高考数学试题-2018年高考理科数学冲刺复习检测6 最新

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普通高等学校2018年招生全国统一考试临考冲刺卷(一)理科数学含答案解析

普通高等学校2018年招生全国统一考试临考冲刺卷(一)理科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1． i 为虚数单位，则复数4i3i=+（） AB ．13i -C ．3i +D ．3i -【答案】A【解析】()()()4i3i4i13i 3i3i3i-==+++-，故选A ．2．已知集合(){}|lg 21A x x =-<，集合{}2|230B x x x =--<，则A B =（） A ．()2,12 B ．()1,3- C ．()1,12- D ．()2,3【答案】C【解析】(){}|lg 21A x x =-<{}()|02102,12x x =<-<=，{}2|230B x x x =--<()1,3=-，所以AB =()1,12-，选C ．3．如图，四边形OABC 是边长为2的正方形，曲线段DE 所在的曲线方程为1xy =，现向该正方形内抛掷1枚豆子，则该枚豆子落在阴影部分的概率为（） AB ．12ln 24+ C ．52ln 24- D ．12ln 24-+【答案】A【解析】根据条件可知，122E ⎛⎫⎪⎝⎭，，阴影部分的面积为所以，豆子落在阴影部分的概率为32ln 24-．故选A ． 4．在ABC △中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ．若角A ，B ，C 依次成等差数列，且1a =，3b =则ABC S =△（）A B 3C 3D ．2【答案】C【解析】∵A ，B ，C 依次成等差数列，∴60B =︒，∴由余弦定理得：2222cos b a c ac B =+-，得：2c =，∴由正弦定理得：13sin 2ABC S ac B ==△，故选C ． 5．如图，网格纸上小正方形的边长均为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A ．7B ．6C ．5D ．4【答案】B【解析】几何体如图，则体积为332=64⨯，选Ｂ．6．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间(),0-∞上单调递增．若实数a 满足()(2133a f f -≥-，则a 的最大值是（）A ．1B ．12C ．14D ．34【答案】D【解析】根据题意，函数()f x 是定义在R 上的偶函数，则(3f =3f ，又由()f x 在区间(),0-∞上单调递增，则()f x 在()0,+∞上递减，，解可得34a ≤，即a 的最大值是34，故选D ． 7．在平面直角坐标系中，若不等式组2212 10x y x ax y +≥⎧≤≤-+≥⎪⎨⎪⎩（a 为常数）表示的区域面积等于1，则抛物线2y ax =的准线方程为（） A ．124y =-B ．124x =-C ．32x =-D ．32y =-【答案】D【解析】由题意得111121122a a ⎛⎫⨯⨯+-++= ⎪⎝⎭，16a ∴=，26x y ∴=，即准线方程为32y =-，选D ．8．在nx x ⎛ ⎝的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为32，则2x 的系数为（）A ．50B ．70C ．90D ．120【答案】C【解析】在nx x ⎛ ⎝中，令1x =得()134nn +=，即展开式中各项系数和为4n ；又展开式中的二项式系数和为2n．由题意得42322nn n ==，解得5n =．故二项式为5x x ⎛+ ⎝，其展开式的通项为()35521553rr r r r r r T C x C x x --+==，()0,1,2,3,4,5r =．令2r =得222235390T C x x ==．所以2x 的系数为90．选C ．9．我国古代数学名著《九章算术》里有一道关于买田的问题：“今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百．今并买一顷，价钱一万．问善、恶田各几何？”其意思为：“今有好田1亩价值300钱；坏田7亩价值500钱．今合买好、坏田1顷，价值10000钱．问好、坏田各有多少亩？”已知1顷为100亩，现有下列四个程序框图，其中S 的单位为钱，则输出的x ，y 分别为此题中好、坏田的亩数的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】设好田为x ，坏田为y ，则100 500300100007x y x y ⎧=+=⎪⎨⎪⎩+，12.5 87.5x y =⎧∴⎨=⎩， A 中12.5x ≠；B 中正确；C 中87.5x =，12.5y =；D 中12.5x ≠，所以选B ．10．已知函数()()sin 3cos 0f x x x ωωω=>，若集合()(){}0,π1x f x ∈=-含有4个元素，则实数ω的取值范围是（）A ．35,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．35,22⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．725,26⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．725,26⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D【解析】由题得()π2sin 3f x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，π2sin 13x ω⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，π1sin 32x ω⎛⎫∴-=- ⎪⎝⎭，解得：()7π2π6k k +∈Z ，3π2π2k x ωω=+()k ∈Z ，设直线1y =-与()y f x =在()0,+∞上从左到右的第四个交点为A ，第五个交点为B ，则，()π4π26B x k ωω=+=此时．由于方程()1f x =-在()0,π上有且只有四个实数根，则<πB A x x ≤，即3π2ππ4ππ26ωωωω+<≤+，解得72526ω<≤，故选D ． 11．已知三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，PA ⊥平面ABC ，ABC △是边长为2的等边三角形，若球O 的体积为82π3，则直线PC 与平面PAB 所成角的正切值为（） AB 211C 310D 10 【答案】A【解析】由球体积3482π33R =知球半径为2R =，设ABC △的外心为M，由正弦定理23AM =，由2222PA AM ⎛⎫+= ⎪⎝⎭得26PA =，设AB 的中点为N ，则CN ⊥平面PAB ，连接PN ，则CPN ∠为直线与平面所成的角，243319PN =+=，3CN =311tan CN CPN PN ∠==，故选A ． 12．设P 为双曲线()2222:1,0x y C a b a b -=>上一点，1F ，2F 分别为双曲线C 的左、右焦点，212PF F F ⊥，若12PF F △的外接圆半径是其内切圆半径的176倍，则双曲线C 的离心率为（） A ．2 B ．4 C ．2或3D ．4或53【答案】D【解析】∵1F ，2F 分别为双曲线C 的左、右焦点， ∴()1,0F c -，()2,0F c ，∵212PF F F ⊥，∴点P 在双曲线的右支，12PF F △的内切圆半径为12212222F F PF PF c ac a +--==-．设1PF x =，则22PF x a =-．∵2221212PF PF F F =+，即()()22222x x a c =-+，∴22a c x a +=，即12PF F △的外接圆半径为222a c a+．∵12PF F △的外接圆半径是其内切圆半径的176倍， ∴()221726a c c a a +=-，即22201730a ac c -+=．∴2317200e e -+=∴53e =或4，故选D ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知()2,1=-a ，()1,0=b ，()1,2=-c ，若a 与m -b c 平行，则m =__________．【答案】-3【解析】已知()2,1=-a ，()1,2m m -=-b c ，若a 与m -b c 平行则143m m -=⇒=-，故答案为：-3．14．已知点()2,0A -，()0,2B 若点M 是圆22220x y x y +-+=上的动点，则ABM △面积的最小值为__________．【答案】2【解析】将圆22:220M x y x y +-+=化简成标准方程()()22112x y -++=，圆心()1,1-，半径2r =，因为()2,0A -，()0,2B ，所以22AB =，要求ABM △面积最小值，即要使圆上的动点M 到直线AB 的距离d 最小，而圆心()1,1-到直线AB 的距离为22，所以ABM S △的最小值为min 11222222AB d ⋅⋅=⨯=，故答案为2．15．．【答案】2【解析】()cos 6025sin 25cos30cos85sin 25cos30cos 25cos 25︒+︒+︒︒︒+︒︒=︒︒，12．16．记{}ave ,,a b c 表示实数a ，b ，c 的平均数，{}max ,,a b c 表示实数a ，b ，c 的最大值，设11ave 2,,122A x x x ⎧⎫=-++⎨⎬⎩⎭，11max 2,,122M x x x ⎧⎫=-++⎨⎬⎩⎭，若31M A =-，则x 的取值范围是__________．【答案】{}| 4 2x x x =-≥或．【解析】作出112122M max x x x ⎧⎫=-++⎨⎬⎩⎭，的图象如图所示，故031 0x x A x x x -<⎧-==⎨≥⎩，，，31M A =-， ∴当0x <时，122x x -=-+，得4x =-，当01x ≤<时，122x x =-+，得43x =，舍去，当12x ≤<时，112x x =+，得2x =，舍去，当2x ≥时，x x =，恒成立，综上所述，x 的取值范围是{}|42x x x =-≥或．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：60分，每个试题12分． 17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()413n n S a =-，*n ∈N ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令2log n n b a =，记数列()()111n n b b ⎧⎫⎪⎪⎨⎬-+⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：12nT <．【答案】（1）()*4n n a n =∈N ；（2）见解析．【解析】（I ）当1n =时，有()111413a S a ==-，解得14a =．……1分当n ≥2时，有()11413n n S a --=-，则()()11441133n n n n n a S S a a --=-=---，……3分整理得：14n n aa -=，……4分∴数列{}n a 是以4q =为公比，以14a =为首项的等比数列．……5分 ∴()1*444n n n a n -=⨯=∈N ，即数列{}n a 的通项公式为：()*4n n a n =∈N ．……6分（2）由（1）有22log log 42n n n b a n ===，……7分则()()()()11111=11212122121n n b b n n n n ⎛⎫=- ⎪+-+--+⎝⎭，……8分∴()()11111335572121n T n n =+++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯+- 11111111121335572121n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦……10分11112212n ⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭，故得证．……12分 18．在贯彻中共中央国务院关于精准扶贫政策的过程中，某单位定点帮扶甲、乙两个村各50户贫困户．为了做到精准帮扶，工作组对这100户村民的年收入情况、劳动能力情况、子女受教育情况、危旧房情况、患病情况等进行调查，并把调查结果转化为各户的贫困指标x 和y ，制成下图，其中“*”表示甲村贫困户，“+”表示乙村贫困户．若00.6x <<，则认定该户为“绝对贫困户”，若0.60.8x ≤≤，则认定该户为“相对贫困户”，若0.81x <≤，则认定该户为“低收入户”；若100y ≥，则认定该户为“今年能脱贫户”，否则为“今年不能脱贫户”．（1）从甲村50户中随机选出一户，求该户为“今年不能脱贫的绝对贫困户”的概率；（2）若从所有“今年不能脱贫的非绝对贫困户”中选3户，用ξ表示所选3户中乙村的户数，求ξ的分布列和数学期望()E ξ；（3）试比较这100户中，甲、乙两村指标y 的方差的大小（只需写出结论）．【答案】（1）0.1；（2）见解析；（3）见解析．【解析】（1）由图知，在甲村50户中，“今年不能脱贫的绝对贫困户”有5户，……1分所以从甲村50户中随机选出一户，该户为“今年不能脱贫的绝对贫困户”的概率为50.150P ==．……3分（2）由图知，“今年不能脱贫的非绝对贫困户”有10户，其中甲村6户，乙村4户，依题意，……4分ξ的可能值为0，1，2，3．从而……5分()3631020101206C P C ξ====，……6分……7分()2146310363212010C C P C ξ====，……8分()3431041312030C P C ξ====．……9分所以ξ的分布列为：故ξ的数学期望()1131120123 1.262103010E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯==．……10分（3）这100户中甲村指标y 的方差大于乙村指标y 的方差．……12分19．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC △是边长为2的等边三角形，D 为BC 的中点，侧棱13AA =，点E 在1BB 上，点F 在1CC 上，且1BE =，2CF =．（1）证明：平面CAE ⊥平面ADF ；（2）求二面角F AD E --的余弦值．【答案】（1）见解析；（210．【解析】（1）∵ABC △是等边三角形，D 为BC 的中点， ∴AD BC ⊥，∴AD ⊥平面11BCC B ，得AD CE ⊥．①……2分在侧面11BCC B 中，1tan 2CD CFD CF ∠==，1tan 2BE BCE BC ∠==， ∴tan tan CFD BCE ∠=∠，CFD BCE ∠=∠，∴90BCE FDC CFD FDC ∠+∠=∠+∠=︒，∴CE DF ⊥．②……4分结合①②，又∵AD DF D =，∴CE ⊥平面ADF ，……5分又∵CE ⊂平面CAE ，∴平面CAE ⊥平面ADF ，……6分（2）如图建立空间直角坐标系D xyz -．则)00A ，，()012F -，，，()011E ，，．得(3DA =，()012DF =-，，，()011DE =，，，……7分设平面ADF 的法向量()x y z =，，m ，则0 0DA DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m ，得0 2x y z ==⎧⎨⎩取()021=，，m ．……9分同理可得，平面ADE 的法向量()011=-，，n ，……10分……11分则二面角F AD E --10．……12分 20．已知定点()3,0A -、()3,0B ，直线AM 、BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为19-，记动点M 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）过点()1,0T 的直线l 与曲线C 交于P 、Q 两点，是否存在定点(),0S s ，使得直线SP 与SQ 斜率之积为定值，若存在求出S 坐标；若不存在请说明理由．【答案】（1）()22139x y x +=≠±；（2）见解析．【解析】（1）设动点(),M x y ，则3MA y k x =+，3MB y k x =-()3x ≠±，19MA MB k k ⋅=-，即1339y y x x ⋅=-+-．……3分化简得：2219x y +=，……4分由已知3x ≠±，故曲线C 的方程为2219x y +=()3x ≠±．……5分（2）由已知直线l 过点()1,0T ，设l 的方程为1x my =+，则联立方程组22199x my x y =++=⎧⎨⎩，消去x 得()229280m y my ++-=，设()11,P x y ，()22,Q x y ，则1221222989my y m y y m +=-+-⎧⎪=⎨+⎪⎪⎪⎩，……7分直线SP 与SQ 斜率分别为11111SP y y k x s my s ==-+-，22221SQ y yk x s my s ==-+-， ()()121111SP SP yy k k my s my s =+-+- ()()()1222121211y y m y y m s y y s =+-++-()()2228991s m s -=-+-．……10分当3s =时，()282991SP SP k k s -⋅==--；当3s =-时，()2811891SP SP k k s -⋅==--．所以存在定点()3,0S ±，使得直线SP 与SQ 斜率之积为定值．……12分21．设0a >，已知函数()()ln f x x x a =-+，()0x >．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）试判断函数()f x 在()0,+∞上是否有两个零点，并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）函数()f x 没有两个零点．【解析】（1）()1'2f x x ax =+，……1分 ()()22'02220f x x a x x a x a >⇔+>⇔+-+>，()()22'0220f x x a x a <⇔+-+<，设()()2222g x x a x a =+-+，则()161a ∆=-，①当1a ≥时，0∆≤，()0g x ≥，即()'0f x ≥，∴()f x 在()0,+∞上单调递增；……3分②当01a <<时，0∆>，由()0g x =得14241221a a x a a ---==---， 221x a a =-+-，可知120x x <<，由()g x 的图象得：()f x 在(0,221a a ---和()221a a -+-+∞上单调递增； ()f x 在(21a a ---221a a -+-上单调递减．……5分（2）假设函数()f x 有两个零点，由（1）知，01a <<，因为()0ln 0f a =->，则()20f x <()22ln x x a <+，由()2'0f x =知222x a x +=22ln x x <（），t =，则()ln 2t t <（＊），……8分由()22211,4x a a =-+-，得()1,2t ∈，设()()ln 2h t t t =-，得()1'10h t t=->，所以()h t 在()1,2递增，得()()11ln20h t h >=->，即()ln 2t t >，……11分这与（＊）式矛盾，所以上假设不成立，即函数()f x 没有两个零点．…12分（二）选考题（共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分）22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 过点(),1P a ，其参数方程为2 12x a t y t=+=+⎧⎪⎨⎪⎩（t 为参数，a ∈R ），以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos 4cos 0ρθθρ+-=．（1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）求已知曲线1C 和曲线2C 交于A ，B 两点，且2PA PB =，求实数a 的值．【答案】（1）10x y a --+=，24y x =；（2）136a =或94．【解析】（1）1C 的参数方程2 12x a t y t=+=⎧⎪⎨⎪⎩，消参得普通方程为10x y a --+=，……2分 2C 的极坐标方程为2cos 4cos 0ρθθρ+-=两边同乘ρ得222cos 4cos 0ρθρθρ+-=即24y x =；……5分（2）将曲线1C 的参数方程22 212x a y ⎧⎪⎪⎨=+=+⎪⎪⎩（t 为参数，a ∈R ）代入曲线224C y x =：，得211402t a +-=，……6分由(()21241402a ∆=--⨯->，得0a >，……7分设A ，B 对应的参数为1t ，2t ，由题意得122t t =即122t t =或122t t =-，…8分当122t t =时，()121212222 214t t t t t t a =+==-⎧⎪⎨⎪⎩，解得136a =，……9分当122t t =-时，()121212222 214t t t t t t a =⎧-+==-⎪⎨⎪⎩解得94a =，综上：136a =或94．……10分 23．选修4-5：不等式选讲已知x ∃∈R ，使不等式12x x t ---≥成立．（1）求满足条件的实数t 的集合T ；（2）若1,1m n >>，对t T ∀∈，不等式33log log m n t ⋅≥恒成立，求22m n +的最小值．【答案】（1）{|1}t T t t ∈=≤；（2）18．【解析】（1）令()1,11223,12 1,2x f x x x x x x -≤⎧⎪=---=-<<⎨⎪≥⎩，……2分则()11f x -≤≤，……4分由于x ∃∈R 使不等式12x x t ---≥成立，有{|1}t T t t ∈=≤．……5分（2）由（1）知，33log log 1m n ⋅≥，根据基本不等式3333log log 2log log 2m n m n +≥⋅≥，从而23mn ≥，当且仅当3m n ==时取等号，……7分再根据基本不等式26m n mn +≥≥，当且仅当3m n ==时取等号．所以m n +的最小值为6．……10分。

2018年普通高等学校招生全国统一考试高考数学临考冲刺卷四理201806060318

普通高等学校2018年招生全国统一考试临考冲刺卷(四)理科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z满足1i z2i，则z的共轭复数在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】1i z2i，1i1i z2+i1i，2z1 3i，13iz，22z，z的共轭复数在复平面内对应点坐标为1,313i，z的共轭复数在复平面内对2222应的点在第四象限，故选D．2．设集合M x x2，N2,4,6,8，则M N（）=36A．2，4B．4，6C．2，6D．2，4，6【答案】A【解析】M6,6，故M N2,4．3．下图中的图案是我国古代建筑中的一种装饰图案，形若铜钱，寓意富贵吉祥．在圆内随机取一点，则该点取自阴影区域内（阴影部分由四条四分之一圆弧围成）的概率是（）- 1 -A ．1 2B ．1 3C ．41D ．24 【答案】C【解析】令圆的半径为 1，则P S '2 241，故选 C ．S4．将5个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（）A ． 42 种B ． 48 种C ．54种D ． 60 种【答案】A【解析】最左端排甲时，有 A 424 种排法；最左端排乙时，有3A 318 种排法，所以共有4324 18 42 种排法，选 A ．5．如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的体积为（）A ．32 3 B ． 64 3C ．32D ． 6423【答案】D【解析】由已知中的三视图可得，该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥，- 2 -故该四棱锥的外接球，与以俯视图为底面，以 4为高的直三棱柱的外接球相同．由底面底边长为 4，高为 2，故底面为等腰直角三角形，可得底面三角形外接圆的半径为 r2，OO， 22由棱柱高为 4，可得故外接球半径为 R22 22 2 2 ， 464 2故外接球的体积为V2 2．选 D ．3336．数学家欧拉在 1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后入称之为三角形的欧拉线．已知△ 的顶点 A 2, 0，B 0, 4， ACBC ，则△ABC 的欧拉线方程为（）ABCA ． 2xy 3 0 B ． 2x y 3 0 C ． x 2y 3 0 D ． x 2y 3 0【答案】D【解析】线段 AB 的中点为 M （1，2），k AB =﹣2， ∴线段 AB 的垂直平分线为：y ﹣2=1 2（x ﹣1），即 x ﹣2y +3=0．∵AC =BC ，∴△ABC 的外心、重心、垂心都位于线段 AB 的垂直平分线上，因此△ABC 的欧拉线的方程为：x ﹣2y +3=0．故选：D ． 7．执行如图所示的程序框图，则输出 S 的值为（）- 3 -A ．4097B ．9217C ．9729D ．20481【答案】B【解析】阅读流程图可知，该流程图的功能是计算：S 12 2232102 ，129则2S 12 2232102 ，123100 1 2 9 101 21010以上两式作差可得：S 2 2 22102102 ，12则： S 9210 1 9217 ．本题选择 B 选项． 8．已知函数 f x A sinx（其中 A ,, 为常数，且 A0 ， 0 ，2）的3f，则sin 2部分图象如图所示，若26的值为（）3 A ．B ．1 C ． 1488D ．1 3【答案】B【解析】由函数图象可知： A2 ，函数的最小正周期：4 7 2 2 T，6321则，当Tx2Z2时，x12k,2kk，332 6- 4 -令 k 0 可得6，函数的解析式：2sinf xx6 ． f可得： 2sin3 ,sin 33由26 2 6 4，则：π91 sin2 sin 2 cos 2 1 2sin1 2 263 236168．本题选择 B 选项．a，ln3ln2 b，ln59．已知实数c，则 a ,b ,c 的大小关系是（） 235 A ． ab c B ． ca bC ． c b aD ．ba c【答案】Bln3 ln2 2ln33ln2 ln9 ln8【解析】∵b a，∴b a ；3 2 66 ln2 ln5 5ln2 2ln5 ln32ln25又a c，∴ a c ，251010∴ba c ，即 c ab ．选 B ．10．如图所示，在正方体 ABCDA B C D 中， E , F 分别为1 1 1 1B C C D 的中点，点 P 是底面1 1, 1 1A B C D内一点，且A P∥平面EFDB，则1111tan APA的最大值是（）1A．22B．1C．2D．22【答案】D【解析】由题意可得，点P位于过点A且与平面EFDB平行的平面上，如图所示，取A D A B的中点G,H，连结GH,AH,AG,GE，11,11由正方形的性质可知：EF∥GH，由ABEG为平行四边形可知AG∥BE，由面面平行的判定定理可得：平面AGH∥平面BEFD，据此可得，点P位于直线GH上，- 5 -。

