x x x⎧+∈-⎪=⎨-∈⎪-⎩和23y mx m =-两个函数图象有两个交点，32213x mx m x -=--，得到25232033mx m x ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭，若0m ≠时，由Δ=0，解得9m =，且()k x 过2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，又23y mx m =-也经过定点2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，当23y mx m =-经过点()0,2-时，3m =，当23y mx m =-经过点()0,1时，32m =-，由图可知m 的取值范围是[)()3,03,99,2∞⎛⎤-⋃⋃+ ⎥⎝⎦.16．(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）根据线面平行的性质定理得出线线平行；（2）先证明AB ⊥平面BCD ，再由//MN AB 即可得证；（3）先找出线面角CNM ∠，再由sin CM CNM CN∠=转化为求CN 最小值，此时可得AN .【详解】（1）因为//MN 平面,ABC MN ⊂平面ABD ，平面ABC ⋂平面ABD AB =，所以//MN AB .（2）因为CD ⊥平面,ABC CD ⊂平面BCD ，所以平面ABC ⊥平面BCD ，因为B 是以AC 为直径的圆周上一点，所以AB BC ⊥，又平面ABC ⋂平面,BCD BC AB =⊂平面ABC ，所以AB ⊥平面BCD ，由（1）得//MN AB ，所以MN ⊥平面BCD .（3）由（2）可知AB ⊥平面,BCD AB ⊂平面ABD ，所以平面ABD ⊥平面BCD当M 为BD 中点时，因为BCD △是等腰直角三角形，则CM BD ⊥，且1BC =，则CM =，由平面ABD ⊥平面BCD ，BD 为交线，CM ⊂平面BCD ，CM BD ⊥，可得CM ⊥平面ABD ，所以CN 在平面ABD 上的射影为NM ，则直线CN 和平面ABD 所成的角为CNM ∠.sin CM CNM CN∠=.所以当CN 最小时，CNM ∠最大.此时CN AD ⊥，由AC ==AD ==可得2AC AN AD ==17．(1)11.5(2)平均值为9，方差为13(3)6k =，理由见解析【分析】（1）根据频率分布直方图中概率之和等于1，得出0.10,a =再计算高一学生阅读时间的上四分位数；（2）根据分层抽样抽取人数，利用平均数和方差公式解出结果；（3）以样本的频率估计概率，该问题是二项分布问题，根据()P k 最大不等式节出k 的值；【详解】（1）由频率分布直方图得：()20.020.030.050.050.150.050.040.011a ++++++++=，解得0.10,a =频率分布直方图中，第一个小长方形面积为20.020.04,⨯=第二个小长方形面积为20.030.06,⨯=第三、四个小长方形面积为20.050.1,⨯=第五个小长方形面积为20.150.3,⨯=第六个小长方形面积为20.10.2,⨯=前六个长方形面积和为0.8，所以高一学生阅读时间的上四分位数在第六个小长方形内，设高一学生阅读时间的上四分位数为x ；()0.6100.10.75x +-⨯=，解得11.5x =（2）按分层抽样(](]4,6,8,10二组内的学生抽取的学生分别为5人，15人设(]8,10这一组的平均值x ，方差y55158920x x ⨯+⨯=⇒=所以总体方差是{}22152(58)15(98) 3.7520y ⎡⎤⎡⎤⨯+-+⨯+-=⎣⎦⎣⎦，解得13y =（3）以样本的频率估计概率，该问题是二项分布问题，由频率分布直方图可知(]8,14内的概率是0.1520.120.0520.6⨯+⨯+⨯=，由()()()()11P k P k P k P k ⎧≥-⎪⎨≥+⎪⎩得1011111010101191010C 0.60.4C 0.60.4C 0.60.4C 0.60.4k k k k k kk k k k k k -----++-⎧≥⎨≥⎩解得5.6 6.6k ≤≤所以当()P k 最大时，6k =18．(1)3)1【分析】（1）先应用正弦定理求出角B,再分类讨论应用两角和差正切公式求出角C ，再求面积即可；（2）应用三角形面积等于周长乘以半径的一半，再结合不等式求最大值即得.【详解】（1sin C c =sin sin B C C =，所以2sin 2B =.因为()0,πB ∈，所以π4B =，或3π4B =（i ）当π4B =时，tan 1tan AC =+因为()tan tan tan tan 1tan tan A C B A C A C +-=+=-，所以tan tan 1tan tan A C A C -=+化简得2tan tan 20C C --=，所以tan 1C =-，或tan 2C =①当tan 1C =-时，3π4C ∠=（舍去）；②当tan 2C =时，作AD BC ⊥于D ，得12,32AD BD CD CB CD BD BD BD ===+=+=，所以2,2BD AD ==，此时132ABC S BC AD =⨯= （ii ）当3π4B =时，tan 1tan AC =-+类似可得：tan tan 1tan tan A C A C-+=+化简得：2tan tan 20C C +-=，所以tan 1C =，或者tan 2C =-.①当πtan 1,,tan 04C C A ===，舍去；②当tan 2,C C =-为钝角，舍去综上得3ABC S =△.（2）由（1）可知ππ,2244B b ===记ABC 内切圆半径为得r ，因为()11sin 22ac B a b c r =++，所以sin ac B r a b c ==++因为222π2cos 4b a c ac =+-，所以(24()2a c ac =+-+，即2ac =，所以)22222ac r a c a c ===+-++由(2224()2())a c ac a c a c =+-+≥+-+，得a c +≤所以)max 21r ⎫==⎪⎪⎭当且仅当a c =时取等号.19．（1）515C ；（2）（i ）证明见解析；（ii ）22025-【分析】（1）依题意，将已知式拆开，使其可利用组合恒等式，通过多次提取系数运用恒等式即可求得；（2）（i ）利用组合数公式与排列数公式之间的关系推理即得；（ii ）将所求和式展开后，拆项，利用（i ）式化简，通过构造数列建立和式之间的递推关系，分析得到数列的周期性，从而利用周期求的结果.【详解】（1）0514********105105105105105105C C C C C C C C C C C C +++++011223344510101010101010101010C C C C C C C C C 46644C 4=+++++++++123451223344511111111111111111111111111C 4C 6C 4C C C C 3C 3C 3C 3C C C =++++=+++++++234523344512121212121212121212C 3C 3C C C C 2C 2C C C =+++=+++++345344545513131313131313141415C 2C C C C C C C C C =++=+++=+=；（2）（i ）1111A A A 111C C !!!k n k k k k n n n n n n k k k kn ----=⋅===；（ii ）10120123202520252024202320220(1)1111C C C C C 20252025202420132012n n n n n -=-=-+-+-∑ 101210131C 1013+012310122025202420232022101312025202520252025C C C C C 20252024202320221013⎡⎤=-+-++⎢⎥⎣⎦ 0123101220252024202320221013+)1[(C C C C C 2025=-+++ 12310122024202320221013231012C C C C ]2024202320221031()1--+-- 由（i ）得11C C k k n n k n--=，则有102110121011202420232023202210131012121012C C ,C C ,,C C 202420231013==⋯=，原式()()0123101201210112025202420232022101320232022202110121C C C C C C C C C 2025⎡⎤=-+-++--+--⎣⎦构造数列{}n a ，令0123123C C C C n n n n n a ---=-+-+ ，则01231112C C C C n n n n n a ++--=-+-+ ，所以()()012301231112123C C C C C C C C n n n n n n n n n n a a ++------=-+-+--+-+()()()()00112233111223C C C C C C C C n n n n n n n n +-----=---+---+ 0121231C C C n n n n a ----=-+-+=- 所以11n n n a a a +-=-，即()2111n n n n n n n a a a a a a a ++--=-=--=-，即3n n a a +=-，所以63n n n a a a ++=-=，即数列{}n a 是周期为6的数列.又因为12345620231202531,0,1,1,0,1,,1,1a a a a a a a a a a ===-=-======- ，所以()()1012202520252023310(1)112C 2025202520252025n n n n a a a a n -=-=-=-=--∑.【点睛】关键点点睛：本题主要考查组合恒等式的应用和利用构造数列求解和式问题，属于难题.解题关键在于熟悉组合数与排列数的阶乘计算公式，掌握组合数的性质，并能根据和式组成的规律性，构造对应的数列，运用数列的相关性质求解问题.。

浙江省宁波市高二下学期期末数学试卷(理科)

浙江省宁波市高二下学期期末数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）复数计算：= （）A .B .C .D .2. （2分）用S表示图中阴影部分的面积，则S的值是（）A .B . f(x)dx|C . f(x)dx+ f(x)dxD . f(x)dx- f(x)dx3. （2分）已知随机变量X服从正态分布N（3，1），且P（2＜X≤4）=0.6826，则P（X＞4）=（）A . 0.1588B . 0.1587C . 0.1586D . 0.15854. （2分）某班一个学习小组在一次数学实践活动中，测得一组数据共5个，如表x x1x2x3x45y 2.5 4.6 5.4n7.5若x1+x2+x3+x4=10，计算得回归方程为 =2.5x﹣2.3，则n的值为（）A . 9B . 8C . 7D . 65. （2分） (2015高二下·永昌期中) 对于函数f（x）=x3﹣3x2 ，给出下列四个命题：①f（x）是增函数，无极值；②f（x）是减函数，有极值；③f（x）在区间（﹣∞，0]及[2，+∞）上是增函数；④f（x）有极大值为0，极小值﹣4；其中正确命题的个数为（）A . 1B . 2C . 3D . 46. （2分） (2018高一下·北京期中) 甲、乙两人掷骰子，若甲掷出的点数记为a，乙掷出的点数记为b，则｜a－b｜≤1的概率为（）B .C .D .7. （2分） (2018高二下·丽水期末) 若，则（）A . 10B . 15C . 30D . 608. （2分）某电影院第一排共有9个座位，现有3名观众前来就座，若他们每两个人都不能相邻且要求每人左右至多只有两个空位，那么不同的坐法种数共有（）A . 18B . 48C . 42D . 569. （2分） (2016高二下·高密期末) 袋子中放有大小、性质完全相同的4个白球和5个黑球，如果不放回地依次摸出2个球，则在第一次摸到白球的条件下，第二次摸到黑球的概率为（）A .B .C .10. （2分） (2016高二下·广州期中) 设f′（x）是函数f（x）的导函数，y=f′（x）的图象如图所示，则y=f（x）的图象最有可能是图中的（）A .B .C .D .11. （2分） (2019高一下·广东期末) 下列几何体中为棱柱的是（）A .B .C .D .12. （2分）已知f（x）=x3﹣3x+m+2，在[0，2]上任取三个数a，b，c，均存在以f（a），f（b），f（c）为边的三角形，则实数m的范围是（）A . m＞2B . m＞4C . m＞6D . m＞8二、填空题 (共4题；共5分)13. （2分） (2020高二下·宁波月考) 已知，则 ________， ________.14. （1分）曲线y＝在点(－1，－1)处的切线方程为________．15. （1分） (2018高一上·南京期中) 已知满足对任意成立，那么的取值范围是________16. （1分）若=6，则n的值为________三、解答题 (共6题；共55分)17. （10分） (2019高二下·宁波期中) 已知展开式的二项式系数和为，系数和为，若.（1）求的值；（2）求展开式中的常数项．18. （5分）(2017·河南模拟) 某校高一某班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图因故都受到不同程度的损坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：（Ⅰ）求分数在[50，60）的频率及全班人数；（Ⅱ）求分数在[80，90）之间的频数，并计算频率分布直方图中[80，90）间的矩形的高；（Ⅲ）若规定：75（包含75分）分以上为良好，90分（包含90分）以上为优秀，要从分数在良好以上的试卷中任取两份分析学生失分情况，设在抽取的试卷中，分数为优秀的试卷份数为X，求X的概率分布列及数学期望．19. （10分）已知数列{an}的前n项和记为Sn ，若a2=a+2（a为常数），且Sn是nan与na的等差中项．（1）求a1 ， a3 ， a4；（2）猜想出an的表达式，并用数学归纳法进行证明．20. （5分）某市调研考试后，某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于120分为优秀，120分以下为非优秀．统计成绩后，得到如下的2×2列联表优秀非优秀合计甲班104050乙班203050合计3070100（Ⅰ）根据列联表的数据，判断是否有99%的把握认为“成绩与班级有关系”；（Ⅱ）若按下面的方法从甲班优秀的学生中抽取一人：把甲班10名优秀学生从2到11进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取人的序号．试求抽到8号的概率．参考公式与临界值表：K2= ．P（K2≥k）0.1000.0500.0250.0100.001k 2.706 3.841 5.024 6.63510.82821. （15分） (2017高三上·南充期末) 已知函数．（1）当a=0时，求f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）是否存在实数a，当0＜x≤2时，函数f（x）图象上的点都在所表示的平面区域（含边界）？若存在，求出a的值组成的集合；否则说明理由；（3）若f（x）有两个不同的极值点m，n（m＞n），求过两点M（m，f（m）），N（n，f（n））的直线的斜率的取值范围．22. （10分）已知函数f（x）=log2（1﹣x），g（x）=log2（1+x），令h（x）=f（x）﹣g（x）（1）求函数h（x）定义域，判断h（x）的奇偶性并写出证明过程．（2）判断函数h（x）在定义域内的单调性，写出必要的推理过程．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共5分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共55分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、答案：21-3、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：。

浙江省宁波效实中学11—12下学期高二数学(理)期末考试试卷

宁波效实中学二○一一学年度第二学期期末考试高二(理)数学试卷请将所有题目的答案填写在答卷的相应位置一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．1．设全集I ＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，若集合A ＝{2，4，5，6，7}，B ＝{2，3，5，8}，则(I A )∩B ＝A ．3，8B ．{3，8}C ．{1，2，3，5，8，9}D ．{3}2．不等式｜2x －1｜＞x ＋1的解集为A ．(2，＋∞)B ．(∞，∞)∪(2，∞)C ．(0，2)D ．(－∞，0)3．在等差数列{a n }中，a 2＝1，a 4＝5，则{a n }的前5项和S 5＝A ．7B ．15C ．20D ．254．函数f (x )＝2x ＋x 3－2在下列哪个区间内有零点A ．(0，1)B ．(2，3)C ．(－1，0)D ．(－2，－1)5．a ，b ∈R ，若a ＞b 是b a 11＜的充要条件，则a ，b 需要满足的条件是 A ．a ＞0，b ＞0B ．a ＜0，b ＜0C ．ab ＞0D ．ab ＜0 6．函数)2(log )(221x x x f -=的单调递增区间为A ．)41,(-∞B ．),21(+∞ C ．(－∞，0) D ．),41(+∞ 7．已知函数⎩⎨⎧>---≤<=.,)1(,0|,ln |)(3e x e x e x x x f 若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则abc 的取值范围是A ．(1，10)B ．(1，e )C ．(e ，e ＋1)D ．(e ，＋∞) 8．设函数⎩⎨⎧=为无理数，为有理数x x x D 0,1)(则下列结论错误的是A ．D (x )的值域为{0，1}B ．D (x )是偶函数C ．D (x )不是周期函数 D ．D (x )不是单调函数9．设S n 是公差为d (d ≠0)的无穷等差数列{a n }的前n 项和，则下列命题错误的是A ．若d ＜0，则数列{S n }有最大项B ．若数列{S n }有最大项，则d ＜0C ．若数列{S n }是递增数列，则对任意n ∈N *，均有S n ＞0D ．若对任意n ∈N *均有S n ＞0，则数列{S n }是递增数列10．数列{a n }满足a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为A ．3690B ．3660C ．1845D ．1830二、填空题：本大题共7小题，每小题3分，共21分．11．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<+≥⎪⎭⎫ ⎝⎛=)4)(1()4(21)(x x f x x f x则f (log 215)＝________；12．已知曲线34313+=x y ，则以点P (2，4)为切点的切线方程为__________； 13．S n 为等比数列{a n }的前n 项和，且S n ＝m 3n －2m 2＋1(m ∈R )，则m ＝_________；14．已知等比数列{a n }为递增数列，且1210255)(2,++=+=n n n a a a a a ，则数列{a n }的通项公式a n ＝_____；15．若函数f (x )＝a x (a ＞0，a ≠1)(a ∈R )在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝_________；16．已知定义在R 上的函数f (x )的图象关于点)0,43(-对称，对任意实数x 都有)23(1)(+-=x f x f ,且1)1(=-f ，2)0(-=f ，则()()=+⋯++20121)0(f f f ____．17．已知函数f (x )满足：41)1(=f ，()()()()()R ∈-++=y x y x f y x f y f x f ,4，则 f (2012)＝________．三、解答题：本大题共5小题，共49分．解答写出文字说明，证明过程或演算步骤．18．解关于x 的不等式()R ∈>-a a x 11．19．在等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＝84，a 9＝73．(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式；(Ⅱ)若数列{b n }满足b n ＝2n a n ，求数列{b n }的前n 项之和S n ．20．海事救援船对一艘失事船进行定位；以失事船的当前位置为原点．以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系(以1海里为单位长度)，则救援船恰好在失事船正南方向12海里A 处，如图．现假设： ①失事船的移动路径可视为抛物线24912x y =； ②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t 小时后，失事船所在位置的横坐标为7t ． (Ⅰ)当t ＝0.5时，写出失事船所在位置P 的纵坐标．若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小；(Ⅱ)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？21．设a ＞0，b ∈R ，f (x )＝2ax 3＋(b －2a )x 2－(a ＋b －1)x ＋a －1．(Ⅰ)求f (1)；(Ⅱ)求证：当2>b 时，a ＋b ＋1≠0，f (x )＝0有三个不相等的实数根；(Ⅲ)当x ∈[－1，0]时f (x )≤0恒成立，求a ＋b 的最大值．22．已知函数x ek x x f +=ln )( (k 为常数，e ＝2.71828…是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行．(Ⅰ)求k 的值；(Ⅱ)求f (x )的单调区间；(Ⅲ)设g (x )＝(x 2＋x )f '(x )，其中f '(x )为f (x )的导函数．证明：对任意x ＞0，g (x )＜1＋e －2．宁波效实中学二○一一学年度第二学期期末考试高二(理)数学答案一、选择题1．B 2．B 3．B 4．A 5．C 6．C 7．C 8．C9．C 10．D 二、填空题11．30112．44-=x y13．1或21- 14．2n15．4116．017．41-三、解答题18．a x ＞11-a ax a +110＜＜＞10＞x a =110＞或＜＜x a ax a +19．(Ⅰ)89-=n a n(Ⅱ)()n n n S 289210212-+⋯+⋅+⋅=……①()()122892179212+⋅-+-+⋯+⋅=n n n n n S ……②②－①()()28292229289321⨯+⨯-+⋯++-⋅-=+n n n n S()()16229289121+--⋅-=++n n n()342928911+⋅-⋅-=++n n n20．(Ⅰ)⎪⎩⎪⎨⎧==327:y x P ()12,0-A49492=AP 9495.0==APV(Ⅱ)()212,7t t P x y 4924=' t y t x 7247='= ()t x t t y l AP 772412:2-=-过A 点 ∴124121222=⇒-=--t t t∴()12,7P ()12,0-A25=AP25==t APV 海里/小时21．(Ⅰ)()01=f(Ⅱ)()()[]01212=+-+-=a bx ax x x f ()122+-+=a bx ax x g()011≠++=b a g()a a b --=∆182＝0221822＞-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+a b即22＞b ∴2＞b∴a ＋b ＋1≠0，且2＞b 时，g (x )有两解即f (x )有三解 (Ⅲ)12221+--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-a b a g 0122≥+--=b a ∴2≤+b a 经检验32=a ，34=b 时可取到2 ∴b a +最大值为2 22．(Ⅰ)k ＝1(Ⅱ)(0，1)↑ (1，＋∞)↓(Ⅲ)()()()()x x e x x x x e x x x x x g ln 111ln 12--+=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+= ＜()x h x x x =--ln 1()()2ln 1ln 1+-=---='x x x h(0，e －2)↑ (e －2，＋∞)↓ ()()2222121----+=+-==e e e e h x h。

