高考数学一轮复习第十章算法初步、推理与证明、复数第三节复数习题理
高考数学一轮复习 第十章 算法初步、复数、推理与证明
课时跟踪检测（四十八） 合情推理与演绎推理一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．已知数列{a n }中，a 1＝1，n ≥2时，a n ＝a n －1＋2n －1，依次计算a 2，a 3，a 4后，猜想a n 的表达式是________．解析：a 1＝1，a 2＝4，a 3＝9，a 4＝16，猜想a n ＝n 2. 答案：a n ＝n 22．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类比以上结论我们可以得到的一个真命题为：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则____________________成等比数列．解析：利用类比推理把等差数列中的差换成商即可． 答案：T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 123．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则： ①“mn ＝nm ”类比得到“a ·b ＝b ·a ”；②“(m ＋n )t ＝mt ＋nt ”类比得到“(a ＋b)·c ＝a ·c ＋b ·c ”； ③“(m ·n )t ＝m (n ·t )”类比得到“(a ·b)·c ＝a ·(b ·c )”； ④“t ≠0，mt ＝xt ⇒m ＝x ”类比得到“p ≠0，a ·p ＝x·p ⇒a ＝x ”； ⑤“|m ·n |＝|m |·|n |”类比得到“|a ·b |＝|a |·|b |”；⑥“ac bc ＝a b ”类比得到“a ·c b ·c ＝a b”．以上的式子中，类比得到的结论正确的个数是________． 解析：①②正确，③④⑤⑥错误． 答案：24．对于命题：若O 是线段AB 上一点，则有||OB ―→ ·OA ―→＋||OA ―→ ·OB ―→＝0. 将它类比到平面的情形是：若O 是△ABC 内一点，则有S △OBC ·OA ―→＋S △OCA ·OB ―→＋S △OBA ·OC ―→＝0.将它类比到空间的情形应该是：若O 是四面体ABCD 内一点，则有________________________________________________________________________．解析：将平面中的相关结论类比到空间，通常是将平面中的图形的面积类比为空间中的几何体的体积，因此依题意可知：若O 为四面体ABCD 内一点，则有V O BCD·OA ―→＋V OACD·OB―→＋V OABD·OC ―→＋V OABC·OD ―→＝0.答案：V OBCD·OA ―→＋V O ACD·OB ―→＋V OABD·OC ―→＋V OABC·OD ―→＝05．(2018·南京调研)已知函数f (x )＝x 3＋x ，对于等差数列{a n }满足：f (a 2－1)＝2，f (a 2016－3)＝－2，S n 是其前n 项和，则S 2 017＝________.解析：因为函数f (x )＝x 3＋x 为奇函数，且在R 上单调递增，又因为f (a 2－1)＝2，f (a 2 016－3)＝－2，则a 2－1＝－(a 2 016－3)，即a 2＋a 2 016＝4，即a 1＋a 2 017＝4.则S 2 017＝2 0172(a 1＋a 2 017)＝4 034.答案：4 0346．(2018·启东检测) [x ]表示不超过x 的最大整数，例如：[π]＝3.S 1＝[1]＋[2]＋[3]＝3，S 2＝[4]＋[5]＋[6]＋[7]＋[8]＝10，S 3＝[9]＋[10]＋[11]＋[12]＋[13]＋[14]＋[15]＝21，……依此规律，那么S 10＝________.解析：因为[x ]表示不超过x 的最大整数， 所以S 1＝[1]＋[2]＋[3]＝1×3＝3，S 2＝[4]＋[5]＋[6]＋[7]＋[8]＝2×5＝10，S 3＝[9]＋[10]＋[11]＋[12]＋[13]＋[14]＋[15]＝3×7＝21，……， S n ＝[n 2]＋[n 2＋1]＋[n 2＋2]＋…＋[n 2＋2n －1]＋[n 2＋2n ]＝n ×(2n ＋1)，所以S 10＝10×21＝210.答案：210二保高考，全练题型做到高考达标1．二维空间中，圆的一维测度(周长)l ＝2πr ，二维测度(面积)S ＝πr 2；三维空间中，球的二维测度(表面积)S ＝4πr 2，三维测度(体积)V ＝43πr 3.应用合情推理，若四维空间中，“超球”的三维测度V ＝8πr 3，则其四维测度W ＝________.解析：在二维空间中，圆的二维测度(面积)S ＝πr 2，则其导数S ′＝2πr ，即为圆的一维测度(周长)l ＝2πr ；在三维空间中，球的三维测度(体积)V ＝43πr 3，则其导数V ′＝4πr 2，即为球的二维测度(表面积)S ＝4πr 2；应用合情推理，若四维空间中，“超球”的三维测度V ＝8πr 3，则其四维测度W ＝2πr 4.答案：2πr 42．观察下列等式 12＝112－22＝－3 12－22＋32＝6 12－22＋32－42＝－10 ……照此规律，第n 个等式可为________________．解析：观察规律可知，第n 个式子为12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1n n ＋12.答案：12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1n n ＋123．(2018·南京第十三中学检测)某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为1,1,2,3,5，则预计第10年树的分枝数为________．解析：因为2＝1＋1,3＝2＋1,5＝3＋2，即从第三项起每一项都等于前两项的和，所以第10年树的分枝数为21＋34＝55.答案：554．给出以下数对序列： (1,1) (1,2)(2,1) (1,3)(2,2)(3,1) (1,4)(2,3)(3,2)(4,1) ……记第i 行的第j 个数对为a ij ，如a 43＝(3,2)，则a nm ＝________.解析：由前4行的特点，归纳可得：若a n m ＝(a ，b )，则a ＝m ，b ＝n －m ＋1，所以a n m＝(m ，n －m ＋1)．答案：(m ，n －m ＋1)5．在平面几何中：△ABC 的∠C 内角平分线CE 分AB 所成线段的比为AC BC ＝AEBE.把这个结论类比到空间：在三棱锥A BCD 中(如图)，平面DEC 平分二面角A CD B 且与AB 相交于E ，则得到类比的结论是______________．解析：由平面中线段的比转化为空间中面积的比可得AE EB ＝S △ACDS △BCD. 答案：AE EB ＝S △ACDS △BCD6．设n 为正整数，f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n ，计算得f (2)＝32，f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，观察上述结果，可推测一般的结论为____________________．解析：因为f (21)＝32，f (22)>2＝42，f (23)>52，f (24)>62，所以归纳得f (2n)≥n ＋22.答案：f (2n)≥n ＋227．(2018·海门中学测试) 有一个奇数组成的数阵排列如下：1 3 7 13 21 … 5 9 15 23 … … 11 17 25 … … … 19 27 … … … … 29 … … … … … ………………则第30行从左到右第3个数是________．解析：由归纳推理可得第30行的第1个数是1＋4＋6＋8＋10＋ (60)30×2＋602－1＝929.又第n 行从左到右的第2个数比第1个数大2n ，第3个数比第2个数大2n ＋2，所以第30行从左到右的第2个数比第1个数大60，第3个数比第2个数大62，故第30行从左到右第3个数是929＋60＋62 ＝1 051.答案：1 0518．如果函数f (x )在区间D 上是凸函数，那么对于区间D 内的任意x 1，x 2，…，x n ，都有f x 1＋f x 2＋…＋f x n n ≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2＋…＋x n n .若y ＝sinx 在区间(0，π)上是凸函数，那么在△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值是________．解析：由题意知，凸函数满足f x 1＋f x 2＋…＋f x n n ≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2＋…＋x n n ，又y ＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数， 则sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sin A ＋B ＋C3＝3sin π3＝332.答案：3329．(2018·苏州调研)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝x 2－x －m . (1)当m ＝0时，求函数F (x )＝f (x )－g (x )在(0，a ]的最大值；(2)证明：当m ≥－3时，不等式f (x )＋g (x )<x 2－(x －2)e x对任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1均成立(其中e 为自然对数的底数，e ＝2.718…)．解：(1)当m ＝0时，F (x )＝ln x －x 2＋x ，x ∈(0，＋∞)， 则F ′(x )＝－2x ＋1x －1x，x ∈(0，＋∞)，当0<x <1时，F ′(x )>0；当x >1时，F ′(x )<0，所以F (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 所以当0<a ≤1时，F (x )的最大值为F (a )＝ln a －a 2＋a ； 当a >1时，F (x )的最大值为F (1)＝0.(2)证明：f (x )＋g (x )<x 2－(x －2)e x 可化为m >(x －2)e x＋ln x －x ，设h (x )＝(x －2)e x＋ln x －x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，要证m ≥－3时，m >h (x )对任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1均成立， 只要证h (x )max <－3即可，下证此结论成立．因为h ′(x )＝(x －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫e x －1x ，所以当12<x <1时，x －1<0，设u (x )＝e x －1x ，则u ′(x )＝e x＋1x2>0，所以u (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递增， 又因为u (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上的图象是一条不间断的曲线，且u ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝e －2<0，u (1)＝e －1>0，所以∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，使得u (x 0)＝0，即e x 0＝1x 0，ln x 0＝－x 0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，x 0时，u (x )<0，h ′(x )>0； 当x ∈(x 0,1)时，u (x )>0，h ′(x )<0；所以函数h (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，x 0上单调递增，在(x 0,1]上单调递减，所以h (x )max ＝h (x 0)＝(x 0－2)e x 0＋ln x 0－x 0＝(x 0－2)·1x 0－2x 0＝1－2x 0－2x 0.因为y ＝1－2x －2x 在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递增， 所以h (x 0)＝1－2x 0－2x 0<1－2－2＝－3，即h (x )max <－3，所以当m ≥－3时，不等式f (x )＋g (x )<x 2－(x －2)e x对任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1均成立.10．已知O 是△ABC 内任意一点，连结AO ，BO ，CO 并延长，分别交对边于A ′，B ′，C ′，则OA ′AA ′＋OB ′BB ′＋OC ′CC ′＝1，这是一道平面几何题，其证明常采用“面积法”： OA ′AA ′＋OB ′BB ′＋OC ′CC ′＝S △OBC S △ABC ＋S △OCA S △ABC ＋S △OAB S △ABC ＝S △ABCS △ABC＝1. 请运用类比思想，对于空间中的四面体A BCD ，存在什么类似的结论，并用“体积法”证明．解：在四面体A BCD 中，任取一点O ，连结AO ，DO ，BO ，CO 并延长，分别交四个面于E ，F ，G ，H 点．则OE AE ＋OF DF ＋OG BG ＋OHCH＝1.证明：在四面体O BCD 与A BCD 中， OE AE ＝h 1h ＝13S △BCD ·h 113S △BCD ·h ＝V OBCD V ABCD.同理有OF DF ＝V O ABC V DABC；OG BG ＝V OACD V BACD；OH CH ＝V OABD V CABD.所以OE AE ＋OF DF ＋OG BG ＋OHCH＝V O BCD＋V OABC＋V OACD＋V OABDV ABCD＝V A BCD V ABCD＝1.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．观察下列事实：|x |＋|y |＝1的不同整数解(x ，y )的个数为4，|x |＋|y |＝2的不同整数解(x ，y )的个数为8，|x |＋|y |＝3的不同整数解(x ，y )的个数为12，…，则|x |＋|y |＝20的不同整数解(x ，y )的个数为________．解析：由|x |＋|y |＝1的不同整数解的个数为4，|x |＋|y |＝2的不同整数解的个数为8，|x |＋|y |＝3的不同整数解的个数为12，归纳推理得|x |＋|y |＝n 的不同整数解的个数为4n ，故|x |＋|y |＝20的不同整数解的个数为80.答案：802．古希腊的数学家研究过各种多边形数．记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 N (n,3)＝12n 2＋12n四边形数 N (n,4)＝n 2五边形数 N (n,5)＝32n 2－12n六边形数 N (n,6)＝2n 2－n ……可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (20,15)的值为________． 解析：原已知式子可化为N (n,3)＝12n 2＋12n ＝3－22n 2＋4－32n ；N (n,4)＝n 2＝4－22n 2＋4－42n ； N (n,5)＝32n 2－12n ＝5－22n 2＋4－52n ； N (n,6)＝2n 2－n ＝6－22n 2＋4－62n . 故N (n ，k )＝k －22n 2＋4－k 2n ，N (20,15)＝15－22×202＋4－152×20＝2 490. 答案：2 4903.(2018·东台中学检测)如图，已知双曲线x 24－y 29＝1，F 1，F 2是左右两个焦点，点M 在双曲线上．(1)若∠F 1MF 2＝90°，求△F 1MF 2的面积；(2)若∠F 1MF 2＝120°，△F 1MF 2的面积是多少？若∠F 1MF 2＝60°， △F 1MF 2的面积又是多少？(3)观察以上结果，你能猜出随着∠F 1MF 2的度数的变化， △F 1MF 2的面积将怎样变化吗？试证明你的结论．解：由双曲线方程知a ＝2，b ＝3，c ＝13，设MF 1＝r 1，MF 2＝r 2(r 1>r 2)，由双曲线的定义，得r 1－r 2＝2a ＝4， 将r 1－r 2＝4两边平方得r 21＋r 22－2r 1r 2＝16，(1)若∠F 1MF 2＝90°，在Rt △F 1MF 2中，有F 1F 22－4S △F 1MF 2＝16， 即52－16＝4S △F 1MF 2，解得S △F 1MF 2＝9.(2)若∠F 1MF 2＝120°，在△F 1MF 2中，由余弦定理得F 1F 22＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos 120°， 即F 1F 22＝(r 1－r 2)2＋3r 1r 2，即(213)2＝42＋3r 1r 2，所以r 1r 2＝12， 可得S △F 1MF 2＝12r 1r 2sin 120°＝3 3.同理可得，若∠F 1MF 2＝60°时，S △F 1MF 2＝9 3.(3)由此猜想：随着∠F 1MF 2的度数的逐渐增大，△F 1MF 2的面积将逐渐减小． 证明如下：令∠F 1MF 2＝θ(0<θ<π)， 则S △F 1MF 2＝12r 1r 2sin θ，由双曲线的定义及余弦定理， 得{ r 1－r 22＝4a 2， ①r 21＋r 22－2r 1r 2cos θ＝4c 2， ②②－①得r 1r 2＝4c 2－4a221－cos θ，所以S △F 1MF 2＝c 2－a 2sin θ1－cos θ＝b 2tanθ2，因为0<θ<π，0<θ2<π2，所以当θ2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，tan θ2是增函数．而当tan θ2逐渐增大时，S △F 1MF 2＝b 2tanθ2将逐渐减小，所以随着∠F 1MF 2的度数的逐渐增大，△F 1MF 2的面积将逐渐减小．。
高考数学一轮复习 第十章 推理与证明、复数 10.3 复数课件
(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.
如图给出的平行四边形 OZ1ZZ2 可以直观地反映出复数加减法的几何意义， 即O→Z＝ O→Z1＋O→Z2，Z→1Z2＝ O→Z2－O→Z1 .
答案
思考辨析
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)方程x2＋x＋1＝0没有解.( × ) (2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.( × ) (3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.( × ) (4)原点是实轴与虚轴的交点.( √ ) (5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数 对应的向量的模.( √ )
答案
2
考点自测
1.(2015·安徽)设i是虚数单位，则复数(1－i)(1＋2i)等于( C )
A.3＋3i
B.－1＋3i
C.3＋i
D.－1＋I
解析 (1－i)(1＋2i)＝1＋2i－i－2i2＝1＋i＋2＝3＋i，故选C.
12345
解析答案
2.(2015·课标全国Ⅰ)已知复数z满足(z－1)i＝1＋i，则z等于( C )
所以“m＝1”是“z1＝z2”的充分不必要条件.
解析答案
1.对本例(1)中的复数 z，若|z|＝ 10，求 a 的值. 解 若|z|＝ 10，则(a－3)2＋1＝10， ∴|a－3|＝3，∴a＝0或a＝6. 2.在本例(2)中，若zz12为实数，则 a＝ －4 . 解析 若zz12为实数，则4＋5 a＝0. ∴a＝－4.
