2011届高三数学生活中的优化问题2
人教A版选修1-1教案：1.4.1生活中的优化问题举例(2)(含答案)
【学情分析】：
在基本方法已经掌握的基础上，本节课重点放在提高学生的应用能力上。
【教学目标】：
1． 掌握利用导数求函数最值的基本方法。
2.提高将实际问题转化为数学问题的能力.提高学生综合、灵活运用导数的知识解决生活中问题的能
力
3．体会导数在解决实际问题中的作用.
此时房价为：18（0 元10）17 350
6、一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比,已知速度为每小时 10km,燃料费是每小时 6 元,而其他与速度无关的费用是每小时 96 元,求这艘轮船在以何种速度航行时,能使航行 1km 的费用 总和最小?
解:设船速为 x ( x >0), 航行 1km 的费用总和为 y ,设每小时燃料费为 y1 则
y1
kx3 ,Q
x
10时y1
6k
3 500
y1
3 500x3y来自3 500x3
96g1x
3 500
x2
96 x.
（其中 x
0 ）；
Q
y
6 500
x
96 x2
.
令 y 0 ,解得 x 20 .
当 0 x 20时,此y时 函0 数为减函数当时此; 时x函数20为增, y函 数0
;
x 20时函数有最小值为 66 25 ，即以每小时 20 公里的速度航行时，航行 1km 的费用总和最
sin 4 ,cot 3 , AC 50 40 cot 20km,即供水站建在 A、D 之间
5
4
距甲厂 20km 处，可使水管费用最省。
(5) 加 强巩固
2
例 3、已知某厂生产 x 件产品的成本为 C= 25000 200x 1 x2 （元），问： 40
高中数学专题1.4生活中的优化问题举例试题新人教A版选修2_2
1.4 生活中的优化问题举例1．利用导数解决优化问题生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．__________是求函数最值问题的有力工具．解决优化问题的基本思路是：K知识参考答案：1．导数K—重点利用导数解决生活中的优化问题K—难点利用导数解决利润最大、用料最省、效率最高等问题K—易错求利润最大、用料最省、效率最高等问题时，易忽略实际意义最大值问题实际生活中利润最大，容积、面积最大，流量、速度最大等问题都需要利用导数来求解相应函数的最大值．若在定义域内只有一个极值点，且在极值点附近左增右减，则此时唯一的极大值就是最大值．如图所示，在边长为60cm的正方形铁片的四角上切去相等的正方形，再把它沿虚线折起，做成一个无盖的长方体箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？【答案】箱子底边长为40cm时，容积最大，最大容积为16000cm3．【解析】设箱子的底边长为x cm，则箱子高602xh-=cm，箱子容积23260()2x x V x x h -==(060)x <<， 得23()602V x x x '=-，令()0V x '=，解得10x =（不合题意，舍去），240x =． 当x 在(0)60，内变化时，()V x '的正负如下表：因此在40x =处，函数()V x 取得极大值，并且这个极大值就是函数()V x 的最大值． 将40x =代入()V x ，得最大容积为2360404016000(cm )2-⨯=． 所以，箱子底边长为40cm 时，容积最大，最大容积为16000cm 3．【名师点睛】（1）求几何体面积或体积的最值问题，关键是分析几何体的几何特征，根据题意选择适当的量建立面积或体积的函数，然后再用导数求最值．（2）注意根据实际意义对求出的解进行取舍．最小值问题实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等问题都需要利用导数求解相应函数的最小值．用料最省、费用最低问题出现的形式多与几何体有关，解题时根据题意明确哪一项指标最省(往往要从几何体的面积、体积入手)，将这一指标表示为自变量x 的函数，利用导数或其他方法求出最值，但一定要注意自变量的取值范围．一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比．已知速度为10海里/小时时，燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问轮船的速度是多少时，航行1海里所需的费用总和最小？【答案】速度为20海里/小时时，航行1海里所需的费用总和最小． 【解析】设速度为v 海里/小时时的燃料费是每小时p 元，那么由题设的比例关系得3·p k v =，其中k 为比例系数， 又10v =时，p ＝6，则360.00610k ==，于是有30.006p v =． 又设当船的速度为每小时v 海里时，航行1海里所需的总费用为q 元， 因为每小时所需的总费用是30.00696v +(元)，而航行1海里所需的时间为1v小时， 所以，航行1海里的总费用为32196(0.00696)0.006q v v v v=+=+，所以322960.012'0.012(8000)q v v v v=-=-， 令0q '=，解得20v =．当020v <<时，0q '<；当20v >时，0q '>， 故当20v =时，q 取得最小值，即速度为20海里/小时时，航行1海里所需的费用总和最小．【名师点睛】本题是费用最少问题，若在定义域内只有一个极值点，且在极值点附近左减右增，则此时唯一的极小值就是最小值．1．某箱子的容积与底面边长x 的关系为2(60)()(060)2x x V x x -=<<，则当箱子的容积最大时，箱子的底面边长为 A ．30 B ．40 C ．50D ．352．已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为31812343y x x =-+-，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为 A ．13万件 B ．11万件 C ．9万件D ．7万件3．路灯距地平面8 m ，一个身高为1.6m 的人以2m/s 的速度在地平面上，从路灯在地平面上的射影点C 开始沿某直线离开路灯，那么人影长度的变化速度v 为 A ．207m/s B ．247m/s C ．227m/sD ．21m/s 4．现有一段长为18 m 的铁丝，要把它围成一个底面一边长为另一边长2倍的长方体形状的框架，当长方体体积最大时，底面的较短边长是 A ．