新北师大九年级数学矩形的性质与判定

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北师大版九年级上册数学《矩形的性质与判定》说课稿

说教学过程
5. 练习与巩固：组织学生进行小组讨论和练习，通过解决一些简单的矩形判定问题，巩固他们对矩形性质的理解，并培养他们的分析和解决问题的能力。例如，我可以给学生一些四边形的尺寸数据，让他们判断是否为矩形，并给出解释。
说教学过程
6. 拓展应用：通过提供一些实际问题，引导学生将矩形的性质应用到实际生活中，培养他们的数学建模能力和解决实际问题的能力。例如，我可以给学生一个房间的平面图，让他们计算出房间的面积，并判断是否为矩形。
谢谢
一、说教材
目录
01. 说教材
02. 说学情
03. 说教学目标 04. 说教学重难点
05. 说教法与学法 06. 说教学过程
07. 说板书设计 08. 说教学反思
《矩形的性质与判定》说课稿
敬爱的各位评委老师，大家好！今天我将为大家呈现初中数学北师大版九年级上册第一章特殊平行四边形第2节《矩形的性质与判定》的说课稿。
说教法与学法
本节课将采用多种教学方法和学习方式，包括讲解法、示范法、讨论法和实践操作等。在教学过程中，我将注重启发式教学，引导学生主动思考和探究，培养他们的自主学习能力和团队合作精神。
说教学过程
1. 导入新课：通过展示一些矩形的图片和实物，引起学生对矩形的兴趣，并与学生进行简短的讨论，了解学生对矩形的认识和了解程度。 2. 提出问题：通过提问的方式，引导学生思考并回顾平行四边形的性质，进而引出矩形的定义和性质。例如，问学生平行四边形的特点是什么？是否有一种特殊的平行四边形？
说教学重难点
教学重点：矩形的定义和性质，以及判定一个四边形是否为矩形的方法。教学难点：如何引导学生理解并应用矩形的性质解决实际问题。

1.2矩形的性质与判定+课件+2023-2024学年北师大版数学九年级上册

B．AC＝BD
C．AD＝AB
D．∠BAD＝∠ADC
2．如图，BO是Rt△ABC斜边上的中线，延长BO到点D，使DO＝BO，
连接AD，CD．四边形ABCD是矩形吗?请说明理由．
解：四边形ABCD是矩形．理由如下：
∵BO是Rt△ABC斜边上的中线，
∴OA＝OC＝OB＝OD．
∴四边形ABCD是平行四边形，且AC＝BD．
∴DE∥AC，DF∥AB．
∴四边形AEDF是平行四边形．
又∠A＝90°，
∴四边形AEDF是矩形．
典例3
如图，在□ ABCD是矩形ABCD中，∠ACB＝90°，过点D作
DE⊥BC交BC的延长线于点E．求证：四边形ACED是矩形．
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC．
∴∠DAC＝∠ACB＝90°．
不一定成立的是( C )
A．AB∥CD
B．AC＝BD
C．AC⊥BD
D．OA＝OC
变式1
矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是( C )
A．对角相等
B．对边相等
C．对角线相等
D．对角线互相平分
典例2
如图，在矩形ABCD中，E是CD边的中点．求证：AE＝BE．
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠D＝∠C＝90°．

∴∠ABD＝ ∠ABC，∠ABE＝ ∠ABP．
∵∠ABC＋∠ABP＝180°，

∴∠ABD＋∠ABE＝ ×180°＝90°，

即∠DBE＝90°．
∵AE⊥BE，AD⊥BD，
∴∠E＝∠D＝90°．
∴四边形AEBD是矩形．
1．如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，下列条件中，能

矩形的性质与判定第1课时课件北师大版九年级上册数学

合作探究
解:(1)证明:连接BE，由折叠图形的轴对称性可知，B'F＝
BF，
又∠B'FE＝∠BFE＝∠B'EF，∴B'E＝B'F，从而可得B'E
＝BF.
合作探究
(2)第一种关系:a2＋b2＝c2.证明:由折叠可知BE＝B'E，由
(1)知B'E＝BF＝c，∴BE＝c.在△ABE中，∠A＝90°，∴AE2
∴矩形ABCD的周长等于28.
合作探究
变式训练
如图，在矩形ABCD中，AF＝DE.求证:BE＝CF.
证明:∵AF＝DE，∴AE＝DF.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝90°，AB＝DC，
∴△BAE≌△CDF，∴BE＝CF.
合作探究
如图，把矩形ABCD沿EF翻折，若∠1＝50°，则
∠AEF等于(
B )
A.110°
B.115°
C.120°
D.130°
合作探究
变式训练
如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在
边AD上的点B'处，点A落在点A'处.
(1)求证:B'E＝BF.
(2)设AE＝a，AB＝b，BF＝c，试猜想a、b、c之间有何等
量关系，并给予证明.
(3)四边形B'FBE是菱形吗？为什么？
＋AB2＝BE2.∵AE＝a，AB＝b，∴a2＋b2＝c2.
第二种关系: a＋b＞c.证明:由折叠可知BE＝B'E.由(1)知
B'E＝BF＝c，在△ABE中，AE＋AB＞BE，∴a＋b＞c.
(3)是.由(1)(2)可知B'F＝BF＝B'E＝BE，∴四边形B'FBE

1.2 矩形的性质与判定北师大版数学九年级上册教学课件

矩形矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
矩形的定义
二、合作交流，探究新知
平行四边形
有一个角是直角
矩形
矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
二、合作交流，探究新知
平行四边形集合矩形集合
归纳：矩形是特殊的平行四边形,它具有平行四边形的所有性质,但平行四边形不一定是矩形.
二、合作交流，探究新知
D
O
B
C
三、运用新知
∵∠AOD=120°,
∴∠ODA=∠OAD= 1 (180°- 120°)=30°. 2
又∵∠DAB=90° ,
（矩形的四个角都是直角）
∴BD = 2AB = 2 ×2.5 = 5.
A
D
O
B
C
你还有其他解法吗？
提示：∠AOD=120° → ∠AOB=60°→ OA=OB=AB → AC=2OA=2×2.5=5.
第一章特殊平行四边形
1.2 矩形的性质与判定
一、提出问题，引出新知
知识回顾四边形源自两组对边分别平行平行四边形
平行四边形有哪些性质? 边：对边平行且相等
角：对角相等，邻角互补
对角线：对角线互相平分
一、提出问题，引出新知
矩形的定义活动：利用一个活动的平行四边形教具演示,使平行四边形的一个内角变化, 请同学们注意观察.
D C
三、运用新知
例1：如图,在矩形ABCD中,两条对角线相交于点O, ∠AOD=120°, AB=2.5 ,求矩形对角线的长.
解：∵四边形ABCD是矩形.
∴AC = BD(矩形的对角线相等).
OA= OC= 1 AC,OB = OD = 1 BD ,
2
2