第十章 推理与证明、复数
§10.3 复 数
内容 索引
基础知识 自主学习 题型分类 深度剖析 思想与方法系列 思想方法 感悟提高 练出高分
一点一练高考数学 第十章 推理证明、算法、复数专题演练 理(含两年高考一年模拟)-人教版高三全册数学
第十章 推理证明、算法、复数考点35 推理与证明、数学归纳法两年高考真题演练1.(2014·某某)用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A ．方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根B ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有一个实根C ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有两个实根D ．方程x 3＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根 2．(2015·某某)观察下列各式： C 01＝40； C 03＋C 13＝41; C 05＋C 15＋C 25＝42； C 07＋C 17＋C 27＋C 37＝43； ……照此规律，当n ∈N *时，C 02n －1＋C 12n －1＋ C 22n －1＋…＋ C n －12n －1＝________．3．(2015·某某)一个二元码是由0和1组成的数字串x 1x 2…x n (n ∈N *)，其中x k (k ＝1，2，…，n )称为第k 位码元．二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1，或者由1变为0)．已知某种二元码x 1x 2…x 7的码元满足如下校验方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x 4⊕x 5⊕x 6⊕x 7＝0，x 2⊕x 3⊕x 6⊕x 7＝0，x 1⊕x 3⊕x 5⊕x 7＝0，其中运算⊕定义为0⊕0＝0，0⊕1＝1，1⊕0＝1，1⊕1＝0.现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k 位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k 等于________．4．(2014·某某)如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝22，过点A 作BC 的垂线，垂足为A 1；过点A 1作AC 的垂线，垂足为A 2；过点A 2作A 1C 的垂线，垂足为A 3；…，依此类推，设BA ＝a 1，AA 1＝a 2，A 1A 2＝a 3，…，A 5A 6＝a 7，则a 7＝________．5．(2014·某某)若集合{a ，b ，c ，d }＝{1，2，3，4}，且下列四个关系：①a ＝1；②b ≠1；③c ＝2；④d ≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(a ，b ，c ，d )的个数是________．6多面体 面数(F ) 顶点数(V )棱数(E ) 三棱柱 5 6 9 五棱锥 6 6 10 立方体6 812猜想一般凸多面体中F ，V ，E 所满足的等式是________．7．(2014·某某)设a 1＝1，a n ＋1＝a 2n －2a n ＋2＋b (n ∈N *)． (1)若b ＝1，求a 2，a 3及数列{a n }的通项公式；(2)若b ＝－1，问：是否存在实数c 使得a 2n ＜c ＜a 2n ＋1对所有n ∈N *成立？证明你的结论．考点35 推理与证明、数学归纳法一年模拟试题精练1．(2015·某某师大附中模拟)观察下列等式：13＋23＝1，73＋83＋103＋113＝12，163＋173＋193＋203＋223＋233＝39，…，则当n ＜m 且m ，n ∈N 时，3n ＋13＋3n ＋23＋…＋3m －23＋3m －13＝________．(最后结果用m ，n 表示)2．(2015·某某黄冈模拟)对于集合N ＝{1，2，3，…，n }和它的每一个非空子集，定义一种求和称之为“交替和”如下：如集合{1，2，3，4，5}的交替和是5－4＋3－2＋1＝3，集合{3}的交替和为3. 当集合N 中的n ＝2时，集合N ＝{1，2}的所有非空子集为{1}，{2}，{1，2}，则它的“交替和”的总和S 2＝1＋2＋(2－1)＝4，请你尝试对n ＝3，n ＝4的情况，计算它的“交替和”的总和S 3, S 4，并根据计算结果猜测集合N ＝{1，2，3，…，n }的每一个非空子集的“交替和”的总和S n ＝________ (不必给出证明)．3．(2015·某某威海模拟)对大于1的自然数m 的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”23⎩⎪⎨⎪⎧35，33⎩⎪⎨⎪⎧7911，43⎩⎪⎨⎪⎧13151719，…仿此，若m 3的“分裂”数中有一个是2 015，则m 的值为________．4．(2015·某某七市模拟)将长度为l (l ≥4，l ∈N *)的线段分成n (n ≥3)段，每段长度均为正整数，并要求这n 段中的任意三段都不能构成三角形．例如，当l ＝4时，只可以分为长度分别为1，1，2的三段，此时n 的最大值为3；当l ＝7时，可以分为长度分别为1，2，4的三段或长度分别为1，1，1，3的四段，此时n 的最大值为4.则：(1)当l ＝12时，n 的最大值为________； (2)当l ＝100时，n 的最大值为________．5．(2015·某某模拟)已知n ，k ∈N * ，且k ≤n ，k C k n ＝n C k －1n －1，则可推出C 1n ＋2C 2n ＋3C 3n ＋…＋k C k n ＋…＋n C n n ＝n (C 0n －1＋C 1n －1＋…C k －1n －1＋…C n －1n －1)＝n ·2n －1，由此，可推出C 1n ＋22C 2n ＋32C 3n ＋…＋k 2C k n ＋…＋n 2C nn ＝________.6．(2015·某某日照模拟)已知2＋23＝223，3＋38＝338，4＋415＝4415，…，若7＋a b ＝7ab，(a 、b 均为正实数)，则类比以上等式，可推测a 、b 的值，进而可得a ＋b ＝________．7．(2015·某某某某模拟)已知函数f 1(x )＝2x ＋1，f n ＋1(x )＝f 1(f n (x ))，且a n ＝f n （0）－1f n （0）＋2.(1)求证：{a n }为等比数列，并求其通项公式； (2)设b n ＝（－1）n －12a n ，g (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，求证：g (b n )≥n ＋22.考点36 算法与程序框图两年高考真题演练1.(2015·某某)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为( )A ．2B ．1C ．0D ．－12．(2015·)执行如图所示的程序框图，输出的结果为( )A ．(－2，2)B ．(－4，0)C ．(－4，－4)D ．(0，－8) 3．(2015·某某)执行如图所示的程序框图，若输出k 的值为8，则判断框内可填入的条件是( ) A ．s ≤34B ．s ≤56C ．s ≤1112D ．s ≤25244．(2015·新课标全国Ⅱ)下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为14，18，则输出的a ＝( )A ．0B ．2C ．4D ．145．(2014·某某)执行如图所示的程序框图，若输出k 的值为6，则判断框内可填入的条件是( )A ．s >12B ．s >35C ．s >710D ．s >456．(2014·某某)执行如图的程序框图，如果输入的x ，y ∈R ，那么输出的S 的最大值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3考点36 算法与程序框图一年模拟试题精练1．(2015·某某某某模拟)执行如图所示的程序框图，若输入n的值为22，则输出的S 的值为( )A．232 B．211 C．210 D．1912．(2015·乌鲁木齐模拟)执行如图程序在平面直角坐标系上打印一系列点，则打出的点在圆x2＋y2＝10内的个数是( )A．2 B．3 C．4 D．53．(2015·某某模拟)在区间[－2，3]上随机选取一个数M，不断执行如图所示的程序框图，且输入x的值为1，然后输出n的值为N，则M≤N－2的概率为( )A.15B.25C.35D.454．(2015·某某一模)已知如图1所示是某学生的14次数学考试成绩的茎叶图，第1次到第14次的考试成绩依次记为A 1，A 2，…A 14，图2是统计茎叶图中成绩在一定X 围内考试次数的一个程序框图，则输出的n 的值是( )A ．8B ．9C ．10D ．115．(2015·某某一模)如图，给出的是计算12＋14＋16＋…＋12 016的值的程序框图，其中判断框内应填入的是( )A ．i ≤2 021B ．i ≤2 019C ．i ≤2 017D ．i ≤2 0156．(2015·某某枣庄模拟)某算法的程序框图如图所示，如果输出的结果为26，则判断框内的条件应为( )A ．k ≤5?B ．k ＞4?C ．k ＞3?D ．k ≤4?考点37 复 数 两年高考真题演练1.(2015·某某)设i 是虚数单位，则复数2i1－i 在复平面内所对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．(2015·某某)若复数z ＝i(3－2i)(i 是虚数单位)，则z ＝( ) A ．3－2i B ．3＋2i C ．2＋3i D ．2－3i3．(2015·新课标全国Ⅱ)若a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝－4i ，则a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．24．(2015·某某)设复数z ＝(x －1)＋y i(x ，y ∈R )，若|z |≤1，则y ≥x 的概率为( ) A.34＋12π B.14－12π C.12－1π D.12＋1π5．(2015·新课标全国Ⅰ)设复数z 满足1＋z 1－z ＝i ，则|z |＝( )A ．1 B. 2 C. 3 D ．26．(2015·某某)设i 是虚数单位，则复数i 3－2i＝( )A ．－iB ．－3iC ．iD ．3i7．(2015·)复数i(2－i)＝( ) A ．1＋2i B ．1－2i C ．－1＋2i D ．－1－2i8．(2015·某某)若集合A ＝{i ，i 2，i 3，i 4}(i 是虚数单位)，B ＝{1，－1}，则A ∩B 等于( )A ．{－1}B ．{1}C ．{1，－1}D ．∅9．(2015·某某)已知（1－i ）2z＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z ＝( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i10．(2015·某某)若复数z 满足z1－i ＝i ，其中i 为虚数单位，则z ＝( )A ．1－iB ．1＋iC ．－1－iD ．－1＋i11．(2014·某某)复平面内表示复数i(1－2i)的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限12．(2014·某某)已知i 是虚数单位，a ，b ∈R ，则“a ＝b ＝1”是“(a ＋b i)2＝2i ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件13．(2014·某某)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若a －i 与2＋b i 互为共轭复数，则(a ＋b i)2＝( )A ．5－4iB ．5＋4iC ．3－4iD ．3＋4i 14．(2015·某某)设复数a ＋b i(a ，b ∈R )的模为3，则(a ＋b i)(a －b i)＝________． 15．(2015·某某)i 是虚数单位，若复数(1－2i)(a ＋i)是纯虚数，则实数a 的值为________．1．(2015·某某江南十校模拟)若复数6＋a i3－i (其中a ∈R ，i 为虚数单位)的实部与虚部相等，则a ＝( )A ．3B ．6C ．9D ．122．(2015·某某某某模拟)已知i 为虚数单位，复数z ＝(1＋2i)i 对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．(2015·万州区模拟)设复数z ＝a ＋i1－i(a ∈R ，i 为虚数单位)，若z 为纯虚数，则a ＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．24．(2015·乌鲁木齐模拟)在复平面内，复数1＋2i1－i对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 5．(2015·某某模拟)已知复数z 满足：z i ＝2＋i(i 是虚数单位)，则z 的虚部为( ) A ．2i B ．－2i C ．2 D ．－26．(2015·某某一模)已知i 为虚数单位，复数z 满足i z ＝1＋i ，则z ＝( ) A ．1＋i B ．1－i C ．－1＋i D ．－1－i7．(2015·某某一模)设i 为虚数单位，复数2i1＋i等于( )A ．－1＋iB ．－1－iC ．1－iD ．1＋i8．(2015·某某一模)已知复数z 1＝2＋i ，z 2＝1－2i ，若z ＝z 1z 2，则z －＝( )A.45＋iB.45－i C ．i D ．－i 9．(2015·德阳模拟)复数2i 2－i ＝( )A ．－25＋45i B.25－45iC.25＋45i D ．－25－45i 10．(2015·某某枣庄模拟)i 是虚数单位，若z ＝1i －1，则|z |＝( )A.12B.22C. 2 D ．2 11．(2015·某某某某模拟)已知i 是虚数单位， 若⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋i 1＋m i 2＜0(m ∈R )，则m 的值为( )A.12 B ．－2 C ．2 D ．－1212．(2015·某某某某模拟)设a ∈R ，i 是虚数单位，则“a ＝1”是“a ＋ia －i为纯虚数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件13．(2015·某某模拟)复数z ＝m －2i1＋2i(m ∈R ，i 为虚数单位)在复平面上对应的点不可能位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限14．(2015·某某河西五地模拟)下面是关于复数z ＝21－i的四个命题： p 1：|z |＝2, p 2：z 2＝2i ，p 3：z 的共轭复数为－1＋i, p 4：z 的虚部为1.其中真命题为( ) A ．p 2，p 3 B ．p 1，p 2 C ．p 2，p 4 D ．p 3，p 415．(2015·某某马某某模拟)若复数z ＝(a 2－4)＋(a ＋2)i 为纯虚数，则a ＋i 2 0151＋2i的值为( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i第十章 推理证明、算法、复数考点35 推理与证明、数学归纳法 【两年高考真题演练】1．A [因为至少有一个的反面为一个也没有，所以要做的假设是方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根．]2．4n －1[观察等式，第1个等式右边为40＝41－1，第2个等式右边为41＝42－1，第3个等式右边为42＝43－1， 第4个等式右边为43＝44－1，所以第n 个等式右边为4n －1.]3．5 [(ⅰ)x 4⊕x 5⊕x 6⊕x 7＝1⊕1⊕0⊕1＝1，(ⅱ)x 2⊕x 3⊕x 6⊕x 7＝1⊕0⊕0⊕1＝0；(ⅲ)x 1⊕x 3⊕x 5⊕x 7＝1⊕0⊕1⊕1＝1.由(ⅰ)(ⅲ)知x 5，x 7有一个错误，(ⅱ)中没有错误，∴x 5错误，故k 等于5.]4.14 [由题意知数列{a n }是以首项a 1＝2，公比q ＝22的等比数列，∴a 7＝a 1·q 6＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫226＝14.] 5．6 [根据题意可分四种情况：(1)若①正确，则a ＝1，b ＝1，c ≠2，d ＝4，符合条件的有序数组有0个；(2)若②正确，则a ≠1，b ≠1，c ≠2，d ＝4，符合条件的有序数组为(2，3，1，4)和(3，2，1，4)；(3)若③正确，则a ≠1，b ＝1，c ＝2，d ＝4，符合条件的有序数组为(3，1，2，4)； (4)若④正确，则a ≠1，b ＝1，c ≠2，d ≠4，符合条件的有序数组为(2，1，4，3)，(4，1，3，2)，(3，1，4，2)．所以共有6个．故答案为6.]6．F ＋V －E ＝2 [因为5＋6－9＝2，6＋6－10＝2，6＋8－12＝2，故可猜想F ＋V －E ＝2.]7. 解 (1)法一 a 2＝2，a 3＝2＋1. 再由题设条件知(a n ＋1－1)2＝(a n －1)2＋1. 从而{(a n －1)2}是首项为0公差为1的等差数列， 故(a n －1)2＝n －1，即a n ＝n －1＋1 (n ∈N *)．法二 a 2＝2，a 3＝2＋1.可写为a 1＝1－1＋1，a 2＝2－1＋1，a 3＝3－1＋1. 因此猜想a n ＝n －1＋1. 下面用数学归纳法证明上式： 当n ＝1时结论显然成立．假设n ＝k 时结论成立，即a k ＝k －1＋1，则a k ＋1＝（a k －1）2＋1＋1＝（k －1）＋1＋1＝（k ＋1）－1＋1.这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立． 所以a n ＝n －1＋1(n ∈N *)． (2)设f (x )＝（x －1）2＋1－1， 则a n ＋1＝f (a n )．令c ＝f (c )，即c ＝（c －1）2＋1－1，解得c ＝14.下用数学归纳法证明加强命题a 2n ＜c ＜a 2n ＋1＜1. 当n ＝1时，a 2＝f (1)＝0，a 3＝f (0)＝2－1， 所以a 2＜14＜a 3＜1，结论成立．假设n ＝k 时结论成立，即a 2k ＜c ＜a 2k ＋1＜1. 易知f (x )在(－∞，1]上为减函数， 从而c ＝f (c )＞f (a 2k ＋1)＞f (1)＝a 2， 即1＞c ＞a 2k ＋2＞a 2.再由f (x )在(－∞，1]上为减函数得c ＝f (c )＜f (a 2k ＋2)＜f (a 2)＝a 3＜1. 故c ＜a 2k ＋3＜1，因此a 2(k ＋1)＜c ＜a 2(k ＋1)＋1＜1. 这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立．综上，符合条件的c 存在，其中一个值为c ＝14.【一年模拟试题精练】1. m 2－n 2 [当n ＝0，m ＝1时，为第一个式子13＋23＝1此时1＝12－0＝m 2－n 2，当n ＝2，m ＝4时，为第二个式子73＋83＋103＋113＝12；此时12＝42－22＝m 2－n 2，当n ＝5，m ＝8时，为第三个式子163＋173＋193＋203＋223＋233＝39此时39＝82－52＝m 2－n 2，由归纳推理可知等式：3n ＋13＋3n ＋23＋…＋3m －23＋3m －13＝m 2－n 2.故答案为：m 2－n 2]2．n ·2n －1[S 1＝1，S 2＝4，当n ＝3时，S 3＝1＋2＋3＋(2－1)＋(3－1)＋(3－2)＋(3－2＋1)＝12，S 4＝1＋2＋3＋4＋(2－1)＋(3－1)＋(4－1)＋(3－2)＋(4－2)＋(4－3)＋(3－2＋1)＋(4－2＋1)＋(4－3＋1)＋(4－3＋2)＋(4－3＋2－1)＝32，∴根据前4项猜测集合N ＝{1，2，3，…，n }的每一个非空子集的“交替和”的总和S n＝n ·2n －1，故答案为：n ·2n －1.]3．45 [由题意，从23到m 3，正好用去从3开始的连续奇数共2＋3＋4＋…＋m ＝（m ＋2）（m －1）2个，2 015是从3开始的第1 007个奇数，当m ＝44时，从23到443，用去从3开始的连续奇数共46×432＝989个． 当m ＝45时，从23到453，用去从3开始的连续奇数共47×442＝1 034个．] 4．(1)5 (2)9 [当l ＝12时，为使n 最大，先考虑截下的线段最短，第1段和第2段长度为1、1，由于任意三段都不能构成三角形，∴第3段的长度为1＋1＝2，第4段和第5段长度为3、5，恰好分成了5段；(2)当l ＝100时，依次截下的长度为1、1、2、3、5、8、13、21、34的线段，长度和为88，还余下长为12的线段，因此最后一条线段长度取为34＋12＝46，故n 的最大值是9.]5．n (n ＋1)·2n －2[C 1n ＋22C 2n ＋32C 3n ＋…＋k 2C k n ＋…＋n 2C n n ＝n (C 0n －1＋2C 1n －1＋…＋k C k －1n －1＋…＋n C n －1n －1)＝n [(C 0n －1＋C 1n －1＋…＋C k －1n －1＋…＋C n －1n －1)＋(C 1n －1＋2C 2n －1＋…＋(k －1)C k －1n －1＋…＋(n －1)C n －1n －1)]．]6．55 [观察下列等式2＋23＝223，3＋38＝338，4＋415＝4415，…， 照此规律，第7个等式中：a ＝7，b ＝72－1＝48，∴a ＋b ＝55，故答案为：55.] 7．(1)证明 由题设知a 1＝f 1（0）－1f 1（0）＋2＝14，∴a n ＋1a n ＝f n ＋1（0）－1f n ＋1（0）＋2f n （0）－1f n （0）＋2＝2f n （0）＋1－12f n （0）＋1＋2f n （0）－1f n （0）＋2＝1－f n （0）2f n （0）＋4f n （0）－1f n （0）＋2＝－12，∴数列{a n }为等比数列，项通次公式为a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ＋1. (2)解 由(1)知b n ＝2n，g (b n )＝1＋12＋13＋…＋12n ，只要证：1＋12＋13＋…＋12n ≥n ＋22，下面用数学归纳证明：n ＝1时，1＋12＝1＋22，结论成立，假设n ＝k 时成立，即1＋12＋13＋…＋12k ＞k ＋22，那么：n ＝k ＋1时，1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1＞k ＋22＋12k ＋1＋…＋12k ＋1＞k ＋22＋12k ＋1＋12k ＋1＋…＋12k ＋1＞k ＋22＋12k ＋12k ＝k ＋32，即n ＝k ＋1时，结论也成立， 所以n ∈N ，结论成立．