高中数学 2-1-2-2 指数函数性质的应用能力强化提升 新人教A版必修1
高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.1指数函数2.1.2第1课时指数函数的图象及性质课件新人教A版必修1
与指数函数有关的定义域、值域问题
求下列函数的定义域与值域：
(1)y＝
；(2)y＝23－|x|.
思路点拨：
指数函数y＝axa＞0， 且a≠1的定义域是R
―→
函数y＝afxa＞0，且a≠1 与fx的定义域相同
―→
值域
解：(1)由xx＋ －11≥0，得 x≤－1 或 x＞1.
已知指数函数f(x)的图象过点(3,8)，则f(6)＝________. 解析：设f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)． ∵函数f(x)的图象过点(3,8)． ∴8＝a3，∴a＝2. ∴f(x)＝2x. ∴f(6)＝26＝64. 答案：64
2．指数函数的图象和性质 a＞1
图象图象
如图是指数函数：①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④ y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是( )
A．a＜b＜1＜c＜d B．b＜a＜1＜d＜c C．1＜a＜b＜c＜d D．a＜b＜1＜d＜c
思路点拨：
解析：方法一：在①②中底数大于零且小于 1，在 y 轴右 边，底数越小，图象向下越靠近 x 轴，故有 b＜a，在③④中底 数大于 1，在 y 轴右边，底数越大，图象向上越靠近 y 轴，故 有 d<c.故选 B.
1．指数函数的图象一定在x轴的上方．( ) 2．当a＞1时，对于任意x∈R总有ax＞1.( ) 3．函数f(x)＝2－x在R上是增函数．( ) 答案：1.√ 2.× 3.×
指数函数的概念
函数y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，求a的值． 思路点拨： ax的系数为1 ―→ a为常数，a＞0且a≠1 ―→ 不等式组 解：∵y＝(a2－3a＋3)ax 是指数函数， ∴aa＞2－03且a＋a≠3＝1，1， 解得aa＝ ＞10或 且2a，≠1. ∴a＝2.
高中数学第四章指数函数与对数函数指数函数第2课时指数函数及其性质的应用学案新人教A版必修第一册
第2课时 指数函数及其性质的应用课程标准(1)掌握指数函数与其他函数复合所得的函数单调区间的求法及单调性的判断．(2)能借助指数函数图象及单调性比较大小．(3)会解简单的指数方程、不等式．(4)会判断指数型函数的奇偶性．新知初探·课前预习——突出基础性教材要点要点一 比较大小❶1．对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的________来判断；2．对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用指数函数的______的变化规律来判断；3．对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过______来判断．要点二 解指数方程、不等式(1)形如a f(x)＞a g(x)的不等式，可借助y＝a x的________求解❷；(2)形如a f(x)＞b的不等式，可将b化为以a为底数的指数幂的形式，再借助y＝a x的_ _______求解；(3)形如a x＞b x的不等式，可借助两函数y＝a x，y＝b x的图象求解．要点三 指数型函数的单调性❸一般地，有形如y＝a f(x)(a>0，且a≠1)函数的性质(1)函数y＝a f(x)与函数y＝f(x)有________的定义域．(2)当a>1时，函数y＝a f(x)与y＝f(x)具有________的单调性；当0<a<1时，函数y＝a f(x)与函数y＝f(x)的单调性________．助学批注批注❶ 注意区别指数函数与幂函数的比较大小．批注❷ 如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况进行讨论．批注❸ 与复合函数的单调性“同增异减”一致，即内外两个函数单调性相同，则复合函数为增函数；内外两个函数单调性相反，则复合函数为减函数．基础自测1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)若0.3a>0.3b，则a>b.( )(2)函数y＝3x2在[0，＋∞)上为增函数．( )(3)函数y＝21x在其定义域上为减函数．( )(4)若a m>1，则m>0.( )2．设a＝1.20.2，b＝0.91.2，c＝0.3－0.2，则a，b，c大小关系为( ) A.a>b>c B．a>c>bC．c>a>b D．c>b>a3．已知2m>2n>1，则下列不等式成立的是( )A．m>n>0B．n<m<0C．m<n<0D．n>m>04．函数f(x)＝2|x|的递增区间是________．题型探究·课堂解透——强化创新性题型 1 利用指数函数的单调性比较大小例1 若a＝(12)32，b＝(34)14，c＝(34)34，则a，b，c的大小关系是( ) A．a>b>c B．b>a>cC．b>c>a D．c>b>a方法归纳底数与指数都不同的两个数比较大小的策略巩固训练1 下列选项正确的是( )A.0.62.5>0.63B.1.7−13<1.7−12C.1.11.5<0.72.1D.212>313题型 2 解简单的指数不等式例2 (1)不等式3x －2＞1的解集为________．(2)若a x ＋1＞(1a )5−3x(a ＞0且a ≠1)，求x 的取值范围．方法归纳利用指数函数单调性解不等式的步骤巩固训练2 已知集合M ＝{－1，1}，N ＝{x |12<2x ＋1<4，x ∈Z }，则M ∩▒N ＝ ()A ．{－1，1}B ．{－1}C ．{0}D ．{－1，0}题型 3 指数型函数的单调性例3 求函数f (x )＝(13)x 2－2x 的单调区间．方法归纳指数型函数单调区间的求解步骤巩固训练3 函数f (x )＝2x2－1的单调减区间为________.题型 4 指数函数性质的综合问题例4 已知函数f (x )＝e x －mex 是定义在R 上的奇函数．(1)求实数m 的值；(2)用单调性定义证明函数f (x )是R 上的增函数；(3)若函数f (x )满足f (t －3)＋f (2t 2)<0，求实数t 的取值范围．方法归纳有关指数函数性质的综合问题的求解策略是奇函数．巩固训练4 已知函数f(x)＝2x−a2x+a(1)求实数a的值；(2)求f(x)的值域．第2课时 指数函数及其性质的应用新知初探·课前预习[教材要点]要点一单调性 图象 中间值要点二单调性 单调性要点三相同 相同 相反[基础自测]1．答案：(1)× (2)√ (3)× (4)×2．解析：∵a＝1.20.2>1.20＝1，b＝0.91.2<0.90＝1，∴b<a，又y＝x0.2在(0，＋∞)上单调递增，∴1<a＝1.20.2<0.3－0.2＝(103)0.2，∴b<a<c.答案：C3．解析：因为2m>2n>1，所以2m>2n>20；又函数y＝2x是R上的增函数，所以m>n>0.答案：A4．解析：因为f(x)＝2|x|＝{2x，x>0(12)x，x≤0，故函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．答案：(0，＋∞)题型探究·课堂解透例1 解析：因为b＝(34)14，c＝(34)34，函数y＝(34)x在R上单调递减，所以(34)14>(34)34，即b>c；又a＝(12)32＝(14)34，c＝(34)34，函数y＝x34在(0，＋∞)上单调递增，所以(14)34<(34)34，即a<c，所以b>c>a.答案：C巩固训练1 解析：对于A：y＝0.6x在定义域R上单调递减，所以0.62.5>0.63，故A正确；对于B：y＝1.7x在定义域R上单调递增，所以1.7−13>1.7−12，故B错误；对于C：因为1.11.5>1.10＝1，0<0.72.1<0.70＝1，所以1.11.5>0.72.1，故C错误；对于D：因为¿)6＝23＝8，¿)6＝32＝9，即(212)6<¿)6，所以212<313，故D错误．答案：A例2 解析：(1)3x－2＞1⇒3x－2＞30⇒x－2＞0⇒x＞2，所以解集为(2，＋∞)．(2)因为a x＋1＞(1a)5−3x，所以当a＞1时，y＝a x为增函数，可得x＋1＞3x－5，所以x＜3.当0＜a＜1时，y＝a x为减函数，可得x＋1＜3x－5，所以x＞3.综上，当a＞1时，x的取值范围为(－∞，3)，当0＜a＜1时，x的取值范围为(3，＋∞)．答案：(1)(2，＋∞) (2)见解析巩固训练2 解析：∵12＜2x＋1＜4，∴2－1＜2x＋1＜22，∴－1＜x＋1＜2，∴－2＜x＜1.又∵x∈Z，∴x＝0或x＝－1，即N＝{0，－1}，∴M∩N＝{－1}．