2.矩形的性质与判定第1课时矩形的性质PPT课件(北师大版)

第二招 4．如图，在矩形ABCD中，对角线相交于点O，且∠AOB＝50°，则 ∠ADB＝ 25 °.
5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝ 90°，CD⊥AB，AC＝6，BC＝8，则CD＝ 4.8 ．
第1课时矩形的性质
轻松过招
第三招 6．如图，在矩形ABCD中，点E、F 在BC上，连接AE，DF，BF＝CE. 求证：AE＝DF.
第1课时矩形的性质
新知导航
3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD＝5，CD 是AB边上的中线，则AB的长是 10 ．
第1课时矩形的性质
轻松过招
第一招
1．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是
（C）
A．对角线互相平分
B．邻角互补
C．对角线相等
D．对角相等
2．（202X·无锡）下列结论中，矩形具有而菱形不
一定具有的性质是（ C ）
A．内角和为360°
B．对角线互相平分
C．对角线相等
D．对角线互相垂直
第1课时矩形的性质
轻松过招
3．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点
O，∠ACB＝30°，则∠AOB的大小为（ B ）
A．30°
B．60°
C．90°
D．120°
第1课时矩形的性质
轻松过招
60 ．
第1课时矩形的性质
新知导航
知识点2：对角线相等【例2】如图，矩形ABCD两对角线交于点O， ∠COD＝120°，AC＝8.求：AD、AB的长及矩形 ABCD的面积．解：∵∠COD＝120°， ∴∠DCA＝30°∴在Rt△ADC中 ∵AC＝8，∴AD＝4，CD＝4 3 ， ∴AB＝CD＝4 3 . S矩形ABCD＝AD·AB＝4×4 3 ＝16 3

北师大版九年级上册数学课件矩形的性质与判定

复习
矩
角
边
对角线对称性
形
性四个角都对边平行互相平分是轴对称
与质是直角且相等且相等
图形
回
顾推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
∵∠ACB=90°AD = BD
1
∴CD = AB
2
A D
C
B
定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
判定定理1 对角线相等的平行四边形是矩形
并求出对角线的长。
A
D
△AOB等边三角形
对角线的长是6cm B
O C
练习
已知平行四边形ABCD的对角线AC 和BD相交于点O，△AOB是等边三角形，AB＝ 4 cm．求这个平行四边形的面积. （分小组交流结果）
答案：16 3cm2
A
你能在四边形的基础上, 从下列条件中选三个,得到矩形吗?你找到了多少个答案？ B
矩
形
例如：
A
D
的
判
B
C
定
ABCD
AC = BD
ABCD是矩形
判定定理2 有三个角是直角的四边形是矩形
例如：
A
D
B ∠A= ∠B= ∠C=90°
C 四边形ABCD是矩形
判定定理1 对角线相等的平行四边形是矩形
已知：在
ABCD 中，AC = BD。
A
D
求证：
ABCD 是矩形。
B
C
证明：∵AB = DC，BC = CB，AC = DB， ∴ △ABC≌△DCB ， ∴∠ABC = ∠DCB。 ∵AB∥CD， ∴∠ABC + ∠DCB = 180°， ∴ ∠ABC = 90°， ∴ ABCD是矩形。

北师大版数学九年级上册矩形的性质与判定(第2课时矩形的判定)课件(共26张)

｛AP=DP ∵ AB=PC ， BP=PC ∴△ABP≌△DCP（SSS）， ∴∠D=∠A， ∵∠D+∠A=180°， ∴∠D=∠A=90°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴平行四边形ABCD是矩形．
7.如图， ABCD的四个内角的平分线相交于点E、F、G、H. 求证：EG = FH.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC， ∴∠BAD+∠ABC=180°．又∵AH，BH分别平分∠BAD，∠ABC， ∴∠DAE=∠BAE= ∠DAB，∠CBG=∠ABG= ∠ABC， ∴∠BAE+∠ABG= （∠DAB +∠ABC ）=90°， ∴∠AHB=90°，同理可证∠EFG=90°，∠HEF=90°， ∴四边形EFGH为矩形，∴EG=FH．
∴∠ABC+∠DCB=180°.
∴∠ABC=∠DCB
=
1 2
×180°=90°.
∴□ABCD是矩形.(矩形的定义)
2．矩形的四个角都是直角，反过来，一个四边形至少有几个角是直角时，这个四边形才是矩形呢？请证明你的结论，并与同伴交流．
归纳结论：有三个角是直角的四边形是矩形．
已知:如图,在四边形ABCD中,
已知:如图,在□ABCD中,对角线AC=BD.
求证:平行四边形ABCD是矩形.
分析:要证明□ABCD是矩形,只要证明有一个角是直角即可.
证明: ∵四边形ABCD是平行四边形. A
D
∴AB=CD,AB∥CD.
又∵AC=DB,BC=CB.
∴ △ABC≌△DCB.
B
C
∴∠ABC=∠DCB.
又∵AB∥CD.
巩固练习
1．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是( D )