考点36 算法与程序框图【两年高考真题演练】1．C [当i ＝1，S ＝0进入循环体运算时，S ＝0，i ＝2；S ＝0＋(－1)＝－1，i ＝3；S＝－1＋0＝－1，i ＝4；∴S ＝－1＋1＝0，i ＝5；S ＝0＋0＝0，i ＝6＞5，故选C.]2．B [第一次循环：S ＝1－1＝0，t ＝1＋1＝2；x ＝0，y ＝2，k ＝1； 第二次循环：S ＝0－2＝－2，t ＝0＋2＝2，x ＝－2，y ＝2，k ＝2；第三次循环：S ＝－2－2＝－4，t ＝－2＋2＝0，x ＝－4，y ＝0，k ＝3.输出(－4，0)．] 3．C [由程序框图，k 的值依次为0，2，4，6，8，因此S ＝12＋14＋16＝1112(此时k ＝6)还必须计算一次，因此可填S ≤1112，选C.]4．B [由题知，若输入a ＝14，b ＝18，则第一次执行循环结构时，由a ＜b 知，a ＝14，b ＝b －a ＝18－14＝4； 第二次执行循环结构时，由a ＞b 知，a ＝a －b ＝14－4＝10，b ＝4； 第三次执行循环结构时，由a ＞b 知，a ＝a －b ＝10－4＝6，b ＝4； 第四次执行循环结构时，由a ＞b 知，a ＝a －b ＝6－4＝2，b ＝4； 第五次执行循环结构时，由a ＜b 知，a ＝2，b ＝b －a ＝4－2＝2； 第六次执行循环结构时，由a ＝b 知，输出a ＝2，结束，故选B.]5．C [程序框图的执行过程如下：s ＝1，k ＝9，s ＝910，k ＝8；s ＝910×89＝810，k ＝7；s ＝810×78＝710，k ＝6，循环结束．故可填入的条件为s >710.故选C.]6．C [先画出x ，y 满足的约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1，对应的可行域如图中的阴影部分：移动直线l 0：y ＝－2x .当直线经过点A (1，0)时，y ＝－2x ＋S 中截距S 最大，此时S max ＝2×1＋0＝2. 再与x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1不成立时S ＝1进行比较，可得S max ＝2.] 【一年模拟试题精练】1．B [由循环程序框图可转化为数列{S n }为1，2，4，…并求S 21，观察规律得S 2－S 1＝1，S 3－S 2＝2，S 4－S 3＝3，……，S 21－S 20＝20，把等式相加：S 21－S 1＝1＋2＋…＋20＝20×1＋202＝210，所以S 21＝211.故选B.]2．B [根据流程图所示的顺序，该程序的作用是打印如下点：(1，1)、⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12、⎝ ⎛⎭⎪⎫3，13、⎝ ⎛⎭⎪⎫4，14、⎝ ⎛⎭⎪⎫5，15、⎝ ⎛⎭⎪⎫6，16 其中(1，1)、⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12、⎝ ⎛⎭⎪⎫3，13满足x 2＋y 2＜10，即在圆x 2＋y 2＝10内，故打印的点在圆x 2＋y 2＝10内的共有3个，故选：B.]3．C [ 循环前输入的x 的值为1， 第1次循环，x 2－4x ＋3＝0≤0，满足判断框条件，x ＝2，n ＝1，x 2－4x ＋3＝－1≤0，满足判断框条件，x ＝3，n ＝2，x 2－4x ＋3＝0≤0，满足判断框条件，x ＝4，n ＝3，x 2－4x ＋3＝3＞0，不满足判断框条件，输出n ：N ＝3.在区间[－2，3]上随机选取一个数M ，长度为5，M ≤1，长度为3，所以所求概率为35，故选C.]4．C [由程序框图知：算法的功能是计算学生在14次数学考试成绩中，成绩大于等于90的次数，由茎叶图得，在14次测试中，成绩大于等于90的有：93、99、98、98、94、91、95、103、101、114共10次，∴输出n 的值为10.故选C.] 5．C [根据流程图，可知第1次循环：i ＝2，S ＝12；第2次循环：i ＝4，S ＝12＋14；第3次循环：i ＝6，S ＝12＋14＋16…，第1 008次循环：i ＝2 016， S ＝12＋14＋16＋…＋12 016； 此时，设置条件退出循环，输出S 的值．故判断框内可填入i ≤2 016.对比选项，故选C.]6．C[分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算S 值并输出，模拟程序的运行过程，即可得到答案，程序在运行过程中，各变量的值变化如下所示：S 条件？ k循环前 0 / 1 第1圈 1 否 2 第2圈 4 否 3 第3圈 11 否 4 第4圈 26 是得，当k ＝4时，S ＝26，此时应该结束循环体并输出S 的值为26，所以判断框应该填入的条件为：k ＞3？，故选C.]考点37 复 数【两年高考真题演练】1．B [2i 1－i ＝2i （1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝2i （1＋i ）2＝i －1＝－1＋i ，其对应点坐标为(－1，1)，位于第二象限，故选B.]2．D [因为z ＝i(3－2i)＝2＋3i ，所以z ＝2－3i ，故选D.]3．B [因为a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝4a ＋(a 2－4)i ＝－4i ，得4a ＝0且a 2－4＝－4，解得a ＝0，故选B.]4．B [由|z|≤1可得(x －1)2＋y 2≤1，表示以(1，0)为圆心，半径为1的圆及其内部，满足y ≥x 的部分为如图阴影所示，由几何概型概率公式可得所求概率为： P ＝14π×12－12×12π×12＝π4－12π ＝14－12π.] 5．A [由1＋z 1－z ＝i ，得1＋z ＝i －z i ，z ＝－1＋i1＋i ＝i ，∴|z |＝|i|＝1.]6．C [i 3－2i ＝－i －2i i 2＝－i ＋2i ＝i.选C.]7．A [i(2－i)＝2i －i 2＝1＋2i.]8．C [集合A ＝{i －1，1，－i}，B ＝{1，－1}，A ∩B ＝{1，－1}，故选C.]9．D [由（1－i ）2z ＝1＋i ，知z ＝（1－i ）21＋i ＝－2i1＋i ＝－1－i ，故选D.]10．A [∵z1－i＝i ，∴z ＝i(1－i)＝i －i 2＝1＋i ，∴z ＝1－i.] 11．A [复数i(1－2i)＝2＋i ，在复平面内对应的点的坐标是(2，1)，位于第一象限．] 12．A [当a ＝b ＝1时，(a ＋b i)2＝(1＋i)2＝2i ，反之，若(a ＋b i)2＝2i ，则有a ＝b ＝－1或a ＝b ＝1，因此选A.]13．D [根据已知得a ＝2，b ＝1，所以(a ＋b i)2＝(2＋i)2＝3＋4i.]14．3 [由|a ＋b i|＝3得a 2＋b 2＝3，即a 2＋b 2＝3，所以(a ＋b i)(a －b i)＝a 2＋b 2＝3.]15．－2 [(1－2i)(a ＋i)＝a ＋2＋(1－2a )i ，由已知，得a ＋2＝0，1－2a ≠0，∴a ＝－2.]【一年模拟试题精练】 1．A [z ＝（6＋a i ）（3＋i ）（3－i ）（3＋i ）＝18－a ＋（3a ＋6）i10.由条件得，18－a ＝3a ＋6，∴a＝3.]2．B [因为z ＝(1＋2i)i ＝i ＋2i 2＝－2＋i ，所以z 对应的点的坐标是(－2，1)，所以在第二象限，故选B.]3．C [z ＝a ＋i 1－i ＝（a ＋i ）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝a －1＋（1＋a ）i 2＝a －12＋1＋a2i ，若z 为纯虚数，则a －12＝0且1＋a2≠0，解a ＝1，故选：C.] 4．B [∵复数 1＋2i 1－i ＝（1＋2i ）（1＋i ）（1＋i ）（1－i ）＝－1＋3i 2＝－12＋32i ，∴复数对应的点的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，∴复数1＋2i 1－i 在复平面内对应的点位于第二象限，故选B.]5．D [由z i ＝2＋i ，得z ＝2＋i i ＝－i （2＋i ）－i2＝1－2i ，∴z 的虚部是－2.] 6．A [∵i z ＝1＋i ，∴－i ·i z ＝－i(1＋i)，化为z ＝1－i ，∴z －＝1＋i.] 7．D [2i 1＋i ＝2i （1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝2＋2i2＝1＋i.]8．D [∵复数z 1＝2＋i ，z 2＝1－2i ，∴z ＝z 1z 2＝2＋i 1－2i ＝（2＋i ）（1＋2i ）（1－2i ）（1＋2i ）＝5i5＝i ，则z ＝－i.]9．A [2i 2－i ＝2i （2＋i ）（2－i ）（2＋i ）＝－2＋4i 5＝－25＋45i.]10．B [由题根据所给复数化简求解即可；∵z ＝1i －1＝1＋i －2，∴|z |＝22.]11．B [由⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋i 1＋m i 2＜0，知2＋i 1＋m i 为纯虚数，∴2＋i 1＋m i ＝2＋m ＋（1－2m ）i 1＋m 2为纯虚数，∴m ＝－2，故选B.]12．A [∵a ＋i a －i ＝a 2－1＋2a i a 2＋1，∴“a ＋ia －i为纯虚数”⇔“a ＝±1”， 故“a ＝1”是“a ＋ia －i为纯虚数”的充分不必要条件．] 13．A [由已知z ＝m －2i 1＋2i ＝（m －2i ）（1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ）＝15[(m －4)－2(m ＋1)i]； 在复平面对应点如果在第一象限，则⎩⎪⎨⎪⎧m －4＞0，m ＋1＜0而此不等式组无解．即在复平面上对应的点不可能位于第一象限．故选A.]14．C [p 1：|z |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪21－i ＝2，故命题为假；p 2：z 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2＝41－2i －1＝2i ，故命题为真； z ＝21－i＝1＋i ，∴z 的共轭复数为1－i ，故命题p 3为假； ∵z ＝21－i ＝1＋i ，∴p 4：z 的虚部为1，故命题为真．故真命题为p 2，p 4故选C.]15．D [∵z ＝(a 2－4)＋(a ＋2)i 为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4＝0，a ＋2≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2或a ＝－2，a ≠－2，解得a ＝2，则a ＋i 2 0151＋2i ＝2＋i 31＋2i ＝2－i 1＋2i ＝－i.]。
近年高考数学一轮复习第十章算法、复数、推理与证明课时达标检测(四十八)算法、复数(2021年整理)
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课时达标检测(四十八)算法、复数1。
（2018·南京市高三年级学情调研)如图所示的算法流程图，若输出y的值为错误!，则输入x的值为________．解析:此算法程序表示一个分段函数y＝错误!由f(x）＝12得x＝－错误!.答案：－22．(2018·常州模拟)设复数z满足(z＋i)（2＋i)＝5(i为虚数单位)，则z＝________。
解析：由（z＋i)（2＋i）＝5，得z＋i＝错误!，即z＋i＝2－i，所以z＝2－2i。
答案: 2－2i3．(2018·徐州模拟）已知复数z满足z2＝－4，若z的虚部大于0，则z＝________。
解析：由z2＝－4得z＝±2i，而z的虚部大于0，所以z＝2i.答案：2i4．（2018·连云港模拟）运行如图所示的伪代码,则输出的结果S为________．解析：本题的算法功能是在累加变量S初值为1的基础上连续加2四次,所以S＝9.答案：95．(2018·扬州调研)如图给出的是计算错误!＋错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!的一个算法流程图，其中判断框内应填入的条件是________．解析：因为该循环体需要运行50次,i的初始值是1，间隔是1，所以i＝50时不满足判断框内的条件,而i＝51时满足判断框内条件，所以判断框内的条件可以填入i＞50（或i≥51)．答案：i＞50（i≥51亦可）6．（2018·宿迁期中）若复数z＝错误!(i为虚数单位），则z的模为________．解析：由z＝错误!两边同时取模得|z|＝错误!＝错误!＝错误!。
高考数学北师大理一轮复习 第章 推理与证明算法复数 算法与算法框图 文档
1．算法的含义算法是解决某类问题的一系列步骤或程序，只要按照这些步骤执行，都能使问题得到解决．2．算法框图在算法设计中，算法框图(也叫程序框图)可以准确、清晰、直观地表达解决问题的思想和步骤，算法框图的三种基本结构：顺序结构、选择结构、循环结构．3．三种基本逻辑结构(1)顺序结构：按照步骤依次执行的一个算法，称为具有“顺序结构”的算法，或者称为算法的顺序结构．其结构形式为(2)选择结构：需要进行判断，判断的结果决定后面的步骤，像这样的结构通常称作选择结构．其结构形式为(3)循环结构：指从某处开始，按照一定条件反复执行某些步骤的情况．反复执行的处理步骤称为循环体．其基本模式为4．基本算法语句任何一种程序设计语言中都包含五种基本的算法语句，它们分别是：输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句和循环语句．5．赋值语句(1)一般形式：变量＝表达式(2)作用：将表达式所代表的值赋给变量．6．条件语句(1)If—Then—Else语句的一般格式为：(2)If—Then语句的一般格式是：7．循环语句(1)For语句的一般格式：(2)DoLoop语句的一般格式：【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)算法只能解决一个问题，不能重复使用．(×)(2)算法框图中的图形符号可以由个人来确定．(×)(3)输入框只能紧接开始框，输出框只能紧接结束框．(×)(4)选择结构的出口有两个，但在执行时，只有一个出口是有效的．(√)(5)5＝x是赋值语句．(×)(6)输入语句可以同时给多个变量赋值．(√)1．已知一个算法：(1)m＝a.(2)如果b<m，则m＝b，输出m；否则执行第(3)步．(3)如果c<m，则m＝c，输出m.如果a＝3，b＝6，c＝2，那么执行这个算法的结果是()A．3 B．6C．2 D．m答案 C解析当a＝3，b＝6，c＝2时，依据算法设计，本算法是求a、b、c三个数的最小值，故输出m的值为2，故选C.2．(2015·陕西)根据如图所示的框图，当输入x为6时，输出的y等于()A．1B．2 C．5D．10答案 D解析输入x＝6，程序运行情况如下：x ＝6－3＝3＞0，x ＝3－3＝0≥0，x ＝0－3＝－3＜0， 退出循环，执行y ＝x 2＋1＝(－3)2＋1＝10， 输出y ＝10.故选D.3．如图是一个算法框图，则输出的S 的值是________．答案 0解析 该算法框图运行2016次，所以输出的S ＝cos π3＋cos 2π3＋cosπ＋…＋cos 2015π3＋cos2016π3＝336(cos π3＋cos 2π3＋cosπ＋…＋cos 6π3)＝0.4．如图，是求实数x 的绝对值的算法框图，则判断框①中可填________________．答案 x >0(或x ≥0)解析 由于|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ， x ≥0，－x ，x <0或|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x >0，－x ，x ≤0，故根据所给的算法框图，易知可填“x>0”或“x≥0”．5．如图是求12＋22＋32＋…＋1002的值的算法框图，则正整数n＝________.答案100解析第一次判断执行后，i＝2，s＝12；第二次判断执行后，i＝3，s＝12＋22，而题目要求计算12＋22＋…＋1002，故n＝100.题型一顺序结构与选择结构命题点1顺序结构例1已知f(x)＝x2－2x－3，求f(3)、f(－5)、f(5)，并计算f(3)＋f(－5)＋f(5)的值．设计出解决该问题的一个算法，并画出算法框图．解算法如下：第一步，令x＝3.第二步，把x＝3代入y1＝x2－2x－3.第三步，令x＝－5.第四步，把x＝－5代入y2＝x2－2x－3.第五步，令x＝5.第六步，把x＝5代入y3＝x2－2x－3.第七步，把y1，y2，y3的值代入y＝y1＋y2＋y3.第八步，输出y1，y2，y3，y的值．该算法对应的算法框图如图所示：命题点2 选择结构例2 执行如图所示的算法框图，如果输入的t ∈[－1,3]，则输出的s 属于( )A ．[－3,4]B ．[－5,2]C ．[－4,3]D ．[－2,5]答案 A解析 根据算法框图可以得到分段函数s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t ，t <1，4t －t 2，t ≥1，进而在函数的定义域[－1,3]内分段求出函数的值域．所以当－1≤t <1时，s ＝3t ∈[－3,3)；当1≤t ≤3时，s ＝4t －t 2＝－(t －2)2＋4，所以此时3≤s ≤4.综上可知，函数的值域为[－3,4]，即输出的s 属于[－3,4]． 引申探究若将本例中判断框的条件改为“t ≥1”，则输出的s 的范围是什么？解 根据算法框图可以得到，当－1≤t <1时，s ＝4t －t 2＝－(t －2)2＋4，此时－5≤s <3；当1≤t≤3时，s＝3t∈[3,9]．综上可知，函数的值域为[－5,9]，即输出的s属于[－5,9]．思维升华应用顺序结构与选择结构的注意点(1)顺序结构顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间、框与框之间是按从上到下的顺序进行的．(2)选择结构①选择结构中条件的判断关键是明确条件结构的功能，然后根据“是”的分支成立的条件进行判断；②对选择结构，无论判断框中的条件是否成立，都只能执行两个分支中的一个，不能同时执行两个分支．(2014·四川)执行如图所示的算法框图，如果输入的x，y∈R，那么输出的S的最大值为()A．0 B．1C．2 D．3答案 C解析当条件x≥0，y≥0，x＋y≤1不成立时输出S的值为1；当条件x≥0，y≥0，x＋y≤1成立时S＝2x＋y，下面用线性规划的方法求此时S的最大值．作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x≥0，y≥0，x＋y≤1表示的平面区域如图中阴影部分，由图可知当直线S＝2x＋y经过点M(1,0)时S最大，其最大值为2×1＋0＝2，故输出S的最大值为2.题型二循环结构命题点1由算法框图求输出结果例3(2015·安徽)执行如图所示的算法框图，输出的n为________．答案 4解析结合算法框图逐一验证求解．执行第一次判断：|a－1.414|＝0.414>0.005，a＝32，n＝2；执行第二次判断：|a－1.414|＝0.086>0.005，a＝75，n＝3；执行第三次判断：|a－1.414|＝0.014>0.005，a＝1712，n＝4；执行第四次判断：|a－1.414|<0.005，输出n＝4.命题点2完善算法框图例4(2014·重庆)执行如图所示的算法框图，若输出k的值为6，则判断框内可填入的条件是()A ．s >12B ．s >35C ．s >710D ．s >45答案 C解析 第一次执行循环：s ＝1×910＝910，k ＝8，s ＝910应满足条件；第二次执行循环：s ＝910×89＝810，k ＝7，s ＝810应满足条件，排除选项D ；第三次执行循环：s ＝810×78＝710，k ＝6，正是输出的结果，故这时程序不再满足条件，结束循环，而选项A 和B 都满足条件，故排除A 和B ，故选C.命题点3 辨析算法框图的功能例5 (2014·陕西)根据下面框图，对大于2的整数N ，输出的数列的通项公式是( )A ．a n ＝2nB ．a n ＝2(n －1)C ．a n ＝2nD ．a n ＝2n －1答案 C解析 由算法框图可知第一次运行：i ＝1，a 1＝2，S ＝2； 第二次运行：i ＝2，a 2＝4，S ＝4； 第三次运行：i ＝3，a 3＝8，S ＝8； 第四次运行：i ＝4，a 4＝16，S ＝16. 故选C.思维升华 与循环结构有关问题的常见类型及解题策略(1)已知算法框图，求输出的结果，可按算法框图的流程依次执行，最后得出结果．(2)完善算法框图问题，结合初始条件和输出结果，分析控制循环的变量应满足的条件或累加、累乘的变量的表达式．(3)对于辨析算法框图功能问题，可将算法执行几次，即可根据结果作出判断．(1)(2015·课标全国Ⅰ)执行如图所示的算法框图，如果输入的t ＝0.01，则输出的n等于( )A ．5B ．6C ．7D ．8(2)(2014·课标全国Ⅱ)执行如图所示的算法框图，如果输入的x ，t 均为2，则输出的S 等于( )A ．4B ．5C ．6D ．7 答案 (1)C (2)D解析 (1)逐次运行程序，直至输出n .运行第一次：S ＝1－12＝12＝0.5，m ＝0.25，n ＝1，S >0.01；运行第二次：S ＝0.5－0.25＝0.25，m ＝0.125，n ＝2，S >0.01；运行第三次：S ＝0.25－0.125＝0.125，m ＝0.0625，n ＝3，S >0.01； 运行第四次：S ＝0.125－0.0625＝0.0625，m ＝0.03125，n ＝4，S >0.01； 运行第五次：S ＝0.03125，m ＝0.015625，n ＝5，S >0.01； 运行第六次：S ＝0.015625，m ＝0.0078125，n ＝6，S >0.01； 运行第七次：S ＝0.0078125，m ＝0.00390625，n ＝7，S <0.01. 输出n ＝7.故选C.(2)x ＝2，t ＝2，M ＝1，S ＝3，k ＝1. k ≤t ，M ＝11×2＝2，S ＝2＋3＝5，k ＝2；k ≤t ，M ＝22×2＝2，S ＝2＋5＝7，k ＝3；3>2，不满足条件，输出S ＝7. 题型三 基本算法语句例6 (1)以下程序运行结果为( )A ．