答案：B例3 解析：令u＝x2－2x，则原函数变为y＝(1 3 )u.∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1)上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，又∵y＝( 13)u在(－∞，＋∞)上单调递减，∴y＝(13)x2－2x单调递增区间是(－∞，1)，单调递减区间是[1，＋∞)．巩固训练3 解析：令t＝x2，则y＝2t－1为增函数，当x∈(－∞，0)时，t＝x2为减函数，所以f(x)＝2x2－1在x∈(－∞，0)上是减函数．答案：(－∞，0)例4 解析：(1)∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0，得m＝1；(2)设x1，x2∈R，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝e x1−1e x1−e x2+1e x2＝(e x1−e x2)¿)∵x1<x2，∴0<e x1<e x2，因此f(x1)<f(x2)，即f(x)是R上的增函数；(3)∵f(x)是奇函数，∴f(2t2)<－f(t－3)＝f(3－t)，又f(x)在R上为增函数，∴2t2<3－t，解得－32<t<1.巩固训练4 解析：(1)因为f(x)＝2x−a2x+a，f(－x)＝2−x−a2−x+a ＝1−a·2x 1+a·2x由f(－x)＝－f(x)，可得1−a·2x1+a·2x ＝－2x−a2x+a，(1－a·2x)(2x＋a)＝(1＋a·2x)(a－2x)，2x－a·2x·2x＋a－a2·2x＝a＋a2·2x－2x－a·2x·2x，整理得2x(a2－1)＝0，于是a2－1＝0，a＝±1.当a＝1时，f(x)定义域为R，f(x)是奇函数．当a＝－1时，f(x)定义域为{x|x≠0}，f(x)是奇函数．因此a＝±1.(2)当a＝1时，f(x)＝1－22x+1，定义域为R，所以2x>0，于是2x＋1>1，0<22x+1<2，因此－1<1－22x+1<1，故f(x)的值域为(－1，1)．当a＝－1时，f(x)＝1＋22x−1，定义域为{x|x≠0}，所以2x>0，且2x≠1，于是2x－1>－1，且2x－1≠0，所以22x−1<－2，或22x−1>0.因此1＋22x−1<－1或1＋22x−1>1，故f(x)的值域为(－∞，－1)∪(1，+∞)．。
数学新课标人教A版必修1教学课件：2.1.2.1 第1课时 指数函数的图象及性质
必修1 第二章 基本初等函数（I）
栏目导引 第二十二页，编辑于星期日：十一点 三十五分。
3.如图所示是指数函数的图象，已
知 a 的值取 2，43，130，15，则相应曲线 C1，C2，
C3，C4 的 a 依次为( )
必修1 第二章 基本初等函数（I）
栏目导引 第四页，编辑于星期日：十一点 三十五分。
1．指数函数的概念 函数y＝ax(a＞0，且a≠1，x∈R)叫做指数函数，其中 x为自变量． 2．指数函数的图象和性质
a>1
0<a<1
图象
必修1 第二章 基本初等函数（I）
栏目导引 第五页，编辑于星期日：十一点 三十五分。
栏目导引 第三页，编辑于星期日：十一点 三十五分。
(4)当a＝0时，n取__零__或__负__数__没有意义． 如果y＝f(x)在D上是增函数，则对任意x1， x2∈D且x1<x2，有f(x1)<(填“>”、“<”或 “＝”)f(x2)，y＝f(x)的图象从左至右逐渐__上__升 (填“上升”或“下降”)．
(4)∵－233<0，4313>430＝1，3412<340＝1， ∴－233<3412<4313.12 分
必修1 第二章 基本初等函数（I）
栏目导引 第二十八页，编辑于星期日：十一点 三十五分。
[题后感悟] 比较幂的大小的常用方法： (1)对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比 较，可以利用指数函数的单调性来判断．(2)对 于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较， 可以利用指数函数图象的变化规律来判断．(3)
高中数学 2.1.2指数函数及其性质 新人教版必修1
因为1.7>1，所以函数y= 1.7 x
5
4.5
在R上是增函数，
4
3.5
而2.5<3，所以，
3
f x = 1.72.5 x
2
1.72.5 1.73
1.5 1
0.5
-2
-1
-0.5
1
2
3
4
5
6
思考与探究1
研究函数 y 2x 和 y (1)x 的图象。
2
问：这两个函数的图象关于y轴对称吗?为什么?有什么规律?
1. 本节课学习了那些知识? 指数函数的定义 指数函数的图象及性质
2.如何记忆函数的性质?
数形结合的方法记忆
y (1)x
3.记住两个基本图形: 2
y
y 2x
2
1
y=1
-2 -1
o1
2
x
在教授过程中，老师应紧扣函数的图像，通过函数的图像总 结指数函数的性质。在这个过程中，老师应有意识的培养学生 怎样去认识，分析一个陌生的函数，并总结函数的相关性质。
课前复习
1 N次方根的概念与基本性质：
复 习
2 分数指数幂的运算性质：
3 分数指数幂的运算性质的灵活运用
据国家统计局报道： 我国三季度GDP呈指 数增长，何谓指数增 长，你对指数增长熟 悉吗？这就是笨节课 需要研究的主要问题 。
一般地，函数
令2x
1 2
x
则2x 2x
y ax
与
y
1
x
a
的图象关于y轴对称，
其中a>0且a≠1。
所 以 y 2 x 和 y 1 2 x关 于 y 轴 对 称
高中数学第二章基本初等函数§2.1.1指数(第1—2课时)教案新人教A版必修1
第二课时
提问： 1．习初中时的整数指数幂，运算性质？
an a a a a, a0 1 (a 0) ,0 0无意义
an
1 an
(a 0)
a m a n a m n ; (a m )n a mn
(an )m a mn, (ab) n a nb n
什么叫实数？
有理数，无理数统称实数 . 2．观察以下式子，并总结出规律：
三．学法与教具 1 ．学法：讲授法、讨论法、类比分析法及发现法 2．教具：多媒体
四、教学设想：
第一课时
一、复习提问：
什么是平方根？什么是立方根？一个数的平方根有几个，立方根呢？
归纳：在初中的时候我们已经知道：若
x2 a ，则 x 叫做 a 的平方根 . 同理，若 x3 a ，则 x 叫做 a
的立方根 .
3、教材对反函数的学习要求仅限于初步知道概念， 目的在于强化指数函数与对数函数这两种函数模
型的学习，教学中不宜对其定义做更多的拓展
.
4. 教材对幂函数的内容做了削减， 仅限于学习五种学生易于掌握的幂函数， 并且安排的顺序向后调
整，教学中应防止增加这部分内容，以免增加学生学习的负担
.
5. 通过运用计算机绘制指数函数的动态图象
思考： a n n ( n a ) n 是否成立，举例说明 .
课堂练习： 1. 求出下列各式的值
(1) 7 ( 2)7
(2) 3 (3a 3)3 ( a 1)
4
(3) (3a
3)4
2．若 a2 2a 1 a 1,求 a的取值范围 .
3．计算 3 ( 8)3 4 (3 2)4 3 (2 3)3
三．归纳小结：
即： a n
1
m
人教A版数学必修一2-1-2-2指数函数性质的应用.pptx
[解析] 令t＝2－x，∵x∈[－3,2]，∴t∈[14，8]，
∴y＝t2－t＋1＝t－122＋34， 当t＝12时，ymin＝34，此时2－x＝12，∴x＝1，
当t＝8时，ymax＝57，此时2－x＝8，∴x＝－3，
∴该函数在x＝1时取最小值
3 4
，当x＝－3时取最大值
57.
已知函数y＝4x－3×2x＋3当其值域为[1,7]时，x的取值
一、选择题
1．已知0<a<1，b<－1，则函数y＝ax＋b的图象不经过
()
A．第一象限 C．第三象限D．第四象限 [答案] A
B．第二象限
[解析] 0<a<1时，y＝ax单调递减，又y＝ax＋b，b<－ 1，∴当x＝0时，y<0，∴选A.
2．函数y＝ ax－1 的定义域是(－∞，0]，则a的取值
(4)作y＝2－x的图象关于x轴对称图形． (5)将y＝2－x的图象先向下平移一个单位，再将x轴下方 图象翻折到x轴上方． (6)将y＝2－x的图象作关于y轴对称的图形．
[点评] 可依据f(x)＝2－x依次求出各函数，再作 图．例如，y＝f(|x|)＝2－|x|＝12x (x≥0) .
2x (x<0)
[例3] 利用函数f(x)＝2－x的图象，作出下列各函数的 图象．
(1)f(x－1)；(2)f(|x|)；(3)f(x)－1； (4)－f(x)；(5)|f(x)－1|；(6)f(－x)； [解析] (1)将y＝2－x的图象右移一个单位 (2)将函数y＝2－x的图象在y轴左侧部分去掉，然后将右 侧部分作关于y轴对称的图形即得． (3)将y＝2－x的图象下移一个单位．
当 0<a<1 时，2x＋3<1－x，∴x<－23.
