四川新高考考前三个月数学理二轮专题复习4.2数列求和及综合应用(含答案详析)

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《新步步高》高考考前三个月数学(四川专用理科)二轮回扣专项练2含答案.doc

回扣专项练2函数与导数1.函数.Ax) = ln(?+2)的图象大致是( )答案D解析由A-x)=/(x)可得函数/(X )为偶函数，又 ln(?+2)^ln2,故选 D.2. 奇函数/(x)的定义域为R.若/(x+2)为偶函数，且/(1)=1,则,/(8)+/(9)等于()A. -2B. 一 1C. 0答案D解析因为/(X )为R 上的奇函数，所以X-x)=-Ax), .A0) = 0.因为Ax+2)为偶函数，所以 /(x+2)=/(—x+2),所以./(x+4)=/(—x) = —心)，所以几丫+8)=心)，即函数.沧)的周期为8, 故 /(8)+/(9)=/(0)+/(1)=1.3. 已知./(x)是定义在R 上的奇函数，若对于兀20,都有/(x+2)=/(x),且当xe[0,2)时，/(x) =e A -l,则./(2015)+.兀一2016)等于( )A. 1 —eB. e — 1C. — 1 —eD ・ e+ 1 答案B解析由・沧+2)=心)知・/(x)是周期为2的周期函数，・・・/(2015)=/(l)=e —1,又；心)为奇函数， :.f(—2016) = -/(2016) = -/(0) = - (c° —1) = 0./.X2015)+y (-2016)=e-1.- 1 14. 已知0 = 33』=100丄亍疋=1002亍则()A. a>b>cB ・ b>c>a C. c>b>aD. b>a>c答案A解析•・1=3*>1, /)=logH=log 32,则 0<b< 1, c —log 2|<0, /.a>b>c. D. 15. 设函数F(x)=/(x)+/(—x), xWR,且［一兀，一号是函数F(x)的一个单调递增区间.将函数F(Q 的图象向右平移兀个单位，得到一个新的函数G(x)的图象，则G(x)的一个单调递减区间是() A .— 71, T T ■B. 71匚C. ■兀 T 兀 D . 「3 兀 o 1 2 , 2TI答案D解析 J F(x)=.心)+./(—X ), xeR,・•・ F(~x)=/(~x) +/(x)=F(x),・・・ F(x)为偶函数,7, 7i 为函数F (兀)的一个单调递减区间.将F(x)的图象向右平移兀个单位，得到一个新的函数G(x)的图象，则G(x)的一个单调递减区间是「乎，2K6. 函数.心)的定义域为儿若当x lf x 2^A 且./01)=沧2)时，总有X1=X2,则称./(X )为单函数•例如：函数./(x)=2x+l(xWR)是单函数.给出下列结论：① 函数,Ax)=x 2(xeR)是单函数；②指数函数/(x) = 2v (xeR)是单函数；③若./(X )为单函数， X1，且X1HX2，则沧1)壬/&2)；④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数. 其中正确结论的个数是()A. 3B ・ 2C. ID. 0<0,则实数a 的取值范围是 ______________答案(_8, -爭］7T TT<0知，函数/(X )在区间才，J 上是减函数.又f (x) = a + sinx,所以f (x)W0在区间甘，号上恒成立，即泾一sinx 在区间［春打上恒成立.当养舄时，芈答案A解析由单函数的定义可知，函数值相同则自变量也必须相同.依题意可得①不正确，②正确，③正确，④正确.7. 若偶函数的图象关于直线x=2对称，./(3) = 3,则./(一1)= _______________ .答案3解析因为/(X )的图象关于直线x=2对称，所以/x)=/(4-x), _/(-x)=A44-x),又几一x)= ./«,所以/(x)=/(4+x),则/(—1)=/(4—1)=/(3)=3.8. 已知函数fix)=ax —cosx, xW * 扌 TI 71 71 TI ，若血压乡，V/弓，算兀丙2,3如 4’ 3 4，33x —m 9 xW2, 9.已知加HO,函数/(x)=r 宀若/(2—加)=/(2+〃小则实数7//的值为 _________—x~2m 9 x>2, 解析若 /77>0,则./(2—加)=3(2—m)—w = 6—4/77,代2+〃?) = — (2 + 加)一2加=—2 — 3加，.*.6—4〃? = — 2 — 3m ，解得〃? = &若 m<0,则./(2 — m)=8 —(2—m)—2/n = —2—/(2 + 加)=3(2 + 加)一加= 6+2〃?，一2—加= 6+2加，解得 m=—亍 10.己知函数./(x)=在［］,+oo)上为减函数，则实数G 的取值范圉为 ____________________ 答案［e, +°°)px-(lnt/ + liiY ) 1_(［敗+皿)解析f (对= -------- ?------ =丿,因为.心)在［1, +T 上为减函数，故f ⑴WO •A在［1, +°°)上恒成立，即 \na^}—\nx 在［1, +®)上恒成立.设 °(x)=l —Inx, ^(x)nwx = 1，故 lnaMl, Q 2C .11.已知函数^x)=ax L ~2ax+2 + b(a^)在区间［2,3］上有最大值5,最小值2.(1) 求°, b 的值；(2) 若XI, g(x)=J(x)-2m x 在［2,4］上单调，求加的取值范围. 解(\)f(x)=a(x-})2+2 + b~a. ①当a>0时，金)在［2,3］上为增函数,9a —6a+2+b = 5, 4a —4a+2 + b=2 ② 当a<0时,冗0在［2,3］上为减函数,故 Q =1 或 a= — \, b = 0 或 h = 3.(2)X1, :.a=\, b=0,即 Ax) =X 2-2x4-2, g(x) =x 2 — 2x+2 — 2m x=x 2—(2 + 2m)x~\~2. —sinxW — 即一si 眦的最小值为一爭，所以QW —爭.故严"认2) = 2 故］ 1A3) = 2, 1/(2) = 5 9a — 6a+2+b=2, 4Q —4a+2+b = 5a= — \y b=3.所以一爭w h = 0.2 + 2m2‘" + 2若g(兀)在［2,4］上单调，则二或二一24, .・.2"W2 或2"'$6,即/nWl或加21og26.故加的取值范围是(一oo, l]U[10g 26, +8).12.己知函数,/(x)=(^2+x-l)e\其中e 是自然对数的底数，a^R⑴若°=1,求曲线刃刃在点(1,人1))处的切线方程；⑵若a<0,求./(x)的单调区间； m 的取值范围.解(1)・・・.心)=(,+*-1疋，:・f (x) = (2x+ 1 )e r+(x 2+x~\ )c v =(x 2+3x)c A . ・・・曲线./(x)在点(1, /(l))处的切线斜率为(l)=4e. 又所求切线方程为j —e=4e(x —1), 即 4ex —y —3e=0.(2)/v (x)=(2ax+ \)e+(ax 2+x~ 1妙=破 + (2° + 1)加.①若一y<t7<0,当兀<0 或 x>—~~~时，/' (x)<0.ex・・./(x)的单调递减区间为(一8, 0), (―2。

高考数学二轮复习专题四数列 4.2 数列求和及数列的综合应用素能演练提升文

第二讲数列求和及数列的综合应用掌握核心,赢在课堂1.若数列{a n}是公差为2的等差数列,则数列{}是( )A.公比为4的等比数列B.公比为2的等比数列C.公比为的等比数列D.公比为的等比数列解析:∵a n=a1+2(n-1),∴=22=4.∴{}是等比数列,公比为4.答案:A2.已知在数列{a n}中,a1=-60,a n+1=a n+3,则|a1|+|a2|+|a3|+…+|a30|等于( )A.445B.765C.1080D.3105解析:∵a n+1=a n+3,∴a n+1-a n=3.∴{a n}是以-60为首项,3为公差的等差数列.∴a n=a1+3(n-1)=3n-63.令a n≤0,得n≤21.∴前20项都为负值.∴|a1|+|a2|+|a3|+…+|a30|=-(a1+a2+…+a20)+a21+…+a30=-2S20+S30.∵S n=n=×n,∴|a1|+|a2|+|a3|+…+|a30|=765.答案:B3.设数列{a n}的前n项和S n=2n-1,则的值为( )A. B. C. D.解析:∵S n=2n-1,∴.答案:A4.设某商品一次性付款的金额为a元,以分期付款的形式等额地分成n次付清,若每期利率r保持不变,按复利计算,则每期期末所付款是( )A.(1+r)n元B.元C.(1+r)n-1元D.元解析:设每期期末所付款是x元,则各次付款的本利和为x(1+r)n-1+x(1+r)n-2+x(1+r)n-3+…+x(1+r)+x=a(1+r)n,即x·=a(1+r)n,故x=.答案:B5.(2014黑龙江大庆第二次质检,10)已知数列{a n}满足a n+1=a n-a n-1(n≥2),a1=1,a2=3,记S n=a1+a2+…+a n,则下列结论正确的是( )A.a2014=-1,S2014=2B.a2014=-3,S2014=5C.a2014=-3,S2014=2D.a2014=-1,S2014=5解析:由已知数列{a n}满足a n+1=a n-a n-1(n≥2),知a n+2=a n+1-a n,a n+2=-a n-1(n≥2),a n+3=-a n,a n+6=a n,又a1=1,a2=3,a3=2,a4=-1,a5=-3,a6=-2,所以当k∈N时,a k+1+a k+2+a k+3+a k+4+a k+5+a k+6=a1+a2+a3+a4+a5+a6=0,a2014=a4=-1,S2014=a1+a2+a3+a4=1+3+2+(-1)=5.答案:D6.数列{a n}的通项公式a n=n cos,其前n项和为S n,则S2012等于( )A.1006B.2012C.503D.0解析:∵函数y=cos的周期T==4,∴可分四组求和:a1+a5+…+a2009=0,a2+a6+…+a2010=-2-6-…-2010==-503×1006,a3+a7+…+a2011=0,a4+a8+…+a2012=4+8+…+2012==503×1008.故S2012=0-503×1006+0+503×1008=503×(-1006+1008)=1006.答案:A7.(2014河南郑州第二次质检,12)已知正项数列{a n}的前n项和为S n,若2S n=a n+(n∈N*),则S2014=( )A.2 014+B.2 014-C.2 014D.解析:由题意可知,当n≥2时,当n≥2时,a n=S n-S n-1,则2S n=a n+=S n-S n-1+,整理得-=1,即数列{}是公差为1的等差数列.又由2S1=2a1=a1+,解得a1=1(a n>0),即S1=1,=1,因此=n.故S2 014=.答案:D8.(2014河北唐山高三统考,16)若数列{a n}的前n项和为S n,且a1=3,a n=2S n-1+3n(n≥2),则该数列的通项公式为a n= .解析:∵a n=2S n-1+3n,∴a n-1=2S n-2+3n-1(n≥3),相减得a n-a n-1=2a n-1+2×3n-1,即a n=3a n-1+2×3n-1.∴=+(n≥3).又a2=2S1+32=2a1+32=15,=,+=,即=+,∴数列是以1为首项,为公差的等差数列,∴=1+(n-1)×.∴a n=(2n+1)3n-1.答案:(2n+1)3n-19.(2014贵州六校第一次联考,16)已知f(x)=,各项均为正数的数列{a n}满足a1=1,a n+2=f(a n),若a12=a14,则a13+a2 014= .解析:由f(x)=,a1=1,a n+2=f(a n)可得a3==,a5==,同理可推得a7=,a9=,a11=,a13=,由a12=a14,得=,a10=a12,依次推出a2=a4=a6=…=a2 014,由a4=f(a2),得a2=,+a2-1=0,a2=.故a13+a2 014=+.答案:+10.在公差为d的等差数列{a n}中,已知a1=10,且a1,2a2+2,5a3成等比数列.(1)求d,a n;(2)若d<0,求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|.解:(1)由题意得5a3·a1=(2a2+2)2,即d2-3d-4=0,故d=-1或d=4.当d=-1时,a n=-n+11;当d=4时,a n=4n+6.所以d=-1,a n=-n+11,n∈N*或d=4,a n=4n+6,n∈N*.(2)设数列{a n}的前n项和为S n.因为d<0,由(1)得d=-1,a n=-n+11.则当n≤11时,|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=S n=-n2+n.当n≥12时,|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=-S n+2S11=n2-n+110.综上所述,|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=11.(2014河南郑州第二次质检,17)已知正项数列{a n},若对于任意正整数p,q均有a p·a q=2p+q成立.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若b n=na n,求数列{b n}的前n项和S n.解:(1)由已知,令p=q=n可得a n·a n=22n,因为a n>0,所以a n=2n.(2)b n=na n=n×2n,S n=1×21+2×22+3×23+…+(n-1)2n-1+n×2n,①2S n=1×22+2×23+3×24+…+(n-1)2n+n×2n+1,②由①-②,得-S n=1×21+22+23+…+2n-n×2n+1,即-S n=-n×2n+1,整理可得S n=(n-1)2n+1+2.12.已知向量p=(a n,2n),向量q=(2n+1,-a n+1),n∈N*,向量p与q垂直,且a1=1.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若数列{b n}满足b n=log2a n+1,求数列{a n·b n}的前n项和S n.解:(1)∵向量p与q垂直,∴2n+1a n-2n a n+1=0,即2n a n+1=2n+1a n.∴=2.∴{a n}是以1为首项,2为公比的等比数列.∴a n=2n-1.(2)∵b n=log2a n+1,∴b n=n.∴a n·b n=n·2n-1.∴S n=1+2·2+3·22+4·23+…+n·2n-1.①∴2S n=1·2+2·22+3·23+4·24+…+n·2n.②①-②,得-S n=1+2+22+23+24+…+2n-1-n·2n=-n·2n=(1-n)2n-1.∴S n=1+(n-1)2n.13.设正项数列{a n}的前n项和是S n,若{a n}和{}都是等差数列,且公差相等.(1)求{a n}的通项公式;(2)若a1,a2,a5恰为等比数列{b n}的前三项,记数列c n=,数列{c n}的前n项和为T n.求证:对任意n∈N*,都有T n<2.(1)解:设{a n}的公差为d,则==·n,且a1-=0.∵d=,∴d=,a1==,a n=.(2)证明:∵b1=a1=,b2=a2=,b3=a5=,∴b n=×3n-1.∴c n=.当n≥2时,<==-,∴当n≥2时,T n=++…+<+++…+=2-<2,且T1=<2.故对任意n∈N*,都有T n<2.。

四川新高考考前三个月数学理二轮复习冲刺综合练(五)(含答案详析)

12＋ 4 综合练 (五 )一、选择题1．把复数 z 的共轭复数记作z ， i 为虚数单位．若 z ＝ 1＋ i ，则 (1＋ z) ·z 等于()A ． 3－ iB ．3＋ iC ． 1＋ 3iD ． 3答案 A分析(1＋ z) ·z ＝ (2＋ i) (1·－ i) ＝ 3－ i.x 2 3y 2 22．设会合 A ＝ { x| 4 ＋＝1}，B ＝ { y|y ＝ x } ，则 A ∩ B 等于4A ． [－ 2,2]B ．[0,2]C ． [0，＋∞ )D ． {( － 1,1)，(1,1)}答案 B表示椭圆 x2＋ 3y 2分析会合 A ＝ 1 上点的横坐标的取值范围，明显由4 42≤ x ≤2，故 A ＝ [－ 2,2] ；会合 B 表示函数 y ＝ x 2 的值域，由 y ＝ x 2≥0，可知 B ＝ [0，＋ ∞) ．如下图，在座标轴上分别表示出会合A ， B ，( )2x≤ 1，解得－4由图，可知 A ∩ B ＝[0,2] ，应选 B.3．已知二次函数f(x)＝ ax 2 ＋bx ，则“ f(2) ≥0”是“函数 f(x)在 (1，＋∞ ) 单一递加”的 ()A ．充要条件B ．充足不用要条件C ．必需不充足条件D ．既不充足也不用要条件答案 C分析函数 f(x)在 (1，＋ ∞ )单一递加，则 a>0，x ＝－ b≤ 1，所以 b ≥ － 2a.这与 f(2)≥ 02a等价．而 f(2) ≥ 0，不可以确立函数 f (x)在 (1，＋ ∞ )单一递加．4．若数列 { a n } 知足： a 1＝ 19， a n ＋ 1＝a n －3(n ∈ N *)，而数列 { a n } 的前 n 项和数值最大时， n的值为()A ． 6B ．7C ．8D ． 9答案B分析∵ a n ＋ 1－ a n ＝－ 3，∴ 数列 { a n } 是以 19 为首项，－ 3 为公差的等差数列，∴ a n ＝ 19＋ (n － 1)× (－ 3)＝ 22－3n.设前 k 项和最大，则有a k ≥ 0 ，a k ＋ 1≤ 022－ 3k ≥ 0， ∴19≤ k ≤22，∴22－ 3 k ＋ 1 ≤ 0，33∵ k ∈N * ， ∴k ＝ 7.故知足条件的n 的值为 7.5．定义在 R 上的奇函数 f(x)知足： x ≤ 0时， f(x)＝a x＋ b(a>0 且 a ≠ 1)， f(1)＝ 1，则 f(2) 等2于33()A. 4 B ．－ 4C ．3D ．－ 3答案 A分析由于 f(x)为定义在 R 上的奇函数，所以有 f(0) ＝ a 0＋ b ＝ 0，解得 b ＝－ 1，－ x－ b ，所以 f(1) ＝－ 1 1 x ≥ 0 时， f(x)＝－ aa －b ＝，2解得 a ＝ 2.所以 f(2) ＝－ a －2 3－ b ＝ .46．如图是依据全国人口普查数据获得的我国人口的年纪频次散布直方图：据此可知在一个总人口数为350 万的城市中，年纪在[40,60) 之间的人大概有()A ． 35.5 万B ．77 万C ．105 万D ． 132 万答案B分析由频次散布直方图知年纪在 [40,60) 之间的频次为0.011× 20＝ 0.22，所以年纪在[40,60) 之间的人大概有 350× 0.22＝ 77(万 )．7．已知函数 f(x)的图象如下图，f ′ (x)是 f(x)的导函数，则以下数值排序正确的选项是 ()A ． 0<f ′ (2)< f ′(3)< f(3)－ f(2)B ． 0< f ′ (3)< f(3)－ f(2)< f ′ (2)C ． 0< f ′ (3)< f ′ (2)< f(3)－ f(2)D ． 0<f(3) － f(2)< f ′ (3)< f ′(2)答案B分析由函数的图象，可知函数f( x)是单一递加的，所以函数图象上随意一点处的导函数值都大于零，而且由图象可知，函数图象在 x ＝ 2 处的切线斜率 k 1 大于在 x ＝ 3 处的切线斜率 k 2，所以 f ′ (2)> f ′ (3)．记 A(2， f(2)) 、 B(3， f(3)) ，作直线 AB ，则直线 AB 的斜率 k ＝f 3 － f 2＝f(3)－ f(2) ，由函数图象，可知 k 1>k>k 2>0 ，即 f ′(2)> f(3)－ f(2)> f ′(3)>0. 3－ 2应选 B.8．已知平面 α， β，直线 l ，若 α⊥ β，α∩ β＝ l ，则()A ．垂直于平面 β的平面必定平行于平面 αB ．垂直于直线 l 的直线必定垂直于平面 αC ．垂直于平面 β的平面必定平行直线 lD ．垂直于直线 l 的平面必定与平面 α， β都垂直答案 D分析关于 A ，垂直于平面 β的平面与平面 α平行或订交，故 A 错；关于 B ，垂直于直线 l 的直线与平面 α垂直或斜交，故 B 错；关于 C ，垂直于平面 β的平面与直线 l 平行或订交，故 C 错；易知 D 正确．1＋2的最小值为()9．已知 a>0， b>0，且 a ＋ b ＝ 1，则 a b A ． 4 2 B ．3＋ 2 2C ．2＋2 2D ．3 2答案B分析∵ a>0，b>0，且 a ＋ b ＝ 1，∴ 1＋2＝ 1＋ 2 ( a ＋ b)＝ 1＋ 2＋b ＋ 2aa b a ba bb 2a≥3＋2· ＝3＋22.a ba ＋b ＝ 1，a ＝ 2－ 11＋2的最小值为当且仅当即3＋ 2 2.b ＝时， 2a ， b ＝ 2－ 2a ba b10．履行下边的程序框图，假如输入a ＝ 4，那么输出的 n 的值为 ()A ． 2B ．3C ．4D ． 5答案B分析当 a ＝ 4 时，第一次P ＝ 0＋ 40＝ 1，Q ＝3，n ＝ 1，第二次 P ＝ 1＋ 41＝ 5，Q ＝7，n＝ 2，第三次 P ＝ 5＋ 42 ＝ 21， Q ＝ 15， n ＝ 3，此时 P ≤ Q 不建立，输出 n ＝ 3.11．茎叶图记录甲、乙两人在5 次体能综合测评中的成绩 (成绩为两位整数 )，现乙还有一次不小于 90 分的成绩未记录，则甲的均匀成绩超出乙的均匀成绩的概率为()2 7 4 1 A. 5 B.10C.5D.2答案 C分析由题意，得基本领件总数为10，知足要求的 8个，所以所求概率为8＝4，应选10 5C.2212．已知 F 1、F 2 分别是椭圆 x＋ y＝ 1 的左、右焦点， A 是椭圆上一动点，圆C 与 F 1A 的延43长线、 F 1F 2 的延伸线以及线段 AF 2 相切，若 M(t,0)为一个切点，则()A ． t ＝2B ．t>2C ． t<2D ． t 与 2 的大小关系不确立答案 A分析如图， P 、 Q 分别是圆 C 与 F 1A 的延伸线、线段 AF 2相切的切点，则 |MF 2 |＝ |F 2Q|＝ 4－ (|F 1A|＋ |AQ|)＝ 4－ |F 1P|＝4－ |F 1M |，即 |F 1M|＋ |MF 2|＝4，所以 t ＝ 2.选 A.二、填空题π5π π π－ cos 2xcos在－，上的单一递加区间为 ________．13．函数 f(x)＝ sin 2xsin 66 2 25π π 5π π － 5π π 5π π答案－，－， 12 或，或－，12 12 (或 12 12 12 12 12 )分析依题意得， f(x) ＝ sin 2xsin π π － ππ＋ cos 2xcos ＝ cos(2x 6 )．当 2k π－ π≤ 2x － 65π 6 6≤ 2k π(k ∈ Z )，即 k π－ πf(x)≤ x ≤ k π＋，此中 k ∈ Z 时，函数 f( x)是增函数．所以函数 12 12π π 5π π 5π π5π π 5π π 在－2， 2 上的单一递加区间是－ 12， 12 (或－ 12， 12 或－ 12，12 或－12， 12 )．14．不等式 x ＋ |2x － 1|<3 的解集为 ________．答案x － 2<x<43分析原不等式可化为2x － 1≥ 0，或2x － 1<0，x ＋ 2x － 1 <3x － 2x － 1 <3.解得 1≤ x<4或－2<x<1. 232所以原不等式的解集是 x － 2<x<4.315．记 S k ＝1k ＋ 2k ＋ 3k ＋, ＋ n k ，当 k ＝ 1,2,3，, 时，察看以下等式：1 2 1S 1＝ n＋ n ，2 21 31 2 ＋ 1 n ，S 2＝ n ＋ n 63 2 14 1 3 ＋ 1 2 ，S 3＝ n ＋ n 4 n4 21 5 1 4 ＋ 1 3 － 1n ，S 4＝ n ＋ n 3 n5 2 30S 5＝ An 6＋1n 5＋ 5 n 4＋ Bn 2，212, ，能够推断 A －B ＝ ________.答案14分析依据所给的已知等式获得，各等式右侧各项的系数和为1；最高次项的系数为该1 1 ＋5 ＋ B ＝ 1，解得 B ＝－ 11项次数的倒数， ∴ A ＝， A ＋ 1212，所以 A － B ＝ .6 2 416．如图搁置的正方形 ABCD ， AB ＝ 1， A ， D 分别在 x 轴、 y 轴的正半轴 (含原点 )上滑动，→ →则 OB ·OC 的最大值是 ________．答案 2分析→→π → → →依题意，设 OA ＝ (cos t,0)，OD ＝ (0，sin t)，此中 t ∈0，，OB ＝ OA ＋ AB ＝ (cos2→ → → → →＝(cos t ＋ sin t)2＝1＋ sint ＋ sin t ， cos t)，OC ＝ OD ＋DC ＝ (sin t ， cos t ＋ sin t)，OB ·OC 2t ≤ → →2，所以 OB ·OC 的最大值为 2.。