80B ．120C ．100D ．95 (2)下面的程序：该程序运行的结果为________． 答案 (1)B (2)6解析 (1)运行结果为t ＝1×2×3×4×5＝120. (2)∵a ＝33，b ＝39，∴a <b ，∴t ＝33，a ＝39，b ＝33，a －b ＝39－33＝6.思维升华 解决算法语句有三个步骤：首先通读全部语句，把它翻译成数学问题；其次领悟该语句的功能；最后根据语句的功能运行程序，解决问题．根据下列算法语句，当输入x 为60时，输出y 的值为( )A ．25B ．30C ．31D ．61 答案 C解析 由题意，得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.5x ，x ≤50，25＋0.6(x －50)，x >50.当x＝60时，y＝25＋0.6×(60－50)＝31.所以输出y的值为31.21．变量的含义理解不准致误典例执行如图所示的算法框图，输出的S值为()A．2B．4C．8D．16易错分析(1)读不懂算法框图，把执行循环体的次数n误认为是变量k的值，没有注意到k 的初始值为0.(2)对循环结构：①判断条件把握不准；②循环次数搞不清楚；③初始条件容易代错．解析当k＝0时，满足k<3，因此S＝1×20＝1；当k＝1时，满足k<3，则S＝1×21＝2；当k＝2时，满足k<3，则S＝2×22＝8；当k＝3时，不满足k<3，输出S＝8.答案 C温馨提醒(1)要分清两种循环结构；要理解循环结构中各变量的具体含义以及变化规律．(2)在处理含有循环结构的算法问题时，关键是确定循环的次数，循环中有哪些变量，且每一次循环之后的变量S、k值都要被新的S、k值所替换．[方法与技巧]1．在设计一个算法的过程中要牢记它的五个特征：概括性、逻辑性、有穷性、不唯一性、普遍性．2．在画算法框图时首先要进行结构的选择．若所要解决的问题不需要分情况讨论，只用顺序结构就能解决；若所要解决的问题要分若干种情况讨论时，就必须引入选择结构；若所要解决的问题要进行许多重复的步骤，且这些步骤之间又有相同的规律时，就必须引入变量，应用循环结构．[失误与防范]1．注意起止框与处理框、判断框与循环框的不同．2．注意选择结构与循环结构的联系：对于循环结构有重复性，选择结构具有选择性没有重复性，并且循环结构中必定包含一个选择结构，用于确定何时终止循环体．3．循环语句有“For语句”与“DoLoop语句”两种，要区别两者的异同，主要解决需要反复执行的任务，用循环语句来编写程序．4．关于赋值语句，有以下几点需要注意：(1)赋值号左边只能是变量名字，而不是表达式，例如3＝m是错误的．(2)赋值号左右不能对换，赋值语句是将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变量，例如Y＝x，表示用x的值替代变量Y的原先的取值，不能改写为x＝Y.因为后者表示用Y的值替代变量x的值．(3)在一个赋值语句中只能给一个变量赋值，不能出现多个“＝”．A组专项基础训练(时间：25分钟)1．(2015·北京)执行如图所示的算法框图，输出的k值为()A．3B．4C．5D．6 答案 B解析第一次循环：a＝3×12＝32，k＝1；第二次循环：a＝32×12＝34，k＝2；第三次循环：a＝34×12＝38，k＝3；第四次循环：a＝38×12＝316<14，k＝4.故输出k＝4.2．(2015·课标全国Ⅱ)下边算法框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该算法框图，若输入的a，b分别为14,18，则输出的a等于()A．0 B．2C．4 D．14答案 B解析由题知，若输入a＝14，b＝18，则第一次执行循环结构时，由a＜b知，a＝14，b＝b－a＝18－14＝4；第二次执行循环结构时，由a＞b知，a＝a－b＝14－4＝10，b＝4；第三次执行循环结构时，由a＞b知，a＝a－b＝10－4＝6，b＝4；第四次执行循环结构时，由a ＞b 知，a ＝a －b ＝6－4＝2，b ＝4； 第五次执行循环结构时，由a ＜b 知，a ＝2，b ＝b －a ＝4－2＝2； 第六次执行循环结构时，由a ＝b 知，输出a ＝2，结束． 故选B.3．执行如图所示的算法框图，则输出的k 的值是( )A ．3B ．4C ．5D ．6 答案 C解析 由题意，得k ＝1时，s ＝1；k ＝2时，s ＝1＋1＝2；k ＝3时，s ＝2＋4＝6；k ＝4时，s ＝6＋9＝15；k ＝5时，s ＝15＋16＝31>15，此时输出k 值为5.4．(2015·重庆)执行如图所示的算法框图，若输出k 的值为8，则判断框内可填入的条件是( )A ．s ≤34B ．s ≤56C ．s ≤1112D ．s ≤2524答案 C解析 由s ＝0，k ＝0满足条件，则k ＝2，s ＝12，满足条件；k ＝4，s ＝12＋14＝34，满足条件；k＝6，s ＝34＋16＝1112，满足条件；k ＝8，s ＝1112＋18＝2524，不满足条件，输出k ＝8，所以应填“s≤1112”． 5．(2015·天津)阅读右边的算法框图，运行相应的程序，则输出S 的值为( )A ．－10B ．6C ．14D ．18答案 B解析 运行相应的程序，第一次循环：i ＝2，S ＝20－2＝18；第二次循环：i ＝4，S ＝18－4＝14；第三次循环：i ＝8，S ＝14－8＝6；8＞5，终止循环，输出S ＝6，故选B.6．定义某种运算，a b 的运算原理如图所示．设S ＝1x ，x ∈[－2,2]，则输出的S 的最大值与最小值的差为( )A ．2B ．－1C ．4D ．3 答案 A解析 由题意可得，S (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，－2≤x ≤1，1，1<x ≤2，∴S (x )max ＝2，S (x )min ＝0， ∴S (x )max －S (x )min ＝2.7．下面是一个求20个数的平均数的算法语句，在横线上应填充的语句为________．答案 i ≤208．如图是一个算法框图，则输出的n 的值是________．答案 5解析 该算法框图共运行5次，各次2n 的值分别是2,4,8,16,32，所以输出的n 的值是5. 9．(2015·山东)执行下边的算法框图，输出的T 的值为________.答案116解析 当n ＝1时，T ＝1＋⎠⎛01x 1d x ＝1＋⎪⎪12x 210＝1＋12＝32； 当n ＝2时，T ＝32＋⎠⎛01x 2d x ＝32＋⎪⎪13x 310＝32＋13＝116；当n ＝3时，结束循环，输出T ＝116.10．关于函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，1<x ≤4，cos x ，－1≤x ≤1的算法框图如图所示，现输入区间[a ，b]，则输出的区间是________．答案 [0,1]解析 由算法框图的第一个判断条件为f(x)>0，当f(x)＝cos x ，x ∈[－1,1]时满足．然后进入第二个判断框，需要解不等式f ′(x)＝－sin x ≤0，即0≤x ≤1.故输出区间为[0,1]．B 组 专项能力提升 (时间：25分钟)11．如图是一个算法框图，若输入m 的值为2，则输出i 的值是________．答案 4解析 当输入m 的值为2时，执行题中的算法框图，i ＝1，A ＝2，B ＝1，A>B ；进入循环，i＝2，A ＝4，B ＝2，A>B ；进入循环，i ＝3，A ＝8，B ＝6，A>B ；进入循环，i ＝4，A ＝16，B ＝24，A<B ，此时结束循环，输出i ＝4.12．执行如图所示的算法框图，则输出的S 的值为________．答案1114解析 由算法框图得运行的结果依次为S ＝1＋02＋0＝12，i ＝1；S ＝12＋11＋1＝34，i ＝2；S ＝34＋232＋2＝1114，i ＝3，此时满足i ≥3，跳出循环，故输出S ＝1114.13．若某算法框图如图所示，则该程序运行后输出的值等于________．答案 95解析 当k ＝5时，输出S.此时，S ＝1＋11×2＋12×3＋13×4＋14×5＝1＋1－12＋12－13＋13－14＋14－15＝2－15＝95.14．对一个作直线运动的质点的运动过程观测了8次，第i 次观测得到的数据为a i ，具体如下表所示：i 1 2 3 4 5 6 7 8 a i4041434344464748在对上述统计数据的分析中，一部分计算见如图所示的算法框图(其中a 是这8个数据的平均数)，则输出的S 的值是________．答案 7解析 本题计算的是这8个数的方差， 因为a ＝40＋41＋43＋43＋44＋46＋47＋488＝44，所以S ＝(－4)2＋(－3)2＋(－1)2＋(－1)2＋02＋22＋32＋428＝7.15．如图(1)(2)所示，它们都表示的是输出所有立方小于1000的正整数的算法框图，那么应分别补充的条件为：(1)____________；(2)______________．答案(1)n3<1000(2)n3≥1000解析第一个图中，n不能取10，否则会把立方等于1000的正整数也输出了，所以应该填写n3<1000；第二个图中当n≥10时，循环应该结束，所以填写n3≥1000.16．(2014·湖北)设a是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数．将组成a的3个数字按从小到大排成的三位数记为I(a)，按从大到小排成的三位数记为D(a)(例如a＝815，则I(a)＝158，D(a)＝851)．阅读如图所示的算法框图，运行相应的程序，任意输入一个a，输出的结果b＝________.答案495解析取a1＝815⇒b1＝851－158＝693≠815⇒a2＝693；由a2＝693⇒b2＝963－369＝594≠693⇒a3＝594；由a3＝594⇒b3＝954－459＝495≠594⇒a4＝495；由a4＝495⇒b4＝954－459＝495＝a4⇒b＝495.。
高三数学一轮复习： 算法、复数、推理与证明
一、选择题1．(2018·福州四校联考)如果复数z ＝2－1＋i ，则( )A ．z 的共轭复数为1＋iB ．z 的实部为1C ．|z |＝2D ．z 的实部为－1解析：∵z ＝2－1＋i ＝2(－1－i )(－1＋i )(－1－i )＝－2－2i 2＝－1－i ，∴z 的实部为－1，故选D.答案：D2．(2018·辽宁五校联考)执行如图所示的程序框图，如果输入的x ＝－10，则输出的y ＝( )A ．0B ．1C ．8D ．27解析：开始x ＝－10，满足条件x ≤0，x ＝－7；满足条件x ≤0，x ＝－4，满足条件x ≤0，x ＝－1；满足条件x ≤0，x ＝2，不满足条件x ≤0，不满足条件y ＝23＝8.故输出的y ＝8.故选C.答案：C3．i 是虚数单位，则复数i(2 018－i)在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：复数i(2 018－i)＝1＋2 018i ，在复平面内对应的点为(1,2 018)，故选A. 答案：A4．(2018·广州模拟)若复数z 满足(1＋2i)z ＝1－i ，则|z |＝( ) A.25 B.35 C.105D.10 解析：法一：由(1＋2i)z ＝1－i ，可得z ＝1－i1＋2i ＝(1－i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝1－2i －i －25＝－15－35i ，所以|z |＝1＋95＝105，选C. 法二：由(1＋2i)z ＝1－i 可得|(1＋2i)z |＝|1－i|，即|1＋2i||z |＝|1－i|，得到5|z |＝2，故|z |＝105，选C. 答案：C5．(2018·南宁模拟)甲、乙、丙三人中，一人是工人，一人是农民，一人是知识分子．已知：丙的年龄比知识分子大；甲的年龄和农民不同；农民的年龄比乙小．根据以上情况，下列判断正确的是( )A ．甲是工人，乙是知识分子，丙是农民B ．甲是知识分子，乙是农民，丙是工人C ．甲是知识分子，乙是工人，丙是农民D ．甲是农民，乙是知识分子，丙是工人解析：由“甲的年龄和农民不同”和“农民的年龄比乙小”可以推得丙是农民，所以丙的年龄比乙小；再由“丙的年龄比知识分子大”，可知甲是知识分子，故乙是工人．所以选C.答案：C6．(2018·沈阳模拟)已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为0时，输入的x 的值为( )A ．－3B ．－3或9C ．3或－9D ．－9或－3解析：当输出的y ＝0时，若x ≤0，则y ＝(12)x －8＝0，解得x ＝－3，若x ＞0，则y ＝2－log 3x ＝0，解得x ＝9，两个值都符合题意，故选B.答案：B7．(2018·长春模拟)已知某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是( )A ．求首项为1，公差为2的等差数列的前2 017项和B ．求首项为1，公差为2的等差数列的前2 018项和C ．求首项为1，公差为4的等差数列的前1 009项和D ．求首项为1，公差为4的等差数列的前1 010项和解析：由程序框图可得S ＝1＋5＋9＋…＋4 033，故该算法的功能是求首项为1，公差为4的等差数列的前1 009项和．故选C.答案：C8．(2018·山西八校联考)已知a ，b ∈R ，i 为虚数单位，若3－4i 3＝2－b ia ＋i ，则a ＋b 等于( )A ．－9B ．5C ．13D ．9解析：由3－4i 3＝2－b i a ＋i 得，3＋4i ＝2－b ia ＋i，即(a ＋i)(3＋4i)＝2－b i ，(3a －4)＋(4a ＋3)i ＝2－b i ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 3a －4＝2，4a ＋3＝－b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－11，故a ＋b ＝－9，故选A.答案：A9．(2018·石家庄模拟)当n ＝4时，执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值为( )A ．9B ．15C ．31D ．63解析：执行程序框图，k ＝1，S ＝1；S ＝3，k ＝2；S ＝7，k ＝3；S ＝15，k ＝4；S ＝31，k ＝5＞4，退出循环．故输出的S ＝31，故选C.答案：C10．(2018·西安八校联考)如图给出的是计算12＋14＋16＋…＋12 014＋12 016的值的程序框图，其中判断框内应填入的是( )A ．i ≤2 014?B ．i ≤2 016?C ．i ≤2 018?D ．i ≤2 020?解析：依题意得，S ＝0，i ＝2；S ＝0＋12，i ＝4；…；S ＝0＋12＋14＋…＋12 014＋12 016，i ＝2 018不满足，输出的S ＝12＋14＋16＋…＋12 014＋120 16，所以题中的判断框内应填入的是“i ≤2 016”．答案：B11．(2018·重庆模拟)我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤．问本持金几何．”其意思为：今有人持金出五关，第1关收税金为持金的12，第2关收税金为剩余金的13，第3关收税金为剩余金的14，第4关收税金为剩余金的15，第5关收税金为剩余金的16，5关所收税金之和，恰好重1斤．问此人总共持金多少．则在此问题中，第5关收税金( )A.120斤B.125斤C.130斤 D.136斤 解析：假设原来持金为x ，则第1关收税金12x ；第2关收税金13(1－12)x ＝12×3x ；第3关收税金14(1－12－16)x ＝13×4x ；第4关收税金15(1－12－16－112)x ＝14×5x ；第5关收税金16(1－12－16－112－120)x ＝15×6x .依题意，得12x ＋12×3x ＋13×4x ＋14×5x ＋15×6x ＝1，即(1－16)x ＝1，56x ＝1，解得x ＝65，所以15×6x ＝15×6×65＝125.故选B.答案：B12．(2018·惠州调研)《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“”当作数字“1”，把阴爻“”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下：依次类，符号为“”，其表示的十进制数是() A．33 B．34C．36 D．35解析：由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦的符号“”表示的二进制数为100010，转化为十进制数为0×20＋1×21＋0×22＋0×23＋0×24＋1×25＝34.故选B.答案：B二、填空题13．若a ＋b i i(a ，b ∈R )与(2－i)2互为共轭复数，则a －b ＝________.解析：a ＋b i i ＝i (a ＋b i )i 2＝b －a i ，(2－i)2＝3－4i ，因为这两个复数互为共轭复数，所以b＝3，a ＝－4，所以a －b ＝－4－3＝－7.答案：－714．(2018·昆明模拟)将数列{a n }中的所有项按每一行比上一行多1项的规则排成如下数阵：a 1 a 2，a 3 a 4，a 5，a 6 a 7，a 8，a 9，a 10……若第11行左起第1个数为a m ，则m ＝________.解析：要求这个数阵第11行左起的第1个数是这个数列中的第几项，只需求出这个数阵的前10行共有几项即可．因为第1行有1项，且每一行都比上一行多1项，所以前10行共有1＋2＋3＋…＋10＝10×(1＋10)2＝55项，所以m ＝56.答案：5615．在学习等差数列这一节时，可以这样得到等差数列的通项公式：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，根据等差数列的定义，可以得到a 2－a 1＝d ，a 3－a 2＝d ，…，a n －a n －1＝d ，将以上n －1个式子相加，即可得到a n ＝a 1＋(n －1)d .“斐波那契数列”是数学史上一个著名的数列，在“斐波那契数列”{a n }中，令a 1＝1，a 2＝1，a 3＝2，…，a n ＋2＝a n ＋1＋a n (n ∈N *)，当a 2 018＝t 时，根据上述方法可知数列{a n }的前2 016项和是________．解析：由题意知，a 3－a 2＝a 1，a 4－a 3＝a 2，…，a 2 018－a 2 017＝a 2 016， 将以上2 016个式子相加，可得a 2 018－a 2＝a 1＋a 2＋…＋a 2 016＝S 2 016. 因为a 2 018＝t ，所以S 2 016＝t －1.故答案为t －1. 答案：t －116．(2018·重庆模拟)某学生的素质拓展课课表由数学、物理和体育三门学科组成，且各科课时数满足以下三个条件：①数学课时数多于物理课时数； ②物理课时数多于体育课时数；③体育课时数的两倍多于数学课时数．则该学生的素质拓展课课表中课时数的最小值为________．解析：法一：设该学生的素质拓展课课表中的数学、物理、体育的课时数分别为x ，y ，z ，则由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥1，y －z ≥1，2z －x ≥1，x ，y ，z ∈N *，则该学生的素质拓展课课表中的课时数为x ＋y ＋z .设x＋y ＋z ＝p (x －y )＋q (y －z )＋r (2z －x )＝(p －r )x ＋(－p ＋q )y ＋(－q ＋2r )z ，比较等式两边的系数，得⎩⎪⎨⎪⎧p －r ＝1，－p ＋q ＝1，－q ＋2r ＝1，解得p ＝4，q ＝5，r ＝3，则x ＋y ＋z ＝4(x －y )＋5(y －z )＋3(2z －x )≥4＋5＋3＝12，所以该学生的素质拓展课课表中的课时数的最小值为12.法二：设该学生的素质拓展课课表中的数学、物理、体育的课时数分别为x ，y ，z ，则2z ＞x ＞y ＞z .由题意，知z 的最小值为3，由此易知y 的最小值为4，x 的最小值为5，故该学生的素质拓展课课表中的课时数x ＋y ＋z 的最小值为12.答案：12。
2020年高考数学(理)总复习：算法、复数、推理与证明(解析版)