1 mB ．1.5 mC ．0.75 mD ．0.5 m5．某公司规定：对于小于或等于150件的订购合同，每件售价为200元，对于多于150件的订购合同，每超过一件，则每件的售价比原来减少1元，则使公司的收益最大时应该订购的合同件数是 A ．150 B ．175 C ．200D ．2256．要做一个底面为长方形的带盖的箱子，其体积为72 cm 3，其底面两邻边长之比为1∶2，则它的长为______________ cm ，宽为______________ cm ，高为______________ cm 时，可使表面积最小． 7．某商品一件的成本为30元，在某段时间内以每件x 元出售，可卖出(200－x )件，要使利润最大，每件定价为______________元．8．已知某厂生产x 件产品的成本为212500020040C x x =++（元），问： （1）要使平均成本最低，应生产多少件产品？（2）若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？9．为了美化城市，某市将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花园AMPN，如图所示．要求B在AM上，D在AN上，且对角线MN过C点，|AB|＝3米，|AD|＝2米．（1）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则AN的长应在什么范围内？（2）若AN的长度不小于6米，则当AM、AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求最小面积．10．用边长为120 cm的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°，焊接成水箱，则水箱的最大容积为A．120000 cm3B．128000 cm3C．150000 cm3D．158000 cm311．某产品的销售收入y1(万元)关于产量x(千台)的函数为y1＝17x2(x>0)；生产成本y2(万元)关于产量x(千台)的函数为y2＝2x3－x2(x>0)，为使利润最大，应生产A．6千台B．7千台C ．8千台D ．9千台12．某工厂需要建一个面积为512 m 2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，要使砌墙所用材料最省，堆料场的长和宽分别为 A ．16 m ，16 m B ．32 m ，16 m C ．32 m ，8 mD ．16 m ，8 m13．已知某厂生产x （百件）某种商品的总成本为321()629153x C x x x =-++（万元），总收益为2()20R x x x =-（万元），则生产这种商品所获利润的最大值为______________万元，此时生产这种商品______________百件．14．某商品每件成本5元，售价14元，每星期卖出75件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数m 与商品单价的降低值x （单位：元，90<≤x ）的平方成正比，已知商品单价降低1元时，一星期多卖出5件．（1）将一星期的商品销售利润y 表示成x 的函数； （2）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？15．某地开发了一个旅游景点，第1年的游客约为100万人，第2年的游客约为120万人．某数学兴趣小组综合各种因素预测：①该景点每年的游客人数会逐年增加；②该景点每年的游客都达不到130万人．该兴趣小组想找一个函数()y f x =来拟合该景点对外开放的第x (1)x ≥年与当年的游客人数y （单位：万人）之间的关系．（1）根据上述两点预测，请用数学语言描述函数()y f x =所具有的性质； （2）若()f x =mn x+，试确定m ，n 的值，并说明该函数是否符合上述两点预测； （3）若()f x =(0,1)xa b c b b ⋅+>≠，欲使得该函数符合上述两点预测，试确定b 的取值范围．16．（2015江苏）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路．记两条相互垂直的公路为12,l l ，山区边界曲线为C ，计划修建的公路为l ．如图所示，M ，N 为C 的两个端点，测得点M 到12,l l 的距离分别为5千米和40千米，点N 到12,l l 的距离分别为20千米和2．5千米，以12,l l 所在的直线分别为x ，y 轴，建立平面直角坐标系xOy ．假设曲线C 符合函数2ay x b=+（其中a ，b 为常数）模型． （1）求a ，b 的值；（2）设公路l 与曲线C 相切于P 点，P 的横坐标为t ． ①请写出公路l 长度的函数解析式()f t ，并写出其定义域； ②当t 为何值时，公路l 的长度最短？求出最短长度．1．【答案】B【解析】由题可得3223()(30)6022x V x x x x ''=-=-，060x <<．令)0(V x '=，解得40x =，所以当40x =时，箱子的容积有最大值．故选B ．3．【答案】D【解析】如图，设人从C 点运动到B 处路程为x m ，时间为t s ，AB 为人影长度，AB 长为y m ．由于DC∥BE ，则AB BEAC CD=，即1.6185y y x ==+，∴y =41x =21t ，∴v =y ′=21 m/s ．故选D ．4．【答案】A【解析】设长方体底面较短边的长为x m ，则较长边的长为2x m ，高为18849342x x x --=- m ，它的体积为2392(3)962V x x x x x =⋅⋅-=-（其中0＜x ＜32）．对V 求导，并令V ′=0，得18x −18x 2=0，解得x =0，或x =1．当0＜x ＜1时，函数V 单调递增，当1＜x ＜32时，函数V 单调递减，所以当x =1时，函数V 有最大值．因此底面的较短边长是1m ，故选A ． 5．【答案】B【解析】设x 表示订购的件数，R 表示公司的收益，则R 等于每件的售价×订购的件数x ，当x ≤150时，R ＝200x ，最大收益为200×150=30000元；当x >150时，R ＝[200－(x －150)]x ＝350x －x 2，R ′＝350－2x ，令R ′＝0，得x ＝175，当(150,175)x ∈时，0R '>，当(175,)x ∈+∞时，0R '<，则当x ＝175时，R 有最大值，最大收益为350×175－1752＝30625元，故选B ． 