四川新高考考前三个月数学理二轮复习冲刺综合练(三)(含答案详析)

12＋ 4 综合练 (三 )一、选择题1．已知 A ＝ { x|x2－4x － 5＝ 0} ， B ＝ { x|x 2＝ 1} ，则 A ∩B 等于()A ． {1}B ．{1 ，－ 1,5}C ．{ －1}D ． {1 ，－ 1，－ 5}答案 C分析因为 A ＝ { x|x 2－ 4x －5＝ 0} ＝ { － 1,5} ； B ＝ {1 ，－ 1} ， A ∩B ＝ { － 1} ，应选 C.2．已知复数 z 1＝ 1＋ i ， z 2＝ 1在复平面内对应的点分别为 P 1， P 2， O 为坐标原点，则向1＋ i→ → 量 OP 1， OP 2所成的角为()ππ ππA. 6B.4C.3D.2答案 D分析因为 z 2＝ 1 ＝1－i→→11 → →→ →，OP 1＝ (1,1)，OP 2＝，－2，因此 OP 1·OP2＝ 0，故 OP 1，OP 21＋i 22π的夹角为 2.3．已知 f(x)＝3sin πx ， x ≤ 0， 2()则 f( )的值为f x － 1 ＋ 1， x>0，311A. 2B ．－ 2C ．1D ．－ 1答案B21π31分析f 3 ＝ f － 3 ＋ 1＝ 3sin(－ 3)＋ 1＝－ 2＋ 1＝－ 2.1 →→→ → →)4．在△ ABC 中，已知 D 是 AB 边上一点，若 AD ＝ 2DB ，CD ＝ CA ＋ λCB ，则 λ等于 (3 2 1 12A. 3B.3C ．－ 3D ．－ 3答案A分析如图，过点 D 分别做 AC ，BC 的平行线，分别交 BC ，AC 于点→ →F ，E ，∴CD ＝ CE→ ＋ CF ，→→→1→→2→→1→2→2∵ AD＝ 2DB ， ∴ CE ＝ 3CA ， CF ＝ 3CB ，CD ＝ 3CA ＋ 3CB ， ∴ λ＝ 3.1，并且三勤学生中女生占一5．高二某班共有 60 名学生，此中女生有 20 名，三勤学生占 6半．此刻从该班同学中任选一名参加某一会谈会．则在已知没有选上女生的条件下，选上的是三勤学生的概率为()11 1 1 A. 6 B.12C.8D.10答案 C分析设事件 A 表示 “ 任选一名同学是男生 ” ；事件 B 为 “ 任取一名同学为三勤学生 ” ，则所求概率为 P(B|A)．40 251依题意得 P(A) ＝ 60＝3， P( AB)＝60＝12.1P AB 12 1故 P(B|A)＝ P A ＝ 2＝8.36．设 0<a<1 时，函数f( x) ＝log a (a 2x － 2a x － 2)，则使 f(x)<0 的 x 的取值范围是()A ． (－∞， 0)B ．(0，＋∞ )C ． ( －∞， log a 3)D ． (log a 3，＋∞ )答案C分析∵ 0<a<1， ∴ a 2x －2a x － 2>1.∴ (a x －1)2 －3>1， ∴ |a x － 1|>2，∴ a x >3.∴ x<log a 3，∴ x ∈ (－ ∞ ， log a 3)．xπ π7．函数 y ＝ sin 2x ， x ∈－， 0∪ 0，2 的图象可能是以下图象中的()2答案Dx π π分析由函数 y ＝ sin 2x ，x ∈ －2， 0 ∪ 0，2 是偶函数，清除A ；又由函数 y ＝ sin 2x ，ππ x 1 πy ＝ 2x ，x ∈ 0，2 的图象可知恒有 2x>sin 2 x ，x ∈ 0， 2 ，因此 y ＝ sin 2x >2，x ∈ 0，2 ，清除 B 和 C ，应选 D.8．已知数列 { a n } 为等比数列， S n 是它的前 n 项和，若 a 2·a 3＝ 2a 1，且 a 4 与 2a 7 的等差中项为 5，则 S 5 等于4()A ． 35B ．33C ．31D ． 29答案 C分析设公比为 q(q ≠ 0)，则由 a 2·a 3＝ 2a 1 知 a 1q 3＝ 2，∴ a 4＝ 2.又 a 4＋ 2a 7 ＝5， ∴ a 7＝1.∴ a 1＝ 16， q ＝1.242a 1 1－ q 51 5∴ S 5＝ 161－2 ＝31.＝11－ q1－ 29．履行如下图的程序框图，输出的 S 是 ()A ． 10B ．15C ．20D ． 35答案 D分析利用程序框图确立运行次数．该程序框图运行5 次，各次的 S 分别是 1,4,10,20,35，因此输出的 S ＝35.10．设函数 f(x) ＝ 3sin θ3 ＋ cos θ20，5πx2 x ＋ 4x － 1，此中 θ∈ ，则导数 f ′ (－ 1)的取值范围36是()A ． [3,6]B ．[3,4 ＋ 3]C ．[4－ 3，6]D ．[4－ 3， 4＋ 3]答案 A分析f ′( x)＝3sin θ·x 2＋ cos θ·x ＋ 4，f ′ (1)＝ 3sin θ·(－ 1)2＋ cos θ·(－ 1)＋ 4π＝ 2sin θ－6 ＋ 4，∵ 0≤θ≤ 5π π π 2π，∴ － ≤ θ－ ≤ ，6 6 6 3∴ －1≤ sin θ－ π≤ 1， ∴ 3≤ f ′ (1) ≤ 6.2611．三个共面向量 a ，b ，c 两两所成的角相等，且 |a |＝ 1，|b |＝ 2，|c |＝ 3，则 |a ＋ b ＋ c |等于 ()A. 3B ． 6C ． 3或6D ．3或 6答案C分析此题考察向量求模长的问题．∵ 向量 a ， b ，c 两两所成的角相等，∴ 〈 a ， b 〉＝〈 b ， c 〉＝〈 c ， a 〉＝ 0°或 120°，又 |a ＋ b ＋ c |2＝ a 2＋ b 2＋ c 2＋ 2a ·b ＋ 2b ·c ＋ 2c ·a ＝ 12＋ 22＋ 32＋ 2× 1×2cos 0°＋ 2×2× 3cos0°＋ 2× 1× 3cos 0 ＝°36或＝ 12＋ 22＋ 32＋ 2× 1×2cos 120 ＋°2×2× 3cos 120 ＋°2× 1× 3cos 120 ＝°3，∴ |a ＋ b ＋ c |＝ 3或 6，选 C.12．某公司投入 100 万元购入一套设施，该设施每年的运行花费是0.5 万元，别的每年都要花销必定的保护费，第一年的保护费为 2 万元，因为设施老化，此后每年的保护费都比上一年增添 2 万元．为使该设施年均匀花费最低，该公司______年后需要更新设备． ( )A ． 10B ．11C ．13D ． 21答案 A分析由题意可知 x 年的保护花费为2＋ 4＋＋ 2x ＝ x(x ＋ 1)，因此 x 年均匀污水办理100＋ 0.5x ＋ x x ＋ 1100100100花费 y ＝x＝ x ＋ x ＋ 1.5，由基本不等式得 y ＝ x ＋ x ＋ 1.5≥ 2 x ·x＋ 1.5＝ 21.5，当且仅当 x ＝ 100，即 x ＝ 10 时取等号，因此选A.x二、填空题113．若命题 p ： ? x ∈R ，x － 2<0，则綈 p ： ________.答案存在 x 0∈ R ，使 1 x 0∈R ，使 x 0 ≥2)>0 或 x 0－ 2＝0( 也能够写为：存在x 0 － 2分析含一个量词的命题的否认，第一否认其结论，而后再改变量词．2 2x 2 y 2(a>0， b>0) 的左焦点，点 E 是该双曲线的右极点，过点F 14．已知点 F 是双曲线 a － b ＝ 1 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A ，B 两点，若△ ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率 e 的取值范围是 ________．答案 (1,2)分析由 AB ⊥ x 轴，可知 △ ABE 为等腰三角形，又 △ ABE 是锐角三角形，因此 ∠ AEB1 b 2为锐角，即 ∠ AEF ＝2∠ AEB<45°，则 |AF |<|EF|.由题意，可求得|AF |＝ a ， |EF |＝ a ＋ c ， 2b2 2 2 2因此 a <a ＋ c ，即 c － a <a ＋ ac ，即 e － e － 2<0，解得－ 1<e<2.又双曲线的离心率 e>1，进而 1<e<2.15．已知 x>0，有以下不等式建立：1≥ 21 4 3x x 4x ＋ x ·＝ 2，x ＋2≥ 3··2＝ 3，，axxx2 2 xx ＋ x n ≥ n ＋1，则 a ＝______. 答案 n n分析aa由题意可得 x ＋ n ＝＋ n ≥ (n ＋ 1)xxn＝ n ＋ 1，因此 a ＝ n .16．给出以下命题：①若平面 α内的直线 a 与平面 β内的直线 b 为异面直线，直线 c 是 αc 至多与a， b 中的一条订交；②若直线 a 与b 异面，直线 b 与c 异与β的交线，那么a， b 都平行．此中正确的面，则直线 a 与c 异面；③必定存在平面α同时和异面直线命题为 ________．答案③分析① 错，c 可与a， b 都订交；②错，因为a，c 也可能订交或平行；③ 正确，比如过异面直线a，b 的公垂线的中点且与公垂线垂直的平面即可知足条件.。

《新步步高》高考考前三个月数学(四川专用理科)二轮小题精练1含答案.doc

高考题型集训小题精练小题精练1一、选择题1.下列各组集合中表示同一集合的是()A.M={(3,2)}, N= {(2,3)}B.M= {2,3}, N={3,2}C.M= {(x, y)\x+y=\}t N= {y\x+y=\}D.M={2,3}, N= {(2,3)}答案B解析选项A中的集合M表示由点(3,2)所组成的单点集，集合N表示由点(2,3)所组成的单点集，故集合M与N不是同一个集合.选项C中的集合M表示由直线x+y= 1上的所有点组成的集合，集合N表示由直线x+p= 1上的所有点的纵坐标组成的集合，即N={y\x+y= 1} = R,故集合M与N 不是同一个集合.选项D中的集合M有两个元素，而集合N只含有一个元素，故集合M与N不是同一个集合.对选项B,由集合元素的无序性，可知M, N表示同一个集合.2.已知i为虚数单位，集合尸={ —1,1}, 0={i, F},若PG0={zi},则复数z等于()A. 1B. -1C. iD. -i答案C解析因为0={i, F},所以Q={\,—1}.又P={—1,1},所以PQ0={—1},所以zi = —1,所以z=i,故选C.3.在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为()A.厲)心)BpWq)c.(7”/\(r) D. [Nq答案A解析 “至少有一位学员没有落在指定范围”=“甲没有落在指定范围”或“乙没有落在指定范围” nUpjVLg).4. 己知函数Av)=2 + log 2x, xE[l,2],则函数丿=心)+几?)的值域为()A. [4,5]B. 4, *答案B解析 y =/(^)+/U 2)=2 +1 og 2x+2+1 Og 2x 2=4+引0g2X ，注意到为使得 y=/(x)+./(/)有意义, 必有1W/W2,得lWxW 迈，从而4WyW*答案C平面0的一个法向量为(2, -1,0),则平面a 和平面0的位置关系是() B.相交但不垂直D.重合答案C 解析由(1,2,0)X(2, -1,O)=1X2 + 2X(-1)+OXO = O,知两平面的法向量互相垂直，所以两平面互相垂直.7.设a, b, c 是三条不同的直线，g 0是两个不同的平面，则d 丄b 的一个充分不必要条件是()C. 4, 13_ 2D. [4,7] 5. 函数.心)=2卩。

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一、选择题1.设i 为虚数单位，复数z=(l+i)2+2,则z 的共辘复数为(A. -2iD. 2+2i答案C解析z=(l+i)2+2 = 2i+2 = 2+2i,所以z 的共辄复数是2-2i.2.集合 M= {x\x=l+a\ G WN”}, P={x\x=a 2~4a+5, Q WN),则下列关系中正确的是()B. PCMD.且©PM 答案A解析 P={x*=l+(d —2)2,当a=2时，x=l,而M 中无元素1,尸比M 多一个元素. 3. 在中，已知力(一1,0), C(1,O),且\BC\, \CA\,凶冈成等差数列，则顶点B 的轨迹方程是()答案D解析 V|5C|, \CA\, \AB\成等差数列，・・・QC| + |&I|=2|C4|=4,・・点3的轨迹是以C 为焦点，半焦距c=l,长轴长2d=4的椭圆.又3是三角形的顶点，A, B, C 三点不能共线，故2 2所求的轨迹方程为亍+牙=1,且pHO.x+尹 W3,4.己知实数x,尹满足不等式组\x+y^2f 若z=x-y,则z 的最大值为().x$0, )90.A. 3B. 4C. 5D. 6答案A x+jW3,解析作出不等式组\x+y^2t所对应的可行域，变形目标函数y=x-z,平移直线尹=兀x^O, y^O —z 可知，当直线经过点(3,0)时，z 取最大值，代值计算可得z=x —y 的最大值为3.小题精练2C. 2-2i C. M=P5.若P为曲线y=\nx±一动点，0为直线y=x+]±一动点，贝U|PQ罰等于（2解析如图所示，直线/与y=\nx相切且与y=x+1平行时，切点P 到直线y=x+l的距离0Q即为所求最小值.（lnx）' =£令2=1,得"I eAx=].2故P（1,O）.故尸0|罰=击=迈.6.若点P是函数>=c A-c-x—*0马）图彖上任意一点,且在点P处切线的倾斜角为弘则a的最小值是（）答案B解析由导数的几何意义,k=y =孑+“^一3$2停戸一3 = — 1,当且仅当x=0时等号成立.即tanaM —1, aW[O,兀），又Vtan（z<0, ・・・a的最小值为才.7.如图所示，正六边形ABCDEF的两个顶点D为双曲线的两个焦点，其余4个顶点都在双曲线上，则该双曲线的离心率是（A.^34~ 1B.V3-1D.迄答案A 解析令正六边形的边长为加，则有\AD\ = 2m, \AB\ = m, \BD\=y[im f该双曲线的离心率等于諾备=急卡+「 &如图是某电视台综艺节目举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（）答案D 解析由茎叶图可知评委打出的最低分为79,最高分为93,其余得分为84,84,86,84,87, 故平均分为方差为 |[3X (84-85)2 + (86-85)2+(87-85)2] = 1.6.9. 给出下列五个命题：① 将/、B 、C 三种个体按3 ： 1 ： 2的比例分层抽样调查，如果抽取的/个体为9个，则样本容量为30；② 一组数据123,3,4,5的平均数、众数、中位数都相同；③ 甲组数据的方差为5,乙组数据为5,6,9,10,5,那么这两组数据中比较稳定的是甲；④ 已知具有相关关系的两个变量满足的回归直线方程为则x 每增加1个单位，尹平均减少2个单位；⑤ 统计的10个样本数据为125,120,122,105,130,114,116,95,120,134,则样本数据落在 [114.5,124.5)内的频率为 0.4.其中真命题为()A.①②④B.②④⑤C.②③④ D.③④⑤答案B 解析 ①样本容量为9#=18,①是假命题；②数据1,2,3,3,4,5的平均数为*1+2 + 3 + 3+4|[(5-7)2+(6-7)2+(9-7)2+(10-7)2+(5-7)2]=|x (4+1 +4+9+4)=4.4, ：•胳＞盒 /.乙稳定，③是假命题；④是真命题；⑤数据落在[114.5,124.5)内的有：120,122,116,120共4个， 4故所求概率为Y Q =0.4,⑤是真命题.10. 在圆x 2+y 2-2x-6y=0内，过点E(0,l)的最长弦和最短弦分别为/C 和购，则四边形 ABCD 的面积为()A. 5迄B. 10V2C. 15迈D. 20^2答案B解析圆的标准方程为(x-l)2+(y-3)2=10,则圆心(1,3),半径r=VT0,由题意知/C 丄且|/(?| = 2帧，|A. 84,4.84C. 85,4 79 84 4 6 4 7 93B. 84,1.6D. 85,1.6+ 5) = 3,中位数为3,众数为3,都相同，②是真命题；③x5 + 6+9+10+5血|=2勺10_5 = 2谄,所以四边形ABCD的面积为S=^\AC\ \BD\=^X2y[W X2V5=10A/2.二、填空题11 ・数列｛(-1 )"(2〃一1)｝的前2016 项和52()16= _ •答案2016解析S2O16=-1+3 — 5 + 7+…一(2X2015—1)+(2X2016—1)=? + 2十・..+ 2 =2016.I00&个2相加12. _______________________________________________________ 下图是一个程序框图，若输入x的值为一4,则输出y的值为_______________________________ .答案2解析当兀=一4 时，|一4|>3,则x=7；当x=7时，|7|>3,兀=4；当x=4 时，|4|>3, x=l；当x=l时，|1|>3不成立，则输出j/=2' = 2.13.如果满足ZMC=60。

新版高考数学(理科)二轮复习【专题4】数列求和及综合应用(含答案)

1 则
a nan＋ 1
＝
1 d
1－ 1 an an＋1
.
常见的裂项公式：
① 1 ＝ 1－ 1 ； n n＋ 1 n n＋ 1
② n
1 n＋
k
＝
1 k(
1n－
1 n＋
k)；
③
1 2n－ 1 2n＋ 1
＝
1 2(
1 2n－
－ 1
1 2n＋
1)；
④
1 n＋
＝ n＋k
1 k(
n＋k－
n).
2.数列应用题的模型 (1) 等差模型：如果增加 (或减少 )的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加就是公差 .
(1) 求第 n 年年初 M 的价值 an 的表达式；
(2) 设
An＝
a1＋
a2＋…＋ n
an，若
An 大于
80 万元，则
M 继续使用，否则须在第
n 年年初对 M 更
新，证明：必须在第九年年初对 M 更新 .
思维启迪 (1) 根据题意，当 n≤ 6 时，数列 { an} 是等差数列，当 n≥ 7 时，数列 { an} 是等比数列，分别写出其通项公式，然后进行合并即可； (2)先对 n 进行分类，表示出 An，利用数列的单调性质确定其最佳项，并与 80 比较大小，确定 n 的值 .
∴ bn＝
n 2n＋1－1 －
2 n－ 1
＝
2
n＋
n 1－
2
n＝
n 2n，
∴
T
n＝
1 2
＋
2 22＋
3 23＋
…
＋
n 2n，
1 2T
n＝
1 22＋

《新步步高》高考考前三个月数学(四川专用理科)二轮小题精练10含答案.doc

解析可行域如图所示，可知 o (o,o )・由 x —y+l=09 ,x+y=0f 得A [~29 £•显然当目标函数f=x+ 2尹过点O 时取得最小值为0, 若函数/(x) = c=S ，则(仅有极小值故z=3*的最小值为 1.x+2y=0x+y=0 3. A. B.仅有极大值寸士 C.D.以上皆不正确小题精练10一、选择题1.设函数Xx)=]g(l-x 2),集合A ={x\y=f{x)}, B={y\y=f{x)}，则图中阴影部分表示的集合为A. [-1,0]c.(―®, -r )u[o ;i )D.(—8, -i]u (o,i ) 答案D解析因为 A = {x\y=fix)} = {x\ 1 —x 2>0} = {x| —1<^<1},则 w=l —x 2e (0,l], 所以 B= {y\y=f{x)} = ,所以 /UB=(—8, 1), jn^=(—1,0],故图中阴影部分表示的集合为(一8, -l]U(0,l),故选D.x-y+120,2.若实数x, p 满足£+*0，则z=3g 的最小值是().兀 W0,A. OB. 1C.V3D. 9答案BB. (-1,0)答案B 有极小值0,极大值舌令f (x) = 0,得当时,/' (x)<0；当兀令时/ (x)>O,・・x=*时取极大值__1-五4.在实数集R中定义一种运算“*” ,对任意a, bWR,为唯一确定的实数，且具有性质：(1)对任意Q UR, Q*O=Q； (2)对任意Q,方UR, a*b=ab+(a*O) + (b*O).则函数/(x)=e v A的最小值为()VA. 2B. 3C. 6D. 8答案B解析根据性质，.心)=产吉=l+e"+吉21+2 = 3,当且仅当宀占，.何=(眄*占的最小值为3,故答案为B.5.已知正方形的四个顶点分别为0(0,0),力(1,0), B(l,l), C(0,l)，点、D, E分别在线段OC,力3上运动，且\OD\ = \BE\,设/D与0E交于点G,则点G的轨迹方程是( )A. y=x(l —x) (OWxW 1)B. x=y(l —y) (OWyW 1)C. y=,(oWxWl)D. y=\-x2 (O^x^l)答案A 解析设D(0, A), E(l,l-2), 0W2W1,所以线段血)的方程为兀+夕=1(0冬兀W1),线段OEJx+*=l(OWxWl),的方程为y=(l—久)x (OWxWl),联立方程组(2为参数)，消去参数zb=(lTJx(OWxWl)得点G的轨迹方程为y=x(l—x)(OWxWl),故A正确.6. 一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒子中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，其分布列为P(JV),则P(X=4)的值为()127 A>220 B 55r 21 D -55答案C 解析旧球个数X 的可能取值为3,4,5,6,相应的取到新球的个数依次为芒=0丄2,3, d 服从超几何分布，P(X= 4)=P(d= 1)= C |23=220'7. 已知函数y=f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数(兀)的图象如图所示，则该函数的图象是()27 •220答案B解析由（x ）的图象知,y=fix ）的图象为增函数，且在区间（一1,0）上增长速度越来越快, 而在区间（0,1）上增长速度越来越慢.28. 已知双曲线，一号=1的左顶点为令，右焦点为尸2, P 为双曲线右支上一点，则厉I •序2的最小值为（）A. —2B. —y^C. ID. 0答案A 解析由已知得 /］（一1,0）, F 2（2,0）.设 4兀,y ）（x$l ）,则厉］•序2=（-1一兀，-y ）・（2—x, -y ）=4x 2-x~5.令/（兀）=4X 2-X -5,则./⑴在［1,十呵上单调递增，所以当x =］时，函数心）取最小值，即厉1•厉2取最小值，最小值为一2.B. x\+x2>0C. X\>X2D. x]<X2 答案A解析由/(—x)= —xsin(—x)=/(x)=>/(x)=xsinx-为偶函数，f (x)=sinx+xcosx,当xW 0,号，/ （x ）＞0,/（x ）单调递增，兀丘-号,0时,/（X ）单调递减；于是金1）刁（兀2）0|兀1|＞网O#＞£,故选 A.10.如图所示，己知六棱锥P —/3CDEF 的底面是正六边形，以丄平面9. 函数 f(x)=xsinx, xW若则下列不等式一定成立的是（ 22>x 2 1/ BC.则下列结论不正确的是（）A. CQ〃平面pB・DF丄平面刃FC.CF〃平PABD.CF丄平面以厂答案D解析A 中，・：CD〃AF,AF U面刃F, CZK面PAF, :.CD〃平面/MF成立；B 中，TABCDEF 为正六边形，••小尸丄/尺又丁丹丄面ABCDEF,・・・DF丄平面/MF成立；C中，CF//AB, AB U平面/MB, CFd平面B4B,・・・CF〃平面/MB；而D中CF与40不垂直，故选D.二、填空题11・已知正方形MCD的坐标分别是(一1,0), (0,1), (1,0), (0, -1),动点M满足：k MB^k MD =则\MA | + \MC\ = ______________________ .答案2^2解析设点M的坐标为(x, y)f•化炖=一*，・・f ,= -*•整理，得彳+b=l(xH0),发现动点M的轨迹方程是椭圆，其焦点恰为C 两点，所\^\MA\ + \MC\=2^2.12.设心0,函数y=sin@x+彳)+2的图象向右平移罟个单位后与原图象重合，则e的最小值是________ .答案1解析将函数y = sin@x+|) + 2图象向右平移罟个单位后所得函数解析式为y = 即y=sin@x+扌一罟e),由两函数的图象重合得一yco = 2hr,圧Z,即e=—金，kWZ,又。

