高中数学优质学案、专题汇编(附详解)：正弦、余弦函数图象与性质

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高中数学必修四教案-正弦、余弦函数的性质

1.4.2(2)正弦、余弦函数的性质(二) 教学目的：知识目标：要求学生能理解三角函数的奇、偶性和单调性；能力目标：掌握正、余弦函数的奇、偶性的判断，并能求出正、余弦函数的单调区间。

德育目标：激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情操，培养学生坚忍不拔的意志，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神。

教学重点：正、余弦函数的奇、偶性和单调性；教学难点：正、余弦函数奇、偶性和单调性的理解与应用教学过程：一、复习引入：偶函数、奇函数的定义，反映在图象上，说明函数的图象有怎样的对称性呢？二、讲解新课：1. 奇偶性请同学们观察正、余弦函数的图形，说出函数图象有怎样的对称性？其特点是什么？(1)余弦函数的图形当自变量取一对相反数时，函数y 取同一值。

例如：f(-3π)=21,f(3π)=21 ,即f(-3π)=f(3π)；…… 由于cos(－x)=cosx ∴f(-x)= f(x). 以上情况反映在图象上就是：如果点（x,y ）是函数y=cosx 的图象上的任一点,那么,与它关于y 轴的对称点(-x,y)也在函数y=cosx 的图象上，这时，我们说函数y=cosx 是偶函数。

(2)正弦函数的图形观察函数y=sinx 的图象，当自变量取一对相反数时，它们对应的函数值有什么关系？这个事实反映在图象上，说明函数的图象有怎样的对称性呢？函数的图象关于原点对称。

也就是说，如果点（x,y ）是函数y=sinx 的图象上任一点，那么与它关于原点对称的点（-x,-y ）也在函数y=sinx 的图象上，这时，我们说函数y=sinx 是奇函数。

2.单调性从y ＝sin x ，x ∈［－23,2ππ］的图象上可看出：当x ∈［－2π，2π］时，曲线逐渐上升，sin x 的值由－1增大到1.当x ∈［2π，23π］时，曲线逐渐下降，sin x 的值由1减小到－1. 结合上述周期性可知：正弦函数在每一个闭区间［－2π＋2k π，2π＋2k π］(k ∈Z)上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间［2π＋2k π，23π＋2k π］(k ∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1. 余弦函数在每一个闭区间［(2k －1)π，2k π］(k ∈Z)上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间［2k π，(2k ＋1)π］(k ∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1.3.有关对称轴观察正、余弦函数的图形，可知y=sinx 的对称轴为x=2ππ+k k ∈Z y=cosx 的对称轴为x=πk k ∈Z 练习1。

正弦函数、余弦函数的图像和性质(第2课时)教案-高一数学湘教版(2019)必修第一册

5.3.1正弦函数、余弦函数的图像和性质（第2课时）考纲要求：借助图像正弦函数、余弦函数在[0,2] 上的性质.在上一节在学习了用单位圆中的正弦线画出正弦函数的图象，通过平移，得到余弦函数的图象，用五点法作正弦函数的简图的基础上，继续深入学习通过正、余弦函数的图象研究正、余弦函数的性质及简单应用学习目标：1.理解正弦函数、余弦函数的图像与性质；掌握正弦函数、余弦函数的周期性、最值与值域、奇偶性、单调性2.能够利用函数的性质解决一些简单的问题学习重点：正弦函数、余弦函数的图像与性质学习难点：正弦函数、余弦函数的性质的简单应用以及化归与转化思想方法的应用核心素养：直观想象，逻辑推理，数学抽象，数学运算教学过程一、复习引入问题1：（1）正弦函数、余弦函数的定义是什么？（2）上节课我们是如何通过三角函数线得到正弦函数的图像的？（3）你能用五点作图法作出正弦函数、余弦函数的大致图像吗？（4）正弦函数的图像经过怎样的平移可得到余弦函数的图像？（白板展示问题，引导学生回答问题，教师补充点评学生的回答）设计意图：复习三角函数的的定义，回顾“五点法”作图二、新课学习问题2：既然正弦函数是一个函数，那么我们回忆一下，以前我们研究函数都研究了函数的哪些性质呢？学生：要研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、最大最小值、对称性等.问题3：由上一节课画正弦函数sin ,y x x R =∈的图像以及诱导公式一sin(2k x )sin x(k Z )π+=∈，当自变量x 增加或者减少2k (k Z )π∈时，sin x 的值呈现怎样的变化规律？学生：sin x 的值就会重复出现教师：为了定量的描述这种变化规律，我们可以引入周期函数的概念知识点：周期函数一般地，对于函数y f (x )=，如果存在非零常数T ，使当x 取定义域内每一个值时，x T ±都有定义，并且f (x T )f (x )±=，则称这个函数y f (x )=为周期函数，T 称为为这个函数的一个周期.对周期函数的理解:（1）任意性,定义中要求对定义域内的任意一个x ,都满足f (x T )f (x )±=.（2）定义域的特点,由(1)可知,周期函数定义域有什么特点;（3）如果T 是周期,那么T 的非零整数倍也是周期(如何推导呢) ;（4）最小正周期.对于函数y f (x )=,如果存在一个最小的正数T 使得f (x T )f (x )+=,则称 T 为函数的最小正周期,最小正周期常简称为周期设计意图：由诱导公式一学生已经能体会到三角函数具有“周而复始”的特征，只不过没有定义的支持，给出周期性的定义之后学生就明白这种“周而复始”就是周期性。

[精品]新人教版高中数学必修41.4.2正弦、余弦函数的性质优质课教案

142正弦、余弦函数的性质教目标：1、知识与技能掌握正弦函数和余弦函数的性质．2、过程与能力目标通过引导生观察正、余弦函数的图像，从而发现正、余弦函数的性质，加深对性质的理解．并会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间．3、情感与态度目标渗透数形结合思想，培养生辩证唯物主义观点．教重点：正、余弦函数的周期性；正、余弦函数的奇、偶性和单调性。

