数学 极限与连续
1.极限和连续
=2 3
一、极限
考点4、洛必达和等价无穷小求极限 （4）lim e-x - ex .
x®0 sin x
-e-x - ex
lim
= -2.
x®0 cos x
二、连续
1. 连续定义：左极限=右极限=函数值 (1) f(x)在点x0及其附近有定义； (2) f(x)在点x0的极限存在； (3) f(x)在点x0的极限值等于f(x)在点x0的函数值
高等数学
高等数学
（一）极限和连续
一、极限
1. 函数的左右极限：
函数某点极限存在的充要条件是
函数在该点的左右极限存在并且相等。
lim f x A lim f x B
xx0
xx0
2. 求极限方法 (1) 直接代入； (2) 等价无穷小； (3) 重要的极限 (4) 洛必达法则
一、极限
考点1、直接代入求极限 （1）
ke2x x<0 在 x=0 处连续，则 k＝
4cosx x≥0
ìx2 + 2a , x £ 0
设函数
f
(x) =
ï í sin
x
，在 x = 0 处连续，求常数 a 的值.
（3）
ïî 2x , x > 0
二、连续
考点5、连续与间断 （1）
1 （122. ）设函数 f(x)=
4
ke2x x<0 在 x=0 处连续，则 k＝
（等价无穷小的替换，必须是整个因式一起替换）
一、极限
常见的等价无穷小：
sin ~ ~ arcsin ~ tan ~ arctan ;
2 1 cos ~ ;
2 e 1 ~ ;
ln(1 ) ~ ;
高数函数极限与连续
通常用符号"lim(x->x0) f(x) = f(x0)"表示函数f(x)在点x0处连 续。
间断点类型及判定方法
第一类间断点
左右极限都存在，包括可去间断 点（左右极限相等但不等于函数 值）和跳跃间断点（左右极限不 相等）。
第二类间断点
左右极限至少有一个不存在，包 括无穷间断点（极限为无穷大） 和震荡间断点（极限震荡不存 在）。
高数函数极限与连续
contents
目录
• 函数极限概念与性质 • 数列极限与收敛性判断 • 函数连续性概念与性质 • 闭区间上连续函数性质研究 • 极限与连续在实际问题中应用 • 总结回顾与拓展延伸
01 函数极限概念与性质
函数极限定义及表示方法
函数极限的定义
设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数 ε（无论它多么小），总存在正数δ，使得当x满足不等式0<|x-x0|<δ时，对应的函 数值f(x)都满足不等式|f(x)-A|<ε，那么常数A就叫做函数f(x)当x→x0时的极限。
数列极限的符号表示
若数列{an}的极限为a，则记作lim(n→∞)an=a。
收敛数列性质与判定定理
1 2 3
收敛数列的有界性
收敛数列一定是有界数列，但反之不一定成立。
收敛数列的保号性
若数列收敛于a，且a>0（或a<0），则存在正 整数N，使得当n>N时，数列的通项an也大于0 （或小于0）。
判定定理
洛必达法则
对于0/0型或∞/∞型的未定式极限，可通过 求导后求极限来解决。
因式分解法
通过因式分解简化数列的通项表达式，进而 求极限。
极限与连续的定义与性质
极限与连续的定义与性质极限与连续是微积分中非常重要的概念，它们在数学中具有广泛的应用。
本文将介绍极限及其定义和性质，以及连续函数的定义和性质。
一、极限的定义与性质1. 极限的定义在数学中，极限是数列或函数逐渐接近某个确定值的过程。
对于数列，极限可以通过数学符号来表示，即lim(an)=a，表示数列an当n趋近于无穷时，逐渐趋向于a。
而对于函数，极限可以用lim(f(x))=L来表示，表示当x趋近于某个值时，函数f(x)的值趋近于L。
2. 极限的性质（1）唯一性：若极限存在，那么它是唯一的。
（2）局部有界性：存在极限的数列一定是有界的，即存在一个范围包含该数列的所有项。
（3）保序性：如果数列an逐渐趋近于a，而bn逐渐趋近于b，且an小于等于bn（对于所有的n），则有a小于等于b。
二、连续函数的定义与性质1. 连续函数的定义在数学中，连续函数是指在定义域的每个点上都有定义，并且在该点上的极限等于该点的函数。
形式化地，对于函数f(x)，如果对于任意x0∈定义域D，lim(x→x0)(f(x))=f(x0)，则称函数f(x)在x0上连续。
2. 连续函数的性质（1）极限与连续的关系：若函数f(x)在x=a处连续，那么lim(x→a)(f(x))=f(a)。
（2）连续函数的四则运算：如果函数f(x)和g(x)在x=a处连续，那么它们的和、差、积和商（当g(a)≠0时）也在x=a处连续。
（3）复合函数的连续性：若函数f(x)在x=a处连续，函数g(x)在x=b处连续，并且b=f(a)，那么复合函数g(f(x))在x=a处连续。
三、总结极限是数学中的重要概念，它在数列和函数中都有丰富的应用。
极限的定义和性质使我们能够更加准确地描述数列和函数的收敛性和趋势。
同时，连续函数是一类特殊的函数，其在定义域内不存在断点，平滑地连接着各个点。
连续函数的性质使我们能够进行更加灵活和精确的运算和推导。
通过对极限和连续的定义和性质的学习，我们可以更好地理解数学中的变化和趋势，应用于实际问题的建模和求解中。
函数的极限与连续性
函数的极限与连续性在数学中，函数的极限与连续性是两个重要的概念。
极限用于描述函数在某一点附近的趋近行为，而连续性则刻画了函数在整个定义域内的无间断性。
本文将深入探讨函数的极限与连续性的概念、性质以及应用。
1. 函数的极限函数的极限是指当自变量趋近于某一特定值时，函数对应的因变量的趋近行为。
数学上，我们用极限运算符来表示函数的极限，通常表示为lim f(x) = L，其中lim表示趋近的极限运算符，f(x)为给定函数，L为函数在点x趋近的极限值。
函数的极限具有以下性质：- 唯一性：如果函数存在极限，那么极限值是唯一的。
- 有界性：如果函数存在有限极限，那么函数在该点附近是有界的。
- 保号性：如果函数在某一点的极限存在且大于（或小于）零，那么该点附近的函数值都大于（或小于）零。
2. 函数的连续性函数的连续性是指函数在定义域内没有断裂或跳跃的特性。
具体而言，若函数f在某一点x=a处的极限存在且等于函数在该点的函数值f(a)，则称函数在点x=a处连续。