6．【答案】6 3 4【解析】设底面相邻两边长分别为x cm 、2x cm ，高为y cm ．则V ＝2x 2y ＝72，y ＝2722x ＝236x，S ＝2(2x 2＋2xy ＋xy )＝4x 2＋6xy ＝4x 2＋216x ． S ′＝8x －2216x ，令S ′＝0，解得x ＝3，则长为6 cm ，宽为3 cm ，高为4 cm 时，表面积最小．8．【答案】（1）1000件；（2）6000件． 【解析】（1）设平均每件的成本为y 元，则2125000200250004020040x xx y xx ++==++，∴225000140y x -'=+．令0y '=，得11000x =或21000x =-（舍去），可知当1000x =时，函数取得极小值且为最小值， 所以要使平均成本最小，应生产1000件产品．（2）设利润为L 元，则22500(25000200)300250004040x x L x x x =-++=--，所以2(30025000)3004020x xL x ''=--=-， 令0L '=，解得6000x =，可知当6000x =时L 取得极大值且为最大值， 因此要使利润最大，应生产6000件产品．9．【答案】（1）8(2,)(8,)3+∞U （单位：米）；（2）|AN |＝6米，|AM |＝4．5米，最小面积为27平方米．【解析】设AN 的长为x 米(x >2)，易得||||||||AM DC AN DN =，∴23||-=x xAM ， ∴232AMPNx S AN AM x =⋅=-矩形． （1）由32AMPNS >矩形得32232>-x x ，∵2x >，∴2332640x x -+>，即(38)(8)0x x -->，∴823x <<或8x >，即AN 长的取值范围是8(2,)(8,)3+∞U （单位：米）．（2）令232x y x =-，则2226(2)33(4)(2)(2)x x x x x y x x ---'==--，∴当4x >时，0y '>，即函数234x y x =-在(4,)+∞上单调递增，∴函数234xy x =-在[6,)+∞上单调递增，∴当x ＝6时，232-=x x y 取得最小值，即AMPN S 矩形取得最小值，为27（平方米）．此时|AN |＝6米，|AM |＝4.5米．故当AM ，AN 的长度分别是4.5米、6米时，矩形AMPN 的面积最小，最小面积是27平方米．11．【答案】A【解析】设利润为y 万元，则y ＝y 1－y 2＝17x 2－2x 3＋x 2＝18x 2－2x 3(x >0)，y ′＝36x －6x 2，令y ′>0，得0<x <6，令y ′<0，得x >6，∴当x ＝6时，y 取最大值，故为使利润最大，应生产6千台．故选A ． 12．【答案】B【解析】如图所示，设场地垂直于墙的一边长为x m ，则其邻边长为512xm ．因此新墙总长度5122(0)L x x x =+>，25122L x'=-．令L ′＝0，得x ＝16或x ＝－16(舍去)．可知当x ＝16时，L 取得最小值，当x ＝16时，5125123216x ==．故当堆料场的宽为16 m ，长为32 m 时，可使砌墙所用的材料最省．故选B ． 13．【答案】66 9【解析】设利润为()P x （万元），则232311()()()206291533P x R x C x x x x x x x =-=--+--=-+25915x x --，∴2()109P x x x '=-+-，由()0P x '>得19x <<，∴19x <<时，()P x 单调递增，9x >时，()P x 单调递减，∴9x =时，()P x 有最大值(9)66.P =14．【答案】（1）3254575675y x x x ∴=-+-+)90(<≤x ；（2）商品每件定价为9元时，可使一个星期的商品销售利润最大．（2）易得215907515(1)(5)y x x x x '=-+-=---， 由0>'y 得51<<x ，由0<'y 得10<≤x 或95<<x ， 可知函数y 在[0,1)上递减，在(1,5)递增，在(5,9)上递减， 从而函数y 取得最大值的可能位置为0=x 或5=x ，675x y==Q ，5800x y==，∴当5=x 时，800max =y ．答：商品每件定价为9元时，可使一个星期的商品销售利润最大． 15．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）1(0,]3．【解析】（1）根据题中两点预测可知()f x 在[1,)+∞上单调递增，()130f x <对[1,)x ∈+∞恒成立．（2）将（1，100），（2，120）代入my n x =+中，得1001202m nmn =+⎧⎪⎨=+⎪⎩，解得40140m n =-⎧⎨=⎩． 所以40()140f x x =-+，所以240()0f x x'=>， 故()f x 在[1,)+∞上单调递增，符合预测①； 又当4x ≥时，40()140130f x x=-+≥，所以此时()f x 不符合预测②． （3）由2100120ab c ab c =+⎧⎨=+⎩，解得20(1)201001a b b c b ⎧=⎪-⎪⎨⎪=-⎪-⎩，()ln xf x a b b '=⋅⋅，要想符合预测①，则有()0f x '>， 即ln 0a b ⋅>，从而01a b >⎧⎨>⎩或001a b <⎧⎨<<⎩，当1b >时，200(1)a b b =>-，此时符合预测①． 由()130f x ≥，解得23log ()22b b x b ≥-，即当23log ()22b b x b ≥-时，()130f x ≥，所以此时()f x 不符合预测②； 当01b <<，200(1)a b b =<-，此时符合预测①，又由1x ≥，知(0,]x b b ∈，所以[,0)xa b ab ⋅∈，从而()[,)f x ab c c ∈+．欲使()f x 也符合预测②，则130c ≤，即201001301b -≤-，又01b <<，解得103b <≤． 综上所述，b 的取值范围是1(0,]3．16．【答案】（1）1000a =，0b =；（2）①6243410(),[5,20]2f t t t t⨯=+∈，②当102t =时，公路l 的长度最短，为153千米．（2）①由（1）知，21000(520)y x x =≤≤，则点P 的坐标为21000(,)t t ， 设在点P 处的切线l 交,x y 轴分别于,A B 点，32000y x '=-，则l 的方程为2310002000()y x t t t -=--，由此得233000(,0),(0,)2t A B t．故622224330003410()()(),[5,20]22t f t t t t t⨯=+=+∈． ②设624410()g t t t ⨯=+，则651610()2g t t t⨯'=-．令()0g t '=，解得102t = 当2)t ∈时，()0g t '<，()g t 是减函数；当(102,20)t ∈时，()0g t '>，()g t 是增函数． 从而，当102t =()g t 取得极小值，也是最小值， 所以min ()300g t =，此时min ()153f t =故当102t =l 的长度最短，为153千米．。