教难点：正、余弦函数周期性的理解与应用；正、余弦函数奇、偶性和单调性的理解与应用。

正弦、余弦函数的性质(一)教过程：一、复习引入：1．问题：（1）今天是星期一，则过了七天是星期几？过了十四天呢？……（2）物理中的单摆振动、圆周运动，质点运动的规律如何呢？2．观察正（余）弦函数的图象总结规律：自变2π-32π-π-2π-02ππ32π2π量x []函数值sin x10 1-0 1 01- 0[]正弦函数()sin f x x =性质如下：（观察图象） 1︒ 正弦函数的图象是有规律不断重复出现的；2︒ 规律是：每隔2π重复出现一次（或者说每隔2π∈重复出现）3︒ 这个规律由诱导公式sin(2π+)=sin 可以说明[] 结论：象这样一种函数叫做周期函数。

文字语言：正弦函数值按照一定的规律不断重复地取得；符号语言：当x 增加2k π（k Z ∈）时，总有(2)sin(2)sin ()f x k x k x f x ππ+=+==．– –π2π2π-2π5ππ-2π- 5π- Ox y 1 1-也即：（1）当自变量x 增加2k π时，正弦函数的值又重复出现；（2）对于定义域内的任意x ，sin(2)sin x k x π+=恒成立。

余弦函数也具有同样的性质，这种性质我们就称之为周期性。

二、讲解新课：1．周期函数定义：对于函数f ()，如果存在一个非零常数T ，使得当取定义域内的每一个值时，都有：f (+T)=f ()那么函数f ()就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。

高中数学必修4教案1.4.2正弦函数余弦函数的性质(教、学案)

§1.4.2正弦函数余弦函数的性质【教材分析】《正弦函数和余弦函数的性质》是普通高中课程标准实验教材必修４中的内容，是正弦函数和余弦函数图像的继续，本课是根据正弦曲线余弦曲线这两种曲线的特点得出正弦函数和余弦函数的性质。

【教学目标】1. 会根据图象观察得出正弦函数、余弦函数的性质；会求含有x x cos ,sin 的三角式的性质；会应用正、余弦的值域来求函数)0(sin ≠+=a b x a y 和函数c x b x a y ++=cos cos 2)0(≠a 的值域2. 在探究正切函数基本性质和图像的过程中，渗透数形结合的思想，形成发现问题、提出问题、解决问题的能力，养成良好的数学学习习惯．3. 在解决问题的过程中，体验克服困难取得成功的喜悦．【教学重点难点】教学重点：正弦函数和余弦函数的性质。

教学难点：应用正、余弦的定义域、值域来求含有x x cos ,sin 的函数的值域【学情分析】知识结构：在函数中我们学习了如何研究函数，对于正弦函数余弦函数图像的学习使学生已经具备了一定的绘图技能，类比推理画出图象，并通过观察图象，总结性质的能力。

心理特征：高一普通班学生已掌握三角函数的诱导公式，并了解了三角函数的周期性，但学生运用数学知识解决实际问题的能力还不强；能够通过讨论、合作交流、辩论得到正确的知识。

但在处理问题时学生考虑问题不深入，往往会造成错误的结果。

【教学方法】1．学案导学：见后面的学案。

2．新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习【课前准备】1．学生的学习准备：预习“正弦函数和余弦函数的性质”，初步把握性质的推导。

2．教师的教学准备：课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。

【课时安排】1课时【教学过程】一、预习检查、总结疑惑检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。

二、复习导入、展示目标。

正弦定理和余弦定理

3
3
.
解析由正弦定理得bsin A=asin B, 所以2bsin A=2asin B= 3 a, 即sin B= , 又B非钝角,所以B= .
3
3 2

教材研读
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6.在△ABC中,a=3 2 ,b=2 3 ,cos C= ,则△ABC的面积为答案 4 3 解析 ∵cos C= ,
6

B.
4

C.
3

D.
2

答案 C
b 2 c 2 a 2 32 22 ( 7) 2 1 易知cos A= = = , 2bc 2 3 2 2
又A∈(0,π), ∴A= .故选C.
3

教材研读
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5.在非钝角△ABC中,2bsin A= 3 a,则B= 答案
全国名校高中数学优质学案、专题汇编（附详解）
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第七节
正弦定理和余弦定理
总纲目录
栏目索引
总纲目录教材研读
1.正弦定理和余弦定理 2.在△ABC中,已知a、b和A时,解的情况 3.三角形面积
考点突破
考点一考点二考点三四种命题的相互关系及真假判断充分条件、必要条件的判断充要条件的应用
教材研读
2 2 3 2 2 1 1 ∴S△ABC= absin C= ×3 2 ×2 3 × =4 3 . 3 2 2
1 3
.
1 3
∴sin C= .
考点突破
栏目索引
考点突破
考点一利用正、余弦定理解三角形
) 典例1 (1)(2017课标全国Ⅰ,11,5分)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知sin B+sin A(sin C-cos C)=0,a=2,c= 2 ,则C= (

高中数学必修四正弦函数、余弦函数的图象教案

1.4.1正弦函数、余弦函数的图像与性质【教学分析】1．学习过指数函数和对数函数；2．学习过周期函数的定义；3．学习过正弦函数、余弦函数上的图像。

【教学目标】一、知识目标：1．正弦函数的性质；2．余弦函数的性质；二、能力目标：1．能够利用函数图像研究正弦函数、余弦函数的性质；2．会求简单函数的单调区间；三、德育目标：渗透数形结合思想和类比学习的方法。

【教学重点】正弦函数、余弦函数的性质【教学难点】正弦函数、余弦函数的性质的理解与简单应用【教学方法】通过引导学生观察正弦函数、余弦函数的图像，从而发现正弦函数、余弦函数的性质，加深对性质的理解。