2018届高考理科数学最新冲刺卷(全国新课标卷)-含答案解析

2018届高考理科数学最新冲刺卷（全国新课标卷）一、选择题1．集合{}(){}22,,,,A y y x x R B x y y x x R ==∈==∈，以下正确的是（）A. A B =B. A B R ⋃=C. A B ⋂=∅D. 2B ∈ 2．若，其中为复数的共轭复数，且在复平面上对应的点在射线上，则( )A.B.或C.D.或3．若a 、b 是任意实数，且a b >，则下列不等式成立的是（）． A.1b a < B. 11a b< C. 22a b > D. 33a b > 4.执行下面的程序框图，如果输入1a =，1b =，则输出的S =（） A. 7 B. 20 C. 22 D. 545.已知命题()()()000:0,,p x f x f x ∃∈+∞-=，命题()():,q x R f x f x ∀∈-=.若p 为真命题，且q 为假命题，则函数()f x 的解析式可能为（） A. ()1f x x =+ B. ()21f x x =+C. ()sin f x x =D. ()312xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭6.如图,AOB 的圆心角为120,点C 在AB 上,且30COB ∠=,若OC OA OB λμ=+,则λμ+= ( )7. 记不等式组2{22 20x y x y y +≤+≥+≥，表示的平面区域为Ω，点P 的坐标为(),x y .有下面四个命题：1p ：P ∀∈Ω，x y -的最小值为6；2p ：P ∀∈Ω，224205x y ≤+≤；3p ：P ∀∈Ω，x y -的最大值为6；4p ：P ∀∈Ω22x y ≤+≤其中的真命题是（）A. 1p ，4pB. 1p ，2pC. 2p ，3pD. 3p ，4p 8.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最大边长为9.同时具有性质:“①最小正周期是π,②图象关于π3x =对称,③在ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数”的一个函数是 A. πsin 26y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭ B. πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C. πsin 26x y ⎛⎫=+⎪⎝⎭D. πcos 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭10.设正三棱锥P ABC -的高为H ，且此棱锥的内切球的半径为R ，若二面角P AB C --HR=（） A. 5 B. 6 C. 7 D. 811.已知抛物线214y x =的焦点F 是椭22221y x a b+=（0a b >>）的一个焦点，且该抛物线的准线与椭圆相交于A 、B 两点，若FAB ∆是正三角形，则椭圆的离心率为（）1112. 已知函数()()ln ,0{2,2x x e f x f e x e x e<≤=-<<，函数()()F x f x ax =-有4个零点，则实数a 的取值范围是（）A. ()0,eB. 10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C. [),e +∞ D. 1[,e+∞）二、填空题13.9222y x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为__________．14.已知动点(),P x y满足()24{11x y x x y +≤≥+≤，则226x y x +-的最小值是_______.15．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，设ABC ∆的面积为S ，若22232a b c =+，则222Sb c+的最大值为___________． 16. 对于曲线12,C C ,若存在点P 和常数()0k k ≠,过点P 任引直线分别交12,C C 于12,M M (均异于点P ),若12PM k PM =,那么称曲线1C 与2C 相似,相似比为k ,点P 为相似中心.则下列各组曲线中,坐标原点O 是其相似中心的是______.(把所有正确结论的序号都填上)①22221,2x y x y +=+=; ②22221,122x y y x +=+=; ③224,2y x y x ==. 三、解答题17.设数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 是各项都为正数的等比数列，且11331,2,11a b a b ==+=，5537a b +=.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设n n n c a b =⋅，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求证：2122n n T n -≤⋅+.18.如图，在各棱长均为2的正三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别为棱11A B 与1BB 的中点，M ，N 为线段1C D 上的动点，其中，M 更靠近D ，且1M N C N =.（1）证明：1A E ⊥平面1AC D ；（2）若NE 与平面11BCC B所成角的正弦值为20，求异面直线BM 与NE 所成角的余弦值.19.某地区对一种新品种小麦在一块试验田进行试种.从试验田中抽取500株小麦，测量这些小麦的生长指标值，由测量结果得如下频数分布表：（1）在相应位置上作出这些数据的频率分布直方图；（2）求这500株小麦生长指标值的样本平均数x 和样本方差2s （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）由直方图可以认为，这种小麦的生长指标值Z 服从正态分布()2,6N μ，其中μ近似为样本平均数x ，26近似为样本方差2s . ①利用该正态分布，求(187.8212.2)P Z <<；②若从试验田中抽取100株小麦，记X 表示这100株小麦中生长指标值位于区间()187.8,212.2的小麦株数，利用①的结果，求EX .12.2≈.若()2,6Z N μ~，则(66)0.6826P Z μμ-<<+=，(2626)0.9544P Z μμ-<<+=.20. 已知椭圆C ：222210)x y a b a b+=>>（的左、右焦点分别为12,F F ，点312P （，）在椭圆C上，满足1294PF PF ⋅=. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）直线1l 过点P ，且与椭圆只有一个公共点，直线2l 与1l 的倾斜角互补，且与椭圆交于异于点P 的两点,M N ，与直线1x =交于点K （K 介于,M N 两点之间）. (ⅰ)求证：PM KN PN KM ⋅=⋅；(ⅱ)是否存在直线2l ，使得直线1l 、2l 、PM 、PN 的斜率按某种排序能构成等比数列？若能，求出2l 的方程；若不能，请说明理由. 21.设函数()sin (0)f x x a x a =->．（1）若函数()y f x =是R 上的单调函数，求实数a 的取值范围；（2）设a ＝12，()()ln 1g x f x b x =++ (b R ∈，0b ≠)，()g x '是()g x 的导函数．①若对任意的x ＞0，()g x '＞0，求证：存在0x ，使()0g x ＜0；②若()()()1212g x g x x x =≠，求证：12x x ＜24b ．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为,{1x cos y sin θθ==+（θ为参数），曲线2C 的参数方程为2,{x cos y sin ϕϕ==（ϕ为参数）．（1）将1C ，2C 的方程化为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线？（2）以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为()cos 2sin 4ρθθ-=．若1C 上的点P 对应的参数为2πθ=，点Q 在2C 上，点M 为PQ 的中点，求点M 到直线l 距离的最小值．23.选修4-5：不等式选讲设函数()()2432f x x a x a =-++-≠-. （1）试比较()f a 与()2f -的大小；（2）若函数()f x 的图象与x 轴能围成一个三角形，求实数a 的取值范围.2018届高考数学最新冲刺卷（全国新课标卷）答题卡姓名：______________班级：______________参考答案与试题解析1．C 【解析】由题意，集合{}2,y y x x R R =∈=，表示实数集，集合(){}2,,B x y y x x R ==∈表示二次函数2y x=图象上的点作为元素构成的点集，所以A B ⋂=∅，故选C.2．C 【解析】，又在复平面上对应的点在射线上，知在复平面上对应的点在第一象限，观察答案，选项C 符合.故选：C ． 3．D 【解析】对于A ，当2a =-， 3b =-时，满足a b >，但312b a =>，故A 错误；对于B ，当2a =， 2b =-时，满足a b >，但11a b>，故B 错误；对于C ，当1a =， 2b =-时，满足a b >，但22a b <，故C 错误；对于D ，因为3y x =在R 上单调递增，故当a b>时， 33a b >，故D 正确．故选D ．点睛：判断不等式是否成立，主要利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特别是对于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更简便，注意当用不等式性质时注意正负数、0的特殊情况等易错点，有时较为复杂的不等式可以用函数的单调性证明.5. C 【解析】因为q 为假命题,所以函数()f x 不是偶函数,故选项B 不满足题意. 对于选项A ，如果满足()()()0000,,x f x f x ∃∈+∞-=，则000110x x x -+=+∴=，显然不满足题意，所以选项A 不满足题意. 对于选项C ，如果满足()()()0000,,x f x f x ∃∈+∞-=，则()()()()()000000sin sin sin sin sin 0,,2x x x x x x ππ-=∴-=∴==，满足题意.对于选项D,如果满足()()()0000,,x f x f x ∃∈+∞-=，则()()0033001122xxx x ---=-（）（），()()000000333000112222222x x x x x x x x x y -∴+=-∴-=-∴=-是增函数，所以00001122022xx ->-=，而3020x -<，所以选项D 不满足题意，故选C.#网【点睛】本题主要考查向量的坐标运算、相等向量以及平面向量基本定理，属于难题．向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何或者三角函数问题解答7. C 【解析】作可行域如图：则x y z -=过点（4，-2），z 取最大值6，22x y +最小值为O到直线22x y +=距离的平方，即45；最大值为O 到点（4，-2）距离的平方，即为20；所以2p ， 3p 为真命题，选C.8. B 【解析】根据三视图作出原几何体（四棱锥P ABCD -）的直观图如下：可计算PB PD BC PC===点睛:思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.10.C【解析】取线段AB中点D，设P在底面ABC 射影为O，设AB=a,则13OD=⨯=，PDC∠为二面角P AB C--的平面角，tan6PDC PD OD∠==，21377HV H HRS R===∴=,选C.点睛：涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.11. C 【解析】由题知线段AB 是椭圆的通径，线段AB 与y 轴的交点是椭圆的下焦点1F ，且椭圆的1c =，又60FAB ∠=， 11212tan603FF AF AF AF =====，由椭圆定义知212c AF AF a a e a +==∴====C. %网【点睛】本题主要考查分段函数的图象与性质、导数的几何意义以及数形结合思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．13. 672【解析】9222y x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭表示9个222y x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭相乘，从这9个222y x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭中选取6个且只取其中的x ，从剩余的3个222y x x ⎛⎫++⎪⎝⎭中只取22x ，相乘后即可得到常数项，故常数项为366699228672C x C x ⎛⎫== ⎪⎝⎭．答案： 67214. 409-【解析】()21x x y x y +≤∴≤，()21,f x x xx y =++∴≤，因此可行域为一个三角形ABC 及其内部，其中()()44,,1,1,1,233A B C ⎛⎫⎪⎝⎭,所以226x y x +- ()222244403939.339x y ⎛⎫⎛⎫=-+-≥-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭点睛：线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.&网点睛:本题的难在解题思路,第一个难点就是把222S b c +中的分母化简成6cos Sbc A,第二个难点是得到221sin 12tan 26cos 12bc AS A b c bc A ==+后，如何求tanA 的最大值. 转化成利用基本不等式求cosA 的最大值.16. ①②【解析】由题意，对于曲线12,C C ,若存在点P 和常数()0k k ≠,过点P 任引直线分别交12,C C 与12,M M ，若12PM k PM =，称曲线1C 与2C 相似，相似比为k ，点P 为相似中心，对于①中，圆221x y +=与222x y +=的圆心同为坐标原点O，半径分别为121,r r ==1122OM r OM r ==O 为其相似中心.对于②中，椭圆2212x y +=和2212y x +=的对称中心都为坐标原点O ，设过原点的直线为y kx =，则222222222{ ,121212y kxk x y x k k y =⇒==+++=， 222222222{ ,2212y kxk x y y k k x =⇒==+++=，点睛：本题考查了新定义的判定与应用，解答中涉及到直线与圆，直线与椭圆，直线与抛物线的位置关系的判定及应用，着重考查了数学的转化思想方法的应用，解答此题的关键是把问题转化为判定直线与椭圆联立方程组是否有解，同时正确理解新定义是解答的基础，属于中档试题.17. （1）()11n a a n d n =+-=， 112n n n b b q -==；（2）证明见解析. 【解析】试题分析：（1）设数列{}n a 的公差为d ，数列{}n b 的公比为q ，依题意题意，列出方程组，求得,d q 的值，即可得到数列{}{},n n a b 的通项公式；（2）由(1)知2n n c n =⋅，利用乘公比错位相减法，即可求解数列{}n c 的前n 项和. 试题解析：（1）设数列{}n a 的公差为d ，数列{}n b 的公比为q ，依题意有242210{4236d q d q +=+=，解得， 21{4d q ==，又0n b >，∴2q =，于是()11n a a n d n =+-=， 112n n n b b q -==.（2）易知2n n c n =⋅,∴231222322n n T n =⨯+⨯+⨯++⋅，()23412122232122n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅，两式相减，得()231122222122n n n n T n n ++-=++++-⋅=-⋅-∴()1122n n T n +=-⋅+，∵()()221122220n n n T n n ---⋅+=-⋅-≤，∴2122n n T n -≤⋅+.18. （1）见解析（2【解析】试题分析：（1）根据正三角形性质得111C D A B ⊥，结合线面垂直得11AA C D ⊥.因此可得1C D ⊥平面11ABB A ，即11C D A E ⊥.再根据1A E AD ⊥，得1A E ⊥平面1AC D ，（2）先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解平面11BCC B 法向量，根据向量数量积求夹角，再根据线面角与向量夹角互余关系列方程，解得N 坐标，最后根据向量数量积求异面直线BM 与NE 所成角的余弦值. &网（2）取BC 的中点O ， 11B C 的中点1O ，则AO BC ⊥， 1OO BC ⊥，以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则()0,1,0B ， ()0,1,1E ，()10,1,2C -， 1,22D ⎫⎪⎪⎝⎭，设11C N C D λ= 3,,02λ⎫=⎪⎪⎝⎭，则11NE C E C N =- ()30,2,1,,02λ⎫=--⎪⎪⎝⎭ 3,2,12λ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，19. （1）见解析；（2）平均数200，方差150；（3）①0.6826；②68.26. 【解析】试题分析：（1）根据题设中的数据，即可画出频率分布直方图；（2）利用平均数和方差的计算公式，即可求得平均数x ， 2s ．（3）①由（1）知()200,150Z N ~，从而(187.8212.2)0.6826P Z <<=.②由①知，随机变量X 服从二项分布，利用公式即可求解期望．试题解析：（1）画图.（2）抽取小麦的生长指标值的样本平均数x 和样本方差2s 分别为1700.021800.09x =⨯+⨯ 1900.222000.332100.24+⨯+⨯+⨯ 2200.082300.02200+⨯+⨯=，()()222300.02200.09s =-⨯+-⨯()2100.2200.33+-⨯+⨯22100.24200.08+⨯+⨯2300.02150+⨯=.20. （1）22143x y +=；（2）见解析【解析】试题分析：（1）设()12-,0),,0,0F c F c c >（，由题意可得212991-44PFPF c ⋅=+=，所以1c =. 结合椭圆的定义可得2a =. 则椭圆C 的标准方程为22143x y +=. （2）(ⅰ)设1l 方程为()312y k x -=-，与22143x y +=联立可得12k =-. 则2l 的斜率是12.联立直线2l 方程与椭圆方程，结合韦达定理可得1212332211PM PNy y k k x x --+=+-- 0= ， PMK ∆和PNK ∆中，由正弦定理得PM MK sin PKM sin MPK =∠∠， PN NKsin PKN sin NPK=∠∠，结合几何关系可得PM KN PN KM ⋅=⋅成立. (ⅱ)由(ⅰ)知， 0PM PN k k +=， 112l k =- ， 212l k =.假设存在直线2l ，满足题意.不妨设-PM k k =， PN k k =， 0)k >（若11-,22k k -，，按某种排序构成等比数列，则-1q =，则12k =，此时直线PN 与2l 平行或重合，与题意不符，则不存在直线2l 满足题意.（2）(ⅰ)设1l 方程为()312y k x -=-，与22143x y +=联立，消y 得 ()()222243)12832120k x k k x k ++-+--=（ , 由题意知0∆=，解得12k =-.因为直线2l 与1l 的倾斜角互补，所以2l 的斜率是12.设直线2l 方程： 12y x t =+， ()1122,),,M x y N x y （，联立2212{ 143y x tx y=++=，整理得2230x tx t ++-=，由0∆>，得24t <， 12x x t +=-， 212-3x x t ⋅=；直线PM 、PN的斜率之和1212332211PM PNy y k k x x --+=+-- ()()()()122112131311222211x t x x t x x x ⎛⎫⎛⎫+--++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-- ()()()()()12121222311x x t x x t x x +-+--=-- 0=所以PM PN 、关于直线1x =对称，即MPK NPK ∠=∠，在PMK ∆和PNK ∆中，由正弦定理得PM MK sin PKM sin MPK =∠∠， PN NKsin PKN sin NPK=∠∠，又因为MPK NPK ∠=∠， 180PKM PKN ∠+∠=，所以PM MKPN NK=，故PM KN PN KM ⋅=⋅成立.(ⅱ)由(ⅰ)知， 0PM PN k k +=， 112l k =- ， 212l k =.假设存在直线2l ，满足题意.不妨设-PM k k =， PNk k =，0)k >（若11-,22k k -，，按某种排序构成等比数列，设公比为q ，则-1q =或2-1q =或3-1q =. 所以-1q =，则12k =，此时直线PN 与2l 平行或重合，与题意不符，故不存在直线2l ，满足题意.点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 21. （1）01a <≤；（2）见解析【解析】试题分析： ()1求导得()1cos f x a x =-'，由单调性推出a 的取值范围()2①得()1sin ln 12g x x x b x =-++，求导，讨论0b <和0b >，代入30e b x -=得出结论②由函数sin y x x =-单调递增得2121sin sin x x x x ->-，证得21212ln ln x x b x x -->-，下面证明2121ln ln x x x x ->-（2）①()1sin ln 12g x x x b x =-++，所以()11cos 2b g x x x =-+'．若0b <，则存在02b ->，使11cos 0222b b g ⎛⎫⎛⎫-=---'< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，不合题意，所以0b >．取30e bx -=，则001x <<．此时()30000111sin ln 11ln 10222b g x x x b x b e -=-++<+++=-<．所以存在00x >，使()00g x <． ②依题意，不妨设120x x <<，令21x t x =，则1t >．由（1）知函数sin y x x =-单调递增，所以2211sin sin x x x x ->-．从而2121sin sin x x x x ->-．@网点睛：本题考查了导数的综合运用，尤其在证明不等式的过程中，运用了放缩的方法将结果求证出来，在证明2124x x b <时，也是利用了不等式关系构得到21212ln ln x x b x x -->-，然后构造新函数证明出结果，综合能力较强，本题较难。

2018年四川省高考数学冲刺试卷(理科)(一)(J)

