第三章 线性系统的时域分析法

第三章 线性系统的时域分析法3.1 知识框架3.2 重难点控制系统的性能的评价分为动态性能指标和稳态性能指标，在确定系统的数学模型后，便可以用几种不同的方法去分析控制系统给的动态性能和稳态性能，在经典控制理论中，经常使用时域分析法、根轨迹分析法或频域分析法来分析线性控制系统的性能。

所谓时域分析法，是指控制系统在一定的输入信号作用下，根据系统输出量的时域表达式，分析系统的稳定性、瞬态和稳态性能。

时域分析法是一种直接在时间域中对系统进行分析的方法，具有直观、准确的优点，并且可以提供系统时间响应的全部信息。

由于控制系统的传递函数和微分方程之间具有确定的关系，因此在系统初始条件为零时，常常利用传递函数来研究控制系统的特性。

3.2.1 典型输入信号名称时域表达式 复域表达式单位阶跃函数 1(),0t t ≥ 1s 单位斜坡函数 ,0t t ≥21s 单位加速度函数 21,02t t ≥ 31s 单位脉冲函数 (),0t t δ≥1 正弦函数sin A t ω22A ωω1) 二阶系统的时域分析；动态响应指标的求取；由动态响应指标确定一、二阶系统模型参数 2) 系统型别，开环放大增益，静态误差增益，根轨迹增益 3) 主导极点、附加闭环零、极点的概念，高阶系统简化为二阶系统 4) 劳斯稳定性判据；稳态误差5) 系统参数变化对系统稳定性、动态性能、稳定性的影响3.2.2 系统的时域性能指标(1) 一般认为，阶跃输入对系统来说是最严峻的工作状态。

描述稳态的系统在单位阶跃函数作用下，动态过程随时间t 的变化情况的指标，称为动态性能指标。

为了便于分析和比较，假定系统在单位阶跃输入信号作用前处于静止状态，而且输出量及其各阶倒数均等于零。

对大多数控制系统来说，这种假设是符合实际情况的。

如图：延迟时间d t ：响应曲线第一次到达其终值一般所需的时间上升时间r t ：指响应从终值10%上升到终值90%所需时间；对于有振荡的系统，亦可定义为响应从第一次上升到终值所需的时间。

上升时间是系统响应速度的一种度量。

上升时间越短，响应速度越快。

峰值时间p t ：指响应超过其终值到达第一个峰值所需的时间 调节时间s t ：指响应到达并保持在终值5%±内所需的最短时间超调量%σ：指响应的最大偏离量()p h t 与终值()h ∞的差与终值()h ∞比的百分数，即，()()%100%()p h t h h σ-∞=⨯∞，若()()p h t h <∞，则响应无超调。

在实际应用中，常用的动态性能指标多为上升时间、调节时间和超调量。

通常，用r t 或p t 来评价系统的响应速度，用%σ评价系统的阻尼程度，而s t 是同时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标。

(2) 稳态误差是描述系统稳态性能的一种性能指标，若时间趋于无穷是，系统的输出量不等于输入量或输入量的确定函数，则系统存在稳态误差。

稳态误差是系统控制精度或抗干扰能力的一种度量。

3.2.3 二阶系统的分类一阶系统没考过，各位自行看一下就可以了。

直接讲二阶系统，如果为标准0.1()h ∞0.5(h ∞0.9(h ∞()h ∞()h t的二阶系统结构图：系统传递函数：222()()()2n n n C s s R s s s ωΦςωω==++ 可得二阶系统的特征方程：2220n n s s ςωω++=，其两个根(闭环极点)为：1,2n s ςωω=-±根据ς的值，可以分为如下几个系统：其中，欠阻尼、临界阻尼、过阻尼系统稳定。

临界阻尼的响应速度比过阻尼快。

3.2.4 欠阻尼系统的性能分析这里重点讲欠阻尼系统，其他三个系统各位也要有所了解，看书就可以了。

欠阻尼(01)ς<<二阶系统的单位阶跃响应：若令n σςω=(衰减系数)，d ωω=阻尼振荡频率)1()R s s=时， 2221()2n n n C s s s sωςωω=++ 22221()()n n n d n ds s s s ςωςωςωωςωω+=--++++ 对上式去拉式反变换，求得单位阶跃响应为：()1c o s s i n n n t td d h te t e t ςωςωωω--=--1s i s i n ()n td t ςωωβ-=-+其中arccos cos βςςβ==⇒=，式中欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应由两部分组成：稳态分量为1，表面系统在单位阶跃函数作用下不存在稳态位置误差；瞬态分量为阻尼正弦振荡。

欠阻尼二阶系统的动态过程：3.2.5 二阶系统的性能改善二阶系统的性能的改善，主要有两种方法：一是比例微-分控制系统，如下图：10.7%100%3.54.4(0.05),(0.02)d n r p s s nnt t t et t ςωσ∆∆ςωςω+====⨯====由图可见，系统输出量同时受误差信号及其速率的双重作用，因而，比例-微分控制是一种早期控制，可在出现位置误差前，提前产生修正作用，从而达到改善系统性能的目的。

2222()()(2)n p d n n d n pT T s s s T s T ωΦςωωω+=+++ 比例-微分控制可以增大系统的阻尼，使阶跃响应的超调量下降，调节时间缩短，且不影响常值稳态误差及系统的自然频率，采用微分控制后，允许选取较高的开环增益，因此在保证一定的动态性能条件下，可以减小稳态误差。