若函数在定义域上的每一点都连续，则称函数在该定义域上连续。
函数的连续性具有以下性质：- 初等函数的连续性：多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数在其定义域上都是连续的。
- 代数运算的连续性：两个连续函数的和、差、积仍为连续函数；若除数函数在某点不为零，那么商函数在该点连续。
- 复合函数连续性：若f(x)在点x=a处连续，g(x)在点y=f(a)处连续，那么复合函数g(f(x))在x=a处连续。
函数的极限与连续性在数学分析、微积分等领域有广泛的应用。
例如，极限理论为无穷小和无穷大的引入提供了基础，连续性可以帮助我们判断函数的可导性以及求解方程和不等式等问题。
总结起来，函数的极限与连续性是数学中重要的概念。
函数的极限描述了函数在某一点附近的趋近行为，而连续性则刻画了函数整个定义域内的无间断性。
这些概念具有各自的性质和应用，在数学的许多领域中都发挥着重要的作用。
高中数学中的极限与连续性
高中数学中的极限与连续性在高中数学中，极限与连续性是两个重要的概念。
它们不仅在数学领域有着广泛的应用，而且在其他学科中也起到了关键的作用。
本文将探讨这两个概念的内涵和应用，并解释它们在实际生活中的意义。
一、极限的概念极限是数学分析中的一个基本概念，用于描述函数在某一点附近的行为。
在数学中，我们经常遇到一些无法直接计算的问题，而通过极限的概念，我们可以对这些问题进行更深入的研究和分析。
极限的定义是：对于任意给定的正数ε，存在一个正数δ，使得当x与a的距离小于δ时，函数f(x)与L的距离小于ε。
简单来说，极限表示函数在某一点的值无论多么接近某个值，都可以通过选择足够接近的自变量来实现。
极限的概念在微积分中有着重要的应用。
例如，在求导过程中，我们需要计算函数在某一点的斜率。
通过极限的概念，我们可以定义导数，进而求得函数在任意一点的导数。
此外，极限还在数列和级数的研究中起到了关键作用。
数列的极限是指当n趋向于无穷大时，数列的值趋近于某个常数。
级数的极限则是指当级数中的项数无限增加时，级数的和趋近于某个常数。
通过研究数列和级数的极限，我们可以了解它们的性质和收敛性。
二、连续性的概念连续性是函数的一个重要性质，它描述了函数在定义域上的无间断性。
在数学中，连续性是指函数在某一点的函数值与该点的极限值相等。
换句话说，如果一个函数在某一点连续，那么它在该点附近的函数值与该点的极限值非常接近。
连续性的概念在微积分和实分析中有着广泛的应用。
例如，在求定积分的过程中，我们需要将函数分成无穷小的小矩形，并将它们的面积加起来。
如果函数在整个区间上连续，那么这个过程是可行的。
但如果函数在某些点上不连续，我们就需要通过分段函数的方法来处理。
连续性还在微分方程的研究中发挥了重要的作用。
微分方程描述了自然界中很多现象的变化规律，而连续性保证了我们可以对这些变化进行准确的描述和预测。
通过研究微分方程的连续性，我们可以了解函数的解在整个定义域上的行为。
极限与连续的关系
极限与连续的关系在数学领域中，极限与连续是两个重要的概念。
它们之间存在着紧密的联系，同时也有着一定的区别。
本文将探讨极限与连续的关系，并从不同的角度进行分析。
一、极限的定义与性质极限是数学中一个基本的概念，它描述了一个变量趋近于某个确定值的过程。
在数学中，我们通常用符号“lim”来表示极限。
具体而言，对于一个函数f(x)，当自变量x无限接近于某个值a时，如果函数值f(x)也无限接近于某个值L，则称L为函数f(x)在点a处的极限，记作lim(x→a)f(x)=L。
极限的定义可以用数列的极限来解释。
数列是指由一系列数按照一定规律排列而成的序列。
当数列中的数无限接近于某个值时，我们称该数为数列的极限。
而函数的极限可以看作是无穷多个点的极限的集合。
极限具有一些重要的性质。
首先，极限的唯一性：如果函数f(x)在点a处的极限存在，那么该极限是唯一的。
其次，极限的保号性：如果函数f(x)在点a的左侧或右侧有极限L，且L大于（或小于）零，那么函数f(x)在点a处的极限也大于（或小于）零。
此外，极限还具有四则运算的性质，即加法、减法、乘法和除法。
二、连续函数的定义与特性连续函数是极限的一种特殊情况，它在数学中具有重要的地位。
连续函数的定义可以用极限来描述。
具体而言，对于一个函数f(x)，如果它在某个点a的极限存在，并且该极限等于函数在点a处的函数值f(a)，那么称函数f(x)在点a处连续。
连续函数具有一些重要的特性。
首先，连续函数的运算性质：如果函数f(x)和g(x)在点a处连续，那么它们的和、差、积、商（除数不为零）在点a处也连续。
其次，连续函数的复合性质：如果函数f(x)在点a处连续，而g(x)在点f(a)处连续，那么复合函数g(f(x))在点a处连续。
三、极限与连续之间存在着密切的联系。
首先，连续函数的极限与函数值相等。
也就是说，如果一个函数在某个点处连续，那么它在该点处的极限等于函数值。
这是连续函数定义的直接推论。
函数的极限及连续性
函数的极限及连续性函数的极限和连续性是微积分学中非常重要的概念，它们在数学和科学的各个领域中都有广泛的应用。
本文将介绍函数的极限和连续性的定义、性质以及它们在实际问题中的应用。
一、函数的极限函数的极限是用来描述函数在某一点上的变化趋势的概念。
在数学中，我们通常用极限来研究函数的性质和行为。
1.1 定义设函数 f(x) 在某一点 a 的某一个邻域内有定义，如果存在一个常数L，对于任意给定的正数ε，都存在另一个正数δ，使得当 0 < |x - a| < δ 时，有 |f(x) - L| < ε成立，那么我们就称函数 f(x) 在点 a 处的极限为 L，记作lim┬(x→a)〖f(x)=L〗。
1.2 性质函数的极限具有一些特性，如唯一性、局部有界性、保号性等。
这些性质使得我们可以通过极限来推导函数的一些重要性质。
1.3 应用函数的极限在微积分、物理学、工程学等领域有着广泛的应用。
例如，在物理学中，我们可以通过函数的极限来描述在某一瞬间的速度、加速度等物理量的变化情况。
二、函数的连续性连续性是函数在某一点上无间断变化的特性。