（启发诱导式）【教学过程】一、复习导入1．我们是从哪个角度入手来研究指数函数和对数函数的？2．正弦、余弦函数的图像在上是什么样的？二、讲授新课[]π2,0[]π2,01．正弦函数的图像和性质（由教师讲解）通过展示出正弦函数在内的图像，利用函数图像探究函数的性质：（1）定义域：正弦函数的定义域是实数集R（2）值域从图像上可以看到正弦曲线在这个范围内，所以正弦函数的值域是（3）单调性结合正弦函数的周期性和函数图像，研究函数单调性，即：（4）最值观察正弦函数图像，可以容易发现正弦函数的图像与虚线的交点，都是函数的最值点，可以得出结论：（5）奇偶性正弦函数的图像关于原点对称，所以正弦函数的奇函数。

（6）周期性正弦函数的图像呈周期性变化，函数最小正周期为2。

2．余弦函数的图像和性质（由学生分组讨论，得出结论）通过展示出余弦函数的图像，由学生类比正弦函数的图像及性质进行讨论，探究余弦函数的性质：（1）定义域：余弦函数的定义域是实数集R（2）值域从图像上可以看到余弦曲线在这个范围内，所以余弦函数的值域是（3）单调性结合余弦函数的周期性和函数图像，研究函数单调性，即：（4）最值观察余弦函数图像，可以容易发现余弦函数的图像与虚线的交点，都是函数的最值点，可以得出结论：[]ππ2,2-[]1,1-[]1,1-π[]1,1-[]1,1-上是增函数；在)(22,22Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππ上是减函数；在)(232,22Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ1,22max =∈+=y Z k k x 时，当ππ1,22min -=∈-=y Z k k x 时，当ππ[]上是增函数；在)(2,2Z k k k ∈-πππ[]上是减函数；在)(2,2Z k k k ∈+πππ1,2max =∈=y Z k k x 时，当π1,2min -=∈+=y Z k k x 时，当ππ（5）奇偶性余弦函数的图像关于y 轴对称，所以余弦函数的偶函数。

1.4.1《正弦函数余弦函数的图像》教案

1.4.1《正弦函数余弦函数的图像》教案【摘要】本教案旨在帮助学生深入理解正弦函数和余弦函数的图像特点。

文章首先介绍了正弦函数和余弦函数在数学中的重要性，然后概述了本教案的主要内容和目的。

接着分别讨论了正弦函数和余弦函数的图像特点，包括周期、振幅、相位等。

通过具体的案例分析，帮助学生更好地理解函数图像的绘制方法和规律。

在结尾部分，对本教案进行了总结，并提出了相应的教学建议，同时展望了学生在学习正弦函数和余弦函数图像时可能取得的进展和突破。

通过本教案的学习，学生将能够掌握正弦函数和余弦函数的图像特点，提高数学学习的效率和兴趣。

【关键词】正弦函数、余弦函数、图像、教案、概述、特点、案例分析、总结、教学建议、展望。

1. 引言1.1 1.4.1《正弦函数余弦函数的图像》教案正弦函数和余弦函数是高中数学中重要的函数之一，它们在数学中有着广泛的应用。

本教案将重点讲解正弦函数和余弦函数的图像特点，帮助学生更好地理解和掌握这两个函数的性质。

在学习正弦函数的图像特点时，我们将介绍正弦函数的周期、幅值、对称轴等基本概念，并通过实例演示如何绘制正弦函数的图像。

我们也会讲解正弦函数的性质，如奇偶性、单调性等，以便学生更好地应用正弦函数解决实际问题。

通过本教案的学习，学生将能够准确绘制正弦函数和余弦函数的图像，并理解它们的基本特点。

学生还将学会如何利用正弦函数和余弦函数解决实际问题，提高数学应用能力。

希望本教案能够对学生的数学学习起到一定的帮助，让他们更加喜爱数学这门学科。

2. 正文2.1 引言在本节课程中，我们将学习正弦函数和余弦函数的图像特点。

正弦函数和余弦函数是我们在数学中经常接触到的函数，它们在几何学、物理学等领域也有广泛的应用。

通过学习它们的图像特点，我们可以更好地理解它们的性质和规律。

正弦函数是一种周期函数，它的图像呈现出波浪形状。

正弦函数的周期为2π，在每个周期内有一个最大值和一个最小值，这些点称为正弦函数的极值点。

高中数学《正弦函数、余弦函数的性质(二)》导学案

∵0°<150°<170°<180°，且y＝cosx在[0°，180°]上是减函数，
∴cos 150°>cos 170°，即cos 870°>sin 980°.
三、课堂练习
1．y＝2sin(3x＋ )的值域是()
A．[－2,2]B．[0,2]C．[－2,0]D．[－1,1]
解析因为sin(3x＋ )∈[－1,1]，所以y∈[－2,2]．答案A
2．比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断．
五、作业布置
课后作业：各班结合自己情况布置
六、教学反思
3．函数f(x)＝ cos(2x－ )的单减区间是________．
解析令2kπ≤2x－ ≤π＋2kπ，k∈Z，得＋kπ≤x≤ ＋kπ，k∈Z，
即f(x)的单减区间是[ ＋kπ，＋kπ](k∈Z)．
答案[ ＋kπ，＋kπ](k∈Z)
4．函数y＝cos(x＋ )，x∈[0， ]的值域是________．
即＋kπ≤x≤π＋kπ，(k∈Z)，
故y＝cos 2x的单增区间是[ ＋kπ，π＋kπ](k∈Z)，则当k＝0时为[ ，π]，故选D．答案D
(2)求函数y＝1＋sin ，x∈[－4π，4π]的单调减区间．
解y＝1＋sin ＝－sin ＋1．
由2kπ－ ≤ x－ ≤2kπ＋ (k∈Z)．
解得4kπ－ ≤x≤4kπ＋ π(k∈Z)．又∵x∈[－4π，4π]，
∴cos π<cos ，即cos <cos ．
【训练2】比较下列各组数的大小：
(1)sin 与sin ；(2)cos 870°与sin 980°．
解(1)siy＝sinx在上是增函数，