北师大版数学九年级上册优秀教学案例：1.2矩形的性质与判定

三、教学策略
（一）情景创设
1.生活情境：结合学生的生活实际，创设一些与矩形相关的问题情境，如教室的黑板是否是矩形、家的门是否是矩形等，让学生感知矩形在生活中的应用，激发学生的学习兴趣。
2.几何情境：利用几何画板或实物模型，展示一些与矩形相关的几何图形，如矩形变形、矩形与其他图形的组合等，让学生直观地感受矩形的性质，提高学生的空间想象力。
3.通过解决实际问题，培养学生将理论知识应用于实际情境的能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的兴趣，激发学生学习矩形性质与判定的热情。
2.培养学生的团队合作意识，学会与他人交流、分享、合作解决问题。
3.培养学生勇于探究、敢于质疑的精神，养成积极思考的好习惯。
4.引导学生认识矩形性质与判定在生活中的应用，提高学生对数学知识的实用价值认识。
（一）导入新课
1.利用生活情境导入：教师展示一些与矩形相关的图片，如教室的黑板、家的门等，引导学生观察并提问：“你们认为这些图形是什么形状？它们有什么特点？”
2.利用几何情境导入：教师利用几何画板展示一个矩形，引导学生观察并提问：“这个图形是什么形状？它有哪些特点？我们如何判断一个四边形是矩形？”
3.利用游戏情境导入：教师设计一个与矩形相关的游戏，如矩形拼图，引导学生参与游戏并提问：“你们在游戏中发现了什么规律？这与我们今天要学习的矩形有什么关系？”
在教学过程中，教师应以学生为主体，关注学生的个体差异，注重启发式教学。通过设置富有挑战性和实际意义的问题，激发学生的学习兴趣，引导学生主动参与课堂讨论。同时，教师还需关注学生的情感需求，营造轻松、愉快的学习氛围，使学生在愉悦的情感状态下学习，提高学生的学习效果。
针对不同学生的学习需求，教师应进行有针对性的指导，帮助学生克服学习困难，提高学生的自信心。在教学过程中，教师还需注重培养学生的团队合作意识，引导学生学会与他人交流、分享、合作解决问题，提高学生的沟通能力与团队协作能力。

北师大版九年级数学上册 1.2矩形的性质和判定(1).2.1矩形的性质和判定

3 若已知ＡＣ＝10㎝，ＢＣ=6㎝，则矩形的周长＝ 28 ㎝矩形的面积＝ 48 ㎝2
4 若已知 ∠ＤＯＣ=120°，ＡＤ＝6㎝，则ＡＣ= 12 ㎝
练习1：
1.矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是
（A ）
A.对角线相等
B.对边相等
C.对角相等
D.对角线互相平分
2.下面性质中，矩形不一定具有的是（ D ） A.对角线相等 B.四个角相等 C.是轴对称图形 D.对角线互相垂直
∵∠AOD=120°，
∴ ∠ ODA= ∠OAD=
180o 120o 2
=30°，
又 ∵∠DAB=90°（矩形的四个角都是直角）.
∴BD=2AB=2×2.5=5 ( cm ) .
练一练：如图，在矩形ABCD中：
A
D
①AB∥ CD ，AB= CD ；
O
AD∥ BC ，AD= BC ;
B
C
②∠BAD=∠ ADC =∠ BCD =∠ ABC =90°；
即：矩形是一种特殊的平行四边形
矩形的性质定理1：矩形的四个角都是直角．
已知:如图,四边形ABCD是矩形. ∠A=900
求证:∠A=∠B=∠C=∠D=900. 分析:由矩形的定义,利用对角
A
D
相等,邻角互补可使问题得证.
证明: ∵ 四边形ABCD是矩形,
B
C
∴∠A=900,四边形ABCD是平行四边形.
B
D O
C
例1 如图，在矩形ABCD中，两条对角线
相交于点O，∠ＡＯＤ=120°,AB=2.5，求
这个矩形对角线的长？
解：∵四边形ABCD是矩形，
A
∴AC=BD（矩形的对角线相等）.

北师大版九年级数学课件-矩形的性质与判定

第一章特殊平行四邊形
第2節矩形的性質與判定(二）
知識回顧
矩形的定義有一個角是直角的平行四邊形.
平行四邊形一個角是直角
矩形
矩邊
矩形的對邊平行且相等.
形
的角矩形的四個角都是直角.
性
質對角線矩形的兩條對角線相等
且互相平分.
情境一
如圖，在一個平行四邊形活動框架上，用兩根橡皮筋分別套在兩個相對的頂點上，拉動一對不相鄰的頂點時，平行四邊形的形狀會發生什麼變化？
有三個角是直角的四邊形是矩形嗎?
已知:如圖,在四邊形ABCD,∠A=∠B=∠C=90°.
求證:四邊形ABCD是矩形.
A
D
證明: ∵∠A=∠B=∠C=90°, B
C
∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°.
∴AD∥BC,AB∥CD.
∴四邊形ABCD是平行四邊形.
∴四邊形ABCD是矩形.
矩形判定方法二
問題（1）:
隨著的變化兩條對角線的長度將發生
怎樣的變化？
問題（2）: 當兩條對角線的長度相等時平行四邊形有
什麼特徵？由此你能得到一個怎樣的猜想？
猜想：對角線相等的平行四邊形是矩形.
對角線相等的平行四邊形是矩形嗎？
已知:四邊形ABCD是平行四邊形,AC=BD.
求證:四邊形ABCD是矩形. A
D
證明：
有三個角是直角的四邊形是矩形
A
D
B
∠A=∠B=∠C=90°
C
四邊形ABCD 是矩形
議一議：
1. 如果僅僅有一根較長的繩子，你怎麼判斷一個四邊形是平行四邊形呢？
2. 如果僅僅有一根較長的繩子，你怎麼判斷一個四邊形是菱形呢？

北师大版九年级数学上1.2 矩形的性质与判定 (共39张PPT)

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
2.明确定理：直角三角形性质定理：直角三角形斜边上的
中线等于斜边的一半.
推理格式：在△ABC中， ∵∠ABC=90°，AO=CO， BO 1 AC.
2
3.定理证明
D
思路：（1）造全等：
延长BO至点D，使OD=OB，连接AD.
先证△BOC≌△DOA（SAS），
解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC，OB=OD. 又∵△ABO是等边三角形， ∴OA=OB=AB=4. ∴OA=OC=OB=OD=4. ∴AC=BD=2OA=2×4=8.
∴□ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）.
∴∠ABC=90°（矩形的四个角都是直角）. 在Rt△ABC中，由勾股定理，得 AB2 + BC 2 = AC 2 ,
• 9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。21.9.821.9.8Wednesday, September 08, 2021 • 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。10:15:0210:15:0210:159/8/2021 10:15:02 AM • 11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。21.9.810:15:0210:15Sep-218-Sep-21 • 12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。10:15:0210:15:0210:15Wednesday, September 08, 2021
证明：∵AD平分∠BAC，AN平分∠CAM，
∟
CAD = 1 BAC，CAN = 1 ∠CAM.