2020 年高考数学（理）总复习：算法、复数、推理与证明题型一复数的观点与运算【题型重点】复数问题的解题思路(1)以复数的基本观点、几何意义、相等的条件为基础，联合四则运算，利用复数的代数形式列方程或方程组解决问题．(2)若与其余知识联合考察，则要借助其余的有关知识解决问题．【例 1】设有下边四个命题()1p1：若复数 z 知足z∈R，则 z∈R；p2：若复数 z 知足 z2∈R，则 z∈R；p3：若复数 z1，z2知足 z1z2∈R，则 z1＝Z2；p4：若复数 z∈R，则 z ∈R.此中的真命题为()A ． p1， p3 B． p1， p4C．p2， p3 D． p2， p4【分析】令 z＝a＋ bi(a， b∈R)，则由1＝ 1 ＝a2－bi2∈R得b＝0，所以z∈R，故z a＋ bi a ＋ bp1正确；当 z＝ i 时，因为 z2＝ i 2＝－ 1∈R，而 z＝ i? R知，故 p2不正确；当z1＝ z2＝ i 时，知足 z1·z2＝－ 1∈R，但 z1≠Z2，知 p3不正确；对于 p4，因为实数没有虚部，所以它的共轭复数是它自己，也属于实数，故p4正确，应选 B.【答案】 B【例 2】． i 是虚数单位，复数4＋ 2i－ (1－ i) 2－ 4i ＝ ()1－ 2iA ． 0B ． 2C ．－ 4iD ． 4i【分析】4＋2i－ (1－ i) 2－4i ＝4＋2i1＋2i － (1－ 2i － 1)－ 4i ＝2i ＋ 2i － 4i ＝ 0，所以选1－ 2i1－ 2i 1＋ 2iA.【答案】A【例 3】．已知 a ∈ R ，若 a ＋ 2i是纯虚数，则在复平面内，复数z ＝ ai ＋ i 2018 所对应的点4－ i位于()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【分析】依题意，a ＋ 2i a ＋ 2i 4＋ i 4a － 2＋ a ＋8 i4a － 2＝ 0 1 ＝ ＝ ，故a ＋ 8≠0，解得 a ＝ .4－ i4－ i 4＋ i172故 z ＝ ai ＋i2018＝12i － 1 在复平面内所对应的点为1, 1，位于第二象限，应选 B.2【答案】 B题组训练一复数的观点与运算1．已知 a ∈ R ， i 是虚数单位．若 a － i与 3i － 5i 互为共轭复数，则a ＝ ()2＋i 2－ i11A. 3 B ．－ 3 C ．－ 3D ． 3a － i a － i 2－ i 2a － 1 － a ＋ 2 i 2a － 1 a ＋ 2 5i ＝ 3i【分析】 2＋ i ＝5 ＝ 5 ＝ 5 － 5 i,3i － 2－ i － 5i 2＋ i － 5＋ 10i a － i 5i 2a － 1 a ＋ 2＝3i 与3i ＝－1，解得 a＝ 3.应选 D.【答案】 D2．已知复数 z 的共轭复数为z 在复平面内对应的点z ＝1＋ 3i(i 为虚数单位 )，则复数1＋i位于()A ．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】∵ z ＝ 1＋3i(i 为虚数单位 )，∴ z＝ 1－ 3i.则复数z ＝ 1－ 3i＝ 1－ 3i 1－ i ＝－ 2－ 4i＝－ 1－ 2i1 ＋ i 1＋ i 1＋ i 1－ i 2在复平面内对应的点(－ 1，－ 2)位于第三象限．应选 C. 【答案】 C3．“z＝ 1 －1 π(此中 i 是虚数单位 )是纯虚数．”是“θ＝＋ 2kπ”的 ________条件sin θ＋ cos θ·i 2 6()A ．充足不用要B．必需不充足C．充要D．既不充足也不用要【分析】z＝ 1 －1＝ sin θ－1－ icos θ(此中 i 是虚数单位 )是纯虚数．sin θ＋ cos θ·i 2 2则 sin θ－1＝ 0， cos θ≠0，2ππ解得：θ＝ 2kπ＋或θ＝ 2kπ＋π－ (k∈Z )．6 6∴ z＝ 1π－1(此中 i 是虚数单位 )是纯虚数．”是“θ＝＋ 2kπ”的必需不充足条sin θ＋ cos θ·i 2 6 件．应选 B.【答案】 B题型二程序框图【题型重点】解答程序框图问题的三个关注点(1)弄清程序框图的三种基本结构，按指向履行直至结束．(2)关注输出的是哪个量，何时结束．(3)解答循环结构问题时，要写出每一次的结果，防备运转程序不完全，同时注意划分计算变量与循环变量．【例 4】履行以下图的程序框图，输出的n 为 ()A ． 1 B． 2C．3 D． 4【分析】当 n＝ 1 时， f(x)＝ 1，知足 f(x)＝ f(－x)，不知足 f(x)＝ 0 有解，故 n＝ 2；当 n ＝2时， f(x)＝2x，不知足 f(x)＝ f(－ x)，故 n＝ 3；当 n＝3 时， f(x) ＝3x2，知足 f(x) ＝f(－ x)，知足 f( x)＝ 0 有解，故输出的n 为 3，应选 C.【答案】 C1＋1＋1＋＋1的值的一个框图，此中菱形判断框内应填【例 5】．如图给出的是计算2 4 620入的条件是 ()A ． i ＞8B． i＞ 9 C．i ＞10D． i＞ 11【分析】经过第一次循环获取S＝1， i ＝ 2，此时的i 应当不知足判断框中的条件21 1经过第二次循环获取S＝＋， i ＝ 3，此时的i 应当不知足判断框中的条件11 1经过第三次循环获取S＝＋＋， i＝ 4，此时的i 应当不知足判断框中的条件经过第十次循环获取S＝12＋14＋16＋＋201，i＝ 11，此时的 i 应当知足判断框中的条件，履行输出故判断框中的条件是i ＞ 10，应选 C.【答案】 C题组训练二程序框图1．以下程序框图输出的 a 的值为 ()A ． 5 B． 0C．－ 5 D． 10【答案】 A2．履行以下图的程序框图，假如输入的x＝ 0，y＝ 1，n＝1，则输出 x，y 的值知足 ()A ． y＝ 2x B． y＝ 3xC．y＝ 4x D． y＝ 5x【分析】输入 x＝ 0， y＝1， n＝ 1，运转第一次，x＝0， y＝ 1，不知足x2＋ y2≥ 36；运转第二次，x＝12， y＝ 2，不知足x2＋ y2≥ 36；运转第三次，x＝3， y＝ 6，知足 x2＋ y2≥ 36，2输出 x＝3， y＝ 6. 2因为点3,6在直线y＝4x上，应选C. 2【答案】 C题型三推理与证明【题型重点】合情推理的解题思路(1)在进行概括推理时，要先依据已知的部分个体，把它们适合变形，找出它们之间的联系，进而概括出一般结论．(2)在进行类比推理时，要充足考虑已知对象的性质，而后经过类比，推导出类比对象的性质．(3)概括推理重点是找规律，类比推理重点是看共性．【例 6】我国古代数学著作《九章算术》有以下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一．并五关所税，适重一下．问本持金几何？”其意思为“今有人持金出五关，第 1 关收税金1，第 2 关收税金为节余2的1，第 3 关收税金为节余的1，第 4 关收税金为节余的1，第 5 关收税金为节余的1，5 关所3 4 5 6收税金之和，恰巧重 1 斤，问本来持金多少？”若将“5关所收税金之和，恰巧重1 斤，问原本持金多少？”改成“假定这个人本来持金为x，按此规律经过第8 关”，则第 8 关所收税金为____________x.1 1 1 x x【分析】第1 关收税金：2x；第 2 关收税金：3 1 2 x＝6＝2×3；第 3 关收税金：11 1 x ＝x ；412 6x＝12 3×4第 8 关收税金：x＝x. 8×9 721【答案】72【例 7】．已知点A(x1， ax1)、 B( x2， ax2)是函数y＝ a x(a＞ 1)的图象上随意不一样两点，依ax 1＋ ax 2x 1 ＋x 2据图象可知，线段 AB 老是位于 A 、B 两点之间函数图象的上方， 所以有结论＞ a22建立．运用类比思想方法可知，若点A(x 1， sin x 1 )、 B(x 2， sin x 2)是函数 y ＝ sin x[ x ∈(0 ，π )] 图象上的不一样两点，则近似地有 ________建立．xx【分析】 由题意知， 点 A 、B 是函数 y ＝ a (a ＞ 1)的图象上随意不一样两点， 函数 y ＝ a (a ＞1) 图象下凸，线段 AB 老是位于A 、B 两点之间函数图象的上方，所以有结论ax 1＋ ax 2＞2x 1 ＋ x 2a 建立；而函数 y ＝ sin x(x ∈ (0，π))图象上凸，线段 AB 老是位于 A 、B 两点之间函数图 2象的下方，所以可类比获取结论sin x 1＋ sin x 2 ＜ sin x 1＋ x 2. 2 2【答案】sin x 1＋ sin x 2x 1＋ x 22＜ sin2题组训练三 推理与证明1．“已知对于 x 的不等式 ax 2＋ bx ＋ c>0 的解集为 (1,2)，解对于 x 的不等式 cx 2＋ bx ＋ a>0. ” 给出以下的一种解法：【解】 由 ax 2＋ bx ＋ c>0 的解集为 (1,2)，得 a1x2＋b1＋ c>0 的解集为1,1 ，即x2对于 x 的不等式 cx 2＋ bx ＋a>0 的解集为1,1 .2类比上述解法：若对于x 的不等式 b ＋ x ＋ b1,1∪1,1 ，则对于<0 的解集为x ＋a x ＋ c32bx － bx 的不等式－>0 的解集为 ______________________ ．x － a x － c【分析】依据题意，由 b＋ x ＋ b1,1 1 ，<0 的解集为∪,1x ＋a x ＋ c32得 b ＋ － x ＋ b1,11,1 ，－x ＋ c <0 的解集为∪－ x ＋ a23即 b － x － b1, 11,1 .x － a x －c>0的解集为2 ∪ 3【答案】1,1∪1,1232．学校艺术节对同一类的A ，B ，C ，D 四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品展望以下：甲说： “是 C 或 D 作品获取一等奖”；乙说： “B 作品获取一等奖”；丙说： “A，D 两项作品未获取一等奖”；丁说： “是 C 作品获取一等奖”．若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获取一等奖的作品是________．【分析】若 A 为一等奖，则甲，丙，丁的说法均错误，故不知足题意，若 B 为一等奖，则乙，丙说法正确，甲，丁的说法错误，故知足题意，若 C 为一等奖，则甲，丙，丁的说法均正确，故不知足题意，若 D 为一等奖，则只有甲的说法正确，故不合题意，故若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获取一等奖的作品是B.【答案】B题型四 复数代数运算的转变方法【题型重点】(1) 求解复数问题：就是利用复数相等转变为实数问题，此中解法一、二、三用了整体思想，即 x ＋yi 是一个数．(2)解法三是技巧，利用了模的性质：Z 1 Z 1 |z 1·z 2|＝ |z 1| |z ·2|，.Z 2Z 2【例 8】若 i(x ＋ yi) ＝3＋ 4i ， x ， y ∈R ，则复数 x ＋ yi 的模是 ()A ． 2 B． 3 C．4 D． 5 【分析】法一：因为 i(x＋ yi) ＝ 3＋ 4i，所以 x＋yi ＝3＋4i＝3＋4i －i＝ 4－ 3i，i i － i故 |x＋ yi|＝ |4－ 3i|＝42＋－3 2＝5.法二：因为 i(x＋ yi) ＝ 3＋ 4i，所以 (－ i)i( x＋ yi) ＝ (－ i) (3·＋ 4i)＝ 4－ 3i，即 x＋ yi ＝ 4－3i ，故 |x＋ yi|＝ |4－ 3i|＝42＋－3 2＝5. 法三：∵ i( x＋ yi) ＝ 3＋ 4i∴ |i(x＋ yi)| ＝ |3＋4i|∴ |i||x＋ yi|＝ 5，∴ |x＋ yi|＝ 5.法四：因为 i(x＋ yi) ＝ 3＋ 4i，所以－ y＋ xi ＝3＋ 4i，所以 x＝4， y＝－ 3，故 |x＋ yi|＝ |4－ 3i|＝ 42＋－ 3 2＝ 5.【答案】 D题组训练四复数代数运算的转变方法已知 i 是虚数单位，则7＋i＝ ________. 3＋ 4i【分析】7＋ i ＝ 7＋i 3－ 4i ＝ 25－ 25i＝1－i，填1－i.3＋ 4i 25 25【答案】1－ i【专题训练】一、选择题1．设 a， b 是两个实数，给出以下条件：①a＋ b>1；② a＋b＝ 2；③ a＋ b>2；④ a2＋ b2>2；⑤ ab>1.此中能推出：“a，b中起码有一个大于1”的条件是 ()A ．②③B．①②③C．③D．③④⑤【分析】若 a＝1， b＝2，则 a＋b>1 ，但 a<1， b<1，故①推不出；2 3若 a＝b＝ 1，则 a＋ b＝ 2，故②推不出；若 a＝－ 2， b＝－ 3，则 a2＋b2 >2，故④推不出；若 a＝－ 2， b＝－ 3，则 ab>1，故⑤推不出；对于③，即 a＋b>2，则 a， b 中起码有一个大于 1，反证法：假定a≤1且 b≤1，则 a＋ b≤2与 a＋ b>2 矛盾，所以假定不建立，a， b 中起码有一个大于 1.【答案】 C2．若复数z＝1－3i(i 为虚数单位 )，则 |z＋ 1|＝() 1＋ iA ． 3 B． 2 C. 2 D. 5【分析】z＝ 1－3i ＝ 1－ 3i 1－i＝－ 1－2i1＋ i 1＋ i 1－ i 所以 |z＋ 1|＝ 2，应选 B.【答案】 B1，则 z－ |z|对应的点所在的象限为 ()3．已知复数 z＝1－iA ．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】∵复数 z＝ 1 ＝1＋ i 1＋1 i ，＝1－ i 1－ i 1＋ i 2 22 2 2＋1 i ，∴ z－ |z|＝1＋1i － 1 1 ＝ 1－2 2 2 2 2 2其对应的点 1 2 , 1 所在的象限为第二象限．应选B.2 2【答案】 B4．复数 z＝m－2i( m∈R， i 为虚数单位 )在复平面上对应的点不行能位于() 1＋ 2iA ．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】由已知 z＝m－2i＝m－2i1－2i ＝1[(m－ 4)－ 2(m＋1)i] 在复平面对应点假如1＋ 2i 1＋2i 1－ 2i 5在第一象限，则m－ 4＞ 0，而此不等式组无解，即在复平面上对应的点不行能位于第一象m＋ 1＜ 0，限．应选 A.【答案】 A5．履行以下图的程序框图，若输入m＝ 1， n＝3，输出的 x＝ 1.75 ，则空白判断框内应填的条件为 ( )A ． |m－ n|＜ 1B． |m－ n|＜C．|m－ n|＜D． |m－ n|＜【分析】当第一次履行， x ＝ 2,2 2－3>0， n ＝ 2，返回，第二次履行 3 3 2－3<0 ，x ＝ ， ()22m ＝ 3，返回，第三次， x ＝3＋ 4＝，(7)2－ 3>0，n ＝ 7，要输出 x ，故知足判断框，此时 m2444－n ＝ 3－ 7＝－ 1，应选 B.244 【答案】B6．老师带甲、乙、丙、丁四名学生去参加自主招生考试，考试结束后老师向四名学生认识考试状况，四名学生回答以下：甲说：“我们四人都没考好 ”；乙说： “我们四人中有人考得好 ”；丙说： “乙和丁起码有一人没考好 ”；丁说： “我没考好 ”．结果，四名学生中有两 人说对了，则四名学生中说对了的两人是( )A ．甲 丙B ．乙 丁C ．丙 丁D ．乙 丙【分析】 假如甲对， 则丙、丁都对， 与题意不符， 故甲错， 乙对； 假如丙错， 则丁错， 所以只好是丙对，丁错，应选D.【答案】D7.定义：若函数 f(x)的图象经过变换 T 后所得图象对应函数的值域与 f(x)的值域同样，则称变换 T 是 f(x)的 “同值变换 ”．下边给出四个函数及其对应的变换 T ，此中不属于 f(x)的 “同值变换 ”的是 ()A ． f(x)＝ (x － 1)2， T ：将函数 f(x)的图象对于 y 轴对称B ．f(x)＝ 2x ＋ 3， T ：将函数 f(x)的图象对于点 ( －1,1)对称C ．f(x)＝ 2x －1－ 1，T ：将函数 f(x)的图象对于 x 轴对称D ． f(x)＝ sin x， T ：将函数 f(x)的图象对于点 (－ 1,0)对称3【分析】A ． f(x)＝ (x － 1)2 对于 y 轴对称的函数是 y ＝ (x ＋ 1)2，值域 (0，＋ ∞)同样；B ．f(x)＝ 2x ＋ 3 对于点 (－ 1,1)对称的函数为 f(x)＝ 2x ＋3，值域 R 同样；C ．f(x)＝ 2x －1－ 1＞－ 1，对于 x 轴对称的函数是 y ＝－ 2x － 1＋ 1＜1，值域不一样；D． f(x)＝ sin x对于(－1,0)对称的函数是y＝－ sin 2 x，值域[－1,1]相3 3同，应选 C.【答案】 C8．履行以下程序框图，若输出i 的值为 3，则输入x 的取值范围是()A ． 0<x<3B． 1<x<3C．1≤x<3D． 1<x≤3【分析】该程序框图履行以下程序：i ＝ 1， x＝ 2x＋ 1； i ＝ 2， x＝ 2(2x＋ 1)＋ 1＝ 4x＋ 3； i ＝ 3， x＝ 2(4x＋ 3)＋ 1 ＝ 8x＋ 7 则由8x＋ 7>15可得 1<x≤3.4x＋ 3≤ 15应选 D.【答案】 D9．“现代五项”是由现代奥林匹克之父顾拜旦先生创办的运动项目，包含射击、击剑、游泳、马术和越野跑五项运动．已知甲、乙、丙共三人参加“现代五项”．规定每一项运动的前三名得分都分别为a， b，c(a＞ b＞ c 且 a，b，c∈N* )，选手最后得分为各项得分之和．已知甲最后得22 分，乙和丙最后各得9 分，且乙的马术竞赛获取了第一名，则游泳竞赛的第三名是()A ．甲B．乙C．丙D．乙和丙都有可能【分析】∵甲最后得22 分，乙和丙最后各得9 分，∴5(a＋ b＋c)＝ 22＋ 9＋9? a＋ b＋ c＝ 8即每个项目三个名次总分是8 分．每个项目的三个名次的分值状况只有两种：①5分、2分、1分；②4分、3分、1分；对于状况① 5 分、 2 分、 1 分：乙的马术竞赛获取了第一名， 5 分，余下四个项目共得 4 分，只好是四个第三名；余下四个第一名，若甲得三个第一名，15 分，还有两个项目得7 分不行能，故甲一定得四个第一名，一个第二名，余下一个第三名，四个第二名恰巧切合丙得分，由此可得乙和丙都有可能得第三名．对于状况② 4 分、 3 分、 1 分；同上剖析，应选 D.【答案】 D10．以下图将若干个点摆成三角形图案，每条边(包含两个端点)有 n(n＞ 1， n∈N )个点，相应的图案中总的点数记为a n，则9 ＋9＋9＋＋9＝()a2a3a3a4a4a5a2 015a2 0162 012 2 013A.2 013 B.2 0122 014 2 014C.2 015 D.2 013【分析】每条边有 n 个点，所以三条边有3n 个点，三角形的 3 个极点都被重复计算了一次，所以减 3 个极点，即 a ＝ 3n－ 3，那么9 ＝9 ＝ 1 ＝1－1，则9n a n a n＋1 3n－ 3 ×3n n－ 1 n n－ 1 na2 a3 ＋9 ＋9 ＋＋9a3a4 a4a5 a2 015a2 016＝11 1 1 1 1 1 11 2 2 3 3 4 2014 2015＝ 1－ 1 ＝2 014 ，应选 C.2 015 2 015【答案】 C11．以下数表的结构思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角形”．该表由若干行数字构成，从第 2 行起，第一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为()2 015 2 014A．2 017 ×2 B． 2 017 ×22 015 2 014C．2 016 ×2 D． 2 016 ×2【分析】由题意知数表的每一行都是等差数列，且第 1 行数的公差为1，第 2 行数的公差为 2，第 3 行数的公差为4，，第 2 015行数的公差为22 014，第 1 行的第一个数为 2×2－1，第 2 行的第一个数为 3×20，第 3 行的第一个数为 4×21，第 n 行的第一个数为 (n＋ 1) ×2n－2，【答案】 B二、填空题12．有三张卡片，分别写有 1 和 2,1 和 3,2 和 3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上同样的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上同样的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．【分析】由丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”可知，丙为“1和 2”或“1和 3”，又乙说“我与丙的卡片上同样的数字不是 1”，所以乙只可能为“2和 3”，所以由甲说“我与乙的卡片上同样的数字不是 2”，所以甲只好为“1和 3”．【答案】 1和 3z13．设复数 z 的共轭复数为z ，若 z＝ 1－ i(i 为虚数单位 )，则z＋ z2的虚部为 ________．16【分析】∵ z＝1－ i(i 为虚数单位 )，z 1＋i＋ (1－ i)2＝ 2 － 2i ∴＋ z2＝1＋ iz 1－ i 1－ i 1＋ i＝2i－ 2i＝－ i，故其虚部为－ 1. 2【答案】－ 114．履行以下图所示的程序框图，则S 的值为 ()A．16 B． 32C．64 D． 128【分析】模拟程序的运转，可得i＝ 1， S＝ 1，履行循环体，S＝ 2， i＝ 2，知足条件 i ≤4，履行循环体，S＝ 8， i ＝ 4.知足条件 i ≤4，履行循环体，S＝ 128， i ＝8.此时，不知足条件i ≤4，退出循环，输出S 的值为 128.故答案为 D.【答案】 D15． 2016 年夏天大美青海又迎来了旅行热，甲、乙、丙三位旅客被咨询能否去过陆心之海青海湖，海北百里油菜花海，茶卡天空之境三个地方时，甲说：我去过的地方比乙多，但没去过海北百里油菜花海；乙说：我没去过茶卡天空之境；丙说：我们三人去过同一个地方．由此可判断乙去过的地方为____________ ．【分析】由乙说：我没去过茶卡天空之境，则乙可能去过陆心之海青海湖或茶卡天空之境，但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过海北百里油菜花海，则乙只好是去过陆心之海青海湖，茶卡天空之境中的任一个，再由丙说：我们三人去过同一个地方，则由此可判断乙去过的地方为陆心之海青海湖．【答案】陆心之海青海湖16．在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》(1261 年 )一书中，用以以下图 1 所示的三角形，解说二项和的乘方规律．在欧洲直到1623 年此后，法国数学家布莱士·帕斯卡的著作 (1655 年 )介绍了这个三角形．最近几年来外国也渐渐认可这项成就属于中国，所以有些书上称这是“中国三角形”(Chinesetriangle) 如图 1,17 世纪德国数学家莱布尼茨发现了“莱布尼茨三角形”以以下图 2.在杨辉三角中相邻两行知足关系式：r r＋1 r＋1C n＋C n ＝ C n＋1，此中 n 是行数， r∈N.请类比上式，在莱布尼茨三角形中相邻两行知足的关系式是________．1 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 1C n0 C n1 C n r C n n－1 C n n图 11 12 21 1 13 6311 1 14 12 12 41 1 1 1 1520 3020 51 1 1 1 1 16 30 60 60 30 6111 1r1110 111n －11nC n ＋1C n C n ＋1C n C n ＋1C n C n ＋1 C n C n ＋1C n图 2【分析】 类比察看得，将莱布尼茨三角形的每一行都能提出倍数11，而相邻两项之C n ＋1和是上一行的二者相拱之数， 所以类比式子 C r n ＋ C n r ＋ 1＝C nr ＋＋11，有 1 1 r＝11 r ＋ 1 1r ＋ 1.C n ＋1C nC n ＋ 2C n ＋ 1 C n ＋ 2C n ＋ 1【答案】1＝ 1 1 11r r ＋ 1r ＋1C n ＋1C n C n ＋2 C n ＋ 1 C n ＋ 2C n ＋ 1。
高三理科数学一轮复习 第十章 算法初步、推理与证明、复数 第一节 算法初步课件
【参考答案】 B
29
【针对训练】
(2015·济宁模拟)当输入的实数 x∈[2,30]时,执行如图所示的程序框图,则输出的 x 不小于 103 的概率是( )
A.194
B.154
C.37
D.298
A 【解析】利用程序框图确定输出值的范围,结合几何概型的概率公式求解.该程序框图共运行 3 次,输出
的 x 的范围是[23,247],由题可知,输出的 x 组成的数列是一个等差数列,所以输出的 x 不小于 103 的概率为
第十章 算法初步、推理与证明、复数
1
考情分析 考点
算法初步
合情推理与演绎推 理 直接证明与间接证 明
2015
新课标卷Ⅰ,T9, 选择; 新课标卷Ⅱ,T8, 选择
2014
2013
新课标卷Ⅰ,T7,选 新课标卷Ⅰ,T5,
择;
选择;
新课标卷Ⅱ,T7,选 新课标卷Ⅱ,T6,
择
选择
新课标卷Ⅰ,T14,
填空
新课标卷Ⅱ,T17,
25
【变式训练】
下面为一个求 20 个数的平均数的程序,在横线上应填充的语句是
()
A.i>20
B.i<20
C.i≥20
D.i≤20
A 【解析】由题意可得该算法要运行 20 次,当 i=21 时,退出循环,所以应该填入 i>20.
26
算法与其他知识的交汇性问题
算法与其他知识的交汇性问题,如函数、积分、二项式、概率等,通常背景新颖、交汇自然,可以考查信息处 理能力和运用综合知识解决问题的能力.