高中数学《生活中的优化问题举例》文字素材1 新人教A版选修2-2
怎样建立数学模型一、什么是数学模型和数学建模?数学模型(Mathematical Model)是用数学符号对一类实际问题或实际系统发生的现象的(近似的)描述. 而数学建模(Mathematical Modeling)则是获得该模型、求解该模型并得到结论以及验证结论是否正确的全过程, 数学建模不仅是了解系统的基本规律的强有力的工具, 而且从应用的观点来看更重要的是预测和控制所建模系统的行为的强有力的工具. 许多重要的物理现象, 常常是从某个实际问题的简化数学模型的求解中发现, 并给予明确的数学表述, 例如, 混沌、孤立子、奇异吸引子等.数学建模本身并不是什么新东西. 纵观科学技术发展史, 我们可以看到数学建模的思想和方法自古以来就是天文学家、物理学家、数学家等用数学作为工具来解决各种实际问题的主要方法. 不过数学建模这个术语的出现和频繁使用是20世纪60年代以后的事情. 很重要的原因是, 由于计算的速度、精度和可视化手段等长期没有解决, 以及其他种种原因, 导致有了数学模型, 但是解不出来, 算不出来或不能及时地算出来, 更不能形象地展示出来, 从而无法验证数学建模全过程的正确性和可用性, 数学建模的重要性逐渐被人“淡忘”了. 然而，恰恰是在20世纪后半叶，计算机、计算速度和精度，并行计算、网络技术等计算技术以及其他技术突飞猛进的飞速发展, 给了数学建模这一技术以极大的推动, 不仅重新焕发了数学建模的活力, 更是如虎添翼地显示了数学建模的强大威力. 而且，通过数学建模也极大地扩大了数学的应用领域. 现在数学建模以及相伴的计算和模拟(Simulation, 有人也译作“仿真”)已经成为现代科学的一种基本技术—数学技术.在各种研究方法, 特别是与应用电子计算机有关的研究方法中, 占有主导地位. 在科技、经济和政府部门的一部分人中, 在某种意义下, 甚至已经成为一种生活方式(way of life), 数学建模无处不在.在抵押贷款买房和商业谈判等日常生活中都要用到数学建模的思想和方法. 人们越来越认识到数学和数学建模的重要性. 在大、中学的教材中经常出现各种各样的数学模型, 因此, 学习和初步应用数学建模的思想和方法已经成为当代大学生, 以至生活在现代社会的每一个人, 必须学习的重要内容.在部分中学, 都开设了数学建模课;自1992年开始举办的“中国大学生数学建模竞赛(China Undergraduate Mathematical Contest in Modeling, 缩写为CUMCM)”已经成为我国大学生课余最大的科技活动. (想了解CUMCM更多细节的读者可以访问网站 ). 于1985年开始举办的“美国大学生数学建模竞赛(Mathematical Contest in Modeling, 缩写为MCM)”以及与1999年起开始增加的“美国大学生跨学科建模竞赛(Interdisciplinary Contest in Modeling, 缩写为ICM)”也是我国大学生非常乐于参加的数学建模竞赛, 近年来这两个竞赛有一半以上的参赛队来自中国. (想了解MCM和ICM更多的细节的读者可以访问网站 ).对实际现象的定量研究的重要性和挑战在于怎样去建立能够更好地了解该现象,并且可以应用数学方法来解决的数学模型(数学问题). 实际现象通常都是极为复杂的, 不经过理想化和简化是很难进行定量研究的. 因此, 数学建模的全过程大体上可归纳为以下步骤：1.对某个实际问题进行观察、分析(是否抓住主要方面);2.对实际问题进行必要的抽象、简化，作出合理的假设(往往是很不容易的);3. 确定要建立的模型中的变量和参数;4. 根据某种“规律”(已知的各学科中的定律, 甚至是经验的规律) 建立变量和参数间确定的数学关系 (明确的数学问题或在这个层次上的一个数学模型), 这可能是一个非常具有挑战性的数学问题;5. 解析或近似地求解该数学问题. 这往往涉及复杂的数学理论和方法, 近似方法和算法;6. 数学的结论能否展示、解释甚至预测实际问题中出现的现象, 或用某种方法 (例如，历史数据、实验数据或现场测试数据等) 来验证结论是否合理、正确, 这也是很不容易的;7. 如果第 6 步的结果是肯定的，那么就可以付之试用; 如果是否定的，那就要回到第 1 – 6 步进行仔细分析，重复上述建模过程。
11-12学年高中数学1.4生活中的优化问题举例同步练习新人教A版选修2-2
A．2π R2
B． π R2
-2-
C．4π R2
D.
1 2
π
R2
[ 答案 ] A
[ 解析 ] 则 x＝
设内接圆柱的高为 h，底面半径为 x，
R2－
h2 4
∴S 侧＝ 2π xh＝ 2π h
R2－
h2 4＝
2
π
令
t
＝
R2h2－
h4 ，则
4
t ′＝ 2R2h－ h3
R2h2－
h4 4
令 t ′＝ 0，则 h＝ 2R
512 平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，
其他三边需要砌新的墙壁，当墙壁所用的材料最省时堆料场的长和宽分别为
________．
[ 答案 ] 32m,16m
512
512
[ 解析 ] 设长，宽分别为 a，b，则 ab＝ 512，且 l ＝ a＋ 2b，∴ l ＝ 2b＋ b ，∴ l ′＝ 2－ b2 ，
3 因此当底边长为 4V时，其表面积最小． 3．某公司生产某种产品，固定成本为 20000 元，每生产一单位产品，成本增加
100 元，
-1-
已知总收益
R与产量 x 的关系式
R( x) ＝
400
x－
1 x
2
2，
0≤
x
≤
400，
80000， x>400.
则总利润最大时， 每年
生产的产品是 ( )
A．100
5 45 5 R， 5 R.
