圆的基本知识(一)
关于圆的数学文化知识
关于圆的数学文化知识圆是数学中常见且重要的几何形状之一、它具有许多特性和性质，它们在日常生活中的应用和数学领域中的数学理论和分支中起着重要的作用。
本文将介绍圆的基本定义、性质、公式以及一些与圆有关的数学文化知识。
1.圆的基本定义：圆可以定义为平面上所有到圆心距离相等的点的集合。
这个距离通常称为圆的半径。
圆的边界被称为圆周。
2.圆的性质：(1)圆的每个点到圆心的距离都相等。
(2)圆的直径是通过圆心的一条线段，且它的两个端点在圆上。
(3)圆的弧是围绕圆心的一部分圆周。
(4)圆的面积可以通过公式A=πr²计算，其中r是圆的半径。
3.圆的公式：(1)圆周长的计算公式是C=2πr，其中C表示圆的周长，r表示圆的半径。
(2)圆的面积的计算公式是A=πr²，其中A表示圆的面积，r表示圆的半径。
4.圆在数学文化中的应用：(1)圆在日常生活中常见，例如餅乾、漩涡、车轮、钟表等等。
由此，圆成为了一种寓意生产、忙碌的符号。
(2)圆在几何图形的设计和建筑中经常使用，如圆形建筑物、圆形的花坛、圆舞曲中优美的圆舞等等。
(3)圆在数学艺术中也起到重要的作用，人们常常使用圆来构图、作画和雕刻的基本元素。
在几何设计和图案中，圆形图案被广泛使用。
(4)圆在物理学和工程学中也有重要的应用，例如计算机图形学中的圆弧插值，以及圆盘和圆环在机械和电子设备中的应用。
5.圆在数学领域中的重要概念和理论：(1)圆的相关理论在解析几何学、三角学、微积分等数学分支中有广泛的应用。
(2)圆被广泛应用于解决几何问题，如求解直线与圆的交点、求解圆与圆的交点等。
(3)圆的性质和公式在计算圆的相关参数和求解问题时非常有用，如计算圆的周长、面积、弧长等。
总的来说，圆作为数学中的一个基本几何形状，在数学文化中起到了重要的作用。
人们通过对圆的认识和应用，不仅在数学领域中获得了许多有用的理论和方法，也将圆应用于日常生活、艺术和工程等方面，丰富了数学文化的内涵。
圆的几何知识
圆的几何知识圆是几何学中的一种基本图形，它是由平面上所有到定点距离相等的点组成的集合。
圆的几何知识在数学中有着广泛的应用，涉及到许多领域，如物理、工程、计算机科学等。
本文将介绍圆的几何知识，包括圆的定义、性质、公式和应用。
一、圆的定义圆是由平面上所有到定点距离相等的点组成的集合。
这个定点称为圆心，到圆心的距离称为半径。
圆的符号为“O”，圆心为“O”，半径为“r”。
二、圆的性质1.圆的直径是圆上任意两点之间的最长距离，它等于半径的两倍。
2.圆的周长是圆上任意两点之间的距离之和，它等于2πr，其中π≈3.14。
3.圆的面积是圆内所有点到圆心的距离之和，它等于πr²。
4.圆的切线是与圆相切的直线，它与圆的半径垂直。
5.圆的弦是圆上任意两点之间的线段，它可以分为直径和非直径弦。
6.圆的弧是圆上任意两点之间的一段曲线，它可以分为圆心角和非圆心角。
7.圆的圆心角是以圆心为顶点的角，它的度数等于所对应的弧的度数。
8.圆的非圆心角是不以圆心为顶点的角，它的度数等于所对应的弧的度数的一半。
三、圆的公式1.圆的周长公式：C=2πr，其中C表示周长，r表示半径，π≈3.14。
2.圆的面积公式：S=πr²，其中S表示面积，r表示半径，π≈3.14。
3.圆的弧长公式：L=2πrθ/360°，其中L表示弧长，r表示半径，θ表示圆心角的度数。
4.圆的扇形面积公式：S=πr²θ/360°，其中S表示扇形面积，r表示半径，θ表示圆心角的度数。
四、圆的应用1.圆的应用在几何学中非常广泛，它可以用来解决许多几何问题，如圆的切线、圆的切点、圆的切线长度等。
2.圆的应用在物理学中也非常重要，它可以用来描述物体的运动轨迹、电子的运动轨迹等。
3.圆的应用在工程学中也非常广泛，它可以用来设计机械零件、建筑结构等。
4.圆的应用在计算机科学中也非常重要，它可以用来设计图形界面、计算机图形学等。
圆的几何知识在数学中有着广泛的应用，涉及到许多领域。
圆的认识知识点总结
圆的认识知识点总结圆是我们数学中的一个基本几何概念，在日常生活中也经常遇到。
本文将对圆的定义、性质及相关定理进行总结，希望能够更好地帮助大家理解和应用圆的相关知识。
一、圆的定义及基本术语1. 圆的定义：圆是平面上到一个固定点的距离等于定长的点的集合。
2. 圆心：圆形的中心点称为圆心，通常用大写字母O表示。
3. 半径：连接圆心和圆上任意一点的线段称为半径，通常用小写字母r表示。
4. 圆的直径：通过圆心并且两端点都在圆上的线段称为圆的直径，直径的长度等于半径长度的两倍。
5. 圆的弦：圆上的两个点之间的线段称为圆的弦。
二、圆的性质1. 圆上任意两点之间的线段都是弦，弦的长短决定了其距离圆心的远近。
2. 弦与其所对的圆心角，它们之间的关系是：当一个弦被圆分成两段时，两段弧所对的角相等；而当一个弧被多个弦分成几段时，各弦所对的角之和等于该弧所对的角。
3. 圆的半径相等，即圆的所有半径长度都相等。
4. 圆的直径是圆上最长的弦，并且它等于圆的半径长度的两倍。
5. 在同一个圆中，弧度越大，对应的圆心角越大。
三、圆的相关定理1. 圆心角定理：在同一个圆中，圆心角所对的弧长是一定的。
换句话说，圆心角相等的弧长相等，圆心角不等的弧长不等。
2. 弧长定理：在同一个圆中，两条相交弦所对的弧长之和等于这两条弦所对的圆心角所对应的弧长之和。
3. 弦切角定理：当一个弦与一个切线相交时，两个交角的差等于这条弦所对的弧的圆心角。
4. 切线定理：从圆外一点引圆的两条切线，这两条切线的切点与该外点构成的两个三角形是相似三角形。
5. 弦切线性质：从圆外一点引圆的切点与切线相连，该切线与引线所对的圆心角相等。
综上所述，圆是平面几何中的重要概念，其性质及相关定理也是我们应用数学知识解决问题的基础。
掌握了圆的定义、基本术语、性质和定理，我们就能更加深入地理解和运用圆的相关知识。
希望本文对大家的学习有所帮助。
关于圆的知识点
关于圆的知识点
1. 定义：圆是一个平面上距离某一点（圆心）的距离都相等的点的集合。
2. 元素和特点：
- 圆心：圆心是圆上所有点到圆心的距离相等的那个点。
- 直径：通过圆心的任意两个点所确定的线段叫做圆的直径，直径的长度是圆的最长距离。
- 半径：圆的半径是从圆心到圆上任意一点的距离。
圆的半
径长度都相等。
- 弧：圆上的一段连续的弧叫做圆弧。
- 弦：圆上的一段弧所对应的线段叫做弦。