正余弦函数图像和性质教案

课题：正弦函数、余弦函数的图象刘欢（安陆二中）一、教学设计1、教学目标分析根据《高中数学教学大纲》的要求和教学内容的结构特征，依据学生学习的心理规律和素质教育的要求，结合学生的实际水平，制定本节课的教学目标如下：① 知识目标（1）会用单位圆中的正弦线画出正弦函数图象；（2）掌握正弦函数图象的“五点作图法”；（3）利用正弦函数的图象通过平移变换画出余弦函数的图象。

② 能力目标（1）培养学生合作学习和数学交流的能力；（2）培养学生运用知识解决实际问题的能力③ 情感目标（1）培养学生勇于探索、勤于思考的精神；（2）在形成知识、提高能力的过程中，激发学生学习数学的兴趣，提高学生的审美情趣，培养学生勇于探索、敢于创新的精神。

2、教学内容解析本节是高中《数学》必修④（人民教育出版社）第一章第四节的内容，其主要内容是正弦函数、余弦函数的图象。

我们遇到一个新的函数，非常自然的是画出它的图象，观察图象的形状，看看有什么特殊点，并借助图象研究它的性质。

过去学生已经学习了一次函数、二次函数、指数函数和对数函数等，以及图像的变换，此前还学过三角函数线，在此基础上来学习正弦函数、余弦函数的图象，为正切函数的图象与性质、函数sin()y A wx ϕ=+的图象的研究打好基础。

因此，本节的学习有着极其重要的地位。

根据以上分析，本节课的教学重点确定为：（1）用“五点作图法”画长度为一个周期的闭区间上的正弦函数图象。

(2) 通过图像平移作出余弦函数的图像。

3、教学问题诊断高一学生对函数概念的理解本身就是难点，再加上三角比知识，就要求学生有较高的理解和综合的能力。

关于作图方面，在前面函数的章节中，学生已经学习了画函数图像的一些方法，如幂函数、指数函数、对数函数等可以用列表描点法、图像平移翻折等方法作出其图像，但对于三角函数来说，描点法的各点的纵坐标都是查三角函数表得到的数值，不易描出对应点的精确位置，因此作出的图象不够准确。

高中《正弦和余弦定理》数学教案4篇

高中《正弦和余弦定理》数学教案4篇教案是讲课的前提，是讲好课的基础，教案则备课的具体表现形式。

它可以反映教师在整个教学中的总体设计和思路尤其是教学态度认真与否的重要尺度。

以下是小编为大家整理的高中《正弦和余弦定理》数学教案，感谢您的欣赏。

高中《正弦和余弦定理》数学教案1教学目标进一步熟悉正、余弦定理内容，能熟练运用余弦定理、正弦定理解答有关问题，如判断三角形的形状，证明三角形中的三角恒等式.教学重难点教学重点：熟练运用定理.教学难点：应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化.教学过程一、复习准备：1.写出正弦定理、余弦定理及推论等公式.2.讨论各公式所求解的三角形类型.二、讲授新课：1.教学三角形的解的讨论：①出示例1：在△ABC中，已知下列条件，解三角形.分两组练习→讨论：解的个数情况为何会发生变化②用如下图示分析解的情况.(A为锐角时)②练习：在△ABC中，已知下列条件，判断三角形的解的情况.2.教学正弦定理与余弦定理的活用：①出示例2：在△ABC中，已知sinA∶sinB∶sinC=6∶5∶4，求角的余弦. 分析：已知条件可以如何转化→引入参数k，设三边后利用余弦定理求角.②出示例3：在ΔABC中，已知a=7，b=10，c=6，判断三角形的类型.分析：由三角形的什么知识可以判别→求角余弦，由符号进行判断③出示例4：已知△ABC中，，试判断△ABC的形状.分析：如何将边角关系中的边化为角→再思考：又如何将角化为边3.小结：三角形解的情况的讨论;判断三角形类型;边角关系如何互化.三、巩固练习：3.作业：教材P11B组1、2题.高中《正弦和余弦定理》数学教案2一)教材分析(1)地位和重要性：正、余弦定理是学生学习了平面向量之后要掌握的两个重要定理，运用这两个定理可以初步解决几何及工业测量等实际问题，是解决有关三角形问题的有力工具。

(2)重点、难点。

重点：正余弦定理的证明和应用难点：利用向量知识证明定理(二)教学目标(1)知识目标：①要学生掌握正余弦定理的推导过程和内容;②能够运用正余弦定理解三角形;③了解向量知识的应用。