8．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为 20cm，要使其体积最大，则高为 ( )
3 A. 3 cm
10 3 B. 3 cm
16 3
人教版高中选修2-2数学1.4生活中的优化问题举例课件(2)
此时y=
128 8
16
答 ： 应 使 用 版 心 宽 为 8 d m ， 长 为 1 6 d m ， 四 周 空 白 面 积 最 小
运用新知
在边长为60cm的正方形铁片的四 角上切去相等的正方形，再把它的边 沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱 子，箱底的边长是多少时，箱子的容 积最大？最大容积是多少？
运用新知
• [解析] 设箱高为xcm，则箱底边长为 (60－2x)cm，则得箱子容积V是x的函数， V(x)＝(60－2x)2·x(0<x<30) ＝4x3－240x2＋3600x. ∴V′(x)＝12x2－480x＋3600， 令V′(x)＝0，得x＝10，或x＝30(舍去) 当0<x<10时，V′(x)>0， 当10<x<30时，V′(x)<0.
Y
x
另设四周空白面积为Ｓ，
实例讲解
则 S 2 (x 2 ) 2 2 y 1
4x2y8 （２）
（１）式代入（２）式中得：
S(x)4x2568(x0). x
令 S(x：由解法(一)得
S(x)4x2568≤ 24x•2568
x
x
当 且 仅 当 4 x 2 5 6 ,即 x 8 (x 0 ) 时 S 取 最 小 值 x
生活中的优化问题举例(一)
h
1
引入新课
生活中经常会遇到求什么条件下可使用 料最省，利润最大，效率最高等问题，这些 问题通常称为优化问题.这往往可以归结为 求函数的最大值或最小值问题.其中不少问 题可以运用导数这一有力工具加以解决.
引入新课
复习：如何用导数来求函数的最值？
一般地，若函数y=f (x)在[a，b]上的图象 是一条连续不断的曲线，则求f (x) 的最值 的步骤是：
第五节 生活中的优化问题举例(数学建模二)
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1-1 甲方是一农场,乙方是一工厂,由于乙方生产需占用甲方的资源,因 此甲方有权向乙方索赔,以此来弥补经济损失并获得一定的净收入.在 乙方不赔付甲方的情况下,乙方的年利润x(元)与年产量t(吨)满足函数关 系式x=2 000 t .若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方s元(以下称s为赔 付价格). (1)将乙方的实际年利润w(元)表示为年产量t(吨)的函数,并求出乙方实 际年利润最大时的年产量; (2)甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额y(元)与年产量t(吨)的函数
解析 (1)每年的能源消耗费用为C(x)= k (0≤x≤10),
3x 5
由题可知C(0)=8,得k=40,因此C(x)= 40 .
3x 5
而隔热层的建造费用为C1(x)=6x.
所以隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)=20C(x)+C1(x)=
20× 40 +6x= 800 +6x(0≤x≤10).
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方法技巧 利用导数解决几何中的面积、体积最大问题时,一定要看清题意,分析 几何体的特征,设出变量,列出函数关系式,注明定义域,再利用导数求最 值.若在定义域内只有一个极值,则这个极值便是最值,解此类题时,要注 意利用数形结合的思想及函数的思想分析问题.
对应的最小值为f(5)=6×5+ 800 =70.
35 5
故当隔热层修建5 cm厚时,总费用达到最小值70万元.
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方法技巧 1.解决费用最省问题,也是导数的一个重要应用.解决这类问题,第一要 选取合适的量为自变量,并确定其取值范围;第二将费用表示为自变量 的函数,再利用导数求最值,使问题得到解决. 2.把实际问题转化为数学问题,正确列出解析式是解题的关键,利用导数 求最值时要注意函数的定义域.
生活中的节约问题——数学优化问题举例
教学设计生活中的节约问题——数学优化问题举例大兴一中张秀春一．内容和内容解析随着低碳生活逐步深入，节约问题成了人们最为关注的问题了。
而数学中的“优化问题”是现实生活中常碰到的节约问题，比如速度最快、距离最小、费用最低、用料最省、效率最高、增长率、膨胀率等。
而解决方法可以多样，学生较为熟悉的是线性规划问题，二次函数最值问题，或结合函数图象解决最值以及用导数求函数的单调性、最值等。
线性规划是利用数学为工具，来研究在一定的人、财、物、时、空等资源条件下，如何精打细算巧安排，用最少的资源取得最大的效益，即解决节约问题。
它在工程设计、经济管理、科学研究等方面的应用非常广泛。
而本节内容主要是应用线性规划和导数解决生活中的节约问题，使学生体会线性规划、导数在解决生活中的节约问题的广泛作用和强大实力。
教材主要在效率、利润、最大容量三个方面举例说明。
从教学内容分析，教材例题与学生生活经验有一定的差距离，问题信息量大，数学建模要求高，在具体的教学中，可以设置有一定梯度和接近学生生活中的节约问题，提高学生的学习兴趣，同时告诉学生如何去思考解决这类问题的一般思路。
二、教学目标：1、知识目标：（1）进一步了解线性规划的意义以及线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等概念；巩固线性规划问题的一般解法（即图解法）；会求线性目标函数的最大值、最小值。
（2）巩固导数的相关概念、性质及导数的意义，用导数求实际问题的最大值、最小值。
理解什么是数学中的优化问题。
2、能力目标：培养学生建模能力及提高学生解决实际问题的能力；同时渗透数形结合、化归的数学思想方法，培养学生的节约意识和“用数学” 的意识及创新能力。
3、情感目标：通过对物资调运、产品安排、下料问题等问题的调查、研究，培养学生的节约意识和习惯，倡导学生的低碳生活，使学生了解社会主义市场经济，建立市场经济意识，焕发学生振兴中华的责任感。
三．教学难点和重点分析重点：线性规划、导数的应用，了解生活中的节能问题，熟练掌握生活中常遇到的“效率最高”，“容量最大”，“利润最大”的解决方案。
(完整)生活中的优化问题举例
§1.4生活中的优化问题举例（一)教材分析本节内容是数学选修2-2 第一章导数及其应用1。
4生活中的优化问题举例，是在学习了导数概念、导数的计算及导数在研究函数中的应用后体会导数在解决实际问题中的作用。
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习可知,导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节利用导数，解决一些生活中的优化问题。
教材首先给出背景性的问题，在生活经验的基础上,逐步引入到数学问题中，按照学生的思维过程,逐步展开问题,解决问题，让学生体会数学建模的过程.培养学生主动发现问题、分析问题、解决问题的能力，进一步培养学生应用数学的意识。
课时分配本节内容用1课时的时间完成，通过两个例题的教学，培养学生主动发现问题、分析问题、解决问题的能力，进一步培养学生应用数学的意识。
教学目标：重点: 通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，让学生体会数学建模的过程，体会导数在解决实际问题中的作用。
难点:让学生发现问题、分析问题、解决问题,数学建模。
知识点：利用导数求函数最大(小）值，解决一些生活中的优化问题。
能力点：主动发现问题、分析问题、解决问题，曾强数学的应用意识。
教育点：利用导数,解决一些生活中的优化问题。
自主探究点：分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域,再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决.考试点：利用导数求函数最大（小）值，解决一些生活中的优化问题。
易错易混点:建立适当的函数关系,并确定函数的定义域.拓展点：利用导数解决优化问题的基本思路：教具准备多媒体课件和三角板课堂模式学案导学一、引入新课生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大(小）值的有力工具．这一节，我们利用导数,解决一些生活中的优化问题。
二、探究新知探究(一）:海报版面尺寸的设计【背景材料】学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传.现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2，上、下两边各空2dm，左、右两边各空1dm。
高中数学选修2《生活中的优化问题举例》课件
(1) 瓶子半径多大时, 能使每瓶饮料的利润最大?