- 弧度：弧度是角度的一种度量方式，定义为半径长的圆弧
所对应的夹角。
3. 公式和关系：
- 圆的周长：L = 2πr，其中L代表周长，r代表半径。
- 圆的面积：A = πr²，其中A代表面积，r代表半径。
- 圆的直径与半径的关系：直径等于半径的两倍，即d = 2r。
- 圆的弧长与圆心角的关系：圆的弧长等于圆心角所对应的
圆弧长度的百分比乘以圆的周长。
4. 圆与其他几何图形的关系：
- 圆与直线的关系：一条直线与一个圆有三种可能的关系，
即不相交、相切或者相交于两个点。
- 圆与其他圆的关系：两个或多个圆之间可能相离、相切或
相交。
这些是关于圆的基本知识点，可以帮助我们理解和解决与圆相关的问题。
圆的基本认识和性质
圆的基本认识和性质圆是几何中最基本的图形之一，它在我们的日常生活中无处不在。
本文将围绕圆的基本认识和性质展开讨论，帮助读者更好地理解和应用圆的知识。
一、圆的定义圆是由与一个点距离相等的所有点构成的集合。
这个点被称为圆心，与圆心距离相等的线段被称为半径，而通过圆心且连接两个不同点的线段被称为直径。
二、圆的性质1. 圆的特征每一个圆都具有以下几个特征：A. 圆的周长：圆的周长是圆上所有点到圆心的距离之和，由于所有这些距离相等，因此圆的周长等于圆周率π乘以直径。
用公式表示为：C = πd，其中C为圆的周长，d为直径。
B. 圆的面积：圆的面积是圆内部所有点与圆心的距离之和。
用公式表示为：S = πr²，其中S为圆的面积，r为半径。
C. 圆的弧长：圆上的弧是两个点之间的连续线段。
圆的弧长是指圆上弧的长度，其计算方法与周长类似。
2. 圆的内角性质在圆上的任意一条弦所对的圆心角都是相等的，且都等于该弦所对的弧所对的圆心角。
此外，圆上任意一点到圆心的连线，与该点处的切线所构成的角是直角。
3. 圆的切线性质圆上任意一点处的切线与半径的夹角是直角。
此外，切线与半径的夹角是切线切到点的圆弧所对的圆心角的一半。
三、圆的应用1. 圆的测量通过测量圆的直径、半径或弧长，我们可以计算出圆的周长和面积。
这在实际应用中非常重要，例如在建筑、制造和工程等领域。
2. 圆形物体的运动和旋转许多物体在运动或旋转时可近似认为是圆形的，比如车轮、盘子、风车等。
研究这些圆形物体的运动规律对于工程师和物理学家而言是至关重要的。
3. 圆的几何定理运用圆的几何定理，我们可以解决一些复杂的几何问题。
比如，利用圆的内角性质可以证明三角形的内角和等于180度；利用圆的切线性质可以解决与切线相关的问题等。
四、总结通过对圆的基本认识和性质的讨论，我们可以看到圆在几何学中的重要性和广泛应用。
准确理解圆的定义、特征和性质，对于我们解决实际问题和学习更高级的数学概念都具有重要意义。
圆的知识梳理
圆的知识梳理
圆是一个平面上的几何图形，由所有到一个定点距离相等的点组成。
以下是关于圆的一些基本知识梳理：
1. 圆的要素：一个圆由圆心、半径和圆周组成。
圆心是圆的中心点，通常用字母O表示。
半径是圆心到圆周上任意一点的
距离，通常用字母r表示。
而圆周是由无数个半径相等的点组
成的曲线。
2. 直径：直径是通过圆心的一条线段，它的两个端点都在圆周上。
直径的长度等于半径的两倍。
3. 弧长：弧是圆周上的一段曲线，两端点分别与圆上的两个点相连。
弧长是弧所对应的圆心角所度过的圆周弧度数，通常用字母s表示。
弧长与圆心角之间有以下关系：s = rθ，其中θ
为圆心角的弧度数。
4. 弧度制：弧度制是一种用于测量角度的单位制。
一个圆的圆周长度被定义为2π弧度，在弧度制下，一个完整的圆周对应
角度为360°。
5. 圆的面积：圆的面积是指圆内部的所有点所围成的平面区域，通常用字母A表示。
圆的面积公式为A = πr²，其中π是一个
无理数，约等于3.14159。
6. 圆的周长：圆的周长是指圆周的长度，通常用字母C表示。
圆的周长公式为C = 2πr，即周长等于圆周的长度。
7. 圆与其他图形的关系：圆与其他图形之间存在许多关系，例如，正方形的对角线长度等于边长的√2倍；平行于圆的直线在圆上的截弦相等；半径垂直于切线；等等。
这些知识点可以帮助我们理解和计算圆的相关特性和性质，并且在数学和几何学中有广泛的应用。
有关圆的知识点及公式高三
有关圆的知识点及公式高三圆是数学中一个非常重要的概念，它在几何学和代数学中都有广泛的应用。
本文旨在介绍和讲解关于圆的知识点和公式，帮助高三学生更好地理解和应用圆的相关概念。
一、圆的定义和基本特性圆是由平面上离一个固定点距离相等的所有点组成的图形。
这个固定点称为圆心，固定距离称为半径。
圆由半径、圆心和圆周组成。
圆的基本特性：1. 圆的直径：通过圆心的一条线段，且两个端点在圆上。
直径是圆的最长线段，它的长度等于半径的两倍。
2. 圆的周长：圆的周长是圆周上一周的长度，用C表示。
圆的周长与圆的直径的关系可以用公式C = πd计算，其中π是一个无理数，近似值为3.14159。
3. 圆的面积：圆的面积是圆内部的所有点组成的区域的大小，用A表示。
圆的面积与圆的半径的关系可以用公式A = πr²计算。
二、圆的重要公式1. 圆的周长公式：已知圆的半径r，可以通过公式C = 2πr计算圆的周长。
其中2π也可以用πd替代，d为圆的直径。
2. 圆的面积公式：已知圆的半径r，可以通过公式A = πr²计算圆的面积。
三、圆的相关概念和定理1. 弧和弧长：圆上两个点之间的一段曲线称为弧，弧长是弧所对的圆心角的度数与圆周长之比。
圆周是一个大于或等于360度的弧。
2. 圆心角和弧度：圆心角是以圆心为顶点的角，它的弧度度量是弧长与半径之比。
一个完整的圆心角等于360度或2π弧度。
任意的圆心角θ对应的弧长L与半径r的关系可以用公式L = rθ计算。
3. 弦和切线：连接圆上两个点的线段称为弦，切线是与圆相切且只有一个交点的直线。
四、圆的相关定理1. 弧长定理：同样弧度的圆心角所对的弧长相等。
2. 圆周角定理：圆上的圆心角等于其所对弧所对应的圆周角的一半。
3. 切线定理：从切点引出的切线与半径垂直。
本文介绍了圆的定义、基本特性和相关公式，帮助高三学生更好地理解和应用圆的相关概念。
通过学习圆的知识，学生可以更好地解决与圆相关的几何问题，并在数学考试中取得更好的成绩。
六年级数学圆的知识点
六年级数学圆的知识点六年级数学：圆的知识点一、圆的基本概念1. 圆的定义：平面上所有与给定点（圆心）距离相等的点的集合。
