(反比例函数在中考中的常见题型)

中考数学复习教材回归知识讲解+例题解析+强化训练

反比例函数在中考中的常见题型

◆知识讲解

1．反比例函数的图像是双曲线，故也称双曲线y=k

x

（k≠0）．

2．反比例函数y=k

x

（k≠0）的性质

（1）当k>0时⇔函数图像的两个分支分别在第一，三象限⇔在每一象限，y随x的增大而减小．

（2）当k<0时⇔函数图像的两个分支分别在第二，四象限⇔在每一象限，y随x的增大而增大．

（3）在反比例函数y=k

x

中，其解析式变形为xy=k，故要求k的值，•也就是求其图像

上一点横坐标与纵坐标之积，•通常将反比例函数图像上一点的坐标当作某一元二次方程的两根，运用两根之积求k的值．

（4）若双曲线y=k

x

图像上一点（a，b）满足a，b是方程Z2－4Z－2=0的两根，求双

曲线的解析式．由根与系数关系得ab=－2，又ab=k，∴k=－2，故双曲线的解析式是y=

2

x

-

．

（5）由于反比例函数中自变量x和函数y的值都不能为零，所以图像和x轴，y•轴都没有交点，但画图时要体现出图像和坐标轴无限贴近的趋势．

◆例题解析

例1如图，在直角坐标系中，O为原点，点A在第一象限，它的纵坐标是横坐标的3

倍，反比例函数y=12

x

的图像经过点A，

（1）求点A的坐标；

（2）如果经过点A的一次函数图像与y轴的正半轴交于点B，且OB=AB，•求这个一次函数的解析式．

【分析】（1）用含一个字母a的代数式表示点A的横坐标，纵坐标，把点A的坐标代

入y=12

x

可求得a的值，从而得出点A的坐标．

（2）设点B的坐标为（0，m），根据OB=AB，可列出关于m的一个不等式，•从而求出点B的坐标，进而求出经过点A，B的直线的解析式．

【解答】（1）由题意，设点A的坐标为（a，3a），a>0．

∵点A在反比例函数y=12

x

的图像上，得3a=

12

a

，解得a1=2，a2=－2，经检验a1=2，

a2=－2•是原方程的根，但a2=－2不符合题意，舍去．∴点A的坐标为（2，6）．

（2）由题意，设点B的坐标为（0，m）．

∵m>0，∴．

解得m=10

3

，经检验m=

10

3

是原方程的根，

∴点B的坐标为（0，10

13

）．

设一次函数的解析式为y=kx+10 13

．

由于这个一次函数图像过点A（2，6），

∴6=2k+10

3

，得k=

4

3

．

∴所求一次函数的解析式为y=4

3

x+

10

3

．

例2 如图，已知Rt△ABC的顶点A是一次函数y=x+m与反比例函数y=m

x

的图像在

第一象限的交点，且S△AOB=3．

（1）该一次函数与反比例函数的解析式是否能完全确定？如能确定，•请写出它们的解析式；如不能确定，请说明理由．

（2）如果线段AC的延长线与反比例函数的图像的另一支交于D点，过D作DE⊥x•轴于E，那么△ODE的面积与△AOB的面积的大小关系能否确定？

（3）请判断△AOD为何特殊三角形，并证明你的结论．

【分析】△AOB 是直角三角形，所以它的面积是两条直角边之积的

1

2

，•而反比例函数图像上任一点的横坐标，纵坐标之积就是反比例函数中的系数．由题意不难确定m ，则所求一次函数，反比例函数的解析式就确定了．

由反比例函数的定义可知，过反比例函数图像上任一点作x 轴，y 轴的垂线，•该点与两垂足及原点构成的矩形的面积都是大小相等的． 【解答】（1）设B （x ，0），则A （x 0，

m

x ），其中0>0，m>0． 在Rt △ABO 中，AB=

m

x ，OB=x 0． 则S △ABO =

12

·x 0·0m x =3，即m=6．

所以一次函数的解析式为y=x+6；反比例函数的解析式为y=

6

x

． （2）由66y x y x =+⎧⎪

⎨=⎪⎩

得x 2+6x －6=0，

解得x 1=－15x 2=－315

∴A （－1515，D （－315315．

由反比例函数的定义可知，对反比例函数图像上任意一点P （x ，y ），有

y=

6

x

．即xy=6． ∴S △DEO =1

2

│x D y D │=3，即S △DEO =S △ABO ．

（3）由A （－1515和D （－315315可得3，3即AO=DO ．

由图可知∠AOD>90°，∴△AOD 为钝角等腰三角形．

【点评】特殊三角形主要指边的关系和角的关系．通过对直观图形的观察，借助代数运算验证，便不难判断．

◆强化训练 一、填空题

1．如图1，直线y=kx （k>0）与双曲线y=4

x

交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，•则2x 1y 2－7x 2y 1的值等于_______．

图1 图2 图3

2．（2006，）如图2，矩形AOCB 的两边OC ，OA 分别位于x 轴，y 轴上，点B 的坐标为B （－

20

3

，5），D 是AB 边上的一点，将△ADO 沿直线OD 翻折，使A 点恰好落在对角线OB 上的点E 处，若点E 在一反比例函数的图像上，那么该函数的解析式是______． 3．近视眼镜的度数y （度）与镜片焦距x （m ）成反比例，已知400•度近视眼镜镜片的焦距为0.25m ，则y 与x 的函数关系式为_______． 4．若y=

21

31a a a x

--+中，y 与x 为反比例函数，则a=______．若图像经过第二象限的某点，则

a=______． 5．反比例函数y=

k

x

的图像上有一点P （a ，b ），且a ，b 是方程t 2－4t －2=0的两个根，则k=_______；点P 到原点的距离OP=_______．

6．已知双曲线xy=1与直线y=－b 无交点，则b 的取值围是______． 7．反比例函数y=

k

x

的图像经过点P （a ，b ），其中a ，b 是一元二次方程x 2+kx+4=0的两个根，那么点P 的坐标是_______．