2018年四川省高考数学冲刺试卷（理科）（一）(J)副标题一、选择题（本大题共12小题，共12.0分）1.设全集，集合，，则A. B. C. D.【答案】A【解析】解：全集，集合，，，．故选：A．先求出，由此能求出．本题考查并集、补集的求法，考查并集、补集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2.已知复数z满足，则A. B. 5 C. D. 10【答案】C【解析】解：，，．故选：C．由题意推导出，由此能求出结果．本题考查复数的模的求法，考查复数代数形式的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．3.已知向量，，且，则A. B. C. D.【答案】D【解析】解：根据题意，向量，，则，若，则，解可得；故选：D．根据题意，由数量积的坐标计算公式可得，进而由向量垂直与向量数量积的关系可得，解可得x的值，即可得答案．本题考查向量数量积的坐标计算，关键是掌握向量数量积的坐标计算公式．4.中国古代十进位制的算筹记数法在世界数学史上是一个伟大的创造据史料推测，算筹最晚出现在春秋晚期战国初年算筹记数的方法是：个位、百位、万位的数按纵式的数码摆出；十位、千位、十万位的数按横式的数码摆出如7738可用算筹表示为这9个数字的纵式与横式的表示数码如图所示，则的运算结果可用算筹表示为A. B. C. D.【答案】D【解析】解：根据题意，，用算筹记数表示为；故选：D．根据题意，由对数的运算性质可得，结合算筹记数的方法分析可得答案．本题考查合情推理的应用，关键是理解题目中算筹记数的方法5.双曲线的焦距等于离心率则A. B. C. D.【答案】A【解析】解：双曲线的焦距等于离心率可得：，即，解得．故选：A．利用双曲线方程求出焦距以及离心率，求解即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．6.设有下面四个命题：：若～，則：：若〜 3，，则；：的中间项为；：的中间项为．其中的真命题为A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】解：若～，則，故为真命题；的中间项为，故为真命题．故选：D．由二项分布的概率求法，考虑定理事件的概率，即可判断为真命题；运用二项式的展开式的通项公式，即可得到所求中间项，判断为真命题．本题考查命题的真假判断和应用，考查二项分布概率的求法和二项式定理的运用，考查运算能力，属于基础题．7.某几何体的三视图如图所示，三个视图中的曲线都是圆弧，则该几何体的表面积为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：由题意可知：几何体的直观图如图：是半圆柱与个球体组成，表面积为：．故选：B．判断三视图对应的几何体的形状，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可．本题考查三视图求解几何体的表面积，判断几何体的形状是解题的关键．8.已知表示N除以m余n，例如，，则如图所示的程序框图的功能是A. 求被5除余1且被7除余3的最小正整数B. 求被7除余1且被5除余3的最小正整数C. 求被5除余1且被7除余3的最小正奇数D. 求被7除余1且被5除余3的最小正奇数【答案】D【解析】解：因为n的初值为，且，，，所以：该程序框图的功能是求被7除余1且被5除余3的最小正奇数．故选：D．由已知中的程序框图可知该程序框图的功能是求被7除余1且被5除余3的最小正奇数，由此得解．本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属于基础题．9.已知函数满足，且在上单调递增，则A. B.C. D.【答案】B【解析】解：由知，的图象关于对称；又在上单调递增，在上单调递减；且；；即．故选：B．由题意知的图象关于对称，且在上单调递增，再判断、与的大小．本题考查了抽象函数的图象与性质的应用问题，是基础题．10.若，且，则A. B. C. D.【答案】B【解析】解：，且，可得，即为，由，可得，则，故选：B．运用二倍角的正弦公式和余弦公式，以及同角的商数关系，两角差的正切公式，计算即可得到所求值．本题考查二倍角公式的运用和两角差的正切公式的运用，考查运算能力，属于中档题．11.设x，y满足约束条件，若的最大值为6，则的最大值为A. B. 2 C. 4 D. 5【答案】C【解析】解：作出x，y满足约束条件表示的平面区域，由解得，直线，经过交点A时，目标函数取得最大值6，可得，解得则的几何意义是可行域的点与连线的斜率，由可行域可知与B连线的斜率最大，由可得则的最大值为：4．故选：C．作出题中不等式组表示的平面区域，利用的最大值为7，推出直线与的交点A必在可行域的边缘顶点，得到a，利用所求的表达式的几何意义，可得则的最大值．本题给出二元一次不等式组，求在已知目标函数的最大值为1的情况下求则的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于中档题考查分析问题解决问题的能力．12.在正方体中，，以E为球心，为半径的球与棱，分别交于F，G两点，则二面角的正切值为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：设正方体棱长为4，则，，，，，，．，，，取FG的中点M，连接AM，EM，和均为等腰三角形．，，为二面角的平面角，，．故选：B．设棱长为4，果然年纪勾股定理计算AF，AG可得和均为等腰三角形，作出两三角形的底边上的高AM，EM，则为所求角．本题考查了二面角的平面角的作法与计算，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共4.0分）13.在中，，，且，则______．【答案】7【解析】解：，即，由余弦定理可得，可得．故答案为：7．直接运用余弦定理，代入计算可得所求值．本题考查余弦定理的运用，考查运算能力，属于基础题．14.函数的极大值点为______．【答案】【解析】解：，令，则导函数的零点为：，，当时，0'/>，则在上是增函数；当时，，则在上是减函数；当时，0'/>，则在上是增函数；故在为的极大值点．因此函数的极大值点为，故答案为：．利用导数求极值点问题要求函数的极大值点，则需求出导函数的零点，利用单调性判断即可．本题属于导数常规题型，主要考察了利用导数求极值点问题，属简单题此类题型考生应该熟练掌握，利用函数的单调性从图形上可直接观察出极值点的位置．15.若函数在区间上单调递增，则的最大值为______．【答案】【解析】解：函数，令，解得：，在区间上单调递增，所以，则：的最大值为．故答案为：．直接利用正弦型函数的性质求出结果．本题考查的知识要点：正弦型函数的性质的应用．16.P为椭圆C：上一动点，，分別为左、右焦点，延长至点Q，使得，记动点Q的轨迹为，设点B为椭圆C短轴上一顶点，直线与交于M，N两点，则丨______．【答案】【解析】解：，，所以．动点Q的轨迹为，为以为圆心半径为的圆，，，则．故答案为：．利用椭圆的定义以及已知条件转化求解即可．本题考查椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．三、解答题（本大题共7小题，共7.0分）17.已知数列是等比数列，且，．求数列的通项公式；求数列的前n项和．【答案】解：设等比数列的公比为q，则．从而，故．，，．【解析】直接利用定义求出数列的通项公式．利用分组法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，数列的前n项和公式的应用．18.如图，在三梭锥中，PA，两两垂直，，平面平面PAB，且与棱分别交于，，三点．过A作直线l，使得l丄BC，l丄，请写出作法并加以证明；若将三梭锥分成体积之比为8：19的两部分其中，四面体的体积更小，D为线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值．【答案】解：作法：取BC的中点H，连结AH，则直线AH即为要求作的直线l．证明如下：，，且，平面ABC，平面平面PAB，且平面，平面平面，，平面ABC，，又，H为BC的中点，则，从而直线AH即为要求作的直线l．将三棱锥分成体积之比为8：19的两部分，四面体的体积与三棱锥的体积之比为8：27，又平面平面PAB，，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角系，设，则1，，1，，0，，1，，2，，0，，1，，1，，设平面的法向量为y，，则，取，得3，，则，．直线与平面所成角的正弦值为．【解析】取BC的中点H，连结AH，推导出平面平面PAB，从而，由平面ABC，得，再求出，从而直线AH即为要求作的直线l．四面体的体积与三棱锥的体积之比为8：27，从而，以A为坐标原点，建立空间直角系，利用向量法能求出直线与平面所成角的正弦值．本题考查满足条件的直线的作法及证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．19.某大型水果超市每天以10元千克的价格从水果基地购进若干A水果，然后以15元千克的价格出售，若有剩余，则将剩下的水果以8元千克的价格退回水果基地，为了确定进货数量，该超市记录了A水果最近50天的日需求量单位：千克，整以天记录的各日需求量的频率代替各日需求量的概率．求该超市A水果日需求量单位：千克的分布列；若该超市一天购进A水果150千克，记超市当天A水果获得的利润为单位：元，求X的分布列及其数学期望．【答案】解：由题意得n的可能取值为140，150，160，170，180，190，200，，，，，，，则元，且．若A水果日需求量不小于150千克，则元，且．故X的分布列为【解析】由日需求量统计表能求出n的分布列．若A水果日需求量为140千克，则元，且若A水果日需求量不小于150千克，则元，且由此能求出X的分布列及其数学期望．本题考查离散型随机变量的概率分布列及数学期望的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．20.已知直线l经过抛物线的焦点且与此抛物线交于，两点，，直线l与抛物线交于M，N两点，且M，N两点在y轴的两侧．证明：为定值；求直线l的斜率的取值范围；若为坐标原点，求直线l的方程．【答案】证明：由题意可得，直线l的斜率存在，故可设l的方程为，，联立，可得，为定值；解：由知，，，则，即，即或联立，得，，N两点在y轴的两侧，，即，故直线l的斜率取值范围为；由可知，，，解得舍去或，故直线l的方程为，即．【解析】可设l的方程为，，联立方程组，可得，根据韦达定理即可证明；根据韦达定理和抛物线的性质可得，再联立方程组，得，根据M，N两点在y轴的两侧，可得，即，即可求出k的范围；根据向量的数量积的运算可得，解得即可．本题考查了直线和抛物线的位置关系，以及抛物线的性质，点与点的距离公式，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．21.已知涵数．讨论的单调性；当时，设，，且，证明：．【答案】解：的导数为，当时，，在R上为增函数；当时，由可得，可得在递增；由可得，可得在递减；证法一、记，，当时，，递减；当时，，递增，即有的最大值为，则，由，可得，即，即为，，，可得，即，则；证法二、，可得，，设，，由，可得；，可得，则的最小值为．，，可得，而，则．【解析】求得的导数，讨论，，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间；方法一、构造，求得导数和单调区间、最值，再由条件和不等式的性质，即可得证；方法二、结合条件，构造，求得导数和最值，再由不等式的性质，即可得证．本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查分类讨论思想方法和构造函数法，考查运算能力和推理能力，属于难题．22.在直角坐标系xOy中，曲线M的参数方程为为参数，，曲线N的参数方程为为参数，且．以曲线N上的点与原点O连线的斜率k为参数，写出曲线N的参数方程；若曲线M与N的两个交点为A，B，直线OA与直线OB的斜率之积为，求r 的值．【答案】解：曲线M的参数方程为为参数，，将消去参数t，得．曲线N的参数方程为为参数，且．由，得．故曲线N的参数方程为为参数，且曲线M的普通方程为，将代入并整理得，因为直线OA与直线OB的斜率之积为，所以，解得，又，所以．将代入，得，，故．【解析】将曲线M的参数方程消去参数t，得，由，得由此能求出曲线N的参数方程．曲线M的普通方程为，将代入，得，由直线OA与直线OB的斜率之积为，能求出r．本题考查曲线的参数方程的求法，考查实数值的求法，考查参数方程、极坐标方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．23.已知函数．当时，求不等式的解集；若，，求a的取值范围，【答案】解：函数，当时，，不等式的解集为R；由，得，两边平方得，解得；不等式的解集为；当，时，，则，解得；当，时，，解得；当，时，；当且仅当时取等号，则，又，解得；综上，a的取值范围是．【解析】根据时，求不等式的解集即可；讨论、和时，结合化简函数，求出不等式时a的取值范围．本题考查了含有绝对值的不等式的解法与应用问题，也考查了分类讨论思想的应用问题，是综合题．。

2018年普通高等学校招生全国统一考试临考冲刺卷(三)数学(理)试卷

普通高等学校2018年招生全国统一考试临考冲刺卷(三)理科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U =R ，则U A B =ð（）A B C D 【答案】C【解析】(){U A B =ðC ．2．欧拉公式i e cos isin x x x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位．特别是当x =π时，i e 10π+=被认为是数学上最优美的公式，数学家们评价它是“上帝创造的公式”．根据欧拉公式可知，4ie表示的复数在复平面中位于（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】C【解析】由已知有4i e cos 4isin 4=+，因为4在第三象限，所以cos 40<，sin 40<，故4i e 表示的复数在复平面中位于第三象限，选C ． 3．在区间[]02，上任取两个数，则这两个数之和大于3的概率是（） A ．18B ．14C ．78D ．34【答案】A 【解析】如图：不妨设两个数为x ，y ，故3x y +>A ．4．下列命题中：①“1x >”是“21x >”的充分不必要条件②定义在[],a b 上的偶函数()()25f x x a x b =+++最小值为5； ③命题“0x ∀>，都有12x x +≥”的否定是“00x ∃≤，使得0012x x +<” ④已知函数()f x 的定义域为[]0,2，则函数()()2g x f x =的定义域为[]0,1．正确命题的个数为（） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】①211x x >⇒>或1x <-，所以“1x >”是“21x >”的充分不必要条件； ②因为()f x 为偶函数，所以5a =-，因为定义区间为[],a b ，所以5b =，因此()25f x x =+最小值为5； ③命题“0x ∀>，都有12x x +≥”的否定是“00x ∃>，使得0012x x +<”； ④由条件得[]20,2 820xx ∈-≥⎧⎨⎩，[](]0,1,3x x ⎧∈⎪∴⎨∈-∞⎪⎩，[]0,1x ∴∈；因此正确命题的个数为①②④，选C ．5．《九章算术》中的玉石问题：“今有玉方一寸，重七两；石方一寸，重六两．今有石方三寸，中有玉，并重十一斤（即176两），问玉、石重各几何？”其意思为：“宝玉1立方寸重7两，石料1立方寸重6两，现有宝玉和石料混合在一起的一个正方体，棱长是3寸，质量是11斤（即176两），问这个正方体中的宝玉和石料各多少两？”如图所示的程序框图给出了对此题的一个求解算法，运行该程序框图，则输出的x ，y 分别为（）A ．90，86B ．94，82C ．98，78D ．102，74【答案】C【解析】执行程序：86x =，90y =，27s ≠；90x =，86y =，27s ≠；94x =，82y =，27s ≠；98x =，78y =，27s =，故输出的x ，y 分别为98，78．故选：C ．6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）22正视图侧视图俯视图AB CD 【答案】D【解析】由三视图可知：该几何体由两部分构成，一部分侧放的四棱锥，一部分为四分之一球体，D ．7．在平面直角坐标系xOy）． A ．2 B ．1C ．12D ．14【答案】B【解析】设a x y =+，b x y =-({,A x =∴，即100a a b a b ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≥⎩．作出不等式组对应的平面区域如图：可知B 的面积为等腰直角三角形AOB 的面积，由10a a b =+=⎧⎨⎩解得11a b ==-⎧⎨⎩，即()11B -，，由10a a b =-=⎧⎨⎩解得11a b ==⎧⎨⎩，即()11A ，，∴三角形的面积故选B ．8C )0ω>关于直线x t =对称，则ω的取值范围是（）A ．17,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．410,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．17,33⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．410,33⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D【解析】π0,2t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，πππ,6626t ωωπ⎛⎫∴-∈-- ⎪⎝⎭，ππ3π2262ωπ∴<-≤，D ． 9．已知函数()()21202x f x x x =+-<与()()22log g x x x a =++的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是（）A ．(,-∞B ．(-∞C ．(,-∞D ．⎛- ⎝ 【答案】B【解析】()()21202x f x x x =+-<，当0x >时，0x -<，()()21202x f x x x --=+->，当()f x 关于y 轴对称的函数为()()21202x f x x x -=+->，0x >时有解，如图：当0x =时，21log 2a >，a <，则a 的取值范围是(-∞，故选B ． 10．已知数列{}n a 的首项1a a =，其前n 项和为n S ，且满足()2142n n S S n n n -++=≥∈，N ，若对任意n +∈N ，1n n a a +<恒成立，则a 的取值范围是（）A ．163⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，B ．1653⎛⎫⎪⎝⎭，C ．1633⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．()35，【答案】D【解析】∵214n n S S n -+=，()2141n n S S n ++=+，∴1184n n S S n +--=+，即184n n a a n ++=+，即21812n n a a n +++=+，故28n n a a +-=，由1a a =知22124216a a +=⨯=，∴21162162a a a =-=-，23224336a S +=⨯=，()323623621642a S a a ∴=-=--=+，4242a a =-；若对任意n +∈N ，1n n a a +<恒成立，只需使1234a a a a <<<，即16242242a a a a <-<+<-，解得35a <<．本题选择D 选项．11．设正三棱锥P ABC -的高为H ，且此棱锥的内切球的半径为R ，若二面角P AB C --HR=（） A ．5 B ．6C ．7D ．8【答案】C【解析】取线段AB 中点D ，设P 在底面ABC 射影为O ，设AB a =，则PDC ∠为二面角P AB C --6PD OD ==7H R ∴=，故选C ． 12．若函数()y f x =，x M ∈对于给定的非零实数a ，总存在非零常数T ，使得定义域M []0,4=内的任意实数，都有()()af x f x T =+恒成立，此时T 为()f x 的假周期，函数()y f x =是M 上的a 级假周期函数，若函数()y f x =是定义在区间[)0+∞，内的3级假周期且2T =，当[)0,2x ∈，若[]16,8x ∃∈，()20x ∃∈+∞，使()()210g x f x -≤成立，则实数m 的取值范围是（）A ．13,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．(],12-∞C ．(],39-∞D ．[)12,+∞【答案】B【解析】根据题意，对于函数()f x ，当[)02x ∈，分析可得：当01x ≤≤当12x <<时，()()2f x f x =-，函数()f x 的图象关于直线1x =又由函数()y f x =是定义在区间[)0+∞，内的3级类周期函数，且2T =；则在[)68x ∈，上，()()336f x f x ⋅=-则函数()f x 在区间[]68，上的最大值为272分析可得：在()01，上，()0g x '<，函数()g x 为减函数，在()1+∞，上，()0g x '>，函数()g x 为增函数，则函数()g x 在()0+∞，上，得()g x 若[]168x ∃∈，，()20x ∃∈+∞，，使()()210g x f x ≤﹣成立，必有()()min max g x f x ≤m 范围为(],12-∞．故答案为：B ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=︒，则BD CD ⋅等于________．【答案】232a【解析】∵菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=︒，∴120BCD ∠=︒，30BDC ∠=︒，．∴3BD CD a ⋅= 故答案为：232a ．14．抛物线28y x =的焦点为F ，点()6,3A ，P 为抛物线上一点，且P 不在直线AF 上，则PAF △周长的最小值为____________．【答案】13【解析】由抛物线定义，抛物线上的点到焦点的距离PF 等于这点到准线的距离d ，即FP d =．所以周长513l PA PF AF PA d AF PA d =++=++=++≥，填13． 15．已知点O 是ABC △的内心，60BAC ∠=︒，1BC =，则BOC △面积的最大值为_______．【解析】，在OBC △中，2222cos120BC OB OC OB OC =+-⋅⋅︒，2213OB OC OB OC OB OC =++⋅≥⋅，即13OB OC ⋅≤当OB OC = 16．已知双曲线2222:1x y C a b -=()0,0a b >>的左、右顶点分别为A 、B ，点F 为双曲线C 的左焦点，过点F 作垂直于x 轴的直线分别在第二、第三象限交双曲线C 于P ，Q 点，连接PB 交y 轴于点E ，连接AE 交QF 于点M ，若2FM MQ =，则双曲线C 的离心率为__________．【答案】5【解析】根据题意，如图作出双曲线的草图：PQ 过左焦点F 且垂直于x 轴，假设P 在Q 的上方，则P Q x x c ==-，将x c =-又由OE PM ∥，则EOB PFB △∽△，则EO c a =-，而EOA MFA △∽△整理可得：5c a =，则5e =，故双曲线的离心率为5．故答案为：5．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：60分，每个试题12分．17．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，已知11a =，122n n S a +=-．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()121log nn n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）112n n a -=；（2【解析】（1）∵122n n S a +=-，11a =， ∴当1n =时，1222S a =-，得112111222S a a =-=-=；····1分当2n ≥时，122n n S a -=-， ∴当2n ≥时，122n n n a a a +=-，即112n n a a +=，····3分又2112a a =，····4分 ∴{}n a 是以11a =为首项，12为公比的等比数列．····5分 ∴数列{}n a 的通项公式为112n n a -=．····6分（2）由（1）知，()()11nn b n =--，····7分 ()()012311nn T n =-+-+-⋯+--，····8分当n 为偶数时，2n nT =；····10分当n 为奇数时，()11122n n nT n --=--=，····12分 18．某市有两家共享单车公司，在市场上分别投放了黄、蓝两种颜色的单车，已知黄、蓝两种颜色的单车的投放比例为2:1．监管部门为了了解两种颜色的单车的质量，决定从市场中随机抽取5辆单车进行体验，若每辆单车被抽取的可能性相同．（1）求抽取的5辆单车中有2辆是蓝色颜色单车的概率；（2）在骑行体验过程中，发现蓝色单车存在一定质量问题，监管部门决定从市场中随机地抽取一辆送技术部门作进一步抽样检测，并规定若抽到的是蓝色单车，则抽样结束，若抽取的是黄色单车，则将其放回市场中，并继续从市场中随机地抽取下一辆单车，并规定抽样的次数最多不超过n （*n ∈N ）次．在抽样结束时，已取到的黄色单车以ξ表示，求ξ的分布列和数学期望．【答案】（1）80243；（2）见解析．【解析】（1）因为随机地抽取一辆单车是蓝色单车的概率为13，用X 表示“抽取的5辆单车中蓝颜色单车的个数”，则X 服从二项分布，即X ～153B （，），所以抽取的5辆单车中有2····4分（2）ξ的可能取值为：0，1，2，…，n ．····5分()103P ξ==，()2121339P ξ==⨯=，()221233P ξ⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭，……，()121133n P n ξ-⎛⎫=-=⋅ ⎪⎝⎭，()23nP n ξ⎛⎫== ⎪⎝⎭．所以ξ的分布列为：····8分ξ的数学期望为：()1n ++- ()2n ++-．② ①－②得：()2311121212121221213333333333333n n n n E n n n ξ-+⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅++⋅+⨯--⨯⋅-⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦123n -⎛⎫++ ⎪⎝⎭2312222233333n E ξ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以2223nE ξ⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭．····12分19．如图，四边形ABCD 是矩形，沿对角线AC 将ACD △折起，使得点D 在平面ABC 上的射影恰好落在边AB 上．（1）求证：平面ACD ⊥平面BCD ；（2）当2ABAD=时，求二面角D AC B --的余弦值．【答案】（1）见解析；（2）14．【解析】（1）设点D 在平面ABC 上的射影为点E ，连接DE ，则DE ⊥平面ABC ，所以DE BC ⊥．因为四边形ABCD 是矩形，所以AB BC ⊥，所以BC ⊥平面ABD ，····2分所以BC AD ⊥．····3分又AD CD ⊥，所以AD ⊥平面BCD ，····4分而AD ⊂平面ACD ，所以平面ACD ⊥平面BCD ．····5分（2）以点B 为原点，线段BC 所在的直线为x 轴，线段AB 所在的直线为y 轴，建立空间直角坐标系，如图所示．设AD a =，则2AB a =，所以()020A a -，，，()00C a -，，．····6分由（1）知AD BD ⊥，又2ABAD =，所以30DBA ∠=︒，60DAB ∠=︒，，32BE AB AE a =-=，····8分所以302D a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，所以10AD ⎛= ，，()20AC a a =-，，．设平面ACD 的一个法向量为()x y z =m ,,，则00AD AC ⎧⎪⎨⎪=⋅⎩⋅=m m ，即取1y =，则2x =，z =····10分因为平面ABC 的一个法向量为()001=n ，，，····11分所以二面角D AC B --的余弦值为4．····12分20．已知点()1,0A 和动点B ，以线段AB 为直径的圆内切于圆22:4O x y +=．（1）求动点B 的轨迹方程；（2）已知点()2,0P ，()2,1Q -，经过点Q 的直线l 与动点B 的轨迹交于M ，N 两点，求证：直线PM 与直线PN 的斜率之和为定值．【答案】（1）22143x y +=；（2）见解析．【解析】（1）如图，设以线段AB 为直径的圆的圆心为C ，取()1,0A '-．xyA OBC DA依题意，圆C 内切于圆O ，设切点为D ，则O ，C ，D 三点共线，O 为AA '的中点，C 为AB 中点，2A B OC ∴'=．····1分 ∴动点B 的轨迹是以A ，A '为焦点，长轴长为4的椭圆，····3分设其方程为22221(0)x y a b a b+=>>，则24a =，22c =，2a ∴=，1c =，2223b a c ∴=-=，∴动点B 的轨迹方程为22143x y +=．····5分（2）①当直线l 垂直于x 轴时，直线l 的方程为2x =，此时直线l 与椭圆22143x y +=相切，与题意不符．····6分②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()12y k x +=-．y 整理得()()222243168161680kx k k x k k +-+++-=．····7分 ∵直线l 与椭圆交于M ，N 两点， ∴()()()2222168443161680k kk k k ∆=+-++->，解得12k <．····8分设()11,M x y ，()22,Nx y 21221616843k k x x k +-=+，····9分()()()121212121244222224x x x x k k x x x x x x +-+-=-=----++2222221684432232316168168244343k k k k k k k k k k k k ⎛⎫+- ⎪+⎝⎭=-=+-=⎛⎫+-+-+ ⎪++⎝⎭（定值）．····12分 21．已知函数()()21e x f x x ax =--（e 是自然对数的底数）（1）判断函数()f x 极值点的个数，并说明理由；（2）若x ∀∈R ，()3e x f x x x +≥+，求a 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）(],e 2-∞-．【解析】（1）∵()()21e x f x x ax =--， ∴()()e 2e 2x x f x x ax x a '=-=-，····1分当0a ≤时，()f x 在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增，()f x ∴有1个极值点；····2分当102a <<时，()f x 在(),ln 2a -∞上单调递增，在()ln 2,0a 上单调递减，在()0,+∞上单调递增，()f x ∴有2个极值点；····3分当12a =时，()f x 在R 上单调递增，此时()f x 没有极值点；····4分当12a >时，()f x 在(),0-∞上单调递增，在()0,ln2a 上单调递减，在()ln2,a +∞上单调递增，()f x ∴有2个极值点；综上可得：当0a ≤时，()f x 有1个极值点；当0a >且12a ≠时，()f x 有2个极值点；当12a =时，()f x 没有极值点．····5分（2）由()3e x f x x x +≥+得32e 0*x x x ax x ---≥（）． ①当0x >时，由不等式*（）得2e 10x x ax ---≥，0x ∀>在0x >上恒成立．设()e 1x h x x =--，则()e 1x h x '=-．0x >，()0h x '∴>，()h x ∴在()0,+∞上单调递增，()()00h x h ∴>=，即e 1x x >+，()g x ∴在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，()()1e 2g x g ∴≥=-，e 2a ∴≤-．····8分②当0x =时，不等式*（）恒成立，a ∈R ；····9分 ③当0x <时，由不等式*（）得2e 10x x ax ---≤．设()2e 1x h x x ax =---，则()e 2x h x x a '=--．设()e 2x x x a ϕ=--，则()e 20x x ϕ'=-<，()h x '∴在(),0-∞上单调递减，()()01h x h a ''∴≥=-．若1a ≤，则()0h x '≥，()h x ∴在(),0-∞上单调递增，()()00h x h ∴<=．若1a >，则有()010h a '=-<，00x ∴∃<，使得()0,0x x ∈时，()0h x '<，即()h x 在()0,0x 上单调递减，()()00h x h ∴>=，舍去．1a ∴≤．综上可得，a 的取值范围是(],e 2-∞-．····12分（二）选考题（共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分） 22．【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为：cos sin x y θθ==⎧⎨⎩（θ为参数，[]0,θ∈π），将曲线1C经过伸缩变换： x xy '⎧='=⎪⎨⎪⎩得到曲线2C ．（1）以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，求2C 的极坐标方程；（2）若直线cos : sin x t l y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数）与1C ，2C 相交于A ，B两点，且1AB =-，求α的值．【答案】（1）[]()2230,π2cos 1ρθθ=∈+；（2）π3α=或2π3．【解析】（1）1C 的普通方程为()2210x y y +=≥，把x x ='，y y ='代入上述方程得，()22103y x y +=''≥'， ∴2C 的方程为()22103y x y +=≥，令cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以2C 的极坐标方程为[]()2222230,π3cos sin 2cos 1ρθθθθ==∈++；····5分（2）在（1）中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()θαρ=∈R ，由1 ρθα==⎧⎨⎩，得1A ρ=，由223 2cos 1ρθθα=+=⎧⎪⎨⎪⎩，得1B ρ=>，11-=-，∴1cos 2α=±，而[]0,πα∈，∴π3α=或2π3．····10分23．选修4-5：不等式选讲()1g x bx =+．（1）当1b =时，若()()12f xg x +的最小值为3，求实数a 的值；（2）当1b =-时，若不等式()()1f x g x +<的解集包含1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求实数a 的取值范围．【答案】（1）8a =-或4；（2）31,2⎛⎫⎪⎝⎭．【解析】（1）当1b = 因为()()12f x g x +的最小值为3，所以132a+=，解得8a =-或4．····5分（2）当1b =-时，()()1f x g x +<即211x a x -+-<，当1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，211x a x -+-<2112x a x x a x ⇔-+-<⇔-<，即3a x a <<，因为不等式()()1f x g x +<的解集包含1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以1a >且132a <，即312a <<，故实数a 的取值范围是31,2⎛⎫⎪⎝⎭．····10分。