2. 圆心（Center）：圆心是圆的中心点，通常用符号O表示。
3. 半径（Radius）：圆心到圆上任意一点的距离，用符号r表示。
4. 直径（Diameter）：通过圆心的最长弦，是半径的两倍长，用符号d表示。
5. 弦（Chord）：圆上任意两点间的线段。
6. 弧（Arc）：圆上两点间的圆周部分。
7. 优弧（Major Arc）：大于半圆的弧。
8. 劣弧（Minor Arc）：小于半圆的弧。
9. 半圆（Semicircle）：圆的一半，由直径所界定。
10. 切线（Tangent）：与圆只有一个交点的直线。
二、圆的性质1. 所有半径长度相等。
2. 直径是半径的两倍。
3. 圆周角（Circumferential Angle）定理：同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧的圆心角的一半。
4. 切线与半径定理：圆的切线垂直于过切点的半径。
5. 圆的内接四边形对边之积相等。
6. 圆的外切四边形对角线互相平分。
三、圆的计算1. 圆的周长（Circumference）计算公式：C = 2πr 或C = πd其中，C 表示周长，r 表示半径，d 表示直径，π（Pi）约等于3.14159。
2. 圆的面积（Area）计算公式：A = πr²其中，A 表示面积，r 表示半径。
3. 扇形面积（Sector Area）计算公式：S_sector = (θ/360) × πr²其中，θ 表示扇形的中心角（单位：度），r 表示半径。
4. 弓形面积（Bow Area）计算公式：S_bow = S_sector - S_triangle其中，S_sector 表示扇形面积，S_triangle 表示由弦和两条半径围成的三角形面积。
5. 圆柱体积（Cylinder Volume）计算公式：V_cylinder = πr²h其中，V_cylinder 表示体积，r 表示底面圆的半径，h 表示圆柱的高。
六年级下册圆形知识点
六年级下册圆形知识点圆形是数学中的基本几何形状之一，它在我们日常生活中也随处可见。
在六年级下册数学学习中，我们将深入了解圆形，并学习与之相关的一些基本知识点。
本文将对六年级下册圆形相关的知识进行整理和总结。
一、圆的定义与性质1. 定义：圆是由平面上到一点的距离都相等的点的集合。
2. 圆心与半径：圆心是到圆上任意一点距离相等的点，半径是圆心到圆上任意一点的距离。
3. 弧与圆心角：弧是圆上的一段弓形，圆心角是以圆心为顶点的角。
4. 弧长与圆周长：弧长是圆上一段弧的长度，圆周长是圆的边界线长。
5. 相关公式：圆周长C = 2πr（其中r为半径），圆面积S = πr²。
二、圆上的重要线段与角度1. 直径：通过圆心，且在圆上两端点的线段叫做直径。
直径是圆的最长线段，且直径的两倍等于圆周长。
直径还将圆分为两个半圆。
2. 弦：在圆上任意两点之间的线段叫做弦。
3. 切线：与圆只有一个交点的直线叫做切线。
切线与半径相垂直。
4. 弧度与角度：弧度是角度的另一种度量单位。
圆心角为360°对应的弧度为2π，即1弧度等于180°/π。
5. 确定圆心角的方法：根据圆心角所对的弧长，可以求出圆心角的大小。
圆心角所对的弧长是圆周长的一部分，弧长与圆心角是成正比的关系。
三、圆的位置关系1. 内切圆和外切圆：一个圆与一个多边形内切或外切时，我们称这个圆为该多边形的内切圆或外切圆。
2. 相交圆：两个圆相交时，可能有四种情况：外离（两个圆没有公共点）、外切、相交（两个圆有两个不重合的交点）、内切（一个圆完全包含在另一个圆内）。
3. 切圆定理：若平面上有一点，它到两个圆的切点的距离相等，那么连接该点与两个圆心的线段垂直于两个切线。
四、圆的应用1. 时钟与表盘：时钟和表盘是圆形的，我们可以使用圆形的相关知识来解决与时间有关的问题。
2. 游乐场中的设施：摩天轮、旋转木马等游乐场设施常常是圆形的，我们可以利用圆的特性来计算相关问题。
小学数学圆的知识点归纳复习
小学数学圆的知识点归纳复习1、基本知识点 （1）圆的初步认识圆中心的一点叫圆心,用o 表示。
一端在圆心,另一端在圆上的线段叫半径,用r 表示。
两端都在圆上,并过圆心的线段叫直径,用d 表示。
圆有无数条半径，无数条直径，所有的半径都相等，所有的直径也都相等 ，在同圆或等圆中，直径是半径的2倍，字母关系式为2d r =。
或半径是直径的一半，字母关系式为12r d =。
圆规两脚尖所叉开的距离为圆的半径。
在圆内最长的线段是直径。
将一张圆形纸片至少对折2次，就能确定圆心的位置 。
圆是轴对称图形,直径所在的直线是圆的对称轴。
圆有无数条对称轴。
圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小。
（2）圆的周长（用C 来表示）圆一周的长度就是圆的周长。
任何圆的周长除以它的直径的商是一个固定的数,我们把它叫做圆周率, 所以任何一个圆的圆周率，都不随圆的大小而变化。
用字母π表示，计算时通常取3.14，注意π是一个固定值，而3.14是一个近似值。
公式：==÷圆的周长圆周率圆的周长圆的直径圆的直径。
圆的周长公式：C=πd 或 C=2πr一个圆的周长是直径的π倍，是半径的2π倍。
（3）圆的面积（用S 来表示）圆所占地方的大小就是圆的面积。
把一个圆，经若干等分后，再拼成一个近似的长方形：长方形的长 = 圆周长的一半 = πr ，长方形的宽=半径= r 。
长方形的面积= πr 2即圆的面积圆的面积公式： S=πr 2（4）半圆的周长和面积将一个圆沿着任何一条直径剪开分成两个相同的半圆，其中的一个就叫做半圆。
半圆是由一条半圆弧和一条直径围成。
那么半圆C 半圆的周长公式：C =22dd r rππ+=+半圆半圆C 半圆的面积公式：2=2C r π÷半圆（5）圆环的周长和面积两个同心圆形成一个圆环。
设小圆和大圆（或内圆和外圆）的半径和直径分别为r 和R 。
（R ﹥r ） 圆环的周长：=22C r Rππ+圆环圆环的面积：()2222=R -R S r r πππ=-圆环（6）圆的相关结论一个圆的半径扩大若干倍，则它的直径也扩大相同的倍数，周长也扩大相同 的倍数，而面积扩大倍数的平方倍。
圆的认识知识点
圆的认识知识点圆是几何学中的基本图形，它在我们的日常生活中无处不在。
本文将介绍圆的定义、性质以及与圆相关的知识点。