正弦函数余弦函数的图象与性质教案

正弦函数与余弦函数的图象与性质教案一、教学目标：1. 理解正弦函数和余弦函数的定义及其在直角坐标系中的图象。

2. 掌握正弦函数和余弦函数的性质，包括周期性、对称性、奇偶性等。

3. 能够运用正弦函数和余弦函数的性质解决实际问题。

二、教学内容：1. 正弦函数和余弦函数的定义及图象。

2. 正弦函数和余弦函数的周期性及其应用。

3. 正弦函数和余弦函数的对称性及其应用。

4. 正弦函数和余弦函数的奇偶性及其应用。

5. 正弦函数和余弦函数的性质在实际问题中的应用。

三、教学重点与难点：1. 重点：正弦函数和余弦函数的图象与性质。

2. 难点：正弦函数和余弦函数性质的应用。

四、教学方法：1. 采用讲授法，讲解正弦函数和余弦函数的定义、图象和性质。

2. 利用多媒体展示正弦函数和余弦函数的图象，增强学生的直观感受。

3. 运用例题解析，引导学生运用正弦函数和余弦函数的性质解决实际问题。

4. 开展小组讨论，促进学生对正弦函数和余弦函数性质的理解和应用。

五、教学过程：1. 引入：通过实例引入正弦函数和余弦函数的图象和性质。

2. 讲解：讲解正弦函数和余弦函数的定义、图象和性质。

3. 演示：利用多媒体展示正弦函数和余弦函数的图象，引导学生观察和分析。

4. 练习：布置练习题，让学生巩固正弦函数和余弦函数的性质。

5. 应用：运用正弦函数和余弦函数的性质解决实际问题。

7. 作业：布置作业，巩固所学内容。

六、教学评估：1. 课堂讲解：评估学生对正弦函数和余弦函数定义、图象和性质的理解程度。

2. 练习题：评估学生运用正弦函数和余弦函数性质解决实际问题的能力。

3. 小组讨论：评估学生在团队合作中提出观点、分析问题和解决问题的能力。

七、教学反馈与调整：1. 根据学生的课堂表现和作业完成情况，了解学生对正弦函数和余弦函数图象与性质的掌握程度。

2. 针对学生的薄弱环节，进行有针对性的辅导和讲解。

3. 调整教学方法和进度，确保学生能够扎实掌握正弦函数和余弦函数的图象与性质。

正、余弦函数的性质

函数的单调性反映了函数在一个区间上的走向。
请认真观察正余弦函数的图像，看看其是否具有这类性质？
先看正弦函数图像
y
1
3 5 2
2 3
2

2
O

2

1
3 2
2
5 2
3
x
5π 3π π π 3π 5π [- ， ]、 [ ， ] …上时，当 x在区间… [- , - ]、 2 2 2 2 2 2
1、T要是非零常数；２、“每一个值”只要有一个反例，则f (x)就不为周期函数（如f (x0+t)f (x0)）； 3、周期函数的周期T往往是多值的（如 y=sinx 2,4,…,-2,-4,…都是周期）； 4、周期T中最小的正数叫做f (x)的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）。
解： (1) ∵ 3cos( x 2 ) 3cos x ∴ 由周期函数的定义知道，原函数的周期为2 π 。
1 1 (2) ∵ 2sin[ ( x 4 ) ] 2sin[( x ) 2 ] 2 6 2 6 1 2sin( x ) 2 6
∴ 由周期函数的定义知道，原函数的周期为4 。
难点：
正、余弦函数周期性的理解与应用；正、余弦函数奇、偶性和单调性的理解与应用。
一、观察函数周期性
正弦曲线：y = sinx

xR

y
1

-1

x
注：由上面的得出：
Байду номын сангаас2 y A sin( x ) 函数的周期是 ; 2 函数 y A cos( x ) 的周期是。

高中数学优质教案2：1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质教学设计

1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质一、教学目标：知识与技能：要求学生能理解三角函数的奇、偶性和单调性；过程与方法：掌握正、余弦函数的奇、偶性的判断，并能求出正、余弦函数的单调区间。