2018年普通高等学校招生全国统一考试高考数学临考冲刺卷一理20180601028

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．i为虚数单位，则复数4i3i（）A．13i B．13i C．3i D．3i 【答案】A【解析】4i3i4i13i3i3i3i，故选A．2．已知集合Ax|l g x 21，集合B x|x 2x 30，则A B （）2A ．2,12B ．1,3C ．1,12D ．2,3【答案】C【解析】Ax|l g x 21x|0x 2102,12，B x|x 2x 321,3，所以A B1,12，选C．3．如图，四边形OABC是边长为2的正方形，曲线段DE所在的曲线方程为xy1，现向该- 1 -正方形内抛掷 1枚豆子，则该枚豆子落在阴影部分的概率为（）A ． 3 2ln 2 41 2 ln 2 B ．4C ． 5 2ln 2 4D ． 12ln 24【答案】A【解析】根据条件可知，E1 ，2 ，阴影部分的面积为 2111222dx 2x ln x | 2 2ln 2 ln 3 2ln211x2222，所以，豆子落在阴影部分的概率为32ln 24．故选 A ．4．在△ABC 中，角 A ， B ，C 所对应的边分别为 a ，b ， c ．若角 A ， B ，C 依次成等差数列，且 a1，b 3 ．则 S△（）ABCA ． 2B ． 3C ． 32D ． 2【答案】C【解析】∵ A ， B ，C 依次成等差数列，∴ B 60，∴由余弦定理得：bacac B ，得： c 2，∴由正弦定理得：1 sin 32222 cosSac B△，故选 C ．ABC225．如图，网格纸上小正方形的边长均为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．7 B．6 C．5 D．4- 2 -【答案】B【解析】几何体如图，则体积为3 23 =6，选Ｂ．46．已知函数f x是定义在R上的偶函数，且在区间,0上单调递增．若实数a满足f 3a f 3 ，则a的最大值是（）2 1A．1 B．12C．14D．34【答案】D【解析】根据题意，函数f x是定义在R上的偶函数，则f3= f 3，又由f x在区间,0上单调递增，则f x 在0,上递减，则f f3 a 3 f 3 a f32 1 2 13 32a﹣1 ≤2a﹣1 ≤13 32a﹣1 2，1则有2 1a﹣，解可得a 3 ，即a的最大值是32 4 4，故选D．22x y7．在平面直角坐标系中，若不等式组1x 2ax y10（a为常数）表示的区域面积等于1，则抛物线y ax2 的准线方程为（）A．y B．x 1 C．x 3D．31y24 24 22【答案】D【解析】由题意得1 1 1，x 2 6y，即准线方程为1 a 1 2a 1 1 a，2 2 63y ，选D．2n38．在xx的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为32，则x2 的系数为（）- 3 -A ．50B ．70C ．90D ．120【答案】Cn3【解析】在x x中，令 x1得134 ，即展开式中各项系数和为 4n ；又展开式nn中的二项式系数和为 2n ．由题意得42n nn，解得 n5．23253故二项式为xxrr33 5，其展开式的通项为TC x 3 C xrr r5r2r 1 55x，r 0,1, 2,3, 4,5．令r 2得TC xx ．所以 x 2 的系数为90．选 C ．22 2 233 5909．我国古代数学名著《九章算术》里有一道关于买田的问题：“今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百．今并买一顷，价钱一万．问善、恶田各几何？”其意思为：“今有好田 1亩价值 300钱；坏田 7亩价值 500钱．今合买好、坏田 1顷，价值 10000钱．问好、坏田各有多少亩？”已知 1顷为 100亩，现有下列四个程序框图，其中 S 的单位为钱，则输出的 x ， y 分别为此题中好、坏田的亩数的是（）A ．B ．C．D．【答案】B- 4 -x y 100【解析】设好田为 x ，坏田为 y ，则500 300x y 10000 7x ，y12.5 87.5 ，A 中 x 12.5 ；B 中正确；C 中 x 87.5， y 12.5；D 中 x 12.5 ，所以选 B ．10．已知函数 fx sin x 3cosx，若集合x0,πfx1含有 4个元素，则实数的取值范围是（）3 5 A ．,2 23 5B ．,2 27 25 C ． ,2 67 25 D ． , 2 6【答案】Df x x2sinπ 【解析】由题得3π 1π，2sin 1，sinxx33 2，解π π 7π得：或x2k π 2k π k Z ，36 6 所以 xπ 2k π 或3π 2 πk xk Z，62设直线y1与y f x 在0,上从左到右的第四个交点为A，第五个交点为B，则3π2ππ4πx k1x 此时k 2．此时，AB26由于方程fx 1在0,π上有且只有四个实数根，则<π，解得x x，即3π2πππ4πA B26725，故选D．2611．已知三棱锥P ABC的四个顶点都在球O的球面上，PA 平面ABC，△ABC是边长为2的等边三角形，若球O的体积为823π，则直线PC与平面PAB所成角的正切值为（）A．31111B．21111C．31010D．1010【答案】A- 5 -。

【高三数学试题精选】2018年高考数学冲刺题及答案解析(理)

2018年高考数学冲刺题及答案解析(理）
5
2．1，且，求函数的解析式。

5已知函数，（为自然对数的底数）．
（Ⅰ）求函数的递增区间；
（Ⅱ）当时，过点作曲线的两条切线，设两切点为
，，求证为定值，并求出该定值。

6已知函数
（1）求函数的单调区间；
（2）若不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围；
（3）求证
7已知函数
（Ⅰ）当时，求的单调区间；
（Ⅱ）若对任意，恒成立，求实数的取值范围．
8已知函数
(Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ)是否存在实数 ,使不等式对恒成立,若存在,求实数的取值范围,若不存在,请说明理由
9设函数
(Ⅰ) 当时，求函数的极值；
（Ⅱ）当时，讨论函数的单调性
（Ⅲ）若对任意及任意，恒有成立，求实数的取值范围
10 设函数
(Ⅰ) 当时，求函数的极值；
（Ⅱ）当时，讨论函数的单调性
（Ⅲ）若对任意及任意，恒有成立，求实数的取值范围
11已知函数．
（Ⅰ）若函数在，处取得极值，求，的值；。

福建省百校2018届高考临考冲刺数学理科试卷含答案

CU A B （）
A． 5, 2 B ． 4,5
C ． 5, 2 D． 4,5
3. 中国古代十进制的算筹记数法在世界数学史上是一个伟大的创造
. 据史料推测，算筹最晚出
现在春秋晚期战国初年，算筹记数的方法是：个位、百位、万位
的数按纵式的数码摆出；
十位、千位、十万位
的数按横式的数码摆出 . 如 7738 可用算筹表示为
1
3 ； p2 :若 X
B
1 3,
，则 P
X
1
7
；
2
4
2
8
6
p3 : x2
1 x
的中间项为
20 ； p4 : x2
6
1 的中间项为 x
20x3 ；其中真命题为（）
A． p1, p3 B． p1, p4 C. p2, p3 D． p2, p4
6. 某几何体的三视图如图所示，三个视图中的曲线都是圆弧，则该几何体的表面积为（
）
1
2
A． 15
2
15
B．
42
4
2
C.
13
2
13
2
D．
42
4
7. 已知点 N n mod m 表示 N 除以 m余 n ，例如 7 1 mod6 ， 13 3 mod5 ，则如图
所示的程序框图的功能是（）开始 n1
nn2
否
n 1 mod7 ?
是否
n 3 mod5 ?
是
输出 n
结束
A．求被 5 除余 1且被 7 除余 3 的最小正整数
福建省百校 2018 届下学期临考冲刺高三数学考试卷数学理科
第Ⅰ卷（ 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题 , 每小题 5 分 , 共 60 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .

普通高等学校2018年招生全国统一考试临考冲刺卷(十)理科数学含解析

普通高等学校2018年招生全国统一考试临考冲刺卷(十)理科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2,1,0,1,2A =--，2{|4}B x x =≥，则下图中阴影部分所表示的集合为（）A ．{}2,1,0,1--B ．{}0C ．{}1,0-D ．{}1,0,1-【答案】D【解析】求解二次不等式可得：{}|22B x x x =-≥或≤，则{}|22B x x =-<<R ð，由Venn 图可知图中阴影部分为：(){}1,0,1RA B =-ð．本题选择D 选项．2．已知函数()f x =()4log f a =a 的值为（） A ．13B ．14C ．12D ．2【答案】B【解析】()4log f a ===11212,4,4aa a --===．3．已知向量()2,1=a ,(),1x =b ，若+a b 与-a b 共线,则实数x 的值是（） A ．2- B ．２C ．2±D ．４【答案】B【解析】由()2,1=a ，(),1x =b ，则()2,2x +=+a b ，()2,0x -=-a b ，因为+a b 与-a b 共线，所以()()2022x x +⨯=-，解得2x=，故选B ．42倍（纵坐标不变），） ABCD 【答案】B【解析】函数πsin 4y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭经伸长变换得1πsin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再作平移变换得1ππsin 264y x ⎡⎤⎛⎫=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦1πsin 23x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故选：B ．5．《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗．问：五人各得几何？”其意思为：“有5个人分60个橘子，他们分得的橘子个数成公差为3的等差数列，问5人各得多少橘子．”根据这个问题，有下列3个说法：①得到橘子最多的人所得的橘子个数是15；②得到橘子最少的人所得的橘子个数是6；③得到橘子第三多的人所得的橘子个数是12．其中说法正确的个数是（） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】由题可设这五人的橘子个数分别为：a ，3a +，6a +，9a +，12a +，其和为60，故6a =，由此可知②得到橘子最少的人所得的橘子个数是6；③得到橘子第三多的人所得的橘子个数是12是正确的，故选C ．6．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A B C D 【答案】D【解析】该立方体是由一个四棱锥和半个圆柱组合而成的，所以体积为D ． 7．如图所示的程序框图，若输出的结果为4，则输入的实数x 的取值范围是（）A ．18,279⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．81,927⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．12,9⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D ．1,29⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【答案】A【解析】1n =，12x ≥，否，31x x =+；2n =，否，()313194x x x =+⨯+=+； 3n =，否，()94312713x x x =+⨯+=+； 4n =，12x ≥，是，即271312x +≥；解不等式271x -≥，127x -≥，且满足9412x +<，89x <，综上所述，若输出的结果为4，则输入的实数x 的取值范围是18279⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，，故选A ． 8．已知F为抛物线2y =的焦点，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点(点A 在第一象限)，若3AF FB =，则以AB 为直径的圆的标准方程为( )A．()226423x y ⎛+-= ⎝⎭ B ．()(226423x y -+-=C ．(()22264x y -+-=D ．(()22264x y -+-=【答案】A【解析】设AB方程为x my =+2120y --=，则，解得6A y =，2B y =-2B ⎫-⎪⎪⎝⎭，圆心坐标为A ，B中点坐标2⎫⎪⎭，AB ==，圆半径为∴以AB为直径的圆方程为()226423x y ⎛-+-= ⎝⎭，故选A ． 9．已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数，且满足()()3f x f x -=，()13f -=，数列{}n a 满足11a =且()1n n n a n a a +=-()*n ∈N ，则()()3637f a f a +=（）A ．-3B ．-2C ．2D ．3【答案】A【解析】∵函数()f x 是奇函数，∴()()f x f x -=-，又∵()()3f x f x -=， ∴()()3f x f x -=--，∴()()3f x f x +=-，即()()6f x f x +=，∴()f x 是以6为周期的周期函数，∵()1n n n a n a a +=-，11a =，∴11n n a n a n++=， ∴1221123113211241n n n n n n n a a a a n n n a a n a a a a n n n -------=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯=---，即n a n =， ∴3636a =，3737a =，又∵()13f -=，()00f =，∴()()()()()()363701113f a f a f f f f +=+==--=-．故选A ．10．某企业生产甲、乙两种产品，销售利润分别为2千元/件、1千元/件．甲、乙两种产品都需要在A 、B 两种设备上加工，生产一件甲产品需用A 设备2小时，B 设备6小时；生产一件乙产品需用A 设备3小时，B 设备1小时．A 、B 两种设备每月可使用时间数分别为480小时、960小时，若生产的产品都能及时售出，则该企业每月利润的最大值为（） A ．320千元 B ．360千元 C ．400千元 D ．440千元【答案】B【解析】设生产甲、乙两种产品件,y 件时该企业每月利润的最大值为，由题意可得约束条件：234806960 0,0,x y x y x y x y ++∈⎧⎨⎪⎩∈⎪⎪⎪N N≤≤≥≥，原问题等价于在上述约束条件下求解目标函数2z x y =+的最大值．目标函数表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知：目标函数在点()150,60B 处取得最大值：max 2215060360z x y =+=⨯+=千元．本题选择B 选项．11．中国古代十进制的算筹计数法，在世界数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同样长短的小木棍，如图，算筹表示数1～9的方法的一种．例如：163可表示为“”，27可表示为“”．问现有8根算筹可以表示三位数的个数（算筹不能剩余）为（） A ．48 B ．60C ．96D ．120【答案】C【解析】设8根算筹的组合为(){}()123,,1,2,3,4,5,1,2,3i a a a a i ∈=，不考虑先后顺序，则可能的组合为：()1,2,5，()1,3,4，()2,2,4，()2,3,3，对于()1,2,5，组合出的可能的算筹为：()1,2,5，()1,6,9，()1,2,9，()1,6,5共4种，可以组成的三位数的个数为：43!⨯种，同理()1,3,4可以组成的三位数的个数为：43!⨯种，对于()2,2,4，组合出的可能的算筹为：()2,2,4，()6,6,4，()2,2,8，()6,6,8，()2,6,4，()2,6,8共6种，可以组成的三位数的个数为：3!23!42⨯+⨯种，同理()2,3,3可以组成的三位数的个数为：3!23!42⨯+⨯种，利用加法原理可得：8根算筹可以表示三位数的个数（算筹不能剩余）为3!123!8163!962⨯+⨯=⨯=．本题选择C 选项．12．偶函数()f x 定义域为00,22ππ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，其导函数是()'f x ．当02x π<<时，有()()'cos sin 0f x x f x x +<，则关于x 的不等式()cos 4f x x π⎛⎫⎪⎝⎭的解集为（）A ．,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．,,2442ππππ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．,00,44ππ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．,0,442πππ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】C 【解析】令()()cos f x F x x=，则()()()2cos sin cos f x x f x xF x x'+'=，当02x π<<时，有()()cos sin 0f x x f x x '+<，则()0F x '<，又()()()()()cos cos f x f x F x F x x x--===-，∴()F x 为偶函数，()F x ∴在02π⎛⎫- ⎪⎝⎭，上单调递增，在02π⎡⎫⎪⎢⎣⎭，上单调递减，则()cos 4f x x π⎛⎫> ⎪⎝⎭，当00,22x ππ⎛⎫⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，时，cos 0x >，即()4cos cos4f f x x π⎛⎫⎪⎝⎭>π， 4x π<且0x ≠，故04x π-<<或04x π<<，故选C ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．设a ∈R ，若复数(1i )(+i a +在复平面内对应的点位于实轴上，则a =__________．【答案】-1【解析】复数(1i)(+i)=(1)+(+1)i a a a +-，因为该复数在复平面内对应的点在数轴上，所以10a +=．故1a =-．14．已知随机变量()21,N ξσ~，若(3)0.2P ξ>=，则()1P ξ≥-=__________．【答案】0.8【解析】由正态分布的性质可知，该正态分布的图象关于直线1x =对称，则：()()130.2P P ξξ≤-=≥=，则：()()1110.8P P ξξ≥-=-≤-=．15．称，记()f x n ，且()f x 在[]m n ππ，（m n <）上单调递增，则实数m 的最小值是__________．【答案】2312所以266k θππ⨯+-=π，又0θ-π<<，得6θπ=-， 2n =，又222232k x k πππ-+π-+π≤≤，得单调递增区间为5,1212k k ππ⎡⎤-+π+π⎢⎥⎣⎦，由题意，当2k =时，2312m =． 16．已知点1F ，2F 分别是双曲线()222:10y C x b b-=>的左、右焦点，O 为坐标原点，点P 在双曲线C 的右支上，且满足122F F OP =，21tan 4PF F ∠≥，则双曲线C 的离心率的取值范围为__________．【答案】1,3⎛ ⎝⎦【解析】由122F F OP =，可得OP c =，故12PF F △为直角三角形，且12PF PF ⊥，∴2221212||||PF PF F F +=．由双曲线定义可得122PF PF a -=． ∵1212tan 4PF PF F PF ∠=≥，∴124PF PF ≥，可得223a PF ≤．又()222222||4a PF PF c ++=，整理得()22222PF a c a +=-．∴()222222225239a a PF a c a a ⎛⎫+=-+=⎪⎝⎭≤．1e >，∴1e <≤，即双曲线C 的离心率的取值范围为1,3⎛ ⎝⎦．答案：1,3⎛ ⎝⎦三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：60分，每个试题12分．17．已知ABC △的内角A ，B ，C 满足sin sin sin sin sin sin sin sin A B C BC A B C -+=+-．（1）求角A ；（2）若ABC △的外接圆半径为1，求ABC △的面积S 的最大值．【答案】【解析】（1）设内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．根据sin sin sin sin sin sin sin sin A B C BC A B C -+=+-，可得222a b c b a b c bc c a b c-+=⇒=+-+-，·········3分所以2221cos 222b c a bc A bc bc +-===，又因为0A <<π，所以3A π=．·········6分（2）22sin 2sin sin 3a R a R A A π=⇒===·········8分所以2232b c bc bc bc bc =+--=≥，·········10分所以11sin 322S bc A =⨯=≤（b c =时取等号）．·········12分18．某商场为了了解顾客的购物信息，随机在商场收集了100位顾客购物的相关数据如下表：统计结果显示100位顾客中购物款不低于150元的顾客占30%，该商场每日大约有4000名顾客，为了增加商场销售额度，对一次购物不低于100元的顾客发放纪念品．（1）试确定a ，b 的值，并估计每日应准备纪念品的数量；（2）现有4人前去该商场购物，求获得纪念品的数量ξ的分布列与数学期望．【答案】(1)2400；(2)见解析．【解析】（1）由已知，100位顾客中购物款不低于150元的顾客有2010030%b +=⨯，10b =；()1002030201020a =-+++=．·········2分该商场每日应准备纪念品的数量大约为6040002400100⨯=．·········4分（2）由（1）可知1人购物获得纪念品的频率即为概率6031005p ==，·········5分故4人购物获得纪念品的数量服从二项分布3~4,5B ξ⎛⎫⎪⎝⎭，·········6分()040432160C 55625P ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()131432961C 55625P ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()2224322162C 55625P ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3134322163C 55625P ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()404432814C 55625P ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，·········11分 ξ的分布列为：ξ数学期望为455E ξ=⨯=．·········12分 19．已知梯形BFEC 如图（1）所示，其中5EC =，4BF =，四边形ABCD 是边长为2的正方形，现沿AD 进行折叠，使得平面EDAF ⊥平面ABCD ，得到如图（2）所示的几何体．（1）求证：平面AEC ⊥平面BDE ；（2）已知点H 在线段BD 上，且AH ∥平面BEF ，求FH 与平面BFE 所成角的正弦值．【答案】(1)见解析；（2）FH 与平面BEF 所成角的正弦值为7．【解析】（1）证明：由平面EDAF ⊥平面ABCD ，DE AD ⊥，平面EDAF平面ABCD AD =，DE ⊂平面EDAF ，得DE ⊥平面ABCD ，又AC ⊂平面ABCD ， ∴AC DE ⊥，·········2分由ABCD 为正方形得AC BD ⊥，·········3分又BD DE D =，BD ，DE ⊂平面BDE ， ∴AC ⊥平面BDE ，·········4分又∵AC ⊂平面AEC ，∴平面AEC ⊥平面BDE ．·········5分（2）由ED ⊥平面ABCD 得AD ED ⊥，CD ED ⊥，又AD DC ⊥故以D 为原点，DA ，DC ，DE 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立图示空间直角坐标系，则()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,0,3E ，()2,0,2F ，····6分设DH DB λ=，则()2,2,0H λλ，设平面BEF 的一个法向量为(),,x y z =n ，由()2,2,3BE =--，()2,0,1EF =-，BE EF ⎧⎪⎨⎪⎩⋅=⋅=n n ，得2230 20x y z x z --+=-=⎧⎨⎩，取1x =，得()1,2,2=n ，·········9分 ∵AH ∥平面BEF ，()22,2,0AH λλ=-，∴2240λλ-+=，13λ=，∴22,,033H ⎛⎫⎪⎝⎭，42,,233FH ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，·········11分设FH 与平面BEF 所成的角为θ，则,FH >214FH FH⋅==nn 7=， ∴FH 与平面BEF 所成角的正弦值为7．·········12分 20．已知椭圆C 1F ，2F ，B 为椭圆的上顶点，12BF F △为等边三角形，且其面积为，A 为椭圆的右顶点．（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l ：y kx m =+与椭圆C 相交于,M N 两点（M ，N 不是左、右顶点），且满足MA NA ⊥，试问：直线l 是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标，否则说明理由．【答案】(1)22143x y +=；（2）直线l 过定点，定点坐标为207⎛⎫ ⎪⎝⎭，．【解析】（1∴2224a b c =+=，∴椭圆的标准方程为22143x y +=．·········4分（2）设()11M x y ，，()22N x y ，，()()222348430k x mkx m +++-=，()()222264163430m k k m ∆=-+->，22340k m +->即，········6分又()()()()22221212121223434m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -=++=+++=+，因为椭圆的右顶点为()2,0A ， ∴1MA NA k k =-⋅，即1212·122y yx x =---，·········7分 ∴()121212240y y x x x x +-++=， ∴()()22222234431640343434m k mmkk k k --+++=+++，∴2271640m mk k ++=．·········10分解得：12m k =-，227km =-，且均满足22340k m +->，·········11分当12m k =-时，l 的方程为()2y k x =-，直线过定点()20，，与已知矛盾；当227k m =-时，l 的方程为27y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，直线过定点207⎛⎫⎪⎝⎭，．所以，直线l 过定点，定点坐标为207⎛⎫⎪⎝⎭，．·········12分 21．已知函数()22e 321x f x x x b =+-++，x ∈R 的图象在0x =处的切线方程为2y ax =+．（1）求函数()f x 的单调区间与极值；（2）若存在实数x ，使得()223220f x x x k =----≤成立，求整数k 的最小值．【答案】(1)函数()f x 的单调递减区间为(－∞，0)；单调递增区间为(0，＋∞),所以函数()f x 在0x =处取得极小值()02f =；(2)k 的最小值为0．【解析】（1）()2e 62x f x x ='＋－，因为()0f a '=，所以0a =，易得切点(0,2)，所以1b =－．易知函数()f x '在R 上单调递增，且()00f '=．则当0x <时，()0f x '＜；当0x ＞时，()0f x '＞．所以函数()f x 的单调递减区间为(),0∞－；单调递增区间为()0,+∞．所以函数()f x 在0x =处取得极小值()02f =．·········5分（2）2215()23220e 1022x f x x x k x x k ----⇔+---≤≤215e 122x x x ⇔+--，(*)令215()e 122x h x x x =+--，若存在实数，使得不等式(*)成立，则min ()k h x ≥，·········6分5()e 2x h x x '=+-，易知()h x '在R 上单调递增，又3(0)02h '=-<，3(1)e 02h '=->，121()e 202h '=-<，3334423777771()e 2.56 1.6204444444h '=->-=-=>-=>，（或由e 1xx +≥当0x =时取等号，得334473e e (1)044-=-+>）所以存在唯一的013,24x ∈⎛⎫⎪⎝⎭，使得()00h x '＝，·········8分且当0()x x ∈∞－，时，()0h x '<；当0(,+)x x ∈∞时，()0h x '＞．所以()h x 在()0,x -∞上单调递减，在0(,)x +∞上单调递增，2min 000015()()e 122h x h x x x x ==+--，·········9分又()00h x '=，即005e 02x x +-=，所以005e 2x x =-．·········10分所以()200005151222h x x x x =-+--()2001732x x =-+，因为0∈13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()0271,328h x ⎛--∈⎫⎪⎝⎭，则()0k h x ≥，又k ∈Z ．所以k 的最小值为0．·········12分（二）选考题（共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分）22．在直角坐标系xOy 中，曲线Cα为参数），以该直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极sin cos 0m θρθ-+=．（1）写出曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设点(),0P m ，直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且1PA PB =，求实数m 的值．【答案】（1）曲线C 的普通方程为()2212x y -+=，直线l的直角坐标方程为)y x m =-；（2）1m =0m =或2m =．【解析】（1故曲线C 的普通方程为()2212x y -+=．直线l)3x m y x m -+⇒=-．·········5分（2）直线lt 为参数）．设A ，B 两点对应的参数分别为1t ，2t ，将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程()2212x y -+=，可以得到2221122m t t ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭)()21120m t m -+--=，所以()212121PA PB t t m ==--=2211m m ⇒--=2220m m ⇒-==或220m m -=，解得1m =±0m =或2m =．·········10分 23．已知0a >，0b >，且222a b +=．（1）若2214211x x a b +≥---恒成立，求x 的取值范围；（2【答案】（1（2）见解析．【解析】（1）设,1121132, 1 21,2x x y x x x x x x ⎧⎪⎪⎪=---=-<⎨⎪⎪-<⎪⎩≥≤，由222a b +=，得()22112a b +=．·5分（2）()5511a b a b ⎛⎫++ ⎪⎝⎭5544b a a b a b =+++()55222222ba ab a b a b=+++-另解：由柯西不等式，可得·······10分。