一、圆的定义圆是平面上所有到一定点距离相等的点的集合。
这个点被称为圆心，到圆心距离相等的距离被称为半径。
圆可用以下的数学符号表示：⭕。
圆由圆心和半径唯一确定。
二、圆的性质1. 圆的直径圆的直径是通过圆心且两端点在圆上的线段。
直径的长度是半径长度的两倍。
可以表示为d=2r，其中d是直径的长度，r是半径的长度。
2. 圆的周长圆的周长是指圆上一周的长度。
公式为C=2πr，其中C是周长，r是半径的长度，π是一个常数，近似值约为3.14。
3. 圆的面积圆的面积是指圆内部的平面范围。
公式为A=πr^2，其中A是面积，r是半径的长度，π是一个常数，近似值约为3.14。
4. 弧长和扇形面积弧长是圆上一部分的长度，可以通过弧度来度量。
弧度是一个中心角所对应的弧长与半径的比值。
扇形是圆内部被一条弧和两条半径所夹的区域，扇形的面积可以通过圆心角的大小来计算。
5. 切线和切点切线是与圆相切且垂直于半径的直线。
切点是切线与圆相交的点。
切线与半径垂直的性质使得切线与半径之间的夹角为直角。
三、与圆相关的知识点1. 弦弦是圆上任意两点之间的线段。
弦的长度可以小于、等于或大于直径的长度。
2. 弦长公式如果知道弦的长度和圆的半径，可以利用弦长公式求出两点之间的弦的距离。
弦长公式为L = 2r sin(θ/2)，其中L是弦的长度，r是半径的长度，θ是圆心角的度数。
3. 相切与相交当两个圆之间的弦恰好相切于一个点时，我们称这两个圆相切。
两个圆相交时，它们有两个不同的交点。
4. 切线定理切线定理是指从一个点到圆的切点所作的切线段长度的平方等于这个点到圆心的线段与圆的半径的乘积。
五、总结圆是几何学中的重要图形，具有许多重要的性质和知识点。
通过了解并掌握圆的定义、性质以及与圆相关的重要知识点，我们可以更好地理解和应用圆的概念。
在实际生活和学习中，圆的认识对于解决各种与圆有关的问题都有重要的帮助。
第01讲 圆的基本概念和性质(一)
第一讲圆的基本概念和性质（一）1．圆在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．这个固定的端点O叫做圆心，线段叫做半径．由圆的定义可知：（1）圆上的各点到圆心的距离都等于半径长．在一个平面内，到圆心的距离等于半径长的点都在同一个圆上，因此，圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形．（2）确定一个需要两个基本条件：一个圆心位置，另一个是半径的长短，其中，圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小．2．圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；半径相等的圆叫做等圆．3．弦和弧（1）连结圆上任意两点的线段叫做弦．经过圆心的弦叫做直径，并且直径是同一圆中最长的弦，直径等于半径的2倍．（2）圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A、B为端点的弧记作：»AB读作弧AB．在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧．（3）圆上任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．（4）在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．4．圆心角和圆周角（1）顶点在圆心的角叫做______．（2）顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．【例1】如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线交于点E，若AB＝2DE，∠E＝18°．求∠AOC的度数．【例2】如图，点A、D、G、M在半圆O上，四边形ABOC、DEOF、HMNO均为矩形，设BC＝a，EF＝b，NH＝c，则下列选项中正确的是（）A．a＞b＞cB．a＝b＝cC．c＞a＞bD．b＞c＞a【例3】如图，两个正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm2，则该半圆的半径为______．垂径定理：（1）垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．垂径定理中的五个元素：“过圆心”、“垂直弦”、分弦”、“平分优弧”、“平分劣弧”，知二推三．【例4】如图，CD为⊙O的直径，AB⊥CD于E，DE＝8cm，CE＝2cm，则AB＝_____．【例5】如图，矩形ABCD与圆心在AB上的⊙O交于点G、B、F、E，GB＝8cm，AG＝1cm，DE＝2cm则EF＝_____．【例6】如图，⊙O过点B、C．圆心O在等腰直角△ABC的内部∠BAC＝90°，OA＝l，BC ＝6，则⊙O的半径为____．【例7】如图，在⊙O内有折线OABC，其中OA＝8，AB＝12，∠A＝∠B＝60，则BC的长为____．【例8】如图，一个宽为2的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘相切时，另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”，那么该光盘的直径是____．【例9】已知⊙O的直径是50cm，两条平行的弦AB＝40cm，CD＝48cm，求弦AB与CD间的距离．。
圆的知识点总结最全
圆的知识点总结最全一、什么是圆圆是平面上到一个点到另一点的距离相等的所有点的集合。
这个相等的距离被称为半径，圆心是指这个圆的中心点。
二、圆的基本概念1. 圆心和圆圆心是圆的中心点，用O表示；圆是平面上到一个点到另一点的距离相等的所有点的集合。
2. 半径以圆心为中心, 将如此段（距离为r）的目标线段成为圆的半径。
如果以r表示，…3. 直径通过圆心，且端点都在圆上的线段叫做圆的直径，直径是半径的两倍，也是圆的最长直径线。
4. 圆周通过圆心连续不间断的线段是圆的周长，也就是圆的长度。
5. 圆面积靠着圆的周长，可以计算出圆的面积S。
公式为：S = πr²，其中π是圆周率，r为半径。