情感、态度与价值观通过本节的学习，使同学们感受研究和学习函数的一般方法，培养类比思想和抽象概括能力，从而激发学生的学习积极性，培养学生学好数学的信心，学会运用联系的观点认识事物．二、重点难点重点：正、余弦函数的奇、偶性和单调性；难点：正、余弦函数奇、偶性和单调性的理解与应用.三、教材与学情分析对于函数性质的研究，在高一必修中已经研究了幂函数、指数函数、对数函数的图象与性质．因此作为高中最后一个基本初等函数的性质的研究，学生已经有些经验了．其中，通过观察函数的图象，从图象的特征获得函数的性质是一个基本方法，这也是数形结合思想方法的应用．四、教学方法问题引导，主动探究，启发式教学．五、教学过程1.创设情境思路1.(类比导入)我们在研究一个函数的性质时，如幂函数、指数函数、对数函数的性质，往往通过它们的图象来研究．先让学生画出正弦函数、余弦函数的图象，从学生画图象、观察图象入手，由此展开正弦函数、余弦函数性质的探究．思路2.(直接导入)研究函数就是要讨论函数的一些性质，y＝sin x，y＝cos x是函数，我们当然也要探讨它们的一些性质．本节课，我们就来研究正弦函数、余弦函数最基本的几条性质．请同学们回想一下，一般来说，我们是从哪些方面去研究一个函数的性质的呢(定义域、值域、奇偶性、单调性、最值)？然后逐一进行探究．2.新知探究提出问题①回忆并画出正弦曲线和余弦曲线，观察它们的形状及在坐标系中的位置；②观察正弦曲线和余弦曲线，说出正弦函数、余弦函数的定义域各是什么？③观察正弦曲线和余弦曲线，说出正弦函数、余弦函数的值域各是什么？由值域又能得到什么？④观察正弦曲线和余弦曲线，函数值的变化有什么特点？ ⑤观察正弦曲线和余弦曲线，它们都有哪些对称？(1)(2)活动：先让学生充分思考、讨论后再回答．对回答正确的学生，教师可鼓励他们按自己的思路继续探究，对找不到思路的学生，教师可参与到他们中去，并适时的给予点拨、指导．在上一节中，要求学生不仅会画图，还要识图，这也是学生必须熟练掌握的基本功．因此，在研究正弦、余弦函数性质时，教师要引导学生充分挖掘正弦、余弦函数曲线或单位圆中的三角函数线，当然用多媒体课件来研究三角函数性质是最理想的，因为单位圆中的三角函数线更直观地表现了三角函数中的自变量与函数值之间的关系，是研究三角函数性质的好工具．用三角函数线研究三角函数的性质，体现了数形结合的思想方法，有利于我们从整体上把握有关性质．对问题①，学生不一定画准确，教师要求学生尽量画准确，能画出它们的变化趋势．对问题②，学生很容易看出正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R 〔或(－∞，＋∞)〕．对问题③，学生很容易观察出正弦曲线和余弦曲线上、下都有界，得出正弦函数、余弦函数的值域都是[－1,1]．教师要引导学生从代数的角度思考并给出证明． ∵正弦线、余弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度， ∴|sin x |≤1，|cos x |≤1，即－1≤sin x ≤1，－1≤cos x ≤1. 也就是说，正弦函数、余弦函数的值域都是[－1,1]．对于正弦函数y ＝sin x (x ∈R )，(1)当且仅当x ＝π2＋2k π，k ∈Z 时，取得最大值1.(2)当且仅当x ＝－π2＋2k π，k ∈Z 时，取得最小值－1.对于余弦函数y ＝cos x (x ∈R )，(1)当且仅当x ＝2k π，k ∈Z 时，取得最大值1. (2)当且仅当x ＝(2k ＋1)π，k ∈Z 时，取得最小值－1.对问题④，教师可引导、点拨学生先截取一段来看，选哪一段呢？如图3，通过学生充分讨论后确定，选图象上的[－π2，3π2](如图4)这段．教师还要强调为什么选这段，而不选[0,2π]的道理，其他类似．图3 图4这个变化情况也可从下表中显示出来：就是说，函数y ＝sin x ，x ∈[－π2，3π2]．当x ∈[－π2，π2]时，曲线逐渐上升，是增函数，sin x 的值由－1增大到1；当x ∈[π2，3π2]时，曲线逐渐下降，是减函数，sin x 的值由1减小到－1.类似地，同样可得y ＝cos x ，x ∈[－π，π]的单调变化情况．教师要适时点拨、引导学生先如何恰当地选取余弦曲线的一段来研究，如图5，为什么选[－π，π]，而不是选[0,2π]．图5引导学生列出下表：正弦函数在每一个闭区间[－π2＋2k π，π2＋2k π](k ∈Z )上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间[π2＋2k π，3π2＋2k π](k ∈Z )上都是减函数，其值从1减小到－1.余弦函数在每一个闭区间[(2k －1)π，2k π](k ∈Z )上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间[2k π，(2k ＋1)π](k ∈Z )上都是减函数，其值从1减小到－1.对问题⑤，学生能直观地得出：正弦曲线关于原点O 对称，余弦曲线关于y 轴对称．在R 上，y ＝sin x 为奇函数，y ＝cos x 为偶函数．教师要恰时恰点地引导，怎样用学过的知识方法给予证明？由诱导公式：∵sin(－x )＝－sin x ，cos(－x )＝cos x ， ∴y ＝sin x 为奇函数，y ＝cos x 为偶函数．至此，一部分学生已经看出来了，在正弦曲线、余弦曲线上还有其他的对称点和对称轴，如正弦曲线还关于直线x ＝π2对称，余弦曲线还关于点(π2，0)对称等等，这是由它的周期性而来的．教师可就此引导学生进一步探讨，为今后的学习埋下伏笔．讨论结果：①略． ②定义域为R .③值域为[－1,1]，最大值都是1，最小值都是－1. ④单调性(略)． ⑤奇偶性(略)．当我们仔细对比正弦函数、余弦函数性质后，会发现它们有很多共同之处．我们不妨把两个图象中的直角坐标系都去掉，会发现它们其实都是同样形状的曲线，所以它们的定义域相同，都为R ，值域也相同，都是[－1,1]，最大值都是1，最小值都是－1，只不过由于y 轴放置的位置不同，使取得最大(或最小)值的时刻不同；它们的周期相同，最小正周期都是2π；它们的图象都是轴对称图形和中心对称图形，且都是以图象上函数值为零所对应的点为对称中心，以过最值点且垂直于x 轴的直线为对称轴．但是由于y 轴的位置不同，对称中心及对称轴与x 轴交点的横坐标也不同．它们都不具备单调性，但都有单调区间，且都是增、减区间间隔出现，也是由于y 轴的位置改变，使增减区间的位置有所不同，也使奇偶性发生了改变． 3. 应用示例例1 下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出取最大值、最小值时的自变量x 的集合，并说出最大值、最小值分别是什么． (1)y ＝cos x ＋1，x ∈R ； (2)y ＝－3sin2x ，x ∈R .