一个函数若在其定义域上的任意一点都满足连续性，则称该函数为连续函数。
2.1 定义设函数 f(x) 在点 a 处有定义，如果满足以下三个条件：1) f(a) 存在；2) lim┬(x→a)〖f(x) exists〗；3) lim┬(x→a)〖f(x) = f(a)〗；那么我们就称函数 f(x) 在点 a 处连续。
2.2 性质连续函数具有一些重要的性质，如连续函数的局部保号性、介值性等。
这些性质使得我们可以通过连续函数来解决一些实际问题。
2.3 应用函数的连续性在经济学、物理学、统计学等领域中有着广泛的应用。
例如，在经济学中，我们可以通过连续函数来描述市场价格的变化情况。
三、函数的极限与连续性的关系函数的极限和连续性是紧密相关的。
在微积分学中，我们通常使用函数的极限来研究函数的连续性。
高中数学极限与连续性
高中数学极限与连续性极限和连续性是高中数学中重要的概念，它们在微积分和数学分析等领域有广泛的应用。
本文将系统介绍高中数学中的极限和连续性，并探讨它们的意义和性质。
一、极限的概念与性质极限是数学中研究函数变化趋势的重要工具，可以用于描述函数在某一点的取值特性。
在高中数学中，我们主要关注函数在自变量趋于某一特定值时的极限。
1.1 极限的定义设函数$f(x)$在$x_0$的某一去心邻域内有定义，常数$L$是给定的，如果对于任意给定的正数$\varepsilon$，都存在正数$\delta$，使得当$0<|x-x_0|<\delta$时，有$|f(x)-L|<\varepsilon$成立，那么我们称$L$是函数$f(x)$当$x$趋于$x_0$时的极限，记作$\lim_{x\to x_0}f(x)=L$。
1.2 极限的性质极限具有以下性质：（1）唯一性：若$\lim_{x\to x_0}f(x)$存在，则极限唯一；（2）局部有界性：若$f(x)$在$x_0$的某一去心邻域内有定义，并且$\lim_{x\to x_0}f(x)=L$存在，则存在正数$M$和$\delta>0$，使得当$0<|x-x_0|<\delta$时，有$|f(x)|<M$；（3）四则运算：设函数$f(x)$和$g(x)$在$x_0$的某一去心邻域内有定义，并且$\lim_{x\to x_0}f(x)=A$，$\lim_{x\to x_0}g(x)=B$存在，则有：a) $\lim_{x\to x_0}[f(x)\pm g(x)]=A\pm B$；b) $\lim_{x\to x_0}[f(x)\cdot g(x)]=A\cdot B$；c) $\lim_{x\to x_0}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]=\frac{A}{B}$，其中$B\neq 0$；（4）复合函数：若$\lim_{x\to x_0}g(x)=A$存在，且在$x_0$的某一去心邻域内，有$f(g(x))$有定义，则有$\lim_{x\to x_0}f(g(x))=\lim_{t\to A}f(t)$。
极限与连续的总结
极限与连续的总结极限与连续是微积分中的两个重要概念，它们是解析几何、数学分析以及应用数学的基础。
极限是描述函数趋向于某个特定点的行为，而连续则要求函数在一定范围内没有任何的间断点。
本文将对极限与连续的定义、性质以及应用进行总结，以帮助读者更好地理解和应用这两个概念。
首先，我们来看极限的定义。
在数学中，极限是描述函数在某个点或者在无穷远处的行为的概念。
对于函数$f(x)$，当$x$趋向于$a$时，如果$f(x)$的值趋向于一个确定的常数$L$，我们就说$f(x)$的极限为$L$，记作$\lim_{x \to a} f(x) = L$。
这可以用以下等价的定义来描述：对于任意给定的$\epsilon > 0$，存在一个$\delta > 0$，使得当$0 < |x-a| < \delta$时，有$|f(x)-L| < \epsilon$。
简单来说，就是当$x$离$a$足够近时，$f(x)$的值会越来越接近$L$。
极限有一些基本的性质。
首先，如果一个函数在某个点$a$有极限，那么这个极限是唯一的。
其次，如果函数在某个点$a$有极限$L$，那么函数在$a$点连续。
最后，如果两个函数在某点的极限都存在，那么它们的和、差、积以及商的极限也都存在，并且满足一些运算规则。
这些性质是进行极限计算的基础。
极限的应用非常广泛。
在微积分中，极限是求导和积分的基础。
求导可以通过极限的定义来进行计算，而积分则是对函数在某个区间上的极限进行求和。
极限还可以用来研究函数的渐近行为，帮助我们更好地理解函数的性质和图像。
此外，极限还被应用到一些工程和物理问题中，例如极限可以用来解决物体在无限接近某个位置时的行为。
除了极限，连续也是微积分中的重要概念。
在数学中，一个函数在某个点$a$是连续的，意味着函数在$a$点没有任何的间断点，而且当$x$趋向于$a$时，$f(x)$的极限存在且等于$f(a)$。
更正式地说，一个函数$f(x)$在点$a$连续，即满足以下三个条件：1) $f(a)$存在；2) $\lim_{x \to a} f(x)$存在；3) $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$。
数学分析函数的极限与连续性
数学分析函数的极限与连续性数学分析：函数的极限与连续性在高等数学中，函数的极限与连续性是非常基本且重要的概念。
本文将从函数极限和函数连续性两个方面，简要介绍相关定义和判定方法。
一、函数的极限1. 定义设 $f(x)$ 是定义在某一区间内的函数，$x_0$ 为该区间的某一点，如果对于任何给定的正数 $\varepsilon$，总存在正数 $\delta$，使得当$0<|x-x_0|<\delta$ 时，就有 $|f(x)-A|<\varepsilon$ 成立，那么就称$f(x)$ 当 $x$ 趋近于 $x_0$ 时的极限为 $A$，记为$\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)=A$。
这个定义可以简单理解为：在 $f(x)$ 函数中，当 $x$ 趋近于$x_0$ 时，$f(x)$ 的取值越来越接近于 $A$。