6. 弧圆周上的任一线段（不是直径）,称其为圆弧,长度为圆心角的弧所对应的弧长。
7. 圆心角从圆周上两点处所成的角...8. 弦在圆内连接两个圆上的点成为弦，弦所截的弧一半称为弦。
9. 正多边形10. 圆锥、圆台靠着基于圆心的W轴旋转的，形成的谜团3维图形1圆锥2圆台三、圆的性质1. 圆心到圆周各点的距离都相等，这个相等的距离就是半径。
2. 圆的直径是圆的最长直径线。
3. 圆的面积公式：S=πr²，其中π是圆周率，r为半径。
4. 圆周率π是数学中一个重要的无理数，它的取值约为3.14159。
5. 如果两圆的半径相等，则这两个圆是同心圆。
6. 圆的周长公式：L=2πr，其中r为半径。
7. 在同一个圆或者相似圆中，相同角对的弧长相等。
8. 弧长和圆心角的计算公式：L=ρθ，其中ρ为半径，θ为圆心角的弧度。
9. 弦长公式：l=2Rsin(θ/2)，其中R为圆的半径，θ为对应的圆心角。
10. 中心角和对应的弧长的关系：弧长L=2πR（θ/360°），其中R为圆的半径，θ为中心角的度数。
11. 圆锥的侧面成一个倾斜的面，在它的顶点的位置有一个很重要的角，叫做高度角12. 圆锥的条件，靠近这两者中的一个在同样一导线上。
圆形的基础知识
圆形的基础知识一、圆形的定义圆呢，就是在一个平面内，围绕一个点并以一定长度为距离旋转一周所形成的封闭曲线。
这个点就叫做圆心，而从圆心到圆上任意一点的距离就叫做半径。
就像我们生活中的车轮子，它基本上就是圆形的，圆心就是轮子中间的那个点，半径就是从中间那个点到轮子边缘的距离啦。
二、圆形的周长1. 计算方法圆的周长计算公式是C = 2πr或者C = πd。
这里面的C就是周长啦，r是半径，d是直径（直径就是半径的两倍哦，也就是d = 2r），π呢，是一个无限不循环小数，通常我们取3.14来计算。
比如说，一个圆的半径是3厘米，那它的周长就是2×3.14×3 = 18.84厘米。
这就好像我们用一根绳子去绕这个圆一圈，绳子的长度就是这个圆的周长。
2. 生活中的例子在生活中，我们计算圆形花坛的围栏长度就会用到这个公式。
假如花坛的半径是5米，那围栏的长度就是2×3.14×5 = 31.4米，这样我们就能知道需要买多长的围栏材料啦。
三、圆形的面积1. 计算方法圆的面积公式是S = πr²。
比如说一个圆的半径是4厘米，那它的面积就是3.14×4² = 3.14×16 = 50.24平方厘米。
这个公式是怎么来的呢？其实是把圆转化成近似的长方形推导出来的，不过这有点复杂，我们只要记住这个公式就好啦。
2. 生活中的应用比如我们要给一个圆形的餐桌铺上桌布，就需要先算出餐桌的面积，然后买合适大小的桌布。
如果餐桌的半径是0.5米，那它的面积就是3.14×0.5² = 0.785平方米。
四、圆形的相关概念1. 弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
比如在一个钟面上，从12点到3点的那一段弧线就是弧。
弧长的计算公式是l = nπr÷180（n是圆心角的度数，r是半径）。
2. 扇形由圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形。
关于圆的知识点
关于圆的知识点圆是平面几何中的一种基本图形，具有很多独特的性质和特征。
本文将介绍圆的定义、性质和应用，帮助读者更全面地了解圆的知识。
一、圆的定义圆是指平面上到一个定点距离相等的所有点所构成的图形。
这个定点叫做圆心，距离叫做半径。
圆的符号常用字母"O"来表示圆心，半径常用字母"r"来表示。
二、圆的性质1. 圆的周长和面积圆的周长是指圆的边界的长度，我们可以利用周长公式来计算圆的周长：周长 = 2πr，其中π近似取值为3.14或22/7。
圆的面积是指圆所覆盖的平面区域的大小，我们可以用面积公式来计算圆的面积：面积 = πr²。
2. 圆的直径圆的直径是指圆的两个边界点之间的直线段的长度，直径是圆的最长的线段，其长度等于圆的半径的两倍，即直径 = 2r。
3. 圆的弧圆的边界上的一段称为圆弧，圆弧的长度叫做弧长。
如果圆弧的长度正好是圆的周长的一部分，我们称它为圆周角度，它的弧长等于圆周长的1/360，即弧长= 2πr/360。
4. 圆的切线圆上的一条直线，与圆只有一个公共点，这个点叫做切点，这条直线叫做切线。
切线与半径垂直。
三、圆的应用1. 圆的几何应用圆的几何应用非常广泛，可以应用在建筑设计、道路规划、地球表面分割等方面。
例如，建筑设计中常使用圆柱体、圆锥体、圆形拱门等结构，这些结构具有稳定性和美观性。
2. 圆的数学应用圆的数学应用涉及到数学运算和数据处理。
例如，在计算机图形学中，圆经常用于绘制和处理图形，通过计算机的算法可以准确地绘制出圆的形状。
另外，圆的数学模型还广泛应用于物理学和工程学的研究和实践中。
3. 圆的日常应用圆在日常生活中也有很多应用。
例如，轮胎、圆形饼干、碗、杯子等都是圆形的，圆形的物品在制造和使用上更加方便和美观。
总之，圆是平面几何中的重要图形，具有独特的性质和广泛的应用。
通过深入了解圆的定义、性质和应用，我们能够更好地理解圆的概念，提高对几何学的理解和运用能力。
圆的基本知识
圆的基本知识一、圆的定义和特点圆是一个平面上的几何图形，它由到一个固定点距离相等的所有点组成。
这个固定点叫做圆心，到圆心距离相等的线段叫做半径，半径的两个端点叫做圆上的点。
圆上的点到圆心的距离叫做半径，而两个不同的圆心之间的距离叫做直径。
圆的特点有：1. 圆的半径相等，即圆上的任意两个点到圆心的距离都相等。
2. 圆的直径是圆上任意两个点之间的最长线段，它等于两倍的半径。
3. 圆的周长是圆上任意一点到相邻两点的弧长之和，即圆周的长度。
4. 圆的面积是圆内部的所有点与圆心的距离之和，即圆内部的区域面积。
二、圆的公式和计算圆的公式主要有两个，分别是计算周长和计算面积的公式。
1. 计算周长圆的周长可以使用公式C = 2πr来计算，其中C表示周长，π表示圆周率，r表示半径。
圆周率是一个无理数，约等于3.14159。
2. 计算面积圆的面积可以使用公式A = πr^2来计算，其中A表示面积，π表示圆周率，r表示半径的长度。
这个公式是通过将圆分成无数个扇形，然后将这些扇形的面积进行累加得到的。