北师大版初三数学上册1.2 矩形的性质与判定(三).2矩形的性质与判定(3)

例3 如图，在矩形ABCD中，AD=6，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，ED=3BE。求AE的长。
解：∵四边形ABCD为矩形 ∴∠BAD=90°
A
D
AC=BD
∴AAOO==BCOO==D12 OA=C12，BBDO=DO=
1 2
BD
∵ED=3BE
∴BE=OE
O
E
B
C
又∵AE⊥BD
布置作业
驶向胜利的彼岸
P18 习题1.6 第1、2、3题
再见
PA＝3，PD＝4，PC＝5，
则PB＝
。A E
D
提示：过点P作其中一边的垂线，利用勾股定理来解。
3 P
?
BF
∟
4 5
C
课堂小结
本节课给你什么样的启发？1、说说你的收获。2、说说你的困惑。3、说说你的方法。
互相交流矩形的性质与判定定理，何时该选用性质定理，何时选择判定定理，矩形与平行四边形的关系，遇到矩形实际题目时如何分析思路，以及遇到困难时如何克服等。
九年级数学(上) 第一章特殊平行四边形
1.2.矩形的性质与判定—应用
驶向胜利的彼岸
A
∟
∟D
1、定义：
O
∟
∟
B
C
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
2、性质和线
四个角都是直角
对角线相等且互相平分
1、有一个角是直角的平行四边形. 2、有三个角是直角的四边形.
证明：∵AD1 平分∠BAC，AN1 平分∠CAM
M
∴∠CAD=2 ∠BAC,∠CAN=2 ∠CAM
∴∠DAE=∠1 CAD+∠CAN

北师大版九年级数学上册说课稿：1.2矩形的性质与判定

北师大版九年级数学上册说课稿：1.2 矩形的性质与判定一. 教材分析《矩形的性质与判定》是北师大版九年级数学上册第一章第二节的内容。

本节内容是在学生已经掌握了四边形的性质，平行四边形的性质和判定，以及菱形、正方形的性质和判定基础上进行学习的。

通过本节内容的学习，使学生掌握矩形的性质和判定方法，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何基础知识，对平行四边形的性质和判定，以及菱形、正方形的性质和判定有一定的了解。

但是，对于矩形的性质和判定，他们可能还比较陌生。

因此，在教学过程中，我将以学生为主体，引导他们通过观察、思考、讨论，自主探索矩形的性质和判定方法。

三. 说教学目标1.知识与技能：掌握矩形的性质，学会用矩形的性质解决几何问题；理解并掌握矩形的判定方法，能够运用矩形的判定方法判断一个四边形是否为矩形。

2.过程与方法：通过观察、思考、讨论，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力；学会用归纳法、演绎法进行数学论证。

3.情感态度价值观：培养学生对数学的兴趣，激发学生学习数学的积极性；培养学生合作学习的意识，提高学生的团队协作能力。

四. 说教学重难点1.教学重点：矩形的性质和判定方法。

2.教学难点：矩形的判定方法的应用，以及如何运用矩形的性质解决几何问题。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、合作学习法、探究学习法等。

2.教学手段：利用多媒体课件、几何模型、黑板等辅助教学。

六. 说教学过程1.导入新课：通过展示生活中的矩形物体，如矩形桌子、矩形电视等，引导学生思考矩形的特征，激发学生的学习兴趣。

2.自主探究：让学生观察矩形的特点，引导学生发现矩形的性质，如矩形的对边平行且相等，矩形的对角相等等。

3.小组讨论：让学生分组讨论，归纳出矩形的性质，并学会用这些性质解决几何问题。

4.讲解判定：讲解矩形的判定方法，如对角线互相平分的四边形是矩形，有一个角是直角的平行四边形是矩形等。

北师大版初中九年级上册数学课件-《矩形的性质与判定》特殊平行四边形PPT课件(第3课时)精选全文

【点评】此题考查了矩形的判定与性质、三线合一以及三角形中位线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用.
例3：如图，在△ABC中, AB=AC,D为BC上一点，以AB,BD为邻边作平行四边形ABDE,连接AD, EC. （1）求证：△ADC≌△ECD; （2）若BD=CD,求证：四边形ADCE是矩形.
∴四边形ADCE是平行四边形.
而∠ADC=90°,
∴四边形ADCE是矩形.
例4：如图所示，在△ABC中，D为BC边上的一点，E是 AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且 AF＝BD.连接BF.
(1)BD与DC有什么数量关系？请说明理由； (2)当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．
①定义：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形 ②有一组邻边相等的矩形 ③有一个角是直角的菱形
讲授新课
矩形的性质与判定综合运用
典例精析
例1：如图，在矩形ABCD中，AD=6，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，ED=3BE，求AE的长.
分析：由在矩形ABCD中，AE⊥BD于E， BE：ED=1：3，易证得△OAB是等边三角形，继而求得∠BAE的度数，由 △OAB是等边三角形，求出∠ADE的度数，又由AD=6，即可求得AE的长.
2．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，AC，BC
的中点，AH⊥BC于点H，连接EH，若DF＝10cm，则EH等
于( ) A．B8cm
B．10cm
C．16cm
D．24cm
3.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，AE平分∠BAD交 BC于点E，若∠CAE＝15°，则∠BOE＝_7_5__度．
(2)若△CMN的面积与△CDN的面积比为3∶1，求的MN值．

北师大版数学九年级上册(教案)：1.2矩形的性质与判定(三)