(2) 瓶子半径多大时, 每瓶饮料的利润最小?
解: 由题设得每瓶的利润函数为
f
(r)
=
0.2
4 3
pr
3
0.8pr
2
(0 r 6).
f(r) = 0.8pr21.6pr,
解 0.8pr21.6pr≥0 得 r≥2,
即 2≤r≤6 时, f(r)≥0, 函数是增函数;
优化问题
用函数表示的数学问题
优化问题的答案
用导数解决数学问题
练习与习题 习题 1.4 (全部题)
1. 一条长为 l 的铁丝截成两段, 分别弯成两个
正方形, 要使两个正方形的面积和最小, 两段铁丝
的长度分别是多少?
解: 设一段为 x cm, 则另一段为 (lx) cm.
围成两正方形的面积和为
S
=
(
x
x
a 6
,
或
x
a 2
.
a
即
0
x
a 6
时,
V >0;
a 6
x
a 2
时,
V <0.
∴
当
x
=
a 6
时,
容积 V 最大.
3. 圆柱形金属饮料罐容积一定时, 它的高与半径
应怎样选择, 才能使所用材料最省?
解: ∵V=p r2h,
得
h
=
V
pr
2
,
(r 0).
饮料罐全面积为
S=2p r22p rh
S = 4p
r
2V r2
.
= 2p
r2
2V r
1.4生活中的优化问题举例- 高中数学人教A版必修2-2课件(共25张PPT)
练习、已知某商品进价为a元/件，根据以往经验， 当售价是b（b 4 a）元/件时，可卖出c件，市场
3 调查表明，当售价下降10%，售量可增加40%，现 决定一次性降价，销售价为多少时，可获得最大 利润？
三．小结
解决优化问题的方法之一：通过搜集大量的统 计数据,建立与其相应的数学模型，再通过研究相应 函数的性质,提出优化方案，使问题得到解决．在这 个过程中，导数往往是一个有利的工具，其基本思路 如以下流程图所示
优化问题
建立数学模型
用函数表示数学问题
(建模)
解决数学模型 (求解)
优化问题的答案
作答
用导数解决数学问题
(回归)
P37 习题A组 1、2、5、6。
1
2
则版心的宽为 128 dm x
设四周空白面积为Ｓ，则 x
S(x) (x 4)(128 2) 128 x
2x 512 8, x 0 x
128 x
求最值方法：1、导数；2、基本不等式
128
1
另设四周空白面积为Ｓ， x
2
则 S(x) (x 4)(128 2) 128
x
x
2x 512 8, x 0
x 解法一：令S（ x） 0,即2
512 x2
0
解得：x 16( x 16舍去)
128
当x (0,16)时，S( x) 0;当x (16,)时，S( x) x0.
因此，x 16是函数S (x)的极小值点，也是最小值点.
此时版心宽为
128 16
＝8.
故：当版心高为16dm,宽为8dm时，四周空白面积最小.