人教A版数学必修一2.1.2《指数函数及其性质》课件ppt新课标人教版必修1.pptx
分别在同一坐标系中作出下列各组函数
的图象,并说明它们之间有什么关系？
(4) y 2x 与 y 2|x|
y
o
x
由 y=f(x) 的图象作 y=f(|x|)的图象：保留 y=f(x)中y轴右侧部分,再加上这部分关于y轴对称 的图形.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1 1
(10x 10 x
1) 1
2
1
1
2 10x
.
10x 0,1 10x 1.
0
1 1 10x
1.
2
1
2 10x
0.
1
1
2 1 10x
1.
所以函数f(x)的值域为(-1,1).
y
y 2x
y 2x1
y 2x2
y1
o
x
①将指数函数y=2x的图象向左平行移动1个单位
长度,就得到函数y=2x+1的图象;
f
(
x)
10 10
x x
1 1
10 x 10 x
(10 (10
x x
1) 1)
1 1
10 x 10 x
f ( x).
所以f(x)在R上是奇函数.
1.指数形式的复合函数的单调性(奇偶性)
例2.求证函数 值域.
f (x)
10 x 10 x
1 1
是奇函数,并求其
解：
f
(
x)
10 x 10 x
2 2x 1
2 2x 2 1 2x
2.
∴ a = 1.
利用 f(0)= 0
【1】已知定义域为R的函数
为奇函数,则a=_2_, b=__1___.
f
(x)
高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.1指数函数2.1.2指数函数及其性质教学设计新人教A版必修1
2.1.2 指数函数及其性质整体设计教学内容分析本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学(1)》(人教A版)第二章第一节第二课(2.1.2)《指数函数及其性质》．根据实际情况，将《指数函数及其性质》划分为三节课〔指数函数的图象及其性质，指数函数及其性质的应用(1)，指数函数及其性质的应用(2)〕，这是第一节课“指数函数的图象及其性质”．指数函数是重要的基本初等函数之一，作为常见函数，它不仅是今后学习对数函数和幂函数的基础，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，所以指数函数应重点研究．学生学习情况分析指数函数是在学生系统学习了函数概念，基本掌握了函数性质的基础上进行研究的，是学生对函数概念及性质的第一次应用．教材在之前的学习中给出了两个实际例子(GDP的增长问题和碳14的衰减问题)，已经让学生感受到了指数函数的实际背景，但这两个例子的背景对于学生来说有些陌生．本节课先设计一个看似简单的问题，通过超出想象的结果来激发学生学习新知的兴趣和欲望．设计思想1．函数及其图象在高中数学中占有很重要的位置．如何突破这个既重要又抽象的内容，其实质就是将抽象的符号语言与直观的图象语言有机地结合起来，通过具有一定思考价值的问题，激发学生的求知欲望——持久的好奇心．我们知道，函数的表示法有三种：列表法、图象法、解析法，以往的函数的学习大多只关注到图象的作用，这其实只是借助了图象的直观性，只是从一个角度看函数，是片面的．本节课力图让学生从不同的角度去研究函数，对函数进行一个全方位的研究，并通过对比总结得到研究的方法，让学生去体会这种研究方法，以便能将其迁移到其他函数的研究中去．2．在本节课的教学中我努力实践以下两点：(1)在课堂活动中通过同伴合作、自主探究培养学生积极主动、勇于探索的学习方式．(2)在教学过程中努力做到生生对话、师生对话，并且在对话之后重视体会、总结、反思，力图在培养和发展学生数学素养的同时让学生掌握一些学习、研究数学的方法．3．通过课堂教学活动向学生渗透数学思想方法．教学目标根据学生的实际情况，本节课的教学目标是：理解指数函数的概念，能画出具体指数函数的图象；在理解指数函数概念、性质的基础上，能应用所学知识解决简单的数学问题；在教学过程中通过类比，回顾归纳从图象和解析式这两种不同角度研究函数性质的数学方法，加深对指数函数的认识，让学生在数学活动中感受数学思想方法之美、体会数学思想方法之重要；同时通过本节课的学习，使学生获得研究函数的规律和方法；培养学生主动学习、合作交流的意识．重点难点教学重点：指数函数的概念、图象和性质．教学难点：对底数的分类，如何由图象、解析式归纳指数函数的性质.教学过程一、创设情境、提出问题(约3分钟)师：如果让1号同学准备2粒米，2号同学准备4粒米，3号同学准备6粒米，4号同学准备8粒米，5号同学准备10粒米，……，按这样的规律，51号同学该准备多少粒米？学生回答后教师公布事先估算的数据：51号同学该准备102粒米，大约5克重．师：如果改成让1号同学准备2粒米，2号同学准备4粒米，3号同学准备8粒米，4号同学准备16粒米，5号同学准备32粒米，……，按这样的规律，51号同学该准备多少粒米？学情预设学生可能说出很多或能算出具体数目．师：大家能否估计一下51号同学该准备的米有多重吗？教师公布事先估算的数据：51号同学所需准备的大米约重1.2亿吨．师：1.2亿吨是一个什么概念？根据2007年9月13日美国农业部发布的最新数据显示，2007～2008年度我国大米产量预计为1.27亿吨．这就是说51号同学所需准备的大米相当于2007～2008年度我国全年的大米产量！设计意图用一个看似简单的实例，为引出指数函数的概念做准备；同时通过与一次函数的对比让学生感受指数函数的爆炸增长，激发学生学习新知的兴趣和欲望．在以上两个问题中，每位同学所需准备的米粒数用y表示，每位同学的座号数用x表示，y与x之间的关系分别是什么？学生很容易得出y＝2x(x∈N*)和y＝2x(x∈N*)．学情预设学生可能会漏掉x的取值范围，教师要引导学生思考具体问题中x的取值范围．二、师生互动、探究新知1．指数函数的定义师：其实，在本章开头的问题中，也有一个与y＝2x类似的关系式y＝1.073x(x∈N*，x≤20)．(1)让学生思考讨论以下问题(问题逐个给出，约3分钟)：①y＝2x(x∈N*)和y＝1.073x(x∈N*，x≤20)这两个解析式有什么共同特征？②它们能否构成函数？③是我们学过的哪个函数？如果不是，你能否根据该函数的特征给它起个恰当的名字？ 设计意图引导学生从具体问题、实际问题中抽象出数学模型．学生对比已经学过的一次函数、反比例函数、二次函数，发现y ＝2x ，y ＝1.073x 是一个新的函数模型，再让学生给这个新的函数命名，由此激发学生的学习兴趣．引导学生观察，两个函数中，底数是常数，指数是自变量．师：如果可以用字母a 代替其中的底数，那么上述两式就可以表示成y ＝a x 的形式．自变量在指数位置，所以我们把它称作指数函数．(2)让学生讨论并给出指数函数的定义(约6分钟)．对于底数的分类，可将问题分解为：①若a ＜0，会有什么问题？(如a ＝－2，x ＝12，则在实数范围内相应的函数值不存在) ②若a ＝0，会有什么问题？(对于x ≤0，a x 都无意义)③若a ＝1又会怎么样？(1x 无论x 取何值，它总是1，对它没有研究的必要)师：为了避免上述各种情况的发生，所以规定a ＞0且a ≠1.在这里要注意生生之间、师生之间的对话．①若学生从教科书中已经看到指数函数的定义，教师可以问，为什么要求a ＞0，且a ≠1；a ＝1为什么不行？②若学生只给出y ＝a x ，教师可以引导学生通过类比一次函数(y ＝kx ＋b ，k ≠0)、反比例函数(y ＝k x ，k ≠0)、二次函数(y ＝ax 2＋bx ＋c ，a ≠0)中的限制条件，思考指数函数中底数的限制条件．学情预设设计意图①对指数函数中底数限制条件的讨论可以引导学生研究一个函数应注意它的实际意义和研究价值；②讨论出a ＞0，且a ≠1，也为下面研究性质时对底数的分类做准备．接下来教师可以问学生是否明确了指数函数的定义，能否写出一两个指数函数？教师也在黑板上写出一些解析式让学生判断，如y ＝2×3x ，y ＝32x ，y ＝－2x.学情预设学生可能只是关注指数是否是变量，而不考虑其他的．设计意图加深学生对指数函数定义和呈现形式的理解．2．指数函数的性质(1)提出两个问题(约3分钟)①目前研究函数一般可以包括哪些方面？设计意图让学生在研究指数函数时有明确的目标：函数三要素(对应法则、定义域、值域)和函数的基本性质(单调性、奇偶性)．②研究函数(比如今天的指数函数)可以怎么研究？用什么方法、从什么角度研究？ 可以从图象和解析式这两个不同的角度进行研究；可以从具体的函数入手(即底数取一些数值)；当然也可以用列表法研究函数，只是今天我们所学的函数用列表法不易得出此函数的性质，可见具体问题要选择适当的方法来研究才能事半功倍！还可以借助一些数学思想方法来思考．