四川新高考考前三个月数学理二轮考前静悟1.1审题求规范(含答案详析)

第二篇考前静悟篇专题一解题求规范，小处不丢分第一讲审题求规范审题即弄清题意，是解题的基础，是迅速、正确解题的前提，“最糟糕的状况是学生没有弄清问题就进行演算和作图．”审题能力的高低是决定成绩的重要要素，不良的审题习惯会致使解题失误，运算繁冗．正确合理的审题能够使解题井井有条，迅速高效．审题包含双方面的内容：题目信息的整合和解题方法的选择．经过对题目条件、结论进行多角度地察看，由表及里，由数到形，由条件到结论，洞察问题本质，选择适合的解题方法，审题时不要急于求成．本讲联合实例，教你规范审题，不在小处丢分．一审词——看清条件和结论词，无疑是指题目中的重点词，数学审题，第一要抓住重点词，看清题目的条件和结论．全面、深刻、正确地掌握重点词是审题的基本要求，表现了对细节的关注．在此基础上，对条件结论进行发掘、转变．例 1将一骰子连续投掷三次，它落地时向上的点数挨次成等差数列的概率为() 1111A. 9B.12C.15D.18规范审题(1) 锁定重点词：连续投掷三次、挨次成等差数列；(2)重点词的转变：连续投掷三次：基本领件总数6×6× 6＝ 216 种；挨次成等差数列：列举切合条件的基本领件．分析基本领件总数为6× 6× 6＝216( 种 )；当公差为 1 时，首项能够为1,2,3,4；当公差为 2 时，首项能够为1,2；当公差为－ 1 时，首项能够为6,5,4,3；当公差为－ 2 时，首项能够为6,5；当公差为 0 时，首项能够为1,2,3,4,5,6.切合条件的基本领件数为4＋ 2＋4＋ 2＋ 6＝ 18(种 )．18 1故所求概率为216＝12.答案 B例 2已知直线 l 过点 P(5,2)且在两坐标轴上的截距相等，则直线l 的方程为 ________．规范审题(1) 锁定重点词： l 在两坐标轴上的截距相等；(2)重点词的转变： l 过原点 (两截距均为0)、 l 可是原点且在两坐标轴上的截距相等．分析当直线 l 过原点时，易得l： 2x－ 5y＝ 0；x y当 l 可是原点时，设 l ：a＋a＝ 1.将 P(5,2)代入 l 方程可得a＝ 7，此时 l： x＋ y－ 7＝ 0.故所求直线 l 的方程为 2x － 5y ＝ 0 和 x ＋y － 7＝ 0.答案2x － 5y ＝0 和 x ＋ y －7＝ 0追踪训练 1(1)(2013 江·苏 )在平面直角坐标系 xOy 中，设定点 A(a ，a)，P 是函数 y ＝ 1(x>0)x 图象上一动点，若点 P ， A 之间的最短距离为2 2，则知足条件的实数a 的所有值为________．答案10，－ 11分析|PA|2＝ (x － a)2＋ x －a 2 21 2a 2＝ x ＋ x 2－ 2ax － x ＋ 2a1 2 12＝ x ＋ x－ x ＋ x 2a ＋ 2a － 21－ a22＝ x ＋ x＋ a － 21由 x>0，得 x ＋ x ≥ 2，a ≥ 2 a<2由已知条件或2＋ a 2－ 2＝ 8a 2－2＝ 82－ a 解得 a ＝ 10或 a ＝－ 1.1(2)拥有性质 f(x )＝－ f(x)的函数，我们称为知足“倒负”互换的函数．则以下函数：x 0＜ x ＜1 ，1 1；③ y ＝ 0 x ＝ 1 ， ① y ＝ x －；② y ＝ x ＋xx －1x x ＞1 .知足“倒负”互换的函数是 ________．答案①③11 1 1 1分析 ① f( x ) ＝ x － 1＝x － x ＝－ (x － x )＝－ f(x) ，故该函数为 “ 倒负 ” 互换的函数；x1 1 1 1② f(x )＝ x ＋ 1＝ x ＋ x ＝ f(x)，故该函数不是 “ 倒负 ” 互换的函数；x111③ 当 x ＝ 1 时， x ＝ 1，明显此时 f(x) ＝ 0， f(x )＝ 0，故有 f( x )＝－ f( x)；1 1 1 1当 0<x<1 时， x >1，此时 f(x)＝ x ， f(x )＝－ 1＝－ x ，故有 f(x )＝－ f(x)；x 1 1 1 1 1 当 x>1 时， 0< x <1，此时 f(x)＝－ x ，f(x )＝ x ，故有 f(x )＝－ f(x)．综上，只有 ①③ 为 “ 倒负 ” 互换的函数．二审图 —— 关系特色要清楚图形或许图象的力量比文字更加简短有力，发掘此中包含的有效信息，正确理解问题是解决问题的重点．对图形或许图象的独到理解好多时候成为问题解决中的亮点．此处审题的要求是：图形有何重要特色包含图形隐含的特别关系、变化的趋向、图形对应数值的特色等；利用数形联合的思想方法对条件进行转变，找到和要求证结论的联系．例 3 给定两个长度为 1 的平面向量→ →C在以 O OA和 OB，它们的夹角为 120°.以下图，点→→→，则 x＋ y 的最大值是为圆心的圆弧 AB 上改动，若 OC＝ xOA ＋ yOB ，此中 x， y∈R ________．规范审题→→→向量 OA， OB， OC均为单位向量，∠ AOC 的大小影响 x＋ y，能够利用数目积将向量间的关系转变为数目关系．→→→分析∵ OC＝ xOA＋yOB ，设∠ AOC＝α，→ →→ 2→ →OC·OA＝ xOA ＋ yOA·OB则，→ →→ →→2OC·OB＝ xOA·OB＋ yOBycos α＝ x－2.即1cos 120 °－α＝－2x＋ y∴x＋ y＝ 2[cos α＋ cos(120 °－α)] ＝ 2sin(α＋30°)．∴x＋ y≤ 2(当且仅当α＝ 60°时取等号 )．∴x＋ y 的最大值是 2.答案2追踪训练 2 (1)已知R上可导函数f(x) 的图象以下图，则不等式为(x2－ 2x－3)f′ (x)>0解集()A． (－∞，－ 1)∪ (－ 1,0)∪ (2，＋∞ )B． ( －∞，－ 1)∪ (－1,1)∪ (3，＋∞ )C． ( －∞，－ 2)∪ (1,2)D． (－∞，－ 2)∪ (1，＋∞ )答案B分析由 f(x)的图象可知在 (－∞，－ 1)和 (1，＋∞ )上 f′ (x)>0，在 (－ 1,1)上 f ′(x)<0，∴不等式 (x2－ 2x－ 3)f′ (x)>0 可转变为x2－ 2x－3>0x2－ 2x－ 3<0(Ⅰ)或(Ⅱ)x<－1或 x>1－1<x<1由(Ⅰ)得x>3 或x<－1；由 (Ⅱ )得－ 1<x<1.故所求不等式的解集为(－∞，－ 1)∪ (－ 1,1)∪ (3，＋∞ )．(2)如图，平面内有三个向量→→→→→→→OA，OB，OC.此中 OA与OB的夹角为120°，OA 与OC的夹角→→3→→→→()为 30°，且 |OA|＝ 2， |OB|＝，|OC|＝ 23，若 OC＝λOA＋μOB(λ，μ∈R )，则2A．λ＝ 4，μ＝ 2 B ．λ＝8，μ＝332C．λ＝ 2，μ＝4D．λ＝3，μ＝4323答案C分析→→夹角为 90°，由图知 OB， OC→ →→ →→ 2，OB·OC＝λOB·OA＋μOB∴→ 2→ →→ →，OC·OA＝λOA＋μOB·OA0＝λ×3× 2× －1＋9μ，∴2243×2× －123× 2× cos 30 ＝°λ× 4＋μ×，224解得λ＝ 2，μ＝3.三审表——透过数据看规律在平时生活和生产中常常会出现图表问题，如每天的股市曲线图、菜场上的价目表等，都是高考命题的源泉．表格中隐蔽着丰富的数据和信息及其内在联系，关于表格的剖析要能慧眼独具，不为浮云遮望眼，透过现象看本质．看清表格的本质，问题解决也就有了基础．审题的要求是：仔细察看图表、剖析数据的特色和规律，依据规律解决问题．例 4 已知函数 f(x)， g(x)分别由下表给出：x123f(x)131x123g(x)321则 f[g(1)] 的值为 ________；知足 f[g(x)]> g[f(x)] 的 x 的值为 ________．规范审题第一步：直接依据函数值填写；第二步：函数值比较少且规律不明显，能够使用列举的方法解决．分析①∵ g(1)＝ 3，∴ f[g(1)]＝ f(3) ＝1.②当 x＝ 1 时， f[g(x)] ＝ f[g(1)] ＝ f(3)＝ 1.g[f(x)]＝ g[f(1)] ＝ g(1) ＝ 3.此时 1<3 ，也即 f[g(x)]< g[f(x)] ，不合题意．当 x＝2 时， f[g(x)] ＝ f[g(2)] ＝ f(2) ＝ 3.g[f(x)]＝ g[f(2)] ＝ g(3) ＝ 1.此时 3>1 ，即 f[g(x)]> g[f(x)] ，切合题意；当 x＝3 时， f[g(x)] ＝ f[g(3)] ＝ f(1) ＝ 1，g[f(x)]＝ g[f(3)]＝ g(1) ＝ 3，此时f[g(x)]< g[ f(x)] ，不合题意．故所求x 的值为 2.答案 1 2追踪训练3察看以下三角形数表：此中从第 2 行起，每行的每一个数为其“肩膀”上两数之和，则该数表的最后一行的数为()A． 101×298 B ．101× 299C． 99× 299D． 100× 299答案A分析该数表共100 行，第 2 行的第 1 个数为 3＝3× 20，第3 行的第 1 个数为 8＝4× 21，第 4行的第 1 个数为 20＝ 5× 22，第 5行的第 1 个数为 48＝ 6× 23，∴第 100 行的第 1 个数为 101× 298，应选 A.追踪训练4(2013 ·重庆 )某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有 3 个红球与 4 个白球的袋中随意摸出 3 个球，再从装有 1 个蓝球与 2 个白球的袋中随意摸出 1 个球，依据摸出 4 个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖以下：奖级摸出红、蓝球个数获奖金额一等奖3红 1蓝200元二等奖 3红 0蓝 50 元三等奖2红 1蓝10 元其他状况无奖且每次摸奖最多只好获取一个奖级． (1)求一次摸奖恰巧摸到 1 个红球的概率；(2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X 的散布列与希望 E(X)．解设 A i (i ＝ 0,1,2,3) 表示摸到 i 个红球， B j (j ＝ 0,1)表示摸到 j 个蓝球，则 A i 与 B j 独立．1 2 18C 3C 4(1)恰巧摸到 1 个红球的概率为 P(A 1)＝ C 73＝35.(2)X 的所有可能值为： 0,10,50,200 ，且31＝1 ，P(X ＝200) ＝ P(A 3B 1)＝ P(A 3)P(B 1)＝ C 3 3 · 105C 7 3C 3322＝，3 105C 7 P(X ＝10)＝ P(A 2B 1)＝ P(A 2) P(B 1)＝1246 P(X ＝0)＝ 1－ 105－ 105－35＝7.C 32C 41 1 124 ，＝＝ C 7 3105 35综上可知，获奖金额X 的散布列为X0 10 50 200P6 4 2 1735105 105进而有 E(X)＝ 0× 6＋ 10× 4＋50× 2 ＋ 200× 17 35 105 105 ＝ 4(元 )．四审式 —— 数式构造找关系数学识题中各样量的关系一般以关系式的形态出现，从关系式的角度剖析也是我们最常用的方法，理解了关系式也就对各样量的本质联系有了清楚的认识．审题的基本要求是：挖掘关系式的内在特色；找寻已知条件和结论中式子的联系以及它们和一些公式间的联系，然后再转变．例 5在锐角△ ABC 中，角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c.若 b ＋a＝ 6cos C ，则tan C ＋tan Ca btan A tan B的值是 ________．规范审题已知条件baa ＋b ＝ 6cos C 中既有角，又有边，考虑到所求式子，可进行边角互化．转变时，可使用余弦定理将cos C 值表示出，将式子所有转变成边代入；也能够利用正弦定理对条件进行转变，获取角的关系式代入所求式子．b a 2 2分析由 a ＋ b ＝6cos C ，得 b ＋ a ＝ 6abcos C.化简整理得 2(a 2＋ b 2)＝ 3c 2，将 tan C ＋tan C切化弦，tan A tan B 得 sin C cos A cos B sin C sin A ＋ B·( ＋ sin B ) ＝ ·cos C sin A cos C sin Asin B＝ sin C · sin C2＝ sin C.cos C sin Asin B cos Csin Asin Bsin 2Cc 2依据正、余弦定理得 cos Csin Asin B＝a 2＋b 2－c 22c22c2ab · 2ab＝＝＝ 4.3 2a 2＋b 2－c 2 22c － c答案4追踪训练 5 (2013 ·四川 )在△ ABC 中，角 A ， B ，C 的对边分别为 a ， b ， c ，且 cos(A －B)cos3B －sin(A －B)sin(A ＋ C)＝－ 5.(1)求 sin A 的值；→ →(2)若 a ＝ 4 2，b ＝ 5，求向量 BA 在 BC 方向上的投影．解 (1)由 cos(A － B)cos B －sin(A －B)sin( A ＋C)33＝－ 5，得 cos(A －B)cos B － sin(A － B)sin B ＝－ 5.3 3 则 cos(A － B ＋ B)＝－ 5，即 cos A ＝－ 5.又 0<A<π，则 sin A ＝ 45.(2)由正弦定理，有a bbsin A 2sin A ＝ sin B ，所以， sin B ＝a ＝ 2 .由题意知 a>b ，则 A>B ，故 B ＝ π4.32 22依据余弦定理，有 (4 2) ＝ 5 ＋ c － 2× 5c × －5 ，解得 c ＝ 1 或 c ＝－ 7(负值舍去 ) ．→ → →2 故向量 BA 在 BC 方向上的投影为 |BA|cos B ＝ 2 .五审理 —— 字里行间皆有理数学中的“理”，不只是是指常用的公式和原理，更是指我们常常讲的合情推理：依据已有的事实、结论或许实践的结果，以个人的经验和直觉等推断某些结果的推理过程．概括和类比就是数学活动中常用的合情推理．在高考取该方面的问题有明显的增加趋向．有些问题很难直接和一般的知识点联系起来，考察的是综合应用数学知识解决问题的能力，有很强的划分度．例 6 跟着科学技术的不停发展，人类经过计算机已找到了 630 万位的最大质数．某同学在学习中发现由41,43,47,53,61,71,83,97构成的数列中每一个数都是质数，他依据这列数的一个通项公式，得出了数列的后几项，发现它们也是质数．于是他断言：依据这个通项公式写出的数均为质数．则这个通项公式为 ________，该同学断言是 ________的 (填“正确”或者“错误” )．规范审题经过察看相邻两数之差成等差数列；依据发现的规律找寻通项公式，进行判断．分析依据题意知，通项公式a n ＝ 41＋ 2＋ 4＋ 6＋＋ 2(n －1)＝ n(n － 1)＋ 41.取 n ＝ 41，得 a n＝ 41× 41＝ 1 681，明显不是质数，进而该同学断言是错误的．答案 a n＝ n(n－ 1)＋ 41，n∈N*错误追踪训练6(1)如图是某汽车维修企业的维修点环形散布图．企业在年初分派给A， B，C，D 四个维修点某种配件各50 件．在使用前发现需将A，B，C，D四个维修点的这批配件分别调整为40,45,54,61件，但调整只好在相邻维修点之间进行．那么要达成上述调整，最少的调换件次(n件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调换件次为n) 为()A． 15 B ．16C．17D． 18答案B分析这是一道运筹问题，需要用函数的最值加以解决．设 A→ B 的件数为x1(规定：当x1<0 ，则 B 调整了 |x1|件给 A，下同！ )B→C 的件数为 x2，C→ D 的件数为 x3， D→ A 的件数为 x4，依题意可得 x4＋ 50－ x1＝ 40， x1＋50－ x2＝ 45，x2＋50－ x3＝ 54，x3＋50－ x4＝61，进而 x2＝ x1＋ 5， x3＝ x1＋ 1， x4＝ x1－ 10，故调换件次 f(x1)＝ |x1|＋ |x1＋ 5|＋ |x1＋1| ＋ |x1－ 10|，画出图象 (或绝对值的几何意义 )可得最小值为 16.(2)(2012 北·京 )已知 f(x)＝ m(x－2m) ·(x＋ m＋3) ，g(x)＝ 2x－ 2，若同时知足条件：①?x∈R， f(x)<0 或 g(x)<0；② ? x∈( －∞，－ 4)， f(x)g(x)<0. 则 m 的取值范围是 ________．答案－ 4<m<－ 2分析将①转变为 g(x)<0 的解集的补集是f(x)<0 解集的子集求解；②转变为 f(x)>0 的解集与 (－∞，－ 4)的交集非空．①中，若 g(x)＝ 2x－ 2<0 ，则 x<1.又∵ ? x∈R， g(x)<0 或 f(x)<0，∴[1，＋∞ )是 f( x)<0 的解集的子集．又由 f(x)＝ m(x－2m)(x＋ m＋ 3)<0知，m 不行能大于或等于0，所以 m<0.当 m<0 时， f(x)<0，即 (x－2m)(x＋ m＋ 3)>0.当 2m＝－ m－ 3，即 m＝－ 1 时，f(x)<0 的解集为 { x|x≠ － 1} ，知足条件．当 2m>－m－ 3，即－ 1<m<0 时，f(x)<0 的解集为 { x|x>2m 或 x<－ m－ 3} ．1依题意 2m<1，即 m<2，∴－ 1<m<0.当 2m<－m－ 3，即 m<－ 1 时，f(x)<0 的解集为 { x|x<2m 或 x>－ m－ 3} ．依题意－ m－ 3<1 ，即 m>－ 4，∴ －4<m<－ 1.所以知足①的 m 的取值范围是－4<m<0.x②中，∵当 x∈ (－∞，－ 4)时， g(x)＝2 － 2<0，即 f(x)>0 的解集与 (－∞，－ 4) 的交集非空．又 m<0，则 ( x－ 2m)(x＋ m＋ 3)<0.由①的解法知，当－1<m<0 时， 2m>－ m－ 3，即－ m－ 3<－ 4，∴m>1，此时无解．2当 m<－ 1 时， 2m<－ m－ 3，即 2m<－ 4，∴ m<－ 2.综合①②可知知足条件的m 的取值范围是－4<m<－2.。

四川新高考考前三个月数学理二轮复习冲刺综合练(四)(含答案详析)

12＋4综合练(四)一、选择题1．复数z ＝m －2i1＋2i(m ∈R ，i 为虚数单位)在复平面上对应的点不可能位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 A 解析由已知z ＝m －2i 1＋2i ＝(m －2i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝15[(m －4)－2(m ＋1)i]在复平面上对应的点如果在第一象限，则⎩⎪⎨⎪⎧m －4>0，m ＋1<0，而此不等式组无解，即在复平面上对应的点不可能位于第一象限．2．已知集合A ＝{x |1<x <3}，B ＝{x |1<log 2x <2}，则A ∩B 等于( )A ．{x |0<x <3}B ．{x |2<x <3}C ．{x |1<x <3}D ．{x |1<x <4}答案 B3．下列命题中真命题的个数是( )①“∀x ∈R ，x 2－x >0”的否定是“∃x ∈R ，x 2－x <0”；②若|2x －1|>1，则0<1x <1或1x <0；③∀x ∈N *,2x 4＋1是奇数． A ．0B ．1C ．2D ．3答案 C解析 ①错误，应为“x 2－x ≤0”；②正确，解|2x －1|>1得x >1或x <0与“0<1x <1或1x <0”等价；③正确．4．设α表示平面，a ，b 表示两条不同的直线，给定下列四个命题：①a ∥α，a ⊥b ⇒b ⊥α；②a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α；③a ⊥α，a ⊥b ⇒b ∥α；④a ⊥α，b ⊥α⇒a ∥b . 其中正确的是( )A ．①②B ．②④C ．③④D ．②③答案 B解析在①中，当a ∥α，a ⊥b 时，b 与α的位置关系无法确定；在③中，当a ⊥α，a ⊥b 时，可得b ∥α或b ⊂α，故①③错，易证②④正确．5．已知函数f (x )是奇函数且是R 上的增函数，若x ，y 满足不等式f (x 2－2x )≤－f (y 2－2y )，则x 2＋y 2的最大值是( )A. 3B ．2 2C ．8D ．16答案 C解析由f (x )为奇函数得f (x 2－2x )≤f (2y －y 2)，又f (x )为增函数，有x 2－2x ≤2y －y 2，即(x －1)2＋(y －1)2≤2，它表示圆心在(1,1)，半径为2的圆的内部(包括边界)，故到原点最远的点为(2,2)，从而x 2＋y 2＝8. 6．下列不等式中，一定成立的是( )A ．lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14>lg x (x >0) B ．sin x ＋1sin x≥2(x ≠k π，k ∈Z )C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R )D.1x 2＋1>1(x ∈R ) 答案 C解析取x ＝12否定A ，取x ＝－π4否定B ，取x ＝0否定D ，故选C.7．已知x 、y从所得的散点图分析可知：y 与x 线性相关，且y ＝0.95x ＋a ，则a 等于 ( )A ．1.30B ．1.45C ．1.65D ．1.80答案 B解析代入中心点(x ，y )，可知a ＝1.45.8．先后掷两次正方体骰子(骰子的六个面分别标有点数1,2,3,4,5,6)，骰子朝上的面的点数分别为m 、n ，则mn 是奇数的概率是( )A ．12B ．13C ．14D ．16答案 C解析先后掷两次正方体骰子总共有36种可能，要使mn 是奇数，则m ，n 都是奇数，因此有以下几种可能：(1,1)，(1,3)，(1,5)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(5,1)，(5,3)，(5,5)共9种可能，因此P ＝936＝14.9．函数f (x )＝x 2－2ln x 的单调递减区间是( )A ．(0,1]B ．[1，＋∞)C ．(－∞，－1]∪(0,1]D ．[－1,0)∪(0,1]答案 A解析 f ′(x )＝2x －2x ＝2(x ＋1)(x －1)x，由f ′(x )≤0结合x >0得0<x ≤1. 10．已知抛物线C ：y ＝14x 2，则过抛物线焦点F 且斜率为12的直线l 被抛物线截得的线段长为( )A ．94B ．178C ．5D ．4答案 C解析抛物线C ：x 2＝4y ，则焦点F (0,1)，直线l 为y ＝12x ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝12x ＋1，得x 2－2x －4＝0，由根与系数的关系得：x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－4，由弦长公式可得，截得的线段长为 1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1·x 2＝1＋⎝⎛⎭⎫122·22－4×(－4)＝5. 11．已知点F 1，F 2是椭圆x 2＋2y 2＝2的两个焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么|PF 1→＋PF 2→|的最小值是 ( )A ．0B ．1C ．2D ．2 2答案 C解析设P (x 0，y 0)，则PF 1→＝(－1－x 0，－y 0)，PF 2→＝(1－x 0，－y 0)， ∴PF 1→＋PF 2→＝(－2x 0，－2y 0)， ∴|PF 1→＋PF 2→|＝4x 20＋4y 20＝22－2y 20＋y 20 ＝2－y 20＋2.∵点P 在椭圆上，∴0≤y 20≤1，∴当y 20＝1时，|PF 1→＋PF 2→|取最小值2. 故选C.12．对实数a 和b ，定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b ≤1，b ，a －b >1.设函数f (x )＝(x 2－2)⊗(x －1)，x ∈R .若函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是 ( )A ．(－1,1]∪(2，＋∞)B ．(－2，－1]∪(1,2]C ．(－∞，－2)∪(1,2]D ．[－2，－1] 答案 B解析令(x 2－2)－(x －1)≤1，得－1≤x ≤2，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，－1≤x ≤2，x －1，x <－1或x >2.∵y ＝f (x )－c 与x 轴恰有两个公共点，画函数的图象得知实数c 的取值范围是(－2，－1]∪(1,2]．二、填空题13．执行下面的程序框图，则输出的S 的值是________．答案 63解析由程序框图知，当n ＝1时，S ＝1＋21＝3；当n ＝2时，S ＝3＋22＝7；当n ＝3时，S ＝7＋23＝15；当n ＝4时，S ＝15＋24＝31；当n ＝5时，S ＝31＋25＝63>33，循环结束，故输出S 的值是63. 14．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，则函数z ＝4x2y 的最大值为________．答案 32解析不等式组对应的平面区域是三角形区域，当2x －y 经过点(2，－1)时取得最大值5，此时目标函数z ＝4x 2y ＝22x －y 取得最大值32.15．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的部分图象如图所示，则f (1)＋f (2)＋…＋f (2 013)＝________.答案 2 3解析由图象可知A ＝2，周期T ＝6，所以ω＝π3，又x ＝52时，y ＝2，所以f (52)＝2sin ⎝⎛⎭⎫5π6＋φ＝2，所以φ的一个值为－π3，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3x －π3.所以f (1)＋f (2)＋…＋f (2 013)＝335[f (1)＋f (2)＋…＋f (6)]＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝f (1)＋f (2)＋f (3)＝2 3.16．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n ·2n ＋1，将该数列的项按如下规律排成一个数阵：则该数阵中的第10行，第3个数为________．答案97解析由题意可得该数阵中的第10行，第3个数为数列{a n}的第1＋2＋3＋…＋9＋3＝9×102＋3＝48项，所以a48＝(－1)48·96＋1＝97.。