活动：通过这道例题直接巩固所学的正弦、余弦的性质．容易知道，这两个函数都有最大值、最小值．课堂上可放手让学生自己去探究，教师适时的指导、点拨、纠错，并体会对应取得最大(小)值的自变量为什么会有无穷多个．解：(1)使函数y ＝cos x ＋1，x ∈R 取得最大值的x 的集合，就是使函数y ＝cos x ，x ∈R 取得最大值的x 的集合{x |x ＝2k π，k ∈Z }；使函数y ＝cos x ＋1，x ∈R 取得最小值的x 的集合，就是使函数y ＝cos x ，x ∈R 取得最小值的x 的集合{x |x ＝(2k ＋1)π，k ∈Z }．函数y ＝cos x ＋1，x ∈R 的最大值是1＋1＝2，最小值是－1＋1＝0.(2)令z ＝2x ，使函数y ＝－3sin z ，z ∈R 取得最大值的z 的集合是{z |z ＝－π2＋2k π，k ∈Z }，由2x ＝z ＝－π2＋2k π，得x ＝－π4＋k π.因此使函数y ＝－3sin2x ，x ∈R 取得最大值的x 的集合是{x |x ＝－π4＋k π，k ∈Z }．同理，使函数y ＝－3sin2x ，x ∈R 取得最小值的x 的集合是{x |x ＝π4＋k π，k ∈Z }．函数y ＝－3sin2x ，x ∈R 的最大值是3，最小值是－3.点评：以前我们求过最值，本例也是求最值，但对应的自变量x 的值却不唯一，这从正弦函数的周期性容易得到解释．求解本例的基本依据是正弦函数、余弦函数的最大(小)值的性质，对于形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的函数，一般通过变量代换(如设z ＝ωx ＋φ化归为y ＝A sin z ＋B 的形式)，然后进行求解．这种思想对于利用正弦函数、余弦函数的其他性质解决问题时也适用．例2 利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小： (1)sin(－π18)与sin(－π10)；(2)cos(－23π5)与cos(－17π4)．活动：学生很容易回忆起利用指数函数、对数函数的图象与性质进行大小比较，充分利用学生的知识迁移，有利于学生能力的快速提高．本例的两组都是正弦或余弦，只需将角化为同一个单调区间内，然后根据单调性比较大小即可．课堂上教师要让学生自己独立地去操作，教师适时地点拨、纠错，对思考方法不对的学生给予帮助指导．解：(1)因为－π2<－π10<－π18<0，正弦函数y ＝sin x 在区间[－π2，0]上是增函数，所以sin(－π18)>sin(－π10)．(2)cos(－23π5)＝cos 23π5＝cos 3π5，cos(－17π4)＝cos 17π4＝cos π4.因为0<π4<3π5<π，且函数y ＝cos x ，x ∈[0，π]是减函数，所以cos π4>cos 3π5，即cos(－23π5)<cos(－17π4)．点评：推进本例时应提醒学生注意，在今后遇到的三角函数值大小比较时，必须将已知角化到同一个单调区间内，其次要注意首先大致地判断一下有没有符号不同的情况，以便快速解题，如本例中，cos π4>0，cos 3π5<0，显然大小立判．例3求函数y ＝sin(12x ＋π3)，x ∈[－2π，2π]的单调递增区间．活动：可以利用正弦函数的单调性来求所给函数的单调区间．教师要引导学生的思考方向：把12x ＋π3看成z ，这样问题就转化为求y ＝sin z 的单调区间问题，而这就简单多了．解：令z ＝12x ＋π3.函数y ＝sin z 的单调递增区间是[－π2＋2k π，π2＋2k π]．由－π2＋2k π≤12x ＋π3≤π2＋2k π，得－5π3＋4k π≤x ≤π3＋4k π，k ∈Z .由x ∈[－2π，2π]可知，－2π≤－5π3＋4k π且π3＋4k π≤2π，于是－112≤k ≤512，由于k ∈Z ，所以k ＝0，即－5π3≤x ≤π3.而[－5π3，π3]⊂[－2π，2π]，因此，函数y ＝sin(x 2＋π3)，x ∈[－2π，2π]的单调递增区间是[－5π3，π3]．点评：本例的求解是转化与化归思想的运用，即利用正弦函数的单调性，将问题转化为一个关于x 的不等式问题．然后通过解不等式得到所求的单调区间，要让学生熟悉并灵活运用这一数学思想方法，善于将复杂的问题简单化．当堂检测1．如果函数f (x )＝sin(πx ＋θ)(0<θ<2π)的最小正周期是T ，且当x ＝2时取得最大值，那么( ) A ．T ＝2，θ＝π2 B ．T ＝1，θ＝π C ．T ＝2，θ＝π D ．T ＝1，θ＝π2【解析】T ＝2ππ＝2，又当x ＝2时，sin(π·2＋θ)＝sin(2π＋θ)＝sin θ，要使上式取得最大值，可取θ＝π2.【答案】A2．求函数y ＝12sin(π4－2x3)的单调递减区间及单调递增区间．解：y ＝12sin(π4－2x 3)＝－12sin(2x 3－π4)．由2k π－π2≤2x 3－π4≤2k π＋π2，可得3k π－3π8≤x ≤3k π＋9π8(k ∈Z )，为单调减区间；由2k π＋π2≤2x 3－π4≤2k π＋3π2，可得3k π＋9π8≤x ≤3k π＋21π8(k ∈Z )，为单调增区间．所以原函数的单调减区间为[3k π－3π8，3k π＋9π8](k ∈Z )；原函数的单调增区间为[3k π＋9π8，3k π＋21π8](k ∈Z ). 六、课堂小结1．由学生回顾归纳并说出本节学习了哪些数学知识，学习了哪些数学思想方法．这节课我们研究了正弦函数、余弦函数的性质．重点是掌握正弦函数的性质，通过对两个函数从定义域、值域、最值、奇偶性、周期性、增减性、对称性等几方面的研究，更加深了我们对这两个函数的理解．同时也巩固了上节课所学的正弦函数，余弦函数的图象的画法．2．进一步熟悉了数形结合的思想方法，转化与化归的思想方法，类比思想的方法及观察、归纳、特殊到一般的辩证统一的观点．七、课后作业1.课时练与测2.课本习题A组3，B组3.3.预习正弦函数、余弦函数的奇偶性．八、教学反思1．本节是三角函数的重点内容，设计的容量较大，指导思想是让学生在课堂上充分探究、大量活动．作为函数的性质，从初中就开始学习，到高中学习了幂函数、指数、对数函数后有了较深的认识，这是高中所学的最后一个基本初等函数．但由于以前所学的函数不是周期函数，所以理解较为容易，而正弦函数、余弦函数除具有以前所学函数的共性外，又有其特殊性，共性中包含特性，特性又离不开共性，这种普通性与特殊性的关系通过教学应让学生有所领悟．2．在讲完正弦函数性质的基础上，应着重引导学生用类比的方法写出余弦函数的性质，以加深他们对两个函数的区别与联系的认识，并在解题中突出数形结合思想，在训练中降低变化技巧的难度，提高应用图象与性质解题的力度．较好地利用图象解决问题，这也是本节课主要强调的数学思想方法．。