2022-2023学年浙江省宁波市高二(下)期末数学试卷【答案版】

2022-2023学年浙江省宁波市高二（下）期末数学试卷一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分.1．已知集合A ＝{0，1，2}，B ＝{﹣1，0}，则A ∪B ＝（） A ．{﹣1，1，2}B ．{0，1，2}C ．{﹣1，0}D ．{﹣1，0，1，2}2．复数﹣1﹣2i （i 为虚数单位）的虚部是（） A ．﹣2B ．﹣1C ．1D ．23．函数f(x)=(x −12)12的定义域是（）A ．(−∞，12)B ．[12，+∞)C ．{−∞，−12}D ．[−12，+∞)4．已知tan α＝﹣1，α∈（0，π]，那么α的值等于（） A ．π6B ．π4C ．π3D ．3π45．某制药厂正在测试一种减肥药的疗效，有1000名志愿者服用此药，结果如表：如果另有一人服用此药，根据上表数据估计此人体重减轻的概率是（） A ．0.57B ．0.33C ．0.24D ．0.196．已知向量a →=（x ，2），b →=（3，6），a →⊥b →，则实数x 的值为（） A ．1B ．﹣4C ．4D ．﹣17．球的半径是R ＝3，则该球的体积是（） A ．36πB ．20πC ．25πD ．30π8．对数lga 与lgb 互为相反数，则有（） A ．a +b ＝0B ．a ﹣b ＝0C ．ab ＝1D ．ab =19．取一条长度为1的线段，将它三等分，去掉中间一段，留下剩下的两段；再将剩下的两段分别分割三等分，各去掉中间一段，留剩下的更短的四段；…；将这样的操作一直继续下去，直至无穷，由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段数目越来越多，长度越来越小，在极限的情况下，得到一个离散的点集，称为康托尔三分集．若在第n 次操作中去掉的线段长度之和不小于160，则n 的最大值为（）（参考数据：1.57≈17.1，1.58≈25.6，1.59≈38.4，1.510≈57.7） A ．7B ．8C ．9D ．1010．已知a ，b 为非零实数，则“a ＞b ”是“1a＜1b”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件11．在△ABC 中，|AB |＝3，|AC |＝2，AD →=12AB →+34AC →，则直线AD 通过△ABC 的（）A ．垂心B ．外心C ．重心D ．内心12．已知函数f （x ）的定义域为R ，f(x +12)为奇函数，且对于任意x ∈R ，都有f （2﹣3x ）＝f （3x ），则下列结论中一定成立的是（） A ．f （1﹣x ）＝f （x ） B ．f （3x +1）＝f （3x ） C ．f （x ﹣1）为偶函数D ．f （3x ）为奇函数二、多项选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，每小题列出的四个备选项中有多个是符合题目要求的，全部选对得4分，部分选对且没错选得2分，不选、错选得0分.） 13．下列函数是增函数的是（） A ．y ＝x 3B ．y ＝x 2C ．y =x 12D ．y ＝﹣x ﹣114．已知平面α⊥平面β，且α∩β＝l ，则下列命题不正确的是（） A ．平面α内的直线必垂直于平面β内的任意一条直线 B ．平面α内的已知直线必垂直于平面β内的无数条直线C ．平面α内的任意一条直线必垂直于平面βD ．过平面α内的任意一点作交线l 的垂线，则此垂线必垂直于平面β15．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．以下列选项为条件，一定可以推出A =π3的有（）A ．a ＝7，b ＝8，c ＝5B ．a =√3，b =√2，B =π4 C ．sinBsinC =34D ．2sin 2B+C2+cos2A =1 16．如图，在棱长为2的正方体AC ′中，点E 为CC ′的中点，点P 在线段A ′C ′（不包含端点）上运动，记二面角P ﹣AB ﹣D 的大小为α，二面角P ﹣BC ﹣D 的大小为β，则（）A ．异面直线BP 与AC 所成角的范围是(π3，π2] B ．tan （α+β）的最小值为−43C ．当△APE 的周长最小时，三棱锥B ﹣AEP 的体积为109D ．用平面BEP 截正方体AC ′，截面的形状为梯形三、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分.）17．已知函数f(x)={2x ，x ≤0f(x −2)，x ＞0，则f （﹣1）＝，f （log 23）＝．18．在生活中，我们经常可以看到这样的路障，它可以近似地看成由一个直八棱柱、一个圆柱与一个圆台组合而成，其中圆台的上底面直径为4cm ，下底面直径为40cm ，高为80cm ．为了起到夜间行车的警示作用，现要在圆台侧面涂上荧光材料，则涂料部分的面积为 cm 2．19．已知正实数x ，y 满足xy ﹣x ﹣2y ＝0，则x +y 的最小值是．20．在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin 2A ＝sin 2B +sin B sin C ，则cb 的取值范围为．四、解答题（本大题共3小题，共33分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）21．（11分）随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手机软件层出不穷．现从某市使用A 款订餐软件的商家中随机抽取100个商家，对它们的“平均配送时间”进行统计，所有数据均在[10，70]范围内，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求a 的值；（2）试估计该市使用A 款订餐软件的商家的“平均配送时间”的第20百分位数．22．（11分）已知函数f （x ）＝sin （ωx +φ）．其中ω＞0．若f （x ）的最小正周期为π，且f(π2)=f(2π3)；（1）求ω，φ的值；（2）若|φ|＜π2，求f （x ）在区间[−π3，π6]上的值域．23．（11分）已知函数f(x)=log a x +ax +1x+1(x ＞0)，其中a ＞1．（1）若a ＝2，求f(14)的值；（2）判断函数f （x ）的零点个数，并说明理由；（3）设f （x 0）＝0，求证：12＜f(√x 0)＜a+12．五、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分每小题列出的四个备选项中有多个是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对且没错选得2分，不选、错选得0分）24．抛掷一枚质地均匀的硬币两次，设事件A ＝“第一次正面朝上”，事件B ＝“第二次正面朝上”，则（） A ．P(A)=12B ．P(A +B)=34C ．事件A 与事件B 互斥D ．事件A 与事件B 相互独立25．已知平面向量a →，b →满足|a →|=1，|b →|=2，则（） A ．|a →+b →|的最大值为3B ．|a →−b →|的最大值为3 C ．|a →+b →|+|a →−b →|的最大值为6D ．|a →+b →|−|a →−b →|的最大值为226．已知函数f （x ）＝sin x ，g （x ）＝cos x ，若θ满足，对∀x 1∈[0，π2]，都∃x 2∈[−π2，0]使得2f （x 1）＝2g （x 2+θ）+1成立，则θ的值可能为（） A ．πB ．5π6C ．2π3D ．π227．已知正实数a 、b 、c 满足log 3a ＝log 5b ，log 3b ＝log 5c ，其中a ＞1，则（） A ．log a b ＝log 35 B ．a ＞b ＞cC ．ac ＞b 2D ．2a +2c ＞2b +1六、解答题（本大题共2小题，共30分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，） 28．（15分）如图，正四棱锥P ﹣ABCD 的高为2√2，体积为8√23．（1）求正四棱锥P ﹣ABCD 的表面积；（2）若点E 为线段PB 的中点，求直线AE 与平面ABCD 所成角的正切值；（3）求二面角A ﹣PB ﹣C 的余弦值．29．（15分）已知定义在R 上的函数f （x ）＝﹣x 2+x |x ﹣a |，其中a 为实数．（1）当a ＝3时，解不等式f （x ）≥﹣2；（2）若函数f （x ）在[﹣1，1]上有且仅有两个零点，求a 的取值范围；（3）对于a ∈[4，+∞），若存在实数x 1，x 2（x 1＜x 2），满足f （x 1）＝f （x 2）＝m ，求x 12+mx 2x 1x 2的取值范围．（结果用a 表示）2022-2023学年浙江省宁波市高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分.1．已知集合A ＝{0，1，2}，B ＝{﹣1，0}，则A ∪B ＝（） A ．{﹣1，1，2}B ．{0，1，2}C ．{﹣1，0}D ．{﹣1，0，1，2}解：因为A ＝{0，1，2}，B ＝{﹣1，0}，所以A ∪B ＝{﹣1，0，1，2}．故选：D ．2．复数﹣1﹣2i （i 为虚数单位）的虚部是（） A ．﹣2B ．﹣1C ．1D ．2解：因为复数﹣1﹣2i ，所以复数﹣1﹣2i （i 为虚数单位）的虚部是﹣2．故选：A ．3．函数f(x)=(x −12)12的定义域是（）A ．(−∞，12)B ．[12，+∞)C ．{−∞，−12}D ．[−12，+∞)解：因为f(x)=(x −12)12=√x −12，所以x −12≥0，则x ≥12，所以f （x ）的定义域为[12，+∞)．故选：B ．4．已知tan α＝﹣1，α∈（0，π]，那么α的值等于（） A ．π6B ．π4C ．π3D ．3π4解：∵已知tan α＝﹣1，且α∈[0，π），故α的终边在射线 y ＝﹣x （x ≤0）上，∴α=3π4，故选：D ．5．某制药厂正在测试一种减肥药的疗效，有1000名志愿者服用此药，结果如表：如果另有一人服用此药，根据上表数据估计此人体重减轻的概率是（） A ．0.57B ．0.33C ．0.24D ．0.19解：由已知统计表可知在1000名志愿者中，服药后出现体重减轻的人数为241人，因此服药后出现体重减轻的频率为2411000=0.241≈0.24．故选：C ．6．已知向量a →=（x ，2），b →=（3，6），a →⊥b →，则实数x 的值为（） A ．1B ．﹣4C ．4D ．﹣1解：∵a →=（x ，2），b →=（3，6），a →⊥b →， ∴3x +2×6＝0，即x ＝﹣4． ∴实数x 的值为﹣4．故选：B ．7．球的半径是R ＝3，则该球的体积是（） A ．36πB ．20πC ．25πD ．30π解：∵R ＝3，∴该球的体积V =43πR 3＝36π．故选：A ．8．对数lga 与lgb 互为相反数，则有（） A ．a +b ＝0 B ．a ﹣b ＝0 C ．ab ＝1 D ．ab=1解：∵lga ＝﹣lgb ∴lga +lgb ＝0 ∴lg （ab ）＝0 ∴ab ＝1 故选：C ．9．取一条长度为1的线段，将它三等分，去掉中间一段，留下剩下的两段；再将剩下的两段分别分割三等分，各去掉中间一段，留剩下的更短的四段；…；将这样的操作一直继续下去，直至无穷，由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段数目越来越多，长度越来越小，在极限的情况下，得到一个离散的点集，称为康托尔三分集．若在第n 次操作中去掉的线段长度之和不小于160，则n 的最大值为（）（参考数据：1.57≈17.1，1.58≈25.6，1.59≈38.4，1.510≈57.7） A ．7B ．8C ．9D ．10解：第一次操作去掉的线段长度为13，第二次操作去掉的线段长度之和为23×13，第三次操作去掉的线段长度之和为23×23×13，…，第n 次操作去掉的线段长度之和为(23)n−1⋅13，由题意知，(23)n−1⋅13≥160，则(23)n ≥130，则(32)n ≤30，因为32＞1，所以指数函数y =(32)x 为增函数，又1.58≈25.6，1.59≈38.4，n ∈N *，所以n ＝8，故选：B ．10．已知a ，b 为非零实数，则“a ＞b ”是“1a＜1b ”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：当a ＞0＞b 时，1a＞0＞1b，所以由a ＞b 得不出1a＜1b，若1a＜1b，则1a −1b=b−a ab＜0，若ab ＜0，则b ﹣a ＞0，即a ＜b ，所以由1a＜1b得不出a ＞b ，所以“a ＞b ”是“1a＜1b”的既不充分也不必要条件．故选：D ．11．在△ABC 中，|AB |＝3，|AC |＝2，AD →=12AB →+34AC →，则直线AD 通过△ABC 的（）A ．垂心B ．外心C ．重心D ．内心解：∵|AB |＝3，|AC |＝2 ∴|12AB →|＝|34AC →|=32．设AE →=12AB →，AF →=34AC →，则|AE →|＝|AF →|，∴AD →=12AB →+34AC →=AE →+AF →．由向量加法的平行四边形法则可知，四边形AEDF 为菱形． ∴AD 为菱形的对角线， ∴AD 平分∠EAF ．∴直线AD通过△ABC的内心．故选：D．12．已知函数f（x）的定义域为R，f(x+12)为奇函数，且对于任意x∈R，都有f（2﹣3x）＝f（3x），则下列结论中一定成立的是（）A．f（1﹣x）＝f（x）B．f（3x+1）＝f（3x）C．f（x﹣1）为偶函数D．f（3x）为奇函数解：由f(x+12)是奇函数，得f(x+12)=−f(−x+12)，即f（x）＝﹣f（1﹣x），选项A错误；由f（2﹣3x）＝f（3x），得f（2﹣x）＝f（x），所以f（2﹣x）＝﹣f（1﹣x），即f（x+1）＝﹣f（x），则f（3x+1）＝﹣f（3x），B错；由f（x+1）＝﹣f（x）可得f（x+2）＝﹣f（x+1）＝f（x）可得函数f（x）的周期为T＝2，f（x）＝﹣f（1﹣x）与f（x+1）＝﹣f（x）可得f（x+1）＝f（1﹣x），即函数f（x）的图象关于x＝1对称，根据周期为2可得函数f（x）的图象关于x＝﹣1对称，即f（﹣1+x）＝f（﹣1﹣x），所以f（x﹣1）为偶函数，C正确；因为f（2﹣3x）＝f（3x）且函数f（x）的周期为T＝2，所以f（2﹣3x）＝f（﹣3x）＝f（3x），f（3x）为偶函数，故选项D错误．故选：C．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，每小题列出的四个备选项中有多个是符合题目要求的，全部选对得4分，部分选对且没错选得2分，不选、错选得0分.）13．下列函数是增函数的是（）A．y＝x3B．y＝x2C．y=x 12D．y＝﹣x﹣1解：对于A，函数y＝x3的定义域为R，函数y＝x3在R上单调递增，A正确；对于B，函数y＝x2的定义域为R，函数y＝x2在（﹣∞，0]上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，B错误；对于C，函数y=x 12的定义域为[0，+∞），函数y=x 12在[0，+∞）上单调递增，C正确；对于D，函数y＝﹣x﹣1的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），函数y＝﹣x﹣1在（﹣∞，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递增，但f（﹣1）＝﹣1＞1＝f（1），D错误；故选：AC．14．已知平面α⊥平面β，且α∩β＝l，则下列命题不正确的是（）A．平面α内的直线必垂直于平面β内的任意一条直线B．平面α内的已知直线必垂直于平面β内的无数条直线C．平面α内的任意一条直线必垂直于平面βD．过平面α内的任意一点作交线l的垂线，则此垂线必垂直于平面β解：对于A，平面α内取平行于交线的直线时，该直线与平面β平行，不垂直于平面β内的任意一条直线，故A错误；对于B，取平面β内无数条与交线垂直的直线，平面α内的已知直线与这无数条直线垂直，故B正确；对于C，平面α内取与l平行的直线，不垂直于平面β，故C错误；对于D，若α内的任意一点取在交线l上，所作垂线可能不在平面α内，所以不一定垂直于平面β，故D错误．故选：ACD．15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．以下列选项为条件，一定可以推出A=π3的有（）A．a＝7，b＝8，c＝5B．a=√3，b=√2，B=π4C．sinBsinC=34D．2sin2B+C2+cos2A=1解：对于A，由余弦定理可得cosA=b2+c2−a22bc=64+25−492×8×5=12，又A∈（0，π），所以A=π3，A正确；对于B，由正弦定理可得asinA =bsinB，又a=√3，b=√2，B=π4，所以sinA=√3×√22√2=√32，又A∈（0，π），所以A=π3或A=2π3，B错误；对于C，取B=π2，C为锐角，且sinC=34，可得A为锐角，且cosA=34，此时A≠π3，C错误；对于D，由2sin2B+C2+cos2A=1可得2sin2(π2−A2)+cos2A=1，所以cos2A=1−2sin2(π2−A2)=cos(π−A)=−cosA，所以2cos 2A +cos A ﹣1＝0，解得cosA =12或cos A ＝﹣1（舍），又A ∈（0，π），所以A =π3，D 正确．故选：AD ．16．如图，在棱长为2的正方体AC ′中，点E 为CC ′的中点，点P 在线段A ′C ′（不包含端点）上运动，记二面角P ﹣AB ﹣D 的大小为α，二面角P ﹣BC ﹣D 的大小为β，则（）A ．异面直线BP 与AC 所成角的范围是(π3，π2] B ．tan （α+β）的最小值为−43C ．当△APE 的周长最小时，三棱锥B ﹣AEP 的体积为109D ．用平面BEP 截正方体AC ′，截面的形状为梯形解：对于A ，因为AC ∥A ′C ′，所以异面直线BP 与AC 所成角为∠BP A ′或∠BPC ′中的锐角或直角，又BA ′＝A ′C ′＝BC ′，所以△BA ′C ′为等边三角形，因为点P 在线段A ′C ′（不包含端点）上运动，所以当P 为线段A ′C ′的中点时，∠BPA ′=∠BPC ′=π2，此时异面直线BP 与AC 所成角为π2，当点P 趋近A ′或C ′时，异面直线BP 与AC 所成角趋近π3，所以异面直线BP与AC所成角的范围是(π3，π2]，选项A正确；对于B，过点P作PF∥A′A，PF∩AC＝F，因为A′A⊥平面ABCD，所以PF⊥平面ABCD，过点F作FG⊥AB，FH⊥BC，垂足为G，H，所以∠PGF为二面角P﹣AB﹣D的平面角，∠PHF为二面角P﹣BC﹣D的平面角，故∠PGF＝α，∠PHF＝β，设A′P=√2x，则FG＝AG＝x，GB＝FH＝2﹣x，0＜x＜2，所以tanα=PFGF=2x，tanβ=PFFH=22−x，所以tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ=2x+22−x1−2x×22−x=42x−x2−4，因为0＜x＜2，所以2x﹣x2﹣4∈（﹣4，﹣3]，所以tan(α+β)=42x−x2−4∈[−43，−1)，所以当x＝1时，tan（α+β）取最小值，最小值为−43，选项B正确；对于C，延长EC′到点M，使得EC′＝MC′，则PE＝PM，所以AP+PE+AE＝AP+PM+AE≥AM+AE，当且仅当A ，P ，M 三点共线时等号成立，所以当点P 为线段AM 与A ′C ′的交点时，△APE 的周长最小，因为PC ′∥AC ，所以△PC ′M ∽△ACM ，所以PC′AC=MC′MC=13，又AC =2√2，所以PC ′=2√23，所以△APE 的面积S =S ACC′A′−S △ACE −S △EC′P −S △AA′P =4√2−√2−√23−4√23=4√23，又BO ⊥AC ，BO ⊥AA ′，AC ∩AA ′＝A ，AC ，AA ′⊂平面ACC ′A ′，所以BO ⊥平面ACC ′A ′，所以点B 到平面APE 的距离为BO ，所以当△APE 的周长最小时，三棱锥B ﹣AEP 的体积为V =13×4√23×√2=89，选项C 错误；对于D ，延长BE ，B ′C ′，两直线交于点Q ，连接PQ ，设PQ ∩C ′D ′＝S ，PQ ∩A ′B ′＝T ，连接BT ，SE ，因为平面ABB ′A ′∥平面DCC ′D ′，平面BEP ∩平面ABB ′A ′＝BT ，平面BEP ∩平面DCC ′D ′＝ES ，所以BT ∥ES ，又BT ≠ES ，所以四边形BEST 为梯形，所以用平面BEP 截正方体AC ′，截面的形状为梯形，D 正确．