（5）求最值点 （6）根据实际情况得出结论
课堂练习
某厂生产某种产品x件的总成本
2011届高三数学生活中的优化问题7
2011 届高三数学生活中的优化问题7 1．4 生活中的优化问题（二）
教课目的：掌握利用导数求函数最大值和最小值的方法. 会求一些实质问题（一般指单峰函数）的最大值和最小
值 .---------用材最省的问题----
教课要点：利用导数求函数最值的方法. 用导数方法求
函数最值的方法步骤 f
教课难点：对最值的理解及与极值观点的差别与联系. 求一些实质问题的最大值与最小值
教课过程：
例 1 圆柱形金属饮料罐的容积一准时，它的高与底半径
应如何选用，才能使所用资料最省？
解：设圆柱的高为h，底半径为R，则表面积S＝ 2pRh ＋2pR2．
则
进而即 h＝ 2R．
由于 S(R) 只有一个极值，因此它是最小值．答：当罐的
高与底直径相等时，所用资料最省．
例 2 已知某商品生产成本 c 与产量 q 的函数关系式为 c
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＝ 100＋4q，价钱 p 与产量 q 的
函数关系式为求产量q 为什么值时，收益L 最大．
剖析：收益 L 等于收入 R 减去成本 c，而收入 R 等于产量乘价钱 . 由此可得出收益 L 与产量 q 的函数关系式，再用导数求最大收益．
解：
求得独一的极值点q＝ 84．
由于 L 只有一个极值，因此它是最大值．
答：产量为84 时，收益L 最大．
练习1. 某商品一件的成本为30 元，在某段时间内若以每件x 元销售，可卖出(200 －x) 件，应如何订价才能使收益最大？
例 3．教材 P34 面的例 2
课后作业
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2011高考数学真题考点分类新编：考点10导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例(新课标地区)
考点10 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例一、选择题1．（2011·安徽高考文科·Ｔ10）函数()()21n f x ax x =-在区间[]0,1上的图象如图所示，则n 可能是（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 【思路点拨】 代入验证，并求导得极值，结合图象确定答案.【精讲精析】选A. 代入验证,当n=1时，)2()1()(232x x x a x ax x f +-=-=，则)143()(2+-='x x a x f ，由)143()(2+-='x x a x f =0可知，1,3121==x x ，结合图象可知函数应在（0，31）递增，在）（1,31递减，即在31=x 处取得最大值，由,21)311(31)31(2=-⨯⨯=a f 知a 存在. 2.（2011·辽宁高考理科·Ｔ11）函数f （x ）的定义域为R ，f （-1）=2，对任意x ∈R ，2)(>'x f ，则f （x ）＞2x+4的解集为（A ）（-1，1） （B ）（-1，+∞） （C ）（-∞，-1） （D ）（-∞，+∞） 【思路点拨】先构造函数)42()()(+-=x x f x g ，求其导数，将问题转化为求)(x g 单调性问题即可求解．【精讲精析】选B.构造函数)42()()(+-=x x f x g ，则=-)1(g 022)42()1(=-=+---f ，又因为2)(>'x f ，所以02)()(>-'='x f x g ，可知)(x g 在R 上是增函数，所以)42()(+>x x f 可化为0)(>x g ，即)1()(->g x g ，利用单调性可知，1->x ．选B.3．（2011·安徽高考理科·Ｔ10）函数()()1nm f x ax x =-在区间[]0,1上的图象如图所示，则,m n 的值可能是（A ）1,1m n == (B) 1,2m n == (C) 2,1m n == (D) 3,1m n == 【思路点拨】本题考查函数与导数的综合应用，先求出)(x f 的导数，然后根据函数图像确定极值点的位置，从而判断m,n 的取值. 【精讲精析】选B.函数()()1nm f x ax x =-的导数11()()(1)(),m n m f x m n ax x x m n--'=-+--+则)(x f '在),0(n m m +上大于0，在)1,(n m m+上小于0，由图象可知极大值点为31，结合选项可得m=1,n=2.二、填空题4.（2011·广东高考理科·Ｔ12）函数32()31f x x x =-+在x = 处取得极小值. 【思路点拨】先求导函数的零点，然后通过导数的正负分析函数的增减情况，从而得出取得极值的时刻. 【精讲精析】答案：2由063)(2=-='x x x f 解得0=x 或2=x ，列表如下：∴当2=x 时，y 取得极小值.5．（2011·辽宁高考文科·Ｔ16）已知函数a x e x f x +-=2)(有零点，则a 的取值范围是【思路点拨】先求)(x f '，判断)(x f 的单调性．结合图象找条件．本题只要使)(x f 的最小值不大于零即可．【精讲精析】选A ，)(x f '=2-x e ．由)(x f '0>得2-x e 0>， ∴2ln >x ．由)(x f '0<得，2ln <x ． ∴)(x f 在2ln =x 处取得最小值． 只要0)(min ≤x f 即可．∴02ln 22ln ≤+-a e ， ∴22ln 2-≤a ．∴a 的取值范围是]22ln 2,(--∞6.（2011·江苏高考·Ｔ12）在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 是函数)0()(>=x e x f x 的图象上的动点，该图象在P 处的切线l 交y 轴于点M ，过点P 作l的垂线交y 轴于点N ，设线段MN 的中点的纵坐标为t ，则t 的最大值是_________ 【思路点拨】本题考查的是直线的切线方程以及函数的单调性问题，解题的关键是表示出中点的纵坐标t 的表达式，然后考虑单调性求解最值。
高中数学 1.4 生活中的优化问题举例2课件 新人教A版选修22
相切
例2 磁盘(cípán)的最大存储量问题
①计算机是如何存储(cún chǔ)、检索信息？ ②磁盘的结构 ③如何使一个圆环状的磁盘存储(cún chǔ)尽可能多的信息
第七页，共15页。
背景(bèijǐng)知识
计算机把信息存储在磁盘上,磁盘是带有磁性介质 的圆盘并由操作系统将其格式化成磁道和扇区，磁道 是指不同半径所构成的同心圆轨道，扇区是指被圆心 角分割成的扇形区域.磁道上的定长的弧可作为基本存 储单元，根据其磁化与否可分别记录数据0或1，这个 基本单元通常称为比特(bit).
为了(wèi le)保障磁盘的分辨率,磁道之间的宽度必 须大于m,每比特所占用的磁道长度不得小于n.为了(wèi le)数据检索的方便,磁盘格式化时要求所有磁道具有相 同的比特数.
第八页，共15页。
现有一张半径为R的磁盘，它的存储区是半径介于r与R的环形 区域. ①是不是r越小,磁盘的存储量越大? ②r为多少时,磁盘具有最大存储量(最外面(wàimiàn)的磁道不 存储任何信息)?
解： 存储量＝磁道数×每磁道的比特(bǐ tè)数
f r R r • 2r 2 rR r
m n mn
(1)不是(bùshi)的
(2)求f r的最大值,计算f 'r 0
r R 最大存储量为 R 2
2
2mn
第九页，共15页。
例3 饮料瓶大小(dàxiǎo)对饮料公司利润的影响
(1)你是否(shì fǒu)注意过,市场上等量的小包装的物品一 般比大包装的要贵一些? (2)是不是饮料瓶越大,饮料公司的利润越大?