普通高等学校2018年招生全国统一考试临考冲刺卷(一)理科数学含解析

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．i为虚数单位，则复数4i3i（）A．13i B．13i C．3i D．3i 【答案】A【解析】4i3i4i13i3i3i3i，故选A．2．已知集合|lg21A x x，集合2|230B x x x，则A B（）A．2,12B．1,3C．1,12D．2,3【答案】C【解析】|lg21A x x|02102,12x x，2|230B x x x1,3，所以A B1,12，选C．3．如图，四边形OABC是边长为2的正方形，曲线段DE所在的曲线方程为1xy，现向该正方形内抛掷1枚豆子，则该枚豆子落在阴影部分的概率为（）A．32ln24B．12ln24C．52ln24D．12ln24【答案】A【解析】根据条件可知，122E，，阴影部分的面积为22112211122ln |22ln 2ln32ln 222dx x x x，所以，豆子落在阴影部分的概率为32ln 24．故选A ．4．在ABC △中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ．若角A ，B ，C 依次成等差数列，且1a ，3b ．则ABCS △（）A ．2B ．3C ．32D ．2【答案】C【解析】∵A ，B ，C 依次成等差数列，∴60B，∴由余弦定理得：2222cos bacac B ，得：2c，∴由正弦定理得：13sin 22ABCS ac B△，故选C ．5．如图，网格纸上小正方形的边长均为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A ．7B ．6C ．5D ．4【答案】B【解析】几何体如图，则体积为332=64，选Ｂ．6．已知函数f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间,0上单调递增．若实数a满足2133a f f，则a 的最大值是（）A ．1B ．12C ．14D ．34【答案】D【解析】根据题意，函数f x 是定义在R 上的偶函数，则3f=3f ，又由f x 在区间,0上单调递增，则f x 在0,上递减，则2133a f f 2133a f f 2133a﹣≤121233a﹣，则有1212a ﹣，解可得34a ，即a 的最大值是34，故选D ．7．在平面直角坐标系中，若不等式组221210x yx axy （a 为常数）表示的区域面积等于1，则抛物线2y ax 的准线方程为（）A ．124yB ．124xC ．32xD ．32y【答案】D 【解析】由题意得111121122a a ，16a，26xy ，即准线方程为32y，选D ．8．在3nx x 的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为32，则2x 的系数为（）A ．50B ．70C ．90D ．120【答案】C【解析】在3nxx中，令1x 得134nn，即展开式中各项系数和为4n；又展开式中的二项式系数和为2n．由题意得42322n nn，解得5n．故二项式为53xx，其展开式的通项为355215533rr rr rr rT CxC xx，0,1,2,3,4,5r．令2r 得222235390T C xx ．所以2x 的系数为90．选C ．9．我国古代数学名著《九章算术》里有一道关于买田的问题：“今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百．今并买一顷，价钱一万．问善、恶田各几何？”其意思为：“今有好田1亩价值300钱；坏田7亩价值500钱．今合买好、坏田1顷，价值10000钱．问好、坏田各有多少亩？”已知1顷为100亩，现有下列四个程序框图，其中S 的单位为钱，则输出的x ，y 分别为此题中好、坏田的亩数的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】设好田为x ，坏田为y ，则100500300100007x y xy，12.587.5x y，A 中12.5x ；B 中正确；C 中87.5x，12.5y ；D 中12.5x ，所以选B ．10．已知函数sin 3cos 0f x xx，若集合0,π1xf x含有4个元素，则实数的取值范围是（）A ．35,22B ．35,22C ．725,26D ．725,26【答案】D【解析】由题得π2sin3f xx，π2sin 13x，π1sin 32x，解得：ππ2π36x k 或7π2π6k k Z ，所以π2π6k x 或3π2π2k xkZ ，设直线1y 与yf x 在0,上从左到右的第四个交点为A ，第五个交点为B ，则3π2π12Ax k此时，π4π26Bx k此时．由于方程1f x 在0,π上有且只有四个实数根，则<πB A x x ，即3π2ππ4ππ26，解得72526，故选D ．11．已知三棱锥P ABC 的四个顶点都在球O 的球面上，PA平面ABC ，ABC△是边长为2的等边三角形，若球O 的体积为82π3，则直线PC 与平面PAB 所成角的正切值为（）A ．31111B ．21111C ．31010D ．1010【答案】A 【解析】由球体积3482π33R知球半径为2R ，设ABC △的外心为M ，由正弦定理22πsin3AM 得233AM，由2222PA AM得263PA，设AB 的中点为N ，则CN 平面PAB ，连接PN ，则CPN 为直线与平面所成的角，2433193PN，3CN ，311tan 11CN CPNPN，故选A ．12．设P 为双曲线2222:1,0x y C a bab上一点，1F ，2F 分别为双曲线C 的左、右焦点，212PF F F ，若12PF F △的外接圆半径是其内切圆半径的176倍，则双曲线C 的离心率为（）A ．2B ．4C ．2或3D ．4或53【答案】D【解析】∵1F ，2F 分别为双曲线C 的左、右焦点，∴1,0F c ，2,0F c ，∵212PF F F ，∴点P 在双曲线的右支，12PF F △的内切圆半径为12212222F F PF PF c aca ．设1PF x ，则22PF x a ．∵2221212PF PF F F ，即22222x x ac ，∴22ac xa，即12PF F △的外接圆半径为222aca．∵12PF F △的外接圆半径是其内切圆半径的176倍，∴221726ac c a a，即22201730a ac c ．∴2317200ee ∴53e 或4，故选D ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知2,1a ，1,0b，1,2c，若a 与m b c 平行，则m __________．【答案】-3【解析】已知2,1a ，1,2m m b c ，若a 与m b c 平行则143mm，故答案为：-3．14．已知点2,0A，0,2B 若点M 是圆22220x yx y 上的动点，则ABM△面积的最小值为__________．【答案】2【解析】将圆22:220M x yx y 化简成标准方程22112x y ，圆心1,1，半径2r，因为2,0A ，0,2B ，所以22AB ，要求ABM △面积最小值，即要使圆上的动点M 到直线AB 的距离d 最小，而圆心1,1到直线AB 的距离为22，所以ABM S △的最小值为min11222222AB d ，故答案为2．15．cos85sin 25cos30cos 25_____________．【答案】12【解析】cos 6025sin 25cos30cos85sin 25cos30cos25cos25，133cos 25sin 25sin 251222cos252，故答案为12．16．记ave ,,a b c 表示实数a ，b ，c 的平均数，max ,,a b c 表示实数a ，b ，c 的最大值，设11ave2,,122A x x x ，11max2,,122Mx x x ，若31MA ，则x 的取值范围是__________．【答案】| 4 2x xx或．【解析】作出112122Mmaxx x x ，的图象如图所示由题意1113A，故031x x A xx x ，，，31M A ，当0x 时，122x x，得4x，当01x 时，122x x ，得43x ，舍去，当12x 时，112xx ，得2x ，舍去，当2x时，x x ，恒成立，综上所述，x 的取值范围是|42x xx或．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：60分，每个试题12分．17．已知数列n a 的前n 项和为n S ，且满足413n nS a ，*nN ．（1）求数列n a 的通项公式；（2）令2log nn b a ，记数列111n nb b 的前n 项和为n T ，证明：12nT ．【答案】（1）*4nna n N ；（2）见解析．【解析】（I ）当1n 时，有111413a S a ，解得14a ．……1分当n ≥2时，有11413nn S a ，则11441133nnnnna S S a a ，……3分整理得：14nn a a ，……4分数列n a 是以4q为公比，以14a 为首项的等比数列．……5分1*444n nna nN，即数列n a 的通项公式为：*4nn a n N．……6分（2）由（1）有22log log 42nn nb a n ，……7分则11111=11212122121n n b b n n n n ，……8分11111335572121n T n n 11111111121335572121n n ……10分11112212n ，故得证．……12分18．在贯彻中共中央国务院关于精准扶贫政策的过程中，某单位定点帮扶甲、乙两个村各50户贫困户．为了做到精准帮扶，工作组对这100户村民的年收入情况、劳动能力情况、子女受教育情况、危旧房情况、患病情况等进行调查，并把调查结果转化为各户的贫困指标x 和y ，制成下图，其中“*”表示甲村贫困户，“”表示乙村贫困户．若00.6x ，则认定该户为“绝对贫困户”，若0.60.8x ，则认定该户为“相对贫困户”，若0.81x ，则认定该户为“低收入户”；若100y ，则认定该户为“今年能脱贫户”，否则为“今年不能脱贫户”．（1）从甲村50户中随机选出一户，求该户为“今年不能脱贫的绝对贫困户”的概率；（2）若从所有“今年不能脱贫的非绝对贫困户”中选3户，用表示所选3户中乙村的户数，求的分布列和数学期望E ；（3）试比较这100户中，甲、乙两村指标y 的方差的大小（只需写出结论）．【答案】（1）0.1；（2）见解析；（3）见解析．【解析】（1）由图知，在甲村50户中，“今年不能脱贫的绝对贫困户”有5户，……1分所以从甲村50户中随机选出一户，该户为“今年不能脱贫的绝对贫困户”的概率为50.150P．……3分（2）由图知，“今年不能脱贫的非绝对贫困户”有10户，其中甲村6户，乙村4户，依题意，……4分的可能值为0，1，2，3．从而……5分3631020101206C PC，……6分124631060111202C C P C ，……7分2146310363212010C C P C ，……8分3431041312030C P C．……9分所以的分布列为：故的数学期望11311201231.262103010E．……10分（3）这100户中甲村指标y 的方差大于乙村指标y 的方差．……12分19．如图，在直三棱柱111ABC A B C 中，底面ABC △是边长为2的等边三角形，D为BC 的中点，侧棱13AA ，点E 在1BB 上，点F 在1CC 上，且1BE，2CF．（1）证明：平面CAE 平面ADF ；（2）求二面角FADE 的余弦值．【答案】（1）见解析；（2）1010．【解析】（1）∵ABC △是等边三角形，D 为BC 的中点，∴ADBC ，∴AD平面11BCC B ，得ADCE ．①……2分在侧面11BCC B 中，1tan 2CD CFDCF，1tan 2BE BCEBC，∴tan tan CFD BCE ，CFDBCE ，∴90BCEFDCCFDFDC，∴CEDF ．②……4分结合①②，又∵AD DFD ，∴CE 平面ADF ，……5分又∵CE平面CAE ，∴平面CAE平面ADF ，……6分（2）如图建立空间直角坐标系Dxyz ．则300A ，，，012F ，，，011E ，，．得300DA，，，012DF，，，011DE，，，……7分设平面ADF 的法向量x y z ，，m ，则00DA DFm m ，即3020x y z得02x yz取021，，m ．……9分同理可得，平面ADE 的法向量011，，n ，……10分∴2110cos 1052，m n m nm n，……11分则二面角F ADE 的余弦值为1010．……12分20．已知定点3,0A 、3,0B ，直线AM 、BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为19，记动点M 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）过点1,0T 的直线l 与曲线C 交于P 、Q 两点，是否存在定点,0S s ，使得直线SP 与SQ 斜率之积为定值，若存在求出S 坐标；若不存在请说明理由．【答案】（1）22139xyx ；（2）见解析．【解析】（1）设动点,M x y ，则3MAy k x ，3MBy k x3x ，19MA MBk k ，即1339y y x x．……3分化简得：2219xy ，……4分由已知3x，故曲线C 的方程为2219xy3x ．……5分（2）由已知直线l 过点1,0T ，设l 的方程为1x my ，则联立方程组22199x my xy，消去x 得229280m ymy ，设11,P x y ，22,Q x y ，则1221222989m y y m y y m，……7分直线SP 与SQ 斜率分别为11111SPy y k x smy s，22221SQy y k x smy s，121111SP SPy y k k my s my s1222121211y y m y y m sy y s2228991s ms．……10分当3s时，282991SP SPk k s；当3s 时，2811891SP SPk k s．所以存在定点3,0S ，使得直线SP 与SQ 斜率之积为定值．……12分21．设0a，已知函数ln f xx xa ，0x．（1）讨论函数f x 的单调性；（2）试判断函数f x 在0,上是否有两个零点，并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）函数f x 没有两个零点．【解析】（1）11'2f x x ax ，……1分22'02220f x x a xxa xa，22'0220f x xa xa ，设2222g xxa x a ，则161a ，①当1a 时，0，0g x ，即'0f x，∴f x 在0,上单调递增；……3分②当01a 时，0，由0g x得142412212a ax aa ，2221x a a ，可知120x x ，由g x 的图象得：f x 在0,221a a 和221,a a 上单调递增；f x 在(221,aa 221)aa 上单调递减．……5分（2）假设函数f x 有两个零点，由（1）知，01a ，因为0ln 0f a ，则20f x ，即22ln x x a ，由2'0f x 知222x ax ，所以22ln 2x x （），设2x t ，则ln 2tt （＊），……8分由22211,4x a a，得1,2t，设ln 2h tt t ，得1'10h tt，所以h t 在1,2递增，得11ln20h th ，即ln 2t t ，……11分这与（＊）式矛盾，所以上假设不成立，即函数f x 没有两个零点．…12分（二）选考题（共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分）22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 过点,1P a ，其参数方程为212x a t yt（t为参数，a R ），以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos4cos0．（1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）求已知曲线1C 和曲线2C 交于A ，B 两点，且2PA PB ，求实数a 的值．【答案】（1）10xya ，24y x ；（2）136a 或94．【解析】（1）1C 的参数方程212x a t yt，消参得普通方程为10x y a ，……2分2C 的极坐标方程为2cos4cos0两边同乘得222cos4cos0即24y x ；……5分（2）将曲线1C 的参数方程22212xa tyt（t 为参数，a R ）代入曲线224C yx ：，得2121402t t a，……6分由21241402a，得0a，……7分设A ，B 对应的参数为1t ，2t ，由题意得122t t 即122t t 或122t t ，…8分当122t t 时，121212222214t t t t t t a ，解得136a，……9分当122t t 时，121212222214t t t t t t a解得94a，综上：136a或94．……10分23．选修4-5：不等式选讲已知xR ，使不等式12x xt 成立．（1）求满足条件的实数t 的集合T ；（2）若1,1m n ，对t T ，不等式33log log m nt 恒成立，求22mn 的最小值．【答案】（1）{|1}tTt t；（2）18．【解析】（1）令1,11223,121,2x f xx x x xx，……2分则11f x，……4分由于xR 使不等式12x xt 成立，有{|1}tTt t．……5分（2）由（1）知，33log log 1m n ，根据基本不等式3333log log 2log log 2m nm n，从而23mn，当且仅当3mn时取等号，……7分再根据基本不等式26m n mn，当且仅当3mn 时取等号．所以m n 的最小值为6．……10分。

2018年招生全国统一考试数学理科临考冲刺卷(二)含解析

【答案】 3
15．已知 A ， B ， C ， D 四点在半径为
5 2 的球面上，且 AC BD 5 ， 2
AD BC 41 ， AB CD ，则三棱锥 D ABC 的体积是________．
【答案】20
16．已知双曲线 C :
x2 y 2 1b a 0 的右焦点为 F ， O 为坐标原点，若存在直线 l 过 a 2 b2
2018 年招生全国统一考试数学理科临考冲刺卷（二）含解析
高三理科数学（二）
注意事项： 1 ．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2 ．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标
号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3 ．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4 ．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
14 15
1 15
C．
2 9
D．
7 9
【答案】A
1 4．若 x e ,1， a ln x ， b 2
1
ln x
，c e
ln x
，则（
）
A． b c a 【答案】A
B． c b a
C． b a c
D． a b c
1 5．设 a sin xdx ，则 a x 的展开式中常数项是（ 0 x
D． 1, 2
2．下列命题中，正确的是（ A． x0 R ， sin x0 cos x0
）
3 2
2 2