设计意图①让学生知道图象法不是研究函数的唯一方法，由此引导学生可以从图象和解析式(包括列表)两个不同的角度对函数进行研究；②对学生进行数学思想方法(从一般到特殊再到一般、数形结合、分类讨论)的有机渗透．(2)分组活动，合作学习(约8分钟)师：下面我们就从图象和解析式这两个不同的角度对指数函数进行研究．①让学生分为两大组，一组从解析式的角度入手(不画图)研究指数函数，一组借助电脑通过几何画板的操作从图象的角度入手研究指数函数；②每一大组再分为若干合作小组(建议4人一小组)；③每组都将研究所得到的结论或成果写出来以便交流．学情预设考虑到各组的水平可能有所不同，教师应巡视，对个别组可做适当的指导．通过自主探索、合作学习，不仅让学生充当学习的主人更可加深对所得到结论的理解．设计意图(3)交流、总结(约10～12分钟)师：下面我们开一个成果展示会！教师在巡视过程中应关注各组的研究情况，此时可选一些有代表性的小组上台展示研究成果，并对比从两个角度入手研究的结果．教师可根据上课的实际情况对学生发现、得出的结论进行适当的点评或要求学生分析．这里除了研究定义域、值域、单调性、奇偶性外，再引导学生注意是否还有其他性质？师：各组在研究过程中除了定义域、值域、单调性、奇偶性外是否还得到一些有价值的副产品呢？〔〕如过定点(0，1)，y ＝a x 与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x 的图象关于y 轴对称学情预设①首先选一个从解析式的角度研究的小组上台汇报；②对于从图象的角度研究的，可先选没对底数进行分类的小组上台汇报；③问其他小组有没有不同的看法，上台补充，让学生对底数进行分类，引导学生思考哪个量决定着指数函数的单调性，以什么为分界，教师可以马上通过电脑操作看函数图象的变化．设计意图①函数的表示法有三种：列表法、图象法、解析法，通过这个活动，让学生知道研究一个具体的函数可以从多个角度入手，从图象角度研究只是能直观的看出函数的一些性质，而具体的性质还是要通过对解析式的论证；特别是定义域、值域更是可以直接从解析式中得到的．②让学生上台汇报研究成果，使学生有种成就感，同时还可训练其对数学问题的分析和表达能力，培养其数学素养；③对指数函数的底数进行分类是本课的一个难点，让学生在讨论中自己解决分类问题，使该难点的突破显得自然．师：从图象入手我们很容易看出函数的单调性、奇偶性，以及过定点(0,1)，但定义域、值域却不可确定；从解析式(结合列表)可以很容易得出函数的定义域、值域，但对底数的分类却很难想到．教师通过几何画板中改变参数a的值，追踪y＝a x的图象，在变化过程中，让全体学生进一步观察指数函数的变化规律．师生共同总结指数函数的图象和性质，教师可以边总结边板书．0＜a＜1a＞1(0，＋∞)过定点(0,1)1．例：已知指数函数f(x)＝a x(a＞0，且a≠1)的图象经过点(3，π)，求f(0)，f(1)，f(－3)的值．解：因为f(x)＝a x的图象经过点(3，π)，所以f(3)＝π，即a 3＝π.解得13πa =，于是f (x )＝3πx . 所以f (0)＝1，f (1)＝3π，f (－3)＝1π. 设计意图通过本题加深学生对指数函数的理解．师：根据本题，你能说出确定一个指数函数需要什么条件吗？师：从方程思想来看，求指数函数就是确定底数，因此只要一个条件，即布列一个方程就可以了．设计意图让学生明确底数是确定指数函数的要素，同时向学生渗透方程的思想．2．练习：(1)在同一平面直角坐标系中画出y ＝3x 和y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 的大致图象，并说出这两个函数的性质；(2)求下列函数的定义域：①y =112xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 3．师：通过本节课的学习，你对指数函数有什么认识？你有什么收获？学情预设学生可能只是把指数函数的性质总结一下，教师要引导学生谈谈对函数研究的学习，即怎么研究一个函数．设计意图①让学生再一次复习对函数的研究方法(可以从多个角度进行)，让学生体会本节课的研究方法，以便能将其迁移到其他函数的研究中去．②总结本节课中所用到的数学思想方法．③强调各种研究数学的方法之间有区别又有联系，相互作用，才能融会贯通．4．作业：课本习题2.1A 组 5.教学反思1．本节课改变了以往常见的函数研究方法，让学生从不同的角度去研究函数，对函数进行一个全方位的研究，不仅仅是通过对比总结得到指数函数的性质，更重要的是让学生体会到对函数的研究方法，以便能将其迁移到其他函数的研究中去，教师可以真正做到“授之以渔”而非“授之以鱼”．2．教学中借助信息技术可以弥补传统教学在直观感、立体感和动态感方面的不足，可以很容易的化解教学难点、突破教学重点、提高课堂效率，本节课使用几何画板可以动态地演示出指数函数的底数的变化过程，让学生直观地观察底数对指数函数单调性的影响．3．在教学过程中不断向学生渗透数学思想方法，让学生在活动中感受数学思想方法之美、体会数学思想方法之重要，部分学生还能自觉地运用这些数学思想方法去分析、思考问题．指数函数及其性质的应用整体设计三维目标1．知识与技能理解指数函数的图象和性质，会利用性质来解决问题．2．过程与方法能利用指数函数的图象和性质来比较两个值的大小，图象间的平移，去探索利用指数函数的单调性来求未知字母的取值范围．3．情感、态度与价值观在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型，激发学生学习数学的兴趣，努力培养学生的创新意识．重点难点教学重点：指数函数的图象和性质．教学难点：指数函数的性质应用．教学过程第2课时指数函数及其性质的应用(1)作者：王建波导入新课思路1．复习导入：我们前一节课学习了指数函数的概念和性质，下面我们一起回顾一下指数函数的概念、图象和性质．如何利用指数函数的图象和性质来解决一些问题，这就是本堂课要讲的主要内容．教师板书课题．思路2．我们在学习指数函数的性质时，利用了指数函数的图象的特点，并且是用类比和归纳的方法得出，在理论上，我们能否严格的证明(特别是指数函数的单调性)，以便于我们在解题时应用这些性质，本堂课我们要解决这个问题．教师板书课题：指数函数及其性质的应用(1)．应用示例例1 比较下列各题中的两个值的大小：(1)1.72.5与1.73；(2)0.8－0.1与0.8－0.2；(3)1.70.3与0.93.1.活动：学生自己思考或讨论，回忆比较数的大小的方法，结合题目实际，选择合理的方法，再写出答案(最好用实物投影仪展示写得正确的答案)．比较数的大小，一是作差，看两个数差的符号，若为正，则前面的数大；图1二是作商，但必须是同号数，看商与1的大小，再决定两个数的大小；三是计算出每个数的值，再比较大小；四是利用图象；五是利用函数的单调性．教师在学生中巡视其他学生的解答，发现问题及时纠正并评价．解法一：用数形结合的方法，如第(1)小题，用图形计算器或计算机画出y＝1.7x的图象，如图1.在图象上找出横坐标分别为2.5,3的点，显然，图象上横坐标为3的点在横坐标为2.5的点的上方，所以1.72.5＜1.73，同理0.8－0.1＜0.8－0.2,1.70.3＞0.93.1.解法二：用计算器直接计算：1.72.5≈3.77,1.73≈4.91，所以1.72.5＜1.73.同理0.8－0.1＜0.8－0.2,1.70.3＞0.93.1.解法三：利用函数单调性，(1)1.72.5与1.73的底数是1.7，它们可以看成函数y＝1.7x，当x＝2.5和3时的函数值；因为1.7＞1，所以函数y＝1.7x在R上是增函数，而2.5＜3，所以1.72.5＜1.73；(2)0.8－0.1与0.8－0.2的底数是0.8，它们可以看成函数y＝0.8x，当x＝－0.1和－0.2时的函数值；因为0＜0.8＜1，所以函数y＝0.8x在R上是减函数，而－0.1＞－0.2，所以0.8－0.1＜0.8－0.2；(3)因为1.70.3＞1.70＝1,0.93.1＜0.90＝1，所以1.70.3＞0.93.1.点评：在第(3)小题中，可以用解法一、解法二解决，但解法三不适合．由于1.70.3与0.93.1不能直接看成某个函数的两个值，因此，在这两个数值间找到1，把这两数值分别与1比较大小，进而比较1.70.3与0.93.1的大小，这里的1是中间值．思考在上面的解法中，你认为哪种方法更实用？活动：学生对上面的三种解法作比较，解题有法但无定法，我们要采取多种解法，在多种解法中选择最优解法，这要通过反复练习强化来实现．例活动：教师点拨提示定义法判断函数单调性的步骤，单调性的定义证明函数的单调性，要按规定的格式书写．证法一：设x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，则y 2－y 1＝21121(1)x x x x a a a a x -=--．因为a ＞1，x 2－x 1＞0，所以21>1x x a-，即21x x a -－1＞0. 