高考数学二轮复习专题3数列第二讲数列求和及综合应用文【含答案】

第二讲数列求和及综合应用高考数列一定有大题，按近几年高考特点，可估计2016年不会有大的变化，考查递推关系、数学归纳法的可能较大，但根据高考题命题原则，一般会有多种方法可以求解.因此，全面掌握数列求和相关的方法更容易让你走向成功.数列求和的基本方法 1.公式法.（1）等差数列前n 项和公式：S n ＝n （a 1＋a n ）2＝na 1＋n （n －1）d 2Ｗ.（2）等比数列前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1（1－q n ）1－q＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1.2.转化法.有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比或常见的数列，即先分别求和，然后再合并.3.错位相减法.这是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n ·b n }的前n 项和，其中{a n }，{b n }分别是等差数列和等比数列.4.倒序相加法.这是在推导等差数列前n 项和公式时所用的方法，也就是将一个数列倒过来排列（反序），把它与原数列相加，若有公式可提，并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和.5.裂项相消法.利用通项变形，将通项分裂成两项或几项的差，通过相加过程中的相互抵消，最后只剩下有限项的和.数列的应用1.应用问题一般文字叙述较长，反映的事物背景陌生，知识涉及面广，因此要解好应用题，首先应当提高阅读理解能力，将普通语言转化为数学语言或数学符号，实际问题转化为数学问题，然后再用数学运算、数学推理予以解决.2.数列应用题一般是等比、等差数列问题，其中，等比数列涉及的范围比较广，如经济上涉及利润、成本、效益的增减，解决此类题的关键是建立一个数列模型{a n }，利用该数列的通项公式、递推公式或前n 项和公式求解.3.解应用问题的基本步骤.判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）.（1）如果数列{a n }为等比数列，且公比不等于1，则其前n 项和S n ＝a 1－a n ＋11－q.（√）（2）当n ≥2时，1n 2－1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1.（√）（3）求S n ＝a ＋2a 2＋3a 3＋……＋na n之和时只要把上式等号两边同时乘以a 即可根据错位相减法求得.（×）（4）数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫12n ＋2n －1的前n 项和为n 2＋12n .（×）（5）若数列a 1，a 2－a 1，…，a n －a n －1是首项为1，公比为3的等比数列，则数列{a n }的通项公式是a n ＝3n－12.（√）（6）推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋……＋sin 288°＋sin 289°＝44.5.（√）1.（2015·福建卷）若a ，b 是函数f （x ）＝x 2－px ＋q （p >0，q >0）的两个不同的零点，且a ，b ，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p ＋q 的值等于（D ）A.6B.7C.8D.9解析：不妨设a >b ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝p >0，ab ＝q >0，∴ a >0，b >0，则a ，－2，b 成等比数列，a ，b ，－2成等差数列，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝（－2）2，a －2＝2b ，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝1，∴ p ＝5，q ＝4，∴ p ＋q ＝9. 2.（2015·新课标Ⅱ卷）设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＋a 3＋a 5＝3，则S 5＝（A ） A.5 B.7 C.9 D.11解析：解法一 ∵ a 1＋a 5＝2a 3，∴ a 1＋a 3＋a 5＝3a 3＝3，∴ a 3＝1，∴ S 5＝5（a 1＋a 5）2＝5a 3＝5，故选A.解法二 ∵ a 1＋a 3＋a 5＝a 1＋（a 1＋2d ）＋（a 1＋4d ）＝3a 1＋6d ＝3，∴ a 1＋2d ＝1，∴ S 5＝5a 1＋5×42d ＝5（a 1＋2d ）＝5，故选A.3.在数列{a n }中，a n ＝n （n ＋1）2，则：（1）数列{a n }的前n 项和S n ＝；（2）数列{S n }的前n 项和T n ＝Ｗ. 解析：（1）a n ＝n （n ＋1）2＝n （n ＋1）[]（n ＋2）－（n －1）6＝16×[]n （n ＋1）（n ＋2）－（n －1）n （n ＋1）S n ＝16×[（1×2×3－0×1×2）＋（2×3×4－1×2×3）＋（3×4×5－2×3×4）＋…＋n ×（n ＋1）×（n ＋2）－（n －1）×n ×（n ＋1）]＝n （n ＋1）（n ＋2）6.（2）S n ＝n （n ＋1）（n ＋2）6＝n （n ＋1）（n ＋2）[（n ＋3）－（n －1）]24＝124×[n （n ＋1）（n ＋2）（n ＋3）－（n －1）n （n ＋1）（n ＋2）]T n ＝124×[（1×2×3×4－0×1×2×3）＋（2×3×4×5－1×2×3×4）＋…＋n ×（n＋1）×（n ＋2）×（n ＋3）－（n －1）×n ×（n ＋1）×（n ＋2）]＝n （n ＋1）（n ＋2）（n ＋3）24.答案：（1）n （n ＋1）（n ＋2）6（2）n （n ＋1）（n ＋2）（n ＋3）244.（2015·江苏卷）设数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1（n ∈N *），则数列{1a n}前10项的和为Ｗ.解析：由题意有a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n （n ≥2）.以上各式相加，得a n －a 1＝2＋3＋…＋n ＝（n －1）（2＋n ）2＝n 2＋n －22.又∵ a 1＝1，∴ a n ＝n 2＋n2（n ≥2）.∵ 当n ＝1时也满足此式，∴ a n ＝n 2＋n2（n ∈N *）.∴ 1a n ＝2n 2＋n ＝2（1n －1n ＋1）. ∴ S 10＝2（11－12＋12－13＋…＋110－111）＝2×（1－111）＝2011.答案：2011。

四川新高考考前三个月数学理二轮复习冲刺穿插滚动练(五)(含答案详析)

穿插滚动练(五)内容：不等式、函数与导数、三角函数、数列、立体几何、解析几何一、选择题1．若集合A ＝{x |x ≥0}，且A ∩B ＝B ，则集合B 可能是( )A ．{1,2}B ．{x |x ≤1}C ．{－1,0,1}D ．R答案 A解析因为A ∩B ＝B ，所以B ⊆A ，因为{1,2}⊆A ，所以答案为A. 2．设{a n }是等比数列，则“a 1＜a 2＜a 3”是“数列{a n }为递增数列”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 “a 1＜a 2＜a 3”⇔“数列{a n }是递增数列”．3．要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 2x 的图象 ( )A ．向左平移π12个单位B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π6个单位D ．向右平移π6个单位答案 D解析要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，只需将函数y ＝sin 2x 中的x 减去π6，即得到y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x －π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 4．已知各项都是正数的等比数列{a n }中，存在两项a m ，a n (m ，n ∈N *)使得a m a n ＝4a 1，且a 7＝a 6＋2a 5，则1m ＋4n的最小值是 ( )A.32B.43C.23D.34答案 A解析记等比数列{a n }的公比为q (q ＞0)，依题意有a 5q 2＝a 5q ＋2a 5，由a 5≠0，得q 2－q －2＝0，解得q ＝2，又(a 1·2m －1)·(a 1·2n －1)＝16a 21，即2m ＋n －2＝24，∴m ＋n －2＝4，∴m ＋n ＝6， ∴1m ＋4n ＝161m ＋4n (m ＋n )＝165＋n m ＋4m n ≥ 16(5＋4)＝32，当且仅当n ＝2m 时“＝”成立． 5．已知P 是抛物线y 2＝4x 上一动点，则点P 到直线l ：2x －y ＋3＝0与到y 轴的距离之和的最小值是( )A. 3B.5C ．2D.5－1答案 D解析由题意知，抛物线的焦点为F (1,0)．设点P 到直线l 的距离为d ，由抛物线的定义可知，点P 到y 轴的距离为|PF |－1，所以点P 到直线l 的距离与到y 轴的距离之和为d ＋|PF |－1.易知d ＋|PF |的最小值为点F 到直线l 的距离，故d ＋|PF |的最小值为|2＋3|22＋(－1)2＝5，所以d ＋|PF |－1的最小值为5－1.6．已知抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点F 恰好是双曲线y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，且两条曲线交点的连线过点F ，则该双曲线的离心率为( )A. 2B ．1±2C ．1＋ 2D ．无法确定答案 C解析依题意得，p2＝c ，F 的坐标为(0，c )，两条曲线交点的连线垂直y 轴，将y ＝c 代入双曲线方程得交点横坐标为±b 2a ，代入抛物线方程得b 4a 2＝2·2c ·c ，b 2＝2ac ，c 2－a 2＝2ac ，e 2－2e －1＝0，e ＝1±2，由e >1得e ＝1＋2，故选C.7．已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，有下面四个命题：①α∥β⇒l ⊥m ；②α⊥β⇒l ∥m ；③l ∥m ⇒α⊥β；④l ⊥m ⇒α∥β. 其中正确的命题( )A ．①②B ．②④C ．①③D ．③④答案 C解析对于①，由l ⊥α，α∥β⇒l ⊥β，又因为直线m ⊂平面β，所以l ⊥m ，故①正确，同理可得③正确；②与④不正确，故选C.8．已知a ≤1－x x ＋ln x 对任意x ∈[12，2]恒成立，则a 的最大值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3答案 A解析设f (x )＝1－x x ＋ln x ，则f ′(x )＝－x ＋x －1x 2＋1x ＝x －1x 2.当x ∈[12，1)时，f ′(x )<0，故函数f (x )在[12，1)上单调递减；当x ∈(1,2]时，f ′(x )>0，故函数f (x )在(1,2]上单调递增，∴f (x )min ＝f (1)＝0，∴a ≤0，即a 的最大值为0.9．已知函数f (x )＝sin x －12x (x ∈[0，π])，那么下列结论正确的是( )A ．f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数 B ．f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，π上是减函数C ．∃x ∈[0，π]，f (x )>f (π3)D ．∀x ∈[0，π]，f (x )≤f (π3)答案 D解析注意到f ′(x )＝cos x －12，当x ∈(0，π3)时，f ′(x )>0；当x ∈(π3，π)时，f ′(x )<0，因此函数f (x )在(0，π3)上是增函数，在(π3，π)上是减函数，f (x )在[0，π]内的最大值是f (π3)，即∀x ∈[0，π]，都有f (x )≤f (π3)，因此D 项正确．10．以双曲线x 2a 2－y2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 为圆心，作半径为b 的圆F ，则圆F 与双曲线的渐近线 ( )A ．相交B ．相离C ．相切D ．不确定答案 C解析左焦点F 为(－c,0)，渐近线方程为y ＝ba x 即bx －ay ＝0，∴圆心到直线的距离为|－bc |a 2＋b2＝b ，所以相切．11．在正四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，E 为AA 1的中点，则异面直线BE 与CD 1所成角的余弦值为( ) A.1010 B.15 C.31010D.35答案 C解析连接BA 1，因为CD 1∥BA 1，所以∠A 1BE 即为异面直线BE 与CD 1所成的角，令AA 1＝2AB ＝2，则EB ＝2，A 1E ＝1，A 1B ＝5，故由余弦定理得cos ∠A 1BE ＝31010，即异面直线BE 与CD 1所成角的余弦值为31010.12．已知抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M (1，m )(m >0)到其焦点的距离为5，双曲线x 2a－y 2＝1的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则实数a 的值为 ( )A.19B.14C.13D.12 答案 A解析由于M (1，m )在抛物线上，∴m 2＝2p ，而M 到抛物线的焦点的距离为5，根据抛物线的定义知点M 到抛物线的准线x ＝－p 2的距离也为5，∴1＋p2＝5，∴p ＝8，由此可以求得m ＝4，双曲线的左顶点为A (－a ，0)，∴k AM ＝41＋a，而双曲线的渐近线方程为y ＝±x a ，根据题意得，41＋a ＝1a ，∴a ＝19.二、填空题13．已知斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝px (p ＞0)的焦点F ，且与y 轴相交于点A .若△OAF (O为坐标原点)的面积为1，则p ＝________. 答案 4解析设直线l 的方程为：y ＝2⎝⎛⎭⎫x －p4，令x ＝0，得y ＝－p2，即点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，－p 2. ∴S △OAF ＝12|OF |×|OA |＝12×p 4×p 2＝p 216＝1， ∴p ＝4.14．长度都为2的向量OA →，OB →的夹角为π3，点C 在以O 为圆心的圆弧AB (劣弧)上，OC →＝mOA →＋nOB →，则m ＋n 的最大值是________．答案 233解析建立平面直角坐标系，设向量OA →＝(2,0)，向量OB →＝(1，3)．设向量OC →＝(2cos α，2sin α)，0≤α≤π3.由OC →＝mOA →＋nOB →，得(2cos α，2sin α)＝(2m ＋n ，3n )，即2cos α＝2m ＋n,2sin α＝3n ，解得m ＝cos α－13sin α，n ＝23sin α.故m ＋n ＝cos α＋13sin α＝233sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3≤233. 15．过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段OF (O 为原点)的垂直平分线上，则双曲线的离心率为________．答案2解析依题意知△OFG (G 为垂足)为等腰直角三角形，则bc 2a ＝c2，即a ＝b ，故双曲线为等轴双曲线，离心率为 2.16．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝a (a ＞0)，P A ⊥平面AC ，BC 边上存在点Q ，使得PQ ⊥QD ，则实数a 的取值范围是________．答案 [2，＋∞)解析如图，连接AQ ，∵P A ⊥平面AC ，∴P A ⊥QD ，又PQ ⊥QD ，PQ ∩P A ＝P ， ∴QD ⊥平面PQA ，于是QD ⊥AQ ，∴在线段BC 上存在一点Q ，使得QD ⊥AQ ，等价于以AD 为直径的圆与线段BC 有交点， ∴a2≥1，a ≥2. 三、解答题17．设函数f (x )＝sin x cos x －3cos(π＋x )cos x (x ∈R )．(1)求f (x )的最小正周期；(2)若函数y ＝f (x )的图象按b ＝⎝⎛⎭⎫π4，32平移后得到函数y ＝g (x )的图象，求y ＝g (x )在[0，π4]上的最大值．解 (1)f (x )＝12sin 2x ＋3cos 2x＝12sin 2x ＋32(1＋cos 2x ) ＝12sin 2x ＋32cos 2x ＋32＝sin(2x ＋π3)＋32.故f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)依题意g (x )＝f (x －π4)＋32＝sin [2(x －π4)＋π3]＋32＋32＝sin (2x －π6)＋ 3.当x ∈[0，π4]时，2x －π6∈[－π6，π3]，g (x )为增函数，所以g (x )在[0，π4]上的最大值为g (π4)＝32 3. 18．如图，已知四棱锥P —ABCD 的底面为等腰梯形，AB ∥CD ，AC ⊥BD ，垂足为H ，PH是四棱锥的高，E 为AD 的中点．(1)证明：PE ⊥BC ；(2)若∠APB ＝∠ADB ＝60°，求直线P A 与平面PEH 所成角的正弦值．(1)证明以H 为原点，HA ，HB ，HP 分别为x ，y ，z 轴，线段HA 的长为单位长，建立空间直角坐标系如图，则A (1,0,0)，B (0,1,0)，设C (m,0,0)，P (0,0，n )(m <0，n >0)，则D (0，m,0)，E (12，m2，0)．可得PE →＝(12，m 2，－n )，BC →＝(m ，－1,0)．因为PE →·BC →＝m 2－m 2＋0＝0，所以PE ⊥BC .(2)解由已知条件可得m ＝－33，n ＝1，故C (－33，0,0)，D (0，－33，0)， E (12，－36，0)，P (0,0,1)，设n ＝(x ，y ，z )为平面PEH 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·HE →＝0，n ·HP →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧12x －36y ＝0，z ＝0因此可以取n ＝(1，3，0)，由P A →＝(1,0，－1)．可得|cos 〈P A →，n 〉|＝24，所以直线P A 与平面PEH 所成角的正弦值为24. 19．已知数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，且a 1＝b 1＝2，b 4＝54，a 1＋a 2＋a 3＝b 2＋b 3.(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)数列{c n }满足c n ＝a n b n ，求数列{c n }的前n 项和S n .解 (1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，由b 4＝b 1q 3，得q 3＝542＝27，从而q ＝3，因此b n ＝b 1·q n －1＝2·3n －1，又a 1＋a 2＋a 3＝3a 2＝b 2＋b 3＝6＋18＝24，∴a 2＝8，从而d ＝a 2－a 1＝6，故a n ＝a 1＋(n －1)·6＝6n －4.(2)c n ＝a n b n ＝4·(3n －2)·3n －1，令T n ＝1×30＋4×31＋7×32＋…＋(3n －5)·3n －2＋(3n －2)·3n －1. 3T n ＝1×31＋4×32＋7×33＋…＋(3n －5)·3n －1＋(3n －2)·3n . 两式相减得－2T n ＝1＋3×31＋3×32＋3×33＋…＋3×3n －1－(3n －2)·3n＝1＋3×3(3n －1－1)3－1－(3n －2)·3n＝1＋9(3n －1－1)2－(3n －2)·3n ，∴T n ＝74＋3n(6n －7)4，故S n ＝4T n ＝7＋(6n －7)·3n .20．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0.(1)若圆C 的切线在x 轴和y 轴上的截距相等，求此切线的方程；(2)从圆C 外一点P (x 1，y 1)向该圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有|PM |＝|PO |，求使得|PM |取得最小值的点P 的坐标．解 (1)将圆C 配方得：(x ＋1)2＋(y －2)2＝2.①当直线在两坐标轴上的截距为零时，设直线方程为y ＝kx ，由直线与圆相切得：y ＝(2±6)x .②当直线在两坐标轴上的截距不为零时，设直线方程为x ＋y －a ＝0，由直线与圆相切得：x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0.故切线方程为y ＝(2±6)x 或x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0. (2)由|PO |＝|PM |，得：x 21＋y 21＝(x 1＋1)2＋(y 1－2)2－2⇒2x 1－4y 1＋3＝0.即点P 在直线l ：2x －4y ＋3＝0上，当|PM |取最小值时即|OP |取得最小值，直线OP ⊥l . ∴直线OP 的方程为：2x ＋y ＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝0，2x －4y ＋3＝0.得P 点坐标为⎝⎛⎭⎫－310，35. 21．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx .(1)若函数y ＝f (x )在x ＝2处有极值－6，求y ＝f (x )的单调递减区间；(2)若y ＝f (x )的导数f ′(x )对x ∈[－1,1]都有f ′(x )≤2，求ba －1的取值范围．解 (1)f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(2)＝0，f (2)＝－6，即⎩⎪⎨⎪⎧12＋4a ＋b ＝0，8＋4a ＋2b ＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－52，b ＝－2.∴f ′(x )＝3x 2－5x －2.由f ′(x )＜0，得－13＜x ＜2.∴y ＝f (x )的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫－13，2. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(－1)＝3－2a ＋b ≤2，f ′(1)＝3＋2a ＋b ≤2得⎩⎪⎨⎪⎧2a －b －1≥0，2a ＋b ＋1≤0.不等式组确定的平面区域如图阴影部分所示：由⎩⎪⎨⎪⎧ 2a －b －1＝0，2a ＋b ＋1＝0得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝－1.∴Q 点的坐标为(0，－1)．设z ＝ba －1，则z 表示平面区域内的点(a ，b )与点P (1,0)连线的斜率．∵k PQ ＝1，由图可知z ≥1或z ＜－2，即b a －1∈(－∞，－2)∪[1，＋∞)． 22．如图，椭圆C 0：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0，a ，b 为常数)，动圆C 1：x 2＋y 2＝t 21，b ＜t 1＜a .点A 1，A 2分别为C 0的左，右顶点，C 1与C 0相交于A ，B ，C ，D 四点．(1)求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程；(2)设动圆C 2：x 2＋y 2＝t 22与C 0相交于A ′，B ′，C ′，D ′四点，其中b ＜t 2＜a ，t 1≠t 2.若矩形ABCD 与矩形A ′B ′C ′D ′的面积相等，证明：t 21＋t 22为定值．(1)解设A (x 1，y 1)，B (x 1，－y 1)，又知A 1(－a,0)，A 2(a,0)，则直线A 1A 的方程为y ＝y 1x 1＋a (x ＋a )，① 直线A 2B 的方程为y ＝－y 1x 1－a(x －a )．② 由①②得y 2＝－y 21x 21－a2(x 2－a 2)．③由点A (x 1，y 1)在椭圆C 0上，故x 21a 2＋y 21b2＝1.从而y 21＝b 2⎝⎛⎭⎫1－x 21a 2，代入③得x 2a 2－y 2b2＝1(x ＜－a ，y ＜0)．(2)证明设A ′(x 2，y 2)，由矩形ABCD 与矩形A ′B ′C ′D ′的面积相等，得4|x 1||y 1|＝4|x 2||y 2|，故x 21y 21＝x 22y 22.因为点A ，A ′均在椭圆上，所以b 2x 21⎝⎛⎭⎫1－x 21a 2＝b 2x 22⎝⎛⎭⎫1－x 22a 2.由t 1≠t 2，知x 1≠x 2，所以x 21＋x 22＝a 2.从而y 21＋y 22＝b 2，因此t 21＋t 22＝a 2＋b 2为定值．。

四川新高考考前三个月数学理二轮专题复习4.1等差数列与等比数列(含答案详析)