2. 极限的性质(1) 极限唯一性：如果 $\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)$ 存在，则极限唯一。
(2) 有界性：如果 $\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)=A$ 存在，则$f(x)$ 在点 $x_0$ 的某一去心邻域内有界。
(3) 夹逼定理：设 $f(x),g(x),h(x)$ 在点 $x_0$ 的某一去心邻域内有定义，并且当 $x$ 趋近于 $x_0$ 时，有 $g(x) \leq f(x) \leq h(x)$ 成立，则当 $x$ 趋近于 $x_0$ 时，这三个函数的极限都存在，且有$\lim\limits_{x\rightarrow x_0}g(x)\leq \lim\limits_{x\rightarrowx_0}f(x)\leq \lim\limits_{x\rightarrow x_0}h(x)$。
二、函数的连续性1. 定义设 $f(x)$ 是定义在某一区间内的函数，$x_0$ 为该区间的某一点，如果 $\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)$ 存在且等于 $f(x_0)$，那么就称 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处连续。
函数的极限与连续性
函数的极限与连续性函数是数学中的重要概念，极限和连续性则是函数理论中的基础知识。
本文将介绍函数的极限和连续性的概念、性质以及它们在实际问题中的应用。
一、函数的极限在数学中，函数的极限描述了当自变量趋向于某个特定值时，函数取值的趋势。
具体而言，给定一个函数f(x)，当自变量x无限接近某个数a时，函数f(x)的极限表示为lim[x→a]f(x)。
如果对于任意给定的ε>0，存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-L|<ε成立，则称函数f(x)在x=a处的极限为L。
函数的极限有以下性质：1. 一致性：如果lim[x→a]f(x)=L，那么对于任意的从左右两侧趋近于a的数列，函数f(x)都会趋近于L。
即lim[x→a⁻]f(x)=L和lim[x→a⁺]f(x)=L。
2. 有界性：如果lim[x→a]f(x)=L，则存在正数M，使得当0<|x-a|<δ时，|f(x)|<M。
3. 保号性：如果lim[x→a]f(x)=L>0，那么存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，f(x)>0。
类似地，如果lim[x→a]f(x)=L<0，则存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，f(x)<0。
二、函数的连续性连续性是函数的另一个重要概念，描述了函数在某一点的“平滑”程度。
如果一个函数在某一点x=a的邻域内能够连续地绘制成一条曲线，那么称该函数在该点连续。
函数的连续性有以下性质：1. 初等函数的连续性：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等初等函数在其定义域上均连续。
2. 连续函数的运算：如果f(x)和g(x)是函数f和g的连续函数，那么它们之和、差、积以及商(分母不为零)都是连续函数。
3. 复合函数的连续性：如果f(x)在点x=a处连续，g(x)在点x=b处连续，并且b是f(x)的定义域，那么复合函数h(x) = g(f(x))在点x=a处连续。
极限与连续性
极限与连续性在数学领域中，极限和连续性是两个重要的概念，它们在各个数学分支中都有着广泛的应用。
本文将对极限和连续性的定义、性质以及它们之间的关联进行探讨。
一、极限的定义和性质1.1 极限的定义在数学中，当一个函数的自变量趋近于某一值时，函数的取值也会趋近于一个特定的值。
这个特定的值就称为函数的极限。
对于函数 f(x)，当 x 趋近于 a 时，如果存在常数 L，使得对于任意给定的正数ε，都存在一个正数δ，满足当 0 < |x-a| < δ 时有 |f(x)-L| < ε，那么我们说函数 f(x) 在 x= a 处的极限是 L。
1.2 极限的性质极限有一些重要的性质，包括唯一性、局部性和四则运算法则。
（1）唯一性：一个函数在某一点的极限是唯一的，即使通过不同的途径趋近于该点，极限仍然是相同的。
（2）局部性：函数在某一点的极限与该点附近的函数值相关，与整个函数曲线在其他地方的行为无关。
（3）四则运算法则：如果两个函数 f(x) 和 g(x) 在某一点的极限都存在，那么它们的和、差、积和商的极限也将存在，并具有相应的性质。
二、连续性的定义和性质2.1 连续性的定义连续性是指函数在其定义域上的无间断性。
当函数在某一点的极限与该点的函数值相等时，我们称函数在该点连续。
对于函数 f(x)，如果对于任意给定的 x=a，有f(a)=lim┬(x→a)〖f(x)〗，那么我们说函数 f(x) 在 x=a 处是连续的。
2.2 连续性的性质连续函数具有以下性质：（1）连续函数与四则运算：如果两个函数 f(x) 和 g(x) 在某一点连续，那么它们的和、差、积和商也将在该点连续。
（2）复合函数的连续性：如果函数 g(x) 在 x=a 处连续，而函数 f(x) 在 g(a) 处连续，则复合函数 f(g(x)) 在 x=a 处连续。
（3）闭区间上的连续函数：如果函数 f(x) 在闭区间 [a, b] 上连续，且在开区间 (a, b) 上可导，则在开区间 (a, b) 上 f(x) 的极限存在。
数学分析中的极限与连续性
数学分析中的极限与连续性数学分析作为数学的核心分支之一，主要研究数列、函数的极限和连续性等概念。
极限与连续性是数学分析的两个重要概念，对于了解和掌握这些概念的含义和性质具有重要意义。
本文将介绍数学分析中的极限和连续性，并简要探讨它们的应用和重要性。
一、极限的概念在数学分析中，极限是一种重要的概念，用以描述函数或者数列在某一点处的趋势。