又因为1x a ＞0，所以y 2－y 1＞0，即y 1＜y 2.所以当a ＞1时，y ＝a x，x ∈R 是增函数．同理可证，当0＜a ＜1时，y ＝a x 是减函数． 证法二：设x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，则y 2与y 1都大于0，则y 2y 1＝2211x x x x a a a -=. 因为a ＞1，x 2－x 1＞0，所以21>1x x a-＞1，即y 2y 1＞1，y 1＜y 2. 所以当a ＞1时，y ＝a x ，x ∈R 是增函数．同理可证，当0＜a ＜1时，y ＝a x是减函数．例1%，那么经过20年后，我国人口数最多为多少(精确到亿)?活动：师生共同讨论，将实际问题转化为数学表达式，建立目标函数，常采用特殊到一般的方式，教师引导学生注意题目中自变量的取值范围，可以先考虑一年一年增长的情况，再从中发现规律，最后解决问题：1999年底 人口约为13亿；经过1年 人口约为13(1＋1%)亿；经过2年 人口约为13(1＋1%)(1＋1%)＝13(1＋1%)2亿；经过3年 人口约为13(1＋1%)2(1＋1%)＝13(1＋1%)3亿；……经过x 年 人口约为13(1＋1%)x亿；经过20年 人口约为13(1＋1%)20亿．解：设今后人口年平均增长率为1%，经过x 年后，我国人口数为y 亿，则 y ＝13(1＋1%)x ，当x ＝20时，y ＝13(1＋1%)20≈16(亿)．答：经过20年后，我国人口数最多为16亿．点评：类似此题，设原值为N ，平均增长率为p ，则对于经过时间x 后总量y ＝N (1＋p )x (x ∈N )，像y ＝N (1＋p )x 等形如y ＝ka x (k ∈R ，且k ≠0；a ＞0，且a ≠1)的函数称为指数型函数．知能训练1．函数y ＝a |x |(a ＞1)的图象是( )图2解析：当x ≥0时，y ＝a |x |＝a x 的图象过(0,1)点，在第一象限，图象下凸，是增函数． 答案：B2．下列关系中正确的是( )A ．221333111252⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．122333111225⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ．212333111522⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D ．221333111522⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭答案：D3．已知函数f (x )的定义域是(0,1)，那么f (2x)的定义域是( )A ．(0,1)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C ．(－∞，0) D ．(0，＋∞) 解析：由题意得0＜2x ＜1，即0＜2x ＜20，所以x ＜0，即x ∈(－∞，0)． 答案：C4．若集合A ＝{y |y ＝2x，x ∈R }，B ＝{y |y ＝x 2，x ∈R }，则( ) A ．AB B ．AB C ．A ＝B D ．A ∩B ＝∅解析：A ＝{y |y ＞0}，B ＝{y |y ≥0}，所以A B .答案：A5．对于函数f (x )定义域中的任意的x 1、x 2(x 1≠x 2)，有如下的结论： ①f (x 1＋x 2)＝f (x 1)·f (x 2)；②f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)； ③f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0；④f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＜f (x 1)＋f (x 2)2.当f (x )＝10x时，上述结论中正确的是__________． 解析：因为f (x )＝10x，且x 1≠x 2，所以f (x 1＋x 2)＝1212101010x x xx +=⋅＝f (x 1)·f (x 2)，所以①正确；因为f (x 1·x 2)＝1212101010x x xx ⋅≠+＝f (x 1)＋f (x 2)，②不正确；因为f (x )＝10x是增函数，所以f (x 1)－f (x 2)与x 1－x 2同号， 所以f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0，所以③正确．因为函数f (x )＝10x图象如图3所示是上凹下凸的，可解得④正确．图3答案：①③④另解：④.∵10x 1＞0,10x 2＞0，x 1≠x 2，∴1210102xx +>1210102xx +>即121221010102x x x x ++>.∴f (x 1)＋f (x 2)2＞f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22.拓展提升在同一坐标系中作出下列函数的图象，讨论它们之间的联系． (1)①y ＝3x，②y ＝3x ＋1，③y ＝3x －1；(2)①y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，②y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1，③y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1.活动：学生动手画函数图象，教师点拨，学生没有思路，教师可以提示．学生回忆函数作图的方法与步骤，按规定作出图象，特别是关键点．解：如图4及图5.观察图4可以看出，y ＝3x，y ＝3x ＋1，y ＝3x －1的图象间有如下关系：y ＝3x ＋1的图象由y ＝3x 的图象左移1个单位得到； y ＝3x －1的图象由y ＝3x 的图象右移1个单位得到； y ＝3x －1的图象由y ＝3x ＋1的图象向右移动2个单位得到．观察图5可以看出，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1的图象间有如下关系：y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1的图象由y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象左移1个单位得到；y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1的图象由y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象右移1个单位得到； y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1的图象由y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1的图象向右移动2个单位得到． 你能推广到一般的情形吗？同学们留作思考．课堂小结思考本节课我们主要学习了哪些知识，你有什么收获？把你的收获写在笔记本上.活动：教师用多媒体显示以下内容，学生互相交流学习心得，看是否与多媒体显示的内容一致．本节课，在复习旧知识的基础上学习了数形结合的思想、函数与方程的思想，加深了对问题的分析能力，形成了一定的能力与方法．作业课本习题2.1 B组1,3,4.设计感想本节课主要是复习巩固指数函数及其性质，涉及的内容较多，要首先组织学生回顾指数函数的性质，为此，必须利用函数图象，数形结合，通过数与形的相互转化，借助形的直观性解决问题，本节课要训练学生能够恰当地构造函数，根据函数的单调性比较大小，有时要分a＞1,0＜a＜1，这是分类讨论的思想，因此加大了习题和练习的量，目的是让学生在较短的时间内，掌握学习的方法，提高分析问题和解决问题的能力，要加快速度，多运用现代化的教学手段．第3课时指数函数及其性质的应用(2)作者：刘玉亭导入新课思路1．我们在学习指数函数的性质时，利用了指数函数的图象的特点，并且是用类比和归纳的方法得出，在上节课的探究中我们知道，函数①y＝3x，②y＝3x＋1，③y＝3x－1的图象之间的关系，由其中的一个可得到另外两个的图象，那么，对y＝a x与y＝a x＋m(a＞0，m∈R)有着怎样的关系呢？在理论上，含有指数函数的复合函数是否具有奇偶性呢？这是我们本堂课研究的内容．教师点出课题：指数函数及其性质的应用(2)．思路2．我们在第一章中，已学习了函数的性质，特别是单调性和奇偶性是某些函数的重要特点，我们刚刚学习的指数函数，严格地证明了指数函数的单调性，便于我们在解题时应用这些性质，在实际生活中，往往遇到的不单单是指数函数，还有其他形式的函数，有的是指数函数的复合函数，我们需要研究它的单调性和奇偶性，这是我们面临的问题，也是我们本节课要解决的问题——指数函数及其性质的应用(2)．