故选：ABD ．三、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分.）17．（6分）已知函数f(x)={2x ，x ≤0f(x −2)，x ＞0，则f （﹣1）＝ 12 ，f （log 23）＝ 34 ．解：因为f(x)={2x ，x ≤0f(x −2)，x ＞0，则f(−1)=2−1=12；因为1＝log 22＜log 23＜log 24＝2，所以，﹣1＜log 23﹣2＜0，所以，f(log 23)=f(log 23−2)=2log 23−2=2log 2322=34．故答案为：12；34．18．在生活中，我们经常可以看到这样的路障，它可以近似地看成由一个直八棱柱、一个圆柱与一个圆台组合而成，其中圆台的上底面直径为4cm ，下底面直径为40cm ，高为80cm ．为了起到夜间行车的警示作用，现要在圆台侧面涂上荧光材料，则涂料部分的面积为 1804π cm 2．解：作圆台的轴截面如下：过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，由已知，AE ＝80，BE =12×(40−4)=18，所以AB =√AE 2+BE 2=82，所以圆台的母线长为82cm ，由已知圆台的上底半径为2cm ，下底半径为20cm ，所以圆台的侧面积S ＝π×（2+20）×82＝1804π（cm 2）．故答案为：1804π．19．已知正实数x ，y 满足xy ﹣x ﹣2y ＝0，则x +y 的最小值是 3+2√2 ．解：因为xy ﹣x ﹣2y ＝0，所以x +2y ＝xy ，所以2x +1y=1，所以x +y =(x +y)(2x+1y)=2+x y+2y x +1≥3+2√x y ⋅2y x=3+2√2，当且仅当xy =2y x，2x+1y=1时等号成立，即x =2+√2，y =√2+1时等号成立，所以x +y 的最小值是3+2√2．故答案为：3+2√2．20．在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin 2A ＝sin 2B +sin B sinC ，则cb的取值范围为（1，2）．解：因为sin 2A ＝sin 2B +sin B sin C ，由正弦定理可得a 2＝b 2+bc ，由余弦定理a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ，所以bc ＝c 2﹣2bc cos A ，即b ＝c ﹣2b cos A ，由正弦定理可得sin B ＝sin C ﹣2sin B cos A ，所以sin B ＝sin （A +B ）﹣2sin B cos A ，即sin B ＝sin A cos B +cos A sin B ﹣2sin B cos A ，所以sin B ＝sin （A ﹣B ），因为0＜A ＜π2，0＜B ＜π2，所以−π2＜A −B ＜π2，所以B ＝A ﹣B ，即A ＝2B ，所以C ＝π﹣3B ，由△ABC 为锐角三角形，所以0＜A =2B ＜π2，0＜C =π−3B ＜π2，可得π6＜B ＜π4，所以√22＜cosB ＜√32，12＜cos 2B ＜34，由正弦定理得c b=sinC sinB=sin3B sinB=sin(2B+B)sinB=sin2BcosB+cos2BsinBsinB＝2cos 2B +cos2B ＝4cos 2B ﹣1∈（1，2），即cb 的取值范围为（1，2）．故答案为：（1，2）．四、解答题（本大题共3小题，共33分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）21．（11分）随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手机软件层出不穷．现从某市使用A 款订餐软件的商家中随机抽取100个商家，对它们的“平均配送时间”进行统计，所有数据均在[10，70]范围内，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求a 的值；（2）试估计该市使用A 款订餐软件的商家的“平均配送时间”的第20百分位数．解：（1）依题意可得（0.004+0.02+0.056+a +0.004+0.002）×10＝1，解得a ＝0.014．（2）因为0.04＜0.2＜0.04+0.2，所以第20百分位数位于[20，30）之间，设为x ，则0.04+（x ﹣20）×0.02＝0.2，解得x ＝28，故第20百分位数为28．22．（11分）已知函数f （x ）＝sin （ωx +φ）．其中ω＞0．若f （x ）的最小正周期为π，且f(π2)=f(2π3)；（1）求ω，φ的值；（2）若|φ|＜π2，求f （x ）在区间[−π3，π6]上的值域．解：（1）因为f （x ）＝sin （ωx +φ）的最小正周期为π，ω＞0，所以2πω=π，所以ω＝2，所以f （x ）＝sin （2x +φ），因为f(π2)=f(2π3)，所以sin(π+φ)=sin(4π3+φ)，所以−sinφ=−√32cosφ−12sinφ，所以tanφ=√3，所以φ=kπ+π3，k ∈Z ，（2）由（1）φ=kπ+π3，k ∈Z ，又|φ|＜π2，所以φ=π3，所以f(x)=sin(2x +π3)，由已知−π3≤x ≤π6，所以−π3≤2x +π3≤2π3，所以−√32≤sin(2x+π3)≤1，所以f（x）在区间[−π3，π6]上的值域为[−√32，1]．23．（11分）已知函数f(x)=log a x+ax+1x+1(x＞0)，其中a＞1．（1）若a＝2，求f(14)的值；（2）判断函数f（x）的零点个数，并说明理由；（3）设f（x0）＝0，求证：12＜f(√x0)＜a+12．解：（1）当a＝2时，f（x）=log2x+2x+1x+1（x＞0），∴f(14)=log214+2×14+114+1=−710；（2）f′(x)=1xlna+a−1(x+1)2，∵a＞1，x+1＞1，∴lna＞0，1(x+1)2＜1＜a，∴f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，∵a＞1，∴1a2＜1，a2a2+1＜1，则f(1a2)=−2+1a+a2a2+1＜0，又f(1)=a+12＞0，由函数零点存在性定理可知，f（x）在（0，+∞）内有唯一零点；（3）证明：由（2）可知，x0∈(1a2，1)，∵f(x0)=log a x0+ax0+1x0+1=0，∴log a x0=−ax0−1x0+1，∴f(√x0)=12log a x0+a√x0+1x+1=−12ax0−12(x0+1)+a√x01x+1，令√x0=t，则f(t)=−12at2−12(t2+1)+at+1t+1=−a2[(t−1)2−1]+2t2−t+12(t2+1)(t+1)，t∈(1a，1)，令g(t)=−a2[(t−1)2−1]，∵2t 2−t+12(t 2+1)(t+1)=2[(t−14)2+716]2(t 2+1)(t+1)＞0，∴f （t ）＞g （t ），易知g （t ）在(1a ，1)上单调递增，又a ＞1，12a＜12，∴f(t)＞g(t)＞g(1a )=−a2[(1a −1)2−1]=1−12a ＞12， ∵g(t)=−a2[(t −1)2−1]＜g(1)=a 2，∴要证f(t)＜a+12，只需证2t 2−t+12(t 2+1)(t+1)＜12，即证2t 2﹣t +1＜（t 2+1）（t +1），令h （t ）＝（t 2+1）（t +1）﹣（2t 2﹣t +1）＝t 3﹣t 2+2t ， ∵ℎ′(t)=3t 2−2t +2=3[(t −13)2+59]＞0， ∴h （t ）在（0，1）单调递增，∴h （t ）＞h （0）＝0，即（t 2+1）（t +1）＞2t 2﹣t +1，即f(t)＜a+12．综上，12＜f(t)＜a+12，即12＜f(√x 0)＜a+12．五、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分每小题列出的四个备选项中有多个是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对且没错选得2分，不选、错选得0分）24．抛掷一枚质地均匀的硬币两次，设事件A ＝“第一次正面朝上”，事件B ＝“第二次正面朝上”，则（） A ．P(A)=12B ．P(A +B)=34C ．事件A 与事件B 互斥D ．事件A 与事件B 相互独立解：对于A ，试验的样本空间为：Ω＝{（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）}，共4个样本点，所以P(A)=12，故P(A)=12，故A 正确；对于B ，试验的样本空间为：Ω＝{（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）}，共4个样本点，事件A +B 含有（正，正），（正，反），（反，正），这三种结果，故P(A +B)=34，故B 正确；对于C ，A ＝{（正，正），（正，反）}，B ＝{（正，正），（反，正）}，显然事件A ，事件B 都含有“（正，正）这一结果，事件A ，事件B 能同时发生，因此事件A 与事件B 不互斥，故C 不正确；对于D ，P(A)=12，P(B)=12，P(AB)=14，所以P （AB ）＝P （A ）P （B ），所以事件A 与事件B 为相互独立事件，故D 正确．故选：ABD ．25．已知平面向量a →，b →满足|a →|=1，|b →|=2，则（） A ．|a →+b →|的最大值为3B ．|a →−b →|的最大值为3 C ．|a →+b →|+|a →−b →|的最大值为6D ．|a →+b →|−|a →−b →|的最大值为2解：设a →，b →的夹角为θ，θ∈[0，π]，|a →|=1，|b →|=2，a →⋅b →=|a →||b →|cosθ=2cosθ，∵|a →+b →|=√(a →+b →)2=√a →2+2a →⋅b →+b →2=√5+4cosθ， ∵θ∈[0，π]，∴cos θ∈[﹣1，1]，∴当cos θ＝1时，|a →+b →|有最大值3，故A 正确；∵|a →−b →|=√(a →−b →)2=√a →2−2a →⋅b →+b →2=√5−4cosθ， ∵θ∈[0，π]，∴cos θ∈[﹣1，1]，∴当cos θ＝﹣1时，|a →−b →|有最大值3，故B 正确； ∵|a →+b →|−|a →−b →|=√5+4cosθ−√5−4cosθ，要使|a →+b →|−|a →−b →|取最大值，只需考虑|a →+b →|−|a →−b →|≥0的情形，此时(|a →+b →|−|a →−b →|)2=10−2√25−16cos 2θ， ∵θ∈[0，π]，∴cos 2θ∈[0，1]，∴当cos 2θ＝1时，(|a →+b →|−|a →−b →|)2有最大值10﹣2×3＝4，所以|a →+b →|−|a →−b →|的最大值为2，故D 正确． ∵|a →+b →|+|a →−b →|=√5+4cosθ+√5−4cosθ， ∴(|a →+b →|+|a →−b →|)2=10+2√25−16cos 2θ， ∵θ∈[0，π]，∴cos 2θ∈[0，1]，∴当cos 2θ＝0时，(|a →+b →|+|a →−b →|)2有最大值10+2×5＝20，所以|a →+b →|+|a →−b →|的最大值为2√5，故C 错误．故选：ABD ．26．已知函数f （x ）＝sin x ，g （x ）＝cos x ，若θ满足，对∀x 1∈[0，π2]，都∃x 2∈[−π2，0]使得2f （x 1）＝2g （x 2+θ）+1成立，则θ的值可能为（）A ．πB ．5π6C ．2π3D ．π2解：因为对∀x 1∈[0，π2]，都∃x 2∈[−π2，0]使得2f （x 1）＝2g （x 2+θ）+1成立，所以f （x ）＝2sin x ，x ∈[0，π2]的值域包含于函数y ＝2cos （t +θ）+1，t ∈[−π2，0]的值域，函数f （x ）＝2sin x ，x ∈[0，π2]的值域为[0，2]，所以S ＝4πR 2＝12π，t ∈[−π2，0]的值域包含区间[0，2]，由−π2≤t ≤0，可得−π2+θ≤t +θ≤θ，当θ＝π时，π2≤t +π≤π，﹣1≤cos （t +π）≤0，所以S ＝4πR 2＝12π，t ∈[−π2，0]的值域为[﹣1，1]不满足要求，A 错误；当θ=5π6时，π3≤t +5π6≤5π6，−√32≤cos(t +5π6)≤12，所以y =2cos(t +5π6)+1，t ∈[−π2，0]的值域为[−√3+1，2]满足要求，B 正确；当θ=2π3时，π6≤t +2π3≤2π3，−12≤cos(t +2π3)≤√32，所以y =2cos(t +2π3)+1，t ∈[−π2，0]的值域为[0，√3+1]满足要求，C 正确；当θ=π2时，0≤t +π2≤π2，0≤cos(t +π2)≤1，所以y =2cos(t +π2)+1，t ∈[−π2，0]的值域为[1，3]不满足要求，D 错误．故选：BC ．27．已知正实数a 、b 、c 满足log 3a ＝log 5b ，log 3b ＝log 5c ，其中a ＞1，则（） A ．log a b ＝log 35 B ．a ＞b ＞cC ．ac ＞b 2D ．2a +2c ＞2b +1解：对于A 选项，因为a ＞1，所以log 3a ＞0，由log 3a ＝log 5b ，可得lna ln3=lnb ln5，则lnblna=ln5ln3，所以log a b ＝log 35，故A 对；对于B 选项，设log 3a ＝log 5b ＝m ＞0，则a ＝3m ，b ＝5m ，因为幂函数y ＝x m 在（0，+∞）上为增函数，所以3m ＜5m ，即a ＜b ，设log 5c ＝log 3b ＝n ＞0，则b ＝3n ，c ＝5n ，因为幂函数y ＝x n 在（0，+∞）上为增函数，所以3n ＜5n ，即b ＜c ，则a ＜b ＜c ，故B 错；对于C 选项，因为b ＝5m ＝3n ，且m ＞0，n ＞0，所以mln 5＝nln 3，所以n m =ln5ln3＞1，则m ＜n ，故m ﹣n ＜0，所以acb 2=3m ⋅5n5m ⋅3n =(35)m−n ＞1，即ac ＞b 2，故C 对；对于D 选项，由基本不等式，可得a +c ＞2√ac ＞2b ，所以，2a +2c ＞2√2a+c ＞2√22b =2b+1，故D 对．故选：ACD ．六、解答题（本大题共2小题，共30分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，）28．（15分）如图，正四棱锥P ﹣ABCD 的高为2√2，体积为8√23．（1）求正四棱锥P ﹣ABCD 的表面积；（2）若点E 为线段PB 的中点，求直线AE 与平面ABCD 所成角的正切值；（3）求二面角A ﹣PB ﹣C 的余弦值．解：（1）连接AC ∩BD ＝O ，连接PO ，如图，因为在正四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是正方形，则AC ⊥BD ，且O 是AC 与BD 的中点，PO ⊥底面ABCD ，因为正四棱锥P ﹣ABCD 的高为2√2，体积为8√23，则PO =2√2，设底面ABCD 边长为t ，则S ABCD =t 2，所以由V P−ABCD =13S ABCD ⋅PO ，得8√23=13t 2×2√2，解得t ＝2，因为PO ⊥底面ABCD ，OC ⊂底面ABCD ，故PO ⊥OC ，在Rt △POC 中，OC =12AC =√2，则PC =√PO 2+OC 2=√10，同理PB =√10，所以在△PBC 中，PB =PC =√10，BC =2，则S △PBC =12×2×√10−1=3，同理：S △P AB ＝S △P AD ＝S △PCD ＝S △PBC ＝3，所以正四棱锥P ﹣ABCD 的表面积为S ＝S ABCD +4S △PBC ＝4+4×3＝16．（2）由（1）可得，以O 为原点，OA →，OB →，OP →为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，如图，则A(√2，0，0)，C(−√2，0，0)，B(0，√2，0)，D(0，−√2，0)，P(0，0，2√2)，因为点E 为线段PB 的中点，所以E(0，√22，√2)，则AE →=(−√2，√22，√2)，易知平面ABCD 的一个法向量为n 0→=(0，0，1)，设直线AE 与平面ABCD 所成角为θ，则0＜θ＜π2，所以sinθ=|cos〈AE →，n 0→〉|=|AE →⋅n 0→||AE →||n 0→|=√2√2+12+2×1=23，故cosθ=√1−sin 2θ=√53，tanθ=2√5=2√55，所以直线AE 与平面ABCD 所成角的正切值为2√55．（3）由（2）知AB →=(−√2，√2，0)，PB →=(0，√2，−2√2)，BC →=(−√2，−√2，0)，设平面APB 的一个法向量为m →=(a ，b ，c)，则{AB →⋅m →=0PB →⋅m →=0，即{−√2a +√2b =0√2b −2√2c =0，则可取m →=(2，2，1)，设平面PBC 的一个法向量为n →=(x ，y ，z)，则{PB →⋅n →=0BC →⋅n →=0，即{√2y −2√2z =0−√2x −√2y =0，则可取n →=(−2，2，1)，设二面角A ﹣PB ﹣C 为φ，则由图形可知π2＜φ＜π，所以cosφ=−|cos〈m →，n →〉|=−|m →⋅n →||m →||n →|=19×9=−19，所以二面角A ﹣PB ﹣C 的余弦值为−19．29．（15分）已知定义在R 上的函数f （x ）＝﹣x 2+x |x ﹣a |，其中a 为实数．（1）当a ＝3时，解不等式f （x ）≥﹣2；（2）若函数f （x ）在[﹣1，1]上有且仅有两个零点，求a 的取值范围；（3）对于a ∈[4，+∞），若存在实数x 1，x 2（x 1＜x 2），满足f （x 1）＝f （x 2）＝m ，求x 12+mx 2x 1x 2的取值范围．（结果用a 表示）解：（1）因为a ＝3，所以f （x ）＝﹣x 2+x |x ﹣3|，当x ≥3时，f （x ）＝﹣3x ，所以f （x ）≥﹣2⇔﹣3x ≥﹣2，解得x ≤23，不满足x ≥3，所以此时不等式f （x ）≥﹣2的解集为∅；当x ＜3时，f （x ）＝﹣2x 2+3x ，所以f （x ）≥﹣2⇔﹣2x 2+3x ≥﹣2⇔2x 2﹣3x ﹣2≤0，解得−12≤x ≤2，满足x ＜3；所以不等式f （x ）≥﹣2的解集为[−12，2]；（2）令f （x ）＝﹣x 2+x |x ﹣a |＝0，则有x （﹣x +|x ﹣a |）＝0，x 1＝0∈[﹣1，1]，如果a ＝0，则有﹣x +|x |＝0，当x ≥0时都能成立，不满足题意；当a ≠0时，﹣x +|x ﹣a |＝0，x ＝|x ﹣a |，x 2＝（x ﹣a ）2，解得x 2=a 2，又因为0＜x 2≤1，即0＜a 2≤1，解得0＜a ≤2，所以a 的取值范围为（0，2]；（3）对于a ≥4，令f （x ）＝﹣x 2+x |x ﹣a |＝m 有2个不同的实数解x 1，x 2，并且x 1＜x 2，当x≥a时，f（x）＝﹣ax，当x＜a时，f（x）＝﹣2x2+ax，函数的大致图像如下：当﹣a2＜m＜a28，并且m≠0时，有﹣2x2+ax＝m，即2x2﹣ax+m＝0，解得x1=a−√a2−8m4，x2=a+√a2−8m4，令t=√a2−8m，则m=a2−t28，并且t∈（0，a）∪（a，3a），x1=a−t4，x2=a+t4，x1x2=m2，令y=x12+mx2x1x2，则y=2x12m+2x2=(a−t)28m+a+t2=1−2ta+t+a+t2，y t′=12−2a(a+t)2，显然y t′是关于t的增函数，即y t′＞y t＝0′=12−1a，因为a≥4，所以y t′≥0，所以y是关于t的增函数，所以1+a2＜y＜2a−12，并且y≠a，即y∈（1+a2，a）∪（a，2a−12）；当m≤﹣a2时，x1=a−√a2−8m4，x2=−m a，同理令t=√a2−8m，m=a2−t28，t≥3a，y=x1x2+mx1=−2aa+t+a+t2，y t′=12+2a(a+t)2＞0，所以y是关于t的增函数，y≥y|t＝3a＝2a−12，所以x12+mx2x1x2的取值范围是（1+a2，a）∪（a，+∞）．。