对于一个函数$f(x)$而言，当$x$无限接近某个常数$a$时，如果$f(x)$的值逐渐趋近于一个常数$L$，则称函数$f(x)$在点$a$处有极限，记作$\lim_{x\to a}f(x)=L$。
极限的存在可以用严密的数学语言表达为：对于任意给定的正实数$\epsilon$，存在正实数$\delta$，使得当$0<|x-a|<\delta$时，恒有$|f(x)-L|<\epsilon$成立。
在数学分析中，极限具有一些重要的性质，比如唯一性和保序性。
如果极限存在，则极限唯一；如果$f(x)$的极限存在且有限，则可以推出$x$的极限也存在且有限；若$f(x)$的极限存在且为正，那么函数$f(x)$在极限左侧的取值都小于极限值，极限右侧的取值都大于极限值。
二、连续性的概念连续性是数学分析中另一个重要的概念，用以描述函数在某一区间上的光滑程度。
对于一个函数$f(x)$而言，如果$x$在某一点$a$处的极限存在，并且等于$f(a)$，则称函数$f(x)$在点$a$处连续。
连续函数的定义可以用极限的语言表达为：对于任意给定的$x=a$，存在$\delta>0$，使得当$|x-a|<\delta$时，有$|f(x)-f(a)|<\epsilon$。
连续函数具有一些重要的性质，比如保序性和介值性。
如果$f(x)$在某一区间上连续，并且在该区间上非负，那么$f(x)$在该区间上始终非负；如果$f(x)$和$g(x)$在某一区间上连续，并且在该区间上$f(x)\leq g(x)$，那么在该区间上恒有$f(x)\leq g(x)$；介值性指的是，如果$f(a)<c<f(b)$，那么在$a$和$b$之间必然存在某个点$c$，使得$f(c)=c$。
极限与连续函数知识点
极限与连续函数知识点在微积分学中，极限和连续函数是两个重要的概念。
它们在数学领域的应用极为广泛，对于理解和解决各种问题都起着关键作用。
本文将介绍极限和连续函数的基本概念、性质以及它们在实际问题中的应用。
一、极限的概念极限是微积分学中最基本的概念之一。
通俗地说，极限可以理解为一个数列或者函数在某一点无限接近于某个确定的值。
在数学符号中，我们用lim表示极限。
一个数列或者函数的极限有两种可能情况：正向极限和负向极限。
1.1 正向极限设函数f(x)在x→a的过程中，当x从a的右侧无限接近a时，f(x)的值趋于L。
我们将此时的极限称为正向极限。
数学上表示为：lim┬(x→a⁺)f(x)=L其中，x→a⁺表示x趋于a的右侧。
1.2 负向极限类似地，设函数f(x)在x→a的过程中，当x从a的左侧无限接近a时，f(x)的值趋于L。
我们将此时的极限称为负向极限。
数学上表示为：lim┬(x→a⁻)f(x)=L其中，x→a⁻表示x趋于a的左侧。
二、极限的性质在研究极限的过程中，我们需要掌握一些重要的性质。
2.1 极限的唯一性一个函数在某一点的极限值是唯一确定的。
也就是说，如果一个函数在某一点的极限存在，那么它只能有一个确定的值。
2.2 极限的四则运算对于两个函数f(x)和g(x)，如果它们在某一点的极限存在，那么它们的和、差、积和商的极限也存在，并且可以通过以下公式计算：lim┬(x→a)(f(x)±g(x))=lim┬(x→a)f(x)±lim┬(x→a)g(x)lim┬(x→a)(f(x)g(x))=lim┬(x→a)f(x)⋅lim┬(x→a)g(x)lim┬(x→a)(f(x)/g(x))=lim┬(x→a)f(x)/lim┬(x→a)g(x) (其中lim┬(x→a)g(x)≠0)三、连续函数的概念连续函数是一类与极限相关的函数。
在数学中，我们称一个函数f(x)在某一点x=a处连续，如果满足以下条件：1) f(a)存在；2) lim┬(x→a)f(x)存在；3) lim┬(x→a)f(x)=f(a)。
函数的极限与连续性
函数的极限与连续性函数的极限是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点趋于无穷或趋近于某个特定值时的性质。
而函数的连续性则表示函数在某一点或某一区间内没有跳跃或断裂，它是极限的一种重要性质。
本文将详细介绍函数的极限与连续性的基本概念、性质和应用。
一、函数的极限当自变量x在逼近某一特定值时，函数f(x)的极限描述了f(x)的值接近于何种程度。
形式上，当x趋近于c时，函数f(x)的极限为L，表示为lim(x→c)f(x)=L。
其中，c可以是实数、无穷大或无穷小。
函数极限的计算通常基于一些基本的极限性质，如极限的四则运算法则、复合函数的极限、函数极限与无穷大等。
二、函数的连续性函数的连续性是指函数在某一点或某一区间内没有跳跃或断裂。
若函数在某一点x=c处连续，则满足以下三个条件：函数在点c的定义域内有定义；函数在点c的极限存在；函数在点c的极限等于函数在点c 处的函数值。
连续函数是一类特殊的函数，它在整个定义域内都具有连续性。
常见的连续函数有多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
三、函数的极限与连续性的关系函数的连续性是函数极限的一种重要性质。
在一些情况下，函数在某一点的极限存在且与函数在该点的函数值相等，即函数在该点连续。
但也存在一些情况，函数在某一点的极限存在，但函数在该点不连续。
这种情况下，我们称函数在该点存在间断。
四、函数的极限与连续性的应用函数的极限与连续性在数学、物理等领域有着广泛的应用。
在微积分中，函数的极限是导数和积分等概念的基础。
通过对函数的极限和连续性的研究，可以计算函数在某一点的导数、确定函数的最值、解微分方程等问题。
在实际问题中，函数的极限和连续性也具有重要的应用。
在物理学中，通过对物体的位置、速度和加速度等函数进行极限和连续性的分析，可以求解物体的运动轨迹、速度变化等问题。
在经济学中，通过对需求函数、供给函数等进行极限分析，可以推导出市场均衡价格和数量等重要结果。
总结函数的极限和连续性是微积分中的核心概念，具有广泛的应用。
函数的极限与连续性
函数的极限与连续性函数的极限和连续性是微积分中非常重要的概念。
极限描述了函数在某一点或在无穷远处的趋势，而连续性则描述了函数在定义域内没有断裂或间断的性质。
本文将深入探讨函数的极限和连续性的概念、性质以及它们在实际问题中的应用。