22
【变式训练】
(2015·山东实验中学四诊)下面框图所给的程序运行结果为 S=35,那么判断框中应填入的关于 k 的条件是 ()
版高考数学一轮复习算法复数推理与证明算法初步讲义理
[考纲解读] １．了解算法的含义及思想，掌握程序框图的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构．（重点）２．了解几种算法的基本语句，输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义．[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲是每年高考的必考内容. 预测将会考查：１框图的直接计算；２根据框图的输出值添加满足的条件. 题型为客观题，试题难度不大，属中、低档题型.１．算法的含义与程序框图（１）算法：算法是指按照错误!一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤．（２）程序框图：程序框图又称流程图，是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形．在程序框图中，一个或n个程序框的组合表示算法中的一个步骤；带有方向箭头的流程线将程序框连接起来，表示算法步骤的执行顺序．（３）算法框图的图形符号及其功能２．三种基本逻辑结构及相应语句续表１．概念辨析（１）一个程序框图一定包含顺序结构，也包含条件结构（选择结构）和循环结构．（）（２）当型循环是给定条件不成立时，执行循环体，反复进行，直到条件成立为止．（）（３）在算法语句中，X＝X＋１是错误的．（）（４）输入语句可以同时给多个变量赋值．（）答案（１）×（２）×（３）×（４）√２．小题热身（１）根据给出的程序框图（如图），计算f（—１）＋f（２）＝（）Ａ．0 Ｂ．１C．２Ｄ．４答案A解析f（—１）＝４×（—１）＝—４，f（２）＝２２＝４，∴f（—１）＋f（２）＝—４＋４＝0．（２）计算机执行下面的程序段后，输出的结果是（）错误!Ａ．１,３Ｂ．４,１C．0,0 Ｄ．6,0答案B解析读程序可知a＝１＋３＝４，b＝４—３＝１．（３）已知输入实数x＝１２，执行如图所示的流程图，则输出的x是（）Ａ．２５Ｂ．１0２C．１0３Ｄ．５１答案C解析输入x＝１２，经过第一次循环得到x＝２×１２＋１＝２５，n＝２，经过第二循环得到x＝２×２５＋１＝５１，n＝３，经过第三次循环得到x＝２×５１＋１＝１0３，n＝４，此时输出x，故选Ｃ．（４）按照如图的程序框图执行，若输出结果为１５，则M处条件为（）Ａ．k≥１6 Ｂ．k＜8 C．k＜１6 Ｄ．k≥8答案A解析程序运行过程中，各变量的值如下表所示：故退出循环的条件应为k≥１6，故选Ａ．题型错误!顺序结构和条件结构１．阅读如图所示程序框图．若输入x为３，则输出的y值为（）Ａ．２４Ｂ．２５C．３0 Ｄ．４0答案D解析a＝３２—１＝8，b＝8—３＝５，y＝8×５＝４0．２．（２0１7·江苏高考）下图是一个算法流程图．若输入x的值为错误!，则输出y的值是________．答案—２解析输入x＝错误!，错误!≥１不成立，执行y＝２＋log２错误!＝２—４＝—２．输出y的值为—２．条件探究将举例说明２中“输入x”改为“输出y”，求输入的x的值．解略应用顺序结构与条件结构的注意点（１）顺序结构：顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间、框与框之间是按从上到下的顺序进行的．（２）条件结构：利用条件结构解决算法问题时，重点是判断框，判断框内的条件不同，对应的下一程序框中的内容和操作要相应地进行变化，故要重点分析判断框内的条件是否满足.定义运算a⊗b的结果为执行如图所示的程序框图输出的S，则错误!⊗错误!的值为（）Ａ．４Ｂ．３C．２Ｄ．—１答案A解析由程序框图可知，S＝错误!因为２cos错误!＝１,２tan错误!＝２,１<２，所以错误!⊗错误!＝２×（１＋１）＝４．题型错误!循环结构角度１由程序框图求输出（输入）结果１．（２0１9·烟台模拟）执行如图所示的程序框图，输出的n值为（）Ａ．6 Ｂ．7 C．8 Ｄ．１２答案C解析由程序框图可知，第一次循环：S＝错误!，n＝２；第二次循环：S＝错误!＋错误!２，n＝３；第三次循环：S＝错误!＋错误!２＋错误!３，n＝４；……第六次循环：S＝错误!＋…＋错误!6＝错误!<错误!，n＝7；第七次循环：S＝错误!＋…＋错误!7＝错误!>错误!，n＝8．故终止循环，输出n＝8．故选Ｃ．角度２完善程序框图２．（２0１8·全国卷Ⅱ）为计算S＝１—错误!＋错误!—错误!＋…＋错误!—错误!，设计了下面的程序框图，则在空白框中应填入（）Ａ．i＝i＋１Ｂ．i＝i＋２Ｃ．i＝i＋３Ｄ．i＝i＋４答案B解析由S＝１—错误!＋错误!—错误!＋…＋错误!—错误!，知程序框图先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减．因此在空白框中应填入i＝i＋２，选Ｂ．角度３逆向求解问题３．（２0１7·全国卷Ⅲ）执行如图所示的程序框图，为使输出S的值小于9１，则输入的正整数N的最小值为（）Ａ．５Ｂ．４C．３Ｄ．２答案D解析假设N＝２，程序执行过程如下：t＝１，M＝１00，S＝0，１≤２，S＝0＋１00＝１00，M＝—错误!＝—１0，t＝２，２≤２，S＝１00—１0＝90，M＝—错误!＝１，t＝３，３＞２，输出S＝90＜9１．符合题意．∴N＝２成立．显然２是最小值．故选Ｄ．１．循环结构程序框图求输出结果的方法解决此类问题最常用的方法是列举法，即依次执行循环体中的每一步，直到循环终止，但在执行循环体的过程中：第一，要明确是当型循环结构还是直到型循环结构，根据各自特点执行循环体；第二，要明确框图中的累加变量，明确每一次执行循环体前和执行循环体后，变量的值发生的变化；第三，要明确循环终止的条件是什么，什么时候要终止执行循环体．２．程序框图补全问题的求解方法（１）先假设参数的判断条件满足或不满足；（２）运行循环结构，一直到运行结果与题目要求的输出结果相同为止；（３）根据此时各个变量的值，补全程序框图.１．（２0１7·全国卷Ⅰ）如图所示的程序框图是为了求出满足３n—２n>１000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入（）Ａ．A>１000？和n＝n＋１Ｂ．A>１000？和n＝n＋２Ｃ．A≤１000？和n＝n＋１Ｄ．A≤１000？和n＝n＋２答案D解析因为题目要求的是“满足３n—２n＞１000的最小偶数n”，所以n的叠加值为２，所以内填入“n＝n＋２”．由程序框图知，当内的条件不满足时，输出n，所以内填入“A≤１000？”．故选Ｄ．２．（２0１8·洛阳三模）定义[x]表示不超过x的最大整数，例如[0．6]＝0，[２]＝２，[３．6]＝３，下图的程序框图取材于中国古代数学著作《孙子算经》．执行该程序框图，则输出a＝（）Ａ．9 Ｂ．１6 C．２３Ｄ．３0答案C解析由程序框图得k＝１，a＝9，a—３·错误!＝0≠２；k＝２，a＝１6，a—３·错误!＝１≠２；k ＝３，a＝２３，a—３·错误!＝２，a—５·错误!＝３，退出循环体，所以输出a＝２３，故选Ｃ．３．（２0１8·东北三省四市模拟）庄子说：“一尺之锤，日取其半，万世不竭”，这句话描述的是一个数列问题．现用程序框图描述．如图所示，若输入某个正整数n后，输出的S∈错误!，则输入的n的值为（）Ａ．7 Ｂ．6 C．５Ｄ．４答案C解析第一次循环得S＝错误!，k＝２；第二次循环得S＝错误!，k＝３；第三次循环得S＝错误!，k ＝４；第四次循环得S＝错误!，k＝５；第五次循环得S＝错误!∈错误!，k＝6，此时满足题意，退出循环，所以输入的n值为５，故选Ｃ．题型错误!基本算法语句１．根据如图算法语句，当输入x为60时，输出y的值为（）Ａ．２５Ｂ．３0 C．３１Ｄ．6１答案C解析该语句表示分段函数y＝错误!当x＝60时，y＝２５＋0．6×（60—５0）＝３１．故输出y的值为３１．２．如图程序执行后输出的结果是________．答案990解析程序反映出的算法过程为i＝１１⇒S＝１１×１，i＝１0；i＝１0⇒S＝１１×１0，i＝9；i＝9⇒S＝１１×１0×9，i＝8；i＝8<9，退出循环，执行“PRINT S”．故S＝990．１．解决算法语句的三步骤（１）通读全部语句，把它翻译成数学问题；（２）领悟该语句的功能；（３）根据语句的功能运行程序，解决问题．２．算法语句应用的四关注（２0１8·保定模拟）根据如图所示的语句，可知输出的结果S＝________.答案7解析S＝１，I＝１；１<8，S＝３，I＝４；４<8，S＝５，I＝7；7<8，S＝7，I＝１0；１0>8，终止循环，输出S＝7．。
2021年高考数学复习第一轮复数、算法、推理与证明
内对应的点在第一象限,故选A.
栏目索引
(2)依题意得,复数z = 5i=(1i(12-i)2i) =2 +i,其对应的点的坐标是(2,1), 因此点A的坐标为( -(21,1)2,i其)(1对 2应i) 的复数为 -2 +i,选C. (3)由题图可知z1 = -2 -i,z2 =i, 那么z1 +z2 = -2, ∴|z1 +z2| =2. 方法技巧 (1)复数z、复平面上的点Z及向量 互相联络,即z =a +bi(a,b∈R)⇔Z(a,
,应选A.
1 i (1 i)(1 i) 2
2
(32)因1为a - =a - =(a -4) -i是纯虚数,所以a -4 =0,a =4,应选C.
2
(4) = (x17-xi) =11-7y(i4,∴ i) 解得x =2,y =1,应选D.
4 i (4 i)(4 i)
x1 1i 2
1
2
那么a
1
+b =
3
-
+
=1.
22
13
22
栏目索引
考点一 复数的有关概念
考点突破
栏目索引
典例1 (1)(2021安徽安庆二模)设i是虚数单位,假如复数a 的i 实部与
虚部相等,那么实数a的值为 ( )
2i
A. 1 B. 1-
C.3 D. -3
(2)3(2021安徽3江南十校3月联考)假设复数z满足z(1 -i) =|1 -i| +i,那么z的实部
z
栏目索引
2 -2 复数z =1 +ai(a∈R,i是虚数单位)在复平面上表示的点在第四 象限,且 z ·z =5,那么a = ( ) A.2 B. -2 C. 2 D. - 2 答案 B 易知 z =1 -ai,那z 么 ·z =(1 -ai)(1 +ai) =1 +a2 =5,解得a =±2, 又z在复平面内表示的点在第四象限,那么a = -2,应选B.
第03讲 复数(课件)-2024年高考数学一轮复习(新教材新高考)
所以
，解得 = 1, = ± 3，
− 2 2 + 2 = 4
当 = 1, = 3时， = 1 + 3i，
故 2 = 1 + 3i
2
= 1 + 2 3i + 3i2 = −2 + 2 3i，
3 = −2 + 2 3i 1 + 3i = −2 + 6i2 = −8；
3
A． 2
3
1
B． 2 i C．− 2 D．−
3 − i = 2i，其中为虚数单位，则的虚部为（ A ）
3
2
【解题方法总结】
无论是复数模、共轭复数、复数相等或代数运算都要认清复数包括
实部和虚部两部分，所以在解决复数有关问题时要将复数的实部和
虚部都认识清楚．
题型二：复数的运算
【例2】（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中统考三模）已知复数 =
+
−
+
பைடு நூலகம்(
+
+
≠ )
题型三：复数的几何意义
3−i
【例3】（2023·河南郑州·三模）复平面内，复数1+i2023对应的点位于（
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】A
3−i
3−i
3−i
(3−i)(1+i)
【解析】由题得1+i2023 = 1+i3 = 1−i = (1−i)(1+i) = 2 + i，
别是该点的横坐标、纵坐标，这是研究复数几何意义的最重要的出
发点．
高考数学一轮复习 第十章 算法初步、推理与证明、复数
第二节推理与证明[基础达标]一、选择题(每小题5分,共30分)1.要证a2+b2-1-a2b2≤0,只要证明( )A.2ab-1-a2b2≤0B. a2+b2-1-≤0C. -1-a2b2≤0D.(a2-1)(b2-1)≥01.D【解析】因为a2+b2-1-a2b2=(a2-1)(1-b2),所以要证a2+b2-1-a2b2≤0,只需证明(a2-1)(b2-1)≥0.2.下列叙述正确的是( )A.综合法、分析法是直接证明的方法B.综合法是直接证法,分析法是间接证法C.综合法、分析法所用语气都是肯定的D.综合法、分析法所用语气都是假定的2.A【解析】根据相关定义可知A项正确.3.用反证法证明命题时,对结论“自然数a,b,c中恰有一个偶数”的反设是()A.自然数a,b,c中至少有两个偶数B.自然数a,b,c中至少有两个偶数或都是奇数C.自然数a,b,c都是奇数D.自然数a,b,c都是偶数3.B【解析】“自然数a,b,c中恰有一个偶数”的反设是“自然数a,b,c中至少有两个偶数或都是奇数”.4.用数学归纳法证明不等式1++…+时,起始值至少取()A.7B.8C.9D.104.B【解析】1++…+=21-.当n=7时,2;当n=8时,2,故起始值至少取8.5.已知a>b>c>0,则下列不等式成立的是()A.B.C.D.5.C【解析】由题意可得(a-c) =[(a-b)+(b-c)]=2+≥2+2=4,所以.6.已知面积为S的凸四边形中,四条边长分别记为a1,a2,a3,a4,点P为四边形内任意一点,且点P到四边的距离分别记为h1,h2,h3,h4,若=k,则h1+2h2+3h3+4h4=.类比以上性质,体积为V的三棱维的每个面的面积分别记为S1,S2,S3,S4,此三棱锥内任一点Q到每个面的距离分别为H1,H2,H3,H4,若=K,则H1+2H2+3H3+4H4=()A. B. C. D.6.B【解析】在平面图形中,利用面积分割得S=a1h1+a2h2+a3h3+a4h4=kh1+×2kh2+×3kh3+×4kh4,则h1+2h2+3h3+4h4=.类比到空间,利用体积分割得V=S1H1+S2H2+S3H3+S4H4=KH1+×2KH2+×3KH3+×4KH4,则H1+2H2+3H3+4H4=.二、填空题(每小题5分,共15分)7.数列{a n}中,a1=1,a n+1=-,则a2016=.7.-2【解析】由题意可得a1=1,a2=-,a3=-2,a4=1,a5=-,…,归纳得出数列{a n}是以3为周期的周期数列,而2016=3×672,∴a2016=a3=-2.8.已知如图1所示的图形有面积关系,用类比的思想写出如图2所示的图形的体积关系=.8.【解析】在图2中过点A作AO⊥平面PBC于点O,连接PO,则A1在平面PBC 内的射影O1落在PO上,则,又∵,∴.9.(2015·蚌埠质检)若正方体P1P2P3P4-Q1Q2Q3Q4的棱长为1,集合M={x|x=,S,T∈{P,Q},i,j∈{1,2,3,4}},则对于下列命题:①当时,x=1;②当时,x=-1;③当x=1时,(i,j)有8种不同取值;④当x=1时,(i,j)有16种不同取值;⑤M={-1,0,1}.其中正确的结论序号为.(填上所有正确结论的序号)9.①④⑤【解析】因为,所以当时,x==1,①正确,②错误;当x=1时,i=1,2,3,4,j=1,2,3,4,所以(i,j)有16种不同取值,③错误,④正确;当时,x=0,当时,x=-1,所以M={-1,0,1},⑤正确.三、解答题(共20分)10.(10分)设f(x)=,g(x)= (其中a>0,且a≠1).(1)请将g(5)用f(2),f(3),g(2),g(3)来表示;(2)如果(1)中获得了一个结论,能否将其推广,用“三段论”进行证明.10.【解析】(1)由g(5)=包括a5,易知表示式中必有f(2)g(3)或f(3)g(2),又f(3)g(2)+g(3)f(2)=,因此g(5)=f(3)g(2)+g(3)f(2).(2)由g(5)=f(3)g(2)+g(3)f(2),即g(3+2)=f(3)g(2)+g(3)f(2),于是推测g(x+y)=f(x)g(y)+g(x)f(y).证明:因为f(x)=,g(x)=,(大前提)所以g(x+y)=,g(y)=,f(y)=,(小前提)所以f(x)g(y)+g(x)f(y)= =g(x+y).(结论)11.(10分)用数学归纳法证明:1-+…++…+ (n∈N*).11.【解析】①当n=1时,左边=右边=,命题成立.②假设n=k(k∈N*)时,命题成立,即1-+…++…+,则当n=k+1时,左边=1-+…+=(+…+)++…+=右边,于是当n=k+1时,命题也成立.由①②可知,原命题对所有正整数都成立.[高考冲关]1.(5分)(2015·上海十三校联考)用反证法证明命题:“已知a,b∈N*,如果ab可被5整除,那么a,b中至少有一个能被5整除”时,假设的内容应为() A.a,b都能被5整除B.a,b都不能被5整除C.a,b不都能被5整除D.a不能被5整除1.B【解析】“a,b中至少有一个能被5整除”的反面情况是“a,b都不能被5整除”.2.(5分)(2015·陕西高考)对二次函数f(x)=ax2+bx+c(a为非零整数),四位同学分别给出下列结论,其中有且只有一个结论是错误的,则错误的结论是() A.-1是f(x)的零点 B.1是f(x)的极值点C.3是f(x)的极值D.点(2,8)在曲线y=f(x)上2.A【解析】若B,C,D都正确,则f(x)=a(x-1)2+3,a>0,代入点(2,8),解得a=5是整数,此时函数没有零点,A错误,适合题意;若A,B,D均正确,则解得不适合题意,故C一定正确;若B不正确,A,C,D正确,则同样求得a无整数解,所以B一定正确;若D不正确,A,B,C正确,则解得a=-∉Z,舍去,即D一定正确,故错误的结论是A.3.(5分)(2015·潍坊质检)对于实数x,[x]表示不超过x的最大整数,观察下列等式:[]+[]+[]=3[]+[]+[]+[]+[]=10[]+[]+[]+[]+[]+[]+[]=21……按照此规律第n个等式的等号右边的结果为.3.2n2+n 【解析】由题意可得3=1×3,10=2×5,21=3×7,则第n个等式的等号右边的结果是n×(2n+1)=2n2+n.4.(5分)(2015·安徽高考)设x3+ax+b=0,其中a,b均为实数.下列条件中,使得该三次方程仅有一个实根的是.(写出所有正确条件的编号)①a=-3,b=-3;②a=-3,b=2;③a=-3,b>2;④a=0,b=2;⑤a=1,b=2.4.①③④⑤【解析】令f(x)=x3+ax+b,则f'(x)=3x2+a,若a≥0,则f(x)在R上单调递增,若a<0,则f(x)在上单调递增,在-上单调递减.对于①,a=b=-3,得f(x)=x3-3x-3,f'(x)=3(x+1)(x-1),可得f(x)的极大值f(-1)=-1<0,f(x)的极小值f(1)=-5<0,因为f(x)在(-∞,-1),(1,+∞)单调递增,则函数f(x)与x轴只有一个交点,故f(x)=0只有一解;对于②,a=-3,b=2,得f(x)=x3-3x+2,f'(x)=3(x+1)(x-1),可得f(x)的极大值f(-1)=4>0,f(x)的极小值f(1)=0,因为f(x)在(-∞,-1),(1,+∞)单调递增,则函数f(x)与x轴有两个交点,故f(x)=0有两解;对于③,a=-3,b>2,得f(x)=x3-3x+b,f'(x)=3(x+1)(x-1),可得f(x)的极大值f(-1)=2+b>0,f(x)的极小值f(1)=b-2>0,因为f(x)在(-∞,-1),(1,+∞)单调递增,则函数f(x)与x轴只有一个交点,故f(x)=0只有一解;对于④,a=0,b=2,得f(x)=x3+2,f'(x)=3x2≥0,f(x)在R上单调递增,函数f(x)与x轴只有一个交点,故f(x)=0只有一解;对于⑤,a=1,b=2,得f(x)=x3+x+2,f'(x)=3x2+1>0,f(x)在R上单调递增,函数f(x)与x轴只有一个交点,故f(x)=0只有一解.5.(15分)(2015·湖北高考)已知数列{a n}的各项均为正数,b n=a n(n∈N+),e为自然对数的底数.(1)求函数f(x)=1+x-e x的单调区间,并比较与e的大小;(2)计算,由此推测计算的公式,并给出证明;(3)令c n=(a1a2…a n,数列{a n},{c n}的前n项和分别记为S n,T n,证明:T n<e S n.5.【解析】(1)f(x)的定义域为(-∞,+∞),f'(x)=1-e x.当f'(x)>0,即x<0时,f(x)单调递增;当f'(x)<0,即x>0时,f(x)单调递减;故f(x)的单调递增区间为(-∞,0),单调递减区间为(0,+∞).当x>0时,f(x)<f(0)=0,即1+x<e x,令x=,得1+,即<e. ①(2) =1·=1+1=2; =2·21+2=(2+1)2=32;=32·3=(3+1)3=43.由此推测=(n+1)n. ②下面用数学归纳法证明②.(ⅰ)当n=1时,左边=右边=2,②成立.(ⅱ)假设当n=k时,②成立,即=(k+1)k.当n=k+1时,b k+1=(k+1) a k+1,由归纳假设可得=(k+1)k(k+1) =(k+2)k+1,所以当n=k+1时,②也成立.根据(ⅰ)(ⅱ),可知②对一切正整数n都成立.(3)由c n的定义,算术-几何平均不等式,b n的定义及①②得T n=c1+c2+c3+…+c n=(a1+(a1a2+(a1a2a3+…+(a1a2…a n=+…+≤+…+=b1+b2+…++…+b n·=b1+b2+…+b n<+…+=a1+a2+…+a n <e a1+e a2+…+e a n=e S n,即T n<e S n.。
高考数学一轮复习 第十章 算法初步、复数、推理与证明 第二节 复数教案 文(含解析)