（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解矩形的基本概念。矩形是一种特殊的平行四边形，其对边平行且相等，对角线相等，四个角都是直角。矩形在生活中的应用非常广泛，如建筑、家具设计等领域。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过这个案例，展示矩形在实际中的应用，以及如何利用矩形的性质与判定方法解决问题。
北师大版数学九年级上册（教案）：1.2矩形的性质与判定(三)
一、教学内容
北师大版数学九年级上册：1.2矩形的性质与判定(三)
本节课我们将深入学习矩形的性质与判定，内容主要包括：
1.矩形的定义及其相关性质，如对边平行且相等、对角线相等、四个角都是直角等；
2.矩形判定的方法，包括利用对角线互相平分且相等的四边形是矩形、有一个角是直角的平行四边形是矩形、对角线相等且互相平分的四边形是矩形等；
五、教学反思
在本次《矩形的性质与判定(三)》的教学过程中，我深刻地感受到了学生的热情和积极参与。首先，通过导入新课环节，我发现同学们对于矩形的概念和性质已经有了初步的了解，这对于后续的教学起到了很好的铺垫作用。然而，我也注意到在讲授过程中，部分学生对矩形的判定方法掌握不够熟练，这是我在以后教学中需要重点关注和加强的地方。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调矩形的性质和判定方法这两个重点。对于难点部分，如矩形的判定条件，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组题，如如何判断一个图形是否为矩形。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。通过折叠、测量等方法，让学生直观地感受矩形的性质。
3.注重培养学生的问题解决能力，引导他们在讨论和实践中发现、分析并解决问题；
4.加强课堂互动，关注学生的个体差异，提高他们的参与度和学习积极性。

北师大数学九年级上册第一章矩形的性质与判定

1.2矩形的性质与判定知识精讲一．矩形的定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，也就是长方形．二．矩形的性质矩形是特殊的平行四边形，平行四边形具有的性质它全都具有三．矩形的判定判断一个四边形是否为矩形时，需要分清是在四边形的基础上还是在平行四边形的基础上四．直角三角形的性质定理证明过程：如图，矩形ABCD中AO=CO=BO=DO=12AC=12BD在Rt△ABD中，AO是斜边BD的中线则有：AO=12 BD逆定理证明过程：边角对角线对称性平行四边形对边平行且相等对角相等邻角互补互相平分非轴对称矩形对边平行且相等四个角为直角互相平分且相等轴对称四边形平行四边形角有三个角是直角的四边形是矩形（判定定理）有一个角是直角的平行四边形是矩形（定义）对角线/ 对角线相等的平行四边形是矩形（判定定理）斜边中线定理直角三角形斜边中线等于斜边的一半逆定理如果一个三角形的一条边上的中线等于它的一半，那么这个三角形是直角三角形，且这条边所对的角为直角（不可直接使用，需证明）OCD已知：在ΔABC 中，BO 是边AC 上的中线，且BO=12AC 求证： ΔABC 是直角三角形证明：延长BO 到D ，使DO=BO =12AC ，连接AD ，CD 。