浙江省宁波市数学高二下学期理数期末考试试卷

浙江省宁波市数学高二下学期理数期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知X和Y是两个分类变量，由公式K2=算出K2的观测值k约为7.822根据下面的临界值表可推断（）P（K2≥k0）0.100.050.0250.0100.0050.001k0 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828A . 推断“分类变量X和Y没有关系”犯错误的概率上界为0.010B . 推断“分类变量X和Y有关系”犯错误的概率上界为0.010C . 有至少99%的把握认为分类变量X和Y没有关系D . 有至多99%的把握认为分类变量X和Y有关系2. （2分） (2016高二下·重庆期末) 在利用随机模拟方法估计函数y=x2的图象、直线x=﹣1，x=1以及x 轴所围成的图形面积时，做了1000次试验，数出落在该区域中的样本点数为302个，则该区域面积的近似值为（）A . 0.604B . 0.698C . 0.151D . 0.3023. （2分）在回归分析中，相关指数R2的值越大，说明残差平方和（）A . 越大B . 越小C . 可能大也可能小D . 以上均错4. （2分） (2020高一下·河西期中) 设A、B是两个概率大于0的随机事件，则下列论述正确的是（）A . 事件A⊆B，则P（A）＜P（B）B . 若A和B互斥，则A和B一定相互独立C . 若A和B相互独立，则A和B一定不互斥D . P（A）+P（B）≤15. （2分）为了解社区居民的家庭收入与年支出的关系，随机抽查5户家庭得如下数据表：收入x（万元）8.28.610.011.311.9支出y（万元） 6.27.58.08.59.8根据上表可得回归直线方程，其中，，据此估计，该社区一户收入20万元家庭的支出是（）A . 15.6万元B . 15.8万元C . 16万元D . 16.2万元6. （2分）现将5名学生分成两个小组，其中甲、乙两人必须在同一个小组里，那么不同的分配方法有（）A . 7种B . 6种C . 5种D . 4种7. （2分）(2012·重庆理) 的展开式中常数项为（）A .B .C .D . 1058. （2分）某地某高中2018年的高考考生人数是2015年高考考生人数的1.5倍.为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2015和2018年高考情况，得到如下饼图：2018年与2015年比较，下列结论正确的是（）A . 一本达线人数减少B . 二本达线人数增加了0.5倍C . 艺体达线人数相同D . 不上线的人数有所增加9. （2分）已知函数f（x）=cos ，集合A={2，3，4，5，6}，现从集合A中任取两数m，n，且m≠n，则f（m）•f（n）≠0的概率为（）A .B .C .D .10. （2分） (2020高二下·徐州月考) 设表示不超过的最大整数（如，），对于给定的，定义，；当时，函数的值域是（）A .B .C .D .11. （2分）节日里某家前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，若接通电后的月秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯在4秒内间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后它们第一次闪亮的时刻相差不超过1秒的概率是（）A .B .C .D .12. （2分）为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如下图，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a，视力在4.6到5.0之间的学生数为b，则a，b的值分别为（）A . 0.27,78B . 0.27,83C . 2.7,78D . 2.7,83二、填空题 (共4题；共8分)13. （1分） (2020高二下·天津期中) 若，则的展开式的第4项的系数为________.（用数字作答）14. （1分） (2017高二下·钦州港期末) （1+x）5（1﹣）5的展开式中的x项的系数等于________．15. （5分） (2017高二下·钦州港期末) 冶炼某种金属可以用旧设备和改造后的新设备，为了检验用这两种设备生产的产品中所含杂质的关系，调查结果如表所示：根据以上数据试判断含杂质的高低与设备改造有无关系？16. （1分） (2017高二下·钦州港期末) 若回归直线方程中的回归系数 =0时，则相关系数r=________．三、解答题 (共6题；共55分)17. （10分）已知函数f（x）=2x的定义域是[0，3]，设g（x）=f（2x）﹣f（x+2）．（1）求g（x）的解析式及定义域；（2）求函数g（x）的最大值和最小值．18. （10分） (2019高一上·金华月考) 设函数．（1）判断的奇偶性并证明；（2）当时，求的值域.19. （5分）已知函数f（x）=log3（ax+b）的图象经过点A（2，1）、B（5，2），（1）求函数f（x）的解析式及定义域；（2）求的值．20. （10分）(2019·新乡模拟) 已知函数 .（1）求的单调区间；（2）当时，恒成立，求的取值范围.21. （10分） (2018高三下·鄂伦春模拟) 已知点是抛物线上一点，且到的焦点的距离为 .（1）求抛物线在点处的切线方程；（2）若是上一动点，且不在直线上，过作直线垂直于轴且交于点，过作的垂线，垂足为 .证明：为定值，并求该定值.22. （10分）化简：（1）（）﹣2+（1﹣）0﹣（3 ） + ；（2） a b﹣2•（﹣3a b﹣1）÷（4a b﹣3）．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共8分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共55分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、第11 页共11 页。

浙江省宁波市数学高二下学期理数期末考试试卷

浙江省宁波市数学高二下学期理数期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2018·长安模拟) 已知全集，集合，则等于（）A .B .C .D .2. （2分）下列命题正确的是（）A . 若p∨q为真命题，则p∧q为真命题B . “a＞0，b＞0”是“ ≥2”的充要条件C . 命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1或x＝2”的逆否命题为“若x≠1或x≠2，则x2－3x＋2≠0”D . 命题p：∃x∈R，x2＋x－1＜0，则﹁p：∀x∈R，x2＋x－1≥03. （2分） (2016高二下·佛山期末) 设随机变量ξ服从正态分布N（2，9），若P（ξ＞c）=P（ξ＜c﹣2），则c的值是（）A . 1B . 2C . 3D . 44. （2分） (2017高二下·成都开学考) 点M在矩形ABCD内运动，其中AB=2，BC=1，则动点M到顶点A的距离|AM|≤1的概率为（）A .B .C .D .5. （2分）一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（）A . 1B . 2C . 3D . 46. （2分） (2016高二上·福田期中) 已知F为双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（）A .B . 3C . mD . 3m7. （2分）设集合和平面中的两个点集，若存在点、，使得对任意的点、，均有，则称|A0B0|为点集和的距离，记为.已知集合,，则（）A .B .C .D .8. （2分）已知抛物线的焦点F（a，0）（a＜0），则抛物线的标准方程是（）A . y2=2axB . y2=4axC . y2=﹣2axD . y2=﹣4ax9. （2分） (2017高二下·故城期中) 将4个不同的小球放入3个不同的盒子，其中有的盒子可能没有放球，则总的方法共有（）A . 81种B . 64种C . 36种D . 18种10. （2分）(2016·黄山模拟) 如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是（）A . 2B . 3C . 4D . 511. （2分） (2016高一上·广东期末) 如图，在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为A1D1的中点，Q 为A1B1上任意一点，E、F为CD上两点，且EF的长为定值，则下面四个值中不是定值的是（）A . 点P到平面QEF的距离B . 直线PQ与平面PEF所成的角C . 三棱锥P﹣QEF的体积D . △QEF的面积12. （2分）已知点P在曲线y＝x3－x上移动，在点P处的切线倾斜角为α，则α的取值范围是（）A . [0，]B . [，π)C . [0，)∪[，π)D . [0，)∪[，π)二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2013·山东理) 在区间[﹣3，3]上随机取一个数x使得|x+1|﹣|x﹣2|≥1的概率为________．14. （1分）若（x2+ ）6的二项展开式中，x3的系数为，则二项式系数最大的项为________．15. （1分）在平面直角坐标系xOy中，设直线y=﹣x+2与圆x2+y2=r2交于A，B两点，O为坐标原点，若圆上一点C满足=+则r=________16. （1分） (2015高三上·广州期末) 以下四个命题中：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样，②两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1，③某项测量结果ξ服从正态分布N （1，a2），P（ξ≤5）=0.81，则P（ξ≤﹣3）=0.19，④对于两个分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k来说，k越小，判断“X与Y有关系”的把握程度越大．以上命题中其中真命题的个数为________ ．三、解答题 (共7题；共50分)17. （10分）(2018·广东模拟) 已知数列的前项和为，且，（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和 .18. （5分）(2017·宜宾模拟) 在某单位的职工食堂中，食堂每天以3元/个的价格从面包店购进面包，然后以5元/个的价格出售．如果当天卖不完，剩下的面包以1元/个的价格卖给饲料加工厂．根据以往统计资料，得到食堂每天面包需求量的频率分布直方图如下图所示．食堂某天购进了90个面包，以x（单位：个，60≤x≤110）表示面包的需求量，T（单位：元）表示利润．（Ⅰ）求T关于x的函数解析式；（Ⅱ）根据直方图估计利润T不少于100元的概率；（Ⅲ）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中间值的概率（例如：若需求量x∈[60，70），则取x=65，且x=65的概率等于需求量落入[60，70）的频率），求T的分布列和数学期望．19. （10分）(2016·山东理) 在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O′的直径，FB是圆台的一条母线．（1）已知G，H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC；（2）已知EF=FB= AC=2 AB=BC，求二面角F﹣BC﹣A的余弦值．20. （5分） (2018高三上·丰台期末) 已知椭圆的左、右焦点分别是，点在椭圆上，是等边三角形.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）点在椭圆上，线段与线段交于点，若与的面积之比为，求点的坐标.21. （5分）(2017·郴州模拟) 设函数f（x）=e2x ， g（x）=kx+1（k∈R）．（Ⅰ）若直线y=g（x）和函数y=f（x）的图象相切，求k的值；（Ⅱ）当k＞0时，若存在正实数m，使对任意x∈（0，m），都有|f（x）﹣g（x）|＞2x恒成立，求k的取值范围．22. （10分） (2016高三上·沙坪坝期中) 在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若曲线C的极坐标方程为ρsin2θ+4sinθ﹣ρ=0，直线l：（t为参数）过曲线C的焦点，且与曲线C交于M，N两点．（1）写出曲线C及直线l直角坐标方程；（2）求|MN|．23. （5分）(2017·安徽模拟) 已知函数f（x）=|x﹣4|，g（x）=a|x|，a∈R．（Ⅰ）当a=2时，解关于x的不等式f（x）＞2g（x）+1；（Ⅱ）若不等式f（x）≥g（x）﹣4对任意x∈R恒成立，求a的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共50分) 17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、22-1、22-2、23-1、。