2018年普通高等学校招生全国统一考试高考数学临考冲刺卷(六)理

普通高等学校2018年招生全国统一考试临考冲刺卷(六)理科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知()13i 2i z+=，则复数z 的共轭复数z 在复平面内所对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】由题，对应点为31,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，在第四象限，故选D ． 2．设α为锐角，()sin ,1α=a ，()1,2=b ，若a 与b 共线，则角α=（） A ．15° B ．30°C ．45°D ．60°【答案】B【解析】由题意2sin 1α=，1sin 2α=，又α为锐角，∴30α=︒．故选B ． 3．函数()f x 在()0,+∞单调递增，且()2f x +关于2x =-对称，若()21f -=，则()21f x -≤的x 的取值范围是（）A ．[]2,2-B ．(][),22,-∞-+∞C ．(][),04,-∞+∞D ．[]0,4【答案】D【解析】()2f x +函数图像是由()f x 图像向左平移2个单位后得到，故()f x 关于y 轴对称，且在(),0-∞上递减．故()21f x -≤等价于222x -≤-≤，解得04x ≤≤． 4．如图，执行所示的算法框图，则输出的S 值是（）A ．1-BCD ．4【答案】D【解析】按照图示得到循环一次如下：4S =，1i =；1S =-，2i =；23S =，3i =；4i =；4S =，5i =；1S =-，6i =；23S =，7i =；8i =；4S =，9i =．不满足条件，得到输出结果为：4．故答案为：D ．5，则图中m 的值为（）A ．1BC ．2D 2 【答案】B【解析】B ．6．李冶（1192-1279），真实栾城（今属河北石家庄市）人，金元时期的数学家、诗人，晚年在封龙山隐居讲学，数学著作多部，其中《益古演段》主要研究平面图形问题：求圆的直径、正方形的边长等．其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩，若方田的四边到水池的最近距离均为二十步，则圆池直径和方田的边长分别是（注：240平方步为1亩，圆周率按3近似计算）（） A ．10步，50步 B ．20步，60步C ．30步，70步D ．40步，80步【答案】B【解析】设圆池的半径为r 步，则方田的边长为()240r +步，由题意，得()22240313.75240r r =+-⨯，解得10r =或170r =-（舍），所以圆池的直径为20步，方田的边长为60步，故选B ．7．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的体积为（）A B ．83π C ．163π D 【答案】D【解析】几何体为如图，所以外接球的半径R满足)221R R=+，R∴=，体积为34327π=，选D．8．设点M是20260220xx yx y+≤-+≥++≥⎧⎪⎨⎪⎩表示的区域1Ω内任一点，点N是区域1Ω关于直线:l y x=的对称区域2Ω内的任一点，则MN的最大值为（）AB．C．D．【答案】D【解析】如图画出可行域，根据点的对称性可知，点A与点A关于直线y x=的对称点A'间的距离最大，最大距离就是点A到直线y x=距离的2倍，联立260220x yx y-+=++=⎧⎨⎩，解得：41xy=-=⎧⎨⎩，点()4,1A-到直线y x=的距离d=，那么maxMN AA'==，故选D．9．如图所示，为了测量A，B处岛屿的距离，小明在D处观测，A，B分别在D处的北偏西15︒、北偏东45︒方向，再往正东方向行驶40海里至C处，观测B在C处的正北方向，A 在C处的北偏西60︒方向，则A，B两处岛屿间的距离为（）A． B．海里C．(201+海里 D ．40海里【答案】A【解析】在ACD △中，1590105ADC ∠=+=︒︒︒，30ACD ∠=︒，所以45CAD ∠=︒，由正弦定理可得：sin sin CD ADCAD ACD=∠∠，解得140sin sin CD ACD AD CAD ⨯∠===∠ 在Rt DCB △中，45BDC ∠=︒，所以BD ==在ABD △中，由余弦定理可得：解得AB =． 10．若函数()y f x =图像上存在两个点A ，B关于原点对称，则对称点(),A B 为函数()y f x =的“孪生点对”，且点对(),A B 与(),B A 可看作同一个“孪生点对”．若函数()322,0 692,0x f x x x x a x <=-+-+-≥⎧⎨⎩恰好有两个“孪生点对”，则实数a 的值为（） A ．0 B ．2 C ．4 D ．6【答案】A【解析】当0x ≥时，()()()()223129343313f x x x x x x x =-+-=--+=---'，故函数在区间[)0,1，()3,+∞上递减，在()1,3上递增，故在1x =处取得极小值．根据孪生点对的性质可知，要恰好有两个孪生点对，则需当0x ≥时，函数图像与2y =-的图像有两个交点，即()122f a =--=-，0a =．11．已知1F ，2F 分别为双曲线C ：22221x y a b-=(0,0)a b >>的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线C 的左右两支分别交于A ，B 两点，若22::3:4:5AB BF AF =，则双曲线的离心率为（）A B C ．2 D 【答案】A【解析】∵22::3:4:5AB BF AF =，不妨令=3AB ，2=4BF ，2=5AF ， ∵22222+=AB BF AF ，∴290ABF ∠=︒，又由双曲线的定义得：122BF BF a -=，212AF AF a -=， ∴11345AF AF +-=-，∴13AF =．∴123342BF BF a -=+-=，∴1a =．在12Rt BF F △中，2222212126452F F BF BF =+=+=，又22124F F c =，∴2452c =A ．12()()3g x b f x =--，其中b ∈R ，若函数()()y f x g x =-恰有4个零点，则实数b 的取值范围是（）A ．11,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．113,4⎛⎫--⎪⎝⎭C ．11,4⎛⎫-∞-⎪⎝⎭D ．()3,0-【答案】B【解析】由题可知()()23,03,03 3,3x x f x x x x x ⎧--<⎪⎪=-≤≤⎨⎪-->⎪⎩，故()2,03,0 3 6,3x x f x x x x x ⎧-<⎪-=-≤≤⎨⎪->⎩，∵函数()()()()3y f x g x f x f x b =-=+--恰有4个零点， ∴方程()()30f x f x b +--=有4个不同的实数根，即函数y b =与函数()()3y f x f x =+-的图象恰有4个不同的交点．又()()223,033,03 715,3x x x y f x f x x x x x ⎧---<⎪=+-=-≤≤⎨⎪-+->⎩，在坐标系内画出函数函数()()3y f x f x =+-的图象，其中点A ，B 的坐标分别为711,24⎛⎫- ⎪⎝⎭．由图象可得，当1134b -<<-时，函数y b =与函数()()3y f x f x =+-的图象恰有4个不同的交点，故实数b 的取值范围是113,4⎛⎫--⎪⎝⎭．选B ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知集合{}20A x x x =-=，{}1,0B =-，则AB =________．【答案】{}1,0,1- 【解析】{}0,1A =，所以{}1,0,1AB =-．14．得到函数()y g x =的图像，若()g x 最小正周期为a ，则6a g ⎛⎫= ⎪⎝⎭__________．个单位后得到函数()2sin 2g x x =，函数的最小正周期是π，那么 15．已知圆22:42440C x y x y +---=，点P 的坐标为(),4t ，其中2t >，若过点P 有且只有一条直线l 被圆C 截得的弦长为l 的一般式方程是____________________．【答案】43360x y +-=【解析】整理可得圆()()222149C x y -+-=：C 到直线l 的即点C 到直线l 的距离恒为5，故这样的直线l 是圆D ：()()222125x y -+-=的切线，若点P 在圆D 外，这样的直线必有两条，由直线l 的唯一性知，点P 在圆D 上，于是()()2224125t -+-=，解之得6t =或2-，又2t >，故6t =，则P 点坐标为()6,4，于是直线PC l PC ⊥，故直线l 的方程为43360x y +-=．故答案为：43360x y +-=． 16．在四面体ABCD 中，AD ⊥底面ABC ，2BC =，E 为棱BC 的中点，点G 在AE 上且满足2AG GE =，若四面体ABCD tan AGD ∠=________．【答案】2【解析】2AG GE =，22233AG AE ∴===，设ABC △的外心为O ，则O 在AE 上，设OA r =，则222OE CE OC +=，即()22231r r -+=，解得53r =，∴四面体ABCD的外接球的半径R =4AD =，则tan 2AD AGD AG ∠==．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：60分，每个试题12分．17．已知数列{}n a 中，11a =，其前n 项和为n S ，满足21n n S a =-．（1）求{}n a 的通项公式；（2）记1nn n n a b S S +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ，并证明12n T <．【答案】（1）12n n a -=（2）1111221n +⎛⎫- ⎪-⎝⎭，见解析【解析】（1）解：由21n n S a =-，得1121n n S a ++=-，后式减去前式，得1122n n n a a a ++=-，得12n n a a +=．···········3分因为110a =≠，可得0n a ≠，所以12n na a +=，即数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，所以12n n a -=．·········6分（2）证明：因为()1122112nnn S ⨯-==--，···········7分所以()()11122121n n n n n n n a b S S -++===--111122121n n +⎛⎫- ⎪--⎝⎭，···········8分所以121n ⎛++ -⎝ ···········10分因为11021n +>-，所以12n T <．···········12分 18．交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为a 元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如表：某机构为了研究某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了80辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：以这80辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题：（1）按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》汽车交强险价格的规定，950a =．某同学家里有一辆该品牌车且车龄刚满三年，记X 为该品牌车在第四年续保时的费用，求X 的分布列与数学期望值；（数学期望值保留到个位数字）（2）某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车．假设购进一辆事故车亏损4000元，一辆非事故车盈利8000元： ①若该销售商购进三辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求这三辆车中至多有一辆事故车的概率；②若该销售商一次购进100辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求他获得利润的期望值．【答案】（1）见解析；（2）2732，50万元．【解析】（1）由题意可知X 的可能取值为0.9,0.8,0.7,,1.1,1.3a a a a a a ．······1分由统计数据可知：()()()()11110.9,0.8,0.7,4884P X a P X a P X a P X a ========， ()()311.1, 1.31616P X a P X a ====．···········4分所以X 的分布列为：∴1111310.90.80.7 1.1 1.390348841616EX a a a a a a =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯≈． (6)分（2）①由统计数据可知任意一辆该品牌车龄已满三年的二手车为事故车的概率为14，三辆车中至多有一辆事故车的概率为：···········9分 ②设Y 为该销售商购进并销售一辆二手车的利润，则Y 的可能取值为－4000，8000．所以Y 的分布列为：···········11分∴所以()1340008000500044E Y =-⨯+⨯=．所以该销售商一次购进100辆该品牌车龄已满三年的二手车获得利润的期望为()10050E Y =万元．···········12分19．已知三棱锥D ABC -中，BE 垂直平分AD ，垂足为E ，ABC △是面积为角形，60DAB ∠=︒，CD =，CF ⊥平面ABD ，垂足为F ，O 为线段AB 的中点．（1）证明：AB ⊥平面DOC ；（2）求CF 与平面BCD 所成的角的正弦值．【答案】（1）见解析（2【解析】（1）证明：∵BE 垂直平分AD ，垂足为E ，∴AB DB =． ∵60DAB ∠=︒，∴ABD △是等边三角形．又ABC △是等边三角形．∴O 是AB 中点，DO AB ⊥，CO AB ⊥．...........3分 ∵DO CO O =，DO ，CO ⊂平面DOC ，∴AB ⊥平面DOC ．.. (5)分（2）解：由（1）知OC OD =，平面DOC ⊥平面ABD ．因为平面DOC 与平面ABD 的交线为OD ． ∵CF ⊥平面ABD ．∴F CD ∈．又等边ABC △面积为OC =又CD =，∴F 是OD 中点．如图建立空间直角坐标系O xyz -，()100B ，，，()00C ，302D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，···········7分所以304CF ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，，，···········8分()10BC =-，312BD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，设平面BDC 的法向量为(,,)x y z =n ，则2BC x BD x ⋅=-+⋅=-+取y =则3x =，1z =．即平面BCD 的一个法向量为()31． (11)分所以CF与平面BCD所成角的正弦值为CF CF ⋅=⋅n n···········12分 20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的焦距为2，且过点1,2⎛ ⎝⎭．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点()2,0M 的直线交椭圆C于,A B 两点，P 为椭圆C 上一点，O 为坐标原点，且满足OA OB tOP +=，其中2t ⎫∈⎪⎪⎝⎭，求AB的取值范围．【答案】（1）2212x y +=；（2）⎛ ⎝⎭．【解析】（1···········3分 ∴椭圆方程2212x y +=．···········4分（2）由题意可知该直线存在斜率，设其方程为()2y k x =-，()2222128820k x k x k +-+-=，···········5分 ∴()28120k ∆=->，得212k <，···········6分设()11,A x y ，()22,B x y ，(),P x y由OA OB tOP +=···········7分代入椭圆方程得2221612k t k =+，···········8分2t <<得21142k <<，···········9分∴AB ==，···········10分令2112u k =+，则12,23u ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴AB ⎛= ⎝⎭．···········12分21 （1）当3a =时，求()f x 的极值；（2）当1a = 【答案】（1）当12x =，()f x 取得极小值113ln22f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；当1x =时，()f x 取得极大值()11f =-；（2）见解析．【解析】（1）当3a =时，()13ln 2f x x x x=+-， ()231'2f x x x =--=()()222211231(0)x x x x x x x ---+-=->， (1)分当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；···········2分当1,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增；···········3分当()1,x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 在()1,+∞上单调递减．·········4分所以，当12x =，()f x 取得极小值113ln22f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；当1x =时，()f x 取得极大值()11f =-．···········5分（2）证明：当1a =时，()()()11ln 121f x x x -=-+--，1x >，设()()()1ln 11g x x x =--+，则()()1ln 1g x x '=+-，令()0g x '=，得···········7分上，()0g x '<，()g x 是减函数；上，()0g x '>，()g x 是增函数．···········9分在()1,2上，()0h x '>，()h x 是增函数；在()2,+∞上，()0h x '<，()h x 是减函数，所以()()h x g x <···········12分（二）选考题（共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分）22．选修4-4：坐标系与参数方程已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是 26x ty t ==+⎧⎨⎩（t 是参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρθ=．（1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）设(),M x y 为曲线C 上任意一点，求x y +的取值范围．【答案】（1）260x y -+=，(222x y +=；（2）2⎡-⎣．【解析】（1）由 26x ty t ==+⎧⎨⎩，得26y x =+，故直线l 的普通方程为260x y -+=，···········2分由ρθ=，得2cos ρθ=，所以22x y +=，即(222x y +=，故曲线C 的普通方程为(222x y +=；···········5分（2）据题意设点)Mθθ，···········8分所以x y +的取值范围是2⎡-+⎣．···········10分23a ∈R ．（1）若()()111f f +->，求a 的取值范围；（2）若0a >，对(],,x y a ∀∈-∞，都有不等式()54f x y y a ≤++-恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭；（2）(]0,5．【解析】（1）()()11111f f a a +-=--+>，···········1分若1a ≤-，则111a a -++>，得21>，即1a ≤-时恒成立，···········2分若11a -<<，则()111a a --+>，得12a <-，即112a -<<-，···········3分若1a ≥，则()()111a a ---+>，得21->，即不等式无解，···········4分综上所述，a 的取值范围是1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭．···········5分（2当(],x a ∈-∞时，()2f x x ax =-+，()2max24a af x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，······7分因为5544y y a a ++-≥+，所以当5,4y a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦·····9分即2544a a ≤+，解得15a -≤≤，结合0a >，所以a 的取值范围是(]0,5．·····10分。

2018年(春)重庆市高三考前冲刺测试卷理科数学试题及答案精品

2018年（春）高三考前冲刺测试卷数学（理工农医类）一、选择题：本大题10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）已知集合{10}A x x =+<，{30}B x x =-<，则R AB =ð（）（A ）{}13x x << （B ）{}13x x -≤< （C ）{}1x x <- （D ）{}3x x >（2）已知纯虚数z 满足(2)42i z ai -=+，其中i 为虚数单位，则实数a 的值为（）（A ）4- （B ）2- （C ）2 （D ）4 （3）已知函数2log ,0()(1),0x x f x f x x >⎧=⎨+≤⎩，则(0)f f +=（）（A ）0 （B ）12（C ）1 （D ）32（4）已知命题p ：x R ∀∈，220x x a ++>；则“1a <”是“p 为假命题”的（）（A ）充分非必要条件（B ）必要非充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（5）以坐标原点O 为顶点，x 轴的正半轴为始边，角α，β，θ的终边分别为OA ，OB ，OC ，OC 为AOB ∠的角平分线，若1tan 3θ=，则tan()αβ+=（）（A ）14（B ）13 （C ）23（D ）34（6）某几何体的三视图如题（7）图所示，则该几何体的表面积为（）（A）8+（B）8+（C）12+（D）12+（7）已知函数321()2f x ax x =+的导函数为()f x '，且()f x 在1x =-处取得极大值，设1()()g x f x ='，执行如题（7）图的程序框图，若输出的结果大于20142015，则判断框内可填入的条件是（）（A ）2014n ≤ （B ）2015n ≤（C ）2014n > （D ）2015n > （8）直线l 过抛物线C ：24y x =的焦点，且与抛物线C 交于A 、B 两点，过点A 、B 分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P 、Q ，则四边形APQB 的面积的最小值为（）（A ）6 （B ）8 （C）（D）（9）有大小形状完全相同的4个红球，2个白球，放入题（7）图正视图题（6）图侧视图俯视图如题（9）图所示的九个格子中，每个格子至多放入1个小球，相邻格子（即有公共边的两个正方形）中放入的小球不同色，则不同的方法共有（）（A ）32种（B ）40种（C ）48种（D ）56种（10）设H 、P 是ABC ∆所在平面上异于A 、B 、C 的两点，用a ，b ，c，h分别表示向量PA,PB,PC,PH，已知+=+=+a b c h b c a h c a b h ，1AH =,2BH =3BC =，点O 是ABC∆外接圆的圆心，则AOB ∆，BOC ∆，AOC ∆的面积之比为（）（A）（B）（C）2（D）二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相对应位置上．（11）某人在5场投篮比赛中得分的茎叶图如题（11）如所示，若5场比赛的平均得分为11分，则则5场比赛得分的方差为．（12）设公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1S 、2a 、3S 成等比数列，则41a a = ．（13）已知二次函数2()()f x ax bx c b a =++>，若x R ∀∈，()0f x ≥恒成立，则a b cb a++-的最小值为．考生注意：（14）、（15）、（16）三题为选做题，请你从中人选两题作答，若三题全做，则按前两题给分．（14）如图（14）图，AB 为圆O 的直径，O为圆心，PB 与圆O 相切于点B ，PO 交圆O 于点D ，AD 的延长线交PB 于点C ，若2AB =，PB =BC = ．（15）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，直线l的参数方程为2x t ay =+⎧⎪⎨=-⎪⎩（t 为参数），则直线l 将曲线C 的周长分为1:5，则实数a = ．（16）若关于x 的不等式1x a x a -+-≥恒成立，则实数a 的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分13分）已知函数3()sin()cos()cos cos()22f x x x x x πππ=--+-．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）当3[,]44x ππ∈，求()f x 的值域．题（14）图APOCD（18）（本小题满分13分）某校推行选修数学校本课程，每位同学可以从甲、乙两个科目中人选一个．已知某班第一小组和第二小组个六位同学的选课情况如下表：现从第一小组、第二小组中各选2人进行课程交流．（Ⅰ）求选出的4人均选修科目乙的概率；（Ⅱ）选出的4人中选修科目甲的人数记为X，求随机变量X的分布列及数学期望．（19）（本小题满分13分）如题（19）图所示，四棱锥P ABCD-中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD 是边长为4的棱形，060∠=，ACABCP与BD交于点O，M、N分别是OC、N PD的中点，异面直线BD与AN所成A DO角的余弦值为5．（Ⅰ）求PA 的长；（Ⅱ）求二面角A PM D --的余弦值．（20）（本小题满分12分）已知函数()ln f x ax x =-，()2ax g x e x =+,其中a R ∈．（Ⅰ）当2a =时，求函数()f x 的极值；（Ⅱ）若存在区间(0,)D ⊆+∞，使得()f x 与()g x 在区间D 上具有相同的单调性，求a 的取值范围．（21）（本小题满分12分）如题（21）图，椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为2，1F 、2F 为其左、且122FF =，动直线l ：y kx m =+与椭圆C 有且仅有一个公共点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过1F 、2F 分别作直线l 的垂线，垂足分别为P 、Q ，求四边形12PF F Q 面积的最大值．题（21）图（22）（本小题满分12分）已知各项都是整数的数列{}n a 满足：11a =，211211n n n na a a a ++-=+．（Ⅰ）求2a ，3a ，4a 的值，并猜想数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，*21()n nb n N S =∈，若12n n A b b ++=++…2n b +，12cos cos n n B b b ++=…2cos n b，求证：A B<C2018年(春)高三考前冲刺测试卷数学（理工农医类）参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分． 1～5 BDBAD 6～10 DBBCC（10）提示：由题知⋅+⋅=⋅+⋅00)()(=⋅⇒=-⋅+-⋅⇒HB CA PA PC PH PC PA PB 同理可得0=⋅故H 是ABC ∆设θ=∠CAD ，则θθsin ,cos ==EH AE ，θθsin 2,cos 2==DH BD ，由θθθcos sin 21sin +⋅=⇒=CD AE AD HE CD3cos sin 2sin cos 22=++∴θθθθ即22)6cos(2sin cos 3=+⇒=-πθθθ 12πθ=∴ 125π=∴C又θsin 21+=AD ，θcos 2=BD ，则0)4sin(21=-+=-πθBD AD4π=∴B从而3π=A ，于是22,322,652πππ=∠=∠=∠=∠=∠=∠B AOC A BOC C AOB故2:3:11:23:212sin :32sin :6sin ::==5=∆∆∆πππAOC BOC AOB S S S ，选C ．二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分．（11）8 （12）7 （13）3 （14）2 （15）1-或5 （16）]21,(-∞三、解答题：本大题共6小题，共75分．（17）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）21)42sin(2222cos 12sin 21cos sin cos )(2--=+-=-=πx x x x x x x f所以函数)(x f 的最小正周期为π；……6分（Ⅱ）]1,22[)42sin(]45,4[42]43,4[-∈-⇒∈-⇒∈ππππππx x x ]212,1[)(--∈∴x f ．……13分（18）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）15426242625=⨯=C C C C P ； (6)分（Ⅱ）X可能的取值为0,1,2,3，225422664(0)15C C P X C C ===，2111252454226622(1)45C C C C C P X C C +===， 111225245222662(2)9C C C C C P X C C +===，1522661(3)45C P X C C === ∴X 的分布列为：∴42221()012311545945E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. ……13分（19）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）如图,以A 为原点,,AD AP 所在直线为,y z坐标系. 设,PA b =则(0,0,),(0,4,0),(0,2,),2,0)2b P b D N B -(23,6,0),(0,2,),2b BD AN =-=由35324448122=⇒=+⋅b b； ……6分（Ⅱ）由题意知(BD =-是平面OMP 的一个法向量，)0,23,233(M设平面PMD的法向量为(,,)n x y z =,由53(,3,4)30n PD n n PM ⎧⋅=⎪⇒=⎨⋅=⎪⎩ 设二面角A PM D--的大小为θ，则1cos .5||||BD n BD n θ⋅==⋅ ……13分（20）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）当2a =时，1()2f x x '=-，故当1(0,)2x ∈时，()f x 单调递减；当1(,)2x ∈+∞时，()f x 单调递增；所以，()f x 在12x =处取得极小值1()1ln 22f =+，无极大值；……5分（Ⅱ）1()f x a x'=-，()2ax g x ae '=+当0a >时，()0g x '>，即()g x 在R 上单调递增，而()f x 在1(,)a+∞上单调递增，故必存在(0,)D ⊆+∞，使得()f x 与()g x 在D 上单调递增；当0a =时，1()0f x x'=-<，故()f x 在(0,)+∞上单调递减，而()g x y在(0,)+∞上单调递增，故不存在满足条件的区间D ；当0a <时，1()0f x a x'=-<，即()f x 在(0,)+∞上单调递减，而()g x 在12(,ln())aa-∞-上单调递减，12(ln(),)a a-+∞上单调递增，若存在存在(0,)D ⊆+∞，使得()f x 与()g x 在D 上单调性相同，则有 12ln()0a a->，解得2a <-；综上，0a >或2a <-. ……12分（21）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题知1,2c e ==，故1a b ==，故椭圆C 的方程为2212xy +=；……4分（Ⅱ）当0k =时，122PF F Q S =四边形；当0k ≠时，令1122||,||PF d PF d ==，则12||,||d d ==，12||||d d PQ k-=.由2212y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得 222(12)4220k x kmx m +++-= 由题知2222164(12)(22)0k m k m ∆=-+-=即2212m k =+ 所以12221212212()||||||221PF F Qd d m Sd d PQ k k-=+⋅==+四边形，又2212m k =+，故||1m >所以12224||=211||||PF F Qm Sk m m =<++四边形；综上，当0k =时，12PF F Q S 四边形取得最大值2. ……12分（22）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由21101001,n n n a a a ++>⇒->⇒<< 11=∴a ，当n ≥2时，10<<n a由题知221122111111()()4n n n n n n n na a a a a a a a ++++-=+⇒+-+=，而212112,a a +=即数列221n n a a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以2为首项、4为公差的等差数列，24122-=+∴n a a n n即1--=n n a n ；（也可先猜出通项，再用数学归纳法证明！）……5分（Ⅱ）12(10)(21)(1)n n S a a a n n n =+++=-+-++--=n b n 1=∴，nn n A 212111+++++= ，nn n B 21cos 21cos 11cos++= 先证)1ln(+x ≤x ：令x x x f -+=)1ln()(，则1111)(+-=-+='x x x x f ，)(x f ∴在)0,1(-上单增，在),0(+∞上单减，故)(x f ≤0)0(=f ，即当0≠x 时，x x <+)1ln(；令n x 1-=)1(>n ，则有n n 1)11ln(-<-即1ln 1-<n nn 故有2ln 122ln 12ln 1ln 212111=-++++++<+++++=n nn n n n n n n A ；先证当(0,)2x π∈时，xx <sin ：令()sin (0)'()cos 102g x x x x g x x π=-<<⇒=-<∴()g x 在(0,)2π上单减，故()(0)0g x g <=，即x x <sin 在)2,0(π上成立；令nx 1=)(*N n ∈，则22222)1)(1(111cos 11sin n n n n n n n +-=->⇒<故2212)2()12)(12()2()3)(1()1()2(2222++=+-⋅⋅+++⋅++>n n n n n n n n n n n B ≥43，23>∴B ；综上，34ln 232ln =<BA ． ……12分。