第十四页，共15页。
作业(zuòyè)
课本(kèběn)第37页习题1.4A组2,3
第十五页，共15页。
人教课标版高中数学选修2-2《生活中的优化问题举例》名师课件2
(2x2
2lx
l2)
S 1 (4x 2l) 1 (2x l)
16
8
令S 0,得x l
2
当x (0, l )时, s '(x) 0; 当x ( l ,l)时, s '(x) 0;
2
2
所以，当x l 时, S取最小值, 最小值为 l 2 .
2
32
此时两段铁丝的长度都为 l .xcm，则底面边长为(30－2x)cm， 则得容器的容积V是x的函数， V(x)＝(30－2x)2·x (0<x<15) ＝4x3－120x2＋900x. ∴V′(x)＝12x2－240x＋900， 令V′(x)＝0，得x＝5，或x＝15(舍去) 当0<x<5时，V′(x)>0，当5<x<15时，V′(x)<0. ∴当x＝5时，V(x)取极大值，这个极大值就是V(x)的最大值． 答：当容器的高为5cm，底面边长为20cm时，所做的容器 能装最多的蛋糕。
例题讲解
[解] (1)设投入 t(百万元)的广告费后增加的收益为 f(t)(百万
元)，则有 f(t)＝(－t2＋5t)－t＝－t2＋4t＝－(t－2)2＋4(0≤t≤3)，
所以当 t＝2 时，f(t)取得最大值 4，即投入 2 百万元的广告费时，
该公司获得的收益最大． (2)设用于技术改造的资金为 x(百万元)，则用于广告促销的资金
x 2x 512 8, x 0
4
x
求导数，有
S
'(
x)
2
512 x2
,
令s '(x) 2 512
于是宽为128 x1228
0,
8
解得：x1
高中数学 14《生活中的优化问题》课件 新人教A选修22
1、实际应用问题的表现形式，常常不是以纯数学模 式反映出来:
首先，通过审题，认识问题的背景，抽象出问题的实质; 其次，建立相应的数学模型, 将应用问题转化为数学问题,再解.
2、求最大（最小）值应用题的一般方法: (1)分析实际问题中各量之间的关系，把实际问题化为 数学问题，建立函数关系式，这是关键一步; (2)确定函数定义域，并求出极值点; (3)比较各极值与定义域端点函数的大小， 结合实际， 确定最值或最值点.
x1(0,2), 所以当 因此当点B为(2 2
x 3 ,02) 时2,3矩3时形,的S(x 最)m 大a面x3积923是.
32
3.
2
9
课堂小结
应用问题要引起重视.
(1)利用函数的导数求函数的最值在求函数的值域、 不等式的证明及解法中有广泛的作用。
(2)在实际问题中如果可以判定可导函数在定义域内 存在最大(小)值,而且函数在这个定义域内又只有 唯一的极值点,那么立即可以判定,这个极值点的函 数值就是最大(小)值,这一点在解决实际问题时很 有用.
例1、在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去
相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成 一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱 子容积最大？最大容积是多少？
x
60 x
x x
60
解:设箱底边长为x,则箱高h=(60-x)/2.箱子容积
V(x)=x2h=(60x2-x3)/2(0<x<60).
令V(x)60x3x20,解得x=0(舍去),x=40.且V(40)=
•11、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我;对事以诚信，事无不成。 •12、首先是教师品格的陶冶，行为的教育，然后才是专门知识和技能的训练。 •13、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。2022/1/182022/1/18January 18, 2022 •14、孩子在快乐的时候，他学习任何东西都比较容易。 •15、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。 •16、一个人所受的教育超过了自己的智力，这样的人才有学问。 •17、好奇是儿童的原始本性，感知会使儿童心灵升华，为其为了探究事物藏下本源。2022年1月2022/1/182022/1/182022/1/181/18/2022 •18、人自身有一种力量，用许多方式按照本人意愿控制和影响这种力量，一旦他这样做，就会影响到对他的教育和对他发生作用的环境。 2022/1/182022/1/18
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1．4 生活中的优化问题（二）
教学目标：掌握利用导数求函数最大值和最小值的方法.会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值.---------用材最省的问题----
教学重点：利用导数求函数最值的方法.用导数方法求函数最值的方法步骤f
教学难点：对最值的理解及与极值概念的区别与联系.求一些实际问题的最大值与最小值 教学过程：
例1圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底半径应怎样选取，才能使所用材料最省？ 解：设圆柱的高为h ，底半径为R ，则表面积 S ＝2πRh ＋2πR 2．
,2h R V π=由 ,2R V h π=得 则2222)(R R V R R S πππ+=.222R R
V π+= ,042)(2=+-
='R R V R S π令,23πV R =解得 从而2R V h π=232⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ππV V 34πV =,223π
V = 即h ＝2R ． 因为S (R )只有一个极值，所以它是最小值． 答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省．
例2 已知某商品生产成本C 与产量q 的函数关系式为C ＝100＋4q ，价格p 与产量q 的 函数关系式为.8
125q p -=求产量q 为何值时，利润L 最大． 分析：利润L 等于收入R 减去成本C ，而收入R 等于产量乘价格.由此可得出利润L 与产量q 的函数关系式，再用导数求最大利润． 解：28
125)8125(q q q q p q R -=-=⋅=收入 )4100()8125(2q q q C R L +-=-=利润)2000(100218
12<<-+-=q q q ，，即令0214
10'=+-=q L 求得唯一的极值点 q ＝84． 因为L 只有一个极值，所以它是最大值．
答：产量为84时，利润L 最大．
练习1.某商品一件的成本为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出(200－x)件，应如何定价才能使利润最大？
例3．教材P34面的例2
课后作业。