浙江省宁波市高二数学下学期期末三校联考试题理(含解

2012-2013学年浙江省宁波市三校联考高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）若集合M={﹣1，0，1}，N={y|y=sinx，x∈M}，则M∩N=（）A．{1} B．{0} C．{﹣1} D．{﹣1，0，1}考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：先求出集合N，再进行交集运算即可．解答：解：N={﹣sin1，0，sin1}，∴M∩N={0}故选B点评：本题考查交集及其运算．2．（3分）（2009•湛江一模）命题p：∀x∈[0，+∞），（log32）x≤1，则（）A．p是假命题，￢p：∃x0∈[0，+∞），（log32）x0＞1B．p是假命题，￢p：∀x∈[0，+∞），（log32）x＞1C．p是真命题，￢p：∃x0∈[0，+∞），（log32）x0＞1D．p是真命题，￢p：∀x∈[0，+∞），（log32）x≥1考点：命题的否定．专题：计算题．分析：利用指数函数的单调性判断出命题p是真命题；据含量词的命题的否定形式写出否命题．解答：解：：∵0＜log32＜1∴∀x∈[0，+∞），（log32）x≤1成立即命题p是真命题∀x∈[0，+∞），（log32）x≤1的否定故选C点评：本题考查含量词的命题的否定形式：是量词任意和存在互换，结论否定．3．（3分）幂函数f（x）=xα的图象过点（2，4），那么函数f（x）的单调递增区间是（）A．（﹣2，+∞）B．[﹣1，+∞）C．[0，+∞）D．（﹣∞，﹣2）考点：幂函数的性质．专题：计算题．分析：利用点在幂函数的图象上，求出α的值，然后求出幂函数的单调增区间．解答：解：幂函数f（x）=xα的图象过点（2，4），所以4=2α，即α=2，所以幂函数为f（x）=x2它的单调递增区间是：[0，+∞）故选C．点评：本题考查求幂函数的解析式，幂函数的单调性，是基础题．4．（3分）已知集合S={x∈N|﹣2＜x﹣1＜4，且x≠1}，则集合S的真子集的个数是（）A．32 B．31 C．16 D．15考点：子集与真子集．专题：计算题．分析：根据题意，首先求得S，可得其中有4个元素，由集合的元素数目与子集数目的关系，可得其子集的数目，再排除其本身后，可得答案．解答：解：根据题意，﹣2＜x﹣1＜4可化为﹣1＜x＜5；则集合S={x∈N|﹣2＜x﹣1＜4，且x≠1}={x|﹣1＜x＜5}={0，2，3，4}；其子集共24﹣1=16﹣1=15个；故选D．点评：本题考查集合的元素数目与子集数目的关系，若一个集合有n个元素，则其由2n个子集，但其中包括本身与∅．5．（3分）若f（x）=（a+1）x2+（a﹣2）x+a2﹣a﹣2是偶函数，则a=（）A．1B．2C．3D．4考点：函数奇偶性的判断．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由f（x）=（a+1）x2+（a﹣2）x+a2﹣a﹣2是偶函数，知f（﹣x）=f（x），由此能求出a的值．解答：解：∵f（x）=（a+1）x2+（a﹣2）x+a2﹣a﹣2是偶函数，∴f（﹣x）=（a+1）x2﹣（a﹣2）x+a2﹣a﹣2=（a+1）x2+（a﹣2）x+a2﹣a﹣2，∴a﹣2=0，解得a=2．故选B．点评：本题考查函数的奇偶性的判断和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．6．（3分）（2009•江西）设函数f（x）=g（x）+x2，曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为y=2x+1，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处切线的斜率为（）A．4B．﹣C．2D．﹣考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；直线的斜率．专题：计算题．分析：欲求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处切线的斜率，即求f′（1），先求出f′（x），然后根据曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为y=2x+1求出g′（1），从而得到f′（x）的解析式，即可求出所求．解答：解：f′（x）=g′（x）+2x．∵y=g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为y=2x+1，∴g′（1）=2，∴f′（1）=g′（1）+2×1=2+2=4，∴y=f（x）在点（1，f（1））处切线斜率为4．故选A．点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，直线的斜率等有关基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，属于基础题．7．（3分）函数f（x）=x3+bx2+cx+d的大致图象如图所示，则等于（）A．B．C．D．考点：利用导数研究函数的极值．专题：综合题．分析：由图象知f（x）=0的根为﹣1，0，2，求出函数解析式，x1和x2是函数f（x）的极值点，故有x1和x2是f′（x）=0的根，可结合根与系数求解．解答：解：∵f（x）=x3+bx2+cx+d，由图象知，﹣1+b﹣c+d=0，0+0+0+d=0，8+4b+2c+d=0，∴d=0，b=﹣1，c=﹣2∴f′（x）=3x2+2bx+c=3x2﹣2x﹣2．由题意有x1和x2是函数f（x）的极值点，故有x1和x2是f′（x）=0的根，∴x1+x2=，x1•x2=﹣．则x12+x22 =（x1+x2）2﹣2x1•x2=+=，故答案为：．点评：本题考查一元二次方程根的分布，根与系数的关系，函数在某点取的极值的条件，以及求函数的导数，属中档题．8．（3分）已知命题p：函数y=log0.5（x2+2x+a）的值域为R，命题q：函数y=（x﹣a）2在（2，+∞）上是增函数．若p或q为真命题，p且q为假命题，则实数a的取值范围是（）A．a＜1或a≥2B．a≤2C．1＜a≤2D．a≤1考点：复合命题的真假．专题：计算题．分析：由题意可得p，q分别对应的a的范围，由命题的真假可知p，q一真一假，由集合的交并运算可得答案．解答：解：由函数y=log 0.5（x2+2x+a）的值域为R，可得△=4﹣4a≥0，解得a≤1，由函数y=（x﹣a）2在（2，+∞）上是增函数，可得a≤2．因为p或q为真命题，p且q为假命题，所以p，q一真一假，当p真q假时，可得a≤1，当p假q真时，可得1＜a≤2，综上可得a≤2故选B点评：本题考查复合命题的真假，涉及函数的值域和单调性，属基础题．9．（3分）（2005•安徽）函数f（x）=x3+ax2+3x﹣9，已知f（x）在x=﹣3时取得极值，则a=（）A．2B．3C．4D．5考点：利用导数研究函数的极值．专题：计算题．分析：因为f（x）在x=﹣3是取极值，则求出f′（x）得到f′（﹣3）=0解出求出a即可．解答：解：∵f′（x）=3x2+2ax+3，又f（x）在x=﹣3时取得极值∴f′（﹣3）=30﹣6a=0则a=5．故选D点评：考查学生利用导数研究函数极值的能力．10．（3分）函数f（x）=（x3+1）（x3+2）…（x3+100）在x=﹣1处的导数值为（）A．0B．100! C．3•99!D．3•100!考点：导数的运算．专题：导数的概念及应用．分析：本题对100个因式的乘积求导，只有对第一个因式求导时不再含有因式x3+1，而对剩下的每个因式求导时都含有因式x3+1，据此可计算出导数值．解答：解：∵f（x）=（x3+1）（x3+2）…（x3+100），∴f′（x）=3x2（x3+2）（x3+3）…（x3+100）+3x2（x3+1）×…，∴f′（﹣1）=3×99!+0=3×99!．故选C．点评：本题考查求导函数的值，弄清导数的特点是计算的前提．二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11．（3分）已知全集U=R，A={y|y=2x+1}，B={x|lnx＜0}，则（∁U A）∩B{x|x＜1} ．考点：交、并、补集的混合运算．专题：规律型．分析：先将集合A，B进行化简，确定集合A，B的元素，然后利用补集和交集，进行交补运算．解答：解：因为A={y|y=2x+1}={y|y＞1}，B={x|lnx＜0}={x|x＜1}，所以∁U A=y|y≤1}，所以（∁U A）∩B={x|x＜1}．故答案为：{x|x＜1}．点评：本题的考点是集合的交集和补集运算．先将集合进行化简是解决本题的关键．12．（3分）幂函数f（x）的图象过点（3，），则f（x）的解析式是f（x）=．考点：幂函数的单调性、奇偶性及其应用．专题：待定系数法．分析：幂函数f（x）的图象过点（3，），故可根据幂函数的定义用待定系数法设出函数的解析式，代入所给点的坐标求参数，由此可得函数的解析式．解答：解：由题意设f（x）=x a，∵幂函数f（x）的图象过点（3，），∴f（3）=3a=∴a=∴f（x）=故答案为：f（x）=点评：本题的考点是幂函数的单调性、奇偶性及其应用，考查用待定系数法求已知函数类型的函数的解析式，待定系数法求解析式是求函数解析式的常用方法，主要用求函数类型已知的函数的解析式．13．（3分）（2006•上海）已知函数f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数．当x∈（﹣∞，0）时，f（x）=x﹣x4，则当x∈（0，+∞）时，f（x）= ﹣x4﹣x ．考点：函数奇偶性的性质．专题：计算题；转化思想．分析：先设x∈（0，+∞）得﹣x∈（﹣∞，0），代入已知的解析式求出f（﹣x），再由偶函数的关系式f（x）=f（﹣x）求出．解答：解：设x∈（0，+∞），则﹣x∈（﹣∞，0），∵当x∈（﹣∞，0）时，f（x）=x﹣x4，∴f（﹣x）=﹣x﹣x4，∵f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数，∴f（x）=f（﹣x）=﹣x﹣x4，故答案为：﹣x4﹣x．点评：本题考查了利用函数奇偶性求函数的解析式，即求谁设谁，利用负号转化到已知范围内，求出f（﹣x）的关系式，再利用偶函数的关系式求出f（x）的表达式，考查了转化思想．14．（3分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10，则a•b=﹣44 ．考点：利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系．专题：导数的综合应用．分析：求出导函数，令导函数在1处的值为0；f（x）在1处的值为10，列出方程组求出a，b的值，注意检验．解答：解：f′（x）=3x2+2ax+b，由题意得，f′（1）=3+2a+b=0①，f（1）=1+a+b+a2=10②，联立①②解得或，当a=﹣3，b=3时，f′（x）=3x2﹣6x+3=3（x﹣1）2，x＜1或x＞1时，f′（x）＞0，所以x=1不为极值点，不合题意；经检验，a=4，b=﹣11符合题意，所以ab=﹣44，故答案为：﹣44．点评：本题考查利用导数研究函数的极值，可导函数f（x）在x=x0处取得极值的充要条件是f′（x0）=0，且在x0左右两侧导数异号．15．（3分）（2012•河南模拟）已知直线y=x+1与曲线y=ln（x+a）相切，则a的值为 2 ．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题．分析：切点在切线上也在曲线上得到切点坐标满足两方程；又曲线切点处的导数值是切线斜率得第三个方程．三个方程联立即可求出a的值．解答：解：设切点P（x0，y0），则y0=x0+1，y0=ln（x0+a），又∵切线方程y=x+1的斜率为1，即，∴x0+a=1，∴y0=0，x0=﹣1，∴a=2．故答案为：2点评：此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，是一道基础题．学生在解方程时注意利用消元的数学思想．16．（3分）已知集合A={x|（x2+ax+b）（x﹣1）=0}，集合B满足条件：A∩B={1，2}，A∩（C U B）={3}，U=R，则a+b等于 1 ．考点：交、并、补集的混合运算．专题：探究型．分析：先根据条件A∩B={1，2}，A∩（C U B）={3}，确定集合A的元素，然后代入方程求a，b．解答：解：因为A∩B={1，2}，所以1∈A，2∈A．又因为A∩（C U B）={3}，所以3∈A．所以2，3是方程x2+ax+b=0的两个根，所以有根与系数的关系可知2+3=﹣a，2×3=b，解得a=﹣5，b=6，所以a+b=1．故答案为：1点评：本题的考点是利用集合的关系判断集合的元素，以及利用根与系数之间的关系求方程系数问题．17．（3分）有下列命题：①命题“∃x∈R，使得x2+1＞3x”的否定是“∀x∈R，都有x2+1≤3x”；②设p、q为简单命题，若“p∨q”为假命题，则“￢p∧￢q为真命题”；③若p（x）=ax2+2x+1＞0，则“∀x∈R，p（x）是真命题”的充要条件为 a＞1；④若函数f（x）为R上的奇函数，当x≥0，f（x）=3x+3x+a，则f（﹣2）=﹣14；⑤不等式的解集是．其中所有正确的说法序号是①②③④．考点：命题的真假判断与应用．专题：计算题．分析：①根据命题否定的定义对其进行判断；②p为真则￢p为假，反过来p为假，￢p为真，利用此定义进行判断；③对“∀x∈R，方程ax2+2x+1＞0，可得判别式小于0，可以推出a的范围；④根据奇函数过点（0，0）求出a值，根据x≥0的解析式，可以求出x＜0时的解析式，把x=﹣2进行代入；⑤解不等式要移项，注意分母不为零，由此进行判断；解答：解：①已知命题“∃x∈R，使得x2+1＞3x”对其进行否定：“∀x∈R，都有x2+1≤3x”，故①正确；②若“p∨q”为假命题，可得p与q都为假命题，则￢p与￢q都为真命题，则“￢p∧￢q为真命题”，故②正确；③“∀x∈R，p（x）=ax2+2x+1＞0，可得△＜0，得4﹣4a＜0，得a＞1，故③正确；④函数f（x）为R上的奇函数，可得f（0）=0，推出a=﹣1，得x≥0，f（x）=3x+3x﹣1，令x＜0得﹣x＞0，f（x）为奇函数，f（﹣x）=﹣f（x），f（﹣x）=﹣f（x）=3﹣x﹣3x﹣1，f（x）=﹣3﹣x+3x+1，f（﹣2）=﹣32﹣6+1=﹣14；⑤不等式，，可得，从而求解出﹣≤x≤3且x≠1；故⑤错误；故答案为①②③④；点评：此题主要考查命题的真假判断，涉及方程根与不等式的关系，不等式的求解问题，奇函数的解析式求法，考查知识点多且全面，是一道综合题；三、解答题（共5小题，满分0分）18．若f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且=f（x）﹣f（y）（1）求f（1）的值；（2）若f（6）=1，解不等式f（x+3）﹣＜2．考点：抽象函数及其应用；函数单调性的性质．专题：计算题．分析：（1）问采用赋值法求出f（1）的值；（2）问首先由f（6）=1分析出f（36）=2，再根据函数的单调性将原不等式转化为一元二次不等式．解答：解：（1）解：（1）令x=y=1，则有f（1）=f（1）﹣f（1）=0；∴f（1）=0（2）令x=1则所以因为f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，则解得点评：赋值法是解决抽象函数常用的方法．抽象函数是以具体函数为背景的，“任意x＞0，y＞0时，f（x）+f（y）=f（xy）”的背景函数是f（x）=log a x（a＞0），我们可以构造背景函数来帮助分析解题思路．19．已知命题p：方程a2x2+ax﹣2=0在[﹣1，1]上有且仅有一解．命题q：只有一个实数x 满足不等式x2+2ax+2a≤0．若命题“p或q”是假命题，求a的取值范围．考点：复合命题的真假．专题：计算题．分析：若命题p真，即方程a2x2+ax﹣2=0在[﹣1，1]上有且仅有一解，可求得﹣2＜a≤﹣1或1≤a＜2；若命题q真，即只有一个实数x满足不等式x2+2ax+2a≤0，由△=0可求得a=0或a=2，依题意，命题p和命题q都是假命题，从而可求得a的取值范围．解答：解：由a2x2+ax﹣2=0，得（ax+2）（ax﹣1）=0，显然a≠0，∴x=﹣或x=，∵方程a2x2+ax﹣2=0在[﹣1，1]上有且仅有一解，故或∴﹣2＜a≤﹣1或1≤a＜2．只有一个实数x满足不等式x2+2ax+2a≤0，∴△=4a2﹣8a=0，解得a=0或a=2．∵命题“p或q”是假命题，∴命题p和命题q都是假命题，∴a的取值范围为{a|a≤﹣2或﹣1＜a＜0或0＜a＜1或a＞2}．点评：本题考查复合命题的真假，求得命题p真与命题q真中a的取值范围是关键，考查分析，理解与运算能力，属于中档题．20．（2012•烟台一模）定义在R上的函数f（x）=ax3+bx2+cx+3同时满足以下条件：①f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数；②f′（x）是偶函数；③f （x）在x=0处的切线与直线y=x+2垂直．（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式；（Ⅱ）设g（x）=4lnx﹣m，若存在x∈[1，e]，使g（x）＜f′（x），求实数m的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：综合题．分析：（Ⅰ）求出f′（x）=3ax2+2bx+c，由f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数，得到f′（1）=3a+2b+c=0，再由函数的奇偶性和切线方程能够求出函数y=f（x）的解析式．（Ⅱ）若存在x∈[1，e]，使4lnx﹣m＜x2﹣1，即存在x∈[1，e]，使m＞4lnx﹣x2+1，由此入手，结合题设条件，能够求出实数m的取值范围．解答：解：（Ⅰ）f′（x）=3ax2+2bx+c∵f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数，∴f′（1）=3a+2b+c=0…①…（1分）由f′（x）是偶函数得：b=0②…（2分）又f（x）在x=0处的切线与直线y=x+2垂直，f′（0）=c=﹣1③…（3分）由①②③得：，即…（4分）（Ⅱ）由已知得：若存在x∈[1，e]，使4lnx﹣m＜x2﹣1，即存在x∈[1，e]，使m＞4lnx﹣x2+1设h（x）=4lnx﹣x2+1m＞h min，对h（x）求导，导数在（0，）大于零，（，e）小于零，即h（x）先递增再递减，当x=．m取最大值+∞，x=e 时，m取最小值5﹣e2．∴实数m的取值范围是（5﹣e2，+∞）．点评：本题考查函数解析式的求法和求实数的取值范围，考查化归与转化、分类与整合的数学思想，培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识．21．（2008•湖北）已知函数f（x）=x3+mx2﹣m2x+1（m为常数，且m＞0）有极大值9．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）若斜率为﹣5的直线是曲线y=f（x）的切线，求此直线方程．考点：函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程；直线的一般式方程．专题：计算题．分析：（I）求出导函数，求出导函数等于0的两个根，列出x，f′（x），f（x）的变化情况的表格，求出极大值，列出方程求出m的值．（II）将（I）求出的m的值代入导函数，利用曲线在切点处的导数值是切线的斜率，令导数等于﹣5，求出x即切点横坐标，将横坐标代入f（x）求出切点坐标，利用直线方程的点斜式写出切线方程．解答：解：（Ⅰ）f’（x）=3x2+2mx﹣m2=（x+m）（3x﹣m）=0，则x=﹣m或x=m，当x变化时，f’（x）与f（x）的变化情况如下表：从而可知，当x=﹣m时，函数f（x）取得极大值9，即f（﹣m）=﹣m3+m3+m3+1=9，∴m=2．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=x3+2x2﹣4x+1，依题意知f’（x）=3x2+4x﹣4=﹣5，∴x=﹣1或x=﹣．又f（﹣1）=6，f（﹣）=，所以切线方程为y﹣6=﹣5（x+1），或y﹣=﹣5（x+），即5x+y﹣1=0，或135x+27y﹣23=0．点评：本题考查利用导数求函数的极值的步骤：求出导数；令导数为0求出根；列出表格判断根左右两边导函数的符号；求出极值．考查导数的几何意义：导数在切点处的值是曲线的切线斜率．22．已知二次函数y=f（x）=x2+bx+c的图象过点（1，13），且函数对称轴方程为x=﹣（1）求f（x）的解析式；（2）已知t＜2，g（x）=[f（x）﹣x2﹣13]|x|，求函数g（x）在[t，2]上的最大值和最小值；（3）函数y=f（x）的图象上是否存在这样的点，其横坐标是正整数，纵坐标是一个完全平方数？如果存在，求出这样的点的坐标；如果不存在，请说明理由．考点：函数与方程的综合运用；函数的值域；函数解析式的求解及常用方法；二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（1）根据函数对称轴方程为x=﹣，求得b的值，再由f（x）=x2+bx+c的图象过点（1，13），求出c的值，从而求得f（x）的解析式；（2）由题意可得 g（x）=（x﹣2）•|x|，画出它的图象，讨论t的范围，结合图象求出g（x）在[t，2]上的最值．（3）如果函数y=f（x）的图象上存在符合要求的点，设为P（m，n2），从而4n2﹣（2m+1）2=43，由此求得m、n的值，从而得出结论．解答：解：（1）∵二次函数y=f（x）=x2+bx+c的图象过点（1，13），且函数对称轴方程为x=﹣，∴∴b=1，c=11∴f（x）=x2+x+11；（2）g（x）=[f（x）﹣x2﹣13]|x|=（x﹣2）|x|，当x≤0时，g（x）=﹣（x﹣1）2+1，当x＞0时，g（x）=（x﹣1）2﹣1，由此可知g（x）在[t，2]上的最大值 g（x）max=g （2）=0．当1≤t＜2，g（x）min =g（t）=t2﹣2t．当1﹣≤t＜1，g（x）min=g（1）=﹣1．当t＜1﹣，g（x）min=g（t）=﹣t2+2t；3）如果函数y=f（x）的图象上存在符合要求的点，设为P（m，n2），其中m为正整数，n为自然数，则m2+m+11=n2，从而4n2﹣（2m+1）2=43，即[2n+（2m+1）][2n﹣（2m+1）]=43．注意到43是质数，且2n+（2m+1）＞2n﹣（2m+1），2n+（2m+1）＞0，所以，解得mm=10，n=11因此，函数y=f（x）的图象上存在符合要求的点，它的坐标为（10，121）．点评：本题主要考查二次函数的性质应用，求二次函数在闭区间上的最值的方法，考查分类讨论、数形结合的数学思想，属于中档题．11。