普通高等学校2018年招生全国统一考试临考冲刺卷(九)理科数学含解析

普通高等学校2018年招生全国统一考试临考冲刺卷(九)理科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知a ，b 都是实数，那么“22a b >”是“22a b >”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】p ：22a b a b >⇔>，q a b >与a b >没有包含关系，故为“既不充分也不必要条件”．故选D ． 2．抛物线22(0)x py p =>的焦点坐标为（）A ．,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,08p ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,8p ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】1,08p ⎛⎫ ⎪⎝⎭．故选B ． 3．十字路口往的车辆，如果不允许掉头，则行车路线共有（）A ．24种B ．16种C ．12种D ．10种【答案】C【解析】根据题意，车的行驶路线起点有4种，行驶方向有3种，所以行车路线共有43=12⨯种，故选C ．4．设x ，y 满足约束条件36020 0,0x y x y x y ⎧⎪⎨⎪+⎩---≤≥≥≥，则目标函数2z x y =-+的最小值为（）A ．4-B ．2-C ．0D ．2【答案】A 【解析】如图，过()2,0时，2z x y =-+取最小值，为4-．故选A ．5．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就．书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”，若某“阳马”的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为1），则该“阳马”最长的棱长为（）A ．5 BCD．【答案】D【解析】由三视图知：几何体是四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，如图：其中PA ⊥平面ABCD ，∴3PA =，4AB CD ==，5AD BC ==，该几何体最长棱的棱长为选D ． 6． )())0,π大致的图象是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】)())0,π是偶函数，故它的图象关于y 轴对称，再由当x 趋于π时，函数值趋于零，故答案为：D ．7．函数()sin cos (0)f x x x ωωω=->ω的取值不可能为（） A ．14B ．15C ．12D ．34【答案】D【解析】k ∈Z k ∈Z ，∵()sin cos (0)f x x x ωωω=->在D ．8．运行如图所示的程序框图，设输出数据构成的集合为A ，从集合A 中任取一个元素a ，则函数a y x =，()0,x ∈+∞是增函数的概率为（）A ．35B ．45C ．34D ．37【答案】A【解析】由框图可知{}3,0,1,8,15A =-，其中基本事件的总数为5，设集合中满足“函数a y x =，[)0,x ∈+∞是增函数”为事件E ，当函数a y x =，[)0,x ∈+∞是增函数时，0a ＞，事件E 包含基本事件的个数为3A ．开始输出y结束是否3x =-3x ≤22y x x=+1x x =+9．已知A ，B 是函数2x y =的图象上的相异两点，若点A ，B 到直线12y =的距离相等，则点A ，B 的横坐标之和的取值范围是（） A ．(),1-∞- B ．(),2-∞-C ．(),3-∞-D ．(),4-∞-【答案】B【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ，不妨设12x x <，函数2x y =为单调增函数，若点A ，B 到直线12y =的距离相等，则12112y y -=-，即121y y +=．有12221x x +=．由122x x +<-．（因为12x x ≠，等号取不到）．故选B ．10．在四面体ABCD 中，若AB CD ==2AC BD ==，AD BC ==，则四面体ABCD 的外接球的表面积为（） A ．2π B ．4πC ．6πD ．8π【答案】C【解析】如图所示，该四面体的四个顶点为长方体的四个顶点，设长、宽、高分别为a ，b ，c ，则22222254 3a b a c b c +=+=+=⎧⎪⎨⎪⎩，三式相加得：2226a b c ++=，所以该四面体的外接球直径为长方体的体对角线长，故外接球体积为：246R π=π．11．设1x =是函数()()32121n n n f x a x a x a x n +++=--+∈N 的极值点，数列{}n a 满足11a =，22a =，21log n n b a +=，若[]x 表示不超过x 的最大整数，则122320182019201820182018b b b b b b ⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦=（）A ．2017B ．2018C ．2019D ．2020【答案】A【解析】由题意可得()21232n n n f x a x a x a ++=--'，∵1x =是函数()f x 的极值点， ∴()121320n n n f a a a ++=-'-=，即21320n n n a a a ++-+=．∴()2112n n n n a a a a +++-=-， ∴211a a -=，32212a a -=⨯=，243222a a -=⨯=，，212n n n a a ---=，以上各式累加可得12n n a -=．∴212log log 2n n n b a n +===． ∴122320182018b b b b b b +++12018++⨯∴1223201820192018201820182017b b b b b b ⎡⎤+++=⎢⎥⎣⎦．选A ．12[]0,1上单调递增，则实数a 的取值范围（） A ．()1,1- B ．()1,-+∞ C ．[]1,1- D ．(]0,+∞【答案】C【解析】当0a >在区间[]0,1上单调递增，在区间[]0,1上单调递增，则，解得](0,1a ∈，当0a =在区间[]0,1上单调递增，满足条件．当0a <在R 上单调递增，令，解得1a -≥，综上所述，实数a 的取值范围[]1,1-，故选C ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．已知i 为虚数单位，则．14．已知等比数列{}n a 中，21a =，58a =-，则{}n a 的前6项和为__________．【答案】212【解析】3528a q a ==-，2q =-，则2112a a q ==-，()()()661611212121122a q S q⎡⎤----⎣⎦===---．15．在矩形ABCD 中，2AB =，1BC =，E 为BC 的中点，若F 为该矩形内（含边界）任意一点，则AE AF ⋅的最大值为__________．【答案】92【解析】如图所示：设AE 与AF 的夹角为θ，则221||||cos 2||cos AE AF AE AF AF θθ⎛⎫⋅==+ ⎪，由投影的定义知，只有点F 取点C 时，c o s AF θ取得最大1=2AE AF ⎛∴⋅ ，故填92．16．设F为双曲线C ：22221x y a b -=(0a ＞，0b ＞)的右焦点，过F 线l 与双曲线C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，2AF BF =，则双曲线C 的离心率为_____．【答案】2或3【解析】若2AF BF =-，则由图1可知，渐近线OB 的斜率为ba-，l OB ⊥，在Rt OBA △中，由角平分线定理可得2OA FA OBFB==，所以60AOB ∠=︒，30xOA ∠=︒，所以b a =c e a ===．若2AF BF =，则由图2可知，渐近线OB为AOF △边AF 的垂直平分线，故AOF △为等腰三角形，故可以求出OA c =，根据l 的方程：()0a y x c b -=-和准线方程：b y x a =，可以求出点22222,a c abc A a b a b ⎛⎫ ⎪--⎝⎭，根据OA c =，求出b a =2c e a ===，即该双曲线的离心率为2或3． yxOF AB图1lyxOFA B 图2l三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：60分，每个试题12分．17（1）求()f x 的最大值、最小值；（2）CD 为ABC △的内角平分线，已知()max AC f x=，()min BC f x =，CD 求C ∠．【答案】（1）()max 6f x =，()min 3f x =；（2【解析】（1······3分∵()f x↑↓，∴()max 6f x =，()min 3f x =·······6分（2）ADC △中，，BDC △中， ∵sin sin ADC BDC ∠=∠，6AC =，3BC =， ∵2AD BD =·······9分BCD △中，ACD △中，2446822CAD =-=-，∴cos22C =······12分 18．随着科学技术的飞速发展，手机的功能逐渐强大，很大程度上代替了电脑、电视．为了了解某高校学生平均每天使用手机的时间是否与性别有关，某调查小组随机抽取了30名男生、20名女生进行为期一周的跟踪调查，调查结果如表所示：（1）能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学生使用手机的时间长短与性别有关？（2）在这20名女生中，调查小组发现共有15人使用国产手机，在这15人中，平均每天使用手机不超过3小时的共有9人．从平均每天使用手机超过3小时的女生中任意选取3人，求这3人中使用非国产手机的人数X 的分布列和数学期望．参考公式：()()()()()22n ad bc K a c b d a b c d -=++++()n a b c d =+++【答案】（1）能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学生使用手机的时间长短与性别有关；（2）见解析．【解析】（1）()2502511598104663530201634K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯．．．·······3分所以能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学生使用手机的时间长短与性别有关．·······4分（2）X 可取0，1，2，3．·······6分3639(502)1C P X C ===，·······7分 12363915)128(C C P X C ===，·······8分 2136393()214C C P X C ===，·······9分 3339(138)4C P X C ===，·······10分所以X 的分布列为()0123121281484E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．·······12分 19．如图，已知四棱锥P ABCD -，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 中，BC AD ∥，AB AD ⊥，且22PA AD AB BC ====，M 为AD 的中点．（1）求证：平面PCM ⊥平面PAD ；（2）问在棱PD 上是否存在点Q ，使PD ⊥平面CMQ ，若存在，请求出二面角P CM Q --的余弦值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）存在Q ．【解析】∴以A 为原点，射线AB ，AD ，AP 分别为x ，y ，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系如图所示：22PA AD AB BC ====，()0,0,0A ，()200B ,,，()2,1,0C ，()020D ,,，()002P ,,， ()020AD =,,，()002AP =,,，M 为AD 的中点，∴()0,1,0M ，()200MC =,,．·······2分（1）0MC AD ⋅=，0MC AP ⋅=，∴CM PA ⊥，CM AD ⊥．·······4分PA ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，且PAAD A =，∴CM ⊥平面PAD ．·······5分CM ⊂平面PCM ，∴平面PCM ⊥平面PAD ．·······6分（2）存在点Q 使PD ⊥平面CMQ ，在PAD △内，过M 做MQ PD ⊥垂足为Q ，由（1）CM ⊥平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，CM PD ∴⊥， MQ CM M =，PD ∴⊥平面CMQ ，·······8分设平面PCM 的一个法向量为()x y z =,,n ，则200MC x x ⋅==⇒=n ，()()012202PM x y z y z y z ⋅=⋅-=-=⇒=,,,,n ，取()02,1=,n ．·······10分PD ⊥平面CMQ ，()022PD =-,,是平面CMQ 的一个法向量．·······11分由图形知二面角P CM Q --的平面角θ是锐角， 25PD PD⋅=所以二面角余弦值为·······12分 20．已知定点()3,0A -、()3,0B ，直线AM 、BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为19-，记动点M 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）过点()1,0T 的直线l 与曲线C 交于P 、Q 两点，是否存在定点(),0S s ，使得直线SP 与SQ 斜率之积为定值，若存在求出S 坐标；若不存在请说明理由．【答案】（1）曲线C 的方程为2219x y +=()3x ≠±；（2）见解析．【解析】（1）设动点(),M x y 3MB yk x =-()3x ≠±，MA MB k k ⋅·······2分即1339y x x ⋅=-+-．化简得：2219x y +=，由已知3x ≠±，故曲线C 的方程为2219x y +=()3x ≠±．·······4分（2）由已知直线l 过点()1,0T ，设l 的方程为1x my =+，则联立方程组22199x my x y =++=⎧⎨⎩，消去x 得()229280m y my ++-=,设()11,P x y ，()22,Q x y ·······6分直线SP 与SQ 斜率分别为11111SP y y k x s my s ==-+-，22221SQ y y k x s my s==-+-，·······8分()()121111SP SP y y k k my s my s =+-+-()()()1222121211y y m y y m s y y s =+-++-()()2228991sm s -=-+-．·······10分当3s =3s =- 所以存在定点()3,0S ±，使得直线SP 与SQ 斜率之积为定值．·······12分 21．已知函数()22ln f x x x a x =--，()g x ax =．（1）求函数()()()F x f x g x =+的极值；（2对0x ≥恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）a 的取值范围为1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．【解析】（1）()22ln F x x x a x ax =--+，()()21x a x x+-，·······1分∵()F x 的定义域为()0,+∞．即0a ≥时，()F x 在()0,1上递减，()F x 在()1,+∞上递增，()1F x a =-极小，()F x 无极大值．·······2分 ②012a <-<即20a -<<时，()F x 在0,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭和()1,+∞上递增，在,12a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上递减，()2a F x F ⎛⎫=- ⎪⎝⎭极大2ln 42a a a a ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，()()11F x F a ==-极小．·······3分③12a-=即2a =-时，()F x 在()0,+∞上递增，()F x 没有极值．·······4分 ④12a ->即2a <-时，()F x 在()0,1和,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上递增，()F x 在1,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上递减，∴()()11F x F a ==-极大，()2a F x F ⎛⎫=- ⎪⎝⎭极小·······5分综上可知：0a ≥时，()1F x a =-极小，()F x 无极大值；20a -<<时，()2a F x F ⎛⎫=- ⎪⎝⎭极大2ln 42a a a a ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，()()11F x F a ==-极小；2a =-时，()F x 没有极值；2a <-时，()()11F x F a ==-极大，()2a F x F ⎛⎫=- ⎪⎝⎭极小2ln 42a a a a ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭．··6分（2设cos t x =，则[]1,1t ∈-，()()2122tt t ϕ+=+∴()t ϕ在[]1,1-上递增，∴()t ϕ的值域为11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，·······8分时，()0h x '≥，()h x 为[]0,+∞上的增函数，∴()()00h x h =≥，适合条件．·······9分②当0a ≤时，∵·······10分③当103a <<)sin 3xx ax <-，令()sin 3x T x ax =-()00,x x ∈时，()0T x '<，∴()T x 在()00,x 上单调递减，∴()()000T x T <=，即在()00,x x ∈时，()0h x <，∴不适合条件．综上，a 的取值范围为1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．·······12分（二）选考题（共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分）22．选修4-4：极坐标系与参数方程(10分)在直角坐标系xOy 中,曲线1Cα为参数),将曲线1C 上各点的横坐标都缩短为原的12倍,倍,得到曲线2C ,在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位,且以原点O 为极点,以x 轴非负半轴为极轴)中,直线l（1）求直线l 和曲线2C 的直角坐标方程；（2）设点Q 是曲线2C 上的一个动点,求它到直线l 的距离的最大值．【答案】（1）40x y -+=，221x y +=（2）1【解析】（1）因为直线l所以有cos sin 40ρθρθ-+=，即直线l 的直角坐标方程为：40x y -+=·······2分因为曲线1Cα为参数),经过变换后为cos sin x y αα==⎧⎨⎩(α为参数)所以化为直角坐标方程为：221x y +=·······5分（2）因为点Q 在曲线2C 上,故可设点Q 的坐标为()cos ,sin αα，从而点Q 到直线l······8分由此得,,d 取得最大值,且最大值为1·······10分23．选修4-5：不等式选讲设函数()12f x x x =++-，()254g x x x =-+-．（1）求不等式()5f x ≤的解集M ；（2）设不等式()0g x ≥的解集为N ，当x M N ∈时，证明：()()3f x g x +≤．【答案】（1）{|23}M x x =-≤≤（2）见解析【解析】（1则有1240x x -+⎧⎨⎩≤≥①或12 20x -<<-⎧⎨⎩≤②或2260x x -⎧⎨⎩≥≤③·······3分解①得21x --≤≤，解②得12x -<<，解③得23x ≤≤，则不等式的解集为{|23}M x x =-≤≤．·······5分（2）()20540g x x x ⇔-+≥≤，解得14x ≤≤，则{|14}N x x =≤≤，所以{|13}MN x x =≤≤．当12x ≤≤时，()3f x =，()()225935424f x g x x x x ⎛⎫--=-+=-- ⎪⎝⎭，，则()()3f x g x +≤成立．当23x <≤时，()26f x x =-，，则()()3f x g x <+．综上，()()3f x g x +≤成立．·······10分。