专题四数列、推理与证明第一讲等差数列与等比数列1．a n 与S n 的关系：S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1， n ＝1，S n －S n －1， n ≥2.(2)q ＝1，S n ＝na 11． (2013·江西)等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第四项等于( )A ．－24B ．0C ．12D ．24答案 A解析由x,3x ＋3,6x ＋6成等比数列得，(3x ＋3)2＝x (6x ＋6)．解得x 1＝－3或x 2＝－1(不合题意，舍去)．故数列的第四项为－24.2． (2012·福建)等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝10，a 4＝7，则数列{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 B解析方法一设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋4d ＝10，a 1＋3d ＝7. 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2.∴d ＝2.方法二 ∵在等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝2a 3＝10，∴a 3＝5. 又a 4＝7，∴公差d ＝7－5＝2.3． (2013·辽宁)下面是关于公差d ＞0的等差数列{a n }的四个命题：p 1：数列{a n }是递增数列；p 2：数列{na n }是递增数列； p 3：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是递增数列；p 4：数列{a n ＋3nd }是递增数列．其中的真命题为( )A ．p 1，p 2B ．p 3，p 4C ．p 2，p 3D ．p 1，p 4答案 D解析 a n ＝a 1＋(n －1)d ，d ＞0， ∴a n －a n －1＝d ＞0，命题p 1正确．na n ＝na 1＋n (n －1)d ，∴na n －(n －1)a n －1＝a 1＋2(n －1)d 与0的大小和a 1的取值情况有关．故数列{na n }不一定递增，命题p 2不正确．对于p 3：a n n ＝a 1n ＋n －1n d ，∴a n n －a n －1n －1＝－a 1＋dn (n －1)，当d －a 1＞0，即d ＞a 1时，数列{a nn }递增，但d ＞a 1不一定成立，则p 3不正确．对于p 4：设b n ＝a n ＋3nd ，则b n ＋1－b n ＝a n ＋1－a n ＋3d ＝4d ＞0. ∴数列{a n ＋3nd }是递增数列，p 4正确．综上，正确的命题为p 1，p 4.4． (2013·重庆)已知{a n }是等差数列，a 1＝1，公差d ≠0，S n 为其前n 项和，若a 1，a 2，a 5成等比数列，则S 8＝________. 答案 64解析因为a 1，a 2，a 5成等比数列，则a 22＝a 1·a 5，即(1＋d )2＝1×(1＋4d )，d ＝2.所以a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，S 8＝(a 1＋a 8)×82＝4×(1＋15)＝64.5． (2013·江苏)在正项等比数列{a n }中，a 5＝12，a 6＋a 7＝3.则满足a 1＋a 2＋…＋a n >a 1a 2…a n的最大正整数n 的值为________．答案 12解析由已知条件a 5＝12，a 6＋a 7＝3，即12q ＋12q 2＝3，整理得q 2＋q －6＝0，解得q ＝2，或q ＝－3(舍去)．a n ＝a 5q n －5＝12×2n －5＝2n －6，a 1＋a 2＋…＋a n ＝132(2n －1)，a 1a 2…a n ＝2－52－42－3…2n －6＝，由a 1＋a 2＋…＋a n >a 1a 2…a n 可知2n>2 ＋1，n ≤12.题型一等差(比)数列的基本运算例1 (2012·山东)已知等差数列{a n }的前5项和为105，且a 10＝2a 5.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)对任意m ∈N *，将数列{a n }中不大于72m 的项的个数记为b m .求数列{b m }的前m 项和S m . 审题破题 (1)由已知列出关于首项和公差的方程组，解得a 1和d ，从而求出a n .(2)求出b m ，再根据其特征选用求和方法．解 (1)设数列{a n }的公差为d ，前n 项和为T n ，由T 5＝105，a 10＝2a 5，得⎩⎨⎧5a 1＋5×(5－1)2d ＝105，a 1＋9d ＝2(a 1＋4d )，解得a 1＝7，d ＝7.因此a n ＝a 1＋(n －1)d ＝7＋7(n －1)＝7n (n ∈N *)． (2)对m ∈N *，若a n ＝7n ≤72m ，则n ≤72m －1. 因此b m ＝72m －1.所以数列{b m }是首项为7，公比为49的等比数列，故S m ＝b 1(1－q m )1－q ＝7×(1－49m )1－49＝7×(72m －1)48n 2－11n2n 2－11n ＋102＝72m ＋1－748.反思归纳关于等差(等比)数列的基本运算，一般通过其通项公式和前n 项和公式构造关于a 1和d (或q )的方程或方程组解决，如果在求解过程中能够灵活运用等差(等比)数列的性质，不仅可以快速获解，而且有助于加深对等差(等比)数列问题的认识．变式训练1 (2013·浙江)在公差为d 的等差数列{a n }中，已知a 1＝10，且a 1,2a 2＋2,5a 3成等比数列． (1)求d ，a n ；(2)若d <0，求|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |. 解 (1)由题意得5a 3·a 1＝(2a 2＋2)2，即d 2－3d －4＝0.故d ＝－1或d ＝4.所以a n ＝－n ＋11，n ∈N *或a n ＝4n ＋6，n ∈N *. (2)设数列{a n }的前n 项和为S n .因为d <0，由(1)得d ＝－1，a n ＝－n ＋11. 当n ≤11时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝S n ＝－12n 2＋212n .当n ≥12时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝－S n ＋2S 11＝12n 2－212n ＋110.综上所述，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝⎩⎨⎧－12n 2＋212n ， n ≤11，12n 2－212n ＋110， n ≥12.题型二等差(比)数列性质的应用例2 (1)已知正数组成的等差数列{a n }，前20项和为100，则a 7·a 14的最大值是 ( )A ．25B ．50C ．100D ．不存在(2)在等差数列{a n }中，a 1＝－2 013，其前n 项和为S n ，若S 1212－S 1010＝2，则S 2 013的值为( )A ．－2 011B ．－2 012C ．－2 010D ．－2 013审题破题 (1)根据等差数列的性质，a 7＋a 14＝a 1＋a 20，S 20＝20(a 1＋a 20)2可求出a 7＋a 14，然后利用基本不等式；(2)等差数列{a n }中，S n 是其前n 项和，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也成等差数列．答案 (1)A (2)D解析 (1)∵S 20＝a 1＋a 202×20＝100，∴a 1＋a 20＝10.∵a 1＋a 20＝a 7＋a 14，∴a 7＋a 14＝10.∵a n >0，∴a 7·a 14≤⎝⎛⎭⎪⎫a 7＋a 1422＝25.当且仅当a 7＝a 14时取等号．(2)根据等差数列的性质，得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列，根据已知可得这个数列的首项S 11＝a 1＝－2 013，公差d ＝1，故S 2 0132 013＝－2 013＋(2 013－1)×1＝－1，所以S 2 013＝－2 013.反思归纳等差数列和等比数列的项，前n 项和都有一些类似的性质，充分利用性质可简化解题过程．变式训练2 (1)数列{a n }是等差数列，若a 11a 10<－1，且它的前n 项和S n 有最大值，那么当S n 取得最小正值时，n 等于( )A ．11B ．17C ．19D ．21答案 C解析 ∵{a n }的前n 项和S n 有最大值，∴数列为递减数列．又a 11a 10<－1，∴a 10>0，a 11<0，得a 10＋a 11<0. 而S 19＝19(a 1＋a 19)2＝19·a 10>0，S 20＝20(a 1＋a 20)2＝10(a 10＋a 11)<0.故当n ＝19时，S n 取得最小正值．(2)公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 3a 11＝16，则log 2a 10等于 ( )A ．4B ．5C ．6D ．7答案 B解析 ∵a 3·a 11＝16，∴a 27＝16.又∵等比数列{a n }的各项都是正数，∴a 7＝4. 又∵a 10＝a 7q 3＝4×23＝25，∴log 2a 10＝5. 题型三等差数列、等比数列的综合应用例3 已知数列{a n }的前n 项和S n 满足条件2S n ＝3(a n －1)，其中n ∈N *.(1)证明：数列{a n }为等比数列；(2)设数列{b n }满足b n ＝log 3a n ，若c n ＝a n b n ，求数列{c n }的前n 项和．审题破题 (1)利用a n ＝S n －S n －1求出a n 与a n －1之间的关系，进而用定义证明数列{a n }为等比数列．(2)由(1)的结论得出数列{b n }的通项公式，求出c n 的表达式，再利用错位相减法求和．(1)证明由题意得a n ＝S n －S n －1＝32(a n －a n －1)(n ≥2)，∴a n ＝3a n －1，∴a na n －1＝3(n ≥2)，又S 1＝32(a 1－1)＝a 1，解得a 1＝3，∴数列{a n }为首项为3，公比为3的等比数列． (2)解由(1)得a n ＝3n ，则b n ＝log 3a n ＝log 33n ＝n ， ∴c n ＝a n b n ＝n ·3n ，设T n ＝1·31＋2·32＋3·33＋…＋(n －1)·3n －1＋n ·3n ， 3T n ＝1·32＋2·33＋3·34＋…＋(n －1)·3n ＋n ·3n ＋1. ∴－2T n ＝31＋32＋33＋…＋3n －n ·3n ＋1 ＝3(1－3n )1－3－n ·3n ＋1，∴T n ＝(2n －1)3n ＋1＋34.反思归纳等差、等比数列的判断与证明方法是由已知条件求出a n 或得到a n ＋1与a n 的递推关系，再确认a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)或a n ＋1a n＝q (n ∈N *，q 为非零常数)是否对一切正整数均成立．变式训练3 已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d >0，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{b n }的第2项、第3项、第4项．(1)求数列{a n }、{b n }的通项公式；(2)设数列{c n }对n ∈N *，均有c 1b 1＋c 2b 2＋…＋c nb n ＝a n ＋1成立，求c 1＋c 2＋…＋c 2 013.解 (1)∵a 2＝1＋d ，a 5＝1＋4d ，a 14＝1＋13d ，d >0， ∴(1＋4d )2＝(1＋d )(1＋13d )，解得d ＝2. 则a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1. 又∵b 2＝a 2＝3，b 3＝a 5＝9， ∴等比数列{b n }的公比q ＝b 3b 2＝93＝3.∴b n ＝b 2q n －2＝3×3n －2＝3n －1.(2)由c 1b 1＋c 2b 2＋…＋c nb n ＝a n ＋1，得当n ≥2时，c 1b 1＋c 2b 2＋…＋c n －1b n －1＝a n ，两式相减，得c nb n ＝a n ＋1－a n ＝2，∴c n ＝2b n ＝2×3n －1 (n ≥2)而当n ＝1时，c 1b 1＝a 2，∴c 1＝3.∴c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，2×3n －1，n ≥2.∴c 1＋c 2＋…＋c 2 013＝3＋2×31＋2×32＋…＋2×32 012＝3＋6－6×32 0121－3＝3－3＋32 013＝32 013.典例 (12分)已知数列a 1，a 2，…，a 30，其中a 1，a 2，…，a 10是首项为1，公差为1的等差数列；a 10，a 11，…，a 20是公差为d 的等差数列；a 20，a 21，…，a 30是公差为d 2的等差数列(d ≠0)． (1)若a 20＝40，求d ；(2)试写出a 30关于d 的关系式，并求a 30的取值范围；(3)续写已知数列，使得a 30，a 31，…，a 40是公差为d 3的等差数列，…，依次类推，把已知数列推广为无穷数列．提出同(2)类似的问题((2)应当作为特例)，并进行研究，你能得到什么样的结论？规范解答解 (1)由题意可得a 10＝10，a 20＝10＋10d ＝40， ∴d ＝3.[3分](2)a 30＝a 20＋10d 2＝10(1＋d ＋d 2)＝10⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫d ＋122＋34(d ≠0)． [5分] 当d ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)时，a 30∈[7.5，＋∞)．[7分](3)所给数列可推广为无穷数列{a n }，其中a 1，a 2，…，a 10是首项为1，公差为1的等差数列，当n ≥1时，数列a 10n ，a 10n ＋1，…，a 10(n ＋1)是公差为d n 的等差数列．[8分]研究的问题可以是：试写出a 10(n ＋1)关于d 的关系式，并求出a 10(n ＋1)的取值范围．研究的结论可以是：由a 40＝a 30＋10d 3＝10(1＋d ＋d 2＋d 3)，[9分]依次类推可得a 10(n ＋1)＝10(1＋d ＋…＋d n ) ＝⎩⎪⎨⎪⎧10×1－d n ＋11－d ，d ≠1，10(n ＋1)，d ＝1.[11分]当d >0时，a 10(n ＋1)的取值范围为(10，＋∞)．[12分]评分细则 (1)列出关于d 的方程给1分；(2)求a 30的范围时没有注明d ≠0扣1分．阅卷老师提醒本题从具体数列入手，先确定d ，然后利用函数思想求a 30的范围，最后通过观察寻求一般规律，将结论进行推广，要求熟练掌握数列的基本知识，灵活运用数列性质．1．已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 3·a 7＝4a 24，a 2＝2，则a 1等于( )A ．1 B. 2 C ．2 D.22答案 A解析设数列{a n }的公比为q (q >0)，由a 2>0，知a 4>0，a 5>0，由于a 3·a 7＝a 25，所以a 25＝4a 24，从而a 5＝2a 4，q ＝2，故a 1＝a 2q ＝22＝1. 2．已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，以S n 表示数列{a n }的前n 项和，则使得S n 取得最大值的n 是( )A ．21B ．20C ．19D ．18答案 B解析设数列{a n }的公差是d ，则a 2＋a 4＋a 6－(a 1＋a 3＋a 5)＝3d ＝99－105＝－6，即d ＝－2. 又3a 3＝105，所以a 3＝35.所以a n ＝a 3＋(n －3)d ＝41－2n .令a n >0得n <20.5，即数列{a n }的前20项均为正，自第21项起以后各项均为负，因此使得S n 达到最大值的n 为20.3．首项为－24的等差数列{a n }从第10项开始为正数，则公差d 的取值范围是 ( )A.83≤d <3B.83<d <3C.83<d ≤3D.83≤d ≤3 答案 C解析设等差数列{a n }的公差为d ，由已知得⎩⎨⎧a 10>0，a 9≤0.即⎩⎪⎨⎪⎧－24＋9d >0－24＋8d ≤0，所以d 的取值范围是83<d ≤3.4． (2013·辽宁)已知等比数列{a n }是递增数列，S n 是{a n }的前n 项和．若a 1，a 3是方程x 2－5x ＋4＝0的两个根，则S 6＝________. 答案 63解析 ∵a 1，a 3是方程x 2－5x ＋4＝0的两根，且q ＞1， ∴a 1＝1，a 3＝4，则公比q ＝2，因此S 6＝1×(1－26)1－2＝63.5． (2012·浙江)设公比为q (q >0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则q ＝________.答案 32解析方法一 S 4＝S 2＋a 3＋a 4＝3a 2＋2＋a 3＋a 4＝3a 4＋2，将a 3＝a 2q ，a 4＝a 2q 2代入得，3a 2＋2＋a 2q ＋a 2q 2＝3a 2q 2＋2，化简得2q 2－q －3＝0，解得q ＝32(q ＝－1不合题意，舍去)．方法二设等比数列{a n }的首项为a 1，由S 2＝3a 2＋2，得 a 1(1＋q )＝3a 1q ＋2.①由S 4＝3a 4＋2，得a 1(1＋q )(1＋q 2)＝3a 1q 3＋2.② 由②－①得a 1q 2(1＋q )＝3a 1q (q 2－1)．∵q >0，∴q ＝32.6． (2013·安徽)如图，互不相同的点A 1，A 2，…，A n ，…和B 1，B 2，…，B n …分别在角O 的两条边上，所有A n B n 相互平行，且所有梯形A n B n B n ＋1A n ＋1的面积均相等．设OA n ＝a n ，若a 1＝1，a 2＝2，则数列{a n }的通项公式是________．答案 a n ＝3n －2解析由已知S 梯形A n B n B n ＋1A n ＋1 ＝S 梯形A n ＋1B n ＋1B n ＋2A n ＋2， S △OB n ＋1A n ＋1－S △OB n A n ＝S △OB n ＋2A n ＋2－S △OB n ＋1A n ＋1，即S △OB n A n ＋S △OB n ＋2A n ＋2 ＝2S △OB n ＋1A n ＋1由相似三角形面积比是相似比的平方知OA 2n ＋OA 2n ＋2＝2OA 2n ＋1，即a 2n ＋a 2n ＋2＝2a 2n ＋1，因此{a 2n }为等差数列且a 2n ＝a 21＋3(n －1)＝3n －2，故a n ＝3n －2.专题限时规范训练一、选择题1． (2013·课标全国Ⅱ)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1等于( )A.13B ．－13C.19D ．－19答案 C解析设等比数列{a n }的公比为q ，由S 3＝a 2＋10a 1得a 1＋a 2＋a 3＝a 2＋10a 1，即a 3＝9a 1，q 2＝9，又a 5＝a 1q 4＝9，所以a 1＝19.2．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若2S 4＝S 5＋S 6，则数列{a n }的公比q 的值为 ( )A ．－2或1B ．－1或2C ．－2D ．1答案 C解析方法一若q ＝1，则S 4＝4a 1，S 5＝5a 1，S 6＝6a 1，显然不满足2S 4＝S 5＋S 6，故A 、D 错．若q ＝－1，则S 4＝S 6＝0，S 5＝a 5≠0，不满足条件，故B 错，因此选C. 方法二经检验q ＝1不适合，则由2S 4＝S 5＋S 6，得2(1－q 4)＝1－q 5＋1－q 6，化简得q 2＋q －2＝0，∴q ＝1(舍去)，q ＝－2.3．已知{a n }为等差数列，a 2＋a 8＝43，则S 9等于( )A ．4B ．5C ．6D ．7答案 C解析 ∵{a n }为等差数列，∴a 2＋a 8＝a 1＋a 9＝43，∴S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9×432＝6.4．一个由实数组成的等比数列，它的前6项和是前3项和的9倍，则此数列的公比为( )A ．2B ．3 C.12 D.13答案 A解析等比数列中，S 6＝9S 3，∴S 6－S 3＝8S 3， ∴S 6－S 3S 3＝q 3＝8，∴q ＝2.5．已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a nb n为整数的正整数n 的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5答案 D解析由等差数列的前n 项和及等差中项，可得a n b n ＝12(a 1＋a 2n －1)12(b 1＋b 2n －1) ＝12(2n －1)(a 1＋a 2n －1)12(2n －1)(b 1＋b 2n －1)＝A 2n －1B 2n －1 ＝7(2n －1)＋45(2n －1)＋3＝14n ＋382n ＋2＝7n ＋19n ＋1＝7＋12n ＋1(n ∈N *)，故n ＝1,2,3,5,11时，a n b n为整数． 6．已知{a n }为等差数列，其公差为－2，且a 7是a 3与a 9的等比中项，S n 为{a n }的前n 项和，n ∈N *，则S 10的值为( ) A ．－110B ．－90C ．90D ．110 答案 D解析 ∵a 3＝a 1＋2d ＝a 1－4，a 7＝a 1＋6d ＝a 1－12，a 9＝a 1＋8d ＝a 1－16，又∵a 7是a 3与a 9的等比中项，∴(a 1－12)2＝(a 1－4)·(a 1－16)，解得a 1＝20.∴S 10＝10×20＋12×10×9×(－2)＝110. 7．已知数列{a n }满足1＋log 3a n ＝log 3a n ＋1(n ∈N ＋)，且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)的值是( ) A.15B ．－15C ．5D ．－5答案 D解析由1＋log 3a n ＝log 3a n ＋1得a n ＋1a n＝3，{a n }为等比数列，公比为3. ∴a 5＋a 7＋a 9＝27(a 2＋a 4＋a 6)＝27×9＝35，∴log 13(a 5＋a 7＋a 9)＝log 1335＝－5. 8．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 15>0，S 16<0，则S 1a 1，S 2a 2，…，S 15a 15中最大的项为( )A.S 6a 6B.S 7a 7C.S 9a 9D.S 8a 8 答案 D解析由S 15＝15(a 1＋a 15)2＝15a 8>0，得a 8>0.由S 16＝16(a 1＋a 16)2＝16(a 9＋a 8)2<0，得a 9＋a 8<0，所以a 9<0，且d <0.所以数列{a n }为递减数列．所以a 1，…，a 8为正，a 9，…，a n 为负，且S 1，S 2，…，S 15>0，S 16，S 17，…，S n <0，则S 9a 9<0，S 10a 10<0，…，S 8a 8>0.又S 8>S 7>S 6>0，a 6>a 7>a 8>0.∴S 8a 8>S 7a 7>S 6a 6，故S 8a 8最大．二、填空题9． (2013·课标全国Ⅰ)若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式是a n ＝_______. 答案 (－2)n －1 解析当n ＝1时，a 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝23a n －23a n －1，故a n a n －1＝－2，故a n ＝(－2)n －1. 10．(2013·课标全国Ⅱ)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 10＝0，S 15＝25，则nS n 的最小值为________．答案－49解析由题意知a 1＋a 10＝0，a 1＋a 15＝103. 两式相减得a 15－a 10＝103＝5d ， ∴d ＝23，a 1＝－3. ∴nS n ＝n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫na 1＋n (n －1)2d ＝n 3－10n 23＝f (n )， f ′(n )＝13n (3n －20)．令f ′(n )＝0得n ＝0(舍)或n ＝203. 当n >203时，f (n )是单调递增的；当0<n <203时，f (n )是单调递减的．故当n ＝7时，f (n )取最小值，f (n )min ＝－49.∴nS n 的最小值为－49.11．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n ＝________.答案 6解析设等差数列的公差为d ，则由a 4＋a 6＝－6得2a 5＝－6，∴a 5＝－3.又∵a 1＝－11，∴－3＝－11＋4d ，∴d ＝2，∴S n ＝－11n ＋n (n －1)2×2＝n 2－12n ＝(n －6)2－36，故当n ＝6时S n 取最小值． 12．在数列{a n }中，如果对任意n ∈N *都有a n ＋2－a n ＋1a n ＋1－a n＝k (k 为常数)，则称数列{a n }为等差比数列，k 称为公差比．现给出下列问题：①等差比数列的公差比一定不为零；②等差数列一定是等差比数列；③若a n ＝－3n ＋2，则数列{a n }是等差比数列；④若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比．其中正确命题的序号为________．答案 ①③④解析若k ＝0，{a n }为常数列，分母无意义，①正确；公差为零的等差数列不是等差比数列，②错误；a n ＋2－a n ＋1a n ＋1－a n ＝3，满足定义，③正确；设a n ＝a 1q n －1(q ≠0)，则a n ＋2－a n ＋1a n ＋1－a n＝a 1q n ＋1－a 1q na 1q n －a 1q n －1＝q ，④正确．三、解答题13．(2013·福建)已知等差数列{a n }的公差d ＝1，前n 项和为S n .(1)若1，a 1，a 3成等比数列，求a 1；(2)若S 5>a 1a 9，求a 1的取值范围．解 (1)因为数列{a n }的公差d ＝1，且1，a 1，a 3成等比数列，所以a 21＝1×(a 1＋2)，即a 21－a 1－2＝0，解得a 1＝－1或a 1＝2.(2)因为数列{a n }的公差d ＝1，且S 5>a 1a 9，所以5a 1＋10>a 21＋8a 1，即a 21＋3a 1－10<0，解得－5<a 1<2.14．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝14，且2S n ＝2S n －1＋2a n －1＋1(n ≥2，n ∈N *)．数列{b n }满足b 1＝34，且3b n －b n －1＝n (n ≥2，n ∈N *)． (1)求证：数列{a n }为等差数列；(2)求证：数列{b n －a n }为等比数列；(3)求数列{b n }的通项公式以及前n 项和T n .(1)证明 ∵2S n ＝2S n －1＋2a n －1＋1(n ≥2，n ∈N *)，∴当n ≥2时，2a n ＝2a n －1＋1，可得a n －a n －1＝12. ∴数列{a n }为等差数列．(2)证明 ∵{a n }为等差数列，公差d ＝12， ∴a n ＝a 1＋(n －1)×12＝12n －14. 又3b n －b n －1＝n (n ≥2)，∴b n ＝13b n －1＋13n (n ≥2)，∴b n －a n ＝13b n －1＋13n －12n ＋14＝13b n －1－16n ＋14＝13(b n －1－12n ＋34) ＝13[b n －1－12(n －1)＋14] ＝13(b n －1－a n －1)，又b 1－a 1＝12≠0， ∴对n ∈N *，b n －a n ≠0，得b n －a nb n －1－a n －1＝13(n ≥2)． ∴数列{b n －a n }是首项为12，公比为13的等比数列． (3)解由(2)得b n －a n ＝12·⎝⎛⎭⎫13n －1， ∴b n ＝n 2－14＋12·⎝⎛⎭⎫13n －1(n ∈N *)． ∵b 1－a 1＋b 2－a 2＋…＋b n －a n ＝12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13n 1－13， ∴b 1＋b 2＋…＋b n －(a 1＋a 2＋…＋a n ) ＝34⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13n . ∴T n －n 24＝34⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13n . ∴T n ＝n 24＋34⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13n (n ∈N *)．。