∵BO=DO ,AO=CO∴四边形ABCD 是平行四边形 BO=12AC ＝12BD ∴AC ＝BD∴四边形ABCD 是矩形 ∴∠ACB =90°∴ΔABC 是直角三角形五．思路点拨矩形ABCD 中，六．易错点1．矩形的对角线相等，不一定互相垂直，如图1 2. 对角线相等的不一定是矩形，如等腰梯形，如图2 3．四边形两个角是直角，不一定是矩形，如图3图1 图2 图34.判断一个四边形是否为矩形的时候，需要分清是在四边形的基础上还是在平行四边形的基础上三点剖析一．考点：1．性质；2．判定；3．直角三角形的性质．ABCDDCBA4个直角三角形Rt △ADC ≌Rt △BCD ≌ Rt △DAB ≌Rt △CBA （两两全等）4个等腰三角形△ADO ≌△CBO △DOC ≌△AOB （两组全等）对角线将矩形面积四等分S △ADO = S △COB = S △DOC =S △AOB过对角线交点的直线将矩形面积平分S AEFB =S EDCF 矩形的问题可以转化为（1）内角均为直角，与勾股定理结合（2）利用矩形的性质，与等腰三角形、全等三角形结合，求线段长度或角度 O二．重难点：矩形的性质；矩形的判定；直角三角形斜边中线等于斜边的一半．三．易错点：1．矩形的对角线大小相等，不一定互相垂直． 2．四边形两个角是直角，不一定是矩形．性质例题1、如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，4cm AC =，120AOD ∠︒＝，则BC 的长为（）A.43B.4C.23D.2 例题2、如图，在Rt ABC 中，90A ∠=︒，3AB =，4AC =，P 为边BC 上一动点，PE AB ⊥于E ，PF AC ⊥于F ，则EF 的最小值为（）A.2B.115C.125D.52例题3、如图，在矩形ABCD 中，AB=12cm ，BC=6cm ，点E 、F 分别在AB 、CD 上，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使点A 、D 分别落在矩形ABCD 外部的点A′、D′处，则整个阴影部分图形的周长为____例题4、如图，将矩形纸片ABCD 沿对角线BD 折叠，使点A 落在平面上的F 点处，DF 交BC 于点E ．（1）求证：△DCE △△BFE ；（2）若CD=2，△ADB=30°，求BE 的长．随练1、如图，矩形的两条对角线所夹锐角为60︒，两条对角线的长度的和为20cm ，则这个矩形的一条较短边的长度为（）．ABC D OA.10cmB.8cmC.6cmD.5cm随练2、如图，已知矩形ABCD，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，连接DE、BE，若△ABE是等边三角形，则DCEABESS=____．随练3、如图，四边形ABCD的对角线AC△BD，垂足为O，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点．求证：四边形EFGH是矩形．随练4、如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E、F，连接PB、PD．若AE＝2，PF＝8．则图中阴影部分的面积为（）A.10B.12C.16D.18判定例题1、连接对角线互相垂直的四边形的四边中点，所构成的四边形一定是（）A.矩形B.菱形C.正方形D.梯形例题2、已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，延长BA到点E，使AE=AB，联结ED、EC、AC．添加一个条件，能使四边形ACDE成为矩形的是（）A.AC=CDB.AB=ADC.AD=AED.BC=CE．例题3、如图所示，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF=BD，连接BF．（1）求证：D是BC的中点；（2）若AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．A DB CO例题4、已知：如图，D 是△ABC 的边AB 上一点，CN △AB ，DN 交AC 于点M ，MA=MC ． ①求证：CD=AN ；②若△AMD=2△MCD ，求证：四边形ADCN 是矩形．随练1、如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，已知下列6个条件：AB DC ①∥；AB DC =②；AC BD =③；90ABC ∠=︒④；OA OC =⑤；OB OD =⑥．则不能使四边形ABCD 成为矩形的是（）A.①②③B.②③④C.②⑤⑥D.④⑤⑥ 随练2、矩形ABCD 中，AB ＝10，BC ＝6，点E 在线段AB 上．点F 在线段AD 上（1）沿EF 折叠，使A 落在CD 边上的G 处（如图），若DG ＝3，求AF 的长；求AE 的长；（2）若按EF 折叠后，点A 落在矩形ABCD 的CD 边上，请直接写出AF 的范围．随练3、如图，在▱ABCD 中，∠ABD 的平分线BE 交AD 于点E ，∠CDB 的平分线DF 交BC 于点F ，连接BD ．（1）求证：△ABE ≌△CDF ；（2）若AB=DB ，求证：四边形DFBE 是矩形．直角三角形斜边中线等于斜边的一半例题1、如图，在△ABC 中，BF 平分△ABC ，AF △BF 于点F ，D 为AB 的中点，连接DF 延长交AC 于点E ．若AB=10，BC=16，则线段EF 的长为（）A.2B.3C.4D.5例题2、如图，ABC ∆中，90C ∠=︒，D 在CB 上，E 为AB 之中点，AD 、CE 相交于F ，且AD DB =．若20B ∠=︒，则DFE ∠=（）A.40︒B.50︒C.60︒D.70︒随练1、如图所示，在ABC ∆中，D 为AB 中点，分别延长CA 、CB 到点E 、F ，使DE DF =．过E 、F 分别作直线CA 、CB 的垂线，相交于点P ，设线段PA 、PB 的中点分别为M 、N ．求证：（1）DEM FDN ∆∆≌；（2）PAE PBF ∠=∠．课后习题1、下列关于矩形的说法中正确的是（） A.对角线相等的四边形是矩形 B.矩形的对角线相等且互相平分 C.对角线互相平分的四边形是矩形 D.矩形的对角线互相垂直且平分2、如图，O 是矩形ABCD 对角线AC 的中点，M 是AD 的中点，若BC=8，OB=5，则OM 的长为（）A.1B.2C.3D.43、如图所示，矩形纸片ABCD 中，AB=6cm ，BC=8cm ，现将其沿EF 对折，使得点C 与点A 重合，则AF 长为（）PFEDC BAA.cmB.cmC.cmD.8cm4、如图，在矩形ABCD中，AB=3，将△ABD沿对角线BD对折，得到△EBD，DE与BC交于点F，∠ADB=30°，则EF=（）A.3B.23C.3D.335、如图，在△ACB中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=4，点D为边CB上动点，以AD为边在AD右侧作等边三角形ADE，连BE，取BE的中点P．当点D从点C出发沿CB方向向点B运动时，点P的运动路径长为___________6、把一张矩形纸片（矩形ABCD）按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF．若AB=3cm，BC=5cm，则重叠部分△DEF的面积是____cm2．7、已知：在△ABC中，AB=AC，若将△ABC顺时针旋转180°，得到△FEC．（1）试猜想AE与BF有何关系？说明理由；（2）若△ABC的面积为3cm2，求四边形ABFE的面积；（3）当∠ACB为多少度时，四边形ABFE为矩形？说明理由．8、已知：如图，在ABCD□中，点E是BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF．（1）求证：ABE FCE△≌△；（2）若AF AD=，求证：四边形ABFC是矩形．9、如图，在长方形ABCD中，AC是对角线，将长方形ABCD绕点B顺时针旋转90︒到长方形GBEF位置，H是EG的中点，若6AB=，8BC=，则线段CH的长为（）AB CDEFA.C.HGFEDCBA。