一、函数的极限函数的极限是指当自变量无限靠近某一点时，函数的取值是否趋近于某个特定的值。
用数学语言来描述，则函数f(x)在x趋近于a时的极限为L，记作lim(x→a) f(x) = L。
从定义可以看出，函数的极限与函数在该点的实际取值可能不同。
例如，函数f(x) = 1/x，在x趋近于0时，其极限是正无穷或负无穷，但在0点本身的取值却是无定义的。
函数的极限具有一些基本性质：1. 唯一性性质：若极限存在，那么它是唯一的。
2. 局部性质：如果函数在某一点存在极限，那么它在该点的任意一个足够小的领域内也存在极限。
3. 保号性质：如果极限存在且为正数，那么函数在该点附近的取值均为正数。
同理，如果极限存在且为负数，那么函数在该点附近的取值均为负数。
二、函数的连续性函数的连续性是指函数在定义域内没有断裂或间断的性质。
具体来说，函数f(x)在某一点x=a处连续，需满足以下三个条件：1. 函数在a点存在定义。
2. 函数在a点的极限存在。
3. 函数在a点的极限等于a点的函数值，即lim(x→a) f(x) = f(a)。
函数的连续性可以分为三种类型：1. 间断点：函数在某一点处不连续。
常见的间断点包括可去间断、跳跃间断和无穷间断。
2. 第一类间断点：在该点两边的极限存在，但不相等。
3. 第二类间断点：在该点的至少一边的极限不存在。
三、函数极限与连续性的应用函数的极限和连续性在实际问题中具有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 函数的极限可以用来描述物体运动的速度和加速度。
例如，函数f(t)表示某物体在时刻t的位置，通过求解f(t)的导数可以得到物体在该时刻的速度和加速度。
2. 函数的连续性可以用来求解函数的最值。
连续与极限的基本概念
连续与极限的基本概念在数学中，连续与极限是两个十分重要的概念，它们在各个领域都有广泛的应用。
本文将介绍连续与极限的基本概念以及相关的性质和定理。
一、连续的基本概念连续是指函数在某个区间上的无间断性。
具体来说，给定一个函数f(x)，如果对于该函数的任意x值，只要x在该函数的定义域内，都有f(x)存在且存在有限，那么我们就说函数f(x)在该定义域上是连续的。
连续函数具有以下性质：1. 第一类间断点：如果在某个点a处，函数f(x)的左、右极限存在且相等，但与f(a)不相等，那么称a为函数f(x)的第一类间断点。
2. 第二类间断点：如果在某个点a处，函数f(x)的左、右极限存在，但左、右极限不相等或者其中至少一个不存在，那么称a为函数f(x)的第二类间断点。
二、极限的基本概念极限是指函数在某个点上的趋近性。
具体来说，给定一个函数f(x)，如果对于给定的实数L，对于任意给定的正数ε，存在另一个正数δ，使得当0 < |x - a| < δ时，有|f(x) - L| < ε，那么我们就说函数f(x)在x=a处的极限为L，记作lim(x→a)f(x)=L。
极限具有以下性质：1. 一致极限性质：如果对于函数f(x)，当x无穷大时，其极限L与任意ε都存在这样的N，当x > N时，有|f(x) - L| < ε，那么我们称函数f(x)在无穷远处的极限为L。
2. 唯一性：函数f(x)在某个点x=a处的极限若存在，则该极限唯一。
3. 局部有界性：如果函数f(x)在某个点x=a处的极限存在，那么该函数在该点附近存在一个区间，使得函数在该区间上有界。
三、连续与极限的关系连续与极限是密切相关的。
事实上，连续函数在其定义域上的每个点处的极限都存在且与函数在该点处的函数值相等。
四、重要定理连续函数具有一些重要的性质和定理，其中包括：1. 介值定理：如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，并且对于任意给定的实数α和β，且α < β，存在一个实数c，使得f(c) = ξ，其中α < ξ< β，那么函数f(x)在开区间(α, β)上至少存在一个点x0，使得f(x0) = ξ。
极限与连续函数的关系与性质
极限与连续函数的关系与性质极限与连续函数是微积分学中的重要概念，它们在数学和物理等领域的应用广泛。
本文将介绍极限和连续函数的关系以及它们的性质。
一、极限的定义与性质1. 极限的定义：设函数f(x)在点x=a的某个去心邻域内有定义，若对于任意给定的正实数ε，存在正实数δ，使得当0 < |x-a| < δ时，有|f(x) - L| < ε，则称L是函数f(x)当x趋于a时的极限。
即表示为lim(x→a) f(x) = L。
2. 极限的性质：- 唯一性：如果lim(x→a) f(x)存在，那么极限是唯一的。
- 局部有界性：如果lim(x→a) f(x) = L存在，则存在一个正实数δ，使得a的邻域内，函数f(x)有界。
- 局部保号性：如果lim(x→a) f(x) = L存在且L>0（或L<0），则存在一个正实数δ1，当0 < |x-a| < δ1时，f(x) > 0（或f(x) < 0）。
- 保序性：如果lim(x→a) f(x) = L1，lim(x→a) g(x) = L2，且L1 < L2，则对于充分小的正实数ε，存在正实数δ，当0 < |x-a| < δ时，有f(x) < g(x) - ε。
二、连续函数的定义与性质1. 连续函数的定义：设函数f(x)在区间[a,b]上有定义，在[a,b]内的任意一点c 上，lim(x→c) f(x) = f(c)，则称函数f(x)在区间[a,b]上连续。
2. 连续函数的性质：- 有界性：如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则函数f(x)在区间[a,b]上有界。
- 介值性：如果函数f(x)在区间[a,b]上连续且不恒取常数，则对于函数f(x)的任意两个值f(a)和f(b)之间的任意实数L，存在区间[a,b]上的某个点c，使得f(c) = L。
- 零点定理：如果函数f(x)在区间[a,b]上连续且f(a)和f(b)异号（即f(a) * f(b) < 0），则在区间[a,b]上至少存在一个点c，使得f(c) = 0。
极限与连续性
极限与连续性极限与连续性是数学中的两个重要概念。
极限是研究函数变化趋势时常用的方法，而连续性是描述函数在某一区间上的不中断性质。