普通高等学校2018年招生全国统一考试临考冲刺卷(八)理科数学含解析

普通高等学校2018年招生全国统一考试临考冲刺卷(八)理科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数z 满足ii z z+=，则z =（） A ．11i 22+B ．11i 22-C ．11i 22-+D ．11i 22--【答案】A【解析】设()i ,z a b a b =+∈R ，则由已知有i i z z +=，()1i i a b b a ++=-+，所以1a b b a =-+=⎧⎨⎩，解得1212a b ⎧⎪⎪⎨==-⎪⎪⎩，所以11i 22z =-，故11i 22z =+，选A ． 2．已知集合{|U x y ==，9{|log }A x y x ==，{|2}x B y y ==-，则()=UA B ð（） A ．∅ B ．RC ．{}|0x x >D ．{}0【答案】C【解析】由题意得U =R ，{}|0A x x =>，因为20x y =-<，所以{|0}B y y =<，所以{|0}U B x x =≥ð，故(){}|0UAB x x =>ð，故选C ．3．设随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，若(4)(0)P X P X >=<，则μ=（） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】因为(4)(0)P X P X >=<，所以2μ=．故选：B ．4．当点()3,2P 到直线120mx y m -+-=的距离最大时，m 的值为（）A B ．0C ．1-D ．1【答案】C【解析】直线120mx y m -+-=过定点1(2)Q ，，所以点()3,2P 到直线120mx y m -+-=的距离最大时，PQ 垂直直线，1m ∴=-，选C ． 5．函数()()1cos sin f x x x =+在[]π,π-上的图象的大致形状是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】()()()1cos sin f x x x f x -=-+=-，所以()f x 是奇函数，故C 错误；故D 错误；()222sin cos cos 2cos cos 1f x x x x x x '=-++=+-，可以取到极值，所以A 正确．故选A ．6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的长度为（）正（主）视图左视图俯视图AB．C ．3D．【答案】C【解析】在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M 为AD 的中点，该几何体的直观图如图中三棱锥11D MB C ，故通过计算可得1111D C D B B C ===，1D M MC ==13MB =，故最长棱的长度为3，故选C ．ABC DA 1B 1C 1D 1M7．公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在阿基里斯前面1000米处开始，和阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍．当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟仍然前于他10米．当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟仍然前于他1米……，所以，阿基里斯永远追不上乌龟．根据这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为210-米时，乌龟爬行的总距离为（）A ．410190-B ．5101900-C ．510990-D ．4109900-【答案】B【解析】根据条件，乌龟每次爬行的距离构成等比数列，公比为110，当阿基里斯和乌龟的距离恰好为210-米时，乌龟爬行的总距离为552110011********* (101900110)-⎛⎫- ⎪-⎝⎭+++==-，故选B ． 8．设0ω>则ω的最小值是（） A ．23B ．43C ．3D ．32【答案】D【解析】k ∈Zk ∈Z ，∵0ω>，∴ω的最小值是31322⨯=，故选D ．9．执行如图所示的程序框图，若输入1m =，3n =，输出的 1.75x =，则空白判断框内应填的条件为（）A ．1m n -<B ．0.5m n -<C ．0.2m n -<D ．0.1m n -<【答案】B【解析】由程序框图，得程序运行过程为：1m =，3n =，2x =，2230->，1m =，2n =，1m n -=；1m =，2n =， 1.5x =，21.530-<， 1.5m =，2n =，0.5m n -=；1.5m =，2n =， 1.75x =，21.7530->， 1.5m =， 1.75n =，0.25m n -=；因为输出的结果为 1.75x =，所以判断框内应填“0.5m n -<”．故选B ．10．（e 为自然对数的底数），若()0f x >在()0,+∞上恒成立，则实数m 的取值范围是（） A ．(),2-∞ B ．(),e -∞CD【答案】C【解析】()0,+∞()0,+∞上恒成立，0x >，当02x <<时，()0g x '<，()g x 单调递减；当2x >时，()0g x '>，()g x 单调递增．故当2x =时，()g x 取得m C ．11．设函数()f x 是定义在()0,+∞上的单调函数，且对于任意正数x ，y 有()()()f xy f x f y =+，已知112f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若一个各项均为正数的数列{}n a 满足()()()()*11n n n f S f a f a n =++-∈N ，其中n S 是数列{}n a 的前n 项和，则数列{}n a 中第18项18a =（） A ．136B ．9C ．18D ．36【答案】C【解析】()f x 是定义域在()0+∞，上的单调函数，数列{}n a 各项为正数，①当1n =时，可得11a =；当2n ≥∴()()1110n n n n a a a a --+--=，∵0n a >，∴110n n a a ---=，即11n n a a --=，∴数列{}n a 为等差数列，11a =，1d =；∴()111n a n n =+-⨯=，即n a n =，所以1818a =，故选C ．12．双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，焦距2c ，以右顶点A 为圆心的圆与直线:0l x c +=相切于点N ，设l 与C 交点为P ，Q ，若点N 恰为线段PQ 的中点，则双曲线C 的离心率为（）A B C ．2 D ．【答案】C【解析】由直线方程可得直线:0l x c +=过双曲线的左焦点，倾斜角为30︒，直线与圆相切，则：AN l ⊥，即1ANF △是直角三角形，结合1AF a c =+，可得：)N y a c =+，联立直线:0l x c -+=与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的方程可得：()2222222230bay cy b c b a --+-=，则：122N y y y +==，)a c +=，结合222b c a =-，整理可得：323340c ac a -+=，据此可得关于离心率的方程：32340e e -+=，即()()2120e e +-=，∵双曲线中1e >，2e ∴=．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知平面向量a ，b ，1=b ．【答案】2填2．14．已知实数x ，y 满足条件1,4,20,x y x y x y --+-⎧⎪⎨⎪⎩≥≤≤若存在实数a 使得函数(0)z ax y a =+<取到最大值()z a 的解有无数个，则a =_________．【答案】1-【解析】由约束条件画出可行域如下图，()1.5,2.5A ，84,33B ⎛⎫⎪⎝⎭，()2,1C --，目标函数可化为y ax z =-+，0k a =->1AC k =，取最大值即截距最大，且有无数个解，所以目标函数与边界重合，当12k a =-=，截距为最小值，不符，当1k a =-=时，符合．1a =-，max 1z =，填1-．15．在直三棱柱111ABC A B C -中，底面为等腰直角三角形，2AB BC ==，11AA =，若E 、F 、D 分别是棱AB 、CB 、11A C 的中点，则下列四个命题： ①1B E FD ⊥；②三棱锥1A BCC -的外接球的表面积为9π；③三棱锥1B DEF -的体积为13；④直线1C E 与平面ABC其中正确的命题有__________．（把所有正确命题的序号填在答题卡上）【答案】①②③【解析】根据题意画出如图所示的直三棱柱111ABC A B C -：其中，底面为等腰直角三角形，2AB BC ==，11AA =，E 、F 、D 分别是棱AB 、CB 、11A C 的中点．对于①，取11A B 中点G ，连接EG ，BG 交1B E 于点O ，连接DG ． ∵E 为AB 中点，2AB =，11AA =，∴四边形1BEGB 为正方形，则1BG B E ⊥，在111A B C △中，D ，G 分别为11A B ，11A C 的中点，则DG ∥11B C ，且1112DG B C =．∵F 为BC 的中点，且BC ∥11B C ，∴BF ∥DG 且BF DG =，∴四边形DFBG 为平行四边形，∴DF ∥BG ，∴1B E FD ⊥，故正确；对于②，易得1BC =，则221459AB BC +=+=．∵22211819AC AC CC =+=+=，∴22211AB BC AC += ∴三棱锥1A BCC -的外接球的球心在线段1AC 的中点处，则外接球的半径为32，∴三棱锥1A BCC -对于③，易得1B D =EF =．在Rt DGE △中，11112DG B C ==，11EG AA ==，DE ==DF =1B DEF -为正四面体，其体积为111323V =⨯=，故正确；对于④，直线1C E 在平面ABC 上的投影为直线CE ，则1CEC ∠为直线1C E 与平面ABC 所成的角，在1Rt C CE △中，11tan CC CEC CE∠===≠不正确．故答案为①②③．16()()3F x f x =-的所有零点依次记为123123,,,,...n n x x x x x x x x <<<<，则1231222n n x x x x x -+++++=__________．【答案】445πk ∈Zk ∈Z1n -项构成以首项π为公差的等差数列，第1n -项所以，解得31n =，三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：60分，每个试题12分．17．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足sin sin sin sin sin C B a A b B c C =+-．（1）求角C 的大小；（2）若()cos cos 22a B b k A π⎛⎫-=π+ ⎪⎝⎭（k ∈Z ）且2a =，求ABC △的面积．【答案】（1）6C π=；（2）ABC S =△．【解析】（1）由sin sin sin sin sin C B a A b B c C =+-得：222sin C a b c =+-，2222a b c C ab +-=cos C C =，∴tan C =，∴6C π=．·······6分（2）由()cos cos 22a B b k A π⎛⎫-=π+ ⎪⎝⎭（k ∈Z ），得sin cos a B b A =，由正弦定理得sin cos A A =，∴4A π=．根据正弦定理可得2sin sin 46c =ππ，解得c =∴()11sin 22246ABC S ac B A C ππ⎛⎫==⨯π--=+=⎪⎝⎭△····12分 18． 2017年某市政府为了有效改善市区道路交通拥堵状况出台了一系列的改善措施，其中市区公交站点重新布局和建设作为重点项目．市政府相关部门根据交通拥堵情况制订了“市区公交站点重新布局方案”，现准备对该“方案”进行调查，并根据调查结果决定是否启用该“方案”．调查人员分别在市区的各公交站点随机抽取若干市民对该“方案”进行评分，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图．相关规则为：①调查对象为本市市民，被调查者各自独立评分；②采用百分制评分，[60，80）内认定为满意，不低于80分认定为非常满意；③市民对公交站点布局的满意率不低于75％即可启用该“方案”；④用样本的频率代替概率．（1）从该市800万人的市民中随机抽取5人，求恰有2人非常满意该“方案”的概率；并根据所学统计学知识判断该市是否启用该“方案”，说明理由．（2）已知在评分低于60分的被调查者中，老年人占13，现从评分低于60分的被调查者中按年龄分层抽取9人以便了解不满意的原因，并从中抽取3人担任群众督查员，记ξ为群众督查员中的老人的人数，求随机变量ξ的分布列及其数学期望Eξ．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）根据频率分布直方图，被调查者非常满意的频率是()10.0160.004105+⨯=，用样本的频率代替概率，从该市的全体市民中随机抽取1人，该人非常满意该项目的概率为15，·······2分现从中抽取5人恰有2·4分根据题意：60分或以上被认定为满意或非常满意，在频率分布直方图中，评分在[]60,100的频率为：()0.0280.0300.0160.00410+++⨯0.780.75=>，根据相关规则该市应启用该“方案”．·····6分（2）因为评分低于60分的被调查者中，老年人占13，又从被调查者中按年龄分层抽取9人，所以这9人中，老年人有3人，非老年人6人，随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，3·······7分()033639C C 50C 21P ξ⋅===，()123639C C 151C 28P ξ⋅===， ()213639C C 32C 14P ξ⋅===，()303639C C 13C 84P ξ⋅===．·······11分 ξ的分布列为：ξ的数学期望515310123121281484E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．·······12分 19．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是直角梯形，AD BC ∥，36AD BC ==，PB =M 在线段AD 上，且4MD =，AD AB ⊥，PA ⊥平面ABCD ．（1）求证：平面PCM ⊥平面PAD ；（2）当四棱锥P ABCD -的体积最大时，求平面PCM 与平面PCD 所成二面角的余弦值．【答案】（1）见解析；（2【解析】（1）由6AD =，4DM =，可得2AM =，易得四边形ABCM 是矩形，∴CM AD ⊥，·······1分又PA ⊥平面ABCD ，CM ⊂平面ABCD ，∴PA CM ⊥，·······2分又PAAD A =，PA ，AD ⊂平面PAD ，∴CM ⊥平面PAD ，·······4分又CM ⊂平面PCM ，∴平面PCM ⊥平面PAD ·······5分（2）四棱锥P ABCD -的体积为()114323V AD BC AB PA AB PA =⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅，要使四棱锥P ABCD -的体积取最大值，只需AB PA ⋅取得最大值．由条件可得22272PA AB PB +==， ∴722PA AB ⋅≥，即36PA AB ⋅≤，当且仅当6PA AB ==时，PA AB ⋅取得最大值36．·······7分分别以AP ，AB ，AD 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系A xyz -．则()6,0,0P ，()0,6,2C ，()0,0,6D ，()0,0,2M ，()6,6,2PC =-，()6,0,6PD =-，()6,0,2PM =-，·······8分设平面PCD 的一个法向量为()1111,,n x y z =，由10n PC ⋅=，10n PD ⋅=可得111116620660x y z x z -++=⎧⎨-+=⎩，令13x =，可得()13,2,3n =，·······9分同理可得平面PCM 的一个法向量为()21,0,3n =，·······10分设平面PCM 与平面PCD 所成二面角为θ1210n nn n ⋅=⋅ 由于平面PCM 与平面PCD ·······12分 20．已知四边形ABCD 的四个顶点在椭圆C ：2213x y +=上，对角线AC 所在直线的斜率为1-，且AB AD =，CB CD =．（1）当点B 为椭圆C 的上顶点时，求AC 所在直线方程；（2）求四边形ABCD 面积的最大值．【答案】（1）12y x =--；（2）3．【解析】（1）因为AB AD =，CB CD =，所以对角线AC 垂直平分线段BD ．因为直线AC 的斜率为1-，则直线BD 所在直线的斜率为1．又因为()01B ，，则直线BD 所在直线方程为1y x =+．·······1分由22331x y y x +==+⎧⎨⎩，解得3122D ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，·······2分则BD 中点P 的坐标为3144⎛⎫- ⎪⎝⎭，·······3分所以AC 所在直线方程为12y x =--；·······4分（2）设AC ，BD 所在直线方程分别为y x m =-+，y x n =+，()11B x y ，，()22D x y ，，BD 中点()00P x y ，．由2233x y y x n ⎧+=⎨=+⎩，得2246330x nx n ++-=，令248120n ∆=->，得24n <，1232nx x +=-，212334n x x -=·······6分则BD ==同理AC =，·······8分······9分又因为120324x x x n +==-，所以BD 中点3144P n n ⎛⎫- ⎪⎝⎭，．由点P 在直线AC 上，得2n m =-，所以12ABCDS AC BD ==四边形·······11分因为24n <，所以201m <≤，所以当0m =时，四边形ABCD 的面积最大，最大面积为3．·······12分 21．已知函数()()()ln f x x x ax a =-∈R ．（1）当0a =时，求函数()f x 的最小值；（2）设()()21g x ax a x a =--+，若对任意的()1,x ∈+∞，都有()()0f x g x +>，求整数a 的最大值．【答案】（1（2）3．【解析】（1）当0a =时，()ln f x x x =，定义域为()0,+∞．()ln 1f x x '=+，令()0f x '=，可得·······2分列表：所以，函数()f x ·······5分（2）由题意()()0f x g x +>对任意的()1,x ∈+∞恒成立，可得()ln 10x x a x a --+>对任意的()1,x ∈+∞恒成立．即ln 1x x xa x +<-对任意的()1,x ∈+∞恒成立．()*记()ln 1x x xx x ϕ+=-·······6分设()2ln t x x x =--()t x 在()1,+∞是单调增函数，又()31ln30t =-<，()42ln40t =->，且()t x 在[]3,4上的图象是不间断的，所以，存在唯一的实数()03,4x ∈，使得()00t x =，·······8分当01x x <<时，()0t x <，()0x ϕ'<，()x ϕ在()01,x 上递减；当0x x >时，()0t x >，()0x ϕ'>，()x ϕ在()0,x +∞上递增．所以当0x x =时，()x ϕ有极小值，即为最小值()00000ln 1x x x x x ϕ+=-，·······10分00ln 2x x =-，所以()000000ln 1x x x x x x ϕ+==-，由()*知，0a x <，又()03,4x ∈，a ∈Z ，所以整数a 的最大值为3．·······12分（二）选考题（共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分）22．选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为12cos 2sin x y θθ=+=⎧⎨⎩，（θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为()cos sin (0)m m ρθθ+=>．（1）求曲线C 的极坐标方程；（2l 交于点A ，与曲线C 交于M ，N 两点．且6OA OM ON ⋅⋅=，求m ．【答案】（1）22cos 30ρρθ--=；（2）m =．【解析】（1）∵()2214x y -+=，∴22230x y x +--=，故曲线C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ--=．·······5分（2）将代入cos sin m ρθρθ+=，得ρ=．将代入22cos 30ρρθ--=，得123ρρ=-，则·3OM ON =，则36=，∴m =．·······10分23．选修4－5：不等式选讲已知函数()21f x x x =--+．（1）求函数()f x 的最大值；（2）若x ∀∈R ，都有m 的取值范围．【答案】（1）3；（28,3⎤⎡⎫+∞⎪⎥⎢⎦⎣⎭．【解析】（1所以()f x 的最大值是3．····5分（2）x ∀∈R ，5m +恒成立，，即2m - 当5m <-时，等价于()()21512m m ---+≥，解得时，等价于()()21512m m --++≥，化简得6m -≤，无解；当12m >时，等价于21512m m -++≥，解得综上，实数m 168,,33⎤⎡⎫-+∞⎪⎥⎢⎦⎣⎭．·······10分。

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课时作业
1．(2016·高考四川卷)设i 为虚数单位，则(x ＋i)6的展开式中含x 4的项为( )
A ．－15x 4
B ．15x 4
C ．－20i x 4
D ．20i x 4
A [解析] (x ＋i)6的展开式的通项为T r ＋1＝C r 6
x 6－r i r (r ＝0，1，2，…6)，令r ＝2，得含x 4的项为C 26x 4i 2＝－15x 4，故选A.
2．用0，1，…，9这十个数字可以组成有重复数字的三位数的个数为( )
A ．243
B ．252
C ．261
D ．279
B [解析] 0，1，2，…，9共能组成9×10×10＝900(个)三位数，其中无重复数字的三位数有9×9×8＝648(个)，
所以有重复数字的三位数有900－648＝252(个)．
3．(2016·东北四市联考(二))甲、乙两人要在一排8个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都有空座，则有多少种坐法( )
A ．10
B ．16
C ．20
D ．24
C [解析] 一排共有8个座位，现有两人就坐，故有6个空座．因为要求每人左右均有空座，所以在6个空座的中间5个空中插入2个
座位让两人就坐，即有A 25＝20种坐法．
4．(2016·湖北省七市(州)协作体联考)二项式⎝
⎛⎭⎪⎪⎫9x －133x 9的展开式中x 的系数等于( )
A ．84
B ．24
C ．6
D ．－24 A [解析]
根据二项式定理可知，T r ＋1＝C r 9·⎝ ⎛⎭⎪⎫－13r 99－r x 9－r －r 3＝C r 9⎝ ⎛⎭⎪⎫－13r 99－r x 9－4r 3，令9－43r ＝1，得r ＝6，所以x 的系数为C 69⎝ ⎛⎭
⎪⎫－136×93＝84，故选A.
5．满足m ，n ∈{－1，0，1，2，3}，且关于x 的方程mx 2＋2x ＋n ＝0有实数解的有序数对(m ，n )的个数为( )
A ．17
B ．14
C ．13
D ．12
A [解析] 当m ＝0时，2x ＋n ＝0⇒x ＝－n 2，有序数对(0，n )有5
个；当m ≠0时，Δ＝4－4mn ≥0⇒mn ≤1，有序数对(－1，n )有5个，(1，n )有3个，(2，n )有2个，(3，n )有2个．综上，共有5＋5＋3＋2＋2＝17(个)，故选A.
6．(2016·长春市质量检测(二))小明试图将一箱中的24瓶啤酒全部取出，每次小明在取出啤酒时只能取出3瓶或4瓶啤酒，那么小明取出啤酒的方式共有( )
A ．18种
B ．27种
C ．37种
D ．212种
C [解析] 由题可知，取出酒瓶的方式有3类，第一类：取6次，每次取出4瓶，只有1种方式；第二类：取8次，每次取出3瓶，只有1种方式；第三类：取7次，3次4瓶和4次3瓶，取法为C 37，为35种．共计37种取法．故选C.
7．已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则a ＝( )
A ．－4
B ．－3
C ．－2
D ．－1
D[解析] (1＋x)5中含有x与x2的项为T2＝C15x＝5x，T3＝C25x2＝10x2，
所以x2的系数为10＋5a＝5，
所以a＝－1，故选D.
8．(2016·河北省“五校联盟”质量检测)在二项式(1－2x)n的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，则展开式的中间项的系数为()
A．－960 B．960
C．1 120 D．1 680
C[解析] 根据题意，奇数项的二项式系数之和也应为128，所以在(1－2x)n的展开式中，二项式系数之和为256，即2n＝256，n＝8，则(1－2x)8的展开式的中间项为第5项，且T5＝C48(－2)4x4＝1 120x4，即展开式的中间项的系数为1 120，故选C.
9．若x4(x＋3)8＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a12(x＋2)12，则log2(a1＋a3＋a5＋…＋a11)等于()
A．27B．28
C．7 D．8
C[解析] 取x＝－1得(－1)4(－1＋3)8＝a0＋a1＋a2＋…＋a11＋a12，①
取x＝－3得(－3)4(－3＋3)8＝a0－a1＋a2－…－a11＋a12，②
①与②两式左、右两边分别相减得28＝2(a1＋a3＋a5＋…＋a11)，所以a1＋a3＋a5＋…＋a11＝27，所以log2(a1＋a3＋a5＋…＋a11)＝7.
10．从8名网络歌手中选派4名同时去4个地区演出(每地1人)，其中甲和乙只能同去或同不去，甲和丙不同去，则不同的选派方案共有()
A．240种B．360种
C．480种D．600种
D[解析] 分两步，第一步，先选4名网络歌手，又分两类，第一类，甲去，则乙一定去，丙一定不去，有C25＝10种不同选法，第二类，甲不去，则乙一定不去，丙可能去也可能不去，有C46＝15种不同选法，所以不同的选法有10＋15＝25(种)．第二步，4名网络歌手同时去4个地区演出，有A44＝24种方案．由分步乘法计数原理知不同的选派方案共有25×24＝600(种)．
11．现有12件商品摆放在货架上，摆成上层4件下层8件，现要从下层8件中取2件调整到上层，若其他商品的相对顺序不变，则不同的调整方法的种数是()
A．420 B．560
C．840 D．20 160
C[解析] 从下层8件中取2件，有C28种取法，放到上层时，若这两件相邻，有A15A22种放法，若这两件不相邻，有A25种放法，所以不同调整放法的种数是C28(A15A22＋A25)＝840.
12．若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，则实数m的值为() A．1或－3 B．－1或3
C．1 D．－3
A[解析] 令x＝0，得a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2＋m)9，令x＝－2，得a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝m9，所以(2＋m)9m9＝39，即m2＋2m＝3，解得m＝1或－3.
13．摄像师要对已坐定一排照像的5位小朋友的座位顺序进行调整，要求其中恰有2人座位不调整，则不同的调整方案的种数为________．(用数字作答)
[解析] 先从5位小朋友中选取2位，让他们位置不变，其余3位都不在自己的位置上，即3人不在其位，共有方案种数为N ＝
C 25·C 12·
C 11·C 11＝20. [答案] 20
14．(2016·重庆适应性测试(二))若⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋a x 4展开式的常数项为54，且a >0，则a ＝________． [解析] 依题意，二项式⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋a x 4的展开式的通项T r ＋1＝C r 4·(x )4－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫a x r ＝C r 4·a r ·x 2－r .令2－r ＝0得r ＝2.因此，二项式⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋a x 4的展开式中的常数项是T 3＝C 24·
a 2＝6a 2＝54，a 2＝9.又a >0，因此a ＝3. [答案] 3
15．(2016·贵阳市监测考试)若直线x ＋ay －1＝0与2x －y ＋5＝0
垂直，则二项式⎝ ⎛⎭
⎪⎫ax 2－1x 5的展开式中x 4的系数为________． [解析] 由两条直线垂直，得1×2＋a ×(－1)＝0，得a ＝2，所以二
项式为⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－1x 5，其通项T r ＋1＝C r 5·(2x 2)5－r ·⎝ ⎛⎭
⎪⎫－1x r ＝(－1)r 25－r C r 5x 10－3r ，令10－3r ＝4，解得r ＝2，所以二项式的展开式中x 4的系数为23C 25＝
80.
[答案] 80
16．从1，3，5，7，9中任取2个数，从0，2，4，6中任取2个数组成没有重复数字的四位数，若将所有个位是5的四位数从小到大排成一列，则第100个数是________．
[解析] ①形如“1××5”，中间所缺的两数只能从0，2，4，6中选
取，有A 24＝12个．
②形如“2××5”，中间所缺的两数是奇偶各一个，有C 14C 13A 22＝24
个．
③形如“3××5”，同①有A24＝12个．
④形如“4××5”，同②，也有C14C13A22＝24个．
⑤形如“6××5”，也有C14C13A22＝24个，
以上5类小于7 000的数共有96个．
故第97个数是7 025，第98个数是7 045，第99个数是7 185，第100个数是7 205.
[答案] 7 205。

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