三、圆的应用圆在日常生活中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 圆形建筑物和结构：圆形建筑物如圆形剧场、圆形体育馆等在建筑设计中常见，圆形结构也具有较好的稳定性。
2. 轮胎和车轮：汽车、自行车等交通工具上的轮胎和车轮大多采用圆形设计，这是因为圆形结构可以更好地分散重量和承受压力。
3. 餐具：碗和盘子通常是圆形的，这样方便食物的摆放和搅拌。
4. 圆形运动场地：篮球场、足球场等运动场地常常是圆形或半圆形的，这是为了保证比赛的公平性和场地的合理利用。
5. 圆形器具和工具：如圆规、量角器等，在绘图和测量中常常使用圆形器具。
圆作为一种基本几何图形，具有独特的定义和特点，并且在日常生活中有广泛的应用。
通过了解圆的定义、特点和计算方法，可以更好地理解和应用圆形几何。
数学有哪些关于圆的知识点
圆的知识：一、圆的定义。
1、以定点为圆心，定长为半径的点组成的图形。
2、在同一平面内，到一个定点的距离都相等的点组成的图形。
二、圆的各元素。
1、半径：圆上一点与圆心的连线段。
2、直径：连接圆上两点有经过圆心的线段。
3、弦：连接圆上两点线段(直径也是弦)。
4、弧：圆上两点之间的曲线部分。
半圆周也是弧。
(1)劣弧：小于半圆周的弧。
(2)优弧：大于半圆周的弧。
5、圆心角：以圆心为顶点，半径为角的边。
6、圆周角：顶点在圆周上，圆周角的两边是弦。
7、弦心距：圆心到弦的垂线段的长。
补充内容：三、圆的基本性质。
1、圆的对称性。
(1)圆是轴对称图形，它的`对称轴是直径所在的直线。
(2)圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。
(3)圆是旋转对称图形。
2、垂径定理。
(1)垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧。
(2)推论：平分弦(非直径)的直径，垂直于弦且平分弦所对的两条弧。
平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。
3、圆心角的度数等于它所对弧的度数。
圆周角的度数等于它所对弧度数的一半。
(1)同弧所对的圆周角相等。
(2)直径所对的圆周角是直角;圆周角为直角，它所对的弦是直径。
4、在同圆或等圆中，两条弦、两条弧、两个圆周角、两个圆心角、两条弦心距五对量中只要有一对量相等，其余四对量也分别相等。
5、夹在平行线间的两条弧相等。
6、设⊙O的半径为r，OP=d。
7、(1)过两点的圆的圆心一定在两点间连线段的中垂线上。
(2)不在同一直线上的三点确定一个圆，圆心是三边中垂线的交点，它到三个点的距离相等。
(直角三角形的外心就是斜边的中点。
圆的基本知识
圆的基本知识圆是几何学中一种常见的二维图形，具有许多独特的性质和特征。
在本文中，我们将介绍圆的基本知识，包括定义、性质、公式和应用。
一、定义和性质圆可以被定义为平面上所有到给定点距离相等的点的集合。
这个给定点称为圆心，而距离等于给定值的点之间的线段称为半径。
圆的周边曲线称为圆周。
性质1：圆周上的任意两点与圆心的连线都是等长的。
性质2：半径相等的两个圆是相等的。
性质3：圆心到圆周上任意一点的距离的最大值是半径长度，最小值是0.二、关键公式1. 圆的周长：圆的周长可以通过计算圆周上的任意弧长来获得。
设r为圆的半径，C为圆的周长，则有公式C=2πr。
2. 圆的面积：圆的面积是指圆所覆盖的平面的大小。
设r为圆的半径，A为圆的面积，则有公式A=πr^2。
3. 弧长公式：弧长是圆周上的一段曲线长度。
设r为圆的半径，θ为圆心角（以弧度为单位），L为弧长，则有公式L=θr。
4. 扇形面积公式：扇形是圆周上由圆心角所确定的部分区域，其面积可以通过圆心角的大小来计算。
设r为圆的半径，θ为圆心角（以弧度为单位），S为扇形面积，则有公式S=1/2θr^2。
三、应用场景1. 圆形建筑和结构：圆形结构具有均衡的力学特性，因此常被用于建筑和桥梁等工程中。
2. 轮胎和圆盘：由于圆的对称性和平衡性，轮胎和圆盘常被设计为圆形以提供更好的稳定性和性能。
3. 作为数学工具：圆形在数学中有着广泛的应用，例如在三角函数、几何成像和微积分等领域中。
总结：本文介绍了圆的基本知识，包括定义、性质、公式和应用。
希望通过本文的阐述，读者能够对圆有更深入的了解，并能在实际应用中灵活运用圆的相关概念和原理。
对于进一步学习数学和其他相关领域都有很重要的意义。
高中圆的知识点
高中圆的知识点高中圆的知识点圆是数学中的基本图形之一，它在几何学、代数学、三角学等领域都有广泛应用。
在高中阶段，圆的相关知识点主要包括圆的定义、性质、判定方法、弧长与扇形面积、圆锥曲线等方面。
一、圆的定义和性质1. 定义：平面上所有到定点距离相等的点构成一个圆。
2. 性质：（1）圆心：定点称为圆心，通常用字母O表示。
（2）半径：从圆心到任意一点的距离称为半径，通常用字母r表示。
（3）直径：通过圆心并且两端点在圆上的线段称为直径，它是半径长度的两倍。
（4）弦：连接圆上任意两点的线段称为弦。
（5）切线：与圆只有一个公共点且垂直于半径的直线称为切线。
二、判定方法1. 判定一个图形是否是一个圆：若该图形满足所有到某个定点距离相等，则该图形是一个圆。
2. 判定两个图形是否相交：若两个图形有公共部分，则它们相交；否则，它们不相交。
3. 判定两个图形是否相切：若两个图形有公共部分且只有一个公共点，则它们相切；否则，它们不相切。
三、弧长与扇形面积1. 弧长：圆上任意弧的长度称为弧长，通常用字母l表示。
2. 扇形面积：由圆心和圆上两点所构成的扇形所包含的面积称为扇形面积，通常用字母S表示。
四、圆锥曲线1. 椭圆：平面上所有到两个定点距离之和等于常数的点构成一个椭圆。
2. 双曲线：平面上所有到两个定点距离之差等于常数的点构成一个双曲线。
3. 抛物线：平面上所有到定点距离等于直线距离的点构成一个抛物线。
4. 圆：平面上所有到定点距离相等的点构成一个圆。
五、习题实战1. 已知正方形ABCD中心为O，半径为r，则以O为圆心，以r为半径作一圆与正方形ABCD相切。
求该圆周长和扇形面积。
解：由于圆与正方形相切，所以正方形的对角线等于圆的直径，即2r=AB=BC=CD=DA。
又由于正方形的中心是圆的圆心，所以该圆半径也为r。
（1）周长：C=2πr=2π×r=2πr（2）扇形面积：S=1/4πr²2. 已知一个半径为5cm的圆与一条长度为12cm的线段相交，求此线段与圆弧之间所夹的面积。