推进新课新知探究提出问题(1)指数函数有哪些性质？(2)利用单调性的定义证明函数单调性的步骤有哪些？(3)对复合函数，如何证明函数的单调性？(4)如何判断函数的奇偶性，有哪些方法？活动：教师引导，学生回忆，教师提问，学生回答，积极交流，及时评价学生，学生有困惑时加以解释，可用多媒体显示辅助内容．讨论结果：(1)指数函数的图象和性质一般地，指数函数y＝a x在底数a＞1及0＜a＜1这两种情况下的图象和性质如下表所示：图象分布在一、二象限，与轴相交，落在x轴的上方都过点(0,1)第一象限的点的纵坐标都大于1第二象限的点的纵坐标都大于第一象限的点的纵坐标都大于0且小于1；第二象限的点①取值．即设x1，x2是该区间内的任意两个值且x1＜x2.②作差变形．即求f(x2)－f(x1)，通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形．③定号．根据给定的区间和x2－x1的符号确定f(x2)－f(x1)的符号，当符号不确定时，可以进行分类讨论．④判断．根据单调性定义作出结论．(3)对于复合函数y＝f(g(x))可以总结为：当函数f(x)和g(x)的单调性相同时，复合函数y＝f(g(x))是增函数；当函数f(x)和g(x)的单调性相异即不同时，复合函数y＝f(g(x))是减函数；又简称为口诀“同增异减”．(4)判断函数的奇偶性：一是利用定义法，即首先是定义域关于原点对称，再次是考查式子f(x)与f(－x)的关系，最后确定函数的奇偶性；二是作出函数图象或从已知图象观察，若图象关于原点或y轴对称，则函数具有奇偶性．应用示例例 1 在同一坐标系下作出下列函数的图象，并指出它们与指数函数y＝2x的图象的关系．(1)y＝2x＋1与y＝2x＋2；(2)y＝2x－1与y＝2x－2.活动：教师适当时候点拨，学生回想作图的方法和步骤，特别是指数函数图象的作法，学生回答并到黑板上作图，教师指点学生，列出对应值表，抓住关键点，特别是(0,1)点，或用计算机作图．解：(1)列出函数数据表作出图象如图6.图6比较可知函数y＝2x＋1、y＝2x＋2与y＝2x的图象的关系为：将指数函数y＝2x的图象向左平行移动1个单位长度，就得到函数y＝2x＋1的图象；将指数函数y＝2x的图象向左平行移动2个单位长度，就得到函数y＝2x＋2的图象．(2)列出函数数据表作出图象如图7.图7比较可知函数y ＝2x －1、y ＝2x －2与y ＝2x的图象的关系为：将指数函数y ＝2x的图象向右平行移动1个单位长度，就得到函数y ＝2x －1的图象；将指数函数y ＝2x的图象向右平行移动2个单位长度，就得到函数y ＝2x －2的图象．点评：类似地，我们得到y ＝a x与y ＝ax ＋m(a ＞0，a ≠1，m ∈R )之间的关系：y ＝a x ＋m (a ＞0，m ∈R )的图象可以由y ＝a x 的图象变化而来．当m ＞0时，y ＝a x的图象向左移动m 个单位得到y ＝ax ＋m的图象； 当m ＜0时，y ＝a x 的图象向右移动|m |个单位得到y ＝a x ＋m的图象．上述规律也简称为“左加右减”．例2 已知定义域为R 的函数f (x )＝2x ＋1＋a 是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )＜0恒成立，求k 的取值范围． 活动：学生审题，考虑解题思路．求值一般是构建方程，求取值范围一般要转化为不等式，如果有困难，教师可以提示，(1)从条件出发，充分利用奇函数的性质，由于定义域为R ，所以f (0)＝0，f (－1)＝－f (1)，(2)在(1)的基础上求出f (x )，转化为关于k 的不等式，利用恒成立问题再转化．(1)解：因为f (x )是奇函数，所以f (0)＝0，即b －1a ＋2＝0⇒b ＝1.所以f (x )＝1－2xa ＋2x ＋1；。
高一数学人教A版必修1 课件：2.1.2.2 指数函数及其性质的应用
【规范解答】(1)由 2x－1≠0 得 2x≠20，故 x≠0，
所以函数 f(x)的定义域为{x∈Rx≠0}.
2分
(2)函数 f(x)是偶函数.3 分
理由如下：
由(1)知函数 f(x)的定义域关于原点对称，
∵f(x)＝x2x－1 1＋12＝2x·22xx＋ －11，
4分
∴f(－x)＝－2x·22－－xx＋－11
(3)由(2)及 f(x)为偶函数知 f(x)＝2x＋21x在(－∞，0)上单调递 减，令 t＝2x＞0，则 y＝t＋1t (t＞0)，
∴函数 y＝t＋1t (t＞0)在(0,1)上递减，在[1，＋∞)上递增， ∴函数 f(x)的值域为[2，＋∞)．
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解简单的指数不等式
设 0<a<1，解关于 x 的不等式 a2x2－3x＋2>a2x2＋2x－3.
思路点拨：可构造函数 y＝ax，利用其单调性转化为幂指数 的大小关系求解．
解：∵0<a<1，∴函数 y＝ax 在 R 上为减函数． ∵a2x2－3x＋2>a2x2＋2x－3， ∴2x2－3x＋2<2x2＋2x－3，解得 x>1， ∴不等式的解集为(1，＋∞)．
指数函数y＝ax(a>1)为单调增函数，在闭区间[s，t]上存 在最大、最小值，当x＝s时，函数有最小值as；当x＝t时，函 数有最大值at.指数函数y＝ax(0<a<1)为单调减函数，在闭区间 [s，t]上存在最大、最小值，当x＝s时，函数有最大值as；当x ＝t时，函数有最小值at.
3．已知函数 y＝ax2－3x＋3，当 x∈[1,3]时有最小值 8，求 a 的 值．
高中数学 2.1.2 指数函数及其性质教案 新人教A版必修1
一般地，经过 x 年，剩留量 y 0.84x ，
根据这个函数关系式可 以列表如下：
x
0
1
2
3
4
5
6
y
1
0.84
0.71
0.59
0.50
0.42
0.35
用描点法画出指数函数 y 0.84x 的图象。从图上看出 y 0.5 ，只需 x 4 .
答：约经过 4 年，剩留量是原来的一半。
例 2． 说明下列函数的图象与指数函数 y 2x 的图象的关系，并画出它们的示意图：
x
… -3 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 3 …
y (1)x … 8 2
4 2.8 2 1.4 1 0.71 0.5 0.35 0.25 0.13 …
指出函数 y 2x 与 y (1 )x 图象间的关系？ 2
说明：一般地， 函数 y f (x) 与 y f (x) 的图象关于 y 轴对称。
所以，原函数的值域是{y y 0, y 1} ．
（2）Q1 (1)x 0 ∴ x 0 原 函数的定义域是0, ，
2
令 t 1 (1)x (x 0) 则 0 t 1 ， Q y t 在0,1是增函数
2
所以，原函数的值域是 0,1 ．
∴0 y 1，
（3）原函数的定义域是 R ，
令 t x 则 t 0 ， Q y 3t 在 , 0是增函数， ∴ 0 y 1，
（2）比较 f (x) 与 f (x) 或者 f (x) 的关系；
（3）根据函数奇偶性定义得出结论。
（二）新课讲解：
例
1．当
a
1 时，证明函数
y
ax ax
1 1
(新课程)高中数学《2.1.2-2 指数函数的性质及应用》课件 新人教A版必修1
解之得 a＝13或 a＝－15(舍去)．综上，a＝13或 a＝3.
温馨提示：二次函数与指数函数的复合问题是常见题， 对于这类复合函数问题，本质上考查的还是区间上的二次 函数最值问题．在处理方式上可利用换元法，将指数函数 换成t＝ax的形式，再利用定义域和ax的单调性求出t的范围， 此时纯粹就是闭区间上的二次函数最值问题了．特别要注 意换元后的参数t的范围．
第2课时 指数函数的性质及应用
目标要求
在解决简单实际问 题的过程中，体会 指数函数是一类重 要的函数模型.
热点提示
1.在研究指数函数性质时，要以一 般函数理论为依据，来研究指数 函数的性质(如定义域、值域、单 调性等．) 2．准确把握指数函数的图象，并 充分利用图象的形式直观分析解 决问题.
一种放射性物质不断变为其他物质，每经过1年剩留 的质量是原来的84%，写出这种物质的剩留量y关于时间t的 函数关系式，画出这种物质的剩留量随时间变化的图象， 并从图象上求出大约要经过多少年，剩留量是原来的 50%.(结果保留1个有效数字)
1．函数f(x)＝3－x－1的定义域、值域分别是( ) A．定义域是R，值域是R B．定义域是R，值域是(0，＋∞) C．定义域是R，值域是(－1，＋∞) D．以上都不对
解析：f(x)＝3－x－1＝(13)x－1，∵(31)x－1>－1，故选 C.