第二节 复数1．复数的有关概念 (1)复数的概念：形如a ＋b i(a ，b ∈R)的数叫复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若b ＝0，则a ＋b i 为实数；若b ≠0，则a ＋b i 为虚数；若a ＝0且b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数．(2)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R)． (3)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R)． (4)复数的模：向量OZ ―→的模r 叫做复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)的模，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2.2．复数的几何意义 (1)复数z ＝a ＋b i复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R)．(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)平面向量OZ ―→.3．复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R)，则①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； ②减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ； ③乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ； ④除法：z 1z 2＝a ＋b ic ＋d i ＝a ＋b ic －d i c ＋d i c －d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d2i(c ＋d i≠0)．(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)．[小题体验]1．(2019·徐州调研)若复数z 满足i·z ＝1＋2i(其中i 为虚数单位)，则z 的模为________．解析：由i·z ＝1＋2i ，得z ＝1＋2i i ＝1＋2i －i－i2＝2－i ，∴|z |＝ 5. 答案： 52．若复数z ＝2－ii 3(i 是虚数单位)，则z 的共轭复数为________．解析：因为z ＝2－i i 3＝2－i ii 3×i ＝1＋2i ，所以z ＝1－2i. 答案：1－2i3．四边形ABCD 是复平面内的平行四边形，A ，B ，C 三点对应的复数分别是1＋3i ，－i,2＋i ，则点D 对应的复数为________．答案：3＋5i1．判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义． 2．两个虚数不能比较大小．3．注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来．例如，若z 1，z 2∈C ，z 21＋z 22＝0，就不能推出z 1＝z 2＝0；z 2＜0在复数范围内有可能成立．[小题纠偏]1．设复数z 1＝2－i ，z 2＝a ＋2i(i 是虚数单位，a ∈R)，若z 1·z 2∈R ，则a ＝________. 解析：依题意，复数z 1z 2＝(2－i)(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a )i 是实数， 因此4－a ＝0，a ＝4. 答案：42．设i 是虚数单位，若复数(2＋a i)i 的实部与虚部互为相反数，则实数a 的值为________．解析：因为(2＋a i)i ＝－a ＋2i ，又其实部与虚部互为相反数，所以－a ＋2＝0，即a ＝2.答案：2考点一 复数的有关概念基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．(2018·扬州期末)已知i 是虚数单位，则复数z ＝2－i1＋i 的共轭复数是________．解析：∵z ＝2－i1＋i ＝2－i 1－i 1＋i1－i ＝12－32i ， ∴z ＝12＋32i.答案：12＋32i2．(2019·盐城模拟)设复数z ＝a ＋i1＋i(i 为虚数单位)为纯虚数，则实数a 的值为________．解析：法一：复数z ＝a ＋i1＋i＝a ＋i1－i 1＋i 1－i ＝a ＋12＋1－a2i 为纯虚数， 则a ＋12＝0，1－a2≠0，故a ＝－1. 法二：设z ＝a ＋i 1＋i＝b i ，b ∈R ，b ≠0，则a ＋i ＝b i(1＋i)＝－b ＋b i ，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－b ，b ＝1，得a ＝－1.答案：－13．(易错题)设复数z ＝－1－i(i 为虚数单位)，z 的共轭复数为z ，则|(1－z )·z |＝________.解析：依题意得(1－z )·z ＝(2＋i)(－1＋i)＝－3＋i ， 则|(1－z )·z |＝|－3＋i|＝－32＋12＝10.答案：104．已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，则z 2＝________.解析：(z 1－2)(1＋i)＝1－i ⇒z 1＝2－i. 设z 2＝a ＋2i ，a ∈R ，则z 1·z 2＝(2－i)(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a )i. 因为z 1·z 2∈R ，所以a ＝4.所以z 2＝4＋2i. 答案：4＋2i[谨记通法]求解与复数概念相关问题的技巧复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a ＋b i(a ，b ∈R)的形式，再根据题意求解．考点二 复数的几何意义 基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．(2019·淮安模拟)复数z ＝3＋i1＋i ＋3i 在复平面内对应的点所在的象限为________．解析：z ＝3＋i 1＋i ＋3i ＝3＋i1－i 1＋i 1－i ＋3i ＝4－2i2＋3i ＝2－i ＋3i ＝2＋2i ，故z 在复平面内对应的点在第一象限．答案：第一象限2．在复平面内与复数z ＝2i1＋i 所对应的点关于实轴对称的点为A ，则A 对应的复数为________．解析：因为z ＝2i 1＋i ＝2i 1－i 1＋i 1－i＝i(1－i)＝1＋i ，所以A 点坐标为(1，－1)，其对应的复数为1－i.答案：1－i3．若复数(1－i)(a ＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是________．解析：因为z ＝(1－i)(a ＋i)＝a ＋1＋(1－a )i ， 所以它在复平面内对应的点为(a ＋1,1－a )， 又此点在第二象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＜0，1－a ＞0，解得a ＜－1.答案：(－∞，－1)4．已知复数z ＝x ＋y i ，且|z －2|＝3，则yx的最大值为________． 解析：因为|z －2|＝x －22＋y 2＝3，所以(x －2)2＋y 2＝3. 由图可知⎝ ⎛⎭⎪⎫y x max ＝31＝ 3. 答案： 3[谨记通法]对复数几何意义的理解及应用(1)复数z 、复平面上的点Z 及向量OZ ―→相互联系，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)⇔Z (a ，b )⇔OZ ―→.(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．考点三 复数的代数运算基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．(2019·赣榆检测)复数z 满足(1＋i)z ＝|2i|(i 为虚数单位)，则z ＝________. 解析：由(1＋i)z ＝|2i|，得z ＝21＋i ＝21－i1＋i 1－i ＝1－i.答案：1－i2．(2018·苏州测试)已知a ＋b i2－i＝3＋i(a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则a ＋b ＝________.解析：因为a ＋b i2－i＝3＋i ，所以a ＋b i ＝(3＋i)(2－i)＝7－i ，所以a ＝7，b ＝－1，所以a ＋b ＝6. 答案：6 3．已知复数z ＝3＋i 1－3i2，z －是z 的共轭复数，则z ·z ＝________.解析：因为z ＝3＋i 1－3i2＝3＋i －2－23i＝3＋i －21＋3i＝3＋i 1－3i －21＋3i 1－3i ＝23－2i －8＝－34＋14i ， 故z ＝－34－14i ， 所以z ·z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＋14i ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34－14i ＝316＋116＝14. 答案：144．(2018·江苏信息卷)已知复数z ＝1－b i i(b ∈R)的实部和虚部相等，则z 2 018＝________.解析：复数z ＝1－b ii ＝－b －i ，因为复数的实部和虚部相等，所以b ＝1，所以z2 018＝(－1－i)2 018＝(2i)1 009＝21 009i.答案：21 009i[谨记通法]复数代数形式运算问题的解题策略(1)复数的乘法：复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可．(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幂写成最简形式．[提醒] 在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度． (1)(1±i)2＝±2i；1＋i 1－i ＝i ；1－i 1＋i ＝－i ；(2)－b ＋a i ＝i(a ＋b i)； (3)i 4n＝1，i 4n ＋1＝i ，i4n ＋2＝－1，i4n ＋3＝－i ，i 4n＋i4n ＋1＋i4n ＋2＋i 4n ＋3＝0，n ∈N *.一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1．若z ＝3－2i ，则iz －2＝________. 解析：由z ＝3－2i ，得z ＝3＋2i. 则iz －2＝i 3＋2i －2＝i 1－2i 1＋2i 1－2i ＝25＋15i. 答案：25＋15i2．(2018·淮安调研)复数z ＝i(1－2i)(i 是虚数单位)的实部为________． 解析：因为z ＝i(1－2i)＝2＋i ，所以复数z 的实部为2. 答案：23．(2018·泰州中学高三学情调研)已知复数z ＝(a －i)(1＋i)(a ∈R ，i 是虚数单位)是实数，则a ＝________.解析：因为z ＝(a －i)(1＋i)＝a ＋1＋(a －1)i ，所以a －1＝0，所以a ＝1. 答案：14．(2019·徐州调研)已知(1＋3i)(a ＋b i)＝10i ，其中i 为虚数单位，a ，b ∈R ，则ab 的值为________．解析：∵(1＋3i)(a ＋b i)＝10i ，∴a －3b ＋(3a ＋b －10)i ＝0，∴a －3b ＝3a ＋b －10＝0， 解得a ＝3，b ＝1，则ab ＝3. 答案：35．(2018·苏州一调)若复数(a ＋i)2对应的点在y 轴的负半轴上(其中i 是虚数单位)，则实数a 的值是________．解析：因为(a ＋i)2＝a 2－1＋2a i ，由条件得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，2a ＜0，从而a ＝－1.答案：－16．已知复数z 满足(1＋i)z ＝i ，其中i 为虚数单位，则复数z 的实部为________． 解析：因为(1＋i)z ＝i ，所以z ＝i1＋i＝i 1－i 1＋i 1－i ＝i ＋12，所以z 的实部为12.答案：12二保高考，全练题型做到高考达标1．(2018·南京名校联考)若i 是虚数单位，复数z 满足(1－i)z ＝1，则|2z －3|＝________.解析：由(1－i)z ＝1得z ＝11－i ＝1＋i2，则|2z －3|＝|－2＋i|＝ 5. 答案： 52．(2019·常熟高三学情调研)已知i 为虚数单位，则复数z ＝21－i 的共轭复数对应的点位于第________象限．解析：∵z ＝21－i ＝21＋i1－i 1＋i＝1＋i ，∴z ＝1－i.则z 对应的点的坐标为(1，－1)，位于第四象限． 答案：四3．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc ，则符合条件⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1＋i －i 2i ＝0的复数z 的共轭复数z 在复平面内对应的点在第________象限．解析：由题意得，2z i －[－i(1＋i)]＝0，则z ＝－i 1＋i 2i ＝－12－12i ，所以z ＝－12＋12i ，其在复平面内对应的点在第二象限． 答案：二4．(2019·金陵中学检测)若z ＝21＋i ，则z 100＋z 50＋1的值是________．解析：∵z ＝21＋i ，∴z 2＝⎝⎛⎭⎪⎫21＋i 2＝－i. 又∵i 2＝－1，i 3＝－i ，i 4＝1， ∴z 100＋z 50＋1＝i 50－i 25＋1＝－i. 答案：－i5．若复数z 满足(z －1)i ＝－1＋i ，其中i 是虚数单位，则复数z 的模是________． 解析：因为z ＝1＋－1＋i i ＝2＋i ，所以|z |＝22＋12＝ 5.答案： 56．已知复数z 满足：(1－i)z ＝4＋2i(i 为虚数单位)，则z 的虚部为________． 解析：由(1－i)z ＝4＋2i ，得z ＝4＋2i1－i ＝4＋2i 1＋i1－i 1＋i＝1＋3i ，∴z 的虚部为3. 答案：37．已知复数z 满足z ＋2z －2＝i(其中i 是虚数单位)，则|z |＝________. 解析：由z ＋2z －2＝i 知，z ＋2＝z i －2i ，即z ＝－2－2i 1－i ，所以|z |＝|－2－2i||1－i|＝222＝2. 答案：28．(2019·苏州一模)已知i 是虚数单位，复数1＋a i2－i的实部与虚部互为相反数，则实数a 的值为________．解析：∵1＋a i 2－i ＝1＋a i2＋i 2－i2＋i ＝2－a 5＋2a ＋15i 的实部与虚部互为相反数，∴2－a5＋2a ＋15＝0，即a ＝－3.答案：－39．(2018·常州期末)已知x ＞0，若(x －i)2是纯虚数(其中i 为虚数单位)，则x ＝________.解析：因为(x －i)2＝x 2－2x i ＋i 2＝x 2－1＋2x i 为纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＝0，x ≠0，x ＞0，解得x ＝1.答案：110．(2018·南京、盐城二模)若复数z 满足z (1－i)＝2i(i 是虚数单位)，z 是z 的共轭复数，则z ·z ＝________.解析：因为z ·z ＝|z |2，且|z |＝|2i||1－i|＝22＝2，所以z ·z ＝2.答案：211．已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－4i ，它们在复平面上对应的点分别为A ，B ，C ，若OC ―→＝λOA ―→＋μOB ―→(λ，μ∈R)，求λ＋μ的值．解：由条件得OC ―→＝(3，－4)，OA ―→＝(－1,2)， OB ―→＝(1，－1)，根据OC ―→＝λOA ―→＋μOB ―→得(3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－λ＋μ＝3，2λ－μ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝2.所以λ＋μ＝1. 12．计算：(1)－1＋i2＋ii3；(2)1＋2i2＋31－i2＋i；(3)1－i 1＋i2＋1＋i 1－i2；(4)1－3i 3＋i2.解：(1)－1＋i2＋i i3＝－3＋i－i＝－1－3i. (2)1＋2i2＋31－i 2＋i ＝－3＋4i ＋3－3i 2＋i ＝i 2＋i＝i2－i 5＝15＋25i. (3)1－i1＋i2＋1＋i 1－i2＝1－i 2i ＋1＋i －2i ＝1＋i －2＋－1＋i 2＝－1. (4)1－3i 3＋i2＝3＋i－i3＋i2＝－i3＋i＝－i3－i4＝－14－34i.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2018·扬州期末)若复数(a －2i)(1＋3i)是纯虚数，则实数a 的值为________． 解析：∵(a －2i)(1＋3i)＝(a ＋6)＋(3a －2)i 是纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋6＝0，3a －2≠0，即a ＝－6.答案：－62．已知复数z 1＝cos 15°＋sin 15°i 和复数z 2＝cos 45°＋sin 45°i，则z 1·z 2＝________.解析：z 1·z 2＝(cos 15°＋sin 15°i)(cos 45°＋sin 45°i)＝(cos 15°cos 45°－sin 15°sin 45°)＋ (sin 15°cos 45°＋cos 15°sin 45°)i＝cos 60°＋sin 60°i ＝12＋32i. 答案：12＋32i3．(2019·淮安调研)已知复数z ＝1－2i(i 为虚数单位)． (1)若z ·z 0＝2z ＋z 0，求复数z 0的共轭复数；(2)若z 是关于x 的方程x 2－mx ＋5＝0的一个虚根，求实数m 的值． 解：(1)∵复数z ＝1－2i ，z ·z 0＝2z ＋z 0， ∴z 0(z －1)＝2z ， ∴z 0＝2z z －1＝21－2i －2i＝2＋i ，∴复数z0的共轭复数z0＝2－i.(2)∵复数z＝1－2i是关于x的方程x2－mx＋5＝0的一个虚根，∴(1－2i)2－(1－2i)m＋5＝0，整理，得2－m＋(2m－4)i＝0，解得m＝2.。
2020版高考数学一轮复习第十章算法初步、复数、推理与证明第一节算法初步教案理(含解析)
第一节算法初步1．算法与流程图（1)算法通常是指对一类问题的机械的、统一的求解方法．(2）流程图是由一些图框和流程线组成的,其中图框表示各种操作的类型,图框中的文字和符号表示操作的内容，流程线表示操作的先后次序．2．三种基本逻辑结构（1）顺序结构是由若干个依次执行的步骤组成的，这是任何一个算法都离不开的基本结构．其结构形式为（2）选择结构是先根据条件作出判断,再决定执行哪一种操作的结构．其结构形式为(3)循环结构是指从某处开始，按照一定条件反复执行某些步骤的情况．反复执行的处理步骤称为循环体．循环结构又分为当型和直到型．其结构形式为3．基本算法语句（1）赋值语句、输入语句、输出语句赋值语句用符号“←”表示，其一般格式是变量←表达式(或变量)，其作用是对程序中的变量赋值；输入语句“Read a，b"表示输入的数据依次送给a，b,输出语句“Print x"表示输出的运算结果x。
（2）算法的选择结构由条件语句来表达，条件语句有两种，一种是If—Then-Else语句，其格式是错误!。
(3）算法中的循环结构，可以运用循环语句来实现．①当循环的次数已经确定，可用“For”语句表示．“For”语句的一般形式为错误![提醒］上面“For”和“End For”之间缩进的步骤称为循环体，如果省略“Step步长”，那么重复循环时，I每次增加1.②不论循环次数是否确定都可以用下面循环语句来实现循环结构当型和直到型两种语句结构．当型语句的一般格式是错误!，直到型语句的一般格式是错误!.[小题体验]1．For语句的一般格式为：For I From a To b Step c，其中a的意义是________．解析：根据“For"语句的意义可知，I为循环变量，a为I的初始值，b为I的终值．答案：循环变量初始值2．如图是一个算法流程图，则输出的S的值为________．解析：经过第一次循环后得S＝11，n＝3,此时S＞n；进行第二次循环后得S＝8,n＝5，此时S＞n;进行第三次循环后得S＝3,n＝7，此时S＜n，退出循环,故S＝3.答案:31．易混淆处理框与输入框，处理框主要是赋值、计算，而输入框只是表示一个算法输入的信息．2．易忽视循环结构中必有选择结构,其作用是控制循环进程，避免进入“死循环”，是循环结构必不可少的一部分．3．易混淆当型循环与直到型循环．直到型循环是“先循环,后判断,条件满足时终止循环”；而当型循环则是“先判断，后循环，条件满足时执行循环"；两者的判断框内的条件表述在解决同一问题时是不同的，它们恰好相反．[小题纠偏］1．执行如图所示的算法流程图,则输出S的值是________．解析：初始值S＝2，n＝1，不满足条件n＞8，第一次循环：S＝错误!，n＝2；第二次循环：S＝－1，n＝3；第三次循环:S＝2，n＝4；第四次循环：S ＝12，n＝5，故此循环的S值呈周期性出现，且周期为3,若n＞8,则需n＝9，应循环8次，故结束循环时应输出S的值为－1。
高考数学一轮复习 推理与证明、算法初步、复数专题训练