圆的相关知识及其应用
圆的相关知识及其应用圆是一种简单而神秘的几何形状，拥有丰富的知识和广泛的应用。
在这篇文章中，我将探讨圆的相关知识和一些常见的应用。
一、基本概念圆是一个由所有到某一点的距离相等的点组成的集合。
这个点被称为圆心，所有的点到圆心的距离都被称为半径。
圆的周长是所有点与圆心的距离之和，通常被称为圆周。
相应地，圆的面积是圆心到圆周的距离之和。
二、圆的性质1. 对于任意点和圆心之间的距离，它是一个常数，即半径。
2. 圆的直径是圆周的两倍。
换句话说，圆的直径是通过圆心的任何线段，而且圆的半径等于圆心到直径的一半。
3. 对于任意点在圆上，它到圆心的距离等于半径。
另外，如果两个圆有相同的半径，则它们是同样大小的圆。
4. 圆与直线的关系：如果一条直线与圆相交，那么圆与这条直线的交点可以组成一个角度为90度的三角形。
三、圆的应用圆在许多领域都有广泛的应用，下面是一些例子。
1.几何图形圆在设计几何图形时，是一个非常有用的形状。
例如，在设计曲线时，工程师通常使用圆来创建一个平滑的曲线。
2.计量学和物理学圆的基本概念和公式在计量学和物理学中也是非常重要的。
例如，在工程测量中，圆用来表示地球的大小和形状。
3.运动学和机械工程圆也在运动学和机械工程中广泛应用。
例如，在轮式机器人和汽车设计中，轮子为圆形，并且通过旋转来产生行动力。
4.数学和科学圆的性质和公式在数学和科学中也是广为人知的。
例如，在数学中，圆可以用来解决圆锥曲线的问题，而在物理学中，它可以用来解释天体运动。
五、结论圆是一个非常有趣和有用的几何形状，在许多领域都有广泛应用。
通过掌握圆的基本概念和性质，我们可以更好地理解和应用它。
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【同步教育信息】 一. 本周教学内容：圆的基本知识（一）（一）知识要点1. 圆与点、圆与直线、圆与圆的位置关系。
()1点在圆外⇔>d r 点在圆上⇔=d r 点在圆内⇔<d r ()2直线与圆相离⇔>d r 直线与圆相切⇔=d r 直线与圆相交⇔<d r圆的切线垂直于过切点的半径，它的逆命题也成立。
()3两圆外离⇔>+d R r两圆相切或⇔=+=-d R r d R r 两圆相交⇔-<<+>R r d R r R r ()两圆内含⇔<->d R r R r ()两圆相交时，连心线垂直平分公共弦，两圆的外（内）公切线长相等。
2. 与圆有关的角（1）圆心角：顶点在圆心、圆心角与它所对的弧的度数相等。
（2）圆周角：顶点在圆上，圆周角等于同弧上圆心角的一半。
（3）弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切，弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。
3. 圆与三角形、四边形、正多边形的关系（1）三角形有且只有一个外接圆和一个内切圆，它们的圆心分别叫三角形的外心和内心。
（2）圆的内接四边形对角互补，外角等于其内对角。
（3）正多边形有外接圆和内切圆。
（4）圆柱的侧面展开图是矩形，圆锥的侧面展开图是扇形。
4. 与圆有关的定理垂径定理、切线长定理、圆周角定理、弦切角定理、相交弦定理、切割线定理。
（二）思想方法总结 1. 转化思想能将复杂图形转化为简单图形，将正多边形的有关计算问题转化为解直角三角形的问题来解决。
2. 方程思想：在相交弦定理、切割线定理及弧长公式中，已知其它l n R=π180量，求一个量，运用方程的思想。
（三）有关辅助线的做法一些辅助线的添法概括如下：遇直径，作直径上的圆周角；遇切线，作过切点的半径或连结圆上某一点构成弦切角；证明圆周角相等，常用同弧上的圆心角过渡或作同弧上的圆周角；求弦长、弦心距、半径，常作垂直于弦的半径，连结圆心和弦的端点构造直角三角形；证明线段等积或成比例，一般构造相交弦、相交割线或相似三角形；遇到四个点在同一圆周上，要考虑到顺次连结四点构成圆内接四边形，用其性质解题；遇到圆外切三角形、多边形，应注意到切线长定理的应用。
【典型例题】1. 在半径为的⊙中，弦、的长分别为和，求∠的度数。
132O AB AC BAC 分析：根据题意，需要自己画出图形进行解答，在画图时要注意AB 与AC 有不同的位置关系。
解：由题意画图，分AB 、AC 在圆心O 的同侧、异侧两种情况讨论， 当AB 、AC 在圆心O 的异侧时，如下图所示，过O 作OD ⊥AB 于D ，过O 作OE ⊥AC 于E ，∵，，∴，AB AC AD AE ====323222 ∵，∴∠，OA OAD AD OA ===132coscos ∠OAE AE OA ==22∴∠OAD=30°，∠OAE=45°，故∠BAC=75°，当AB 、AC 在圆心O 同侧时，如下图所示，同理可知∠OAD=30°，∠OAE=45°， ∴∠BAC=15°点拨：本题易出现只画出一种情况，而出现漏解的错误。
例2. 如图：△ABC 的顶点A 、B 在⊙O 上，⊙O 的半径为R ，⊙O 与AC 交于D ，如果点既是的中点，又是边的中点，D AB AC ⋂（1）求证：△ABC 是直角三角形；()22求的值AD BC分析：()1由为的中点，联想到垂径定理的推论，连结交于，D AB OD AB F ⋂则AF=FB ，OD ⊥AB ，可证DF 是△ABC 的中位线；（2）延长DO 交⊙O 于E ，连接AE ，由于∠DAE=90°，DE ⊥AB ，∴△ADF∽△，可得·，而，，故可求DAE AD DF DE DF BC DE R AD BC22122===解：（1）证明，作直径DE 交AB 于F ，交圆于E∵为的中点，∴⊥，D AB AB DE AF FB ⋂=又∵AD=DC ∴∥，DF BC DF BC =12∴AB ⊥BC ，∴△ABC 是直角三角形。
（2）解：连结AE ∵DE 是⊙O 的直径 ∴∠DAE=90°而AB ⊥DE ，∴△ADF ∽△EDA∴，即·AD DE DFADAD DE DF ==2 ∵，DE R DF BC ==212∴·，故AD BC R AD BCR 22==例3. 如图，在⊙O 中，AB=2CD ，那么（ ）A AB CDB AB CD ..⋂>⋂⋂<⋂22C AB CD D AB CD ..⋂=⋂⋂⋂22与的大小关系不确定分析：要比较与的大小，可以用下面两种思路进行：AB CD ⋂⋂2()112把的一半作出来，然后比较与的大小。