2．函数y＝x＋a，y＝ax(a>0，a≠1)的图象可能是下图 中的
类型一 “同底不同指”型 【例 1】 比较下列各题中的两个值的大小．
思路分析：借助相应指数函数的单调性比较同底指数 幂的大小，若底数含参则应注意分类讨论．
人教A版数学必修一2-1-2-第2课时指数函数性质的应用(74张).pptx
思路方法技巧
命题方向 1 单调性的判断
[例 1] 讨论函数 f(x)＝(13)x2－2x 的单调性，并求其值域． [分析] 分析一：对于 x∈R，(13)x2－2x>0 恒成立，因此可 以通过作商讨论函数 f(x)的单调区间． 分析二：此函数是由指数函数及二次函数复合而成的函 数，因此可以通过逐层讨论它的单调性，综合得一以结果．
总结：一个函数的解析式中若含有指数式，即这个指数 式为中间变量，这类题通常的解法是用换元法作变量替换．如 y＝4x＋1，设 4x＝t，则 y＝t＋1，容易出错和忽略的是 t 的范 围应该是 4x 的值域，而不是 t∈R，应该是 t>0，也就是要注 意换元后新的自变量的 取值范围 ．
求 y＝4x＋2x＋1＋1 的值域．
规律总结：(1)奇偶性只能用定义作出判断．(2)单调性 由定义或复合函数的单调性作出判断
设 a>0，f(x)＝eax＋eax是 R 上的偶函数． (1)求 a 的值； (2)证明 f(x)在(0，＋∞)上为增函数． [分析] 含有指数函数的复合函数，研究其奇偶性与单调 性一般都要根据奇偶性定义直接验证．
[解析] ①
②增区间(－∞，－2]；减区间[－2，＋∞) ③x＝－2 时，ymax＝1，无最小值．
名师辩误做答
[例 5] 解不等式：a2x＋1<ax＋2＋ax－2(a>0)． [错解] 原不等式变形为： a2x＋1<a2·ax＋a12·ax，a2x－(a2＋a12)ax＋1<0，(ax－a2)(ax－ a12)<0，∴a12<ax<a2，故－2<x<2.
_新教材高中数学高效作业22指数函数的图象和性质含解析新人教A版必修第一册
指数函数的图象和性质[A 级 新教材落实与巩固]一、选择题1．设x<0，且1<b x<a x，则( B ) A ．0<b<a<1 B ．0<a<b<1 C ．1<b<a D ．1<a<b2．函数y ＝a x＋1(a>0，且a≠1)的图象必经过点( D ) A ．(0，1) B ．(1，0) C ．(2，1) D ．(0，2)【解析】 因为y ＝a x的图象一定经过点(0，1)，将y ＝a x的图象向上平移1个单位得到函数y ＝a x＋1的图象，所以函数y ＝a x＋1的图象必经过点(0，2).3．【多选题】 指数函数y ＝a x与一次函数y ＝x ＋a 在同一坐标系中的图象可能是( CD )A. B.C. D.4．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x－x －1，x>0，33x ，x ≤0，则f[f(1)]等于( B )A ．4B ．19C ．－4D ．－19【解析】 因为f(1)＝3－1－1－1＝－23 ，所以f[f(1)]＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23 ＝3－3×23＝19 .5．函数y ＝xax|x|(0<a<1)图象的大致形状是( D )【解析】 因为y ＝xa x |x|＝⎩⎪⎨⎪⎧a x，x>0，－a x ，x<0，0<a<1，所以y ＝xax|x|在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递增．故选D.6．函数y ＝2|x|的图象大致是( B )A ．B ．C ．D ． 二、填空题7．已知集合A ＝{x|1≤2x<16}，B ＝{x|0≤x<3，x ∈N}，则A∩B＝__{0，1，2}__． 【解析】 由1≤2x<16得0≤x<4，即A ＝{x|0≤x<4}．又因为B ＝{x|0≤x<3，x ∈N}，所以A∩B＝{0，1，2}．8．若函数f(x)＝a x (a>0，且a≠1)的图象经过点(2，3)，则a ＝，f(4)＝__9__． 【解析】 由a 2＝3，得a ＝ 3 ，所以f(x)＝( 3 )x， 所以f(4)＝( 3 )4＝9.9．若关于x 的方程2x －a ＋1＝0有负根，则a 的取值范围是__(1，2)__．【解析】 由题意可得，2x＝a －1有负根，所以当x ＜0时，0＜2x＜1，所以0＜a －1＜1，所以1＜a ＜2.10．设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x－1，x ≤0，x 12，x ＞0，则f(－4)＝__15__，若f(x 0)>1，则x 0的取值范围是__(－∞，－1)∪(1，＋∞)__．【解析】 f(－4)＝24－1＝15.由⎩⎪⎨⎪⎧x 0≤0，2－x 0－1>1 或⎩⎪⎨⎪⎧x 0>0，x 120>1，解得x 0＜－1或x 0＞1，即x 0的取值范围是(－∞，－1)∪(1，＋∞).11．若函数y ＝a x(a>0，且a≠1)在区间[0，1]上的最大值与最小值的差为12 ，则a ＝__12或32__． 【解析】 当a>1时，y ＝a x在[0，1]上的最大值为a ，最小值为1，故a －1＝12 ，解得a ＝32 ；当0<a<1时，y ＝a x在[0，1]上的最大值为1，最小值为a ，故1－a ＝12 ，解得a＝12， 所以a ＝12 或32 .三、解答题12．画出函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12 |x －1|的图象，并根据图象写出函数的单调区间及值域． 解：因为函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12 |x|是偶函数，先画出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12 x(x≥0)的图象，再作出其关于y 轴对称的图象，即得y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12 |x| 的图象，再向右平移1个单位得到y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －1|的图象，如图所示．由图象可知，函数y＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12 |x －1|在(－∞，1]上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减，其值域是(0，1].[B 级 素养养成与评价]13．已知函数f(x)＝||2x－1 ，a<b<c ，且f(a)>f(c)>f(b)，有下列结论：①a<0，b<0，c<0；②a<0，b ≥0，c>0；③2－a <2c ；④2a ＋2c<2.其中一定成立的结论是__④__(填序号).【解析】 由于f(x)＝||2x－1 在(－∞，0)上单调递减，(0，＋∞)上单调递增，又a<b<c ，f(a)>f(c)>f(b)⇒a<0，c>0⇒1－2a >2c －1⇒2a ＋2c<2.又2a ＋2c<2⇒22a ·2c<2⇒2a·2c<1⇒2c<2－a，综上可得仅有④正确．14．在同一平面直角坐标系中作出函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13 x 和y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14 x的图象，当x 1<0，x 2<0，且13x 1＝14x 2时，x 1，x 2的大小关系是__x 1<x 2__． 【解析】 作出函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13 x和y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14 x的图象(图略)，在点(0，1)上方作一条平行于x 轴的直线，与函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13 x 和y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14 x的图象相交，由图可知x 1<x 2<0. 15．已知指数函数f(x)的图象经过点P(3，8)，且函数g(x)的图象与f(x)的图象关于y 轴对称．(1)求函数g(x)的解析式；(2)若g(x 2－3x ＋1)＞g(x 2＋2x －5)，求x 的取值范围． 解：(1)设f(x)＝a x(a ＞0且a≠1). 因为f(x)的图象过点P(3，8)， 所以8＝a 3，所以a ＝2，所以f(x)＝2x. 因为g(x)的图象与f(x)的图象关于y 轴对称， 所以g(x)＝2－x .(2)由(1)得g(x)为减函数， 因为g(x 2－3x ＋1)＞g(x 2＋2x －5)， 所以x 2－3x ＋1＜x 2＋2x －5， 解得x ＞65，所以x 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫65，＋∞ . 16．已知函数f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13 x＋a 的图象经过第二、三、四象限． (1)求实数a 的取值范围；(2)设g(a)＝f(a)－f(a ＋1)，求g(a)的取值范围．解：(1)如图，因为函数f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13 x＋a 的图象经过第二、三、四象限，所以当x ＝0时，y ＝1＋a ＜0，即a ＜－1.(2)g(a)＝f(a)－f(a ＋1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13 a＋a －⎝ ⎛⎭⎪⎫13 a ＋1－a＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13 a⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13 ＝23 ·⎝ ⎛⎭⎪⎫13 a(a<－1). 因为g(a)＝23 ·⎝ ⎛⎭⎪⎫13 a 在(－∞，－1)上单调递减，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫13 a ＞3，则23 ·⎝ ⎛⎭⎪⎫13 a ＞2.故g(a)的取值范围是(2，＋∞).。
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高中数学 2-1-2-2 指数函数性质的应用能力强化提升 新人教A
版必修1
一、选择题
1．函数y ＝3x 与y ＝(13
)x 的图象( ) A ．关于x 轴对称 B ．关于y 轴对称
C ．关于原点对称
D ．关于直线y ＝x 对称
[答案] B
2．(2012～2013重庆市南开中学期中试题)已知f (x )＝a －x (a >0，且a ≠1)，且f (－
2)>f (－3)，则a 的取值范围是( )
A ．a >0
B ．a >1
C ．a <1
D ．0<a <1
[答案] D
3．函数y ＝f (x )对任意的x 1、x 2∈R ，都有f (x 1＋x 2)＝f (x 1)·f (x 2)，满足该性质的一个函数是( )
A ．y ＝x ＋1
B ．y ＝x 2
C ．y ＝(13
)x D ．y ＝|x | [答案] C
4．函数f (x )＝a x ＋(1a
)x (a >0且a ≠1)是( ) A ．奇函数
B ．偶函数
C ．奇函数也是偶函数
D ．既非奇函数也非偶函数
[答案] B
5．函数y ＝(12
)x 2－3x ＋2在下列哪个区间上是增函数( ) A ．(－∞，32] B ．[32
，＋∞) C ．[1,2] D ．(－∞，－1]∪[2，＋∞)
[答案] A
6．(2012～2013重庆市风鸣山中学期末考试)已知函数f (x )＝(x －a )(x －b )(其中a ＞b )的图象如图所示，则函数g (x )＝a x ＋b 的图象是( )
[答案] A
[解析] 由y ＝f (x )图知0＜a ＜1，b ＜－1所以选A.