本文将分别介绍极限和连续性的概念、性质以及它们在数学和实际问题中的应用。
一、极限极限是研究函数变化的重要工具。
简单来说，极限描述的是当自变量接近某一特定值时，函数值的趋势。
设函数f(x)在某一点x=a附近有定义，则当x无限接近于a时，如果函数值f(x)无限接近于某一常数L，就称函数f(x)在x=a时的极限为L，记作lim（x→a）f(x)=L。
极限有一些基本性质。
首先，唯一性性质指的是函数在某一点的极限只能有一个确定的值。
其次，加法定理指的是两个函数的极限之和等于这两个函数的极限之和。
再次，乘法定理指的是两个函数的极限之积等于这两个函数的极限之积。
最后，复合函数的极限定理指的是由两个连续函数构成的复合函数的极限等于这两个函数的极限之积。
极限在数学中有广泛的应用。
在微积分中，通过极限的概念，我们可以定义导数和积分，进而研究函数的变化速率和曲线下的面积。
在实际问题中，极限常用于计算在无限分割下的边长、面积、体积等数值，比如求圆的周长、圆的面积等。
二、连续性连续性是描述函数在某一区间上的不中断性质。
简单来说，如果函数在某一点处无间断、无跳跃，就称该函数在该点连续。
设函数f(x)在某一区间[a,b]上有定义，则当x属于[a,b]时，函数f(x)连续，当且仅当函数f(x)在[a,b]上每一点x处都连续。
连续函数具有一些基本性质。
首先，定义域上的有界闭区间上的连续函数，一定有最大值和最小值。
其次，闭区间上的连续函数满足介值定理，即如果函数在一个区间的两个端点值异号，则在这个区间上，一定存在函数的零点。
连续性在数学中也有广泛的应用。
在微积分中，通过连续性的概念，我们可以判断函数的极值点和最值点，进而求得函数的最大值和最小值。
在实际问题中，连续性常用于描述物体在一定时间内的运动轨迹、函数图像的连续性以及实验数据的趋势等。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第2章 极限与连续§2.1 极 限1. 极限的概念（1）数列的极限：0>∀ε，N ∃（正整数），当N n >时，恒有ε<-A x nA x n n =∞→lim 或 A x n → )(∞→n几何意义：在),(εε+-A A 之外，{}n x 至多有有限个点N x x x ,,,21（2）函数的极限x →∞的极限：0>∀ε，0>∃X ，当X x >时，恒有ε<-A x f )(A x f x =∞→)(lim 或 A x f →)( )(∞→x几何意义：在（)X x X <<-之外，)(x f 的值总在),(εε+-A A 之间。
0x x →的极限：0>∀ε，0>∃δ，当δ<-<00x x 时，恒有ε<-A x f )(A x f x x =→)(lim 0或 A x f →)( )(0x x →几何意义：在0000(,)(,)x x x x x δδ∈-+ 邻域内，)(x f 的值总在),(εε+-A A 之间。
（3） 左右极限左极限：0>∀ε，0>∃δ，当00x x x <<-δ时，恒有ε<-A x f )(A x f x x =-→)(lim 0或 A x f x f =-=-)0()(00右极限：0>∀ε，0>∃δ，当δ+<<00x x x 时，恒有ε<-A x f )(A x f x x =+→)(lim 0或 A x f x f =+=+)0()(00极限存在的充要条件：0lim ()lim ()x x x x f x A f x -+→→== （4）极限的性质唯一性：若A x f x x =→)(lim 0，则A 唯一保号性：若A x f x x =→)(lim 0，则在0x 的某邻域内0A >(0)A < ⇒ ()0f x >(()0)f x <；()0f x ≥(()0)f x ≤ ⇒ 0A ≥(0)A ≤有界性：若A x f x x =→)(lim 0，则在0x 的某邻域内，)(x f 有界2. 无穷小与无穷大（1）定义：以0为极限的变量称无穷小量；以∞为极限的变量称无穷大量；同一极限 过程中，无穷小（除0外）的倒数为无穷大；无穷大的倒数为无穷小。
注意： 0是无穷小量；无穷大量必是无界变量，但无界变量未必是无穷大量。
例如当x →∞时，x x sin 是无界变量，但不是无穷大量。
（2）性质：有限个无穷小的和、积仍为无穷小；无穷小与有界量的积仍为无穷小；A x f x x =→)(lim 0成立的充要条件是α+=A x f )(（00(,)x x x δδ∈-+，0lim =α）（3）无穷小的比较（设 0lim =α，0lim =β）： 若lim0βα=，则称β是比α高阶的无穷小，记为()o α；特别α称为()o αβαα+=+的主部若limβα=∞，则称β是比α低阶的无穷小； 若lim C βα=，则称β与α是同阶无穷小；若lim 1βα=，则称β与α是等价无穷小，记为~βα；若lim k C βα=，（0,0>≠k C ）则称β为α的k 阶无穷小；（4）无穷大的比较： 若lim u =∞，lim v =∞，且lim uv=∞，则称u 是比v 高阶的无穷大，记为1()o v ；特别u 称为1()u v o v v +=+的主部3. 等价无穷小的替换若同一极限过程的无穷小量αα'~，ββ'~，且limαβ''存在，则 ()()limlim ()()f x f xg x g x ααββ'='(lim 0)α=常用等价无穷小sin tan arcsin arctan ~ln(1)1e ααααααα⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪+⎪⎪⎪⎪-⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩2111cos ~211~21(1)1~1~ln n n a aααααααα-+-- 注意：（1）无论极限过程，只要极限过程中方框内是相同的无穷小就可替换；（2）无穷小的替换一般只用在乘除情形，不用在加减情形； （3）等价无穷小的替换对复合函数的情形仍实用，即若lim ()(0)f f α=，αα'~，则()~()f f αα'4. 