AB AB CD ⋂⋂⋂()222把作出来，变成一段弧，然后比较与的大小。
CD CD AB ⋂⋂⋂解：解法（一），如图，过圆心O 作半径OF ⊥AB ，垂足为E ，则AF FB AB ⋂=⋂=⋂12AE EB AB ==12∵，∴AB CD AE CD AB ===212∵AF FB AF FB ⋂=⋂=，∴在△AFB 中，有AF+FB>AB∴，∴，∴，∴2222AF AB AF ABAF CD AF CD >>>⋂>⋂ ∴AB CD ⋂>⋂2∴选A 。
解法（二），如图，作弦DE=CD ，连结CE则DE CD CE ⋂=⋂=⋂12在△CDE 中，有CD+DE>CE ∴2CD>CE∵AB=2CD ，∴AB>CE∴，∴AB CE AB CD ⋂>⋂⋂>⋂2∴选A 。
例4. 如图，四边形内接于半径为的⊙，已知，ABCD 2O AB BC AD ===141 求CD 的长。
分析：连结BD ，由AB=BC ，可得DB 平分∠ADC ，延长AB 、DC 交于E ，易得△EBC ∽△EDA ，又可判定AD 是⊙O 的直径，得∠ABD=90°，可证得△ABD ≌△EBD ，得DE=AD ，利用△EBC ∽△EDA ，可先求出CE 的长。
解：延长AB 、DC 交于E 点，连结BD ∵AB BC AD ===141 ∴，，∴∠∠AB BC AD ADB EDB ⋂=⋂==4∵⊙O 的半径为2，∴AD 是⊙O 的直径 ∴∠ABD=∠EBD=90°，又∵BD=BD∴△ABD ≌△EBD ，∴AB=BE=1，AD=DE=4 ∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∴∠EBC=∠EDA ，∠ECB=∠EAD∴△∽△，∴EBC EDA BC AD CEAE= ∴·CE BC AE AD BC AB BE AD ==+=+=()11412∴CD DE CE =-=-=41272例5. 如图，、分别是⊙的直径和弦，为劣弧上一点，⊥AB AC O D AC DE AB ⋂于H ，交⊙O 于点E ，交AC 于点F ，P 为ED 的延长线上一点。
（1）当△PCF 满足什么条件时，PC 与⊙O 相切，为什么？()22当点在劣弧的什么位置时，才能使·，为什么？D AC AD DE DF ⋂=分析：由题意容易想到作辅助线OC ， （1）要使PC 与⊙O 相切，只要使∠PCO=90°，问题转化为使∠OCA+∠PCF=∠FAH+∠AFH 就可以了。
()22要使·，即使，也就是使△∽△AD DE DF AD DE DFADDAF DEA == 解：（1）当PC=PF ，（或∠PCF=∠PFC ）时，PC 与⊙O 相切， 下面对满足条件PC=PF 进行证明， 连结OC ，则∠OCA=∠FAH ，∵PC=PF ，∴∠PCF=∠PFC=∠AFH ，∵DE ⊥AB 于H ，∴∠OCA+∠PCF=∠FAH+∠AFH=90° 即OC ⊥PC ，∴PC 与⊙O 相切。
()22当点是劣弧的中点时，·，理由如下：D AC AD DE DF ⋂=连结，∵，∴∠∠AE AD CD DAF DEA ⋂=⋂= 又∵∠∠，ADF EDA =∴△∽△，∴DAF DEA AD DE DFAD=即AD 2=DE ·DF点拨：本题是一道条件探索问题，第（1）问是要探求△PCF 满足什么条件时，PC 与⊙O 相切，可以反过来，把PC 与⊙O 相切作为条件，探索△PCF 的形状，显然有多个答案；第（2）问也可将AD 2=DE ·DF 作为条件，寻找两个三角形相似，探索出点D 的位置。
例6. 如图，四边形是矩形，以为直径作半圆，过点ABCD ()AB BC BC O >12D 作半圆的切线交AB 于E ，切点为F ，若AE ：BE=2：1，求tan ∠ADE 的值。
分析：要求tan ∠ADE ，在Rt △AED 中，若能求出AE 、AD ，根据正切的定义就可以得到。
ED=EF+FD ，而EF=EB ，FD=CD ，结合矩形的性质，可以得到ED 和AE 的关系，进一步可求出AE ：AD 。
解：∵四边形ABCD 为矩形，∴BC ⊥AB ，BC ⊥DC ∴AB 、DC 切⊙O 于点B 和点C ，∵DE 切⊙O 于F ，∴DF=DC ，EF=EB ，即DE=DC+EB ， 又∵AE ：EB=2：1，设BE=x ，则AE=2x ，DC=AB=3x ， DE=DC+EB=4x ，在Rt △AED 中，AE=2x ，DE=4x ， ∴AD x =23 则∠t a n A D E AE AD x x ===22333点拨：本题中，通过观察图形，两条切线有公共点，根据切线长定理，得到相等线段。
例7. 已知⊙O 1与⊙O 2相交于A 、B 两点，且点O 2在⊙O 1上，（1）如下图，AD 是⊙O 2的直径，连结DB 并延长交⊙O 1于C ，求证CO 2⊥AD ；（2）如下图，如果AD 是⊙O 2的一条弦，连结DB 并延长交⊙O 1于C ，那么CO 2所在直线是否与AD 垂直？证明你的结论。
分析：（1）要证CO 2⊥AD ，只需证∠CO 2D=90°，即需证∠D+∠C=90°，考虑到AD 是⊙O 2的直径，连结公共弦AB ，则∠A=∠C ，∠DBA=90°，问题就可以得证。
（2）问题②是一道探索性的问题，好像难以下手，不妨连结AC ，直观上看，AC 等于CD ，到底AC 与CD 是否相等呢？考虑到O 2在⊙O 1上，连结AO 2、DO 2、BO 2，可得∠1=∠2，且有△AO 2C ≌△DO 2C ，故CA=CD ，可得结论CO 2⊥AD 。
解：（1）证明，连结AB ，AD 为直径，则∠ABD=90° ∴∠D+∠BAD=90°又∵∠BAD=∠C ，∴∠D+∠C=90° ∴∠CO 2D=90°，∴CO 2⊥AD （2）CO 2所在直线与AD 垂直， 证明：连结O 2A 、O 2B 、O 2D 、AC 在△AO 2C 与△DO 2C 中∵，∴，∴∠∠O A O B AO BO 222212=⋂=⋂=∵∠O 2BD=∠O 2AC ，又∠O 2BD=∠O 2DB ，∴∠O 2AC=∠O 2DB ∵O 2C=O 2C ，∴△AO 2C ≌△DO 2C ，∴CA=CD ， ∴△CAD 为等腰三角形，∵CO 2为顶角平分线，∴CO 2⊥AD 。