由于微分对于噪声尤其是高频噪声有放大作用，所以系统在输入端噪声较强的情况下，不宜采用。

此时可以选用测速反馈系统。

如图：测速反馈会降低系统的开环增益，从而加大系统在斜坡输入时的稳态误差，与比例-微分控制相同的是，不影响系统的自然频率，并可增大系统的阻尼比。

在设计测速反馈控制系统时，可以适当增大原系统的开环增益，比弥补稳态误差的损3.2.6 主导极点在讲了二阶系统之后，就要将高阶系统，高阶系统的时域分析主要是通过闭环主导极点将高阶系统等效近似为二阶系统，再按照二阶系统的方法进行分析。

如果所在闭环极点中，距离虚轴最近的极点周围没有闭环零点，而其他闭环极点有远离虚轴，那么距离虚轴最近的闭环极点所在的响应分量，随时间的推移而衰减，在系统的时间响应过程中起主导作用，这样的闭环极点就成为闭环主导极点，作为闭环主导极点的条件是：1. 距S 平面虚轴较近，且周围没有其他闭环零极点，对应的暂态分量衰减缓慢，起主要作用。

不会构成闭环偶极子，产生零极点相消现象。

从第一章可知，对一个控制系统的要求可以归纳为：稳定性，快速性和准确性。

前面我们讲了系统的动态性能，即快速性。

现在讲稳定性，对于一个控制系统，第一要求就是系统要稳定，这是保证控制系统正常工作的先决条件。

任何系统在扰动作用下都会偏离原系统平衡状态，产生初始偏差。

所谓稳定性，是指系统在扰动消失后，由初始偏差状态恢复到原平衡状态的性能。

判断系统稳定性的方法有很多，每一章遇到的时候我会有针对的讲，在最后几章也会把所有的方法都归纳比较一遍，以免大家搞混。

上述稳定性定义表面，线性系统的稳定性仅取决于系统自身的固有特性，而与外界条件无关，在这一章中，主要是针对线性系统求稳定性，根据定义输入扰动()t δ，设扰动响应为()n C t ，如果当t →∞时，()n C t 收敛到原来的平衡点，即：lim ()0n s C s →∞=，根据一系列的推导，可得线性系统稳定的充分必要条件为：闭环系统特征方程的所有根均具有负实部；或者说，闭环传递函数的极点均位于S 的左半平面。

这里主要采用的方法是劳斯-赫尔维茨判据，考试的时候不会强制规定要用劳斯判据还是用赫尔维茨判据，所以我在此只将劳斯判据，如果各位比较担心的话，可自行学习赫尔维茨判据，内容不多，而这两种判据的原理也是一样的。

不管是劳斯判据还是赫尔维茨判据都是根据系统的特征方程来判断的： 设系统的特征方程为：10110()0,0n n n n D s a s a s a s a a --=++⋅⋅⋅++=>1) 根据这个特征方程，首先判断特征方程的系数，当系数全为正数且不缺项时，再进行下一步，如果不全为正，则直接判断该系统不稳定。

这句话就是说，使线性系统稳定的必要条件是：特征方程中，各系数为正数且不缺项。

2) 建立劳斯表(这个大家都会吧，详见102页)表中：1. 最左一列元素按S 的幂次排列，由高到低，只起标识作用，不参与计算。

2. 第一、二行元素，直接用特征方程式的元素填入。

3. 从第三行起各元素，是根据前二行的元素计算得到。

3) 判断劳斯表中第一列各数是否都大于零，都大于零则系统稳定，否则，第一列的各数符号变化几次，则有在S 右半平面有几个根。

劳斯稳定判据有两种特殊情况，一是劳斯表中某一行的第一列项为零，而其余各项不为零或不全为零；二是劳斯表中出现全零行，具体的方法和例子在3.2.8 线性系统的稳态误差求完稳定性，对于控制系统，就还差准确性，系统的准确性是通过稳态误差来衡量的。

下面介绍求稳态误差的方法。

(如果各位对控制系统的性能和衡量参数搞得不是很清楚的话，可以仔细阅读一下13页的1.基本要求的提法)。

首先是误差的定义：误差由两种定义方法，一是在系统输入端定义，二是在输出端定义，我们的整个考试，当提到误差时，都是采用的输入端定义，即：如图：当输入信号()R s 与主反馈信号()B s 不等时，比较装置的输出为：()()()()E s R s H s C s =-那么()E s 就是误差，一个系统的误差包含瞬态分量和稳态分量两部分，由于系统必须要稳定，讨论误差才有意义，所以控制系统的稳态误差定义为误差信号()e t 的稳态分量()ss e ∞，简写成ss e 。

1()[()]e t L E s -=121...n n n s s s ss --011......na a b a 232a a b 453a a b (1203)11140521a a a ab a a a a a b a -=-=ss e 有两种计算方法，第一是利用终值定理进行计算，即：0()()lim ()lim1()()ss s s sR s e sE s G s H s →→∞==+(一定要牢记，要清楚这些符号的意义)但是不是所有的系统都能用这种方法计算，需要满足终值定理的条件，即： 除原点外，在虚轴及S 平面的右半平面无极点。

终值定理仅限于()r t 或()n t 为21(),,,t t t ⋅⋅⋅或其线性组合，特别注意当外作用信号为正弦型号或余弦信号时不能使用终值定理，在这章的范围内，只能使用动态误差系数，而动态误差系数不用掌握。

在后面一章，会学到一种根据幅频特性计算的方法，到时候再讲。

第二种方法是静态误差系数。

从上面计算稳态误差的式子可以得知，控制系统的稳态误差数值，与开环传递函数的结构和输入信号的形式密切相关。