2022高考考前三个月数学(四川专用理科)二轮压轴大题突破练4 Word版含答案

压轴大题突破练4 函数与导数(二)1．已知函数f (x )＝e x －a (x ＋1)在x ＝ln 2处的切线的斜率为1.(其中e ＝2.718 28…) (1)求a 的值及f (x )的最小值；(2)当x ≥0时，f (x )≥mx 2恒成立，求m 的取值范围； (3)求证：∑ni ＝2ln i i 4<12e(i ，n ∈N *)．(参考数据：ln 2≈0.693 1) (1)解 f ′(x )＝e x－a ，由已知得f ′(ln 2)＝2－a ＝1， ∴a ＝1，此时f (x )＝e x －x －1，f ′(x )＝e x －1， ∴当0<e x <1，即x <0时，f ′(x )<0，当e x >1，即x >0时，f ′(x )>0，∴当x ＝0时，f (x )取得微小值即为最小值， ∴f (x )min ＝f (0)＝0.(2)解记g (x )＝e x －x －1－mx 2， g ′(x )＝e x －1－2mx ，设h (x )＝g ′(x )＝e x －1－2mx ，则h ′(x )＝e x －2m . ①当m ≤12时，h ′(x )≥0(x ≥0)，∴h (x )≥h (0)＝0，∴g ′(x )≥0，∴g (x )≥g (0)＝0， ∴m ≤12时满足题意．②当m >12时，令h ′(x )＝0，得x ＝ln 2m >0，当x ∈[0，ln 2m )时，h ′(x )<0，h (x )在此区间上是减函数，g ′(x )＝h (x )≤h (0)＝0， ∴g (x )在此区间上是减函数， ∴g (ln 2m )≤g (0)＝0不合题意．综上得m 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，12. (3)证明记k (x )＝ln xx 2，则k ′(x )＝1－2ln x x 3，令k ′(x )＝0，得x ＝ e.不难知当x ＝e 时，k (x )有最大值，且最大值为12e .∴ln x x 2≤12e ，∴ln n n 4≤12e ·1n2 (n ≥2)， ∴∑ni ＝2ln i i 4≤12e⎝⎛⎭⎫122＋132＋142＋…＋1n 2，又122＋132＋142＋…＋1n 2<11×2＋12×3＋…＋1(n －1)n ＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n＝1－1n <1，∴∑ni ＝2ln i i 4<12e ⎝⎛⎭⎫122＋132＋142＋…＋1n 2<12e ，即∑n i ＝2ln i i 4<12e. 2．已知函数f (x )＝ln x －x 2＋x . (1)求函数f (x )的单调递减区间；(2)若关于x 的不等式f (x )≤⎝⎛⎭⎫a 2－1x 2＋ax －1恒成立，求整数a 的最小值；(3)若正实数x 1，x 2满足f (x 1)＋f (x 2)＋2(x 21＋x 22)＋x 1x 2＝0，证明：x 1＋x 2>5－12. (1)解 f ′(x )＝1x －2x ＋1＝－2x 2＋x ＋1x (x >0),由f ′(x )<0，得2x 2－x －1>0，又x >0，所以x >1. 所以f (x )的单调递减区间为(1，＋∞)． (2)解令g (x )＝f (x )－[(a2－1)x 2＋ax －1]＝ln x －12ax 2＋(1－a )x ＋1，所以g ′(x )＝1x －ax ＋(1－a )＝－ax 2＋(1－a )x ＋1x .当a ≤0时，由于x >0，所以g ′(x )>0. 所以g (x )在(0，＋∞)上是递增函数，又由于g (1)＝ln 1－12a ×12＋(1－a )＋1＝－32a ＋2>0，所以关于x 的不等式f (x )≤⎝⎛⎭⎫a 2－1x 2＋ax －1不能恒成立．当a >0时，g ′(x )＝－ax 2＋(1－a )x ＋1x＝－a (x －1a)(x ＋1)x ，令g ′(x )＝0，得x ＝1a.所以当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a 时，g ′(x )>0；当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞时，g ′(x )<0，因此函数g (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 是增函数，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞是减函数．故函数g (x )的最大值为g ⎝⎛⎭⎫1a ＝ln 1a －12a ×⎝⎛⎭⎫1a 2＋(1－a )×1a ＋1＝12a －ln a . 令h (a )＝12a－ln a ，由于h (1)＝12>0，h (2)＝14－ln 2<0，由于h (a )在a ∈(0，＋∞)是减函数．所以当a ≥2时，h (a )<0. 所以整数a 的最小值为2.(3)证明由f (x 1)＋f (x 2)＋2(x 21＋x 22)＋x 1x 2＝0，即ln x 1＋x 21＋x 1＋ln x 2＋x 22＋x 2＋x 1x 2＝0，从而(x 1＋x 2)2＋(x 1＋x 2)＝x 1·x 2－ln(x 1·x 2)，令t ＝x 1·x 2，则由φ(t )＝t －ln t 得，φ′(t )＝t －1t，可知，φ(t )在区间(0,1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增．所以φ(t )≥φ(1)＝1，所以(x 1＋x 2)2＋(x 1＋x 2)≥1，又x 1＋x 2>0，因此x 1＋x 2≥5－12成立．3．已知f (x )＝x ln x ，g (x )＝－x 2＋ax －3. (1)求函数f (x )在[t ，t ＋2](t >0)上的最小值；(2)对一切x ∈(0，＋∞)，2f (x )≥g (x )恒成立，求实数a 的取值范围； (3)证明：对一切x ∈(0，＋∞)，都有ln x >1e x －2e x 成立．(1)解由f (x )＝x ln x ，x >0，得f ′(x )＝ln x ＋1，令f ′(x )＝0，得x ＝1e.当x ∈(0，1e )时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(1e ，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．①当0<t <1e <t ＋2，即0<t <1e 时，f (x )min ＝f (1e )＝－1e；②当1e ≤t <t ＋2，即t ≥1e时，f (x )在[t ，t ＋2]上单调递增，f (x )min ＝f (t )＝t ln t .所以f (x )min＝⎩⎨⎧－1e ，0<t <1e，t ln t ，t ≥1e.(2)解 2x ln x ≥－x 2＋ax －3 (x >0)，则a ≤2ln x ＋x ＋3x ，设h (x )＝2ln x ＋x ＋3x (x >0)，则h ′(x )＝(x ＋3)(x －1)x 2，①当x ∈(0,1)时，h ′(x )<0，h (x )单调递减， ②当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )>0，h (x )单调递增，所以h (x )min ＝h (1)＝4，对一切x ∈(0，＋∞)， 2f (x )≥g (x )恒成立，所以a ≤h (x )min ＝4.(3)证明问题等价于证明x ln x >x e x －2e (x ∈(0，＋∞))．由(1)可知f (x )＝x ln x (x ∈(0，＋∞))的最小值是－1e，当且仅当x ＝1e 时取到，设m (x )＝x e x －2e (x ∈(0，＋∞))，则m ′(x )＝1－x e x ，易知m (x )max ＝m (1)＝－1e ，当且仅当x ＝1时取到．从而对一切x ∈(0，＋∞)，都有ln x >1e x －2e x 成立．4．已知函数f (x )＝ln(x ＋a )＋2x，g (x )＝ln x .(1)已知f (x )在[e ，＋∞)上是单调函数，求a 的取值范围；(2)已知m ，n ，ξ满足n >ξ>m >0，且g ′(ξ)＝g (n )－g (m )n －m，试比较ξ与mn 的大小；(3)已知a ＝2，是否存在正数k ，使得关于x 的方程f (x )＝kg (x )在[e ，＋∞)上有两个不相等的实数根？假如存在，求k 满足的条件；假如不存在，说明理由．解 (1)∵f (x )＝ln(x ＋a )＋2x，∴f ′(x )＝1x ＋a －2x 2＝x 2－2x －2ax 2(x ＋a ).∵f (x )在[e ，＋∞)上单调，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋a >0，x 2－2x －2a ≥0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a >0，x 2－2x －2a ≤0.∴⎩⎪⎨⎪⎧ a >－e ，a ≤12x 2－x 或⎩⎪⎨⎪⎧a >－e ，a ≥12x 2－x .∵当x ≥e 时，12x 2－x ≥12e 2－e ，∴－e<a ≤12e 2－e.(2)∵g ′(ξ)＝g (n )－g (m )n －m ，∴1ξ＝ln n －ln mn －m .设h (x )＝2ln x －x ＋1x (x >1)，则h ′(x )＝2x －1－1x 2＝－(x －1)2x 2<0，∴h (x )<h (1)＝0，∴当x >1时，2ln x <x －1x，令x ＝n m，得2lnnm <n m －m n， ∴ln n －ln m <n －m mn ⇒ln n －ln m n －m <1mn .∴1ξ<1mn，即ξ>mn . (3)假设方程f (x )＝kg (x )存在满足条件的两个实数根x 1，x 2，且x 2>x 1≥e ，则⎩⎨⎧ln (x 1＋2)＋2x 1＝k ln x 1，ln (x 2＋2)＋2x2＝k ln x 2⇒ln (x 1＋2)＋2x 1ln (x 2＋2)＋2x 2＝ln x 1ln x 2，即ln (x 1＋2)＋2x 1ln x 1＝ln (x 2＋2)＋2x 2ln x 2，ln (x 1＋2)＋2x 1－ln x 1ln x 1＝ln (x 2＋2)＋2x 2－ln x 2ln x 2.ln ⎝⎛⎭⎫1＋2x 1＋2x 1ln x 1＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋2x 2＋2x 2ln x 2⇒ln ⎝⎛⎭⎫1＋2x 1＋2x 1ln ⎝⎛⎭⎫1＋2x 2＋2x 2＝ln x 1ln x 2.∵x 2>x 1≥e ，∴2x 1>2x 2⇒ln ⎝⎛⎭⎫1＋2x 1＋2x 1ln ⎝⎛⎭⎫1＋2x 2＋2x 2>1，而ln x 1ln x 2<1，∴ln ⎝⎛⎭⎫1＋2x 1＋2x 1ln ⎝⎛⎭⎫1＋2x 2＋2x 2>ln x 1ln x 2， ∴方程不存在满足条件的两根．。

《新步步高》高考考前三个月数学(四川专用理科)二轮小题精练4含答案.doc

小题精练4一、选择题1. 已知集合 M={x\x^}f N= {y\y=2\ x^R},则 MQN 等于（）A. （0,1]B. （0,1） c. [0,1）D. [0,1]答案A解析由题意 M={x|0WxWl}, N= {y|y>0},故 MAN=（0,l]・2. 命题x'Hx”的否定是（）A. 0対R, xMx B ・ VxeR, x 2=xC. 3x^R,D.x 2=x答案D解析根据全称命题的否定是特称命题知命题“X/xWR,异Hx”的否定是“mxWR, x 2 = x” .3. 己知复数zi=2 + i, Z2=l —2i,若z=刍则z 等于（）C. iD. -1答案D鈕±r 山 r* 岛浮可 2 + i (2 + i)(l+2i).解析由已知伶Z=-L=-~~ = 7=1,Z2 1 —21 〉所以z =—i,选D.2324. 设尸(|尸，方=(|尸，C = (|)§,则G, b, C 的大小关系是() A. a>c>b B. a>h>c C. c>a>hD. h>c>a答案A2解析••了=(!》在(0，+8)上为减函数，且:.b<c, *.*y=x 5在(0, +°°)上为增函数,3 2且亍彳/. a>c 9所以a>c>b.5. 设加，"是两条不同的直线，a,"是两个不同的平面，下列命题屮正确的是( )A. 若加〃a, n 〃a,则 m//nB. 若G 丄0,加丄0,加Qa,则m//a•K+4-5 BC.若G丄卩，mUa,则加丄“D.若77C«, m〃卩,n///?,则a//p答案B解析A项，若m//a, n//a,则tn//n或加，"相交或异面；B项，若a丄0,加丄仇mQa, 则m//a正确；C项，若a丄0, tnUa,则加丄0或m//p或斜交；D项，若mUa,〃Ua,加〃0, n//p,则a//p或相交.6.学校组织同学参加社会调查，某小组共有5名男同学，4名女同学.现从该小组中选出3位同学分别到4,B,C三地进行社会调查，若选出的同学中男女均有，则不同安排方法有() A. 70 种B. 140 种C. 840 种D. 420 种答案D解析采用反面来做，首先从9名同学中任选3名参加社会调查有种，3名同学全是男生或全是女生的有(d+C?)A；种，故选出的同学中男女均有，则不同安排方法有Q•启一(C：+ C?)A扌=420种不同选法.x—y+1W0,7.变量x、y满足条件<応1，贝I J(X-2)2+/的最小值为()解析不等式组x~y+ 1W0,yWl, 在直角坐标系中所表示的平面区域如图中的阴影部x>— 1分所示，设P(x, y)是该区域内的任意一点，则(x~2)2+y2的几何意义是点P(x9 y)与点M(2,0)距离的平方，由图可知，当点的坐标为(0,1)时，|PM|最小，所以|P/W]^22+1=^/5,所以 |即2三5,即(x-2)2+y2>5.x>-l,答案D8. 函数尹=1(—2Wx<0),2sin(car+0)(OWx的图象如图，则( y1 兀D. k=—2,(o = 2,(p=j答案A解析在y轴左侧，图象过点(一2,0), ・・・一2k+l=0,解得k=*,在y轴右侧，厂=4曾一誓) =4兀，氏=爷詁，(誓，0)为五点作图中的第三个点，・・・齐*+0 =兀，解得卩耳.9.如图所示的程序框图输出的所有点都在函数()答案D解析由题可知，输入x=l, y=\,由于1W4,输出点(1,1),进入循环，x=l + l=2, y=2X 1 =2,由于2W4,输出点(2,2),进入循环，x=2+l=3, y=2X2=4,由于3W4,输出点(3,4), 进入循环，x=3+l=4, y=2X4=8,由于4W4,输出点(4,8),进入循环，x=4+l=5>4, 循环结束；故点(2,2),点(3,4),点(4,8)均满足在函数y=^~｛的图象上.A. 0B. Iog23C. 2D. 3答案C解析不妨设a^b,2b<2c=2(l+2h^：2h+2h=2hu=>b<c^：h+1, Tb, c^Z, :.c=b+\, ：.2h・•・ /=0丄3,4,故(log20max=log24=2.二、填空题71◎A. y=x+\的图象上C. y=2x的图象上B. y=2x的图象上D. y=2x~l的图象上10. 已知整数e b, c, f满足：2。

2022高考考前三个月数学(四川专用理科)二轮回扣专项练4 Word版含答案

回扣专项练4 数列1．已知等差数列{a n }的公差d <0，若a 4·a 6＝24，a 2＋a 8＝10，则该数列的前n 项和S n 的最大值为( ) A ．50 B ．40 C ．45 D ．35 答案 C解析 ∵a 4＋a 6＝a 2＋a 8＝10，a 4·a 6＝24，d <0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝6，a 6＝4.∴d ＝a 6－a 46－4＝－1，∴a n ＝a 4＋(n －4)d ＝10－n .∴当n ＝9或10时S n 取到最大值，S 9＝S 10＝45.2．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝－11，a 5＋a 6＝－4，S n 取得最小值时n 的值为( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 答案 A解析 ∵a 5＋a 6＝a 1＋a 10＝－11＋a 10＝－4，∴a 10＝7，∴－11＋9d ＝7，∴d ＝2，∴a 7＝a 10－3d ＝1>0，a 6＝a 10－4d ＝－1<0，故选A.3．已知等比数列{a n }的公比为q ，记b n ＝a m (n －1)＋1＋a m (n －1)＋2＋…＋a m (n －1)＋m ，c n ＝a m (n －1)＋1·a m (n －1)＋2·…·a m (n －1)＋m(m ，n ∈N *)，则以下结论肯定正确的是( )A ．数列{b n }为等差数列，公差为q mB ．数列{b n }为等比数列，公比为q 2mC ．数列{c n }为等比数列，公比为qm 2D ．数列{c n }为等比数列，公比为qm m 答案 C解析明显，{b n }不行能是等比数列；{c n }是等比数列；证明如下： c n ＝a m (n －1)＋1·a m (n －1)＋2…a m (n －1)＋m ，c n ＋1＝a mn ＋1·a mn ＋2…a mn ＋m ， c n ＋1c n ＝a mn ＋1·a mn ＋2…a mn ＋ma m (n －1)＋1·a m (n －1)＋2…a m (n －1)＋m＝q m q m …q m ＝(q m )m ＝qm 2. 4．定义数列{x n }：x 1＝1，x n ＋1＝3x 3n ＋2x 2n ＋x n ；数列{y n }：y n ＝11＋2x n ＋3x 2n ；数列{z n }：z n＝2＋3x n 1＋2x n ＋3x 2n ；若{y n }的前n 项的积为P ，{z n }的前n 项的和为Q ，那么P ＋Q 等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．不确定答案 A解析由题设可得：y n ＝x nx n ＋1，所以P ＝y 1y 2…y n ＝x 1x 2·x 2x 3·x 3x 4…x n x n ＋1＝x 1x n ＋1.z n ＝2＋3x n1＋2x n ＋3x 2n＝y n (2＋3x n )＝x n (2＋3x n )x n ＋1＝2x n ＋3x 2n x n ＋1＝2x n ＋3x 2n ＋1－1x n ＋1＝1x n －1x n ＋1.所以Q ＝⎝⎛⎭⎫1x 1－1x 2＋⎝⎛⎭⎫1x 2－1x 3＋⎝⎛⎭⎫1x 3－1x 4＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫1x n －1x n ＋1＝1x 1－1x n ＋1. 所以P ＋Q ＝x 1x n ＋1＋1x 1－1x n ＋1＝1x n ＋1＋11－1x n ＋1＝1.故选A.巧解：取n ＝1，可得P ＋Q ＝1，故选A. 5．数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝2a n ＋1，b n ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a n ＋2a n －1，n ∈N *，则数列{b n }的通项公式b n＝________. 答案 2n ＋1解析由条件得b n ＋1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a n ＋1＋2a n ＋1－1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪2a n ＋1＋22a n＋1－1 ＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪a n ＋2a n －1＝2b n ，且b 1＝4，所以数列{b n }是首项为4，公比为2的等比数列，则b n ＝4·2n －1＝2n ＋1. 6．某住宅小区方案植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n (n ∈N *)等于________．答案 6解析每天植树棵数构成等比数列{a n }，其中a 1＝2，q ＝2.则S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝2(2n －1)≥100，即2n ＋1≥102.∴n ≥6，∴最少天数n ＝6.7．设数列a n＝log(n＋1)(n＋2)，n∈N*，定义使a1·a2·a3·…·a k为整数的实数k为中国梦吉利数，则在[1，2 016]内的全部中国梦吉利数之和为________．答案 2 026解析a1·a2·a3·…·a k＝log23·log34·…·log(k＋1)(k＋2)＝log2(k＋2)，仅当k＝2n－2时，上式为中国梦吉利数．其和：21－2＋22－2＋…＋210－2＝2 026.8．设a1，a2，…，a50是从－1、0、1这三个整数中取值的数列，若a1＋a2＋a3＋…＋a50＝9，且(a1＋1)2＋(a2＋1)2＋…＋(a50＋1)2＝107，则a1，a2，…，a50中是数字0的个数为________．答案11解析(a1＋1)2＋(a2＋1)2＋…＋(a50＋1)2＝107，则(a21＋a22＋…＋a250)＋2(a1＋a2＋…＋a50)＋50＝107，∴a21＋a22＋…＋a250＝39，故a1，a2，…，a50中数字0的个数为50－39＝11.9．对于E＝{a1，a2，...，a100}的子集X＝{ai1，ai2，...，ai k}，定义X的“特征数列”为x1，x2， (x100)其中xi1＝xi2＝...＝xi k＝1.其余项均为0，例如：子集{a2，a3}的“特征数列”为0,1,1,0,0， 0(1)子集{a1，a3，a5}的“特征数列”的前三项和等于________；(2)若E的子集P的“特征数列”p1，p2，…，p100满足p1＝1，p i＋p i＋1＝1,1≤i≤99；E的子集Q的“特征数列”q1，q2，…，q100满足q1＝1，q j＋q j＋1＋q j＋2＝1,1≤j≤98，则P∩Q的元素个数为________．答案(1)2(2)17解析(1)子集{a1，a3，a5}的“特征数列”中共有3个1，其余均为0，该数列为1,0,1,0,1,0,0，…，0.故该数列前3项的和为2.(2)E的子集P的“特征数列”p1，p2，…，p100中，由于p1＝1，p i＋p i＋1＝1(1≤i≤99)，因此集合P中必含有元素a1.又当i＝1时，p1＋p2＝1，且p1＝1，故p2＝0.同理可求得p3＝1，p4＝0，p5＝1，p6＝0，….故E的子集P的“特征数列”为1,0,1,0,1,0,1,0，…，1,0，即P＝{a1，a3，a5，a7，…，a99}．E的子集Q的“特征数列”q1，q2，…，q100中，由于q1＝1，q j＋q j＋1＋q j＋2＝1(1≤j≤98)，因此集合Q中必含有元素a1.又当j＝1时，q1＋q2＋q3＝1，当j＝2时，q2＋q3＋q4＝1，当j＝3时，q3＋q4＋q5＝1，…，故q1＝1，q2＝q3＝0，q4＝1，q5＝q6＝0，q7＝1，….所以E的子集Q的“特征数列”为1,0,0,1,0,0,1,0,0，…，0,1，即Q＝{a1，a4，a7，a10，…，a100}．由于100＝1＋(n－1)×3，故n＝34，所以集合Q中有34个元素，其下标为奇数的有17个．因此P∩Q＝{a1，a7，a13，a19，…，a97}，共有17个元素．10．设数列{a n}的前n项和为S n,4S n＝a2n＋2a n－3，且a1，a2，a3，a4，…，a11成等比数列，当n≥11时，a n>0.(1)求证：当n≥11时，{a n}成等差数列；(2)求{a n}的前n项和S n.(1)证明由4S n＝a2n＋2a n－3,4S n＋1＝a2n＋1＋2a n＋1－3，得4a n＋1＝a2n＋1－a2n＋2a n＋1－2a n，(a n＋1＋a n)(a n＋1－a n－2)＝0.当n≥11时，a n>0，所以a n＋1－a n＝2，所以当n≥11时，{a n}成等差数列．(2)解由4a1＝a21＋2a1－3，得a1＝3或a1＝－1.又a1，a2，a3，a4，…，a11成等比数列，所以a n＋1＋a n＝0 (n≤10)，q＝－1，而a11>0，所以a1>0，从而a1＝3.所以a n＝⎩⎪⎨⎪⎧3(－1)n－1(1≤n≤10)，2n－19(n≥11)，所以S n＝⎩⎪⎨⎪⎧32[1－(－1)n](1≤n≤10)，n2－18n＋80(n≥11).11．设各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，满足4S n＝a2n＋1－4n－1，n∈N*，且a2，a5，a14构成等比数列．(1)证明：a2＝4a1＋5；(2)求数列{a n}的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有1a1a2＋1a2a3＋…＋1a n a n＋1<12.(1)证明当n＝1时，4a1＝a22－5，a22＝4a1＋5，由于a n>0，所以a2＝4a1＋5.(2)解当n≥2时，4S n－1＝a2n－4(n－1)－1，4a n＝4S n－4S n－1＝a2n＋1－a2n－4，a2n＋1＝a2n＋4a n＋4＝(a n＋2)2，由于a n>0，所以a n＋1＝a n＋2，当n≥2时，{a n}是公差d＝2的等差数列．由于a 2，a 5，a 14构成等比数列，a 25＝a 2·a 14，(a 2＋6)2＝a 2·(a 2＋24)，解得a 2＝3，由(1)可知，4a 1＝a 22－5＝4，a 1＝1，又由于a 2－a 1＝3－1＝2，则{a n }是首项a 1＝1，公差d ＝2的等差数列．数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1. (3)证明1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝11·3＋13·5＋15·7＋…＋1(2n －1)(2n ＋1)＝12[⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫13－15＋⎝⎛⎭⎫15－17＋… ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1]＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1<12. 12．设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n 满足S 2n －(n 2＋n －3)S n －3(n 2＋n )＝0，n ∈N *.(1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)证明：对一切正整数n ，有1a 1(a 1＋1)＋1a 2(a 2＋1)＋…＋1a n (a n ＋1)<13.(1)解令n ＝1代入得a 1＝2(负值舍去)．(2)解由S 2n －(n 2＋n －3)S n －3(n 2＋n )＝0，n ∈N *得，[S n －(n 2＋n )](S n ＋3)＝0.又已知各项均为正数，故S n ＝n 2＋n . 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n －(n －1)2－(n －1)＝2n ，当n ＝1时，a 1＝2也满足上式，所以a n ＝2n ，n ∈N *. (3)证明 ∵4k 2＋2k －(3k 2＋3k ) ＝k 2－k ＝k (k －1)≥0，k ∈N *， ∴4k 2＋2k ≥3k 2＋3k ， ∴1a k (a k ＋1)＝12k (2k ＋1)＝14k 2＋2k ≤13k 2＋3k＝13(1k －1k ＋1)． ∴1a 1(a 1＋1)＋1a 2(a 2＋1)＋…＋1a n (a n ＋1)≤13(11－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1) ＝13(1－1n ＋1)<13.。