7．(2012～2013
重庆市风鸣山中学末期考试)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2a －1x ＋7a －2x ＜1a x x ≥1在(－∞，＋∞)上单调递减，则实数a 的取值范围是( )
A ．(0,1)
B ．(0，12)
C ．[38，12)
D ．[38
，1) [答案] C
[解析] 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a －1<00＜a ＜1
2a －1×1＋7a －2≥a
， 解得：38≤a ＜12
，故选C. 8．已知x 、y ∈R ，且2x ＋3y >2－y ＋3－x ，则下列各式中正确的是( )
A ．x ＋y >0
B ．x ＋y <0
C ．x －y >0
D ．x －y <0
[答案] A
[解析] 作函数f (x )＝2x －3－x .
因为2x 为增函数，由3－x ＝(13
)x 为减函数，知－3－x 也是增函数，从而f (x )为增函数， 由2x －3－x >2－y －3y ＝2－y －3－(－y )可知f (x )>f (－y )．
又f (x )为增函数，所以x >－y ，故x ＋y >0.选A.
二、填空题
9．不等式3x 2<(13)x －2的解集为________． [答案] (－2,1)
[解析] 原不等式即3x 2<32－x ⇒x 2<2－x ⇒x 2
＋x －2<0⇒－2<x <1. 10．函数y ＝(23
)|1－x |的单调递减区间是________． [答案] [1，＋∞)
[解析]y ＝(23)|1－x |＝⎩⎪⎨⎪⎧ 23x －1 x ≥12
31－x x <1
因此它的减区间为[1，＋∞)．
11．若函数y ＝2x ＋1，y ＝b ，y ＝－2x －1三图象无公共点，结合图象求b 的取值范围为________．
[答案] [－1,1]
[解析] 因为y 1＝2x ＋1＞1，y 2＝－2x －1＜－1，y 1与y 2无公共点，而y ＝b 为平行于x 轴的直线，当b ∈[－1，1]时，它与y 1、y 2均无交点．
12．对于函数f (x )的定义域中的任意的x 1、x 2(x 1≠x 2)，有如下的结论：
①f (x 1＋x 2)＝f (x 1)·f (x 2)； ②f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)；
③f x 1－f x 2x 1－x 2＞0； ④f x 1－f x 2x 1－x 2
＜0 当f (x )＝10x 时，上述结论中正确的是________．
[答案]①③
[解析] 因为f (x )＝10x
，且x 1≠x 2，所以f (x 1＋x 2)＝10x 1＋x 2＝10x 1·10x 2＝f (x 1)·f (x 2)，所以①正确；因为f (x 1·x 2)＝10x 1·x 2≠10x 1＋10x 2＝f (x 1)＋f (x 2)，②不正确；因为f (x )＝10x 是增函数，所以f (x 1)－f (x 2)与x 1－x 2同号，所以及
f x 1－f x 2x 1－x 2
＞0，所以③正确．④不正确．
三、解答题
13．讨论函数f (x )＝(15
)x 2＋2x 的单调性，并求其值域． [解析] 解法1：∵函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)．
设x 1、x 2∈(－∞，＋∞)且有x 1<x 2，
∴f (x 1)＝(15)x 21＋2x 1，f (x 2)＝(15)x 22＋2x 2，
∴f x 2
f x 1＝15x 22＋2x 215
x 21＋2x 1＝(15)x 22＋2x 2－x 21－2x 1 ＝(15)x 22－x 21＋2(x 2－x 1)＝(15
)(x 2－x 1)(x 2＋x 1＋2) (1)当x 1<x 2≤－1时，x 1＋x 2<－2，则有x 2＋x 1＋2<0，
又∵x 2－x 1>0，∴(x 2－x 1)(x 2＋x 1＋2)<0，
∴(15
)(x 2－x 1)(x 2＋x 1－2)>1. 又∵对于x ∈R ，f (x )>0恒成立，∴f (x 2)>f (x 1)，
∴函数f (x )＝(15
)x 2－2x 在(－∞，－1]上单调递增． (2)当－1≤x 1<x 2时，
x 1＋x 2>－2，则有x 2＋x 1＋2>0，
又∵x 2－x 1>0，∴(x 2－x 1)(x 2＋x 1＋2)>0，
∴0<(15
)(x 2－x 1)(x 2＋x 1＋2)<1，∴f (x 2)<f (x 1)， ∴函数f (x )在[－1，＋∞)上单调递减．
综上所述，函数f (x )在(－∞，－1]上是增函数；在区间[－1，＋∞)上是减函数．
∵x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1≥－1，又0<15
<1， ∴0<(15)x 2－2x ≤(15
)－1＝5， ∴函数f (x )的值域是(0,5]．
解法2：∵函数f (x )的定义域是(－∞，＋∞)，令t ＝x 2＋2x ，u ＝(15)t ，又∵t ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1在(－∞，－1]上是减函数，在[－1，＋∞)上是增函数，u ＝(15
)t 在其定义域内是减函数，
∴函数f (x )在(－∞，－1]上为增函数，在[－1，＋∞)上是减函数． 以下求值域方法同上．
14．已知22x ≤(14
)x －2，求函数y ＝2x 的值域． [解析]∵22x ≤(14
)x －2，∴4x ≤42－x ， ∴x ≤1，又y ＝2x
在(－∞，＋∞)上为增函数，故值域为(0,2]
15．已知f (x )＝12x －1
＋a 是奇函数，求a 的值及函数值域． [分析] 本题是函数奇偶性与指数函数的结合，利用f (－x )＝－f (x )恒成立，可求得a 值．其值域可借助基本函数值域求得．
[解析]①∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )对定义域内的每一个x 都成立． 即－[12x －1＋a ]＝1
2－x －1＋a ，
∴2a ＝－12－x －1－12x －1＝1，∴a ＝12.
②∵2x －1≠0∴x ≠0∴定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
∵u ＝2x －1>－1且u ≠0，∴1u <－1或1u >0，
∴12x －1＋12<－12或12x －1＋12>12，
∴f (x )的值域为(－∞，－12)∪(12，＋∞)．
16．设0≤x ≤2，求函数y ＝4x －12－2x ＋1
＋5的最大值和最小值．
[解析] 设t ＝2x ，则y ＝12t 2－2t ＋5＝12(t －2)2＋3(1≤t ≤4)．
∵上述关于t 的二次函数在[1,3]上递减，在[3,4]上递增，
∴当t ＝2，即x ＝1时，y 取最小值3；
当t ＝4时，即x ＝2时，y 取最大值5.。