正弦函数、余弦函数的性质

复习回顾
思考Байду номын сангаас．
不用作图, 你能判断函数和y＝cosx的图象有何关系吗?请在同一坐标系中画出它们的简图, 以验证你的猜想.
复习回顾
思考4．
不用作图, 你能判断函数和y＝cosx的图象有何关系吗?请在同一坐标系中画出它们的简图, 以验证你的猜想.
小结：
复习回顾思考4．
不用作图, 你能判断函数和y＝cosx的图象有何关系吗?请在同一坐标系中画出它们的简图, 以验证你的猜想.
复习回顾思考2．
如何利用y＝cosx， x∈[0, 2]的图象，通过图形变换(平移、翻转等)来得到y＝－cosx，x∈[0, 2]的图象？
小结：
这两个图象关于x轴对称.
复习回顾
思考3．
如何利用y＝cos x，x∈[0, 2]的图象，通过图形变换(平移、翻转等)来得到y＝2－cosx，x∈[0, 2]的图象？
复习回顾
思考3．
如何利用y＝cos x，x∈[0, 2]的图象，通过图形变换(平移、翻转等)来得到y＝2－cosx，x∈[0, 2]的图象？
小结：
先作y＝cosx图象关于x轴对称的图形，得到y＝－cosx的图象，再将y＝－cosx的图象向上平移2个单位，得到 y＝2－cosx 的图象.
练习1. 求下列三角函数的周期：
讲授新课一般结论:
讲授新课
三个函数的周期是什么?
讲授新课一般结论:
讲授新课
思考:
求下列三角函数的周期：
讲授新课正弦、余弦函数的性质2——奇偶性
请同学们观察正、余弦函数的图形，说出函数图象有怎样的对称性？其特点是什么？
y＝sinx

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正弦、余弦函数的图象与性质
目标：要求学生掌握正、余弦函数的定义域与值域，尤其能灵活运用有界性求函数的最值和值域。

一、填空题 1.用
A
和B 分别表示函数
1
c o s 13
y x =-的最大值和最小值，则A B += .
【答案】2-
【解析】当cos 1x =时23
A =-,当cos 1x =-时43
B =-，2A B +=-.
2.函数
y ________.
【答案】,2x k x k k Z π
ππ⎧⎫
-≤≤∈⎨
⎬⎩
⎭ 【解析】∵sin 20
x -≥，∴222,k x k k Z πππ-≤≤∈，解得
,2x k x k k Z πππ⎧⎫
-≤≤∈⎨
⎬⎩⎭
. 3.函数sin(1)y x =-的单调递增区间为_______________. 【答案】3[12,12]()2
2
k k k Z π
π
ππ+++
+∈ 【解析】
s i n (
1y x =--，
令3212()2
2
k x k k Z π
π
ππ+≤-≤+∈,解得
3[12,12]()
22
x k k k Z π
π
ππ∈+
+++∈. 4.若函数()()cos f x x ϕ=+是奇函数，则ϕ的值为 . 【答案】,2k k Z
π
ϕπ=+
∈
【解析】由题意有，(0)cos 0f ϕ==，∴,2k k Z
π
ϕπ=+
∈.
5.下列函数，在ππ2
⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，上是单调增函数的是 .
①sin y x =；②cos y x =；③sin 2y x =；④cos 2y x =. 【答案】④
【解析】根据正弦曲线和余弦曲线知①②错误，③中由
()()02f f π
π==知③错误，.对于④，令≤+-ππk 22x πk 2≤，k ∈Z,
得Z k k x k ∈≤≤+-,2πππ，当1k =时，得,2,x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
. 6.函数2sin 2
x
y =-取得最大值时自变量x 的取值集合
为 . 【答案】4,x k k Z ππ=-∈ 【解析】由题意知，
2,22
x k k Z π
π=-∈，即4,x k k Z ππ=-∈.
7.比较sin 230和cos170的大小： .
【答案】sin 230cos170>
【解析】∵sin 230sin50cos 40=-=-，cos170cos10=-，又函数cos y x
=在(0,90)单调递减，且0104090<<<，∴c o s 40
c o s 10<，故s i n 230c o s 17>.
8.函数sin sin y x x =-的值域为 . 【答案】[2,0]-
【解析】∵0,sin 0,
sin sin 2sin ,sin 0,x y x x x x >⎧=-=⎨≤⎩∴函数的值域为[2,0]-.
9.设函数3
()s i n 1f x a x b x =++（a b ，为常数），且(5)7f =，则(5)f -= ．【答案】5-
【解析】由3()sin 1f x ax b x =++，3()sin 1f x ax b x -=--+，2)5()5(=-+f f ，=-)5(f 5-.
10.已知函数))(2
sin()(R x x x f ∈-
=π
，下面结论错误．．
的是（填
序号）.
① 函数)(x f 的最小正周期为2π； ② 函数)(x f 在区间［0，2
π］上是增函数； ③ 函数)(x f 的图象关于直线x ＝0对称； ④ 函数)(x f 是奇函数. 【答案】④ 【解析】∵x x x f cos )2
sin()(-=-=π
，∴①②③均正确，④错误.
二、解答题
11．求函数y=
sin 2
sin 1
x x --的值域．解：解法一：∵y=sin 2sin 1x x --=1-1
sin 1
x -，
∴当sinx=-1时，y min =1+1
2=32
，∴值域为3,.2
⎡⎫
+∞⎪⎢
⎣⎭
解法二∵y=
sin 2sin 1x x --，∴sinx=2
1
y y --且sinx≠1.
∵-1≤sinx<1， ∴-1≤2
1
y y --<1，解之得y≥3
2
，∴值域为3,.2
⎡⎫
+∞⎪⎢
⎣⎭
12．函数f(x)＝1―2acosx―2a―2sin 2x 的最小值为g(a)，(a ∈R)．求g(a)的表达式．
解：f(x)＝2cos 2x―2acosx―2a―1＝2(cosx―a 2)2―a
2
2―2a―1．
(1)当a
2＜－1即a ＜－2时．g(a)＝1 . (此时cosx ＝－1)．当－1≤a 2≤1即－2≤a≤2时．g(a)＝―a 2
2―2a―1． (此时cosx ＝a 2)．
当a ＞2时，g(a)＝2―2a―2a―1＝1－4a ． (此时cosx ＝1)．
∴g(a)＝⎩
⎨⎧1．(a ＜－2)―a 2
2―2a―1 (―2≤a≤2)1－4a (a ＞2)．
．。