2022高考考前三个月数学(四川专用理科)二轮小题精练4 Word版含答案

小题精练4一、选择题1．已知集合M ＝{x |x ≥x 2}，N ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }，则M ∩N 等于( ) A ．(0,1] B ．(0,1) C ．[0,1) D ．[0,1]答案 A解析由题意M ＝{x |0≤x ≤1}，N ＝{y |y >0}，故M ∩N ＝(0,1]． 2．命题“∀x ∈R ，x 2≠x ”的否定是( ) A ．∀x ∉R ，x 2≠x B ．∀x ∈R ，x 2＝x C ．∃x ∉R ，x 2≠xD ．∃x ∈R ，x 2＝x答案 D解析依据全称命题的否定是特称命题知命题“∀x ∈R ，x 2≠x ”的否定是“∃x ∈R ，x 2＝x ”． 3．已知复数z 1＝2＋i ，z 2＝1－2i ，若z ＝z 1z 2，则z 等于( )A.45＋i B.45－i C ．i D ．－i答案 D解析由已知得z ＝z 1z 2＝2＋i 1－2i ＝(2＋i )(1＋2i )5＝i ，所以z ＝－i ，选D.4．设a ＝⎝⎛⎭⎫3525，b ＝⎝⎛⎭⎫2535，c ＝⎝⎛⎭⎫2525，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >c >b B ．a >b >c C ．c >a >b D ．b >c >a答案 A解析 ∵y ＝⎝⎛⎭⎫25x 在(0，＋∞)上为减函数，且35>25，∴b <c ，∵y ＝x 25在(0，＋∞)上为增函数，且35>25，∴a >c ，所以a >c >b .5．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是( ) A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n B ．若α⊥β，m ⊥β，m ⊄α，则m ∥αC ．若α⊥β，m ⊂α，则m ⊥βD ．若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β 答案 B解析 A 项，若m ∥α，n ∥α，则m ∥n 或m ，n 相交或异面；B 项，若α⊥β，m ⊥β，m ⊄α，则m ∥α正确；C项，若α⊥β，m ⊂α，则m ⊥β或m ∥β或斜交；D 项，若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β或相交． 6．学校组织同学参与社会调查，某小组共有5名男同学，4名女同学．现从该小组中选出3位同学分别到A ，B ，C 三地进行社会调查，若选出的同学中男女均有，则不同支配方法有( ) A ．70种 B ．140种 C ．840种 D ．420种答案 D解析接受反面来做，首先从9名同学中任选3名参与社会调查有C 39·A 33种，3名同学全是男生或全是女生的有(C 34＋C 35)A 33种，故选出的同学中男女均有，则不同支配方法有C 39·A 33－(C 34＋C 35)A 33＝420种不同选法． 7．变量x 、y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，y ≤1，x >－1，则(x －2)2＋y 2的最小值为( )A.322B. 5C.92 D ．5答案 D 解析不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，y ≤1，x >－1在直角坐标系中所表示的平面区域如图中的阴影部分所示，设P (x ，y )是该区域内的任意一点，则(x －2)2＋y 2的几何意义是点P (x ，y )与点M (2,0)距离的平方，由图可知，当点的坐标为(0,1)时，|PM |最小，所以|PM |≥22＋1＝5，所以|PM |2≥5，即(x －2)2＋y 2≥5.8．函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧kx ＋1 (－2≤x <0)，2sin (ωx ＋φ) (0≤x ≤8π3，0<φ<π2)的图象如图，则( )A ．k ＝12，ω＝12，φ＝π6B ．k ＝12，ω＝12，φ＝π3C ．k ＝－12，ω＝12，φ＝π6D ．k ＝－2，ω＝2，φ＝π3答案 A解析在y 轴左侧，图象过点(－2,0)，∴－2k ＋1＝0，解得k ＝12，在y 轴右侧，T ＝4⎝⎛⎭⎫8π3－5π3＝4π，∴ω＝2πT ＝12，⎝⎛⎭⎫5π3，0为五点作图中的第三个点，∴5π3×12＋φ＝π，解得φ＝π6. 9．如图所示的程序框图输出的全部点都在函数( )A ．y ＝x ＋1的图象上B ．y ＝2x 的图象上C ．y ＝2x 的图象上D ．y ＝2x－1的图象上答案 D解析由题可知，输入x ＝1，y ＝1，由于1≤4，输出点(1,1)，进入循环，x ＝1＋1＝2，y ＝2×1＝2，由于2≤4，输出点(2,2)，进入循环，x ＝2＋1＝3，y ＝2×2＝4，由于3≤4，输出点(3,4)，进入循环，x ＝3＋1＝4，y ＝2×4＝8，由于4≤4，输出点(4,8)，进入循环，x ＝4＋1＝5>4，循环结束；故点(2,2)，点(3,4)，点(4,8)均满足在函数y ＝2x －1的图象上．10．已知整数a ，b ，c ，t 满足：2a ＋2b ＝2c ，t ＝a ＋b c ，则log 2t 的最大值是( )A ．0B ．log 23C ．2D ．3答案 C解析不妨设a ≤b,2b <2c ＝2a ＋2b ≤2b ＋2b ＝2b ＋1⇒b <c ≤b ＋1，∵b ，c ∈Z ，∴c ＝b ＋1，∴2b ＋1＝2a ＋2b ⇒a ＝b ＝c －1.∴t ＝a ＋b c ＝2－2c.∵a ，t ∈Z ，∴c ＝±1，±2，∴t ＝0,1,3,4，故(log 2t )max ＝log 24＝2. 二、填空题11．S n ＝122－1＋142－1＋…＋1(2n )2－1＝________.答案n2n ＋1解析通项a n ＝1(2n )2－1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12(12n －1－12n ＋1)， ∴S n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1 ＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n 2n ＋1. 12．已知直线y ＝mx (m ∈R )与函数f (x )＝⎩⎨⎧2－⎝⎛⎭⎫12x ，x ≤0，12x 3＋1，x >0的图象恰有三个不同的公共点，则实数m 的取值范围是____________．答案 ⎝⎛⎭⎫32，＋∞解析画出f (x )图象的大致示意图如下所示，则可知问题等价于方程12x 3＋1＝mx 在(0，＋x 3－1x 2，∴g (x )∞)上存在两个不同的根，m ＝12x 2＋1x ，令g (x )＝12x 2＋1x ，∴g ′(x )＝x －1x 2＝在(0,1)上单调递减，g (x )在(1，＋∞)上单调递增，∴g (x )min ＝g (1)＝32，即实数m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫32，＋∞. 13．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)与抛物线y 2＝2px (p >0)有相同的焦点F ，P ，Q 是椭圆与抛物线的交点，若PQ经过焦点F ，则椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的离心率为____________．答案2－1解析由于抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 为⎝⎛⎭⎫p 2，0，设椭圆另一焦点为E . 当x ＝p2时代入抛物线方程得y ＝±p ，又由于PQ 经过焦点F ，所以P ⎝⎛⎭⎫p 2，p 且PF ⊥OF . 所以|PE |＝(p 2＋p2)2＋p 2＝2p ， |PF |＝p ，|EF |＝p .故2a ＝ 2p ＋p,2c ＝p ，e ＝2c2a＝2－1.14．已知椭圆的中心在坐标原点O ，A ，C 分别是椭圆的上下顶点，B 是椭圆的左顶点，F 是椭圆的左焦点，直线AF 与BC 相交于点D .若椭圆的离心率为12，则∠BDF 的正切值为________．答案 3 3解析由题意可设A (0，b )，C (0，－b )，F (－c,0)，B (－a,0)，由于e ＝c a ＝12，又∵a 2＝b 2＋c 2，化简得a ＝2c ，b ＝3c ，∴F A →＝(c ，3c )，BC →＝(2c ，－3c )，设〈F A →，BC →〉＝θ， ∴cos θ＝F A →·BC →|F A →||BC →|＝－c 22c ·7c ＝－127，∴sin θ＝1－cos 2θ＝3327，∴tan θ＝sin θcos θ＝－33，∴tan ∠BDF ＝tan(π－θ)＝－tan θ＝3 3.15．如图所示，图2中实线围成的部分是长方体(图1)的平面开放图，其中四边形ABCD 是边长为1的正方形．若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面开放图内的概率是14，则此长方体的体积是______．答案 3解析设长方体的高为h ，由几何概型的概率计算公式可知，质点落在长方体的平面开放图内的概率P ＝2＋4h(2h ＋2)(2h ＋1)＝14，解得h ＝3，故长方体的体积为1×1×3＝3.。

2021年高考数学大二轮复习专题四数列4.2数列求和与综合应用练习

4.2 数列求和与综合应用【课时作业】A 级1．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，假设a 1＝1，公差d ＝2，S k ＋2－S k ＝24，那么正整数k ＝( )A ．8B ．7C ．6D ．5解析：因为S k ＋2－S k ＝24，所以a k ＋1＋a k ＋2＝24，所以a 1＋kd ＋a 1＋(k ＋1)d ＝24，所以2a 1＋(2k ＋1)d ＝24，所以2×1＋(2k ＋1)×2＝24，解得k ＝5.答案： D2．假设数列{a n }满足a 1＝15，且3a n ＋1＝3a n －2，那么使a k ·a k ＋1＜0的k 值为( ) A ．22 B ．21 C ．24D ．23解析：因为3a n ＋1＝3a n －2，所以a n ＋1－a n ＝－23，所以数列{a n }是首项为15，公差为－23的等差数列，所以a n ＝15－23·(n －1)＝－23n ＋473，令a n ＝－23n ＋473＞0，得n ＜23.5，所以使a k ·a k ＋1＜0的k 值为23.答案： D3．等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝a ·3n －1＋b ，那么ab＝( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3解析：因为等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝a ·3n －1＋b ，所以a 1＝S 1＝a ＋b ，a 2＝S 2－S 1＝3a ＋b －a －b ＝2a ， a 3＝S 3－S 2＝9a ＋b －3a －b ＝6a ，因为等比数列{a n }中，a 22＝a 1a 3，所以(2a )2＝(a ＋b )×6a ，解得a b＝－3. 答案： A4．各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且3S n ＝a n a n ＋1，那么 k ＝1na 2k ＝( )A.n n ＋52B ．3n n ＋12C.n 5n ＋12D ．n ＋3n ＋52解析：当n ＝1时，3S 1＝a 1a 2，即3a 1＝a 1a 2，∴a 2＝3，当n ≥2时，由3S n ＝a n a n ＋1，可得3S n －1＝a n －1a n ，两式相减得，3a n ＝a n (a n ＋1－a n －1)，又a n ≠0，∴a n ＋1－a n －1＝3，∴{a 2n }是以3为首项，3为公差的等差数列，∴∑k ＝1na 2k ＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ＝3n ＋n n －12×3＝3n n ＋12. 答案： B5．(2021·郑州市第一次质量测试)数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0(n ∈N *)，记T n ＝1S 1＋1S 2＋…＋1S n(n ∈N *)，那么T 2 018＝( )A.4 0342 018 B ．2 0172 018 C.4 0362 019D ．2 0182 019解析：由a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0(n ∈N *)，可得a n ＋2＋a n ＝2a n ＋1，所以数列{a n }为等差数列，公差d ＝a 2－a 1＝2－1＝1，通项公式a n ＝a 1＋(n －1)×d ＝1＋n －1＝n ，那么其前n 项和S n ＝n a 1＋a n2＝n n ＋12，所以1S n＝2nn ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，T n ＝1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫11－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝2⎝⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝2n n ＋1，故T 2 018＝2×2 0182 018＋1＝4 0362 019，应选C. 答案： C6．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝a 14n －13，假设a 4＝32，那么a 1＝________.解析：因为S n ＝a 14n －13，a 4＝32，即S 4－S 3＝32.所以255a 13－63a 13＝32，所以a 1＝12.答案： 127．函数f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n 2，当n 为奇数时，－n 2，当n 为偶数时，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，那么a 1＋a 2＋…＋a 100＝________.解析： a 1＋a 2＋…＋a 100＝[f (1)＋f (2)]＋[f (2)＋f (3)]＋[f (3)＋f (4)]＋…＋[f (99)＋f (100)]＋[f (100)＋f (101)]＝f (101)－f (1)＋2[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (99)＋f (100)]＝(1012－1)＋2(12－22＋32－42＋…＋992－1002)＝10200－2(3＋7＋11＋…＋199)＝100.答案： 1008．数列{a n }的通项公式a n ＝log 2nn ＋1(n ∈N *)，设其前n 项和为S n ，那么使S n <－4成立的最小自然数n 的值为________．解析：因为a n ＝log 2nn ＋1，所以S n ＝log 212＋log 223＋log 234＋…＋log 2nn ＋1＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12·23·34·…·n n ＋1＝log 21n ＋1，假设S n <－4，那么1n ＋1<116，即n >15，那么使S n <－4成立的最小自然数n 的值为16. 答案： 169．数列{a n }中，a 1＝3，{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＋1＝a n ＋n 2. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }满足：b n ＝(－1)n＋2a n ，求{b n }的前n 项和T n . 解析： (1)由S n ＋1＝a n ＋n 2①，得S n ＋1＋1＝a n ＋1＋(n ＋1)2 ②，由②－①得a n ＝2n ＋1.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1. (2)由(1)得b n ＝(－1)n ＋22n ＋1，所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝[(－1)＋(－1)2＋…＋(－1)n ]＋(23＋25＋…＋22n ＋1)＝－1×[1－－1n]1－－1＋23×1－4n1－4＝－1n－12＋83(4n－1)＝22n ＋33＋－1n2－196.10．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且点(n ，S n )(n ∈N *)在函数y ＝3x 22－x2的图象上．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝a n ＋23n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .解析： (1)因为点(n ，S n )(n ∈N *)在函数y ＝3x 22－x2的图象上，所以3n 2－n ＝2S n ，①所以当n ≥2时，3(n －1)2－(n －1)＝2S n －1，② 由①－②，得6n －4＝2a n ，所以a n ＝3n －2.因为n ＝1时，3×12－1＝2a 1，所以a 1＝1，符合上式，所以数列{a n }的通项公式为a n＝3n －2.(2)因为b n ＝a n ＋23n ＋1＝3n 3n ＋1＝n 3n ，那么T n ＝13＋232＋333＋…＋n3n ，③3T n ＝1＋23＋332＋…＋n3n －1，④由④－③，得2T n ＝1＋13＋132＋…＋13n －1－n 3n ＝1×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 1－13－n 3n ＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 2－n3n ，所以T n ＝34－14·3n －1－n 2·3n ＝34－2n ＋34·3n .B 级1．?张邱建算经?是中国古代数学史上的杰作，该书中有首古民谣记载了一数列问题：“南山一棵竹，竹尾风割断，剩下三十节，一节一个圈．头节高五寸①，头圈一尺三②.逐节多三分③，逐圈少分三．④一蚁往上爬，遇圈那么绕圈．爬到竹子顶，行程是多远？〞(注释：①第一节的高度为0.5尺；②第一圈的周长为1.3尺；③每节比其下面的一节多0.03尺；④每圈周长比其下面的一圈少0.013尺)问：此民谣提出的问题的答案是( )解析：因为每节间的长相差0.03尺，设从地面往上，每节竹长为a 1，a 2，a 3，…，a 30，所以{a n }是以0.5为首项，以0.03为公差的等差数列．设从地面往上，每圈的周长为b 1，b 2，b 3，…，b 30.由题意知竹节圈长，后一圈比前一圈细0.013尺，所以{b n }是以1.3为首项，以－0.013为公差的等差数列．一蚂蚁往上爬，遇圈那么绕圈，爬到竹子顶，行程是数列{a n＋b n }的前30项和，S 30＝⎝ ⎛⎭⎪⎫30×0.5＋30×292×0.03＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤30×1.3＋30×292×－0.013＝61.395.应选B. 答案： B2．设S n 为数列{a n }的前n 项和，a 1＝2，对任意p ，q ∈N *，都有a p ＋q ＝a p ＋a q ，那么f (n )＝S n ＋60n ＋1(n ∈N *)的最小值为________．解析：因为对任意p ，q ∈N *，都有a p ＋q ＝a p ＋a q ，令p ＝n ，q ＝1，可得a n ＋1＝a n ＋a 1，那么a n ＋1－a n ＝2，所以数列{a n }是等差数列，公差为2. 所以S n ＝2n ＋n n －12×2＝n ＋n 2.那么f (n )＝S n ＋60n ＋1＝n 2＋n ＋60n ＋1＝n ＋1＋60n ＋1－1，令g (x )＝x ＋60x (x ≥2)，那么g ′(x )＝1－60x 2＝x 2－60x2，可得x ∈[2，60]时，函数g (x )单调递减；x ∈[60，＋∞)时，函数g (x )单调递增．又f (7)＝292＝14＋12，f (8)＝443＝14＋23.所以f (7)<f (8)．所以f (n )＝S n ＋60n ＋1(n ∈N *)的最小值为292. 答案：2923．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }是等比数列，满足a 1＝3，b 1＝1，b 2＋S 2＝10，a 5－2b 2＝a 3.(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式； (2)令c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2S n，n 为奇数，b n ，n 为偶数，设数列{c n }的前n 项和为T n ，求T 2n .解析： (1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q . 由b 2＋S 2＝10，a 5－2b 2＝a 3，得⎩⎪⎨⎪⎧q ＋6＋d ＝10，3＋4d －2q ＝3＋2d ，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2，q ＝2.∴a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1，b n ＝2n －1.(2)由(1)得a n ＝2n ＋1，b n ＝2n －1，∴S n ＝n (n ＋2)，∴c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n n ＋2，n 为奇数，2n －1，n 为偶数.∴T 2n ＝(c 1＋c 3＋…＋c 2n－1)＋(c 2＋c 4＋…＋c 2n )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1＋(2＋23＋…＋22n －1)＝1－12n ＋1＋21－4n1－4＝2n 2n ＋1＋23(4n－1)． 4．(2021·浙江卷)等比数列{a n }的公比q >1，且a 3＋a 4＋a 5＝28，a 4＋2是a 3，a 5的等差中项．数列{b n }满足b 1＝1，数列{(b n ＋1－b n )a n }的前n 项和为2n 2＋n .(1)求q 的值；(2)求数列{b n }的通项公式．解析： (1)由a 4＋2是a 3，a 5的等差中项，得a 3＋a 5＝2a 4＋4，所以a 3＋a 4＋a 5＝3a 4＋4＝28，解得a 4＝8.由a 3＋a 5＝20，得8⎝⎛⎭⎪⎫q ＋1q ＝20，解得q ＝2或q ＝12.因为q >1，所以q ＝2.(2)设c n ＝(b n ＋1－b n )a n ，数列{c n }的前n 项和为S n .由c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2，解得c n ＝4n －1.由(1)可得a n ＝2n －1，所以b n ＋1－b n ＝(4n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，故b n －b n －1＝(4n －5)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2，n ≥2，b n －b 1＝(b n －b n －1)＋(b n －1－b n －2)＋…＋(b 3－b 2)＋(b 2－b 1)＝(4n －5)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2＋(4n －9)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3＋…＋7×12＋3.设T n ＝3＋7×12＋11×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋(4n －5)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2，n ≥2，那么12T n ＝3×12＋7×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋(4n －9)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2＋(4n －5)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，所以12T n ＝3＋4×12＋4×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋4×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2－(4n －5)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，因此T n ＝14－(4n ＋3)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2，n ≥2.又b 1＝1，所以b n ＝15－(4n ＋3)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2.。