浙江省高二下学期数学期末考试试卷(理科)

浙江省高二下学期数学期末考试试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2016高二下·辽宁期中) 若z= + i，且（x﹣z）4=a0x4+a1x3+a2x2+a3x+a4 ，则a2等于（）A . ﹣ + iB . ﹣3+3 iC . 6+3 iD . ﹣3﹣3 i2. （2分） (2018高三上·湖南月考) 在的展开式中，的系数为（）A . －320B . －160C . 160D . 3203. （2分）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的体积为（）A .B .C . 1D .4. （2分） (2016高二上·黄骅期中) 已知变量x，y的取值如表所示：x456y867如果y与x线性相关，且线性回归方程为，则的值为（）A . 1B .C .D .5. （2分）以下四个命题中是真命题的是（）A . 对分类变量x与y的随机变量k2的观测值k来说，k越小，判断“x与y有关系”的把握程度越大B . 两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于0C . 若数据x1 ， x2 ， x3 ，…，xn的方差为1，则2x1 ， 2x2 ， 2x3 ，…，2xn的方差为2D . 在回归分析中，可用相关指数R2的值判断模型的拟合效果，R2越大，模型的拟合效果越好．6. （2分） (2016高二下·惠阳期中) 在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为（）A . 60B . 75C . 105D . 1207. （2分） (2017高一上·威海期末) 如图，O为正方体ABCD﹣A1B1C1D1底面ABCD的中心，则下列直线中与D1O垂直的是（）A . B1CB . AA1C . ADD . A1C18. （2分）函数f（x）=（1﹣x）|x﹣3|在（﹣∞，a]上取得最小值﹣1，则实数a的取值范围是（）A . （﹣∞，2]B . [2-,2]C . [2,2+]D . [2，+∞）9. （2分） (2019高一上·永嘉月考) 生产一定数量商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品万件时的生产成本为（万元），商品的售价是每件20元，为获取最大利润(利润收入成本)，该企业一个月应生产该商品数量为（）A . 万件B . 万件C . 万件D . 万件10. （2分）(2019·昌平模拟) 一次数学竞赛，共有6道选择题，规定每道题答对得5分，不答得1分，答错倒扣1分．一个由若干名学生组成的学习小组参加了这次竞赛，这个小组的人数与总得分情况为（）A . 当小组的总得分为偶数时，则小组人数一定为奇数B . 当小组的总得分为奇数时，则小组人数一定为偶数C . 小组的总得分一定为偶数，与小组人数无关D . 小组的总得分一定为奇数，与小组人数无关11. （2分）(2017·宁波模拟) 从1，2，3，4，5这五个数字中选出三个不相同数组成一个三位数，则奇数位上必须是奇数的三位数个数为（）A . 12B . 18C . 24D . 3012. （2分）设实数x，y满足约束条件则z=x+2y的最小值为（）A . 5B . 3C . 1D . ﹣1二、二.填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2014·四川理) 以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ（x）组成的集合：对于函数φ（x），存在一个正数M，使得函数φ（x）的值域包含于区间[﹣M，M]．例如，当φ1（x）=x3 ，φ2（x）=sinx时，φ1（x）∈A，φ2（x）∈B．现有如下命题：①设函数f（x）的定义域为D，则“f（x）∈A”的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f（a）=b”；②函数f（x）∈B的充要条件是f（x）有最大值和最小值；③若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）+g（x）∉B．④若函数f（x）=aln（x+2）+ （x＞﹣2，a∈R）有最大值，则f（x）∈B．其中的真命题有________．（写出所有真命题的序号）14. （1分） (2017高二下·濮阳期末) 已知随机变量ξ服从正态分布N（0，1），若P（ξ＞1）=a，a为常数，则P（﹣1≤ξ≤0）=________．15. （1分） (2018高二下·枣庄期末) 先阅读下面的文字：“求的值时，采用了如下的方式：令，则有，两边平方，可解得（负值舍去）”.那么，可用类比的方法，求出的值是________．16. （1分） (2018高二上·陆川期末) 已知命题，命题，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是________ .三、解答题 (共6题；共55分)17. （10分） (2018高三上·广东月考) 某百货商店今年春节期间举行促销活动，规定消费达到一定标准的顾客可进行一次抽奖活动，随着抽奖活动的有效开展，参与抽奖活动的人数越来越多，该商店经理对春节前天参加抽奖活动的人数进行统计，表示第天参加抽奖活动的人数，得到统计表格如下：123456758810141517（1）经过进一步统计分析，发现与具有线性相关关系．请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；（2）该商店规定：若抽中“一等奖”，可领取600元购物券；抽中“二等奖”可领取300元购物券；抽中“谢谢惠顾”，则没有购物券．已知一次抽奖活动获得“一等奖”的概率为，获得“二等奖”的概率为．现有张、王两位先生参与了本次活动，且他们是否中奖相互独立，求此二人所获购物券总金额的分布列及数学期望．参考公式：，，，．18. （10分）在四棱锥P﹣ABCE中，PA⊥底面ABCE，CD⊥AE，AC平分∠BAD，G为PC的中点，PA=AD=2，BC=DE，AB=3，CD=2 ，F，M分别为BC，EG上一点，且AF∥CD．（1）求的值，使得CM∥平面AFG；（2）求直线CE与平面AFG所成角的正弦值．19. （5分） (2019高二下·南昌期末) 已知的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是．（Ⅰ）求展开式中各项二项式系数的和；（Ⅱ）求展开式中中间项．20. （10分）(2017·南通模拟) 如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，平面A1ABB1⊥平面ABCD，且∠ABC= ．（1）求证：BC∥平面AB1C1；（2）求证：平面A1ABB1⊥平面AB1C1 ．21. （10分） (2020高二下·三水月考) 近年来，共享单车已经悄然进入了广大市民的日常生活，并慢慢改变了人们的出行方式.为了更好地服务民众，某共享单车公司在其官方中设置了用户评价反馈系统，以了解用户对车辆状况和优惠活动的评价.现从评价系统中选出200条较为详细的评价信息进行统计，车辆状况的优惠活动评价的列联表如下：对优惠活动好评对优惠活动不满意合计对车辆状况好评10030130对车辆状况不满意403070合计14060200（1）能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为优惠活动好评与车辆状况好评之间有关系？（2）为了回馈用户，公司通过向用户随机派送每张面额为0元，1元，2元的三种骑行券.用户每次使用扫码用车后，都可获得一张骑行券.用户骑行一次获得元券，获得2元券的概率分别是，，且各次获取骑行券的结果相互独立.若某用户一天使用了两次该公司的共享单车，记该用户当天获得的骑行券面额之和为X，求随机变量X的分布列和数学期望.参考数据：0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.001k 2.072 2.706 3.84150.42 6.6357.84910.828参考公式：，其中 .22. （10分） (2017高二下·保定期末) 已知函数f（x）=|tx﹣2|﹣|tx+1|，a∈R．（1）当t=1时，解不等式f（x）≤1；（2）若对任意实数t，f（x）的最大值恒为m，求证：对任意正数a，b，c，当a+b+c=m时，≤m．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、二.填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共55分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：第21 页共21 页。