极限运算法则（设 A x f =)(lim ，B x g =)(lim ） （1） []=±)()(lim x g x f ±)(lim x f B A x g ±=)(lim （2） []=⋅)()(lim x g x f ⋅)(lim x f B A x g ⋅=)(lim特别地，[])(lim )(lim x f C x Cf =，[]=nx f )(lim []n nA x f =)(lim（3） =)()(limx g x f BAx g x f =)(lim )(lim (0≠B ) 5.准则与公式（lim 0α=，lim 0β=） 准则1：（夹逼定理）若)()()(x x f x ψϕ≤≤，则A x x ==)(lim )(lim ψϕ ⇒ A x f =)(lim准则2：（单调有界数列必有极限）若{}n x 单调，且n x M ≤（0M >），则lim n n x →∞存在（{}n x 收敛）准则3：（主部原则）()limlim ()o o αααβββ+=+； 1111121212()()lim lim ()()o o o o ∞+∞∞=∞+∞∞公式1： 0sin lim1x xx →= ⇒ s i n l i m1αα=公式2： 10lim(1)1lim(1)x x n n x e n →→∞⎧⎫+⎪⎪⎪⎪=⎨⎬⎪⎪+⎪⎪⎩⎭ ⇒1l i m (1)1l i m (1)e αα∞⎧⎫+⎪⎪⎪⎪=⎨⎬⎪⎪+∞⎪⎪⎩⎭公式3： lim lim(1)e αα∞⋅∞+=，一般地，lim lim(1)f f e αα⋅+=公式4：1101100lim lim n n n n n n nm m m x x m m m mn m a x a x a a x a n m b x b x b b x b n m---→∞→∞-⎧<⎪+++⎪===⎨+++⎪⎪∞>⎩ 6. 几个常用极限(0,1)a a >≠（1）1lim =∞→n n a ，1lim =∞→n n n ； （2）1lim 0=+→x x x ，lim xx x →+∞=+∞； （3）10lim x x e +→=+∞，1lim 0x x e -→=； （4）0lim ln x x +→=-∞； （5）001lim arctan 21lim arctan 2x x x x ππ+-→→⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩； （6）011lim 111nn q q q q q →∞⎧<⎪∞>⎪=⎨=⎪⎪=-⎩不存在§2.2 函数的连续与间断1. 连续的概念（设)(x f 在)(0x U 有定义） （1）若0lim 0=∆→∆y x ，则称)(x f 在0x x =处连续（2）若)()(lim 00x f x f x x =→，则称)(x f 在0x x =处连续连续的三条件：)(0x f 由定义；)(lim )(lim 0x f A x f x x x x +-→→==；)(0x f A = （3）若)()(lim 00x f x f x x =-→，则称)(x f 在0x x =处左连续；若)()(lim 00x f x f x x =+→，则称)(x f 在0x x =处右连续；若)(x f 在),(b a 内连续，在a x =处右连续， 在b x =处左连续，则称)(x f 在[]b a , 上连续。
2. 间断点及其分类（1）若)(x f 在0x 处不连续，则称点0x 为)(x f 的间断点。
（2）左右极限都存在的间断点称为第一类间断点（跳跃间断和可去间断）；左右极限至少有一个不存在的间断点称为第二类间断点（无穷间断和振荡间断）。
3. 初等函数的连续性（1）若)(x f ，)(x g 均在0x 处连续，则)()(x g x f ±；()()f x g x ；()()f xg x （0)(0≠x g ），在0x 处也连续。
（2）若lim ()()u af u f a →=，0lim ()x xg x a →=，则[]0lim ()()x x f g x f a →=，且[]00lim ()lim ()x x x x f g x f g x →→⎡⎤=⎢⎥⎣⎦（交换符号次序）；[]0lim ()lim ()x x u af g x f u →→=（变量代换）特别地，若lim ()()u af u f a →=，00lim ()()x x g x g x a →==，则[][]00lim ()()x x f g x f g x →=（3）若函数)(x f y =在某区间上单值、单调、连续，则其反函数)(1x f y -=在相应区间上也单值、单调、连续。
4. 闭区间上连续函数的性质有界与最值定理：若)(x f 在[]b a , 上连续，则)(x f 在[]b a ,上有界，且必有最大值（max f M =）与最小值（min f m =）。
介值定理：若)(x f 在[]b a ,上连续，则对介于两端点之间的任意实数c ，至少有一点[],a b ξ∈，使得c f =)(ξ，或[],c m M ∀∈，至少有一点[],a b ξ∈，使得c f =)(ξ零点定理：若)(x f 在[]b a ,上连续，且0)()(<b f a f ，则至少存在一点),(b a ∈ξ，使得0)(=ξf 。
注意：基本初等函数在其定义区间内连续；一切初等函数在其定义区间内连续。
§2.3 典型例题解析1．利用定义求数列的极限解题思路 利用恒等变形和不等式的缩放化简()f n A ε-<，求出n 与ε的关系或利用已知关系，确定N 的取值。
例1 求证下列各题（2）已知2lim n n x a →∞=，21lim n n x a +→∞=，证明 lim n n x a →∞=；证 由于2lim n n x a →∞=，0ε∀>，1N ∃，当122n N >时，有2n x a ε-<；由于21lim n n x a +→∞=，0ε∀>，2N ∃，当22121n N +>+时，有21n x a ε+-<；取{}12max 2,21N N N =+，则当n N >时，有n x a ε-<，即lim n n x a →∞=（3）已知n n x a y ≤≤，且lim()0n n n y x →∞-=，证明 lim lim n n n n x y a →∞→∞==。