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第二讲数列求和及综合应用1．等差、等比数列的求和公式 (1)等差数列前n 项和公式：S n ＝na 1＋n (n －1)2·d ＝n (a 1＋a n )2.(2)等比数列前n 项和公式： ①q ＝1时，S n ＝na 1；②q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q .2．数列求和的方法技巧 (1)转化法有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，即先分别求和，然后再合并． (2)错位相减法这是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n ·b n }的前n 项和，其中{a n }，{b n }分别是等差数列和等比数列． (3)倒序相加法这是在推导等差数列前n 项和公式时所用的方法，也就是将一个数列倒过来排列(反序)，当它与原数列相加时若有公式可提，并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和． (4)裂项相消法利用通项变形，将通项分裂成两项或n 项的差，通过相加过程中的相互抵消，最后只剩下有限项的和． 3．数列的应用题(1)应用问题一般文字叙述较长，反映的事物背景陌生，知识涉及面广，因此要解好应用题，首先应当提高阅读理解能力，将普通语言转化为数学语言或数学符号，实际问题转化为数学问题，然后再用数学运算、数学推理予以解决．(2)数列应用题一般是等比、等差数列问题，其中，等比数列涉及的范围比较广，如经济上涉及利润、成本、效益的增减，解决该类题的关键是建立一个数列模型{a n }，利用该数列的通项公式、递推公式或前n 项和公式．1． (2013·课标全国Ⅰ)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m等于( )A ．3B ．4C ．5D ．6答案 C解析 a m ＝2，a m ＋1＝3，故d ＝1，因为S m ＝0，故ma 1＋m (m －1)2d ＝0，故a 1＝－m －12，因为a m ＋a m ＋1＝5，故a m ＋a m ＋1＝2a 1＋(2m －1)d ＝－(m －1)＋2m －1＝5，即m ＝5.2． (2012·福建)数列{a n }的通项公式a n ＝n cosn π2，其前n 项和为S n ，则S 2 012等于 ( ) A ．1 006 B ．2 012 C ．503D ．0答案 A解析用归纳法求解．∵a n ＝n cos n π2，∴a 1＝0，a 2＝－2，a 3＝0，a 4＝4，a 5＝0，a 6＝－6，a 7＝0，a 8＝8，….由此易知a 4n －2＝－(4n －2)，a 4n ＝4n ，且a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝－2＋4＝2， a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝－6＋8＝2，…，a 4n －3＋a 4n －2＋a 4n －1＋a 4n ＝－(4n －2)＋4n ＝2. 又2 012＝4×503，∴a 1＋a 2＋…＋a 2 012＝2＋2＋…＋2＝2×503＝1 006.503个3． (2012·大纲全国)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前100项和为( ) A.100101B.99101C.99100D.101100答案 A解析设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d . ∵a 5＝5，S 5＝15，∴⎩⎨⎧a 1＋4d ＝5，5a 1＋5×(5－1)2d ＝15，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝1， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n .∴1a n a n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，∴数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n a n ＋1的前100项和为1－12＋12－13＋…＋1100－1101＝1－1101＝100101.4． (2012·课标全国)数列{a n }满足a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为________．答案 1 830解析 ∵a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，∴a 2＝1＋a 1，a 3＝2－a 1，a 4＝7－a 1，a 5＝a 1，a 6＝9＋a 1，a 7＝2－a 1，a 8＝15－a 1，a 9＝a 1，a 10＝17＋a 1，a 11＝2－a 1，a 12＝23－a 1，…，a 57＝a 1，a 58＝113＋a 1，a 59＝2－a 1，a 60＝119－a 1，∴a 1＋a 2＋…＋a 60＝(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6＋a 7＋a 8)＋…＋(a 57＋a 58＋a 59＋a 60)＝10＋26＋42＋…＋234 ＝15×(10＋234)2＝1 830.5． (2013·湖南)设S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＝(－1)n a n －12n ，n ∈N *，则：(1)a 3＝________；(2)S 1＋S 2＋…＋S 100＝________.答案 (1)－116 (2)13⎝⎛⎭⎫12100－1 解析 ∵a n ＝S n －S n －1＝(－1)n a n －12n －(－1)n －1a n －1＋12n －1，∴a n ＝(－1)n a n －(－1)n －1a n －1＋12n .当n 为偶数时，a n －1＝－12n ，当n 为奇数时，2a n ＋a n －1＝12n ，∴当n ＝4时，a 3＝－124＝－116.根据以上{a n }的关系式及递推式可求．a 1＝－122，a 3＝－124，a 5＝－126，a 7＝－128，a 2＝122，a 4＝124，a 6＝126，a 8＝128.∴a 2－a 1＝12，a 4－a 3＝123，a 6－a 5＝125，…，∴S 1＋S 2＋…＋S 100＝(a 2－a 1)＋(a 4－a 3)＋…＋(a 100－a 99)－⎝⎛⎭⎫12＋122＋123＋…＋12100 ＝⎝⎛⎭⎫12＋123＋…＋1299－⎝⎛⎭⎫12＋122＋…＋12100 ＝13⎝⎛⎭⎫12100－1.题型一分组转化法求和例1 等比数列{a n }中，a 1，a 2，a 3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a 1，a 2，a 3(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足：b n ＝a n ＋(－1)n ln a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .审题破题 (1)可以通过逐个验证来确定数列的前三项，进而求得a n ；(2)可以分组求和：将{b n }前n 项和转化为数列{a n }和数列{(－1)n ln a n }前n 项的和．解 (1)当a 1＝3时，不合题意；当a 1＝2时，当且仅当a 2＝6，a 3＝18时，符合题意；当a 1＝10时，不合题意．因此a 1＝2，a 2＝6，a 3＝18.所以公比q ＝3. 故a n ＝2·3n －1 (n ∈N *)． (2)因为b n ＝a n ＋(－1)n ln a n ＝2·3n －1＋(－1)n ln(2·3n －1) ＝2·3n －1＋(－1)n [ln 2＋(n －1)ln 3] ＝2·3n －1＋(－1)n (ln 2－ln 3)＋(－1)n n ln 3，所以S n ＝2(1＋3＋…＋3n －1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)n ]·(ln 2－ln 3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)n n ]ln 3.所以当n 为偶数时，S n ＝2×1－3n 1－3＋n 2ln 3＝3n ＋n2ln 3－1；当n 为奇数时，S n ＝2×1－3n 1－3－(ln 2－ln 3)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12－n ln 3＝3n－n －12ln 3－ln 2－1.综上所述，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3n ＋n2ln 3－1， n 为偶数，3n －n －12ln 3－ln 2－1， n 为奇数.反思归纳某些数列的求和是将数列分解转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，这就要通过对数列通项结构特点进行分析研究，将数列的通项合理分解转化．特别注意在含有字母的数列中对字母的讨论．变式训练1 在等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＝42，a 8＝30.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)若数列{b n }满足b n ＝(3)a n ＋2＋λ(λ∈R )，则是否存在这样的实数λ使得{b n }为等比数列；(3)数列{c n }满足c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n －1，n 为奇数12a n －1，n 为偶数，T n 为数列{c n }的前n 项和，求T 2n .解 (1)因为{a n }是一个等差数列，所以a 3＋a 4＋a 5＝3a 4＝42，∴a 4＝14.设数列{a n }的公差为d ，则4d ＝a 8－a 4＝16，故d ＝4. 故a n ＝a 4＋(n －4)d ＝4n －2. (2)b n ＝(3)a n ＋2＋λ＝9n ＋λ.假设存在这样的λ使得{b n }为等比数列，则b 2n ＋1＝b n ·b n ＋2，即(9n ＋1＋λ)2＝(9n ＋λ)·(9n ＋2＋λ)，整理可得λ＝0，即存在λ＝0使得{b n }为等比数列．(3)∵c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n －1，n 为奇数2n －3，n 为偶数，∴T 2n ＝1＋(2×2－3)＋22＋(2×4－3)＋24＋…＋22n －2＋(2×2n －3) ＝1＋22＋24＋…＋22n －2＋4(1＋2＋…＋n )－3n ＝1－4n 1－4＋4×n (n ＋1)2－3n＝4n －13＋2n 2－n .题型二错位相减法求和例2 已知公差不为0的等差数列{a n }的首项a 1＝2，且1a 1，1a 2，1a 4成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b 1＋2b 2＋22b 3＋…＋2n －1b n ＝a n ，求数列{nb n }的前n 项和T n .审题破题 (1)列方程求{a n }的通项公式；(2)先求b n (两式相减)，再用错位相减法求T n .解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由⎝⎛⎭⎫1a 22＝1a 1·1a 4，得(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )．因为d ≠0，所以d ＝a 1＝2，所以a n ＝2n .(2)b 1＋2b 2＋4b 3＋…＋2n －1b n ＝a n① b 1＋2b 2＋4b 3＋…＋2n －1b n ＋2n b n ＋1＝a n ＋1②②－①得：2n ·b n ＋1＝2. ∴b n ＋1＝21－n .当n ＝1时，b 1＝a 1＝2，∴b n ＝22－n .T n ＝12－1＋220＋321＋…＋n 2n －2，12T n ＝120＋221＋322＋…＋n 2n －1，上两式相减得 12T n ＝2＋120＋121＋…＋12n －2－n 2n －1 ＝2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －1－n 2n －1， ∴T n ＝8－n ＋22n －2.反思归纳错位相减法适用于求数列{a n ·b n }的前n 项和，其中{a n }为等差数列，{b n }为等比数列；所谓“错位”，就是要找“同类项”相减．要注意的是相减后得到部分等比数列的和，此时一定要查清其项数．变式训练2 (2013·山东)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4＝4S 2，a 2n ＝2a n ＋1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }的前n 项和为T n ，且T n ＋a n ＋12n ＝λ(λ为常数)．令c n ＝b 2n ，n ∈N *，求数列{c n }的前n 项和R n .解 (1)设公差为d ，令n ＝1，则a 2＝2a 1＋1，a 1＝d －1， ① 又S 4＝4S 2，即2a 1＝d ，②由①②得：a 1＝1，d ＝2，所以a n ＝2n －1(n ∈N *)．(2)由题意知，T n ＝λ－n2n －1，∴当n ≥2时，b n ＝T n －T n －1＝λ－n2n －1－⎝⎛⎭⎪⎫λ－n －12n －2＝n －22n －1.∴c n＝b 2n ＝n －14n －1(n ∈N *)．∴R n ＝c 1＋c 2＋…＋c n －1＋c n ＝0＋14＋242＋…＋n －14n －1，①14R n ＝142＋243＋…＋n －24n －1＋n －14n ， ②①－②得：34R n ＝14＋142＋…＋14n －1－n －14n ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n －11－14－n －14n＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n －1－n －14n ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－3n ＋14n ， ∴R n ＝49⎝ ⎛⎭⎪⎫1－3n ＋14n ＝19⎝ ⎛⎭⎪⎫4－3n ＋14n －1.题型三裂项相消法求和例3 在公差不为0的等差数列{a n }中，a 1，a 4，a 8成等比数列．(1)已知数列{a n }的前10项和为45，求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝1a n a n ＋1，且数列{b n }的前n 项和为T n ，若T n ＝19－1n ＋9，求数列{a n }的公差．审题破题 (1)列方程组(两个条件)确定a n ；(2)不可以采用裂项相消法求得，应该和已知T n ＝19－1n ＋9对比求得公差．解设数列{a n }的公差为d ，由a 1，a 4，a 8成等比数列可得 a 24＝a 1·a 8，即(a 1＋3d )2＝a 1(a 1＋7d )， ∴a 21＋6a 1d ＋9d 2＝a 21＋7a 1d ，而d ≠0，∴a 1＝9d .(1)由数列{a n }的前10项和为45可得S 10＝10a 1＋10×92d ＝45，即90d ＋45d ＝45，故d ＝13，a 1＝3，故数列{a n }的通项公式为a n ＝3＋(n －1)·13＝13(n ＋8)．(2)b n ＝1a n ·a n ＋1＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n ＋1，则数列{b n }的前n 项和为T n ＝1d [⎝⎛⎭⎫1a 1－1a 2＋⎝⎛⎭⎫1a 2－1a 3＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n ＋1]＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1a n ＋1＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫19d －19d ＋nd ＝1d 2⎝ ⎛⎭⎪⎫19－1n ＋9 ＝19－1n ＋9. 故数列{a n }的公差d ＝1或－1.反思归纳裂项相消法的基本思想就是把通项a n 分拆成a n ＝b n ＋k －b n (k ≥1，k ∈N *)的形式，从而达到在求和时某些项相消的目的，在解题时要善于根据这个基本思想变换数列{a n }的通项公式，使之符合裂项相消的条件．变式训练3 等比数列{a n }的各项均为正数，且2a 1＋3a 2＝1，a 23＝9a 2a 6.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和．解 (1)设数列{a n }的公比为q .由a 23＝9a 2a 6，得a 23＝9a 24，所以q 2＝19. 由条件可知q >0，故q ＝13.由2a 1＋3a 2＝1，得2a 1＋3a 1q ＝1，所以a 1＝13.故数列{a n }的通项公式为a n ＝13n .(2)b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ＝－(1＋2＋…＋n )＝－n (n ＋1)2.故1b n ＝－2n (n ＋1)＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， 1b 1＋1b 2＋…＋1b n ＝－2[⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1]＝－2n n ＋1. 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和为－2n n ＋1.题型四数列的综合应用例4 已知S n 是数列{a n }的前n 项和，点(n ，S n )在函数f (x )＝12x 2＋32x 的图象上．(1)求数列{a n }的通项；(2)若c n ＝a n a n ＋1＋a n ＋1a n ，求证：2n <c 1＋c 2＋…＋c n <2n ＋12.审题破题 (1)由S n 求a n 可考虑a n ＝S n －S n －1； (2)利用不等式放缩、数列求和分析． (1)解因为点(n ，S n )在f (x )的图象上，所以S n ＝12n 2＋32n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n ＋1. 当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，适合上式．所以a n ＝n ＋1对任意n ∈N *都成立． (2)证明 c n ＝a na n ＋1＋a n ＋1a n＝n ＋1n ＋2＋n ＋2n ＋1>2 n ＋1n ＋2·n ＋2n ＋1＝2，所以c 1＋c 2＋…＋c n >2n .又因为c n ＝n ＋1n ＋2＋n ＋2n ＋1＝2＋1n ＋1－1n ＋2.故c 1＋c 2＋…＋c n ＝2n ＋[(12－13)＋(13－14)＋…＋(1n ＋1－1n ＋2)]＝2n ＋12－1n ＋2<2n ＋12.所以2n <c 1＋c 2＋…＋c n <2n ＋12成立．反思归纳数列与不等式综合的问题是常见题型，常见的证明不等式的方法有：①作差法；②作商法；③综合法；④分析法；⑤放缩法．变式训练4 已知各项全不为零的数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝n (1＋a n )2，n ∈N *.(1)求证：数列{a n }为等差数列； (2)若a 2＝3，求证：当n ∈N *时，1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1<12. 证明 (1)由S 1＝1＋a 12＝a 1知a 1＝1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1 ＝n (1＋a n )2－(n －1)(1＋a n －1)2，化简得(n －2)a n －(n －1)a n －1＋1＝0，① 以n ＋1代替n 得(n －1)a n ＋1－na n ＋1＝0.② 两式相减得(n －1)a n ＋1－2(n －1)a n ＋(n －1)a n －1＝0. 则a n ＋1－2a n ＋a n －1＝0，其中n ≥2. 所以，数列{a n }为等差数列． (2)由a 1＝1，a 2＝3，结合(1)的结论知a n ＝2n －1(n ∈N *)．于是1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝11×3＋13×5＋…＋1(2n －1)(2n ＋1) ＝12(1－13)＋12(13－15)＋…＋12(12n －1－12n ＋1) ＝12(1－12n ＋1)<12.典例 (12分)已知数列{a n }的各项均为正数，记A (n )＝a 1＋a 2＋…＋a n ，B (n )＝a 2＋a 3＋…＋a n ＋1，C (n )＝a 3＋a 4＋…＋a n ＋2，n ＝1,2，….(1)若a 1＝1，a 2＝5，且对任意n ∈N *，三个数A (n )，B (n )，C (n )组成等差数列，求数列{a n }的通项公式；(2)证明：数列{a n }是公比为q 的等比数列的充分必要条件：对任意n ∈N *，三个数A (n )，B (n )，C (n )组成公比为q 的等比数列．规范解答(1)解对任意n ∈N *，三个数A (n )，B (n )，C (n )成等差数列，所以B (n )－A (n )＝C (n )－B (n )，即a n ＋1－a 1＝a n ＋2－a 2，亦即a n ＋2－a n ＋1＝a 2－a 1＝4. 故数列{a n }是首项为1，公差为4的等差数列．于是a n ＝1＋(n －1)×4＝4n －3.[5分](2)证明 ①必要性：若数列{a n }是公比为q 的等比数列，则对任意n ∈N *，有a n ＋1＝a n q . 由a n >0知，A (n )，B (n )，C (n )均大于0，于是 B (n )A (n )＝a 2＋a 3＋…＋a n ＋1a 1＋a 2＋…＋a n ＝q (a 1＋a 2＋…＋a n )a 1＋a 2＋…＋a n ＝q ， C (n )B (n )＝a 3＋a 4＋…＋a n ＋2a 2＋a 3＋…＋a n ＋1＝q (a 2＋a 3＋…＋a n ＋1)a 2＋a 3＋…＋a n ＋1＝q ，即B (n )A (n )＝C (n )B (n )＝q . 所以三个数A (n )，B (n )，C (n )组成公比为q 的等比数列．[8分]②充分性：若对任意n ∈N *，三个数A (n )，B (n )，C (n )组成公比为q 的等比数列，则 B (n )＝qA (n )，C (n )＝qB (n )，于是C (n )－B (n )＝q [B (n )－A (n )]，得a n ＋2－a 2＝q (a n ＋1－a 1)，即a n ＋2－qa n ＋1＝a 2－qa 1. 由n ＝1有B (1)＝qA (1)，即a 2＝qa 1，从而a n ＋2－qa n ＋1＝0. 因为a n >0，所以a n ＋2a n ＋1＝a 2a 1＝q .故数列{a n }是首项为a 1，公比为q 的等比数列．[11分]综上所述，数列{a n }是公比为q 的等比数列的充分必要条件：对任意n ∈N *，三个数A (n )，B (n )，C (n )组成公比为q 的等比数列．[12分]评分细则 (1)得到{a n }是等差数列给3分；(2)证明中没有写出必要性、充分性的不扣分；(3)证明必要性时没有指明a n >0扣1分；(4)最后结论不写扣1分．阅卷老师提醒本题背景新颖，考查转化能力．用到的知识很简单，失去信心是本题失分的主要原因．第(1)问根据B (n )－A (n )＝C (n )－B (n )即可轻松解决；第(2)问需分充分性和必要性分别证明，其依据完全是非常简单的等比数列的定义，其关键是要有较好的推理论证能力．1．数列{a n }中，a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，则数列{a n }的前12项和等于( )A ．76B ．78C ．80D ．82答案 B解析 a n ＋2＋a n ＝(－1)n (2n －1)＋(2n ＋1)，取n ＝1,5,9及n ＝2,6,10，结果相加可得S 12＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 11＋a 12＝78. 故选B.2．已知等差数列{a n }的公差d ＝－2，a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 97＝50，那么a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99的值是( )A ．－78B ．－82C ．－148D ．－182答案 B解析 ∵a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99＝(a 1＋2d )＋(a 4＋2d )＋(a 7＋2d )＋…＋(a 97＋2d ) ＝a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 97＋2d ×33 ＝50＋66×(－2) ＝－82.3．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若OB →＝a 1OA →＋a 200OC →，且A ，B ，C 三点共线(该直线不过点O )，则S 200等于( )A ．100B ．101C ．200D ．201答案 A解析因为A ，B ，C 三点共线，所以a 1＋a 200＝1， S 200＝a 1＋a 2002×200＝100.4．已知数列2 008,2 009,1，－2 008，－2 009，…这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2 013项之和S 2 013等于( )A ．1B ．2 010C ．4 018D ．0答案 C解析由已知得a n ＝a n －1＋a n ＋1 (n ≥2)，∴a n ＋1＝a n －a n －1.故数列的前8项依次为2 008,2 009,1，－2 008，－2 009，－1，2 008,2 009.由此可知数列为周期数列，周期为6，且S 6＝0.∵2 013＝6×335＋3，∴S 2 013＝S 3＝4 018.5．已知数列{a n }，a n ＝32n －11，前n 项和为S n ，关于a n 及S n 的叙述正确的是 ( )A ．a n 与S n 都有最大值B ．a n 与S n 都没有最大值C ．a n 与S n 都有最小值D ．a n 与S n 都没有最小值答案 C解析画出a n ＝32n －11的图象，点(n ，a n )为函数y ＝32x －11图象上的一群孤立点，(112，0)为对称中心，S 5最小，a 5最小，a 6最大．6．若数列{n (n ＋4)(23)n }中的最大项是第k 项，则k ＝______.答案 4解析由题意知⎩⎨⎧k (k ＋4)(23)k ≥(k －1)(k ＋3)(23)k －1，k (k ＋4)(23)k≥(k ＋1)(k ＋5)(23)k ＋1，解得10≤k ≤1＋10.∵k ∈N *，∴k ＝4.专题限时规范训练一、选择题1．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，已知a 2＝3，a 6＝11，则S 7等于( ) A ．13B ．35C ．49D ．63答案 C解析 ∵a 1＋a 7＝a 2＋a 6＝3＋11＝14.∴S 7＝7(a 1＋a 7)2＝49.2．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 5＝8，S 3＝6，则S 10－S 7的值是( ) A ．24B ．48C ．60D ．72答案 B解析设等差数列{a n }的公差为d ，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 5＝a 1＋4d ＝8S 3＝3a 1＋3d ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝0d ＝2，则S 10－S 7＝a 8＋a 9＋a 10＝3a 1＋24d ＝48.3．已知函数f (x )满足f (x ＋1)＝32＋f (x ) (x ∈R )，且f (1)＝52，则数列{f (n )} (n ∈N *)前20项的和为( )A ．305B ．315C ．325D ．335答案 D解析因为f (1)＝52，f (2)＝32＋52，f (3)＝32＋32＋52，…，f (n )＝32＋f (n －1)，所以{f (n )}是以52为首项，32为公差的等差数列．所以S 20＝20×52＋20(20－1)2×32＝335.4．已知数列112，314，518，7116，…，则其前n 项和S n 为( )A ．n 2＋1－12nB ．n 2＋2－12nC ．n 2＋1－12n －1D ．n 2＋2－12n －1答案 A解析因为a n ＝2n －1＋12n ，则S n ＝1＋2n －12n ＋⎝⎛⎭⎫1－12n ·121－12＝n 2＋1－12n .5．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－n 2＋3n ，若a n ＋1a n ＋2＝80，则n 的值等于( ) A ．5B ．4C ．3D ．2答案 A解析由S n ＝－n 2＋3n 可得a n ＝4－2n . 因此a n ＋1a n ＋2＝[4－2(n ＋1)][4－2(n ＋2)]＝80，即n (n －1)＝20，解得n ＝5，故选A.6．数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n ·(3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10等于( )A ．15B ．12C ．－12D ．－15答案 A解析 ∵a n ＝(－1)n (3n －2)，∴a 1＋a 2＋…＋a 10＝－1＋4－7＋10－…－25＋28＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋(－25＋28)＝3×5＝15.7． (2012·上海)设a n ＝1n sin n π25，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n .在S 1，S 2，…，S 100中，正数的个数是( )A ．25B ．50C ．75D ．100答案 D解析结合三角函数性质，寻求数列前n 项和的符号特点．∵a n ＝1n sin n π25，∴当1≤n ≤24时，sin n π25>0，即a 1，a 2，…，a 24>0；当n ＝25时，a 25＝0；当26≤n ≤49时，a n ＝1n sin n π25＝－1n sin (n －25)π25<0，且|a n |<1n －25sin (n －25)π25＝a n －25；当n ＝50时，a 50＝0.∴S 1，S 2，S 3，…，S 50>0，同理可知S 51，S 52，S 53，…，S 100>0. ∴在S 1，S 2，…，S 100中，正数的个数为100.8．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＋S m ＝S n ＋m ，且a 1＝1，那么a 10等于( )A ．1B ．9C ．10D ．55答案 A解析 ∵S n ＋S m ＝S n ＋m ，a 1＝1，∴S 1＝1. 可令m ＝1，得S n ＋1＝S n ＋1，∴S n ＋1－S n ＝1. 即当n ≥1时，a n ＋1＝1，∴a 10＝1. 二、填空题9．在数列{a n }中，S n 是其前n 项和，若a 1＝1，a n ＋1＝13S n (n ≥1)，则a n ＝____________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧1， n ＝113·⎝⎛⎭⎫43n －2， n ≥2解析 a n ＋1＝13S n ，a n ＋2＝13S n ＋1，∴a n ＋2－a n ＋1＝13(S n ＋1－S n )＝13a n ＋1，∴a n ＋2＝43a n ＋1 (n ≥1)．∵a 2＝13S 1＝13，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1， n ＝113·⎝⎛⎭⎫43n －2， n ≥2.10．各项均为实数的等比数列{a n }的前n 项和记为S n ，若S 10＝10，S 30＝70，则S 40＝________.答案 150解析设每10项一组的和依次组成的数列为{b n }，由已知可得，b 1＝10，b 1＋b 2＋b 3＝70.①设原等比数列{a n }的公比为q ，则b 2b 1＝a 11＋a 12＋…＋a 20a 1＋a 2＋…＋a 10＝a 1q 10＋a 2q 10＋…＋a 10q 10a 1＋a 2＋…＋a 10＝q 10.同理：b 3b 2＝q 10，b 4b 3＝q 10，…，∴{b n }构成等比数列，且公比q ′＝q 10. 由①可得10＋10q ′＋10(q ′)2＝70，即(q ′)2＋q ′－6＝0，解得q ′＝2或q ′＝－3. ∵q ′＝q 10>0，∴q ′＝2.∴{b n }的前4项依次是10,20,40,80. ∴S 40＝150.11．在等比数列{a n }中，a 1＝3，a 4＝81，若数列{b n }满足b n ＝log 3a n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋1的前n项和S n ＝________.答案 nn ＋1解析设等比数列{a n }的公比为q ，则a 4a 1＝q 3＝27，解得q ＝3.所以a n ＝a 1q n －1＝3×3n －1＝3n ，故b n ＝log 3a n ＝n ，所以1b n b n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1.则数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1b n b n ＋1的前n 项和为1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1. 12．数列1，12，12，13，13，13，14，14，14，14，…的前100项的和等于________．答案 19114解析 S 100＝1×1＋2×12＋3×13＋4×14＋…＋13×113＋9×114＝19114.三、解答题13．(2013·江西)正项数列{a n }满足：a 2n －(2n －1)a n －2n ＝0.(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)令b n ＝1(n ＋1)a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)由a 2n －(2n －1)a n －2n ＝0，得(a n －2n )(a n ＋1)＝0.由于{a n }是正项数列，所以a n ＝2n .(2)由a n ＝2n ，b n ＝1(n ＋1)a n，则b n ＝12n (n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ＋1n －1n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝n 2(n ＋1). 14．已知：数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＝2a n －n (n ∈N *)．(1)求a 1，a 2的值； (2)求数列{a n }的通项公式；(3)若数列{b n }的前n 项和为T n ，且满足b n ＝na n (n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)S n ＝2a n －n .令n ＝1，解得a 1＝1；令n ＝2，解得a 2＝3. (2)S n ＝2a n －n ，所以S n －1＝2a n －1－(n －1)(n ≥2，n ∈N *)，两式相减得a n ＝2a n －1＋1，所以a n ＋1＝2(a n －1＋1)(n ≥2，n ∈N *)，又因为a 1＋1＝2，所以数列{a n ＋1}是首项为2，公比为2的等比数列．所以a n ＋1＝2n ，即通项公式a n ＝2n －1(n ∈N *)． (3)b n ＝na n ，所以b n ＝n (2n －1)＝n ·2n －n ，所以T n ＝(1·21－1)＋(2·22－2)＋(3·23－3)＋…＋(n ·2n －n )， T n ＝(1·21＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n )－(1＋2＋3＋…＋n )．令S n ＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n ， ① 2S n ＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋n ·2n ＋1，②①－②得－S n ＝21＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1，－S n ＝2(1－2n )1－2－n ·2n ＋1，S n ＝2(1－2n )＋n ·2n ＋1＝2＋(n －1)·2n ＋1，所以T n ＝2＋(n －1)·2n ＋1－n (n ＋1)2(n ∈N *)．。