九年级北师大版《矩形的性质与判定》

《矩形的判定及性质综合》矩形的定义：________________________________________矩形的性质边角对角线对称性补充性质：矩形的周长：矩形的面积计算：常用解题技巧：1. 矩形的两条对角线将矩形分为四个面积相等的等腰三角形；2. 矩形中含30°，60°时注意考虑等边三角形及含30°的直角三角形；3. 矩形折叠问题：计算线段长度时，利用勾股定理计算时常需要设未知数列方程解答；矩形的判定：典型例题：AODCB考点1：矩形的定义与性质：1.矩形具有而菱形不具有的性质是（）A．对角相等B．对角线互相平分C．对角线相等D．对角线互相垂直2.如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若∠AOB＝60°，BD＝8，则DC长为（）A．4B．4 C．3 D．5题2 题4 题53.四个内角都相等的四边形是（）A．矩形B．菱形C．梯形D．平行四边形4.如图，在矩形ABCD中（AD＞AB），点E是BC上一点，且DE＝DA，AF⊥DE，垂足为点F，在下列结论中，不一定正确的是（）A．△AFD≌△DCE B．AF＝AD C．AB＝AF D．BE＝AD﹣DF5.如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，∠CAE＝15°，则∠AOE的度数为（）A．120°B．135°C．145°D．150°6.如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F．当四边形BEDF是菱形时，EF＝（）A．B．C．3D．4.57.如图，点P是矩形ABCD的边上一动点，矩形两边长AB、BC长分别为15和20，那么P到矩形两条对角线AC和BD的距离之和是（）A．6 B．12 C．24 D．不能确定题6 题7 题88. 如图，矩形ABCD 中，AC ，BD 交于点O ，M ，N 分别为BC ，OC 的中点，若MN ＝3，则BD ＝． 9. 如图，矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，AD ＝2，∠COB ＝60°，BF ⊥AC ，交AC 于点M ，交CD 于点F ，延长FO 交AB 于点E ，则下列结论：①FO ＝FC ；②四边形EBFD 是菱形；③△OBE ≌△CBF ；④MB ＝3．其中结论正确的序号是（） A ．②③④ B ．①②③C ．①④D ．①②③④10. 如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，过点O 的直线EF 分别交AD 、BC 于点E 、F ．若AB ＝4，BC ＝6，则图中阴影部分的面积为（） A ．6B ．10C ．12D ．2411.如图，ABC ∆是以AB 为斜边的直角三角形，4=AC ，3=BC ，P 为AB 上一动点，且AC PE ⊥于E ，BC PF ⊥于F ，则线段EF 长度的最小值为___________.题10 题11 题1212. 如图，把矩形ABCD 沿EF 翻折，点B 恰好落在AD 边的B ′处，若AE ＝2，DE ＝6，∠EFB ＝60°，则矩形ABCD 的面积是（）A ．12B ．24C ．12D ．1613. 如图，在平面直角坐标系中，四边形COED 是矩形，点D 的坐标是（1，3），则C ，E 两点间的距离为．14. 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点B （1，2），若锁定OA ，向左推矩形OABC ，使点B 落在y 轴的点B ′的位置，则点C 的对应点C ′的坐标为．题13 题14 题15 题1615.如图，设矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别为S1、S2，则二者的大小关系是：S1S2．16.如图，四边形ABCD为矩形，H、F分别为AD、BC边的中点，四边形EFGH为矩形，E、G分别在AB、CD 边上，则图中四个直角三角形面积之和与矩形EFGH的面积之比为．17.如图，在矩形ABCD中，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为E、F，连接DE、BF．（1）求证：BE＝DF；（2）判断四边形BEDF的形状，并说明理由．18.如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F．（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）当四边形BEDF是菱形时，求EF的长．考点2：直角三角形斜边上的中线的性质：1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4，CD⊥AB于点D，E是AB的中点，则DE的长为（）A．1B．2C．3D．4题1 题2 题32.如图，有一架梯子斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，在墙角（点O处）有一只猫紧紧盯住位于梯子（AB）正中间（点P处）的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉，把梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，若梯子A端沿墙下滑，且梯子B端沿地面向右滑行．在此滑动过程中，猫与老鼠的距离（）A．不变B．变小C．变大D．无法判断3. 如图，线段CE的长度为10，点D为线段CE上一动点（不与点C，E重合），DE为一边在CE上方作矩形ABCD，DEFG，使CB＝CD，DG＝DE，连接AC，EG，并取AC，EG的中点，分别记为M、N，连接MN．下面结论正确的是（）①∠ACD＝30°；②当点A落在MN上时，S矩形ABCD：S矩形DEFG＝1：3；③连接BF，则MN∥BF．A．①B．②C．③D．①②③4.如图，在△ABC中，AC＝3、AB＝4、BC＝5，P为BC上一动点，PG⊥AC于点G，PH⊥AB于点H，M 是GH的中点，P在运动过程中PM的最小值为（）A．2.4B．1.4C．1.3D．1.25.我们知道：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，求证：BC＝AB．考点3：矩形的判定：1.如图，直线EF∥MN，PQ交EF，MN于A，C两点，AB，CB，CD，AD分别是∠EAC，∠MCA，∠ACN，∠CAF的角平分线，则四边形ABCD是（）A．菱形B．平行四边形B．矩形D．不能确定2.如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是（）A．AB＝CD B．AD＝BC C．AC＝BD D．AB＝BC题2 题3 题43.如图，要使▱ABCD为矩形，则可以添加的条件是（）A．AC⊥BD B．AC＝BD C．∠AOB＝60°D．AB＝BC4.（2020•威海）如图，在▱ABCD中，对角线BD⊥AD，AB＝10，AD＝6，O为BD的中点，E为边AB上一点，直线EO交CD于点F，连接DE，BF．下列结论不成立的是（）A．四边形DEBF为平行四边形 B．若AE＝3.6，则四边形DEBF为矩形C．若AE＝5，则四边形DEBF为菱形 D．若AE＝4.8，则四边形DEBF为正方形5. 如图，一个平行四边形的活动框架，对角线是两根橡皮筋．若改变框架的形状，则∠α也随之变化，两条对角线长度也在发生改变．当∠α为度时，两条对角线长度相等．6. 如图，在平行四边形ABCD中，若∠1＝∠2，则四边形ABCD是．题5 题6 题77.如图，连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，还要添加条件，才能保证四边形EFGH是矩形．8.已知：如图，在▱ABCD中，AF、BH、CH、DF分别是∠BAD、∠ABC、∠BCD、∠ADC的平分线．求证：四边形EFGH是矩形．9.如图，在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE，连接AF，BF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）已知∠DAB＝60°，AF是∠DAB的平分线，若AD＝3，求DC的长度．10.如图，在△ABC中，D是BC中点，E是AD，BF的中点，AB＝AC．求证：四边形ADCF是矩形．考点4：矩形的性质与判定综合：1.如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA．下列四种说法：①四边形AEDF是平行四边形；②如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形；③如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；④如果AD⊥BC且AB＝AC，那么四边形AEDF是菱形．其中，正确的有（只填写序号）．2.如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACD的外角平分线于点F．（1）求证：OE＝OF；（2）若CE＝12，CF＝5，求OC的长；（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．3.如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6．动点P、Q分别从点D、A同时出发向右运动，点P的运动速度为2个单位/秒，点Q的运动速度为1个单位/秒，当一个点到达终点时两个点都停止运动．设运动的时间为t（s）（1）当t＝2时，PQ的长为；（2）若PQ＝PB，求运动时间t的值；（3）若BQ＝PQ，求运动时间t的值．4.如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝60°，点E是AD边的中点．点M是AB边上一动点（不与点A重合），连接ME并延长交CD的延长线于点N，连接MD、AN．（1）求证：四边形AMDN是平行四边形；（2）当AM＝1时，求证：四边形AMDN是矩形；（3）填空：当AM的值为时，四边形AMDN是菱形．课后作业1.如图，ABCD中，以A为圆心，DA的长为半径画弧，交BA于点F，作∠DAB的角平分线，交CD于点E，连接EF．（1）求证：四边形AFED是菱形；（2）若AD＝4，∠DAB＝60°，求四边形AFED的面积．2.如图，在ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是AD上一点，连接EO并延长交BC于点F，连接AF、CE，EF平分∠AEC．（1）求证：四边形AFCE是菱形．（2）若∠DAC＝60°，EF＝4，求四边形AFCE的面积．3.如图，在平行四边形ABCD中，EF垂直平分对角线AC，分别与边AD，BC交于点F，E．（1）求证：四边形AECF为菱形；（2）若AD＝3，CD＝，且∠D＝45°，求菱形AECF的周长．1.如图，AE∥BF，点D、C分别是AE和BF上的点，连接AC、BD交于点O，此时OA＝OC．若AC＝6，BD＝8，AB＝5，AM⊥BC于M，解决下列问题：（1）求证：OB＝OD；（2）求证：四边形ABCD是菱形；（3）求AM的长．2.矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）A．对边相等B．对角相等C．对角线相等D．对角线互相平分3.菱形和矩形的对角线，具有的性质是下列的（）A．对角线相等B．对角线互相垂直C．对角线互相垂直平分D．对角线互相平分4.如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．若∠AOB＝50°，则∠OAD的度数为（）A．25°B．30°C．35°D．15°5.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE垂直平分BO，若AE＝2，则OD＝（）A．2B．3C．4D．66.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，连接OE，若OE⊥BC，OE＝1，则AC的长为（）A．4B．2C．D．2题8 题9 题10 题11 7.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O．点E、F分别是AB，AO的中点，且AC＝8．则EF的长度为（）A．2B．4C．6D．88.如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点P在AD上，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE+PF等于（）B．C．D．A．9.如图所示，点O是菱形ABCD的对角线AC，BD的交点，AE＝DE，点F，G在AB上，EF⊥AB于点F，OG∥EF，连接OE．（1）求证：四边形OEFG是矩形；（2）若BC＝10，OG＝4，求OE和BG的长．10.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF．（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）连接OE，若AD＝5，EC＝2，求OE的长度．11.在矩形ABCD中，AB＝2cm，BC＝8cm，点P从点D出发向点A运动到点A即停止；同时点Q从点B出发向点C运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s，连结PQ、AQ、CP，设点P、Q运动的时间为ts．（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形，请说明理由；（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形，请说明理由．12.如图，在▱ABCD中，G是CD的中点，E是边长AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线相交于点F，连接CE，DF．（1）求证：四边形CEDF是平行四边形．（2）若BC＝2AB＝8，∠B＝60°．填空：①当AE＝时，四边形CEDF是矩形；②当AE＝时，四边形CEDF是菱形．13.如图所示，点O是菱形ABCD对角线的交点，CE∥BD，EB∥AC，连接OE，交BC于F．（1）求证：四边形OBEC为矩形；（2）如果OC：OB＝1：2，OE＝2，求菱形ABCD的面积．。