浙江省宁波效实中学高二数学下学期期末考试试题理（含解析）

浙江效实中学2021—2021学年度下学期期末考试高二数学理试题【试卷综析】本试卷是高二第二学期期末试卷，考查了高一、高二全数内容.以基础知识和大体技术为载体，以能力测试为主导，在注重考查学科核心知识的同时，突出考查考纲要求的大体能力，重视学生科学素养的考查.知识考查注重基础、注重常规、注重骨干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：不等式性质、大体不等式、解不等式、函数的性质及图象、函数解析式的求法、正弦定理和余弦定理的应用、三角函数的概念、三角恒等变换、三角函数的图象、命题及命题之间的关系、复数等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷. 说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部份，共100分．第Ⅰ卷（选择题共30分）一、选择题：本大题共10小题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中只有一项为哪一项符合题目要求的．1．已知i 是虚数单位，那么2(12)i -=（A ）34i -+ （B ）34i -- （C ）52i - （D ）54i - 【知识点】复数的代数运算【答案解析】B 解析：解：2(12)i -=1－4－4i=－3－4i ，因此选B. 【思路点拨】复数的代数运算是常考知识点，熟练把握复数的代数运算法那么是解题的关键.2．假设α是第二象限角，且1tan()2πα-=，那么3cos()2πα-=（A ）（B ）2- （C ）（D ）5-【知识点】诱导公式，同角三角函数大体关系式【答案解析】D 解析：解：因为1tan()2πα-=，得tan α=－12，而3cos()2πα-=－sin α＜0，因此排除A 、C ，由正切值可知该角不等于23π，那么排除B ，因此选D【思路点拨】碰到三角函数问题，有诱导公式特点的应先用诱导公式进行化简，能用排除法解答的优先用排除法解答.3．已知132a -=，21211log ,log 33b c ==，那么（A ）c a b >> （B ）a c b >> （C ）a b c >> （D ）c b a >> 【知识点】【答案解析】A 解析：解：【思路点拨】4．以下函数中最小正周期是π的函数是（A ）sin cos y x x =+ （B ）sin cos y x x =- （C ）sin cos y x x=- （D ）sin cos y x x=+【知识点】三角函数的最小正周期【答案解析】C 解析：解：A 、B 选项由化一公式可知最小正周期为2π，C 选项把绝对值内的三角函数化成一个角，再结合其图象可知最小正周期为π，D 选项可验证2π为其一个周期，综上可知选C.【思路点拨】求三角函数的最小正周期经常使用方式有公式法和图象法，公式法确实是把三角函数利用三角公式化成一个角的三角函数，再利用公式计算，当化成一个角的三角函数不方便时，如绝对值函数，可用图象观看判定.5．函数()sin()=+f x A x ωϕ（其中0,||2><A πϕ）的图象如下图，为了取得()sin 2=g x x 的图象，那么只要将()f x 的图象（A ）向右平移12π个单位长度（B ）向右平移6π个单位长度（C ）向左平移6π个单位长度（D ）向左平移12π个单位长度【知识点】函数()sin()=+f x A x ωϕ图象的应用，图象的平移变换.【答案解析】B 解析：解：由图象得A=1，又函数的最小正周期为74123πππ⎛⎫-⨯= ⎪⎝⎭，因此22πωπ==，将最第5题小值点代入函数得7sin 2112πϕ⎛⎫⨯+=- ⎪⎝⎭，解得()732,2623k k k Z πππϕπϕπ+=+=+∈，又23ππϕϕ<，所以=，那么()sin 2sin 236f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，显然()sin 2=g x x 是函数f （x ）用6x π-换x 取得，因此是将()f x 的图象向右平移了6π个单位，选B.【思路点拨】由三角函数图象求函数解析式，关键是明白得A ，ω，φ与函数图象的对应关系，判定函数图象的左右平移确实是判定函数解析式中x 的转变.6．已知22ππθ-<<，且sin cos 5θθ+=，那么tan θ的值为（A ）3- （B ）3或13 （C ）13- （D ）3-或13-【知识点】同角三角函数大体关系式、三角函数的性质【答案解析】C 解析：解：因为0＜sin cos 5θθ+=＜1，而22ππθ-<<，得04πθ-<<，因此1tan 0θ-<<，那么选C【思路点拨】熟悉sin cos θθ+的值与其角θ所在象限的位置的对应关系是此题解题的关键. 7．ABC ∆中，,2,45a x b B ==∠=，那么“2x <<ABC ∆有两个解”的（A ）充分没必要要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分又没必要要条件【知识点】解三角形，充分条件、必要条件，充要条件的判定【答案解析】B 解析：解：假设三角形有两解，则以C 为圆心，半径为2的圆与BA 有两个交点，因为相切a=22sin 45=，通过点B时a=2，因此三角形有两解的充要条件为2x<<，那么假设2x <<角形不必然有两解，但三角形有两解，那么必有2x <<2x <<ABC ∆有两个解”的必要非充分条件，选B.【思路点拨】判定充要条件时，可先明确命题的条件和结论，假设由条件能推出结论成立，那么充分性知足，假设由结论能推出条件，那么必要性知足.8．已知函数1)(-=x e x f ，34)(2-+-=x x x g ，假设存在实数,a b ，知足)()(b g a f =，那么b 的取值范围是（A ）)3 ,1( （B ）]3 ,1[ （C ）)22 ,22(+- （D ）]22 ,22[+- 【知识点】函数的值域的应用，一元二次不等式的解法.【答案解析】C 解析：解：因为函数1)(-=xe xf 的值域为（－1，+∞），假设存在实数,a b ，知足)()(bg a f =，那么2431b b -+->-，解得22b <<+ C.【思路点拨】利用函数的图象解题是经常使用的解题方式，此题假设存在实数,a b ，知足)()(b g a f =，由两个函数的图象可知，g （b ）应在函数1)(-=xe xf 的值域为（－1，+∞）的值域内. 9．已知)(x f y =是概念在R 上的奇函数，且)2()2(x f x f -=+ππ，关于函数)(x f y =，给出以下几个结论：①)(x f y =是周期函数； ②π=x 是)(x f y =图象的一条对称轴；③)0,(π-是)(x f y =图象的一个对称中心；④当2π=x 时，)(x f y =必然取得最大值．其中正确结论的序号是（A ）①③ （B ）①④ （C ）①③④ （D ）②④ 【知识点】奇函数，函数的周期性，函数图象的对称性【答案解析】A 解析：解：当f （x ）=－sinx 时，显然知足)(x f y =是概念在R 上的奇函数，且)2()2(x f x f -=+ππ，但当2π=x 时，)(x f y =取得最小值，因此④错排除B 、C 、D ，那么选A.【思路点拨】在选择题中，适当的利用特例法进行排除判定，可达到快速解题的目的.10)(x f y =)(x g y =集合A={x b ，，假设121<<t ，则b a -（A ）1- D ）2【答案解析】A 解析：解：由图象可知假设f （x ）=0，那么x 有3个解，别离为33,0,22x x x =-==，假设g （x ）=0，那么x 有3个解，不妨设为x=n ，x=0，x=-n ，（0＜n ＜1），由f （g （x ）-t ）=0得g （x ）-t=32，或g （x ）-t=0，或g （x ）-t=32-，即()()()3322g x t g x t g x t =+==-或或，当121<<t 时，由g （x ）=t ，得x 有3个解；()311,22g x t ⎛⎫=-∈-- ⎪⎝⎭，现在x 有3个解；()352,22g x t ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，现在方程无解．因此a=3+3=6．由g （f （x ）-t ）=0得f （x ）-t=n ，或f （x ）-t=0或f （x ）-t=-n ．即f （x ）=t+n ，或f （x ）=t ，或f （x ）=t-n ．假设f （x ）=t ，因为121<<t ，因此现在x 有4个解；假设f （x ）=t+n ，因为121<<t ，0＜n ＜1，因此假设0＜n ＜12，那么12＜t+n ＜32，现在x 有4个解或2解或0个解，对应f （x ）=t-n ∈（0，1）有4个解，现在b=4+4+4=12或b=4+2+4=10，或b=4+0+4=8；假设12≤n ＜1，那么1＜t+n ＜2，现在x 无解．对应f （x ）=t-n ∈11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，对应的有2个解或3解或4个解．因此现在b=4+2=6或b=4+3=7或b=4+4=8．综上b=12或10或8或6或7．那么b －a=0或1或2或4或6，因此选项A 不可能，应选A 【思路点拨】判定复合函数的零点，可从外往里进行判定，注意充分利用图象先确信各自的零点或零点的范围，再由对应的函数值的范围确信复合函数零点个数. 第Ⅱ卷（非选择题共70分）二、填空题：本大题共7小题，每题3分，共21分．11．假设α的终边所在直线通过点33(cos,sin )44P ππ，那么sin α=__ ▲ _．【知识点】三角函数概念【答案解析】2±解析：解：由已知得直线通过二、四象限，假设α的终边在第二象限，因为点P 到原点的距离为1，那么3sin sin42πα==，假设α的终边在第四象限，那么α的终边通过点P 关于原点的对称点,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，因此sin 2α=-，综上可知sin α=.【思路点拨】一样已知角的终边位置求角的三角函数值通常利用三角函数的概念求值，此题应注意所求角终边所在的象限有两个.12．已知在ABC ∆中，tan tan tan A B A B ++=⋅，那么角C =__ ▲ _．【知识点】两角和的正切公式【答案解析】60解析：解：由tan tan tan A B A B++=⋅得()tan tantan tan tan tan tan 1tan tan A BA B A B C A B A B ++=⋅=-+=-=-⋅则C 为三角形内角，因此C=60°【思路点拨】一样碰到两角的正切和与正切积的关系，可考虑利用两角和的正切公式进行转化.13．函数214cos y x =+的单调递增区间是__ ▲ _．【知识点】余弦函数的性质【答案解析】()[,]2k k k Z πππ-∈解析：解：因为214cos 2cos 23y x x =+=+，由()222,2k x k k x k k Z ππππππ-≤≤-≤≤∈得，因此所求函数的单调递增区间为()[,]2k k k Z πππ-∈.【思路点拨】一样求三角函数的单调区间，先把三角函数化成一个角的函数，再结合其对应的大体三角函数的单调区间与复合函数的单调性规律解答.14．已知函数()222,02,0x x x f x x x x ⎧+<=⎨-≥⎩，假设()()0f a f a -+≤，那么a 的取值范围是__ ▲ _．【知识点】分段函数、二次不等式解法【答案解析】[2,2]-解析：解：当a ＜0时，由()()0f a f a -+≤得22222240a a a a a a +++=+≤，解得－2≤a ＜0，当a ≥0时得22222240a a a a a a -+-=-≤，解得0≤a ≤2，综上得a 的取值范围是[2,2]-. 【思路点拨】关于分段函数解不等式，可分段解不等式再求各段上解集的并集.15．方程24cos sin 40x x m ++-=恒有实数解，那么实数m 的取值范围是__ ▲ _．【知识点】二次函数的图象与性质【答案解析】[0,8]解析：解：由24cos sin 40x x m ++-=得()22cos 4cos 3cos 21m x x x =-+=--，因为()[]2cos 210,8x --∈，因此假设方程有实数解，那么m 的范围是[0,8]【思路点拨】一样碰到方程有实数解问题，可通过度离参数法转化为求函数的值域问题进行解答.16．在ABC ∆中，已知sin sin cos sin sin cos sin sin cos A B C A C B B C A ⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅，假设,,a b c 别离是角,,A B C 所对的边，那么2c ab 的最小值为__ ▲ _．【知识点】正弦定理、余弦定理、大体不等式【答案解析】23解析：解：因为sin sin cos sin sin cos sin sin cos A B C A C B B C A ⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅，由正弦定理及余弦定理得222222222222a b c a c b b c a ab ac bc ab ac bc +-+-+-⨯=⨯+⨯，整理得22232c a b ab =+≥，因此223c ab ≥，当且仅当a=b 时等号成立.即2c ab 的最小值为23.【思路点拨】因为寻求的是边的关系，因此可别离利用正弦定理和余弦定理把角的正弦和余弦化成边的关系，再利用大体不等式求最小值.17．假设直角坐标平面内两点,P Q 知足条件：①,P Q 都在函数)(x f y =的图象上；②,P Q 关于原点对称，那么称(,)P Q 是函数)(x f y =的一个“伙伴点组”（点组(,)P Q 与(,)Q P 看做同一个“伙伴点组”）．已知函数2(1),0()1,0k x x f x x x +<⎧=⎨+≥⎩有两个“伙伴点组”，那么实数k 的取值范围是__ ▲ _．【知识点】一元二次方程根的散布，对称问题【答案解析】2k >+(m ，n)为函数当x ≥0时图象上任意一点，假设点(m ，n)是函数)(x f y =的一个“伙伴点组”中的一个点，那么其关于原点的对称点(－m ，－n)必在该函数图象上，得()211n m n k m ⎧=+⎪⎨-=-+⎪⎩，消去n 得210m km k -++=，假设函数有两个“伙伴点组”，那么该方程有2个不等的正实数根，得()2410010k k k k ⎧∆=-+>⎪>⎨⎪+>⎩，解得2k >+【思路点拨】关于新概念题，读懂题意是解题的关键，此题通过条件最终转化为一元二次方程根的散布问题进行解答.三、解答题：本大题共5小题，共49分．解许诺写出文字说明，证明进程或演算步骤．18．已知0a >且1a ≠，设:P 函数x y a =在R 上单调递减，:Q 函数2ln(1)y x ax =++的概念域为R ，假设P 与Q 有且仅有一个正确，求a 的取值范围．【知识点】命题真假的判定，指数函数与对数函数的性质的应用【答案解析】12a <<解析：解：假设命题P 为真，那么0＜a ＜1；假设命题Q 为真，那么△=240a -<，得－2＜a ＜2，又因为0a >且1a ≠，因此0＜a ＜2且1a ≠，若P 与Q 有且仅有一个正确，则12a <<.【思路点拨】判定复合命题的真假可先判定组成复合命题的大体命题的真假，假设两个命题有且仅有一个正确，可从使两个命题为真的实数a 的范围的并集中去掉交集即可求得实数a 的范围. 19．ABC ∆中，内角,,A B C 的对边别离为,,a b c，已知60,1a A b c ==-=，求,b c 和,B C ．【知识点】余弦定理、正弦定理【答案解析】12b c ==；75,45B C ==解析：解：由余弦定理得()22264b c bc b c bc bc=+-=-+=-，即2112bc b c =+=+=联立得，又sinC=sin 2A c a ⨯==，由c ＜a ，得C ＜A ，因此C 为锐角，那么45C =，因此B=180°－C －A=75°.【思路点拨】在解三角形问题中，结合已知条件适当的选择余弦定理或正弦定理进行转化是解题的关键.20．已知函数x x x x f cos sin 2cos 2)(2+=．（Ⅰ）求()12f π的值；（Ⅱ）记函数ππ()()()44g x f x f x =-⋅+，假设[,]123x ππ∈，求函数)(x g 的值域．【知识点】三角恒等变换、正弦函数的性质的应用【答案解析】（Ⅰ）32（Ⅱ）[,1]2-解析：解：（Ⅰ）因为x x x f 2sin 2cos 1)(++=，因此13()1122222f π=++=+；（Ⅱ）ππ()()()(1sin 2cos 2)(1sin 2cos 2)44g x f x f x x x x x =-⋅+=+-⋅-+ ∵[,]123x ππ∈ ∴44[,]33x ππ∈∴()sin 4[g x x =∈因此)(x g的值域为[2-【思路点拨】研究三角函数的性质，一样先利用三角恒等变换把函数化成一个角的三角函数，再进行解答. 21．已知函数()()2log 1f x x =+.（Ⅰ）假设()()10f x f x +->成立，求x 的取值范围；（Ⅱ）假设概念在R 上奇函数)(x g 知足()()2g x g x +=-，且当01x ≤≤时，)()(x f x g =，求()g x 在[]3,1--上的解析式，并写出()g x 在[]3,3-上的单调区间（没必要证明）；（Ⅲ）关于（Ⅱ）中的()g x ，假设关于x 的不等式321()()822x x t g g +-≥-+在R 上恒成立，求实数t 的取值范围．【知识点】对数不等式的解法、函数解析式的求法、奇函数、不等式恒成立问题【答案解析】（Ⅰ）12x x x ⎧⎫⎪⎪∈>⎨⎬⎪⎪⎩⎭；（Ⅱ）()22log (1)(32)log (3)(21)x x g x x x ---≤≤-⎧=⎨-+-<≤-⎩()g x 在[]3,1--和[]1,3上递减；()g x 在[]1,1-上递增；（Ⅲ）420t -≤≤解析：解：（Ⅰ）由()()10f x f x +->得()2221log 1log 010x x x x x x ⎧+>⎪++>0>⎨⎪+>⎩，得，解得x >，因此x 的取值范围是12x x x ⎧⎫⎪⎪∈>⎨⎬⎪⎪⎩⎭；（Ⅱ）当－3≤x ≤－2时，g(x)=－g(x+2)=g(－x －2) =f(－x －2)=()()22log 21log 2x x --+=--，当－2＜x ≤－1时，g(x)=－g(x+2)=－f(x+2)=－()2log 3x +，综上可得()22log (1)(32)log (3)(21)x x g x x x ---≤≤-⎧=⎨-+-<≤-⎩()g x 在[]3,1--和[]1,3上递减；()g x 在[]1,1-上递增；（Ⅲ）因为21113log 2222g g f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由（Ⅱ）知，假设g(x)=23log 2-，得x=32-或52x =，由函数g(x)的图象可知假设321()()822x x t g g +-≥-+在R 上恒成立记32118288(12)x x xt t u +-+==-+++ 当10t +≥时，11111(,)88(12)888xt t u ++=-+∈--++，那么11115(,)[,]88822t u +∈--+⊆- 那么115882t +-+≤ 解得120t -≤≤ 当10t +<时，11111(,)88(12)888xt t u ++=-+∈-+-+，那么 11115(,)[,]88822t u +∈-+-⊆- 那么111882t +-+≥- 解得41t -≤<- 综上，故420t -≤≤【思路点拨】解对数不等式时注意其真数的限制条件，此题中的不等式恒成立问题可结合函数的图象成立条件求范围.22．已知,a b 是实数，函数2()3f x x a =+，()2g x x b =+，假设()()0f x g x ⋅≥在区间I 上恒成立，那么称()f x 和()g x 在区间I 上为“Ω函数”．（Ⅰ）设0a >，假设()f x 和()g x 在区间[1,)-+∞上为“Ω函数”，求实数b 的取值范围；（Ⅱ）设0a <且a b ≠，假设()f x 和()g x 在以,a b 为端点的开区间上为“Ω函数”，求a b -的最大值．【知识点】不等式性质、不等式恒成立问题.【答案解析】（Ⅰ）2b ≥；（Ⅱ）13解析：解：（Ⅰ）因为()f x 和()g x 在区间[1,)-+∞上为“Ω函数”，因此()()0f x g x ⋅≥，在[1,)x ∈-+∞上恒成立，即[1,)x ∈-+∞，2(3)(2)0x a x b ++≥ ∵0a > ∴230x a +≥ ∴20x b +≥ 即2b x ≥- ∴max (2)b x ≥- ∴2b ≥（2）①当b a <时，因为()f x 和()g x 在以,a b 为端点的开区间上为“Ω函数”，因此，()()0f x g x ⋅≥在(,)x b a ∈上恒成立，即(,)x b a ∈，2(3)(2)0x a x b ++≥恒成立 0,(,),20b a x b a x b <<∴∀∈+<，2(,),3,x b a a x ∴∀∈≤-∴23b a b <≤- ∴2211133()61212a b b b b -≤--=-++≤ ②当0a b <<时，因为()f x 和()g x 在以,a b 为端点的开区间上为“Ω函数”，因此，即(,)x a b ∈，2(3)(2)0x a x b ++≥恒成立 0,(,),20b x a b x b <∴∀∈+<，2(,),3,x a b a x ∴∀∈≤- 213,0,3a a a ∴≤-∴-≤≤ ∴13b a -< ③当0a b <<时，因为()f x 和()g x 在以,a b 为端点的开区间上为“Ω函数”，因此，即(,)x a b ∈，2(3)(2)0x a x b ++≥恒成立0,b >而0x =时，2(3)(2)0x a x b ab ++=<不符合题意，④当0a b <=时，由题意：(,0)x a ∈，22(3)0x x a +≥恒成立∴230x a +≤ ∴103a -≤<∴13b a -≤ 综上可知，max 13a b -=．【思路点拨】一样碰到不等式恒成立求参数范围问题，通常分离参数转化为求函数的最值问题，此题注意分类讨论在解题中的应用.。

【新结构】2023-2024学年浙江省宁波市高二下学期期末考试数学试题+答案解析

【新结构】2023-2024学年浙江省宁波市高二下学期期末考试数学试题❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合，，，则A. B. C. D.2.已知复数，则的虚部为()A. B. C. D.3.已知角的终边过点，则A. B. C. D.4.已知，为单位向量，则“”是“”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.对于直线m，n和平面，，下列说法错误．．的是()A.若，，m，n共面，则B.若，，m，n共面，则C.若，且，则D.若，且，则6.若，则A. B. C. D.7.袋子中有n个大小质地完全相同的球，其中4个为红球，其余均为黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，已知摸出的2个球都是红球的概率为，则两次摸到的球颜色不相同的概率为()A. B. C. D.8.颐和园的十七孔桥，初建于清乾隆年间；永定河上的卢沟桥，始建于宋代；四川达州的大风高拱桥，修建于清同治7年．这些桥梁屹立百年而不倒，观察它们的桥梁结构，有一个共同的特点，那就是拱形结构，这是悬链线在建筑领域的应用．悬链线出现在建筑领域，最早是由十七世纪英国杰出的科学家罗伯特胡克提出的，他认为当悬链线自然下垂时，处于最稳定的状态，反之如果把悬链线反方向放置，它也是一种稳定的状态，后来由此演变出了悬链线拱门，其中双曲余弦函数就是一种特殊的悬链线函数，其函数表达式为，相应的双曲正弦函数的表达式为若关于x 的不等式对任意的恒成立，则实数m 的取值范围为A.B.C.D.二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知平面向量，，则A.当时，B.若，则C.若，则D.若与的夹角为钝角，则10.已知函数是奇函数，则下列说法正确的是A. B.无解C.是减函数D.11.如图，点P 是棱长为3的正方体的表面上一个动点，，，平面AEF ，则下列说法正确的是A.三棱锥的体积是定值B.存在一点P ，使得C.动点P 的轨迹长度为D.五面体的外接球半径为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

浙江省宁波市高二数学下学期期末考试试题理(1)