推理与证明、算法初步、复数一、基础知识要记牢 (1)复数的模：复数z ＝a ＋b i 的模|z |＝a 2＋b 2. (2)复数相等的充要条件：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )． 特别地，a ＋b i ＝0⇔a ＝0且b ＝0(a ，b ∈R )．(3)复数的除法一般是将分母实数化，即分子、分母同乘以分母的共轭复数再进一步化简． 二、经典例题领悟好[例1] (1)(2013·安徽高考)设i 是虚数单位，若复数a －103－i (a ∈R )是纯虚数，则a 的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3(2)(2013·陕西高考)设z 1，z 2是复数，则下列命题中的假命题是( ) A ．若|z 1－z 2|＝0，则z 1＝z 2 B ．若z 1＝z 2，则z 1＝z 2C ．若|z 1|＝|z 2|，则z 1·z 1＝z 2·z 2D ．若|z 1|＝|z 2|，则z 21＝z 22 [解析] (1)因为a －103－i ＝a －＋－＋＝a －＋10＝(a －3)－i ，由纯虚数的定义，知a －3＝0，所以a ＝3.(2)A ，|z 1－z 2|＝0⇒z 1－z 2＝0⇒z 1＝z 2⇒z 1＝z 2，真命题；B ，z 1＝z 2⇒z 1＝z 2＝z 2，真命题；C ，|z 1|＝|z 2|⇒|z 1|2＝|z 2|2⇒z 1·z 1＝z 2·z 2，真命题；D ，当|z 1|＝|z 2|时，可取z 1＝1，z 2＝i ，显然z 21＝1，z 22＝－1，即z 21≠z 22，假命题．[答案] (1)D(2)D与复数z 有关的复杂式子为纯虚数，可设为m m ，利用复数相等去运算较简便.在有关复数z 的等式中，可设出z ＝a ＋ba ，b ∈R ，用待定系数法求解.熟记一些常见的运算结果可提高运算速度：2＝±2i，1＋i 1－i ＝i ，1－i1＋i ＝－i ，设ω＝－12＋32i ，则ω3＝1，|ω|＝1，ω2＝ω，1＋ω＋ω2＝0.三、预测押题不能少1．(1)设复数z ＝－1－i(i 为虚数单位)，z 的共轭复数为z ，则|(1－z )·z |＝( )A.10 B ．2 C. 2 D ．1解析：选 A 依题意得(1－z )·z ＝(2＋i)(－1＋i)＝－3＋i ，|(1－z )·z |＝|－3＋i|＝－2＋12＝10.(2)已知i 是虚数单位，z ＝1＋i ，z 为z 的共轭复数，则复数z 2z在复平面上对应的点的坐标为________． 解析：z ＝1＋i ，则z 2z＝＋21－i＝2i 1－i＝＋－＋＝－1＋i ，则复数z 2z在复平面上对应的点的坐标为(－1,1)． 答案：(－1,1)一、基础知识要记牢(1)类比推理的一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或一致性；②用一类事物的性质推测另一类事物的性质，得出一个明确的结论． (2)归纳推理的一般步骤：①通过观察个别事物发现某些相同的性质；②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题．一般情况下，归纳的个别事物越多，越具有代表性，推广的一般性结论也就越可靠． 二、经典例题领悟好[例2] (2013·陕西高考)观察下列等式： 12＝1， 12－22＝－3， 12－22＋32＝6， 12－22＋32－42＝－10， ……照此规律，第n 个等式可为________．[解析] 12＝1， 12－22＝－(1＋2)， 12－22＋32＝1＋2＋3， 12－22＋32－42＝－(1＋2＋3＋4)， ……12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1(1＋2＋…＋n )＝(－1)n ＋1n n ＋2.[答案] 12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1n n ＋2合情推理的解题思路(1)在进行归纳推理时，要先根据已知的部分个体，把它们适当变形，找出它们之间的联系，从而归纳出一般结论．(2)在进行类比推理时，要充分考虑已知对象性质的推理过程，然后通过类比，推导出类比对象的性质．(3)归纳推理关键是找规律，类比推理关键是看共性． 三、预测押题不能少2．(1)21×1＝2,22×1×3＝3×4,23×1×3×5＝4×5×6,24×1×3×5×7＝5×6×7×8，….依此类推，第n 个等式为__________________________．解析：由归纳推理可知，第n 个等式为2n×1×3×…×(2n －1)＝(n ＋1)×(n ＋2)×…×2n .答案：2n×1×3×...×(2n －1)＝(n ＋1)×(n ＋2)× (2)(2)对于命题：若O 是线段AB 上一点，则有|OB |·OA ＋|OA |·OB ＝0. 将它类比到平面的情形是：若O 是△ABC 内一点，则有S △OBC ·OA ＋S △O CA ·OB ＋S △OBA ·OC ＝0，将它类比到空间的情形应该是：若O 是四面体ABCD 内一点，则有________．解析：将平面中的相关结论类比到空间，通常是将平面中的图形的面积类比为空间中的几何体的体积，因此依题意可知：若O 为四面体ABCD 内一点，则有V O －BCD ·OA ＋V O －ACD ·OB ＋V O －ABD ·OC ＋V O －ABC ·OD ＝0.答案：V O －BCD ·OA ＋V O －ACD ·OB ＋V O －ABD ·OC ＋V O －ABC ·OD ＝0一、经典例题领悟好[例3] (2013·新课标全国卷Ⅱ)执行下面的程序框图，如果输入的N ＝10，那么输出的S ＝( )A ．1＋12＋13＋…＋110B ．1＋12！＋13！＋ (110)C ．1＋12＋13＋…＋111D ．1＋12！＋13！＋…＋111！[解析] 当输入N ＝10时，由于k ＝1，S ＝0，T ＝1，因此T ＝11＝1，S ＝1，k ＝2，此时不满足k >10； 当k ＝2时，T ＝11×2＝12！，S ＝1＋12！，k ＝3，此时不满足k >10； 当k ＝3时，T ＝11×2×3＝13！，S ＝1＋12！＋13！，k ＝4，此时不满足k >10；当k ＝4时，T ＝11×2×3×4＝14！，S ＝1＋12！＋13！＋14！，k ＝5，此时不满足k >10 ；……当k ＝10时，T ＝11×2×3×4×…×10＝110！，S ＝1＋12！＋13！＋14！＋…＋110！，k ＝11，此时满足k >10.因此输出S ＝1＋12！＋13！＋14！＋…＋110！.[答案]B解答有关程序框图问题，首先要读懂程序框图，要熟练掌握程序框图的三种基本结构.利用循环结构表示算法要注意：①要选择准确的表示累计的变量；②要注意在哪一步结束循环；③执行完整每一次循环，防止执行程序不彻底，造成错误.二、预测押题不能少3．(1)程序框图如图，如果程序运行的结果为S ＝132，那么判断框中可填入()A ．k ≤10B ．k ≥10C ．k ≤11D ．k ≥11解析：选A 输出的S 值是一个逐次累积的结果，第一次运行S ＝12，k ＝11；第二次运行S ＝132，k ＝10.如果此时输出结果，则判断框中的k 的最大值是10. (2)若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是( )A．2 B．3C．4 D．5解析：选C 逐次运行的结果是n＝3，i＝2；n＝4，i＝3；n＝2，i＝4.故输出的值是4.算法是新课标高考中的一大热点，特别体现在算法的交汇性问题上，这些问题题目背景新颖，交汇自然，主要表现在算法与函数、数列、不等式、概率及统计的交汇．一、经典例题领悟好[例] (2013·四川高考节选)某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x在1,2,3，…，24这24个整数中等可能随机产生．(1)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率P i(i＝1,2,3)；(2)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n次后，统计记录了输出y的值为i(i＝1,2,3)的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．甲的频数统计表(部分)当n ＝2 100时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y 的值为i (i ＝1,2,3)的频率(用分数表示)，并判断两位同学中哪一位所编程序符合算法要求的可能性较大； (3)将按程序框图正确编写的程序运行3次，求输出y 的值为2的次数ξ的分布列及数学期望．(1)学审题——审条件之审视图表和数据程序框图――→审图 计算输出y 的值为1,2,3的数的个数―――――――→古典概型公式概率． (2)学审题 频数统计表――→审表 各小组频数―→频率―――――→与比较 结论．(3)学审题 条件―→确定y 的取值13−−−−−−→每次发生的概率为求出分布列―→期望值．[解] (1)变量x 是在1,2,3，…，24这24个整数中随机产生的一个数，共有24种可能． 当x 从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时，输出y 的值为1，故P 1＝12；当x 从2,4,8,10,14,16,20,22这8个数中产生时，输出y 的值为2，故P 2＝13；当x 从6,12,18,24这4个数中产生时，输出y 的值为3，故P 3＝16.所以，输出y 的值为1的概率为12，输出y 的值为2的概率为13，输出y 的值为3的概率为16.(2)比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大． (3)随机变量ξ可能的取值为0,1,2,3.P (ξ＝0)＝C 03×⎝ ⎛⎭⎪⎫130×⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝827，P (ξ＝1)＝C 13×⎝ ⎛⎭⎪⎫131×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝49， P (ξ＝2)＝C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫132×⎝ ⎛⎭⎪⎫231＝29，P (ξ＝3)＝C 33×⎝ ⎛⎭⎪⎫133×⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝127， 故ξ的分布列为所以，E (ξ)＝3×13＝1.即ξ的数学期望为1.本题主要考查算法与程序框图、古典概型、频数、频率、随机变量的分布列、数学期望等概念及相关计算，考查运用统计与概率的知识与方法解决实际问题的能力，考查数据处理能力、应用意识和创新意识.解答本题的易错点为：一是错读程序框图使本题在求解第一步时就出现错误，二是处理频数分布表中数据时运算错误. 二、预测押题不能少某工厂欲加工一件艺术品，需要用到三棱锥形状的坯材，工人将如图所示的长方体ABCD EFGH 材料切割成三棱锥H ACF .(1)若点M ，N ，K 分别是棱HA ，HC ，HF 的中点，点G 是NK 上的任意一点，求证：MG ∥平面ACF ；(2)已知原长方体材料中，AB ＝2 m ，AD ＝3 m ，DH ＝1 m ，根据艺术品加工需要，工程师必须求出该三棱锥的高．工程师设计了一个求三棱锥的高度的程序，其框图如图所示，则运行该程序时乙工程师应输入的t 的值是多少？解：(1)证明：∵HM ＝MA ，HN ＝NC ，HK ＝KF ，∴MK ∥AF ，MN ∥AC . ∵MK ⊄平面ACF ，AF ⊂平面ACF ，∴MK ∥平面ACF ， 同理可证MN ∥平面ACF ，∵MN ，MK ⊂平面MNK ，且MK ∩MN ＝M ，∴平面MNK ∥平面ACF ，又MG ⊂平面MNK ，故MG ∥平面ACF . (2)由程序框图可知a ＝CF ，b ＝AC ，c ＝AF ，∴d ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝AC 2＋AF 2－CF 22AC ·AF＝cos ∠CAF ，∴e ＝12bc 1－d 2＝12AC ·AF ·sin∠CAF ＝S △ACF .又h ＝3t e ，∴t ＝13he ＝13h ·S △ACF ＝V 三棱锥H ACF .∵三棱锥H ACF 为将长方体ABCD EFGH 切掉4个体积相等的小三棱锥所得， ∴V 三棱锥H ACF ＝2×3×1－4×13×12×3×2×1＝6－4＝2，故t ＝2.1．(2013·四川高考)如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是( ) A ．A B ．B C ．C D ．D解析：选B 因为x ＋y i 的共轭复数是x －y i ，故选B.2．(2013·福建质检)执行如图所示的程序框图，若输入的x 值为2，则输出的x 值为( )A ．3B ．126C ．127D ．128解析：选C 若输入的x ＝2，则x ＝22－1＝3，而3<126，故x ＝23－1＝7，而7<126，故x ＝27－1＝127.因为127>126，所以输出的x 值为127.3．(2013·郑州质量预测)若复数z ＝2－i ，则z ＋10z＝( )A ．2－iB ．2＋iC ．4＋2iD ．6＋3i解析：选D ∵z ＝2－i ，∴z ＋10z ＝(2＋i)＋102－i＝(2＋i)＋＋－＋＝6＋3i.4．(2013·江西高考)阅读如下程序框图，如果输出i ＝5，那么在空白矩形框中应填入的语句为( )A ．S ＝2*i －2 B.S ＝2*i －1 C ．S ＝2*i D.S ＝2*i +4解析：选C 此框图依次执行如下循环：第一次：i ＝1，S ＝0，i ＝1＋1＝2，i 是奇数不成立，S ＝2*2＋1＝5，继续循环； 第二次：i ＝2＋1＝3，i 是奇数成立，继续循环；第三次：i ＝3＋1＝4，i 是奇数不成立，S ＝2*4+1=9，继续循环；第四次：i ＝4+1=5，i 是奇数成立，由题意知此时应跳出循环，输出i ＝5，即S ＜10不成立. 故应填S =2*i (此时S =10＜10不成立).若填S ＝2*i ＋4，则在第二次循环中就跳出循环．故选C.5．(2013·河南洛阳模拟)执行如图所示的程序框图，任意输入一次x (0≤x ≤1)与y (0≤y ≤1)，则能输出数对(x ，y )的概率为( ) A.14 B.13 C.23 D.34解析：选B 依题意，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤1表示的平面区域的面积等于12＝1；不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤1，y ≤x 2表示的平面区域的面积等于∫10x 2d x ＝13x 310＝13，因此所求的概率为13.6．若数列{a n }是等差数列，则数列{b n }b n ＝a 1＋a 2＋…＋a nn也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{c n }是等比数列，且{d n }也是等比数列，则d n 的表达式应为( ) A ．d n ＝c 1＋c 2＋…＋c nnB ．d n ＝c 1·c 2·…·c nnC ．d n ＝ n c n 1＋c n 2＋…＋c n nnD ．d n ＝nc 1·c 2·…·c n解析：选D 若{a n }是等差数列，则a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋n n －2d ，∴b n ＝a 1＋n －2d ＝d 2n ＋a 1－d2，即{b n }为等差数列；若{c n }是等比数列，则c 1·c 2·…·c n＝c n1·q 1＋2＋…＋(n －1)＝c n1·q12n n (-)，∴d n ＝nc 1·c 2·…·c n ＝c 1·q12n -，即{d n }为等比数列，故选D.7．已知复数z ＝1－i ，则z 2－2zz －1＝________.解析：z 2－2z z －1＝z －2－1z －1＝z －1－1z －1＝(－i)－1－i ＝－i －i －i·i＝－2i.答案：－2i8．(2013·山东高考)执行下面的程序框图，若输入的ε的值为0.25，则输出的n 的值为________．解析：逐次计算的结果是F 1＝3，F 0＝2，n ＝2；F 1＝5，F 0＝3，n ＝3，此时输出， 故输出结果为3. 答案：39．(2013·福建质检)观察下列等式： 13＋23＝1； 73＋83＋103＋113＝12； 163＋173＋193＋203＋223＋233＝39； ……则当m <n 且m ，n ∈N 时，3m ＋13＋3m ＋23＋3m ＋43＋3m ＋53＋…＋3n －23＋3n －13＝________(最后结果用m ，n 表示)． 解析：由13＋23＝1，知m ＝0，n ＝1,1＝12－02；由73＋83＋103＋113＝12，知m ＝2，n ＝4,12＝42－22； 由163＋173＋193＋203＋223＋233＝39，知m ＝5，n ＝8,39＝82－52； ………依此规律可归纳，3m ＋13＋3m ＋23＋3m ＋43＋3m ＋53＋…＋3n －23＋3n －13＝n 2－m 2.答案：n 2－m 210．已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，求z 2.解：∵(z 1－2)(1＋i)＝1－i ， ∴z 1＝2－i.设z 2＝a ＋2i ，a ∈R ，则z 1·z 2＝(2－i)(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a )i. ∵z 1·z 2∈R ，∴a ＝4.∴z 2＝4＋2i.11．(2013·郑州质量预测)每年的3月12日，是中国的植树节．林管部门在植树前，为保证树苗的质量，都会在植树前对树苗进行检测．现从甲、乙两种树苗中各抽测了10株树苗的高度，规定高于128厘米的树苗为“良种树苗”，测得高度如下(单位：厘米)： 甲：137,121,131,120,129,119,132,123,125,133； 乙：110,130,147,127,146,114,126,110,144,146.(1)根据抽测结果，画出甲、乙两种树苗高度的茎叶图，并根据你填写的茎叶图，对甲、乙两种树苗的高度作比较，写出对两种树苗高度的统计结论；(2)设抽测的10株甲种树苗高度平均值为x ，将这10株树苗的高度依次输入按程序框图进行运算(如图)，问输出的S 大小为多少？并说明S 的统计学意义；(3)若小王在甲种树苗中随机领取了5株进行种植，用样本的频率分布估计总体分布，求小王领取到的“良种树苗”的株数X 的分布列． 解：(1)茎叶图如图所示：统计结论：①甲种树苗的平均高度小于乙种树苗的平均高度； ②甲种树苗比乙种树苗长得更整齐；③甲种树苗高度的中位数为127，乙种树苗高度的中位数为128.5； ④甲种树苗的高度基本上是对称的，而且大多数集中在均值附近，乙种树苗的高度分布较为分散． (2)依题意，x ＝127，S ＝35.S 表示10株甲种树苗高度的方差，是描述树苗高度的离散程度的量． S 值越小，表示树苗长得越整齐，S 值越大，表示树苗长得越参差不齐．(3)由题意可知，领取一株甲种树苗得到“良种树苗”的概率为12，则X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，12， 所以随机变量X 的分布列为12．(2013·北京高考)已知A ，B ，C 是椭圆W ：x 24＋y 2＝1上的三个点，O 是坐标原点．(1)当点B 是W 的右顶点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形的面积；(2)当点B 不是W 的顶点时，判断四边形OABC 是否可能为菱形，并说明理由． 解：(1)椭圆W ：x 24＋y 2＝1的右顶点B 的坐标为(2,0)．因为四边形OABC 为菱形，所以AC 与OB 相互垂直平分． 所以可设A (1，m )，代入椭圆方程得14＋m 2＝1，即m ＝±32.所以菱形OABC 的面积是12|OB |·|AC |＝12×2×2|m |＝ 3.(2)四边形OABC 不可能为菱形．理由如下：假设四边形OABC 为菱形．因为点B 不是W 的顶点，且直线AC 不过原点， 所以可设AC 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝kx ＋m 消y 并整理得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. 设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则x 1＋x 22＝－4km 1＋4k 2，y 1＋y 22＝k ·x 1＋x 22＋m ＝m1＋4k2.所以AC 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km 1＋4k 2，m 1＋4k 2.因为M 为AC 和OB 的交点，所以直线OB 的斜率为－14k.因为k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－14k ≠－1，所以AC 与OB 不垂直． 所以四边形OABC 不是菱形，与假设矛盾．所以当点B 不是W 的顶点时，四边形OABC 不可能是菱形．。
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第三节复数
[基础达标]
一、选择题(每小题5分,共50分)
11+i=,则在复平面内,复数z所对应的点在() A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
1.A【解析】由题意可得z=,则z在复平面上的对应点位于第一象限.
2A={x|x=2n,n∈Z},B={x|x=2n+1,n∈Z}.i是虚数单位,若k∈Z,且i k∈{-1,1},则() A.k∈A B.k∈B
C.k∈A∩B
D.k∈⌀
2.A【解析】由i k=-1或1,得k为偶数,即k∈A.
3.复数z= (i为虚数单位)的实部为()
A.-
B.-1
C.-
D.
3.C【解析】复数z==-i的实部是-.
4为虚数单位,则=()
A.1
B.-1
C.i
D.-i
4.B【解析】=-1.
5i是虚数单位,复数z满足=i,则|z|=()
A.1
B.
C.
D.
5.C【解析】由=i得z=i,所以|z|=.
6.设i是虚数单位,复数z=1+的共轭复数为( )
A.1+i
B.1-i
C.-1+i
D.-1-i
6.A【解析】复数z=1+=1+=1-i,则z的共轭复数为1+i.
7(2+a i)(1-i)(a∈R)是纯虚数(i是虚数单位),则a的值为()
A.-2
B.-1
C.1
D.2
7.A【解析】复数(2+a i)(1-i)=2+a+(a-2)i为纯虚数,则解得a=-2.
8.已知0<a<2,复数z的实部为a,虚部为1,则|z|的取值范围是()
A.(1,5)
B.(1,3)
C.(1,)
D.(1,)
8.C【解析】|z|=∈(1,).
9z满足(1-i)z=i2015(其中i为虚数单位),则的虚部为()
A. B.- C. i D.- i
9.A【解析】由(1-i)z=i2015得z=,所以i的虚部为.
10.若复数(a+i)2的对应点在y轴负半轴上,则实数a的值是()
A.-1
B.1
C.-
D.
10.A【解析】复数(a+i)2=a2-1+2a i对应的点(a2-1,2a)在y轴负半轴上,所以解得a=-1.
二、填空题(每小题5分,共25分)
11z满足z(+1)=1+i,其中i是虚数单位,则z=.
11.i或i-1【解析】设z=a+b i(a,b∈R),由z(+1)=1+i得a2+b2+a+b i=1+i,所以
b=1,a2+a+1=1,所以a=0或a=-1,故z=i或-1+i.
12z满足(3-4i)z=|4+3i|,则z的虚部为.
12.【解析】由题意可得(3-4i)z=5,则z=i,虚部为.
13.已知纯虚数z满足(2-i)z=4+2a i,其中i为虚数单位,则实数a的值为.
13.4【解析】设z=m i,m∈R,m≠0,则m(2-i)i=4+2a i,所以m+2m i=4+2a i,则m=4,a=m,故a=4.
14=.
14.【解析】 (-i)1007=i=.
15z1=1+i,z2=2+x i(x∈R),若z1·z2∈R,则x的值为. 15.-2【解析】z1z2=(1+i)(2+x i)=2-x+(x+2)i∈R,所以x=-2.
[高考冲关]
1.(5分z=x+y i(x,y∈R),i为虚数单位,则下列结论正确的是() A.|z-|=2y B.z2=x2+y2
C.|z-|≥2x
D.|z|≤|x|+|y|
1.D【解析】|z-|=|2y i|=|2y|,A,C错误;z2=x2+2xy i-y2,B错
误;|z|=≤|x|+|y|,D正确.
2.(5分)若i为虚数单位,图中网格纸的小正方形的边长是1,复平面内点Z表示复数z,则复
数的共轭复数是()
A.- i
B.-i
C. i
D.i
2.B【解析】由图可得z=2+i,则=i的共轭复数是-i.
3.(5分z=,则复数z在复平面内对应的点位于()
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
3.B【解析】因为
z==-i,所以对
应点在第二象限.
4.(5分)若复数z满足|z|=2,则|1+i+z|的取值范围是.
4.[0,4]【解析】复数z在复平面上对应的点的轨迹是以原点O为圆心、半径为2的圆.
设ω=1+i+z=z-(-1-i),则|ω|表示动点Z到点C(-1,-)的距离,因为OC=2,所以
动点Z到C(-1,-)距离的最大值为OC+r=4,最小值为OC-r=0,所以|1+i+z|的取值范围
是[0,4].
5.(5分z=5cos α-4i(i为虚数单位,-π<α<0)在复平面上的对应点在直线y=x-1上,则sin α=.
5.-【解析】∵复数z=5cos α-4i在复平面上的对应点在直线y=x-1上,∴-4=5cos α-1,即cos α=-,又-π<α<0,∴sin α=-=-=-.。