初中数学北师大版九年级上册2 矩形的性质与判定

3、一个矩形的对角线的长为6厘米，对角线与一边的夹角是45°，求矩形的长与宽
归纳小结:
1.矩形的定义：有一角是直角的平行四边形是矩形。
2.矩形的性质：
(1)具有平行四边形的所有特征；
(2)对角线相等；
(3)四个角都是直角；
(4) 是轴对称图形。
作业 114页
• 习题4．6 1、2题
同学们再会!
（1）随着∠a的变化,两条对角线的长度怎样变化的？
随着∠a的变化，一条对角线在变长，一条在变短。
（2)当∠a是锐角时，两条对角线的长度有什么关系？当∠a是钝角时呢？
当∠a是锐角时，过∠a的顶点的那条对角线比另一条长；当∠a是钝角时，过∠a的顶点的那条对角线比另一条短
（3)当∠a是直角时，平行四边形变成矩形，此时两条对角线的长度有什么关系？两条对角线相等
书山有路勤为径学海无涯苦作舟
O
BD=AC，（矩形的对角线相等）
∴
BO 1 BD 1 AC
2
2
B
C
练一练
1、矩形具有而平行四边形不具有的性质是（）
A 对角线相等
B 对边相等 C 对角相等
D 对角线互相平分 E 对角相等 F 四个角都是直角
G 邻角互补
H 对边平行
2、矩形的一组邻边长分别是3cm和4cm，则它的对角线
长是
cm
平行四边形的定义是什么? 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形的性质是什么?
边对边平行且相等
平行四边形→ 角
对角相等
邻角互补
对角线互相平分
平行四边形的判别方法有哪些?
两组对边分别平行边两组对边分别相等

2020年北师大版九年级上册数学：矩形的性质及判定

A
D
O
E
B
C
【巩固】☆如图，在矩形 ABCD 中， EF ∥ AB，GH ∥BC，EF，GH 的交点在 BD 上，图中面积相等的四边
形有（
）
A
E
D
G
O
H
B
F
C
A． 3 对
B． 4 对
C． 5 对
D． 6 对
7、☆如图，周长为 68 的矩形 ABCD 被分成 7 个全等的矩形，则矩形 ABCD 的面积为
A
D
N
P
M
B
Q
C
5、如图，在 ABC 中， D 是 BC 边上的一点， E 是 AD 的中点，过 A 点作 BC 的平行线交 CE 的延长线于
点 F ，且 AF BD ，连结 BF ．
⑴ 求证： BD CD ．
⑵ 如果 AB AC ，试判断四边形 AFBD 的形状，并证明你的结论．
F
A
E
B
D
C
1、.☆ 在矩形 ABCD 中，点 H 为 AD 的中点，P 为 BC 上任意一点，PE HC 交 HC 于点 E ，PF BH 交
BH 于点 F ，当 AB，BC 满足条件
时，四边形 PEHF 是矩形
【巩固】☆矩形具有而平行四边形不具有的性质为（）
A．对角线相等
B．对角相等
C．对角线互相平分
上，再将 Rt ABC 沿着 AB 所在直线翻转180 得到 ABF 连接 AD ．
⑴ 求证：四边形 AFCD 是菱形；
⑵ 连接 BE 并延长交 AD 于 G 连接 CG ，请问：四边形 ABCG 是什么特殊平行四边形？为什么？
A
G
D
E