浙江省宁波市2021-2021学年高二数学下学期期末考试试题理选择题部份 (共50分)一、选择题:本大题共10小题,每题5分,共50分.在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的. 1.已知集合22{|20},{|l g (1)}A x x x B x y o x =-≤==-,则A B = （）A ．{|12}x x ≤<B ．{|12}x x <<C ．{|12}x x <≤D ．{|12}x x ≤≤2.已知,a b R ∈,若a b >,那么以下不等式成立的是（） A ．lg lg a b > B ．0.50.5ab> C ．1122a b > D ．33a b >3.已知,a b R ∈,那么“222a b ab+≤-”是“0,b 0a ><且”的（）A ．必要不充分条件B ．充要条件C ．充分没必要要条件D ．既不充分也没必要要条件4.已知m l 、是空间中两条不同直线,αβ、是两个不同平面,且,m l αβ⊥⊂,给出以下命题： ①假设//αβ，那么m l ⊥； ②假设αβ⊥，那么//m l ; ③假设m l ⊥，那么//αβ； ④假设//m l ，那么αβ⊥其中正确命题的个数是（）A. 1B. 2C ．3D ．45.将函数()2sin(2)4f x x π=+的图象向右平移(0)ϕϕ>个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原先的12倍(纵坐标不变),所得图象关于直线4x π=对称,则ϕ的最小值为（） A ．34π B ．12πC ．38πD ．18π 6.以下四个图中,函数10ln 11x y x +=+的图象可能是（）7.已知双曲线2222:1(,0)x y C a b a b-=>的左、右核心别离为1F ，2F ,过2F 作双曲线C 的一条渐近线的垂线,垂足为H ,假设2F H 与双曲线C 的交点M 恰为2F H 的中点,那么双曲线C 的离心率为( )A ．2B ．3 C ．2 D ．38.如下图,O 为ABC ∆的外接圆圆心,10,4AB AC ==,BAC ∠为钝角,M 是边BC 的中点,那么AM AO ⋅= （）A ．21B ．29C ．25D ．409.已知概念在R 上的函数()f x 知足:()[)[)()()222,0,1,22,1,0,x x f x f x f x x x ⎧+∈⎪=+=⎨-∈-⎪⎩且，()252x g x x +=+,那么方程()()f x g x =在区间[]5,1-上的所有实根之和为 ( )A ．8-B ． 7-C ．6-D ．0 10.对数列{}n a ,若是*12,,,,k k N R λλλ∃∈∈及1122,n k n k n k k n a a a a λλλ++-+-=+++使成立,*n N ∈其中,那么称{}n a 为k 阶递归数列．给出以下三个结论： ①若{}n a 是等比数列,则{}n a 为1阶递归数列； ②若{}n a 是等差数列,那么{}n a 为2阶递归数列；③假设数列{}n a 的通项公式为a n =n 2,那么{}n a 为3阶递归数列．其中正确结论的个数是 ( ) A ．0B ．1C ．2D ．3非选择题部份 (共100分)二、填空题:本大题共7小题,每题4分,共28分. 11.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,假设24612a a a ++=, 则7S 的值是．12.一个几何体的三视图如右图所示,那么该几何体的体积为 .13.过点(4,2)P 作圆224x y +=的两条切线,切点别离为,A B ,O 为坐标原点,那么OAB ∆的外接圆方程是．14.设0cos 420a =,函数,0,()log ,0,x a a x f x x x ⎧<=⎨≥⎩,则211()(log )46f f +的值等于．15.已知不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥-≤+011y y x y x 所表示的平面区域为D ,假设直线k kx y 3-=与平面区域D 有公共点,那么k 的取正视图侧视图俯视图(第12题图)值范围为 .16.若是关于x 的不等式()0f x <和()0g x <的解集别离为(,)a b 和11(,)b a,那么称这两个不等式为对偶不等式.若是不等式243cos 220x x θ-⋅+<与不等式224sin 210x x θ+⋅+<为对偶不等式,且(,)2πθπ∈,那么cos θ=_______________.17.已知不等式组22021x x a a x a ⎧-+-<⎨+>⎩的整数解恰好有两个,求a 的取值范围是．三、解答题:本大题共5小题,共72分.解许诺写出文字说明、证明进程或演算步骤. 18.(此题总分值14分)已知函数()2sin sin ,63f x x x x R ππ⎛⎫⎛⎫=-+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （I ）求函数()f x 的最小正周期；（II ）在ABC ∆中,假设角ABBCC f 求满足锐角,21)62(C ,4A =+=ππ的值. 19.(此题总分值14分)在如下图的空间几何体中,平面⊥ACD 平面ABC ,ACD ∆与ACB ∆均是边长为2的等边三角形,2=BE ,直线BE 和平面ABC 所成的角为︒60,且点E在平面ABC 上的射影落在ABC ∠的平分线上．（I ）求证://DE 平面ABC ；（II ）求二面角A BC E --的余弦值． 20.(此题总分值14分)数列{}n a 是公比为21的等比数列,且21a -是1a 与31a +的等比中项,前n 项和为n S ;数列{}n b 是等差数列,1b =8,其前n 项和n T 知足1n n T n b λ+=⋅(λ为常数,且λ≠1)．（I ）求数列{}n a 的通项公式及λ的值；（II ）比较1231111nT T T T ++++与12n S 的大小． 21.(此题总分值15分)函数()log (3)(0,1)a f x x a a a =->≠且,当(,)P x y 是函数()y f x =图象上的点时,(,)Q x a y --是函数()y g x =图象上的点. （I ）求函数()y g x =的解析式；（II ）当[3,4]x a a ∈++时,恒有()()1f x g x -≤,试确信a 的取值范围.22.(此题总分值15分)如图,F 1、F 2是离心率为22的椭圆C ：22221x y a b +=(a ＞b ＞0)的左、右核心,直线l ：x ＝－1将线段F 1F 2分成两段,其长度之比为1 : 3.设A 、B 是椭圆C 上的两个动点,线段AB 的中垂线与椭圆C 交于P 、Q 两点,线段AB 的中点M 在直线（I ）求椭圆C 的方程；（II ）求22F P F Q 的取值范围．(第22题图)宁波市八校联考高二数学（理科）参考答案18.已知函数()2sin sin ,63f x x x x R ππ⎛⎫⎛⎫=-+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（I ）求函数()f x 的最小正周期；（II ）在ABC ∆中，假设ABBCC f 求满足锐角,21)62(C ,4A =+=ππ的值. π2sinsin 42 2.π1sin sin 62BC A AB C ==== ……………14分（Ⅱ）解法一：作BC FG ⊥，垂足为G ，连接EG ， ∵EF ⊥平面ABC ，∴BC EF ⊥，又F FG EF = ， ∴⊥BC 平面EFG ，∴BC EG ⊥，2013学年∴EGF ∠确实是二面角A BC E --的平面角 …………10分EFG Rt ∆中，2130sin =︒⋅=FB FG ， 3=EF ，213=EG ．∴1313cos ==∠EG FG EGF ．即二面角A BC E --的余弦值为1313．…………14分解法二：成立如下图的空间直角坐标系xyz O -，可知平面ABC 的一个法向量为)1,0,0(1=n 设平面BCE 的一个法向量为),,(2z y x n =那么，⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅022BE n BC n 可求得)1,3,3(2-=n ． ……………10分因此1313||||,cos 212121=⋅⋅>=<n n n n n n ，因此二面角A BC E --的余弦值为1313． …………14分 20.数列{a n }是公比为21的等比数列，且1-a 2是a 1与1+a 3的等比中项，前n 项和为S n ；数列{b n }是等差数列，b 1=8，其前n 项和T n 知足T n =n λ·b n+1(λ为常数，且λ≠1)． (I)求数列{a n }的通项公式及λ的值； (Ⅱ)比较11T +21T +31T +…+n T 1与21S n 的大小． 21.函数f (x )=log a (x －3a )(a ＞0,且a ≠1),当点P （x ,y )是函数y =f (x )图象上的点时，Q (x －a ,－y )是函数y =g (x )图象上的点.（Ⅰ）写出函数y =g (x )的解析式.（Ⅱ）当x ∈［a +3,a +4］时，恒有f (x )－g (x )≤1,试确信a 的取值范围. 解:（Ⅰ）设P (x 0,y 0)是y =f (x )图象上点，Q （x ,y ）,则⎩⎨⎧-=-=00y y ax x ，∴⎩⎨⎧-=+=yy a x x 00 ∴－y =log a (x +a －3a )，∴y =log a a x 21- (x ＞2a ) ----------- 5分（2）令]4)25[(log )]3)(2[(log )()()(22a a x a x a x x g x f x a a --=--=-=ϕ由⎩⎨⎧>->-,03,02a x a x 得a x 3>，由题意知a a 33>+，故23<a ，从而53(3)(2)022a a a +-=->，故函数4)25()(22a a x x --=δ在区间]4,3[++a a 上单调递增 ------------------8分等价于不等式1)16122(log 2≤+-a a a 成立，从而a a a ≤+-161222，即0161322≤+-a a ，解得4411344113+≤≤-a ．易知2344113>-，因此不符合． -----------------------14分综上可知：a 的取值范围为(0,1)． ----------------------------15分 22. (此题总分值15分) 如图，F 1，F 2C ：22221x y a b +=(a ＞b ＞0)的左、右核心，直线l ：x ＝－1其长度之比为1 : 3．设A，B 是C 上的两个动点，线段AB 于P ，Q 两点，线段AB 的中点M 在直线l 上．（I ）求椭圆C 的方程；（II ）求22F P F Q ⋅的取值范围．(Ⅰ) 设F 2(c ，0)，那么11c c -+＝13，因此c ＝2．因为离心率e 因此a ＝因此椭圆C 的方程为22184x y +=． ………… 6分 (Ⅱ) 当直线AB 垂直于x 轴时，直线AB 方程为x ＝－1，现在P(22-，0)、Q(22,0)224F P F Q ⋅=-．(第22题(第22题当直线AB 不垂直于x 轴时，设直线AB 的斜率为k ，M (－1，m ) (m ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由 221122221,841,84x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 得 (x 1＋x 2)＋2(y 1＋y 2)1212y y x x -⋅-＝0，则－1＋2mk ＝0，故k ＝12m． ………… 8分现在，直线PQ 斜率为m k 21-=，PQ 的直线方程为)1(2+-=-x m m y ．即 m mx y --=2．联立⎪⎩⎪⎨⎧=+--=148222y x m mx y 消去y ，整理得 2222(81)8280m x m x m +++-=．因此 2122881m x x m +=-+，21222881m x x m -=+．………… 10分。

浙江省宁波市2020年(春秋版)数学高二下学期理数期末考试试卷(I)卷

浙江省宁波市2020年（春秋版）数学高二下学期理数期末考试试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)2. （2分）已知复数，则它的模（）A .B .C .D . 113. （2分）回归直线方程，其中a=3,样本中心点为（1,2 ）则回归直线方程为（）A . y=x+3B . y=-x+3C . y=-2x+3D . y=x-34. （2分）若“”是“”的充分而不必要条件，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .5. （2分）等比数列的前n项和为，若，，则（）A . 15D . 606. （2分） (2018高一上·兰州期末) 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中圆的直径为4，该几何体的表面积为（）A .B .C .D .7. （2分）(2018·银川模拟) 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的的值等于（）A .D .8. （2分）抛物线的焦点到准线的距离是（）A . 1B . 2C . 4D . 89. （2分）(2017·三明模拟) 函数的图象大致是（）A .B .C .D .10. （2分）已知直线l,m，平面，且，给出四个命题：①若∥，则；②若，则∥；③若，则l∥m；④若l∥m，则．其中真命题的个数是（）A . 4B . 3C . 2D . 112. （2分）已知函数，若存在a∈（0，π），使得f（x+a）=f（x﹣a）恒成立，则a 的值是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2017·昌平模拟) 已知 =（1，）， =（﹣1，0）， =（，k），若2 ﹣与垂直，则k=________．14. （1分）（x2+ ﹣2）3的展开式中常数项为________．（结果用数字表示）15. （1分） (2017高二下·安阳期中) 曲线y=﹣x3+3x2在点（1，2）处的切线方程为________．16. （1分） (2018高二下·驻马店期末) 在中，若 ,则面积的最大值为________．三、解答题 (共7题；共70分)17. （10分）(2017·惠东模拟) 已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinB+bcosA=0．（1）求角A的大小；（2）若，求△ABC的面积．18. （10分） (2016高二上·衡水期中) 如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧面A1ADD1⊥底面ABCD，D1A=D1D=，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，O为AD中点．（1）求证：A1O∥平面AB1C；（2）求锐二面角A﹣C1D1﹣C的余弦值．19. （10分） (2018高二下·鸡泽期末) 为推行“新课堂”教学法，某化学老师分别用传统教学和“新课堂”两种不同的教学方式，在甲、乙两个平行班级进行教学实验，为了比较教学效果，期中考试后，分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，结果如下表：记成绩不低于70分者为“成绩优良”．分数[50,59)[60,69)[70,79)[80,89)[90,100]甲班频数56441乙班频数13655（1）由以上统计数据填写下面2×2列联表，并判断“成绩优良与教学方式是否有关”?甲班乙班总计成绩优良成绩不优良总计（2）现从上述40人中，学校按成绩是否优良采用分层抽样的方法抽取8人进行考核．在这8人中，记成绩不优良的乙班人数为，求的分布列及数学期望．附：．临界值表20. （10分） (2017高二下·濮阳期末) 过椭圆 =1的右焦点F作斜率k=﹣1的直线交椭圆于A，B 两点，且共线．（1）求椭圆的离心率；（2）当三角形AOB的面积S△AOB= 时，求椭圆的方程．21. （15分） (2018高三上·河北月考) 已知函数 .（1）若，求函数的极值；（2）设函数，求函数的单调区间；（3）若在区间上不存在，使得成立，求实数的取值范围.22. （10分） (2018高二下·鸡泽期末) 在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，曲线的方程为 .（1）求曲线的直角坐标方程；（2）设曲线与直线交于点，若点的坐标为，求的最小值.23. （5分）(2017·河西模拟) [选修4-5：不等式选讲]已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+1|．（Ⅰ）若不等式f（x）≥a2﹣2a﹣1恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅱ）设m＞0，n＞0且m+n=1，求证：．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共70分)17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、23-1、。

浙江省宁波市2022-2023学年第二学期高二期末考试数学试卷及答案

试卷类型：A 宁波市2022学年第二学期高二期末考试试卷数学2023.06本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答题前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.A．12B．22C．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知集合{3,},{,1}A m B m m ==+，若{4}A B ⋂=，则A B ⋃=___________.14．圆心在原点且与直线40x y +-=相切的圆的方程为______________.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(1)求四棱锥B AECD -的体积；(2)若F 在侧棱BC 上，34BF BC =，求证：二面角C EF D --18．在平面四边形ABCD 中，90ABC ∠=︒，135C ∠=︒，BD (1)求cos CBD ∠；(2)若ABD △为锐角三角形，求ABD △的面积的取值范围.19．在ABC 中，角，，C 所对的边分别为a c cos A21．已知2:820p x x --求实数a 的取值范围．22．已知函数()xf x e =（1）若函数()f x 在R 上是增函数，求实数()g x f =参考答案：7．C【分析】根据函数()13,0,2232,2x x f x f x x ⎧⎡⎫+∈⎪⎪⎢⎪⎣⎭=⎨⎛⎫⎪--∈ ⎪⎪⎝⎭⎩2log y x =的图象，数形结合，求得不等式的解集【详解】根据题意当3,32x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时,()2f x =当93,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时,()3)](22[(f x f x f ==---由图象可得不等式()2log f x x >解集为1,22⎛⎫⎪⎝⎭，故选：C【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是正确的作出函数的图象，数形结合，求得不等式解集.8．B∵,,AE D E AE CE D ''⊥⊥∴⊥AE 平面D CE '．作D M CE '⊥于M ，作MN34EF EB BF EB BC =+=+ 设面CEF 的一个法向量为由1111200304y n EC x n EF =⎧⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨-+⋅=⎪⎪⎩⎩解法二：由（1∠= sin sinABD所以1sin A D BD =⋅1cos A B BD ABD ∠=⋅所以1122A BD S =⨯△又2tan A D BD ∠=⋅所以2122A BD S =⨯△因为几何体是由等高的半个圆柱和所以45ECD DCG ∠=∠=︒因为//BC EF ，BC EF =，则()0,0,0A 、()0,2,0B 、(2,0,0F ()0,2,0AB = ，()1,1,2AG =- ，FB 设平面BDF 的一个法向量为(n =r 则00n FB n FD ⎧⋅=⎨⋅=⎩，整理得2222x y x z -+⎧⎨-+=⎩令1z =，则()1,1,1n = ，（1）通过线面关系得到线面垂直，从而得到面面垂直；（2）建系，利用方程求法向量，精确计算，这是求二面角的关键.21．[9,)+∞.【分析】解不等式，由题可得{|210}x x -≤≤是{|11}x a x a -≤≤+的真子集，进而即得．【详解】由题可得2:8200210p x x x --≤⇔-≤≤，:(1)(1)0(0)11q x a x a a a x a -+--≤>⇔-≤≤+．∵p 是q 的充分不必要条件，∴{|210}x x -≤≤是{|11}x a x a -≤≤+的真子集，故有121100a a a -≤-⎧⎪+>⎨⎪>⎩或121100a a a -<-⎧⎪+≥⎨⎪>⎩，解得9a ≥，因此，所求实数a 的取值范围为[9,)+∞．22．（1）1a ≤；（2）证明见解析.【分析】（1）问题转化为()0f x '≥对R x ∀∈恒成立.求导后分离参数得到x a e x ≤-，设()x h x e x =-，利用导数研究单调性，求得最小值，根据不等式恒成立的意义得到所求范围；（2）由1x ，2x 为两个极值点不妨设12x x >，联立极值点的条件，并结合要证不等式，消去a ，将要证不等式转化为只含有1x ，2x 的不等式，适当变形转化为只含有12x x -的不等式，作换元120t x x =->，转化为关于t 的不等式，构造函数，利用导数研究单调性，进而证明即可.【详解】（1）()f x 是R 上是增函数，(),0x x R f x e x a '∴∀∈=--≥，()min x a e x ∴≤-，设()x h x e x =-则()1x h x e '=-，令()0h x '>解得0x >，()0h x '<解得0x <，故()h x 在(),0∞-单调递减，在()0+∞，单调递增，。

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